kirchhoff,Maxwell,Thevenin,Norton,Milman

Prévia do material em texto

Leis de Kirchhoff – Exercícios Resolvidos 
 
- Duas Malhas, Duas Fontes, Cargas - 
 
Duas pilhas cujas f.e.m. e resistências internas são respectivamente E 1 = 20 V, E 2 = 10 
V e r 1 = 0,5 , r 2 = 0,2  são ligadas por fios de resistência desprezível a um resistor R = 1 , 
segundo o esquema indicado na figura. Determinar as intensidades das correntes nos 
diferentes trechos do circuito. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dados do problema: 
 
Resistências das pilhas f.e.m. das pilhas 
 
 r 1 = 0,5 ; 
 r 2 = 0,2  
 E 1 = 20 V; 
 E 2 = 10 V. 
 
Resistência externa: 
 
 R = 1 . 
 
Solução 
 
Em primeiro lugar a cada ramo do circuito atribuímos, aleatoriamente, um sentido de 
corrente. No ramo EFAB temos a corrente i 1 no sentido horário, no ramo BE a corrente i 3 indo 
de B para E e no ramo EDCB a corrente i 2 no sentido anti-horário. Em segundo lugar para cada 
malha do circuito atribuímos um sentido, também aleatório, para se percorrer a malha. Malha 
(ABEFA) sentido horário e malha  (BCDEB) também sentido horário. Vemos todos 
estes elementos na figura 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
figura 1 
 
• Aplicando a Lei dos Nós 
As correntes i 1 e i 2 chegam no nó B e a corrente i 3 sai dele 
 
 
i3 = i1 + i2 (I) 
 
• Aplicando a Lei das Malhas 
Para a malha  a partir do ponto A no sentindo escolhido, esquecendo a malha 
(figura 2), temos 
 
R i 3 + r 1 i 1−E 1 = 0 (II) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
figura 2 
 
substituindo os valores do problema, temos 
 
 
1 i3 + 0,5 i1−20 = 0 
 
i3 + 0,5 i1 = 20 (III) 
 
Para a malha  a partir do ponto B no sentindo escolhido, esquecendo a malha 
(figura 3), temos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
figura 3 
 
E2−r 2 i 2−r 3 i 3 = 0 (IV) 
 
substituindo os valores 
 
 
10−0,2 i 2−1 i 3 = 0 
 
0,2 i2 + i3 = 10 (V) 
 
As equações (I), (III) e (V) formam um sistema de três equações a três incógnitas (i 1, i 2 
e i 3) 
 
 
i3 = i 1 + i 2 
i
3
+0,5 i
1 
= 20 
0,2 i2 + i3 = 10 
 
isolando o valor de i 1 na segunda equação, temos 
 
20−i 3 
1 0,5 
 
(VI) 
 
isolando o valor de i 2 na terceira equação, temos 
 
10−i 3 
2 0,2 
 
(VII) 
 
 
 
∣ 
I1 = 
I2 = 
 
 
substituindo as expressões (VI) e (VII) na primeira equação obtemos 
 
20−i 3 + 10−i3 
3 0,5 0,2 
 
 
Escrevendo na expressão acima 0,5 = 
10 
e 0,2 = 
10 
fica 
 
i 3 = 
20−i 3 + 10−i 3 
 
10 10 
i3 = 
10
 (20−i 3) + 
10
 (10−i 3) 
 
i3 = 2 (20−i 3) + 5 (10−i 3) 
i3 = 40−2 i 3+ 50−5 i 3 
i
3 
= 90−7 i
3 
i3+7 i 3 = 90 
8 i 3 = 90 
i3 = 
90 
 
i3 = 11,25 A 
 
substituindo o valor encontrado acima nas expressões (VI) e (VII) encontramos os valores de i 1 
e i 2 respectivamente 
 
20−11,25 
1 0,5 
8,75 
1 0,5 
i1 = 17,5 A 
10−11,25 
i2= ------------------------
 0,5 
1,25 
2 0,5 
i 2 =−6,25 A 
 
Como o valor da corrente i2 é negativo, isto indica que seu verdadeiro sentido é 
contrário ao escolhido na figura 1. Os valores das correntes são i1=17,5 A, i2=6,25 A e i3=11,25 
A e seus sentidos estão mostrados na figura 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
figura 4 
 
 
- Duas Malhas, Várias Fontes, Cargas - 
 
No circuito abaixo determinar as correntes nos ramos, seus verdadeiros sentidos e 
quais elementos são geradores e receptores. 
 
 
 
 
 
 
 
i = 
5 2 
5 2 
5 2 
8 
i = 
i =− 
i = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dados do problema 
 
Resistores: 
 
 R 1 = 0,5 ; 
 R 2 = 0,5 ; 
 R 3 = 1 ; 
 R 4 = 0,5 ; 
 R 5 = 0,5 ; 
 R 6 = 3 ; 
 R 7 = 1 . 
 
Geradores e Receptores: 
 
 E 1 = 20 V; 
 E 2 = 20 V; 
 E 3 = 6 V. 
 
Solução 
 
Em primeiro lugar a cada ramo do circuito atribuímos, aleatoriamente, um sentido de 
corrente. No ramo EFAB temos a corrente i 1 no sentido horário, no ramo BE a corrente i 2 de B 
para E e no ramo EDCB a corrente i 3 no sentido anti-horário. Em segundo lugar para cada 
malha do circuito atribuímos um sentido, também aleatório, para se percorrer a malha. Malha 
(ABEFA) sentido horário e malha  (BCDEB) também sentido horário. Vemos todos 
estes elementos na figura 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
figura 1 
 
• Aplicando a Lei dos Nós 
As correntes i 1 e i 3 chegam no nó B e a corrente i 2 sai dele 
 
i 2 = i 1 + i 3 (I) 
 
 
 
• Aplicando a Lei das Malhas 
Para a malha  a partir do ponto A no sentindo escolhido, esquecendo a malha 
(figura 2), temos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
figura 2 
 
R 2 i 1 + R 4 i 2 + E 2 + R 5 i 2 + R 3 i 1 + R 1 i 1−E 1 = 0 
 
substituindo os valores do problema, temos 
 
0,5 i 1 + 0,5 i 2 + 20 + 0,5 i 2 + 1 i 1 + 0,5 i 1−20 = 0 
 
2 i 1 + i 2 = 0 (II) 
 
Para a malha  a partir do ponto B no sentindo escolhido, esquecendo a malha 
(figura 3), temos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
figura 3 
 
 
−R 6 i 3 + E 3−R 7 i 3−R 5 i 2−E 2−R 4 i 2 = 0 
 
substituindo os valores 
 
−3 i 3 + 6−1 i 3−0,5 i 2−20−0,5 i 2 = 0 
−i 2−4i 3−14 = 0 
−i 2−4 i 3 = 14 (III) 
 
As equações (I), (II) e (III) formam um sistema de três equações a três incógnitas ( i 1, i 2 
e i 3) 
 
 
i 2 = i 1 + i 3 
2 i 
1 +
i 
2 
= 0 
−i 2−4 i 3 = 14 
 
∣ 
 
isolando o valor de i 1 na segunda equação, temos 
 
 
i 1 =− 2 
(IV) 
 
isolando o valor de i 2 na terceira equação, temos 
 
i 3 = 
−14−i 2 
(V) 
 
 
substituindo as expressões (IV) e (V) na primeira equação, obtemos 
 
i 2 =− 2 +
(−14−i 2 ) 
−i 2−
i 
2 + (
−14−i 2 )
= 0
 
 
 
o Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.) entre 1, 2 e 4 é 4, então 
 
