Tese de doutorado de Andreia Oliveira artigo ingles 2 (1)

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PROFESSORES COMPREENDENDO E LIDANDO COM TENSÕES EM
ARTIGO 3
MODELAGEM MATEMÁTICA NAS PRÁTICAS PEDAGÓGICAS:
DISCURSO
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MODELAGEM MATEMÁTICA NAS PRÁTICAS PEDAGÓGICAS: COMPREENSÃO DOS PROFESSORES E
LIDAR COM TENSÕES EM DISCURSO
Könings, Brand-Gruwel e Merriënboer (2007) argumentaram que os professores têm um papel crucial
Estudos têm discutido o papel das conexões na vida cotidiana no ensino nas escolas,
RESUMO Como os professores entendem e lidam com as tensões nos discursos quando implementam a 
modelagem matemática em suas práticas pedagógicas? Esta questão é discutida -
por ajudar os alunos a usar a matemática para resolver problemas reais (Blum, Galbraith, Henn & Niss,
papel na interpretação das inovações e sua tradução para a prática educacional. Os resultados
utilizando o referencial teórico de Bernstein – baseado num estudo de três professores do ensino inferior
2007, Gainsburg, 2008). Como consequência, o uso dessas conexões pode contribuir para
deste estudo indicou que os professores tendem a implementar inovações de acordo com suas
Os procedimentos utilizados para a coleta de dados foram observações realizadas por meio de gravações de 
aulas, entrevistas após cada aula e narrativas dos professores sobre suas aulas. Neste artigo, mostraremos 
como os professores compreenderam e lidaram com duas tensões nos discursos: a tensão das situações 
inesperadas e a tensão da abordagem do conteúdo matemático. Os resultados sugeriram que os professores 
compreenderam que a tarefa de modelar exige a produção de um texto legítimo para desenvolver em suas 
práticas pedagógicas. Para lidar com as tensões nos discursos, os professores desenvolveram ações específicas: 
buscar diretrizes para saber como conduzir a modelagem matemática em sala de aula, enquadrar a tarefa de 
modelagem como tarefa da escola
ensino médio de escolas públicas brasileiras. A natureza da pesquisa é qualitativa.
fazer com que os alunos compreendam os papéis que a matemática desempenha na sociedade (Barbosa, 2006;
próprias abordagens de ensino. Como resultado, Remillard (2005) apontou que o uso de
e decidir como trabalhar o conteúdo matemático. Como resultado, as tarefas de modelagem trazem demandas 
aos professores: lidar com situações inesperadas e abordar os conteúdos matemáticos (anteriores e novos).
Skovmose, 2005). Apesar de pesquisas apoiarem a importância de conectar escolas
matemática para situações cotidianas ou de outras disciplinas escolares, ainda há uso limitado de tais
inovações nas práticas pedagógicas dos professores é influenciada por suas experiências, crenças e
PALAVRAS-CHAVE: Educação Matemática; Modelagem Matemática; Prática Pedagógica;
conexões da vida cotidiana em vários níveis de escolaridade (Niss, Blum & Galbraith, 2007, Kaiser
Professores; Tensões nos discursos.
e Maaÿ, 2007, Gainsburg, 2008). O estudo de Gainsburg (2008) apontou que os professores só
1. Introdução
fazer breves conexões com a vida cotidiana para abordar um determinado tema matemático.
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no referencial teórico de Bernstein. Definimos discurso como um texto oral ou escrito produzido
onde os alunos são obrigados a abordar problemas de disciplinas diárias ou científicas
conhecimento para ensinar modelagem (Doerr & English, 2006, Doerr, 2006, 2007), sala de aula
as condições sociais proporcionadas aos alunos para o desenvolvimento de algumas atividades (Skovsmose,
Após essas discussões, como os professores têm implementado a modelagem em suas práticas pedagógicas?
pergunta: Como os professores entendem e lidam com as tensões nos discursos quando implementam
sala de aula? No entanto, a evidência empírica sobre as práticas pedagógicas dos professores em matemática
Para investigar essa questão, examinamos as práticas pedagógicas de três professores
acontecem em um determinado contexto social para a reprodução-produção cultural. Em um contexto escolar, é
situações das disciplinas é uma tarefa de modelagem matemática.
conexões na sala de aula. Definimos modelagem matemática como um ambiente de aprendizagem
aprendizagem de determinados conteúdos.
que a modelagem matemática exige ações específicas de alunos e professores para abordar
os professores implementam modelagem matemática em ambientes escolares.
situações, através da matemática (Barbosa, 2003, 2006). Por ambiente de aprendizagem, queremos dizer
atividades e padrões de tipo de ensino por meio de modelagem (Antonius et al., 2007). A respeito de
por um indivíduo em um contexto social específico. Este estudo foi norteado pela seguinte pesquisa
nos discursos dos professores: como eles os compreenderam e lidaram com eles quando implementaram
2005), interpretações do pensamento matemático dos alunos (Doerr, 2006), o pedagógico
modelagem matemática em suas salas de aula por meio de uma análise dos discursos dos professores com base
2001). O problema que os alunos são solicitados a formular e/ou resolver a partir da vida diária ou de outros
Que dilemas ou tensões se constituem quando os professores implementam a modelagem no
modelagem matemática em suas práticas pedagógicas?
conhecimento. Bernstein (2000) define amplamente a prática pedagógica como as relações que
através da análise de seus discursos. O estudo centra-se em dois aspectos relacionados das tensões
pode ser entendida como as relações entre professores e alunos para o ensino e
Na literatura sobre modelagem matemática e professores, estudos recentes têm discutido
matemática ainda é escassa, especialmente no que diz respeito a estudos que examinam o que acontece quando
situações cotidianas em sala de aula: intervenções no processo de modelagem dos alunos (Leiß,
A modelagem matemática tem sido uma das formas de promover a vida cotidiana
Neste artigo, examinaremos as tensões nos discursos enquanto os professores implementavam
modelagem matemática em suas práticas pedagógicas.
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construído, é denominado campo de produção. O autor enfatiza que “à medida que o discurso se move
Nesta seção, a perspectiva teórica e a literatura sobre modelagem matemática
e específico. O segundo discurso denominado discurso vertical é definido como uma forma de
2000) a teoria é empregada para destacar as tensões nos discursos dos professores e para compreender
ciências naturais) ou uma forma de uma série de linguagens especializadas com critérios especializados para o
lugar” (2000, p. 32). Como é produzido o discurso pedagógico? Este discurso é apropriado
envolvem a relação entre matemática (discurso vertical) e situações cotidianas (discurso horizontal
campo recontextualizador. Sua função é recontextualizar discursos do campo da
considerações teóricas para enquadrar a questão de pesquisa, metodologia e contexto,
(o que eles fazem) tensões nos discursos enquanto recontextualizavam a modelagem matemática em
2. Considerações teóricas
discursos, discussão dos resultados e, por último, um exame de suas implicações para
Bernstein (2000)distingue duas formas de discurso. O primeiro discurso nomeado
(discurso vertical).
e professores são reunidos para enquadrar a questão de pesquisa. Bernstein (1990,
conhecimento coerente, estruturado, explícito e organizado hierarquicamente (como é no
do seu local original ao seu novo posicionamento como discurso pedagógico, ocorre uma transformação
autor distingue entre um campo oficial de recontextualização criado e dominado pelo
senso. Este discurso refere-se a uma forma de conhecimento que é oral, local, tácito, dependente do contexto
um discurso de seu site original para um site pedagógico. O site original, onde o novo discurso é
como eles entendem (o ponto de vista do professor sobre o que está acontecendo) e lidam com
produção e circulação de textos (como nas ciências sociais). A modelagem matemática pode
do campo da produção e transformado em discurso pedagógico através de uma
Este artigo está dividido em cinco seções, compostas por esta introdução, um esboço do
Produção. O princípio recontextualizador cria campos e agentes recontextualizantes. O
apresentação dos dados por meio de alguns trechos selecionados a fim de mostrar tensões na vida docente
suas práticas pedagógicas.
discurso) ou matemática (discurso vertical) e situações de disciplinas científicas
o discurso horizontal é definido como o conhecimento cotidiano ou o conhecimento do comum
pesquisa e prática em modelagem matemática na educação matemática.
Bernstein (1990, 2000) usa o termo recontextualização pedagógica para o movimento de
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Problema verbal é um problema matemático, colocado por escrito ou oralmente, com um contexto realista (Gainsburg, 2008).
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contexto pedagógico. É “mais um princípio de apropriação de discursos do campo da
atividade especializada que consiste em uma série de práticas, algumas das quais empregam sofisticados
pois o texto apresentado na seção anterior é diferente do conceito de discurso pedagógico
disciplina escolar matemática tal como é definida nos documentos curriculares” (p. 194). Este processo
discursos que recontextualizou” (p. 184).
