cadernos de exercícios estática Vol 8

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MECÂNICA TÉCNICA – CADERNO DE EXERCÍCIOS VOL. 8 
PROF. JOSÉ CARLOS VILAR AMIGO 
20) ATRITO 
QUANDO DOIS CORPOS TENDEM A SE MOVIMENTAR UM EM RELAÇÃO AO 
OUTRO, APARECE UMA RESISTÊNCIA A ESTE MOVIMENTO. ESTA 
RESISTÊNCIA TENDE A IMPEDIR QUE UM CORPO AVANCE NA DIREÇÃO DO 
OUTRO (QUE UM ENTRE DENTRO DO OUTRO) E QUE SE MOVIMENTE EM 
RELAÇÃO AO OUTRO. 
 
ISTO SIGNIFICA QUE APARECERÁ UMA FORÇA QUE IMPEDE UM CORPO DE 
ENTRAR NO LIMITE DO OUTRO E QUE CHAMAREMOS DE FORÇA NORMAL 
E OUTRA FORÇA QUE TENTA IMPEDIR AO MOVIMENTO RELATIVO DOS 
CORPOS QUE CHAMAREMOS DE FORÇA DE ATRITO (VER FIGURA A 
SEGUIR). 
CASO NÃO EXISTISSE FORÇA NORMAL, OS CORPOS SE 
INTERPENETRARIAM. SE NÃO EXISTISSE FORÇA DE ATRITO OS CORPOS 
DESLIZARIAM LIVREMEMTE UNS SOBRE OS OUTROS. 
O ESQUEMA A SEGUIR APRESENTA AS DUAS FORÇAS: A NORMAL, QUE É 
ASSIM CHAMADA PORQUE É A COMPONENTE PERPENDICULAR À 
SUPERFÍCIE DE CONTATO DOS CORPOS, E A FORÇA DE ATRITO, QUE É 
SEMPRE TANGENCIAL AO PONTO DE CONTATO DAS SUPERFÍCIES. 
A RESULTANTE (SOMA VETORIAL) DA NORMAL, “N” E DO ATRITO “Fa” 
DARÃO A RESISTÊNCIA TOTAL “R”, ENTRE OS DOIS CORPOS EM CONTATO. 
 