−4 i 2−2 i 2−14− i 2 
= 0
 
 
−4 i 2−2 i 2−14−i 2 = 0. 4 
−7 i 2−14 = 0 
−7 i 2 = 14 
 
i 2 = −7
 
i 2 =−2 A (VI) 
 
substituindo o valor (VI) encontrado acima nas expressões (IV) e (V) encontramos os valores 
de i 1 e i 3 respectivamente 
 
 
 
i 
1 
=−
−2 ) 
 
i 1 = 1 A 
i 
3 
= 
−14−( −2 ) 
 
i 
3 
= 
−14 + 2 
 
i
3 
= 
−12 
 
i 3 =−3 A 
 
Como o valor das correntes i 2 e i 3 são negativas, isto indica que seus verdadeiros 
sentidos são contrários àqueles escolhidos na figura 1. Os valores das correntes são i1=1 A, 
i2=2 A e i3=3 A e seus sentidos estão mostrados na figura 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
figura 4 
 
 
Os elementos E 1 e E 2 são geradores, pois as correntes têm sentido de (-) para (+) e 
o elemento E 3 é um receptor, o sentido da corrente é de (+) para (-). 
 
 
2 4 
4 
4 
i 2 
4 
i 2 
4 
2 4 
4 
14 
 
- Três Malhas, Várias Fontes, Cargas - 
 
No circuito abaixo determinar as correntes nos ramos, seus verdadeiros sentidos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dados do problema 
 
Resistores 
 
 R 1 = 1 ; 
 R 2 = 2 
 R 3 = 1 ; 
 R 4 = 2 
 R 5 = 1 ; 
 R 6 = 2 Ω 
 
f.e.m. das pilhas 
 
 E 1 = 10 V; 
 E 2 = 20 V. 
 E 3 = 10 V; 
 E 4 = 20 V. 
 
Solução 
 
Em primeiro lugar a cada ramo do circuito atribuímos, aleatoriamente, um sentido de 
corrente. No ramo GHAB temos a corrente i 1 no sentido horário, no ramo BC a corrente i 2 indo 
de B para C, no ramo CDEF a corrente i 3 no sentido horário, no ramo CF a corrente i 4 indo de 
C para F, no ramo FG a corrente i 5 indo de F para G e no ramo BG a corrente i 6 indo de B para 
G. Em segundo lugar para cada malha do circuito atribuímos um sentido, também aleatório, 
para se percorrer a malha. Malha  (GHABG), malha  (BCFGB) e malha (CDEFC) todas 
percorridas no sentido horário (figura 1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
figura 1 
 
• Aplicando a Lei dos Nós 
A corrente i 1 chega ao nó B e as correntes i 2 e i 6 saem dele 
 
 
i 1 = i 2 + i 6 (I) 
 
A corrente i 2 chega ao nó C e as correntes i 3 e i 4 saem dele 
 
 
i 2 = i 3 + i 4 (II) 
 
 
 
 
 
 
As correntes i 3 e i 4 chegam ao nó F e a corrente i 5 sai dele 
 
i 5 = i 3 + i 4 (III) 
 
• Aplicando a Lei das Malhas 
Para a malha  a partir do ponto A no sentindo escolhido, esquecendo as malhas  e 
(figura 2), temos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
figura 2 
 
R 1 i 1−E 2+R 6 i 1−E 1 = 0 
 
substituindo os valores do problema fica 
 
1 i1−20+2 i1−10 = 0 
3 i 1−30 = 0 
3 i 
1 
= 30 
i 1 = 
30
 
 
i 1 = 10 APara a malha a partir do ponto B no sentindo escolhido, esquecendo as malhas  e 
(figura 3), temos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
figura 3 
 
R 2 i 2+E 3+R 5 i 5+E 2 = 0 
 
substituindo os valores 
 
 
2 i 2+10+1 i 5+20 = 0 
2 i 2+i 5+30 = 0 
2 i 
2
+i 
5 
=−30 (IV) 
 
 
 
 
 
3 
 
 
Para a malha  a partir do ponto C no sentindo escolhido, esquecendo as malhas  e 
(figura 4), temos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
figura 4 
 
R 3 i 3−E 4+R 4 i 3−E 3 = 0 
 
substituindo os valores 
 
1 i 3−20+2 i 3−10 = 0 
i 3+2 i 3−30 = 0 
3 i 
3 
= 30 
i 3 = 
30
 
 
i 3 = 10 A 
 
Substituindo os valores de i 1 e i 3 em (I), (II) e (III), temos com as equações (I), (II), (III) 
e (IV) um sistema de quatro equações a quatro incógnitas (i 2, i 4, i 5 e i 6) 
 
 
i 2+i 6 = 10 
i 
2
−i 
4 
= 10 
i 5−i 4 = 10 
2 i 2+i 5 =−30 
 
 
isolando o valor de i 4 na segunda equação, temos 
 
i 4 = i 2−10 (V) 
 
substituindo (V) na terceira equação, obtemos 
 
i 5−( i 2−10 )= 10 
i5−i 2+10 = 10 
i
5
−i 
2 
= 10−10 
i5−i 2 = 0 
i 5 = i 2 (VI) 
 
substituindo (VI) na quarta equação, temos 
 
2 i 2+i 2 =−30 
3 i 2 =−30 
i 2 =−
30
 
 
i 2 =−10 A 
 
Assim pela expressão (VI) também temos 
 
 
 
 
3 
∣ 
3 
 
 
i 5 =−10 A 
 
Substituindo o valor de i 2 na expressão (V), obtemos 
 
i 4 =−10−10 
i 4 =−20 A 
 
Substituindo o valor de i 2 na primeira equação, obtemos 
 
−10+ i 6 = 10 
i 6 = 10+10 
i 
6 
= 20 A 
 
Como o valor das correntes i 2, i 4 e i 5 são negativos, isto indica que seus verdadeiros 
sentidos são contrários ao escolhido na figura 1. Os valores das correntes são i 1=10 A, i 2=10 
A, i 3=10 A, i 4=20 A, i 5=10 A, e i 6=20 A e seus sentidos estão mostrados na figura 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
figura 5 
 
 
No circuito abaixo determinar as correntes nos ramos, seus verdadeiros sentidos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dados do problema 
 
Resistores 
 
 R 1 = 1 ; 
 R 2 = 2 
 R 3 = 1 ; 
 R 4 = 2 
 R 5 = 1 ; 
 R 6 = 2  
 
f.e.m. das pilhas 
 
 E 1 = 10 V; 
 E 2 = 20 V. 
 E 3 = 10 V; 
 E 4 = 20 V. 
 
