Fisica Nuclear notas

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F´ısica Nuclear e Part´ıculas
(notas de aulas)
Prof. Dr. Luiz Antonio Barreiro
ii
Suma´rio
1 Ideias Ba´sicas da F´ısica Nuclear 1
1.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Interac¸o˜es fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Interac¸a˜o por Pions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Isospin e Nu´mero Barioˆnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Nu´cleos e Radioatividade 9
2.1 Nu´cleos e Carta de Nucl´ıdeos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 O Tamanho do Nu´cleo Atoˆmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.1 Espalhamento simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.1.1 Sec¸a˜o de Choque Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.1.2 Paraˆmetro de Impacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.2 Tamanho do Nu´cleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Decaimento radioativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Decaimentos Mu´ltiplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5 Medidas de Radioatividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.6 Base Matema´tica da Mecaˆnica Quaˆntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6.1 Ca´lculo Probabil´ıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.6.2 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.6.3 Completeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.7 Ca´lculo da Probabilidade de Transic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 O Modelo da Gota L´ıquida 25
3.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Energia de Ligac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.1 Termo de Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.2 Termo de Superf´ıcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.3 Termo Coulombiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 Para´bolas de Massa e Decaimento β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3.1 Para´bolas para A impar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3.2 Para´bolas para A par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
i
ii SUMA´RIO
3.4 Balanc¸o de Energia no Decaimento α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.5 Leis (Estat´ısticas) do Decaimento Radioativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 O Modelo do Ga´s de Fermi 29
5 Aspectos Gerais sobre a Interac¸a˜o Nuclear 37
5.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.2 Teoria de Grupos e Suas Representac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.2.1 Relac¸o˜es de Comutac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.2.2 Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.3 O operador L2 e os Harmoˆnicos Esfe´ricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.3.1 Caso m = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.3.2 Propriedade de Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.3.3 Caso m 6= 0 (Polinoˆmios Generalizados de Legendre) . . . . . . . . . . . . . . 49
5.4 Acoplamento de Momentum Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.5 A interac¸a˜o de Dois Nucleons - Um Modelo para o Deuteron . . . . . . . . . . . . . . 49
6 O Modelo de Camadas 51
7 Decaimento α 53
7.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.2 Teoria de Gamow do Decaimento α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7.2.1 O Me´todo WKB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
8 Decaimento β 57
9 Decaimento γ 59
I Reac¸o˜es Nucleares 61
10 Coliso˜es de Nu´cleos 63
10.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
10.2 Leis de Conservac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
A Expresso˜es Relativ´ısticas 65
B Espalhamento de Rutherford (Cla´ssico) 67
Lista de Figuras
1.1 Espalhamento α−N . Algumas part´ıculas α tem energia suficiente para alterar . . . 1
1.2 O primeiro diagrama trata de um espalhamento coulombiano ele´tron-eletron via troca
de um foton (γ). O diagrama central trata da interac¸a˜o forte entre dois quarks via
troca de um gluon (g). E o terceiro diagrama trata da interac¸a˜o fraca com o decaimento
de um muon (µ) em um ele´tron (e−), um neutrino do muon (νµ) e um antineutrino
do ele´tron (νe). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Primeira emulsa˜o obtida por Lattes, Powel e Occhialini onde se veˆ a gerac¸a˜o de um
pion em A, sua viagem ate´ B, onde colide com um nu´cleo presente na emulsa˜o. Apo´s
colidir e ser absorvido, uma das part´ıculas resultantes e´ o muon de Anderson. . . . . . 5
2.1 Carta de nucl´ıdeos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Espalhamento Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Bolinha 1 incidindo sobre a bolinha 2. O vetor velocidade da bolinha 1 e´ perpendicular
a um plano que passa pelo centro da esfera 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 Geometria do espalhamento simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1 Espac¸o de estados da soluc¸a˜o. Cada ponto nesse espac¸o representa um estado de energia. 32
4.2 Poc¸o de Potencial Nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.1 Demonstrac¸a˜o que rotac¸o˜es tridimencionais na˜o comutam. . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
7.1 Relac¸a˜o entre o logaritmo da meia-vida e a raiz do inverso da eneergia cine´tica de
desintegrac¸a˜o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.2 Potencial sentido pela part´ıcula α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7.3 Barreira de forma qualquer subdivida em barreiras retangulares . . . . . . . . . . . . 55
7.4 Barreira Retangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
iii
Lista de Tabelas
5.1 Polinoˆmios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
v
vi LISTA DE TABELAS
CAPI´TULO 1
Ideias Ba´sicas da F´ısica Nuclear
1.1 Introduc¸a˜o
F´ısica Nuclear e´ a a´rea da f´ısica que estuda as propriedades e interac¸o˜es dos nu´cleos atoˆmicos, assim
como os mecanismos ba´sicos das reac¸o˜es nucleares. Podemos considerar que o marco incial da F´ısica
Nuclear e´ o trabalho de Rutherford [1] que, em 1911, analisando dados experimentais obtidos por
seus alunos Geiger e Marsden [2] sobre o espalhamento coulombiano de part´ıculas α (nu´cleos de
he´lio) por finas laˆminas de ouro, propoˆs a existeˆncia do nu´cleo atoˆmico.E´ bem conhecido o fato que o pro´prio Rutherford comec¸ou a perceber que o nu´cleo poderia ser
constituido de part´ıculas mais elementares. Em 1919, Rutherford, usando um feixe de part´ıculas α
realizou o experimento visto na figura
Figura 1.1: Espalhamento α−N . Algumas part´ıculas α tem energia suficiente para alterar
Como ponto de partida, temos uma part´ıcula α bombardeando nitrogeˆnio e como resultado, temos
um nu´cleo de hidrogeˆnio (pro´ton) e um nu´cleo de oxigeˆnio. Assim, apesar dos nu´cleos reagentes
na˜o incluirem o hidrogeˆnio, ou oxigeˆnio, um nu´cleo de hidrogeˆnio aparece como resultado, o qual
e´ o menor nu´cleo poss´ıvel. Assim, Rutherford conjecturou se os nu´cleos na˜o seriam constituidos
de nu´cleos de hidrogeˆnio, os quais ele denominou pro´tons em 1920. A palavra pro´ton significa em
1
2 CAPI´TULO 1. IDEIAS BA´SICAS DA FI´SICA NUCLEAR
grego ”primeiro”. Levando-se em conta a massa dos a´tomos, a conservac¸a˜o de momentum linear nos
experimentos, chega-se a` seguinte massa para o pro´ton:
mp = 1, 672621777Ö10
−27kg (1.1)
Uma unidade comum utilizada em f´ısica nuclear e f´ısica de part´ıculas e´ o ele´tron-Volt (eV). Um eV
e´ a energia adquirida por um ele´tron ao atravessar um potencial de 1 V. Assim,
1eV = 1, 60217662× 10−19J
Enta˜o, usando a relac¸a˜o de Einstein, a energia associada a` massa do pro´ton sera´
mpc
2 = 1, 672621777Ö10−27 × (299.792.458)2 = 1, 50328× 10−10J = 9, 38272× 108eV
ou como normalmente e´ escrita a massa do pro´ton
mp = 938, 272
MeV
c2
. (1.2)
Incialmente, foi considerado que o nu´cleo era composto somente de pro´tons e ele´trons. Assim, um
a´tomo com nu´cleo de massa M = A ×mp com Z ele´trons nos orbitais, teria no nu´cleo A pro´tons e
A− Z ele´trons em seu interior, fazendo com que o nu´cleo fique com carga positiva Z correta e com
a massa total tambe´m correta, medida experimentalmente. Entretanto, logo surgiu um problema.
Pelo princ´ıpio de incerteza uma part´ıcula com a massa do ele´tron, confinada em uma regia˜o ta˜o
pequena teria uma energia cine´tica gigantesca, muito superior a`quela que se consegue confinar com a
forc¸a coulombiana (faremos esse ca´lculo com mais detalhe quando abordarmos aspectos da mecaˆnica
quaˆntica).
Para resolver esse problema, um pouco mais de 10 anos depois dos experimentos iniciais de Ruther-
ford, em 1932, Chadwick mostrou experimentalmente a existeˆncia de uma outra part´ıcula no nu´cleo,
a qual foi chamada de neˆutron. E´ uma part´ıcula neutra com massa aproximadamente igual a` do
pro´ton. A experieˆncia que Chadwick realizou consistiu, basicamente, em fazer com que feixes de
part´ıculas alfa colidissem com uma amostra de Ber´ılio. Isso produziu um tipo de radiac¸a˜o que le-
varam muitos cientistas a acreditar que se tratava de raios gama. Apo´s realizar va´rios ca´lculos,
Chadwick concluiu que a radiac¸a˜o invis´ıvel na˜o eram raios gama, mas formada por part´ıculas de
massa parecida com a dos pro´tons, mas sem carga ele´trica, os quais foram denominados neˆutrons.
Isso resolvia o problema dos ele´trons no nu´cleo.
Assim, o que caracteriza um nu´cleo sa˜o os nu´meros de pro´tons e neˆutrons que ele possui. A eles
esta˜o associados 3 nu´meros:
A : nu´mero de massa
Z : nu´mero de pro´tons
N : nu´mero de neˆutrons.
Devemos notar que esses nu´meros esta˜o relacionados por
A = Z +N. (1.3)
1.2. INTERAC¸O˜ES FUNDAMENTAIS 3
Simbo´licamente, os nu´cleos sa˜o representados da seguinte forma:
A
ZX (1.4)
onde X e´ um s´ımbolo representando o elemento qu´ımico associado. Nessa notac¸a˜o, o experimento
de Chadwick pode ser escrito como
4
2He+
14
7 N → 178 O +11 p
1.2 Interac¸o˜es fundamentais
Pelo que sabemos de resultados experimentais, todos os fenoˆmenos naturais podem ser razoavelmente
bem explicados a partir de 4 interac¸o˜es fundamentais: a interac¸a˜o gravitacional, a interac¸a˜o eletro-
magne´tica, a interac¸a˜o nuclear fraca, a interac¸a˜o nuclear forte, sendo essa u´ltima responsa´vel por
manter o nu´cleo coeso. Alguns exemplos de como as interac¸o˜es atuam no modelo padra˜o atual via
diagramas de Feynman e´ apresentado na figura 1.2.
Figura 1.2: O primeiro diagrama trata de um espalhamento coulombiano ele´tron-eletron via troca de
um foton (γ). O diagrama central trata da interac¸a˜o forte entre dois quarks via troca de um gluon
(g). E o terceiro diagrama trata da interac¸a˜o fraca com o decaimento de um muon (µ) em um ele´tron
(e−), um neutrino do muon (νµ) e um antineutrino do ele´tron (νe).
De fato, ainda na˜o trataremos da interac¸a˜o forte via troca de gluons. Nosso objetivo principal
e´ entender as principais caracter´ısticas da f´ısica nuclear explorando seus aspectos quantitativos em
termos de modelos ou pontenciais efetivos. O problema de entender a f´ısica nuclear em termos da
interac¸a˜o entre quarks ainda e´ uma questa˜o em aberto. Entretanto, existe um modelo intermedia´rio
conhecido como modelo de troca de me´sons. Nesse modelo, os pro´tons e neˆutrons interagem via
troca de me´sons pi, me´sons σ, me´sons ω, etc. Vamos explorar um pouco mais esse modelo.
1.3 Interac¸a˜o por Pions
Por volta dos anos 1930 ja´ estava bem estabelecido que as ondas eletromagne´ticas podiam ser en-
tendidas em termos de fo´tons (o Efeito Fotoele´trico de Einstein). Tambe´m ja´ estava muito bem
4 CAPI´TULO 1. IDEIAS BA´SICAS DA FI´SICA NUCLEAR
estabelecido que part´ıculas carregadas interagiam por campos eletromagne´ticos, ou em outras pala-
vras, em termos de troca de fo´tons. Tambe´m ja´ estava claro que os pro´tons e os neˆutrons no nu´cleo
na˜o podiam interagir somente por meio de campos eletromagne´ticos, pois os pro´tons tem cargas
iguais e por isso se repelem pela forc¸a eletromagne´tica e os neˆutrons nem carga tem, enta˜o eles ja-
mais formariam o nu´cleo. Deve existir uma forc¸a mais intensa que a forc¸a eletromagne´tica, atuando
entre pro´tons e neˆutrons. Deve ser atrativa de modo a formar o nu´cleo e tem que ser de curto alcance,
pois na˜o existem nu´cleos maiores do que alguns fermi (1 fermi = 1 fentoˆmetro = 10−15m).
Seguindo a linha de pensamento da mecaˆnica quaˆntica, esse campo de interac¸a˜o forte pode ser
interpretado como uma part´ıcula sendo trocada, assim como o fo´ton e´ trocado na interac¸a˜o eletro-
magne´tica. E´ claro que esse processo de troca de part´ıculas deve obeder o princ´ıpio de incerteza.
