Física C - Potencial Elétrico, Capacitância, Corrente Elétrica e Circuitos

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Notas Eletromagnetismo – Parte II
R. Bufalo ∗
Departamento de Fı´sica, Universidade Federal de Lavras,
Caixa Postal 3037, 37200-000 Lavras, MG, Brazil
13 de junho de 2017
Resumo
Nesta nota de aula encontra-se um resumo dos to´picos discutidos na aula do curso de
Fı´sica C, referente a` segunda avaliac¸a˜o.
∗E-mail: rodrigo.bufalo@dfi.ufla.br
1
Suma´rio
I Potencial ele´trico 4
1 Potencial ele´trico 4
1.1 Energia potencial eletrosta´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Potencial e campos ele´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Superfı´cies equipotenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Potencial devido a cargas puntiformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Ca´lculo do campo ele´trico a partir do potencial . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Ca´lculo do potencial para distribuic¸o˜es contı´nuas de carga . . . . . . . . 17
1.5.1 Potencial no eixo de um anel carregado . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.2 Potencial de uma linha de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.3 Potencial e campo ele´trico de um disco carregado . . . . . . . . . 19
1.5.4 Potencial devido a um plano infinito de cargas . . . . . . . . . . . 21
1.5.5 Potencial de uma casca esfe´rica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5.6 Potencial de uma esfera carregada uniformemente . . . . . . . . 24
1.5.7 Potencial de uma casca esfe´rica oca . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6 Energia potencial eletrosta´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.6.1 Ruptura diele´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
II Capacitaˆncia 32
2 Capacitores 33
2.1 Capacitaˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.1 Capacitores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.2 Capacitor de placas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.3 Capacitores cilı´ndricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Armazenamento de energia ele´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.1 Energia do campo eletrosta´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3 Capacitores, bateria e circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.1 Associac¸a˜o de capacitores em paralelo . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.2 Associac¸a˜o de capacitores em se´rie . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2
2.4 Diele´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.5 Visa˜o molecular de um diele´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
III Corrente ele´trica e circuitos 60
3 Corrente ele´trica e circuitos de corrente contı´nua 60
3.1 Corrente e o movimento de cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2 Densidade de corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3 Resisteˆncia e lei de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.4 Energia e poteˆncia em circuitos ele´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.5 Trabalho, energia e Fem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.6 Combinac¸a˜o de resistores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.6.1 Resistores em se´rie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.6.2 Resistores em paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.7 Leis de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.7.1 Circuitos de malhas simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.7.2 Circuitos de mu´ltiplas malhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.8 Circuitos RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.8.1 Descarregando um capacitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.8.2 Carregando um capacitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.8.3 Conservac¸a˜o de energia durante a carga de um capacitor . . . . . 103
3
Parte I
Potencial ele´trico
1 Potencial ele´trico
Neste capı´tulo estabeleceremos a relac¸a˜o entre o campo ele´trico e o potencial ele´trico,
e calcularemos o potencial ele´trico para algumas distribuic¸o˜es contı´nuas de carga.
• Como o potencial ele´trico e´ um campo escalar, em muitas circunstaˆncias e´ mais
fa´cil calcula´-lo do que o campo ele´trico (um vetor). Ademais, representa um pode-
roso auxı´lio conceitual e computacional.
Os conceitos de energia potencial ele´trica e potencial ele´trico sera˜o ferramentas essenciais
na ana´lise de circuitos ele´tricos (capacitaˆncia e resisteˆncia), que sera´ desenvolvido nos
capı´tulos a seguir.
1.1 Energia potencial eletrosta´tica
Podemos introduzir o conceito de energia potencial eletrosta´tica da mesma forma que
discutimos a energia potencial gravitacional, ao movimentarmos uma partı´cula massiva
sob efeito de um campo gravitacional externo.
Da mesma forma, podemos definir a diferenc¸a de energia potencial ele´trica de uma
carga teste q0 quando ela se move de um ponto inicial i para um ponto final f num campo
ele´trico
• Desloquemos uma carga teste de um ponto para outro num campo ele´trico. A
diferenc¸a de energia potencial ele´trica da carga teste entre esses pontos e´ o negativo
do trabalho realizado pela forc¸a eletrosta´tica, atrave´s do campo ele´trico, sobre esta
carga, durante seu movimento
∆U =U f −Ui =−Wi f (1.1)
Como a forc¸a eletrosta´tica realiza trabalho sobre a carga, por meio do campo ele´trico,
costuma-se dizer que o campo realiza trabalho sobre a carga.
4
A diferenc¸a de energia potencial ele´trica da carga teste entre dois pontos e´ indepen-
dente da trajeto´ria seguida entre esses pontos. Isto e´, a forc¸a eletrosta´tica, assim como a
gravitacional, e´ uma forc¸a conservativa.
Definiremos o potencial ele´trico de tal forma que ele dependa apenas da carga fonte,
e na˜o da carga teste q0; sendo assim uma caracterı´stica exclusiva do campo ele´trico em
estudo.
De fato, define-se o potencial ele´trico como a energia potencial por unidade de carga.
Disto segue a definic¸a˜o de que a diferenc¸a de potencial entre dois pontos quaisquer (num
campo ele´trico) e´
∆V =V f −Vi = ∆Uq0 =−
Wi f
q0
(1.2)
Agora, a partir do conhecimento do vetor campo ele´trico em todos os pontos ao longo da
trajeto´ria ligando os pontos, podemos calcular a diferenc¸a de potencial entre dois pontos
quaisquer num campo ele´trico.
Para isto, determinamos primeiramente o diferencial de trabalho realizado pelo campo
5
sobre uma carga teste, quando ela sofre um deslocamento d~`:
dW = ~F .d~`= q0~E.d~` (1.3)
disto segue que a diferenc¸a de potencial pode ser escrita como
dV =
dU
q0
=−dW
q0
=−~E.d~` (1.4)
e para um deslocamento finito entre dois pontos, a diferenc¸a de potencial e´
V f −Vi =−
Wi f
q0
=−
∫ f
i
~E.d~` (1.5)
A func¸a˜o V e´ denominada potencial ele´trico; ademais, ele e´ frequentemente referido
como o potencial.
• Assim como o campo ele´trico, o potencial V e´ uma func¸a˜o da posic¸a˜o.
• Diferentemente do campo ele´trico, V e´ uma func¸a˜o escalar, enquanto ~E e´ uma
func¸a˜o vetorial.
6
• Assim como a energia potencial U , apenas diferenc¸as no potencial V teˆm signifi-
cado fı´sico.
Somos livres para escolher o potencial como zero em qualquer ponto conveniente; es-
colhemos enta˜o o potencial ele´trico e a energia potencial de uma carga teste como zero
num ponto arbitrariamente distante (ra→ ∞), assim Va = Ua = 0. Sob esta condic¸a˜o,
escrevemos
V =
U
q0
=−W∞ f
q0
(1.6)
Como o potencial ele´trico e´ a energia potencial por unidade de carga, a unidade para o
potencial e para a diferenc¸a de potencial no SI e´ o joule por coulomb, denominada volt
1V = 1J/C (1.7)
A diferenc¸a de potencial entre dois pontos e´ comumente chamada de voltagem entre os
dois pontos.
Das equac¸o˜es acima, vemos que as dimenso˜es do potencial tambe´m sa˜o aquelas para
oproduto do campo ele´trico pela distaˆncia. Portanto, a unidade do campo ele´trico e´ igual
a um volt por metro
1N/C = 1J/m (1.8)
Na fı´sica atoˆmica e nuclear, frequentemente temos partı´culas que teˆm cargas de magni-
tude e, tais como ele´trons e pro´tons, movendo-se atrave´s de ddps de va´rios milhares ou
milho˜es de volts. Como energia tem dimenso˜es de carga ele´trica multiplicada por poten-
cial ele´trico, uma unidade de energia e´ definida como o produto da unidade fundamental
de carga e e um volt. Esta unidade particularmente u´til e´ denominada ele´tron-volt (eV).
Esta unidade e´ uma unidade conveniente para processos atoˆmicos e moleculares
1eV = 1,60×10−19C.V = 1,60×10−19J
1.1.1 Potencial e campos ele´tricos
Se colocarmos uma carga positiva q0 em um campo ele´trico ~E e a soltarmos, ela sera´
acelerada na direc¸a˜o e sentido deste campo. Como a energia cine´tica da carga aumenta,
sua energia potencial diminui. A carga, portanto, e´ acelerada em direc¸a˜o a` regia˜o onde
sua energia potencial ele´trica e´ menor.
7
Ademais, a energia potencial U e´ relacionada ao potencial ele´trico V por U = q0V ,
assim para uma carga teste positiva, a regia˜o onde a carga tem menor energia potencial e´
tambe´m a regia˜o de menor potencial ele´trico.
Resumindo, O campo ele´trico ~E aponta na direc¸a˜o e sentido no qual o potencial V
diminui mais rapidamente.
Exemplo: Vamos calcular a diferenc¸a de potencial de uma partı´cula teste positiva em
movimento num campo ele´trico uniforme entre dois pontos i e f que esta˜o separados por
uma distaˆncia d.
a) Se o deslocamento da carga e´ paralela a` direc¸a˜o do campo temos que o desloca-
mento diferencial d~` aponta no mesmo sentido do campo ele´trico ~E, logo
V f −Vi =−
∫ f
i
~E.d~`=−
∫ f
i
E (cos0)d`=−
∫ f
i
Ed` (1.9)
8
ademais, como o campo e´ uniforme, E e´ constante em todos os pontos da trajeto´ria, assim
V f −Vi =−E
∫ f
i
d`=−Ed (1.10)
Este sinal negativo mostra que o potencial no ponto f e´ menor que o potencial no ponto i.
E isto e´ um resultado geral: o potencial sempre decresce ao longo de uma trajeto´ria que
se estende na direc¸a˜o em que apontam as linhas do campo.
b) Consideremos agora a carga segue a trajeto´ria ic f como mostra a figura. Qual e´ a
ddp experimentada pela carga?
Veja que em todos os pontos da linha ic o deslocamento diferencial d~` e´ perpendicular
ao campo ele´trico ~E, enquanto na trajeto´ria c f temos que eles fazem um aˆngulo de 45o,
desta forma
V f −Vi =−
∫ f
i
~E.d~`=−
∫ c
i
~E.d~`−
∫ f
c
~E.d~` (1.11)
=−
∫ f
i
E (cos90o)d`−
∫ f
i
E (cos45o)d` (1.12)
=− E√
2
∫ f
i
d`=− E√
2
d′ (1.13)
todavia
sin45o =
d
d′
→ d′ = d
sin45o
=
√
2d
assim
V f −Vi =− E√
2
d′ =−Ed (1.14)
Trata-se do mesmo resultado obtido no item a), como deve ser, pois como discutimos
anteriormente a diferenc¸a de potencial entre dois pontos na˜o depende da trajeto´ria que os
une. (forc¸a conservativa).
9
1.2 Superfı´cies equipotenciais
O local geome´trico em que pontos possuem o mesmo potencial tem um nome especial,
e e´ chamado de superfı´cie equipotencial.
De maneira similar a`s linhas de campo, pode-se utilizar superfı´cies equipotenciais
para representar o campo ele´trico numa certa regia˜o.
Ademais, o campo ele´trico na˜o realiza nenhum trabalho sobre uma carga quando ela
se move entre dois pontos sobre uma mesma superfı´cie equipotencial, como se conclui a
partir de V f −Vi =−Wi fq0 .
Por simetria, as superfı´cies equipotenciais para uma carga puntiforme ou uma distribuic¸a˜o
de carga esfericamente sime´trica constituem uma famı´lia de esferas conceˆntricas.