Solução 
 
Em primeiro lugar a cada ramo do circuito atribuímos, aleatoriamente, um sentido de 
corrente. No ramo GHAB temos a corrente i 1 no sentido horário, no ramo BC a corrente i 2 indo 
de B para C, no ramo CDEF a corrente i 3 no sentido horário, no ramo CF a corrente i 4 indo de 
C para F, no ramo FG a corrente i 5 indo de F para G e no ramo BG a corrente i 6 indo de B para 
G. Em segundo lugar para cada malha do circuito atribuímos um sentido, também aleatório, 
para se percorrer a malha. Malha  (GHABG), malha  (BCFGB) e malha (CDEFC) todas 
percorridas no sentido horário (figura 1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
figura 1 
 
• Aplicando a Lei dos Nós 
A corrente i 1 chega ao nó B e as correntes i 2 e i 6 saem dele 
 
 
i 1 = i 2+i 6 (I) 
 
A corrente i 2 chega ao nó C e as correntes i 3 e i 4 saem dele 
 
 
i 2 = i 3+i 4 (II) 
 
As correntes i 3 e i 4 chegam ao nó F e a corrente i 5 sai dele 
 
i 5 = i 3+i 4 (III) 
 
• Aplicando a Lei das Malhas 
Para a malha  a partir do ponto A no sentindo escolhido, esquecendo as malhas  e 
(figura 2), temos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
figura 2 
 
R 1 i 1−E 2+R 6 i 1−E 1 = 0 
 
substituindo os valores do problema fica 
 
1 i 1−20+2 i 1−10 = 0 
3 i 1−30 = 0 
3 i 
1 
= 30 
i 1 = 
30
 
 
i 1 = 10 A 
3 
 
Para a malha a partir do ponto B no sentindo escolhido, esquecendo as malhas  e 
(figura 3), temos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
figura 3 
 
R 2 i 2+E 3+R 5 i 5+E 2 = 0 
 
substituindo os valores 
 
 
2 i 2+10+1 i5+20 = 0 
2 i 2+i 5+30 = 0 
2 i 
2
+i 
5 
=−30 (IV) 
 
 
Para a malha  a partir do ponto C no sentindo escolhido, esquecendo as malhas  e 
(figura 4), temos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
figura 4 
 
R 3 i 3−E 4+R 4 i 3−E 3 = 0 
 
substituindo os valores 
 
1 i 3−20+2 i 3−10 = 0 
i 3+2 i 3−30 = 0 
3 i 
3 
= 30 
i 3 = 
30
 
 
i 3 = 10 A 
 
Substituindo os valores de i 1 e i 3 em (I), (II) e (III), temos com as equações (I), (II), (III) 
e (IV) um sistema de quatro equações a quatro incógnitas (i 2, i 4, i 5 e i 6) 
 
 
i 2+i 6 = 10 
i 
2
−i 
4 
= 10 
i 5−i 4 = 10 
2 i 2+i 5 =−30 
 
 
3 
∣ 
isolando o valor de i 4 na segunda equação, temos 
 
i 4 = i 2−10 (V) 
 
substituindo (V) na terceira equação, obtemos 
 
i 5−( i 2−10 ) = 10 
i 5−i 2+10 = 10 
i 
5
−i 
2 
= 10−10 
i 5−i 2 = 0 
i 5 = i 2 (VI) 
 
substituindo (VI) na quarta equação, temos 
 
2 i 2+i 2 =−30 
3 i 2 =−30 
i 2 =−
30
 
 
i 2 =−10 A 
 
Assim pela expressão (VI) também temos 
 
 
i 5 =−10 A 
 
Substituindo o valor de i 2 na expressão (V), obtemos 
 
i 4 =−10−10 
i 4 =−20 A 
 
Substituindo o valor de i 2 na primeira equação, obtemos 
 
−10+ i 6 = 10 
i 6 = 10+10 
i 
6 
= 20 A 
 
Como o valor das correntes i 2, i 4 e i 5 são negativos, isto indica que seus verdadeiros 
sentidos são contrários ao escolhido na figura 1. Os valores das correntes são i 1=10 A, i 2=10 
A, i 3=10 A, i 4=20 A, i 5=10 A, e i 6=20 A e seus sentidos estão mostrados na figura 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
figura 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
Leis de Kirchhoff - Exercícios 
 
03. (UFSC) Considere o circuito da figura abaixo, onde estão associados três 
resistores (R1, R2 e R3) e três baterias (E1, E2, E3). Um voltímetro ideal colocado 
entre Q e P indicará: 
 
 
 
 
04. (MACKENZIE) No circuito abaixo, o gerador e o receptor são ideais e as 
correntes têm os sentidos indicados. Calcule o valor das correntes I, I1 e I2 
 
 
 
 
05. Para o circuito abaixo, determine a intensidade da corrente em cada ramo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
06. (UNISA) No circuito abaixo, as intensidades das correntes i1, i2 e i3, em 
ampères, valem, respectivamente: 
 
 5Ω 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
07. Determine a d.d.p. entre os pontos A e B do circuito abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEOREMA DE MAXWELL 
 
- Duas Malhas, Duas Fontes, Carga – 
 
Duas pilhas cujas f.e.m. e resistências internas são respectivamente E 1 = 20 V, E 2 = 10 
V e r 1 = 0,5 , r 2 = 0,2  são ligadas por fios de resistência desprezível a um resistor R = 1 , 
segundo o esquema indicado na figura. Determinar as intensidades das correntes nos 
diferentes trechos do circuito. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dados do problema 
 
Resistências das pilhas f.e.m. das pilhas 
 
 r 1 = 0,5 ; 
 r 2 = 0,2  
 E 1 = 20 V; 
 E 2 = 10 V. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resistência externa 
 
 R = 1 . 
 
Solução 
 
Em primeiro lugar a cada malha do circuito atribuímos, aleatoriamente, um sentido de 
corrente. Na malha ABEFA temos a corrente i 1 no sentido horário, e na malha BCDEB temos a 
corrente i 2 no sentido anti-horário (figura 1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
figura 1 
 
Aplicando a Lei das Malhas de Kirchhoff à malha i 1 a partir do ponto A no sentindo 
escolhido, esquecendo a malha i 2 (figura 2 - a seguir), escrevemos 
 
R ( i 1+i 2 ) +r 1i 1−E 1 = 0 
 
substituindo os valores do problema fica 
 
1( i 1+i 2 ) +0,5 i 1−20 = 0 
i1+ i 2+0,5 i 1 = 20 
1,5 i 1+ i 2 = 20 (I) 
 
Esquecendo a malha i 1 e aplicando a Lei da Malhas à malha i 2, como foi feito acima, 
temos pela figura 3, a partir do ponto B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
figura 2 
 
Esquecendo a malha i 1 e aplicando a Lei da Malhas à malha i 2, como foi feito acima, 
temos pela figura 3, a partir do ponto C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
figura 3 
 
R ( i 1+i 2 ) +r 2 i 2−E 2 = 0 
 
substituindo os valores do problema fica 
 
1( i 1+ i 2 ) + 0,2 i 2−10 = 0 
i1+i 2+0,2 i2 = 10 
i 1+1,2 i2 = 10 (II) 
 
Com as equações (I) e (II) temos um sistema de duas equações a duas incógnitas (i 1 e 
i 2) 
 
 
1,5 i1+i2 = 20 
i 
1
+1,2 i
2 
= 10 
 
isolando o valor de i 2 na primeira equação, temos 
 
i 2 = 20−1,5 i 1 (III) 
 
substituindo este valor na segunda equação, obtemos 
 
i 1+1,2 ( 20−1,5 i1 ) = 10 
i 1+24−1,8 i1 =10 
1,8 i 1−i 1 = 24−10 
0,8 i 1 = 14 
 
i 1 = 0,8 
i 1 = 17,5 A 
 
Substituindo este valor na expressão (III), temos 
 
 
 
i 2 = 20−1,5 .17,5 
i 2 = 20−26,25 
i 2 =−6,25 
 
No ramo BE vai circular uma corrente i 3 dada por 
 
i 3 = i 1+i 2 
i 3 = 17,5+(−6,25) 
i 3 = 17,5−6,25 
i 3 = 11,25 A 
 
O sentido da corrente i 3 será o mesmo da corrente i 1 (de maior valor). 
Como o valor da corrente i 2 é negativo, isto indica que seu verdadeiro sentido é 
contrário ao escolhido na figura 1. Os valores das correntes são i1=17,5 A, i2=6,25 A e i3=11,25 
A e seus sentidos estão mostrados na figura 4. 
 
