Livro Samanhez - Matemática Financeira - Resolução dos Exercícios

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Matemática Financeira: Aplicações à 
Análise de Investimentos 
 
4ª. Edição 
 
Resolução dos Exercícios 
Propostos 
 
Entre os méritos deste livro, que fazem dele um dos preferidos pelos 
estudantes e professores, está explicar os diferentes assuntos da 
matemática financeira e da análise de investimentos por meio de uma 
grande quantidade de exemplos e de exercícios apresentados ao longo 
dos capítulos. 
 
Nesta quarta edição, disponibilizamos aos leitores as resoluções 
detalhadas dos 366 exercícios propostos no livro. 
 
Esperamos que este novo recurso facilite a compreensão e o estudo dos 
diversos assuntos tratados. 
 
Agradeço às pessoas que colaboraram na elaboração deste material, 
especialmente a Eduardo Estellita, do curso de Engenharia de Produção 
da PUC-Rio, pela valiosa colaboração. 
 
 
 
O autor 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 1 
Exercícios Propostos 
Atenção: Na resolução dos exercícios considerar, salvo menção em contrário, ano comercial de 360 
dias. 
 
1. Qual é a taxa anual de juros simples obtida em uma aplicação de $1.300 que produz, após um ano, 
um montante de $1.750? 
Dados: P = $1.300, S = $1.750, i = ? 
S P (1 i) $1.750 $1.300 (1 i) i 34,61% a.a.= × + ⇒ = × + ⇒ = 
2. Qual é a remuneração obtida em um capital de $2.400 aplicado durante 17 meses à taxa de juros 
simples de 60% a.a.? 
Dados: P = $2.400, i = 60% a.a., n = 17 meses, J = ? 
0,6J P i n J $2.400 17 J= $2.04012= × × ⇒ = × × ⇒ 
 
3. Calcular o rendimento de um capital de $80.000 aplicado durante 28 dias à taxa de juros simples de 
26% a.m.. 
Dados: P = $80.000, i = 26% a.m., n = 28 dias, J = ? 
0,26
J P i n J $80.000 28 J= $19.413,33
30
= × × ⇒ = × × ⇒ 
 
4. Aplicando $80.000 durante 17 meses, resgatamos $140.000. Qual é a taxa anual de juros simples 
obtida na operação? 
Dados: P = $80.000, S = $140.000, n = 17 meses, i = ? 
i
S P (1 i n) $140.000 $80.000 (1 17) i 52,94% a.a.
12
= × + × ⇒ = × + × ⇒ = 
 
5. Em quantos meses um capital de $28.000, aplicado à taxa de juros simples de 48% a.a., produz um 
montante de $38.080? 
Dados: P = $28.000, S = $38.080, i = 48% a.a., n = ? 
0,48
S P (1 i n) $38.080 $28.000 (1 n) n= 9 meses
12
= × + × ⇒ = × + × ⇒ 
 
6. Um capital aplicado transformou-se em $13.000. Considerando-se uma taxa de juros simples de 
42% a.a e uma remuneração de $4.065,29, determinar o prazo da aplicação. 
Dados: S = $13.000, i = 42% a.a., J = $4.065,29, n = ? (meses) 
0, 42
$13.000 × × n S × i × n 12J = $4.065, 29 = 
0, 421 + i × n 1 + × n 
12
455 × n 
$4.065, 29 = n = 13 meses
1 + 0, 035 × n 
⇒
⇒ ⇒
 
 
7. Um capital de $135.000 transformou-se em $180.000 após 44 dias de aplicação. Calcular a taxa de 
juros obtida na operação. 
Dados: P = $135.000, S = $180.000, n = 44 dias, i = ? 
 2
i
S P (1 i n) $180.000 $135.000 (1 44) i 22,73% a.m.
30
= × + × ⇒ = × + × ⇒ = 
 
8. João tem uma dívida de $35.000 que vence em 16 meses. Pretende pagar $12.000 no fim de 158 
dias e $13.000 189 dias depois desse primeiro pagamento. Quanto deve pagar na data de vencimento 
para liquidar a dívida? Considere juros simples de 50% a.a. e data focal no vencimento da dívida. 
Dados: i = 50% a.a. 
 
 
 0 158 347 480 
 - $12.000 - $13.000 $35.000 
 133 dias 
 322 dias 
 
0,50 0,50
Valor no vencimento $35.000 - $12.000 1 322 $13.000 1 133 $2.231,95
360 360
= + × − + × =⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
 
9. Um capital acrescido de seus juros de 21 meses soma $156.400. O mesmo capital diminuído de seus 
juros de nove meses é reduzido a $88.400. Calcular o capital e a taxa de juros simples obtida. 
Dados: S1 = $156.400, S2 = $88.400, n1 = 21 meses, n2 = 9 meses, P = ?, i = ? 
Podemos montar 2 equações para 2 incógnitas: 
108.800P a.a.) .m.(25%2,083333%ai 400.88$9iPP
156.400$12iPP
==⇒=××−
=××+
 
 
 
10. Um capital de $4.500 foi dividido em três parcelas que foram aplicadas pelo prazo de um ano. A 
primeira a juros simples de 4% a.t., a segunda a juros simples de 6% a.t. e a terceira a juros simples de 
10% a.t.. Considerando-se que o rendimento da primeira parcela foi $160 e o rendimento das três 
parcelas totalizou $ 1.320, calcular o valor de cada parcela. 
Dados: P1 + P2 + P3 = $4.500, i1 = 4% a.t., i2 = 6% a.t., i3 = 10% a.t., n = 1 ano = 4 trimestres, J1 = 
$160, J1 + J2 + J3 = $1.320, P1 = ?, P2 = ?, P3 = ? 
 
J P i n= × × 
Logo, 
J1 P1 i1 n $160 P1 4 P1 $1.000
J2 P2 i2 n
J3 P3 i3 n
J1 + J2+ J3 (P1 i1 P2 i2 P3 i3 n $1.320 ( P2 P3 4 P2 P3 $290
0,04
 + + ) 40 + 0,06 + 0,1) 0,06 + 0,1 = 
= × × ⇒ = × × ⇒ =
= × ×
= × ×
= × × × × ⇒ = × × × ⇒ × ×
Portanto, 
 
2 3
2 3
2 3
P 0,06+ P 0,1 = $ 290
P = $1.500, P = $2.000
P + P = $3.500
× ×⎧ ⎫ ⇒⎨ ⎬⎩ ⎭
 
11. Dois capitais, um de $2.400 e outro de $1.800, foram aplicados a uma mesma taxa de juros 
simples. Calcular a taxa, considerando-se que o primeiro capital em 48 dias rendeu $17,00 a mais que 
o segundo em 30 dias. 
Dados: J1 – J2 = $17, n1 = 48 dias, n2 = 30 dias, P1 = $2.400, P2 = $1.800, i = ? 
 
1 2 1 1 2 2
i iJ - J (P n - P n ) $17 ( $2.400 48 - $1.800 30) i 0,833% a.m.
30 30
= × × × ⇒ = × × × ⇒ = 
 
 3
12. Um capital foi aplicado a juros simples de 42% a.a. durante 50 dias. Calcular o capital, 
considerando-se que, se a diferença entre ele e os juros obtidos fosse aplicada à mesma taxa, renderia 
$988,75 em um trimestre. 
Dados: i = 42% a. a., n1 = 50 dias, n2 = 90 dias, P = ? 
 
( )
1 = 
0,42juros obtidos no prazo de 50 dias = P i n P 50
360
0,42 0,42 0,42 0,42P- P 50 90 $988,75 P 1 50 90 $988,75 P= $10.000360 360 360360
× × × ×
⎛ ⎞× × × × = ⇒ × − × × × = ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠
 
 
13. Certo capital foi aplicado a juros simples de 30% a.a. durante 50 dias. Calcular o capital e o 
rendimento obtido, considerando-se que, se a diferença entre ambos, acrescida de $10.000, fosse 
aplicada à mesma taxa, renderia $95.000 no prazo de um ano. 
Dados: i = 30% a. a., n1 = 50 dias, n2 = 1 ano, P = ? 
 
( ) ( )
1 1
1 2
J = P i n
0,30P-J + $10.000 i n $95.000 P 1 50 0, 30 1+ $10.000 0, 30 1 $95.000360
P= $320.000
× ×
× × = ⇒ × − × × × × × =
⇒
Logo, 
 1 1 1 10,3J = P i n J = $320.000 50 J = $13.333,33360⇒ ⇒× × × × 
 
14. Uma pessoa aplicou dois capitais a juros simples, o primeiro a 33% a.a. e o segundo a 45% a.a. 
Considerando-se que o rendimento de ambas as aplicações totalizou $52.500 no prazo de um ano, 
determinar o valor dos capitais, sabendo-se que o primeiro é 37,5% menor que o segundo. 
Dados: P1 = (1 – 0,375) P2, i1 = 33% a.a., i2 = 45% a.a., n = 1 ano, S1 + S2 = $52.500 
 
1 2 1 1 2 2 2
2
J P i n
J J = P i + P i n $52.500 0,625 0,33 + 1 0,45 1 P 
 P = $80.000 
+ ( ) ( )
 
= × ×
× × × ⇒ = × × × ×
⇒
 
Logo, 
 1P = $50.000
 
15. Há 13 meses e dez dias um capital de $10.000 foi aplicado à taxa de juros simples de 6% a.a. Se 
hoje for aplicada a importância de $8.000 a juros simples de 12% a.a. e o primeiro capital continuar 
aplicado à mesma taxa, em que prazo os montantes respectivos serão iguais? 
Dados: n1 = 400 dias, P1 = $ 10.000, P2 = $ 8.000, i1 = 6% a.a., i2 = 12% a.a.., n = ? 
 
Na data focal, 
S P (1 i n)
0,06 0,12
$10.000 1 (n+400) $8.000 1 n
360 360
n = 2.667 dias = 7 anos, 4 meses e 27 dias
= × + ×
× + × = × + ×
⇒
⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
⎞⎟⎠ 
 
16. Uma empresa obteveum empréstimo de $200.000 a juros simples de 10% a.a.. Algum tempo 
depois liquidou a dívida, inclusive os juros, e tomou um novo empréstimo de $300.000 a juros simples 
de 8% a.a.. Dezoito meses após o primeiro empréstimo, liquidou todos os seus débitos, tendo pago 
$35.000 de juros totais nos dois empréstimos. Determinar os prazos (em meses) dos dois empréstimos. 
Dados: J1 + J2 = $35.000, n1 + n2 = 18 meses, P1 = $200.000, P2 = $300.000, i1 = 10% a.a., i2 = 8% a.a., 
n1 = ?, n2 = ? 
 
 4
1 2
1 2 1 1 2 2 1 1
1 2
i i 0,1J + J P n + P n $35.000 $200.000 n + $300.000 (18 n )
12 12 12 12
 n 3 meses, n 15 meses
⎛ ⎞ ⎛= × × × × ⇒ = × × × − ×⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
⇒ = =
0,08 ⎞⎟⎠ 
 
 
 
17. Uma pessoa tomou um empréstimo a juros simples de 9% a.a.. Quarenta e cinco dias depois, 
pagou a dívida e contraiu um novo empréstimo duas vezes maior que o primeiro, pelo prazo de dez 
meses a juros simples de 6% a.a.. Sabendo-se que pagou ao todo $111.250 de juros pelos dois 
empréstimos, calcular o valor do primeiro. 
Dados: J1 + J2 = $111.250, n1 = 45 dias, n2 = 10 meses, P2 = 2 P1, i1 = 9% a.a.., i2 = 6% a.a., P1 = ? 
 
