CALCULAR DE CABEÇA OU COM A CABEÇA

Prévia do material em texto

1
PROFMAT2011 ACTAS
Introdução
Esta conferência tem como propósito discutir a importância do cálculo mental tendo em conta as orientações curricu-
lares actuais para o ensino da Matemática (nacionais e internacionais), apresentar estratégias de cálculo que os profes-
sores podem desenvolver com os seus alunos na sala de aula e mostrar exemplos concretos como os alunos mobilizam 
estratégias de cálculo em diversos contextos. E, sobretudo, pretende alertar para a importância do cálculo mental na 
aprendizagem da Matemática.
Cálculo mental e sua importância
Orientações curriculares e cálculo mental
O trabalho com números é fundamental na vida quotidiana e a sua importância reflecte-se nos currículos escolares de 
todo o mundo. Isso acontece igualmente em Portugal, onde o ensino e a aprendizagem da Matemática enfrentam no-
vos desafios com a generalização de um novo programa. Existem propósitos de ensino comuns a todo o ensino básico 
que requerem uma mudança de práticas, como é o caso do desenvolvimento do sentido de número, da compreensão dos 
números e das operações e da capacidade de cálculo mental e escrito. 
 O cálculo mental ou cálculo numérico é referido nos currículos de Matemática há mais de 70 anos (Brocardo & 
Serrazina, 2008) e tem agora um lugar de destaque nas novas orientações curriculares em Portugal, embora ao longo do 
tempo isto nem sempre se verificasse. Na verdade, o rápido avanço da tecnologia tem contribuído para a desvalorização 
de competências básicas de cálculo quando deveria ter acontecido o contrário pois o desenvolvimento de estratégias 
pessoais de cálculo mental permite a consolidação do sentido de número e a melhoria da capacidade crítica e de esti-
mação dos alunos. Como indica Bourdenet (2007), com o uso crescente da calculadora, perdeu- se o hábito de calcular 
mentalmente, remetendo para segundo plano a aprendizagem de competências básicas de cálculo. Os alunos têm cada 
vez menos capacidade de cálculo mental e mais dificuldade com as operações básicas. Por isso, de forma a desenvolver 
nos alunos o sentido crítico e flexibilidade nas operações com números, é preciso pensar numa aritmética que junte em 
harmonia o cálculo mental e o uso da calculadora (Ralston, 1999).
Mas o que se entende por cálculo mental?
É um cálculo efectuado exclusivamente «de cabeça» ou é possível recorrer-se ao registo escrito quando se efectua cál-
culo mental? Por exemplo, no Dicionário Enciclopédico Luso-brasileiro VI (publicação de 1991) define-se cálculo men-
tal como uma «operação aritmética, feita de memória, sem auxílio de sinais escritos» (p. 428). No entanto, para Ta-
ton (1969) o cálculo mental e escrito são semelhantes uma vez que ambos usam do mesmo encadeamento de operações 
CALCULAR DE CABEÇA OU COM A CABEÇA?
Renata Carvalho
Escola Básica Integrada Padre Vítor Melícias, Torres Vedras
2
mentais elementares. Para este autor é errado, limitar o cálculo mental a operações efectuadas de cabeça uma vez que na 
realização de operações através dos algoritmos por cálculo escrito, o cálculo mental também está presente. Este autor 
salienta ainda que o cálculo escrito executado de memória não é mais do que uma forma de cálculo mental adaptado. 
Buys (2001) e Bourdenet (2007), defendem que o cálculo mental não se deve restringir ao operar “de cabeça” mas que 
a utilização de papel e lápis para cálculos intermédios pode ser útil.
 Assim, a definição de cálculo mental não é unânime embora o «calcular com a cabeça» seja uma ideia mais forte 
do que o «calcular de cabeça» uma vez que no cálculo mental são mobilizadas estratégias que permitem rapidez e efi-
ciência na resposta, podendo, como defendem diversos autores, ser utilizado papel e lápis para cálculos intermédios.
