Equilibrio_Oscilação_Gravitação_MAEKAWA

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Física I - Equilíbrio, Elasticidade - Oscilações
Claudio Maekawa
.
ii
Contents
1 Equilíbrio e elasticidade 1
1.1 Equilíbrio: De…nição e estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Condições de Equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Caso simpli…cado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Centro de Gravidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.1 Consequências. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Elasticidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5.1 Grandezas Macroscópicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Oscilações 15
2.1 Movimento Harmônico Simples (MHS). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1 O MHS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.2 O MHS e a Lei da Força . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.3 A energia total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.4 Relação MHS e MCU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Pêndulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1 Pêndulo de torsão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.2 Pêndulo Simples pequenas oscilações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.3 Pêndulo físico - pequenas oscilações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.4 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Forças Fundamentais e Gravitação 29
3.1 Gravitação newtoniana: rudimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 Princípio da Superposição e gravitação newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.1 A gravidade próximo à superfície da Terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.2 Medida de G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2.3 Gravitação no interior da Terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.4 Energia Potencial Gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
A The First Appendix 41
iii
iv CONTENTS
Afterword 43
Preface
Equilíbrio-Elasticidade Cap 13, oscilações Cap 14
v
vi PREFACE
Chapter 1
Equilíbrio e elasticidade
O conceito de equilíbrio é a base para as estruturas estáticas, como prédios, pontes, torres, e até de pequenos objetos
como a mobília de uma casa. A geometria dessas estruturas devem ser tal que se consiga obter o equilíbrio de forças
e torques externos que elas sofrem ou podem sofrer.
Por exemplo:
1) Toda estrutura está sob a ação da força gravitacional. Assim necessitamos de outras forças para que possam
anular os efeitos da força gravitacional e manter a posição da estrutura sempre em equilíbrio. ( Nesse caso, em
repouso no referencial do solo).
2) A força do vento: Atua apenas em um lado da estrutura e dependendo do ângulo com que o vento atinge
esse lado, o vento gera um torque sobre a estrutura. Torres de alta tensão e antenas parabólicas são suscetíveis à
ventos fortes.
1.1 Equilíbrio: De…nição e estabilidade
Como se de…ne quantitativamente Equilíbrio Mecânico?
De…nição de Equilíbrio
Um corpo ou sistema está em equilíbrio quando, em um referencial inercial, os seus momentos linear total ~P
e angular total ~L não se alteram com o tempo, i.e.
~P = const:; ~L = const: (1.1)
Essa de…nição de equilíbrio é satisfeito também por objetos com velocidade linear constante não nula.
A estação espacial internacional que está em órbita em torno da Terra é construída de forma a atender essa
de…nição de equilíbrio.
As estruturas na superfície do planeta requerem um tipo de equilíbrio que restrinja mais os movimentos.
1
2 CHAPTER 1. EQUILÍBRIO E ELASTICIDADE
De…nição de Equilíbrio Estático
Nesse caso deve-se anular os momentos ~P e ~L.:
~P = 0; ~L = 0: (1.2)
No caso da superfície do nosso planeta, escolhemos o solo como um sistema inercial local. (local pois se está
desprezando os efeitos da rotação da Terra e da translação da Terra em torno do Sol).
Tipos de Equilíbrios Estáticos:
Veremos dois tipos:
Equilíbrio Estático Estável.
O corpo se diz em equilíbrio estático estável quando ao aplicarmos uma força sobre ele por uma fração de
tempo ele sai de sua posição de equilíbrio mas com o tempo ele retorna à sua posição original e volta a satisfazer
~P = 0; ~L = 0: (1.3)
Exemplo: Um corpo dentro de um poço esférico.
Equilíbrio Estático Instável.
O corpo está em equilíbrio estático inicialmente e quando sofre a ação de uma força externa por uma fração
de tempo ele sai da posição de equilíbrio e não retorna mais.
Exemplo:
Um corpo colocado sobre o topo de um morro. No topo ele satisfaz
~P = 0; ~L = 0: (1.4)
Mas com a aplicação de uma pequena força, ele sai dessa condição e não retorna mais.
1.2 Condições de Equilíbrio
Vimos que para os corpos extensos temos duas formas para a segunda lei de Newton.
A forma linear X
~Fext =
d~P
dt
: (1.5)
onde ~Fext é uma força externa.
A forma angular X
~�ext =
d~L
dt
;
onde ~�ext é um torque externo.
Aplicando a de…nição de equilíbrio estático, obtemos as condições:
1) Equilíbrio de Forças:
~P = 0!
X
~Fext = 0; (1.6)
2) Equilíbrio de torque:
~L = 0!
X
~�ext = 0: (1.7)
A primeira equação revela que para se obter ~P = 0 é preciso equilibrar (anular) os efeitos das forças externas.
1.3. CENTRO DE GRAVIDADE 3
A segunda equação revela que anulando os efeitos dos torques externos obtemos ~L = 0.