Portanto se a part´ıcula trocada tem massa M , enta˜o a incerteza na energia sera´ dada por
∆E = Mc2.
Como sabemos que de acordo com o princ´ıpio de incerteza
∆E∆t ' ~
Enta˜o para que o princ´ıpio de conservac¸a˜o de energia seja violado somente dentro dessa incerteza, a
part´ıcula deve existir somente durante o intervalo de tempo dado por
∆t ' ~
∆E
=
~
Mc2
.
Durante esse tempo, essa part´ıcula poderia viajar no ma´ximo a seguinte distaˆncia
R = c∆t ' ~
Mc
.
Como ja´ vimos que os nu´cleos sa˜o da ordem de 10−15m, enta˜o a massa da part´ıcula trocada deve ser
da ordem de
M ' ~
Rc
' 200MeV
c2
. (1.5)
Essa e´ uma massa de valor intermedia´rio entre a massa do pro´ton (938 MeV) e do ele´tron (0,5 MeV).
Assim, essa part´ıcula foi chamada de me´son por Yukawa.
Anderson e Neddermeyer, em 1936, descobriram uma part´ıcula com essa massa intermedia´ria es-
tudando raios co´smicos. Inicialmente se pensou que essa era a part´ıcula de Yukawa, entretanto se
mostrou que essa part´ıcula praticamente na˜o interagia com o nu´cleon, portanto na˜o poderia ser a
part´ıcula de Yukawa. Em 1947, Lattes, Powell e Occhialini descobriram o outro me´son que ficou
sendo chamado de me´son-pi, ou ”pion”. Esse era de fato o meson de Yukawa. Esse novo me´son decai
rapidamente em part´ıculas mais leves, entre elas, o me´son de Anderson, que ficou conhecido com o
nome muon, que hoje em dia sabemos ser um le´pton, uma part´ıcula da mesma famı´lia do ele´tron,
que na˜o “sente” a interac¸a˜o forte. Esse processode decaimento e´ visto na emulsa˜o de Lattes, Powell
e Occhialini mostrada na figura 1.3
Existem treˆs tipos de pions distintos pela sua carga ele´trica: pi+, pi− e pi0. Os pions positivo e
negativo possuem a mesma massa de 139,57 MeV e decaem em me´dia no tempo de 2, 6× 10−8s. Ja´
1.3. INTERAC¸A˜O POR PIONS 5
Figura 1.3: Primeira emulsa˜o obtida por Lattes, Powel e Occhialini onde se veˆ a gerac¸a˜o de um
pion em A, sua viagem ate´ B, onde colide com um nu´cleo presente na emulsa˜o. Apo´s colidir e ser
absorvido, uma das part´ıculas resultantes e´ o muon de Anderson.
o pion neutro tem massa de 135,0 MeV e decai em me´dia no tempo de 8, 4 × 10−17s. Os processos
de decaimento dos pion carregados sa˜o principalmente da seguinte forma:
pi+ → µ+ + νµ
pi− → µ− + νµ
onde µ+ e µ− sa˜o os mu´ons postivo e negativo e νµe νµ sa˜o respectivamente o neutrino do muon e o
seu antineutrino. Por outro lado, uma frac¸a˜o de 1, 2× 10−4 dos pions decaem da seguinte forma:
pi+ → e+ + νe
pi− → e− + νe
onde e+ e e− representam o po´sitron e o ele´tron, enquanto que νee νe representam o neutrino e o
antineutrino do ele´tron. Isso significa que de cada 105 neutrinos, 12 deles decaem dessa forma. Essa
frac¸a˜o de decaimento em um determinado modo e´ chamada de raza˜o de ramificac¸a˜o. Tambe´m e´
poss´ıvel haver o decaimento da forma
pi+ → µ+ + νµ + γ
pi− → µ− + νµ + γ
com raza˜o de ramificac¸a˜o tambe´m de 1, 2× 10−4 .
O pion neutro pode decair por dois processos
pi0 → γ + γ
pi0 → e+ + e− + γ
o primeiro com raza˜o de ramificac¸a˜o de 98,8% e o segundo com 1,2%.
6 CAPI´TULO 1. IDEIAS BA´SICAS DA FI´SICA NUCLEAR
1.4 Isospin e Nu´mero Barioˆnico
Podemos verificar que pro´ton e neˆutron tem aproximadamente a mesma massa, assim como os pions
tambe´m tem aproximadamente a mesma massa. A diferenc¸a esta´ na carga ele´trica. Lembrando que
uma part´ıcula de spin 1/2 como o ele´tron pode estar com projec¸a˜o de spin positiva +1/2 e projec¸a˜o de
spin negativa −1/2 em um espac¸o vetorial do spin, enta˜o, em analogia podemos pensar em um espac¸o
vetorial da carga. Dessa forma, podemos pensar no pro´ton e no neˆutron como projec¸o˜es da mesma
part´ıcula nesse espac¸o vetorial da carga. Essa part´ıcula sera´ denominada nucleon, e esse nu´mero
quaˆntico associado a` carga sera´ chamado de isospin.
Do ponto de vista matema´tico, o spin e´ estudado em termos das matrizes de Pauli, dadas por
σx =
1
2
(
0 1
1 0
)
σy =
1
2
(
0 −i
i 0
)
σz =
1
2
(
1 0
0 −1
)
(1.6)
onde ~ e´ a constante de Planck. Considerando os estados de spin do ele´tron como
|e (+1/2)〉 =
(
1
0
)
|e (−1/2)〉 =
(
0
1
)
notamos que eles sa˜o autoestados do operador σz de modo que
~σz |e (+1/2)〉 = ~
2
(
1 0
0 −1
)(
1
0
)
=
~
2
(
1
0
)
~σz |e (−1/2)〉 = ~
2
(
1 0
0 −1
)(
0
1
)
= −~
2
(
0
1
)
.
Tambe´m e´ poss´ıvel construir operadores que ligam os dois estados de spin do ele´tron da seguinte
forma
σ+ = σx + iσy =
(
0 1
0 0
)
⇒ σ+ |e (−1/2)〉 = |e (+1/2)〉
σ− = σx − iσy =
(
0 0
1 0
)
⇒ σ+ |e (+1/2)〉 = |e (−1/2)〉
que sa˜o chamados de operadores de levantamento e abaixamento respectivamente. Toda essa algebra
do spin pode ser repassada para o espac¸o de isospin, de modo que se definirmos operadores de isospin
como
τx =
1
2
(
0 1
1 0
)
τy =
1
2
(
0 −i
i 0
)
τz =
1
2
(
1 0
0 −1
)
e os estados de isospin para o pro´ton |p〉 e neˆutron |n〉 como
|p〉 =
(
1
0
)
|n〉 =
(
0
1
)
1.5. EXERCI´CIOS 7
enta˜o e´ claro que a mesma algebra pode ser utilizada no espac¸o de isospin.
Para o pion basta considerar os casos de part´ıculas com spin 1, de modo que os respectivos opera-
dores sera˜o
τx =
1√
2
 0 1 01 0 1
0 1 0
 τy = i√
2
 0 −1 01 0 −1
0 1 0
 τz =
 1 0 00 0 0
0 0 −1
 (1.7)
e os estados de isospin para os pions sera˜o
∣∣pi+〉 =
 10
0
⇒ τz ∣∣pi+〉 = +1 ∣∣pi+〉
∣∣pi0〉 =
 01
0
⇒ τz ∣∣pi0〉 = 0 ∣∣pi0〉
∣∣pi−〉 =
 00
1
⇒ τz ∣∣pi+〉 = −1 ∣∣pi−〉
Com isso em mente, podemos verificar que a carga de uma part´ıcula sera´ dada por
Q = τz +
B
2
(1.8)
onde B = 1 para nucleons e B = 0 para o pion. B e´ conhecido como nu´mero barioˆnico. Se
fizermos essas atribuic¸o˜es para B e considerarmos que antinucleos tem B = −1, enta˜o esse nu´mero e´
conservado nas reac¸o˜es conhecidas. Da mesma forma e´ poss´ıvel definir um nu´mero leptoˆnico L = 1
para o ele´tron e L = −1 para o po´sitron, L = 1 para o neutrino e L = −1 para o antineutrino e
assim por diante. Novamente o nu´mero leptoˆnico e´ conservado nas reac¸o˜es. No momento oportuno
voltaremos a esse assunto.
1.5 Exerc´ıcios
Para resolver os exerc´ıcios utilize as expresso˜es relativ´ıstica do apeˆndice A
1. a) Utilizando a expressa˜o relativistica para a relac¸a˜o energia-momentum, calcule o comprimento
de onda de de Broglie, λ = h/p, para pro´tons de energia cine´tica de 500 keV e 900 MeV. b)
Repita o ca´lculo utilizando a expressa˜o na˜o-relativ´ıstica para o momentum. c) Repita (a) e (b)
para ele´trons com as mesmas energias.
2. Em que energia cine´tica o pro´ton possui velocidade igual a` metade da velocidade da luz?
Compare com o resultado para o ele´tron. (utilize expresso˜es relativ´ısticas)
3. Mostre que um pro´ton deve ter energia maior que 5,6 GeV para produzir um par pro´ton-
antipro´ton em uma colisa˜o com outro pro´ton em repouso.
8 CAPI´TULO 1. IDEIAS BA´SICAS DA FI´SICA NUCLEAR
4. Calcule as energias limiares (mı´nimas) para as seguintes reac¸o˜es ocorram. Considere o pro´ton
em repouso no laborato´rio e enta˜o outra part´ıcula e´ atirada contra ele.
(a) p+ p→ p+ p+ pi0 (c) p+ p→ p+ p+ pi+ + pi−
(b) p+ p→ p+ n+ pi+ (d) pi− + p→ p+ p¯+ n
5. Verifique se os processos sa˜o proibidos explicando em termos da conservac¸a˜o da carga e dos
nu´meros barioˆnico e leptoˆnico.
(a) pi0 + n→ p+ pi0 (c) n→ p+ e+ + νe
(b) p+ e− → γ + γ (d) γ + p→ n¯+ pi+
CAPI´TULO 2
Nu´cleos e Radioatividade
2.1 Nu´cleos e Carta de Nucl´ıdeos
Os nu´cleos com o mesmo nu´mero de pro´tons mas diferentes nu´meros de neˆutros sa˜o chamados de
iso´topos. Por outro lado, se tem o mesmo nu´mero de neˆutrons, sa˜o iso´tonos e com o mesmo nu´mero
de massa sa˜o iso´baros. Nu´cleos espelho sa˜o iso´baros cujo Z de um e´ igual ao N do outro. Como
exemplos temos:
12
6 C → Carbono 12
13
6 C → Carbono 13 (iso´topo)
13
7 N → Nitrogeˆnio 13 (iso´tono)
13
7 N e
13
6 C → Nu´cleos espelho
Podemos utilizar a dependeˆncia dos nu´cleos em relac¸a˜o ao nu´mero de pro´tons e de neˆutrons e
montar um diagrama em que o eixo horizontal e´ o nu´mero de neˆutrons e o eixo vertical e´ o nu´mero
de pro´tons. Procedendo dessa forma construimos a conhecida tabela de nucl´ıdeos. Sa˜o mais de 1700
nucl´ıdeos, entre iso´topos, iso´tonos e iso´baros. Esses dados sa˜o mostrados na figura 2.1.
Na˜o existem nu´cleos fora da regia˜o demarcada e a regia˜o aproximadamente no centro e´ chamada
de linha de estabilidade.
2.2 O Tamanho do Nu´cleo Atoˆmico
Como foi dito, a existeˆncia do nu´cleo atoˆmico foi comprovada por Rutherford por meio de experieˆncias
de espalhamento de part´ıculas α. De fato, de maneira geral, a ide´ia de espalhamento continua em
pra´tica nos modernos estudos das part´ıculas elementares nos grandes aceleradores de part´ıculas
atuais. Por isso, vamos comec¸ar estudando como calcular um espalhamento simples e relacionar com
dados experimentais.
9
10 CAPI´TULO 2. NU´CLEOS E RADIOATIVIDADE
Figura 2.1: Carta de nucl´ıdeos
2.2.1 Espalhamento simples
Em um experimento de espalhamento t´ıpico, um feixe paralelo de part´ıculas incide sobre um alvo
fixo. As part´ıculas espalhadas podem ser detectadas fazendo um aˆngulo θ¯ com o feixe incidente,
como mostrado na figura 2.2
Figura 2.2: EspalhamentoSimples
2.2. O TAMANHO DO NU´CLEO ATOˆMICO 11
O detector cobre uma a´rea dS, que capta as part´ıculas emergentes segundo um aˆngulo so´lido
dΩ =
dS
r2
. (2.1)
O objetivo e´ determinar o nu´mero de part´ıculas desviadas em um determinado aˆngulo so´lido dividido
pelo nu´mero de part´ıculas incidentes, por unidade de tempo e por unidade de a´rea.