(Bernstein, 2000, p. 115).
através da recontextualização pedagógica, o discurso pedagógico se desloca seletivamente e
professores de matemática fazem em suas práticas pedagógicas e os fatores que influenciam
escritores, designers de materiais curriculares, revistas especializadas, etc. O campo da reprodução é
operada por um discurso pedagógico.
matemática, como disciplina escolar. Segundo o autor, “a matemática é uma área altamente
discursos que se deslocam do campo recontextualizador são utilizados nas escolas. Para entender
discursos que são realocados de acordo com sua própria ordem. Segundo ele, é “um princípio
discurso os coloca em uma relação especial com outros discursos para constituir seu próprio discurso.
ferramentas e sistemas de sinalização. A recontextualização de partes dessas práticas estabelece a
o que é um princípio, porque o discurso pedagógico “não pode ser identificado com nenhum dos
produção, e subordinando-os a um princípio diferente de organização e relação
conexões por meio de problemas de palavras1 , exemplos planejados ou referências durante as aulas, e
o propósito de sua transmissão e aquisição seletiva” (p. 184). A noção de discurso
regulado por discursos que já haviam sido socialmente estabelecidos e legitimados neste
envolve a seleção dessas práticas e sua realocação na matemática escolar, e é
Nesse sentido, uma vez que as situações do cotidiano são transportadas para a sala de aula pelos professores
Gainsburg (2008) concentrou-se nos tipos de conexões da vida cotidiana que secundárias
estado e um campo recontextualizador pedagógico composto por professores formadores, livros didáticos
uso de conexões pelos professores. Em relação à primeira questão, os professores tornaram a vida quotidiana
“onde ocorre a prática pedagógica nas escolas” (Bernstein, 2000, p. 113), ou seja, onde
Bernstein (1990) definiu o discurso pedagógico como um princípio para a seleção de
os reorienta de acordo com as regras da prática pedagógica. Além disso, a pedagogia
para se apropriar de outros discursos e colocá-los em uma relação especial entre si para
processo de recontextualização pedagógica, usaremos a descrição de Jablonka (2007) de
ordem. Assim, o movimento das situações do cotidiano para a prática em sala de aula é
projetos. Ele ressaltou que o principal objetivo dos professores quando utilizam os recursos da vida cotidiana
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de fazer os alunos compreenderem o problema, encontrarem um modelo apropriado para a situação e
horário de aula. Assim, a forma como os professores do estudo de Gainsburg (2008) encaravam a vida quotidiana
conexões da vida para abordar o conteúdo matemático.
discursos de acordo com seu próprio princípio. Segundo Bernstein (1990), “no processo de
implementação da modelagem na prática pedagógica (Doerr & English, 2006, Doerr, 2006,
provocou alguma mudança na relação pedagógica entre professores e alunos.
maneiras pelas quais os professores identificaram, interpretaram e responderam ao trabalho dos alunos com modelagem
modelagem por meio de programas de formação de professores (em serviço ou pré-serviço), pesquisas
professores influenciados foram a motivação dos alunos para a compreensão matemática
de uma prática real para uma prática virtual ou imaginária” (p. 184). Como resultado, Bernstein
conexões em suas práticas residem na necessidade de mais recursos e ideias, e na limitação
alunos sobre a utilidade da matemática em suas vidas.
identificado com qualquer um dos discursos recontextualizados. Professores no estudo de Gainsburg (2008)
diversidade de maneiras de pensar dos alunos. As ações dos professores apoiaram o envolvimento dos alunos em
situações para suas salas de aula, mostra que o discurso pedagógico deslocou e realocou essas
Estudos empíricos sugeriram que os professores desempenham um papel crucial na garantia da
refletir sobre o modelo. Esses resultados significam que a promoção da modelagem em sala de aula tem
campos recontextualizantes, como nomeado por Bernstein (2000). O discurso sobre modelagem, que é
conexões da vida cotidiana em suas salas de aula. Uma das adaptações foi usar no dia a dia
os resultados do estudo de Leiß (2005) apontaram que as intervenções dos professores foram importantes em termos
a deslocalização e a deslocalização do discurso original estão sujeitas a uma transformação que o transforma
2007). Nos termos de Bernstein, são agentes chave de recontextualização. Doerr (2006) examinou o
No Brasil e em muitos países, os professores tiveram contato com a matemática
conexões é abordar conteúdos de matemática. Quanto à segunda questão, os fatores que
resultados da comunidade de educação matemática, conferências, que são pedagógicas
conceitos, mostrando aos alunos a importância da matemática no mundo e convencendo
(2000) argumentaram que o discurso pedagógico é um princípio recontextualizador e não pode sertarefas. Os resultados sugeriram que os professores desenvolvem esquemas sofisticados para compreender o
Por outro lado, as razões pelas quais os professores não têm aproveitado mais a vida quotidiana
foram agentes do campo recontextualizador pedagógico e fizeram adaptações ao lugar
a tarefa e os levou a revisar e refinar seu próprio pensamento matemático. Da mesma forma, o
movidos pelos professores de um campo pedagógico recontextualizador para a sala de aula (definida como um
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conhecimento significa saber como os professores interpretam suas práticas pedagógicas em sala de aula,
(2000) isolamento. Por outro lado, o enquadramento regula as relações dentro de um contexto. Isso se refere a
distinto de outros, e ensinado de uma forma onde há ênfase em habilidades especializadas” (p.
controle da comunicação (seleção, sequenciamento, ritmo e critérios) nas relações pedagógicas,
nos fornece a forma de realização desse discurso” (Bernstein, 2000, p. 12).
são precisamente as interpretações do professor sobre uma situação que influenciam quando e por que, bem como
sala de aula? Como os professores têm colocado isso no contexto escolar? Usamos o mencionado
dilemas e incertezas enquanto implementavam a modelagem em sala de aula (Doerr &
modelagem matemática.
estabelecer regras de reconhecimento que regulam quais significados são relevantes em um contexto e enquadramento
entre categorias que são mantidas por relações de poder. Este espaço é nomeado por Bernstein
e controle (enquadramento) na prática pedagógica. A classificação incorpora relações de poder
texto legítimo para este contexto.
práticas pedagógicas. Em particular, como compreendem e lidam com as tensões enquanto
diferentes formas de legitimação da comunicação em qualquer prática pedagógica. Enquadramento refere-se a
29). Em suma, “a classificação fornece-nos os limites de qualquer discurso, enquanto o enquadramento
e como e quando essas interpretações influenciam as decisões e ações na sala de aula. "Isto
Blomhøj e Kjeldsen (2006): a compreensão das fases do processo de modelagem a partir
discurso com forte classificação e enquadramento, porque “muitas vezes é ensinado como uma disciplina bastante
Doerr (2006) e Doerr e English (2006) argumentaram que a compreensão
como por exemplo, entre professor e alunos. Segundo Bernstein (2000), classificação
Seguindo Bernstein (2000), o que acontece quando a modelagem matemática é movida para o
o que é que o professor faz” (Doerr, 2006, p. 5). Estudos empíricos têm discutido a
campo da reprodução) é um discurso especializado, denominado por Barbosa (2006) escola
contente; o objetivo da modelagem como um objetivo educacional ou como um meio para motivar e
Inglês, 2006, Blomhøj & Kjeldsen, 2006). Alguns dilemas dos professores foram apontados por
Bernstein (1990, 2000) usa dois conceitos para enfatizar as relações de poder (classificação)
estabelecer regras de realização que regulam como os significados devem ser reunidos para criar o
conceitos para entender como os professores recontextualizaram a modelagem matemática em seus
entre diferentes categorias, como por exemplo, tipos de discursos. É definido pelo espaço
Lerman e Zevenbergen (2004) argumentaram que a matemática escolar é uma área especializada
promover a modelagem na sala de aula.
um ponto de vista holístico ou como parte interna do processo de modelagem para trabalhar a matemática
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investigação e discurso de avaliação.
novo discurso na prática pedagógica.
enquadramento (como pode ser dito) na aula de matemática.