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A FORÇA DE ATRITO É, PORTANTO, UMA FORÇA TANGENCIAL QUE SE 
DESENVOLVE ENTRE SUPERFÍCIES NÃO LISAS. 
SUPERFÍCIES REAIS SÃO RUGOSAS (NÃO LISAS), MAS POR VEZES 
CONSIDERAMOS AS SUPERÍFICIES IDEAIS COMO LISAS E, PORTANTO, SEM 
ATRITO. 
AS FORÇAS DE ATRITO SÓ SE DESENVOLVEM QUANDO DUAS SUPERFÍCIES 
TENDEM A DESLIZAR UMA SOBRE A OUTRA. SE NÃO TEM ESFORÇO 
FORÇANDO O DESLIZAMENTO DAS DUAS SUPERFÍCIES ENTRE SI, NÃO HÁ 
ATRITO. O ATRITO É, PORTANTO, UMA FORÇA REATIVA AO MOVIMENTO. 
SE NÃO TEM TENDÊNCIA A MOVIMENTO NÃO TEM ATRITO. 
PELA SUA NATUREZA, A FORÇA DE ATRITO TEM SENTIDO SEMPRE 
CONTRÁRIO À DIREÇÃO DA TENDÊNCIA DO DESLIZAMENTO. ASSIM, PARA 
DIFINIRMOS O SENTIDO DA FORÇA DE ATRITO (JÁ QUE A DIREÇÃO É 
SEMPRE TANGENCIAL AO PONTO OU ÁREA DE CONTATO DAS 
SUPERFÍCIES), IMAGINAMOS COMO UM CORPO DESLIZARÁ EM RELAÇÃO 
AO OUTRO. A FORÇA DE ATRITO TERÁ SENTIDO CONTRÁRIO AO DA 
TENDÊNCIA AO MOVIMENTO DE DESLIZAMENTO. 
EXEMPLOS DE DEFINIÇÃO DO SENTIDO DA FORÇA DE ATRITO: 
REPRESENTAMOS 4 SISTEMAS SUBMETIDOS A FORÇAS QUE TENDEM A 
PROVOCAR O DESLIZAMENTO DO CORPO ISOLADO NO DIAGRAMA DE 
CORPO LIVRE (DCL) 
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a) NESTE CASO O BLOCO TENDE A DESLIZAR PARA A DIREITA POR 
EFEITO DA FORÇA F QUE O PUXA NESTE SENTIDO, LOGO A FORÇA 
DE ATRITO SERÁ PARA A ESQUERDA; 
b) NESTE CASO A FORÇA F EMPURRA O ROLO PARA A ESQUERDA. SE 
NÃO HOUVER ATRITO O ROLO DESLIZA PARA A ESQUERDA.LOGO A 
FORÇA DE ATRITO REAGE A DESTE DESLIZAMENTO, TENDO O 
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SENTIDO PARA A DIREITA. É A FORÇA DE ATRITO QUE FARÁ O ROLO 
GIRAR; 
c) O ROLO DA SITUAÇÃO (c) EMBORA SEJA PARECIDAO COM O DA (b), 
DIFERE POR TER UM TORQUE “M” EXTERNO QUE TENDE A GIRÁ-LO 
NO SENTIDO ANTI-HORÁRIO. ASSIM A SUPERFÍCIE DO ROLO (E NÃO 
O ROLO, MAS SIM A SUPERFÍCIE DO MATERIAL DE QUE O ROLO É 
FEITO) TENDE A DESLIZAR EM RELAÇÃO AO SOLO PARA A DIREITA, 
NO SENTIDO ANTI-HORÁRIO, COMO O DO TORQUE. A REAÇÃO DO 
SOLO SERÁ, PORTANTO, PARA A ESQUERDA, SENDO ESTE O SENTIDO 
DA FORÇA DE ATRITO. A FORÇA DE ATRITO FARÁ O ROLO ANDAR 
PARA A ESQUERDA; 
d) NESTA SITUAÇÃO TEMOS DOIS BLOCOS, SENDO UM IMPEDIDO DE SE 
MOVIMENTAR POR ESTAR PRESO A UMA CORDA E OUTRO 
SUBMETIDO À FORÇA “F”. O MOVIMENTO RELATIVO (E NÃO 
ABSOLUTO, VISTO QUE O BLOCO “A” ESTÁ PRESO À CORDA) DO 
BLOCO “A” SOBRE O “B” SERÁ PARA A DIREITA, COMO SE O BLOCO 
“A” CAMINHASSE PARA A EXTREMIDADE SUPERIOR DO “B”. ASSIM, 
A FORÇA DE ATRITO DO BLOCO “B” SOBRE O “A” TERÁ SENTIDO 
PARA A ESQUERDA. DA MESMA FORMA, O BLOCO “B” TEM 
MOVIMENTO RELATIVO EM RELAÇÃO AO “A” PARA A DIREITA, 
DESCENDO O PLANO, DE FORMA TAL QUE APARECÁ UMA FORÇA DE 
ATRITO DE SENTIDO CONTRÁRIO ÀQUELA REPRESNTADA NO 
BLOCO “A” E DE IGUAL MÓDULO QUE A REPRESENTADA NO BLOCO 
“A”. APARECERÁ TAMBÉM A FORÇA DE ATRITO DO SOLO SOBRE O 
BLOCO “B”, CONTRARIANDO O MOVIMENTO RELATIVO DO BLOCO 
“B” EM RELAÇÃO AO SOLO. 
- ATRITO ESTÁTICO E DINÂMICO (OU CINÉTICO) 
O GRÃFICO A SEGUIR REPRESENTA A VARIAÇÃO DO VALOR DA FORÇA DE 
ATRITO, QUE APARECE QUANDO UM CORPO É SOLICITADO POR UMA 
FORÇA F DE VALOR CRESCENTE. 
OBSERVA-SE QUE O VALOR DA FORÇA DE ATRITO VAI AUMENTANDO 
LINEARMENTE COM A FORÇA F, ATÉ ATINGIR UM VALOR MÁXIMO. A 
FORÇA DE ATRITO QUE OCORRE NESTE VALOR MÁXIMO É CHAMADA DE 
FORÇA DE ATRITO ESTÁTICO MÁXIMA. 
 