A partir do exemplo anterior, vimos que para trajeto´rias perpendiculares a`s linhas
de campo ele´trico o potencial e´ zero (trajeto´ria ic), i.e. o trabalho realizado e´ nulo. E
este e´ um resultado geral, pois superfı´cies equipotenciais sa˜o sempre perpendiculares a`s
linhas de campo ele´trico. Assim, se o campo na˜o fosse perpendicular a uma superfı´cie
equipotencial (trajeto´ria c f ), ele realizaria trabalho sobre a carga e assim esta na˜o seria de
fato uma superfı´cie equipotencial.
Desta forma, para assegurarmos um valor constante para o potencial e assim defi-
nir uma superı´cie equipotencial, e´ necessa´rio que o campo ele´trico seja perpendicular a`
superfı´cie.
10
1.3 Potencial devido a cargas puntiformes
O potencial ele´trico em um ponto P a uma distaˆncia r de uma carga puntiforme q
localizada na origem pode ser calculado a partir de
VP−Vre f =−
∫ P
re f
~E.d~` (1.15)
Como discutimos anteriormente, escolhemos o ponto de refereˆncia tal que o potencial
seja nulo, i.e. Vre f = 0. Ademais, o campo ele´trico devido a` carga puntiforme e´ ~E =
kq
r2 rˆ,
assim
VP−0 =−
∫ P
re f
~E.d~`=−
∫ P
re f
kq
r2
(
rˆ.d~`
)
=−
∫ P
re f
kq
r2
dr (1.16)
sendo que dr = rˆ.d~` e´ a varic¸a˜o na distaˆncia r associada ao deslocamento d~` na direc¸a˜o rˆ.
Temos enta˜o
VP =−kq
∫ P
re f
1
r2
dr = kq
(
1
rp
− 1
rre f
)
(1.17)
Este e´ o potencial devido a uma carga puntiforme. Novamente, como temos a liberdade
de escolher a locac¸a˜o do ponto de refereˆncia, podemos escolheˆ-lo de tal forma a termos
uma forma alge´brica mais simples para o potencial; e isto e´ condizente com o fato do
potencial tambe´m ser nulo, e um ponto que satisfaz estas condic¸o˜es e´ rre f →∞. Portanto,
denotamos por potencial de Coulomb a seguinte expressa˜o
V =
kq
r
(1.18)
a carga nesta expressa˜o pode ser positiva ou negativa, i.e. q = Q ou q =−Q.
Podemos ainda escrever a expressa˜o para a energia potencial de uma carga puntiforme
q′ localizada a uma distaˆncia r da carga q como
U = q′V =
kqq′
r
(1.19)
Exemplo: Energia potencial de um a´tomo de hidrogeˆnio a) Qual e´ o potencial ele´trico
a uma distaˆncia r0 = 0,529×10−10m de um pro´ton? b) Qual e´ a energia potencial ele´trica
de um ele´tron e de um pro´ton a esta separac¸a˜o?
11
Calculamos o potencial devido a` carga no pro´ton como
V =
kq
r
=
ke
r0
=
(
8,99×109Nm2/C2)(1,6×10−19C)
0,529×10−10m (1.20)
=
(8,99)(1,6)
0,529
Nm/C = 27,2Nm/C = 27,2V (1.21)
enquanto a energia potencial segue para q′ =−e, assim
U = q′V = (−e)(27,2V ) =−27,2eV
Veja a discussa˜o no livro sobre energia de ionizac¸a˜o (energia necessa´ria para remover um
ele´tron de um a´tomo)!! Tipler pa´ginas 76 e 77.
Por fim, podemos determinar o potencial lı´quido criado por um grupo de cargas pun-
tiformes num ponto qualquer com o auxı´lio do princı´pio da superposic¸a˜o. Encontramos
enta˜o para n cargas temos que o potencial lı´quido num ponto P qualquer devido a essas
cargas e´
V =
n
∑
i=1
Vi =
n
∑
i=1
kqi
ri
(1.22)
aqui qi e´ o valor da i-e´sima carga e ri e´ a distaˆncia radial desta carga ao ponto em questa˜o.
Veja que a soma acima e´ alge´brica e na˜o vetorial como no caso do ca´lculo do campo
ele´trico. Esta e´ uma vantagem importante, do ponto de vista de ca´lculos a favor do po-
tencial: e´ muito mais simples somar va´rias grandezas escalares do que va´rias grandezas
vetoriais, cujas direc¸o˜es e sentidos devem ser considerados.
Exemplo 1: Duas cargas puntiformes de +5,0nC esta˜o no eixo x, uma na origem e a
outra em x = 8,0cm. Determine o potencial a) no ponto P1 = (4,0cm,0) e b) no ponto
P2 = (0,6,0cm).
a) Calculamos o potencial resultante no ponto P1 = (4,0cm,0) atrave´s de
V =
2
∑
i=1
Vi =
kq1
r1
+
kq2
r2
(1.23)
12
neste primeiro caso
r1 = r2 = 0,04m = r (1.24)
q1 = q2 =+5,0nC = q
portanto
V =
kq
r
+
kq
r
= 2
kq
r
= 2
(
8,99×109Nm2/C2)(5,0×10−9C)
0,04m
= 2247V = 2,2kV (1.25)
Observe que neste ponto o campo ele´trico resultante e´ zero (no ponto me´dio entre as
cargas), todavia o potencial na˜o e´.
b) Ja´no ponto P2 = (0,6,0cm), temos que
r2 =
√
82 +62cm = 10cm (1.26)
13
enta˜o
V =
kq
r1
+
kq
r2
=
(
8,99×109Nm2/C2)(5,0×10−9C)
0,06m
+
(
8,99×109Nm2/C2)(5,0×10−9C)
0,10m
= 749V +450V = 1,2kV (1.27)
Exemplo 2: Um dipolo ele´trico consiste de uma carga puntiforme positiva +q no eixo x
em x =+`/2 e uma carga netativa −q tambe´m no eixo x no ponto x =−`/2. Determine
o potencial no eixo x num ponto P = x > `/2 em termos do momento de dipolo ~p = q`iˆ.
A configurac¸a˜o do sistema e´
O potencial resultante no ponto P = x e´
V =
2
∑
i=1
Vi =
kq1
r1
+
kq2
r2
(1.28)
sendo que
r1 = x− `/2, r2 = x+ `/2 (1.29)
q1 =−q2 = q
portanto
V =
kq
r1
− kq
r2
= kq
(
1
x− `/2−
1
x+ `/2
)
= kq
(
`
x2− `2/4
)
=
kp
x2− `2/4 (1.30)
14
Por fim, para pontos distantes, tal que x� `/2, encontramos
V =
kp
x2− `2/4 =
kp
x2
(
1− `24x2
) ≈ kp
x2
(1.31)
Um dipolo tem uma carga total nula e portanto esperamos que a grandes distaˆncias, o
potencial deve decrescer com o aumento da distaˆncia ao dipolo mais rapidamente que
para uma configurac¸a˜o de cargas em a carga lı´quida e´ na˜o-nula, e isto de fato e´ verdade
pois aqui temos um decre´scimo de 1/x2, enquanto para uma configurac¸a˜o com carga
lı´quida na˜o-nula temos 1/x que decresce mais lentamente.
1.4 Ca´lculo do campo ele´trico a partir do potencial
Ate´ agora usamos o conhecimento sobre o campo ele´trico para calcular o potencial
ele´trico
dV =−~E.d~` (1.32)
Todavia, a situac¸a˜o pode ser vista de um ponto de vista oposto, e usarmos o conhecimento
da func¸a˜o potencial para calcular o campo ele´trico.
Por simplicidade podemos considerar inicialmente o caso unidimensional em que o
potencial depende apenas de x; temos assim que
d~`= dxiˆ (1.33)
e encontramos
dV =−~E.d~`=−
(
~E.iˆ
)
dx =−Exdx
enta˜o
Ex =−dV (x)dx (1.34)
Podemos agora considerar um caso geral em que o deslocamento pode ser escrito como
d~`= dxiˆ+dy jˆ+dzkˆ (1.35)
e calcular o campo ele´trico resultante. Todavia, a partir da discussa˜o anterior, podemos
usar o fato de que um vetor que aponta na direc¸a˜o e sentido da variac¸a˜o ma´xima de uma
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func¸a˜o escalar e que tem mo´dulo igual a` derivada desta func¸a˜o com relac¸a˜o a` distaˆncia
naquela direc¸a˜o e´ denominado o gradiente da func¸a˜o.
Portanto, vemos que o campo ele´trico e´ o negativo do gradiente do potencial V
~E =−~∇V (1.36)
ou em componentes cartesianas
~E =−~∇V =−
(
∂V
∂x
iˆ+
∂V
∂y
jˆ+
∂V
∂ z
kˆ
)
(1.37)
Isto e´, a direc¸a˜o e o sentido do campo ele´trico sa˜o os mesmos que a direc¸a˜o e o sentido da
ma´xima taxa de decre´scimo da func¸a˜o potencial com relac¸a˜o a` distaˆncia.
De maneira geral, podemos mostrar o resultado acima como
dV =−~E.d~`=−(E cosθ)d`=−E`d`
sendo que E` = E cosθ e´ a componente do campo ~E ao longo do deslocamento d~`, temos
assim
E` =−∂V∂` (1.38)
Um caso de particular interesse e´ para uma distribuic¸a˜o esfericamente sime´trica de carga
centrada na origem, um potencial pode enta˜o ser uma func¸a˜o apenas da coordenada radial
r. Neste caso um deslocamento na direc¸a˜o radial e´ escrito como d~` = drrˆ. Lembre que
deslocamentos perpendiculares a` direc¸a˜o radial na˜o provocam variac¸a˜o em V (r). Por-
tanto, temos que
dV =−~E.d~`=−
(
~E.rˆ
)
dr =−Erdr
enta˜o
Er =−dV (r)dr (1.39)
16
1.5 Ca´lculo do potencial para distribuic¸o˜es contı´nuas de carga
Quando uma distribuic¸a˜o de carga e´ contı´nua (por exemplo, uma barra ou disco car-
regado), escolhemos um elemento de carga dq, a fim de determinar o potencial dV em P.
Enta˜o, ao inve´s de termos uma somato´ria, temos enta˜o uma integral
dV =
n
∑
i=1
kdqi
ri
→V = lim
dq→0
∞
∑
i=1
kdqi
ri
=
∫ kdq
r
(1.40)
Esta resultado considera que V = 0 a uma distaˆncia infinita das cargas. Por isso, podemos
usar a fo´rmula acima apenas para distribuic¸o˜es de carga finitas, e na˜o sendo va´lida por
exemplo para uma linhas infinita de cargas ou um plano infinito de cargas.
1.5.1 Potencial no eixo de um anel carregado
Consideremos um anel uniformemente carregado de raio a e carga Q no plano z = 0 e
centrado na origem.
Qual e´ o potencial ele´trico num ponto no eixo do anel P = z > 0? Temos
V =
∫ kdq
r
17
a distaˆncia de um elemento de carga dq ao ponto P e´ r =
√
a2 + z2 (constante), assim
V =
∫ kdq
r
=
k
r
∫
dq =
kQ
r
=
kQ√
a2 + z2
(1.41)
Observe que, quando |z|� a, o potencial tende a mesma expressa˜o que o potencial devido
a uma carga puntiforme Q na origem.
Calcule Ez =−dVdz e compare.
1.5.2 Potencial de uma linha de carga
Consideremos uma barra fina de pla´stico de comprimento ` e com uma densidade li-
near de carga uniforme λ . Qual e´ o potencial ele´trico num ponto P = a> 0 (perpendicular
a` barra, e encontra-se a` esquerda da barra)?
Temos que o elemento de carga e´ dq = λdx, enquanto a distaˆncia deste elemento de
carga ate´ o ponto P e´ r =
√
a2 + x2. Logo, escrevemos o potencial dV como
dV =
kdq
r
=
kλ√
a2 + x2
dx (1.42)
18
obtemos o potencial ao integrarmos
V =
∫ `
0
kλ√
a2 + x2
dx = kλ
∫ `
0
dx√
a2 + x2
(1.43)
podemos usar o resultado da integral∫ dx√
a2 + x2
= ln
(
x+
√
a2 + x2
)
e obter
V = kλ
(
ln
(
`+
√
a2 + `2
)
− ln
(√
a2
))
= kλ ln
[
`+
√
a2 + `2
a
]
(1.44)
1.5.3 Potencial e campo ele´trico de um disco carregado
Vamos agora determinar o potencial no eixo de um disco de raio a que conte´m uma
carga total Q distribuı´da uniformemente em sua superfı´cie.
