Calculo 3 - lista7

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Universidade Federal de Lavras
Departamento de Ciências Exatas
Cálculo III - GEX 108
Lista 7
1. Utilize coordenadas esféricas
(a) Calcule
∫∫∫
B
(x2 + y2 + z2)2 dV, onde B é a bola com centro na
origem e raio 5.
(b) Calcule
∫∫∫
E
(x2 + y2) dV, onde E está entre as esferas x2 + y2 +
z2 = 4 e x2 + y2 + z2 = 9.
(c) Calcule
∫∫∫
E
(xex
2+y2+z2) dV, onde E é a porção da bola unitária
x2 + y2 + z2 ≤ 1 que fica no primeiro octante.
2. Encontre o volume da parte da bola ρ ≤ a que está entre os cones
φ = pi
6
e φ = pi
3
3. Determine o volume do sólido que está acima do cone φ = pi
3
e abaixo
da esfera ρ = 4cosφ.
4. Determine o volume do sólido que está dentro da esfera x2+y2+z2 = 4,
acima do plano xy e abaixo do cone z =
√
x2 + y2.
5. Calcule as integrais transformando para coordenadas esféricas
(a)
∫ 1
0
∫ √1−x2
0
∫ √2−x2−y2
√
x2+y2
xy dzdydx
(b)
∫ a
−a
∫ √a2−y2
−
√
a2−y2
∫ √a2−x2−y2
−
√
a2−x2−y2
(x2z + y2z + z3) dzdxdy
(c)
∫ 2
−2
∫ √42−x2
−√42−x2
∫ √42−x2−y2
−
√
42−x2−y2
(x2 + y2 + z2)
3
2 dzdxdy
1
RESPOSTAS
1. (a) 312.500pi/7
(b) 1.688pi/15
(c) pi/8
2. (
√
3− 1)pia3/3
3. 10pi
4. 8
√
2
3 pi
5. (a) (4
√
2− 5)/15
(b) 0
(c) 4096pi/21
2