O isolamento suprime dilemas, contradições e tensões que possam ser identificadas no
discursos presentes na prática pedagógica e um novo discurso abordado na modelagem
processo, pois levar situações cotidianas ou outras matérias escolares para a sala de aula envolve
compreender como os professores recontextualizam a modelação matemática nas suas práticas pedagógicas.
apoiar a aprendizagem da matemática pelos alunos; e como desenvolver a autonomia dos alunos
(2002) interpretaram tensões entre o discurso da investigação matemática e o discurso da
de classificação e enquadramento, porque outros discursos são movidos para a sala de aula para resolver
quando os professores desenvolveram modelagem para descrever e prever um fenômeno físico durante um
Doerr e English (2006) identificaram a incerteza dos professores sobre como os alunos podem desenvolver
comunicação legítima para lidar com os problemas da vida cotidiana, modificando o controle
experiência pessoal (discurso horizontal) com o fenômeno, matemática (discurso vertical
Assim, essas contradições também se referem a espaços entre o discurso da matemática
modelo pelos professores. Estas tensões podem ser entendidas em termos de uma recontextualização
andando? Como avaliar? Assim, dilemas e tensões representam o isolamento entre
promovendo a modelagem e sua prática pedagógica. Constituiu uma espécie de tensão entre como
Com base na teoria de Bernstein, utilizamos a expressão tensões nos discursos para
atravessando o isolamento entre o seu lugar original e o lugar pedagógico. Como resultado, tal
o problema. Esses dilemas e incertezas podem ser vistos como resultados da tentativa de estabelecer uma
tarefas. Como consequência, pode modificar os valores de classificação (o que pode ser dito) e
Carrejo e Marshall (2007) examinaram tensões ou conflitos cognitivos que ocorreram
Nos termos de Bernstein, a modelagem matemática em sala de aula pode significar o enfraquecimento
discursos dos professores em sua prática pedagógica. Da mesma forma, Morgan, Tsatsaroni e Lerman
ao trabalhar com projetos.
os problemas investigados pelos alunos. Como resultado, a modelagem requer diferentes formas de
programa de formação de professores em serviço. Os resultados deste estudo apontaram tensões entre
avaliação em termos das contradições em relação aos diferentes modos de prática pedagógica.
para desenvolver a tarefa e a incerteza de quais soluções os alunos podem desenvolver para resolver
sobre comunicação: Como selecionar os conteúdos? Como sequenciar as ações? O que é
soluções matematicamente viáveis. Esta incerteza está relacionada com a ação legítima do professor em
discurso) e física (discurso vertical) no processo de elaboração do matemático
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contradições, clivagens e dilemas que ocorrem nos momentos específicos do processo pedagógico
ser dito) e enquadramento (como pode ser dito) em uma aula de matemática.
isto. A expressão tensões nos discursos tem origem na descontinuidade entre
processo, para o contexto escolar. Esses discursos circulantes são socialmente posicionados e
Assim, as tensões nos discursos podem ser identificadas quando há características de
que as tensões nos discursos são socialmente organizadas. As tensões nos discursos são constituídas
As tensões nos discursos são manifestadas pelos professores através de contradições, clivagens e
Em nosso estudo, discutimosa noção de “tensões nos discursos” como ponto de partida para
processo de recontextualização, porque levar um novo discurso para a sala de aula envolve atravessar o
pode ser dito em sua prática pedagógica enquanto recontextualizam a modelagem matemática
a prática pedagógica e o discurso sobre modelagem matemática). “A classificação
discurso pedagógico, apresentando uma descontinuidade em relação aos discursos presentes no
Evans, Morgan e Tsatsaroni (2006) usaram “emoções” como categoria para entender
prática pedagógica. Essa descontinuidade se manifesta nos discursos dos professores por meio
sendo constituída por relações de poder e identidade social. De maneira semelhante, poderíamos dizer
posicionado na prática pedagógica.
inerentes ao princípio de uma classificação são suprimidos pelo isolamento” (Bernstein, 2000, p.
prática que mostra as tensões em discursos que são denominados situações de tensão.
através do contato entre discursos que são movidos, através de uma recontextualização pedagógica
processo de recontextualização. Como resultado, poderá alterar os valores de classificação (o que pode
discursos consolidados e legitimados na prática pedagógica e um discurso trazido para
discursos e um novo discurso colocado pelo discurso pedagógico, quando os professores decidem o que
Isso significa que as tensões nos discursos podem ser interpretadas em termos de uma
legitimada (ou não) no meio social, neste caso, na prática pedagógica.
dilemas que se constituem por causa do espaço entre categorias (discursos presentes em
isolamento entre o seu local original e um local pedagógico. Este novo discurso é posicionado por
e como isso pode ser dito.
capturar a descontinuidade entre os discursos legítimos e um novo discurso colocado no
7). Nesse sentido, o discurso sobre modelagem é transferido para a sala de aula por meio de uma abordagem pedagógica
prática pedagógica. Esta descontinuidade é justificada pelo isolamento entre os discursos que são
princípio cria a ordem, e as contradições, clivagens e dilemas que necessariamente
ações matemáticas dos alunos. Eles consideravam as emoções fenômenos socialmente discursivos,
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A pesquisa “Modelagem matemática, professores e tensões” foi registrada no Comitê de Ética em Pesquisa da Universidade 
Estadual de Feira de Santana sob protocolo nº 057/2006 (CAAE – 0053.0.059.000-06) em junho de 2006.
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3. Método
coletar os dados em suas salas de aula.
O foco específico deste artigo é analisar como os professores compreenderam e lidaram com
estávamos terminando um programa de treinamento em serviço para professores de matemática não certificados na
tensões nos discursos quando implementaram a modelagem matemática em suas
Universidade Estadual de Feira de Santana, Bahia, Brasil. Ainda é comum que não certificados
Os professores que desenvolveram suas aulas de modelagem baseada foram Boli, Maria e
práticas. Nesta seção, as tarefas de modelagem desenvolvidas pelos professores serão descritas como
os professores lecionam nas escolas, devido à falta de professores nos sistemas educacionais brasileiros.
Vitória (pseudônimos escolhidos para eles). Cada um deles leciona há mais de 14
3.1 Ambiente e participantes
O primeiro autor deste artigo foi professor durante dois semestres em dois cursos sobre
bem como a justificativa para a coleta e análise de dados.
anos em escolas públicas com turmas de alunos desfavorecidos. Duas lições das cinco
Este estudo baseia-se em dados de uma pesquisa mais ampla2 que investigou as tensões no
modelagem matemática neste programa. Nesses cursos, esses professores e seus colegas
engajado na abordagem de problemas a partir de situações cotidianas e no desenvolvimento de modelagem
foram reservadas aulas de matemática para o desenvolvimento das tarefas de modelagem por semana. Cada lição
discursos dos professores quando implementaram a modelagem matemática em suas
projetos por conta própria, bem como no desenvolvimento de modelagens em suas salas de aula. Nós
durou cinquenta minutos. Os professores organizaram o ambiente de modelagem de acordo com o que
práticas. O contexto é a primeira experiência de modelagem de três escolas de nível secundário inferior
selecionaram esses professores para este estudo devido à sua vontade de participar do
Barbosa (2003) chama de Caso 2; em outras palavras, os professores apresentam um problema e os alunos devem
coletar dados e investigá-los. No entanto, elaboraram algumas tarefas enquadradas no Caso 1
professores de escolas públicas do Nordeste do Brasil. Durante a coleta de dados, esses professores
pesquisar. Solicitamos autorização (Termo de Consentimento Livre e Conhecido) aos professores para
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conteúdos matemáticos são aplicados na vida cotidiana”
Maria desenvolveu um
semana durante oito semanas, entre agosto e novembro de 2006 para isso. Ela organizou em
trabalhando em grupo, os alunos obtendo informações para resolver o problema, definindo as famílias
como discutir o tema, apresentar um problema, alunos trabalhando em grupos, alunos recebendo
(Barbosa, 2003), durante o desenvolvimento do ambiente de modelagem. Em seguida, eles apresentaram
informações, analisando tabelas, fazendo cálculos e comparações.
grau) no nível secundário inferior. Ela
despesas, estudantes obtendo informações, estabelecendo os produtos e quantidades de um produto básico
A aula foi organizada em pequenos grupos de alunos, que resolveram as tarefas atribuídas por estes
de bens"
práticas pedagógicas para facilitar a aprendizagem da matemática pelos alunos”
disse que ela fez a tarefa de modelagem porque queria que “os alunos entendessem como
3.2 Coleta e análise de dados
durante dez semanas, entre agosto e outubro de 2006. Organizou-o em algumas fases, como
Boli implementou a modelagem em duas turmas (9º ano) do ensino médio.
introduzindo um problema, definindo os produtos e quantidades de uma cesta básica, os alunos
intitulado “O salário mínimo e o custo de vida de uma família”. Ela reservou duas aulas por
algumas fases, como discutir o tema, apresentar um problema, definir as famílias
despesas, fazendo cálculos e comparações e desenhando gráficos.
matemática em situações cotidianas”
Maria implementou modelagem em uma turma (6
. Boli desenvolveu uma tarefa de modelagem intitulada “Cesta básica
.
cesta de mercadorias, coletando dados, fazendo cálculos e comparações, elaborando tabelas.
alguns problemas com dados quantitativos e qualitativos e os alunos os resolveram. Cada professor
. Ele reservou duas aulas por semana durante oito semanas, entre agosto e
. Vitória desenvolveu uma tarefa de modelagem
explicou que “é importante que os professores introduzam a modelagem matemática em seus
Vitória implementou modelagem em uma turma (8ª série) do ensino médio. Ela
Ele justificou o uso da modelagem para fazer os alunos “compreenderem a presença de
Outubro de 2006 para isso. Organizou a modelagem em algumas fases como discussão do tema
professores.
tarefa de modelagemintitulada “Analisando contas de água”. Para isso, ela reservou duas aulas por semana
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3
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“Compreender a presença da matemática em situações diárias”.