Consideremos que o eixo do disco e´ o eixo x e como anteriormente trataremos o disco
como um conjunto de ane´is carregados.
O anel de raio r e espessura dr tem uma a´rea infinitesimal 2pirdr. Desta forma temos
que o elemento de carga e´ dq = σdA = σ (2pir)dr em que σ = Q/pia2 e´ a densidade
superficial de carga.
19
O potencial no ponto P = x > 0 dvido a` carga deste anel e´ dado por
dV =
kdq
r′
=
kσ (2pir)√
r2 + x2
dr (1.45)
agora, integrando a expressa˜o acima, temos
V =
∫
dV =
∫ a
0
kσ (2pir)√
r2 + x2
dr = pikσ
∫ a
0
2rdr√
r2 + x2
= pikσ
∫ a2+x2
x2
du√
u
em que fizemos a mudanc¸a de varia´veis u = r2 + x2, assim
V = pikσ
(
u
1
2
1
2
)
a2+x2
x2 = 2pikσ
(√
a2 + x2−
√
x2
)
= 2pikσ |x|
(√
1+
a2
x2
−1
)
(1.46)
Observe que, quando |x|� a, o potencial tende a mesma expressa˜o que o potencial devido
a uma carga puntiforme Q na origem.
Podemos ainda calcular o campo ele´trico atrave´s da diferenciac¸a˜o direta atrave´s de
Ex = −dV/dx, e as outras componentes sa˜o nulas devido a simetria da distribuic¸a˜o de
carga Ey = Ez = 0. Assim
Ex =−dVdx =−
d
dx
(
2pikσ
(√
a2 + x2−|x|
))
=−2pikσ
(
d
dx
√
a2 + x2− d |x|
dx
)
=−2pikσ
(
1
2
√
a2 + x2
2x− sign(x)
)
= 2pikσsign(x)
1− 1√
1+ a
2
x2
 (1.47)
onde usarmos sign(x) = x/ |x|. Este resultado reproduz exatamente a expressa˜o calculada
anteriormente para Ex.
20
1.5.4 Potencial devido a um plano infinito de cargas
A priori se considerarmos a muito grande, nosso disco uniforme carregado se apro-
ximara´ de um plano infinito. Todavia, na˜o podemos utilizar a expressa˜o calculada acima
para o disco, pois uma das condic¸o˜es utilizadas no ca´lculo foi de que V = 0 no infinito, e
dessa forma terı´amos uma contradic¸a˜o.
Para distribuic¸o˜es de carga com dimenso˜es infinitas, na˜o podemos escolher V = 0 em
um ponto a uma distaˆncia infinita das cargas. Em vez disso, primeiro determinamos o
campo ele´trico ~E, e enta˜o calculamos o potencial V a partir de dV =−~E.d~`.
No caso particular de um plano infinito de car uniforme com densidade σ no plano
x = 0,o campo ele´trico na regia˜o x > 0 e´
~E =
σ
2ε0
iˆ = 2pikσ iˆ (1.48)
Para um deslocamento arbitra´rio d~`= dxiˆ+dy jˆ+dzkˆ, temos enta˜o que
dV =−~E.d~`=−(2pikσ iˆ) .(dxiˆ+dy jˆ+dzkˆ)=−2pikσdx
integrando ambos lados, temos
V =−2pikσx+V0 (1.49)
Por outro lado, o campo ele´trico na regia˜o x < 0 e´ ~E =−2pikσ iˆ, temos assim
V = 2pikσx+V0 =−2pikσ |x|+V0 (1.50)
Portanto, para valores positivos e negativos de x, o potencial pode ser escrito como
V =−2pikσ |x|+V0 (1.51)
i.e. V =V0 quando x = 0.
21
1.5.5 Potencial de uma casca esfe´rica
Vamos determinar o potencial devido a uma fina casca esfe´rica que tem raio R e carga
Q uniformemente distribuı´da na sua superfı´cie.
Como o campo ele´trico para esta distribuic¸a˜o de carga e´ facilmente obtido pela lei de
Gauss,
E =
kQr2 , r ≥ R0, r ≤ R (1.52)
vamos calcular o potencial a partir do campo ele´trico conhecido a partir de dV =−~E.d~`.
Do lado de fora da casca esfe´rica, o campo ele´trico e´ o mesmo que se carga a Q fosse
puntiforme e estivesse na origem
~E =
kQ
r2
rˆ (1.53)
assim
dV =−~E.d~`=−
(
kQ
r2
rˆ
)
.d~`=−kQ
r2
dr (1.54)
em que dr = rˆ.d~` e´ a componente de d~` na direc¸a˜o radial. Da mesma forma que fizemos
no ca´lculo do potencial para uma carga puntiforme, tomamos o ponto de refereˆncia como
rre f = ∞ (potencial zero no infinito), assim a integrac¸a˜o segue
V =
∫
dV =−
∫ rp
∞
kQ
r2
dr =
kQ
rp
(1.55)
em que P e´ um ponto arbitra´rio na regia˜o rp ≥ R.
Dentro da casca esfe´rica, o campo ele´trico e´ igual a zero em todos os pontos. Inte-
grando novamente do ponto de refereˆncia ao infinito, sendo que rp ≤ R, assim
V =
∫
dV =−
∫ rp
∞
~E.d~`=−
∫ R
∞
kQ
r2
dr−
∫ rp
R
(0)dr =
kQ
R
(1.56)
Vemos assim que o potencial em todos os pontos dentro da casca e´ constante com valor
22
kQ/R. Portanto, por convenieˆncia escrevemos rp = r, enta˜o
V =
kQr , r ≥ RkQ
R , r ≤ R
(1.57)
A superfı´cie de um condutor carregado em equilı´brio eletrosta´tico e´ uma superfı´cie equi-
potencial.
Um erro comum e´ pensar que o potencial deveria ser zero no interior da casca esfe´rica,
uma vez que o campo ele´trico e´ zero naquela regia˜o.
23
1.5.6 Potencial de uma esfera carregada uniformemente
Utilizamos novamente o resultado do campo ele´trico conhecido calculado anterior-
mente para determinar o potencial ele´trico de uma esfera de raio R.
Fora da esfera, o campo ele´trico e´ o mesmo que o de uma carga puntiforme. Assim, o
potencial segue para r ≥ R
V =
∫
dV =−
∫ rp
∞
kQ
r2
dr =
kQ
rp
(1.58)
agora, dentro da esfera, r ≤ R, temos que o campo ele´trico e´ dado por
~E =
kQr
R3
rˆ
temos assim que
V =
∫
dV =−
∫ rp
∞
~E.d~`=−
∫ R
∞
kQ
r2
dr−
∫ rp
R
kQr
R3
dr (1.59)
=
kQ
R
− kQ
R3
1
2
(
r2p−R2
)
(1.60)
=
kQ
2R
(
3− r
2
p
R2
)
(1.61)
Portanto
V =

kQ
r , r ≥ R
kQ
2R
(
3− r2R2
)
, r ≤ R
kQ
R , r = R
(1.62)
Note que em r = 0, o potencial e´ V0 = 3/2
kQ
R = 3/2Vs, e este resultado esta´ condizente
com o fato do campo ele´trico apontar no sentido que o potencial diminui.
Questa˜o: Como ficariam as expresso˜es para o potencial de uma esfera, se consideras-
semos o ponto de refereˆncia em que V = 0 em r = R?
24
1.5.7 Potencial de uma casca esfe´rica oca
Uma casca esfe´rica condutora, na˜o carregada e oca, tem raio interno a e raio externo
b. Uma carga puntiforme positiva +q esta´ localizada no centro da casca. a) Determine a
carga em cada uma das superfı´cies do condutor. b) Determine o potencial V em todas as
regio˜es, considerando V = 0 em r = ∞.
a) A fim de determinar as cargas nas superfı´cies deste condutor, e´ conveniente fazer
25
uso i) da lei de Gauss, ii) todo o excesso de carga em um condutor encontra-se em sua
superfı´cie, e iii) de que o campo ele´trico dentro de um condutor e´ nulo.
Como a casca e´ neutra, temos que
Qa +Qb = 0→ Qa =−Qb (1.63)
Agora, ao considerarmos uma superfı´cie gaussiana no interior do material a ≤ r ≤ b,
temos a partir da lei de Gauss
Φ=
Q
ε0
=
∮
EndA→ Qa +qε0 =
∮
(En = 0)dA→ Qa =−q
ou seja, a presenc¸a de uma carga no centro da casca condutora induz uma carga −q na
superfı´cie de raio r = a, de tal forma a assegura que o campo ele´trico resultante dentro do
material seja nulo (i.e. pela lei de Gauss que a carga lı´quida seja nula). Assim
Qa =−Qb =−q
b) O potencial em qualquer ponto e´ a soma dos potenciais devidos a`s cargas individuais
(princı´pio de superposic¸a˜o). Anteriormente calculamos que o potencial devido a uma
casca esfe´rica e´
V =
kQr , r ≥ RkQ
R , r ≤ R
(1.64)
Para pontos r≥ b, o potencial resultante e´ devido somente a` carga (uma vez que o condu-
tor e´ neutro)
V =
kq
r
(1.65)
Agora, em pontos a≤ r ≤ b, temos
V =
kq
r
+
kQa
r
+
kQb
rb
=
kq
r
− kq
r
+
kq
b
=
kq
b
(1.66)
e por fim em pontos 0 < r ≤ a
V =
kq
r
+
kQa
ra
+
kQb
rb
=
kq
r
− kq
a
+
kq
b
(1.67)
26
Portanto
V =

kq
r , r ≥ b
kq
b , a≤ r ≤ b
kq
r − kqa + kqb , 0 < r ≤ a
(1.68)
Observe que o potencial V (r) e´ contı´nuo em todas as regio˜es, inclusive em r = a e r = b.
O campo ele´trico todavia e´ descontı´nuo nas superfı´cies do condutor, o que se reflete na
descontinuidade da declividade de V (r) em r = a e r = b.
1.6 Energia potencial eletrosta´tica
Suponhamos que exista uma carga puntiforme q1 no ponto 1. Para trazer uma segunda
carga puntiforme q2 do repouso no infinito para o repouso no ponto 2, a uma distaˆncia r12
do ponto 1, e´ necessa´rio realizar o seguinte trabalho
W2 = q2V2 =
kq1q2
r12
(1.69)
27
em que V2 e´ o potencial no ponto 2 devido a` presenc¸a da carga q1. Eliminamos o sinal
negativo anterior pois estamos interessados no trabalho que no´s realizamos em trazer as
cargas do infinito, e na˜o o trabalho realizado pelo campo ele´trico. (trabalho negativo retira
energia do sistema, trabalho positiva adiciona energia ao sistema).
Agora, o potencial num outro ponto, ponto 3, a uma distaˆncia r13 de q1 e a uma
distaˆncia r23 de q2, e´ dado por
V3 =
kq1
r13
+
kq2
r23
(1.70)
e portanto para trazer uma carga puntiforme adicional q3 do repouso no infinito para o
repouso no ponto 3 e´ necessa´rio realizar um trabalho adicional
W3 = q3V3 =
kq1q3
r13
+
kq2q3
r23
(1.71)
Concluı´mos desta forma que o trabalho total necessa´rio para agrupar as treˆs cargas e´ a
energia potencial eletrosta´tica do sistema de treˆs cargas puntiformes
Wtotal =U =
kq1q2
r12
+
kq1q3
r13
+
kq2q3
r23
Em geral, podemos enunciar
• A energia potencial eletrosta´tica de um sistema de cargas puntiformes e´ o trabalho
necessa´rio para trazeˆ-las desde uma separac¸a˜o infinita ate´ suas posic¸o˜es finais.
