APLICAÇÕES DE EDO
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APLICAÇÕES DE EDO


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Circuito RC em série 
4. Carga 
 
Figura 1.1: Circuito R-C série, corrente contínua \u2013 Carga [1]. 
As voltagens instantâneas uab e ubc são dadas por: 
 
\ud835\udc62\ud835\udc4e\ud835\udc4f = \ud835\udc56\ud835\udc45 e \ud835\udc62\ud835\udc4f\ud835\udc50 =
\ud835\udc5e
\ud835\udc36
 
(eq. 1.1 e 1.2) 
 
Aplicando a Lei das malhas de Kirchhoff, na Figura 1.1, obtém-se: 
 
\ud835\udf00 \u2212 \ud835\udc56\ud835\udc45 \u2212
\ud835\udc5e
\ud835\udc36
= 0 
 (eq. 1.3) 
\ud835\udc56 =
\ud835\udf00
\ud835\udc45
\u2212
\ud835\udc5e
\ud835\udc45\ud835\udc36
= 0 
(eq. 1.4) 
 
No instante (t = 0), quando a chave está inicialmente fechada, o capacitor está 
descarregado, portanto, q = 0. Substituindo q = 0 na eq. 1.4, verifica-se que a corrente inicial 
I0 é dada por \ud835\udc3c\ud835\udc5aá\ud835\udc65 = \ud835\udf00/\ud835\udc45. A medida que a carga q aumenta, o termo \ud835\udc5e/\ud835\udc45\ud835\udc36 torna-se maior e a 
carga do capacitor tende a seu valor final Qmáx. A corrente diminui e por fim se anula. Quando 
i = 0, a eq. 1.4 fornece que: 
 
\ud835\udf00
\ud835\udc45
=
\ud835\udc44\ud835\udc5aá\ud835\udc65
\ud835\udc45\ud835\udc36
 \ud835\udc44\ud835\udc5aá\ud835\udc65 = \ud835\udf00\ud835\udc36 
(eq. 1.5) 
 
Pode-se deduzir expressões gerais para a corrente i e para a carga q em função do 
tempo. Considerando a escolha do sentido positivo da corrente como na Figura 1.1, i é a taxa 
com o qual a carga positiva chega à placa esquerda (positiva) do capacitor; logo \ud835\udc56 = \ud835\udc51\ud835\udc5e/\ud835\udc51\ud835\udc61. 
Fazendo está substituição na eq. 1.4: 
 
\ud835\udc51\ud835\udc5e
\ud835\udc51\ud835\udc61
=
\ud835\udf00
\ud835\udc45
\u2212
\ud835\udc5e
\ud835\udc45\ud835\udc36
= \u2212
1
\ud835\udc45\ud835\udc36
(\ud835\udc5e \u2212 \ud835\udc36\ud835\udf00) 
 
Obteve-se uma EDO linear homogênea de primeira ordem, reagrupando a expressão: 
\ud835\udc51\ud835\udc5e
\ud835\udc5e \u2212 \ud835\udc36\ud835\udf00
= \u2212
\ud835\udc51\ud835\udc61
\ud835\udc45\ud835\udc36
 
 
Integrando ambos os lados da equação, usando q e t para os limites superiores e q\u2019=0 e 
t\u2019=0: 
\u222b
\ud835\udc51\ud835\udc5e
\ud835\udc5e \u2212 \ud835\udc36\ud835\udf00
\ud835\udc5e
\ud835\udc5e\u2032
= \u2212 \u222b
\ud835\udc51\ud835\udc61
\ud835\udc45\ud835\udc36
\ud835\udc61
\ud835\udc61\u2032
 
 
ln (
\ud835\udc5e \u2212 \ud835\udc36\ud835\udf00
\u2212\ud835\udc36\ud835\udf00
) = \u2212
\ud835\udc61
\ud835\udc45\ud835\udc36
 
 
Tomando a função exponencial em ambos os lados da equação e explicitando q: 
 
\ud835\udc5e \u2212 \ud835\udc36\ud835\udf00
\u2212\ud835\udc36\ud835\udf00
= \ud835\udc52\u2212
\ud835\udc61
\ud835\udc45\ud835\udc36 
 
\ud835\udc5e = \ud835\udc36\ud835\udf00 (1 \u2212 \ud835\udc52\u2212
\ud835\udc61
\ud835\udc45\ud835\udc36) = \ud835\udc44\ud835\udc5aá\ud835\udc65 (1 \u2212 \ud835\udc52
\u2212
\ud835\udc61
\ud835\udc45\ud835\udc36) 
(circuito R-C, capacitor em carga) (eq. 1.6) 
 
5. Descarga 
Suponha agora que o capacitor já esteja carregado com uma carga \ud835\udc5e = \ud835\udc44\ud835\udc5aá\ud835\udc65; a seguir 
remove-se a fonte do circuito. Escolheu-se o mesmo sentido positivo para corrente que o da 
Figura 1.1. Assim, a Lei das malhas de Kirchhoff fornece a eq. 1.3, porém \ud835\udf00 = 0, ou seja: 
 
\ud835\udc56 =
\ud835\udc51\ud835\udc5e
\ud835\udc51\ud835\udc61
= \u2212
\ud835\udc5e
\ud835\udc45\ud835\udc36
 
(eq. 1.7) 
 
A corrente i agora é negativa, de modo que está possui sentido oposto ao indicado na 
Figura 1.1. No instante (t = 0), quando q = \ud835\udc44\ud835\udc5aá\ud835\udc65 a corrente inicial \ud835\udc3c0 é dada por \ud835\udc3c\ud835\udc5aá\ud835\udc65 =
\u2212\ud835\udc44\ud835\udc5aá\ud835\udc65/\ud835\udc45\ud835\udc36. Reagrupando a expressão 1.9 e integrando ambos os lados da equação, obtém-se: 
\u222b
\ud835\udc51\ud835\udc5e\u2032
\ud835\udc5e\u2032
\ud835\udc5e\u2032
\ud835\udc44\ud835\udc5aá\ud835\udc65
= \u2212
1
\ud835\udc45\ud835\udc36
\u222b \ud835\udc51\ud835\udc61\u2032
\ud835\udc61
\ud835\udc61\u2032
 
 
ln (
\ud835\udc5e
\ud835\udc44\ud835\udc5aá\ud835\udc65
) = \u2212
\ud835\udc61
\ud835\udc45\ud835\udc36
 
 
\ud835\udc5e = \ud835\udc44\ud835\udc5aá\ud835\udc65\ud835\udc52
\u2212
\ud835\udc61
\ud835\udc45\ud835\udc36 
 
(circuito R-C, capacitor em descarga) (eq. 1.8) 
6. 
 
 
 
 
 
7.