 
 
∣ 
14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
figura 4 
 
 
- Duas Malhas, Várias Fontes, Cargas - 
 
No circuito abaixo determinar as correntes nos ramos, seus verdadeiros sentidos e 
quais elementos são geradores e receptores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dados do problema 
 
Resistores: 
 
 R 1 = 0,5 ; 
 R 2 = 0,5 ; 
 R 3 = 1 ; 
 R 4 = 0,5 ; 
 R 5 = 0,5 ; 
 R 6 = 3 ; 
 R 7 = 1 . 
 
Geradores e Receptores: 
 
 E 1 = 20 V; 
 E 2 = 20 V; 
 E 3 = 6 V. 
 
Solução 
 
Em primeiro lugar a cada malha do circuito atribuímos, aleatoriamente, um sentido de 
corrente. Na malha ABEFA temos a corrente i 1 no sentido horário e na malha BCDEB temos a 
corrente i 2 também sentido horário (figura 1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
figura 1 
 
Aplicando a Lei das Malhas de Kirchhoff à malha i 1 a partir do ponto A no sentindo 
escolhido, esquecendo a malha i 2 (figura 2 - a seguir), escrevemos 
 
R 2 i 1+R4( i1−i2 )+E 2+R 5 ( i1−i2 )+R 3 i 1+R 1 i 1−E 1 = 0 
 
substituindo os valores do problema fica 
 
0,5 i1+0,5( i1−i2 )+20+0,5 ( i1−i2 )+1 i 1+0,5 i1−20 = 0 
0,5 i1+0,5( i 1−i 2 )+0,5( i 1−i 2 )+1 i1+0,5 i1 = 0 
 
0,5 i1+0,5 i 1−0,5 i 2+0,5 i1−0,5 i2+1 i1+0,5 i1 = 0 
3 i1−i2 = 0 (I) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
figura 2 
 
Esquecendo a malha i1 e aplicando a Lei da Malhas à malha i2, como foi feito acima, 
temos pela figura 3, a partir do ponto B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
figura 3 
 
R 6 i 2+E3+R 7 i 2+R 5 (i 2−i 1 )−E2+R4 ( i 2− i 1) = 0 
 
substituindo os valores do problema fica 
 
3 i2+6+1 i2+0,5 ( i2−i1 )−20+0,5 ( i 2− i 1 ) = 0 
3 i 2+i 2+0,5 i 2−0,5 i 1−14+0,5 i 2−0,5 i 1 = 0 
−i 1+5 i 2 = 14 (II) 
 
Com as equações (I) e (II) temos um sistema de duas equações a duas incógnitas (i 1 e 
i 2) 
 
 
3 i1−i2 = 0 
−i1+5 i2 = 14 
 
isolando o valor de i 2 na primeira equação, temos 
 
i 2 = 3 i1 (III) 
 
substituindo este valor na segunda equação, obtemos 
 
−i1+5.3 i1 = 14 
−i1+15 i1 = 14 
14 i1 = 14 
 
i 1 = 14 
i 1 = 1 A 
 
Substituindo este valor na expressão (III), temos 
 
i 2 = 3.1 
i 2 = 3 A 
 
No ramo BE vai circular uma corrente i 3 dada por 
 
i 3 = i 2−i 1 
i 3 = 3−1 
i 3 = 2 A 
 
O sentido da corrente i 3 será o mesmo da corrente i 2 (de maior valor). 
Como o valor das correntes são todos positivos, isto indica que os sentidos escolhidos 
na figura 1 são corretos. Os valores das correntes são i1=1 A, i2=3 A e i3=2 A e seus sentidos 
estão mostrados na figura 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
figura 4 
 
Os elementos E 1 e E 2 são geradores, pois as correntes têm sentido de (-) para (+) e 
o elemento E 3 é um receptor, o sentido da corrente é de (+) para (-). 
 
 
- Três Malhas, Várias Fontes, Cargas - 
 
No circuito abaixo determinar as correntes nos ramos, seus verdadeiros sentidos. 
 
 
 
∣ 
14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dados do problema 
 
Resistores 
 
 R 1 = 1 ; 
 R 2 = 2
  R 3 = 1 ; 
 R 4 = 2 
 R 5 = 1 ; 
 R 6 = 2 . 
 
f.e.m. das pilhas 
 
 E 1 = 10 V; 
 E 2 = 20 V. 
 E 3 = 10 V; 
 E 4 = 20 V. 
 
Solução 
 
Em primeiro lugar a cada malha do circuito atribuímos, aleatoriamente, um sentido de 
corrente. Nas malhas ABGHA, BCFGB e CDEFC temos, respectivamente, as corrente i 1, i 2 e i 3 
no sentido horário (figura 1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
figura 1 
 
Aplicando a Lei das Malhas de Kirchhoff à malha i 1 a partir do ponto A no sentindo 
escolhido, esquecendo as malhas i 2 e i 3 (figura 2 - a seguir), escrevemos 
 
R 1 i1−E2+R 6 i1−E 1 = 0 
 
substituindo os valores do problema fica 
 
1 i1−20+2 i1−10 = 0 
3 i 1−30 = 0 
3 i
1 
= 30 
i 1 = 
30
 
 
i 1 = 10 A 
 
 
 
 
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
figura 2 
 
Esquecendo as malhas i 1 e i 3 e aplicando a Lei da Malhas à malha i 2, como foi feito 
acima, temos pela figura 3, a partir do ponto B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
figura 3 
 
R 2 i2+E3+R 5 i2+E2 = 0 
 
substituindo os valores 
 
 
2 i2+10+1 i2+20= 0 
2 i 2+i 2+30 = 0 
2 i 
2
+i 
2 
=−30 
3 i 2 =−30 
i 
2 
= 
−30 
 
i
2 
=−10 A 
 
Esquecendo as malhas i1 e i2 e aplicando a Lei da Malhas à malha i3, como foi feito 
acima, temos pela figura 4, a partir do ponto C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
figura 4 
 
R 3 i 3−E4+R4 i3−E3 = 0 
 
 
 
 
 