Podemos generalizar a expressa˜o para energia potencial para um sistema de n cargas
puntiformes tal que
U =
1
2
n
∑
i=1
qiVi (1.72)
o fator nume´rico 1/2 e´ para retirarmos a contagem dupla, proveniente por exemplo do
potencial no ponto 2 devido a carga q1 com o potencial no ponto 1 devido a` carga q2 que
contribuem com o mesmo trabalho/energia
U =
1
2
2
∑
i=1
qiVi =
1
2
(q1V1 +q2V2i) =
1
2
(
q1
kq2
r21
+q2
kq1
r12
)
=
kq1q2
r12
28
1.6.1 Ruptura diele´trica
• Muitos materiais ficam ionizados em campos ele´tricos muito intensos e se tornam
condutores.
• Este fenoˆmeno, conhecido como ruptura diele´trica, ocorre no ar com um campo
ele´trico cuja intensidade e´ Em ≈ 3×106V/m.
• Alguns dos ı´ons existeste no ar sa˜o acelerados, atingindo altos nı´veis de energia
cine´tica antes de colidirem com mole´culas vizinhas.
• A ruptura diele´trica ocorre quando esses ı´onssa˜o acelerados ate´ atingirem energias
cine´ticas capazes de propiciar o crescimento da concentrac¸a˜o de ı´ons devido a`s
coliso˜es com mole´culas vizinhas.
• A intensidade do capmo ele´trico na qual ocorre a ruptura diele´trica no material e´
chamada de resisteˆncia diele´trica daquele material.
• O choque ele´trico que voceˆ sente quando toca na mac¸aneta meta´lica de uma porta
apo´s caminhar sobre um tapete em um dia seco e´ um exemplo comum de arco
ele´trico (descarga ele´trica).
Exemplo 1 Um condutor esfe´rico tem um raio de 30cm. (a) Qual e´ a carga ma´xima
que pode ser colocada sobre a esfera antes de ocorrer a ruptura diele´trica do ar em suas
vizinhanc¸as. (b) Qual e´ o potencial ma´ximo da esfera?
(a) Podemos relacionar o campo ele´trico e a densidade superficial de um condutor a
partir de
E =
σ
ε0
→ Em = σmε0
ademais, a carga ma´xima e´ relacionada com a densidade σm atrave´s de
σm =
Qm
4piR2
logo
Qm = 4piR2σm = 4piR2 (ε0Em) =
R2Em
k
=
(0,3m)2
(
3×106V/m)
(8,99×109N.C2/m2) = 3×10
−5C (1.73)
29
(b) O potencial ma´ximo segue de
Vm =
kQm
R
=
k
R
(
R2Em
k
)
= REm = (0,3m)
(
3×106V/m
)
= 9×105V (1.74)
Exemplo 2 Dois condutores esfe´ricos carregados com raios R1 = 6cm e R2 = 2cm sa˜o
separados de uma distaˆncia muito maior que 6cm e conectados por um longo fio condutor
fino. Uma carga total Q = +80nC e´ colocada em uma das esferas. (a) Qual e´ a carga em
cada esferas? (b) Qual e´ o campo ele´trico pro´ximo a` superfı´cie de cada esfera? (c) Qual
e´ o potencial ele´trico de cada esfera? (a carga do fio e´ desprezı´vel.)
A carga ficara´ distribuı´da na esfera 1 Q1 e na esfera 2 com Q2 tal que as duas fiquem
sobre o mesmo potencial.
(a) Uma vez que as esferas esta˜o suficientemente afastadas, V = kQ/R, logo
V1 =V2→ kQ1R1 =
kQ2
R2
→ Q1 = R1R2 Q2
e da conservac¸a˜o da carga
Q = Q1 +Q2
assim
Q1 =
R1
R2
(Q−Q1)→
(
1+
R2
R1
)
Q1 = Q→ Q1 = Q(
1+ R2R1
) = ( R1
R1 +R2
)
Q
e
Q1 =
(
6cm
6cm+2cm
)
(80nC) = 60nC
e
Q2 = Q−Q1 = 80nC−60nC = 20nC
30
(b) Pro´ximo a` superfı´cie, o campo ele´trico e´ E = kq/R2, assim
E1 =
kQ1
R21
=
(
8,99×109N.C2/m2)(60nC)
(0,06m)2
= 150kN/C
E2 =
kQ2
R22
=
(
8,99×109N.C2/m2)(20nC)
(0,02m)2
= 450kN/C
(c) Por fim, o potencial comum das esferas e´
V =
kQ1
R1
=
kQ2
R2
=
(
8,99×109N.C2/m2)(60nC)
(0,06m)
= 8,99kV
Efeito de pontas
• Quando a carga e´ colocada em um condutor de forma na˜o-esfe´rica, como o mos-
trado abaixo, a superfı´cie do condutor sera´ uma superfı´cie equipotencial, pore´m a
densidade de carga e o campo ele´trico na superfı´cie externa do condutor variara˜o
ponto a ponto.
31
• Nas proximidades de um ponto onde o raio de curvatura e´ pequeno, como o ponto A
na figura acima, a densidade superficial de carga e o campo ele´trico sera˜o grandes,
enquando nas proximidades de um ponto onde o raio de curvatura e´ grande, como
o ponto B na figura, o campo e a densidade superficial de carga sera˜o pequenos.
• Pode-se compreender essa condic¸a˜o qualitativamente considerando as extremidades
do condutor como sendo esferas de raios distintos. Seja σ a densidade superficial
de carga.
O potencial na superfı´cie de uma esfera de raio R e´
V =
kQ
R
A carga total de uma esfera esta´ relacionada a` densidade de carga pela expressa˜o Q =
4piR2σ . Logo
V =
kQ
R
=
k
(
4piR2σ
)
R
=
Rσ
ε0
→ σ = ε0V
R
(1.75)
• Como ambas esferas esta˜o sujeitas ao mesmo potencial, a esfera com o menor raio
deve possuir a maior densidade de carga. E sendo E = σ/ε0 nas proximidades da
superfı´cie de um condutor, o campo ele´trico e´ ma´ximo nos pontos do condutor onde
o raio de curvatura e´ menor.
• Se o condutor possui pontos agudos com raios de curvatura muito pequenos, a
ruptura diele´trica ocorera´ a potenciais relativamente pequenos.
• Os pa´ra-raios no topo de pre´dios conseguem atrair as cargas ele´tricas presentes
nas proximidades das nuvens antes que o potencial atinja altos valores e produza
descargas ele´tricas de cara´ter destrutivo.
32
Parte II
Capacitaˆncia
2 Capacitores
Nos capı´tulos anteriores discutimos a relac¸a˜o entre campos ele´tricos e cargas e como a
relac¸a˜o entre as cargas se traduz em energia potencial ele´trica. Mostraremos agora usando
o conceito de capacitaˆncia, que a energia potencial pode ser armazenada e liberada e a
consequeˆncia em circuitos eletroˆnicos.
Encontramos capacitores (dispositivos que armazenam energia potencial ele´trica) numa
grande variedade de circuitos ele´tricos (basicamente em todos dispositivos eletroˆnicos,
e.g. flash de ma´quinas fotogra´ficas).
Um capacitor consiste de dois condutores (de formato arbitra´rio/placas) separados por
um isolante (diele´trico).
Quando carregado por uma bateria, as placas de um capacitor adquirem cargas iguais,
mas de sinais opostos (a carga lı´quida e´ zero).
Uma vez que as placas sa˜o condutoras, elas constituem superfı´cies equipotenciais:
todos os pontos sobre uma placa teˆm o mesmo potencial ele´trico.
2.1 Capacitaˆncia
O potencial V de um condutor isolado devido a` sua carga Q e´ proporcional a Q e de-
pende do tamanho e da forma do condutor. Tipicamente, quanto maior e´ a a´rea superficial
de um condutor, mais carga ele pode armazenar para um dado potencial.
Por exemplo, se o potencial e´ escolhido como zero no infinito, o potencial de um
condutor esfe´rico de raio R e carga Q e´
V =
kQ
R
A raza˜o Q/V da carga em relac¸a˜o ao potencial de um condutor isolado e´ denominada
autocapacitaˆncia C. Um capacitor e´ um dispositivo que consiste em dois condutores,
um com carga Q e o outro com carga −Q.
33
Assim, definimos a capacitaˆncia de um capacitor como a raza˜o da carga Q pela
diferenc¸a de potencial ∆V entre dois condutores
C =
Q
∆V
(2.1)
Capacitaˆncia e´ uma medida da capacidade de armazenar carga para uma dada diferenc¸a
de potencial.
A capacitaˆncia de um condutor esfe´rico e´
C =
Q
V
=
Q
kQ
R
=
R
k
= 4piε0R (2.2)
De fato, o resultando que a capacitaˆncia na˜o depende da carga Q ou potencial V na˜o e´
exclusivo para um condutor esfe´ricos, mas de fato uma conclusa˜o geral para qualquer
geometria das placas, pois a capacitaˆncia depende somente do tamanho, forma das placas
e da posic¸a˜o relativa entre os condutores.
A unidade de capaciteˆncia no SI e´ coulomb por volt, que e´ chamado de farad (F)
1F = 1C/V (2.3)
2.1.1 Capacitores
O processo de carga de um capacitor geralmente envolve a transfereˆncia de carga Q
de um condutor para o outro, deixando um deles com uma carga +Q e o outro com carga
−Q.
Para calcular a capacitaˆncia, colocamos cargas iguais com sinais opostos nos condu-
tores e, enta˜o, encontramos a diferenc¸a de potencial ∆V primeiro calculando o campo
ele´trico ~E devido a`s cargas e, depois, calculando a ddp a partir do campo.
2.1.2 Capacitor de placas paralelas
Um capacitor comum e´ o capacitor de placas paralelas, que utiliza duas placas
condutores paralelas. Na pra´tica, as placas sa˜o geralmente final folhas meta´licas sepa-
radas e isoladas uma da outra por um fino filme pla´stico (diele´trico).
34
• Seja A a a´rea da superfı´cie da placa e d a distaˆncia de separac¸a˜o, que e´ muito
pequena comparada ao comprimento e a` largura das placas.
• Colocamos uma carga +Q em uma das placas e−Q na outra. Estas cargas se atraem
e se distribuem uniformemente nas superfı´cies internas das placas.
• Como as placas esta˜o muito pro´ximas, o campo ele´trico entre elas e´ uniforme e
pode ser calculado pela lei de gauss (ao trac¸armos uma superfı´cie gaussiana na
placa +Q), e tem mo´dulo E = σ/ε0.
Como o campo e´ uniforme entre as placas, a diferenc¸a de potencial entre elas e´ igual
a` magnitude do campo ele´trico E multiplicada pela separac¸a˜oentre as placas d
∆V = Ed =
σd
ε0
=
Qd
Aε0
→C = Q
∆V
=
Aε0
d
(2.4)
e assim obtemos a capacitaˆncia de um capacitor de placas paralelas.
• Para um capacitor de placas paralelas, a capacitaˆncia e´ proporcional a` a´rea das
placas e e´ inversamente proporcional ao espac¸amento.
• Em geral, a capacitaˆncia na˜o depende de Q nem de ∆V , mas sim depende do tama-
nho, da forma e do arranjo geome´trico dos condutores. Como veremos a seguir, ela
tambe´m depende das propriedades do meio isolante entre os condutores.
2.1.3 Capacitores cilı´ndricos
Um capacitor cilı´ndrico consiste em um longo cilindro condutor de raio R1 e uma
casca cilı´ndrica condutora, conceˆntrico, de raio R2. Os cilindros teˆm o mesmo compri-
35
mento L.