 O cálculo mental é um importante aspecto a considerar no âmbito do desenvolvimento do sentido do número. Ma-
cintosh e Reys & Reys (1992) referem que um dos aspectos do sentido de número é a capacidade que o aluno tem em 
aplicar conhecimentos e a sua destreza com números e operações em situações de cálculo. Indicam que, para tal, deve: 
(i) compreender a relação entre o contexto do problema e o cálculo necessário; (ii) ter a noção que existem múltiplas 
estratégias; (iii) usar uma representação ou um método eficiente; e (vi) rever os dados e a razoabilidade do resultado.
Argumentos a favor do desenvolvimento do cálculo mental
A importância do desenvolvimento do cálculo mental nos alunos é referida por diversos autores. Taton (1969) salienta 
que o cálculo mental desenvolve nas crianças qualidades de ordem (pois permite a verificação das ordens de grandeza de 
alguns resultados e a rápida verificação de valores aproximados), de lógica, de reflexão e de memória contribuindo para 
a sua formação intelectual e fornecendo-lhes ferramentas para efectuarem cálculos simples sem recurso a ajuda escrita e, 
deste modo, preparando-as para o dia-a-dia. Refere ainda que, através do cálculo mental, a criança trabalha simultane-
amente a memória e a concentração, desenvolvendo a memória dos números, o que a obriga a tomar um contacto mais 
próximo com a individualidade de cada número, levando-a progressivamente a empregar, em numerosos casos, simpli-
ficações operatórias. Para Buys (2001), o cálculo mental permite à criança calcular livremente, sem restrições, permitin-
do-lhe desenvolver novas estratégias de cálculo ou usar números de referência e estratégias que já possui. Este autor re-
fere três características importantes do cálculo mental: (i) opera com números e não com dígitos; (ii) usa propriedades 
elementares das operações e relações numéricas; e (iii) permite o recurso a registos intermédios em papel.
Aprendizagem do cálculo mental
Para ensinar crianças a calcular mentalmente é preciso saber como o fazer (Brocardo & Serrazina, 2008) de forma co-
erente e estruturada. A propósito do projecto Desenvolvendo o sentido do número: perspectivas e exigências curriculares 
estas autoras referem a importância da capacidade de calcular mentalmente, uma necessidade que surgiu naturalmente 
da prática dos professores que, ao realizarem tarefas com os seus alunos, passaram a dar mais atenção ao cálculo mental 
e a retardar a introdução dos algoritmos. Segundo as autoras, «para que os professores trabalhem de modo sistemático 
o cálculo mental, é importante clarificar como este trabalho deve ser feito e o que é de esperar que os alunos consigam 
fazer» (p. 107).
Aspectos a considerar na aprendizagem
Para Taton (1969), a primeira abordagem ao cálculo mental deve aparecer no momento em que a prática metódica das 
operações concretas leva a criança a conceber a possibilidade de resumir, com a ajuda de números abstractos, os resulta-
dos obtidos a partir de objectos de natureza diferente. Na sua perspectiva, as primeiras aulas de cálculo mental devem 
ser exercícios concretos que levem a criança a compreender a noção de número concreto e depois a de número abstrac-
to. Este autor salienta alguns aspectos importantes do cálculo mental, nomeadamente: (i) a extensão das operações que 
se podem calcular mentalmente depende em grande parte do número de algarismos que cada um poderá reter, quer 
numa só vez, quer em várias etapas relacionadas; (ii) a memória é fundamental no cálculo mental, quer facilitando al-
gumas operações pelo conhecimento de algarismos- chave, quer permitindo reter dados e diversos resultados parciais, 
de diferentes tentativas realizadas; e (iii) a habilidade de calcular mentalmente não depende somente da memória de 
3
PROFMAT2011 ACTAS
cada indivíduo, mas também do modo como sabe escolher e utilizar a técnica operatória mais apropriada ao problema 
que está a resolver.