O VALOR DESTA FORÇA DE ATRITO MAXIMA PODE SER CALCULADO 
MULTIPLICANDO-SE UM FATOR EMPÍRICAMENTE DETERMINADO, 
CHAMADO COEFIENTE DE ATRITO ESTÁTICO, µs, PELO VALOR DA FORÇA 
NORMAL, QUE É A COMPONENTE NORMAL DA REAÇÃO TOTAL “R” ENTRE 
AS DUAS SUPERFÍCIES. 
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PARA UM VALOR DA FORÇA F MAIOR QUE A FORÇA DE ATRITO ESTÁTICA 
MÁXIMA, OS DOIS CORPOS ESTARÃO NA IMINÊNCIA DE DESLIZAR ENTRE 
SI. 
 SE OS CORPOS DESLIZAREM ENTRE SI, AINDA EXISTIRÁ ATRITO ENTRE 
ELES. ESTE ATRITO É CONHECIDO COMO ATRITO DINÂMICO OU CINÉTICO 
(KINETIC) E SEU VALOR PODE SER CALCULADO MULTIPLICANDO-SE UM 
COEFICIENTE CHAMADO COEFICIENTE DE ATRITO DINÂMICO, µk, PELA 
FORÇA NORMAL N, QUE JUNTO COM A FORÇA DE ATRITO COMPÕE A 
REAÇÃO ENTRE AS DUAS SUPERFÍCIES. 
LOGO NO DESLIZAMENTO, Fa = µk, . N 
- COMO SE DETERMINA O COEFICIENTE DE ATRITO ESTÁTICO 
UMA EXPERIÊNCIA SIMPLES PARA SE DETERMINAR O COEFICIENTE DE 
ATRITO ESTÁTICO ENTRE DUAS SUPERFÍCIES DE MATERIAIS “A” E “B”, 
CONSISTE EM COLOCAR O CORPO DE MATERIAL “A” SOBRE UM PLANO 
INCLINADO QUE TEM A SUPERFÍCIE RECOBERTA COM O MATERIAL “B” E 
QUE PODE VARIAR SEU ÂNGULO DE INCLINAÇÃO CONTINUAMENTE. 
 