• Um cabo coaxial, como os utilizados em televisa˜o a cabo, pode ser pensado como
um capacitor cilı´ndrico. A capacitaˆncia por unidade de comprimento de um cabo
coaxial e´ importante para determinar as caracterı´sticas de transmissa˜o do cabo.
Um cabo coaxial e´ um longo capacitor cilı´ndrico que tem um fio so´lido como condu-
tor interno e uma blindagem de fio tranc¸ado como condutor externo. A blindagem de fio
tranc¸ado bloqueia o condutor interno dos campos ele´tricos do ambiente, pois este condu-
tor conduz informac¸o˜es de interesse (sinais de audio e vı´deo). E como veremos a seguir
os diele´tricos aumentam a capacitaˆncia de um capacitor.
Vamos determinar agora a expressa˜o para a capacitaˆncia para o sistema de cilindros
descrito acima. Colocamos uma carga +Q no condutor interno e uma carga −Q no ex-
terno, e assim calcularemos o campo ele´trico a partir da lei de Gauss para em seguida
determinar a ddp.
Consideremos uma superfı´cie gaussiana cilı´ndrica de raio R e comprimento `, sendo
que R1 < R < R2 e `� L. Desta forma, temos pela lei de Gauss
Φ=
∮
~E.nˆdA =
Qint
ε0
(2.5)
sendo que a integral de superfı´cie pode ser decomposta em outras treˆs, nas duas bases e
36
ao longo do comprimento do cilindro,∮
~E.nˆdA =
∫
b1
~E.nˆdA+
∫
comp
~E.nˆdA+
∫
b2
~E.nˆdA
= 0+
∫
comp
ERdA+0
= ER
∫
comp
dA = ER (2piR`) (2.6)
temos dessa forma que
ER (2piR`) =
Qint
ε0
→ ER = 12piε0
Qint
R`
(2.7)
todavia, considerando que a densidade linear de carga e´ uniforme, temos que
λ =
Q
L
=
Qint
`
desta forma podemos resolver o campo ele´trico em termos da carga total
ER =
1
2piε0
Q
RL
(2.8)
37
Por fim, podemos determinar a ddp a partir da integral
∆V =
∫ VR2
VR1
dV =−
∫ R2
R1
ERdR =−
∫ R2
R1
(
1
2piε0
Q
RL
)
dR
=− 1
2piε0
Q
L
∫ R2
R1
q
R
dR
=− 1
2piε0
Q
L
ln
(
R2
R1
)
e
∆V = |VR2−VR1|=
1
2piε0
Q
L
ln
(
R2
R1
)
(2.9)
Portanto, determinamos a capacitaˆncia como
C =
Q
∆V
=
2piε0L
ln
(
R2
R1
) (2.10)
2.2 Armazenamento de energia ele´trica
Quando um capacitor esta´ sendo carregado, ele´trons (ou cargas positivas) sa˜o trans-
feridos do condutor positivamente (negativamente) carregado para o condutor negativa-
mente (positivamente) carregado. De qualquer forma, deve ser realizado trabalho para
carregar o capacitor e, pelo menos parte deste trabalho, e´ armazenado como energia po-
tencial eletrosta´tica.
Consideremos dois condutores descarregados posicionados a dada separac¸a˜o. Seja q
a carga positiva que foi transferida durante os esta´gios iniciais do processo de carga (e.g.
bateria).
Mas se agora uma incremento de carga positiva dq seja transferido do condutor nega-
tivo para o positivo atrave´s de um aumento de potencial, temos uma quantidade adicional
de trabalho
dW = dU =V dq =
q
C
dq (2.11)
O aumento total na energia potencial e´ a integral de dU quando q aumento desde zero
ate´ seu valor final Q
U =
∫
dU =
∫ Q
0
q
C
dq =
Q2
2C
(2.12)
38
Esta energia potencial e´ a energia armazenada no capacitor. Alternativamente, podemos
expressa´-la em termos Q, C e V
U =
1
2
Q2
C
=
1
2
QV =
1
2
CV 2 (2.13)
Exemplo: Um capacitor de placas paralelas com placas quadradas, cada uma com lado
de 14cm, separadas por 2,0mm, e´ conectado a uma bateria e carregado com 12V . a) Qual
e´ a carga no capacitor? b) Quanta energia e´ armazenada no capacitor? b A bateria e´,
enta˜o, desconectada do capacitor e as placas sa˜o afastadas ate´ que a separac¸a˜o entre elas
aumente para 3,5mm. Qual e´ a variac¸a˜o da energia armazenada quando a separac¸a˜o entre
as placas aumenta de 2,0mm para 3,5mm?
a) Podemos calcular a carga no capacitor a partir da capacitaˆncia
Q =CV
sendo que no caso de um capacitor de placas paralelas a capacitaˆncia e´ dada por C =
ε0A/d, logo
Q =C0V0 =
ε0AV0
d0
=
(
8,85×10−12C2/N.m2)(14×10−2m)2 (12V )
(2×10−3m)
= 10,4×103×10−13C
= 1,04nC (2.14)
39
b) A energia armazenada nas placas do capacitor e´
U0 =
1
2
QV0 =
1
2
(1,04nC)(12V ) = 6,2nJ (2.15)
c) como queremos a variac¸a˜o da energia, calculamos
∆U =U−U0 = 12QV −
1
2
QV0 =
1
2
Q(V −V0) (2.16)
Logo a variac¸a˜o na energia e´ proporcional a` variac¸a˜o na tensa˜o. Todavia, lembremos que
na superfı´cie do condutor, E = σ/ε0; ademais, mas como σ e´ constante antes e depois
do capacitor ser desconectado da bateria, o campo ele´trico permanece constante, portanto
E = E0, o que implica em
E = E0→ Vd =
V0
d0
→V = d
d0
V0 (2.17)
Desta forma encontramos enta˜o
∆U =
1
2
Q(V −V0) = 12Q
(
d0
d
V0−V0
)
=
(
d
d0
−1
)(
1
2
QV0
)
(2.18)
=
(
d0
d
−1
)
U0 =
(
(3,5mm)
(2mm)
−1
)
(6,2nJ) (2.19)
= 4,7nJ (2.20)
Um aumento na energia potencial provocado por um aumento na separac¸a˜o entre as cargas
e´ esperado. Isto e´ verificado pela necessidade de se realizar trabalho para separar as placas
que possuem sinais opostos e se atraem mutuamente. Este trabalho realizado nas placas
resulta em um aumento na energia potencial do sistema.
Um exemplo pra´tico da variac¸a˜o da capacitaˆncia sa˜o as teclas de um teclado de com-
putador. Uma placa meta´lica e´ presa a cada uma das teclas e atua como a placa superior
de um capacitor (e a inferior tambe´m e´ fixa). Ao pressionarmos alguma tecla, diminuı´mos
a separac¸a˜o entre as placas superior e inferior, o que dispara o circuito eletroˆnico do com-
putador para reconhecimento da tecla.
40
2.2.1 Energia do campo eletrosta´tico
Durante o processo de carga de um capacitor, um campo ele´trico e´ produzido entre as
placas.
• Portanto, por um segundo ponto de vista, o trabalho necessa´rio para carregar o
capacitor pode ser entendido como o trabalho necessa´rio para estabelecer o campo
ele´trico.
• Isto e´, podemos pensar na energia armazenada no capacitor como sendo a energia
armazenada no campo ele´trico, denominada energia do campo eletrosta´tico.
Por exemplo, consideremos um capacitor de placas paralelas; podemos relacionar a ener-
gia armazenada no capacitor a` intensidade do campo ele´trico entre as placas. A ddp entre
as placas e´ V = Ed, enqando a capacitaˆncia e´ dada por C = ε0A/d, logo a energia arma-
zenada e´ escrita
U =
1
2
CV 2 =
1
2
(
ε0A
d
)
(Ed)2 =
1
2
ε0E2 (Ad) (2.21)
a quantidade Ad e´ o volume do espac¸o entre as placas do capacitor (e consequentemente
e´ o volume da regia˜o que conte´m o campo ele´trico). Podemos enta˜o introduzir uma den-
sidade de energia em um campo ele´trico como
ue =
energia
volume
=
1
2
ε0E2 (2.22)
• Apesar do resultado acima ter sido obtido num caso especial de um campo ele´trico
entre as placas de um capacitor de placas paralelas, de fato ele tem natureza geral e
se aplica a qualquer campo ele´trico. Portanto, a energia por unidade de volume do
campo eletrosta´tico e´ proporcional ao quadrado da magnitude do campo ele´trico.
2.3 Capacitores, bateria e circuitos
A diferenc¸a de potencialentre os dois terminais de uma bateria e´ chamada de tensa˜o.
• Os terminais de uma bateria sa˜o conectados a condutores diferentes chamados de
eletrodos, e, no interior da bateria, os eletrodos esta˜o separados por uma lı´quido
condutor ou por uma pasta chamada de eletro´lito.
41
• Devido a`s reac¸o˜es quı´micas na bateria, ocorre transfereˆncia de carga de um eletro-
dos para o outro.
• Isto deixa um dos eletrodos da bateria (anodo) positivamente carregado, enquanto
o outro eletrodo (catodo), negativamente carregado; esta separac¸a˜o de carga e´ man-
tida por reac¸o˜es quı´micas no interior da bateria.
• Quando as placas de um capacitor descarregado sa˜o conectadas aos terminais da
bateria, o eletrodo negativo compartilha sua carga negativa com a placa conectada
a ele e o terminal positivo da bateria compartilha sua carga positiva com a placa
conectada a ele.
• Este compartilhamento de carga momentaneamente reduz a quantidade de carga em
cada um dos eletrodos da bateria e, portanto, diminui a diferenc¸a de potencial entre
eles.
• Esta diminuic¸a˜o na tensa˜o dispara as reac¸o˜es quı´micas no interior da bateria e
ocorre transfereˆncia de carga de um eletrodo para o outro em um esforc¸o para recu-
perar o nı´vel inicial da tensa˜o, que e´ chamada de tensa˜o de circuito aberto.
• Estas reac¸o˜es quı´micas cessam quando a bateria transferiu suficiente carga de uma
das placas do capacitor para a outra, a ponto de aumentar a ddp entre elas ate´ o
valor da tensa˜o de circuito aberto da bateria.
Basicamente, o que precisamos saber sobre baterias e´ que sa˜o um dispositivo que
armazenam energia, fornecem energia ele´trica e bombeiam carga em um esforc¸o para
recuperar a ddp entre seus terminais ate´ atingir o valor da tensa˜o de circuito aberto.
42
Usamos diagramas de circuitos como uma representac¸a˜o picto´rica simbolizada do cir-
cuito real. Temos que o sı´mbolo que representa um capacitor, uma bateria (linha mais
longa e´ o terminal positivo, enquanto a linha menor e´ o terminal negativo) e uma chave
sa˜o
Quando existe uma combinac¸a˜o de capacitores num circuito, podemos, algumas ve-
zes, substituı´-la por um capacitor equivalente, i.e. um u´nico capacitor que tenha a mesma
capacitaˆncia que a combinac¸a˜o real dos capacitores. Existem dois tipos de associac¸o˜es de
43
capacitores:
• Associac¸a˜o em paralelo;
• Associac¸a˜o em se´rie.
2.3.1 Associac¸a˜o de capacitores em paralelo
• Dizemos que capacitores combinados esta˜o ligados em paralelo quando uma
ddp aplicada atrave´s da combinac¸a˜o resulta na mesma ddp atrave´s de cada
capacitor.
• Vemos isto ao perceber que as duas placas dos dois capacitores conectados a um
fio condutor e, portanto, em um potencial comum, e as placas inferiores tambe´m
conectadas entre e em um potencial comum.
• A carga e´ dividida nas placas.