1 2
1 2 1 1 2 2 1 
1
i i 0,09 0,06J + J P n + P n $111.250 P 45 + 2 10
360 12 360 12
 P $1.000.000
⎛ ⎞ ⎛= × × × × ⇒ = × × × ×⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
⇒ =
⎞⎟⎠ 
 
18. Um capital foi dividido em duas parcelas e aplicado a taxas e prazos diferentes. A primeira foi 
aplicada a juros simples de 10% a.m. durante seis meses, e a segunda a juros simples de 2% a.m. 
durante 12 meses. Sabendo-se que a primeira parcela foi $50 maior e rendeu $60 a mais que a 
segunda, determinar os valores de ambas as parcelas. 
Dados: J1 - J2 = $60, n1 = 6 meses, n2 = 12 meses, i1 = 10% a.m., i2 = 2% a.m., P1= $50 + P2, P1 = ?, P2 
= ? 
( )1 21 2 1 1 2 2
1 2
i iJ - J P n - P2 n $60 $50+P 6 0,1 - P2 12 0,02 
12 12
 P $133,33, P $83,33
⎛ ⎞= × × × × ⇒ = × × × ×⎜ ⎟⎝ ⎠
⇒ = =
 
 
19. Aplicado a juros simples pelo prazo de um ano, um capital transformou-se em $13.000. Esse 
montante foi reaplicado por mais dois anos a uma taxa 20% maior que a taxa ganha na primeira 
aplicação, obtendo-se um montante final de $22.360. Calcular o valor do capital inicialmente aplicado 
e a taxa de juros ao ano à qual ele foi aplicado. 
Dados: S1 = $13.000, S2 = $22.360, n1 = 1 ano, n2 = 2 anos, i2 = 1,2×i1, P1 = ?, i1 = ? 
 
2
2 1 2 2 2 2 1
1,2
 (1 ) $22.360 $13.000 (1 2) 36% a.a. = 30% a.a.iS S i n i i i= × + × ⇒ = × + × ⇒ = ⇒ =
Por outro lado, 
1 1 1 1 1 1S P (1 i n ) $13.000 P (1 0,3 1) P $10.000= × + × ⇒ = × + × ⇒ = 
 
20. Um pessoa aplicou um capital em uma conta remunerada que rende juros simples de 30% a.a.. 
Depois de três anos, resgatou metade dos juros obtidos e reaplicou a outra metade por um ano à taxa 
simples de 32% a.a., obtendo um rendimento de $20,16 nessa última aplicação. Calcular o valor do 
capital aplicado inicialmente. 
Dados: P2 = 0,5.× J1, J2 = $20,16,-n1 = 3 anos, n2 = 1 ano, i1 = 30% a.a., i2 = 32% a.a., P = ? 
 
( )
( )
Juros ganhos ao término dos 3 anos: 
valor reaplicado ao término do terceiro ano: 
rendimento do capital reaplicado ao término de 1 ano: 
 
P 0,30 3
0,50 P 0,30 3
$20,16 = 0,50 P 0,30 3 0,32 1 
× ×
× × ×
× × × × ×⎡ ⎤⎣ ⎦
 P= $140⇒
 
 
21. Dois capitais foram aplicados a juros simples. O primeiro à taxa de 20% a.a., e o segundo a 40% 
a.a.. Calcular os capitais, considerando-se que, somados, eles perfazem $500 e que os dois, em um 
ano, renderam juros totais de $130. 
Dados: P1 + P2 = $500 , i1 = 20% a.a., i2 = 40% a.a., n = 1 ano, J1+ J2 = $130, P1 = ?, P2 = ?, 
 5
 
( ) ( )1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 J + J P i + P i n $130 P 0,2 + ($500 - P ) 0,4 1 P = $350 P = $150 = × × × ⇒ = × × × ⇒ ⇒
 
22. Um capital de $50.000, aplicado a juros simples, rendeu $1.875 em um determinado prazo. Se o 
prazo fosse 36 dias maior, o rendimento aumentaria em $250. Calcular a taxa de juros simples ao ano 
e o prazo da operação em dias. 
Dados: P = $50.000, J1 = $1.875, J2 - J1 = $250, n2- n = 36 dias, i = ?, n = ?, 
 
( )2 1 2 
1
i
n
360
i
360
J J P i - n $250 $50.000 36 i = 5% a.a.
J P i n $1.875 $50.000 n n = 270 dias = 9 meses
- = × × ⇒ = × × ⇒
= × × ⇒ = × × ⇒
 
23. Uma pessoa levantou um empréstimo de $3.000 a juros simples de 18% a.a. para ser liquidado 
depois de 270 dias. Considerando-se que a pessoa amortizou $1.000 no 75o dia, quanto deverá pagar 
na data de vencimento de modo a liquidar a dívida? (data focal: 270o dia). 
 270 dias 
 
 0 75 270 
 $3.000 - $1.000 
 
 195 dias 
 
0,18 0,18
Valor de resgate: $3.000 1 270 -$1.000 1 195 $2.307,50
360 360
= + × + × =⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
24. Uma empresa tem duas dívidas a pagar. A primeira de $2.500, contratada a juros simples de 2,5% 
a.m., com vencimento em 45 dias; e a segunda, de $3.500, a juros simples de 3% a.m., com vencimento 
em 90 dias. Calcular a quantia necessária para liquidação de ambas as dívidas em 180 dias, 
considerando-se que no 30o dia do seu prazo a primeira dívida foi amortizada com $1.500, e no 60o dia 
do seu prazo a segunda foi amortizada com $3.000 (efetuar os cálculos na data focaldo 180o dia). 
 
 
 150 dias 
 
 30 45 180 
 -$1.500 $2.500 
 
 135 dias 
 
 120 dias 
 
 60 90 180 
- $3.000 $3.500 
 
 90 dias 
 
0,025 0,025Valor do resgate $2.500 1 135 - $1.500 1 150 ...
30 30
0,03 0,03 ...+ $3.500 1 90 - $3.000 1 120 $1.548,75
30 30
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + × + × +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ × + × =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
 6
25. Uma pessoa tem duas dívidas a pagar: a primeira de $1.000, com vencimento em 45 dias, e a 
segunda, de $3.500, com vencimento em 120 dias. A pessoa pretende liquidar as dívidas por meio de 
dois pagamentos iguais com vencimentos em 90 e 180 dias, respectivamente. Calcular o importe de 
cada pagamento, considerando-se que ambas as dívidas foram contratadas a juros simples de 2% a.m. 
(data focal: 180o dia) 
 90 dias 
 
 0 45 90 120 180 
 $1.000 -X $3.500 -X 
 60 dias 
 135 dias 
 
0,02 0,02 0,02X = $1.000 1 135 + $3.500 1 60 X 1 90
30 30 30
 X =$2.296,12
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ × + × − + ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⇒
 
26. Determinar:a. O tempo necessário para que seja triplicado um capital aplicado a juros simples de 5% a.m.. 
 S P (1 i n) 
3P = P (1 0,05 n) n = 40 meses
= × + ×
× + × ⇒ 
 
b. O tempo necessário para que seja quintuplicado um capital aplicado a juros simples de 15% 
a.t.. 
 S P (1 i n) 
5P = P (1 0,15 n) n = 26,67 trimestres = 80 meses
= × + ×
× + × ⇒ 
 
c. O tempo em que um capital de $12.000 rende $541,68 quando aplicado a juros simples de 
12,5% a.a.. 
 J P i n
0,125$541,68 $12.000 n n = 130 dias360
= × ×
= × × ⇒ 
 
d. O tempo necessário para que um capital de $7.000 transforme-se em um montante de 
$7.933,34 quando aplicado a juros simples de 24% a.a.. 
0,24
360
 S P (1 i n) 
$7.933,34 $7.000 (1 n) n = 200 dias
= × + ×
= × + × ⇒ 
27. Determinar: 
a. A taxa de juros simples anual que produz um rendimento de $60 em 36 dias a partir de um 
capital de $2.000. 
 J P i n
i$60 $2.000 36 i = 30% a.a.360
= × ×
= × × ⇒ 
 
b. A taxa de juros simples mensal que produz um rendimento de $6.000 em 30 meses a partir de 
um capital de $8.000. 
 J P i n
$6.000 $8.000 30 i = 2,5% a.m.i
= × ×
= × × ⇒ 
 
c. A taxa de juros simples anual embutida na compra de um bem cujo valor à vista é de $3.000, 
sendo que o pagamento consiste de uma entrada de $1.000 mais uma parcela de $2.200 para 60 
dias. 
 7
$2.200
1+ i 2
valor à vista = valor da entrada + valor presente da parcela
 $3.000 $1.000 + i = 60% a.a.×= ⇒
 
28. Calcular: 
a. O valor do capital que, aplicado a juros simples de 24% a.a., rende $300 em 126 dias. 
 J P i n
0,24
$300 P 126 P = $3.571,43
360
= × ×
= × × ⇒ 
 
b. O valor do capital que, aplicado a juros simples de 26% a.a., rende $800 em 7 trimestres. 
 J P i n
0,26
$800 P 7 P = $1.758,24
4
= × ×
= × × ⇒ 
 
c. O rendimento de uma aplicação de $10.000 por 446 dias a juros simples de 24% a.a.. 
0,24
J P i n $10.000 446 = $2.973,33
360
= × × = × × 
 
29. Calcular: 
a. O rendimento de um capital de $2.000 aplicado a juros simples de 2,5% a.m. desde o dia 12 
de março até o dia 5 de junho do mesmo ano. 
0,025
J P i n $2.000 (156-71) = $141,66
30
= × × = × × 
 
b. O valor do capital que rendeu $3.000 no período compreendido entre 4 de abril e 31 de maio 
do mesmo ano a juros simples de 2% a.m.. 
 J P i n
0,02
$3.000 P (151- 94) P = $78.947,37
30
= × ×
= × × ⇒ 
 
c. O valor de resgate de um capital de $5.000 aplicado a juros simples de 2% a.m. pelo período 
compreendido entre 6 de abril e 26 de junho do mesmo ano. ( )0,02S P (1 i n) $5.000 1 (177-96) = $5.27030= × + × = × + × 
 
d. O valor do capital que se transformou em um montante de $20.000 no período compreendido 
entre 30 de junho e 31 de dezembro do corrente ano, a juros simples de 2% a.m.. 
( )30
 S P (1 i n) 
0,02$20.000 P 1 (365-181) P = $17.814,73
= × + ×
= × + × ⇒ 
 
e. A taxa de juros simples mensal ganha por uma aplicação de $24.000 que rendeu $2.800 no 
período compreendido entre 23 de maio e 18 de agosto do mesmo ano. 
 J P i n
i
$2.800 $24.000 (230-143) i = 4,023% a.m.
30
= × ×
= × × ⇒ 
 
30. No dia 26 de maio foi contratado um empréstimo de $7.000 a juros simples de 24% a.a. para ser 
totalmente liquidado em 90 dias. No dia 16 de junho foram amortizados $3.000, e no dia 11 de julho, 
$2.500. Determinar a data de vencimento da dívida e o valor da quantia que deverá ser paga naquela 
data para liquidar a dívida (considerar ano civil e data focal no 90o dia). 
 8
Dados: i = 24% a.a. 
Determinação da data de resgate da aplicação usando a Tábua para Contagem de Dias do ano civil: 
 número de dias da data posterior (?) = +n 
 número de dias da data anterior (26 de maio) = −146 
 prazo: 90 
 
Logo, n - 146 = 90 → n =236, que na a tábua para contagem de dias entre duas datas (capítulo 1 do 
livro) corresponde ao dia 24 de agosto . 
 