5 “É importante que os professores introduzam modelagem matemática em suas práticas pedagógicas para facilitar
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Para evitar repetições, utilizamos o termo “cesta básica” como abreviação de “cesta básica de bens”.
aprendizagem dos alunos em matemática”.
“Para os alunos compreenderem como os conteúdos matemáticos são aplicados na vida dária”.
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compreender o problema da pesquisa integrando os resultados na literatura e em
cada lição que foi levada para análise. Neste artigo, usamos dados de entrevistas para mostrar
teoria fundamentada (Charmaz, 2006) que se refere à elaboração de códigos e categorias do
prática pedagógica, a fim de verificar como os professores entendiam e lidavam com
(professor e alunos) e apresentam discursos na prática pedagógica, bem como discursos
tensões nos discursos? Em seguida, cada trecho foi lido, linha por linha, e utilizou-se um
A pesquisa foi enquadrada segundo a perspectiva qualitativa (Denzin & Lincoln,
ÿ Terceira fase: classificação dos códigos em categorias mais gerais. Nós examinamos
neles utilizamos dados de vídeos de salas de aula, narrativas de professores e entrevistas.
ÿ Primeira fase: leitura das transcrições dos vídeos e entrevistas, bem como
tensões nos discursos quando recontextualizaram a modelagem. Cada professor foi filmado
relação para descrever o objetivo da pesquisa. Com o propósito de produzir
ÿ Segunda fase: identificação dos extratos ÿ esses extratos são fragmentos de dados do
eles. Depois disso, os classificamos em categorias gerais e pudemos
e tinha a ver com a questão de pesquisa: Como os professores entendem e lidam com
interações entre professor e alunos e essas fitas de vídeo foram transcritas. Após cada
as práticas pedagógicas dos professores foram analisadas em termos das relações entre os agentes
A teoria de Bernstein.
codificação aberta das tensões nos discursos que identificamos nas aulas de professores
desenvolvido. As entrevistas foram gravadas e transcritas. Os professores escreveram narrativas sobre
em modelagem matemática. A análise dos dados teve alguma inspiração nos procedimentos do
dados transcritos. A análise dos dados aconteceu em três fases, conforme segue:
como os professores compreendiam suas tensões nos discursos. Para identificar como eles lidaram com
essas tensões.
2005), pois seu objetivo era a análise de como os professores entendiam e lidavam com
Bernstein (2000) argumenta que os dados empíricos e a teoria devem formar uma dinâmica
narrativas dos professores sobre suas aulas.
as tensões nos discursos para interpretar como cada professor entendia e lidava com
aula, foram feitas entrevistas com cada professor que descreveu como foi a tarefa de modelagem
compreensões teóricas, baseadas nos dados coletados e orientadas pela questão de pesquisa, o
durante as aulas baseadas em modelagem. A filmagem teve como foco o professor e o
entrevistas, vídeos de aulas e narrativas de professores - que foram editadas
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4. Tensões nas aulas baseadas em modelagem dos professores
Boli estava preocupado com situações novas que aconteciam em sua prática em sala de aula e
Nesta seção, apresentamos uma análise para mostrar como os professores entenderam e
situações inesperadas aconteceram durante o desenvolvimento de cada fase. Essa tensão foi
lidou com tensões nos discursos. Primeiramente, apresentamos duas tensões em discursos que
identificado quando os professores decidiram o que poderia ser feito e como poderia ser feito. Por
também com alguns problemas que surgiram quando ele desenvolveu a modelagem. Por exemplo,
identificados nas práticas pedagógicas dos professores. Essas tensões foram categorizadas da seguinte forma: o
situações inesperadas queremos dizer as situações que acontecem e interrompem a sequência e o ritmo
os alunos tiveram dificuldades em usar alguns conteúdos matemáticos para resolver a tarefa de modelagem ou
contente. Em seguida, apresentaremos uma análise que nos permitiu chegar a categorias que
tensão das situações inesperadas e a tensão da abordagem do matemático
das aulas. Em termos da teoria de Bernstein, os professores recontextualizaram a matemática
eles fizeram cálculos errados enquanto o resolviam. Quando essas situações imprevisíveis
referem-se às práticas pedagógicas dos professores, para discutir o foco deste estudo.
modelagem em suas práticas pedagógicas e precisavam saber qual texto legítimo deveria ser
produzidos para lidar com situações inesperadas. Apresentamos uma análise de como cada
aconteceu, ele tentou fazer a mesma coisa que já fazia na sua prática pedagógica
4.1 A tensão das situações inesperadas
professor compreendeu e lidou com a tensão das situações inesperadas durante o
quando seus alunos fizeram cálculos errados. Por exemplo, ele explicou como fazer o
Os professores não esperavam que situações imprevistas acontecessem no desenvolvimento
tarefa de modelagem.
cálculo e pediu aos alunos que fizessem esses cálculos novamente. Além disso, Boli planejou
o que ele faria em cada aula e também mostrou seu plano de aula ao professor para
da tarefa de modelagem. Eles organizaram algumas fases para desenvolver a tarefa de modelagem, mas algumas
Professor Boli
saber o que poderia ser feito ou não. O extrato a seguir mostra isso:
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Apesar de reconhecer que situações inesperadas fazem parte da modelagem
aconteceu porque pela primeira vez ele desenvolveu a modelagem em sua prática pedagógica. Em
da mesma forma que vinha fazendo em sua prática pedagógica. Boli reconheceu que esses problemas
“Fico ansioso quando acontecem coisas que não planejei na aula, mas é só. Estou lendo sobre 
modelagem e é assim que acontece. Essa é a minha preocupação: “O que vou fazer?” Às vezes peço 
ajuda a você. Procuro fazer algo que aconteceu naquele momento da atividade. [...] eu anotava algumas 
coisas e perguntava para vocês, então fui ficando mais seguro. Mas, ainda assim havia aqueles 
probleminhas, porque era algo novo para mim, era diferente e eu não conseguia tirar minhas dúvidas com 
ninguém, a não ser com você. [...] Como eu te falei, eu tinha meu planejamento, meu plano de ação, mas 
quando chegasse a hora eu ia por outro caminho. Eu sei que aconteceram algumas coisas que eu tinha 
planejado, mas outras coisas foram acontecendo durante as aulas”
lições. Boli pediu ajuda ao palestrante para saber o que poderia ser feito e ele tentou fazer o
“Foi um projeto que a cada dia me surpreendi um pouco. Fiquei preocupado com as coisas que 
aconteceram. Era sempre uma novidade e eu tinha que sentar com o palestrante para ver o que faria no 
dia seguinte, toda semana. Sempre me preocupei com isso e sempre apareciam alguns problemas. Como 
eu faço isso? Como faço isso? Vocês [alunos] tiveramdúvidas com alguns conteúdos matemáticos. Tive 
que parar para explicar, como aconteceu com aquela aula de porcentagem. Você fez cálculos errados e 
tivemos que fazer tudo de novo, não foi?
algo inesperado ou algum problema aconteceu na aula e não estava na aula dele
plano. Ele estava preocupado e inseguro sobre o que fazer para lidar com algo inesperado em seu
no extrato abaixo, isso é mostrado:
.
ambiente, como Boli pode perceber nas leituras sobre modelagem, ele ficou apreensivo quando
8
7
ARTIGO 3
“Eu fico apreensivo quando vão surgindo outras coisas que eu não planejei, mas é isso mesmo. Estou lendo sobre 
modelagem e é assim mesmo. Minha preocupação é essa: o que eu vou fazer? Às vezes, eu recorro a você. Eu tento ver 
se dá para fazer algo que apareceu naquele momento da atividade. [...] Eu escrevi algumas coisas e perguntei a você, 
assim eu fui tendo mais segurança. Mas, mesmo assim, surgiam aquelas probleminhas por nunca ter feito, por ser uma 
coisa nova, diferente e não ter ninguém, além de você, para
Vocês fizeram cálculos errados e a gente teve que refazer tudo. Não foi isso?”