A carga total armazenada nos capacitores e´
Q = Q1 +Q2 (2.23)
44
Se as capacitaˆncia sa˜o C1 e C2, temos que as seguintes cargas sa˜o armazenadasQ1 =C1∆VQ2 =C2∆V (2.24)
Dizemos enta˜o que uma capacitaˆncia equivalente e´ aquela que a mesma carga Q flui
atrave´s da bateria enquando este capacitor e´ carregado. Assim, a capacitaˆncia equivalente
de dois capacitores em paralelo e´
Ceq =
Q
∆V
=
Q1 +Q2
∆V
=
C1∆V +C2∆V
∆V
=C1 +C2 (2.25)
Portanto, para dois capacitores associados em paralelo, Ceq e´ a soma das capacitaˆnciais
individuais. O mesmo raciocı´nio pode ser estendido a treˆs ou mais capacitores conectados
em paralelo
Ceq =C1 +C2 + ...+Cn =
n
∑
i=i
Ci (2.26)
• A capacitaˆncia equivalente de uma combinac¸a˜o em paralelo de capacitores e´ a soma
alge´brica das capacitaˆncias individuais e e´ maior do que qualquer uma delas.
2.3.2 Associac¸a˜o de capacitores em se´rie
• Dizemos que capacitores combinados esta˜o ligados em se´rie, quando uma ddp apli-
cada atrave´s da combinac¸a˜o e´ a soma das ddp atrave´s de cada capacitor;
• Mas a carga em cada um deles e´ a mesma.
A diferenc¸a de potencial para a combinac¸a˜o em se´rie e´
∆V = ∆V1 +∆V2 = Q
(
1
C1
+
1
C2
)
sendo Q a carga que passa pela bateria durante o processo de carga. Assim, a capacitaˆncia
equivalente de dois capacitores em se´rie e´
Ceq =
Q
∆V
=
1
1
C1
+ 1C2
→ 1
Ceq
=
1
C1
+
1
C2
(2.27)
45
O mesmo raciocı´nio pode ser estendido a treˆs ou mais capacitores conectados em se´rie
1
Ceq
=
1
C1
+
1
C2
+ ...+
1
Cn
=
n
∑
i=i
1
Ci
(2.28)
• A capacitaˆncia equivalente de uma combinac¸a˜o em se´rie de capacitores e´ a soma
dos inversos das capacitaˆncias individuais e e´ sempre inferior a` menor delas.
E´ importante notar, todavia, que as variac¸o˜es no potencial em qualquer circuito fechado
sa˜o sempre nulas. Somar as variac¸o˜es no potencial ao longo de um circuito fechado e
igualar a soma a zero e´ um procedimento muito u´til para a ana´lise de circuitos ele´tricos.
Conhecida como lei das malhas de Kirchhoff, ela e´ uma consequeˆncia do fato que a ddp
entre quaisquer dois pontos na˜o depende da trajeto´ria desde um ponto ate´ o outro.
• A soma das variac¸o˜es no potencial em qualquer trajeto´ria fechada e´ sempre igual a
zero. Lei das malhas de Kirchhoff.
46
Exemplo 24-5: dois capacitores em se´rie, com capacitaˆncia C1 = 12µF e C2 = 6µF ,
sa˜o ligados a uma bateria de 12V , podemos mostrar que a carga acumulada em cada um
capacitores e´ de Q = 48µC, logo a ddp no capacitor 1 e´ V1 = 8V enquanto no capacitor 2
e´ V2 = 4V . Logo a soma das variac¸o˜es no potencial somam zero.
Uma outra caracterı´stica de circuitos e´ a junc¸a˜o que e´ um ponto em um fio onde ele
se divide em dois ou mais fios. E podemos utilizar o conceito de junc¸a˜o para concluir
que dois capacitores esta˜o conectados em se´rie se a placa de um deles estiver conectada a`
placa do segundo por um fio que na˜o conte´m nenhuma juntc¸a˜o.
Exemplo 24-7: Considere os capacitores mostrados na figura abaixo. Identifique todas
as combinac¸o˜es de capacitores em paralelo e em se´rie.
Os capacitores 4 e 7 esta˜o associados em paralelo (a mesma ddp nas duas placas),
enquanto os capacitores 8 e 9 esta˜o associados em se´rie (nenhuma junc¸a˜o no fio conector).
Exemplo 2: Determine a capacitaˆncia equivalente para a seguinte associac¸a˜o de capa-
citores.
Consideremos primeiramente a associac¸a˜o em paralelo, como destacado na figura a):C
(1)
eq =C
(1)
1 +C
(1)
2 = 1µF +3µF = 4µF
C(2)eq =C
(2)
1 +C
(2)
2 = 6µF +2µF = 8µF
(2.29)
47
em seguida, consideremos a associac¸a˜o em se´rie, como destacado na figura b):
1
C(3)eq
= 1
C(3)1
+ 1
C(3)2
= 14µF +
1
4µF =
1
2µF →C
(3)
eq = 2µF
1
C(4)eq
= 1
C(4)1
+ 1
C(4)2
= 18µF +
1
8µF =
1
4µF →C
(3)
eq = 4µF
(2.30)
por fim, consideremos a associac¸a˜o em paralelo, como destacado na figura c):{
C(5)eq =C
(5)
1 +C
(5)
2 = 2µF +4µF = 6µF (2.31)
Exemplo 3: Considere treˆs capacitores com capacitaˆncias C1 = 3µF , C2 = 6µF e C3 =
12µF . Calcule a capacitaˆncia equivalente quando elas esta˜o associadas a) em paralelo, e
b) em se´rie.
a) O ca´lculo para a associac¸a˜o em paralelo segue
C(1)eq =C
(1)
1 +C
(1)
2 +C
(1)
3 = 3µF +6µF +12µF = 21µF (2.32)
b) Enquanto o ca´lculo para a associac¸a˜o em se´rie segue
1
C(2)eq
=
1
C(2)1
+
1
C(2)2
+
1
C(2)3
=
1
3µF
+
1
6µF
+
1
12µF
=
7
12µF
→C(2)eq = 127 µF ≈ 1,7µF
(2.33)
Exemplo 4: Dois capacitores com capacitaˆncia C1 e C2 (C1 > C2) esta˜o carregados a`
mesma diferenc¸a de potencial ∆Vi, mas com polarizac¸a˜o oposta. Os capacitores carre-
48
gados sa˜o separados da bateria e suas placas sa˜o conectadas como mostra a figura. As
chaves S1 e S2 sa˜o, enta˜o, fechadas e ha´ uma nova redistribuic¸a˜o das cargas entre os pon-
tos a e b. Determine a energiaarmazenada nos capacitores antes e depois das chaves
serem fechadas, e a raza˜o entre a energia final e inicial.
Das treˆs formas que a energia armazenada em capacitores
U =
1
2
Q2
C
=
1
2
QV =
1
2
CV 2 (2.34)
a fo´rmula mais conveniente para expressar a energia dos capacitores antes e depois das
chaves serem fechadas e´ Ui = 12
Q(i)21
C1
+ 12
Q(i)22
C2
U f = 12
Q( f )21
C1
+ 12
Q( f )22
C2
(2.35)
A fim de calcular cada uma dessas energias, e´ conveniente notar que inicialmente, a carga
total dos capacitores e´ (bateria e associac¸a˜o em paralelo)
Q = Q(i)1 +Q
(i)
2 (2.36)
sendo que, dado que as placas teˆm polaridade oposta, e escolhendo as placas do lado
esquerdo como refereˆncia, temos queQ
(i)
1 =C1∆Vi
Q(i)2 =−C2∆Vi
(2.37)
49
Logo, a raza˜o entre essas duas cargas e´
Q(i)1
Q(i)2
=−C1∆Vi
C2∆Vi
→ Q(i)1 =−
C1
C2
Q(i)2 (2.38)
Assim, podemos reescrever cada uma dessas cargas em termos da carga total dos capaci-
toresQ = Q
(i)
1 +Q
(i)
2 =−C1C2 Q
(i)
2 +Q
(i)
2 =
(
1− C1C2
)
Q(i)2 → Q(i)2 =− C2C1−C2 Q
Q = Q(i)1 +Q
(i)
2 = Q
(i)
1 − C2C1 Q
(i)
1 =
(
1− C2C1
)
Q(i)1 → Q(i)1 = C1C1−C2 Q
(2.39)
Agora, apo´s as chaves serem fechadas, temos queQ
( f )
1 =C1∆V f
Q( f )2 =C2∆V f
(2.40)
Mesmo apo´s as chaves serem fechadas a carga total no sistema continua a mesma, ha´
somente uma redistribuic¸a˜o de cargas entre os capacitores, assim
Q = Q( f )1 +Q
( f )
2 (2.41)
e procedendo como anteriormente, encontramos que as cargas finais podem ser escritas
em termo da carga totalQ = Q
( f )
1 +Q
( f )
2 =
C1
C2
Q( f )2 +Q
( f )
2 =
(
1+ C1C2
)
Q( f )2 → Q( f )2 = C2C1+C2 Q
Q = Q( f )1 +Q
( f )
2 = Q
( f )
1 − C2C1 Q
( f )
1 =
(
1− C2C1
)
Q( f )1 → Q( f )1 = C1C1+C2 Q
(2.42)
Encontramos finalmenteUi =
1
2
Q(i)21
C1
+ 12
Q(i)22
C2
= 12
1
C1
(
C1
C1−C2 Q
)2
+ 12
1
C2
(
C2
C1−C2 Q
)2
U f = 12
Q( f )21
C1
+ 12
Q( f )22
C2
= 12
1
C1
(
C1
C1+C2
Q
)2
+ 12
1
C2
(
C2
C1+C2
Q
)2 (2.43)
50
e Ui =
1
2
C1Q2
(C1−C2)2 +
1
2
C2Q2
(C1−C2)2 =
1
2
(C1+C2)Q2
(C1−C2)2
U f = 12
C1Q2
(C1+C2)
2 +
1
2
C2Q2
(C1+C2)
2 =
1
2
Q2
(C1+C2)
(2.44)
Logo a raza˜o entre a energia final e inicial e´
U f
Ui
=
1
2
Q2
(C1+C2)
1
2
(C1+C2)Q2
(C1−C2)2
=
1
(C1 +C2)
(C1−C2)2
(C1 +C2)
=
(
C1−C2
C1 +C2
)2
< 1 (2.45)
Esta raza˜o e´ menor que a unidade, o que indica que a energia final e´ menor do que a
energia inicial. A priori, podemos pensar que a lei da conservac¸a˜o da energia e´ violada,
mas a energia “perdida” e´ radiada na forma de ondas eletromagne´ticas, como veremos
adiante.
2.4 Diele´tricos
Um material isolante (na˜o-condutor, e.g. ar, vidro, papel, etc) e´ chamado de diele´trico.
• Quando o espac¸o entre os dois condutores de um capacitor e´ ocupado por um
diele´trico, a capacitaˆncia aumenta por um fator que e´ caracterı´stico do diele´trico,
um fato descoberto experimentalmente por M. Faraday.
• A raza˜o para este aumento e´ que o campo ele´trico entre as placas de um capacitor
diminui na presenc¸a do diele´trico.
• Assim, pra uma dada carga nas placas (capacitor carregado e em seguida desligado
da bateria antes da inserc¸a˜o do diele´trico), a diferenc¸a de potencial ∆V e´ reduzida e
a capacitaˆncia aumenta.
Isto tambe´m pode ser visto atrave´s da medida da ddp atrave´s de um multı´metro nas
situac¸o˜es antes e depois da inserc¸a˜o do diele´trico.
Formalizando a discussa˜o acima. Consideremos novamente um capacitor carregado,
isolado (desligado da bateria), sem um diele´trico entre suas placas. Uma laˆmica diele´trica
e´, enta˜o, inserida entre as placas, preenchendo completamente o espac¸o entre elas.
