APLICAÇÕES DE EDO

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APLICAÇÕES DE EDO’s LINEARES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Circuito RC em série 
4. Carga 
 
Figura 1.1: Circuito R-C série, corrente contínua – Carga [1]. 
As voltagens instantâneas uab e ubc são dadas por: 
 
𝑢𝑎𝑏 = 𝑖𝑅 e 𝑢𝑏𝑐 =
𝑞
𝐶
 
(eq. 1.1 e 1.2) 
 
Aplicando a Lei das malhas de Kirchhoff, na Figura 1.1, obtém-se: 
 
𝜀 − 𝑖𝑅 −
𝑞
𝐶
= 0 
 (eq. 1.3) 
𝑖 =
𝜀
𝑅
−
𝑞
𝑅𝐶
= 0 
(eq. 1.4) 
 
No instante (t = 0), quando a chave está inicialmente fechada, o capacitor está 
descarregado, portanto, q = 0. Substituindo q = 0 na eq. 1.4, verifica-se que a corrente inicial 
I0 é dada por 𝐼𝑚á𝑥 = 𝜀/𝑅. A medida que a carga q aumenta, o termo 𝑞/𝑅𝐶 torna-se maior e a 
carga do capacitor tende a seu valor final Qmáx. A corrente diminui e por fim se anula. Quando 
i = 0, a eq. 1.4 fornece que: 
 
𝜀
𝑅
=
𝑄𝑚á𝑥
𝑅𝐶
 𝑄𝑚á𝑥 = 𝜀𝐶 
(eq. 1.5) 
 
Pode-se deduzir expressões gerais para a corrente i e para a carga q em função do 
tempo. Considerando a escolha do sentido positivo da corrente como na Figura 1.1, i é a taxa 
com o qual a carga positiva chega à placa esquerda (positiva) do capacitor; logo 𝑖 = 𝑑𝑞/𝑑𝑡. 
Fazendo está substituição na eq. 1.4: 
 
𝑑𝑞
𝑑𝑡
=
𝜀
𝑅
−
𝑞
𝑅𝐶
= −
1
𝑅𝐶
(𝑞 − 𝐶𝜀) 
 
Obteve-se uma EDO linear homogênea de primeira ordem, reagrupando a expressão: 
𝑑𝑞
𝑞 − 𝐶𝜀
= −
𝑑𝑡
𝑅𝐶
 
 
Integrando ambos os lados da equação, usando q e t para os limites superiores e q’=0 e 
t’=0: 
∫
𝑑𝑞
𝑞 − 𝐶𝜀
𝑞
𝑞′
= − ∫
𝑑𝑡
𝑅𝐶
𝑡
𝑡′
 
 
ln (
𝑞 − 𝐶𝜀
−𝐶𝜀
) = −
𝑡
𝑅𝐶
 
 
Tomando a função exponencial em ambos os lados da equação e explicitando q: 
 
𝑞 − 𝐶𝜀
−𝐶𝜀
= 𝑒−
𝑡
𝑅𝐶 
 
𝑞 = 𝐶𝜀 (1 − 𝑒−
𝑡
𝑅𝐶) = 𝑄𝑚á𝑥 (1 − 𝑒
−
𝑡
𝑅𝐶) 
(circuito R-C, capacitor em carga) (eq. 1.6) 
 
5. Descarga 
Suponha agora que o capacitor já esteja carregado com uma carga 𝑞 = 𝑄𝑚á𝑥; a seguir 
remove-se a fonte do circuito. Escolheu-se o mesmo sentido positivo para corrente que o da 
Figura 1.1. Assim, a Lei das malhas de Kirchhoff fornece a eq. 1.3, porém 𝜀 = 0, ou seja: 
 
𝑖 =
𝑑𝑞
𝑑𝑡
= −
𝑞
𝑅𝐶
 
(eq. 1.7) 
 
A corrente i agora é negativa, de modo que está possui sentido oposto ao indicado na 
Figura 1.1. No instante (t = 0), quando q = 𝑄𝑚á𝑥 a corrente inicial 𝐼0 é dada por 𝐼𝑚á𝑥 =
−𝑄𝑚á𝑥/𝑅𝐶. Reagrupando a expressão 1.9 e integrando ambos os lados da equação, obtém-se: 
∫
𝑑𝑞′
𝑞′
𝑞′
𝑄𝑚á𝑥
= −
1
𝑅𝐶
∫ 𝑑𝑡′
𝑡
𝑡′
 
 
ln (
𝑞
𝑄𝑚á𝑥
) = −
𝑡
𝑅𝐶
 
 
𝑞 = 𝑄𝑚á𝑥𝑒
−
𝑡
𝑅𝐶 
 
(circuito R-C, capacitor em descarga) (eq. 1.8) 
6. 
 
 
 
 
 
7.