 Do ponto de vista a aprendizagem do cálculo mental Buys (1992), enumera três etapas básicas pelas quais os alunos 
devem passar e em que sua aquisição é acompanhada de um aumento da compreensão dos números e das operações: (i) 
etapada partição em que os números são primeiramente vistos como objectos sobre uma linha de contagem e em que 
as operações são movimentos ao longo da linha: para a frente (+), para trás (-), ou repetidamente para a frente (x), ou 
repetidamente para trás (:). Por exemplo para resolver 325-249 o aluno vê o primeiro número como um número por in-
teiro mas o segundo é subtraído por partes (325-200=125; 125-20=105; 105-20=85; 85 -9=76); (ii) etapa de decomposi-
ção em que os números são, numa primeira fase, vistos como objectos com uma estrutura decimal e em que as operações 
são realizadas por decomposição de números baseados nesta estrutura. Para fazer a mesma operação o aluno decompõe 
ambos os números tendo em conta a sua estrutura decimal e subtrai as diferentes partes dos números (300-200=100; 
100-49=51; 51+25=76) e por fim (iii) a etapa da variação de estratégias onde o cálculo é baseado em propriedades arit-
méticas nos quais os números são vistos como objectos que podem ser estruturados de várias maneiras e em que as ope-
rações são efectuadas com recurso às propriedades apropriadas. Neste caso para a mesma operação o aluno estrutura os 
números de diferentes formas em que as propriedades das operações são usadas para subtrair os números ou para deter-
minar a sua diferença (325-200=125; 125-50=75; 75+1=76). Cada uma destas etapas pode ser usadas em diferentes ní-
veis. Num nível mais básico usando a recta numérica vazia ou dinheiro, num nível mais alto usando passos intermédios 
na linguagem aritmética ou simplesmente mental.
 Deste modo, Taton (1969) e Buys (1992) apresentam aspectos importantes a considerar na aprendizagem do cálculo 
mental. Enquanto o segundo refere etapas básicas pelas quais os alunos devem passar, o primeiro chama ainda a aten-
ção para a extensão das operações que as crianças podem realizar mentalmente e para a importância dos algarismos de 
referência. Para ambos, a utilização das propriedades das operações é fundamental para um bom cálculo mental.
Desenvolvimento do cálculo mental
Desenvolver competências de cálculo mental nas crianças não é tarefa fácil e requer intenção, método e persistência. 
Segundo Taton (1969), o ensino do cálculo mental sem método é de fraca utilidade. Na sua perspectiva, o cálculo men-
tal é um complemento ao cálculo escrito e deve ser ensinado metodicamente e com regularidade, com lições frequentes 
mas breves, para que as aptidões de cálculo se mantenham. Para o autor, a explicação e prática não devem durar mais 
de 10 minutos, pois obriga a uma atenção sustentada e prolongada, podendo causar fadiga. Como objectivo primordial 
o cálculo mental visa melhorar a prática das quatro operações aritméticas, habituando a operar com números cada vez 
maiores com rapidez e segurança.
 Para Bourdenet (2007), trabalhar cálculo mental regularmente, permite ao aluno ser mais flexível na mudança de 
registo dos números. Por exemplo, na operação 25×0.25 considerar 1/4 em vez de 0.25. Refere ainda que nos momen-
tos de cálculo mental em sala de aula comparam-se procedimentos, reflecte-se, pensa-se, conjectura-se, analisam- se os 
erros, desenvolve-se o sentido crítico e promove-se intenso debate, fundamental para o estabelecimento de conexões 
entre aprendizagens matemáticas. Este autor enfatiza a importância da discussão do cálculo e do erro com toda a turma 
como forma de aprender, uma vez que o momento de correcção repetido com regularidade e contemplando diferen-
tes procedimentos possíveis promove uma aprendizagem mais sólida de certos saberes e permite uma manutenção dos 
conhecimentos, em que cada noção pode ser regularmente revista e repensada. Salienta ainda a importância da lingua-
gem natural na análise e identificação do erro. O mesmo autor, de acordo com as indicações que constam do programa 
de Matemática em França, refere que os alunos quando efectuam cálculo mental devem, por exemplo: (i) usar aprendi-
zagens adquiridas com números inteiros para transpor para os números decimais; (ii) usar a propriedade associativa e 
distributiva; (iii) usar a relação entre as operações inversas; (iv) trabalhar com números decimais e fazer a ligação com a 
representação em fracção (pois isso permite consolidar o trabalho com estes números e dar sentido à utilização dos nú-
meros decimais); (v) passar de decimais a fracções; (vi) completar fracções, podendo escrever sete em quartos ou cinco 
em terços ou ainda (vii) transformar decimais em fracções, ou usar o produto de dois inteiros em vez de decimais e di-
vidir por 100.