 44 dias 
 90 dias 
 
 26/ 05 16/ 06 11/ 07 24/ 08 
 $7.000 - $3.000 - $2.500 
 
 69 dias 
 
0,24 0,24alor de resgate $7.000 1 90 -$3.000 1 69 $2.50⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + × + × − 0,240 1 44 $1.708,67
360 360 360
⎛ ⎞+ × =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
 
1. Determinar o rendimento de um capital de $2.000 aplicado do dia 3 de m rço até o dia 28 de junho 
do corrente ano. A taxa de juros simples inicialmente contratada foi 3% a.m., mas posteriormente teve 
ueda para 2,8% a.m. no dia 16 de abril e para 2,6% a.m. no dia 16 de junho. 
P = $2.000, i1 = 3% a.m., i2 = 2,8% a.m., i3 = 2,6% a.m., J = ? 
 
 
n = 03/03 até 16/04 = 106-62 n = 44 dias
n = 16/04 até 16/06 = 167-106 n = 61 dias
⇒
⇒ 
V
3 a
q
Dados: 
1 1 
2 2
3 3n = 16/06 até 28/06 = 179-167 n = 12 dias⇒
 
1 1 2 3 3J P (i n + i n + i n $2.000 44 + 61 + 
30 30 30
× × ×2 0,0)= × × × × = × 3 0,028 0,026 12 = $222,67⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 
32. Uma dívida de $2.000 contraída no dia 8 de junho para ser liquidada no dia 8 de julho foi 
ontratada originalmente a juros simples de 2% a.m.. Calcular o rendiment da aplicação, sabendo-se 
ue a taxa de juros subiu para 2,5% a.m. no dia 12 de junho, para 3% a.m o dia 24 de junho e para 
3,5% a.m. no dia 3 de julho (considerar o ano civil). 
ados: P = $2.000, i1 = 2% a.m., i2 = 2,5% a.m., i3 = 3% a.m., i4 = 3,5% a.m., J = ? 
 
n = 08/06 até 12/06 = 163-159 n = 4 dias
n = 12/06 até 24/06 = 175-163 n = 12 dias
n = 24/06 até 03/07 = 1 -175 n = 9 dias
⇒
⇒
⇒ 
c o 
q . n
D
 
1 1 
2 2 
3 3
4 4n = 03/07 até 08/07 = 189-184 n = 5 dias⇒
 
84
1 1 2 2 3 3 4 4
0,02 0,025 0,03 0,035
 P (i n + i n + i n + i n ) $2.000 4 + 12 + 9 += × × × × × = × × × ×J 5 = $55
30 30 30 30
×⎛ ⎞⎝ ⎠
 
33. Uma aplicação financeira foi iniciada no dia 2 de junho com $2.000. Posteriormente foram 
efetuados dois depósitos adicionais de $500 e de $300 nos dias 8 e 16 e um saque de $200 no dia 26 de 
junho. Considerando-se que inicialmente foi contratada uma taxa de juros simples de 28% a.a., que 
depois baixou para 26% a.a. no dia 16 de junho, calcular o saldo disponível no dia 1o de julho. 
 
⎜ ⎟
 9
 14 dias 
 
 02/06 08/06 16/06 
 $2.000 $500 + $300 
 
 8 dias 
 
0,28 0,28Valor em 16/06 $2.000 1 14 + $500 1 8 $300 $2.825
360 360
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + × + × + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
 
 
 15 dias 
 
 16/06 26/06 01/07 
 $2.825 - $200 
 
 5 dias 
 
0,26 0,26Saldo disponível em 01/07 $2.825 1 15 - $200 1 5 $2.654,50
360 360
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + × + × =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
 
 
34. Hoje uma pessoatem duas dívidas: a primeira, de $8.000, vence em 36 dias, e a segunda, de 
$12.000, vence em 58 dias. A pessoa propõe-se a quitá-las por meio de dois pagamentos iguais dentro 
de 45 e 90 dias, respectivamente. A juros simples de 24% a.a., calcular o valor de cada pagamento 
(data focal: 90o dia). 
 45 dias 
 
 0 36 45 58 90 
 $8.000 -X $12.000 - X 
 32 dias 
 54 dias 
 
0,24 0,24 0,24X = $8.000 1 54 + $12.000 1 32 X 1 45
360 360 360
X $10.120,20
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛+ × + × − + ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
⇒ =
⎞⎟⎠ 
 
35. Resolver o exercício anterior tomando como data focal o 45o dia. 
 - 45 dias 
 
 0 36 45 58 90 
 $8.000 -X $12.000 - X 
 - 13 dias 
 9 dias 
1 10,24 0,24 0,24X = $8.000 1 9 + $12.000 1 13 X 1 45
360 360 360
X $10.119,82
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛+ × + × − + ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
⇒ =
⎞⎟⎠ 
 
CAPÍTULO 2 
 10
Exercícios Propostos 
Atenção: Na resolução dos exercícios considerar, salvo menção em contrário, ano comercial de 360 
dias. 
1. Calcular o montante de uma aplicação de $3.500 pelas seguinte taxas de juros e prazos: 
a) 4% a.m., 6 meses 
Dados: P = $3.500, = 4% a.m., n = 6 meses 
( )6nS P(1+i) $3.500 1 0,04 $ 4.428,62= = × + = 
b) 8% a.t., 18 meses 
Dados: P = $3.500, i = 8% a.t., n = 18 meses = 6 trimestres 
( )6nS P(1+i) $3.500 1 0,08 $ 5.554,06= = × + = 
 
c)12% a.a., 18 meses 
Dados: P = $3.500, i =12% a.a., n = 18 meses = 1,5 ano 
( )1,5nS P(1+i) $3.500 1 0,12 $ 4.148,54= = × + = 
 
2. Em que prazo um capital de $18.000 acumula um montante de $83.743 à taxa de 15% a.m.? 
Dados: P = $18.000, S = $83.743, i = 15% a.m., n = ? 
 
Podemos aplicar a expressão do montante para, a seguir, destacar o fator financeiro implícito: 
( )
( )
( )
n
n
n
 S P 1 i
$83.743 $18.000 1 0,15
 4,65239 1,15
= +
= × +
=
 
meses 11 
1,15 log
4,65239 logn 1,15 logn4,65239 log :logaritmos aplicando ==⇒×= 
 
3. Um investimento resultou em um montante de $43.000 no prazo de três meses. Se a taxa de juros 
efetiva ganha for 10% a.m., calcular o valor do investimento. 
Dados: S = $43.000, n = 3 meses, i = 10% a.m., P = ? 
 
( )
( )
n
3
S P 1 i
$43.000 P 1 0,1 P $ 32.306,54
= +
= × + ⇒ =
 
 
4. Uma empresa pretende comprar um equipamento de $100.000 daqui a quatro anos com o montante 
de uma aplicação financeira. Calcular o valor da aplicação necessária se as taxas de juros efetivas 
ganhas forem as seguintes: 
a) 13% a.t. (ao trimestre) 
Dados: S = $100.000, i = 13% a.t., n = 4 anos = 16 trimestres, P = ? 
( )
n
16
 S P(1+i)
 $100.000 P 1 0,13 P $ 14.149,62
=
= × + ⇒ = 
b) 18% a.a. (ao ano) 
Dados: S = $100.000, i = 18% a.a., n = 4 anos, P = ? 
( )
n
4
 S P(1+i)
$100.000 P 1 0,18 P $ 51.578,89
= =
= × + ⇒ = 
 
c) 14% a.s. (ao semestre) 
Dados: S = $100.000, i = 14% a.s., n = 4 anos = 8 semestres, P = ? 
 11
( )
n
6
 S P(1+i)
$100.000 P 1 0,14 P $ 35.055,91
=
= × + ⇒ = 
 
d) 12% a.m. (ao mês) 
Dados: S = $100.000, i = 12% a.m., n = 4 anos = 48 meses, P = ? 
( )
n
48
 S P(1+i)
$100.000 P 1 0,12 P $ 434,05
=
= × + ⇒ = 
 
 
5. Um capital de $51.879,31 aplicado por seis meses resultou em $120.000. Qual a taxa de juros 
efetiva ganha? 
Dados: S = $120.000, P = $51.879,31, n = 6 meses, i = ? 
 
( )n n
1/ 6
SS P 1 i i 1
P
$120.000 i 1 15% a.m.
$51.879,31
= + ⇒ = −
⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠
 
 
6. Uma pessoa deve pagar três prestações mensais iguais e consecutivas de $3.500 cada, sendo a 
primeira para 30 dias. Se resolvesse quitar a dívida por meio de um pagamento único daqui a três 
meses, qual seria o valor desse pagamento, considerando-se uma taxa de juros efetiva de 5% a.m.? 
1ª forma de pagamento: 2ª forma de pagamento: 
3 prestações de $3.500 1 pagamento único para 3 meses 
n=1, 2, 3 meses 
 
 O valor do pagamento único deverá ser igual à soma das prestações mensais capitalizada até o 
terceiro ano: 
( ) ( )2P $3.500 1,05 $3.500 1,05 $3.500 $11.033,75= × + × + = 
 
7. Em uma determinada compra, há duas formas de pagamento: a) pagamento à vista de $1.400; e b) 
dois cheques pré-datados de $763,61 cada, para 30 e 60 dias, respectivamente. Calcular a taxa de juros 
efetiva cobrada. 
Se o cliente obtiver 5% a.m. em suas aplicações financeiras, qual será a melhor opção de compra: à 
vista ou a prazo? 
1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento: 
P = $1.400 2 prestações de $736,61 
 n = 1, 2 meses 
 
Por equivalência de capitais, o valor à vista deve ser igual à soma dos valores presentes das prestações: 
( )2
$736,61 $736,61$1.400 i = 6% a.m. 
(1+i) 1+i
= + ⇒ 
Logo, podemos concluir que o melhor seria pagar à vista, pois os juros efetivos da compra são 
superiores ao ganho obtido através da aplicação financeira do capital na segunda opção. 
 
8. Na compra de um bem cujo valor à vista é $140, deve-se pagar uma entrada mais duas prestações de 
$80 no fim dos próximos dois meses. Considerando-se uma taxa de juros efetiva de 20% a.m., qual o 
valor da entrada? 
1ª forma de pagamento: 2ª forma de pagamento (à vista): 
Entrada + 2 prestações de $80 P= $140 
N = 0, 1, 2 meses 
 
 Por equivalência de capitais, o valor à vista deve ser igual à soma dos valores presentes dos 
pagamentos: 
 12
( ) ( )1 2
$80 $80$140 E + E $17,78
1,2 1,2
= + ⇒ = 
 
9. Uma casa está sendo vendida por $261.324,40 à vista. Considerando-se que o comprador se propõe 
a pagar $638.000 daqui a quatro meses, calcular a taxa de juros efetiva ao mês embutida na proposta. 
1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento: 
P = $261.324,40 um pagamento de $638.000 daqui a 4 meses 
 
 Por equivalência de capitais, o valor à vista deve ser igual ao valor presente do pagamento único: 
( )
1/ 4
4
$638.000 $638.000$261.324,40 i 1 i = 25% a.m. 
$261.324,401+i
⎛ ⎞= ⇒ = − ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 
10. Qual o tempo necessário para que seja triplicada uma população que cresce à taxa composta de 3% 
a.a.? 
Dados: S = 3P, i = 3% a.a., n = ? 
( )
( )
n
n n
 S P 1 i
3P = P 1 i 3 (1,03)
= +
+ ⇒ =
 
log 3aplicando logaritmos: log 3 n log 1,03 n 37,17 anos
log 1,03
= × ⇒ = = 
 
11. A rentabilidade efetiva de um investimento é de 10% a.a.. Se os juros ganhos foram de $27.473 
sobre um capital investido de $83.000, por quanto tempo o capital ficou aplicado? 
Dados: S = $110.473 ($83.000 + $27.473), P = $83.000, i = 10% a.a., n = ? 
 
( )n
n
 S = P 1 i
$110.473 $83.000 (1,10)
+
= ×
 
log 1,331aplicando logaritmos: log 1,331 n log 1,10 n 3 anos
log 1,1
= × ⇒ = = 
 
12. Nas vendas a crédito, uma loja aumenta em 40% o valor sobre o preço à vista. Desse valor 
majorado, 20% é exigido como entrada e o resto será quitado em duas prestações mensais de $1.058 
cada, sendo a primeira para daqui a um mês. Considerando-se que o valor à vista é de $2.000, 
determinar a taxa de jurosefetiva cobrada no financiamento. 
1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento:
P = $2.000 Entrada = 1,4 × 0,2 × $2.000 = $560 
 mais 2 prestações de $1.058 
 
 
Por equivalência de capitais, o valor à vista deve ser igual à soma dos valores presentes de todos as 
quantias pagas na segunda forma de pagamento: 
( ) ( )1 2
$1.058 $1.058$2.000 $560 + + i 30% a.m. 
1+i 1+i
= ⇒ = 
 
13. Um produto cujo preço à vista é $450 será pago em duas prestações mensais consecutivas de $280 
e $300, a primeira para 30 dias. Considerando-se que a taxa de juros embutida na primeira prestação é 
10% a.m., determinar a taxa embutida na segunda. 
 13
1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento:
P = $ 450 1ª. prestação = $280, 2ª. prestação = $300 
 i1 = 10% a.m. 
 
