Física C - Capítulo 7 – Campos Magnéticos por cargas em movimento e por correntes elétricas, Força Elétrica em fios, Lei de Gauss, Lei de Ampère, Magnetismo na Matéria, Classificação

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Capítulo 7 – Fonte de Campos 
Magnéticos
Prof. Dr. Julio César Ugucioni
Campos Elétricos X Campos Magnéticos
Carga 
Elétrica
Força 
Elétrica
Campo 
Elétrico
“Mono-polo
magnético”
Força 
Magnética
Campo 
Magnético
Introdução
O que produz Campos 
Magnéticos?
(a) Cargas (puntiformes) em 
movimento.
(b)Corrente elétricas (Lei de 
Biot-Savart e Lei de 
Ampére).
(c) Característica intrínseca 
da matéria
(a) Campo magnético devido a cargas em 
movimento.
A seguinte expressão define o campo 
magnético produzido por uma carga em 
movimento (expressão empírica).
Onde: 
μ0 é permeabilidade magnética 
no vácuo.
2
0
ˆ
4 r
rv
qB





277
0 /104/.104 ANAmT
  
q – Carga (C), v – velocidade (m/s), é o vetor unitário que 
aponta para o ponto P onde queremos saber o campo.
Unidade de B: Tesla (T). 
Importante: Não validas para cargas na velocidade da luz. 
rˆ
(a) Campo magnético devido a cargas em 
movimento. 2
0
ˆ
4 r
rv
qB





Exemplo 1: Uma carga puntiforme com q = 4,5 μC se move com 
velocidade ao longo da linha y=3m no plano z=0. 
Determine o campi magnético na origem produzido por esta carga 
quando está no ponto (-4,3)m.
y
x
z
q
v

r
 
ismv ˆ/3

(b) Campo magnético devido a correntes 
elétricas
Lei de Biot-Savart Vamos considerar um fio 
percorrido por uma corrente i:
O Elemento de fio tem um 
volume: V= Adl, A é a área da 
secção transversal do fio. 2
0
1
ˆ
4 r
rv
qNBNdBd dparticula





ld

O campo magnético devido aos portadores que se 
movem em dl, pode ser obtido do movimento de 
uma única particula.
(b) Campo magnético devido a correntes 
elétricas
Lei de Biot-Savart
Chamada Lei de Biot-Savart
2
0
ˆ
4 r
rv
qNBd d





Sendo:
l
ANq
dlAi
l
NqA
i
l
nqA
i
vd
ˆˆˆ 



Nq
lid
Nq
lidl
vd



ˆ
2
0
2
0
ˆ
4
ˆ
4
r
rld
iBd
Nqr
rld
iNqBd












Lei de Biot-Savart
(A) Campo magnético em um 
anel/espira percorrido por uma 
corrente i
(B) Campo magnético em um 
solenoide
(C) Campo Magnético devido a 
corrente em um fio retilíneo.
(b) Campo magnético devido a correntes 
elétricas
(A) Campo Magnético em um anel/espira percorrido por 
uma corrente i
Fonte: http://elfisicoloco.blogspot.com.br/2013/02/campo-magnetico-creado-por-una-
espira.html
Vamos considerar um anel/espira 
circular percorrido por uma corrente 
i. O valor do campo B no ponto P
i
xR
R
iiBB x
ˆ
)(2
ˆ
2/322
2
0



(b) Campo magnético devido a correntes 
elétricas
(A) Campo Magnético em um anel/espira percorrido por 
uma corrente i
Se 
i
x
R
ii
xR
R
iB ˆ
||2
ˆ
)(2 3
2
0
2/322
2
0  



x
Se 0x
i
R
R
ii
xR
R
iB ˆ
2
ˆ
)(2 3
2
0
2/322
2
0  



Fonte: 
http://elfisicoloco.blogspot.com.br/2013
/02/campo-magnetico-creado-por-una-
espira.html
i
R
i
B ˆ
2
0

(b) Campo magnético devido a correntes 
elétricas
(A) Campo Magnético em um anel/espira percorrido por uma 
corrente i
i i 
••
••••
••