 DO DIAGRAMA DE CORPO LIVRE DO CORPO SOBRE O PLANO, 
REPRESENTADO A SEGUIR, PODE-SE CONCLUIR QUE A NORMAL N ENTRE 
AS DUAS SUPERFÍCIES VALE W . cosθ E QUE A FORÇA DE ATRITO VALE W . 
senθ. 
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SE DIVIDIRMOS A FORÇA DE ATRITO PELA FORÇA NORMAL TEREMOS F / N 
= W . senθ / W . cosθ = tg θ. O VALOR tg θ , ONDE θ É O ÂNGULO LIMITE A 
PARTIR DO QUAL HAVERÁ DESLIZAMENTO DO CORPO SOBRE O PLANO, 
SERÁ DIFINIDO COMO O COEFICIENTE DE ATRITO ESTÁTICO ENTRE DUAS 
SUBST\ÃNCIAS “A” E “B”, OU SEJA, tg α = µs. LOGO, PARA SE DETERMINAR 
µs VARIAMOS O ÂNGULO θ ATÉ QUE O CORPO FIQUE NA IMINÊNCIA DE 
DESLIZAR; A tg θ SERÁ NUMERICAMENTE IGUAL AO COEFICIENTE DE 
ATRITO ESTÁTICO µs. 
EXEMPLO DE APLICAÇÃO; 
TOMEMOS UM PLANO INCLINADO COM ÂNGULO DE DE 10O. SE 
COLOCARMOS SOBRE ELE UM CORPO DE MATERIAL TAL, QUE O 
COEFICIENTE DE ATRITO ESTÁTICO ENTRE O MATERIAL DO CORPO E DO 
PLANO SEJA µS = 0,20 E O COEFICIENTE DE ATRITO DINÂMICO, µk = 0,16: 
 a) O QUE ACONTECERÁ COM O CORPO SE O COLOCARMOS NO PLANO 
INICIALMENTE SEM DESLIZAMENTO? 
b) SE DERMOS UM PEQUENO EMPURRÃO QUE DESLIZE O CORPO SOBRE O 
PLANO? 
RESPOSTAS: a) COMO A TANGENTE DE 10O VALE 0,176, SENDO O 
COEFICIENTE DE ATRITO ESTÁTICO MAIOR QUE ESTE ÂNGULO, PODEMOS 
CONCLUIR, COM BASE NO EXPERIMENTO PARA DETERMINAÇÃO DO 
ÂNGULO LIMITE PARA COLOCAR O BLOCO NA IMINÊNCIA DE 
DESLIZAMENTO, QUE O BLOCO PERMANECERÁ PARADO, POIS: µS = 0,20 > 
tg 10O = 0,176. 
b) SE DERMOS UM PEQUENO IMPULSO NO CORPO, COLOCANDO-O EM 
MOVIMENTO, ELE ENTRERÁ NA REGIÃO DE ATRITO DINÂMICO. DESTA 
FORMA ELE CONTINUARÁ DESLIZANDO, UMA VEZ QUE O COEFICIENTE DE 
ATRITO DINÂMICO É MENOR QUE O ÂNGULO LIMITE PARA COLOCAR O 
CORPO NA IMINÊNCIA DO MOVIMENTO, OU SEJA, µk = 0,16 < tg 10
O = 0,176. 
21 - TIPOS CLÁSSICOS DE PROBLEMAS CLÁSSICOS ENVOLVENDO ATRITO 
1 – O PRIMENTO TIPO CLÁSSICO DE PROBLEMA É AQUELE NO QUAL 
SABEMOS QUE A FORÇA DE ATRITO ESTÁTICO ATINGIU SEU LIMITE 
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MÁXIMO E O CORPO SE ENCONTRA NA IMINÊNCA DE DESLIZAR SOBRE A 
SUPERFÍCIEDE CONTATO. 
EXEMPLO (BASEADO NO EXEMPLO 6.2 DO MERIAM 6ª EDIÇÃO)O BLOCO DE MASSA m = 100 kg ENCONTRA-SE INICIALMENTE EM REPOUSO, 
POR AÇÃO DA FORÇA P. QUAL SERÁ OS VALORES MÍNIMOS E MÁXIMOS DA 
FORÇA “P” ATUANDO NO BLOCO, QUE COLOCARÃO O BLOCO NA 
IMINÊNCIA DE DESLIZAR. O COEFICIENTE DE ATRITO ESTÁTICO ENTRE O 
BLOCO E O PLANO VALE 0,20 E O DINÂMICO 0,17. 
 
SOLUÇÃO 
DE ANTEMÃO, COMO A tg 20O = 0,36, PODEMOS AFIRMAR QUE DEIXADO O 
BLOCO LIVRE, SEM AÇÃO DE P, ELE DESLIZARÁ, UMA VEZ QUE ESTE 
VALOR É MAIOR DO QUE O DO COEFICIENTE DE ATRITO ESTÁTICO µs = 0,20. 
PARA O DESLIZAMENTO DO BLOCO TEREMOS DUAS SITUAÇÕES: 
SITUAÇÃO 1: O BLOCO TENDE A DESLIZAR PARA BAIXO NO PLANO 
INCLINADO. NESTE CASO TEREMOS A FORÇA DE ATRITO DIRECIONADA 
PARA A DIREITA (LINHA CHEIA NO DCL REPRESNTADO A SEGUIR). 
SITUAÇÃO 2: O BLOCO TENDE A DESLIZAR PARA CIMA DO PLANO 
INCLINADO. NESTE CASO TEREMOS A FORÇA DE ATRITO DIRECIONADA 
PARA A ESQUERDA (LINHA PONTILHADA NO DCL REPRESENTADO A 
SEGUIR). 
a) DIAGRAMA DE CORPO LIVRE DA MASSA: 
 