51
Se a intensidade do campo ele´trico era E0 antes de inserirmos o diele´trico, depois da
inserc¸a˜o a intensidade do campo e´
E =
E0
κ
(2.46)
em que κ e´ o fator de aumento da capacitaˆncia pela inserc¸a˜o de um diele´trico (dependente
do material), chamada de constante diele´trica. Para um capacitor de placas paralelas com
uma separac¸a˜o d, a ddp entre as placas e´
∆V = Ed =
E0
κ
d =
∆V0
κ
(2.47)
Finalmente, a nova capacitaˆncia e´ enta˜o
C =
Q
∆V
=
Q
∆V0
κ
= κ
Q
∆V0
→C = κC0 (2.48)
• Todo material diele´trico possui uma rigidez diele´trica caracterı´stica, que e´ a inten-
sidade ma´xima do campo ele´trico que ele pode suportar sem sofrer ruptura (e.g.a
rigidez diele´trico do ar e´ 3× 106V/m, em que ele torna-se ionizado e comec¸a a
conduzir).
• Existe uma ddp ma´xima (que se excedido o material rompera´, originando um cami-
nho condutor entre as placas).
52
Por fim, no caso de capacitores de placas paralelas preenchido com um diele´trico de
constanta κ temos que sua capacitaˆncia e´
C = κ
ε0A
d
=
εA
d
(2.49)
em que introduzimos ε = κε0 como a permissividade do diele´trico. Para o va´cuo κ = 1,
enquanto para o ar κ = 1,00059. Desta forma, para situac¸o˜es ordina´rias na˜o precisamos
fazer diferenc¸a entre o ar e o va´cuo, todavia para situac¸o˜es que demandam uma maior
precisa˜o, e.g. desenvolvimento tecnolo´gico, etc, e´ sim necessa´rio levar em conta toda a
precisa˜o disponı´vel.
• E´ importante notar que como discutimos inicialmente, o capacitor e´ carregado e
enta˜o desconectado da bateria, ou seja na˜o ha´ mudanc¸a na quantidade de carga nas
placas do capacitor quando o diele´trico e´ introduzido.
• Todavia, a situac¸a˜o e´ distinta se o capacitor ainda estivesse conectado a uma bateria
quando fosse inserido. Neste caso, a bateria bombearia carga adicional a fim de
manter a ddp original. A carga total nas placas seria enta˜o Q = κQ0.
• Em ambos os casos, a capacitaˆncia resultante apo´s a inserc¸a˜o do diele´trico aumen-
taria por um fator κ .
Neste caso, a densidade de energia em um campo ele´trico e´ tambe´m modificada como
ue =
energia
volume
=
1
2
κε0E2 =
1
2
εE2 (2.50)
Parte desta energia e´ a energia associada ao campo ele´trico, e o restante e´ a energia asso-
ciada com o estresse mecaˆnico associado com a polarizac¸a˜o do diele´trico.
Exemplo 1: Um capacitor de placas paralelas tem placas quadradas de lados de 10cm
de comprimento e uma separac¸a˜o d = 4,0mm. Uma laˆmina diele´trica de constante κ =
2,0 tem dimenso˜es de 10cm× 10cm× 4mm. a) Qual e´ a capacitaˆncia sem o diele´trico?
b) Qual e´ a capacitaˆncia se o diele´trico preencher o espac¸o entre as placas? c) Qual
sera´ a capacitaˆncia se um diele´trico com dimenso˜es 10cm×10cm×3mm for inserida no
espac¸amento de 4,0mm?
53
a) Se na˜o ha´ diele´trico, a capacitaˆncia e´
C0 =
ε0A
d
=
(
8,85×10−12C2/N.m2)(0,10m)2
(0,0040m)
= 22×10−12F = 22pF (2.51)
b) Agora, quando o capacitor e´ preenchido com um material com constante diele´trica κ ,
a sua capacitaˆncia aumenta para
C = κC0 = (2,0)(22pF) = 44pF (2.52)
c) Para esta nova configurac¸a˜o, assumindo que o capacitor esta´ eletricamente isolado,
mantendo a carga constante, precisamos determinar a ddp entre as placas. Note que a ddp
resultante e´ composta de duas contribuic¸o˜es, a da parte com o diele´trico e a parte vazia,
i.e.
∆V = ∆Vdie +∆Vvaz = Edie
(
3
4
d
)
+Evaz
(
1
4
d
)
(2.53)
Podemos ainda dizer que a intensidade do campo ele´trico no vazio e´ Evaz = E0 (quando
na˜o existe diele´trico), logo, a parte com o diele´trico tem o seguinte campo Edie =
Evaz
κ =
E0
κ ,
substituindo estes resultados acima, encontramos
∆V =Edie
(
3
4
d
)
+Evaz
(
1
4
d
)
=
E0
κ
(
3
4
d
)
+E0
(
1
4
d
)
=(E0d)
(
3
4κ
+
1
4
)
=∆V0
(
3+κ
4κ
)
(2.54)
Por fim, a nova capacitaˆncia e´
C =
Q0∆V
=
Q0
∆V0
(3+κ
4κ
) = Q0
∆V0
(
4κ
3+κ
)
=C0
(
4κ
3+κ
)
(2.55)
54
substituindo os valores
C = (22pF)
(
4∗2
3+2
)
= (22pF)
(
4∗2
3+2
)
= 35pF (2.56)
Um cheque que podemos fazer e´ que na auseˆncia do diele´trico temos κ = 1; e substituindo
este valor na expressa˜o da capacitaˆncia acima encontramos que C =C0.
Exemplo 2: Uma combinac¸a˜o em paralelo de dois capacitores de placas paralelas con-
tendo ar entre as placas, cada um com capacitaˆncia 2,00µF , e´ conectada a uma bateria de
12,0V . A bateria e´ desconectada da combinac¸a˜o e enta˜o um diele´trico κ = 2,50 e´ inserido
entre as placas de um dos capacitores, preenchendo completamente o espac¸amento. Antes
de a laˆmina ser inserida, determine a) a carga e a energia armazenada em cada capacitor,
e b) a energia total armazenada nos capacitores. Apo´s a laˆmina ser inserida, determine
c) a ddp em cada capacitor, d) a carga em cada capacitor, e e) a energia total armazenada
nos capacitores.
a) Como os capacitores esta˜o associados em paralelo, a tensa˜o em cada um deles e´ a
mesma. Desta forma, a carga deles pode ser calculada a partir da ddp e capacitaˆncia
C1,2 =
Q1,2
∆V
→ Q1,2 =C1,2∆V = (2µF)(12V ) = 24µC (2.57)
b) A energia em cada um dos capacitores e´
U1 =U2 =
Q∆V
2
=
(24µC)(12V )
2
= 144µJ (2.58)
logo a energia potencial total e´ a soma da energia de cada um dos capacitores
U =U1 +U2 = 2U1 = 288µJ (2.59)
c) Como a capacitaˆncia equivalente esta´ relacionada com a ddp e a carga total, temos
Ceq =
Qtot
∆V ′
→ ∆V = Qtot
Ceq
55
e apo´s introduzir o diele´trico, temos
Ceq =C1 +C′2 =C1 +κC2 = (2µF)+(2,5)(2µF) = 7µF (2.60)
a carga total continua sendo a mesma (pois na˜o houve adic¸a˜o de carga/ligac¸a˜o bateria)
Qtot = 48µC, calculamos assim a ddp entre as placas apo´s a inserc¸a˜o do diele´trico
∆V ′ =
48µC
7µF
= 6,86V (2.61)
d) Agora, a carga em cada um dos capacitores e´Q′1 =C1∆V ′ = (2µF)(6,86V ) = 13,7µCQ′2 =C′2∆V ′ = (5µF)(6,86V ) = 34,3µC (2.62)
e) Por fim, a energia total armazenada nos capacitores apo´s a inserc¸a˜o do diele´trico e´
U =U ′1 +U
′
2 =
Q′1∆V
′
2
+
Q′2∆V
′
2
=
(
Q′1 +Q
′
2
) ∆V ′
2
= (13,7µC+34,3µC)
(6,86V )
2
= 165µJ (2.63)
• A diferenc¸a entre a energia calculada no item b) e e) e´ devido a atrac¸a˜o do diele´trico
pelas cargas nas placas e, portanto, ele deve ser contido apra na˜o sofrer acelerac¸a˜o
no espac¸amento entre as placas.
• Durante este processo, −123µJ de trabalho e´ realizado sobre o diele´trico pelas
forc¸as de contenc¸a˜o.
• Para remover o diele´trico do espac¸o entre as placas, +123µJ deve ser realizado
sobre ele e este trabalho e´ armazenado como energia potencial nos capacitores.
Exemplo 3: Se consideramos o mesmo sistema do item anterior, so´ que agora o diele´trico
e´ inserido lentamente em um dos capacitores enquanto a bateria permanece conectada.
Determine a) a carga em cada capacitor, e b) a energia total armazenada nos capacitores,
e c) o trabalho realizado pela bateria durante o processo de inserc¸a˜o.
56
a) Como a bateria continua conectada, com a inserc¸a˜o do diele´trico a ddp nos capaci-
tores permanece 12V . Logo, as cargas nos capacitores sa˜oQ′1 =C1∆V = (2µF)(12V ) = 24µCQ′2 =C′2∆V = (5µF)(12V ) = 60µC (2.64)
b) A energia total armazenada nos capacitores apo´s a inserc¸a˜o do diele´trico e´
U =U ′1 +U
′
2 =
Q′1∆V
2
+
Q′2∆V
2
=
(
Q′1 +Q
′
2
) ∆V
2
= (24µC+60µC)
(12V )
2
= 504µJ (2.65)
c) O trabalho realizado pela bateria durante o processo de insera˜o e´ a tensa˜o da bateria
multiplicada pela carga que passa atrave´s da bateria (durante este processo)
∆V =
W
Q
→W = ∆Q∆V = (12V )(60µC−24µC) = 432µJ (2.66)
2.5 Visa˜o molecular de um diele´trico
Um diele´trico enfraquece a intensidade do campo ele´trico entre as placas de um ca-
pacitor. Isto acontece porque as mole´culas polarizadas do diele´trico produzem um campo
ele´trico no interior do material em um sentido oposto ao campo produzido pelas cargas
nas placas. O campo ele´trico produzido pelo diele´trico e´ devido aos momentos de dipolo
ele´trico das mole´culas do material.
57
Quando um diele´trico e´ colocado num campo externo (por exemplo no campo de um
capacitor carregado), suas mole´culas sa˜o polarizadas de forma tal que ha´ um momento de
dipolo resultante paralelo ao campo.
• Se as mole´culas sa˜o polares, seus momentos de dipolo, orientados de forma aleato´ria,
tendem a se alinhar devido ao torque exercido pelo campo (aula 03).
• Se as mole´culas sa˜o apolares, o campo induz momentos de dipolo que sa˜o paralelos
ao campo.
Em ambos os casos, as mole´culas no diele´trico esta˜o polarizadas na direc¸a˜o do campo
externo.
• O efeito resultante da polarizac¸a˜o de um diele´trico homogeˆneo em um capacitor de
placas paralelas e´ a criac¸a˜o de cargas na superfı´cie das faces do diele´trico pro´ximas
a`s placas.
• A carga na superfı´cie de um diele´trico e´ chamada de carga ligada, pois ela e´ ligada
a`s mole´culas da superfı´cie do diele´trico e na˜o pode se mover como a carga livre nas
placas condutoras do capacitor. Esta carga induz um campo ele´trico, com sentido
oposto ao campo externo.
• Esta carga ligada produz um campo ele´trico com sentido oposto ao campo ele´trico
produzido pela carga livre nos condutores.
58
• Assim, o campo ele´trico resultante entre as placas diminui.
A densidade de carga ligada σi nas superfı´cies do diele´trico esta´ relacionada a` cons-
tante diele´trica e a` densidade de carga livre σ nas superfı´cies das placas.
Se o diele´trico e´ uma laˆmina fina entre as placas que esta˜o pro´ximas, o campo ele´trico
no interior do diele´trico devido a`s densidade de carga ligada, +σi a` direita e −σi a` es-
querda, e´ simplesmente o campo devido a`s densidades de carga de dois planos infinitos.