 
 Por equivalência de capitais, o valor à vista deve ser igual à soma dos valores presentes de todos as 
quantias pagas na segunda forma de pagamento: 
( ) ( ) ( )
2
2 21 2
2
$280 $300 $300$450 + 1+i i 23,89% a.m. 
$195,451,10 1+i
= ⇒ = ⇒ = 
 
14. Um apartamento pode ser comprado à vista por $320.000 ou pagando-se 20% de entrada mais 
duas prestações de $170.000 cada, a primeira para 3 meses e a segunda para 7 meses. Calcular a taxa 
de juros efetiva cobrada no financiamento. Se a taxa de juros vigente no mercado para aplicações 
financeiras for 2% a.m., qual será a melhor opção de compra? 
1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento:
P = $320.000 Entrada = 0,2 × $320.000 = $64.000 
 mais 2 prestações de $170.000 para 3 e 7 meses 
 
 Por equivalência de capitais, o valor à vista deve ser igual à soma dos valores presentes de todos as 
quantias pagas na segunda forma de pagamento: 
( )73
$170.000 $170.000$320.000 $64.000 + i = 5,98% a.m. 
(1+i) 1+i
= + ⇒ 
 
Logo, podemos concluir que o melhor seria pagar à vista, pois os juros efetivos da compra são 
superiores ao ganho obtido através da aplicação financeira do capital na segunda opção. 
 
15. Certa loja tem como política de vendas a crédito exigir 20% do valor à vista como entrada e o 
restante a ser liquidado em três prestações mensais iguais, a primeira para 30 dias. Considerando-se 
que a taxa de juros efetiva cobrada será 15% a.m., determinar a porcentagem do valor à vista a ser 
pago como prestação a cada mês. 
1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento: 
 valor à vista = P Entrada = 0,2 × P; 
 mais 3 prestações de valor: R = p × P 
Por equivalência de capitais: 
( ) ( )2 31
1 2 3
p P p P p P 0,8 PP 0,2 P + p P = p = 35,05% 
(1+i) 1 1 11+i 1+i
(1,15) (1,15) (1,15)
× × × ×= × + + ⇒ × ⇒⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠
 
16. Uma loja permite pagamento em três prestações iguais. Considerando-se que cada prestação é 
igual a um terço do valor à vista, sendo a primeira paga no ato da compra (antecipada), calcular a taxa 
de juros cobrada. 
1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento:
 valor à vista = P valor das prestações: R = P / 3 
 
 
Por equivalência de capitais: 
( )21
P PP 3 3P + i = 0% a.m. 
3 (1+i) 1+i
= + ⇒ 
 
17. O valor à vista de um bem é de $6.000. A prazo, paga-se uma entrada mais três parcelas mensais 
de $2.000 cada, sendo a primeira em um mês. Calcular o valor da entrada, considerando-se que a taxa 
de juros aplicada é 7% a.m.. 
 14
1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento: 
valor à vista = $6.000 Entrada (E) + 3 prestações de $2.000 cada 
 
 
Por equivalência de capitais: 
( )31 2
$2.000 $2.000 $2.000$6.000 E + E = $751,37
(1,07) (1,07) 1,07
= + + ⇒ 
 
18. Por um equipamento de $360.000 paga-se uma entrada de 20% mais dois pagamentos mensais 
consecutivos. Considerando-se que o valor do primeiro pagamento é $180.000 e a taxa de juros efetiva 
aplicada é de 10% a.m., calcular o valor do segundo pagamento. 
1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento: 
valor à vista = $360.000 E= $72.000; R1 = $180.000, R2 = ? 
Por equivalência de capitais: 
2
21 2
R$180.000$360.000 $72.000 + R = $150.480
(1,10) (1,10)
= + ⇒ 
 
19. Uma pessoa pretende, daqui a seis meses, comprar um automóvel no valor de $25.000. Calcular a 
aplicação necessária a ser efetuada hoje em um investimento que rende juros efetivos de 13% a.m., de 
modo que o veículo possa ser comprado com os juros ganhos na aplicação. 
Dados: J = $25.000, i = 13% a.m., n = 6 meses, P = ? 
( )( )
( )
n
6
os juros obtidos ao término dos seis meses deverão ser iguais ao valor do veículo:
 juros = S - P = P 1 i 1
$25.000 = P (1,13) 1 P = $23.106,39
+ −
− ⇒
 
 
20. Um capital de $50.000 rendeu $1.000 em um determinado prazo. Se o prazo fosse dois meses 
maior, o rendimento aumentaria em $2.060,40. Calcular a taxa de juros efetiva ao mês ganha pela 
aplicação e o prazo em meses. 
Dados: P = $50.000, S1 = $51.000 ($50.000 + $1.000), S2 = $53.060,40 ($51.000 + $2.060,40), n2 = 
n + 2, n = ?, i = ? 
( ) nn n 2
2
$51.000 $50.000 (1+i)
S P 1 i
$53.060, 40 $50.000 (1+i) (1+i)
$53.060, 40(1+i) i 2% a.m
$51.000
⎧ ⎫= ×⎪ ⎪= + ⇒ ⎨ ⎬= × ×⎪ ⎪⎩ ⎭
= ⇒ =
 
aplicando logaritmos: log 1,02 n log 1,02 n 1 mês= × ⇒ = 
 
21. Dois capitais foram aplicados durante dois anos, o primeiro a juros efetivos de 2% a.m. e o 
segundo a 1,5% a.m.. O primeiro capital é $10.000 maior que o segundo, e seu rendimento excedeu 
em $6.700 o rendimento do segundo capital. Calcular o valor de cada um dos capitais. 
Dados: i1= 2% a.m.; i2 = 1,5% a.m, P1 – P2 = $10.000 , J1 – J2 = $6.700, n = 24 meses, P1 = ?, P2 = ? 
 
( )
( ) ( )
1 2 1 2 1 2
24 24
1 2
1 2
2 1
J - J = S - S - P - P
$6.700 = P 1,02 P 1,015 $10.000
P = P + $10.000 
P =$3.440,52 P =$13.440,52
⎧ ⎫− −⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
⇒
 
 
22. Dois capitais, o primeiro de $2.400 e o segundo de $1.800, foram aplicados por 40 e 32 dias, 
respectivamente. Considerando-se que a taxa efetiva ganha pelo primeiro capital foi 5% a.m. e 
sabendo-se que esse capital rendeu $100 a mais do que o segundo, determinar a taxa mensal ganha 
pelo segundo capital. 
Dados: n1 = 40 dias, n2 = 32 dias, P1 = $2.400, P2 = $1.800, J1 – J2 = $100, i1 = 5% a.m., i2 = ? 
 
 15
( )
( ) ( )
1 2 1 2 1 2
40 30 32 30
2
30
32
2 2
J - J = S - S - P - P
$100 = $2.400 1,05 $1.800 1 i $600
$1.861,32i = 1 i = 3,19% a.m.
$1.800
× − × + −
⎛ ⎞ − ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠
 
 
23. Um capital foi aplicado por seis meses a juros efetivos de 15% a.a.. Determinar o valor do capital 
considerando-se que se o montante, ao término do prazo, diminuído da metade dos juros ganhos, fosse 
reaplicado à mesma taxa efetiva, renderia em 3 meses juros de $18,42. 
 
( )( )
( )( )
n
0,5
0,50,5
 rendimento = P 1 i 1
Montante ao término dos 6 meses: P(1,15)
Valor reaplicado ao término dos 6 meses: P(1,15) 0,5P 1,15 1
Rendimento em 3 meses do valor reaplicado:
P
+ −
⎡ ⎤− −⎣ ⎦
( )( ) ( )( )0,5 3/120,5 (1,15) 0,5P 1,15 1 1,15 1 $18, 42 P = $500⎡ ⎤− − − = ⇒⎣ ⎦
 
 
24. Certo capital, após quatro meses, transformou-se em $850,85.Esse capital, diminuído dos juros 
ganhos nesse prazo, reduziu-se a $549,15. Calcular o capital e a taxa de juros efetiva ao mês ganha na 
aplicação. 
 
( )
( )
( )
n
Montante ao término de 4 meses: $850,85 
Juros ganhos ao término de 4 meses: $850,85 - P 
Capital menos os juros ganhos em 4 meses:
P- $850,85 - P $549,15 P $700
 S =P 1 i
$850,85=$700 1 i
= ⇒ =
+
× + 4 i 5% a.m. ⇒ ≈
 
 
 
25. Um capital foi aplicado a juros efetivos de 30% a.a.. Depois de três anos, resgatou-se a metade dos 
juros ganhos e, logo depois, o resto do montante foi reaplicado à taxa efetiva de 32% a.a., obtendo-se 
um rendimento de $102,30 no prazo de um ano. Calcular o valor do capital inicialmente aplicado. 
( )( )
( )
n
3
3 3
3
 juros ganhos = P 1 i 1
Montante ao término de 3 anos: P(1,30)
Valor reaplicado ao término dos 3 anos: P(1,30) 0,5P (1,30) 1
Rendimento em 1 anos do valor reaplicado:
P(1,30)
+ −
⎡ ⎤− −⎣ ⎦
( ) ( )( )13 0,5P (1,30) 1 1,32 1 $102,3, 42 P = $200⎡ ⎤− − − = ⇒⎣ ⎦
 
 
 
26. Um capital foi aplicado por 50 dias a juros efetivos de 3% a.m.. Se a diferença entre o capital 
inicial e os juros ganhos fosse aplicada à mesma taxa, renderia em 3 meses juros de $44,02. 
Determinar o valor do capital. 
Dados: n1 = 50 dias, n2 = 3 meses, P2 = P1 – J1, J2 = $44,02, i = 3% a.m., P1 = ? 
 
( )( ) ( )( )2n 32 2 2 2J P 1 i 1 $44,02 P 1,03 1 P = $474,73= + − ⇒ = − ⇒ 
Por outro lado, 
 16
( ){ } ( ){ }1n 52 1 1 1 1
1
P = P - J = P 2 1+i $474,73 = P 2 1,03
P = $500
− ⇒ − 0 30
 
 
27. Um capital foi aplicado durante dez meses à taxa efetiva de 2% a.m.. Ao término desse prazo, seu 
montante foi reaplicado durante 11 messes a 3% a.m.. A que taxa mensal única deveria ser aplicado o 
capital durante todo esse tempo de modo que resultasse no mesmo montante? 
Dados: n = n1+ n2, n1,= 10 meses, n2 = 11 meses, i1 = 2% a.m., i2 = 3% a.m., i = ? 
Por equivalência de capitais: 
( )
( ) ( )
1 2n n n
1 2
10 11 21
P(1+i ) (1+i ) P(1+i)
1,02 1,03 = (1+i) i 2,523% a.m. 
× =
× ⇒ =
 
 
28. Um capital aplicado à taxa de 4% a.m. rendeu após um ano $480,83 de juros. Do montante obtido, 
foram retirados $600 e o saldo restante reaplicado à mesma taxa, resultando em um novo montante de 
$1.226,15 depois de um certo prazo. Determinar o valor do capital inicial e o prazo da reaplicação. 
Dados: n1 = 12 meses, P2 = S1 – $600, J1 = $480,83, S2 = $1.226,15, i = 4% a.m., P1 = ?, n2 = ? 
 
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
2
2
n1
1 1 1 1
12
1 1 1 
n n
2 1
12 n
2 2
S = P + J = P 1+i 
P + $480,83 = P 1,04 P = $800
Por outro lado,
S P 1 i S = S $600 1 i
$1.226,15 $800 1,04 $600 1,04
aplicando logaritmos: log 1,8 n log 1,04 n 15 meses
⇒
= + ⇒ − +
= × −
= × ⇒ =
 
 
29. Dois capitais, o primeiro igual ao dobro do segundo, foram aplicados pelo mesmo prazo e à mesma 
taxa efetiva de 4% a.m.. Sabendo-se que o primeiro capital ganhou $400 de juros e que a soma do 
primeiro capital mais os juros ganhos pelo segundo totaliza $1.032,91, calcular os capitais e o prazo da 
aplicação. 
Dados: P1 = 2 × P2, J1 = $400, P1 + J2 = $1.032,91, i = 4% a.m., P1 = ?, P2 = ?, n = ? 
 