3 
substituindo os valores 
 
1 i 3−20+2 i3−10 = 0 
i 3+2 i3−30 = 0 
3 i
3 
= 30 
i 3 = 
30
 
 
i 3 = 10 A 
 
No ramo BG vai circular uma corrente i 4 dada por 
 
i 4 = i 1−i 2 
i 4 = 10− (−10 ) 
i 4 = 10+10 
i 4 = 20 A 
 
O sentido da corrente i 4 será o mesmo da corrente i 1. 
No ramo CF vai circular uma corrente i 5 dada por 
 
i 5 = i 3−i 2 
i 5 = 10− (−10 ) 
i 5 = 10+10 
i 5 = 20 A 
 
O sentido da corrente i 5 será o mesmo da corrente i 3. 
Como o valor da corrente i 2 é negativo, isto indica que seu verdadeiro sentido é 
contrário ao escolhido na figura 1. Os valores das correntes são i 1=10 A, i 2=10 A, i 3=10 A, 
i 4=20 A, e i 5=20 A e seus sentidos estão mostrados na figura 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
figura 5 
 
 
- Três Malhas, Várias Fontes, Cargas - 
 
No circuito abaixo determinar as correntes nos ramos e seus verdadeiros sentidos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dados do problema 
 
Resistores 
3 
 R 1 = 2 ; 
 R 2 = 3 
 R 3 = 2 ; 
 R 4 = 2 
 R 5 = 3 ; 
 R 6 = 2 ; 
 R 7 = 3 ; 
 R 8 = 2 . 
 
f.e.m. das pilhas 
 
 E 1 = 5 V; 
 E 2 = 5 V. 
 E 3 = 4 V. 
 
Solução 
 
Em primeiro lugar a cada malha do circuito atribuímos, aleatoriamente, um sentido de 
corrente. Nas malhas ABGHA, BCFGB e CDEFC temos, respectivamente, as corrente i 1, i 2 e i3 
no sentido horário (figura 1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
figura 1 
 
Aplicando a Lei das Malhas de Kirchhoff à malha i 1 a partir do ponto A no sentindo 
escolhido, esquecendo as malhas i 2 e i 3 (figura 2 - a seguir), escrevemos 
 
R 2 i1+R 3( i 1−i 2 ) + R 1 i 1−E 1 = 0 
 
substituindo os valores do problema fica 
 
 
3 i1+2 ( i 1−i 2 )+2 i 1−5 = 0 
3 i1+2i 1−2i 2+2i1 = 5 
7i
1
−2i
2 
= 5 (I) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
figura 2 
 
Esquecendo as malhas i1 e i3 e aplicando a Lei da Malhas à malha i2, como foi feito 
acima, temos pela figura 3, a partir do ponto B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
figura 3 
 
R 4 i2−E2+R6( i2 −i 3 )+R 5 i2+R 3 (ì 2−i 1) = 0 
 
substituindo os valores 
 
2i 2−5+2(i 2−i 3 ) + 3 i2 + 2 ( i 2−i1) = 0 
2i2+2i2−2i3+3 i2+2i2−2i1 = 5 
−2i
1
+9i
2
−2i
3 
= 5 (II) 
 
Esquecendo as malhas i1 e i2 e aplicando a Lei da Malhas à malha i3, como foi feito 
acima, temos pela figura 4, a partir do ponto C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
figura 4 
 
R 8 i 3−E 3+R 7 i 3+R 6 ( i 3−I2 )+E 2 = 0 
 
substituindo os valores 
 
 
2i 3−4+3i3+2(i3−i2)+5 = 0 
2i 3+3i3+2i 3−2 ì2+1 = 0 
−2 ì
2
+7i
3 
=−1 (III) 
 
Com as equações (I), (II) e (III) temos um sistema de três equações a três incógnitas 
( i 1, i 2, i 3, i 4, i 5 e i 6 ) 
 
 
7i 1−2i 2 = 5 
 
−2i 1+9i 2−2 i 3 = 5 (VII) 
−2 ì
2
+7i
3 
=−1 
 
isolando o valor da corrente i 1 na primeira equação e da corrente i 3 na terceira equação, temos 
 
 
7i 1−2i2 = 5 
7 i 1 = 5+2i 2 
i 1 = 
5+2 i 2 
−2 ì 2+7 i 3 =−1 
7 i 3 =−1−2 ì 2 
e i 3 = 
−1+2 ì 2 
(VIII) 
∣ 
7 7 
 
 
substituindo estes valores na segunda equação, obtemos 
 
−2 ( 5+2 i 2 )+9 i 2−2 ( −1+2 ì 2 ) = 5 
−10−4 i 2 +9 i 
2
+
2−4 ì 2 = 5
 
 
 
multiplicando onumerador e o denominador do segundo termo do lado esquerdo da igualdade 
e do lado direito, temos 
 
−10−4 i 2 +
7 
.9 i 2+
2−4 ì 2 
= 5.
7 
−10−4 i 2 63 2−4 ì 2 35 
7 7 2 7 7 
−10−4 i 2+63 i 2+ 2−4 ì 2 35 
7 7 
 
simplificando o fator 7 de ambos os lados da igualdade 
 
−10−4 i 2+63 i 2+2−4 ì 2 = 35 
−8−55 i 2 = 35 
55 i 2 = 35+8 
 
i 2 = 55 
i 2 = 0,78 A 
 
Substituindo este valor nas expressões dadas em (VIII) obtemos os valores das 
correntes i 1 e i 3 
 
 
Observação: ao invés de substituirmos a corrente no valor decimal vamos substituir o valor 
dado pela fração para diminuir erros de arredondamento. 
 
5+2. 
43 
i 1 = 
i 1 = ( 5+2. 55 ) 7 
 
multiplicando o numerador e o denominador do primeiro termo entre parênteses por 55, temos 
 
i 
1 
= ( 5. 55 +2. 43 ) 1 
275 86 1 
 
1 55 55 7 
i 1 = 
361
. 
1 
 
361 
1 385 
i 1 = 0,94 A 
 
−1+2. 
43 
i 3 = 
i 3 = (−1+2. 55 ) 7 
 
 
multiplicando o numerador e o denominador do primeiro termo entre parênteses por 55, temos 
 
7 7 
7 7 
7 7 
7 7 
7 7 
+ i + = 
= 
43 
55 
7 
43 1 
55 55 7 
i = ( ) 
55 7 
i = 
55 
7 
43 1 
i 
3 
= (−1. 55 +2. 43 ) 1 
−55 86 1 
 
3 55 55 7 
i 3 = 
31
. 
1
 
 
31 
3 385 
i 3 = 0,08 A 
 
No ramo BG vai circular uma corrente i 4 dada por 
 
i 4 = i 1−i 2 
361 43 
4 385 55 
 
o Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.) entre 55 e 385 é 60 mmc (55, 385) = 385 
 
361.1−43. 7 
4 385 
361−301 
4 385 
 
i 
4 
= 
385 
 
dividindo o numerador e o denominador por 5 
 
60:5 
4 385:5 
 
i 
4 
= 
77 
i 4 = 0,16 A 
 
O sentido da corrente i 4 será o mesmo da corrente i 1 (de maior valor). 
No ramo CF vai circular uma corrente i 5 dada por 
 
i 5 = i 2−i 3
 
43 31 
5 55 385 
 
o mmc (55, 385) = 385 
 
43.7−31.1 
5 385 
301−31 
5 385 
270 
5 385 
 
dividindo o numerador e o denominador por 5 
 
270 :5 
5 385 :5 
 
i 
5 
= 
77 
i 5 = 0,70 A 
 
O sentido da corrente i 5 será o mesmo da corrente i 2 (de maior valor). 
 