••••••
••••
••
••••
••••••
Para:
i
x
R
iB ˆ
||2 3
2
0

x i
x
Ri
B ˆ
||4
2
3
2
0 




iRi ˆ2 

Se considerarmos:
3
0
||4
2
x
B





Campo de um 
dipolo magnético
3
0 ||4
2
x
p
E



Campo de um 
dipolo elétrico
(b) Campo magnético devido a correntes 
elétricas
(B) Campo Magnético em um solenóide
Fonte: http://www.alfaconnection.pro.br/fisica/eletromagnetismo/campo-
magnetico/campo-magnetico-produzido-por-corrente-eletrica/
• Um solenoide é um 
conjunto de N espiras 
próximas
• Usado para produzir 
um campo magnético 
intenso no seu interior
(b) Campo magnético devido a correntes 
elétricas
(B) Campo Magnético em um solenóide
Fonte: http://www.wikiwand.com/it/Solenoide
Vamos considerar um 
solenoide de comprimento L 
com N voltas. Definimos o 
numero de espiras por 
comprimento:
O campo magnético:z
y
x L
N
n 
L
zBd

kinB ˆ0

(b) Campo magnético devido a correntes 
elétricas
(C) Campo Magnético devido a corrente em um fio 
retilíneo.
O campo magnético de um fio seria:
k
r
x
r
x
R
i
B ˆ
4 1
1
2
20









Se θ1 →-90° e θ2 →90°
Fonte: 
http://www.fusionvic.org/LastResults/LastResults_MEMCEIv20_first/LastResults_MEMCEIv20
_FirstResults.htm
k
R
i
B ˆ
2
0




Força magnética entre fios longos e paralelos
Deflexão de uma agulha 
imantada por um fio
Experiência de Oersted
A experiência
Força magnética entre fios longos e 
paralelos
Campo magnético em 
fio se comporta como 
mostrado na figura, em 
relação a direção da 
corrente elétrica.
Fonte: https://physics.stackexchange.com/questions/162800/magnetic-field-direction-a-single-one-on-a-
current-carrying-wire
https://www.studyblue.com/notes/note/n/magnetism-important-diagrams-visuals/deck/10597344
Força do fio 2 no 1: Força do fio 1 no 2:
21121 BldiFd

 12212 BldiFd


Força magnética entre fios longos e 
paralelos
Já o campo de um fio longo é igual a:
Fonte: https://www.studyblue.com/notes/note/n/magnetism-important-diagrams-
visuals/deck/10597344
Força do fio 2 no 1: Força do fio 1 no 2:
i
R
i
dliFd
jk
R
i
dliFd
ˆ
2
ˆˆ
2
20
1121
20
1121








j
R
i
B ˆ
2
20
2 



z
y x
j
R
i
B ˆ
2
10
1 



i
R
i
dliFd
jk
R
i
dliFd
ˆ
2
ˆˆ
2
10
2212
10
2212








Força magnética entre fios longos e 
paralelos
Fonte: http://faraday.physics.uiowa.edu/Free/experimental_setup.htm
http://www.millersville.edu/physics/experiments/057/index.php
Força por comprimento: R
ii
dl
dF


2
210
1
21 
R
ii
dl
dF


2
210
2
12 
Exemplo 1: Os eixos de dois bastões retilíneos 
longos de 50 cm estão separados por 1,50 mm 
em uma balança de corrente e conduzem 15 A 
a cada um em sentidos opostos. Que massa 
deve ser colocada no bastão superior para 
equilibrar a força magnética de repulsão?
Aplicação: Balança de corrente
Lei de Gauss para o Magnetismo
0
ˆ.

Q
dAnE
S


Eletrostática Lei de Gauss da 
Eletrostática
Magnetismo

S
B dAnB ˆ.