( )( )
( ) ( )
n
n n
2
2
juros ganhos pelo primeiro capital:
J P 1 i 1
$200$400 = 2 P 1,04 1 1,04 1
P
= + −
⎡ ⎤× − ⇒ =⎣ ⎦ +
 
 
Por outro lado, 
( )
( )
n
21
n
=1 2
2 22
2
primeiro capital mais juros do segundo:
P P 1,04 1 $1.032,91
substituindo o valor de 1,04 na equação anterior e P 2P :
 
$2002P P 1 1 $1.032,91 P = $416,46
P
 
×
×
⎡ ⎤+ − =⎣ ⎦
⎡ ⎤+ + − = ⇒⎢ ⎥⎣ ⎦
1 P = $832,91
 
 
 17
( )
( )
n
2
n
$2001,04 1
P
$2001,04 1 1, 48
$416,46
aplicando logaritmos: log 1,48 n log 1,04 n 10 meses
= +
= + =
= × ⇒ =
 
 
30. Dois capitais, o primeiro de $1.000 e o segundo de $227,27, foram aplicados a juros efetivos de 
20% a.a.. O primeiro capital, na metade do tempo do segundo, obteve um rendimento de $100 a mais. 
Calcular os prazos das duas aplicações. 
Dados: P1 = $1.000, P2 = $227,27, J1 – J2 = $100, i = 20% a.a., n1 = n2/2, n1 = ?, n2 = ? 
 
( )
( ) ( )
( )
1 1
1
1 2 1 2 1 2
n 2 n
n
1 2 
J - J = S - S - P - P
$100 = $1.000 1, 20 $227,27 1,20 $772,73
1, 20 1, 20 n = 1 ano n = 2 anos
×− −
= ⇒ ⇒
 
 
31. Um capital foi aplicado por dois anos a juros efetivos 20% a.a.. Ao término desse prazo, um terço 
dos juros ganhos foi reaplicado à taxa efetiva de 25% a.a., obtendo-se uma remuneração semestral de 
$34,62. Calcular o valor do capital inicialmente aplicado. 
 ( )2Juros ganhos ao término de 2 anos: P (1,20) 1− 
 
( )
( ) ( )
2
2 0,5
 
1o valor reaplicado é igual a um terço dos juros ganhos: P (1,20) 1
3
rendimento do valor reaplicado ao término de 1 semestre:
1 P (1,20) 1 (1,25) 1 $34,62 P = $2.000
3
⎡ ⎤× −⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤× − − = ⇒⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
32. Um capital foi aplicado durante 50 dias a juros efetivos de 3% a.m.. Se a diferença entre o capital e 
os juros ganhos, acrescida de $10.000, fosse aplicada à mesma taxa, renderia $12.342,82 ao ano. 
Calcular o capital. 
Dados: n1 = 50 dias, n2 = 1 ano, J2 = $12.342,82, P2 = P1 – J1 + $10.000, i = 3% a.m., P1 = ? 
 
( )( )
( )( )
2n
2 2
12
2 2
 J P 1 i 1
$12.342,82 P 1,03 1 P = $28.990
= + −
= − ⇒
 
Por outro lado, 
( ){ } ( ){ }1n 52 1 1 1 1
1
P - $10.000 = P - J = P 2 1+i $18.990 = P 2 1,03
P = $20.000
− ⇒ − 0 30
 
 
33. Uma pessoa tomou dois empréstimos. O primeiro por 3 meses a juros efetivos de 5% a.m., e o 
segundo por 10 meses a 4% a.m.. Sabendo-se que os juros pagos pelos dois empréstimos totalizaram 
$11.181,14 e que o primeiro empréstimo é igual à metade do segundo, calcular o valor total dos 
empréstimos. 
Dados: i1 = 5% a.m., n1 = 3 meses, i2 = 4% a.m, n2 = 10 meses, 2 x P1 = P2, J1 + J2 = $11.181,14, P1 = 
?, P2 = ? 
 
( )
( ) ( )
1 2 1 2 1 2
3 10
1
1 2
J + J = S + S - P + P
$11.181,14 = P 1,05 2 1,04 3
P =$10.000 P =$20.000
⎡ ⎤+ × −⎣ ⎦
⇒
 
Valor total dos empréstimos = $10.000 + $20.000 = $30.000 
 18
 
34. Dois capitais, o primeiro igual ao triplo do segundo, foram aplicados, respectivamente, a taxas 
efetivas de 5% a.m. e 10% a.m.. Determinar o prazo em que os montantes dos dois capitais se igualam. 
Dados: i1 = 5% a.m., i2 = 10% a.m, P1 = 3 × P2, S1 = S2, n = ? 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2
n n
1 2
n n
2 2
 S S
 P 1,05 P 1,10
 3 P 1,05 P 1,10 1,04762 3n
=
=
× = ⇒ =
 
 
aplicando logaritmos: log 3 n log 1,04762 n 23,6159 meses = 23 meses e 18 dias= × ⇒ = 
 
35. Uma empresa tem duas dívidas. A primeira, de $10.000, contratada a juros efetivos de 3% a.m., 
vence em 48 dias, e a segunda, de $15.000, a juros efetivos de 4% a.m., vence em 63 dias. A empresa 
pretende liquidar as dívidas com o dinheiro proveniente do desconto financeiro de uma promissória 
com valor nominal de $27.033 que vence em 90 dias. Calcular a taxa mensal efetiva aplicada pelo 
banco no desconto do título. 
Dados: i1 = 3% a.m., n1 = 48 dias, i2 = 4% a.m, n2 = 63 dias, D1 = $10.000, D2 = $15.000, P = 
$27.033, n = 90 dias, i = ? 
 
Por equivalência de capitais: 
( )63 3090 30 48 30
$27.033 $10.000 $15.000 i = 5% a.m. 
(1+i) (1,03) 1,04
= + ⇒ 
 
36. Em quanto tempo o rendimento gerado por um capital iguala-se ao o próprio capital, aplicando-se 
uma taxa efetiva de 5%a.m.? 
Dados: J = P; i = 5% a.m.; n = ? 
 
( )
( ) ( )
n
n n
 J P 1 i 1
P =P 1,05 1 1,05 2
⎡ ⎤= + −⎣ ⎦
⎡ ⎤− ⇒ =⎣ ⎦
 
 
aplicando logaritmos: log 2 n log 1,05 n 14,2067 meses 427 dias=× ⇒ = ≈ 
 
37. Quanto tempo é necessário para que a relação entre um capital de $8.000, aplicado a juros efetivos 
de 4% a.m., e seu montante seja igual a 4/10? 
Dados: P = $8.000, S = (10/4) x P, i = 4% a.m., n = ? 
 
( )
( )
n
n
n
P 4
10P 1 i
$8.000 4 1,04 2,5
10$8.000 (1,04)
=+
= ⇒ =×
 
 
aplicando logaritmos: log 2,5 n log 1,04 n 23,3624 meses = 23 meses e 11 dias= × ⇒ = 
 
 
38. Três dívidas, a primeira de $2.000 com vencimento em 30 dias, a segunda de $1.000 com 
vencimento em 60 dias e a terceira de $3.000 com vencimento em 90 dias serão liquidadas por meio 
de um pagamento único de $6.000. Se a taxa de juros efetiva aplicada for de 3% a.m., determinar 
daqui a quanto tempo deve ser efetuado esse pagamento. 
Dados: i = 3% a.m., n1 = 30 dias, n2 = 60 dias, n3 = 90 dias, D1 = $2.000, D2 = $1.000, D3 = $3.000, P 
= $6.000, n = ? (data focal = valor presente) 
 
Por equivalência de capitais: 
 19
( ) ( )
n
2 3n 30 1
$6.000 $2.000 $1.000 $3.000 (1,03) 6,7581
(1,03) (1,03) 1,03 1,03
= + + ⇒ = 
 
aplicando logaritmos: log 6,7581 n log 1,03 n 65 dias= × ⇒ = 
 
39. Quanto tempo é necessário para que o montante de um capital de $5.000 aplicado a juros efetivos 
de 6% a.m. se iguale ao montante de outro capital de $8.000 aplicado à taxa efetiva de 4% a.m.? 
Dados: i1 = 6% a.m., i2 = 4% a.m, P1 = $5.000, P2 = $8.000, n = ? 
 
( )
( ) ( ) ( )
n
n n
S P 1 i
$5.000 1,06 $8.000 1,04 1,01923 1,6
= +
× = × ⇒ =n
 
 
aplicando logaritmos: log 1,6 n log 1,01923 n 24,67444 meses = 740 dias= × ⇒ = 
 
40. Calcular o rendimento de um capital de $7.000 aplicado à taxa efetiva de 1% a.m. no período 
compreendido entre 3 de abril e 6 de junho do mesmo ano (considere o ano civil). 
Dados: i= 1% a.m., P = $7.000, J = ? 
 n= 03/04 até 06/06 = 157-93 n= 64 dias⇒ 
 
( ) ( )n 64 30J P 1 i 1 $7.000 1,01 1 $150,18⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − = − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 
 
41. Qual a taxa de juros anual efetiva que permite a duplicação de um capital no prazo de 42 meses? 
Dados: S = 2 x P, n = 42 meses, i = ? 
 
( )
( )
n
42 12
S P 1 i
2 P = P 1 i i = 21,9% a.a.
= +
× + ⇒
 
 
42. Um capital de $20.000 foi aplicado por 90 dias à taxa efetiva diária de 0,1% a.d.. Determinar o 
rendimento ganho entre o 46o e o 87o dia . 
Dados: i= 0,1% a.d., P = $20.000, n1 = 46 dias, n2 = 87 dias, = ? 2 1J - J
 
( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )
2 1
n
n n
2 1
87 46
2 1 2 1 
J = P 1 i 1
J - J = P 1 i 1 1 i 1
J - J = $20.000 1,001 1,001 J - J = $875,98
+ −
+ − − + +
⎡ ⎤− ⇒⎣ ⎦
 
 
43. Duas dívidas, uma de $20.000 e outra de $30.000, com vencimento em 2 e 4 meses, 
respectivamente, serão liquidadas por meio de um único pagamento a ser efetuado em 3 meses. 
Considerando-se juros efetivos de 5% a.m., calcular o valor desse pagamento. 
Dados: i= 5% a.m., n1 = 2 meses, n2 = 4 meses, D1 = $20.000, D2 = $30.000, n = 3 meses, P = ? 
 (data focal = valor presente) 
 
Por equivalência de capitais: 
( )43 2
P $20.000 $30.000 P = $49.571,43
(1,05) (1,05) 1,05
= + ⇒ 
 
44. Uma pessoa necessita dispor de $20.000 daqui a 8 meses. Para tanto, pretende efetuar duas 
aplicações em um fundo que rende juros efetivos de 3% a.m.. A primeira aplicação, de $10.000, foi 
efetuada hoje, e a segunda o será daqui a um mês. De quanto deverá ser esta segunda aplicação de 
modo que a pessoa possa dispor da quantia necessitada ao término do oitavo mês? 
Dados: i = 3% a.m., n1 = 8 meses, n2 = 7 meses, P1 = $10.000, D = $20.000, n = 8 meses, P2 = ? 
 20
 (data focal = 1 mês) 
 
Por equivalência de capitais: 
1
1 2n-1
1
2 27
D P (1+i) + P
(1+i)
$20.000 $10.000 (1,03) + P P = $5.961,83
(1,03)
= ×
= × ⇒
 
 
45. Um empréstimo de $5.000, contratado à taxa efetiva de 5% a.m., será liquidado por meio de 5 
pagamentos mensais consecutivos, sendo o primeiro daqui a 30 dias. Considerando-se que o valor de 
cada um dos 4 primeiros pagamentos é $1.000, determinar o valor do último pagamento. 
Dados: i = 5% a.m., ni = i meses, D = $5.000, P1-4 = $1.000, P5 = ? 
 (data focal = valor presente) 
 
Por equivalência de capitais: 
( ) ( ) ( )
5
5 2 4 51 3
$1.000 $1.000 $1.000 $1.000 P$5.000 P = $1.855,78
(1,05) (1,05)1,05 1,05 1,05
= + + + + ⇒ 
 
46. Determinar o capital que, aplicado durante 3 meses à taxa efetiva composta de 4% a.m., produz um 
montante que excede em $500 o montante que seria obtido se o mesmo capital fosse aplicado pelo 
mesmo prazo a juros simples de 4% a.m. 
Dados: i= 4% a.m, n = 3 meses, S1 = S2 +$500, P = ? 
 
