Problemas com Polinômios

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Polinomios
Achar os valores de a,b,c e d de tal sorte que o polinômio 
seja identicamente nulo.
Solução:
Para que um polinômio seja identicamente nulo , é que todos os seus coeficientes sejam iguais a zero.
Logo podemos escrever
 
Temos então que a = 1 b = -2 e c = 3/2
Determinar os valores de a,b,c e d de tal modo que se tenha a identidade
 = - 
Solução:
Reescrevendo o polinomio da direita teremos
 = - 
Igualando os coeficientes em temos que a = 0
Repetindo o passo anterior para os coeficientes em temos
como a = 0 obtemos b=1
Refazendo novamente para os coeficientes em x,obtemos logo
 c = -2
Para o termo independente de x obtemos logo d = - 4
Dado o polinômio 
Determine os valores dos parâmetros a,b,c de modo que o polinômio seja identicamente nulo.
Solução:
Desenvolvendo o polinômio dado 
 
Igualando os coeficientes a zero
Resolvendo o sistema acima obtemos
a = 1 b = 2 e c = -3
Determinar os valores das constantes A , B , de modo que polinômio 
seja idêntico a expressão A
Solução
A 
 
Igualando os coeficientes obtemos
A =1 e 
Logo A = 1 B = 3 e 
Decompor a fração racional em frações simples.
Solução:
Seja uma fração racional , na qual o grau do numerador é menor que o denominador.Para efetuar a decomposição em frações simples,deveremos fatorar o denominador.
Cada fator não repetido,do primeiro grau, x – a,origina uma fração soimples da forma ,onde A ´w uma constante a determinar.
Fatorando o denominador obtemos 
Eliminando os denominadores 
 
Resolvendo o sistema acima obtemos A = - 4 e B = 7
Decompor a fração em uma soma de frações simples.
Solução:
Eliminando os denominadores
Desenvolvendo o lado direito da igualdade e igualando os coeficientes,obtemos
A = 1 B = 5 C = -3
Decompor em fração simples .
Solução:
Observando que o fato (x-1) aparece tres vezes,o memso introduz na decomposição uma soma de igual numero de frações simples , como mostramos abaixo
Expelindo os denominadores
1 = - A 
B = 2 C = 1 D = 2
Pode o polinômio , ser identicamente nulo.
Solução:
Igualando os coeficientes a zero , obtemos as relações abaixo:
 3 = 0 e 
Observando essas relações vemos que a segunda 3 = 0 não é satisfeita,logo podemos afirmar que o polinômio dado não pode ser identicamente nulo.
Determinar os valores de a , b e c de modo que se tenha
Solução:
Igualando os coeficientes a zero obtemos
10 ) Determine os valores dos parâmetros m , n e p de tal modo que seja verificada a identidade abaixo:
Solução:
Igualando os coeficientes a zero , obtemos
Verificar se o polinômio , pode der identicamente nulo.
Solução:
Igualando os coeficientes a zero , temos
Analisando as relações acima observamos que temos dois valores distintos de a,logo o polinômio não pode ser identicamente nulo.
 Calcular os valores de m , n e p de tal sorte que os polinômios abaixo sejam idênticos:
 e .
Solução:
Para que dois polinômios sejam idênticos,os mesmos devem ter o mesmo grau e cada termo de um seja igual ao do outro polinomo.Assim sendo podemos escrever:
 ou seja 
como m = 0 
6p = n+p
 e logo n = 0
 Achar os valores de a , b e c que verificam a identidade
Solução:
Impossivel , uma vez que os coeficientes dos termos de terceiro grau não são iguais.
 Determinar os valores de a ,b ,c e d de modo que:
Solução:
Eliminando o denominador do lado esquerdo da identidade escrevemos
Igualando os coeficientes termo a termo
Decompor as frações racionais em uma soma de frações simples
26) 
Solução:
Fatorando o denominador temos 
 
 e 
27) 
Solução:
 multiplicando a primeira equação por 2 e somando com a segunda
 logo e 
28) 
Solução:
 = 
2C
Resolvendo o sistema obtemos A=0 B= ½ C = ½
 = 
29) 
Solução:
Igualando os coeficientes 
Resolvendo o sistema acima
B=0 C= 0
30) Determinar as condições a fim de que o trinômio , seja o quadrado de um binômio do primeiro grau.
Solução:
Seja mx + n o binômio do primeiro grau.
De acordo com o enunciado devemos ter
 = 
 = 
Igualando os coeficientes obtemos
 
 ou seja 
31) Efetuar a divisão exata 
Solução:
 		-2
 + 4
Somando os dois últimos polinômios obtemos zero.
 32) Determinar o valor de a no polinômio , de modo que seja divisível por x-1.
Solução:
Seja R o resto da divisão. R = f(1)
R = = a – 18
Para que os polinômios sejam divisíveis R = 0 ou seja a – 18 = 0 logo a = 18
33)