Estatística Aplicada à Engenharia - Lista 2

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE LAVRAS
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
GES 104 - Estatística Aplicada à Engenharia
Profs. Izabela R. C. de Oliveira e Tales J. Fernandes
LISTA DE EXERCÍCIOS 2: Medidas de Posição e de Dispersão
1- Os dados a seguir são referentes ao tempo de oxidação-indução (em minutos) para diversos óleos
comerciais. Calcule a média, a mediana, a moda, a amplitude, a variância e o desvio padrão para o tempo
de oxidação destes óleos. Calcule os três quartis desta amostra e interprete-os.
87 103 145 160 180 195 132 145 211 105
145 153 152 138 87 99 93 119 129
2- Os valores de pressão sanguínea, em mmHg, de nove indivíduos selecionados aleatoriamente
foram: 118, 6 127, 4 138, 4 130, 0 113, 7 122, 0 108, 3 131, 5 133, 2
a) Qual a mediana e a média dos valores de pressão sanguínea?
b) Suponha que por um erro de anotação a pressão sanguínea do primeiro indivíduo seja 116,8 em
vez de 118,6 (pequena alteração em um único valor). Calcule novamente a média e a mediana. O que o
resultado obtido diz sobre a sensibilidade da mediana e da média?
3- A propagação de trincas por fadiga em diversas peças de aeronaves tem sido objeto de muitos
estudos nos últimos anos. Os dados a seguir consistem dos tempos de propagação (horas de vôo/104)
para atingir um determinado tamanho de trinca em furos de fixadores propostos para uso em aeronaves.
0,736 0,863 0,865 0,913 0,915 0,937 0,983 1,007
1,011 1,064 1,109 1,132 1,140 1,153 1,253 1,394
Calcule e compare os valores da média e da mediana. Em quanto a maior observação da amostra
pode ser diminuída sem afetar o valor da mediana?
4- Os salários de atletas profissionais recebem muita atenção da mídia. As principais estrelas dos
times, em qualquer modalidade, recebem salários multimilionários. Raramente se passa uma temporada
sem que haja uma negociação entre uma ou mais associações de jogadores e os presidentes dos clubes
por salários adicionais ou mais benefícios para todos os atletas em seus respectivos esportes.
a) Se uma associação de atletas quisesse embasar seu argumento para maiores salários à todos os
atletas, qual medida de tendência central deveria utilizar? Por quê?
b) Para negar este aumento, qual medida de tendência central os donos de times deveriam utilizar?
Por quê?
5- A U.S. Environmental Protection Agency (EPA) define um limite para a concentração de chumbo
em água potável. A concentração é de 0,015 miligramas por litro (mg/l) de água. Sob as diretrizes
da EPA, se 90% das amostras de um estudo do sistema de águas tiverem uma concentração menor que
0,015mg/l, a água será considerada segura para ingestão. Foi feito recentemente um estudo sobre a
concentração de chumbo na água nas residências de determinada cidade. O 90o percentil da amostra tem
uma concentração de 0,00372mg/l. Os consumidores desta cidade estão sob risco de beber água com
concentrações de chumbo não seguras para a saúde? Explique.
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6- A U.S. Energy Information Administration monitora todas as usinas de energia nuclear em ope-
ração nos Estados Unidos. A tabela a seguir lista o número de usinas ativas operando em 20 estados
amostrados (no ano 2000).
Alab. Ariz. Calif. Flor. Geor. Illi. Kan. Loui. Massac. Missi.
5 3 4 5 4 13 1 2 1 1
New Hamp. New Y. North C. Ohio Penn. South C. Tenne. Tex. Verm. Wisco.
1 6 5 2 9 7 3 4 1 3
a) Calcule a média, a mediana e a moda para estes dados;
b) Organize os 20 valores da tabela, do menor para o maior. Depois elimine os dois valores menores
e os dois maiores do conjunto de dados e calcule a média dos valores remanescentes. O resultado é
chamado de média 10% aparada, uma vez que é calculado depois da remoção dos 10% valores maiores
e 10% valores menores dos dados. Comente as possíveis vantagens e desvantagens que uma média
aparada tem sobre a média aritmética regular.
7- Muitas indústrias, utilizam partes moldadas como parte do processo de produção. O encolhimento
das peças é frequentemente um grande problema. Então, um molde é construído para uma peça maior do
que o nominal para permitir o encolhimento. Em um processo de moldagem por injeção, sabe-se que o
encolhimento é influenciado por diversos fatores e, entre eles, está a velocidade da injeção, em pés por
segundo, e a temperatura do molde, em graus Celsius. Os dois conjuntos de dados a seguir mostram
os resultados de um experimento no qual a velocidade de injeção foi mantida em dois níveis (digamos
“baixo” e “alto”) e a temperatura de molde foi mantida constante no nível “alta”. O encolhimento é
medido em centímetros ×104.
baixo 72,68 72,62 72,58 72,48 73,37 72,55 72,42 72,84 72,58 71,92
alto 93,25 93,19 92,87 93,29 93,37 92,98 93,47 93,75 93,89 92.62
a) Calcule a média para cada um dos níveis de injeção e diga em qual local ocorre o maior encolhi-
mento médio;
b) Calcule a variância e o desvio-padrão e diga qual nível apresenta encolhimento mais homogêneo;
c) Calcule o coeficiente de variação para os dois locais e interprete os resultados. A conclusão é a
mesma do item (b)? Qual das duas conclusões seria mais adequada? Por que?