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b) RACIONAL DA SOLUÇÃO 
TANTO NA SITUAÇÃO 1 COMO NA 2 A FORÇA DE ATRITO TERÁ VALOR 
MÁXIMO, OU SEJA, Fa = µs . N, ONDE O VALOR DE N VARIARÁ COM A 
SITUAÇÃO EM ANÁLISE. 
SITUAÇÃO 1: 
NESTE CASO, A CONDIÇÃO NECESSÁRIA PARA HAVER EQUILÍBRIO, JÁ QUE 
ESTAMOS CONSIDERANDO A IMINÊNCIA DO MOVIMENTO E, PORTANTO, A 
MASSA AINDA EM REPOUSO, TEREMOS, CONSIDERANDO A ACELARAÇÃO 
DA GRAVIDADE g = 10 m/s2: 
Σ Fx = 0 => Fa + P cos 20 – W sen 20 = 0 , OU SEJA, µs . N + 0,94P = 342 (eq.1) 
Σ Fy = 0 => N - P sen 20 – W cos 20 = 0 , OU SEJA, N – 0,34P = 939 (eq.2) 
DAS EQUAÇÕES 1 E 2 TEREMOS, COM µs = 0,20, P = 153 N E N = 991 N E 
LOGO Fa = 198 N. 
SITUAÇÃO 2: 
Σ Fx = 0 => - Fa + P cos 20 – W sen 20 = 0 , OU SEJA, - µs . N + 0,94P = 342 (eq.3) 
Σ Fy = 0 => N - P sen 20 – W cos 20 = 0 , OU SEJA, N – 0,34P = 939 (eq.4) 
DAS EQUAÇÕES 3 E 4 TEREMOS, COM µs = 0,20, P = 607 N E N = 733 N E 
LOGO Fa = 147 N. 
ASSIM CONCLUÍMOS QUE SE P< 153 N OU P > 607 N, O BLOCO DESLIZARÁ, 
PARA BAIXO OU PARA CIMA, RESPECTIVAMENTE. 
NOSSA QUESTÃO PODERIA SER AINDA ALGO COMO: 
- PARA UMA FORÇA P = 500 N O QUE ACONTECERIA COM A MASSA? 
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NESTE CASO, O BLOCO PERMANECERIA PARADO, VISTO QUE A FORÇA “P” 
É MAIOR QUE 153 N E MENOR QUE 607 N. A FORÇA DE ATRITO SERÁ 
CALCULADA PELA EQUAÇÃO 3 ANTERIOR, OU SEJA, - µs . N + 0,94P = 342, 
COM P = 500N E A NORMAL PELA EQUAÇÃO 4, OU SEJA, N = 0,34x500 + 939 
- PARA UMA FORÇA P= 100 N O QUE ACONTECERI COM A MASSA? 
NESTE CASO, O BLOCO DESLIZARIA PARA BAIXO. COMO ESTARÁ 
DESLIZANDO, O VALOR DA FORÇA DE ATRITO SERÁ A DO ATRITO 
DINÂMICO, OU SEJA, Fa = µk . N, ONDE N É CALCULADA PELA EQUAÇÃO 2, 
OU SEJA, N – 0,34P = 939 OU N = 0,34x100 + 939 (N). 
2 - O SEGUNDO TIPO DE PROBLEMA É AQUELE EM QUE SABEMOS QUE UM 
CORPO DESLIZA SOBRE O OUTRO, CASO EM QUE ESTAREMOS NA REGIÃO 
DE ATRITO DINÂMICO E ONDE A FORÇA DE ATRITO É CALCULADA POR Fa 
= µk . N, ONDE µk É O COEFICIENTE DE ATRITO DINÂMICO E N A 
COMPONENTE NORMAL DA REAÇÃO DAS SUPERFÍCIES. 
EXEMPLO (EXEMPLO 6/4 DO LIVRO DO MERIAM 6ª EDIÇÃO) 
 