120
pergunte. [...] Como eu falei, eu tinha meu planejamento, meu plano de ação, mas chegou na hora eu ia por outro caminho. 
Eu sei que alguma coisa que eu preparei no planejamento aconteceu, mas outras coisas foram acontecendo nas aulas”.
“Foi um projeto em que, a cada dia, eu fiquei um dia curioso. Eu fiquei apreensivo com as coisas que aconteciam. Era 
sempre uma coisa nova e eu tinha que sentar com a professora para estar sempre vendendo o que é que eu ia fazer no 
outro dia com vocês a cada semana. Eu sempre estive preocupado com isso e sempre estou surgindo uns probleminhas. 
Como é que isso faz? Como é que faz aquilo? Vocês tinham dúvidas sobre
alguns conteúdos. Eu tinha que parar para explicar, como aconteceu na última aula sobre porcentagem.
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ARTIGO 3
“A minha preocupação maior foi a primeira vez, pois eu nunca soube o que poderia ocorrer no dia seguinte.
Tinha que ter um planejamento, um plano de aula, eu sempre fazia. Eu fiquei preocupado com o que é que eu vou fazer 
amanhã. Eu sempre pensei o que eu faria depois. É tanto que eu levei para discutir com você. Eu planejei a atividade, mas 
eles fizeram o planejamento errado. A gente teve que fazer tudo de novo. [...] Sempre deixava uma atividade a mais para o 
dia seguinte. Então, a preocupação era essa: o que fazer na próxima aula?”
121
Maria comentou sobre as situações imprevisíveis que ocorreram em sua sala de aula
prática. Ela mencionou o momento em que pediu aos alunos que escolhessem três itens do
costumava acontecer. Essas situações interromperam a sequência e o ritmo das aulas. Ele
acontecer em cada lição. Assim, ele fez o planejamento e discutiu com o palestrante. Apesar
Ao fazer o planejamento, ele percebeu o que aconteceu durante as aulas que mudou seu planejamento.
explicou que não sabia o que poderia ter feito, porque estava desenvolvendo
conta de água. Ela não imaginava que escolheriam outros itens além do consumo
modelagem em sua prática pedagógica pela primeira vez. Ele tentou lidar com esses inesperados
Por exemplo, ele planejou uma atividade em que os alunos fariam cálculos sobre o
usando o conteúdo matemático. Então, a atividade não pôde ser realizada e ele
de água. Assim, ela estava preocupada em como trabalhar com as opções imprevistas apresentadas
por eles. Ela decidiu trabalhar os três itens mais escolhidos pelos alunos: consumo de água
custo da cesta básica, mas erraram nos cálculos ou tiveram dificuldades em
situações, planejando cada lição com muito cuidado e pedindo ajuda ao professor. Ele leu
explicou aos seus alunos como fazer os cálculos. O extrato a seguir mostra isso:
fazer o mesmo que vinha fazendo em sua prática pedagógica quando os alunos cometiam erros
na modelagem para entender como ela poderia ser desenvolvida em sua sala de aula. Além disso, ele tentou
“Minha maior preocupação era na primeira aula porque nunca sabia o que poderia acontecer no dia seguinte. 
Eu tinha que ter um plano de aula e sempre tive! Fiquei preocupado com o que fazer no dia seguinte. Eu 
sempre pensei no que faria a seguir e discuti isso com você
cálculos. Ele explicou como fazê-los e pediu que fizessem cálculos novamente.
Professora Maria
[conferencista]. Planejei uma atividade mas eles fizeram cálculos errados. Tivemos que fazer tudo de novo. 
[…] sempre tive que deixar alguma atividade para o dia seguinte. Então, a minha preocupação era essa: O 
que devo fazer na aula seguinte?”9
Percebemos que Boli planejava o que fazer em suas aulas, mas algumas situações inesperadas
Boli estava preocupado em planejar a próxima aula, pois não sabia o que poderia
9
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decidindo o que fazer e como fazer o tempo todo durante as aulas e ela pediu alguns
grupos para que eles tivessem os dados para resolver o problema, porque ela queria envolver todos
orientação do professor para saber o que poderia ser feito. No extrato abaixo isso é mostrado:
alunos na tarefa de modelagem. O extrato a seguir mostra isso:
“[...] Os alunos disseram que perderam os dados que foram coletados e eu queria que todos os 
alunos participassem da tarefa. Um grupo não tinha os dados e outro grupo os perdeu. Fiquei com 
medo de que minhas instruções sobre os dados não tivessem sido muito claras. Fiquei preocupado 
em como conduzir a atividade. O que eu faço? Mas aí tive a ideia de colocar os alunos que tinham os 
dados com os que não tinham. Mas aí surgiu outro problema: havia um grupo onde nenhum aluno 
tinha água encanada em casa. Esses alunos tiveram que fazer a atividade com base nos dados da 
escola”11 .
“Houve um tempo que me perguntei: e agora? O que vou fazer? E aí corri para falar com você e você 
sempre me ajudou. Naquele momento tínhamos pensado no consumo de água mas depois surgiram 
parâmetros e tratamento. Eles não estavam no “roteiro”. Tive que dar atenção aos meus alunos para 
não perderem o entusiasmo. Mas em todos os momentos tive a dúvida de para onde ir a seguir”
.
Maria elaborou algumas situações que poderia fazer com seus alunos, mas foram
Maria estava preocupada com o que fazer quando situações imprevisíveis aconteciam em sua
analisando o consumo de água na escola, mas estavam interessados em discutir o
interessado em outras situações. Por exemplo, ela pensou que eles estariam interessados em
lições. Ela se referiu ao momento em que um grupo não trouxe as informações para resolver
consumo de água nas casas dos colegas. Eles estavam interessados em entender o que
o problema e outro grupo os perderam. Neste momento, ela estava preocupada se ela tinha
envolveu os alunos na tarefa de modelagem. Devido a esta situação, ela organizou o
em metros cúbicos, parâmetros de qualidade da água e hidrômetro. Ela tinha dúvidas em
10
10
11
ARTIGO 3
Na verdade, houve ummomento que eu fiquei: e agora? O que é que eu vou fazer? Eu corri para conversar com você. No 
momento, a gente surgiu em consumo e água, mas surgiram parâmetros, tratamento. Várias coisas surgiram e não estavam 
no roteiro da coisa. Eu tinha que dar atenção a eles, para não perderem o entusiasmo.
Na verdade, a todo momento, eu tinha dúvida: e agora, para onde eu vou?”
122
“Foi meio através de suas orientações. Quando terminava a aula você sempre dava aquela orientação.
“[...] Os alunos relataram que tinham perdido os dados encontrados e minha preocupação era de que todos participassem 
da atividade. Naquele momento, um grupo não tinha os dados e o outro perdeu os dados, a gente já fica com medo, 
achando que o convite talvez tenha falhado em alguma coisa. Fiquei preocupado em como dirigir. O que fazer? Mas eu tive 
a ideia de colocar os alunos que trouxeram os dados em contato com os que
não trouxeram os dados. Mas outro problema também aconteceu: havia uma equipe na qual ninguém tinha água encanada 
em casa. Eles tiveram que fazer a atividade com os dados da escola”.
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12
Atividades. O extrato a seguir mostra isso:
o consumo era em duas casas, mas não aceitaram. Neste momento, Maria estava
Porém, ela organizou os alunos de forma que todos tivessem informações para resolver o problema.
preocupados com o que fazer e como fazer para lidar com essas situações imprevisíveis. No
problema; ela discutiu os interesses inesperados e decidiu quais opções inesperadas seriam
ser abordado.
extrato abaixo, isso é mostrado:
Percebemos que Maria forneceu algumas situações que poderiam funcionar em suas aulas.
Professora Vitória
Ela havia lidado com algumas situações imprevisíveis: alguns alunos não trouxeram as informações
“Eu tinha planejado muitas situações. Como eu vou fazer isso? O que vou fazer? Sobre o consumo de 
água, por exemplo: Achei que os alunos iriam perguntar mais sobre o consumo de água na escola. Mas 
eles não o fizeram. O que mais chamou a atenção dos alunos foi que na casa de um estudante o consumo 
foi de 1.681 litros enquanto nas outras casas o consumo foi de 157 e 250 litros. Algo inesperado aconteceu: 
os alunos queriam saber o motivo do consumo tão elevado de água na casa do aluno, mas não aceitaram 
a explicação do aluno”12 .
problema. Ela ficou surpresa com essa situação, pois eles haviam demonstrado que estavam noivos
Vitória ficou preocupada quando seus alunos não trouxeram as informações para resolver o
para resolver o problema; os alunos apresentaram interesses inesperados e os alunos apresentaram
nas atividades, na lição anterior. Além disso, ela notou que as aulas estavam sendo
fragmentado, porque situações inesperadas interromperam a sequência e o ritmo do planejado
opções imprevistas. Quando essas situações imprevisíveis ocorriam em suas aulas, ela perguntava
ao palestrante para obter ajuda, a fim de saber o que poderia ser feito e como poderia ser feito.
aconteceu com o alto consumo de água na casa de um estudante. Este aluno explicou que
ARTIGO 3
“Eu coloquei no caderno que iria fazer tal coisa. Eu coloquei várias situações para ver se isso aconteceria.