Como tudo o que entra 
na superfície S sai dela, 
o fluxo é igual a zero. 
Desse modo dependendo 
da carga o campo pode 
convergir ou divergir.
Fluxo elétrico sobre uma 
superfície existe.
0ˆ. 
S
dAnB

Lei de Gauss do 
Magnetismo
Lei de Gauss para o Magnetismo
0
ˆ.

Q
dAnE
S


Equações de Maxwell – Parte I
Lei de Gauss da 
Eletrostática
• Relaciona campo elétrico 
com sua fonte (cargas 
elétricas).
• Campos elétricos 
convergem ou divergem, 
dependendo da carga, por 
uma superfície Gaussina.
0ˆ. 
S
dAnB

Lei de Gauss da 
Magnetismo • Relaciona campo 
magnético com sua fonte 
(corrente elétrica).
• Campos magnéticos 
“rotacionam”.
• Não existem mono-pólos
magnéticos.
Lei de Ampère
0ˆ. 
S
dAnB

Lei de Gauss da Magnetism o - não é possível 
obter o campo magnético por meio dessa 
equação.
Vamos considerar um fio infinito percorrido por uma corrente i:iB


B

ld

Vamos resolver a seguinte integral:
?. C ldB

Lei de Ampère
De exemplos anteriores, o
campo magnético de um fio é:
iR
R
i
dl
R
i
dlrr
R
i
ldB
CCC
0
000 2
22
ˆˆ
2
. 





 
r
R
i
B ˆ
2
0




Assim:
ildB
C
0. 

Lei de Ampère.
Curva Amperiana
Lei de Ampère
(a) Campo magnético no interior de um Solenóide
Aplicações da Lei de Ampère
ninB ˆ0

Resultado:
Lei de Ampère
(b) Campo magnético no interior de um Toróide
Aplicações da Lei de Ampère
r
r
iN
B ˆ
2
0




Resultado:
Lei de Ampère
(a) Campo magnético no interior de um Solenóide
Aplicações da Lei de Ampère
Fonte: http://campos-magneticos.webnode.com/lei-de-amp%C3%A8re/
http://osfundamentosdafisica.blogspot.com.br/2013/05/cursos-do-blog-eletricidade_15.html








Rr
r
i
B
Rrr
R
i
B
;
2
;
2
0
2
0






Resultado:
Lei de Ampère
Limitações da Lei de Ampère
i) Corrente constante e contínua
ii) Alto grau de simetria
Fonte: http://slideplayer.com.br/slide/367756/
Falta de Simetria
Corrente definida 
em todo espaço, 
mas não tem 
simetria
Fio Finito
Biot-Savart X Lei de Ampère Corrente não é definida em 
todo espaço, mas tem 
simetria.
Magnetismo na Matéria
Imãs permanentes
Momento Dipolar 
Magnético Orbital
Campo magnético 
devido aos elétrons.
Elétrons produzem campo por 2 
mecanismos:
Momento Dipolar 
Magnético Spin
Fonte: http://slideplayer.com.br/slide/3628010/
Magnetismo na Matéria
Magnetização de Suscetibilidade Magnética
Definimos Magnetização:
Quando um material é submetido a um campo magnético intenso, os 
momentos de dipolo tendem a alinhas os momentos de dipolo 
magnético (permanentes ou induzidos). dV
d
M



Onde dμ é o momento de dipolo resultante pelo volume dV.
Modelo de micro correntes 
proposto por Ampère.

Fonte:
https://www.textoscientificos.com/fisica/
magnetismo/explicacion-magnetismo
Corrente amperiana.
Magnetismo na Matéria
Magnetização de Suscetibilidade Magnética
Assim:
Vamos considerar um cilindro de lado dl e área A 
percorrido com uma corrente amperiana i. AdldVAdid  ;
Considere o mesmo cilindro com um comprimento l. A corrente amperiana
sobre a superfície do cilindro seria n iC, onde iC seria 1 corrente. Assim a
corrente amperiana superficial se comporta como um solenoide. Dessa
forma, M = niC, o que leva a:
Adl
di
dl
di
Adl
Adi
dV
d
M 