Os valores das correntes são i 1=0,94 A, i 2=0,78 A, i 3=0,08 A, i 4=0,16 A, e i 
5=0,70 A e seus sentidos estão mostrados na figura 5. 
 
 
55 55 7 
i = ( ) 
55 7 
i = 
i = − 
i = 
i = 
60 
i = 
12 
i = − 
i = 
i = 
i = 
i = 
54 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
figura 5 
 
 
TEOREMA DE MAXWELL - EXERCÍCIOS 
 
01. (MACKENZIE) No circuito abaixo, o gerador e o receptor são ideais e as 
correntes têm os sentidos indicados. Calcule o valor das correntes I, I1 e I2. 
 
 
 
 
02. Para o circuito abaixo, determine a intensidade da corrente em cada ramo. 
 
 
 
 
03. (UNISA) No circuito abaixo, as intensidades das correntes i1, i2 e i3, em 
ampères, valem, respectivamente: 
 
 
 
04. Determine a ddp entre os pontos A e B do circuito abaixo. 
 5Ω 
 
 
05. (CESESP-PE) No circuito a seguir, o valor em ohms da resistência R, que deve 
ser colocada entre os pontos A e B para que circule no 
resistor de 10Ω uma corrente de 0,6A,é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEOREMA DE THEVÈNIN 
 
 
O teorema de Thevènin estabelece que qualquer circuito linear visto 
de um ponto, pode ser representado por uma fonte de tensão (igual à 
tensão do ponto em circuito aberto) em série com uma impedância (igual à 
impedância do circuito vista deste ponto). 
 
 
A esta configuração chamamos de Equivalente de Thévenin em 
homenagem a Léon Charles Thévenin1, e é muito útil para reduzirmos 
circuitos maiores em um circuito equivalente com apenas dois elementos 
a partir de um determinado ponto, onde se deseja, por exemplo, saber as 
grandezas elétricas como tensão, corrente ou potência. 
 
 
Resumindo: qualquer rede linear com fonte de tensão e resistências, 
pode ser transformada em uma Rth (resistência equivalente de Thévenin) 
em série com uma fonte Vth (tensão equivalente de Thévenin), 
considerando-se dois pontos quaisquer. 
 
Vejamos um circuito básico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Procedimento para a obtenção do circuito equivalente 
de Thévenin, a partir do resistor R3. 
 
 
1. considerando-se que R3 é uma carga qualquer, elimina-se o mesmo do 
circuito obtendo-se assim os pontos a e b; 
2. coloca-se a fonte E em curto; 
 
3. com a fonte em curto, calcula-se a resistência equivalente vista 
através dos pontos a e b; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. elimina-se o curto da fonte, e calcula-se agora a tensão entre os 
pontos a e b, onde se observa tratar-se de um divisor de tensão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Procedimento para a obtenção do circuito equivalente de 
Thévenin, a partir do resistor R2. 
 
 
Voltando ao circuito inicial, a título de aprendizado e fixação de 
conceito, veremos como ficaria o circuito equivalente de Thévenin a partir do 
resistor R2. 
 
 
1. o procedimento é idêntico ao anterior, só que agora eliminaremos o 
resistor R2; 
 
 
 
 
2. calcula-se a resistência equivalente de Thévenin vista a partir dos 
pontos a e b; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. como anteriormente descrito, elimina-se o curto da fonte e calcula-se 
a tensão equivalente de Thévenin. Neste caso, Vth é a tensão nos 
extremos de R3, que será a mesma entre os pontos a e b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 1: Calcule o equivalente Thévenin no circuito abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. colocando a fonte em curto, podemos calcular a Rth: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rth = 
4 6 
= 
10 
= 2,4Ω
 
 
 
2. eliminando-se o curto da fonte, calcula-se agora Vth, que é a tensão 
nos extremos de R2 
 
 
 
 
 
20 .6 120 
 
4 6 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
= 12V 
Vth = = 
4.6 24 
 
O circuito equivalente Thévenin ficará então composto por Vth e Rth 
conforme ilustra a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste caso, a partir deste circuito equivalente, podemos calcular 
rapidamente a corrente, potência ou tensão em qualquer resistor ligado entre 
os pontos a e b. 
 
 
Para mostrar a utilidade da aplicação do teorema de Thévenin, 
calculemos a corrente em uma carga resistiva de 3,6Ω inserida entre os 
pontos a e b, das duas maneiras: 
 
 
 
1. usando o circuito equivalente de Thévenin: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A corrente na carga será: 
 
 
I = Vth / Rth + R pois os resistores estão em série 
 
 
I = 12 / 2,4Ω + 3,6Ω 
 
 
I = 12 / 6 = 2A 
 
 
2. usando o circuito original (sem o equivalente de Thévenin) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo de IT 
 
IT = E / RT 
 
RT = R1 + R2//3,6Ω = 4Ω + 6Ω//3,6Ω 
 
RT = 4Ω + 2,25Ω = 6,25Ω (6Ω//3,6Ω = 2,25Ω) 
 
IT = 20V / 6,25Ω = 3,2A 
 
3,2 . 6 19,2 
9,6 9,6 
 
Verifica-se que o resultado é o mesmo, porém com um processo de 
cálculo muito mais trabalhoso, principalmente se tivermos que calcular 
valores de correntes em resistores de diversos valores, como por exemplo, 
um resistor variável (potenciômetro). 
 
 
 
EXEMPLO 2: Calcular a tensão, corrente e potência na carga utilizando o 
teorema de Thévenin: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. eliminando a carga: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. curto-circuito na fonte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. calculando a resistência equivalente de Thévenin, vista entre os pontos 
a e b: 
 
 
A resistência equivalente de Thévenin 
vista entre os pontos a e b é: 
 
 
R1 // (R2//R3) 
 
I = = = 2A 
R2//R3 = 
18.9 
= 
162 
= 6Ω 
 
 
Rth = 6Ω//2Ω = 
6.2 
= 
12 
= 1,5Ω 
 
 
4. A tensão equivalente de Thévenin (Vth) é a tensão nos extremos da 
associação paralela entre R2 e R3, portanto, presente entre os pontos 
a e b: 
 
 
 
 
 
Vth = 
20.6 
= 
120 
= 15V
 
 
 
 
 
 
 
 
O circuito equivalente de Thévenin é mostrado abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tensão na carga: 
 
 
Tensão na carga = 
9 1,5 
= 
10,5 
= 12,857V
 
 
 
Corrente na carga: 
 
 
Como se trata de uma associação série, ou um divisor de tensão, 
teremos a corrente igual para os dois resistores, assim: 
 
 
Corrente na carga= 
9 1,5 
= 
10,5 
= 1,428A
 
 
 
 
 
Potência na carga: 
 
 
Potência na carga = E.I, onde E é a tensão na carga (12,857V) e I é acorrente na carga (1,428A) 
 
 
Portanto: 12,857 . 1,428 = 18,36W 
 
 
 
18 9 27 
6 2 8 
6 2 8 
15.9 135 
15 15 
EXEMPLO 3: Calcular a tensão na carga, usando o teorema de Thévenin: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. eliminando a carga e otimizando o circuito, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. colocando a fonte em curto e calculando Rth: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. eliminando o curto da fonte e calculando Vth: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. desenhando o equivalente de Thévenin e calculando a tensão na 
carga: 
 
 
 
 
Tensão na carga: 
 
 
30.15 450 
7,5 15 22,5 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 4: Calcular a tensão nos extremos do resistor R3 (pontos a e b) e 
a corrente que circula pelo mesmo, usando o teorema de Thévenin: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. removendo a carga e colocando E1 em curto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Iniciaremos calculando Vth. A tensão entre os pontos a e b, que é a 
tensão equivalente de Thévenin, é a mesma nos extremos de R1. 
 