Comecemos considerando o caso cla´ssico em que estamos em um local sem gravidade ou com
gravidade despresivel diante das forc¸as envolvidas e enta˜o iniciamos um experimento de colisa˜o
atirando um part´ıcula sobre um conjunto de outras, como mostrado na figura 2.3. Considerando a
part´ıcula mais pro´xima da trajeto´ria, se o paraˆmetro b, conhecido como paraˆmetro de impacto,
for menor que a soma dos raios das duas part´ıculas (incidente e alvo) enta˜o ocorre a colisa˜o, caso
contra´rio na˜o ha´ colisa˜o. Assim, se a linha de trajeto´ria da part´ıcula incidente passar dentro de uma
a´rea circular em torno da part´ıcula alvo, a qual dada por
σ = pi (R1 +R2)
2
onde R1 e R2 sa˜o os raios das part´ıculas incidente e alvo respectivamente, enta˜o havera´ colisa˜o. A
a´rea efetiva σ e´ conhecida como sec¸a˜o de choque. E´ claro que se tivermos interac¸o˜es atuando a`
distaˆncia se torna um pouco mais dificil definir a sec¸a˜o de choque. Veremos como isso pode ser feito.
Figura 2.3: Bolinha 1 incidindo sobre a bolinha 2. O vetor velocidade da bolinha 1 e´ perpendicular
a um plano que passa pelo centro da esfera 2.
Em um laborato´rio, normalmente o feixe incidente e´ composto de um grande nu´mero de part´ıculas
com velocidades entrre v e v + dv, mas com todas os vetores velocidades paralelos. Tambe´m as
part´ıculas desse feixe esta˜o distribuidas em uma sec¸a˜o transversal de a´rea A. Portanto, em um alvo
com densidade de part´ıculas η e espessura `, o nu´mero total de part´ıculas alvo dispon´ıveis para
colisa˜o com uma part´ıcula incidente qualquer e´
∆Ndisp = η`A.
12 CAPI´TULO 2. NU´CLEOS E RADIOATIVIDADE
Supondo que as part´ıculas estejam ta˜o espac¸adas que a sec¸a˜o de choque transversal de uma na˜o fica
eclipsada pela sec¸a˜o de choque transversal de outra, a a´rea que efetivamente participa do processo
de espalahmento e´
Aefet = ∆Ndispσ.
Dessa forma, a probabilidade de colisa˜o e´ dada por:
P =
Aefet
A
= η`σ.
Outra caracter´ıstica importante do feixe, e´ a sua intensidade J0 que e´ o nu´mero de part´ıculas por
unidade de a´rea e por unidade de tempo, de modo que o nu´mero de part´ıculas que incide uma a´rea
A em um intervalo de tempo ∆t e´ dado por
∆Ninc = J0A∆t.
Dessa forma, o nu´mero de part´ıculas que colidem e´ dado pelo nu´mero total de part´ıculas incidentes
multiplicado pela probabilidade de colisa˜o:
∆Ncolis = P∆Ninc = η`σJ0A∆t.
Portanto, a sec¸a˜o de choque pode ser escrita como
σ =
1
J0∆t
(
∆Ncolis
η`A
)
=
Φ
J0∆t
, (2.2)
onde definimos a quantidade
Φ =
∆Ncolis
η`A
(2.3)
que representa o nu´mero de part´ıculas que colidem por part´ıculas do alvo, ou seja, o nu´mero de
part´ıculas espalhadas por centro espalhador.
2.2.1.1 Sec¸a˜o de Choque Diferencial
E´ claro que Φ representa o total de part´ıculas espalhadas em todas as direc¸o˜es. Portanto, se definirmos
∆Φ como o nu´mero de part´ıculas espalhadas em um determinado aˆngulo so´lido dΩ, temos
Φ =
ˆ
∆ΦdΩ
Substituindo esse resultado em (2.2), temos
σ =
1
J0
ˆ (
∆Φ
∆t
)
dΩ
de modo que obtemos
dσ
dΩ
=
1
J0
(
∆Φ
∆t
)
que e´ conhecido como sec¸a˜o de choque diferencial, que esta´ relacionada ao nu´mero de part´ıculas
espalhadas em determinado aˆngulo so´lido, por unidade de tempo e por centro espalhador. E´ claro
que em laborato´rio, normalmente se tem apenas um detector localizado em um determinado aˆngulo
so´lido. Dessa forma, e´ clara a utilidade da sec¸a˜o de choque diferencial.
2.2. O TAMANHO DO NU´CLEO ATOˆMICO 13
2.2.1.2 Paraˆmetro de Impacto
Outro ponto importante a ser destacado e´ o paraˆmetro de impacto que influencia diretamente no
aˆngulo de desvio. Com aux´ılio da figura 2.4, podemos facilmente perceber uma simetria em torno
da direc¸a˜o do feixe incidente. Nessa figura temos representado um experimento de espalhamento. O
feixe incidente atinge um anteparo com orif´ıcio na forma de coroa circular com raios entre b e b+ db.
A a´rea dessa coroa circular e´
dAcoroa ≈ 2pib db.
Qualquer part´ıcula com uma energia espec´ıfica E que passe pela a´rea da coroa circular, devera´ ser
espalhada atrave´s do que e´ conhecido como anel de espalhamento, na˜o importando a posic¸a˜o
angular em torno do eixo central. A a´rea do anel circular e´ dada por
dAAnel = 2pisenθ dθ
Figura 2.4: Geometria do espalhamento simples
O nu´mero de part´ıculas que passa pela coroa por unidade de tempo e´
∆Ncoroa = J0 dAcoroa = 2pibJ0 db
que e´ igual ao nu´mero de part´ıculas que passa pelo anel
∆Nanel = 2pibJ0 db.
14 CAPI´TULO 2. NU´CLEOS E RADIOATIVIDADE
Por outro lado, o nu´mero de part´ıculas que passa pelo anel tambe´m pode ser obtido da seguinte
forma:
∆Nanel = J0
ˆ
A´rea do anel
(
dσ
dΩ
)
dΩ = J0
(
dσ
dΩ
)
2pisen(θ)dθ.
Como ∆Nanel = ∆Ncoroa, enta˜o chegamos a
J0
(
dσ
dΩ
)
2pisen(θ)dθ = 2pibJ0 db
ou (
dσ
dΩ
)
sen(θ)dθ = b db⇒
(
dσ
dΩ
)
=
b
sen(θ)
db
dθ
(2.4)
Essa equac¸a˜o relaciona o paraˆmetro de impacto e a sec¸a˜o de choque diferencial. Como o paraˆmetro de
impacto representa uma estimativa do tamanho do alvo, vemos que uma das primeirais informac¸o˜es
obtidas atrave´s da sec¸a˜o de choque se refere ao tamanho do alvo. O Espalhamento de Rutherford
cla´ssico e´ visto no apeˆndice B.
2.2.2 Tamanho do Nu´cleo
Resultados experimentais sobre as sec¸o˜es de choque dos nu´cleos espalhando seja part´ıculas α ou
ele´trons (conhecidos como raios β) levaram ao resultado que o volume dos nu´cleos e´ proporcional A,
de modo que o raio dos nu´cleos e´ dado por
R = r0A
1/3 (2.5)
sendo r0 ≈ 1, 4 fm. Esse e´ um resultado emp´ırico va´lido par a maioria dos nu´cleos com excec¸a˜o dos
mais leves como hidrogeˆnio e he´lio.
2.3 Decaimento radioativo
A` medida que os nu´cleos se tornam maiores, o nu´mero de pro´tons tende a crescer, fazendo com que
a repulsa˜o coulombiana entre os pro´tons tambe´m cresc¸a. Como a forc¸a nuclear e´ de curto alcance,
existe um saturamento da forc¸a nuclear enquanto que a forc¸a eletrosta´tica repulsiva continua atuando.
Assim, muitos nu´cleos grandes se tornam insta´veis. Esses decaimentos podem ser processados de
va´rias maneiras, as quais veremos oportunamente. Agora vamos considerar os aspectos estat´ısticos
do problema.
Consideremos enta˜o uma amostra com N a´tomos radioativos no instante t. Se existe uma probabi-
lidade λdt de ocorrer um decaimento em um intervalo de tempo dt, a quantidade dN de a´tomos que
se transforma naquele intervalo pode ser escrita como
dN = −λNdt.
2.4. DECAIMENTOS MU´LTIPLOS 15
A quantidade λ e´ conhecida como constante de decaimento. A taxa com que uma amostra se
desintegra e´ chamada de atividade e e´ calculada da seguinte forma:
A(t) = −dN
dt
= λN. (2.6)
Resolvendo essa equac¸a˜o diferencial temos o nu´mero de a´tomos em func¸a˜o do tempo, que e´ dado
por
N(t) = N0e
−λt (2.7)
onde N0 e´ o nu´mero de a´tomos no instante inicial (t = 0).
Uma quantidade interessante de ser obtida e´ o tempo necessa´rio para que metade dos a´tomos da
amostra se desintegrem, chamado de meia-vida. De acordo com essa definic¸a˜o a meia-vida deve ser
tal que
N(t1/2) =
N0
2
⇒ N0
2
= N0e
−λt1/2 ⇒ t1/2 = ln 2
λ
(2.8)
Tambe´m podemos definir a vida-me´dia, como o tempo me´dio de vida de um elemento radioat´ıvo
em uma amostra. Isso pode ser obtido pela definic¸a˜o de me´dia temporal em uma distribuic¸a˜o dada
por N(t):
τ =
´∞
0
t N0e
−λtdt´∞
0
N0e−λtdt
⇒ τ = 1
λ(2.9)
2.4 Decaimentos Mu´ltiplos
Se para cada a´tomo de uma substaˆncia radioativa houver va´rias vias de dacaimento, com probabilida-
des λ1, λ2, etc., o nu´mero de a´tomos N(t) a cada instante sera´ dado por (2.7), com λ = λ1+λ2 + · · · .
Outro tipo de decaimento interessante e´ quando existe uma sequeˆncia de decaimentos, em que um
nu´cleo insta´vel decay em outro tambe´m insta´vel ate´ que finalmente che em um nu´cleo esta´vel, como
representado abaixo:
N1
λ1→ N2 λ2→ N3 λ3→ · · · λk−1→ Nk
As equac¸o˜es diferenciais que descrevem essa sequeˆncia sa˜o dadas por
dN1
dt
= −λ1N1
dN2
dt
= −λ2N2 + λ1N1
...
...
...
dNi
dt
= −λiNi + λi−1Ni−1
...
...
...
dNk
dt
= λk−1Nk−1,
16 CAPI´TULO 2. NU´CLEOS E RADIOATIVIDADE
onde λi−1Ni−1 representa a contribuic¸a˜o que vem da produc¸a˜o do nu´cleo anterior, chamado nu´cleo
pai. Aqui foi feita a hipo´tese que em t = 0s, temos N2(0) = N3(0) = N4(0) = · · · = 0.
Essas sa˜o equac¸o˜es acopladas. Assim, para obter a soluc¸a˜o dessas equac¸o˜es comec¸amos com a
primeira, cuja soluc¸a˜o e´
N1(t) = N1(0)e
−λ1t.
Substituindo na segunda, encontramos
dN2
dt
= −λ2N2 + λ1N1(0)e−λ1t.
Uma soluc¸a˜o particular dessa equac¸a˜o na˜o-homogeˆna sera´
N
(n˜H)
2 (t) = N1(0)
λ1
λ2 − λ1 e
−λ1t
e a soluc¸a˜o da equac¸a˜o homogeˆnea associada sera´
N
(H)
2 (t) = Ce
−λ2t,
onde fazemos a apropriada escolha da constante multiplicativa C para satisfazer a condic¸a˜o inicial
que em t = 0 temos N2(0) = 0,
N2(t) = N1(0)
λ1
λ2 − λ1 e
−λ1t + Ce−λ2t → N2(0) = N1(0) λ1
λ2 − λ1 + C = 0 −→ C = N1(0)
λ1
λ1 − λ2
Portanto, a soluc¸a˜o geral sera´
N2(t) = N1(0)
(
λ1
λ2 − λ1 e
−λ1t +
λ1
λ1 − λ2 e
−λ2t
)
2.5 Medidas de Radioatividade
(Retirado da sec¸a˜o 5.6 - Bertulani-Schechter)
Para se estabelecer um conjunto de unidades para a radioatividade, pode-se pensar na intensidade
das fontes emissoras ou nos efeitos por elas produzidos, especialmente no corpo humano. Uma
grandeza que leva em conta apenas o primeiro fator e´ a atividade, definida por (2.6), e que se refere
apenas ao nu´mero de desintegrac¸o˜es da amostra, na˜o importando a energia ou o tipo de radiac¸a˜o
emitida. As unidades empregadas para a atividade sa˜o:
ˆ O Curie (Ci), com 1 Ci = 3, 7× 1010 desintegrac¸o˜es/s.