 Enquanto Taton (1969) valoriza a aprendizagem regular e metódica do cálculo mental com vista à melhoraria do 
trabalho com as quatro operações, Bourdenet (2007) realça o desenvolvimento de capacidades transversais como a co-
4
municação, o reflectir, o conjecturar, o analisar e o ser crítico, enfatizando igualmente os benefícios para a consolidação 
de aprendizagens e estabelecimento de conexões.
 Calcular mentalmente envolve procedimentos pessoais em que cada estratégia é pensada e utilizada tendo em conta 
os números com que se está a trabalhar (Wolman, 2006) e os conhecimentos de cada um possui. Nos primeiros anos de 
escolaridade, os alunos começam por trabalhar estratégias de cálculo mental com números naturais e ao longo da sua 
vida escolar vão transferindo conhecimentos de um conjunto numérico para outro, ampliando e relacionando procedi-
mentos. Ribeiro, Valério e Gomes (2009), sugerem numa brochura publicada pela Escola Superior de Educação de Lis-
boa (ESELx), algumas tarefas para trabalhar cálculo mental, essencialmente com números naturais: tarefas que envol-
vam contagens; cadeias de números; sequências de números; número do dia e jogos. São tarefas realizadas num curto 
espaço de tempo, onde a comunicação matemática está muito presente pois a discussão de ideias é fundamental para a 
ampliação de conhecimentos sobre os números.
Cálculo mental na sala de aula
O cálculo mental deve estar presente na sala de aula diariamente. A realização de cinco cálculos em cada início de aula, 
para resolver em 5 minutos é suficiente para, de forma sistemática, levar os alunos a apropriarem-se de estratégias de cál-
culo. Este tempo, que por vezes se julga perdido, é ganho mais tarde pois muitas noções são consolidadas ou introdu-
zidas através da discussão do erro a de estratégias de cálculo que eles usam. Para além de se poder dedicar um momento 
específico da aula ao desenvolvimento de estratégias de cálculo mental é importante não esquecer que toda a aula é um 
contexto propício ao desenvolvimento do cálculo mental onde o professor tem um papel importante na sua integração 
quer na resolução de problemas quer em momentos onde este se torna mais rápido que o cálculo pelo algoritmo usual 
ou possa auxiliar os alunos na critica a um resultado ou num cálculo aproximado.
No conjunto dos números racionais não negativos, o desenvolvimento de estratégias de cálculo mental pode ser uma 
mais-valia para a compreensão destes números, facilitando a sua utilização em contextos diversos. Wolman (2006), re-
fere que o cálculo mental com fracções e números decimais pode ser desenvolvido diariamente quando os alunos com-
param fracções/decimais, trabalham com fracções equivalentes e realizam operações.
Estratégias de cálculo mental
Cálculo mental com números naturais
Ribeiro et al. (2009) sublinham que as estratégias de cálculo mental quando conhecidas, compreendidas e aplicadas 
permitem a realização eficaz e rápida de cálculo. Embora o cálculo mental permita a utilização de estratégias pessoais 
existe um conjunto de estratégias que devem ser ensinadas, discutidas e treinadas com aos alunos. Estes autores indicam 
algumas estratégias de cálculo mental a utilizar com números naturais e para as quatro operações:
Decomposição de números.—Estratégia utilizada nas quatro operações em que, por exemplo:
• na adição e subtracção opera ordem-a-ordem
 (235+462=200+400=600;30+60=90;5+2=7; 600+90+7=697)
• na multiplicação decompõe o produto em vários produtos e
• na divisão factoriza o divisor em vários factores iguais
 [4×15=2×(2×15) ou 249÷3=240÷3+9÷3]
Compensação.—Estratégia usada para a adição e subtracção em que, por exemplo se adiciona/subtrai um número próxi-
mo e ao resultado se subtrai o que se adicionou a mais ou se adiciona o que se adicionou a menos (478+98=478+100-2).