Assim a magnitude da 
Magnetização é a corrente 
amperiana por comprimento 
do material magnetizado
MB 0
Fonte:http://www.ensinoadistancia.pro.br/EaD/Eletromagnetismo/PropridadesMagMateria/P
ropridadesMagMateria.html
Magnetismo na Matéria
Magnetização de Suscetibilidade Magnética
Se enrolarmos um fio ao redor desse cilindro de material 
magnético – Solenóide com um núcleo. Adl
di MBBBB aplicadomaterialaplicado

0
Se a campo magnético total for igual a zero, ou seja, os 
dipolos magnéticos do meio se alinharem opostamente ao 
campo aplicado, B=0. m
aplicado
m
aplicado
aplicado
BB
MMB 

0
0
,0 


Onde μ é a permeabilidade magnética e é a suscetibilidade
magnética
m
  aplicadomaplicadom
aplicado
maplicado BKB
B
BB



  100
Magnetismo na Matéria
Magnetização de Suscetibilidade Magnética
Onde:
É chamada permeabilidade relativa
 mmK  1
Magnetismo na Matéria
Momentos Magnéticos Atômicos
Magnetização dos materiais pode ser relacionada com os momentos
magnéticos orbitais dos elétrons.
O momento angular (L):
Momento magnético :
Corrente:
O que resulta:
mvrL v
qm
r
2riiA   r
qv
T
q
i
2
 qvrr
r
qv
ri
2
1
2
22  
Relacionando momento angular e momento de dipolo magnético:
L
m
q
L
m
q
m
L
q
vr

22
2
 
Se q é positiva, o momento magnético e o momento angular estão nos mesmos direção e sentido.
Magnetismo na Matéria
Momentos Magnéticos Atômicos
h é a constante de Planck que é igual a
6,62x10-34 J.s.
μB é dito magnéton de Bohr.


2
,
2
hL
m
q
 



A relação anterior é a relação clássica entre o momento magnético e o
momento angular. Essa mesma relação também é válida na quântica. A
diferença está que o momento angular agora é quantizado.
Sendo q = -e e m = me obtemos o momento magnético orbital do elétron: 



 LL
m
e
B
e
 
2 TJB /1027,9 24
Magnetismo na Matéria
Momentos Magnéticos Atômicos 



 SS
m
e
B
e
 2
2
2 
Além do momento magnético orbital, os elétrons apresentam um
momento angular intrínseco, devido ao momento angular intrínseco
spin (S).
Domínios magnéticos
a) Materiais paramagnéticos: alinhamento parcial dos momentos
magnéticos atômicos a um campo magnético externo aplicado. Não
existe interação forte entre os dipolos magnéticos. Pouco aumento
no campo magnético externo. (Valores muito pequenos se
suscetibilidade magnética)
Classificação dos Materiais Magnéticos
a) Materiais paramagnéticos: alinhamento parcial dos momentos
magnéticos atômicos a um campo magnético externo aplicado. Não
existe interação forte entre os dipolos magnéticos. Pouco aumento
no campo magnético externo.
b) Materiais ferromagnéticos: alinhamento total dos momentos
magnéticos atômicos devido a forte interação entre os dipolos
magnéticos. Tem campo magnético mesmo sem campo magnético
externo (Fe, Ni, Co). Valores muito grandes de susceptibilidade
magnética.
Classificação dos Materiais Magnéticos
a) Materiais paramagnéticos: alinhamento parcial dos momentos
magnéticos atômicos a um campo magnético externo aplicado. Não
existe interação forte entre os dipolos magnéticos. Pouco aumento
no campo magnético externo.
b) Materiais ferromagnéticos: alinhamento total dos momentos
magnéticos atômicos devido a forte interação entre os dipolos
magnéticos. Tem campo magnético mesmo sem campo magnético
externo (Fe, Ni, Co).
c) Materiais diamagnéticos: surgimento de momento magnético
induzido oposto ao campo magnético aplicado. Ocorre em todos os
materiais. (Supercondutores) – Valores negativos ou pequenos da
Suscetibilidade magnética.
Classificação dos Materiais Magnéticos