ˆ O Becquerel (Bq), com 1 Bq = 1 desintegrac¸a˜o/s
ˆ O Rutherford (Rd), com 1 Rd = 106 desintegrac¸o˜es/s.
2.6. BASE MATEMA´TICA DA MECAˆNICA QUAˆNTICA 17
Quando se quer tambe´m mensurar os efeitos da radioatividade, outras grandezas sa˜o necessa´rias.
Um efeito caracter´ıstico das radiac¸o˜es e´ a ionizac¸a˜o, ou seja, o arrancamento de ele´trons dos a´tomos,
produzindo ele´trons livres e ı´ons positivos. Uma grandeza que expressa a ionizac¸a˜o produzida pela
radiac¸a˜o gama e X no ar e´ a exposic¸a˜o. Sua unidade no Sistema Internacional (SI) e´ o Coulomb/Kg
de ar, mas uma unidade tradicional ainda em uso e´ o Roentgen (R), definindo-se 1 R como sendo a
quantidade de radiac¸a˜o que produz a carga de 1 esu1 em 1 cm3 de ar. Nas CNTP ambas se relacionam
do modo seguinte:
ˆ 1 Roentgen≡1 R = 1 esu/1 cm3 de ar = 2, 58× 104C/Kg de ar.
Pode-se tambe´m definir uma grandeza relacionada a` quantidade de energia produzida pela passagem
da radiac¸a˜o, ou de part´ıculas, em um dado material. Tal grandeza e´ chamada dose absorvida e sua
unidade tradicional e´ o rad (rd), sendo
ˆ 1 rd = 10¡2 J/Kg = 100 ergs/g do material,
embora, como nas demais grandezas, haja a recomendac¸a˜o do uso do SI, cuja unidade respectiva e´ o
Gray (Gy), com
ˆ 1 Gy = 1 J/kg do material = 100 rd.
Para um dado material a exposic¸a˜o e a dose absorvida se relacionam. Assim, para o tecido mole do
corpo, 1 R ' 1 rd; para o ar, 1 R ' 0,9 rd.
Danos biolo´gicos causados pela radiac¸a˜o na˜o dependem somente da energia depositada, mas tambe´m
da natureza da part´ıcula ionizante. Para se ter uma medida desses danos que seja livre dessa
dependeˆncia criou-se uma grandeza, a dose equivalente, que e´ obtida a partir da dose absorvida
multiplicando-se essa por um fator de peso da radiac¸a˜o, wR, que depende da natureza e da energia
da part´ıcula ou radiac¸a˜o. As unidades empregadas sa˜o o rem (Roentgen Equivalent Man) 1 rem =
wR £ (dose em rads)
2.6 Base Matema´tica da Mecaˆnica Quaˆntica
Como se sabe sistemas em escala atoˆmica ou nuclear sa˜o regidos pela Mecaˆnica Quaˆntica. A equac¸a˜o
fundamental da mecaˆnica quaˆntica e´ conhecida como equac¸a˜o de Schro¨dinger, que pode ser escrita
como
Hˆψ = i~
∂ψ
∂t
(2.10)
onde o operador H e´ conhecido como Hamiltoniano pode ser escrito como uma soma da energia
cine´tica e energia potencial, os quais assumem o status de operadores:
Hˆ0 = − ~
2
2m
∇2 + Vˆ (2.11)
1esu (electrostatic unit of charge): A unidade esu e´ definida de modo que duas cargas de 1 seu separadas por 1 cm
produzem uma forc¸a repulsiva de 1 dy (dyne). 1 dyne e´ a forc¸a necessa´ria para produzir uma acelerac¸a˜o de 1cm/s em
uma massa de 1 grama.
18 CAPI´TULO 2. NU´CLEOS E RADIOATIVIDADE
Se o potencial for independente do tempo, podemos utilizar separac¸a˜o de varia´veis para comec¸ar a
resolver a equac¸a˜o (2.10). Dessa forma, escrevemos
ψ = φ(x, y, z)χ(t).
Com isso, a equac¸a˜o (2.10) fica escrita como
1
φ
Hˆ0φ =
i~
χ
∂χ
∂t
Como do lado esquerdo so´ temos termos dependentes das coordenadas de posic¸a˜o, pois Hˆ na˜o depende
de t e do lado direito so´ temos termos dependentes do tempo, para ocorrer a igualdade esses lados
devem ser iguais a uma constante que denominaremos E. Assim,
1
φ
Hˆ0φ = E ⇒ Hˆ0φ = Eφ (2.12)
i~
χ
∂χ
∂t
= E =
∂χ
∂t
= −iE
~
χ (2.13)
A soluc¸a˜o da equac¸a˜o temporal (2.13) e´ facilmente obtida e resulta em
χ = exp
(
−iE
~
t
)
Qualquer constante multiplicativa em χ pode ser englobada na soluc¸a˜o da equac¸a˜o (2.12), que e´ uma
equac¸a˜o diferencial de autovalor. De fato, podemos obter muitas soluc¸o˜es da equac¸a˜o (2.12) com
autovalores diferentes, de modo que podemos escrever
Hˆ0φn = Enφn
e a soluc¸a˜o geral sera´ dada por uma combinac¸a˜o linear como
ψ(~r, t) =
∑
n
anφn(~r)e
−iEn~ t
Essa e´ a func¸a˜o de onda do sistema e as quantidades f´ısicas que podem ser obtidas a partir dessa func¸a˜o
ficam estabelecidadas por meio de postulados. Um dos postulados iniciais da mecaˆnica quaˆntica pode
ser enunciado da seguinte maneira.
ˆ Em um instante fixo do tempo t0, o estado f´ısico de um sistema e´ completamente definido pela
func¸a˜o de onda ψ(~r, t0).
Veremos nas pro´ximas sec¸o˜es como interpretar a func¸a˜o de onda.
2.6. BASE MATEMA´TICA DA MECAˆNICA QUAˆNTICA 19
2.6.1 Ca´lculo Probabil´ıstico
De acordo com a interpretac¸a˜o de Born, conhecendo ψ(~r, t) obtemos a densidade de probabilidade
P ,
P (~r, t) = ψ∗(~r, t)ψ(~r, t).
Se P (~r, t) na˜o depender de t dizemos que ψ(~r, t) representa um estado estaciona´rio. Com a
probabilidade podemos calcular o chamado valor esperado (me´dia ponderada) de uma func¸a˜o
f(x) da seguinte forma
〈f(x)〉 =
∞ˆ
−∞
dx f(x)P (x, t) =
∞ˆ
−∞
dx ψ∗(x, t)f(x)ψ(x, t) (2.14)
O valor esperado de uma quantidade f´ısica e´ chamado de observa´vel e deve ser um nu´mero real.
Por exemplo, considere um observa´vel associado ao operador Aˆ, enta˜o,
〈
Aˆ
〉
=
〈
Aˆ
〉∗
⇒
∞ˆ
−∞
dx ψ∗Aˆψ =
 ∞ˆ
−∞
dx ψ∗Aˆψ
∗
=
∞ˆ
−∞
dx ψ(Aˆψ)∗
=
∞ˆ
−∞
dx (Aˆψ)∗ψ ≡
∞ˆ
−∞
dx ψ∗Aˆ†ψ (2.15)
onde usamos o fato que (Aˆψ)∗ = ψ∗(AˆT )∗ com AˆT sendo o operador transposto de Aˆ e definimos o
operador adjunto como (AˆT )∗ ≡ Aˆ†, ou seja, e´ o operador transposto e conjugado complexo de Aˆ.
Esta´ claro, observando (2.15), que se o operador Aˆ representa uma quantidade f´ısica devemos ter
Aˆ = Aˆ† (2.16)
Um operador com a propriedade (2.16) e´ dito hermitiano ou autoadjunto. Todos os operadores
que representamquantidades f´ısicas, ou seja, observa´veis, sa˜o hermitianos.
2.6.2 Ortogonalidade
Consideremos agora duas autofunc¸o˜es do mesmo operador hermitiano, mas com autovalores diferen-
tes:
Aˆφ1 = a1φ1
Aˆφ2 = a2φ2
20 CAPI´TULO 2. NU´CLEOS E RADIOATIVIDADE
Enta˜o esta´ claro que
∞ˆ
−∞
dx φ∗2
(
Aˆφ1
)
= a1
∞ˆ
−∞
dx φ∗2φ1 (2.17)
∞ˆ
−∞
dx
(
Aˆφ2
)∗
φ1 = a2
∞ˆ
−∞
dx φ∗2φ1 (2.18)
Observe que a2 deve ser real pois e´ autovalor de um operador hermitiano. Observando o lado esquerdo
da equac¸a˜o (2.18), obtemos
∞ˆ
−∞
dx
(
Aˆφ2
)∗
φ1 =
∞ˆ
−∞
dx φ∗2Aˆ
†φ1 =
∞ˆ
−∞
dx φ∗2
(
Aˆφ1
)
onde levou-se em conta que o operador e´ hermitiano. Assim, os lados esquerdos das equac¸o˜es (2.17)
e (2.18) sa˜o ideˆnticos. Dessa forma, subtraindo (2.17) de (2.18) chegamos
(a1 − a2)
∞ˆ
−∞
dx φ∗2φ1 = 0.
Como por hipo´tese a1 6= a2, enta˜o resta
∞ˆ
−∞
dx φ∗2φ1 = 0.
Assim, chegamos a` conclusa˜o que autofunc¸o˜es de um operador hermitiano com autovalores diferentes
sa˜o ortogonais. Como sempre e´ poss´ıvel normalizar esse tipo de func¸a˜o (quadrado somavel), enta˜o
podemos escrever
∞ˆ
−∞
dx φ∗iφj = δi,j, (2.19)
onde
δi,j =
{
0 no caso em que i 6= j
1 no caso em que i = j
2.6.3 Completeza
Consideremos agora um conjunto de N autofunc¸o˜es de um operador A. Se construirmos a combinac¸a˜o
linear dessas N autofunc¸o˜es, teremos
Φ = b1φ1 + b2φ2 + · · ·+ bNφN =
N∑
j=1
bjφj.
2.7. CA´LCULO DA PROBABILIDADE DE TRANSIC¸A˜O 21
onde os coeficientes bj sa˜o nu´meros. Vejamos que condic¸o˜es esses coeficientes devem satisfazer para
que essa combinac¸a˜o linear seja nula. Com efeito,
Φ = 0⇒
∞ˆ
−∞
dx φ∗iΦ = 0⇒
∞ˆ
−∞
dx φ∗i
N∑
j=1
bjφj = 0⇒ bi = 0
Em outras palavras esse conjunto de N autofunc¸o˜es sa˜o linearmente independentes e ortonor-
mais, dessa forma, produzindo uma base para esse espac¸o vetorial.
2.7 Ca´lculo da Probabilidade de Transic¸a˜o
A constante de decaimento λ representa uma probabilidade de ocorrer uma transic¸a˜o entre estados
quaˆnticdos. Vamos enta˜o obter essa probabilidade a partir da mecaˆnica quaˆntica. O nu´cleo insta´vel
pode ser representado pela soma de um termo perturbativo a um estado estaciona´rio. Do ponto de
vista do Hamiltoniano significa que
Hˆ = Hˆ0 + Vˆ
(pert)
onde V (pert) representa o termo perturbativo que desestabiliza o nu´cleo. Vamos supor que sabemos
a soluc¸a˜o de
Hˆ0φn = Enφn
e com isso φn forma um conjunto completo e portanto qualquer soluc¸a˜o nesse espac¸o pode ser obtida
como uma combinac¸a˜o linear dos estados φn.
Queremos enta˜o resolver o problema
Hˆψ = i~
∂ψ
∂t
.