Observe que R1 está em paralelo com os pontos a e b devido ao curto 
em E1. 
 
Então Vab, devido ao curto em E1: 
= = = 20V 
R3 6Ω 
 
 
Vab = 
21 .12 
= 
252 
= -16,8V
 
 
 
 
Como a tensão E2 está invertida, então a tensão entre os pontos a e b 
devido a E1, será negativa. 
 
 
2. Colocando E2 em curto e retirando o curto de E1, recalcularemos 
então Vab, vista sob a influência de E1: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calculando Vab devido ao curto em E2: 
 
 
 
Vab = 
84 .3 
= 
252 
= -16,8V 
 
 
 
3. cálculo de Vth: 
 
 
Tanto E1 como E2 produzem – 16,8V entre a e b e essas tensões 
deverão ser somadas por possuírem polaridades iguais. 
 
 
Assim: Vth = -16,8V + -16,8V = -33,6V 
 
 
4. cálculo de Rth: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com E1 e E2 em curto, teremos entre os pontos a e b os resistores R1 
e R2 em paralelo. 
 
 
Assim Rth = 
12 3 
= 
15 
= 2,4Ω
 
 
 
Portanto, teremos o circuito equivalente de Thévenin: 
 
12 3 15 
12 3 15 
12.3 36 
 
 
Tensão em R3 
 
 
33,6 . 6 201,6 
2,4 6 8,4 
 
Corrente em R3 
 
 
33,6 33,6 
2,4  6 8,4 
 
 
 
 
A figura a seguir mostra a simulação do circuito em laboratório virtual 
(Multisim), onde: 
 
XMM1 é o voltímetro que mede a tensão entre a e b 
XMM2 é o amperímetro que mede a corrente em R3 
 
 
 
 
= = 24V 
= = 4A 
 
OBS: a tensão entre os pontos a e b que é a tensão equivalente de Thévenin 
(Vth), pode ser calculada também da seguinte forma: 
 
V1.R2 V2.R1 -84(3)  -21(12) -252  (-252) -504 
R1 R2 12 3 15 15 
 
 
 
EXEMPLO 5: Calcular no circuito a seguir a tensão e a corrente na carga 
(RL) utilizando o teorema de Thévenin. 
 
 
O circuito a seguir tem uma configuração idêntica a Ponte de 
Wheatstone2. 
 
 
Se houver uma correta relação entre os resistores R1, R2, R3 e R4 a 
tensão no resistor RL (entre os pontos a e b) será zero, logo, a corrente 
também será nula. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. elimina-se a carga e calcula-se a tensão nos extremos de cada 
resistor: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30.6 180 
6 4 10 
 
 
VR2 = 
30.4 
= 
120 
= 12V 
 
 
VR3 = 
30.3 
= 
90 
= 10V 
 
 
VR4 = 
30.6 
= 
180 
= 20V 
 
 
 
Entre os pontos c e d temos presente a tensão da fonte. 
 
 
 
 
Os resistores R1+ R2 estão em paralelo com R3 + R4, formando 
VR1 = = = 18V 
6 4 10 
3  6 9 3  6 9 
ambos os ramais um divisor de tensão. 
 
 
2. cálculo de Vth: 
 
 
Considerando o ponto d aterrado teremos o ponto a mais negativo do 
que o ponto b. 
Assim, Vth = - 20V - (-12V) = - 20V + 12V = - 8V 
 
 
Vth = - 8V 
 
 
3. cálculo de Rth: 
 
 
Colocando E em curto, teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rth = 4,4Ω 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 equivalente de Thévenin 
 
 
 
4. cálculo da tensão e corrente na carga (RL) 
 
 
 
 
 
 
Corrente na carga: 
 
 
I = 
4,4 2 
= 
6,4 
= -1,25A
 
 
 
Tensão na carga: 
 
 
- 8 - 8 
VRL = 
4,4 2 
= 
6,4 
= - 2,5V
 
 
 
 
O circuito simulado no laboratório virtual Multisim é mostrado abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEOREMA DE NORTON 
 
Serve para simplificar redes em termos de correntes e não de tensões, 
como é o caso do método de Thévenin. 
O teorema de Norton tal como o Teorema de Thévenin permite 
simplificar redes elétricas lineares, reduzindo-as apenas a um circuito mais 
simples: um gerador de corrente com uma resistência em paralelo. 
 
 
 
 
- 8 .2 -16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Procedimento para a obtenção do circuito equivalente de 
Norton, a partir do resistor R3. 
 
1. considerando-se que R3 é uma carga qualquer, elimina-se o mesmo do 
circuito obtendo-se assim os pontos a e b; 
2. coloca-se a fonte E em curto; 
 
3. com a fonte em curto, calcula-se a resistência equivalente vista 
através dos pontos a e b; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observa-se que o procedimento para calcular a resistência equivalente 
de Norton é idêntico ao usado no método de Thévenin. 
 
 
4. elimina-se o curto da fonte, coloca-se a carga em curto e calcula-se 
agora a corrente entre os pontos a e b. Observa-se que os resistores 
R2 e R3 estão em curto devido ao curto colocado na carga. 
 
 
 
 
Assim, os pontos a e b deslocam-se para os extremos de R2 e a 
corrente equivalente de Norton é a corrente que circula no circuito devido a 
R1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IN = 
R1 





EXEMPLO 1: Calcule o equivalente Norton no circuito abaixo: (este exercício 
foi resolvido no capitulo anterior pelo método de Thévenin) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. colocando a fonte em curto, podemos calcular a RN: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RN = 
4 6 
= 
10 
= 2,4Ω
 
 
 
4. eliminando-se o curto da fonte, e colocando os pontos a e b em curto, 
calcula-se a corrente equivalente de Norton: 
 
 
 
 
 
IN = 
20 
= 5A 
 
 
 
 
 
O circuito equivalente Norton ficará então composto por IN e RN 
conforme ilustra a figura abaixo: 
 
 
 
 
E 
4.6 24 
4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste caso, a partir deste circuito equivalente, podemos calcular 
rapidamente a corrente, potência ou tensão em qualquer resistor ligado entre 
os pontos a e b, a exemplo do que ocorria com o método de Thévenin. 
 