( ) ( )
( ) ( )
n
1 2
3
 
S P 1 i S P 1 n i
 P 1,04 = P 1 + 3 0,04 $500 P = $102.796,05
e= + = + ×
× + ⇒
 
 
47. Um capital aplicado a uma determinada taxa de juros efetiva mensal rendeu, no prazo de dois anos, 
um valor igual a um quarto do próprio capital. Determinar a taxa de juros à qual foi aplicado. 
Dados: n = 2 anos, Capital = P, Rendimento = 0,25P, i =? 
 [ ] a.m 0,9341%009341,0i P0,251i)(1P 2 ==⇒×=−+ 
 
48. Uma pessoa depositou $1.000 em um fundo que paga juros efetivos de 5% a.m., com o objetivo de 
dispor de $1.102,50 dentro de 60 dias. Passados 24 dias após a aplicação, a taxa efetiva baixou para 
4% a.m.. Quanto tempo adicional, além dos 60 dias inicialmente previstos, a pessoa terá de esperar 
para obter o capital requerido? 
Dados: i1 = 5% a.m., i2 = 4% a.m., n1 = 24 dias, P1 = $10.000, S2 = $1.102,50, P2 = S1, n2 = ? 
 
( )
( )
n
24 30
1 1
S P 1 i
 S $10.000 1,05 S P = $10.398,04
= +
= × ⇒ = 2 
 
Por outro lado, 
( )( ) ( )2 2n - 24 30 n - 242S $1.102,50 $1.039,80 1,04 1,04 5,7925= = × ⇒ = 
 
( )2 aplicando logaritmos: log 5,7925 n - 24 log 1,04 n 69 dias
Dias adicionais: 69 -60 = 9 dias a mais
= × ⇒ = 
 
49. Um capital de $4.000 foi aplicado dividido em duas parcelas. A primeira à taxa efetiva de 6% a.t., 
e a segunda a 2% a.m.. Considerando-se que após 8 meses os montantes de ambas as parcelas se 
igualam, determinar o valor de cada parcela. 
Dados: i1 = 6% a.t., i2 = 2% a.m, P1 = $4.000 – P2, S1 = S2, n = 8 meses, P1= ?, P2 = ? 
 
 21
( )
( ) ( ) ( )
n
8 3 8
2 2 2 1 
S P 1 i
 $4.000 P 1,06 P 1,02 P = $1.996,69 P = $2.003,04
= +
− = ⇒ ⇒
 
 
50. Um capital aplicado em um fundo duplicou seu valor entre 11 de julho e 22 de dezembro do 
mesmo ano. A que taxa efetiva mensal foi aplicado? (considere o ano civil) 
Dados: S = 2 × P, i = ? 
 n= 11/07 até 22/12 = 356-192 n= 164 dias⇒ 
 
( )
( )
n
164 30
S P 1 i
2 P= P 1 i i = 13,52% a.m.
= +
× + ⇒
 
 
51. Um financiamento de $5.000 foi contratado a uma taxa efetiva trimestral de 12% a.t.. 
Considerando-se que ele foi liquidado após 60 dias, calcular o total de juros pagos pelo financiamento. 
Dados: i = 12% a.t., n = 2 meses, P = $5.000, J = ? 
 
( ) ( )n 2 3J P 1 i 1 $5.000 1,12 1 $392,40⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − = × − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 
 
52. Determinar o valor dos juros pagos por um empréstimo de $2.000 contratado a juros efetivos de 
5% a.m. pelo prazo de 25 dias. 
Dados: i = 5% a.m., n = 25 dias, P = $2.000, J = ? 
 
( ) ( )n 25 30J P 1 i 1 $2.000 1,05 1 $82,99⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − = × − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 
 
53. Um empréstimo de $5.000 foi tomado a juros efetivos em 14 de abril e liquidado por $5.850 em 28 
de maio do mesmo ano. Determinar a taxa efetiva mensal contratada. (considere o ano civil) 
Dados: S = $5.850, P = $5.000, i = ? 
 n= 14/04 até 28/05 = 148-104 n= 44 dias⇒ 
( )
( )
n
44 30
S P 1 i
$5.850 $5.000 1 i i 11,2988% a.m.
= +
= + ⇒ =
 
 
 
CAPÍTULO 3 
Exercícios Propostos 
Atenção: Na resolução dos exercícios considerar, salvo menção em contrário, ano comercial de 360 
dias. 
 
1. Dada a taxa efetiva de 48% a.a., determinar a taxa equivalente ao mês, ao trimestre e ao semestre. 
Dados:ia = 48% a.a. 
 
2 4 12 360
a s t m d
1/12
m a
1/4
t a
1/2
s a
(1 + i ) = (1 + i ) = (1+ i ) = (1+i ) = (1+i )
i =(1 + i ) - 1 = 3,32% a.m.
i =(1 + i ) - 1 = 10,30% a.t.
i =(1 + i ) - 1 = 21,66% a.s.
 
 
 22
2. Calcular as taxas de juros efetivas mensal, trimestral e semestral equivalentes à taxa nominal de 
60% a.a. capitalizada mensalmente. 
Dados: j = 60% a.a., k = 12, m = 1 
 
k m 12
a a
2 4 12 360
a s t m d
1/12
m a
1/4
t a
1/2
s a
j 0,60(1 + i ) = 1+ (1 + i ) = 1+ 1,796
k 12
(1 + i ) = (1 + i ) = (1+ i ) = (1+i ) = (1+i )
i =(1 + i ) - 1 = 5,00% a.m.
i =(1 + i ) - 1 = 15,76% a.t.
i =(1 + i )
×⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 - 1 = 34,01% a.s.
 
 
3. Determinar a taxa efetiva anual equivalente a uma taxa nominal de 60% a.a. nas seguintes hipóteses 
de capitalização dos juros da taxa nominal: diária, mensal, trimestral e semestral. 
Dados: j = 60% a.a., m = 1 
 
k m
a
360
a
12
a
4
a
j(1 + i ) = 1+
k
0,60Diária (k=360) i = 1+ - 1 = 82,12% a.a.
360
0,60Mensal (k=12) i = 1+ - 1 = 79,59% a.a.
12
0,60Trimestral (k=4) i = 1+ - 1 = 74,90% a.a.
4
Semestral (k=
×⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞⇒ ⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞⇒ ⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞⇒ ⎜ ⎟⎝ ⎠
2
a
0,602) i = 1+ - 1 = 69,00% a.a.
2
⎛ ⎞⇒ ⎜ ⎟⎝ ⎠
 
 
4. Calcular a taxa nominal anual equivalente à taxa efetiva de 40% a.a. nas seguintes hipóteses de 
capitalização dos juros da taxa nominal: mensal, trimestral e semestral. 
Dados:ia = 40% a.a., m = 1 
 
k m
1 k m
a a
1 12
1 4
1 2
j(1 + i ) = 1+ j = (1 + i ) 1 ×k
k
Mensal (k=12) j = (1,40) 1 ×12 = 34,12% a.a.
Trimestral (k=4) j = (1,40) 1 ×4 = 35,10% a.a.
Semestral (k=2) j = (1,40) 1 ×2 = 36,64% a
×
×⎛ ⎞ ⎡ ⎤⇒ −⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠
⎡ ⎤⇒ −⎣ ⎦
⎡ ⎤⇒ −⎣ ⎦
⎡ ⎤⇒ −⎣ ⎦ .a.
 
 
5. A que taxa nominal anual, capitalizada mensalmente, uma aplicação de $13.000 resulta em um 
montante de $23.000 em 7 meses? 
Dados: P = $13.000, S = $23.000, m = 7/12, k = 12, j = ? % a.a. 
 
( )
k m 1 k m
1 12 7 12
j SS = P 1+ j = 1 ×k
k P
$23.000j = 1 ×12= 101,90% a.a.
$13.000
× ×
×
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞ −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
6. Se uma aplicação de $18.000 à taxa nominal de 180% a.a., capitalizada mensalmente, resultou em 
um montante de $36.204,48, por quantos meses o capital ficou aplicado? 
Dados: P = $18.000, S = $36.204,48, j = 180% a.a., k =12, m = ? anos 
 23
 
( )
k m
12 m
12 m
jS = P 1+
k
1,80$36.204,48 $18.000 1+ 1,15 2,011
12
×
×
×
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞= ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠ =
 
 
aplicando logaritmos: log 2,011=12×m×log 1,15 m= 5 meses⇒ 
 
7. Determinar: 
a) a taxa efetiva para dois meses equivalente à taxa nominal de 120% a.a. capitalizada mensalmente. 
Dados: j = 120% a.a., k = 12, m = 2/12 anos, i = ? 
 
k m
a
2 4 12 360
a s t m d
j(1 + i ) = 1+
k
(1 + i ) = (1 + i ) = (1+ i ) = (1+i ) = (1+i )
×⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 
( )12 2 121,20i = 1+ 1 21%
12
×⎛ ⎞ − =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 
b) a taxa efetiva para 18 meses equivalente à taxa nominal de 120% a.a. capitalizada semestralmente. 
Dados: j = 120% a.a., k = 2, m =18/12 anos, i = ? 
 
( )2 18 121,20i = 1+ 1 309,60%
2
×⎛ ⎞ − =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 
c) a taxa nominal anual capitalizada mensalmente equivalente à taxa efetiva de 10% em 60 dias. 
Dados: ib = 10% a.b., k = 12, m = 1 ano, j = ? % a.a. 
 
k m
6 6
a b b
6 12 1
j(1 + i ) = (1 + i ) 1+ j = (1 + i ) 1 ×k
k
j = (1,10) 1 ×12 = 58,57% a.a.
×
×
×
⎛ ⎞ k m⎡ ⎤= ⇒ −⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠
⎡ ⎤−⎣ ⎦
 
 
d) a taxa nominal anual capitalizada trimestralmente equivalente à taxa efetiva de 15% a.s.. 
Dados: is = 15% a.s., k = 4, m = 1 ano, j = ? % a.a. 
 
k m
2 2
a s s
2 4 1
j(1 + i ) = (1 + i ) 1+ j = (1 + i ) 1 ×k
k
j = (1,15) 1 ×4 = 28,95% a.a.
×
×
×
⎛ ⎞ k m⎡ ⎤= ⇒ −⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠
⎡ ⎤−⎣ ⎦
 
 
e) a taxa efetiva para 41 dias equivalente à taxa nominal de 24% a.a. capitalizada diariamente. 
Dados: j = 24% a.a., k = 360, m = 41/360 anos, i = ? 
 
( )360 41 3600,24i = 1+ 1 2,77 %
360
×⎛ ⎞ − =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 
f) a taxa efetiva para 41 dias equivalente à taxa nominal de 24% a.s., capitalizada diariamente. 
Dados: j = 24% a.s., k = 180, m = 41/180 anos, i = ? 
 
( )180 41 1800,24i = 1+ 1 5,62 %
180
×⎛ ⎞ − =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 24
8. Um capital foi aplicado à taxa nominal de 90% a.a., capitalizada mensalmente. Calcular a taxa 
efetiva equivalente para os seguintes prazos: 180 dias, 3 meses, 5 trimestres e 7 semestres. 
Dados: j = 90% a.a., k = 12, m = 1 
 
k m 12
a a
2 4 12 360
a s t m d
j 0,90(1 + i ) = 1+ (1 + i ) = 1+ 2,382
k 12
(1 + i ) = (1 + i ) = (1+ i ) = (1+i ) = (1+i )
×⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
180 dias 
 
 
1/2
180 dias ai =(1 + i ) - 1 = 54,33%
3 meses 
 1/43 meses ai =(1 + i ) - 1 = 24,23%
 
5 trimestres 
5/4
5 trimestres ai =(1 + i ) - 1 = 195,89% 
 
7 semestres 
7/2
7 semestres ai =(1 + i ) - 1 = 1.985,24% 
 
 
9. Uma aplicação de $18.000 rendeu juros efetivos de $4.200 em quatro meses. Qual seria o 
rendimento em 11 meses? 
Dados: P = $18.000, S1 = $22.200, n1 = 4 meses, n2 = 11 meses, S2 = ? 
 