Como o potencial perturbativo e´ assumido ser pequeno, enta˜o o estado na˜o estaciona´rio ψ deve estar
muito pro´ximo de algum estado estaciona´rio que consideraremos ser φk. Assim, vamos indexar o
estado ψ como ψk. Dessa forma, podemos escrever
ψk(~r, t) =
∑
n
an,k(t)φn(~r)e
−iEn~ t
onde indexou-se o coeficiente an,k(t) com dois ı´ndices e se considerou que eles devem depender do
tempo pois ψk(~r, t) na˜o deve ser estaciona´ria. Assim, a equac¸a˜o completa fica escrita como
Hˆψ =
(
H0 + V
(pert)
)
ψ = i~
∂ψ
∂t(
Hˆ0 + Vˆ
(pert)
)∑
n
an,k(t)φn(~r)e
−iEn~ t = i~
∂
∂t
∑
n
an,k(t)φn(~r)e
−iEn~ t
∑
n
an,k
(
En + Vˆ
(pert)
)
φne
−iEn~ t = i~
∑
n
∂an,k
∂t
φne
−iEn~ t +
∑
n
an,kφe
−iEn~ t
22 CAPI´TULO 2. NU´CLEOS E RADIOATIVIDADE
ou ∑
n
(
i~
∂an,k
∂t
− an,kVˆ (pert)
)
φn(~r)e
−iEn~ t = 0
Multiplicando a` esquerda por φ∗k(~r)e
i
Ek
~ t e integrando em ~r, obtemos
∑
n
(
∂an,k
∂t
ˆ
φ∗k(~r)φn(~r)d
3r − an,k
i~
ˆ
φ∗k(~r)Vˆ
(pert)φn(~r)d
3r
)
e−i
En−Ek
~ t = 0
∑
n
(
∂an,k
∂t
δn,k + i
an,k
~
ˆ
φ∗k(~r)Vˆ
(pert)φn(~r)d
3r
)
e−i
En−Ek
~ t = 0
∂ak,k
∂t
+
i
~
∑
n
an,kVˆ
(pert)
k,n e
−iEn−Ek~ t = 0, (2.20)
onde foi defenido o elemento de matriz do potencial como
Vˆ
(pert)
k,n =
ˆ
φ∗k(~r)Vˆ
(pert)φn(~r)d
3r.
Para prosseguir, vamos considerar que a perturbac¸a˜o comec¸a a atuar em um instante t = 0. Antes
desse tempo o sistema estava em um estado na˜o perturbado φm(~r). Assim, antes de t = 0, temos{
am = 1
an = 0 n 6= m,
mas ja´ que a perturbac¸a˜o deve ser pequena, vamos considerar que depois que a perturbac¸a˜o e´ ligada
ainda teremos an ≈ δn,m, de modo que a equac¸a˜o diferencial (2.20) fica
∂ak,k
∂t
+
i
~
∑
n
δn,mVˆ
(pert)
k,n e
−iEn−Ek~ t = 0⇒ ak = − i~
Tˆ
0
Vˆ
(pert)
k,m e
−iEm−Ek~ tdt⇒ ak =
Vˆ
(pert)
k,m
(
1− eiEk−Em~ T
)
Ek − Em
Aqui T representa o tempo de atuac¸a˜o do potencial perturbativo e escrevemos simplesmente ak,k = ak.
Para entender o significado de ak,k vamos relembrar a definic¸a˜o de densidade de probabilidade que
quando integrada sobre todo o espac¸o deve resultar em 1.
P =
ˆ
d3r
(∑
n
anφn(~r)e
−iEn~ t
)∗(∑
n′
an′φn′(~r)e
−iEn′~ t
)
.
=
∑
n
∑
n′
a∗nan′e
−iEn′−En~ t
ˆ
d3rφn(~r)φn′(~r)︸ ︷︷ ︸
δn,n′
=
∑
n
|an|2 = 1.
2.7. CA´LCULO DA PROBABILIDADE DE TRANSIC¸A˜O 23
De fato, |ak|2 representa a probabilidade de encontrar o sistema no estado φk(~r). Assim, no nosso caso
do decaimento de um estado inicial φm(~r), |ak|2 /T deve representar a probabilidade de transic¸a˜o por
unidade de tempo do sistema no estado φm(~r), decair para o estado φk(~r). Essa probabilidade deve
ser igual a` constante de decaimento λk relativa ao estado φk(~r). Assim, a constante de decaimento
total sera´:
λ =
∑
k
|ak|2
T
.
Se ha´ um grande nu´mero de estados k dispon´ıveis com energia Ek, de modo que possamos definir uma
densidade de estados ρ(Ek), a somato´ria sobre os estados pode ser substituida por uma integrac¸a˜o.
Assim,
λ =
1
T
∞ˆ
−∞
|ak|2 ρ(Ek)dEk = 1
T
∞ˆ
−∞
∣∣∣Vˆ (pert)k,m ∣∣∣2
(Ek − Em)2
∣∣∣(1− eiEk−Em~ T)∣∣∣2 ρ(Ek)dEk.
A integrac¸a˜o tem limites de −∞ ate´ ∞para que todas as energias poss´ıveis para o estado final seja
pesquisadas (sejam estados livres ou estados ligados). O termo com a exponencial pode ser tratado
da seguinte forma: ∣∣(1− eiθ)∣∣2 = (1− e−iθ) (1− eiθ)
= eiθ/2
(
1− e−iθ) (1− eiθ) e−iθ/2
=
−4
(2i)(2i)
(
eiθ/2 − e−iθ/2) (e−iθ/2 − eiθ/2)
= 4
(
eiθ/2 − e−iθ/2
2i
)2
= 4 sen2
(
θ
2
)
Portanto,
λ =
1
T
∞ˆ
−∞
∣∣∣Vˆ (pert)k,m ∣∣∣2 4sen2 (Ek−Em2~ T)
(Ek − Em)2
ρ(Ek)dEk.
Considerando que a func¸a˜o sen2(x)/x2 so´ assume valores significativos em torno da origem, e que
nessa regia˜o restrita tanto
∣∣∣Vˆ (pert)k,m ∣∣∣ como ρ(Ek) na˜o devem variar muito, enta˜o podemos reescrever a
integral com esses elementos fora da integrac¸a˜o, de modo que
λ =
4ρ(Ek)
T
∣∣∣Vˆ (pert)k,m ∣∣∣2 ∞ˆ
−∞
sen2
(
Ek−Em
2~ T
)
(Ek − Em)2
dEk =
4ρ(Ek)
T
∣∣∣Vˆ (pert)k,m ∣∣∣2(piT2~
)
.
ou
λ =
2piρ(Ek)
~
∣∣∣Vˆ (pert)k,m ∣∣∣2 (2.21)
A equac¸a˜o (2.21) e´ conhecida como regra de ouro de Fermi.
24 CAPI´TULO 2. NU´CLEOS E RADIOATIVIDADE
2.8 Exerc´ıcios
1. A meia-vida de um dado iso´topo radioativo e´ de 6,5 horas. Se existirem inicialmente 48× 1019
a´tomos deste iso´topo, quantos a´tomos deste iso´tpo restara˜o apo´s 26 horas?
2. A meia-vida de um iso´topo radioativo e´ de 140 dias. Quantos dias seriam necessa´rios para que
a atividade A de uma amostra desse iso´topo ca´ısse a 1/4 de sua taxa inicial de decaimento?
3. O oxigeˆnio radioativo 158 O tem meia-vida de 2,1 minutos.
(a) Quanto vale a constante de decaimento radioativo λ?
(b) Quantos a´tomos radioativos existem em uma amostra com uma atividade de 4 mCi?
(c) Qual o tempo necessa´rio para que a atividade a atividade seja reduzida por um fator 8?
4. Calcular a taxa de desintegrac¸a˜o num organismo vivo, por grama de carbono, admitindo que
araza˜o 14C/12C seja 1, 3× 10−12. A meia-vida do 14C e´ 5730 anos.
5. Se um osso, contendo 200g de carbono, tem uma atividade beta de 400 desintegrac¸o˜es por
minuto, qual a idade do osso? (Use o resultado do exerc´ıcio anterior)
6. Um certo elemento radioativo tem meia-vida de 20 dias
(a) Qual o tempo necessa´rio para que 3/4 dos a´tyomos inicialmente presentes se desintegrem?
(b) Quanto vale a constante de desintegrac¸a˜o e a vida me´dia?
7. A atividade de um certo fo´ssil diminui de 1530 desintegrac¸o˜es por minuto para 190 desinte-
grac¸o˜es por minuto durante a fossilizac¸a˜o. Determine a idade do fo´ssil.
8. O uraˆnio natural e´ uma mistura de 99,3% de 238U e 0,7% de 235U. A meia-vida por emissa˜o-α
do primeiro e´ 4, 5× 109 anos e a do segundo 7× 108 anos.
(a) Ha´ quanto tempo atras as quantidades dos dois iso´topos em uma amostra eram ideˆnticas?
(b) Se a amostra continha inicialmente 10 g de uraˆnio natural, qual o peso do ga´s He produzido
desde aquele tempo pelos dois iso´topos?
9. Uma rel´ıquia de madeira conte´m 1 g de carbono com uma atividade de 4 × 1012 Ci. Se em
arvores vivas a raza˜o 14C/12C seja 1, 3 × 10−12, qual e´ a idade da amostra? A meia-vida do
14C e´ 5730 anos..
CAPI´TULO 3
O Modelo da Gota L´ıquida
3.1 Introduc¸a˜o
E´ um resultado experimental bem conhecido atrave´s de experimentos de espalhamento que a forc¸a
nuclear tem um alcance bastante curto da ordem de 1 fm. Ela tambe´m satura, ou seja, se torna
fortemente repulsiva em distaˆncias ainda mais curtas. Em outras palavras, um nu´cleon na˜o se
superpo˜e ao outro, enta˜o agem como se fossem esferas macic¸as. Com isso em mente, cada nu´cleon
interage somente com seus vizinhos pro´ximos como mostrado na figura
Figura 3.1:
Esse tipo de interac¸a˜o e´ fisicamente similar a`s propriedades de saturac¸a˜o em uma gota de a´gua,
na qual atuam as forc¸as de Van der Walls entre as mole´culas de a´gua. Existe uma consequencia
imediata desse modelo. O volume de um nu´cleo deve crescer linearmente com o nu´mero de nucleons
25
26 CAPI´TULO 3. O MODELO DA GOTA LI´QUIDA
A e ja´ que
V = αA =
4
3
pir3 =⇒ r = r0A1/3
onde r0 e´ uma constante de proporcionalidade a ser ajutada experimentalmente.
3.2 Energia de Ligac¸a˜o
Nosso objetivo e´ calcular a energia de ligac¸a˜o total de um nu´cleo.
3.2.1 Termo de Volume
Comec¸amos considerando que cada nucleon interage com seu vizinho mais pro´ximo somente, uma
vez que um nucleon esteja cercado, toda sua interac¸a˜o fica constante. Enta˜o qualquer nucleon sente
a mesma energia de interac¸a˜o. Assim ao acrescentar um nucleon aumentamos a energia de ligac¸a˜o,
mas a energia de ligac¸a˜o por nucleon permanece constante. Portanto, a energia de ligac¸a˜o total deve
ser proporcional ao nu´mero de nucleons. Enta˜o, escrevemos a primeira contribuic¸a˜o como
EV = aVA
conhecida como termo de volume.
3.2.2 Termo de Superf´ıcie
E´ claro que ha´ um problema com os nucleons na superf´ıcie. O nu´mero de nucleons na superf´ıcie deve
ser proporcional a` a´rea
4pir2 = 4pir20A
2/3
Dessa forma, deve haver uma reduc¸a˜o que e´ proporcional a esse termo. Com isso escrevemos
ES = −aSA2/3
que e´ conhecido como termo de superf´ıcie. Com esses dois termos, a energia de ligac¸a˜o total fica
escrita como
ELig = EB + ES
Ja´ temos uma primeira aproximac¸a˜o. Entetanto, ainda na˜o e´ poss´ıvel reproduzir todas as propri-
edades nucleares, como por exemplo a interac¸a˜o coulombiana entre os pro´tons ou o princ´ıpio de
Pauli.
3.2.3 Termo Coulombiano
Comec¸amos com a interac¸a˜o coulombiana que tambe´m deve reduzir a energia de ligac¸a˜o. Vamos
considerar o nu´cleo como uma esfera diele´trica uniformemente carregada. A energia desse sistema e´
3.3. PARA´BOLAS DE MASSA E DECAIMENTO β 27
dada pelo trabalho gasto para reunir toda a carga Q=Ze em uma esfera
dτ = −dq
rˆ
∞
Edr′ = −dq
rˆ
∞
kq
r2
dr′ =
kq
r
dq
A carga q e´ dada por
q = ρ
4
3
pir3
com densidade
ρ =
Q
4
3
piR3
de modo que
q = Q
r3
R3
⇒ r3 = qR
3
Q
⇒ r = R q
1/3
Q1/3
Assim,
dτ = kQ1/3
q2/3
R
dq ⇒ τ = kQ
1/3
R
Q5/3
5/3
=
3
5
k
R
Q2 =
3
5
ke2
r0A1/3
Z2
Dessa forma
Ecoul = −ac Z
2
A1/3
Mas esse termo deveria se anular quando Z=1. Assim ele fica reescrito como
Ecoul = −acZ(Z − 1)
A1/3
..............