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a) DIAGRAMA DE CORPO LIVRE DO BLOCO 
 
COMO O BLOCO ESTARÁ NA IMINÊNCIA DE TOMBAR, POIS ESTARÁ 
CAMINHANDO PARA A SITUAÇÃO LIMITE, A FORÇA DE REAÇÃO ATUARÁ 
NO PONTO A E NÃO NO CENTRO DA LARGURA b, COMO PODERÍAMOS 
SUPOR. 
b) RACIONAL DA SOLUÇÃO 
b.1) COMO O BLOCO ESTÁ DESLIZANDO TEREMOS QUE Fk = µk . N 
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b.2) COMO O SISTEMA ESTÁ EM EQUILÍBRIO 
 
NOTA: CHEGARÍAMOS AO MESMO RESULTADO E OBSERVASSEMOS QUE 
PARA O SISTEMA ESTAR NO LIMITE DO EQUILÍBRIO AS FORÇAS ATUANTES 
NÃO PODERIAM FAZER MOMENTO EM RELAÇÃO A QUALQUER PONTO, E 
EM ESPECIAL, AO PONTO DENOMINADO B NO DCL. 
PELA ANÁLISE GEOMÉTRICA E LEMBRANDO QUE Fa / N = µk = tg θ = = b/2h O 
QUE RESULTARIA QUE h = b/2 µk, COMO CONCLUÍDO PELA ANÁLISE 
ANTERIOR. 
3 – O TERCEIRO TIPO CLÁSSICO DE PROBLEMA DE ATRITO É AQUELE ONDE 
NÃO SE SABE SE O MOVIMENTO EXISTE E MESMO SE O ATRITO MÁXIMO 
FOI ATINGIDO. NESTA SITUAÇÃO TOMAMOS UMA HIPÓTESE SOBRE O 
MOVIMENTO OU SOBRE O VALOR DA FORÇA DE ATRITO E VERIFICAMOS 
AO FINAL SE A HIPÓTESE ADOTADA É CONSISTENTE. 
EXEMPLO (EXEMPLO 6/5 DO MERIAM 6ª EDIÇÃO): 
 
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a) DIAGRAMA DE CORPO LIVRE DE CADA BLOCO 
BLOCO DE 30 kg BLOCO DE 50 kg BLOCO DE 40 kg 
 
 
NESTE DCL REPRESENTAMOS AS FORÇAS DE ATRITO EM SENTIDOS 
CONTRÁRIOS AOS DA TENDÊNCIA DOS MOVIMENTOS RELATIVOS ENTRE 
OS BLOCOS. 
PELA ANÁLISE DO SISTEMA, VERIFICAMOS QUE AS POSSIBILIDADES DE 
DESLIZAMENTO SERÃO: 
a) O BLOCO DE 50 kg DESLIZARÁ SOBRE O DE 40 kg (O DE 30 kg 
PERMANECERÁ PRESO PELO ARAME); 
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b) OS BLOCOS DE 50 E 40 kg DESLIZARÃO JUNTOS, DESLIZANDO O BLOCO 
DE 40 kg SOBRE O PLANO INCLINADO. 
COMO NÃO PODEMOS SABER “A PRIORI” QUAL A SITUAÇÃO QUE 
OCORRERÁ, TOMAREMOS POR HIPÓTESE QUE O BLOCO DE 50 kg 
DESLIZARÁ SOBRE O DE 40 kg E VERIFICAREMOS SE ESTA HIPÓTESE É 
CONSISTENTE. 
a) CALCULANDO AS FORÇAS NORMAIS PARA CADA UM DOS BLOCOS 
TEMOS: 
 
b) COM A HIPÓTESE ADOTADA (BLOCO DE 50 kg DESLIZA SOZINHO 
TEREMOS: