nota aula Estatística Básica

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ 
PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO 
CENTRO DE CIÊNCIAS 
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E MATEMÁTICA APLICADA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROF. DR. JOÃO WELLIANDRE CARNEIRO ALEXANDRE 
 
 
 
 
 
 
NOTAS DE AULA DE 
 
ESTATÍSTICA BÁSICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fortaleza –CE 
 
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Sumário 
 
1. ESTATÍSTICA DESCRITIVA .................................................................................................. 4 
1.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS ............................................................................................... 4 
1.2 CONCEITOS IMPORTANTES ............................................................................................ 5 
1.3 FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO ................................................................................ 8 
1.4 SÉRIES ESTATÍSTICAS ..................................................................................................... 9 
1.5 ELABORAÇÃO DE TABELAS ESTATÍSTICA .............................................................. 12 
1.6 APRESENTAÇÃO GRÁFICA ........................................................................................... 13 
2. MEDIDAS ASSOCIADAS ÀS VARIÁVEIS QUANTITATIVAS ......................................... 24 
2.1 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL ......................................................................... 24 
2.2 ANÁLISE DE PEQUENOS CONJUNTOS DE DADOS ................................................... 25 
2.3 MEDIDAS DE VARIABILIDADE .................................................................................... 29 
3. MEDIDAS ASSOCIADAS ÀS VARIÁVEIS QUANTITATIVAS (CONTINUAÇÃO) ........ 34 
3.1 ANÁLISE DE GRANDES CONJUNTOS DE DADOS ..................................................... 34 
3.2 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES .... 37 
3.3 GRÁFICOS REPRESENTATIVOS PARA DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIA ........ 41 
3.4 MEDIDAS DE ASSIMETRIA ............................................................................................ 43 
4. PROBABILIDADE................................................................................................................... 45 
4.1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 45 
4.2 EXPERIMENTO ALEATÓRIO ......................................................................................... 45 
4.3 ESPAÇO AMOSTRAL ....................................................................................................... 45 
4.4 EVENTO ............................................................................................................................. 46 
4.5 UNIÃO DE EVENTOS ....................................................................................................... 46 
4.6 EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS .................................................................... 46 
4.7 DEFINIÇÃO........................................................................................................................ 46 
4.8 CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO............................................................................... 47 
4.9 MODELO EQUIPROBABILÍSTICO ................................................................................. 47 
4.10 PROBABILIDADE CONDICIONAL .............................................................................. 48 
4.11 REGRA DO PRODUTO ................................................................................................... 49 
4.12 EVENTOS INDEPENDENTES........................................................................................ 50
 ....................................................................................................................................................... 
5.VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS ............................................................................ 56 
5.1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 56 
5.2 DISTRIBUIÇÃO UNIFORME DISCRETA ...................................................................... 58 
5.3 DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI ................................................................................... 58 
5.4 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL ............................................................................................ 59 
5.5 DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA .......................................................................... 60 
5.6 DISTRIBUIÇÃO DE POISSON ......................................................................................... 62 
6.VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS ............................................................................ 66 
6.1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 66 
6.2 MODELO UNIFORME CONTÍNUO ................................................................................ 68 
6.3 DISTRIBUIÇÃO NORMAL ............................................................................................... 68 
6.4 DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO ............................................................................. 70 
6.5 DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL .................................................................................... 72 
6.6 DISTRIBUIÇÃO GAMA .................................................................................................... 73 
6.7 DISTRIBUIÇÃO BETA ..................................................................................................... 74 
6.8 DISTRIBUIÇÃO WEIBULL .............................................................................................. 74 
7.AMOSTRAGEM E ESTIMAÇÃO ........................................................................................... 77 
7.1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 77 
7.2 POPULAÇÃO E AMOSTRA ............................................................................................. 77 
 
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7.3 PROBLEMAS DE INFERÊNCIA ...................................................................................... 78 
7.4 COMO SELECIONAR UMA AMOSTRA ........................................................................ 79 
7.5 AMOSTRAGEM DE UMA POPULAÇÃO FINITA ......................................................... 80 
7.6 PLANOS DE AMOSTRAGEM .......................................................................................... 85 
8.DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS .............................................................................................. 86 
8.1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 86 
8.2 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA ..................................................................... 86 
8.3 TEOREMA DO LIMITE CENTRAL ................................................................................. 88 
8.4 DISTRIBUIÇÕES DE PROPORÇÕES AMOSTRAIS ...................................................... 89 
8.5 AMOSTRAGEM DE UMA POPULAÇÃO FINITA ......................................................... 90 
9.ESTIMAÇÃO ............................................................................................................................ 93 
9.1 EXEMPLOS DE ESTIMATIVAS ...................................................................................... 93 
9.2 DEFINIÇÃO........................................................................................................................ 93 
9.3 INTERVALO DE CONFIANÇA ........................................................................................ 94 
9.4 ESTIMAÇÃO DA MÉDIA DE UMA POPULAÇÃO ....................................................... 959.5 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA PROPORÇÃO ................................................... 99 
9.6 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DAS DIFERENÇAS ..................................................... 100 
9.7 INTERVALOS DE CONFIANÇA PARA DIFERENÇAS .............................................. 102 
10.ESTIMAÇÃO (CONTINUAÇÃO) ....................................................................................... 106 
10.1 ESTIMAÇÃO PONTUAL E VARIÂNCIA POPULACIONAL .................................... 106 
10.2 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA VARIÂNCIA POPULACIONAL ................. 107 
10.3 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA RAZÃO DE VARIÂNCIAS ......................... 111 
11.TESTES DE HIPÓTESES ..................................................................................................... 117 
11.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 117 
11.2 ELEMENTOS PARA TESTES DE HIPÓTESES .......................................................... 119 
11.3 IDENTIFICAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL ADEQUADA ........................ 121 
11.4 NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA DO TESTE ..................................................................... 122 
11.5 ROTEIRO PARA TOMADA DE DECISÕES ............................................................... 123 
11.7 TIPOS DE TESTES DE SIGNIFICÂNCIA .................................................................... 124 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
 
 
 
 
 
1.1. CONSIDERAÇÕES GERAIS 
 
1.1.1. O que é Estatística? 
 
É possível distinguir duas concepções para a palavra Estatística: 
a. No plural (estatísticas), indica qualquer coleção consistente de dados numéricos com a 
finalidade de fornecer informações acerca de uma atividade qualquer. 
b. No singular indica a atividade humana especializada, ou um corpo de técnicas, ou ainda 
uma metodologia desenvolvida para coleta, a apresentação, organização, a análise e a 
interpretação de dados quantitativos e sua utilização para tomada de decisões. 
Por b a utilização dessas técnicas, destinada à análise de situações complexas ou não, tem 
aumentado e faz parte do nosso cotidiano. Tome-se, por exemplo, as transmissões esportivas. Em 
jogos de futebol, o número de escanteios, número de faltas cometidas e o tempo de posse de bola 
são dados fornecidos ao telespectador e fazem com que as conclusões sobre qual time foi o melhor 
em campo se torne objetiva (não que isso implique em quem tenha sido o vencedor...). O que tem 
levado a essa quantificação de nossas vidas no dia-a-dia? Um fator importante é a popularização 
dos computadores. Atualmente grande quantidade de informações pode ser analisada rapidamente, 
com programas adequados, o que antes, era um trabalho bastante lento e tedioso. 
Assim é necessária a compreensão dos conceitos básicos da Estatística, bem como as 
suposições necessárias para seu uso de forma criteriosa. 
 
1.1.2. O papel da Estatística 
 
A indústria Americana, por exemplo, tem de continuar a melhorar a qualidade de seus 
produtos e serviços se quiser continuar a competir efetivamente nos mercados interno e externo. 
Uma porção significativa desse esforço de melhoria da qualidade será comandada por engenheiros 
e cientistas, porque esses são os indivíduos que projetam e desenvolvem novos produtos e sistemas, 
sendo também aqueles que melhoram os sistemas existentes. 
 
1.1.3. Resolução de Problemas 
 
Os engenheiros são pessoas que resolvem problemas de interesse social pela aplicação 
eficiente de princípios científicos. Eles executam isso através de processos que encontrem a 
necessidade dos consumidores. Os métodos estatísticos ajudam a resolver esses problemas. As 
etapas são as seguintes: 
a. Desenvolver uma descrição clara e concisa do problema. 
b. Identificar os fatores importantes que afetam esse problema ou que ajudem a sua resolução. 
c. Propor um modelo para o problema. 
d. Conduzir experimentos apropriados e coletar dados para testar ou avaliar o modelo ou 
conclusões feitas nas etapas a e b. 
e. Refinar o modelo, com base nos dados observados. 
f. Manipular o modelo de modo a ajudar o desenvolvimento da solução do problema. 
g. Conduzir um experimento apropriado para confirmar que a solução é efetiva. 
h. Tirar conclusões ou fazer recomendações baseadas na solução do problema. 
 
 
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1.1.4. A Estatística Descritiva e Inferência estatística 
 
 Estatística Descritiva: 
 
É extremamente difícil captar intuitivamente todas as informações que os dados contém. É 
necessário, portanto, que estas informações sejam reduzidas até o ponto em que se possa interpretá-
las mais claramente. Em outras palavras, é indispensável resumi-las, através de certas medidas, 
sínteses, mais comumente conhecidas como estatísticas descritivas ou simplesmente estatísticas. 
Então, Estatística Descritiva é um número que, sozinho, descreve uma característica de um 
conjunto de dados. 
Em um sentido mais amplo, a Estatística Descritiva pode ser interpretada como uma 
função cujo objetivo é a observação de fenômenos da mesma natureza, a coleta de dados numéricos 
referentes a esses fenômenos, a organização e classificação desses dados observados e a 
apresentação através de gráficos e tabelas, além do cálculo de medidas (estatísticas) que permitem 
descrever resumidamente os fenômenos. 
 
 Inferência Estatística: 
 
A Inferência Estatística refere-se ao processo de generalização feito a partir de resultados 
particulares. Consiste em obter e generalizar conclusões para o todo, com base no particular. 
O processo de generalização está associado a uma margem de incerteza. A existência da 
incerteza deve-se ao fato de que a conclusão que se pretende obter para o todo, baseia-se em uma 
parcela do total. 
A medida da incerteza é tratada mediante técnicas e métodos que se fundamentam na 
Teoria da probabilidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.2. CONCEITOS IMPORTANTES 
 
1.2.1. População: 
1. Estatística Descritiva 
 Consistência de dados 
 Interpretações iniciais 
1. Inferência Estatística 
 Estimação de quantidades 
desconhecidas 
 Extrapolação dos resultados 
 Teste de Hipóteses 
 
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O conjunto da totalidade dos indivíduos sobre o qual se faz uma inferência recebe o nome 
de população ou universo. 
Em linguagem mais formal, é o conjunto constituído por indivíduos ou objetos que 
apresentam, pelo menos, uma característica em comum, cujo comportamento interessa fazer 
análise. As características da população são chamadas de parâmetros, os quais são valores fixos e 
ordinariamente desconhecidos. É importante ficar bem claro que uma população é estudada em 
termos de observações de características nos indivíduos, e não em termos de pessoas ou objetos em 
si. 
 
Ex: 
 - Resistência à compressão de 80 corpos de prova da liga de alumínio 
 - Matrículas de alunos no curso de Engenharia de Produção Mecânica da UFC, 2004.2. 
 - Produção de espaçonaves pela Companhia Boeing, em 2004. 
 - Dados das medidas de viscosidade para um produto químico observado de hora em hora. 
 
 
1.2.1.1 Tipos de População: 
 
a. Finita 
 É a população onde se consegue contar todos os elementos que a formam, ou seja, 
possui um número limitado de elementos. 
 
 Ex.: Número de trabalhadores contratados entre os anos de 1994 a 2004 pela Empresa 
Materials Engineering. 
 
b. Infinita 
 A população onde não se consegue contar todos os elementos que a formam. Geralmente 
está associada à processos, e o número de observações tendea ser infinito, dando origem a 
uma população infinita. Uma população infinita deverá, então, ser concebida como um 
esquema conceitual e teórico. 
 
 Ex.: Um técnico de laboratório pesando certo material. Por maior que seja o cuidado na 
experimentação ele poderia, em cada pesagem, obter uma leitura de certo modo diferente. 
 
 
1.2.2. Amostra 
É um subconjunto, uma parte selecionada da totalidade de observações abrangidas pela 
população, através do qual se faz um juízo ou inferência sobre as características da população. As 
características da amostra são chamadas estatísticas descritivas, como apresentam os exemplos 
abaixo: 
 
a. Estudo sobre o conteúdo de ferro natural exportado por um navio. 
 População: todo o minério de ferro a ser exportado. 
 Amostra: parte do minério a ser exportado. 
 
b. Estudo sobre os alunos matriculados na disciplina Introdução à Estatística na UFC, 
2004.2. 
 População: alunos matriculados em Introdução à Estatística. 
 Amostra: cem alunos matriculados em Introdução à Estatística, escolhidos 
aleatoriamente. 
 
7 
 
 
c. Estudo da situação sócio-econômica dos habitantes de Fortaleza, com renda entre 1 e 5 
salários mínimos, 2004. 
 População: habitantes de Fortaleza com renda entre 1 e 5 salários mínimos. 
 Amostra: 20% dos habitantes de Fortaleza com renda entre 1 e 5 salários mínimos, 
escolhidos ao acaso. 
 
1.2.3. Amostragem 
 
 É a técnica de extrair amostras de uma população e apresenta dois tipos, a amostragem 
Probabilística (aleatória simples, estratificada, por sistemática, por conglomerado) e Não 
Probabilística (conceitos que serão vistos posteriormente). A amostragem também pode ser sem 
reposição e com reposição 
 
a. Sem reposição 
É quando não verificamos repetições de elementos na amostra, ou seja, cada elemento não 
pode ser escolhido mais de uma vez. 
 
b. Com reposição 
É quando verificamos repetições de elementos na amostra, ou seja, cada elemento pode ser 
escolhido mais de uma vez. 
 
1.2.4. Variáveis e dados 
 
 Em qualquer estudo envolvendo indivíduos, objetos, fenômenos da natureza, etc., estamos 
interessados em algumas características dos mesmos, que chamamos de variáveis. Aos resultados 
possíveis dessas características chamamos de dados. 
 Os dados relativos a unidades experimentais e a fenômenos químicos ou físicos são 
coletados diretamente pelo pesquisador, enquanto os dados relativos a indivíduos podem ser 
coletados tanto pelo pesquisador como através de declaração feita pelos próprios indivíduos. 
 Um mesmo elemento pode fornecer diversos dados e os dados coletados se referem a 
determinadas variáveis. 
Ex.: Um pesquisador aplicou um questionário aos alunos do curso de Engenharia de 
Produção Mecânica da UFC. Selecionando alguns alunos ao acaso, foram obtidos vários dados 
relativos ao sexo, estado civil, idade, número de vezes que vai ao cinema por semana, se fuma ou 
não, remuneração mensal, atividade física (veja lista de exercícios), que constituem variáveis. 
De um modo geral, para cada elemento investigado, tem-se associado um resultado (ou mais 
de um resultado) correspondendo à realização de certa variável (ou variáveis). Na variável, estado 
civil, por exemplo, para cada aluno temos associado solteiro, casado ou outros. 
 
1.2.5 Classificação das Variáveis 
 
Algumas variáveis como sexo, atividade física, fumar e estado civil, apresentam como 
possíveis realizações uma qualidade (ou atributo) do indivíduo pesquisado, ao passo que outras, 
como número de vezes que vai ao cinema, idade, remuneração mensal apresentam como possíveis 
realizações números resultantes de uma contagem ou mensuração. As variáveis do primeiro tipo 
são chamadas qualitativas e as do segundo tipo são chamadas quantitativas. 
 
a. Qualitativas 
 
 
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 Variáveis Qualitativas Nominais: quando o dado se apresenta sob o aspecto qualitativo. 
Ex.: Sexo, cor, estado civil, causa de morte, tipo de doença, profissão, etc. Observe que, 
quem é branco não é melhor do que quem é negro. 
 
 Variáveis Qualitativas Ordinais: quando os valores das variáveis são atribuídos para 
denotar uma ordenação natural. Ex.: Grau de instrução, status social, estágio de uma doença, 
patente militar, conceito escolar, cargo que ocupa na empresa, etc.Neste caso, quem tem uma 
graduação é muito melhor do que quem tem apenas o primeiro grau. 
 
b. Quantitativas 
 
 Variáveis Quantitativas Discretas: de uma maneira mais geral, são todas as variáveis 
numéricas cujos valores se obtém a partir de procedimento de contagem. Ex.: nº de pessoas 
numa família, nº de funcionários numa empresa, nº de alunos numa classe, etc. 
 
 Variáveis Quantitativas Contínuas: são as variáveis numéricas cujos valores são obtidos no 
procedimento de mensuração, de sorte que ao menos teoricamente os resultados das medidas 
são capazes de variações insensíveis ou contínuas. Ex.: peso, altura, temperatura, área, 
volume, densidade, salário, etc. 
 
Resumindo a classificação das variáveis: 
 Nominal 
 
 Qualitativa Ordinal 
 
 Variável Discreta 
 Quantitativa 
 Contínua 
 
 
1.3. FASES DO METODO ESTATÍSTICO 
 
Quando se pretende empreender um estudo estatístico completo, existem diversas fases do 
trabalho que devem ser desenvolvidas para se chegar aos resultados finais do estudo. Essas etapas 
são chamadas fases do trabalho estatístico e podemos definí-la como sendo um processo utilizado 
para coletar, apresentar, descrever, interpretar e até mesmo prever os aspectos quantitativos dos 
fenômenos analisados, desde que eles possam conseguir a forma de contagem ou medida. 
As fases principais são: definição do problema, planejamento, coleta de dados, 
apresentação dos dados, análise e interpretação dos dados. 
Saber exatamente aquilo que se pretende estudar é o mesmo que definir corretamente o 
problema. O pesquisador deve realizar uma revisão bibliográfica sobre o assunto a fim de subsidiá-
lo no estudo. Para isso, ele deve seguir os seguintes passos: 
 
 
 Planejamento 
 
Consiste em determinar o procedimento necessário para resolver o problema. Como levantar 
as informações? Que dados deverão ser obtidos? Como se deve obtê-los? 
 
 Coleta de Dados 
 
 
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Refere-se à obtenção, reunião e registro sistemático de dados, com um objetivo 
determinado. Existem dois tipos de Dados, os Dados Primários ou Diretos, que são dados obtidos 
diretamente pelo pesquisador, na fonte originária e os Dados Secundários ou Indiretos, aqueles 
obtidos em instituições que já os coletou. Ex .: Quando o IBGE faz o levantamento (censo) da 
população brasileira, normalmente se utiliza do processo de obtenção primário. Caso queira, com 
base nos dados obtidos nos censos anteriores, projetar esta mesma população para anos seguintes, 
estará utilizando o processo secundário, pois os dados já foram obtidos anteriormente. 
 
 Apresentação dos Dados 
 
Após a coleta dos dados, torna-se necessária sua apuração, ou contagem, denominando-a 
tabulação. Há duas formas de apresentação dos dados. A apresentação tabular é uma apresentação 
numérica dos dados. Consiste em dispor os dados em linhas e colunas distribuídas de modo 
ordenado, segundo regras adotadas pelos diversos sistemas estatísticos. Já a apresentação gráfica, 
permite ao analista obter uma visão rápida, fácil e clara do fenômeno estudado. 
 
 Análise e Interpretação dos Dados 
 
De todas as fases do Método Estatístico, esta é a que apresenta maiores dificuldades. Isto 
porque todo trabalho efetuado até o momento deixará de ter o valor devido, se a conclusão não 
estiver coerente. 
 A análise dos dadosestá ligada essencialmente ao cálculo de medidas, cuja finalidade 
principal é descrever o fenômeno. O significado exato de cada um dos valores, obtidos através do 
cálculo das várias medidas estatísticas disponíveis, deve ser bem interpretado. 
Não existe, portanto, um critério a ser usado nesta fase. Exige, sim, que o analisador tenha 
muita sensibilidade com os dados que ora estão sendo manipulados. Muitas vezes, alguma prática 
lhe é indispensável. 
 
1.4. SÉRIES ESTATÍSTICAS 
 
Coletados os dados, não é conveniente apresentá-los para análise sob a forma a que se 
chegou pela simples apuração. Na maioria das vezes, o conjunto de valores é extenso e 
desorganizado, e seu exame requer maior atenção. 
Resumindo, os valores devem estar organizados em tabelas, assim, consegue-se apresentá-
los e descrever-lhes com mais eficiência. Essa condensação dos valores permite ainda a utilização 
de representação gráfica que normalmente representa uma forma mais útil e elegante de 
apresentação da característica analisada. 
Uma série estatística define-se como toda e qualquer coleção de dados estatísticos referidos 
a uma mesma ordem de classificação quantitativa. 
Para diferenciar uma série estatística de outra, há de se levar em conta, os três caracteres 
presentes na tabela que ela se apresenta: fenômeno, local e época. 
 
- Fenômeno: é o fato que foi investigado e cujos valores numéricos estão sendo 
apresentados na tabela. 
- Local: é o espaço geográfico onde o fenômeno ocorreu. 
- Época: tempo em que o fenômeno foi analisado. 
As séries estatísticas podem ser de quatro tipos, conforme a variação de um desses 
caracteres ou fatores. Vejamos, então, esses tipos: 
 
1.4.1 Série Temporal 
 
 
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A variável é o tempo, permanecendo fixos o local e o fenômeno estudado. 
 
Exemplo 1: 
GL. T. S.A. – INDÚSTRIA DE COMPONENTES ELETRÖNICOS 
Vendas -- Mercado Interno – Janeiro a Junho 2002 
 
 
Janeiro 2300 
Fevereiro 1800 
Março 2200 
Abril 2210 
Maio 2360 
Junho 2600 
 Fonte: Departamento de Analise de Mercado 
 
Exemplo 2: 
BRASIL - RENDA PER CAPTA ANUAL –2000/2003 
 
 
2000 3.480,31 
2001 5.180,03 
2002 5.986,97 
2003 6.307,55 
 Fonte: IBGE 
 
1.4.2 Série Geográfica 
 
 A variável é o local, permanecendo fixos o tempo e o fenômeno. 
 
Exemplo 3: 
G.L. T S.A. – INDÚSTRIA DE COMPONENTES ELETRÔNICOS. 
Vendas por Unidade da Federação – 2002 
 
Cidades Vendas (R$) 
Minas Gerais 4.000 
Paraná 2.230 
Rio Grande do Sul 6.470 
Rio de Janeiro 8.300 
São Paulo 10.090 
Outros 420 
 
TOTAL - BRASIL 31.510 
 Fonte: Departamento de Analise de Mercado 
 
 
 
1.4.3 Série Específica 
 
A ocorrência do fenômeno é variável, permanecendo fixos o local e o tempo. 
 
 
Meses Vendas (R$) 
Ano Renda (R$) 
 
11 
 
Exemplo 4: 
G.L.T S.A. -- INDÚSTRIA DE COMPONENTES ELETRÔNICOS 
Vendas por linha de produto -- 2002 
Linha do Produto Vendas(R$) 
Linha A 6.450 
Linha B 9.310 
Linha C 15.750 
Linha D 16.100 
TODOS OS PRODUTOS 47.610 
Fonte: Departamento de Analise de Mercado 
 
1.4.4 Distribuição de Frequência 
 
Na distribuição de frequência, os dados são ordenados segundo a magnitude, em classes, 
permanecendo constantes o fato, o local e o tempo. 
 
Exemplo 5: 
Número de Empregados das Várias Classes de Salários 
No Estado de São Paulo -- 2001 
Classe de Salário (R$) Nº de Empregados 
1---| 2 41326 
2---| 3 123236 
3---| 4 428904 
4---| 5 324437 
5---| 6 787304 
6---| 7 266002 
7---| 8 102375 
8---| 9 56170 
9---| 10 1 03788 
Total 2233542 
 Fonte : Serviço de Estatística da Previdência e Trabalho 
 
OBSERVAÇÃO: É comum haver necessidade de apresentar, em uma única tabela, mais do que 
uma série, surgindo as chamadas séries mistas ou conjugadas. Dessa forma, podemos encontrar 
séries: temporal-específica, temporal-geográfica, específico-geográfica e temporal-específica-
geográfica. 
 
Exemplo 6: 
EMPRESA DE CONTRUÇÃO CIVIL 
Trabalhadores contratados divididos por ano. 
 
Situação 2003 2004 
Trabalhadores assalariados 160 140 
Trabalhadores horistas 40 80 
Totais 200 220 
 Fonte:Dados Hipotéticos 
 
 
 
 
1.5 ELABORAÇÃO DE TABELAS ESTATÍSTICAS 
 
12 
 
 
As séries estatísticas surgem quando os dados são apresentados em quadros especiais, 
denominados de Tabelas. A finalidade da tabela é poder apresentar os dados de modo ordenado, 
simples e de fácil percepção. Dessa forma a tabela deve ser construída de modo a fornecer o 
máximo de esclarecimento com um mínimo de espaço. 
 
 
1.5.1 Elementos Fundamentais de uma Tabela Estatística 
 
a. Título 
 
A parte superior da tabela destina-se à indicação do título, que deve informar o fenômeno 
que está sendo apresentado. O título deve responder às perguntas: O quê? Onde? e Quando? Tais 
perguntas correspondem respectivamente, ao fenômeno, ao local e á época. 
 
b. Corpo 
 
No corpo da tabela encontramos as seguintes zonas: Designativa, Indicativa e Enumerativa. 
 
- A Zona Designativa está colocada logo abaixo do título e compreende o chamado cabeçalho, 
observando-se que nessa zona são colocados os diversos informes referentes ao conteúdo de cada 
coluna. 
- A Zona Indicativa situa-se ao lado esquerdo, servindo para a colocação vertical de valores ou 
nomes que especificam o conteúdo das linhas. 
- As Zonas Enumerativas são as expressões numéricas do fato estudado, compondo-se de 
colunas, linhas e células ou casas. 
. Coluna: é uma série vertical de informação. 
. Linha: é uma série horizontal de informação. 
. A interseção de uma linha com uma coluna corresponde a uma célula ou casa. 
 
c. Fonte 
 
Indicação da entidade responsável pelo fornecimento do dado ou pela sua elaboração. Deve 
ser sempre citada no rodapé, exceto quando se tratam de dados obtidos pelo autor do trabalho. 
 
1.5.2 Elementos Complementares 
 
a. Notas 
 
São informações suplementares destinadas a conceituar ou esclarecer o conteúdo das tabelas 
ou indicar a metodologia adotada no levantamento ou na elaboração dos dados. 
 
b. Chamadas 
 
São informações de natureza específica sobre determinada parte da tabela, destinadas a 
conceituar ou esclarecer dados. Devem obedecer a uma ordem de sucessão. 
 
Organização da Tabela: 
 
 
Título 
 
13 
 
Subtítulo 
  Zona designativa ou cabeçalho 
Zona 
 Indicativa 
Zona 
Enumerativa 
 
 
Fonte: 
 Notas e Chamadas Rodapé 
 
OBSERVAÇÕES: 
 
1. Os dados devem ser organizados segundo a ordem cronológica, geográfica, alfabética ou 
de acordo com a magnitude. 
2. As unidades devem ser expressas claramente, usando-se as convenções apropriadas. 
3. As tabelas devem ser fechadas acima e abaixo, nunca nas laterais. 
4. Quando a tabela ocupar mais de uma página, não existirá o fechamento abaixo, e sim a 
palavra "continua", sendorepetido o cabeçalho na página seguinte, com o título e a 
palavra "continuação". 
5. Nenhuma célula deverá ficar em branco, apresentando sempre um número ou um sinal 
convencional. 
 
1.5.3 Sinais Convencionais: 
 
 - (traço): quando o dado inexistir. 
... (três pontos): quando não se dispuser da informação, muito embora ela possa ser 
quantificada. 
 0 (zero): quando o valor numérico é muito pequeno para ser expresso na unidade adotada. 
 
1.6 APRESENTAÇÃO GRÁFICA 
 
"Os gráficos possuem efeito mágico. O perfil de uma curva revela, num golpe de vista, a 
situação toda - a história de uma epidemia, o pânico, uma era de prosperidade ou uma era de 
miséria. O gráfico informa, desperta a imaginação, convence. Sendo uma linguagem internacional, 
os gráficos transmitem a informação à mente, de forma direta". 
 
Principais utilidades dos gráficos: 
 
- Necessidades de apuração da tendência dos dados; 
- Importância de apuração de correlação; 
- Destaque para alguns dados expressivos; 
- Ênfase às diferenças entre alguns valores; 
- Melhor entendimento da magnitude, mediante escala visual; 
- Apresentação simplificada de dados complexos. 
 
Todo gráfico, para alcançar seu objetivo, deve ter: simplicidade, clareza e veracidade. 
Os elementos essenciais dos gráficos são o título e a fonte, de acordo com as séries que 
estão representando. 
Em alguns casos haverá necessidade de uma legenda, que serve para diferenciar as 
informações usadas no gráfico. 
 
Os gráficos mais importantes são: 
 
 
14 
 
I. Diagramas: 
a. Por ponto; 
b. Por linha; 
c. Por superfície: 
i. Barras verticais, horizontais ou compostas; 
ii. Setor; 
iii. Polar; 
iv. Faixas; 
v. Histograma. 
II. Pictograma; 
III. Estereograma; 
IV. Cartograma; 
V. Organograma; 
VI. Fluxograma. 
 
1.6.1 Diagramas 
 
Os diagramas são gráficos de análise, pois são mais rigorosos e exatos. 
 
a. Diagrama por ponto: é feito nos eixos cartesianos, onde representamos as informações 
nas duas ordenadas. É usado para visualizar o comportamento dos dados. 
0
20
40
60
80
100
120
0 1 2 3 4 5 6
T
em
pe
ra
tu
ra
 (º
F)
Nº de Lançamentos
Temperaturas das junções dos anéis para cada lançamento real ou de teste para 
um motor de um foguete espacial
 
 
 
 
b. Diagrama por linha: depois de feito o diagrama por pontos, unimos os pontos formando 
uma linha. Usamos quando desejamos dar a idéia da evolução do fenômeno. 
 
 
15 
 
Análise do diâmetro medio de anéis para pistao de motores 
automotivos em função do tempo 
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
1 2 3 4 5
Tempo (horas)
D
iâ
m
e
tr
o
 m
é
d
io
 (
c
m
)
 
 
 
 
 
c. Diagrama por superfície: quando os dados são representados por meio de área. 
 
i. Gráfico de barras vertical, compostas ou horizontal : as informações são 
representadas nos eixos cartesianos por retângulo horizontal (barras) ou vertical 
(colunas). As barras só diferem em comprimento, e não em largura, a qual é 
arbitrária. As barras ou colunas devem vir separadas uma das outras pelo mesmo 
espaço. Como regra prática, pode-se tomar o espaço entre as barras como 
aproximadamente a metade ou dois terços de suas larguras. As barras devem ser 
desenhadas observando sua ordem de grandeza, para facilitar a leitura e análise 
comparativa dos dados. Já o gráfico de barras compostas difere do gráfico de 
barras convencional apenas pelo fato de apresentar cada barra segmentada em 
partes componentes. É utilizado para representar séries específicas (barras), séries 
temporais (colunas) e séries mistas (barras compostas ou colunas compostas). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex.: 1) Colunas 
 
16 
 
 
Temperaturas das junções dos anéis para cada lançamento real ou de teste 
para um motor de um foguete espacial
0
20
40
60
80
100
120
1 2 3 4 5
Nº de Lançamentos
T
em
p
er
at
u
ra
 (
ºF
)
 
 
2) Barras 
 
Análise do diâmetro medio de anéis para pistao de motores 
automotivos em função do tempo 
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
1
2
3
4
5
T
e
m
p
o
 (
h
o
ra
s
)
Diâmetro médio (cm)
 
 
 
 
3) Barras compostas 
 
17 
 
Importação Brasileira De Vinho e Champagne provenientes de 
varias origens -- 2002 (R$)
0 50 100 150 200 250 300 350
França
Portugal
Itália
Espanha
Chile
Argentina
P
a
ís
e
s
Dados Fictícios
Vinho
Champagne
 
 
ii. Gráfico em setores: são usados para representar valores absolutos ou porcentagens 
complementares. O gráfico em setores deve ser evitado para representar 
númerosas parcelas, por dividir o círculo em muitos setores. O comprimento do 
raio não tem nenhuma interpretação. As porcentagens poderão ser colocadas dentro 
de cada setor. É utilizado quando desejamos ressaltar as partes de um todo. 
 
Número médio de defeitos de um chip da empresa 
X durante os anos de 2000 a 2004
Com defeito
1%
Sem defeito
99%
 
 
iii. Gráfico polar: os dados são representados em um círculo que deve ser dividido em 
partes iguais, dependendo do número de valores a serem representados. Cada valor 
será representado em um dos raios, na mesma ordem, e cada raio é um eixo 
orientado, cuja origem é o centro do círculo. Após a marcação dos pontos, liga-se 
através de semirretas, formando uma curva. É utilizado quando queremos dar a 
idéia sobre a evolução de um fenômeno, principalmente para dados relativos à 
fenômenos da natureza: temperatura, precipitação pluviométrica, etc. 
 
18 
 
0
10
20
30
J
F
M
A
M
J
J
A
S
O
N
D
Temperaturas Médias Mensais Registradas da Região 
x
23º=Temperatura
Média Mensal
 
 
 
iv. Faixas: São gráficos lineares, equivalentes em uso aos gráficos em barras 
compostas. É um instrumento útil para a apresentação da produção acumulada, 
porcentagens complementares, da mesma forma como acontece com os gráficos em 
colunas. 
 
Ex.: 
Diesel
Gasolina
0
100
200
300
400
500
600
Ano 1999 Ano 2000 Ano 2001 Ano 2002 Ano 2003
Produção Brasileira de Caminòes Pesados no 
Periodo de 1999 a 2003
 
v. Histograma: é utilizado para representar a distribuição de frequência. (Será usado no 
capítulo seguinte). 
 
 
19 
 
0,00%
5,00%
10,00%
15,00%
20,00%
25,00%
40--|43 43--|46 46--|49 49--|52 52--|55 55--|58 58--|61
Porcentagem 
Vida em Km
Investigação da vida de um pneu em relação a um 
novo componente da borracha
 
 
1.6.2 Pictograma - usam-se desenhos de pessoas, produtos, etc., em geral alusivos à variável em 
questão. 
 
 
 Telefones portáteis vendidos no Brasil -- 2002 - 2004 
 
 2002 
 =1000 celulares 
 2003 
 
 
 2004 
 
 
1.6.3 Estereograma: são gráficos desenhados em três dimensões. 
 
 
20 
 
Impressora A
Impressora B
Impressora C
Impressora D
S1
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
70,00%
80,00%
Desempenho na Impresão de Impressoras
 
 
 
1.6.4 Cartograma: é a representação de um fenômeno com o auxílio do mapa geográfico em 
estudo. Sua utilidade é limitada à representação simplificada dos dados geográficos. 
 
 
Área com Pastagem no Mato Grosso do Sul,2002 
 
1.000 HECTARES 
 
 Até 200 
 Mais de 200 a 400 
 Mais de 400 a 600Mais de 600 a 800 
 Mais de 800 a 1.000 
 Mais de 1.000 a 1.200 
 Mais de 1.200 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.6.5 Organograma: representa distribuições de funções de uma empresa. É formado por 
retângulos que devem ser colocados num mesmo nível horizontal para representar o mesmo 
nível hierárquico. 
 
 
21 
 
 
Distribuição das funções da Empresa X 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 * - Algo emergencial, que não estava previsto. 
 
1.6.6 Fluxograma: é um esquema para descrever o andamento de ordem de uma 
linha de montagem, para descrever a ordem de um programa de computador, etc.. 
 
 Controle de Falhas no Processo 
 
 
 
 
 
 
 Se a média cair dentro Se a média ultrapassar o 
 do limite de controle limite de controle 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
Abrir Nova Filial AD-HOC * Relatório Anual de 
Evolução das Vendas 
Diret
Gerência Intermediária 
Aumentar a 
Produção em 6% 
Ranking dos 
Vendedores 
Mão-de-Obra 
Catálogo de 
Produtos 
Fazer “Hora Extra” 
Inspeciona-se uma 
amostra de n itens 
Calcula-se a Média a 
cada Intervalo de Tempo 
Para-se a produção para 
verificação 
Continua-se a produção 
normalmente 
 
22 
 
 
1. Nos exemplos seguintes diga quem é a população e a amostra: 
a. Exame do tipo sanguíneo de um indivíduo. 
b. Pesquisa eleitoral em Fortaleza. 
c. Estado de conservação dos aparelhos telefônicos de uma empresa. 
2. Classifique as variáveis abaixo em qualitativas nominal ou ordinal, e quantitativas 
discretas ou contínuas: 
a. Funcionários de uma indústria em Fortaleza. 
Salário: 
Classificação dos funcionários por tempo na empresa: 
Estado civil: 
Nº de funcionários que recebem adicional de salubridade: 
b. Alunos do curso de Engenharia Elétrica na UFC, 2005.1 
Nº de alunos matriculados: 
Classificação do aluno no vestibular: 
Disciplina cursada pelo aluno nesse semestre: 
Renda familiar: 
c. Computadores ligados à Internet no Ceará 2004. 
Custo das instalações: 
Nº de usuários: 
Marca dos computadores: 
Ordem de inscrição na rede: 
3. O que caracteriza uma série do tipo: 
a. Temporal? 
b. Temporal-Específica? 
c. Geográfica? 
d. Específica-Geográfica? 
 
 
 
 
 
 
23 
 
4. Nas tabelas abaixo, classifique as séries e faça os gráficos convenientes. 
 
a. TABELA 1 - GL.T. S.A. – INDUSTRIA DE COMPONENTES ELETRÖNICOS 
 Vendas -- Mercado Interno – Janeiro a Junho 2002 
 
 
Janeiro 2300 
Fevereiro 1800 
Março 2200 
Abril 2210 
Maio 2360 
Junho 2600 
 Fonte: Departamento de Analise de Mercado 
 
b. TABELA 2 - Número de Empregados das Varias Classes de Salários 
 No Estado de São Paulo -- 2001 
 
Classe de Salário (R$) Nº de Empregados 
1---| 2 41326 
2---| 3 123236 
3---| 4 428904 
4---| 5 324437 
5---| 6 787304 
6---| 7 266002 
7---| 8 102375 
8---| 9 56170 
9---| 10 103788 
Total 2233542 
 Fonte: Serviço de Estatística da Previdência e Trabalho 
 
c. TABELA 3 - EMPRESA DE CONTRUCAO CIVIL 
 Trabalhadores contratados divididos por ano. 
 
Situação 2003 2004 
 Trabalhadores assalariados 160 140 
 Trabalhadores horistas 40 80 
 Totais 200 220 
 Fonte:Dados Hipotéticos 
 
d. TABELA 4 - Exemplo 2: 
BRASIL - RENDA PER CAPTA ANUAL –2000/2003 
 
 
2000 3.480,31 
2001 5.180,03 
2002 5.986,97 
2003 6.307,55 
 Fonte:IBGE 
 Meses Vendas(R$) 
 Ano Renda(R$) 
 
24 
 
 
2. MEDIDAS ASSOCIADAS ÀS VARIÁVEIS QUANTITATIVAS 
 
 
 
 
 
2.1 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
 
 Nas aulas anteriores vimos que a redução dos dados através de tabelas e gráficos nos 
fornece muito mais informações sobre o comportamento de uma variável do que a própria série 
original dos dados. É muito comum que se façam suposições ou que se estabeleçam hipóteses a 
serem confirmadas pelas observações feitas nas tabelas ou gráficos. Muitas vezes tiramos 
conclusões erradas apenas com uma análise superficial dos dados. Contudo, queremos resumir 
ainda mais esses dados, apresentando um ou alguns valores que sejam “representativos” da série 
toda. Porém, quando usamos um só valor, obtemos uma redução drástica dos dados. 
 De modo geral, as perguntas mais usuais e importantes que são feitas, relativas à 
população, são as seguintes: onde é, ou está, o centro da distribuição? Como se distribuem os 
valores em torno desse centro? Como é a forma da distribuição? Se houver duas ou mais 
variáveis, como elas se relacionam e qual a intensidade dessa relação? 
 Para ressaltar as tendências características de um conjunto de dados, ou de uma distribuição 
de frequências, isoladamente ou em confronto com outros conjuntos ou outras distribuições, 
necessitamos introduzir conceitos que se expressem através de números que constituem uma forma 
de traduzir estas tendências. Estes conceitos classificam-se como: Medidas de Posição e Medidas 
de Dispersão. 
 
2.1.1 Medidas de Posição 
 
As Medidas de Posição são usadas para representar um conjunto de números, orientando-nos 
onde se localiza o centro da distribuição em relação ao eixo das abcissas. Em geral, os dados observados 
tendem a se agrupar em torno de valores centrais, assim são também conhecidas com Medidas de 
Tendência Central, e são as seguintes: Média Aritimética (X-barra), Moda (Mo) e a Mediana (Md). 
Quando empregadas sozinhas, essas medidas fornecem apenas uma visão incompleta de um conjunto de 
dados e, portanto, podem confundir ou distorcer tanto quanto esclarecer. 
 
2.1.2 Medidas de Dispersão 
 
 As Medidas de Dispersão medem o grau, o qual, os dados numéricos tendem a dispersar-se em 
torno de um valor central. O cálculo de uma medida de tendência central só se justifica em razão da 
variabilidade presente nos dados. Não há razão para se calcular, por exemplo, a média aritmética de um 
conjunto de observações onde não há variação. Entretanto, se a variabilidade dos dados for muito 
grande, sua média terá um grau de confiabilidade é tão pequeno, que será inútil calculá-la. As medidas 
de dispersão(ou variação) são as seguintes: Amplitude Total (At), Desvio Médio (DM), Variância (
2
 ou 
s
2
), Desvio Padrão ( ou s) e Coeficiente de variação (C.V.) 
 
 
 
 
 
 
25 
 
 
2.2 ANÁLISE DE PEQUENOS CONJUNTOS DE DADOS 
 
 Um conjunto de dados pode receber tratamentos diferentes, caso ele seja considerado um 
"pequeno" ou um "grande" conjunto de dados. Considera-se um pequeno conjunto de dados aquele para 
o qual não são necessários métodos que exijam primeiramente o grupamento dos dados. 
 Como já foi informado anteriormente, a finalidade principal das medidas de tendência central é 
a de informar sobre onde se localiza o centro da distribuição. O seu cálculo é um dado importante para o 
estabelecimento de um esquema de trabalho, para a efetivação de uma compra, para a avaliação de um 
projeto ou de um produto qualquer, etc.. 
 
2.2.1 Medidas de Posição 
 
2.2.1.1 Média Aritmética 
 
A média aritmética é a medida de tendência central mais comumente usada, cujo cálculo é dado 
pela soma das observações dividida pelo número delas, e é representada pelo símbolo x e seu cálculo 
pode expressar-se em notação como segue: 
 
 => 
 
 x = média (lê-se “x-barra”) 
onde, = soma (expressa pela letra grega maiúscula “sigma”) 
 xi = qualquer escore bruto do conjunto (isto é, a própria variável) 
 n = total de escores do conjunto 
 
Exemplo: Sejam as idades de seis pessoas que moram em uma casa 19, 21, 25, 29, 23, 27 anos. 
A idade média dessas pessoas é 
 = = = 24 anos 
 
Propiedades da Média: 
 
1- A média de um conjunto de dados pode sempre ser calculada. 
 
2- Para um dado conjunto de valores, a média é única. 
 
3- A soma algébrica dos desvios tomados em relação à média é nula, isto é: 
= 0 ou = 0 
4- A média é sensível a todos os valores do conjunto. 
 
5- Seja x é a média de x
1
, x
2
, ..., x
n
. Somando-se ou subtraindo-se uma constante c≠0 a cada valor de 
um conjunto de valores, a média do conjunto fica somada ou diminuída desta constante. 
Seja x
1
  c, x
2
 c, ..., x
n
 c um novo conjunto, cuja média seria dada por: x' =  
1
1n
x c x ci
i
n
  

 . De 
modo análogo, multiplicando-se ou dividindo-se todos os valores de um conjunto por uma constante c, 
então a média do conjunto fica multiplicada ou dividida por esta constante. Seja outro conjunto de 
dados dado por: c.x
1
, c.x
2
, ..., c.x
n
. Sua média aritmética seria: 
 
26 
 
x
n
c x c x
i
n
' ' . . 


1
1
1
 
2.2.1.2 Moda (Mo) 
 
 Denotamos moda o valor que ocorre com maior frequência em uma série de valores, se é que 
existe algum valor. Em alguns casos pode haver mais de uma moda, ou seja, a distribuição de valores 
pede ser bimodal ou trimodal, etc. 
 Desse modo, o salário modal dos empregados de uma indústria é o salário mais comum, ou seja, 
é o salário percebido pelo maior número de empregados desta indústria. 
 
Exemplos: 
 
1) Comprimentos de doze semicondutores (cm) : 
 7, 8, 10, 12, 13, 10, 15, 10, 9, 11, 8, 7  Mo = 10 cm  Unimodal 
 
2) Peso de placaa para micros: (g) 
 500, 625, 430, 610, 600  Amodal 
 
 3) Diâmetro de oito bastões de alumínio: 
 12, 14, 11, 11, 16, 15, 17, 13.  Bimodal 
 
2.2.1.3 Mediana (Md) 
 
A mediana de um conjunto de valores, ordenados segundo uma ordem de grandeza, é o valor 
situado de tal forma no conjunto, que à sua esquerda e à sua direita há sempre a mesma quantidade de 
elementos, ou seja, a mediana corresponde ao valor central da distribuição. 
Portanto, a mediana é considerada a medida de tendência central que corta a distribuicao em duas 
partes iguais. 
Se estivermos diante de uma distribuição com número ímpar de dados, a mediana sera o dado 
que cai exatamente no meio da distribuição. A posição do valor mediano pode ser determinada pelo 
exame dos dados ou pela fórmula: 
 
EMD = n + 1 
 2 
 
Assim, 16 é o valor mediano na distribuição ordenada 11, 12, 13, 16, 17, 20, 25. 
De acordo com a fórmula, (7+1) / 2, vemos que a mediana, 16, é o quarto valor da distribuição 
independente do lado por onde se inicie a contagem. 
 Se o número de dados for par, a mediana será sempre aquele ponto da distribuição que 
antecedido e precedido por igual número de dados. Para uma distribuição par de dados, sempre há dois 
valores considerados centrais. 
Ilustrando: os números 16 e 17 representam os dados centrais na seguinte distribuição: 11, 12, 
13, 16, 17, 20, 25, 26. Pela fórmula, (8+1) / 2 = 4,5 o que significa que a mediana vai cair entre o quarto 
e o quinto valor. 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
Quadro Resumo: 
 
ESPECIFICAÇÃO 
M E D I D A S 
MÉDIA ARITMÉTICA MODA MEDIANA 
 
DEFINIÇÃO 
 
x
x
n
i

 
 
- valor mais frequente 
- divide o conjunto 
ordenado em duas partes 
com o mesmo número de 
elementos. 
 
 
 
EMPREGO 
- desejamos obter uma 
medida que possui maior 
estabilidade. 
- houver necessidade de 
tratamento algébrico 
ulterior. 
- desejamos obter uma 
medida rápida e 
aproximada. 
- quando o valor mais 
típico da distribuição é 
procurado. 
- deseja-se obter o ponto 
que divide a série em 
partes iguais. 
- quando há valores 
extremos que afetam 
acentuadamente a média. 
 
VANTAGENS 
- reflete cada valor. 
- possui propriedades 
matemáticas atraentes. 
- valor "típico": maior 
quantidade de valores 
concentrado neste 
ponto. 
- menos sensível a valores 
extremos do que a média. 
 
 
LIMITAÇÕES 
- É influenciada por valores 
extremos. 
- Não se presta a análise 
matemática. 
- pode não haver moda 
para certos conj. de 
dados. 
- difícil de determinar para 
grandes conjuntos de 
dados. 
 
 
EXERCÍCIOS: 
 
 
1. Calcule a média, moda e mediana para cada uma das séries abaixo: 
 
a. Sete empregados horistas numa companhia de porte médio ganham 153, 136, 153, 68, 
17, 102, 51 (R$). 
 
b. Itensidade solar direta (watts/m2), em dias diferentes, em uma localização no sul do 
Brasil: 
2, 5, -4, 3, 1, 6. 
 
 
c. O pH de uma solução é medido oito vezes por um mesmo instrumento, que obtem os 
seguintes dados : 7,15; 7,20; 7,18; 7,19; 7,21; 7,20; 7,16; 7,18. 
 
2. Responda: 
 
a. Se o salário médio de 10 funcionários é de R$ 800,00, e se um aumento de R$ 80,00 for 
concedido a cada um dos 10 funcionários, então o novo salário médio 
será:___________________. 
b. O salário de 5 estagiários de engenraria elétrica em uma empresa governamental está 
descrito a seguir: (R$) : 170; 150; 170; 170; 180. Temos x = R$ ______________. Após 3 
meses de estágio, o salário de cada um dos 5 estagiários será duplicado. 
Então, o novo salário médio será y = R$ _________________. 
 
28 
 
c. O que ocorreria com o salário mediano acima encontrado se fosse duplicado o menor salário 
observado? 
d. O salário médio de 20 estatísticos de uma empresa, no último mês, foi de R$ 2.500,00. 
 Se for feita uma redução de 20% no salário de cada profissional desta empresa, como ficaria o 
salário médio? E o salário mediano? E o salário modal? 
 
 
3. Os dados a seguir correspondem ás temperaturas (graus F) das junções dos anéis para cada 
lançamento de um motor de um foguete espacial, ordenados em ordem crescente: 
 
º F: 44,00 49,00 61,00 63,00 67,00 71,00 75,00 77,00 80,00 
 
º F: 84,00 89,00 89,00 91,00 95,00 102,00 
 
a. Determine: a média aritmética, a moda e a mediana. 
b. Qual medida de tendência central você utilizaria para representar a temperatura "típica" 
das junções dos anéis? 
 
 
4. Para um projeto de ampliação de rede de esgoto de u7ma certa região,as altoridades 
tomaram uma amostra de tamanho 50 dos 270 quarteiros que compõe a região, e foram 
encontrados os seguintes números de casas por quarteirão. Estime o centro da distribuição 
pela média, mediana e moda. 
 
 2 2 3 10 13 14 15 15 16 16 
 18 18 20 21 22 22 23 24 25 25 
 26 27 29 29 30 32 36 42 44 45 
 45 46 48 52 58 59 61 61 61 65 
 66 66 68 75 78 80 89 90 92 97 
 
 
 Estime o centro da distribuição pela média, mediana e moda. 
 
5. Suponha que a variavel de interesse tenha a distribuição como na figura abaixo. 
 
 
 
Você acha que a média e uma boa medida de posição? E a mediana? Justifique. 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
 
2.3 MEDIDAS DE VARIABILIDADE 
 
 Vimos que a moda, a mediana e a media podem ser usadas para resumir, num único número, 
aquilo que é médio ou “típico” numa distribuição. Quando empregada sozinha, entretanto, qualquer 
medida de tendência central fornece apenas uma visão imcompleta de um conjunto de dados e, 
portanto, pode confundir ou distorcer, tanto quanto esclarecer. 
 Com vistas a ilustrar essa situação, admitam que no Havaí, por exemplo, e Texas tenham 
quase a mesma temperatuta media diária de 20º C. Será que, por isso, podemos admitir que a 
temperatura é basicamente a mesma em ambas as localidades? 
 Dados colhidos mostram as temperaturas das cidades de Janeiro a Maio: 
 Havaí: 18,9º, 20,0º, 20,2º, 20,4º, 20,5º 
 Texas: 15,3º,16,2º, 16,9º, 25,5º, 26,1º. 
Desnecessário dizer que as praias do Texas não estão apinhadas de gente durante esse período. 
Tal fato demostra que necessitamos, além de uma medida de tendência central, de um índice que 
indique o grau de dispersão dos escores brutos em trono do centro da distribuição (em torno da 
media). Voltando ao exemplo anterior, poderíamos dizer que as temperaturas no Texas tem uma 
maior variabilidade do que no Havaí. 
 
2.3.1 Amplitude Total (At) 
 
 É a medida mais simples de variação que temos e é obtida tomando-se a diferença entre o maior 
e o menor dos valores da série. Indicaremos, 
 
 = - 
 
 Essa medida não é sempre confiável por envolver apenas 2 resultados, máximo e mínimo, nada 
informando sobre a distribuição dos dados intermediários, o que poderia conduzir o analista a 
interpretações equivocadas. Muitas vezes, um valor particularmente anormal poderá afetar de maneira 
acentuada essa medida. 
 
Exemplo: A = 98 no seguinte conjunto de dados: 2, 6, 7, 7, 10, 12, 13, 100 (At = 100 – 2 = 98); 
entretanto, a = 12 neste outro conjunto: 2, 6, 7, 7, 10, 12, 13, 14. (At = 14 - 2 = 12). Portanto, pela 
simples troca de um único valor (14 em lugar de 100), fizemos com que a amplitude total flutuasse 
bruscamente de 98 para 12. Assim, ela não fornece uma ideia precisa da variabilidade. 
 
2.3.2 Desvio Médio ( DM ) 
 
 O desvio médio ( DM ) é baseado na diferença entre cada valor do conjunto de dados e a média 
desse conjunto. Para a variável X, nota de um aluno do curso de cálculo III: 3, 4, 5, 6, 7. Com média 
igual à 5, os desvios di = xi - x são: 
 
d1 = -2 ; d2 = -1 ; d3 = 0 ; d4 = 1 ; d5 = 2. 
 
E para a nota de outros alunos: 
Y = 1, 3, 5, 7, 9. 
Z = 5, 5, 5, 5, 5. 
W = 3, 5, 5, 7. 
V = 3.5, 5, 6.5 
 
 
30 
 
É fácil ver que para qualquer conjunto de dados,  di =  ( xi - x ) = 0. Por essa razão, uma das 
soluções seria tomar as diferenças em valores absolutos e somá-las. Entretanto, o uso desses totais pode 
causar dificuldades quando comparamos conjuntos de dados com números diferentes de observações. 
Assim, exprimimos as medidas como a média, ou seja: 
 
 DM = 
 
Para as variáveis X e W, temos: 
DM (X) = 
6
5
 = 1,2 e DM (W) = 
4
4
 = 1 
Então podemos dizer que segundo o desvio médio, o grupo D, referente à variável W, é mais 
homogêneo que o grupo A, referente à variável X. 
 
2.3.3 Variância ( 
2
 ou s
2
 ) 
 
A variância (s
2
), assim como o desvio médio (DM), mede também a concentração dos dados em 
torno de sua média. A diferença entre as duas medidas está no fato de que a variância considera as 
diferenças (ou desvios) elevadas ao quadrado, antes de serem somadas. 
Para uma população, a variância é representada pela letra grega minúscula 
2
 (ler "sigma 
quadrado" ou "sigma dois") sendo a fórmula: 
 
 
 
 : valores populacionais 
 
 
onde, µ: média populacional 
 
 
 N tamanho da população 
 
 
A variância para uma amostra não é, em termos computacionais, exatamente igual à variância da 
população. É introduzido um fator de correção nesta fórmula, de tal maneira que a variância amostral 
seja um estimador não tendencioso da variância populacional. 
Então, a variância amostral é representada por s2, e sua fórmula é: 
 
 : valores amostrais 
 
onde : média amostral 
 
 n: tamanho da amostra 
 
31 
 
 
 
Propriedades da Variância: 
 
I - Se somarmos (ou subtrairmos) uma mesma constante c≠0 a todos os valores do conjunto de dados, a 
variância ficará inalterada. 
X x c x ci i
'      x' 
 
   S
n
x x
n
x x Si
i
n
i
i
n
' ' '2
2
1
2
1
21 1    
 
  
 
II - Se multiplicarmos (ou dividirmos) cada valor do conjunto de dados por uma mesma constante c≠0, 
a variância ficará multiplicada (ou dividida) pela constante ao quadrado ( c2 ). 
X c x c xi i
' . .   x' 
 
   S
n
x x c
n
x x c Si
i
n
i
i
n
' ' ' . .2
2
1
2
2
1
2 21 1    
 
  
 
 
2.3.4 Desvio Padrão ( ou s) 
 
Em geral, é difícil interpretar o significado do valor da variância, porque as unidades nas quais 
tal valor é expresso não são as mesmas das observações do conjunto de dados. Por esta razão, a raiz 
quadrada da variância, representada pela letra grega  (para população) ou s (para amostra) é chamada 
de desvio padrão, é o que se utiliza com mais frequência. 
 
 As fórmulas são: 
 
 Desvio Padrão Populacional: 
 
 
 Desvio Padrão Amostral: 
 
 
 
O desvio padrão mede, então, a dispersão existente no conjunto de valores, em termos absolutos. 
 
Exemplo: 
 
Para as variáveis X e Y do exemplo anterior, temos: 
 
Variável X: Média = 5,0 ; Variância = 2,0 ; Desvio Padrão = 1,41 
Variável Y: Média = 5,0 ; Variância = 8,0 ; Desvio Padrão = 2,83 
Podemos, então, concluir que as notas estão mais homogêneas em X do que Y, ou seja, a média 
é mais representativa no primeiro grupo. 
 
32 
 
Para determinadas classes de problemas, as medidas de dispersão relativa proporcianam uma 
avaliação mais apropiada do grau de dispersão da variável do que as de dispersão absoluta (Amplitude 
Total, Desvio Médio, Desvio Padrão e Variância). A dispersão relativa permite ainda comparar duas ou 
mais distribuições, mesmo que essas se refiram a diferentes fenômenos e sejam expressas em unidades 
de medidas distintas, gerando a medida chamada Coeficiente de Variação. 
 
2.3.5 Coeficiente de Variação de Pearson (CV) 
 
O Coeficiente de Variação (CV) é útil quando queremosverificar a variabilidade de um conjunto 
de dados ou comparar a variabilidade de dois ou mais conjuntos de dados. Ele indica a magnitude 
relativa do desvio padrão quando comparado com as médias das distribuições das medidas. As 
fórmulas, portanto, são: 
 Coeficiente de Variação Populacional: 
 
ou em termos percentuais 
 
 
Coeficiente de Variação Amostral 
 
 
ou em termos percentuais 
. 100% 
 
 
Observe, então, que o coeficiente de variação mede a dispersão existente no conjunto de valores, 
em termos relativos, e sua condição de existência é que  ou x sejam diferentes de zero. Uma 
alternativa para o caso de termos média igual a zero, é usarmos uma outra medida de dispersão relativa, 
o Coeficiente de Variação de Thorndike que é dado pela formula: 
 
. 100% 
ou em termos percentuais 
. 100% 
 
Observação: Quanto mais próximo de zero está o coeficiente de variação de um conjunto de valores, 
mais homogeneidade existe neste conjunto, ou seja, a média encontrada é mais representativa. 
 
Exemplos: Para a variaval X, do exemplo inicial, temos: 
 
 
X = 5,0 ; s2 = 2,0 ; s = 1,41 . 
 
 
Então o CV = 
1,41 
= 0,282 ou CV = 
1,41
 x 100 = 28,2% 
 5,0 5,0 
 
 
33 
 
EXERCÍCIOS: 
 
 
1. Calcule a amplitude total, o desvio médio, a variância, o desvio padrão e o coeficiente de 
variação de pearson e de Thorndike para cada uma das séries abaixo: 
 
a. Sete empregados horistas numa companhia de porte médio ganham 153, 136, 153, 68, 17, 
102, 51 (R$). 
 
b. Itensidade solar direta (watts/m2), em dias diferentes, em uma localização no sul do Brasil: 
2, 5, -4, 3, 1, 6. 
 
c. O pH de uma solução é medido oito vezes por um mesmo instrumento, que obtem os seguintes 
dados : 7,15; 7,20; 7,18; 7,19; 7,21; 7,20; 7,16; 7,18. 
 
2. Dados os conjuntos de números X = {10, 20, 30, 40, 50} e Z = {15, 25, 35, 45, 55}. Some e 
multiplique pela constante c = 7, cada um dos conjuntos X e Z. (Comprove as propiedades da 
variância). 
 
3. Suponha que em uma empresa fabricante de fios, queira-se estudar o tempo de resistência de um 
fio (à flexões repetidas), cuja média seja igual a 140 min e o desvio padrão de 15min, e o tempo 
de resistência á tração cuja media seja de 18 Kg, e desvio padrão de 0,730 Kg. O novo fio 
apresenta maior dispersão de resistentencia à tração ou à flexões? 
 
4. Os dados abaixo referen-se às notas de seis alunos em duas avaliações. 
 
 
Avaliação 1 Avaliação 2 
 
 5,9 5,9 
 7,8 2,7 
 6,8 6,9 
 5,9 3,9 
 7,2 7,2 
 8,4 9,4 
 ________________ _________________ 
a. Em qual das duas avaliações ouve um maior rendimento? 
b. Em qual das duas avaliações ouve menor dispersão absoluta? E relativa? 
c. Em qual das duas avaliações a média e mais representativa? 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
3. MEDIDAS ASSOCIADAS A VARIÁVEIS QUANTITATIVAS 
(Continuação) 
 
 
 
 
 
3.1 ANÁLISE DE GRANDES CONJUNTOS DE DADOS 
 
Em sua forma não organizada, os dados estatísticos podem quase não ter sentido, ou seja, 
grande quantidade de informações tendem a confundir, ao invés de esclarecer, simplesmente 
porque nossa mente não é capaz de abranger a variedade e os detalhes inerentes a um grande 
conjunto de dados. Ficamos simplesmente atolados em pequenos detalhes. 
Quando se estuda um fenômeno precisamos recolher fatos que pareçam relevantes em 
relação a alguma característica em comum de um conjunto de dados. Essa característica em 
comum, definida por variáveis, deve ter suas informações condensadas de modo que possamos 
interpretar seus resultados. 
Uma maneira de condensar essas informações é através de uma tabela, que concentra todos 
os dados em um pequeno espaço, sem que sejam perdidas informações relevantes destes. Essa 
tabela é chamada de distribuição de frequências. 
 
3.1.1 Distribuição de frequência 
 
Em muitos casos, os valores apresentam muitas repetições. Esse fato irá sugerir, 
naturalmente, que se condensem todos os resultados em uma tabela, estabelecendo-se a 
correspondência entre o valor individual e o respectivo número de vezes que ele foi observado 
(frequência desse valor). Essa tabela de frequências proporciona uma apresentação esteticamente 
mais vantajosa dos dados, facilitando a verificação do comportamento do fenômeno. 
Normalmente ao nos depararmos com um conjunto de dados, especificamente numérico, 
devido à desorganização destes, não é possível tirarmos alguma conclusão. Esse conjunto de dados 
desorganizados é chamado de dados brutos, que se apresentam da maneira como foram coletados. 
Podemos, em princípio, organizá-los em ordem (crescente ou decrescente); essa forma ordenada é 
chamada de rol. Posteriormente chegaremos a uma forma mais condensada, chamada de 
distribuição de frequências de dados quantitativos. 
 
3.1.2 Tipos de Frequência: 
 
Uma tabela de frequências pode representar e caracterizar um dos seguintes tipos de 
frequências: 
 
 1) Frequência simples absoluta ( fi ); 
 2) Frequência simples relativa ( fri ); 
 3) Frequência acumulada crescente absoluta (Fci); 
 “abaixo de” 4) Frequência acumulada crescente relativa (Fcri ); 
 5) Frequência acumulada decrescente absulura (Fdi); 
 “acima de” 6) Frequência acumulada decrescente relatativa (Fdri). 
 
 
35 
 
a. Frequência simples absoluta (fi): 
 
A frequência simples absoluta de um valor individual (ou de uma classe) é o número de 
observações correspondentes a esse valor (ou a essa classe). 
 
b. Frequência simples relativa (fri): 
 
A frequência relativa representa a proporção de observações de um valor individual (ou de 
uma classe) em relação ao número total de observações (ou seja, em porcentagem). Trata-se, 
portanto, de um número relativo. Para calcular a frequência relativa basta dividir a frequência 
absoluta do valor individual (ou da classe) pelo número total de observações. Temos, então: 
fri = 
f
n
i , 
onde n é o número total de observações ou tamanho da amostra. 
Caso desejamos expressar o resultado em termos percentuais, multiplicamos o quociente 
obtido por 100. 
 
 A soma das frequências relativas de uma tabela de frequências é sempre igual a 1 ou 100%. 
 
 
c. Frequência acumulada “Abaixo de”: 
 
A expressão "abaixo de" refere-se ao fato de que as frequências a serem acumuladas 
correspondem aos valores menores ou anteriores ao valor (ou à classe) cuja frequência acumulada 
se deseja obter, incluindo no cálculo a frequência do valor (ou da classe). Toda vez que se procura 
saber quantas observações existem até um determinado valor individual (ou uma determinada 
classe), recorre-se à frequência acumulada "abaixo de". Ela pode ser expressada em termos 
absolutos ou relativos (%). 
 
d. Frequência acumulada “Acima de”: 
 
 A frequência acumulada "acima de" de um valor individual (ou de uma classe) 
representa o número de observações existentes além do valor ouda classe, incluindo no cálculo, as 
observações correspondentes a esse valor ou a essa classe. Para se obter a frequência acumulada 
"acima de" basta somar à frequência do valor individual (ou da classe) as frequências dos valores 
individuais (ou das classes) posteriores. 
 
 
Exemplo: Distribuição de frequências simples: 
 
 
 
 
 
 
 
 
TABELA: Número diário de máquinas que apresentam defeito no primeiro mês de funcionamento 
da empresa gama – Janeiro de 2004. 
 
 
36 
 
 Nº de máquinas Frequência (fi) Percentagem (fri) (Fi) (Fri) (Faci) (Fraci) 
 com defeito 
 1 2 6,67 2 6,67 30 100,00 
 2 2 6,67 4 13,34 28 93,33 
 3 5 16,67 9 30,01 26 86,66 
 4 10 33,33 19 63,34 21 69,99 
 5 6 20,00 25 83,34 11 36,66 
 6 5 16,66 30 100,00 5 16,66 
 Total 30 100,00 
Fonte: Dados fictícios 
 
3.1.3 Medidas de Posição e Dispersão para dados não agrupados. 
 
Podemos, em uma distribuição de frequências simples, efetuar cálculos referentes às 
medidas de posição e dispersão: 
 
a. Média Aritmética 
 
 
onde k é o número de valores individuais (ou classes). 
 
b. Moda : valor mais frequente. 
 
c. Mediana: valor que divide a distribuição em duas partes iguais, ou seja, é a mesma 
definição anterior, só que na distribuição os valores da variável já estão ordenados e deve-se 
observar as frequências acumuladas para verificarmos aonde está o valor central ( se n é 
ímpar) ou a média aritmética entre os dois valores centrais ( se n é par). 
 
d. Variância (2 ou S2 ) 
 
 Variância Populacional 
 
 
 Variância Amostral 
 
 
e. Desvio Padrão 
 
 Desvio Padrão Populacional 
 
 
 Desvio Padrão Amostral 
 
 
37 
 
 
 
f. Coeficiente de Variação: 
 
 Coeficiente de variação Populacional 
 
 
 Coeficiente de variação Amostral 
 
 
Exemplo: Voltemos ao exemplo do número de maquina com defeitos na empresa gama. 
 
Agora responda: 
 
1) Qual o número médio de máquinas com defeito na empresa gama? 
 
2) Qual o número mediano de maquinas com defeito? E o número modal? 
 
3) Em quantos dias observamos no mínimo 3 maquinas com defeito? 
 
4) Em quantos dias observamos 4 maquinas com defeito? 
 
5) Em que porcentagem dos dias observamos no Maximo 3 maquinas com defeito? 
 
6) Em quantos dias e em que porcentagem observamos no mínimo 2 e no Maximo 4 maquinas com 
defeito? 
 
7) Calcule a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação. 
 
8) Se uma outra empresa do mesmo ramo apresentou uma dispersão relativa ( C.V. ) de 30%, em 
qual das duas o número médio de defeitos foi mais representativo? Justifique. 
 
9) Represente a distribuição acima graficamente. 
 
 
3.2 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES 
 
Muitas vezes, mesmo com o risco de sacrificar algum detalhe manifestado na ordenação dos 
valores individuais, há vantagens em resumir os dados originais em uma distribuição de 
frequências, onde os valores observados não mais aparecerão individualmente, mas agrupados em 
classes. Principalmente quando a variável em estudo for contínua, ou o número distinto de valores 
representativos dessa variável for muito grande. Mas, quando utilizar? 
 
- Quando a variável de estudo for continua; 
- Quando a variável de estudo for discreta e o número de valores representativos (distintos) da 
variave for muito grande. 
 
3.2.1 Passos para construção da tabela de frequência (Regra Prática) 
 
 
38 
 
1º Passo: Identificar o valor máximo e o valor mínimo do conjunto de dados e encontrar a 
amplitude total (At). Definimos por amplitude total a diferença entre o maior e o menor valor do 
conjunto de dados: 
 
 
2º Passo: Determinar o número de classes (k) que irão formar uma distribuição de frequências. 
Embora não exista uma fórmula precisa para esse número K, podemos nos orientar pela seguinte 
regra prática: 
 
 
3º Passo: Calcular o comprimento ou a amplitude que deve ter o intervalo de classe (h), que é 
obtido dividindo-se a amplitude total pelo número de classes, ou seja: 
 
 
4º Passo: Determinar os limites das classes, escolhendo-se, preferencialmente, números inteiros. 
Escolher o tipo de intervalo ( |--- ou ---| ). 
 
Observações: 
 
Cada valor pode pertencer apenas a uma classe. Uma mesma observação não pode pertencer 
a duas classes diferentes. O número de classes deve está entre 5 e 15. Uma distribuição de 
frequências com menos de 5 classes pode estar omitindo informações importantes e, acima de 15 
classes pode pecar pelo excesso de detalhes e fugir do objetivo de uma distribuição de frequências, 
que é resumir informações contidas no conjunto de dados de forma a melhorar a sua observação. 
Uma dúvida que pode também surgir é a determinação do limite inferior do primeiro 
intervalo. Uma solução seria tomar o menor inteiro do conjunto ordenado (rol), caso ele seja 
discreto, ou o primeiro inteiro imediatamente anterior ao menor valor do rol, caso o conjunto de 
dados seja contínuo. Uma vez determinado o limite inferior da primeira classe, soma-se a esse 
limite o comprimento do intervalo ou amplitude ( h ) para encontrarmos o seu limite superior; esse 
limite superior passa então a ser o inferior da classe seguinte e as classes subsequentes são 
formadas utilizando-se o mesmo procedimento descrito acima. 
Além das frequências absolutas de cada classe, a distribuição de frequências pode também 
conter as frequências relativas e acumuladas, e o ponto médio da classe. O ponto médio ( Xi ) é o 
valor que representa a classe, para efeito de cálculo das medidas descritivas, e é definido como a 
média aritmética entre os limites inferior e superior da classe. Temos, então: 
 
 i = 1, 2, 3 ..., k 
Exemplo: Levantamento do salário dos empregados da seção de orçamento da empresa Beta. 
 Dados Brutos: 4,0 4,5 4,8 7,4 8,0 8,0 
 5,5 6,3 5,6 7,5 7,8 9,3 
 10,0 9,8 10,0 11,5 11,5 11,5 
 10,5 11,2 11,6 16,0 16,4 17,0 
 17,0 19,5 12,4 13,5 14,2 14,2 
 13,5 15,0 15,5 15,5 23,9 4,8 
 
 
39 
 
Vamos, então, montar a nossa distribuição, alocando as frequências em cada classe. 
Consideremos, por opção, intervalos abertos à esquerda e fechados à direita. 
 
At= 23,9 – 4,0 = 19,9 
 
n = 36 => k = (36)1/2 => k = 6 classes 
 
h = 
19,9 => h ~ 3,2 usaremos h = 4 
 
 6 
 
Agora complete a tabela: 
Tabela: Levantamento do salário dos empregados da seção de orçamento da empresa Beta. 
 
Classes de salários f i f ri (%) Ponto Médio Xi f i (Xi –X )
2 
f i 
(em salários-minimo) (Xi) 
 4,0 |--- 8, 0 
 8,0 |--- 12,012,0 |--- 16,0 
 16,0 |--- 20,0 
 20,0 |--- 24,0 
 Total 
 
 
3.2.2 Medidas de Posição e dispersão para dados agrupados. 
 
a. Média Aritmética: 
 
 
 xi = ponto médio da i-ésima classe; 
 onde: fi = frequência absoluta da i-ésima classe; 
 n = tamanho da amostra ou conjunto de dados. 
 
b. Mediana 
 
Quando estamos trabalhando com uma distribuição de frequências, devemos, inicialmente, 
identificar a ordem do elemento mediano. Se existe um número ímpar de dados, procuramos o 
elemento de ordem (n + 1)/ 2; caso o número de dados seja par, buscamos o elemento de ordem (n/ 
2). Em seguida, identificamos a classe mediana, ou seja, a classe que vai conter a mediana. Nessa 
classe deverá estar até metade das observações 
n
ou 
as as
2




















n +1
2
, e ela pode ser encontrada 
através da informação dada pela frequência acumulada. 
 A mediana será, então, dada por: 
 
 
 
40 
 
 lmd = limite inferior da classe mediana (classe que contém a mediana); 
 (fac)md = Fi = frequência acumulada anterior a da classe mediana; 
onde: fmd = frequência absoluta de classe mediana; 
 h = comprimento do intervalo da classe mediana; 
 n = número de observações ou tamanho da amostra. 
 
c. Moda 
 
A moda vai nos mostrar que porção da distribuição dos dados tem a maior frequência de 
ocorrência. Identificamos, então, a classe modal como aquela que detém a maior frequência. A 
moda pode ser obtida através de: 
 
 
 lmo = limite inferior da classe modal. 
 = diferença entre a frequência absoluta da classe modal e a da 
onde: classe imediatamente anterior 
 = diferença entre a frequência absoluta da classe modal e a da 
 classe imediatamente posterior 
 h = comprimento do intervalo da classe modal. 
 
 
 
d. Amplitude Total ( At ) 
 
A amplitude total da distribuição de frequências é definida como a diferença entre o limite 
superior da última classe da distribuição e o limite inferior da primeira classe. 
 
 
e. Variância 
 
Variância Populacional 
 
 
 
 
Variância Amostral 
 
 
 
 
 
41 
 
f. Desvio Padrão 
 
O desvio padrão é definido da mesma forma anterior, ou seja, é a raiz quadrada da 
variância. Assim, 
 Desvio Padrão Populacional 
 
 Desvio Padrão Amostral 
 
 
g. Coeficiente de Variação (C.V.) 
 
 Coeficiente de variação Populacional 
 
 
 Coeficiente de variação Amostral 
 
 
 
 
Exemplo: Voltemos ao exemplo do levantamento do salário dos empregados da seção de 
orçamento da empresa Beta. Em relação ao exemplo dado, responda: 
 
i) Qual o número médio do salário dos empregados na empresa beta? 
 
ii) Qual o número mediano do salário dos empregados da empresa beta ? E o número modal? 
 
iii) Quantos profissionais recebem salário de no Maximo 20 salarios-minimo? 
 
iv) Que percentual de funcionários recebem um salário superior a 8 salarios-minimo e no Maximo igual 
a 16 salarios-minimo? 
 
v) Calcule a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação. 
 
vi) Se uma segunda amostra de profissionais de nível superior de uma outra empresa concorrente 
apresentar um salário médio de 12 salarios-minimo, com uma dispersão absoluta de 4 salarios-
minimo, em qual das duas empresas observamos um salário médio mais representativo ? 
Justifique. 
 
vii) Represente a distribuição acima graficamente. 
 
 
 
3.3 GRÁFICOS REPRESENTATIVOS PARA UMA DISTRIBUIÇÃO DE 
FREQUÊNCIAS: 
 
Podemos representar uma distribuição de frequência pelo Histograma e pelo Polígono de 
Frequência. 
 
 
42 
 
 
3.3.1 Histograma 
 
O Histograma é a representação gráfica dos dados agrupados em classe (distribuição de 
frequências) em um sistema de eixos cartesianos, anotando-se: 
 
1) os limites das classes, no eixo das abcissas; 
2) as frequências (absolutas ou relativas) no eixo das ordenadas. 
 
Desse modo, o histograma é um conjunto de retângulos justapostos, sendo construído de 
forma que a área de cada retângulo seja proporcional a frequência da classe que ele representa. 
Portanto, a soma dos retângulos será igual a frequência total (caso consideremos as frequências 
absolutas) ou igual a 100% (caso adotemos as frequências relativas). Voltando ao exemplo do 
levantamento do salário dos empregados da seção de orçamento da empresa Beta, temos : 
0,00%
5,00%
10,00%
15,00%
20,00%
25,00%
30,00%
35,00%
P
e
rc
e
n
ta
g
e
m
 d
e
 s
a
la
ri
o
s
4,0|---8,0 8,0|---12,0 12,0|---16,0 16,0|---20,0 20,0|---24,0
Classes de salarios
Levantamento do salário dos empregados da seção de 
orçamento da empresa Beta
 
 
3.3.2 Polígono de Frequência 
 
Em cada classe, há um ponto definido pelas coordenadas: (xi; fi) ou (xi ; Fi). Unindo esses 
pontos, obtém-se uma poligonal que permite visualizar a forma da distribuição resultante. As 
interseções dessa poligonal com o eixo X são encontradas com o auxílio de classes fictícias, de 
frequência nula, correspondentes a i = 0 e i = k + 1. A esse poligonal dá-se a denominação de 
Polígono de Frequências. 
 
Observação: Para efeito de estudos comparativos entre duas ou mais distribuições, é preferível 
levar ao eixo das ordenadas as frequências relativas, ficando o histograma (ou polígono) livre da 
influência de n. Para o exemplo anterior, temos: 
 
 
43 
 
0,00%
5,00%
10,00%
15,00%
20,00%
25,00%
30,00%
35,00%
P
e
rc
e
n
ta
g
e
m
 d
e
 s
a
la
ri
o
s
4,0|---8,0 8,0|---12,0 12,0|---16,0 16,0|---20,0 20,0|---24,0
Classes de salarios
Levantamento do salário dos empregados da seção de 
orçamento da empresa Beta
 
 
Observação: Quando o polígono de frequências fica apoiado sobre o eixo horizontal, a soma das 
áreas dos retângulos é sempre igual à área sob o polígono de frequências. 
 
3.4 MEDIDAS DE ASSIMETRIA 
 
 Ao se analisar uma distribuição, muitas vezes torna-se importante obter informações 
adicionais sobre sua forma, além da idéia de dispersão fornecida pelo desvio padrão. Essas 
informações se ligam principalmente à simetria, ou graus de assimetria da distribuição estudada. Os 
tipos de distribuição são Simétrica , Assimétrica à direita e Assimétrica à esquerda. 
 
3.4.1 Simétrica 
 
Uma distribuição é dita simétrica em relação a um eixo, quando as duas partes da 
distribuição por ele criadas coincidem perfeitamente ao serem superpostas. Nesse caso, o grau de 
assimetria é zero e a média é igual a mediana que é igual a moda : 
 
 
 
3.4.2 Assimétrica à direita 
 Quando a parte da distribuição à direita se torna mais alongada, o primeiro parâmetro a 
detectar a mudança é a média ( x ), porque todos os valores de x participam de sua determinação. 
Assim, a média se desloca para a direita, seguida da mediana, cujo valor é também influenciado 
pelo alongamento à direita. A moda permanece estática. É o caso de assimetria à direita ou positiva, 
para qual se tem: 
 
44 
 
 
 
 
3.4.3 Assimetrica à esquerda 
 
 Quando o alongamento for observado à esquerda do eixo, temos o caso de assimetria à 
esquerda, ou negativa. Por razões semelhantes, ter-se-á o maior deslocamento da média x paraa 
esquerda, seguida da mediana Md e assim, temos: 
 
 
 
 
 
3.4.4 Coeficiente de Assimetria (CA) 
 
Mede o grau de assimetria existente na distribuição. 
 1º Coeficiente de assimetria de Pearson 
 
 2º Coeficiente de variação de Pearson 
 
 
Quando: 
CA = 0 Distribuição simétrica 
CA > 0 Assimetria à direita 
CA < 0 Assimetria à esquerda 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
4. PROBABILIDADE 
 
 
 
4.1 INTRODUÇÃO 
 
Neste capítulo apresentaremosa teoria matemática que dá a base teórica para o 
desenvolvimento de técnicas estatísticas a serem apresentadas no decorrer do curso. 
Denominamos fenômeno aleatório à situação ou acontecimentos cujos resultados não podem ser 
previstos com certeza. Por exemplo, as condições climáticas do próximo domingo não podem ser 
estabelecidas com total acerto. O mesmo pode ser dito da taxa de inflação do próximo mês. 
Veremos que, em situações como essas, modelos podem ser estabelecidos para quantificar as 
incertezasdas diversas ocorrências. 
Os modelos probabilísticos podem ser úteis em diversas áreas do conhecimento humano, 
tais como: Engenharia de Produção, Arquitetura, Administração de Empresas, Economia, Ciências 
Biológicas, Agronomia, etc. Apresentaremos a seguir alguns conceitos básicos. 
 
4.2 EXPERIMENTO ALEATÓRIO (E) 
 
É aquele que se pode repetir infinitas vezes sob condições semelhantes e,embora não 
possamos precisar qual será o resultado de uma realização particular, podemos descrever o 
conjunto de todos os seus possíveis resultados. 
 
Exemplos : 
 
 i. E1: Jogar um dado de seis faces e observar o número na face de cima; 
 ii. E2: Jogar uma moeda duas vezes consecutivas e observar, após o reposo, a face de cima; 
 iii. E3: Retirar uma bola de uma urna que contém 3 bolas vermelhas numeradas de 1 à 3, e 2 
pretas, numeradas de 1 à 2; 
 iv. E4: Tempo de duração de uma lâmpada comum; 
 v. E5: Resistência de uma liga de concreto; 
 
OBS.: Em cada repetição de uma “experiência” é impossível prever, com absoluta certeza, qual o 
resultado que será obtido, e além disso, a ocorrência de um deles exclui a dos demais. 
 
4.3 ESPAÇO AMOSTRAL (S) 
 
Chamamos de espaço amostral ao conjunto de todos os resultados possíveis de um 
exprerimento aleatório. Ele é representado também pela letra grega  (omega). 
 
Exemplos - Daremos os exemplos referentes aos “experimentos” acima: 
 
 i. S1= { 1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 ii. S2= {CC, CK, KC, KK}, onde C = cara e K = coroa. 
iii. S3= {v1, v2, v3, p1, p2, }, onde b = bola branca e p = bola preta. 
iv. S4= {t / t=0,1,...n}, onde t = tempo medido meses. 
 v. S5= {r / Mpa  r  Mpa }, onde r = resistência. 
 
46 
 
 
 
4.4 EVENTO 
 
É qualquer subconjunto de um espaço amostral. Denotamos os eventos por letras latinas 
maiúsculas (A, B, C,...), o conjunto vazio, como já é tradicional, será denotado por . 
 
Seguem abaxo exemplos de eventos associados aos espaços amostrais acima. 
 
I. S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
 Seja A1 = ocorrer um número par. 
 A1 = {2, 4, 6}. 
 
II. S2 = {CC, CK, KC, KK}. 
 A2 = cara ocorre uma vez, nos dois lançamentos 
 A2 = {CK, KC}. 
 
III. S3 = {v1, v2, v3, p1, p2}. 
 Seja A3= retirar bolas de número ímpar de retirada, isto é, A3={v1, v3, p1}. 
 
4.5 UNIÃO DE EVENTOS 
 
Se A e B forem eventos associados a um espaço amostral S, A U B será o evento que 
ocorrerá se, e somente se, pelo menos um dos eventos, A ou B, ocorrerem. 
Se A e B forem eventos, A  B será o evento que ocorrerá se, e somente se, A e B 
ocorrerem simultaneamente. 
Se A for evento, A
C
 será o evento que ocorrerá se, e somente se, não ocorrer o evento A (A
C
 
será o complementar de A, com notação A ou A
C). 
 
4.6 EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS 
 
 Sejam A e B dois eventos associados a um espaço amostral S. Se A  B=  , então, A e B 
são chamados eventos mutuamente exclusivos ou disjuntos. Quer dizer que os dois não tem 
elemento em comum. 
 
4.7 DEFINIÇÃO 
 
Sejam E um experimento, S o espaço amostral associado a E e A um evento associado a S. 
A probabilidade de ocorrência de A é um número real tal que: 
 
 i. P(A) 0 ; 
 ii. P(S) = 1; 
iii. Se A1, A2,..., An forem eventos mutuamente exclusivos, dois a dois, então 
 
P Ai P A P A P A P Ai
i
n
n
i
n
U
 





      
1
1 2
1
( ) ( ) ... ( ) ( ) 
 
iv. Se A1, A2, A3,... é uma sequência de eventos mutuamente exclusivos definidos em S, então: 
 
 
47 
 
P(A1 U A2 U A3 U...) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... 
 
 
 
4.8 CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO 
 
i. 0  P(A)  1; 
 
ii. P(  ) = 0; 
 
1 P( Ac ) = 1 - P(A); 
2 Se A e B forem eventos quaisquer, então: P( A U B) = P(A) + P(B) - P(A B) ( Regra de 
Adição) 
 
4.9 MODELO EQUIPROBABILISTICO (Definição Clássica de Probabilidade) 
 
Seja o espaço amostral S={s1, s2, ... sn}. Diremos que é obedecido o modelo 
equiprobabilistico, quando as probabilidades associadas a cada evento elementar (si : i = 1, 2, ..., n) 
são as mesmas, ou seja P(si) = 1/n. 
Neste caso, por exemplo, se tivermos o evento A = {s1, s2, s3 } do espaço amostral acima, 
teremos a sua probabilidade dada por : 
 
P(A) = l/n + 1/n + l/n = 3/n. 
 
Essa maneira de cálculo das probabilidades é enunciada da seguinte forma: 
 
P(A) = 
)(
)(
Sn
An
, 
 onde: 
 
n(A) = é o número de elementos do evento A. 
n( S) = é o número de elementos possíveis do espaço amostral S. 
 
Exemplos : Daremos os exemplos referentes aos “eventos” citados inicialmente. 
 
I. S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}  P(A1) = 
3
6
 
 A1 = {2, 4, 6} 
 
II. S2 ={CC, CK, KC, KK}  P(A2)=
2
4
 
 A2 = {CK, KC} 
 
III. S3 ={v1 , v2 , v3, p1, p2}  P(A3)= 5
3
 
 A3 ={v1 , v3 , p1} 
 
 
 
 
48 
 
Exemplo: Sejam, A o experimento lançar um dado e S seu espaço amostral, onde S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
Consideremos os eventos: 
 
 A: ocorrer face no3  A = {3}; 
 B: ocorrer um no par  B = {2, 4, 6}; 
 C: ocorrer um no ímpar  C = {1, 3, 5}. 
 
Encontrar os valores de P(A), P(B), P(C), P(A B), P(A C), P(A B), P(A C) e P A( ) . 
 
Solução: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, 
 
 A = {3} B = {2, 4, 6} C = {1, 3, 5} 
 
 P(A) = 
1
6
 P(B) = 
3
6
 P(C) = 
3
6
 
 
P(A U B) = P(A) + P(B) pois A B =  (MUT. EXCLUSIVOS) 
 
P(A U B) = 
1
6
3
6
4
6
  ; 
 
P(AB) = P( )=0; 
 
P(A C) = P(A) + P(C) - P(A C) pois (A C) = {3}, logo ( A C)  . Então: 
 
P(AC) = 
1
6
3
6
1
6
3
6
   ; 
 
P( A ) = 1 - P(A) 
 = 1 - 
1
6
5
6
 . Observe que A = {1, 2, 4, 5, 6}, logo: P( A ) = 
5
6
. 
 
OBS: 
 A  C, pois A ={3} e C = {1, 3, 5} logo P(A) = 
1
6
 e P(C) = 
3
6
 . Assim, (PA)  P(B). 
 Os eventos B e C são coletivamente exaustivos. Dois ou mais eventos são chamados 
COLETIVAMENTE EXAUSTIVOS se, 2 a 2 forem mútuamente exclusivos e a união deles 
resultar no espaço amostral S. 
 
4.10 PROBABILIDADE CONDICIONAL 
 
Em muitas situações praticas, o fenômeno aleatório com o qual trabalhamos pode ser 
separado em etapas. A informação do que ocorreu em uma determinada etapa pode influenciar nas 
probabilidades de ocorrências dasetapas sucessivas. 
Nestes casos, dizemos que ganhamos informação e podemos “recalcular” as probabilidades 
de interesse. Essas probabilidades “recalculadas” recebem o nome de probabilidade condicional, 
cuja definição apresentamos a seguir: 
Dados dois eventos A e B, a probabilidade condicional de A dado que ocorreu B é 
representada por 
 
49 
 
 P A B
P A B
P B
( / )
( )
( )


. 
 
Avaliando as probabilidades do numerador e do denominador encontraremos uma fórmula mais 
prática para o cálculo da probabilidade condicional em espaços amostrais equiprováveis. 
isto é, para o cálculo da probabilidade condicional de A dado B, P(A / B), basta encontrarmos o 
número de casos favoráveis ao evento AB e dividirmos pelo número de casos favoráveis ao 
evento B, em vez de fazermos com relação ao espaço amostral S. 
 
Exemplo: Um número é sorteado ao acaso entre os inteiros: 1, 2, 3 ..., 10 Se o número sorteado for 
impar, qual a probabilidade de que seja o número 3? 
 
Solução: 
 S = {1, 2, 3, 4, 5, ..., 10}; 
 A = o no ser o 3  A = {3}; 
 B = o no ser impar  B = {1,3,5,7,9}. 
Notem que a probabilidade do evento A, sem a informação da ocorrência de B, é: P(A) = 
10
1
. 
Dada, porém, a informação de que o número sorteado é impar, o espaço amostral reduz-se para B = 
{1, 3, 5, 7, 9} e será neste espaço amostral que iremos avaliar a probabilidade do evento A. 
 
Assim, 
 A  B = {3} e B = {1, 3, 5, 7, 9}. 
 
Então: 
 
P(A / B) = Nº de casos favoráveis ao evento A e B = 1/5 
 Nº de casos favoráveis ao evento B 
 
 
P(A/B) lê-se: probabilidade de sair o número 3, dado que o número sorteado foi impar. 
 
 
4.11 REGRA DO PRODUTO 
 
A partir da definição de probabilidade, P(A/B) = 
P A B
P B
( )
( )

 ou P(B/A) = 
P A B
P A
( )
( )

, 
poderemos explicitar P(AB) e encontrar a regra do produto para dois eventos, assim: 
 
P(AB) = P(B)P(A/B) com P(B) > 0 
ou 
P(AB) = P(A)P(B/A) com P(A) > 0 
 
Então, a probabilidade da ocorrência simultânea de dois eventos de um mesmo espaço amostral é 
igual à probabilidade de um deles ocorrer, multiplicado pela probabilidade condicional do outro, 
dado o primeiro. 
 
 
Exemplo: Retiram-se sem reposição duas peças de um lote de 10 peças, onde apenas quatro são 
boas. Qual a probabilidade de ambas serem defeituosas? 
 
50 
 
 
Solução: 
 
Sejam os eventos: 
 
 A = {a primeira peça é defeituosa} 
 B = {a segunda peça é defeituosa} 
 
Precisamos então encontrar: 
 
 P(AB) = P(primeira peça ser defeituosa e a Segunda peça ser defeituosa) 
 
 P(AB) = P(A).P(B/A) 
 
 P(AB) = 
6
10
5
9
1
3
x  
 
Observem que P(B/A) é a probabilidade da segunda peça ser defeituosa, dado que a primeira foi 
defeituosa. 
 
OBS: A regra do produto vale para n eventos: 
 
P(A1A2...An) = P(A1).P(A2/A1).P(A3/A1A2). ... .P(An/A1A2...An-1) 
 
4.12 EVENTOS INDEPENDENTES 
 
Dois eventos são considerados independentes, quando a ocorrência de um deles não 
depende ou não está vinculada à ocorrência do outro, isto é, P(A/B)=P(A) e P(B/A)=P(B). 
Considerando a regra do produtopara os eventos independentes temos: 
 
 P(AB) = P(A).P(B) 
 
Não é difício verificar que se A é independente de B, então B é independente de A. O uso 
da expressão acima permite ainda verificar que o evento vazio é independente de qualquer evento. 
É muito comum, à primeira vista, confundir eventos independentes e eventos disjuntos. O próximo 
exemplo ajuda a esclarecer essa questão. 
 
Exemplo: Retiram-se, com reposição, duas cartas de um baralho com 52 cartas. Qual a 
probabilidade de que ambas sejam de "paus"? 
 
Solução: 
 
Sejam os EVENTOS 
 
 A = {a primeria carta é de paus} 
 B = {a segunda carta é de paus} 
 
Como A e B são independentes, a ocorrência ou não ocorrência de um deles não está associada à 
ocorrência do outro. 
 
 
51 
 
Observam que, como o processo é com reposição, o espaço amostral não é alterado para o cálculo 
da probabilidade do outro evento. Assim, P(AB) = P(A).P(B) 
 
P(AB) = 
13
52
13
52
1
16
.  
 
 
i. Regra de Bayes 
 
Começamos definindo uma partição do espaço amostral. Sejam os eventos A1 , A2 ,..., Nn 
formam uma partição do espaço amostral se ele tem intersecção entre si e se sua união é igual ao 
espaço amostral. Isto é, 
 n 
 Ai ∩ Aj =  para i ≠ j e  Ai = S 
 i =1 
 
A figura a segui apresenta um exemplo de uma partição com 6 eventos. 
 
 
 Partição do espaço amostral n =6 
 
 
Se denotarmos por B um evento qualquer teremos a seguinte partição: 
 
 
 
Sejam, A
1
, A
2
...A
n
 n eventos mutuamente exclusivos tais que A1A2...An = S. Sejam, 
P(Ai) as probabilidades conhecidas de todos os eventos Ai e B um evento qualquer de S, tal que 
conhecemos todas as probabilidades condicionais P(B/A
i
). 
 
 Então para cada i teremos: P A B
P A P B A
P A P B A
i
i i
j j
j
n
( / )
( ). ( / )
( ). ( / )



1
 
 
Uma ilustração é fornecida pelo diagrama abaixo: 
 
 
52 
 
.5,...,1,
)/()(...)/()(
)/()(
)(...)(
)/()(
)(
)(
)/(
551151






 i
ABPAPABPAP
ABPAP
BAPBAP
ABPAP
BP
BAP
BAP iiiiii
 
 
 Exemplo: Uma companhia produz circuitos em três fabricas I, II, III. A fábrica I produz 40% dos 
circuitos, enquanto a II e a III 30% cada uma. As probabilidades de que um circuito produzido por 
essas fabricas não funcione são 0.01 , 0.04, 0.03, respectivamnte. 
Escolhido um circuito da produção conjunta das três fabrica, qual a probabilidade de que o 
mesmo não funcione? 
 
Solução: 
 
Consideremos D = A peça escolhida e defeituosa. Então como a peça e escolhida pela produção 
conjunta das três fabricas a P(D) e dada por: 
 
P(D) = P( I ∩ D) + P( II ∩ D) + P( III ∩ D) 
 
 Obs: O simbolo de “+” significa “ou”. 
Desmembrando as probabilidades temos: 
 
P(D) = P(I)P(D/I) + P(II)P(D/II) + P(III)P(D/III) 
P(D) = 0.4 0.01 + 0.3 0.04 + 0.3 0.03 
P(D) = 0.025 
 
Esta e a probabilidade de um circuito escolhido das três fabricas não funcione. Agora suponha que o 
circuito escolhido ao acaso seja defeituoso. Qual a probabilidade dele ter sido fabricado por I? 
 
Solução: Queremos a P(I/D). 
 
 P(I/D) = P(I)P(D/I) = 0.04 0.01 = 0.16 
 P(D) 0.025 
 
Esta e a probabilidade de que o circuito defeituoso tenha sido escolhido pela fabrica I. 
 
ii. Diagrama de arvore 
 
É um esquema usado para enumerar todos os resultados possíveis de uma sequência de 
experimentos, onde cada um pode ocorrer de um número finito de maneiras. A árvore é construida 
da esquerda para a direita e o número de ramos de cada ponto corresponde ao número de resultados 
possíveis de cada experimento. 
 
 
Exemplo: Dados três conjuntos: 
 
 
A={1, 2, 3} B={a, b} C={4, 5, 6} 
 
 
Através do diagrama de arvore todos os resultados que formam o espaço amostral S podem ser 
assim apresentados. 
 
 
53 
 
 4 (1, a, 4) 
 a 5 (1, a, 5) 
 6(1, a, 6) 
 1 
 4 (1, b, 4) 
 b 5 (1, b, 5) 
 6 (1, b, 6) 
 
 4 (2, a, 4) 
 a 5 (2, a, 5) 
 6 (2, a, 6) 
S 2 
 4 (2, b, 4) 
 b 5 (2, b, 5) 
 6 (2, b, 6) 
 
 
 4 (3, a, 4) 
 a 5 (3, a, 5) 
 6 (3, a, 6) 
 3 
 4 (3, b, 4) 
 b 5 (3, b, 5) 
6 (3, b, 6 
Logo S terá 18 resultados (eventos elementares). 
 
Observação : 
 
Caso deseja-se saber quantos elementos terá o espaço geral S, sem precisarmos conhecer esses 
valores, bastaríamos fazer pelo PRODUTO CARTESIANO, assim: 
 
n(K1) = 3 n(K2) = {2} n(K3) = {3} 
 
Logo: m = 3 x 2 x 2 = 18. 
 
iii. Modelos não-equiprobabilisticos 
 
Nem sempre se pode considerar válida a hipótese de equiprobabilidade dos espaços 
amostrais, abordada acima, quando tratou-se da definição “clássica de probabilidade”. Assim, seja 
uma moeda viciada em decorrência da colocação de em pequeno contra-peso de chumbo em uma 
das faces. Pelo efeito do centro de gravidade a moeda tenderá a cair com aquela face voltada para 
baixo, e portanto, mostrará tendência à obtenção da face oposta, digamos coroa. 
Em caso desta natureza, quando deixa de ser válido o modelo equiprobabilistico, tem-se que 
utilizar um modelo empírico mais geral. Então, seja }...,,{ ,21 nsssS  um espaço amostral discreto, 
isto é, finito ou infinito enumerável. A probabilidade no espaço S acima é definida da seguinte 
forma: 
 
 1.0 e 1= que tal)( i
1
 

pppsP
n
i
iii 
 
 
54 
 
Exemplo: Numa indústria de Fortaleza, peças são fabricadas por cinco máquinas: A, B, C, D e E. 
Estima-se que A produz duas vezes mais que C, esta por sua vez, produz três vezes mais que E; por 
outro lado, B e D têm, individualmente, igual produção à C. Qual a probabilidade de cada máquina 
fabricar peças? 
 
Solução: 
 
Sabemos que o espaço amostral S = {A, B, C, D, E}, mas sabemos também que cada evento A, B, 
C, D e E não tem probabilidade 1/5. Isto é o que teria acontecido se o modelo fosse 
equiprobabilistico. Neste caso, os eventos elementares possuem probabilidades diferentes. 
 
Seja: 
 P(E) = p 
 P(A) = 2 P(C) = 6 P(E) = 6p 
 P(B) = P(C) = 3 P(E) = 6p 
 P(C) = 3P(E) = 3p 
 P(D) = P(C) = 3 P(E) = 3p 
 P(E) = p 
 
 sabemos que 
 
 P(S) = 1  P(A) + P(B) + P(C) + P(D) + P(E) = 1 
 6p + 3p + 3p + 3p + p = 1 
 16p = 1  p 
1
16
, 
Então temos 
 
 P A B C( ) ; ( ) ; ( ) ;  
6
16
3
16
3
16
 P P P(D) =
3
16
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
55 
 
1) Três jogadores A,B C disputam um troneio de tênis. Inicialmente A joga com B e o vencedor 
joga com C, e assim por diante. O torneio termina quando um jogador ganha duas vezes seguidas 
ou quando são disputadas, ao todo, quatro partidas. Quais são os resultados possíveis do terneio? 
 
2) Na tabela abaixo, os números que aparecem são probabilidades relacionadas com a ocorrência de 
A, B, AB, etc. Verifique se A e B são independentes. 
 
 B Bc 
A 
Ac 
0,04 
0,08 
0,06 
0,82 
0,10 
0,90 
 0,12 0,88 1,00 
 
 
3) Considere o lançamento de dois dados. Considere os eventos A = soma dos números obtidos igal a 9, 
e B = número no primeiro dado maior ou igual à 4. Enumere os elementos de A e B. Obtenha A U B, A 
∩ B, Ac. 
 
4) Um dado e viciado, de tal forma que a probabilidade de sair um certo ponto e proporcional ao seu 
valor (por exemplo, o ponto 6 e 3 vezes mais provável de sair do que o ponto 2). Calcular: 
 
a) A probabilidade de sair 5, sabendo-se que o ponto que saiu e impar. 
b) A probabilidade de tirar um número par, sabendo-se que saiu um número maio que 3. 
 
5) As falhas na fundação de uma grande edifício podem ser de dois tipos: A (capacidade de 
suportar) e B (fundação excessiva). Sabendo-se que P(A) = 0,001, P(B) = 0,008 e P(AB) = 
0,0008, determine a probabilidade: 
 
 a) de haver falha na fundação; 
b) de ocorrer A e não ocorrer B. 
 
6) Uma caixa contém 4 válvulas defeituosas e 6 perfeitas. 
 
a) Duas válvulas são extraídas (sem reposição). Uma delas é ensaiada e verifica-se ser 
 perfeita. Qual é a probabilidade de que a outra também seja perfeita? 
b) Se cada válvula retirada do lote é ensaidada, qual é a probabilidade de que no quinto 
 ensaio, obtenhamos todas as defeituosas? 
 
7) Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral, tal que P(B) > 0. Mostre que: 
a) Se P(A/B) = P(A) entao P(A ∩ B) = P(A).P(B) 
b) Se P(A ∩ B) = P(A).P(B), então, A e B são independentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
56 
 
5 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS 
 
 
 
 
 
 
5.1 INTRODUÇÃO 
 
Com a ajuda da Teoria das Probabilidades, vamos formalizar o comportamento de variáveis na 
população, associando a cada possível valor sua probabilidade de ocorrência. Como já foi 
mencionado, além da probabilidade poder ser obtida a partir do estudo das frequências, ela também 
pode ser deduzida a partir de suposições feitas a respeito da realização do fenômeno. Na 
formalização que faremos com a introdução de probabilidades, nos ocuparemos apenas das 
variáveis quantitativas.As variáveis qualitativas podem ser, em algumas ocasiões, tratadas como 
discretas na atribuição de probabilidades. 
Definimos como vaviável aleatória uma função que associa a cada elemento do espaço 
amostral a um número real. 
 
 
5.1.1 Definição de Variável Aleatória Discreta 
 
Seja X uma variável Aleatória. Se o número de valores possíveis de X for finito ou infinito 
enumerável, diz-se que X é uma Variável Aleatória discreta. 
A cada possível resultado xi , i = 1,2,...n, da variável X, associa-se P(xi) = P(X = xi), que é a 
probabilidade da Variável Aleatória X assumir o valor xi. Ou seja, tendo S como um espaço 
amostral de um experimento e P uma medida de probabilidade associada a esse experimento. Seja 
uma função X definida como segue, X : S   ( números reais ), de tal modo que: 
 
 i)  x  ,  P[ X = x ] 
 ii) X( S ) é um conjunto finito ou enumerável 
 
Dizemos, então, que X é uma variável aleatória discreta. 
 
5.1.2 Função de Probabilidade 
 
Chama-se função de probabilidade da Variável Aleatória (v.a.) X, que assume os valores 
x
1
, x
2
, ..., x
n, a função que a cada valor xi associa a sua probabilidade de ocorrência, isto é, P(xi) = 
P(X = xi) , i = 1,2,..n. Ao conjunto {(xi, P(xi)),i = 1,2,...n}, damos o nome de Distribuição de 
Probabildades da v.a. X. 
 
A função de probabilidade deve satisfazer: 
 
 i) P[ X = xi ]  0,  xi   
 
 ii) 


X(S)x
i
i
1]xP[X 
 
 
Para qualquer evento A, temos: P X A P X x
x A
[ ] [ ],     

 A 
 
57 
 
 
 
5.1.3 Esperança Matemática de uma Variável Aleatória. 
 
Seja X uma variável aleatória discreta assumindo os valores { x1, x2, ... ,xn }, com função 
de probabilidade P[ X = xi ] = pi,  xi. Definimos por Esperança Matemática ou simplesmente 
Esperança da variável aleatória X, denotada por E[ X ], o valor definido por: 
E X x P X xi i
i
n
[ ] . [ ] 


1
 
 
Propriedades: 
 
 Sejam: {a , b}   (a   e b  ), X e Y variáveis aleatórias. São válidas as seguintes 
propriedades: 
 
 i) E[ a ] = a 
 ii) E[ a.X ] = a.E[ X ] 
iii) E[ a.X  b ] = a.E[ X ]  b 
iv) E[ X  Y ] = E[ X ]  E[ Y ] 
 v) E[ X.Y ] = E[ X ].E[ Y ], se X e Y sãoindependentes 
 
 
5.1.4 Variância de uma Variável Aleatória Discreta 
 
 Seja X uma variável aleatória discreta assumindo os valores pertencentes a { x
1
, x
2
, ... ,x
n }, 
com função de probabilidade P[ X = x
i
 ] = pi , xi. Definimos por Variância da variável aleatória X, 
denotada por V[ X ], ao valor definido por: 
 
V[X] = E[ ( X - E[ X ] )
2
 ] = E[ X
2
 ] - ( E[ X ] )
2
. 
 
Propriedades: 
 
Sejam: { a , b }   (a   e b  ), e X e Y variáveis aleatórias. São validas as seguintes 
propriedades: 
 
i) V[ a ] = 0 
ii) V[ a.X ] = a2.V[ X ] 
iii) V[ a.X  b ] = a2.V[ X ] 
iv) V[ X  Y ] = V[ X ] + V[ Y ], se X e Y são independentes 
 
 
5.1.5 Momentos de uma Variável Aleatória Discreta 
 
Chamamos de momento de ordem m, o valor 
 
 E X x P X xm i
m
i
i
n
[ ] . [ ] 


1
. 
 
 
 
58 
 
 
 
 
PRINCIPAIS MODELOS DISCRETOS 
 
 Algumas variáveis aleatórias adaptam-se muito bem a uma serie de problemas práticos e 
aparecem com bastante frequência. Portanto, um estudo pormenorizado das mesmas facilita 
bastante a construção das correspondentes funções de probabilidades, bem como determinar seus 
principais parâmetros. 
 Assim, para um dado problema, tentamos verificar se ele satisfaz as condições do modelo 
conhecido, por isso facilitaria muito o nosso trabalho. 
 
5.2 DISTRIBUIÇÃO UNIFORME DISCRETA 
 
Uma variável aleatória X será uma variável aleatória discreta uniforme, se cada um dos n 
valores em sua faixa, isto e, x1, x2,...,xn, tiver igual probabilidade. Então, 
 
 f(xi) = 1/n 
 
 
 
 f(xi) 
 
 
 
 1/k 
 
 x1 x2 xn x 
 
Gráfico da função de probabilidade para uma variável aleatória discreta uniforme 
 
 
 Esperança e Variância 
 
Suponhamos que X seja uma variável aleatória discreta uniforme nos inteiros consecutivos 
a, a + 1, a + 2,..., b, para a ≤ b. A media de X e a variância e dada respectivamente por: 
 
E(X) = (b + a)/2 e V(X) = [(b – a + 1)2 – 1]/12 
 
5.3 DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI 
 
 Dizemos que uma Variável Aleatória X segue o modelo de Bernoulli se atribui 0 ou 1 a 
ocorrência de fracasso ou sucesso, respectivamente. Com p representando a probabilidade de 
sucesso, 0≤ p ≤1, sua função discreta de probabilidade e dada por: 
 
 
 X 0 1 
 � I 1-p p 
 
ou de modo resumido, P(X = x) = px (1 – p)1 – x 
 
 
59 
 
A repetição de ensaios de Bernoulli independentes da origem a mais importante variável 
discreta denominada modelo Binomial. 
 
Exemplo: Um dado de seis faces é lançado uma vez, observamos a ocorrência da face 5 ou 
não. Calcule a esperança e a variância. 
Solução 
 Seja X uma variável aleatória que conta a ocorrência ou não da face 5. 
Supondo o dado perfeito teremos: 
 
 X 0 1 Total 
 P(x) 5/6 1/6 1 
 
Logo, 
 E(X) = 1/6 
 V(X) = 1/6  5/6 = 5/36 
 
 
5.4 DISTRIBUICAO BINOMIAL 
 
Considere a repetição de n ensaios de Bernoulli independentes e todos com a mesma 
probabilidade de sucesso p . A Variável Aleatória que conta o número total de sucessos e 
denominada Binomial com parâmetros n e p e sua função de probabilidade e dada por: 
 
P X x
n
x
p p x nx n x[ ] .( ) , { , ,... , }( ) 





   
1 0 1 
 
 Ou seja, X  Binomial(n , p). 
 
Esperança: 
 
A esperança da variável aleatória X  Binomial ( n , p ) e dada por: 
 
E[X] = np 
 
 
Prova: 
 
 
 
 
 Variância: 
 
A variância da variável aleatória X  Binomial ( n , p ) e dada por: 
E X x P X x x
n
x
p p x
n
x n x
p p
n n
x n x
p p p n p
n
x n x
p p
fazend
x n x
x
n
x
n
x n x
x
n
x n x
x
n
x n x
x
n
[ ] . [ ] . . .( ) .
!
!.( )!
.( )
.( )!
( )!.( )!
. .( ) . .
( )!
( )!.( )!
.( )
( ) ( ) 
( ) ( ) ( ) ( )
  





   

 


 
 

 

 



 

  

 
 
1 0 1
1
1
1
1
1
1
00 1
1
1
1
1
 
 = x -1, 
E X
n
y n y
p py n y
y
n
( )
( )!
!.( )!
.( )( )

 
   


 n.p. n.p.(p - (1- p)) n.p( -1
1
1
1 1
0
1
 
60 
 
 
V[ X] = npq, em que q = 1 - p 
 
 Prova: 
V[ X ] = E[ X
2
 ] - ( E[ X ] )2. 
 
Mas, E[ X2] = E[ X ( X - 1 ) + X ] = E[ X ( X - 1 ) ] + E[ X ]. 
 
Então, V[ X ] = E[ X ( X - 1 ) ] + E[ X ] - ( E[ X ] )
2
 = n . ( n - 1 ) . p2 + n . p - n2 . p2 = n . p - n . p2 
= n . p . ( 1 - p ) 
 
Pois, 
E X X x x P X x x x
n
x
p p
x x
n
x n x
p p
n n n
x n x
p p p
x n x
x
n
x
n
x n x
x
n
x n x
x
n
[ ( )] .( ). [ ] .( ). . .( )
.( ).
!
!.( )!
.( )
.( ).( )!
( )!.( )!
. .( )
( )
( ) ( ) ( )
     





  
   

 
 
 
 




 


 
1 1 1 1
0 0 1 1
1 2
2
1
00
2
2 2
2
 
 
 

 
  

n n p
n
x n x
p p fazendo yx n x
x
n
.( ). .
( )!
( )!.( )!
.( ) (( ) ( )1
2
2
12 2
2
= x - 2) 
 


 
   


 n.(n - 1).p . n.(n - 1).p .(p - (1- p)) n.(n - 1).p2 2 (n-2) 2
( )!
!.( )!
.( ) ( )
n
y n y
p py n y
y
n 2
2
1 2
0
2
 
 
 
Exemplo: Dez peças são extraídas, ao acaso, com reposição, de um lote contendo 500 pecas. Qual 
a probabilidade de que todas sejam defeituosas, sabendo-se que 10% das pecas do lote são 
defeituosas? 
 
Solução: 
Aqui temos n = 10 ensaios de Bernoulli, cada um com P(S) = P (peça defeituosa) = p = 0,1. 
Se X indica o número de pecas defeituosas na amostra, queremos calcular a P(X = 10). X~ B(10, 
1/10), 
 
 
5.5 DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA 
 
Consideremos um experimento que consiste na extração aleatória de n elementos ou 
indivíduos de um grupo de tamanho N (N > n), dos quais r possuem uma determinada característica 
e o restante (N - r) sem possuí-la, de tal modo que a escolha é feita sem a reposição dos elementos 
ou indivíduos já selecionados. 
Seja X a variável aleatória que registra o número de elementos ou indivíduos que possuem 
essa característica em questão, dentro do grupo escolhido aleatoriamente. Temos então, x  {0 , 1 , 
..., k}, com k=n se n  r ou k=r se n  r, com função de probabilidade dada por: 
P X x
r
x
N r
n x
N
n
k[ ]
.
, , ,... , 




















  x 0 1 
 
61 
 
Dizemos que a variável aleatória discreta assim definida tem distribuição Hipergeométrica 
de parâmetros N, r e n, ou seja: X  Hipergeométrica ( N , r , n ). 
 
 Esperança: 
 
 E(X) = n . r 
 N 
Prova: 
E X x P X x x
r
x
N r
n x
N
n
x
r
x r x
N r
n x
N
n N n
n r
N
r
x r x
N r
n x
N
n N n
x
n
x
n
x
nx
n
[ ] . [ ] .
.
.
!
!.( )!
.
!
!.(( )!
.
( )!
( )!.( )!
.
( )!
( )!.(( )!
   

































 









 
   
   
0 1 0 1
0
1
1
1
1
 
 
fazendo y=x-1, temos 
 
E(X) =
n r
N
r
y
N r
n y
N
n
n r
N
n
r
Ny
n.
.
.
.







 













  



1
1
1
10
1
 
 
 
 Variância: 
 
Prova: 
 
V[ X ] = E[ X2 ] - ( E[ X ] )2 
 
E[ X2 ] = E[ X ( X - 1 ) + X ] = E[ X ( X - 1 ) ] + E[ X ] 
 
E X X x x P X x x x
r
x
N r
n x
N
n
x x
r
x r x
N r
n x
N
n N n
n n r r
N N
r
x r x
N r
n x
N
n
x
n
x
n
x
n
[ ( )] .( ). [ ] .( ).
.
.( ).
!
!.( )!
.
!
!.(( )!
.( ). .( )
.( )
( )!
( )!.( )!
.
( )!
(
       




















 











 


 










  
  1 1 0 0 1 1
1 1
1
2
2
2
0 2 2
2
1 1
1
2
2
2
2
2 2
)!.( )!
.( ). .( )
.( )
.
N n
n n r r
N N
r
x
N r
n x
N
n
x
n
x
n


 

























 
 
 
fazendo y = x-2, temos: 
E(X(X-1)) =
n n r r
N N
r
y
N r
n y
N
n
n n r r
N Ny
n.( ). .( )
.( )
.
.( ). .( )
.( )
 








 















 



1 1
1
2
1
2
2
1 1
10
2
 
Então 
V[ X ] = E[ X ( X - 1 ) ] + E[ X ] - ( E[ X ] )2 = 
n . (n - 1) . r . (r - 1) 
 N . (N - 1)
+ 
n . r
N
n .r
N
2 2
2
 
=
n r
N
n r
N
n r
N
n r
N
N n r N N N n r
N N
. ( ).( )
( )
. . .( ).( ) .( ) ( ). .
.( )
 

 





 
     







1 1
1
1
1 1 1 1
1
 
 
62 
 
 

















)1(
....
)1(
........ 22
NN
rnNrNnN
N
rn
NN
rnrnNNNNrNnNrnN
N
rn
 
= 
1
..
)1.(
)).((
.
.
)1(
)()(.













N
nN
N
rN
N
r
n
NN
rNnN
N
rn
NN
nNrnNN
N
rn
 
 
 
Exemplo: Uma urna contém 10 bolas brancas, 15 bolas vermelhas e 20 bolas azuis. Oito bolas são 
retiradas aleatoriamente e simultaneamente dessa urna. 
 
a) Qual a probabilidade de ser verificado exatamente duas bolas brancas? 
b) Quantas bolas azuis esperamos retirar? 
 
Solução: 
 
a) Vamos definir por X a variável aleatória que conta o número de bolas brancas dentre as oito 
retiradas. Temos: 
X ~ Hipergeométrica (45, 10, 8 ). 
 
 3389.0
!37!.8
!45
!29!.6
!35
!8!.2
!10
8
45
6
35
2
10
]2[ 

















XP 
 
b) Vamos definir por Y a variável aleatória que conta o número de bolas azuis dentre as oito 
retiradas. Temos: 
 Y ~ Hipergeométrica (45, 20, 8). E [Y] = 8.(20 / 45)  3.56 
 
5.6 DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 
 
Consideremos um experimento que registra o número de ocorrências de um determinado 
fenômeno durante um tempo fixo t, onde a ocorrência desse fenômeno possui as seguintes 
propriedades: 
 
 i) A probabilidade de um número qualquer de ocorrências em um intervalo de tempo (s , s + t), 
depende somente do comprimento do intervalo (t); 
 ii) O número de ocorrências em intervalos disjuntos de tempo são independentes; 
iii) As ocorrências se dão de maneira isolada, ou seja, não simultâneas. 
 
Seja  a taxa de ocorrências durante uma unidade de tempo (intervalo de tempo de 
comprimento unitário), e seja X a variável aleatória que registra o número de ocorrências em um 
período de tempo t (intervalo de tempo de comprimento t). Temos que, X  { 0 , 1 , 2 , ... }, com 
função de probabilidade dada por: 
 
P X x
e t
x
t x
[ ]
.( . )
!
( . )
 
  
, com  > 0, t > 0, x  { 0 , 1 , 2 , ... }, 
ou P X x
e
x
x
[ ]
.( )
!
 
 
, com  = .t 
 
Dizemos que a variável aleatória discreta assim definida tem distribuição de Poisson de 
parâmetro , ou seja, X  Poisson (  ). 
 
63 
 
 Esperança: 
 
 E (X) =  
 
Prova: 
 
E X x P X x
x
x
e t t x
xx
t e t
t x
xx
[ ] . [ ] .
( . ) .( . )
!
( . ). ( . ) .
( . )( )
( )!
 


  



 





0
0
1
1
11
 
 

 
 
  


( . ). .
( . )
( )!
( . ). . .( . )
( )
( . ) ( . )

   t e
t
y
t e e tt
y
y
t t
0
=  
 
 Variância: 
 V(X) =  
 
V[ X ] = E[ X2 ] - ( E[ X ] )2. 
 
Mas, E[ X2 ] = E[ X ( X - 1 ) + X ] = E[ X ( X - 1 ) ] + E[ X ] 
 
e 
E X X x x P X x x x
e t
x
t x
xx
[ ( )] .( ). [ ] .( ).
.( . )
!
( . )
       





1 1 0 0 1
20
 
 
 


  






 ( . ) . .
( . )
( )!
( . ) . .
( . )
!
( . ) . . ( . )( . )
( )
( . ) ( . ) ( . )



    t e
t
x
t e
t
y
t e e tt
x
x
t
y
y
t t2
2
2
2
0
2 2
2
 
 
V[ X ] = E[ X ( X - 1 ) ] + E[ X ] - ( E[ X ] )2 = ( .t )2 + ( .t ) - ( .t )2 = .t =  
 
 
Observações: 
 
A distribuição de Poisson surgiu como uma consequência de algumas propriedades que 
foram apresentadas no início (1.7.3.). Isto significa que sempre que essas hipóteses forem válidas, 
ou pelo menos aproximadamente válidas, essa distribuição pode ser empregada como um modelo 
adequado. Alguns fenômenos para os quais o modelo de Poisson pode ser utilizado são: 
i ) números de chamadas que chegam a uma central telefônica durante um intervalo de 
tempo de comprimento t; 
ii ) números de elétrons liberados pelo cátodo de uma válvula eletrônica em um certo 
período de tempo t; 
iii ) número de partículas emitidas por um material radioativo em um certo período de 
tempo t; 
iv ) no campo da astronomia podemos ter um exemplo que substitui o tempo por volume, 
como o número de estrelas encontrados em um certo volume v (tomado aleatoriamente) 
dentro da Via Láctea; 
 
64 
 
v ) no campo da Biologia podemos ter outra aplicação, tal como o número de glóbulos 
sanguíneos visíveis ao microscópio, dentro de uma certa área a (tomada aleatoriamente) 
entre toda uma área visível ao microscópio. 
Exemplo 1: Um certo tipo de pneu para automóveis de passeio tem, em média, um defeito a cada 
5.000km rodados. Assumindo que as ocorrências seguem a lei de Poisson: 
a) Qual a probabilidade de observarmos nenhum defeito em 10.000km ? 
b) Qual a probabilidade de observarmos pelo menos um defeito em 10.000km ? 
 
Solução: 
 
a)  = 1/5000 ( defeitos / km ); t = 10.000km e  = 2. 
Definindo a v.a X como o número de defeitos em 10.000km temos que X ~ Poisson( 2 ). 
Logo, 
 P[ X = 0 ] = e-2.20 / 0!  0.1353 
b) P[ X  1 ] = 1 - P[ X = 0 ]  0.8647 
 
 
Exemplo 2: Uma central telefônica, que possui uma taxa de 60 ligações por hora, segundo uma 
distribuição de Poisson, podefazer, no máximo, 20 conecções por minuto. Qual é a probabilidade 
que, durante um dado minuto, não haja linha para as próximas chamadas? 
 
Solução: 
 
 = 600 con. / h = 600 tel. / 60 min = 10 tel. / min. 
Seja X: número de chamadas por minuto, X ~ Poisson( 10 ). 
Não haverá linha se X > 20. 
 P[ X > 20 ] = 1 - P[ X  20 ] = 1 1
10
0 0016
0
20 10
0
20
    



 P X x
e
xx
x
x
[ ]
!
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
65 
 
 
Exercícios 
 
1) Se X: B(n, P), sabendo-se que E(X) = 12 e 2 = 3, determinar: 
a) n 
b) p 
c) P(X < 12) 
d) P(X≥ 14) 
 
 2) Em um certo tipo de fabricação de fita magnética, ocorrem cortes a uma taxa de 1 por 2.000 
pés. Qual a probabilidades de que um rolo com 2.000 pés de fita magnética tenha: 
a) nenhum corte? 
b) No máximo dois cortes? 
c) Pelo menos dois cortes? 
 
3) Um fabricante de peças de automóveis garante que uma caixa de suas peças conterá, no 
maximo, 2 defeituosas. Se a caixa contem 18 pecas, e a experiência tem demonstrado que esse 
processo de fabricação produz 5% das pecas defeituosas, qual a probabilidade de que uma caixa 
satisfaça a garantia? 
 
4) Por engano 3 pecas defeituosas foram misturadas com boas formando um lote de 12 pecas 
no total. Escolhendo-se ao acaso 4 dessas pecas, determinar a probabilidade de encontrar: 
a)pelo menos 2 defeituosas. 
b)no Maximo uma defeituosa. 
c)no mínimo uma bola. 
 
 
5) Em momentos de pico, a chegada de aviões a um aeroporto se da segundo o modelo de 
Poisson com taxa de 1 minuto. 
a) determine a probabilidade de 3 chegadas em um minuto qualquer do horário de pico. 
b) Se o aeroporto pode atender 2 aviões por minuto, qual a probabilidade de haver aviões 
sem atendimento imediato? 
c) Previsões para os próximos anos indicam que o tráfego deve dobrar nesse aeroporto, 
enquanto que a capacidade de atendimento poderá ser no máximo ampliada em 50%. 
Como ficara a probabilidade de espera por atendimento? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS 
 
 
66 
 
 
 
 
 
6.1 INTRODUÇÃO 
 
 Neste capítulo discutiremos a caracterização de variáveis cujos possíveis valores ocorrem 
aleatoriamente e pertencem a um intervalo dos números reais: variáveis aleatórias contínuas. 
Renda, salário, tempo de duração de um equipamento, comprimento de uma peça, área atingida por 
certa praga agrícula são exemplos de quantidades que podem ser modeladas por variáveis aleatórias 
continuas. De forma semelhante àquela desenvolvida para variáveis aleatórias discretas, precisamos 
estabelecer para as contínuas a atribuição de probabilidade às suas diversas realizações que, neste 
caso, podem assumir um número infinito de valores diferentes. 
 
 
6.1.1 Definição de Variável Aleatória Contínua 
 
Seja S o espaço amostral de um experimento e P uma medida de probabilidade associada a 
esse experimento e X uma função definida como segue, X : S   (números reais), de tal modo 
que: 
 
 i)  x  , P[X = x]= 0 
 ii) X(S) é um conjunto infinito não enumerável 
iii)  f : + : P[a  X  b] corresponde a área definida pela função f entre os pontos a e b, com 
a < b. 
 
Dizemos, então, que X é uma variável aleatória contínua. 
 
6.1.2 A Integral 
 
Não nos cabe aqui definir formalmente o conceito de integral de uma função, porém, como 
vamos mencionar esse funcional temos a necessidade de apresentá-lo. A integral de uma função f 
no intervalo [ a , b ] é definida por ser a área ocupada entre essa função e o eixo das coordenadas x. 
Caso a função seja negativa, em um intervalo qualquer, a integral terá valor negativo nesse 
intervalo. Notação: f x x f x x
a b a
b
( ) ( )
[ , ]
   , corresponde a área entre a função f e o eixo das 
coordenadas x nesse intervalo. 
 
 f(xi) 
 
 
 
 
 
 
 a b 
6.1.3 Função Densidade de Probabilidade 
 
 
67 
 
Seja X uma variável aleatória contínua. Chamamos de função densidade de probabilidade 
de X, denotada por f, a função definida como segue: 
 f : + tal que A  , P[ X  A ] = f x x
A
( ) . 
 
Propiedades: 
 
 i) f(x)  0, x  . 
 ii) f x x( )
  1 
 
 
6.1.4 Função de Distribuição Acumulativa 
 
 Definimos por função distribuição acumulativa de uma variável aleatória contínua qualquer 
X, denotada por F, uma função que associa a cada valor real x a probabilidade da respectiva 
variável aleatória assumir um valor igual ou inferior a este, ou seja: F( x ) = P[ X  x ],  x  . 
Temos: 
 
 F x P X x f t t
x
( ) [ ] ( )  
  
 
6.1.5 Esperança e Variância 
 
Seja X uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade dada por f. 
Definimos por Esperança da variável aleatória X, denotada por E [X] a seguinte sentença: 
 E X x f x x f x[ ] . ( ) . ( ) 
 

   x x 
 
e Variância da variável aleatória X, denotada por V[X], aos valores definidos por: 
 
 V[ X ] = E[ ( X - E[ X ] )2 ] = E[ X2 ] - ( E[ X ] )2 
 
Observação: 
 As propriedades de Esperança e Variância apresentadas para variáveis aleatórias discretas 
valem para o caso contínuo. 
 
Exemplo: Para o nosso exemplo definido em propriedades, temos: 
f x
se x
x se x
( )
, [ , ]
. ,






0 0 10
0 02 [0,10]
 
E X x f x x x x
x
[ ] . ( ) . ( . / ). ( . / ). ( ) / .      


 x 0 02 0 02 3 0 02 3 10 0 20 3 6 672
0
10 3
0
10 3 3
 
E X x f x x x x
x
[ ] . ( ) . ( . / ). ( . ).( )2 2 3
0
10 4
0
10 4 40 02 0 02 4 0 005 10 0 50     


 x 
 V[ X ] = E[ X2 ] - ( E[ X ] )2 = 50 - ( 20 / 3 )2 = 50 / 9  5.56 
 
Muitas variáveis aleatórias contínuas associadas a experimentos estatísticos possuem 
propriedades semelhantes e podem ser descritas por um mesmo modelo probabilístico. 
 
PRINCIPAIS MODELOS CONTÍNUOS 
 
68 
 
 
 Apresentaremos aqui os proncipais modelos teóricos para variáveis aleatórias contínuas. 
Vimos que, para caracterizar completamente uma variável aleatória continua, precisamos fornecer 
sua função densidades de probabilidade que, segundo sua definição, é uma função positiva e com 
integral igual à 1. 
 
6.2 MODELO UNIFORME CONTÍNUO 
 
Uma variável aleatória continua X com uma função densidade de probabilidade 
 
F(x) = 1/(b – a), a ≤ x ≤ b 
 
tem uma distribuição uniforme continua. 
 
 f(xi) 
 
 
 
 1/(b – a) 
 
 a b x 
 
Gráfico da função de probabilidade para uma variável aleatória continua uniforme 
 
 Esperança e Variância 
 
A media e a variância de uma variável aleatória continua uniforme e para a ≤ x ≤ b são 
 
E(X) = (a + b)/2 e V(X) = (b – a)2 /12 
 
6.3 DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
 
A mais importante distribuição continua de probabilidade no campo da estatística é a 
distribuição normal. O seu gráfico tem uma função de “sino” e descreve a distribuição de um 
grande conjunto de dados que ocorrem na natureza, na indústria, no comércio e em pesquisas de 
maneira geral. 
 Seja um experimento aleatório que consiste em selecionar uma pessoa casuísticamente e 
anotar sua estatura. O resultado do experimento, se tomado um número razoável de pessoas, 
apresenta dados distribuídosde tal maneira que um número considerável de estaturas são 
encontradas concentradas em torno de um valor central, apresentando pequenos grupos de dados 
afastados (acima ou abaixo) deste. Este experimento, bem como muitos outros, possuem um 
modelo de distribuição de probabilidade normal. 
 As curvas normais apresentam algumas características bastante especiais em termos de sua 
forma, de como se especificam e de como são utilizadas para obtenção de probabilidades. Uma 
característica importante é que uma distribuição normal fica completamente especificada por dois 
parâmetros:  e 2. Em outras palavras, existe uma única distribuição normal para cada combinação 
de uma média e um desvio padrão. Como médias e desvios padrão são medidos em escala contínua, 
segue-se que o número de distribuições normais é ilimitado. Vejamos algumas dessas 
possibilidades: 
 
69 
 
A forma da distribuição Normal foi primeiramente estuda por De Moivre, em 1793 e mais 
tarde por Gauss, em 1809, quando no estudo da teoria dos erros de medidas e, devido a contribuição 
deste à distribuição Normal, esta é chamada de distribuição Gaussiana. 
Uma variável aleatória contínua X tem distribuição normal de parâmetros , 2 ( X  
Normal( , 2) ) se a função densidade de probabilidade f, associada a essa variável aleatória, é 
dada por: 
 
 f x e x
x
( ) ( . ). ,
( )
.  


1 2
2
22 

 
 
Logo, a probabilidade de uma v.a. c. tomar um valor entre dois pontos quaisquer é igual a 
área sob à curva entre esses dois pontos: P(a  X  b) = A 
 
 f(x) 
 
 
 
  x 
 
Uma consequência importante do fato de uma curva normal poder ser completamente 
especificada por sua média e por seu desvio padrão é que a área sob a curva de um ponto qualquer e 
média é função somente do número de desvios padrões que aquele ponto dista da média. E esta é a 
chave que nos permite o cálculo de probabilidades para a curva normal. 
Algumas propiedades da densidade da Normal podem ser, facilmente, observadas de seu 
gráfico: 
 
 i) A função densidade de uma curva Normal tem forma de sino. 
 ii) A função densidade de uma curva Normal é simétrica em torno do valor esperado, onde atinge 
seu maior Valor, e sua “espessura” são proporcionais a variância. 
iii) A área da função densidade de uma curva Normal entre dois pontos gera a probabilidade de 
uma variável aleatória, assim distribuída, assumir um valor entre esses pontos, sendo zero no caso 
dos pontos serem iguais. 
iv) O modelo Normal fica completamente especificado por dois parâmetros: sua esperança e sua 
variância. 
 
Devemos observar que, quando se diz que a variável aleatória é distribuida normalmente, a 
afirmação deve ser interpretada como uma implicação de que a de que a distribuiçaõ de seus 
resultados possíveis podem ser bem aproxinadas pela distribuição normal de probsbilidades. Logo, 
a curva normal é um “modêlo”. 
 
 Esperança e Variância 
 
 O valor esperado, bem como a variância de uma distribuição Normal de parâmetros  , 2 
não são facilmente encontrados, por isso deixamos essa busca oculta. Temos: 
 
E[ X ] =  e V[ X ] = 2 
 
 
70 
 
 
6.4 DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO 
 
A integral da Distribuição Normal mencionada acima só pode ser resolvida de modo 
aproximado e por métodos numéricos. Por essa razão as probabilidades para o modelo Normal são 
calculadas com o auxílio de tabelas. Para evitar a multiplicação desnecessária para cada par de 
valores de (, 2) utiliza-se uma tranformacao que sempre conduz ao cálculo de probabilidades 
com uma variável de parâmetros (0 ,1), isto é, ,média 0 e variância 1. 
A distribuição normal constitui, na realidade, uma “família” infinitamente grande de 
distribuições - uma para cada combinaçãode média de desvio padrão. Logo, precisamos padronizar 
a curva. E o fato de considerarmos a área total sob a curva como 100% é que a padroniza. Os 
intervalos   ,   2 e   3 são importantes na caracterização da distribuição normal, pois 
tais faixas compreendem, respectivamente: 
68,3% , 95,5% e 99,7% da distribuição. E isto é válido para todas as distribuições normais. 
 
 
 
                 3 2 2 3 
 68,3% 
 95,5% 
 99,7% 
 
Seja Z uma variável aleatória contínua que assume qualquer valor real segundo uma função 
densidade de probabilidade dada por: 
 
  




  x,e
2π
1xf
20,5x
 
 
Dizemos que Z tem distribuição normal padrão, ou seja: Z  N( 0 , 1 ) 
Considere XNormal(, 2), e defina uma nova variável Z = ( X -  ) /  . Ou seja, para 
conservar-se a diferença entre a média e algum valor da distribuição para uma diferença relativa, 
exprimindo-se em termos de desvio padrão a contar da média. Note-se que Z tem sinal negativo (-) 
para valores de X inferiores à média e sinal positivo(+), para valores superiores à média. 
Pode-se ainda verifcar que essa normalização não afeta a normalidade.Para determinar a 
probabilidade de X  [a, b], procederemos da seguinte forma: 
 
 P(a  X  b) = P(a -   X -   b - ) 
 = P(a -  /   X -  /  b -  / ) 
 = P (a -  /   Z  b -  / ) 
 
e, portanto, quaisquer que sejam os valores de  e , utilizaremos a Bnormal Padrão para obter 
probabilidades com a distribuição Normal. 
 
 
 
 
71 
 
Exemplos: 
 
Seja Z ~N (0,1). Calcule: 
a) P[ 0<Z<2,55]; 
 
Solução: Vamos mostrar, graficamente, a probabilidade ( ou área) pedida 
 
 0 2,55 
Observamos que este é o sentido da tabela, logo, consultando diretamente a tabela, 
verificamos que a probabilidade pedida é 0,4946 isto é, P[0<Z<2,55]= 49,46%. 
 
 
b) P[Z> 1,09] 
 
Solução: Observando graficamente a area pedida temos: 
 
 0 1,09 
 
 
 
Como podemos observar, a área pedida não está no sentido da tabela, mas podemos encontrá-la 
utilizando a área complementar, pois P[ Z> 0]=0,5 (0,5000). Logo, P[Z>1,09 ]= 0,5 - P[ 0<Z 
1,09]=0,5 - 0,3621=0,137913,79%. 
 
c) P[ 0,77<Z<2,33] 
 
Solução: Observando graficamente a area pedida temos: 
 
 0 0,77 2,33 
 
Temos, então, que a probabilidade pedida pode ser obtida subtraindo-se da área maior ( 
P[0<Z<2,33]) a área menor ( P[0<Z<0,77]). Logo: 
 
 P[ 0,77<Z<2,33]= P[0<Z<2,33] - P[0<Z<0,77]= 0,4901-0,2794=0,210721,07%. 
 
 
d) P[ -1,96<Z<0 ] 
 
Solução: Observando graficamente a area pedida temos: 
 
72 
 
 
 
Por simetria, temos que esta área é igual à: P[0<Z<+1,96]=0,475. 
 
 
e) P[ Z< -1] 
 
Solução: Observando graficamente a area pedida temos: 
 
Por simetria, temos que esta área é igual à: P[Z > +1] = 0,5 - 0,3413 = 0,1587 
 
Podemos também ter interesse em encontrar o valor de z, tal que P[0 <Z< z]  0,008. 
Procurando-se invertidamente encontrarmos na tabela o valor 0,02 , que é tal que P[0<Z<0,02]  
0,008, ou seja o valor de z que corresponde à mencionada probabilidade é z  0,02. 
 
Seja X  Normal ( 10,16 ), ou seja, E[X]=10 , V[X]=16 e  =4. Calcule: 
 
a) P[ 10 < X < 14,48 ] 
 = P[(10-10)/4 < (X-10)/4 < (14,48-10)/4] = P[ 0 < Z < 1,12]  0,3686 
 
b) P[X > 12,56] 
 = P[P[Z > 0,64] = 0,5 -P[0 < Z  0,64]  0,5 - 0,2389 = 0,2611 
c) P[X < 9] 
 = P[(9 - 10)/4] = P[Z < -0,25] = P[Z > 0,25] = 0,5 - P[0 < Z < 0,25]  0,4013 
d) P[7 < X < 15] 
 = P[(7 - 10)/4 < Z < (15 - 10)/4] = P[-0,75 < X < 1,25 ] = P[-0,75 < Z < 0] + P[0  Z< 1,25] 
 = P[0 < Z < 0,75] + P[0  Z < 1,25]  0,2734 + 0,3944 = 0,6678 
 
e) Podemos também ter interesse em encontrar o valor de z, tal que P[0 < Z< z]  0,008. 
Procurando-se invertidamente encontrarmos na tabela o valor 0,02, que é tal que P[ 0 < Z < 
0,02]  0,008, ou seja, o valor de z que corresponde à mencionada probabilidade é z  0,02. 
f) Podemos também ter interresse em encontrar o valor de x tal que P[10 < X < x]  0,08, 
temos: 
P[0 < Z < (x-10)/4]  0,008  P[0 < Z < 0,02], então: (x-10)/4  0,02  x  10,08 
 
6.5 DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL 
 
A variável aleatória , que e a distancia entre contagens sucessivas de um processo de 
Poisson, com media β > 0, tem uma distribuição exponencial com parâmetro β. A função densidade 
de probabilidade de X é: 
f(X) = 1/ β е –x/β , para 0 ≤ x ≤ ∞ 
 
 
73 
 
 
 
 
 f(xi)
 
 
 1/ β 
 
 
 
 
Gráfico da função de probabilidade para uma variável aleatória exponencial. 
 
 A distribuição Exponencial tem esse nome por causa da função exponencial na função 
densidade de probabilidade. Para qualquer valor de β , a distribuição exponencial e bem distorcida. 
 
 Esperança e Variância 
 
 Se a variável aleatória X tiver uma distribuição exponencial, com parâmetro β, então 
 
E(X) = β e V(X) = β 2 
 
 
6.6 DISTRIBUIÇÃO GAMA 
 
Uma extensão da distribuição exponencial e dada pela distribuição gama com parâmetros α, 
β, α > 0 e β > 0. Sua função densidade de probabilidade e dada por: 
 
f(X) = 1/[┌(α) β
 α ] xα – 1 e – x/ β para x > 0 
 
aqui ┌(α) é a função dada por: 
∞ 
┌(α) = ∫0 e – x x α – 1 dx , α > 0 
 
Propriedades: 
 
i)┌( α + 1) = α┌(α) 
ii) α = n , e natural 
┌( α + 1) = n! 
 
 Esperança e Variância 
 
Se X for uma variável aleatória gama, com parâmetros α, β, α > 0 e β > 0, então a media e a 
variância de X serão 
 
E(X) = αβ e V(X) = αβ2 
 
74 
 
 
 
 
6.7 DISTRIBUIÇÃO BETA 
 
Chamaremos densidade de probabilidade beta de parâmetro α, β, α > 0 e β > 0 a função 
definida por: 
 
 f(X) = 1/ [B(α,β)] xα – 1 (1 – x) β - 1 para 0 ≤ x ≤ 1 
 1 
em que: 
B(α,β) = ∫0 xα – 1 (1 – x) β - 1 dx, onde, α > 0 e β > 0 
 
Propriedades: 
 
i)B(α,β) = B(β,α) 
ii) B(α,β) = ┌(α)┌(β) / ┌(α + β ) 
 
 Esperança e Variância 
 
Se X for uma variável aleatória gama, com parâmetros α, β, α > 0 e β > 0, então a media e a 
variância de X serão 
 
E(X) = α /( α + β) e V(X) = αβ/( α + β + 1)(α + β)2 
 
6.8 DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL 
 
Uma distribuição que tem muitas aplicações em teoria da confiabilidade e a distribuição de 
Weibull.E frequentemente usada para modelar o tempo ate uma falha de muitos sistemas físicos 
diferentes. Os parâmetros na distribuição fornecem uma grande flexibilidade para modelar sistemas 
em que o número de falhas aumenta com o tempo, diminui com o tempo ou permanece constante. 
A variável aleatória X com função densidade de probabilidade 
 f(X) = β/ δ (x/ δ) β – 1 e – ( x/ δ) ,para x > 0 
 
onde β e uma constante positiva. 
 
Propriedades: 
 
i)Quando β = 1, a distribuição de Weibull e idêntica a distribuição exponencial. 
 
 Esperança e Variância 
 
Se X for uma variável aleatória Weibull, com parâmetros β, β > 0, então a media e a 
variância de X serão 
 
E(X) = δ┌(1 + 1/β) e V(X) = δ
2┌(1 + 2/β) - δ
2 [┌(1 + 1/β)]
2 
 
 
 
75 
 
 
 
Exercício 
 
1) Seja X a v.a. representando o peso dos alunos de uma sala de aula, tal que XN(60Kg , 
100Kg2). 
 
a. Qual a probabilidade de que o peso do aluno esteja compreendido entre 50 e 85 Kg ? 
b. Qual a probabilidade de que o peso do aluno seja, pelo menos igual, a 70 Kg ? 
c. 97,5% dos alunos pesam, no máximo, quanto ? 
d. Sabe-se que 15% dos alunos apresentam peso inferior a X1. Determine-o. 
 
 
2) Na última avaliação de estatítica a média foi 74, com desvio padrão 8. Calcule: 
 
a. O percentual de alunos que obetiveram nota acima de 80. 
b. O maior grau dos 10% piores alunos. 
c. O menor grau dos 15% melhores alunos. 
 
3) Uma peça é aceita no controle de qualidade com dimensões entre 299 e 301 mm. Verificou-se 
que 10% das peças são rejeitadas como grandes e 20% são rejeitadas como pequenas. Calcular a 
porcentagem de rejeição, no caso da especificação ser ampliada para 298,5 e 301,5 mm. 
 
4) Suponhamos que na embalagem de um produto conste um determinado peso teorico  , 
correspondente ao peso do conteudo, e que este peso varia, distribuindo-se segundo uma variável 
aleatória N( ,2). Sabendo-se que 80% do conteúdo pesa entre  10, e 40% mais que 600g , 
determine a média e a variância. 
 
5) Suponha que X tenha uma distribuição exponencial com λ = 2. Determine o seguinte 
a. P(X < 0) 
b. P(X >2) 
c. P(X <1) 
d. P(1 < X < 2) 
 
6) O tempo entre a chegada de mensagens eletrônicas em seu computador e distribuído 
exponencialmente, com uma media de duas horas. 
a) Qual a probabilidade de você não receber uma mensagem durante o período de duas horas? 
b) Qual o tempo esperado entre sua quinta e sexta mensagem? 
 
7) Mostre que ┌( α + 1) = α┌(α) 
 
8) Use as propriedades da função gama para avaliar o seguinte: 
a. ┌(6) 
b. ┌(5/2) 
c. ┌(1/2) 
 
9) Chamadas para sistema telefônico seguem uma distribuição de Poisson com uma media de cinco 
chamadas por minuto. 
 
76 
 
a. Qual e o nome aplicado a distribuição e quais são os valores dos parâmetros do tempo ate a 
décima chamada? 
b. Qual e o tempo médio ate a décima chamada? 
c. Qual e o tempo médio entrem a nona e a décima chamada? 
 
10) Suponha que X tenha uma distribuição de Weibull com β = 0.2 e δ = 100 horas. Determine a 
media e a variância de X 
 
11) A vida de uma bomba recirculante segue uma de Weibull com parâmetro β = 1 e δ = 700 horas. 
a. Determine a vida media de uma bomba. 
b. Determine a variância da vida da bomba. 
c. Qual a probabilidade de uma bomba durar mais do que sua vida media? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
77 
 
 
 
7. AMOSTRAGEM E ESTIMAÇÃO 
 
 
 
 
 
7.1 INTRODUÇÃO 
 
A estatística divide-se em dois ramos: 
 
I - Estatística Descritiva ou Dedutiva: trata da apuração, apresentação, análise e interpretação dos 
dados observados (descreve as amostras ou a população); 
 
II - Estatística Indutiva ou Inferência Estatística: método que parte do particular para o geral, ou 
seja, o processo pelo qual são feitas generalizações para a população, à partir da amostra. 
 
 
parâmetros µ 
desconhecidos σ2 
(reais) p 
 
 
Já vimos como resumir descritivamente um conjunto de dados e como construir modelos 
probabilísticos para descrever alguns fenômenos. Nesta parte, iremos ver como reunir os dois 
tópicos para estudar esse ramo muito importante da Estatística conhecido como Inferência 
Estatística. 
O uso de informações da amostra para concluir sobre o todo faz parte da atividade diária de 
maioria das pessoas. Basta observar como um cozinheiro verifica se o prato que ele está preparando 
tem ounão a quantidade adequada de sal. Uma pessoa, após experimentar um novo produto em um 
supermercado, decide se o compra ou não. Ou ainda, quando passamos os olhos sobre um novo 
livro ou revista, ou vemos um programa de TV por uns poucos minutos para decidir se mudamos ou 
não de canal. Essas são decisões baseadas em procedimentos amostrais. 
Nosso objetivo agora é procurar a conceituação formal desses princípios intuitivos do dia-a-
dia para que possam ser utilizados em situações mais complexas. 
 
7.2 POPULAÇÃO E AMOSTRA 
 
Já temos conhecimento de alguns modelos probabilísticos que procuram medir a 
variabilidade de fenômenos casuais com suas ocorrências: as distribuições de probabilidades de 
variáveis aleatórias (qualitativas ou quantitativas). Na prática, raramente o pesquisador sabe qual 
distribuição representa a sua variável em estudo. 
Por exemplo, parece razoável supor que a distribuição das alturas dos brasileiros adultos 
possa ser representada por um modelo normal. Mas esta afirmação não é suficiente para determinar 
qual a distribuição normal correspondente; precisaríamos conhecer os parâmetros (média e 
variância) desta normal para que ela ficasse muito bem caracterizada. O propósito do pesquizador 
seria, então, descobrir os parâmetros da distribuição para posterior utilização. 
Se pudéssemos medir as alturas de todos os brasileiros adultos, teríamos meios de obter a 
sua distribuição exata, e, daí, produzir os correspondentes parâmetros. 
x
s
f
2 
 
( estimadores) 
 
78 
 
Contudo, raramente se consegue obter a distribuição exata de alguma variável, ou porque 
isto é muito dispendioso, ou muito demorado ou, às vezes, porque consiste num processo 
destrutivo. Por exemplo, se estivéssemos observando a durabilidade de lâmpadas e testássemos 
todas até queimarem, não restaria nenhuma para ser vendida. Assim, a solução é selecionar parte 
dos elementos (amostra), analisá-la e inferir propriedades para o todo (população). Este é, pois, o 
objetivo da Inferência Estatística. Assim, dois conceitos, já vistos, são necessários para o 
desenvolvimento da Inferência Estatística: população e amostra. 
 
* População: é o conjunto de todos os indivíduos ( ou objetos ) do estudo, tendo pelo menos uma 
variável comum observável. 
* Amostra: é qualquer subconjunto da população. 
 
Os elementos que compõem uma população podem ser: indivíduos, produtos 
manufaturados, notas de alunos, preços de produtos, salários, animais, plantas ou qualquer coisa 
que possa ser mensurada, contada ou ordenada segundo postos. 
As populações limitadas em tamanho dizem-se finitas enquanto que as não limitadas em 
tamanho chamam-se infinitas. Os alunos de uma sala de aula, os livros de uma biblioteca, as peças 
produzidas por uma máquina em um certo dia, tudo isto são exemplos de populações finitas. As 
populações infinitas consistem tipicamente em um processo que gera itens como as jogadas 
sucessivas de uma moeda, a produção futura de uma máquina ou os nascimentos de uma espécie 
animal. 
 
Vejamos outros exemplos para caracterizar melhor essas definições: 
 
Exemplo 1: Consideremos uma pesquisa para estudar os salários de 500 funcionários de uma 
grande empresa. Seleciona-se uma amostra de 36 indivíduos, e anota-se os seus salários. A variável 
observada é, então, o salário. A população é formada pelos 500 funcionários da empresa. A amostra 
é constituída pelos 36 indivíduos selecionados. Na realidade, estamos interessados nos salários; 
portanto, para sermos mais precisos, devemos considerar como população os 500 salários 
correspondentes aos 500 funcionários. Consequentemente, a amostra será formada pelos 36 salários 
dos indivíduos selecionados. Podemos estudar a distribuição dos salários na amostra, e esperamos 
que a mesma reflita a distribuição de todos os salários, desde, é claro, que amostra seja colhida 
com cuidado. 
 
Exemplo 2: Queremos estudar a proporção de indivíduos na cidade A que são favoráveis a um 
certo projeto governamental. Uma amostra de 200 pessoas é sorteada, e a opinião de cada uma é 
registrada. Então, a variável de intersse é a resposta: “a favor” ou “contra” o projeto. A população 
consiste em todos os moradores da cidade, e a amostra é formada pelas 200 pessoas selecionadas. 
Podemos, então, associar a cada morador da cidade o valor 1(um), se sua resposta for favorável ao 
projeto, e 0(zero), se for contra. Assim, nossa população será reduzida à distribuição da variável, 
assumindo o valor 0 ou 1. E a amostra será uma sequência de 200 números zeros ou uns. 
 
Exemplo 3: Em alguns casos, fazemos suposições mais precisas sobre a população (variável). 
Digamos que X represente o peso real de pacotes de café, enchidos automáticamente por uma 
máquina, em uma certa indústria. Sabe-se que X tem distribuição normal. Sorteamos 100 pacotes e 
tomamos seus pesos. A variável de interesse é X, peso de cada pacote. A população será o 
conjunto de todos os pacotes enchidos ou que virão a ser enchidos pela máquina, e que obedece a 
um modelo normal. E, finalmente, a amostra será formada pelas 100 medidas obtidas dos pacotes 
selecionados. 
 
 
 
79 
 
7.3 PROBLEMAS DE INFERÊNCIA 
 
Como já dissemos, o objetivo da Inferência Estatística é produzir afirmações sobre uma 
dada característica da população, na qual estamos interessados, a partir de informações colhidas de 
uma parte dessa população (amostra). Esta característica pode ser representada por uma variável 
aleatória. Se tivéssemos a informação completa sobre a função de probabilidade, no caso discreto, 
ou sobre a função densidade de probabilidade, no caso contínuo, da variável em questão, não 
teríamos necessidade de colher uma amostra. Toda afirmação desejada seria obtida através da 
distribuição da variável, usando-se as propriedades estudadas anteriormente. Mas isso raramente 
acontece. Ou não temos qualquer informação a respeito da variável, ou ela é apenas parcial. 
Podemos admitir, como no exemplo das alturas dos brasileiros adultos, que ela siga uma 
distribuição normal, mas desconhecemos os parâmetros que a caracterizam (média e variância). Em 
outros casos, podemos ter uma idéia da média e da variância, mas, desconhecemos a forma da 
curva. Ou ainda, o que é muito frequente, não possuímos informações nem sobre os parâmetros, 
nem sobre a forma da curva. Então, o uso de uma amostra nos ajudaria a formar uma opinião sobre 
o comportamento da variável (população). 
Às vezes, o modelo teórico associado ao problema não é tão evidente , como no exemplo da 
máquina de encher pacotes de café automaticamente. Digamos que ela esteja regulada para enchê-
los segundo uma normal com média de 500 gramas e desvio padrão de 10 gramas, isto é, X ~ N 
(500, 100). Sabemos também que, às vezes, a máquina se desregula e, quando isso acontece, o 
único parâmetro que se altera é a média, permanecendo a variância a mesma (100 gramas ). Para 
manter a produção sob controle, iremos colher uma amostra de 100 pacotes e pesá-los. Como essa 
amostra nos ajudará a tomar uma decisão? Parece razoável, neste caso, usarmos a média x da 
amostra como a informação pertinente para uma decisão. Mesmo que a máquina esteja desregulada, 
dificilmente x será igual a 500g, uma vez que os pacotes têm uma certa variabilidade no peso. 
Mas se x não se afastar muito de 500g, não existe razões para suspeitarmos da qualidade da sua 
produção. Só iremos pedir uma regulagem se x - 500, em valor absoluto, for “muito grande”. O 
problema que se apresenta agora é o de decidir o que é próximo ou longe de 500g. Se o mesmo 
procedimento de colher a amostra de 100 pacotes fosse repetido um número muito grande de vezes, 
sob a condição da máquina está regulada, teríamos idéia do comportamento de x , e saberíamos 
dizer se aquele valor observado é ou não evento raro de ocorrer. Caso o seja, é mais fácil suspeitarda regulagem da máquina do que do acaso. Vemos, então, a importância nesse caso, de se 
conhecer as propriedades da distribuição de x (média amostral). 
Repetir um mesmo experimento muitas vezes, sob as mesmas condições, nem sempre é 
possível, mas, em determinadas condições, é possível determinar teoricamente o comportamento de 
algumas medidas feitas na amostra, por exemplo, a média. Mas isso depende em grande parte do 
plano adotado para selecionar a amostra. Assim, em problemas envolvendo amostras, antes de 
tomarmos uma decisão, teríamos que responder a três perguntas : 
 
 (1) Como escolher a amostra? 
 (2) Que informação estatística será retirada da amostra? 
 (3) Como se comporta a estatística quando o mesmo procedimento de escolher a 
 amostra é usado numa população conhecida? 
 
Nas aulas subsequentes, tentaremos responder a essas perguntas e mostraremos como usar 
os resultados. 
 
 
 
7.4 COMO SELECIONAR UMA AMOSTRA 
 
80 
 
 
As observações colhidas numa amostra são tanto mais informativas sobre a população 
quanto mais conhecemos esta mesma população. Por exemplo, a análise da quantidade de glóbulos 
brancos obtida de algumas gotas de sangue da ponta do dedo de um paciente dará uma idéia geral 
da quantidade de glóbulos brancos no corpo todo, pois sabe-se que a distribuição de glóbulos 
brancos é mais ou menos homogênea, e de qualquer lugar que se tivesse retirado a amostra ela seria 
“representativa”. Mas, nem sempre a escolha de uma amostra representativa é imediata. Por 
exemplo, voltando ao exemplo 3, onde queríamos obter uma amostra de habitantes para saber sobre 
um projeto governamental, se escolhermos inicialmente uma amostra de 200 indivíduos moradores 
de uma certa região que será beneficiado pelo projeto, saberemos de antemão que o resultado 
conterá um “viés de seleção”. Isto é, na amostra, a proporção de pessoas favoráveis ao projeto deve 
ser maior do que no todo. 
A maneira de se obter a amostra é tão importante, e existem tantos modos de fazê-lo, que 
estes procedimentos contituem uma especialidade dentro da Estatística, conhecida como 
Amostragem. Um censo envolve um exame de todos os elementos de um dado grupo, ao passo que 
a amostragem envolve o estudo de apenas uma parte dos elementos. A finalidade da amostragem 
é fazer generalizações sobre a população, sem precisar examinar cada um de seus elementos, 
apenas examinando uma amostra. Amostragem é, pois, o processo através do qual, pelo estudo da 
amostra, são estudadas as características da população. 
 
 
População  Amostra  Funções Amostrais  
Distribuição das funções 
amostrais 
 
 n observações x S f etc, , , ..2 
 
 
 
 
Os problemas de amostragem podem ser mais ou menos complexos e sutis, dependendo das 
populações e das variáveis que se desejam estudar. Se, por um lado, os problemas de amostragem 
para um controle de qualidade de produtos industriais são de fácil resolução, por outro lado, em 
pesquisas econômicas, sociais ou de opinião, a complexidade desses problemas é normalmente 
grande. De uma forma geral, o problema de amostragem exige muito bom censo e experiência e é 
sempre conveniente que o trabalho do estatístico seja complementado pelo de um especialista do 
assunto em estudo. 
 
7.5 AMOSTRAGEM DE UMA POPULAÇÃO FINITA 
 
A questão da reposição do item examinado na população antes de se proceder à observação 
seguinte, surge em relação às populações finitas, porque a probabilidade de incluir numa amostra 
itens de uma população, depende de estarmos fazendo amostragem com ou sem reposição. 
Embora possa não parecer óbvio, a extração de toda uma amostra de uma só vez, equivale à 
amostragem sem reposição. Na amostragem com reposição, é possível extrair o mesmo item mais 
de uma vez, o que não é possível quando se extrai toda a amostra de uma só vez. 
Há várias razões que justificam, na prática, a amostragem sem reposição: 
 
1. Se o tamanho da amostra é pequeno em relação ao da população (até 5% do tamanho da 
população), a não-reposição do item examinado terá efeito desprezível nas probabilidades dos 
itens restantes. 
 
 
81 
 
2. Se o teste tem caráter destrutivo, é impossível repor os itens examinados. 
 
3. Na amostragem industrial, por exemplo, pode ser difícil convencer os inspetores não treinados 
em estatística, a reporem na população os itens examinados, especialmente os defeituosos. 
 
4. Quando se repõe um item examinado na população, há chance de ele ser novamente escolhido 
em uma extração futura. Assim, alguns itens são examinados mais de uma vez. Se o processo de 
amostragem é dispendioso, é conveniente não examinar repetidamente um ou mais itens. 
 
7.5.1 AMOSTRAGEM x CENSO 
 
À primeira vista, pode parecer que a inspeção completa ou total de todos os itens de uma 
população seja mais conveniente do que a inspeção de apenas uma amostra deles. Na prática, o 
contrário é que é quase sempre válido; a amostragem é preferível ao censo. Exploremos esta última 
afirmação, em termos de situações onde a amostragem é mais vantajosa. 
 
1. A população pode ser infinita, e então o censo se tornaria impossível. 
 
2. Uma amostra pode ser mais atualizada do que um censo. Se necessitamos de uma informação 
mais rapidamente, um estudo de toda a população pode consumir demasiado tempo e perder 
utilidade. Exemplos: casos de epidemia, materiais perecíveis. 
 
3. Testes destrutivos: Alguns testes podem apresentar caráter destrutivo, ou seja, os itens 
examinados são destruídos no próprio ato do experimento. Exemplos: lâmpada, palitos de 
fósforos, munição. 
 
4. Fator "custo": O custo de um censo pode ser proibitivo, somente se o custo individual é elevado 
e se existem muitos itens na população. 
 
5. A "precisão" pode sofrer no caso de um censo de uma grande população. A amostragem 
envolve menor número de observações e, consequentemente, menor número de coletores de 
dados. 
 
6. Finalmente, o "tipo de informação" pode depender da utilização de uma amostra ou de um 
censo. Frequentemente, as despesas com coleta de dados sofrem rstrições orçamentárias. Existe 
também a premência do tempo. Se nos decidimos por um censo, os problemas de custo e de 
tempo podem conduzir a uma limitação do censo a apenas uma ou poucas características por 
item. Uma amostra, com o mesmo custo e o mesmo tempo, poderia proporcionar resultados 
mais aprofundados sobre um maior número de itens. 
 
Não obstante, há certas situações em que é mais vantajoso examinar todos os itens de uma 
população, ou seja, fazer um censo. Entre essas situações, temos: 
 
1. A população pode ser tão pequena que o custo e o tempo de um censo sejam pouco maiores que 
para uma amostra. Exemplo: uma sala de aula com 20 alunos. 
 
2. Se o tamanho da amostra é grande em relação ao da população, o esforço adicional requerido 
por um censo pode ser pequeno. Por exemplo: se há grande variabilidade entre os itens de uma 
população, uma amostra deverá ser bastante grande para ser representativa. Se a população não 
é muito maior do que a amostra, o censo eliminará a variabilidade amostral. 
 
 
82 
 
3. Se se exige "precisão" completa, então o censo é o único método aceitável. Em face da 
variabilidade amostral, nunca podemos ter certeza de quais sejam os verdadeiros valores 
(parâmetros) da população. Um censo nos dará essa informação, embora erros na coleta dos 
dados e outros tipos de tendenciosidade possam afetar a precisão do resultado. Exemplo: um 
banco não faria amostragem de seus guichês para saber quanto dinheiro há em todos eles; 
procederia a uma contagem geral (censo). É claro que isso não evita erros aritméticos na soma 
das quantias, mas evita problemas de decisão sobre se determinado guichê é representativo de 
todos.7.5.2 TIPOS DE AMOSTRAGEM 
 
Fundamentalmente, existem dois tipos de amostragem: a probabilística e a não-
probabilística. O primeiro grupo reúne todas aquelas técnicas que usam mecanismos aleatórios de 
seleção dos elementos da amostra, atribuindo a cada um deles uma probabilidade, conhecida a 
priori, de pertencer à amostra. No segundo grupo estão os demais procedimentos, tais como: 
amostras intencionais, onde os elementos são selecionados com o auxílio de especialistas, e 
amostras de voluntários, como ocorre com alguns testes sobre novos remédios. 
Ambos os procedimentos têm suas vantagens e desvantagens. A grande vantagem da 
amostragem probabilística é medir a precisão da amostra obtida, baseando-se no resultado contido 
na própria amostra, o que já não seria possível no segundo grupo. Então, só a amostragem 
probabilística permite calcular o erro amostral. A probabilidade e a amostragem estão 
estreitamente relacionadas e, juntas, formam o fundamento da teoria da Inferência Estatística. 
 Então, cuidados especiais devem ser tomados na seleção da amostra, no intuito de se ter 
uma boa representatividade da população a ser analisada, pois caso contrário o processo de 
inferência ficará todo comprometido. Obter uma boa representatividade significa que, a menos de 
certas pequenas discrepâncias (próprias à aleatoriedade sempre presente), a amostra deve possuir as 
mesmas características básicas da população (no que diz respeito à(s) variável(eis) que se 
deseja(m) pesquisar). 
As técnicas de Inferência Estatística usam a hipótese da amostragem ser probabilística, a 
qual implica na existência de um sorteio (segundo regras bem determinadas); esse sorteio, no 
entanto, nem sempre pode ser realizado como, por exemplo, no caso da população não ser finita ou 
não ser totalmente acessível. Assim sendo, em muitos casos, utilizam-se a amostragem não-
aleatória e nesses casos, o bom senso poderá indicar a possibilidade de se utilizar ou não as técnicas 
de Inferência para esse tipo de amostragem. Portanto, sempre que possível, para obter uma amostra 
que seja representativa da população, deve-se optar pela amostragem probabilística. 
 
 
 
 
7.5.3 AMOSTRAGEM PROBABILÍSTICA 
 
É possível usar combinações de várias técnicas de amostragem probabilística, muito embora 
seja mais comum utilizar as técnicas isentas de misturas e, entre estas, as principais são as citadas a 
seguir: 
 
1. Amostragem aleatória simples ou casual: Dentre os vários métodos para extrair amostras, 
talvez o mais importante seja o da amostragem aleatória simples, pois a maior parte dos 
testes estatísticos se baseia nela. Consiste em enumerar os N elementos de uma população e 
 
83 
 
escolher os n elementos dessa sequência, que irão compor a amostra, através de um 
dispositivo aleatório qualquer, como a TABELA DE NÚMEROS ALEATÓRIOS. 
 
De um modo geral, a amostragem aleatória exige que cada "elemento" da população tenha a 
mesma oportunidade de ser incluído na amostra. Isto pode ser interpretado como segue: 
 
i) Para "populações discretas", uma amostragem aleatória é aquela em que cada elemento da 
população tem probabilidade n / N de pertencer à amostra (esse quociente é denominado 
fração de amostragem) e podem ser extraídas Nn amostras com reposição. Se, no entanto, a 
amostragem for feita sem reposição (que é o caso mais comum), existem CN
n possíveis 
amostras, todas igualmente prováveis. 
 
ii) Para "populações contínuas", uma amostra aleatória é aquela em que a probabilidade de 
incluir na amostra qualquer intervalo de valores é igual à porcentagem da população que 
está naquele intervalo. 
 
 TABELA DE NÚMEROS ALEATÓRIOS 
 
A tabela de números aleatórios é constituída por inúmeros dígitos, gerados por um processo 
equivalente a um sorteio equiprovável. Esses números na tabela podem ser lidos isoladamente ou 
em grupos, em qualquer ordem, em colunas, ou linhas, de cima para baixo ou vice-versa. A opção, 
porém, deve ser feita antes de iniciado o processo. 
 
Exemplo: Seja uma população constituída de N = 700 elementos e dela se quer extrair uma amostra 
casual simples n = 20 elementos. Os elementos da população deverão, então, ser numerados de 001 
a 700 e deve-se tomar os números dessa tabela sempre com três algarismos. Sorteia-se então um 
dígito qualquer da tabela e, a partir dele, pegam-se 20 grupos de 3 algarismos, de forma 
subsequente, os quais indicarão os elementos da amostra. Por exemplo, se a partir do dígito 
sorteado no início, os números observados forem: 
 
118 853 060 981 833 398 299 060 654 ...... 
 
os elementos sorteados para a amostra serão os de ordem 118, 060, 398, 299, 060, 654, etc..., para a 
amostragem feita com reposição, e os de ordem 118, 060, 398, 299, 654, etc., para a amostragem 
feita sem reposição. 
Este tipo de amostragem pode ser criticado, no sentido de ser muito trabalhoso, quer quanto 
a enumeração, quer quanto à pesquisa dos elementos escolhidos, muito embora seja o processo 
mais elementar e preciso. Felizmente, os recursos da informática já nos dão o suporte necessário 
para esse tipo de amostragem. 
 
2. Amostragem Sistemática: A amostragem sistemática é, de fato, muito semelhante à casual 
simples. Representa uma abreviação do processo anterior. É normalmente usada quando os 
elementos da população já se apresentam ordenados, não havendo necessidade de construir o 
sistema de referência. São exemplos: nomes de uma lista telefônica, usuários de uma biblioteca, 
casas de uma rua, etc.. 
 A retirada dos elementos da amostra é feita periodicamente. 
Se os itens da lista não se apresentam numa ordem determinada, a amostragem sistemática 
pode dar uma amostra realmente aleatória, escolhendo-se cada k-ésimo item da lista, onde k se 
obtém dividindo-se o tamanho da população pelo tamanho da amostra, isto é, k = N / n. Assim, se 
N = 200 e n = 10, então k = (200 / 10) = 20. Significa que será escolhido um item em cada 
sequência de 20. Escolhemos, então, por um processo qualquer de sorteio, um número de 01 a 20, o 
 
84 
 
qual indicaria o primeiro elemento sorteado para a amostra; os demais elementos seriam 
periodicamente considerados de 20 em 20. 
 
Exemplo: Num processo contínuo de produção, poder-se-ia, a cada k = 20 peças 
(k : no sistemático) produzidas, retirar uma peça para pertencer a uma amostra da população diária. 
Assim, se o primeiro número sorteado fosse 5, por exemplo, escolheríamos a 5a peça produzida, a 
25a, a 45a, a 65a, etc.. 
 
Este processo é mais vantajoso que o anterior, no aspecto de que há uma facilidade relativamente 
maior na determinação dos elementos da amostra. No entanto, se a variável que se quer analisar 
tiver variações cíclicas e o período dos ciclos coincidir com o período de retirada dos elementos da 
amostra, este processo introduz um vício de amostragem, sendo pois restritivo seu uso. 
 
3. Amostragem Proporcional Estratificada: É usada quando a população é constituída de sub-
populações (ou estratos), nas quais o comportamento da variável em estudo é razoavelmente 
homogêneo dentro de cada estrato. 
 
Neste caso, se o sorteio fosse feito ao acaso, poderia ocorrer de vários estratos não serem 
representados na amostra e essa tendência seria tanto maior quanto menor fosse o tamanho da 
amostra. 
 
O processo consiste, então, em especificar quantos elementos serão retirados de cada estrato, para 
formar a amostra. 
 
 
Exemplo: Consideremos uma população com 60 empresas, das quais 32 são públicas e 28 privadas. 
Vamos obter uma amostra proporcional estratificada, correspondendo a 10% da população. Temos, 
então, 2 estratos (pública e privadas) : 
 
TIPO POPULAÇÃO AMOSTRAS (10%) 
Pública 32 3,2  3 
Privada 28 2,8  3 
TOTAL 60 6 
 
Podemosenumerar a população de 01 à 60 de tal forma que : 01,......, 32 seriam públicas e de 33, 
...., 60 seriam privadas. As amostras sorteadas poderiam ser : 28, 22, 18, 57, 56 e 45, onde os três 
primeiros números referem-se às empresas públicas e os demais às empresa privadas. 
 
 
7.5.4 AMOSTRAGEM NÃO-PROBABILÍSTICA: 
 
É um processo de amostragem subjetivo e seu rendimento depende do conhecimento que 
possui o pesquisador a respeito da estrutura das populações e a amostra é uma parcela proporcional 
desta estrutura. Ela é empregada, muitas vezes, por simplicidade ou pela impossibilidade de se 
obter uma amostragem probabilística. Embora o erro de amostragem não possa ser estimado, esse 
tipo de amostragem pode ser usado quando os efeitos de sua utilização poderem ser considerados 
equivalentes aos de uma amostragem probabilística. 
 
Exemplo: Suponha-se que o último recenseamento realizado numa região, tenha mostrado que a 
população tem a seguinte estrutura (sob o ponto de vista profissional): 35% operários, 10% 
 
85 
 
agricultores, 5% profissionais liberais, 15% empregados, 8% funcionários públicos e 27% sem 
profissão definida. Ao se pretender obter uma amostra de 2.000 pessoas, deve-se procurar formá-la 
por 700 operários, 200 agricultores, 100 profissionais liberais, 300 empregados, 160 funcionários 
públicos e 540 sem profissão definida, sendo cada um deles selecionado livremente. 
 
7.6 PLANOS DE AMOSTRAGEM 
 
O plano de amostragem é constituído pelas seguintes fases : 
 
1. Definição dos objetivos: finalidade da pesquisa e grau de precisão. 
a. definição do fato (o que?); 
b. definição dos setores geográficos ou específicos (onde?); 
c. qual o grau de precisão exigida? 
d. tempo disponível; 
e. custo previsto. 
 
2. Determinação dos meios: de acordo com o orçamento e o tempo disponíveis, qual o tipo e qual 
o tamanho? 
a. qual o tipo de amostragem, se aleatória ou não ; 
b. qual a amplitude ou tamanho; 
c. qual o método para o levantamento dos dados : fone, correio, mala direta, etc.; 
d. como os interessados serão questionados? 
 
LEMA : "MÁXIMO DE INFORMAÇÕES COM UM MÍNIMO DE ERROS E DESPESAS". 
 
3. Preparação do plano: 
 
a. Elaboração do questionário (completo - concreto - secreto - discreto) 
 i) - definir as informações que procuram; 
 ii) - traduzir em questões a informação procurada; 
 iii) - distribuir as mesmas no questionário. 
 iv) - experimentar o questionário; 
 v) - coletar, criticar e apurar os dados; 
 vi) - apresentar os dados. 
b. Características das questões 
 i) - despertar o interesse; 
 ii) - ser explícito; 
 iii) - ser facilmente compreensível; 
 iv) - suscitar respostas não tendenciosas. 
c. Experimentação do questionário : verificar se as respostas estão sendo respondidas 
 com exatidão (pré-testes ou pesquisa piloto); 
d. Execução, coleta, crítica, apuração e apresentação dos dados. 
 
4. Análise dos resultados : 
 - a estimação dos parâmetros (estatísticos); 
 - a verificação dos parâmetros (estatísticos); 
 
5. Relatório final 
 
a. Claro, indicando todos os detalhes (forma, lugar, tamanho, técnicas utilizadas, dificuldades e 
limitações); 
 
86 
 
b. Honesto, isto é, sem idéias pré-concebidas, aceitando o resultado, seja ele positivo ou 
negativo. 
8. DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS 
 
 
 
 
8.1 INTRODUÇÃO 
 
A finalidade da amostragem é obter uma indicação do valor de um ou mais parâmetros de 
uma população, tais como a média, o desvio padrão populacional ou, a proporção de itens que 
possuem determinada característica. As estatísticas amostrais que correspondem a esses parâmetros 
populacionais são usados para aproximar os valores desconhecidos daqueles parâmetros. Assim é 
que a média amostral é usada para estimar a média da população, o desvio padrão amostral é 
usado para estimar o desvio padrão populacional e a proporção amostral serve para estimar a 
proporção da população. 
Uma das realidades da amostragem aleatória é que, quando se extraem repetidas amostras 
da mesma população, há uma tendência de a estatística amostral variar de uma amostra para outra, 
simplesmente em razão de fatores casuais relacionados com a amostragem. Essa tendência é 
conhecida como variabilidade amostral. 
A questão a responder para cada amostra é: Quão próxima está a estatística amostral do 
verdadeiro parâmetro populacional? A resposta depende de três fatores: 
 
1) Da estatística que está sendo considerada; 
2) Do tamanho da amostra; 
3) Da variabilidade existente na própria população submetida a amostragem. 
 
Distribuição amostral é uma distribuição de probabilidades que indica até 
que ponto uma estatística amostral tende a variar devido a variações casuais 
na amostragem aleatória. 
 
 
8.2 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA 
 
Inicialmente, é dificil assimilar o conceito de distribuição amostral. Examinemos por isso 
uma distribuição amostral simples. Uma empresa deseja estimar o salário médio dos seus 
profissionais. Para simplificar, limitemos a população em três profissionais. Suponhamos que os 
seus salários sejam conhecidos 6, 9 e 12 salários mínimos (embora esse não os conheçamos). A 
empresa resolve tomar uma amostra de tamanho 2 e usar a média amostral para estimar a média 
populacional. Determine: 
 
a. Qual a média e a variância populacional dos salários desses profissionais? 
b. Todas as amostras possíveis de tamanho 2, com reposição. 
c. Qual a distribuição amostral desta situação? 
d. Qual o valor esperado da média amostral (a média das médias)? 
e. Qual a relação existente entre 
x
 e 
x
 ? 
f. Qual a variância da média amostral? 
 
87 
 
g. Qual a relação existente entre 
x
2
 e x
2
 ? 
 
Respostas : 
 
a. Média salarial da população : 
x
 = 6 9 12
3
27
3
9
 
  
 
x
 = 9 salários mínimos. 
x
2
  variância populacional dos salários . 
x
2
  i
iX
N


1
3
2
 ( )
 = 
9 0 9
3
18
3
6
 
  (salários mínimos)2 
Resumindo : 
x
 = 9 e x
2
  6 
 
b. Amostras possíveis de tamanho 2 com reposição : 
 
 (6,6), (6,9), (6,12), (9,9), (9,6), (9,12), (12,12), (12,6), (12,9) 
 
c. Seja X a v.a. definida como a média amostral. Então, X assume os seguintes valores: 6,0; 
7,5; 9,0; 9,0; 7,5; 10,5; 12,0; 9,0; 10,5. Construindo-se a distribuição de probabilidade da 
média amostral, tem-se : 
 
 X 6,0 7,5 9,0 10,5 12,0 
 
 P( X) 1/9 2/9 3/9 2/9 1/9 
 
 
d. Valor esperado    E X X P Xx
i
 


1
5
 = 
 6x 
1
9
7 5
2
9
9
3
9
10 5
2
9
12
1
9
81
9
9     , ,x x x x salários mínimos. 
 
e.  x  9 e  x  9 
 
logo, 
 
 x x
 
 
f. 
 x
i
xx P x x x x
x x s m
2
1
5
2 2 2 2
2 2 2
6 9 7 5 9
2
9
9 9 9 0
3
9
10 5 9
2
9
12 0 9
1
9
27
9
3
       
     

 ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , , )
( , ) ( , ) ( . .)
 
 
g. x
2 6 e 
x
2 3 logo, 

x
x
n
2
2
 onde, n é o tamanho da amostra. 
 
 
88 
 
Concluindo: 
Uma distribuição amostral de médias é uma distribuição de probabilidade que indica quão 
prováveis são as diversas médias amostrais. A distribuição é função da média e do desvio padrão 
da população e do tamanho da amostra. Para cada combinação de média, desvio padrão e 
tamanho da amostra, haverá uma única distribuição amostral de médias amostrais. As fórmulasefetuamente usadas para cálculos envolvendo distribuições amostrais das médias são : 
 
1. 
x x
  onde: 
x
  média da distribuição amostral. 
 
x
  média da população. 
 
2. 



x
x
x
x
n n
2
2
   onde : 
x
 desvio padrão da distribuição amostral. 
 x  desvio padrão da população. 
 
 n = tamanho da amostra. 
 
A fórmula do desvio padrão nos diz, que a quantidade de dispersão na distribuição amostral 
depende de duas coisas : 
 
1. Da dispersão da população. 
2. Da raiz quadrada do tamanho da amostra. 
 
8.3 O TEOREMA CENTRAL DO LIMITE 
 
A capacidade de usar amostras para fazer inferências sobre parâmetros populacionais 
depende do conhecimento da distribuição amostral. Acabamos de ver como se determinam a média 
e o desvio padrão, mas precisamos ainda de outra informação: a forma da distribuição amostral. No 
caso das médias amostrais, pode-se demonstrar matematicamente que, se uma população tem 
distribuição normal, a distribuição das médias amostrais extraídas da população também tem 
distribuição normal, para qualquer tamanho da amostra. Além disso, mesmo no caso de uma 
distribuição não normal, a distribuição das médias amostrais será aproximadamente normal, desde 
que a amostra seja grande, n  30. Estes resultados são conhecidos como o Teorema Central do 
Limite e representam talvez o conceito mais importante da Inferência Estatística. 
 
 
O Teorema do Central do Limite 
 
1. Se a população sob amostragem tem distribuição normal, a distribuição das 
médias amostrais também será normal para todos os tamanhos de amostra 
( ~ ( ; ) ~ ( ; )X N X N
n
  
2
2
 . 
 
2. Se a população é não normal, a distribuição de médias amostrais será 
aproximadamente normal para grandes amostras ( , ~ ( ; )n X N
n
 30
2


. 
 
 
Uma extensão desse resultado é que, tanto no caso 1 quanto no caso 2, 
 
 
89 
 
Z
X
n
N
 

~ ( , )0 1 
 
Obs. : Quanto maior o tamanho da amostra, menor será a variância de X. 
 
Exemplos: 
 
1) Suponha uma população normal com os elementos {1, 3, 5, 7}. defina a variável X = valor 
assumido pelo elemento na população. Considere agora todas as amostras possíveis de tamanho 2 
com reposição. 
a. Construa a distribuição de probabilidade da média amostral X
X X

1 2
2
; 
b. Calcule E X V X( ), ( ) e P(X < 5) ; 
c. Verifique se E X E X( ) ( ) e V(X) =
V(X)
2
. 
 
2) Os diâmetros de cabos feitos por um certo processo de manufatura são conhecidos ser 
normalmente distribuídos com média 2,5 cm e desvio padrão 0,009 cm. Qual é a distribuição da 
média amostral destes nove diâmetros selecionados aleatoriamente? Calcule a proporção de tais 
médias que excedem 2,505 cm. 
 
Solução: A distribuição amostral X também tem distribuição normal com a mesma média 2,5 cm e 
com desvio padrão igual a 0 009
9
, = 0,003 cm. 
Para calcular a P X( ) , ) 2 505 devemos padronizar como a seguir : 
 
P
X
P Z







   
2 5
0 003
2 505 2 5
0 003
1 66 0 048
,
,
, ,
,
( , ) , 
 
 
 
8.4 DISTRIBUIÇÕES DE PROPORÇÕES AMOSTRAIS 
 
Já vimos que a capacidade de usar amostras para fazer inferências sobre parâmetros 
populacionais depende do conhecimento da distribuição amostral. Assim como a média amostral é 
usada para estimar a média da população, a proporção amostral serve para estimar a proporção na 
população. Quando a amostragem é aleatória, há uma elevada probabilidade de que a estatística 
amostral se aproxime do parâmetro populacional. Assim, populações com pequenas porcentagens 
de determinado item tendem a gerar amostras com pequenas porcentagens do item e populações 
com elevadas porcentagens gerarão tipicamente amostras com grandes porcentagens. Nota-se, 
todavia, que sempre há certo grau de variação; as estatísticas amostrais não são necessariamente 
iguais ao parâmetro populacional. 
 
Uma distribuição de proporções amostrais indica quão provável é determinado conjunto de 
proporções amostrais, dados o tamanho da amostra (n) e a proporção populacional (p). 
 
Quando o tamanho da amostra é menor do que 20, as probabilidades dos diversos resultados 
possíveis podem ser lidos diretamente numa tabela de probabilidades binomias, simplesmente 
convertendo o número de sucessos em percentagens. Por exemplo, 5 ocorrências em 20 
 
90 
 
observações correspondem a 25%. Porém, para maiores amostras, a aproximação normal da 
binomial dá resultados bastante satisfatórios, possibilitando a utilização do Teorema do Limite 
Central, que no sentido mais restrito, só se aplica a médias amostrais. 
 
Temos, então: 
 X : no sucessos, segue Binomial, com E(X) = np e V(X) = npq. 
 
Para n  20  B  N, ou seja: X  N [np;npq]. 
 
Se f
x
n
i
i ( proporção amostral), então: fi  N p
p q
n
i
i i[ ; ]. 
 
Dai temos: f  N p
pq
n
[ ; ] 
 
A média (proporção ou porcentagem média) da distribuição amostral é sempre igual a proporção 
populacional, isto é : 
 
f = p , 
 
 onde: p = proporção populacional 
 f = média da distribuição amostral das proporções 
 
Quando a população é muito grande ou infinita, o desvio padrão da distribuição amostral se calcula 
pela fórmula: 
f
p p
n

( )1
 
 
Exemplo: Um lojista compra lâmpadas diretamente da fábrica em grandes lotes, que vêm 
embaladas individualmente. Periodicamente, o lojista inspeciona os lotes para determinar a 
proporção de lâmpadas quebradas. Se um grande lote contém 10 % de quebradas, qual a 
probabilidade de o lojista obter uma amostra de 100 lâmpadas com 17 % ou mais de quebradas? 
 
8.5 AMOSTRAGEM DE UMA POPULAÇÃO FINITA 
 
Enquanto o tamanho da amostra for pequeno em relação ao da população, a amostragem 
sem reposição dará entre as amostras essencialmente a mesma variabilidade da amostragem com 
reposição. Entretanto, se o tamanho da amostra representa percentagem apreciável da população (5 
% ou mais), já os resultados dos dois tipos de amostragem começam a diferir, pelo fato de na 
amostragem sem reposição, a probabilidade de extração de ítens variar de uma para outra extração. 
Temos que fazer uma modificação hipergeométrica no desvio padrão, que tem uma fórmula 
simples: 
 
N n
N

1 
 
 
 
91 
 
 O desvio padrão das médias amostrais se torna, então: 

x
x
n
N n
N


1
 
 
 
 
enquanto que o desvio padrão das proporções amostrais fica:  f
p p
n
N n
N

 

( )1
1
 
 
 
onde, N é o tamanho da população e n o tamanho da amostra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
92 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Determine a média e o desvio padrão da distribuição de proporções amostrais, para as seguintes 
proporções populacionais e tamanhos de amostras, respectivamente: 
 
a. 30 %; n = 100; 
b. 77,3 %; n = 362. 
 
2) - Um fabricante produz peças com 10 % de defeitos. Qual a probabilidade de uma a.a. de 100 
peças ter: 
 
a. 15 % ou mais de defeituosos? 
b. No máximo 6 % de defeituosos? 
 
3) O controle de qualidade de uma fábrica de peças foi montado de modo que no máximo 5 % de 
sua produção de peças defeituosas passa no teste. Supondo que este controle seja eficiente, isto 
é, p = 5 % e que as peças são vendidas em caixas de 100, calcule a probabilidade de que em 
uma caixa escolhida aleatoriamente:a. Tenha pelo menos 8 % das peças defeituosas; 
b. Tenha no máximo 3 % das peças defeituosas? 
 
4) Sabe-se que a proporção de eleitores da população favoráveis à eleição para certoprefeito de 
determinada cidade é de 60 %. Qual a probabilidade de numa amostra de 200 eleitores dessa 
cidade, escolhidos ao acaso, pelo menos 130 sejam favoráveis a esse prefeito? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
93 
 
 
 
9. ESTIMAÇÃO 
 
 
 
 
9.1 EXEMPLO DE ESTIMATIVAS 
 
Vamos supor que uma pesquisa esteja sedo efetuada junto às pessoas que moram em certa 
cidade, para se saber a opinião sobre a sentença da juíza Sandra que livrará do júri popular os 5 
jovens que incendiaram e mataram o índio pataxó, Galdino, fato ocorrido recentemente e que 
chocou todo o Brasil e o mundo. Uma amostra aleatória de 500 pessoas é considerada, observando-
se 475 pessoas desfavoráveis à sentença da juíza. Daí, concluímos que 95% das pessoas dessa 
cidade são contra a sentença dessa juíza. Esta é uma estimativa pontual para a proporção 
populacional, e nossa resposta é baseada na suposição de que a amostra é uma perfeita reprodução 
da população. Mas, sabemos também, que uma outra amostra levaria a uma outra estimativa. 
Conhecer as propriedades desses estimadores é um dos propósitos mais importantes da Inferência 
Estatística. 
 
9.2 DEFINIÇÃO DE ESTIMAÇÃO 
 
 A estimação é o processo que consiste em utilizar dados amostrais para estimar os valores 
de parâmetros populacionais desconhecidos. Essencialmente, qualquer característica de uma 
população pode ser estimada a partir de uma amostra aleatória. Entre as mais comuns, estão a 
média e o desvio padrão de uma população e a proporção populacional. 
Existem inúmeras aplicações da estimação, como por exemplo: 
- Estimar a proporção de eleitores favoráveis a determinado candidato; estimar a porcentagem de 
peças defeituosas em um grande lote de peças; estimar a resistência média, peso, duração média de 
um produto; avaliação de inventários; estimação do custo de projetos, etc. 
- As estimativas amostrais (estimadores = características da amostra) são utilizadas como 
estimadores de parâmetros populacionais. Assim, uma média amostral é usada como estimativa de 
uma média populacional; um desvio padrão amostral é usado como estimativa do desvio padrão 
populacional e a proporção de itens em uma amostra, com determinada característica, serve para 
estimar a proporção da população com aquela característica. 
- Tais estimativas chamam-se estimativas pontuais porque originam uma única estimativa do 
parâmetro. Só devem ser usadas quando se necessita, ao menos aproximadamente, conhecer o valor 
do parâmetro para utilizá-lo numa expressão analítica qualquer, pois já sabemos que a amostragem 
aleatória apresenta tendência a gerar amostras em que a estimativa não é igual ao parâmetro 
populacional, ou seja, os estimadores são variáveis aleatórias, muitas vezes contínuas, e as 
estimativas obtidas quase certamente serão distintas do valor do parâmetro (a probabilidade é, em 
geral, praticamente nula), ou seja, provavelmente estar-se-á cometendo um erro de estimação, 
(embora os dois valores em geral, sejam próximos). Aliás, este procedimento não permite julgar 
qual a possível magnitude do erro que estamos cometendo. Desse fato,isto é, em virtude da 
variabilidade amostral, vamos considerar uma estimativa intervalar, ou seja, vamos construir 
um intervalo em torno da estimativa por ponto, de modo que esse intervalo tenha uma 
probabilidade conhecida (que será designada por 1  ) de conter o verdadeiro valor do parâmetro. 
 
94 
 
Essa é a configuração da estimativa por intervalo e o intervalo assim construído é denominado 
intervalo de confiança. 
 
O valor da probabilidade (1  ), que usualmente assume valores 90%, 95%, 99%, etc., é 
denominado nível de confiança e o valor  é chamado nível de significância, isto é,representa o 
erro que se está cometendo quando se afirma que a probabilidade do intervalo [     1 2  ] 
conter o verdadeiro valor do parâmetro populacional  é (1  ). 
Deve-se frisar também que o intervalo de confiança é aleatório (pois é construído a partir de 
uma estimativa por ponto), ao passo que o parâmetro  é suposto uma constante da população. 
Assim, a rigor, é incorreto falar que a probabilidade de  ”cair” no intervalo é (1  ). 
Não nos esqueçamos que a capacidade de estimar parâmetros populacionais por meio de 
dados amostrais está ligada diretamente ao conhecimento da distribuição amostral da estatística 
que está sendo usada como estimador. Podemos encarar a estatística amostral como uma 
observação daquela distribuição amostral. 
 
9.2.1 Exemplos de Estimativas pontuais e intervalares: 
 
Parâmetro 
Populacional 
Estimativa Pontual Estimativa Intervalar 
 
MÉDIA 
 
A expectativa média de vida dos 
moradores de certa região é de 70 anos. 
 
A expectativa média de vida desses 
moradores está entre 68,2 e 71,8 anos. 
 
PROPORÇÃO 
 
A proporção de peças defeituosas em um 
lote é de 5%. 
 
A proporção de peças defeituosas em um 
lote está entre 4% e 6%. 
 
DESVIO PADRÃO 
 
O desvio padrão da duração de vida de 
uma lâmpada é de 200 horas. 
 
O desvio padrão da duração de vida dessa 
lâmpada está entre 190 e 210 horas. 
 
 
 
9.3 INTERVALOS DE CONFIANÇA 
 
Exemplo: Feito um ensaio de corrosão com uma amostra de 64 peças, verificou-se que o tempo 
que a peça suportou nesse teste apresentou uma média x = 200 horas. Sabemos que este é um dos 
valores da distribuição amostral, mas a questão é: qual deles? Isto é, quão próximo está 200 horas 
do verdadeiro tempo médio da população? 
Já vimos que a distribuição das médias amostrais é normal ou aproximadamente normal, em 
muitos casos. Sabemos, então, que cerca de 68% da estatística amostral está a menos de 1 desvio 
padrão de cada lado da média da distribuição amostral (que é igual a média da população) e que 
95% das médias amostrais estão dentro de 1,96 desvios padrão a contar da média. Da mesma 
forma, sabemos que 32% das médias amostrais possíveis estarão além de 1 desvio padrão a contar 
da média (1 - 0,68) e que cerca de 5% das médias amostrais estarão a mais de 1,96 desvios padrões 
além da média. 
Consequentemente, se fizermos a afirmativa que a média de uma amostra está a menos de 
1,96 desvios padrão da verdadeira média, poderemos esperar estar certos 95% das vezes e errados 
5%. Assim, dizer que o tempo médio encontrado está a menos de 1,96 desvios padrões da média 
acarreta um risco de erro de 5%. Na verdade, a média amostral pode estar muito mais próxima da 
verdadeira média do que 1,96; ou muito mais afastada. Como nunca saberemos ao certo, devemos 
contentar-nos com essa "atribuição probabilística" do intervalo em que o verdadeiro valor pode 
estar. Tal intervalo é chamado "intervalo de confiança" e nossa "confiança" é 1 - P(erro). Logo, um 
I.C. de 95% leva consigo um risco de 5% de erro. 
 
95 
 
Generalizando: A estimativa pontual da média populacional  será feita por um valor x . 
Qualquer que seja esta amostra, teremos um erro (e) que sera ( x - µ). E, de acordo com o Teorema 
do Limite Central, teremos: 
 
e = ( x - µ)  N (0, 
x
2 ), com  
x n
2 2 . 
 
Daí, podemos determinar qual a probabilidade de conter erros de determinada magnitude. 
Por exemplo, 
 
 
P( | e | < 1,96 ) = 95 % ou P( | x  | < 1,96 
x
 ) = 95 %, 
 
que é equivalente a: 
 P(    1 96,
x x 
 < x < + 1,96 ) = 95%. 
Esta afirmação probabilística pode ser reescrita do seguinte modo: 
 
P( x x
x x
1 96,   
 
 < < + 1,96 ) = 95%. 
 
convém lembrar, mais uma vez, que  não é variável aleatória mas umparâmetro, e a expressão 
acima deve ser interpretada do seguinte modo: construídos todos os intervalos da forma 
x
x
1 96, 
 
 , 95% deles conterão o parâmetro  . 
 
 
9.4 ESTIMAÇÃO DA MÉDIA DE UMA POPULAÇÃO 
 
A questão de quão próxima determinada média amostral pode estar da média da distribuição 
amostral, em unidades efetivas, depende da variabilidade amostral (desvio padrão da distribuição 
amostral : 
X
). Logo, grandes amostras tenderão a produzir médias amostrais que estão mais 
próximas da média do que pequenas amostras. Além disso, a variabilidade da população (X) é um 
fator: quanto maior a variabilidade na população, maior a variabilidade na distribuição amostral. 
O método usado para estimar a média de uma população () depende se o desvio padrão da 
população é conhecido ou se deve ser estimado com base nos dados amostrais. A estimativa 
intervalar da média populacional se baseia na hipótese de que a distribuição amostral das médias 
amostrais é normal. Para grandes amostras isto não apresenta dificuldade especial, pois se aplica o 
Teorema do Limite Central (T.L.C.). Todavia, para amostras inferiores a 30, é importante saber que 
a população submetida a amostragem tem distribuição normal, ou aproximadamente normal. 
 
 
9.4.1 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA  (quando  é conhecido). 
 
 Seja X  N( , ) 2 . Como sabemos, X (média amostral) tem distribuição normal de média  e 
desvio padrão 

n
, ou seja, X N
n
 ( , )
2
. 
 
 
 
96 
 
 Portanto : Z
X
n

 

 tem distribuição N(0, 1). 
 
 
Então: 
 
P Z Z Z
P Z
X
n
Z
( )
( )
    
 

  
 
 




2 2
2 2
1
1
 
P Z
n
X Z
n
P X Z
n
X Z
n
( )
( )
     
        
 
 








2 2
2 2
1
1
 




  1)(P
22 n
ZX
n
ZX 
 
Logo, o intervalo de confiança para  quando  é conhecido é : 
 
P X Z
n
X Z
n
( )      




2 2
1 
 
 
9.4.1.1 ERRO DE ESTIMATIVA (e) 
 
A estimativa pontual da média populacional , qualquer que seja a amostra considerada, 
apresenta uma erro que será : e = |  X |. O intervalo acima mostrado pode ser escrito como: 
X Z
n
 

2
 ou X  e  e = Z
n


2
 
 
Logo, a fórmula acima nos mostra que o erro cometido na estimativa da média populacional 
depende de 3 fatores: 
 
1) Da quantidade de dispersão existente na população ( ); 
2) Do tamanho da amostra (n); 
3) Da confiança dada ao intervalo (1- ) 
 
9.4.1.2 TAMANHO DA AMOSTRA (n) 
 
Construído o intervalo de confiança para  , conhecido o nível de confiança (o qual deve 
ser fixado em função do “acerto” que se deseja ter na estimação por intervalo), observamos que, na 
medida em que se aumenta esse nível, o intervalo passa a ter amplitude cada vez maior, o que 
implica numa perda de precisão na estimação. 
O desejável seria obter intervalos com alto nível de confiança e pequena amplitude (o que 
corresponderia a uma grande precisão), mas issi requer uma amostra suficientemente grande, pois 
fixado n, confiança e precisão variam em sentidos opostos. Supondo que  é conhecido, fixando  
e o tamanho máximo do erro de estimação (e), podemos determinar o tamanho ideal da amostra 
através de: 
 
 
 
97 
 
 
n = Z
e


2
2






 
 
 
Exemplos: 
 
1) Feito um ensaio de corrosão em 64 peças de um lote de produção, verificou-se que o tempo que 
a peça suportou nesse teste apresentou uma média X =200 horas. Sabe-se, de informações 
anteriores, que  = 16 horas. 
 
a. Estime pontualmente o verdadeiro tempo médio de corrosão; 
 
b. Calcular um intervalo de 95% de confiança para a verdadeira média  , sabendo-se que  = 16 
horas. 
 
c. Qual o tamanho do erro na estimativa acima? 
 
d. Quantas peças deverão ser amostradas para que o erro de estimação seja no máximo de 2,25 
horas? 
 
2) O peso dos pacotes de pectina cítrica produzida por uma companhia apresenta uma distribuição 
normal com  2 = 2,25 kg2 .Uma amostra aleatória de cinco pacotes apresentou os seguintes pesos: 
27,5; 25,6; 28,2; 26,1; 25,0 . 
 
a. Estime pontualmente o peso médio de todos os pacotes desse produto produzido por essa 
empresa; 
 
b. Determinar o intervalo de confiança para o peso médio populacional, ao nível de significância 
 = 1%. 
 
c. Qual o tamanho do erro de estimativa no intervalo acima? 
 
d. Quantas unidades a mais deveriam ser extraídas para que o erro de estimativa fosse reduzido em 
50%? 
 
 
e. Era necessário supor normalidade da população? Por quê? 
 
9.4.2 Intervalo De Confiança Para Média ( desconhecido) 
 
 Neste caso, precisamos calcular a estimativa S (desvio padrão) a partir da amostra. 
Devemos lembrar que: S
X X
n
i
i
n
2
2
1
1




 ( )
 
Sabemos que: X N
n
N ( , ) ( , )
 

2
0 1 e Z =
X -
n
 
Mas como  é desconhecido, definiremos uma outra variável t dada por: 
 
 
98 
 
t
X
S
n

 
 
esta variável t tem distribuição conhecida, chamada distribuição t de STUDENT, no caso com (n -
1) graus de liberdade. O gráfico da função densidade da variável t é SIMÉTRICA e tem a mesma 
forma da NORMAL, porém menos achatada. 
 
1) Para amostras maiores ou iguais a trinta ( n  30 ), a distribuiçao t de Student se aproxima 
da distribuição normal, isto é: t ~Z ; 
 
2) A distribuição t de Student, para a distribuição amostral de médias, pressupõe que a 
população sob amostragem seja normalmente distribuída. 
 
 
 
Então : 
 
P t t t
P t
X
S
n
t
n n
n n
( )
( )
; ;
; ;
    
 

  
 
 
1 2
1
2
1
2
1
2
1
1
 
 


 
P t
S
n
X t
S
n
P X t
S
n
X t
S
n
n n
n n
( )
( )
;     
        
 
 
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
 
 
 
 
 
P X t
S
n
X t
S
n
n n( ); ;      1
2
1
2
1   
Então : 
 
 
 
 
9.4.2.1 Erro de estimativa(e): 
 
e = t
S
n
n1
2
; 
 
9.4.2.2 Tamanho da amostra (n): 
 
Neste caso, como a tabela t enfoca (n-1) g.l. e n nos é desconhecido, admitimos que t ~z . 
Daí, temos: 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
1) O peso de pacotes de café produzidos por uma empresa apresenta-se normalmente distribuído. 
Uma amostra de 25 pacotes apresentou um peso médio de 248 g, com desvio padrão de 8 g. 
 
 
n=  Z
S
e

2
2
 
P X t
S
n
X t
S
n
n n( ); ;      1
2
1
2
1   
 
99 
 
 
a. Estime pontualmente o peso médio dos pacotes de café dessa empresa. 
 
b. Estime um intervalo de confiança para o peso médio de todos os pacotes. Use  =5%. 
 
c. Qual o tamando do erro na estimativa acima? 
 
d. Quantos pacotes deveriam ser amostrados, para que , com uma confiança de 95%, o erro máximo 
admitido seja de apenas 5 g? 
 
2) De 50 mil válvulas fabricadas por uma companhia, retira-se uma amostra aleatória de 400 
válvulas, e obtém-se a vida média de 800 horas e desvio padrão de 100 horas. 
 
a. Qual o intervalo de 99% de confiança para a vida média da população? 
 
b. Com que confiança dir-se-ia que a vida média é 800  0,98? 
 
c. Que tamanho deve ter a amostra para que seja de 95% a confiança na estimativa 800  7,84? 
 
 
 
9.5 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA PROPORÇÃO 
 
 Lembrando que  ( , )p f N p
pq
n
  quando n for grande (n  20), 
 Logo: Z
p p
pq
n

tem distribuição N(0, 1) 
Então: 
 
P Z Z Z
P Z
p p
pq
n
Z
( )
(

)
    
 

  
 
 


2 2
2 2
1
1 
P Z
pq
n
p p Z
pq
n
P p Z
pq
n
p pX Z
pq
n
(  )
(   )
     
        
 
 


2 2
2 2
1
1
 
P p Z
pq
n
p p Z
pq
n
(   )       
2 2
1 
 
P p Z
pq
n
p p Z
pq
n
( 
 

 
)       
2 2
1 
 
 
9.5.1 Erro de estimativa (e) 
 
 
 
n
qp
Ze
ˆˆ
2
  
 
100 
 
 
 
 
 
9.5.2 Tamanho da amostra (n) 
 
)ˆ1(ˆ
2
2/ pp
e
n Z 





  
 
Exemplos: 
 
1) Em recente pesquisa levada a 200 habitantes de uma grande cidade, 40 se mostraram 
favoráveis ao restabelecimento da pena de morte. 
 
a. Construa um I.C. para a proporção de habitantes dessa cidade que são favoráveis à pena de 
morte, ao nível de significância de 1%. 
 
b. Qual deveria ser o tamanho da amostra para que se estivesse confiante que o erro de 
estimativa não excedesse 4%? 
 
c. Com que grau de confiança se poderia dizer que a proporção populacional está entre 0,2  
0,03 ? 
 
2) Antes de uma eleição, um determinado partido está interesado em estimar a proporção de 
eleitores favoráveis ao seu candidato. Uma amostra piloto de tamanho 100 revelou que 60 eram 
favoráveis ao candidato em questão. 
 
a. Determine o tamanho da amostra necessário para que o erro cometido na estimação seja de 
no máximo 0,01 com probabilidade de 90%. 
 
b. Se na amostra final, com tamanho obtido em "a", observou-se que 55% dos eleitores eram 
favoráveis ao candidato em questão, construa um I.C. para a proporção de eleitores 
favoráveis a esse candidato. Use  = 5%. 
 
 
9.6 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DAS DIFERENÇAS 
 
9.6.1 DE DUAS MÉDIAS AMOSTRAIS, CONHECIDOS OS DESVIOS-PADRÃO 
 
Suponhamos que : X1 ~ N(  1 1
2
, ) e X2 ~ N ( 2 2
2, ), onde X1 e X2 são independentes, 
com: 
1X ~ N 

1
1
2
1
, n





 e 2X ~ N 

2
2
2
2
, n





 . 
 
Teremos, pois, que a distribuição amostral das diferenças de médias será normal com: 
 
     E E EX X X X1 2 1 2 1 2      
 
 
101 
 
 
     Var Var Var
nX X X X n1 2 1 2
1
2
1
2
2
2
    
 
 
 
 
Dessa forma, 
 1 2 1 2 2
2
2
X X N n
   








 
 
; 
n
1
2
1
 
 
e daí temos, 
   
Z
n n
X X

  

1 2
1 2
1
2
1
2
2
2
 
 
 N(0,1) 
 
 
Observação: As conclusões do Teorema do Limite Central são válidas aqui também: 
 
1) Se X1 e X2 são normalmente distribuídas   1 2X X ~Normal; 
2) Se X1 e X2 não são normalmente distribuídas  1 2X X é aproximadamente Normal, desde 
que  n n1 2 30  . 
 
9.6.2 DE DUAS PROPORÇÕES AMOSTRAIS 
 
Se: f1 ~ N p
p q
n
1
1 1
1
,





 e f2 ~ N p
p q
n
2
2 2
2
,





 , válidas quando n > 20, então a distribuição 
amostral das diferenças será aproximadamente normal com: 
 
     E f f E f E f p p1 2 1 2 1 2     
 
 
Var     f f Var f Var f
p q
n
p q
n
1 2 1 2
1 1
1
2 2
2
     
 
Dessa forma, 
 f f N p p
q
n
p q
n
1 2 1 2
1
1
2 2
2
   





; 
p1 
 
assim, temos, 
   
Z
f f p p
p q
n
p q
n

  

1 2 1 2
1 1
1
2 2
2
 ~ N(0,1) 
 
 
 
102 
 
 
Exemplos: 
 
1) Os relés fabricados pela empresa A têm duração média de 1.400 h e desvio padrão de 200 h, 
enquanto que os fabricados pela empresa B têm duração média de 1.200 h e desvio padrão de 
100 h. Se forem ensaiadas amostras aleatórias de 125 relés de cada marca, qual a probabilidade 
das de marca A terem vida média superior as de B de pelo menos: 
 
a. 160 h; 
b. 250 h. 
 
2) O fabricante A produz palitos de fósforos com 10% de defeitos, enquanto que o fabricante B 
produz com 5% de defeitos. Se forem testados 100 palitos de fósforos do fabricante A e 121 do 
fabricante B, qual a probabilidade do fabricante A diferir em mais de 6% do fabricante B? 
 
 
 
9.7 INTERVALOS DE CONFIANÇA PARA AS DIFERENÇAS 
 
9.7.1 ENTRE DUAS MÉDIAS ( 1 2e ) DE DUAS POPULAÇÕES NORMAIS, 
CONHECIDAS SUAS VARIÂNCIAS ( 1
2
2
2 e ) 
Se X1 ~ N(  1 1
2
, ) e X2 ~ N ( 2 2
2, ), com X1 e X2 independentes, temos: 
 
 1X ~ N 

1
1
2
1
, n





 e 2X ~ N 

2
2
2
2
, n





 , 
 
Então:  1 2 1 2 2
2
2
X X N n
   








 
 
; 
n
1
2
1
 
 
 
E daí temos, 
   
Z
n n
X X

  

1 2
1 2
1
2
1
2
2
2
 
 
 N(0,1) 
 
Então, o intervalo de confiança será, 
 
        







1 
2
2
2
1
2
1
221
 21 
2
2
2
1
2
1
221 nn
Z
XX
nn
Z
XX
P
 
 
ou ainda, 
 
 
103 
 
  1 2   1 2
2
1
2
1
2
2
2
X X Z n n
   
 
 com  1  % de confiança, 
 
Exemplo: Uma empresa tem 2 filiais ( A e B), para as quais os desvios padrão das vendas diárias 
são de 5 e 3 peças, respectivamente. Uma amostra de 20 dias foeneceu uma venda média diária de 
40 peças para a filial A e 30 peças para a filial B. Supondo que a distribuição diária de vendas seja 
normal, construir um I.C. de 92% para a diferença da venda diária das duas filiais. 
 
9.7.2 Entre duas médias (  1 2e ) de duas populações normais, de mesma variância 
2 desconhecida ( admitindo-se 1
2
2
2 2    ) 
 
Sejam : X1 ~ N(  1
2, ) e X2 ~ N ( 2
2, ), com X1 e X2 independentes. Como: 
1X ~ N 

1
2
1
, n








 e 2X ~ N 

2
2
2
, n








, portanto: 
 
 1 2 1 2
2
1 1
X X N n
   








  ; ( 
n
2
1
) 
 
 
E daí temos, 
   
Z
n n
X X

  
 
1 2
1 2
1 2
1 1
 

 N(0,1) 
 
 
Como não se conhece 2 , deve-se estimá-lo por S’2, dado por: 
 
S’2 = 
   n S n S
n n
1 1
2
2 2
2
1 2
1 1
2
  
 
 
 
   
 t
S
n n
n
X X

  
 
  1 2
1 2
1 2
2
1 1
2
 
 " t" Student com n graus de liberdade1 . 
 
Observação: Se ( n1 + n2 )  30  t ~ z 
 
O intervalo será: 
 
       








1 
2
1
1
1
'
221
 21 
2
1
1
1
'
221 nn
StXXnn
StXXP 
 
 
104 
 
 
Exemplo: Duas populações normais: X1 e X2 têm supostamente a mesma variância.Da população 1 
foi extraída uma amostra de tamanho 10, obtendo-se média 15 e desvio padrão 3. Da população 2 
foi extraída uma amostra de 12 elementos, obtendo-se média 12 e desvio padrão 2. Construir o I.C. 
de 95% para a diferença de médias. 
 
9.7.3 Entre duas médias ( 1 2e ) de duas populações normais, de variâncias 
desconhecidas e 1
2
2
2  
 
 
Sejam : X1 ~ N(  1 1
2
, ) e X2 ~ N ( 2 2
2, ), com X1 e X2 independentes. Então: 
 
 1 2 1 2 2
2
2
X X N n
   








 
 
; 
n
12
1
. 
 
Como não conhecemos  1
2
2
2 e , iremos estimá-las respectivamente por S1
2 e S2
2 , e o intervalo 
será dado por : 
 
 
      α1 
2n
 s
2
2
1n
 s
2
1
2
αZX2X1
 2μ1μ 
2n
 s
2
2
1n
 s
2
1
2
αtX2X1
P 










 
 
 
Observação: A variável “t” de Student tem graus de liberdade (n1 + n2 - 2 ) e para 
 (n1 + n2 ) 30  t ~ z . 
 
Exemplo: Dois métodos de vendas estão sendo aplicados em uma empresa. O método X1 foi 
aplicado durante 6 dias, obtendo-se uma quantidade média de vendas (em unidades) de 81 com 
variância de 2, enquanto que o método X2 foi aplicado durante 9 dias, encontran-se uma quantidade 
média de 78 e variância de 13,5. Construir o I.C. para a diferença de unidades médias populacionais 
vendidas, ao nível de significância de 5%. 
 
 
9.7.4 Entre duas proporções populacionais p1 e p2 
 
Se: f1 ~ N p
p q
n
1
1 1
1
,





 e f2 ~ N p
p q
n
2
2 2
2
,





 , então tem-se: 
 
  f f N p p
q
n
p q
n
1 2 1 2
1
1
2 2
2
   





; 
p1 e 
   
Z
f f p p
p q
n
p q
n

  

1 2 1 2
1 1
1
2 2
2
 ~ N(0,1) 
 
 
 
105 
 
Logo, o intervalo de confiança será: 
 
 
      α1 
2n
2q2p
1n
1q1p
2
αz +f21f 2p1p 
2n
2q2p
1n
1q1p
2
αzf21fP 








 
 
 Como, em geral, os valores de p1 e p2 são desconhecidos, eles podem ser estimados por f1 e f2 , 
respectivamente. Daí, teremos: 
 
 
 
   
   
   
α1 
2n
2f12f
1n
1f11f
2
αz +f21f 2p1p 
2n
2f12f
1n
1f11f
2
αzf21fP 
















 
 
Exemplo: Um levantamento estatístico mostrou que 80 pessoas, das 200 consultadas, numa cidade 
, vão votar no candidato A para a presidência nas próximas eleições; uma outra amostra de 500 
pessoas, dessa mesma cidade, mostrou que 150 delas vão votar no candidato B. Construir um I.C. 
de 99% para a diferença das proporções de pessoas que vão votar em A e B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
106 
 
 
 
10. ESTIMAÇÃO (CONTINUAÇÃO) 
 
 
 
 
 
10.1 ESTIMAÇÃO PONTUAL DA VARIÂNCIA POPULACIONAL 
 
Uma estimativa pontual não viciada da variância populacional 
2
 é dada pela variância 
amostral s
2
. Assim, a estatística s
2
 é chamada um estimador de 
2
, isto é, 
22 sˆ  . 
Então, a estatística 
 
1n
)XX(
s
n
1i
2
i
2





 
 
por usar X em lugar de , tem um grau de liberdade a menos (ou seja, tem (n-1) graus de 
liberdade). Isso porque o cálculo dessa estatística pressupõe que já se tenha calculado X 
anteriormente e para tal já usamos uma vez todos os valores da amostra, os quais estariam sendo 
usados pela segunda vez para calcular s
2
; então, ao usar novamente os valores da amostra para 
calcular s
2
, dados quaisquer (n-1) valores da amostra, o valor restante estará perfeitamente 
determinado, não sendo portanto livre. 
 
10.1.1 Distribuição Amostral de 
2
2s)1n(


 
 
Se uma a.a. de tamanho "n" é retirada de uma população normal com média  e variância 
2, e a variância amostral é calculada, nós obtemos um valor da estatística s
2
. A distribuição amostral 
de s
2 
tem pouca aplicação prática em Estatística, porém isto já não ocorre com: 
 
2
2s)1n(


. 
 
10.1.2 Teorema de FISHER 
 
Se s
2
 é a variância de uma a.a. de tamanho "n" retirada de uma população normal com 
média  e variância 
2,, então a v.a. 
2
)1n(2
2
2 ~
s)1n(




 . Daí temos : 2
)1n(
2
2 .
1n
s




 . 
 
Então s
2
 ~k ( ) . .n g l1
2 , com E[s
2 
] = 
2 e V[s
2 
] = 
2
1
4
n 
 
 
107 
 
 
 
 
10.1.3 A Distribuição QUI-QUADRADO (
2 ) 
 
Define-se uma v.a. 
2
 , com  graus de liberdade, como sendo a soma do quadrado de  
variáveis normais padronizadas e independentes, isto é, 
 
2υ
1i
i
υ
1i
2
i
2
υ
σ
μX
Zχ 






 
 
 
A distribuição 
2
 constitui-se de uma família de curvas, cada qual caracterizada pelos graus 
de liberdade , e ela está tabelada em função do parâmetro . O tipo mais frequente é a tabela 
unicaudal à direita. Para uma dada probabilidade , e para um dado , o corpo da tabela fornece o 
valor de 
2
0
 , tal que  )(P 2
0
2
. 
 Convém salientar que a distribuição 
2
 tem as seguintes diferenças, em relação à normal: 
 
 É sempre positiva; 
 É assimétrica; 
 A tabela fornece o valor do 2, a partir de uma probabilidade  e um certo número de graus 
de liberdade (). 
 
Exemplos: 
 
1) Para uma distribuição 
2
, encontre : 
a. 0 01
2
, , com n = 10 
b. 0 95
2
, , com n = 5 
 
2) Ache a probabilidade de que uma a.a. de 25 observações de uma população normal com 
variância 
2
 = 6 tenha a variância s
2
 : 
a. Maior que 9,1; 
b. Entre 3,462 e 10,745. 
 
10.2 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A VARIÂNCIA POPULACIONAL (2) 
 
Seja X uma população com distribuição normal de média  e variância 2. Sabe-se pelo 
teorema de Fisher que: 
 
2
1)(n2
2
2
1n χ~
σ
1)s(n
χ 

 
 
então, o intervalo será: 
 
 
 
108 
 
α1
χ
1)s(n
σ
χ
1)s(n
P
α1
1)s(n
χ
σ
1
1)s(n
χ
P
α1)χ
σ
1)S(n
)P(χ
α1)χχ)P(χ
2
)
2
α(1
2
2
2
)
2
α(
2
2
2
)
2
α(
22
2
)
2
α(1
2
)
2
α(2
2
2
)
2
α(1
2
)
2
α(
22
2
α(1
































 
 
Daí, temos que o I.C. para  seria, 
 
 α1
χ
1)s(n
σ
χ
1)s(n
P
2
)
2
α(1
2
2
)
2
α(
2















 
 
 
Observação: 
 
Quando da população original da v.a. X são retiradas grandes amostras (n  30), a 
distribuição amostral do desvio padrão s também pode ser considerada normal com: 
  

S x
x
n
  S e 
2
. 
 
 Pode-se então estimar o I.C. para  pela expressão : 
 
α1
2n
s
.Zsσ
2n
s
.ZsP
2
α
2
α 





 , 
 
 
onde tomou-se s como uma estimativa pontual de . No caso de pequenas amostras isto não é 
possível e o mesmo ocorre quando temos grandes amostras, porém a população de onde se retira a 
amostra não segue a lei normal. 
 
Exemplo: 
 
1) Os salários de uma empresa são normalmente distribuídos. Uma amostra aleatória de 10 
funcionários apresentou salário médio de 8,7 S.M., com desvio padrão de 2 S.M.. Calcular o 
I.C. para 
2
, ao nível de 90%. 
 
Temos n = 10; s
2
 = 4;  = 10% e  = 9(10-1) 
 
 
109 
 
222
2
2
0,95;9
2
0,05;9
.);10,81(S.M)[2,13(S.M.σ
90%
3,33
9x4
σ
16,9
9x4
P
3,33χ
16,9χ










 
 
com 90% de confiança ou, considerando-se o desvio padrão : 
 
 [1,46 S.M.; 3,29 S.M.] com 90% de confiança. 
 
2) O diâmetro de um cabo de aço produzido por uma metalúrgica tem distribuição normal. Uma 
amostra de 81 cabos forneceu um desvio padrão de 0,12 mm. Ache o I.C. de 95% para .Temos n = 81; S = 0,12;  = 0,05 
como n > 30, temos S ~N 
I.C. : 
]0,1385mm[0,1015mm;σ
2x81
0,12
(1,96).0,12
2n
s
.Zs
x
x
2
αx



 
com 95% de confiança. 
 
 
10.2.1 Teste de Hipótese para a Variância Populacional 
2 
 
1) H0
2
0
2:  contra 








2
0
2
2
0
2
2
0
2
σc)σ
σb)σ
 σa)σ
 
 
2) Estatística teste : .,l.g~
s)1n( 2
)1n(2
0
2
2
teste 



 
onde : n = tamanho da amostra; 
 s
2
 = variância amostral; 
 0
2 = valor hipotético para a variância populacional. 
 
3) Região crítica (R.C.) 
 
4) Rejeita-se H
0
 se : 
 
a)     teste
2
2
2
1 2
2 
( ) ( )
 ou teste
2 
b)  teste
2 2 
 
110 
 
c)   teste
2
1
2 ( ) 
 
Exemplos: 
 
1) Numa a.a. de 20 elementos extraídos de uma população normal, obteve-se s
2
 = 64. Testar a 
hipótese que 2 = 36, contra 
2  36, ao nível de significância de 10%. 
 
Solução : 
 
 i) 
H
H
0
2
1
2
36
36
:
:




 
 ii)  teste teste
x2 219 64
36
33 778   , 
 
iii) R.C. :  = 10%  /2 = 5%  0 95 19
2
0 05 19
210 117 30 144, ; , ;, ; ,  . 
 
iv) Conclusão : Como  teste
2
0 05
2 , , rejeitou-se H0 , ou seja, a variância populacional não pode ser 
considerada igual a 36. 
 
 
2) O desvio padrão do comprimento de peças fabricadas por uma máquina que está agora em 
operação é 0,082 cm. Um vendedor declara que a máquina nova que ele representa pode produzir 
uma taxa de produção muito mais alta com uma variação menor que a da máquina em operação. A 
declaração sobre a taxa de produção mais alta é aceita, mas a variabilidade deve ser testada. Para 
isto, foram selecionados aleatoriamente 25 peças fabricadas por essa nova máquina, encontrando-se 
um desvio padrão S = 0,066 cm. Teste a afirmativa do fabricante, usando  = 5%. 
 
Solução : 
1) H
0
 : 
2
 = 0,006724 
 H
1
 : 
2
 < 0,006724 
 
2) 55,15
)082,0(
)066,0(x)24(s)1n( 2
teste2
2
2
0
2
2
teste



 
 
3) R.C. :  = 5%  0 95 24
2 13 84, ; , 
 
 
 
 
 
 
4) Conclusão: Como  teste
2
0 95
2 , , devemos aceitar H0 , ou seja, que a variância da máquina nova é 
de 0,006724 cm (igual a máquina antiga), e a mesma deverá ser preferida desde que a sua taxa de 
produção seja realmente mais alta. 
 
 
 
 
111 
 
10.3 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A RAZÃO DE VARIÂNCIAS 
 
10.3.1 Distribuição F de Snedecor 
 
Sejam U e V duas variáveis aleatórias independentes com distribuição qui-quadrado com r
1
 
e r
2
 graus de liberdade, respectivamente. Então F
U
r
V
r
 1
2
 tem distribuição F de Snedecor com r
1
 e r
2
 
graus de liberdade [F(r
1
 , r
2
)] 
 
Obs.: A variável aleatória é sempre positiva. 
 
Essa definição engloba uma família de distribuições de probabilidade, para cada par de 
valores (r
1
 , r
2
 ). A tabela fornecida apresenta o valor F
0
, tal que: 
 
 
P F r r F[ ( , ) ] 1 2 0  
 
 
Exemplos: 
 
1) Calcular o valor de F
0
, com r
1
 = 10 e r
2
 = 15 graus de liberdade, tal que, P[F0 ( , ] ,r r F1 2 0 05  . 
 
2) Encontrar  tal que P[F( , ) , ]40 12 0 50   . 
 
 
Obs: Seja F
1
(r
1
, r
2 
) e F
2
 (r
1
, r
2 
). Se P(F
1
  F
2
 ) = 1-, então P(F
2
  1 / F
0
 ) = . 
 
 
 
10.3.2 Intervalo de Confiança para a Razão de Variâncias 
 
Seja F r r
r
r
r
r
r
r
( , ) .
( )
( )1 2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
1
1
2
 




 (para duas populações normais de variâncias 
desconhecidas). Pelo Teorema de Fisher: 
 
2
2
2
1n
s)1n(




, ou seja 
2
2
2
222
22
1
2
112
1
s)r(
 e 
s)r(



 
 
Portanto, 
2
1
2
2
2
2
2
1
21
1
2
2
2
2
22
2
1
2
11
21
.
s
s
)r,r(F 
r
r
.
sr
sr
)r,r(F





 
 
112 
 
 logo o intervalo será, 
 
 










 α1F
σ
σ
.
s
s
FP
α1]FFF[F
2
α2
1
2
2
2
2
2
1
2
α1
2
α
2
α1
 
 α1)r,(r.F
s
s
σ
σ
)r,(rF
1
.
s
s
P 21
2
α2
1
2
2
2
1
2
2
12
2
α
2
1
2
2 








 
 
 α1)r,(r.F
s
s
σ
σ
)r,(rF
1
.
s
s
P 12
2
α2
2
2
1
2
2
2
1
21
2
α
2
2
2
1 








 
 
 
Exemplos: 
 
1) Construir o intervalo de confiança, para  = 2%, para o quociente de variâncias de duas 
populações normais, das quais foram extraídas as amostras seguintes: 
41 elementos da 1a, obtendo s
1
2
 = 43,2 e 31 elementos da 2a., obtendo-se s
2
2
 = 29,5. 
 
2) Dois métodos de embalar camarão congelado produzem o mesmo peso médio do produto. São 
analisadas duas a.a. de tamanho 41, uma de cada método de embalar e os resultados são : s
1
 = 7,5g 
para o 1o método e s
2
 = 9,3g para o 2o método. Ache o intervalo com 95% de confiança para  
1
2
. 
 
Solução: Como (1-) = 0,95, temos  = 0,05,  2 = 0,025 
F0,025(40;40) = 1,88 F0,975(40;40) = 
1
40 40
0 5319
0 025F , ( ; )
, . 
 
 Assim 
7 5
9 3
0 5319
7 5
9 3
1 88
2
2
1
2
2
2
2
2
,
,
,
,
,
,   


 
 
95%1,1057
σ
σ
0,5881P
1,22268
σ
σ
0,34592
2
1
2
2
2
1








 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
113 
 
Exercícios: 
 
1) Sabe-se que a variação das dimensões fornecidas por uma máquina independem dos ajustes do 
valor médio. Uma amostra aleatória de dimensões de peças produzidas forneceu : 
12,2 12,4 12,1 12,0 12,7 12,4 
14,0 13,7 13,9 14,1 13,9 
Estabeleça um intervalo de 95% de confiança para o desvio padrão com que a máquina opera. 
 
2) Numa concretagem sem interrupção de uma base de concreto armado de 1.500 
3
, destinada a 
suportar um equipamento industrial, obtiveram-se os seguintes resultados para a resistência em 
Kgf/cm
2
. 
 
292 207 348 244 276 311 193 324 232 196 310 314 
 Ache um intervalo com 90% de confiança para o desvio padrão populacional . 
 
3) Medidos os diâmetros de 32 peças de uma produção, resultou a distribuição abaixo (valores em 
mm) : 
Xi 56,5 56,6 56,7 56,8 56,9 57,0 57,1 57,2 57,3 
fi 1 3 2 4 10 5 4 1 2 
 Há evidência de que o desvio padrão seja superior a 0,17, ao nível de 5% ? 
4) Trinta embalagens plásticas de mel foram pesadas com precisão de decigramas. Os pesos, após 
convenientemente agrupados, forneceram a seguinte distribuição de frequências (em gramas). 
 
Xi fi 
31,5 1 
32,5 5 
33,5 11 
34,5 8 
35,5 3 
36,5 2 
 Os dados acima permitem concluir, ao nível  = 5%, que desvio padrão da população seja 
superior a 1g? 
5) Os seguintes resultados foram calculados de a.a. de duas populações normais de forma 
independente. 
X n
Y n
: , ,
: , ,
1
2
10 27 3 9 1
12 20 1 4 6
  
  
 X S
 X S
1 1
2 2
 
 Ache um intervalo com 95% de confiança para : 
 
a)
2
2
y
x


 b) 
2
2
X
y


 
 
6) Duas a.a. forneceram as seguintes estimativas para a variância da resistência do concreto. 
 
114 
 
 
2
2
2
22
2
2
1
cm
Kgf
36s e 
cm
Kgf
7,52s 











 
O tamanho das amostras eram respectivamente n
1
 = 6 e n
2
 = 7. Pode-se aceitar que não há uma 
diferença significativa na variabilidade das duas populações ao nível  = 0,05 ? 
 
7) Com n
1
 = 25 elementos de uma população obtivemos : 
31n com e 58,1s ,8X
211
 elementos de outra população obtivemos 
.24,1s ,7X
12
 Determinar os intervalos de confiança para : 
a) 


1
2
, com  = 2% 
b) 


2
1
, com  = 2% 
 
8) Se n
1
 = 12, n
2
 = 10, s1 = 6, s2 = 5, provindas de duas populações independentes, testar a hipótese 
de igualdade das variâncias populacionais, ao nível de 5%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
115 
 
11. TESTES DE HIPÓTESES 
 
 
 
 
11.1 INTRODUÇÃO 
 
Os testes de hipóteses (ou de significância) apresentam uma regra de decisão que permite 
aceitar ou rejeitar uma hipótese questionada, decisão esta que é tomada em função de valores 
obtidos numa amostra. Assim, admite-se inicialmente, um valor hipotético para um parâmetro 
populacional desconhecido e, a seguir, baseando-se em informações retiradas da amostra, aceita-se 
ou não esse valor. Tem-se, então, as duas seguintes hipóteses iniciais: 
 
1. Hipótese nula ( Ho): É aquela que será testada; admite-se aqui que a diferença observada entre 
a estatística amostral ( estimador) e o parâmetro populacional é devida apenas ao acaso, ou seja, 
essa diferença não é significativa. 
 
2. Hipótese alternativa( H1): É qualquer hipótese diferente da hipótese nula, isto é, é aquela que 
será aceita caso o teste indique que Ho deva ser rejeitada; aceitando essa hipótese, conclui-se 
que a diferença citada é significativa. 
 
Na prática, somos muitas vezes obrigados a tomar decisões sobre populacões, baseados nas 
informações amostrais. 
Por exemplo, podemos querer determinar se são verdadeiras afirmações como: 
1- O tempo de processamento de uma máquina supera uma outra máquina; 
2- Apenas 2% da produção de um certo produto de uma indústria é defeituosa; 
3- O peso de pacotes de certo produto é de 500 gramas; 
4- Uma marca de gasolina A apresenta mais rendimento ( Km/l ) do que uma marca de gasolina 
B; 
5- Um medicamento A é melhor que um medicamento B, na cura de uma doença; 
6- Se há diferenças entre tratamentos, na engorda de um rebanho. 
 
Então, todas estas decisões que podemos tomar é o que vamos chamar de TESTE DE 
HIPÓTESES ESTATÍSTICO. 
Já estudamos que estatísticas amostrais como médias e proporções podem servir de 
estimativas pontuais dos correspondentes parâmetros populacionais. E, em razão da 
variabilidade amostral, as estatísticas amostrais tendem a aproximar, ao invés de igualar, os 
parâmetros da população. 
Daí, o ponto capital no teste de significância é se a diferença entre o valor alegado de 
um parâmetro populacional e o valor de uma estatística amostral pode ser razoavelmente 
atribuído à variabilidade amostral ou se a discrepância é demasiado grande para ser 
encarada assim. 
 Seja, então, X uma v.a. que representa o valor numérico associado ao resultado de certo 
experimento. Digamos que esta v.a. possua distribuição de probabilidade dependendo de um 
“parâmetro desconhecido” que pressupomos ser um elemento de certo conjunto chamado o “espaço 
do parâmetro” (  ). 
 
116 
 
Consideremos, então, a hipótese de que o verdadeiro valor de um parâmetro , encontra-se 
em certo subconjunto 0, contra a hipótese alternativa de que  se encontra no complementar 1 = 
 - 0. Então, as hipóteses a serem testadas são dadas por: 
 
 
Logo, para nos decidirmos qual a hipótese verdadeira, devemos, em princípio, repetir o 
experimento n vezes (independentemente) de tal forma que os resultados nessas tentativas são v.a. 
independentes X1, X2, ..., Xn, todas possuindo a mesma distribuição de X, obviamente. Numa dada 
sequência de tentativas, duas variáveis Xi assumem valores determinados Xi ( i = 1, 2, ..., n ); 
conforme os valores assumidos é que podemos nos decidir por :   
0 ou   1 . 
 
Precisamente, seja S o espaço amostral que corresponde às n tentativas a que nos referimos, isto é, 
temos S como o conjunto de todas as n-uplas ( X1, X2, ..., Xn ). Então, iremos definir uma região 
crítica C  S, de tal forma que, se ( X1, X2, ..., Xn ) estiver em C, optaremos por   2 , 
enquanto se ( X1, X2, ..., Xn ) estiver em S - C, optaremos por   1 . 
 
 
Resumindo: Ω = espaço do parâmetro populacional 
 S = f(x1, x2, ..., xn) = espaço amostral 
 θ = variável do teste (escolhida segundo certos critérios 
 
 
Então, 
 01 100 - = H e < H , 
 
onde 0 é chamada região crítica e 1 região de rejeição ( ou crítica). 
 
Exemplo: Seja uma caixa contendo parafusos de diâmetro médio 10 ou 12 mm; suponha-se que 
vamos testar: 
Ho:   10 12mm contra mmH1: . Tomando-se uma amostra de tamanho n, calculou-se X. 
 
Daí: 
 - Se S0= X aceita se H/ X 11 e S0   0 é a região de aceitação; 
 
 - Se S1 = X aceita se H/ X e S 1  11 1 é a região de rejeição de H0. 
Na realização de um teste de hipótese, dois erros podem ser cometidos, ou seja: 
 
 Erro Tipo I: É aquele que se comete ao rejeitar a hipótese H0 dado que ela é correta; a 
probabilidade desse erro será simbolizada por  e é definida pelo nível de significância 
exigido no teste. 
 
 Erro TipoII: É aquele que se comete ao aceitar a hipótese H0 dado que ela é falsa; a 
probabilidade desse erro será simbolizada por . O poder do teste é dado por 1 - . 







1
0
 
 


 
117 
 
 
Esquematicamente, o quadro a seguir mostra as diversas situações que podem ocorrer num teste de 
hipóteses: 
 
 
  0  
 
  1  
 Realidade 
 
Decisão 
 
 H0 verdadeira 
 
 Ho falsa 
 
Aceitar H0 (  S0 ) 
 
 Decisão correta; 
 probabilidade =  1  
 
 
 Erro Tipo II; 
 Probabilidade =  
 
Rejeitar H0 (  S1) 
 
 Erro Tipo I; 
 probabilidade =  
 
 
 Decissão correta; 
 Probabilidade =  1  
 
   
    II) P(erroTipoβfalso /HSθˆPΩ/θSθˆP
I) P(erroTipoαa verdadeir/HSθˆPΩ/θSθˆP
0010
0101


 
11.2 ELEMENTOS PARA OS TESTES DE HIPÓTESES 
 
Faremos detalhes, a seguir, dos vários conceitos para a teoria dos “testes de hipótese”. 
DEFINIÇÃO DE HIPÓTESE ESTATÍSTICA 
 
O primeiro passo para a realização de um teste consiste em formular duas hipóteses 
sobre a afirmação. 
Hipóteses são suposições sobre a verdadeira natureza de um modelo para uma (ou 
mais) população, que podem ser verdadeiras ou falsas. Ou ainda, as hipóteses são explicações 
potenciais (teorias) que procuram levar em conta fatos observados em situações onde existem 
algumas incógnitas. 
Estas suposições podem ser com respeito à natureza do modelo, ou seja, saber qual o 
tipo de distribuição usada (testes não-paramétricos); pode também dizer respeito aos valores de 
determinados parâmetros da distribuição (testes paramétricos). 
 