8- Foi realizado um estudo sobre os efeitos do tabagismo nos padrões de sono. A medida observada
é o tempo, em minutos, que se leva para dormir. Os dados obtidos são:
Fumantes 69,3 56,0 22,1 47,6 53,2 48,1
52,7 34,4 60,2 43,8 23,2 13,8
Não-Fumantes 28,6 25,1 26,4 34,9 29,8 28,4
38,5 30,2 30,6 31,8 21,1 13,9
a) Calcule as medidas de posição e dispersão para cada um dos grupos. Com base nos resultados
obtidos diga qual dos grupos tende a apresentar distribuição mais simétrica (em forma de sino);
b) Comente o tipo de impacto que o tabagismo aparenta ter no tempo que se leva para dormir;
c) Compare adequadamente a variabilidade do tempo para dormir entre os dois grupos;
d) Obtenha no software R o gráfico boxplot, para cada um dos grupos. Comente os possíveis motivos
de dois valores muito próximos (13.8 e 13.9) ser considerado outlier em um grupo e no outro não.
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9- Os seguintes dados são as medidas dos diâmetros de 36 cabeças de rebites em 1/100 de polegadas:
6,72 6,77 6,82 6,70 6,78 6,70 6,62 6,65 6,66
6,66 6,64 6,76 6,73 6,80 6,72 6,76 6,76 6,68
6,66 6,62 6,72 6,76 6,70 6,78 6,76 6,67 6,70
6,72 6,74 6,81 6,79 6,78 6,66 6,76 6,76 6,72
a) Calcule a média, moda, mediana e desvio padrão amostrais;
b) Calcule a porcentagem de observações que estão entre X¯ − S e X¯ + S. Qual a porcentagem de
observações está entre X¯ − 2S e X¯ + 2S? E entre X¯ − 3S e X¯ + 3S?
c) Com base nos resultados comente se há, ou não, indicação de que a amostra veio de uma população
que apresenta distribuição simétrica.
10- Quando os dados originais se perderam ou foram destruídos, mas a tabela de distribuição de
frequência foi preservada, as medidas de posição e dispersão ainda podem ser obtidas. Suponha que para
cada um dos p valores distintos de x, digamos x1, x2, ..., xp, a frequência absoluta seja Fi (ou fa), tal que
i = 1, 2, ..., p. Então a média e a variância podem ser calculadas por:
x¯ =
p∑
i=1
Fixi
n
s2 =
p∑
i=1
Fix
2
i − 1n
(
p∑
i=1
Fixi
)2
n− 1
OBS: Quando a variável em estudo é quantitativa contínua e os dados estão agrupados em uma tabela
de distribuição de frequências divida em classes (ou intervalos), então o valor de xi nas fórmulas acima
pode ser substituído pelo ponto médio da respectiva classe.
Os dados abaixo referem-se ao número de empresas falidas por ano observadas em Varginha-MG.
Emp. Falidas 0 1 2 3 4 5 6
Frequência 36 19 16 7 4 2 1
a) Calcule a média, a variância e o desvio padrão para estes dados;
b) Calcule a moda e a mediana destes dados.
11- Uma empresa usa duas máquinas diferentes para fabricar certo tipo de peça. Durante um turno,
uma amostra de n = 20 peças produzidas por cada máquina é selecionada e o valor de uma importante
dimensão de cada peça é determinado. O boxplot comparativo da figura a seguir foi construído a partir
dos dadosresultantes. Compare e destaque as diferenças entre as duas amostras.
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12- O seguinte boxplot comparativo sobre coeficientes de vapor de gasolina para veículos em Detroit
foi exibido no artigo “Receptor Modeling Approach to VOC Emission Inventory Validation” (J. of Envir.
Engr., 1995, p. 483-490). Interprete os resultados.
13- Seja a média amostral dada por X =
n∑
j=1
Xj
n
. Utilizando as propriedades de somatório vistas na
primeira aula prática, mostre algebricamente que:
n∑
j=1
(Xj −X) = 0
14- Utilizando conceitos de cálculo e as propriedades de somatório vistas na primeira aula prática,
encontre o valor de a que minimiza a função:
f(a) =
n∑
j=1
(Xj − a)2
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