Estatística Aplicada à Engenharia - Lista 8

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE LAVRAS
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
GES 104 - Estatística Aplicada à Engenharia
Profs. Izabela R. C. de Oliveira e Tales J. Fernandes
LISTA DE EXERCÍCIOS 8: Intervalos de Confiança, margem de erro e dimensionamento de
amostras
1- A condutividade térmica do ferro Armco foi medida em um experimento considerando-se uma
temperatura de 100 oF e uma entrada de potência de 550 W. Foram obtidos os 10 valores seguintes
(em Btu/h-ft◦F): 41,6; 41,48; 42,34; 41,95; 41,86; 42,18; 41,72; 42,26; 41,81; 42,04. Admitindo que a
condutividade térmica é normalmente distribuída, obtenha intervalos de confiança de 95% e 99% para a
condutividade média do ferro Armco. Qual dos intervalos é mais amplo? Por quê?
2- É importante que as máscaras usadas pelos bombeiros sejam capazes de resistir a altas tempera-
turas, pois esses profissionais trabalham com freqüência em temperaturas de 200-500oF. Em um teste de
um tipo de máscara, 11 dos 55 equipamentos tiveram as lentes estouradas a 250o. Construa o IC de 90%
para a proporção real de máscaras desse tipo, cujas lentes estourariam a 250o.
3- Um artigo no Journal of testing an evaluation apresenta as 20 medidas seguintes do tempo residual
de inflamabilidade (em segundos) de roupas de dormir de crianças:
9,85; 9,83; 9,75; 9,77; 9,67; 9,87; 9,67; 9,79; 9,85; 9,75
9,83; 9,78; 9,74; 9,99; 9,88; 9,95; 9,75; 9,93; 9,92; 9,89.
Obtenha o intervalo de confiança de 95% para o tempo residual médio de inflamabilidade.
OBS: Perceba que para construir este intervalo você precisa saber se o tempo residual de inflama-
bilidade possui distribuição normal. Verifique tal informação usando o histograma e o gráfico qqplot.
4- Em uma amostra aleatória de 75 eixos dentre todos os produzidos no turno, 12 têm um acabamento
de superfície que é mais áspero do que permitem as especificações. Obtenha um intervalo de confiança
de 95% para a proporção real de eixos com defeito na superfície. Suponha que se a proporção real de
eixos com defeito for superior a 25% o controle de qualidade da empresa recomenda paralisar o processo
e reprogramar as máquinas. Com base no intervalo de confiança de 95%, o processo deve ser paralisado?
Explique.
5- Perceba que a margem de erro no exercício acima foi de 8%. Qual o tamanho da amostra necessá-
rio, se desejarmos estar 95% confiantes de que este erro seja menor que 5%? E se exigirmos uma margem
de erro menor que 2%, assim como em pesquisas eleitorais?
6- Um engenheiro civil está analisando a força de compressão do concreto. Esta força tem distribuição
aproximadamente normal, com desvio padrão de 25psi. Uma amostra aleatória de 12 espécimes tem uma
força média de compressão de X¯ = 3250psi.
a) Construa um intervalo de confiança de 95% para a força média de compressão do concreto.
b) Construa um intervalo de confiança de 99% para a força média de compressão do concreto.
c) Caso o engenheiro deseje estimar a força de compressão com uma margem de erro menor do que
10psi, qual o tamanho de amostra seria necessário?
7- Um engenheiro industrial está interessado em estimar o tempo necessário para se montar uma
placa de circuito impresso. Sabendo que o desvio padrão do tempo de montagem é de 0,45 minutos, qual
1
deve ser o tamanho da amostra se o engenheiro deseja estar 95% confiante de que o erro na estimativa da
média seja menor do 0,25 minuto?
8- Uma amostra aleatória das alturas de 50 estudantes universitários mostraram uma média de 174,5
cm. Sabendo que o desvio padrão das alturas é de 6,9 cm, obtenha um intervalo de confiança de 98% para
a altura média de todos os estudantes. Porque não foi necessário assumir que as alturas tem distribuição
normal neste caso?