3.3 Para´bolas de Massa e Decaimento β
3.3.1 Para´bolas para A impar
3.3.2 Para´bolas para A par
3.4 Balanc¸o de Energia no Decaimento α
3.5 Leis (Estat´ısticas) do Decaimento Radioativo
28 CAPI´TULO 3. O MODELO DA GOTA LI´QUIDA
CAPI´TULO 4
O Modelo do Ga´s de Fermi
Esse modelo e´ um dos mais simples que envolve mecaˆnica quaˆntica. Baseia-se no fato que os nucleons
se movimentam quase que livremente dentro do nu´cleo devido ao princ´ıpio de Pauli. Como dois
nucleons na˜o podem ocupar o mesmo estado quaˆntico, pois sa˜o fermions, eles deslocam-se sem colidir,
pois todos os poss´ıveis estados finais que poderiam ser ocupados ja´ esta˜o preenchidos por outros
nu´cleons. De um ponto de vista f´ısico, um nucleon imerso no meio nuclear sofre atrac¸a˜o de todas as
direc¸o˜es de modo que a forc¸a resultante seja praticamente nula. Por outro lado isso na˜o ocorre na
superf´ıcie do nu´cleo, pois o nucleon que esta´ na superf´ıcie sofre uma forc¸a de atrac¸a˜o para dentro do
nu´cleo que na˜o e´ contrabalanc¸ada pelas forc¸as externas.
Os nucleons do ga´s de Fermi obedecem a equac¸a˜o de Schro¨dinguer[
− ~
2
2m
∇2 + V
]
ψ = Eψ (4.1)
sendo o potencial V o poc¸o de potencial quadrado tridimensional infinito, o qual e´ dado por
V (x, y, z) =
{
0 0 < x < a e 0 < y < a e 0 < z < a,
∞ (x, y, z) fora do intervalo acima
com a representando a largura do poc¸o. Note que, para esse potencial, as condic¸o˜es de contorno
implicam a func¸a˜o de onda deve ser nula,
ψ(x, y, z) = 0, (4.2)
se
x = 0, y = 0, z = 0 e x = a, y = a, z = a. (4.3)
A soluc¸a˜o da equac¸a˜o (4.1) pode ser obtida por separac¸a˜o de varia´veis da seguinte forma. Escrevemos
a soluc¸a˜o da seguinte forma
ψ(x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z) (4.4)
Substituindo na equac¸a˜o (4.1), encontramos
− ~
2
2m
(
∂2
∂x2
+
∂2
∂y2
+
∂2
∂z2
)
X(x)Y (y)Z(z) = EX(x)Y (y)Z(z)
29
30 CAPI´TULO 4. O MODELO DO GA´S DE FERMI
ou
1
X
∂2X
∂x2
+
1
Y
∂2Y
∂y2
+
1
Z
∂2Z
∂z2
= −2mE
~2
onde dividimos dos dois lados da equac¸a˜o por X(x)Y (y)Z(z). Escrevendo essa equac¸a˜o como
1
X
∂2X
∂x2
+
1
Y
∂2Y
∂y2
= − 1
Z
∂2Z
∂z2
− 2mE
~2
(4.5)
vemos que do lado esquerdo so´ temos func¸o˜es de x e y e do lado direito somente func¸o˜es de z. Isso
so´ pode ocorrer se aˆmbos os lados forem iguais a uma mesma constante α. Assim, escrevemos o lado
direito como
− 1
Z
∂2Z
∂z2
− 2mE
~2
= α⇒ ∂
2Z
∂z2
=
(
−2mE
~2
− α
)
︸ ︷︷ ︸
−k2z
Z ⇒ ∂
2Z
∂z2
= −k2zZ (4.6)
onde definiu-se
k2z =
2mE
~2
+ α. (4.7)
A soluc¸a˜o da equac¸a˜o para Z e´
Z(z) = Az sin(kzz) +Bz cos(kzz),
se kz 6= 0. Mas nada impede que α = −2mE/~2, fazendo com que o lado direito de (4.7) se anule.
Que tipo de soluc¸a˜o deve ter a equac¸a˜o (4.6) se kz = 0. E porque essa soluc¸a˜o na˜o e´ utilizada
1?
Lembrando a condic¸a˜o de contorno que a func¸a˜o de onda deve ser nula em z = 0, devemos escolher
Bz = 0. Finalmente chegamos a
Z(z) = Az sin(kzz). (4.8)
Tambe´m lembrando a condic¸a˜o de contorno que a func¸a˜o de onda deve ser nula em z = a, devemos
ter
kz = nz
pi
a
onde nz = 1, 2, 3, . . . (4.9)
Voltando ao lado esquerdo de (4.5) temos
1
X
∂2X
∂x2
+
1
Y
∂2Y
∂y2
= α
Para a segunda equac¸a˜o, usando o mesmo argumento de separac¸a˜o de varia´veis, podemos escrever
1
X
∂2X
∂x2
= − 1
Y
∂2Y
∂y2
+ α = β,
ondeβ e´ outra constante. As soluc¸o˜es sa˜o facilmente obtidas de forma ana´loga ao que ja´ foi visto
como
X(x) = Ax sin(kxx) e Y (y) = Ay sin(kyy) (4.10)
1Resposta no final do cap´ıtulo
31
onde
k2x = −β e k2y = β − α (4.11)
e tambe´m de forma ana´loga, temos
kx = nx
pi
a
onde nx = 1, 2, 3, . . . (4.12)
ky = ny
pi
a
onde ny = 1, 2, 3, . . . (4.13)
Dessa forma, a soluc¸a˜o (4.4) fica escrita como
ψ(x, y, z) = AT sin(kxx) sin(kyy) sin(kzz)
onde o produto das 3 constantes Ax, Ay e Az fica absorvido em AT . Essa e´ uma constante de
normalizac¸a˜o que pode ser obtida considerando que a part´ıcula deve estar dentro do volume definido
pelo potencial. Assim,
|ψ|2 = A2T
aˆ
0
aˆ
0
aˆ
0
sin2(kxx) sin
2(kyy) sin
2(kzz)dxdydz = 1
Usando a relac¸a˜o trigonome´trica
cos(2θ) = sin2 θ − cos2 θ = 2 sin2 θ − 1⇒ sin2 θ = 1 + cos(2θ)
2
verifica-se que
aˆ
0
sin2(kxx)dx =
1
2
aˆ
0
[1 + cos(2kxx)] dx =
a
2
.
Portanto,
|ψ|2 = A2T
(a
2
)3
= 1⇒ AT =
(
2
a
)3/2
Tambe´m e´ facil verificar, com uso de (4.7) e (4.11) que
k2x + k
2
y + k
2
z =
2mE
~2
e usando (4.9), (4.12) e (4.13), chegamos a
E =
(
n2x + n
2
y + n
2
z
) ~2pi2
2ma2
. (4.14)
Dessa forma temos a energia quantizada.
Nosso objetivo e´ fazer uma contagem. Dada uma energia, determinar o nu´mero de estados poss´ıveis.
Para isso consideramos a figura 4.1. Nessa figura a` esquerda, os eixos rotulam os nu´meros quaˆnticos
(nx, ny, nz).
32 CAPI´TULO 4. O MODELO DO GA´S DE FERMI
Figura 4.1: Espac¸o de estados da soluc¸a˜o. Cada ponto nesse espac¸o representa um estado de energia.
Assim, o raio de uma esfera nesse espac¸o e´ dado por
r =
√
n2x + n
2
y + n
2
z.
Devido a` relac¸a˜o (4.14), claramente vemos que em uma casca esfe´rica de raio r e r+ dr devemos ter
estados de energia entre E e E + dE. Para encontrar essa relac¸a˜o verifica-se que
r2 = n2x + n
2
y + n
2
z =
2ma2
pi2~2
E,
de modo que
2rdr =
2ma2
pi2~2
dE ⇒ r2dr =
√
2E
(
ma2
pi2~2
) 3
2
dE =
( a
pi~
)3
m
√
2mEdE
Outra caracter´ıstica interessante desse espac¸o esta´ relacionada ao fato que cada ponto e´ dividido
entre oito cubos de volume unita´rio (lado direito da figura 4.1), entretanto cada cubo conte´m oito
pontos, de modo que a densidade de pontos e´
ρ = 1 ponto por unidade de volume.
Dessa forma, o volume da parte da esfera contida no octante representa o nu´mero de pontos presentes
dentro daquele raio e com isso temos o nu´mero de estados quaˆnticos do sistema. O volume dessa
casca esfere´rica nesse octante e´ (1/8) do volume total de uma casca esfe´rica. Assim,
dV =
1
8
4pir2dr =
pi
2
r2dr.
33
Como dissemos a densidade e´ 1 portanto,
dn = ρdV =
pi
2
r2dr =
pi
2
( a
pi~
)3
m
√
2mEdE. (4.15)
onde dn e´ o nu´mero de estados na casca esfe´rica. Se denominarmos Ef , chamada de energia de
Fermi, como sendo a energia do u´ltimo estado ligado, enta˜o o nu´mero total de estados sera´:
n =
pi
2
( a
pi~
)3√
2m3
Efˆ
0
√
EdE =
a3
3pi2~3
√
2E3fm
3. (4.16)
Como estamos tratando com fe´rmions (pro´tons e neˆutrons), existe uma degeneresceˆncia de spin. Em
outras palavras, podemos incluir duas part´ıculas no mesmo n´ıvel energe´tico quaˆntico (nx, ny, nz), uma
com spin para cima e outra com spin para baixo. Ale´m disso, como temos dois tipos de fe´rmions
diferentes, pro´tons e neˆutrons, o nu´mero total de pro´tons alocados (nu´mero de ato´mico Z) para uma
dada energia E
(p)
f (energia de Fermi para pro´tons) fica escrita como
Z =
2a3
3pi2~3
√
2E
(p)3
f m
3. (4.17)
Ou isolando Ef , obtemos
E
(p)3
f =
9pi4~6
2m3
(
Z
2a3
)2
⇒ E(p)f =
(
9pi4
8
)1/3 ~2
m
(
Z
a3
)2/3
.
Da mesma forma para neˆutrons temos
E
(n)
f =
(
9pi4
8
)1/3 ~2
m
(
N
a3
)2/3
.
Considermos que em me´dia
Z ≈ N ≈ A
2
,
enta˜o,
Ef =
(
9pi4
8
)1/3 ~2
m
(
A
2a3
)2/3
.
Como a3 e´ o volume do poc¸o de potencial, temos a densidade nuclear escrita como
ρN =
A
a3
=
A
4
3
pir3
=
A
4
3
pir30A
=
3
4pir30
onde usamos r = r0A
1/3. Isso mostra que a densidade nuclear e´ constante. Com isso a energia de
Fermi fica
Ef =
(
9pi4
32
)1/3 ~2
m
(
3
4pir30
)2/3
34 CAPI´TULO 4. O MODELO DO GA´S DE FERMI
Figura 4.2: Poc¸o de Potencial Nuclear
Substituindo os valores dos paraˆmetros, obtemos
Ef ∼ 30 MeV,
a qual deve ser constante ao longo da tabela perio´dica. Como a energia de separac¸a˜o de um neˆutron
e´ constante ao longo da tabe´la perio´dica, podemos estimar a profundidade do potencial nuclear com
base na figura Dessa forma, chegamos a
V0 ∼ −40 MeV.
A energia total do sistema pode ser obtida a energia dos Z pro´tons e N neutrons. Assim, conside-
rando que E depende de n, a energia total dos pro´tons sera´
E
(p)
T =
nmaxˆ
0
Edn =
E
(p)
Fˆ
0
2E
pi
2
( a
pi~
)3
m
√
2mEdE
onde foi utilizada a equac¸a˜o (4.15). Resolvendo a integral temos
E
(p)
T =
2
5pi2
(a
~
)3√
2m3E
(p)5/2
F =
3
5
(
2
3pi2
(a
~
)3√
2E
(p)3
f m
3
)
E
(p)
F =
3
5
ZE
(p)
F .
Portanto,
E
(p)
T =
3
5
Z
(
9pi4
8
)1/3 ~2
m
(
Z
a3
)2/3
=
3
5
Z
(
9pi4
8
)1/3 ~2
m
(
Z
4
3
pir30A
)2/3
=
3
10
(
9pi
4
)2/3 ~2
mr20
A
(
Z
A
)5/3
.
Da mesma forma
E
(n)
T =
3
10
(
9pi
4
)2/3 ~2
mr20
A
(
N
A
)5/3
.
35
Como ja´ sabemos Z ≈ N , enta˜o vamos escrever
N = Z + ε
de modo que
A = Z +N ⇒
{
A = 2Z + ε⇒ Z = (A− ε)/2
A = 2N − ε⇒ N = (A+ ε)/2 .
Portanto,
Z
A
=
1
2
(
1− ε
A
)
e
N
A
=
1
2
(
1 +
ε
A
)
.