123
Como eu vou fazer? O que você vai fazer? O consumo, por exemplo: eu pensei que eles fossem questionar mais o 
consumo de água da escola. Eles não questionaram. O consumo de água da casa de uma aluna, que gastou 1681 litros, 
enquanto outras casas dos alunos gastaram 157 litros, 250 litros, chamou mais a atenção deles. Teve uma coisa inesperada, 
que foi quando os alunos quiseram saber por que a casa da aluna gastava muita água. Ela explicou que gastava muita 
água porque eram duas casas, mas eles não aceitaram a explicação”.
Machine Translated by Google
14
“Quando iniciei nossas atividades perguntei aos alunos se eles haviam trazido as informações. [...] quase entrei 
em pânico, porque a maioria dos alunos não tinha trazido! [...] Como alguns alunos não levaram as informações 
para a aula e outros não vieram para a aula, surgiram minhas primeiras dificuldades, pois percebi que as atividades 
estavam sendo fragmentadas. Fiquei muito preocupado porque os alunos que mais se interessaram e participaram 
mais da aula anterior não compareceram àquela aula. O que devo fazer”?13
Vitória percebeu que uma situação imprevisível aconteceu quando ela apresentou o
problema para seus alunos: eles não estavam investigando. Ela estava preocupada em como se envolver
.
seus alunos na investigação do problema porque ela havia planejado que os alunos iriam
Vitória estava preocupada em como implementar a tarefa de modelagem em seu trabalho pedagógico.
tarefa de modelagem estava sendo desenvolvida e como ela poderia ser desenvolvida em sua prática pedagógica.
prática. Por exemplo, o que perguntar aos alunos quando ela estava discutindo o tema do
resolva o problema. As leituras sobre modelagem matemática ajudaram Vitória a analisar como o
No extrato abaixo isso é mostrado:
tarefa de modelagem, como lidar com situações imprevisíveis. Como foi a primeira vez que ela foi
desenvolvendo modelagem em sua sala de aula, ela estava preocupada com o que poderia acontecer e
“Durante a atividade tive dúvidas e dificuldades. Sempre pensei no que deveria fazer. [...]
por isso ela tinha um plano de aula detalhado. O extrato a seguir mostra isso:
O que eu fazia: fazia perguntas e os alunos discutiam essas questões. Depois, eles deveriam fazer as atividades. 
Mas os alunos não investigaram muito. O que devo fazer?
Eles não conseguiram resolver os problemas. Quase dei a eles o problema para ser resolvido. Eu não sabia o que 
fazer. Quando comecei a tarefa de modelagem não lia muito sobre modelagem, mas depois de algum tempo 
comecei a ler e ler muito sobre esse assunto. Acho que deveria ter feito diferente”
13
14
ARTIGO 3
“Durante a atividade, eu tive dúvidas e dificuldades. Eu estava pensando como eu deveria fazer. [...] Porque eu fazia assim: 
eu fazia perguntas, eles discutiam, eles questionavam. Depois, eles fizeram as atividades. Mas, eles não investigaram 
muito. O que fazer? Eles não descobriram como é que resolveram aquele problema. Eu praticamente tive um problema 
para eles resolverem. Então, nesse momento, a minha dificuldade foi essa, porque eu consegui sem saber o que fazer. 
Quando comecei a atividade de modelagem eu não estava lendo muito sobre modelagem, depois, mais do meio para o 
final do projeto, foi que comecei a ler e a reler bastante. Eu penso que eu deveria ter feito diferente”.
124
“Ao iniciar nossas atividades, pedimos a eles que tivessem trazido as informações. [...] Eu quase entrei em pânico, porque 
a maioria dos alunos não levou as informações. [...] Como alguns alunos esqueceram as informações e outros não vieram 
à aula, surgiram minhas primeiras dificuldades, pois perceberam que as atividades estavam sendo fragmentadas. Fiquei 
muito preocupado, pois os alunos que tiveram mais interesse, participandodas atividades na aula passada, não vieram 
para aula. O que eu faço?”
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“Eu não sabia o que fazer. Pensei em como daria minha aula se não tivesse nada.
no desenvolvimento da modelagem em suas aulas. Boli e Vitória leram
O que eu faria? Então, vou perguntar uma coisa e os alunos respondem. O que farei então? Eu termino a lição, 
não é? Eu tinha esse plano de aula porque precisava saber como conduzir a aula. [...] fiquei insegura e assustada, 
mas no final fiquei satisfeita. Sei que houve falhas na utilização da modelagem, mas o resultado foi bom para os 
alunos e para mim”
entender como isso poderia ser desenvolvido em sua prática em sala de aula.
Em suma, a tensão das situações inesperadas refere-se à descontinuidade em relação
modelagem matemática para ajudá-los a entender como ela poderia ser desenvolvida em seus
.
sobre o que fazer e como fazer para conduzir a tarefa de modelagem quando situações inesperadas
práticas em sala de aula. Os professores lidaram com as seguintes situações inesperadas: alguns
sua prática pedagógica. Ela percebeu que situações inesperadas interrompiam a sequência e
Percebemos que Vitória tinha um plano para orientar o desenvolvimento da tarefa de modelagem em
aconteceu na prática em sala de aula. Essa descontinuidade foi identificada quando os professores tiveram
os alunos não trouxeram as informações para resolver o problema; alunos apresentaram inesperado
ritmo das aulas. Ela havia lidado com algumas situações imprevisíveis: alguns alunos não
modelagem matemática recontextualizada em sua prática pedagógica e alguns imprevistos
situações interromperam a sequência e o ritmo das práticas pedagógicas. Eles reconheceram que
interesses; os alunos tiveram dificuldades para resolver o problema; os alunos não investigaram
trouxeram as informações para resolver o problema e os alunos não investigaram o problema. Ela
estavam preocupados em saber o que fazer e como fazer nessas situações inesperadas,
problema; e os alunos cometeram erros nos cálculos. Estas situações interromperam o
lidou com essas situações imprevisíveis pedindo aos alunos que trouxessem as informações no
porque estavam desenvolvendo pela primeira vez a modelagem em sua prática pedagógica. Enquanto eles
sequência das aulas e os professores agiram da seguinte forma: organizaram os alunos
para que todos tivessem as informações para solucionar o problema; eles ouviram os alunos
próxima lição e ensiná-los como resolver o problema. Além disso, ela leu sobre modelagem para
não sabiam como lidar com essas situações inesperadas, pediram ajuda ao palestrante
15
15
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ARTIGO 3
“Eu fiquei sem saber, assim, como eu vou conduzir se eu chegar sem nada. O que eu vou fazer? Então, eu vou perguntar 
alguma coisa, eles responderam. O que eu faço? Termino a aula? Eu trago aquela estrutura, pois eu preciso saber como 
dirigir a aula. [...] Eu fiquei inseguro e com medo, mas eu fiquei satisfeito. Eu sei que houve muita falha em relação à 
aplicação da modelagem, mas o resultado foi bom para os alunos e para mim”.
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ARTIGO 3
Usamos “problema real” para um problema de situações cotidianas ou de disciplinas científicas.
126
interesses inesperados, mas orientaram os alunos para os interesses por eles planejados; e eles
problemas, porque não entenderam que o conteúdo matemático poderia ter sido usado,
mostrou aos alunos como resolver o problema.
sequência planejada para a tarefa de modelagem.
