4ª Lista
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Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo -

Votuporanga

Álgebra Linear - Engenharia Civil

Quarta Lista de Exercícios

2o semestre - 2014

Professora Elen Cristina Mazucchi

. Base e Dimensão.

Exercício 1: Sejam os vetores v1 = (1, 0,\u22121), v2 = (1, 2, 1) e v3 = (0,\u22121, 0) do R3.
a) Mostrar que {v1, v2, v3} é base do R3.
b) Escrever e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) e e3 = (0, 0, 1) como combinação linear dos
vetores da base B. (Resp.: e1 =

1
2v1 +

1
2v2 + v3, e2 = \u2212v3 e e3 = \u221212v1 + 12v2 + v3)

Exercício 2: Quais dos seguintes conjuntos de vetores formam uma base de P2 (conjunto
dos polinômios de grau manor ou igual a 2)?

a) 1, t, t2 (Resp.: Sim)

b) 2, 1\u2212 x, 1 + x2 (Resp.: Sim)
c) 1 + x+ x2, x+ x2, 1 + 2x\u2212 x2 (Resp.: Não)

Exercício 3: Para quais valores de k o conjunto B = {(1, k), (k, 4)} é base do R2?
(Resp.: k 6= ±2)

Exercício 4: Mostrar que os vetores v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 2, 3), v3 = (3, 0, 2) e
v4 = (2,\u22121, 1) geram o R3. Encontre uma base dentre os vetores v1, v2, v3 e v4.
(Resp.: Base: {v1, v2, v3})

Exercício 5: Seja o subespaço S de M(2, 2) :

S =

{[
a b
c d

]
; c = a+ b e d = a

}
.

a) Qual a dimensão de S? (Resp.: 2)

b) O conjunto

{[
1 \u22121
0 1

]
,

[
2 1
3 4

]}
é uma base de S? Justi\ufb01car.

Resp.: Não, pois

[
2 1
3 4

]
/\u2208 S

Exercício 6: Determinar a dimensão e uma base para cada um dos seguintes espaços veto-

riais.

a) S1 =
{
(x, y, z) \u2208 R3/y = 5x e z = 0} (Resp.: DimS1 = 1 e B = {(1, 5, 0)})
1

b) S2 =
{
(x, y, z) \u2208 R3/2x\u2212 y + 3z = 0} (Resp.: DimS2 = 2 eB = {(1, 2, 0), (0, 3, 1)})
Exercício 7: Determinar a dimensão e uma base para o espaço solução dos sistemas:

a) S1 =

\uf8f1\uf8f2\uf8f3
x+ 2y \u2212 2z \u2212 t = 0
2x+ 4y + z + t = 0
x+ 2y + 3z + 2t = 0
(Resp.: DimS1 = 2 eB = {(1, 0, 3,\u22125), (0, 1, 6,\u221210)})

b) S2 =

\uf8f1\uf8f2\uf8f3
2x+ 2y \u2212 3z = 0

x\u2212 y \u2212 z = 0
3x+ 2y + z = 0
(Resp.: DimS2 = 0 e não existe base)

Exercício 8: No espaço vetorial R3 considere os seguintes subespaços:
U = {(x, y, z) \u2208 R3;x = 0} e W = [(1, 2, 0), (3, 1, 2)]. Determine a dimensão de U , W , U +W e
U \u2229W. Determine uma base para U +W.
(Resp.: DimU = 2, DimW = 2, Dim(U +W ) = 3 e Dim(U) = 1. Uma base para U +W é
B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)})

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