Uso das propriedades das operações.—Estratégia que envolve o uso das operações inversas, das propriedades comutativa 
e associativa na adição e multiplicação, distributiva na multiplicação, e invariância do resto na subtracção.
5
PROFMAT2011 ACTAS
Factorização.—Estratégia utilizada na divisão em que se factoriza o divisor. Por exemplo, na operação 150÷4, calcula-
se 150÷2÷2.
Subtracções sucessivas.—Estratégia usada na divisão em que no caso de 20÷4, se vai subtraindo sucessivamente o núme-
ro quatro, quatro vezes e se obtém o resultado 5.
Cálculo mental com números racionais não negativos
Caney e Watson (2003) estudaram as estratégias de cálculo mental com números racionais dos alunos. As autoras re-
alçam a importância de perceber a relação entre diferentes representações de um número racional para que se consiga 
desenvolver o cálculo mental com números racionais. Neste estudo, algumas das estratégias utilizadas pelos alunos pas-
sam por usar uma regra anteriormente memorizada e colocar de forma sequencial uma combinação de estratégias, por 
exemplo transformar decimais em fracções para construir o todo. Estas autoras referem onze estratégias usadas pelos 
alunos: mudança de operação; mudança de representação; utilização de equivalências; utilização de factos conhecidos; 
repetição da operação adição/multiplicação; estabelecimento de ligações; trabalho com partes de um segundo número; 
trabalho da esquerda para a direita; utilização de imagens mentais e utilização de regras memorizadas:
Mudança de operação.—Esta estratégia consiste na transição entre operações inversas. Mudança de representação. Uti-
lização das diferentes representações de um número racional (fracção, decimal, percentagem) ou de números inteiros 
referentes a 10/100 em que, por exemplo na operação, 0,19+0,1 se considera 0,19 como 19 e 0,1 como 10. 
Utilização de equivalências.—Utilização de representações equivalentes, por exemplo na operação 3/4-1/2 a fracção é 
reconhecida como2/4.
Utilização de factos conhecidos.—Os alunos fazem algumas correspondências com o que já sabem. Por exemplo, no cál-
culo de 10% de 45, usam o conhecimento que têm sobre 10% para retirar primeiro 10% de 40 e depois 10% de 50.
Repetição de operações.—Os alunos efectuam adições/multiplicações sucessivas ou utilizam dobros e metades. Para cal-
cular 4×(3/4) multiplicam a fracção duas vezes e novamente duas vezes e no cálculo de 25% de 80, calcula a metade de 
80 e depois novamente a metade da metade anterior.
Estabelece ligações.—Os alunos estabelecem ligações entre números. Por exemplo, para adicionar 6,4 com 1,9 conside-
ram 1,9 como 2.
Trabalho com partes de um segundo número.—Os alunos utilizam várias estratégias. Para calcular 10% de 45 fazem a di-
visão pelo valor posicional, dividindo 40 por 10 e posteriormente 5 por 10 ou dividem os números em partes sendo que 
0,5+0,75 pode ser visto como 0,5+0,5+0,25.
Trabalho da esquerda para a direita.—Operam primeiro com a parte inteira e só depois com a parte decimal (4,5-3,3 cal-
cula 4-3=1 e depois 0,5-0,3=0,2) ou dividem o número por valor posicional apenas após a vírgula, trabalhado primeiro 
com as décimas e depois com as centésimas.
Utilização de imagens mentais.—Os alunos constroem mentalmente representações pictóricas especialmente de frac-
ções e operam adicionando ou retirando partes ou usam formas mentais de algoritmos em que operam visualizando 
mentalmente o algoritmo.