Usando uma expansa˜o em Taylor obtemos(
Z
A
)5/3
=
1
25/3
(
1− ε
A
)5/3
' 1
25/3
[
1− 5
3
ε
A
+
5
9
( ε
A
)2
+ · · ·
]
(
N
A
)5/3
=
1
25/3
(
1 +
ε
A
)5/3
' 1
25/3
[
1 +
5
3
ε
A
+
5
9
( ε
A
)2
+ · · ·
]
.
Assim, a energia total fica enta˜o
ET = E
(p)
T + E
(n)
T =
3
10
(
9pi
4
)2/3 ~2
mr20
A
{(
Z
A
)5/3
+
(
N
A
)5/3}
=
1
25/3
3
10
(
9pi
4
)2/3 ~2
mr20
{
A+
5
9A
ε2
}
=
1
25/3
3
10
(
9pi
4
)2/3 ~2
mr20
{
A+
5
9A
(N − Z)2
}
.
36 CAPI´TULO 4. O MODELO DO GA´S DE FERMI
CAPI´TULO 5
Aspectos Gerais sobre a Interac¸a˜o Nuclear
5.1 Introduc¸a˜o
Os modelos da Gota L´ıquida e do Ga´s de Fermi conseguem explicar va´rias caracter´ısiticas dos nu´cleos
de maneira geral. Por exemplo, o modelo fenomenolo´gico da Gota L´ıquida, cujos termos sa˜o razoa-
velmente explicados teoricamente pelo modelo de Ga´s de Fermi, apresenta a energia de ligac¸a˜o por
nucleon dos nu´cleos aproximadamente constante.
5.2 Teoria de Grupos e Suas Representac¸o˜es
Vamos nos concentrar no estudo das rotac¸o˜es. Existem algumas propriedades que sa˜o bastante
o´bvias.
1. Dadas qualquer duas rotac¸o˜es R1 e R2, o seu produto R1.R2 tambe´m e´ uma rotac¸a˜o (propri-
edade de fechamento dentro da operac¸a˜o de multiplicac¸a˜o).
2. Quando aplicamos treˆs rotac¸o˜es consecutivas, no´s podemos fazer as combinac¸o˜es de duas delas
que sejam sucessivas, de modo a formar uma rotac¸a˜o e enta˜o multiplicar pela terceira. De
qualquer maneira que e´ feito isso sempre resulta no mesmo resultado: R1(R2R3) = (R1R2)R3
(lei associativa).
3. Ha´ um elemento identidade tal que: RI = IR = R (existe o elemento identidade).
4. Existe a rotac¸a˜o inversa, tal que RR− 1 = R− 1R = I (existe o elemento inverso).
Qualquerconjunto de elementos que obedec¸am essas quatro regras, dentro de uma lei de multiplicac¸a˜o
definida para o conjunto e´ chamado grupo. O grupo das rotac¸o˜es e´ denominado R3 (ou O3). Existem
duas propriedades extras, que sa˜o satisfeitas pelas rotac¸o˜es:
1. Quando duas rotac¸o˜es quaisquer sa˜o efetuadas normalmente elas na˜o comutam: R1R2 6= R2R1.
E´ fa´cil perceber esse fato, considerando rotac¸o˜es em torno de dois eixos diferentes, como mos-
trado na figura ??.
37
38 CAPI´TULO 5. ASPECTOS GERAIS SOBRE A INTERAC¸A˜O NUCLEAR
 
Figura 5.1: Demonstrac¸a˜o que rotac¸o˜es tridimencionais na˜o comutam.
Quando isso ocorre, o grupo e´ chamado na˜o abeliano. Caso contrario o grupo e´ chamado
abeliano. Rotac¸o˜es no plano formam um grupo abeliano.
2. As operac¸o˜es do grupo das rotac¸o˜es sa˜o definidas em termos de um paraˆmetro continuo (o
aˆngulo θ) e derivadas com respeito a esse paraˆmetro podem ser efetuadas. Em outras palavras,
as operac¸o˜es do grupo sa˜o func¸o˜es anal´ıticas do paraˆmetro. Esse tipo especial de grupo e´
chamado grupo de Lie.
Em geral, pode-se mostrar (como veremos para o grupo das rotac¸o˜es) que para cada elemento g de
um grupo, existe um mapeamento exponencial, tal que
g(φ) = exp{iφiGi}
onde Gi sa˜o denominados geradores do grupo e φi sa˜o os paraˆmetros do grupo. Desse mapeamento
fica claro que os geradores podem ser facilmente obtidos conhecendo os elementos do grupo. Com
efeito,
Gi =
1
i
∂
∂φi
g(φ)
∣∣∣∣
φ=0
(5.1)
Grupos de Lie formam uma algebra fechada dentro da operac¸a˜o de comutac¸a˜o. Esse fato e´ expressado
como
[Gi, Gj] = icijkGk (5.2)
onde cijk sa˜o um conjunto de nu´meros denominados constantes de estrutura. Ale´m disso, essas
constantes devem ser reais ja´ que os geradores devem ser operadores hermitianos, como sera´ provado
logo abaixo. O conteu´do da equac¸a˜o anterior pode ser expressado dizendo que os geradores formam
uma algebra de Lie fechada.
Prova de Hemiticidade: Consideremos dois sistemas de refereˆncia, S e S ′. A relac¸a˜o entre um estado
f´ısico j observado do sistema S e o mesmo estado observado de S ′ e´ dado por algum grupo de
5.2. TEORIA DE GRUPOS E SUAS REPRESENTAC¸O˜ES 39
simetria, tal que j′ = Uj. A probabilidade de um sistema f´ısico ir de um estado j1 para um
estado j2, tanto no sistema S como no sistema S ′, deve ser a mesma. Assim,
P1→2 =
ˆ
d3rϕ†2(~r)ϕ1(~r)
P ′1→2 =
ˆ
d3r′ϕ′†2 (~r
′)ϕ′1(~r
′)
=
ˆ
d3r′ϕ†2(~r
′)U †Uϕ1(~r′)
=
ˆ
d3rϕ†2(~r)U
†Uϕ1(~r)
Deste resultado no´s conclu´ımos que
U †U = 1
Um operador com essa propriedade e´ chamado unita´rio. Deste modo, as transformac¸o˜es de
coordenadas sa˜o representadas por operadores unita´rios. Isso implica que, no caso particular
das rotac¸o˜es,
e−iφiG
†
i eiφiGi = 1
e consequentemente G†i = Gi provando que Gi e´ hermitiano.
Vejamos como se da uma rotac¸a˜o do ponto de vista matema´tico. Consideremos um observador
S, posicionado na origem de um sistema de coordenadas, vendo um sistema f´ısico descrito por uma
func¸a˜o ϕ(~r). Supomos a existeˆncia de um outro observador S ′ situado em um sistema de coordenadas
com uma pequena rotac¸a˜o de aˆngulo dφ em torno do eixo z em relac¸a˜o ao sistema S, como mostrado
na figura 5.2.
x 
x’ 
y 
y’ 
z≡z’ 
r
�
 
( ) ( )' 'r rϕ ϕ=� � 
dφ
 
x 
y 
z≡z’ 
'r
�
 
dφ
 
'r r d= +
�� �
ℓ 
d
�
ℓ 
ˆ,d r z⊥
� �
ℓ 
d rdφ≈�ℓ ( )ˆd d z rφ≈ ×
� �
ℓ 
Figura 5.2:
Observando a figura do lado esquerdo, notamos que como os dois observadores esta˜o vendo a
mesma grandeza f´ısica, a func¸a˜o que a representa deve ser a mesma nos dois referenciais (invariaˆncia
rotacional). Por outro lado, se o sistema de coordenadas gira no sentido hora´rio, podemos utilizar
o sistema de coordenadas original (sem rotac¸a˜o) para descrever a mesma grandeza f´ısica girada no
sentido anti-hora´rio. Essa equivaleˆncia esta´ mostrada no lado direito da figura 5.2. Portanto podemos
40 CAPI´TULO 5. ASPECTOS GERAIS SOBRE A INTERAC¸A˜O NUCLEAR
escrever
ϕ′(~r′) = ϕ(~r) = ϕ(~r′ + dφ(zˆ × ~r′))
=
[
1 + dφ
(
x′
∂
∂y′
− y′ ∂
∂x′
)
+ · · ·
]
ϕ(~r′)
=
[
1 +
i
~
Lzdφ
]
ϕ(~r′) (5.3)
onde
Lz = −i~
(
x′
∂
∂y′
− y′ ∂
∂x′
)
(5.4)
De modo ana´logo, para rotac¸oes em torno dos eixos x e y, temos1
Lx = −i~
(
y
∂
∂z
− z ∂
∂y
)
(5.5)
Ly = i~
(
x
∂
∂z
− z ∂
∂x
)
(5.6)
A partir desse ponto consideraremos unidades naturais na qual ~ = 1. Sabemos que as expresso˜es
anteriores sa˜o validas somente para um aˆngulo pequeno. Enta˜o, considerando que uma rotac¸a˜o finita
de aˆngulo φ pode ser obtida por sucessivas rotac¸o˜es infinitesimais, podemos escrever
ϕ′(~r′) = lim
N→∞
[
1 + iLz
φ
N
]N
ϕ(~r′)
= exp{iLzφ}ϕ(~r′) (5.7)
que e´ o mapeamento exponencial mencionado anteriormente. Podemos obter esse mesmo resultado
para rotac¸o˜es em torno do eixos x e y, de modo que uma rotac¸a˜o em torno de um eixo qualquer fica
escrito como
ϕ′(~r′) = exp{i~L.~φ}ϕ(~r′). (5.8)
5.2.1 Relac¸o˜es de Comutac¸a˜o
Como ja´ dissemos, rotac¸o˜es diferentes na˜o comutam. Matematicamente, isso e´ resultado do fato que
[Li, Lj] = εijkLk (5.9)
onde εijk e´ o tensor totalmente antissime´trico de Levi-Civita. Neste ponto, e´ conveniente introduzir
as seguintes combinac¸o˜es desses operadores
L± = Lx ± iLy (5.10)
1Os operadores Lx, Ly e Lz tambe´m sa˜o representados por L1, L2 e L3, respectivamente.
5.2. TEORIA DE GRUPOS E SUAS REPRESENTAC¸O˜ES 41
Estes operadores satisfazem as seguintes relac¸o˜es de comutac¸a˜o
[Lz, L±] = ±L± (5.11)
[L+, L−] = 2Lz (5.12)
Lembrando o teorema 5.2 e´ claro que Lx, Ly e Lz sa˜o hermitianos, portanto
L†± = L
†
x ∓ iL†y
= Lx ∓ iLy
= L∓ (5.13)
Outra quantidade interessante e´ a forma quadra´tica
L2 = L2x + L
2
y + L
2
z
= L+L− + L2z − Lz
= L−L+ + L2z + Lz (5.14)
que e´ conhecida como operador de Casimir, o qual comuta com todos os outros geradores.
Na pra´tica, estaremos sempre atuando com operadores em algum espac¸o vetorial. Assim precisamos
de um mapeamento entre os elementos do grupo (g) e um conjunto de operadores atuando em um
espac¸o vetorial, denotados D(g). Esse mapeamento e´ chamado representac¸a˜o do grupo naquele
espac¸o vetorial. Assim, para sermos mais simples, quando quisermos aplicar algum grupo em algum
espac¸o vetorial, devemos encontrar a representac¸a˜o desse grupo, ou dos geradores do grupo, naquele
espac¸o.
Escolhendo um espac¸o, sempre e´ poss´ıvel encontrar uma base tal que Lz seja diagonal. Assim,
D(Lz)eˆm = meˆm (5.15)
Vejamos agora qual o autovalor de D(Lz) para o estado D(L±)eˆm. Com efeito,
D(Lz) [D(L±)eˆm] = (m± 1)D(L±)eˆm (5.16)
onde usamos as relac¸o˜es de comutac¸a˜o (5.11). Assim, o operador L± aumenta (diminui) o autovalor de
Lz. Por isso esses operadores sa˜o conhecidos como operadores de levantamento e abaixamento
ou operadores escada. A partir desse ponto, por motivo de simplicidade, deixaremos de utilizar
a notac¸a˜o D(L) e escreveremos simplesmente L, mas devemos lembrar sempre que se trata de uma
representac¸a˜o dos geradores em algum espac¸o vetorial. Consideremos esse espac¸o sendo finito, deve
existir um autovalor m = ` tal que
L+eˆ` = 0. (5.17)
Partindo desse autovetor, temos
eˆ`−1 = A`−1L−eˆ`
eˆ`−2 = A`−2L−eˆ`−1
...
eˆ`−t = A`−tL−eˆ`−t+1
42 CAPI´TULO 5. ASPECTOS GERAIS SOBRE A INTERAC¸A˜O NUCLEAR
com
L−eˆ`−t = 0 (5.18)
onde Am sa˜o fatores de normalizac¸a˜o. Pode-se mostrar que todos os autovetores eˆm de Lz gerados
dessa forma, sa˜o linearmente independentes. Com efeito, calculemos o seguinte produto escalar
(eˆm, eˆm′) = N
(
(L−)
`−m eˆ`, (L−)
`−m′ eˆ`
)
(5.19)
onde N representa um produto de fatores de normalizac¸a˜o Am. Considere o caso em que ` −m′ >
`−m. Se usarmos a propriedade(5.13) temos(
(L−)
`−m eˆ`, (L−)
`−m′ eˆ`
)
=
([
(L−)
`−m′
]†
(L−)
`−m eˆ`, eˆ`
)
(5.20)
=
(
(L+)
`−m′ (L−)
`−m eˆ`, eˆ`
)
(5.21)
Para resolvermos esse produto, consideremos como exemplo o caso com `−m′ = 2 e `−m = 1.