 
Colocando uma carga de 3,6Ω entre a e b, teremos uma corrente na 
mesma, conforme cálculo abaixo: 
 
 
I (carga) = 
2,4 3,6 
= 
6 
= 2A
 
 
 
 
EXEMPLO 2: Calcular a tensão, corrente e potência na carga utilizando o 
teorema de Norton: (este exercício foi resolvido no capitulo anterior pelo 
método de Thévenin) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. eliminando a carga: 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. curto-circuito na fonte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. calculando a resistência equivalente de Norton, vista entre os pontos a 
e b: 
 
 
 
 
 
5 .2,4 12 
 
 
 
A resistência equivalente de Norton 
vista entre os pontos a e b é: 
 
 
R1 // (R2//R3) 
 
 
 
 
 
 
R2//R3 = 
18.9 
= 
162 
= 6Ω 
 
 
RN = 6Ω//2Ω = 
6.2 
= 
12 
= 1,5Ω 
 
 
4. a corrente equivalente de Norton (IN) é a corrente resultante do 
resistor R1, pois com a carga em curto, estando os resistores R2 e R3 
em paralelo com a mesma, todos estarão em curto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto: IN = 
20 
= 10A 
 
 
O circuito equivalente de Norton é mostrado abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Corrente na carga: 
 
 
Corrente na carga = 
1,5  9 
= 
10,5 
= 1,428A
 
 
 
Tensão na carga: 
 
 
 
Tensão na carga = 9 . 1,428 = 12,852V 
 
 
 
 
18  9 27 
6 2 8 
2 
10 .1,5 15 
Potência na carga: 
 
 
Potência na carga = E.I, onde E é a tensão na carga (12,852V) e I é a 
corrente na carga (1,428A) 
 
 
Portanto: 12,852 . 1,428 = 18,35W 
 
 
EXEMPLO 3: Calcular a tensão na carga, usando o teorema de Norton: (este 
exercício foi resolvido no capitulo anterior pelo método de Thévenin)1. eliminando a carga e otimizando o circuito, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. colocando a fonte em curto e calculando RN: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. eliminando o curto da fonte, colocando os pontos a e b em curto 
(carga), podemos calcular IN: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. desenhando o equivalente de Norton e calculando a tensão na carga: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Corrente na carga = 
7,5 15 
= 
22,5 
= 1,333A
 
 
 
 
Tensão na carga = 15 . 1,333 = 19,995V ≈ 20V 
 
 
 
EXEMPLO 4: No circuito a seguir calcular a tensão nos extremos do resistor 
R3 (pontos a e b) e a corrente que circula pelo mesmo, usando o teorema de 
Norton (este exercício foi resolvido no capitulo anterior pelo método de 
Thévenin): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 .7,5 30 
 
 
 
 
1. cálculo de RN: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com E1 e E2 em curto, teremos entre os pontos a e b os resistores R1 
e R2 em paralelo. 
 
 
Assim RN = 
12 3 
= 
15 
= 2,4Ω
 
 
 
2. cálculo de IN: 
 
Colocando a carga em curto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com a carga em curto, resulta nas correntes I1 e I2 provenientes das 
fontes E1 e E2 respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12.3 36 
As correntes I1 e I2 circularão entre os pontos a e b, e como estão no 
mesmo sentido serão somadas. 
 
 
I1 = 
E1 
= 
-84 
= - 7A 
 
 
I2 = 
R2 
= 
-21 
= - 7A 
 
 
Portanto: IN = -7A + (-7A) = - 14A 
 
3. circuito equivalente de Norton 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Corrente na carga: 
 
 
I (carga) = 
14 .2,4 
= 
33,6 
= 4A
 
 
 
Tensão na carga: 
 
 
E (carga) = R . I = 6 . 4 = 24V 
 
 
 
EXEMPLO 5: Calcular no circuito a seguir a tensão e a corrente na carga 
(RL) utilizando o teorema de Norton (este exercício foi resolvido no capitulo 
anterior pelo método de Thévenin): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R1 12 
E2 
3 
6 2,4 8,4 
1. cálculo de RN: 
 
Colocando E em curto, teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RN = 2 + 2,4 = 4,4Ω, pois as associações R3//R4 e R1//R2 
ficam em série, conforme ilustra a figura a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. cálculo de IN: 
 
Para calcular IN, devemos calcular a tensão entre os pontos a e b, sem 
a carga. Essa tensão é a tensão de Thévenin. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observa-se que o ponto a é mais negativo do que o ponto b, 
considerando o ponto d como referência (aterrado). 
A resistência equivalente entre os pontos a e b será então: 2Ω + 2,4Ω 
= 4,4Ω. 
 
 
IN = 
4,4 
= - 1,818A 
 
 
Circuito equivalente de Norton 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Corrente na carga: 
 
 
I (carga) = 
- 1,818 . 4,4 
= 
- 7,992 
= - 1,24875 ≈ - 1,25A 
 
 
Tensão na carga: 
 
 
E (carga) = 2 . -1,25 = - 2,5V 
 
 
 
EXERCÍCIO: 
 
 
No circuito abaixo, calcule a tensão e a corrente na carga RL, 
aplicando os teoremas de Thévenin e Norton e faça a comparação dos 
resultados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. calculando a resistência equivalente de Thévenin e Norton: 
 
 
Lembrando que o processo é o mesmo para o cálculo de RN e Rth 
 
 
- 8 
4,4 2 6,4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24//12 = 
24.12 
= 
288 
= 8Ω 
 
 
30//60 = 
30.60 
= 
1800 
= 20Ω 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RN = Rth = 20 + 8 = 28Ω 
 
 
 
 
 
2. calculando Vth: 
 
 
Retira-se a carga e calcula-se a tensão em cada resistor: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando o ponto c como referência, teremos então o ponto b 
menos positivo do que o ponto d, assim: 
 
Vth = - 30V 
 
 
3. circuito equivalente de Thévenin: 
 
 
24 12 36 
30  60 90 
O circuito equivalente de Thévenin é mostrado a seguir: 
 
 
 
 
 
Corrente na carga: 30 / 38 = 789,47mA 
 
 
Tensão na carga: 10 . 789,47mA = 7,895V 
 
 
 
 
 
 
 
4. calculando IN: 
 
Partindo da tensão de Thévenin - 30V, podemos calcular a corrente de 
Norton: 
 
 
 
 
 
 
 
 
IN = -30 / 28 = - 1,071A 
 
 
 
 
 
 
 
5. circuito equivalente de Norton: 
 
 
 
Corrente na carga: 
1,071.28 
= 
 
29,988 
= 789,158mA 
 
 
Tensão na carga: 10 . 789,158mA 
= 7,892V 
 
 
 
 
 
 
TEOREMA DE MILLMAN 
 
Um conjunto de N fontes de tensão, Vn (n = 1,2,3,..., N), associadas em paralelo, cada qual com 
uma resistência interna Rn, pode ser representado por uma única fonte de tensão V em série com 
um resistor R, tal que: 
 
 
 
 
 
 R1 R2 R3 RN R 
 
 
 + + + ... + + 
 
 V1 V2 V3 VN V 
 - - - - - 
28 10 
38 
 
 
 V1 + V2 + V3 + VN 
 1 = 1 
V = R1 R2 R3 RN R ∑R´s R = ∑R´s 
 
 
 1 + 1 + 1 + 1 
 R1 R2 R3 RN 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
 
1- Utilizando o Teorema de Millman determinar a tensão entre os terminais do resistor RC da 
figura abaixo, bem como a corrente I1 que o atravessa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2- Utilizando o teorema de Millman, determine a tensão medida entre os pontos X e Y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I1 
VRc