Mobilização de regras memorizadas.—Os alunos utilizam regras de cálculo memorizadas anteriormente e aplicam rapida-
mente um procedimento de cálculo, Por exemplo para efectuarem 1,2×10 basta deslocar a vírgula uma casa para a direita.
6
Cálculo mental com alunos do 5.o ano de escolaridade
Uma experiência com cálculo mental na sala de aula
Durante o 3.º período do ano lectivo de 2010/2011 realizei seis sessões de cálculo mental com duas turmas do 5.o ano de 
escolaridade. O propósito deste estudo era promover o desenvolvimento de estratégias de cálculo mental quer em con-
texto matemático quer em contexto de resolução de problemas e (i) perceber que estratégias privilegiam e que dificul-
dades evidenciam os alunos quando calculam mentalmente e (ii) compreender como estes desenvolvem estratégias de 
cálculo mental com números racionais não negativos.
 Semanalmente, numa das aulas de Matemática realizaram-se sessões de aproximadamente 15 minutos repartidas por 
dois momentos semelhantes. Primeiro, durante cerca de 2 minutos os alunos realizaram cincos cálculos temporizados 
(15 segundos para efectuar cada operação), envolvendo operações simples e orientados para a aquisição de estratégias de 
cálculo mental com números racionais (adição, subtracção e cálculo de percentagens) e de seguida discutiram em gran-
de grupo as estratégias usadas e os erros cometidos. Num segundo momento este processo era repetido com resolução 
de mais cinco cálculos seguidos de discussão em grande grupo.
 A última sessão foi destinada à resolução de pequenos problemas envolvendo números racionais não negativos onde 
as estratégias possíveis de serem mobilizadas estavam de acordo com o trabalho realizado nas cinco sessões anteriores. 
No final e inicio de cada sessão, as estratégias usadas nas sessões de cálculo mental eram relembradas em grande grupo.
Tarefas, estratégias e erros dos alunos.
Esta experiência com cálculo mental na sala de aula consistiu em promover sessões destinadas ao desenvolvimento inten-
cional de estratégias de cálculo mental. Foram realizados dois tipos de jogos o Pensa Rápido! e o Número desconhecido, 
projectados em Powerpoint com questões temporizadas. As primeiras duas sessões contemplavam adição e subtracção 
de fracçõs, as duas sessões seguintes adição e subtracção de números decimais, a quinta sessão aplicação de percentagens 
e a última sessão resolução de problemas envolvendo estas três representações dos números racionais.
 A tabela 1 mostra exemplos de algumas tarefas realizadas ao longo das sessões, estratégias mais usadas pelos alunos e 
alguns dos erros cometidos nas operações com números racionais não negativos.
O conjunto de tarefas, das quais se apresentam alguns exemplos, foi pensado em função das estratégias que se pretendia 
desenvolver com os alunos. As estratégias mais comuns foram a utilização de factos conhecidos onde se incluem apren-
dizagens adquiridas aquando da abordagem dos números racionais não negativos como é o caso do conhecimento de 
Tabela 1.—Tarefas, estratégias e erros dos alunos no cálculo mental 
com números racionais não negativos
7
PROFMAT2011 ACTAS
números de referência e suas diferentes representações (1/2=0,5=metade ou 1/4=0,25=metade de metade), utilização 
da operação inversa, mudança de representação de fracção para decimal e vice-versa e de percentagem para fracção ou 
decimal e utilização de representações pictóricas, principalmente no trabalho com metades e quartos.
 Alguns dos erros dos alunos têm origem na falta de concentração/atenção e na falta de sentido de número que os 
leva a não considerar por exemplo o valor posicional dos algarismos ou a relação parte-todo. Outro aspecto que, no iní-
cio do estudo, pode ter estado na origem de alguns erros foi a falta de tempo para pensar uma vez que este trabalho era 
algo novo para os alunos. Esta conclusão advém do facto de alguns alunos, na discussão, referirem que tinham a respos-
ta errada mas que sabiam resolvê-la correctamente, explicitando de forma correcta como o deveriam terfeito.