(L+)
2 (L−)
1 = L+L+L−
= L+ (L−L+ + 2Lz)
= L+L−L+ + 2 (LzL+ − L+)
= [L+L− + 2 (Lz − 1)]L+
Vemos que o operador L+ aparece a` direita. Esse fato sempre ira´ ocorrer, desde que `−m′ > `−m.
Como, de acordo com (5.17), L+eˆ` = 0, o produto escalar (5.21) se anula. No caso `−m′ < `−m,
basta usar um racioc´ınio ana´logo, que chegamos a` mesma conclusa˜o. Portanto,
(eˆm, eˆm′) = δm,m′ (5.22)
implicando que o conjunto dos vetores eˆm e´ linearmente independente.
Com a ajuda do operador L2 temos
L2eˆ` =
(
L−L+ + L2z + Lz
)
eˆ`
= `(`+ 1)eˆ`
e ja´ que [L2, L−] = 0, no´s temos
L2eˆm = `(`+ 1)eˆm (5.23)
Por outro lado,
L2eˆ`−t =
(
L+L− + L2z − Lz
)
eˆ`−t
= (`− t) (`− t− 1) eˆ`−t
mas comparando com (5.23), devermos ter
(`− t) (`− t− 1) = `(`+ 1)
(2`− t) (t+ 1) = 0
5.2. TEORIA DE GRUPOS E SUAS REPRESENTAC¸O˜ES 43
Como t deve ser um inteiro positivo, vemos que t = 2`. Assim, no´s temos 2` + 1 vetores na base,
com m = −`, ..., `.
Para descobrirmos os valores das constantes de normalizac¸a˜o Am, basta considerarmos que cada
vetor eˆm deve ser unita´rio. Assim,
1 = (eˆm, eˆm)
= (AmL−eˆm+1, AmL−eˆm+1)
= A2m (L+L−eˆm+1, eˆm+1)
= A2m
((
L2 − L2z + Lz
)
eˆm+1, eˆm+1
)
= A2m (`+m+ 1) (`−m) (eˆm+1, eˆm+1)︸ ︷︷ ︸
=1
Portanto,
Am = [(`+m+ 1) (`−m)]−1/2
onde, por convenc¸a˜o, escolhemos Am real e positivo. Portanto, as matrizes dos geradores na base
constru´ıda anteriormente pode ser obtida usando
Lz eˆm = meˆm
L+eˆm = [(`+m+ 1) (`−m)]1/2 eˆm+1
L−eˆm+1 = [(`+m+ 1) (`−m)]1/2 eˆm
5.2.2 Spin
Consideremos, por exemplo, o caso ` = s = 1
2
(representac¸a˜o bidimensional) temos
Lx = Sx =
1
2
(
0 1
1 0
)
Ly = Sy =
1
2
(
0 −i
i 0
)
Lz = Sz =
1
2
(
1 0
0 −1
)
(5.24)
para os geradores e
L+ = S+ =
(
0 1
0 0
)
L− = S− =
(
0 0
1 0
)
(5.25)
para os operadores de levantamento e abaixamento. Quanto aos vetores da base, teremos
eˆ 1
2
=
(
1
0
)
eˆ− 1
2
=
(
0
1
)
(5.26)
Notemos que os geradores sa˜o matrizes hermitianas de trac¸o nulo. Portanto, os elementos do grupo
sera˜o matrizes unita´rias, com determinante igual a 1. Isso pode ser visto lembrando da definic¸a˜o dos
elementos do grupo em func¸a˜o dos geradores:
det [g] = eiφiTr[si] = 1
Consideremos agora matrizes T no espac¸o bidimensional (matrizes 2 × 2) tal que sejam matrizes
especiais (det(g) = 1) e unita´rias, satisfazendo a seguinte a´lgebra de Lie
[Ti, Tj] = iεijkTk (5.27)
44 CAPI´TULO 5. ASPECTOS GERAIS SOBRE A INTERAC¸A˜O NUCLEAR
Essa e´ a a´lgebra de Lie que define o grupo SU(2) (special and unitary 2 × 2 matrix) que e´ a
mesma a´lgebra do grupo das rotac¸o˜es. A representac¸a˜o definidora do grupo e´ dada por matrizes
indenticas a`quelas mostradas em (5.24), ou seja,
T1 = Sx =
1
2
σ1 T2 = Sy =
1
2
σ2 T3 = Sz =
1
2
σ3
onde
σ1 =
(
0 1
1 0
)
σ2 =
(
0 −i
i 0
)
σ3 =
(
1 0
0 −1
)
(5.28)
As matrizes σ1, σ2 e σ3 sa˜o conhecidas como matrizes de Pauli.
Na verdade esta´ claro que qualquer conjunto de matrizes que satisfac¸am as relac¸o˜es de comutac¸a˜o
(5.27) formam geradores para o SU(2). Por exemplo, no caso de um espac¸o tridimensional, teremos
T1 = Lx = i
 0 0 00 0 −1
0 1 0
 T2 = Ly = i
 0 0 −10 0 0
1 0 0

T1 = Lx = i
 0 0 00 0 −1
0 1 0
 T2 = Ly = i
 0 0 −10 0 0
1 0 0
 T3 = Lz = i
 0 −1 01 0 0
0 0 0
 (5.29)
Seja no espac¸o bidimensional, tridimensional ou qualquer outro espac¸o, essas matrizes sa˜o cons-
tru´ıdas para satisfazerem a a´lgebra de Lie do SU(2). De fato se essas matrizes para os geradores das
rotac¸o˜es esta˜o corretas, enta˜o exp(iJzθ) deve representar uma rotac¸a˜o de um aˆngulo θ em torno do
eixo z. Com efeito,
Rz(θ) = e
iJzθ = 1 + iJzθ − J2z
θ2
2!
− i3J3z
θ3
3!
+ · · ·
=
 cos θ sin θ 0− sin θ cos θ 0
0 0 1
 (5.30)
e facilmente se ve que essa matriz representa uma rotac¸a˜o em torno do eixo z.
No caso da representac¸a˜o tridimensional ocorre uma coincideˆncia, os elementos de matriz sa˜o dados
pelas constantes de estrutura da a´lgebra. Em termos matema´ticos temos
(Tk)ij = iεijk (5.31)
A representac¸a˜o cujos elementos de matriz sa˜o dados pelas constantes de estrutura tem um nome
especial o qual e´ representac¸a˜o adjunta.
5.3 O operador L2 e os Harmoˆnicos Esfe´ricos
Voltando a` expressa˜o (5.3), vemos que
ϕ′(~r′) = ϕ(~r) = ϕ(~r′ + dφ(zˆ × ~r′)) = ϕ(x′ + y′dφ, y′ − x′dφ, z′) = [1 + iLzdφ]ϕ(~r′) (5.32)
5.3. O OPERADOR L2 E OS HARMOˆNICOS ESFE´RICOS 45
Em coordenadas esfe´ricas, temos
rˆ=sin θ cosφ ıˆ+ sin θ sinφ ˆ+ cos θ kˆ (5.33)
θˆ=cos θ cosφ ıˆ+ cos θ sinφ ˆ− sin θ kˆ (5.34)
φˆ=− sinφ ıˆ+ cosφ ˆ (5.35)
Invertendo essas equac¸o˜es obtem-se
ıˆ = sin θ cosφrˆ + cos θ cosφθˆ − sinφφˆ
ˆ = sin θ sinφrˆ + cos θ sinφθˆ + cosφφˆ
kˆ = cos θrˆ − sin θθˆ
Substituindo todos os termos presentes nos argumentos da expressa˜o (5.32), encontramos
~r = (x′ + y′dφ) iˆ+ (y′ − x′dφ) jˆ + zkˆ
= rrˆ − r sin θdφ︸ ︷︷ ︸
d`φ
φˆ
onde d`φ representa um deslocamento na direc¸a˜o φˆ. Em termos dos argumentos na func¸a˜o
ϕ′(~r′) = ϕ(~r) = ϕ(r, θ, φ− dφ) = ϕ(r, θ, φ)− dφ ∂
∂φ
ϕ(r, θ, φ) (5.36)
evidenciando a rotac¸a˜o em torno do eixo z. Dessa forma, o gerador infinitesimal de rotac¸a˜o em torno
do eixo z fica escrito em coordenadas esfe´ricas como
Lz = −i ∂
∂φ
(5.37)
Fazendo ca´lculos equivalentes para rotac¸o˜es em torno dos eixos x e y encontra-se
Lx = i
(
sinφ
∂
∂θ
+ cot θ cosφ
∂
∂φ
)
(5.38)
e
Ly = −i
(
cosφ
∂
∂θ
− cot θ sinφ ∂
∂φ
)
. (5.39)
Com isso, tambe´m podemos obter os operadores
L± = −ie±iφ
(
±i ∂
∂θ
− cot θ ∂
∂φ
)
e o operador de Casimir
L2 =
1
2
(L+L− + L−L+) + L2z = −
1
sin θ
[
∂
∂θ
(
sin θ
∂
∂θ
)
+
1
sin θ
∂2
∂φ2
]
. (5.40)
46 CAPI´TULO 5. ASPECTOS GERAIS SOBRE A INTERAC¸A˜O NUCLEAR
E´ claro que e´ poss´ıvel reconhecer em L2 a parte angular do operador Laplaciano em coordenadas
esfe´ricas.
Da forma como esta´ escrito em (5.40) esse operador atua em um espac¸o de func¸o˜es. De qualquer
forma, considerando a equac¸a˜o (5.23), se tivermos um autovetor Y`,m(θ, φ) (autofunc¸a˜o) de L
2, enta˜o
podemos escrever
L2Y`,m(θ, φ) = `(`+ 1)Y`,m(θ, φ), (5.41)
ou
− 1
sin θ
[
∂
∂θ
(
sin θ
∂
∂θ
)
+
1
sin θ
∂2
∂φ2
]
Y`,m(θ, φ) = `(`+ 1)Y`,m(θ, φ)
ou [
sin θ
∂
∂θ
(
sin θ
∂
∂θ
)
+ sin2 θ`(`+ 1)
]
Y`,m(θ, φ) = − ∂
2
∂φ2
Y`,m(θ, φ).
Usando separac¸a˜o de varia´veis, temos
Y`,m(θ, φ) = P`,m(θ)Φ`,m(φ),
de modo que a equac¸a˜o fica reescrita como
Φ`,m(φ)
[
sin θ
∂
∂θ
(
sin θ
∂
∂θ
)
+ sin2 θ`(`+ 1)
]
P`,m(θ) = −P`,m(θ) ∂
2
∂φ2
Φ`,m(φ)
ou dividindo toda a expressa˜o por P`,m(θ)Φ`,m(φ), obtem-se
1
P`,m(θ)
[
sin θ
∂
∂θ
(
sin θ
∂
∂θ
)
+ sin2 θ`(`+ 1)
]
P`,m(θ) = − 1
Φ`,m(φ)
∂2
∂φ2
Φ`,m(φ) (5.42)
Como o lado direito so´ depende de φ e o lado esquedo so´ depende de θ temos uma separac¸a˜o das
varia´veis independentes.
Aqui tambe´m pode-se identificar o lado direito de (5.42) com o operador Lz de acordo com (5.37)
− 1
Φ`,m
∂2
∂φ2
Φ`,m =
1
Φ`,m
L2zΦ`,m = m.
Consequentemente, para o lado esquerdo de (5.42),
1
P`,m
[
sin θ
∂
∂θ
(
sin θ
∂
∂θ
)
+ sin2 θ`(`+ 1)
]
P`,m = m
ou dividindo por sin2 θ
1
sin θP`,m
d
dθ
(
sin θ
d
dθ
P`,m
)
+
[
`(`+ 1)− m
2
sin2 θ
]
P`,m = 0 (5.43)