9- O consumo regular de cereais pré-adoçados contribui para a decadência dos dentes, doenças car-
díacas e outras doenças degenerativas de acordo com o Instituto Nacional de Saúde de Londres. Em uma
amostra aleatória de 20 porções de determinada marca de cereal a quantidade média de açúcar foi de 11,3
gramas e o desvio padrão foi de 2,45 gramas. Assumindo que a quantidade de açúcar é distribuída nor-
malmente, construa um intervalo de confiança de 95% para a média da quantidade de açúcar por porções.
10- Um estudo será realizado para estimar a proporção de residentes em certa cidade que é a favor
da construção de uma usina nuclear. Qual é o tamanho da amostra necessário se desejarmos estar pelo
menos 95% confiantes de que a estimativa está a 0,04 da real proporção de residentes dessa cidade a favor
da construção da usina nuclear?
11- Uma indústria química criou um produto para acelerar o processo de secagem de tintas látex. Os
valores a seguir registram o tempo de secagem, em horas, de certa marca de tinta látex.
3,4; 2,5; 4,8; 2,9; 3,6; 2,8; 3,3; 5,6; 3,7; 2,8; 4,4; 4,0; 5,2; 3,0; 4,8
Assumindo que o tempo de secagem de tintas látex tenha distribuição normal, determine os intervalos
de confiança de 95% e 99% para o tempo médio até a secagem desta marca de tinta. Discuta o efeito
ocasionado pelo aumento do nível de confiança.
12- O erro de estimação e, também conhecido como semi-amplitude do intervalo de confiança (IC)
dado por
e = tα
2
S√
n
pode ser manipulado, aumentando ou diminuindo o comprimento do intervalo de confiança. De que ma-
neira a variação de cada um dos três componentes da fórmula influenciam no comprimento do intervalo?
13- Suponha que uma amostra aleatória de 50 garrafas de uma marca específica de xarope para tosse
seja selecionada e o teor alcoólico de cada garrafa seja determinado. Seja µ o teor médio de álcool
da população de todas as garrafas da marca em estudo. Suponha que o intervalo de confiança de 95%
resultante para a média seja (7,8; 9,4). Diga se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas:
( ) Um intervalo de confiança de 90% calculado dessa mesma amostra teria sido mais estreito.
( ) Existe 95% de chance de µ estar entre 7,8 e 9,4.
( ) podemos estar certos de que 95% de todas as garrafas desse tipo de xarope têm um conteúdo
alcoólico que está entre 7,8 e 9,4.
( ) se forem retiradas 100 amostras de tamanho 50 e calculado o intervalo de confiança de 95% para
cada amostra, 95 dos intervalos resultantes incluirão µ.
14- Em um estudo sobre a porosidade do hélio de amostras de carvão foi realizada uma amostra de
tamanho 60 obtendo uma média de 4,56 e desvio padrão de 0,75. Construa um intervalo de confiança
de 95% para a porosidade média do hélio. Foi preciso fazer alguma suposição para a obtenção deste
intervalo? Qual?
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15- Em um outro estudo sobre a porosidade do hélio de amostras de carvão foi observada uma amostra
de tamanho 20 obtendo uma média de 4,85 e desvio padrão de 0,82. Construa um intervalo de confiança
de 95% para a porosidade média do hélio. Foi preciso fazer alguma suposição para a obtenção deste
intervalo? Qual?
Respostas:
1: IC95%(µ) : (41, 7209; 42, 1271) IC99%(µ) : (41, 6322; 42, 2158)
2: IC90%(p) : (0, 11; 0, 29)
3: IC95%(µ) : (9, 7839; 9, 8621)
4: IC95%(p) : (0, 08; 0, 24). Não.
5: 207 e 1291
6: a) IC95%(µ) : (3235, 85; 3264, 14) b) IC99%(µ) : (3231, 41; 3268, 59)
c) n95% = 24 ou n99% = 42
7: 13
8: IC98%(µ) : (172, 23; 176, 77)
9: IC95%(µ) : (10, 15; 12, 45)
10: 601
11: IC95%(µ) : (3, 2491; 4, 3243) IC99%(µ) : (3, 0405; 4, 5329)
13: V, F, F, V.
14: IC95%(µ) : (4, 3702; 4, 7498)
15:IC95%(µ) : (4, 4663; 5, 2337)
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