Nos termos da teoria de Bernstein, os professores organizaram a tarefa de modelação em alguns
4.2 A tensão da abordagem do conteúdo matemático
ou seja, não conseguiram produzir um texto legítimo para o desenvolvimento da modelagem
fases, ou seja, estruturaram-na como uma tarefa escolar. Eles planejaram a sequência e o ritmo do
Os professores não esperavam que seus alunos apresentassem dificuldades no uso
tarefa. Devido a essa situação, os professores queriam saber como abordar os (anteriores e
fases. Isso porque a sequência planejada estabeleceu certas possibilidades de organização
conteúdo matemático prévio para resolver os problemas, bem como também não esperavam que
prática pedagógica de modelagem, mas situações imprevistas aconteceram e interromperam essas
novo) conteúdo matemático na tarefa de modelagem. Apresentamos uma análise de como cada professor
as interações entre professores e alunos em sala de aula. Eles reconheceram que
os alunos não utilizariam outros conteúdos para resolver esses problemas. Em outras palavras, o que pode ser
feito e como isso pode ser feito quando os alunos não conseguem resolver a tarefa de modelagem,
compreendeu e lidou com a tensão da abordagem do conteúdo matemático durante o
precisavam produzir um texto legítimo (o que falar) para lidar com essas situações, mas o fizeram
pois apresentam dificuldades na utilização do conteúdo matemático. Essa tensão foi identificada
tarefa de modelagem.
não sei como fazer isso. Assim, pediram ajuda ao palestrante e leram mais sobre modelagem
quando os professores decidiram como abordar o conteúdo matemático ao modelar
Professor Boli
produzir esse texto (como falar). Além disso, atuaram no sentido de continuar desenvolvendo o
foi implementado em suas práticas pedagógicas. Em relação à teoria de Bernstein, os professores introduziram 
problemas reais16 nas suas aulas e os alunos tiveram dificuldades em resolver os
16
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Boli utilizou parte das aulas que deveriam ser dedicadas à tarefa de modelagem para lidar com o
Os alunos podem seguir vários caminhos, mas eu tenho uma base [...] percebi que estou ficando atrás
dificuldades dos alunos em relação ao conteúdo matemático prévio necessário para resolver o
.
problema. Ele percebeu que é importante que os alunos entendam como usar a matemática
Além de Boli ter reconhecido que para realizar a tarefa de modelagem era necessário
satisfeitos em resolver o problema, pois sem esse conhecimento eles não conseguem fazer o
utilizar conteúdos matemáticos anteriores, ele argumentou que é importante planejar a tarefa de modelagem
resolveram porque tiveram dificuldades para utilizar o conteúdo matemático exigido pelo
prevendo possíveis conteúdos que poderiam ser necessários para isso, pois ele teria uma
tarefa de modelagem. Durante o tempo de resolução do problema, Boli percebeu que seus alunos não haviam
problema. Devido a essa situação, ele decidiu ensinar o conteúdo matemático aos seus alunos
idéia de como abordar o conteúdo matemático. Ele percebeu que não estava conseguindo
o programa completamente. Devido à situação, ele tentou aproveitar a tarefa de modelagem para
e pedir-lhes que tentem resolver o problema novamente. O extrato a seguir mostra isso:
abordar o próximo conteúdo do programa. No extrato abaixo isso é mostrado:
“Além de trabalhar com modelagem, o conteúdo matemático deve estar presente. Se os professores querem 
que os alunos percebam as atividades do dia a dia, eles precisam perceberque é importante e necessário 
conhecer o conteúdo matemático. Sem o conteúdo matemático a modelagem não seria aplicada. Como os 
alunos resolverão os problemas do cotidiano se não conhecerem o conteúdo matemático? Na minha opinião, 
é importante. Quando os alunos mostraram seus erros eu tive que parar a aula e pedir que fizessem os 
cálculos novamente. [...] Numa aula eu tinha planejado fazer um gráfico, mas os cálculos estavam errados. 
Então, perdemos mais uma aula fazendo os cálculos novamente. [...] Em relação ao percentual: alguns alunos 
sabiam, outros não. Se eu não tivesse explicado como usar porcentagem, a atividade não teria sido 
interessante”
“Porque os alunos estavam realizando uma atividade, mas também estavam utilizando matemática. Se os 
alunos não souberem fazer os cálculos, como saberão o resultado? Acho que devemos pensar numa atividade 
e no seu planejamento. Qual será usado nesta atividade?
Qual conteúdo vou trabalhar? Devemos saber o que será necessário para cada atividade.
17
17
“Além de trabalhar com a modelagem, o conteúdo matemático precisa estar presente. Para eles perceberem a atividade 
do cotidiano, eles perceberam que também é interessante e importante saber o conteúdo matemático. Sem o conteúdo 
matemático também, a modelagem não se aplicaria. Como eles resolverão os problemas do cotidiano se não souberem o 
conteúdo matemático? Eu acho que isso é importante. Quando os alunos apresentavam os erros, eu tinha que parar tudo 
e pedir para eles refazerem os cálculos. [...] Teve uma aula que eu tinha planejado fazer o gráfico, mas os cálculos estavam 
errados. Então, a gente perdeu mais uma aula refizendo os cálculos novamente. [...] O caso da porcentagem mesmo: 
alguns conheceram, outros não. Se eu não explicasse como calcular a porcentagem, a atividade não seria interessante”.
127
ARTIGO 3
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ARTIGO 3
Eles só querem o projeto. Temos uma programação a cumprir aqui na escola e a atividade de modelagem acaba
atrasando, pois são menos duas aulas. Mas, eu vou aproveitar o projeto para trabalhar”.
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“Porque estava desenvolvendo uma atividade, mas também utilizando a matemática. Se eles não souberem o cálculo, 
como eles saberão o resultado sem saber calcular? Eu acho que devo se pensar uma atividade já pensando em fazer um 
esquema. Tal atividade, o que será utilizado nesta atividade? Qual conteúdo eu vou trabalhar? O aluno pode seguir vários 
caminhos, mas eu tenho uma base.[...] Agora, eu percebi que estou atrasando os meus conteúdos, pois são duas aulas 
para o projeto. Mas, quando eu retorno ao conteúdo, eles ficam sem interesse. Eu estou trabalhando com equações 
irracionais, mas eles querem trabalhar no projeto.
cronograma, pois temos duas turmas para o projeto. Quando eu voltar ao conteúdo
esse:
os alunos não estão mais interessados. Estou trabalhando com equações irracionais, mas os alunos querem 
trabalhar no projeto. Eles só querem trabalhar no projeto. Temos um cronograma a seguir na escola, e a 
tarefa de modelar está sempre atrasada, pois temos menos de duas aulas para isso. Mas vou aproveitar o 
projeto para trabalhar funções”
trabalhar alguns conteúdos do programa.
Professora Maria
“[...] E naquele momento eu fiquei preocupado porque a maioria dos alunos parou de fazer a atividade. O 
que farei agora? E quanto à modelagem? Você fica ansioso. Posso fazer os cálculos agora? Posso explicar 
isso a eles? Estamos sempre em dúvida. Depois do momento em que você me disse que eu poderia intervir, 
isso serviu para orientar nossas ações.
.
Maria percebeu que seus alunos pararam de desenvolver a tarefa, pois não
Porque até então eu pensava que tinha que deixar os alunos trabalharem sozinhos e não intervir para
tarefa de modelagem. De acordo com seu ponto de vista, é importante planejar quais
saber usar o conteúdo matemático para resolver o problema. Ela estava preocupada se ela
Percebemos que Boli estava preocupado em trabalhar o conteúdo matemático no
o conteúdo pode ser trabalhado na tarefa de modelagem. Os alunos tiveram dificuldades em utilizar o
poderia intervir ou não quando seus alunos tivessem dificuldades para resolver o problema. Como
ela não sabia como intervir para ajudar seus alunos, pediu ajuda ao professor para trabalhar
conteúdo matemático para resolver a tarefa de modelagem. Devido a esta situação, ele trabalhou com
com as dificuldades dos alunos. Depois que o palestrante disse a Maria que ela poderia tê-la orientado
conteúdo matemático prévio necessário para resolver a tarefa. Apesar de Boli
alunos no desenvolvimento da tarefa de modelagem, ela trabalhou o conteúdo necessário para
reconhecendo que a tarefa de modelagem estava atrasando a abordagem dos conteúdos, ele tentou
resolver o problema com os alunos, para que eles conseguissem resolvê-lo. O extrato a seguir mostra
18
18
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ver o que aconteceria. Se os alunos parassem, eu pararia também. Mas agora sei que posso intervir e já 
trabalhei o conteúdo, neste caso o volume e a capacidade”
.
.