( )
( ) ( )
n
4
m m
S = P 1+i
$22.200 $18.000 1+i 1+i 1,0538= ⇒ =
 
Por outro lado, 
( )112 m
2
S = $18.000 1+i $32.043,78
J = S - P = $14.043,78
= 
 
10. Quanto devemos aplicar em um CDB que paga uma taxa nominal de 84% a.a. capitalizada 
mensalmente de modo a obter um montante de $76.000 após quatro meses? 
Dados: S = $76.000, j = 84% a.a., m = 4/12 anos, k = 12, P = ? 
 
( )
k m
12 4 12
jS = P 1+
k
1,84 $76.000 P 1+ P $57.980,04
12
×
×
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞= ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠
 
 
11. Calcular o montante para um capital de $2.000 aplicado conforme as hipóteses a seguir: 
 Prazo Taxa nominal Capitalização 
 a) 3 meses 48% a.s. mensal 
b) 2 anos 18% a.a. mensal 
c) 17 dias 35% a.m. diária 
 
k mjS = P 1+
k
×⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 
a) Dados: P = $2.000, j = 48% a.s., m = 3/6 semestres, k = 6, S = ? 
 
30,48S = $2.000 1+ $2.519,42
6
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 25
 
b) Dados: P = $2.000, j = 18% a.a., m = 2 anos, k = 12, S = ? 
 
12 20,18S = $2.000 1+ $2.859,01
12
×⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 
c) Dados: P = $2.000, j = 35% a.m., m = 17/30 meses, k = 30, S = ? 
 
 
170,35S = $2.000 1+ $2.435,94
30
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 
12. A juros nominais de 48% a.a., capitalizados mensalmente, determinar em quantos meses um 
capital de $10.000 rende juros de $3.685,69. 
Dados: P = $10.000, S = $13.685,69, j = 48% a.a., k = 12, m = ? anos 
 
( )
k m
12 m
12 m
jS = P 1+
k
0,48$13.685,69 $10.000 1+ 1,04 1,368
12
×
×
×
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞= ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠ =
 
 
aplicando logaritmos: log 1,368 12 m log 1,04 m= 8 meses= × × ⇒ 
 
13. Para os prazos a seguir, calcular as taxas efetivas equivalentes à taxa efetiva de 48% a.a.: 
a) 8 meses 
8/12
8 mesesi =(1,48) - 1 = 29,87% 
 
b) 11 meses 
11/12
11 mesesi =(1,48) - 1 = 43,24% 
 
c) 18 dias 
18/360
18 diasi =(1,48) - 1 = 1,98% 
 
d) 3 meses 
3/12
3 mesesi =(1,48) - 1 = 10,30% 
 
e) 420 dias 
420/360
420 diasi =(1,48) - 1 = 57,99% 
 
f) 7 meses e 12 dias 
222/360
7 meses e 12 diasi =(1,48) - 1 = 27,35% 
 
14. Qual é a melhor alternativa: investir à taxa nominal de 240% a.a., capitalizada mensalmente, ou à 
de 264% a.a., capitalizada bimestralmente? 
Dados: j1 = 240% a.a., k1 = 12, j2 = 264% a.a., k2 = 6, m = 1 ano, i1 = ? % a.a., i2 = ? % a.a. 
 
ik m
i
i
i
12
1 1
6
2 2
j(1 + i ) = 1+
k
2,40(1 +i ) = 1+ i = 791,61%
12
2,64(1 + i ) = 1+ i = 791,61%
6
×⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠
 
 26
As alternativas são equivalentes! 
 
15. Qual deve ser a freqüência da capitalização dos juros de uma taxa nominal de 565,98% a.a., de 
modo que seja equivalente à taxa nominal de 480% a.a., capitalizada bimestralmente? 
Dados: j1 = 565,98% a.a., j2 = 480% a.a., k2 = 6, m = 1 ano, k1 = ? 
 
1 2
1
k m k m
1 2
1 2
k 6
1
j j1+ = 1+
k k
5,6598 4,801+ = 1+ 34,01
k 6
× ×⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
 
1
1
1 1 
5,6598aplicando logaritmos: log 34,01 3,5266 k log 1+
k
Oras, sabemos que k é um divisor de 12, então testando valores obtemos k = 4
⎛ ⎞= = × ⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 
Logo, a capitalização é trimestral! 
 
16. Em quanto tempo dobra um capital aplicado à taxa nominal de 227,05% a.a., capitalizada 
mensalmente ? 
Dados: S = 2 x P, j = 227,05% a.a., k = 12, m = ? anos 
 
( )
k m
12 m
12 m
jS = P 1+
k
2,27052 1+ 1,189 2
12
×
×
×
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞= ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠ =
 
 
aplicando logaritmos: log 2=12×m×log 1,189 m= 4 meses⇒ 
 
17. Em 14 meses, uma aplicação de $12.000 rendeu juros brutos de $2.300. Considerando-se a 
cobrança de um imposto de 2% sobre os rendimentos, calcular a taxa efetiva mensal obtida pela 
aplicação. 
Dados: P = $12.000, J = $2.300, Imposto = 2%, im = ? 
 
a) Rendimento efetivo em 14 meses: 
[ ]
 rendimento efetivo juros brutos - imposto
 $2.3000 0,02 $2.300 $2.254
=
= − × = 
 
b) Taxa de rendimento efetivo mensal: 
1
14
m
$2.254i 1 1 1,2371% a.m.
$12.000
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= + − =⎜ ⎟⎝ ⎠
 
eses à taxa efetiva de 45% a.a.. 
ados: P = $17.8000, i = 45% a.a., m = 7 meses, J = ? 
 
 
18. Calcular o rendimento de $17.800 aplicados por sete m
D
( )7 12nJ = P (1+i) 1 = $17.800 1,45 1 $4.308,10⎡ ⎤⎡ ⎤− − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 
 
19. Um capital de $24.000 aplicado à taxa nominal de 120% a.a., capitalizada mensalmente, rendeu 
ados: P = $24.000, S = $29.040, j = 120% a.a., k = 12, m = ? 
 
$5.040. Determinar o prazo da operação. 
D
 27
( )
k m
12 m
12 m
jS = P 1+
k
1,20$29.040 $24.000 1+ 1,21 1,1
12
×
×
×
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞= × ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠
' 
 
aplicando logaritmos: log 1,21=12×m×log 1,1 m= 2 meses⇒ 
 
20. Em sete meses, um investimento de $15.000 teve um rendimento bruto de $4.000. Considerando-
se um imposto de 3% sobre o rendimento e uma comissão de 1,5% sobre o valor aplicado, calcular a 
taxa de juros efetiva mensal ganha na aplicação. 
Dados: P = $15.000, J = $4.000, Imposto = 3%, Comissão = 1,5%, im = ? 
 
a) Rendimento efetivo em 14 meses: 
[ ] [ ]
 rendimento efetivo juros brutos - imposto - comissão
 $4.0000 0,03 $4.000 0,015 $15.000 $3.655
=
= − × − × = 
 
b) Taxa de rendimento efetivo mensal: 
1
7
m
$3.655i 1 1 3,1642% a.m.
$15.000
⎛ ⎞= + − =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 
21.Um investimento rende juros nominais de 6% a.a., capitalizados mensalmente. Calcular a taxa 
efetiva anual. 
Dados: j = 6% a.a., k = 12, m = 1 ano, ia = ? 
 
k m
a
12
a
j(1 + i ) = 1+
k
0,06i = 1+ 1 6,1678%
12
×⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ − =⎜ ⎟⎝ ⎠
 
 
22. Em operações de crédito, o Banco A cobra uma taxa efetiva de 30% a.a., e o Banco B cobra juros 
nominais de 27% a.a., capitalizados mensalmente. Qual é a melhor taxa para o cliente? 
Dados: i = 30% a.a., j = 27% a.a., k = 12, m = 1 ano 
 
 
a
k×m 12
a
Taxa efetiva anual:
Banco A i =30% a.a.
j 0,27 Banco B i = 1+ - 1= 1+ - 1=30,60% a.a.
k 12
O oferta A é a melhor para o cliente. Representa a menor taxa efetiva
⇒
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
23. Uma aplicação a juros nominais de 24% a.a., capitalizados semestralmente, resultou em um 
montante de $10.000. Se a taxa fosse de 48% a.a., capitalizada trimestralmente, o montante seria de 
$15.735,19. Calcular o capital e o prazo da aplicação em anos. 
Dados: S1 = $10.000, S2 = $15.735,19, j1 = 24% a.a., j1 = 48% a.a., k1 =2, k2 = 4. P = ?, m = ? anos 
 
[ ]
k m
m2
m
jS = P 1+
k
0,24 $10.000$10.000 P 1+ P
2 1, 2544
×⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⎡ ⎤⎛ ⎞= ⇒ =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
 
Por outro lado, 
 28
[ ]$15.735,19 P 1+ 1,2544 1,5735
4
= ⇒ =⎢ ⎥
k m
m4
m
jS = P 1+
k
0,48
×⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⎡ ⎤⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
 
⎢ ⎥⎣ ⎦
 
aplicando logaritmos: log 1,5735 m log 1,2544 m= 2 anos P= $6.355,18= × ⇒ ⇒ 
 
24. Em que prazo um capital de $75.000, aplicado à taxa nominal de 22% a.a., capitalizada 
semestralmente, resulta em um montante de $ 155.712? 
Dados: P = $75.000, S = $155.712, j = 22% a.a., k = 2, m = ? 
 
( )2 m$155.712 $75.000 1+ 2,076 1,11
2
k m
2 m
jS = P 1+
k
0,22
×
×
×
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞
' 
25. Dois capitais foram aplicados. O primeiro de $8.000, à taxa nominal de 20% a.a., capitalizada 
trimestralmente, e o segundo de $33.800,80, à taxa nominal de 10% a.a., capitalizada semestralmente. 
Em quantos anos os dois capitais produzirão o mesmo rendimento? 
Dados: P1 = $8.000, P2 = $33.800,80, j1 = 20% a.a., j1 = 10% a.a., k1 = 4, k2 = 2, J1 = J2, m = ? anos 
 
= ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠
 
aplicando logaritmos: log 2,076=2×m×log 1,11 m= 42 meses⇒ 
 
( )
k m
4 m 2 m
2m
jrendimento: J = P 1+ 1
k
0,20 0,10$8.000 1+ -1 = $33.800,80 1+ -1
4 2
1,05 3, 2251
×⎡ ⎤⎛ ⎞ −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣
⇒ =
 
⎤⎥⎥⎦
 
aplicando logaritmos: log 3,2251 m log 1,1025 m = 12 anos= × ⇒ 
 
 
26. Um capital de $12.600 foi aplicado por três anos à taxa nominal de 22% a.a.. Calcular o montante, 
considerando-se que, no primeiro ano, os juros são capitalizados semestralmente; no segundo, 
trimestralmente, e no terceiro, bimestralmente. 
Dados: P = $12.600, j = 22% a.a., k1 = 2, k2 = 4, k3 = 6, m1 = 1 ano, m2 = 1 ano, m3 = 1 ano, S = ? 
 
k m
2 4
S = P 1+
k⎜ ⎟⎝ ⎠ 
6
j
$23.870, 48
×⎛ ⎞
0,22 0,22 0,22S $12.600 1+ 1+ 1+ S
2 4 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒
 
27. Um capital de $12.500 aplicado à taxa nominal de 24% a.a., capitalizada semestralmente, rendeu 
juros de $12.172,78. Calcular o prazo da aplicação. 
Dados: P = $12.500, j = 24% a.a., k = 2, S = $24.672,78, m = ? anos 
 
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠⎝
 29
( )$24.672,78 $12.5 0 1 1,9738 1,12
2
k m
2 m
jS = P 1+
k
0,240 +
×
×
2 m×
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞
' 
= ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠
 
aplicando logaritmos: log 1,9738 2 m log 1,12 m= 3 anos= × × ⇒ 
 
28. Três quartos de um capital foram aplicados à taxa nominal de 20% a.a., capitalizada 
semestralmente, e o restante a 12% a.s., capitalizada trimestralmente. Considerando-se o prazo de 
aplicação de quatro anos e sabendo-se que o rendimento ( juros obtidos) da primeira parcela foi 
$4.726,04 maior que o rendimento da segunda, calcular o capital. 
Dados: P1 = (3/4) x P, P2 = (1/4) x P, J1 – J2 = $4.726,04, j1 = 20% a.a., k1 = 2, j2 = 12% a.s., k2 = 2, 
m,=,4 anos = 8 semestres, P = ? 
( )k mjS P 1 J - = S - S - P - P×⎛ ⎞ 1 2 1 2 1 2
2 4 2 8
k
3 0, 2 1 0,12 1$4.726,04 = P 1 1 P= $10.000
4 2 4 2 2
× ×
 J= +⎜ ⎟⎝ ⎠
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + − ⇒⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
 
29. Um capital aplicado à taxa nominal de 24% a.a., capitalizada semestralmente, rendeu $9.738,23. 
Se a taxa fosse de 48% a.a., capitalizada trimestralmente, o rendimento seria de $28.959,76. 
zo da aplicação em anos e calcular o valor do capital. 
⇒
Determinar o pra
Dados: J = $9.1 738,23, J2 = $28.959,76, j1 = 24% a.a., k1 = 2, j2 = 48% a.a., k2 = 4, P = ?, m = ? 
 