 No cálculo mental em contexto de resolução de problemas os alunos manifestaram dificuldades em mobilizar estra-
tégias utilizadas com frequência no cálculo mental em contextos matemáticos, o que pode ter acontecido por este tipo 
de tarefa não ser realizada com a frequência que foram as de contexto matemático, ou porque só por si, a inclusão de 
texto para interpretar pode ser um factor de dificuldade.
 Ao longo das sessões foi notória a rapidez com que alguns alunos respondiam às questões e a forma como comuni-
cavam as estratégias utilizadas fazendo conexões com outras tarefas já realizadas ou com exemplos por eles criados. Esta 
experiencia com cálculo mental com números racionais não negativos, realizado de forma sistemática permitiu desen-
volver nos alunos estratégias de cálculo com base em conhecimentos que já possuíam, aquisição de novas estratégias 
através da discussão em grande grupo, consolidação de aprendizagens pré-aquiridas e capacidade para comunicar ma-
tematicamente.
Conclusão
Nos últimos anos o trabalho com cálculo mental nas escolas portuguesas tem tido pouca visibilidade, privilegiando-se 
o trabalho com algoritmos. Actualmente, os currículos de Matemática de países como Argentina, Inglaterra, Holan-
da, França e Portugal enfatizam o desenvolvimento de estratégias de cálculo mental e das capacidades de estimar e de 
resolver problemas, desvalorizando a importância de cálculos longos e complexos de papel e lápis. Saber calcular men-
talmente é uma capacidade que se deveria considerar básica, não só ao nível das aprendizagens escolares mas também 
ao nível da vida quotidiana. É preciso repensar a importância do cálculo mental na vida de todos nós e perceber qual o 
papel da escola e dos professores no desenvolvimento desta capacidade.
 O actual programa de Matemática constitui uma boa oportunidade de mudança e de renovação de práticas profis-
sionais tendo em vista desenvolver, em contextos diversos, estratégias de cálculo mental nos alunos para que possam ser 
críticos e façam as suas opções de forma rápida e eficaz.
Referências
Caney, A., & Watson, J. M. (2003). Mental computation strategies for part-whole numbers. AARE 2003 Conference papers. 
International Education Research Conference. Auckland, New Zealand.
Bourdenet, G. (2007). Le calcul mental. Activités mathématiques et scientifiques (n.o 61, pp. 5–32.). Strasbourg: IREM.
Brocardo, J., & Serrazina, L. (2008). O sentido do número no currículo de Matemática. In J. Brocardo, L. Serrazina e I,. Rocha 
(Eds.), Sentido do número: Reflexões que entrecruzam teoria e prática (pp. 97–115). Lisboa: Escolar Editora.
Buys, K. (2001). Mental arithemetic. In M. Heuvel-Panhuizen (Ed), Children learn mathematics (pp. 121-146). Utrecht:: 
Freudenthal Institute (FI), Utrecht University & National Institute for Curriculum Development (SLO).
McIntosh, A., Reys, B. J., & Reys, R. E. (1992). A proposed framework for examining basic number sense. For the Learning of 
Mathematics, 12(3), 2–8 & 44.
Ralston, A. (1999). Let’s abolish pencil-and-paper arithmetic. Journal of Computers in Mathematics and Science Teaching, 18(2), 
173–194.
Ribeiro, D., Valério, N., & Gomes, J. (2009). Cálculo mental. Programa de formação contínua em Matemática para professores do 
1o e 2o Ciclos. Escola Superior de Educação de Lisboa.
8
Taton, R. (1969). O cálculo mental (Tradução M. A. Videira). Lisboa: Arcádia.
Wolman, S. (coord) (2006). Apuntes para la enseñanza matemática: Calculo mental con números racionales. Buenos Aires: 
Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires, Secretaria de Educatión, Dirección General de Planeamento, Dirección de 
Curricula.