Assim, este campo tem mo´dulo
Ei =
σi
ε0
(2.67)
Este campo esta´ dirigido para a esquerda e e´ subtraı´do do campo ele´trico E0 devido a`
59
densidade de cargas do capacitor, que tem mo´dulo
E0 =
σ
ε0
(2.68)
Podemos enta˜o calcular a intensidade do campo resultante E = E0/κ como a diferenc¸a
E = E0−Ei = E0κ (2.69)
ou ainda
Ei =
(
1− 1
κ
)
E0→ σi =
(
1− 1
κ
)
σ (2.70)
A densidade de carga ligada σi e´ sempre menor ou igual a` densidade de carga σ nas placas
do capacitor, e e´ zero se κ = 1, que e´ o caso quando na˜o ha´ diele´trico.
Parte III
Corrente ele´trica e circuitos
3 Corrente ele´trica e circuitos de corrente contı´nua
Nos capı´tulos anteriores, tratamos da eletrosta´tica, i.e. cargas em repouso. Neste
capı´tulo, iniciamos o estudo de correntes ele´tricas, i.e. de cargas em movimento.
Embora uma corrente ele´trica seja um fluxo de cargas em movimento, nem todas as
cargas em movimento consituem uma corrente ele´trica.
Quando dizemos que uma corrente ele´trica passa atrave´s de uma determinada su-
perfı´cie, e´ porque deve existir um fluxo lı´quido de cargas atrave´s daquela superfı´cie.
Podemos esclarecer isto a partir de:
• Os ele´trons de conduc¸a˜o num pedac¸o de fio de cobre isolado esta˜o em movimento
cao´tico com rapidez da ordem de 106m/s. Se passamos um plano hipote´tico atrave´s
do fio, os ele´trons de conduc¸a˜o passara˜o atrave´s dele em ambos os sentidos numa
taxa de muitos bilho˜es por segundo. Contudo, na˜o havera´ transporte lı´quido de
carga, e assim, na˜o havera´ corrente.
60
• Mas se ligarmos as extremidades do fio a uma bateria, conduziremos o fluxo num
sentido, de modo que havera´ enta˜o um transporte lı´quido de carga e consequente-
mente uma corrente ele´trica.
3.1 Corrente e o movimento de cargas
Corrente ele´trica e´ a taxa de fluxo de carga atrave´s de uma superfı´cie – tipicamente a
sec¸a˜o transversal de um fio condutor.
Se ∆Q e´ a cargaque flui atrave´s da a´rea da sec¸a˜o transversal A, no tempo ∆t , a corrente
(ou corrente me´dia) e´ definida como a carga nesta a´rea por unidade de tempo
I =
∆Q
∆t
(3.1)
Agora, se a raza˜o na qual o fluxo de carga varia com o tempo, enta˜o a corrente tambe´m
varia com o tempo; portanto definimos a corrente instantaˆnea Iins como o limite diferencial
da corrente me´dia
Iint =
dQ
dt
(3.2)
Todavia, vamos considerar neste desenvolvimento a condic¸a˜o de estado estaciona´rio (i.e.
a corrente na˜o e´ uma func¸a˜o do tempo). Sob esta condic¸a˜o de estado estaciona´rio, a
cada ele´tron que entrar no condutor por uma extremidade, outro ele´tron deve sair pela
outra extremidade, tal que tenhamos um fluxo constante ou ainda que a carga lı´quida seja
conservada.
A unidade de corrente no SI e´ o ampe´re (A)
1A = 1C/s (3.3)
61
Embora a corrente seja um escalar, representamos uma corrente num fio por uma seta
para indicar o sentido em que as cargas esta˜o se movendo.
Em geral desenhamos o sentido da corrente obedecendo a` seguinte convenc¸a˜o histo´rica:
a seta da corrente e´ desenhada no sentido em que se moveriam os portadores positivos.
Por convenc¸a˜o:
• o sinal da corrente e´ positivo se a corrente e´ devida a cargas positivas se movendo
no sentido positivo, ou a cargas negativas se movendo no sentido negativo.
• a corrente e´ negativa se ela e´ devida a cargas positivas se movendo no sentido nega-
tivo ou a cargas negativas se movendo no sentido positivo (i.e. a direc¸a˜o da corrente
e´ oposta a` direc¸a˜o do fluxo de ele´trons).
3.2 Densidade de corrente
Em um fio meta´lico, o movimento de ele´trons livres e´ bastante complexo.
• Quando na˜o ha´ campo ele´trico no fio, os ele´trons livres se movem em sentidos
aleato´rios com velocidades (relativamente grandes) da ordem de 106m/s.
• Como os vetores velocidades dos ele´trons esta˜o orientados aleatoriamente, a velo-
cidade me´dia e´ zero.
• Agora, quando um campo ele´trico aplicado, o campo exerce uma forc¸a −e~E em
cada ele´tron livre, variando sua velocidade no sentido oposto ao do campo.
• O resultado lı´quido da acelerac¸a˜o e dissipac¸a˜o de energia (por coliso˜es dos ele´trons
com os ı´ons da rede no fio) e´ que os ele´trons deslocam-se ao longo do fio com
uma pequena velocidade me´dia, dirigida no sentido oposto ao do campo ele´trico,
chamada de velocidade de deriva.
Seja n :
• a densidade de nu´mero de portadores de carga (por unidade de volume em um fio
condutor de sec¸a˜o transversal A).
62
Considere que cada partı´cula tenha uma carga q e se mova no sentido positivo com uma ra-
pidez de deriva vd. Durante o intervalo de tempo ∆t, as partı´culas percorrem uma distaˆncia
vd∆t, logo todas as partı´culas no volume Avd∆t passam pelo elemento de a´rea.
Logo, nu´mero de partı´culas neste volume e´ nAvd∆t e a carga total no volume e´
∆Q = qnAvd∆t (3.4)
e a corrente e´ portanto
I =
∆Q
∆t
= qnAvd (3.5)
• Esta equac¸a˜o pode ser usada para determinar a corrente devida ao fluxo de qualquer
espe´cie de partı´cula carregada.
• Se a corrente e´ o resultado do movimento de mais de uma espe´cie de carga mo´vel,
enta˜o a corrente total e´ a soma das correntes para cada uma das espe´cies individuais
de cargas mo´veis.
63
Algumas vezes, estamos interessados na corrente I de um condutor particular (informac¸a˜o
global). Em outras ocasio˜es, nosso interesse se volta para o fluxo de carga em um ponto
particular no interior de um condutor (informac¸a˜o local).
Um portador de carga (positiva) num determinado ponto fluira´ no sentido do campo
ele´trico ~E naquele ponto. A fim de descrever esse fluxo, introduzimos a densidade de
corrente ~J, uma grandeza vetorial cuja intensidade e´ a corrente por unidade de a´rea,
J =
I
A
→ ~J = qn~vd (3.6)
A corrente atrave´s de uma superfı´cie S e´ definida como o fluxo do vetor densidade de
corrente atrave´s da superfı´cie, i.e.
I =
∫
S
~J.nˆdA (3.7)
No caso particular de uma superfı´cie plana e em que a densidade de corrente ~J e´
uniforme, enta˜o a corrente/fluxo pode ser expresso por
I =
∫
S
~J.nˆdA = JAcosθ (3.8)
64
Enta˜o se θ < 90◦,a corrente I e´ positivase θ > 90◦,a corrente I e´ negativa
A seta com o sinal positivo pro´ximo a cada fio na figura indica a escolha para o sentido
de nˆ nas superfı´cies transversais.
Exemplo 1: O fio usado para experimentos em laborato´rios para estudantes e´ geral-
mente feito de cobre e tem raio de 0,815mm. a) Estime a carga total dos ele´trons livres
em cada metro deste fio conduzindo uma corrente que tem mo´dulo igual a 1,0A. Con-
sidere que haja um ele´trons livre por a´tomo. b) Calcule a rapidez de deriva dos ele´trons
livres.
a) Se ha´ um ele´tron livre por a´tomo, a densidade de nu´mero de ele´trons livre n e´ igual
a` de a´tomos, i.e. n = na.
A densidade de nu´mero de a´tomos na esta´ relacionada a` densidade de massa ρm, ao
nu´mero de avogrado NA e a` massa molar M
na =
ρmNA
M
(3.9)
Para o cobre, temos que ρm = 8,93g/cm3 e M = 63,5g/mol, logo
na =
ρmNA
M
=
(
8,93g/cm3
)(
6,02×1023a´tomos/mol)
(63,5g/mol)
= 8,47×1028a´tomos/m3
(3.10)
65
A densidade de carga dos ele´trons livres e´ igual a` densidade de nu´mero de ele´trons mul-
tiplicada pela carga
ρe =−en =−ena =−
(
1,6×10−19C
)(
8,47×10281/m3
)
=−1,36×1010C/m3
(3.11)
Por fim, a carga e´ a densidade de carga multiplicada pela volume
Q = ρeV = ρeLA→
Q/L = ρeA = ρepir2 =
(
−1,36×1010C/m3
)
pi
(
8,15×10−4m
)2
(3.12)
=−2,8×104C/m (3.13)
b) A fim de calcular a velocidade de deriva usamos
I = qnAvd→ vd = IqnA =−
I
enA
=
I
Q/L
=
(−1,0C/s)
(−2,8×104C/m) = 3,5×10
−2mm/s (3.14)
O sinal negativo da corrente nos diz que as cargas negativas esta˜o se movimentado da
esquerda pra direita, sentido que daria uma corrente positiva se as cargas fossem positivas.
Exemplo 2: A rapidez de deriva dos ele´trons mo´veis no fio no exemplo anterior e´
muitı´ssima pequena. Se os ele´trons se movem ao longo dos fios com uma rapidez ta˜o
baixa, por que a luz de uma laˆmpada no teto acende instantaneamente quando algue´m
aciona o interruptor na parede?
• Sempre ha´ um nu´mero muito grande de ele´trons de conduc¸a˜o atrave´s de um fio
meta´lico.
• Portanto, eles comec¸am a se mover ao longo de todo o comprimento do fio quase
imediatamente quando o interruptor e´ acionado.
• O transporte de uma quantidade significativa de ele´trons em um fio e´ feito na˜o por
poucos ele´trons se movimentando rapidamente no fio, mas por um nu´mero muito
grande de ele´trons se movendo lentamente no fio.
• Cargas superficiais sa˜o estabelecidas nos fios e elas produzem um campo ele´trico.
E´ este campo ele´trico produzido por estas cargas que guia os ele´trons de conduc¸a˜o
66
atrave´s do fio.
Exemplo 3: Em certo acelerador de partı´culas, uma corrente de 0,50mA e´ conduzida
por uma feixe de pro´tons de energia 5,0MeV que tem um raio igual a 1,5mm. a) Deter-
mine a densidade de nu´mero de pro´tons no feixe. b) Se o feixe atinge um algo, quantos
pro´tons o atingem em 1,0s?
a) A densidade de nu´mero de pro´tons esta´ relacionada com
I = qnAvd→ np = IqAvd
podemos determinar a rapidez dos pro´tons a partir de sua energia cine´tica
K =
mpv2d
2
→ vd =
√
2K
mp
=
√
2
(
5,0×106eV)
(1,67×10−27kg)
(1,6×10−19J)
(1eV )
= 3,09×107m/s
(3.15)
por fim, a densidade de nu´mero de pro´tons e´
np =
I
qAvd
=
(
0,50×10−3A)
(1,6×10−19C)pi (1,5×10−3m)2 (3,09×107m/s)
= 1,4×1013pro´tons/m3
(3.16)
b) O nu´mero de pro´tons N que atinge o alvo em 1,0s pode ser calculado a partir da carga
que atinge o alvo em um intervalo de tempo ∆t e´ a corrente multiplicada pelo tempo:
∆Q = I∆t.
Ademais, sabemos que a carga total ∆Q pode ser escrita em termos do nu´mero N e a
carga de cada pro´ton q como ∆Q =