Maria estava preocupada em como poderia intervir para ajudar seus alunos quando eles tivessem
Maria comentou sobre as dificuldades dos alunos em relação ao conteúdo matemático para
dificuldades em utilizar o conteúdo matemático para resolver a tarefa de modelagem. Na modelagem
dificuldades para utilizar o conteúdo matemático exigido pelo problema. Assim, ela decidiu
resolva o problema. Durante a resolução do problema, Maria percebeu que seus alunos tinham
ambiente, ela pensou que observava os alunos para resolver o problema, mas poderia
qual conteúdo poderia ser usado para resolvê-lo. Ela pediu ajuda ao palestrante para a intervenção.
não intervir. Porém, os alunos não resolveram o problema, pois não sabiam
ajude-os a ir até o quadro branco para mostrar como resolver uma das questões da modelagem
tarefa. No extrato abaixo isso é mostrado:
Após a professora explicar que poderia intervir e ajudar os alunos, Maria explicou a
“Eu estava observando os grupos responderem às perguntas e percebi o grande problema que eles 
tinham para fazer os cálculos. Resolvi então mostrar, no quadro branco, como resolver um dos problemas. 
Depois disso pensei que eles começaram a trabalhar com mais facilidade e a partir desse momento fizeram 
os cálculos sem grandes esforços. Ao final da aula, a última atividade foi transformar litros em metros 
cúbicos, mas nenhum grupo conseguiu fazer isso. Esse foi o maior impasse para mim. Como não 
conseguiram transformar litros em metros cúbicos, não puderam consultar a tabela para saber qual seria o 
valor a ser pago nas situações do quadro branco”
aos alunos como resolver um dos problemas.
Professora Vitória
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ARTIGO 3
“[...] Naquele momento, fiquei apreensiva porque a maioria parou de fazer a atividade. E agora, o que eu vou fazer? E a 
questão da modelagem? Você fica apreensivo. Posso chegar e fazer os cálculos agora? Eu vou esclarecerisso para 
eles? A gente fica meio em dúvida. Depois daquele momento aqui que você esclareceu que poderia intervir mesmo, isso 
serve também para nortear nossas ações. Porque até então eu achei o seguinte: tinha que deixá-los lá e não entrevir e 
ver o que aconteceria. Se eles parassem, eu pararia. Mas, agora, eu sei que posso entrevistar e já trabalhei o conteúdo, 
no caso, volume e capacidade”.
em metros cúbicos, a equipe não tinha alcance. Então esse, para mim, foi o grande impasse. Como eles não conseguiram 
transformar de litros para metros cúbicos, não tiveram como consultar a tabela e ver qual seria o valor a ser pago nas 
situações colocadas no quadro”.
129
“Fiquei acompanhando as equipes desenvolvendo as questões e percebendo o grande problema que eles tinham para 
resolver os cálculos. Então eu decido ir para o quadro e mostrar como seria feita uma das questões. Então, depois que 
eu intervim, senti que eles começaram a deslanchar e aí, como outros, eles já fizeram com mais facilidade. Agora, no 
final da aula, a última tarefa que era transformar os litros que eles tinham encontrado
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21
Antes de trabalhar com modelagem, Vitória trabalhou com porcentagem em seu trabalho pedagógico
prática. Essa pode ser uma possível explicação porque seus alunos usaram esse conteúdo para resolver o problema.
conteúdos matemáticos, pois seus alunos não entendiam como utilizá-los para resolver
problema. Porém, ela tentou trabalhar outros conteúdos matemáticos, mas eles tiveram dificuldades para
problema. Ela procurou trabalhar outros conteúdos além dos conteúdos anteriores trabalhados nela
use outros conteúdos para resolver o problema. Ela explicou que eles tinham dificuldades porque
prática pedagógica, mas os alunos tiveram dificuldades para compreendê-los. Ela explicou como
como trabalhar um novo conteúdo matemático na tarefa de modelagem. O extrato a seguir mostra
não teve contato com o conteúdo antes da tarefa de modelagem. Assim, ela queria saber
ela vem abordando o conteúdo em sua prática pedagógica. Ela reconheceu que não
esse:
saber como abordar um novo conteúdo na tarefa de modelagem. Para Vitória, os alunos precisam
ter um conhecimento prévio do conteúdo que será utilizado na tarefa de modelagem para resolvê-la. Em
“Não sei quais conteúdos vamos trabalhar com a tarefa de modelagem. Os alunos têm muitas dificuldades, como por 
exemplo, com gráficos. Eles não sabem o que é um gráfico. Queria trabalhar com gráficos e outros conteúdos 
matemáticos. Trabalhei até agora com operações e percentuais. Tenho dificuldades em abordar outros conteúdos 
com os alunos. Não sei trabalhar, porque os alunos não conhecem os outros conteúdos. Imagino que esse problema 
irá solicitar “função” e acho que poderei trabalhar com ele. [...] tentei trabalhar com gráfico, mas eles não têm noção 
do que é gráfico. Tentei fazer um gráfico das despesas mas... expliquei como fazer um gráfico, mas eles tiveram 
muitas dificuldades. [...]
no extrato abaixo, isso é mostrado:
Em relação às despesas, tentei fazer um gráfico colocando despesas e percentual. […] Para qualquer uma das 
questões apresentadas por mim, eles respondem tudo usando porcentagem”21 .
“Às vezes, quando estamos discutindo um tema, existe a possibilidade de abordar algum conteúdo, mas os alunos 
não sabem nada sobre isso. Eu teria que começar do começo para
Durante o desenvolvimento da tarefa de modelagem, Vitória teve dificuldades para ensinar novos
“Eu fico sem saber quais são os conteúdos que vamos trabalhar na atividade de modelagem. Eles têm muitas dificuldades 
com os conteúdos, por exemplo, gráficos. Eles não sabem nem o que é o gráfico. Eu queria trabalhar com gráficos e outros 
conteúdos matemáticos. Eu trabalhei até agora com as operações e porcentagem. Estou com dificuldades de trabalhar 
outros conteúdos. Eu estou sem saber como trabalhar, porque eles não têm conhecimento de outros conteúdos. Eu imagino 
que o problema vai solicitar função e acho que vai dar também para trabalhar. [...] Eu tentei trabalhar com gráficos, mas 
eles não têm noção nenhuma de gráficos. Eu tentei fazer os gráficos das despesas, mas só que... Eu dei uma explicação 
de como fazia os gráficos, mas eles tiveram dificuldades. [...] Com as despesas, eu tentei fazer um gráfico colocando as 
despesas e a porcentagem. [...] Qualquer questão que eu apresento, eles resolvem usando porcentagem e me dão a 
resposta”.
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explique esse conteúdo. Agora estou ensinando expressão algébrica. O que eu faço? Escrevo o conteúdo 
no quadro, explico aos alunos e copio alguns tópicos interessantes. Depois começo uma atividade. Hoje 
trabalhei assim. Os alunos disseram: “Professor, o que fazemos primeiro?” Eu explico para eles e os 
alunos continuam perguntando sobre os próximos passos e os alunos fazem isso. Mas fazem isso 
mecanicamente, de forma memorizada. Em relação à atividade de modelagem, caso surja um conteúdo/
tema diferente, como irei trabalhar com isso? Acho que é necessário ter conhecimento prévio do conteúdo. 
Por que foi fácil trabalhar com porcentagem e regra de três com os alunos? Porque eu já tinha trabalhado 
esses conteúdos com os alunos. […] acho que vai ser difícil no momento que isso surgir”22 .
Percebemos que Vitória admitiu que não sabia como abordar um novo conteúdo em
durante a tarefa de modelagem; como trabalhar novos conteúdos matemáticos; como trabalhar os alunos
a tarefa de modelagem. Ela tentou abordar um conteúdo novo, mas seus alunos tiveram dificuldades para
dificuldades para utilizar o conteúdo matemático, ou seja, o que fazer e como fazer para abordar o
entendê-lo e usá-lo para resolver o problema. Devido a essa situação, ela argumentou que o
conteúdo matemático (anterior e novo) no ambiente de modelagem. Para os professores é
tarefa. Ela estava preocupada em como abordar um novo conteúdo matemático nele.
importante que os alunos entendam como usar o conteúdo matemático para resolver o
os alunos precisam ter um conhecimento prévio do conteúdo que será utilizado na modelagem
Em suma, a tensão da abordagem do conteúdo matemático refere-se à
problema. Maria pediu ajuda ao palestrante, sobre como ela poderia intervir, pois sua
os alunos tiveram dificuldades em utilizar o conteúdo matemático para resolver o problema. Boli e
descontinuidade em relação ao que e como abordar o conteúdo matemático na
Vitória argumentou que os alunos precisam ter um conteúdo matemático prévio para utilizar na
tarefas de modelagem. Essa descontinuidade foi identificada quando os professores recontextualizaram
tarefa de modelagem, pois disseram que os alunos tiveram dificuldades em utilizar
modelagem matemática e decidiram como trabalhar o conteúdo matemático, antes ou
ARTIGO 3
“Às vezes, quando discutimos um tema, há a possibilidade de abordar determinado conteúdo, mas só que eles não têm 
noção nenhuma. Eu teria que voltar para o início para poder