Essas equações são em 3-D, assim temos 3 equações para cada condição, uma para cada dimensão, e temos:
A condição 1) em coordenadas cartesianas se torna:X
~Fx = 0;
X
~Fy = 0;
X
~Fz = 0 (1.8)
A condição 2) nessas mesmas coordenadas éX
~�x = 0;
X
~�y = 0;
X
~�z = 0: (1.9)
1.2.1 Caso simpli…cado
Veremos o caso no qual as forças que atuam no corpo estão con…nadas ao plano xy.
Consequência:
1) Não há componentes na direção z^ da força e as condições 1) se reduzem paraX
~Fx = 0;
X
~Fy = 0: (1.10)
2) Para as componentes do torque ~� :
Da de…nição do torque
~� = ~r � ~F (1.11)
resulta que a direção de ~� é perpendicular ao plano que contém os vetores ~r e ~F .
Assim as componentes ~Fx e ~Fy só geram torque perpendicular ao plano xy, então das condições 2) só
sobrevive X
~�z = 0: (1.12)
Exemplo: Um disco deslisando sem atrito sobre uma superfície plana.
1.3 Centro de Gravidade
No caso da partícula pontual, o centro de gravidade da partícula é a própria partícula.
Num corpo real temos um número muito grande de átomos. A massa de um átomo é muitíssimo pequena e a
força gravitacional que atua em um único átomo é igualmente pequena.
Outro ponto de vista.
Um mol de átomos
' 6; 02� 1023 átomos !
mmol =massa molar é
su…cientemente grande
! efeitos da
~FG
são consideráveis
Concepção de corpo: sistema constituído de muitos moles.
Massa do corpo M =
P
�m! �m � mmol
Cada elemento do corpo de massa �m sofre aação de uma força ~fg = �m~g
4 CHAPTER 1. EQUILÍBRIO E ELASTICIDADE
O efeito total das ~fg sobre todo o corpo equivale à uma força ~FG que atua sobre o ponto CG, denominado de
Centro de Gravidade. O ponto CG pode ou não coincidir com o CM .
Tese: Assim se aplicarmos uma força ~F 0 sobre o Centro Gravitacional consegue-se equilibrar o corpo contra a
ação de ~FG.
Demonstração.
Coloca-se a origem O do sistema de coordenadas sobre o ponto CG
O � CG
O corpo é subdividido em pedaços elementares de massa �m
A força gravitacional sobre esse pedaço é : ~fG = �m~g
Hipótese: ~g é o mesmo para todos os pedaços do corpo
Aplica-se ~F 0 = Fy y^ onde
~F 0 equilibrará o corpo se as seguintes condições forem satisfeitas
1) Fy = Mg
2) e O � CG � CM
Vimos que para um corpo estar em equilíbrio é necessário que:X
~Fext = 0;
X
~�ext = 0: (1.13)
Veri…cação de
P ~Fext = 0
Para esse caso, temos: X
~Fext = ~F
0 +
X
�m~g
onde
P
�m~g é a soma vetorial da ação da força gravitacional sobre cada pedaço de massa �m.
Como, por hipótese, ~g é o mesmo para todos os pedaços, temosX
~Fext = ~F
0 + ~g
X
�m
mas
P
�m = M massa total do corpo, então X
~Fext = ~F
0 + ~gM
1.4. EXEMPLOS 5
Assim se ~F 0 = �M~g, obtemos X
~Fext = 0: (1.14)
Vemos que ~F 0 equilibra a ação da força gravitacional sobre o corpo. A condição 1) é realizada.
Veri…cação de
P
~�ext = 0.
A direção de ~F 0 está ao longo do eixo y^ logo não realiza torque em relação ao ponto O.
O torque externo total então é a resultante das ~fG = �m~gX
~�ext =
X
~r ��m~g =
X
�m~r � ~g
onde ~r é o vetor posição do pedaço com massa �m.
Como ~g é o mesmo para todos os pedaços, temos
X
~�ext =
hX
�m~r
i
� ~g
a soma só atua sobre os termos �m~r.
Lembrando a de…nição de coordenada do CM: (vide eq. 1.15 do arquivo FZK1aSistNpart) e como nesse
caso
CM � O
então ~rCM = 0 e
P
�m~r = 0, logo X
~�ext = 0:
Portanto o corpo não gira e se manterá em equilíbrio.
1.3.1 Consequências.
Essa propriedade nos mostra uma maneira prática de se encontrar o Centro de Gravidade.
Aplicando uma força ~F no CG mas contrária ao peso do corpo ele é equilibrado.
Se o ponto A de aplicação de ~F não for no CG do corpo, i.e.:
A 6= CG;
o corpo gira até que a direção de ~F passe pelo ponto CG e CG …que abaixo do ponto de aplicação A.
1.4 Exemplos
1) Uma trave de massa m e comprimento L está apoiada sobre duas balanças colocadas nas extremidades da trave.