( )
k×m
2×m
2×m
jJ = P 1+ -1
k
0,24 $9.738,23$9.738,23 = P 1+ -1 1,12 = 1
2 P
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⇒ +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
 
Por outro lado, 
k×m
4×m
2
jJ = P 1+ -1
k
0,48$28.959,76 = P 1+ 1
4
$9.738,23$28.959,76 = P 1 -1
P$9.738,23$28.959,76 = $9.738,23 2 P= $10.000
P
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞ −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⎡ ⎤+⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤+ ⇒
 
⎢ ⎥⎣ ⎦
 
( )
( )
2×m $9.738,23 $9.738,231,12 = 1 1
P $10.000
+ = +
2×m1,12 = 1,9738
aplicando logaritmos: log 1,9738 2 m log 1,12 m= 3 anos= × × ⇒
 
 
30. Um capital aplicado durante quatro anos à taxa nominal de 12% a.a., capitalizada mensalmente, 
rendeu de juros $12.252 a mais do que teria rendido se a capitalização fosse semestral. Calcular o 
alor do capital. 
ados: J1 – J2 = $12.252, j = 12% a.a., k1 = 12, k2 = 2, m = 4 anos, P = ? 
v
D
 
 30
( )k mjS P 1 ×⎛ ⎞= + ⇒⎜⎝ 1 2 1 2 1 2
12 4 2 4
J - J = S - S - P - P
k
0,12 0,12$12.252 = P 1 1 P= $666.666,56
12 2
× ×
⎟⎠
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + ⇒⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
 
31. Dividir a importância de $2.832.774 em três partes, de modo que, aplicadas à taxa nominal de 20% 
a.a., capitalizada semestralmente, produzam, respectivamente, montantes iguais em dois, três e cinco 
nos, considerando-se que a diferença entre o primeiro e o segundo capital é de $205.627,30. a
Dados: P1 – P2 = $205.627,30, P1 + P2+ P3 = $2.832.774, j = 20% a.a., k = 2, m1= 2 anos, m2 = 3 anos, 
m3 = 5 anos, P1 = ?, P2 = ?, P3 = ? 
 
( )
1 2k m k mj j× ×⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 2P 1 = P 1
k k
+ +
2 2 2 3
2 2 2
1 3
0,2 0,2P + 205.627,30 1 = P 1 P = $979.177,61
2 2
P = $1.184.804,92 P = $668.791,47
× ×
⎜ ⎟
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⇒
 
 
32. Dois capitais foram aplicados pelo prazo de dois anos. O primeiro à taxa nominal de 20% a.a., 
⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
capitalizada semestralmente, e o segundo, à de 18% a.a., capitalizada trimestralmente. Considerando-
se que os juros obtidos pelo primeiro capital excederam em $6.741,00 os juros obtidos pelo segundo e 
que o primeiro é $10.000 maior que o segundo, calcular os dois capitais. 
Dados: P1 – P2 = $10.000, J1 – J2 = $6.741, j1 = 20% a.a., k1 = 2, j2 = 18% a.a., k2 = 4, m = 2 anos, P1 
= ?, P = ? 2 ( )
( )
1 2 1 2 1 2
2 2 4 2
2 2 
2 1
J - J = S - S - P - P
0,20 0,18$6.741 = P + $10.000 1 - P 1 $10.000
2 4
P = $50.000,73 P = $60.000,73
× ×⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⇒
 
 
Um capital foi aplicado durante cinco anos à taxa nominal de 5.5% a.a., capitalizada 
? 
33. 
semestralmente, e a seguir seu montante foi colocado a juros efetivos de 4% a.a. durante dez anos. A 
que taxa efetiva anual única o capital poderia ser aplicado durante todo esse tempo de modo que 
resultasse no mesmo montante? 
Dados: j1 = 5,5% a.a., k = 2, i = 4% a.a., m = 5 anos, n = 10 anos, n = 15 anos, i = 1 2 1 2 
 
( )
( ) ( ) ( )
k m
n
2 5
10 15 15
jS = P 1+ P 1+i
k
0,0551+ 1+0,04 1+i 1+i 1,9416 i = 4,5226% a.a.
2
×
×
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ = ⇒ = ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠
 
 
34. Uma pessoa precisa de $10.000 por dois anos. Oferecem-lhe o dinheiro nas seguintes condições: a) 
a juros nominais de 5% a.a., capitalizados trimestralmente; b) à taxa nominal de 5,375% a.a., 
capitalizada semestralmente; e c) a juros simples de 5,5% a.a. Qual é a melhor oferta? 
Dados: j1 = 5% a.a , k1 = 4, j2 = 5,375% a.a , k2 = 2, i3 = 5,5% a.a., n = 2 anos 
 
 31
( )
k×m 4×2
k×m 2×2
Juros pagos:
j 0,05Oferta A = P 1+ - P = $10.000× 1+ -$10.000 = $1.044,86
k 4
j 0,05375 Oferta B = P 1+ - P = $10.000× 1+ -$10.000 = $ .119,12
k 2
Oferta C = P 1+i n - P = $10.0
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
× ( )00× 1+0,055 2 -$10.000 = $1.100,00
A oferta A é a melhor para o cliente. Paga-se menos juros nela.
×
 
 
 
 
to 
ados: P1 = $20.000, P2 = J1, j1 = 18% a.a., j2 = 12% a.a., k1 =2, k2 = 4, m1 = 4 anos, m2 = 15/12 
anos, J2 = ? 
 
1
 
35. Uma pessoa aplicou um capital de $20.000 durante quatro anos à taxa nominal de 18% a.a., 
capitalizada semestralmente. Ao término desse período, somente os juros obtidos foram reaplicados 
l de 12% a.a., capitalizada trimestralmente. Calcular o rendimenpor mais 15 meses à taxa nomina
essa última aplicação. d
D
k mj ×equação para calcular os juros: J = P 1+ 1
k
⎡ ⎤⎛ ⎞ −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
2 4
2 1 2 
0,18 P = J = $20.000 1+ 1 P = $19.851,25
2
×⎡ ⎤⎛ ⎞ − ⇒⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠
 
o l
⎢ ⎥⎣ ⎦
or outr ado, P
( )4 15 12
2 2
0,12J = $19.851,25 1+ 1 J = $3.161,79
4
×⎡ ⎤⎛ ⎞ − ⇒⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
6. Um banco oferece uma rentabilidade efetiva de 40% a.a.. Considerando-se que o investidor tem 
i =(1 + i ) - = 8,78% a.t.
 
A oferta B (9% a.t.) oferece maior taxa efetiva, portanto maior rentabilidade para o cliente! 
 
37. Um investidor aplicou $25.000 na Bolsa de Valores esperando ganhar uma rentabilidade efetiva de 
100% a.a.. Caso tal rentabilidade ocorresse, calcular os juros obtidos ao fim de 20 meses. 
5.000, i = 100% a.a., n = 20 meses, J = ? 
3
condições de ganhar juros efetivos de 9% a.t. em outro banco, qual deve ser a alternativa escolhida? 
Dados: i1 = 40% a.a, i2 = 9% a.t 
 
2 4 12 360
a s t m d(1 + i ) = (1 + i ) = (1+ i ) = (1+i ) = (1+i )
 
1/4
t1 a 1
Dados: P = $2
 
( )
( )
n
20 12
J P 1 i 1
 J $25.000 2 1 J $54.370,05
⎡ ⎤= + −⎣ ⎦
⎡ ⎤= − ⇒ =⎣ ⎦
 
 
38. Um capital aplicado à taxa nominal de 24% a.a., capitalizada semestralmente, rendeu $2.294,08. 
Se a taxa fosse de 48% a.a., capitalizada trimestralmente, o montante seria de $9.903,85. Calcular o 
capital e o prazo da aplicação. 
Dados: J1 = $2.294,08, S2 = $9,903,85, j1 = 24% a.a., k1 = 2, j2 = 48% a.a., k2 = 4, P = ?, m = ? 
 
 32
( )
k×m
2×m
2×m
jJ = P 1+ -1
k
0,24 $2.294,08$2.294,08=P 1⎢⎜⎝ + -1 1,12 = 12 P
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⇒ +⎥⎟⎠
⎢ ⎥⎣ ⎦ 
⎢ ⎥⎣ ⎦
Por outro lado, 
k×mjJ = P 1+ -1
k
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥
22×m⎡ ⎤
2
0,48$9.903,85=P 1+
4
$2.294,08$9.903,85=P 1
P
$2.294,08 P$9.903,85=$2.294,08 2 P= $4.000
P $2.294,08
⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤+ + ⇒⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
 
39. O Produto Interno Bruto (PIB) de um país cresceu 200% em dez anos. Qual foi a taxa de 
crescimento anual média? 
Dados: idécada = 200% a.d., i = ? 
1.61% a.a. 
 
40. Em 12/10/2006, um foi aplicado à taxa nom a.a., capitalizada 
diariamente. C cu s os m n r a ivil). 
Dados: j = 36% a. k = 5, $ = =
 nd t c g s iv tre as duas datas (capítulo 1 do 
livro): 
 e s r d v ro) = +328 
 e e te e = −285
⎢ ⎥⎣ ⎦
aplicando logaritmos: log 1,5735=2×m×log 1,12 m= 2 anos⇒ 
a 
10 1/10
década a a d(1 + i ) = (1 + i ) i =(1 + i ) - 1 = 1⇒
 capital de $2.300 inal de 36%
al lar o jur acu ulados em 24/11/2007 (co side ar o no c
a., 36 P = 2.300, m ?, J ? 
Determinação do prazo usa o a ábua para onta em de dia do ano c il en
 número d dias da data po terio (24 e no emb
 núm ro d dias da data an rior (12 d outubro) 
 prazo: 43 dias 
Prazo total = 365 + = 
 
 
 
 43 408 dias 
 
k m×
408
j+ ⎞J P ⎛⎢ 1 1
0 $ 8
=
k ⎟⎠
0,36 ⎞J $2.3 0 ⎢ ⎥1+ 1− J = 1.13 ,80
365 ⎠
⎡ ⎤−
⎛= × ⎜⎝
 
 bu a o e e e s a
⎥⎜⎝⎢⎣ ⎥⎦
⎡ ⎤ ⇒⎟⎢ ⎥⎣ ⎦
Tá a p ra c ntag m d dias entr dua dat s 
J . AN FEV. MAR ABR
. 
MAI. JUN. JUL. AGO SET. OUT. NOV DEZ.
1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335
2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336
3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337
4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338
5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339
6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340
7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341
8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342
9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343
10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344
11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345
12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346
13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347
14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348
15 46 74 105 135 166 196 227 258