11.2.1 Tipos de hipóteses: H0 e H1 
 
Temos duas hipóteses a testar : 
a. A hipótese nula Ho é uma afirmação que diz que o parâmetro populacional é tal como 
especificado (isto é, a afirmação é verdadeira). É a hipótese que queremos testar, e ela 
poderá ser aceita ou rejeitada. 
 
118 
 
b. A hipótese alternativa H
1 é uma afirmação que oferece uma alternativaà alegação, ou 
seja, vai diferir da hipótese pré-fixada. 
 
Quando a hipótese H
0 é aceita, logicamente H1 é rejeitada e vice-versa. Assim, no caso de 
um parâmetro , cujo espaço de parâmetros é , podemos ter : 
 
 
H0 : θ ϵ Ω0 contra 
 H1 : θ ϵ Ω1 
 
 
11.2.2 Testes bilaterais e unilaterais 
 
Nosso interesse em detectar desvios não-aleatórios (isto é, significativos) de determinado 
parâmetro pode envolver desvios em ambas as direções ou apenas numa direção. Assim, em 
sucessivas jogadas de uma moeda, esta pode ser considerada não equilibrada se aparece um número 
muito grande, ou muito pequeno de caras. A hipótese alternativa seria simplesmente “a moeda não 
é equilibrada”, e investigaríamos então desvios em ambas as direções. Entretanto, se estivéssemos 
apostando, digamos, em caras, então nossa preocupação seria somente com um número muito 
pequeno de caras. A hipótese alternativa seria “aparecem muito poucas caras” (isto é, a 
probabilidade de cara é inferior a 0,50 ), e só estaríamos interessados então nesse tipo de desvio 
não-aleatório do número esperado de caras. 
Então, a hipótese alternativa é usada para indicar qual o aspecto da variação não-aleatória 
que nos interessa. Há três casos possíveis: 
 
a. concentrar em ambas as direções; 
b. concentrar nos desvios abaixo do valor esperado; ou 
c. concentrar nos desvios acima do valor esperado. 
 
a) HIPÓTESE BILATERAL 
 
* Para uma população NORMAL com  desconhecido: 
 
 
H
H
0 0
1 0
:
:
 
 





 
 
 ** Para uma população BINOMIAL, com parâmetro p desconhecido : 
 
H p p
H p p
0 0
1 0
:
:





 
 
b) HIPÓTESE UNILATERAL À DIREITA 
 
 * 
H
H
0 0
1 0
:
:
 
 





 ** 
H p p
H p p
0 0
1 0
:
:





 
 
 
c) HIPÓTESE UNILATERAL À ESQUERDA 
 
119 
 
 * 
H
H
0 0
1 0
:
:
 
 





 ** 
H p p
H p p
0 0
1 0
:
:





 
Exemplo: Simbolicamente, no caso da jogada de uma moeda, esses três casos poderiam ser escritos : 
H
0 : p = 0,50 contra: 
 
 Caso 1. H
1 : p  0,50 (ambas as direções : muitas caras ou poucas caras). 
 Caso 2. H
1 : p < 0,50 (desvio abaixo : poucas caras). 
 Caso 3. H
1 : p > 0,50 (desvio acima : muitas caras) 
 
Na prática, os testes bilaterais se usam sempre que a divergência crítica é em ambas as 
direções, tal como ocorre na fabricação de peças que devem se ajustar uma a outra, como parafuso 
e porca. 
O teste da cauda esquerda (unilateral à esquerda) é útil para verificar se determinado padrão 
mínimo foi atingido. Exemplos: peso líquido de pacotes de determinado produto, vida de um 
produto tal como especificado pelo fabricante. Já um teste de cauda direita é útil para testar se 
determinado padrão máximo não foi excedido. Exemplos: teor máximo de gordura permitido em 
certos tipos de leite, radiação emitida por usinas nucleares. 
 
11.3 IDENTIFICAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL ADEQUADA 
 
O “teste” consiste em verificar se uma estatística amostral observada pode razoavelmente 
provir de uma população com o parâmetro alegado. O segundo passo no processo de teste de 
significância consiste em identificar a distribuição amostral adequada, pois ela descreverá 
completamente a variação. 
Vejamos o seguinte exemplo: Inspeciona-se uma amostra de 142 peças de uma grande 
remessa, encontrando-se 8% defeituosas. O fornecedor garante que não haverá mais de 6% de 
peças defeituosas em cada remessa. O que devemos responder, com auxílio dos testes de hipóteses, 
é se a afirmação do fornecedor é verdadeira. 
A incógnita é a verdadeira porcentagem de peças defeituosas. O fato conhecido é que uma 
amostra aleatória acusou 8% de defeituosas. Uma hipótese a ser testada é que a porcentagem 
efetiva de defeituosas em todo o lote é maior que 6%. Outra hipótese seria a de que a afirmativa do 
fornecedor é verdadeira. E se a afirmativa do fornecedor é verdadeira, qual será a razão de uma 
amostra ter acusado 8% de defeituosas ? Uma possibilidade é que a variabilidade amostral tenha 
sido responsável. 
Então, para o exemplo, a distribuição amostral adequada é a normal (proporções amostrais 
com um grande tamanho de amostra ( n = 142 ) ) com média p e desvio padrão 
 
p
p p
n

( )1
 , onde 
p proporç ão populacional
n tamanho da amostra






 
 
 A hipótese H0 é que a verdadeira porcentagem de defeituosas é 6%, contra a alternativa de 
que a porcentagem de defeituosas p é maior que 6%. Podemos escrever: 
 
 
H p
H p
0
1
6%
6%
:
:





 
 
 
120 
 
 Assim, se a afirmação do fornecedor é verdadeira, nossa proporção amostral de 8% provém 
de uma distribuição amostral com média de 6% e 
 p p  
( , )( , )
,
0 06 0 94
142
0 02 . 
 
Podemos agora ver que nossa discrepância de 2% (= 8% - 6%) está a um desvio padrão acima 
do valor esperado, supondo H
0 verdadeira: 
 
Z 

 
0 08 0 06
0 02
1 0
, ,
,
, 
 
Temos também que a probabilidade de obter uma discrepância superior a 8% é cerca de 16% 
(15,87% ), como se vê abaixo; e isso parece sugerir que a discrepância pode ser devida apenas ao 
acaso ( Aceitação de H
0 ). Por outro lado, se tivéssemos uma proporção amostral, digamos, de 19%, 
então: 
 
Z 

 
0 19 0 06
0 02
6 5
, ,
,
, , 
 
e parece muito pouco provável que tal estatística amostral provenha de uma população com o 
parâmetro alegado de 6%. (Isto leva à Rejeição de H0 ). É claro que nem todas as situações são 
tão óbvias que possam ser tratadas “a olho”, como no exemplo acima. 
É preciso, então, um método mais rigoroso para tratar o problema. A questão é: onde 
podemos traçar a linha divisória entre o que pode ser considerado como variação casual e o que 
deve ser considerado como variação significativa? 
 
11.4 NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA DO TESTE (  ) 
 
A probabilidade de rejeitar uma hipótese nula (H0), quando ela é verdadeira, chama-se 
nível de significância do teste. Daí, o terceiro passo num teste de significância consiste em escolher 
um nível de significância () aceitável. Isto, por sua vez, indicará um “valor crítico” 
correspondente, que servirá de padrão de comparação, em relação ao qual julgaremos uma 
“estatística de teste” observada (por exemplo, a proporção amostral de 8% tem um Zteste = 1,0). A 
essência de um teste de hipótese consiste então em particionar uma distribuição amostral - com 
base na suposição de H0, ser verdadeira - em uma região de aceitação e uma região de rejeição para 
H0. 
Escolhe-se um valor crítico com base numa probabilidade específica (que o pesquisador está 
disposto a aceitar) de rejeitar uma hipótese H0 verdadeira. Calcula-se uma estatística teste com base 
nos dados amostrais e no valor esperado (alegado), que é então comparado com o valor crítico. 
Uma estatística teste que excede o valor crítico sugere a rejeição de H0 (isto é, que não é só a 
variabilidade amostral que responde pela estatística teste observada), enquanto que uma estatística 
teste inferior ao valor crítico sugere que H0 seja aceita. 
 
 
11.5 ROTEIRO PARA TOMADAS DE DECISÕES DOS TESTES DE HIPÓTESES 
 
1. Enunciar as hipóteses Ho e H1. 
 
2. Determinar um nível de significância () aceitável. 
 
121 
 
 
Obs.: Segundo alguns autores , podemos considerar: 
 
 = 1%  teste significativo a1% 
 = 5%  teste significativo a5% 
 > 10%  teste significativo a10% 
 
 
 Devemos estabelecer se o teste é unilateral (superior ou inferior) ou bilateral (nesteúltimo caso, 
o nível de significância é dividido por 2 , para efeito de determinação da variável do teste). 
 
 
3. Determinação da região crítica do teste: de acordo com o  estabelecido, verificamos a 
variável do teste que deve ser utilizada e determinamos o seu valor. Através desse valor, 
marcamos a região crítica de rejeição da hipótese nula (Ho). Em alguns casos, a região crítica 
pode ser estabelecida pela marcação das estatísticas limites correspondentes, em lugar dos 
"scores”. 
 
4. Escolha da estatística do teste: de acordo com a distribuição que está sendo considerada, 
escolhe-se a variável do teste, obtida na amostra, de acordo com a fórmula correspondente,e 
calcula-se o seu valor. 
 
5. Decisão final: testamos a seguir a estatística apurada na amostra, determinando o valor do 
"score” que lhe corresponda. Se este "score” cair na região crítica, rejeitamos a hipótese nula 
(Ho). Quando o "score” cai na zona de aceitação, devemos afirmar que baseado nas 
informações colhidas na amostra, não temos evidências estatísticas para o nível de significância 
determinado que leve a rejeição de H0 . É importante afirmar a aceitação de H0 pode 
 
Observações: 
 
1. Embora tenhamos optado pelo roteiro acima, na prática , duas outras possibilidades podem 
surgir: 
 
a) determinar a regra de decisão , para em seguida calcular o valor de  e ; 
b) determinar os valores de  e , inicialmente, para em seguida chegarmos a uma 
regra 
 de decisão. 
 
2. Nas aplicações práticas é comum apenas a especificação do erro do tipo I (), porém os 
resultados obtidos dessa maneira poderão fornecer induções errôneas. 
 
 
11.6 TIPOS DE ERRO 
 
Como já comentamos, existem dois tipos de erro inerentes ao processo de teste de 
significância, ERRO TIPO I (Comete-se esse erro rejeitando-se H0 quando H0 é verdadeira, e a 
sua probabilidade é igual ao nível de significância de um teste de hipótese - ) e ERRO ERRO 
TIPO II (aceitar a hipótese H0, quando H0 é falsa - cuja probabilidade é dada por ). 
Naturalmente, espera-se que H0 seja aceita quando verdadeira e rejeitada quando falsa. 
 
Cabe, então ao pesquisador, dentro da sua área de 
 
estudos, julgar a validade desse erro. 
 
122 
 
11.7 TIPOS DE TESTES DE HIPÓTESE 
 
1. TESTE PARA A MÉDIA POPULACIONAL  : 
 
a. quando  é conhecido; 
b. quando  é desconhecido 
 
2. TESTE PARA A PROPORÇÃO POPULACIONAL p. 
 
3. TESTE PARA A DIFERENÇA DE MÉDIAS DE DUAS POPULAÇÕES: 
a. quando as variâncias populacionais são conhecidas; 
b. quando as variâncias populacionais são desconhecidas. 
 
4. TESTE PARA A DIFERENÇA DE PROPORÇÕES DE DUAS POULAÇÕES. 
 
5. TESTE PARA A VARIÂNCIA POPULACIONAL. 
 
6. TESTE PARA O QUOCIENTE DE VARIÂNCIAS. 
 
Observação: Estes testes são chamados PARAMÉTRICOS. Os testes NÃO-PARAMÉTRICOS 
testam a natureza da distribuição da população. 
 ******************* 
RESUMO DO PROCEDIMENTO PARA SE REALIZAR UM TESTE DE HIPÓTESE 
 
 1º) Enunciar as hipóteses Ho e H1. 
 
 2º) Fixar o limite de erro e  e identificar a variável do teste, obtido na amostra. 
 
 3º) Determinar a região crítica em função da variável tabelada. 
 
 4º) Calcular o valor da variável do teste, obtido na amostra. 
 
 5º) Conclusão. Rejeitar ou não H0 baseado na comparação dos valores crítico obtido no 
 
 
11.7.1 Teste de significância para a média populacional  
 
11.7.1.1 Com  conhecido 
 
Utiliza-se um teste de uma amostra para testar uma afirmação sobre uma única média 
populacional. Extraem-se n observações e calcula-se a média amostral. Conhecido já o desvio 
padrão da população, poderemos testar a hipótese bilateral, unilateral à direita ou unilateral à 
esquerda, dependendo do interesse do que queremos verificar. Escolhido o nível de significância (
 
123 
 
), encontra-se o valor crítico (testes unilaterais) ou os valores críticos (testes bilaterais). Calcula-
se o valor da estatística teste, que será baseada na distribuição normal, para amostras extraídas de 
uma população com distribuição normal e  conhecido, ou de uma população que não seja normal, 
mas a amostra seja suficientemente grande ( n  30 ). 
 
 ( 1 ) FORMULAÇÃO DAS HIPÓTESES : 
H
0
 :  = 
0
 contra 
a) H
1
 :   
0
  teste bilateral 
b) H
1
 :  > 
0
  teste unilateral à direita 
c) H
1
 :  < 0  teste unilateral à esquerda 
 
( 2 ) ESTATÍSTICA TESTE: Zteste = 
x
n
 

0
/
 ~ N( 0 , 1 ) 
 
( 3 ) NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA (  ) E DEFINIÇÃO DO(S) VALOR(ES) CRÍTICOS (S). 
 
 
( 4 ) DECISÃO FINAL  Aceitação ou rejeição da hipótese H
0
. 
 
 
 
H
0
 será rejeitada se: 
 
 
 
a) | Zteste | > Z
2
 b) Z teste > Z c) Z teste < - Z 
 
Exemplo: Uma empresa compra lingotes de aço de uma siderúrgica, exigindo sua especificação que o 
peso médio dos mesmos seja de 100 Kg , com desvio padrão de 4Kg (suposto, de início , independente de 
peso médio). Ao receber um grande lote de lingotes , a empresa tomou uma amostra aleatória de 25 
lingotes e sua decisão, de aprovar o lote é se o peso médio for superior ou igual a 98 Kg. Assim , essa 
empresa irá testar a hipótese de que o peso médio é 100 Kg, contra a hipótese alternativa de que ele seja 
inferior a 100 Kg ; evidentemente, neste exemplo, o comprador não está preocupado que o peso médio 
seja superior a 100 Kg, por contrariar sua suspeita e, porque, isso seria até vantajoso para ele. Então: 
 
 
 Ho:  = 100 Kg contra 
 H1:  < 100 Kg. 
 
Conforme já demonstrado anteriormente , tem-se : 
 
E X = = 100 e Var  X = 2/n = 16/25 = 0,64  x 0 8, . 
 
Supondo normalidade , vem : 
 
 
124 
 
 
Z

2
98 100
0 8
2 5
1
2


  


,
, 0,4938  
 ’ = 0,5000-0,4938 = 0,0062  0,62 %. 
 
Vê-se, pois, que existe uma probabilidade ’ = 0,62% de que, mesmo sendo a hipótese Ho 
verdadeira, X assuma valor na faixa que leva à rejeição de H0, de acordo com o critério adotado. 
Nesse caso o comprador iria rejeitar H0, sendo ela verdadeira. 
 
Importante: O valor ’ = 0,62% foi determinado a partir dos dados amostrais (por isto 
denominamos ’). Este valor é chamado de Nível Descritivo do Teste (ou p-valor, ou p-value). O 
nível de significância é dado por , e é definido pelo pesquisador. Assim, para  > 0,62% 
rejeitamos a hipótese H0. 
 
Por outro lado, poderiam ocorrer situações em que a hipótese H0 fosse falsa, ou seja, na 
realidade  < 100 Kg , e a média da amostra assumisse um valor maior que 98 Kg, levando a 
aceitação de H0 (o comprador iria então, cometer um erro Tipo II); sua consequência, no caso, seria 
adquirir um lote insatisfatório. 
Nesse exemplo, fixada a região crítica do teste, calculou-se a probabilidade ’ (associado ao erro 
Tipo I); inversamente, dado  (nível de significância), pode-se determinar o limite da região 
crítica. Esse último procedimento é o que em geral se faz, na prática. Assim, nesse mesmo 
exemplo, fixado  = 5%, o limite X1 da região crítica é calculado assim : 
 
Z0,05 = - 1,64 = 
X
X
1
1
1 0 0
0 8
9 8 6 8

 
,
, K g . 
Para  = 1%, tem-se : Z0,01 = 2,33 = 
X1
1
100
0 8
98 14

 
,
, . X 
 
 Portanto, se o valor de X observado for inferior a 98,14 Kg rejeita-se a hipótese Ho ao nível 
de 1% de significância (o que implica que há também rejeição para  = 5%) . Se X for 
superior a 98,68 Kg , aceita-se Ho para  = 5% (o que implica automaticamentena aceitação 
para  = 1%). Se, por outro lado, ocorrer: 98,14 < X < 98,68 Kg, Ho será rejeitada para  = 
5% e aceita para  = 1%; isto significa que, se foi admitido realizar um teste sujeito a um 
risco de 5% de probabilidade de cometer o erro do Tipo I , a evidência amostral terá sido 
significativa no sentido de permitir a rejeição de H0, o que não teria ocorrido se houvesse sido 
exigido risco de 1%. 
 
 
1. Um processo de fabricação de arame de aço oferece resistências normalmente distribuídas 
com desvio padrão de 20 psi. O fabricante garante uma resistência média de 200 psi (no 
mínimo). Um engenheiro de controle de qualidade, ao adquirir um grande lote para sua 
empresa, deseja testar a afirmação do fabricante. Considera-se uma amostra de tamanho 25, 
encontrando-se uma resistência média de 190 psi. Usando um nível de significância de 5%, 
qual a sua conclusão ? 
 
11.7.1.2 Com  desconhecido 
 
PROCEDIMENTO: 
 
 
125 
 
( 1 ) HIPÓTESES: 
 H0 :  = 0 contra 
a) H1 :   0 
b) H1 :  > 0 
c) H1 :  < 0 
 
 ( 2 )   R.C. ( Idem, 3.1 ) 
 
 ( 3 ) ESTATÍSTICA DO TESTE 
 
 Será baseada na distribuição “t” de STUDENT, com (n-1) graus de liberdade, pois  é 
desconhecido e considerando-se a população normalmente distribuída. Temos, então: 
 
 tteste = 
X
S n
 0
/
 ~ t-student com (n-1) graus de liberdade ( para n  30  t ~ Z ) 
 
( 4 ) DECISÃO FINAL : 
 Rejeita-se H
0
 se : 
 
a) | tteste | > t/2 b) tteste > t c) tteste < - t. 
 
Exemplo: Com a finalidade de acelerar o tempo que um analgésico leva para penetrar na corrente 
sanguínea, um químico analista acrescentou certo ingrediente à fórmula original, que acusava um tempo 
médio de 43 minutos. Em 25 observações com a nova fórmula, obteve-se um tempo médio de 42 
minutos, com desvio padrão de 6 minutos. Suponha que a distribuição de tempos seja aproximadamente 
normal. Que se pode concluir, ao nível de 5%, sobre a eficiência do novo ingrediente ? 
 
 
11.7.2 Teste para a proporção populacional p 
 
Quando a finalidade da amostragem é julgar a validade de uma alegação acerca de uma 
proporção populacional, é apropriado um teste de uma amostra. 
 
PROCEDIMENTO: 
 
( 1 ) HIPÓTESES : 
H
0
 : p = p
0
 contra 
a) H
1
 : p  p
0
 
b) H
1
 : p > p
0
 
c) H
1
 : p < p
0
 
 
( 2 )  e R.C. ( iguais ao teste para a média ) 
 
( 3 ) DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL 
 
A estatística teste, como estamos considerando amostras suficientemente grandes, recai na 
distribuição normal (reduzida) dada por : 
 
126 
 
Z
p p
p p
n
teste 



( )
0
0 01
 ~ N( 0, 1 ), onde p
x
n
 = f 
 
( 4 ) H
0
 será rejeitada se : 
 
a) | Zteste | > Z
2
 b) Z teste > Z c) Z teste < - Z 
 
 
Exemplo: Um fabricante produz válvulas com 2% de defeitos. Tentando melhorar a qualidade das suas 
válvulas, comprou novas máquinas. E, ao testar 200 válvulas produzidas por estas novas máquinas, 
encontrou 3% de defeituosas. Podemos afirmar que o fabricante piorou a qualidade das suas válvulas? 
Use  = 1 %. 
 
 
 
11.7.3 Teste para a diferença de médias ou teste de duas amostras para médias 
 
A finalidade de um teste de duas amostras é decidir se as médias de duas populações são 
iguais. Consideram-se duas amostras independentes, uma de cada população (isto é, de grupos 
diferentes : dados antes-depois não podem ser avaliados dessa maneira). Os testes de duas amostras 
são usados para comparar dois tipos de máquinas, duas marcas, dois métodos de ensino. 
Os testes focalizam a diferença relativa entre as médias de duas amostras, uma de cada 
população. Esta diferença é dividida pelo desvio padrão, supondo H0 verdadeira (H0: 1 =2). Em 
tal caso, as duas amostras podem ser consideradas como provenientes da mesma população, e 
mediante combinação das variâncias das duas populações (ou das duas amostras, se as variâncias 
das populações são desconhecidas), pode-se determinar a variância global. 
 
PROCEDIMENTO: 
 
 
( 1 ) HIPÓTESES 
 
a ) 
H
H
0 1 2
1 1 2
:
:
 
 





 b) 
H
H
0 1 2
1 1 2
:
:
 
 





 c) 
H
H
0 1 2
1 1 2
:
:
 
 





 
 
 
( 2 ) ESCOLHA DA DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL ( ESTATÍSTICA-TESTE ) 
 
i) 1 e 2 conhecidos: Sob a alegação de que H0 é verdadeira   1 2 : 
 
 
127 
 
Z
X X
n n
N
VERDADEIRO P SEGUINTES CASOS
As duas populaç ões são normais
n n
sultados do T L C
teste 



 









1 2
1
2
1
2
2
2
1 2
0 1 1
2 30 
~ ( , )
/ :
)
)( )
*Re . . .
 
 
 
ii) 1 e 2 desconhecidos: Sob alegação de que H0 é verdadeira   1 2 e desde que se possa 
admitir que ambas as populações sejam aproximadamente normais: 
 
tteste = 
X X
n n
n n n n
t
X X
n n
1 2
1
2
2
2
1 2 1 2
2
1 1
2
1 11 2
1 2

  
 















 
( )S ( )S
~ ( )
* , para 22
2
1   
 
 
 
 
t
X X
S
n
S
n
tteste
X X
n n


 
1 2
2
1
2
2
2
1 2
1 2
~ ,( )
* para 22
2
1   
 
( 3 ) VALOR(ES) CRÍTICO(S) 
 
( 4 ) Rejeita-se H0 se : 
 
a) | Zteste | > Z/2 ou | tteste | > t/2 
 
 
b) Zteste > Z ou tteste > t 
 
 
c) Zteste < - Z ou tteste < - t 
 
 
11.7.4 Teste de Hipóteses para Razão de Variâncias 
 
1) Co
σ
σ
:H
2
2
2
1
0  contra 












Co
σ
σc)
Co
σ
σb)
Co
σ
σa)
:H
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
1 
 
128 
 
 
2) Estatística teste )r,F(r~Co
s
s
F 122
1
2
2
teste  , onde 
 
2 grupo do amostral variâncias
1 grupo do amostral variâncias
2
2
2
1


 
 
r
1
 = (no de observações do grupo 1) - 1 
r
2
 = (no de observações do grupo 2) - 1 
 
 
Co = valor hipotético para a razão 


1
2
2
2 
 
 
3) Região crítica (R.C.) 
 
4) Rejeita-se H
0
 se : 
 
a. F F r r F r rteste   2 2 1
2
2 1
1( , ) ( , ) ou Fteste 
b. F F r rteste  
2
2 1( , ) 
c. F
F r r
teste 
1
2
1 2 ( , )
 
 
 
EXEMPLOS 
 
1) Duas amostras, com dez e quinze elementos, extraídas de populações normais, forneceram 
variâncias respectivamente iguais a 6,34 e 18,7. Ao nível de 5% de significância, devemos aceitar 
que as populações tenham o mesmo grau de dispersão? 
 
Solução : Devemos testar 
 
1: contra 1:
2
2
2
1
12
2
2
1
0  



HH 
 
Neste caso Fteste   
18 7
6 34
1 2 95
,
,
, 
F F
F F
r r
r r
0 025 0 025
0 025 0 025
9 14
2 1
1 2
14 9 3 77
1 1 1
3 21 0 03115
,
( , )
,
,
( , )
,
( , )
( ; ) ,
, ,
 
  
 
 
Logo 
 
 
129 
 
F F r r
F F r r
teste
teste




2
2 1
2
1 2
( ; )
( ; )
 
 
Assim, não rejeitamos H
0
. 
 
2) Duas amostras apresentaram as seguintes características. 
 
Amostra 1 
6
2,35
5,12)( 2



n
x
xxi
 
Amostra 2 
10
7,36
3,6)( 2



n
y
yyi
 
 
Pode-se afirmar, ao nível de 5% de significância,que haja diferença de homogeneidade 
entre as duas populações? 
 
Solução : 
 
7,0
9
3,6
s 5,2
5
5,12 2
2
2
1 s 
 
 As hipóteses a testar são: 
 
 
H
H
0
1
2
2
2
1
1
2
2
2
1
1
:
:






 
F
F F
F
F
F
teste
teste
teste
 
 
   
0 7
2 5
0 28
6 68
1 1
4 48
0 22
0 025
9 5
0 975
9 5
0 025
5 9
,
,
,
,
,
,
,
( ; )
,
( ; )
,
( ; )
 
 
Então, não rejeita-se H
0
. 
 
EXEMPLOS: 
 
1) Duas marcas de serras contínuas estão sendo examinadas para uso numa fábrica de mobiliário. A 
marca A custa mais caro, mas supõe-se que mantenha o fio durante mais tempo que a marca B. 
Os tempos de vida são normalmente distribuídos, com 
A
 = 2,5 dias e 
B
 = 2,7 dias. 
Considerou-se 5 lâminas instaladas da marca A e 5 da marca B, apresentando XA  25 2, dias e 
 
130 
 
XB  23 4, dias. Pode-se concluir que as lâminas das duas marcas tenham o mesmo tempo médio 
de vida ? Use  = 5% e suponha normalidade das populações. 
 
2) Duas marcas de tintas são testadas quanto ao tempo de secagem. Os resultados estão a seguir : 
 
RESULTADOS MARCA A MARCA B 
n 15 10 
X ( h ) 4 5 
S ( h ) 1 1,2 
 
Supondo os tempos de secagem normalmente distribuídos, podemos concluir que a marca A 
apresenta melhores resultados ? Use  = 1%. 
 
3) Uma empresa está estudando duas marcas de pneus A e B. Testou 11 pneus de cada marca, 
quanto a durabilidade, e constatou : para a marca A uma média de 23.600 Km e um desvio 
padrão de 3.200 Km e, para a marca B, uma média de 24.800 Km e um desvio padrão de 3.700 
Km. Ao nível de 5%, testar a hipótese de igualdade das duas variâncias populacionais, contra a 
alternativa da variância de A ser menor que a variância de B. 
 
 
11.7.5 Teste de duas amostras para proporções 
 
A finalidade de um teste de duas amostras é decidir se as duas amostras independentes 
foram extraídas de duas populações, ambas com a mesma proporção de elementos com 
determinada característica. O teste focaliza a diferença relativa (diferença dividida pelo desvio 
padrão da distribuição amostral) entre as duas proporções amostrais. 
 
PROCEDIMENTO: 
 
( 1 ) HIPÓTESES : 
a ) 
H p p
H p p
0 1 2
1 1 2
:
:





 b) 
H p p
H p p
0 1 2
1 1 2
:
:





 c) 
H p p
H p p
0 1 2
1 1 2
:
:





 
 
( 2 ) ESTATÍSTICA-TESTE : 
Sob H0 verdadeira : 
Z
p p
p p
n n
N onde
p
x
n
p
x
n
p
x x
n n
teste 

 






 










 
* ( *)
~ ( , ),
 , 
* (**)
1 2
1 2
1
1
1
2
2
2
1 2
1 2
1
1 1
0 1
 
 
 
(**) H
0
: p
1
 = p
2
. Se a afirmativa é verdadeira, então as duas amostras, extraídas de duas populações, podem 
ser encaradas como duas amostras da “mesma” população. Daí, usamos essa estimativa combinada de p. 
( 3 ) e ( 4 ) Idem, igual aos outros testes. 
 
131 
 
 
Exemplo: Estão em teste 2 métodos potenciais para fechar garrafas. Numa sequência de 1000, a máquina 
A gera 30 rejeições, enquanto que a máquina B acusa apenas 20 rejeições. Pode-se concluir, ao nível de 
5%, que a máquina B é melhor que a A? 
 
 
	1. ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
	 Telefones portáteis vendidos no Brasil -- 2002 - 2004 
	Distribuição das funções da Empresa X 
	2. MEDIDAS ASSOCIADAS ÀS VARIÁVEIS QUANTITATIVAS 
	2.3 MEDIDAS DE VARIABILIDADE 
	EXERCÍCIOS: 
	3. MEDIDAS ASSOCIADAS A VARIÁVEIS QUANTITATIVAS (Continuação) 
	4. PROBABILIDADE 
	Exemplo: Sejam, A o experimento lançar um dado e S seu espaço amostral, onde S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Consideremos os eventos: 
	 Partição do espaço amostral n =6 
	5 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS 
	5.2 DISTRIBUIÇÃO UNIFORME DISCRETA 
	 Esperança e Variância 
	Exemplo: Um dado de seis faces é lançado uma vez, observamos a ocorrência da face 5 ou não. Calcule a esperança e a variância. 
	Exemplo: Dez peças são extraídas, ao acaso, com reposição, de um lote contendo 500 pecas. Qual a probabilidade de que todas sejam defeituosas, sabendo-se que 10% das pecas do lote são defeituosas? 
	Exemplo: Uma urna contém 10 bolas brancas, 15 bolas vermelhas e 20 bolas azuis. Oito bolas são retiradas aleatoriamente e simultaneamente dessa urna. 
	Exemplo 1: Um certo tipo de pneu para automóveis de passeio tem, em média, um defeito a cada 5.000km rodados. Assumindo que as ocorrências seguem a lei de Poisson: 
	Exercícios 
	6. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS 
	Propiedades: 
	 i) f(x) ( 0, (x ( (. 
	Exemplo: Para o nosso exemplo definido em propriedades, temos: 
	 
	6.2 MODELO UNIFORME CONTÍNUO 
	 Esperança e Variância 
	6.5 DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL 
	 Esperança e Variância 
	6.6 DISTRIBUIÇÃO GAMA 
	Propriedades: 
	 Esperança e Variância 
	6.7 DISTRIBUIÇÃO BETA 
	Propriedades: 
	 Esperança e Variância 
	6.8 DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL 
	Propriedades: 
	 Esperança e Variância 
	Exercício 
	7. AMOSTRAGEM E ESTIMAÇÃO 
	8. DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS 
	9. ESTIMAÇÃO 
	10. ESTIMAÇÃO (CONTINUAÇÃO) 
	11. TESTES DE HIPÓTESES 
	11.1 INTRODUÇÃO 
	DEFINIÇÃO DE HIPÓTESE ESTATÍSTICA 
	H0 : p = 0,50 contra: 
	11.3 IDENTIFICAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL ADEQUADA 
	11.4 NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA DO TESTE ( ) 
	Nesse exemplo, fixada a região crítica do teste, calculou-se a probabilidade (’ (associado ao erro Tipo I); inversamente, dado ( (nível de significância), pode-se determinar o limite da região crítica. Esse último procedimento é o que em geral se faz, na prática. Assim, nesse mesmo exemplo, fixado ( = 5%, o limite da região crítica é calculado assim : 
	Exemplo: Com a finalidade de acelerar o tempo que um analgésico leva para penetrar na corrente sanguínea, um químico analista acrescentou certo ingrediente à fórmula original, que acusava um tempo médio de 43 minutos. Em 25 observações com a nova fórmula, obteve-se um tempo médio de 42 minutos, com desvio padrão de 6 minutos. Suponha que a distribuição de tempos seja aproximadamente normal. Que se pode concluir, ao nível de 5%, sobre a eficiência do novo ingrediente ? 
	( 4 ) H0 será rejeitada se : 
	Exemplo: Um fabricante produz válvulas com 2% de defeitos. Tentando melhorar a qualidade das suas válvulas, comprou novas máquinas. E, ao testar 200 válvulas produzidas por estas novas máquinas, encontrou 3% de defeituosas. Podemos afirmar que o fabricante piorou a qualidade das suas válvulas? Use = 1 %. 
	Exemplo: Estão em teste 2 métodos potenciais para fechar garrafas. Numa sequência de 1000, a máquina A gera 30 rejeições, enquanto que a máquina B acusa apenas 20 rejeições. Pode-se concluir, ao nível de 5%, que a máquina B é melhor que a A?