À uma distância L=4 a partir da extremidade esquerda é colocado um bloco de massa M . Quais são as leituras nas
balanças?
6 CHAPTER 1. EQUILÍBRIO E ELASTICIDADE
Na segunda …gura temos um diagrama equivalente, onde os elementos relevantes estão desenhados.
~Fe e ~Fd indicam as forças que as balanças exercem. As intensidades Fe e Fd dessas forças são as leituras nas
balanças.
Todas as forças estão na direção y^. Usamos a condição de equilíbrio de forças nessa direçãoX
~Fy = 0
e temos X
~Fy = (Fe + Fd �Mg �mg) y^ ! Fe + Fd �Mg �mg = 0 (1.15)
Para calcular os torques. Coloca-se o eixo z^ de rotação no ponto O (origem na extremidade à esquerda) saindo
do plano da …gura. A condição de equilíbrio dos torques é:X
~�z = 0
e temos X
~�z =
�
Fe0 + FdL�mgL
2
�MgL
4
�
z^ ! Fe0 + FdL�mgL
2
�MgL
4
= 0 (1.16)
observe que a escolha do eixo já eliminou uma incógnita (Fe) da equação. Podemos isolar Fd
FdL = mg
L
2
+Mg
L
4
; ! Fd =
�
m
1
2
+M
1
4
�
g; (1.17)
Para obter Fe substitui esse resultado na eq. de equilíbrio de forças (1.15)
Fe +
�
m
1
2
+M
1
4
�
g �Mg �mg = 0;
Fe +
�
m
1
2
+M
1
4
�M �m
�
g = 0;
1.4. EXEMPLOS 7
e obtemos:
Fe =
�
3
4
M +
1
2
m
�
g; (1.18)
2) Um jogador de boliche segura uma bola de massa M = 7; 3 kg, na palma da mão, como mostrado na …gura
a seguir.
Ponto A: Ponto de contacto no cotovelo
Ponto CG: Centro de gravidade
Ponto B: Ponto de contacto entre a bola e a mão.
Quais são as forças exercidas pelo bíceps (~T ) e pela estrutura óssea do braço (~F ) sobre o conjunto antebraço+mão
para manter a bola em equilíbrio.
Massa do antebraço m = 1; 8 kg
Temos que simpli…car a …gura. ! Desenho esquemático.
8 CHAPTER 1. EQUILÍBRIO E ELASTICIDADE
A condição de equilíbrio estáticos são: X
~Fext = 0;
X
~�ext = 0: (1.19)
Nesse caso se quer determinar ~T e ~F para manter o sistema em equilíbrio.
Do diagrama de forças, vemos que:
A força sobre a bola é só o seu peso: �Mgy^
A força sobre o sistema antebraço+mão também é só o seu peso: �mgy^ sobre o CG.
A força que o sistema do braço exerce: �F y^
A força que o bíceps exerce: T y^.
Todas as forças estão na direção y^.
Aplica a primeira condição, obtemos:
T � F �mg �Mg = 0 (1.20)
O torque em relação ao eixo que passa pela origem O.
Como todas as forças estão no plano xy, o torque está na direção z^
Aplica a segunda condição, obtemos:
Td+ F (0)�mgD �MgL = 0
veja que a escolha do eixo, eliminou uma incógnita nessa equação. E obtemos
Td�mgD �MgL = 0! T = g (mD +ML)
d
: (1.21)
1.5. ELASTICIDADE 9
substituindo esse resultado na primeira equação, obtemos a intensidade F :
F = T �mg �Mg;
=
g (mD +MgL)
d
� (m+M) g;
F =
g (mD +ML)� d (m+M) g
d
; (1.22)
assim, temos que as intensidades da tensão T e da força F são:
T =
g (mD +ML)
d
; F =
g (mD +ML)� d (m+M) g
d
: (1.23)
1.5 Elasticidade
Existem situações onde o número de incógnitas é superior ao número de equações, nessas situações os problemas
são chamados de equilíbrio indeterminado.
Uma situação dessa é o caso de uma mesa com 4 pernas de tamanhos diferentes e com um corpo pesado sobre
ela. O peso do corpo pode ser su…ciente para forçar todos os pés encostarem no chão. Nesse caso a mesa se
deforma. Em cada pé está atuando forças diferentes e, nesse caso, não se tem o número de equações su…cientes
para se determinar todas as quatro forças.
Nesse exemplo, a mesa, não é um corpo perfeitamente rígido e se diz que ela possue elasticidade.
Os corpos reais não são perfeitamente rígidos, sob ação de forças externas eles podem se deformar e desligando
as forças externas eles podem recuperar a forma original. Essa propriedade de se deformar e recuperar a forma é
denominada de Elasticidade.
Descrição microscópica qualitativa da Elasticidade.
O estudo da estrutura da matéria na escala molecular é feita na área de Matéria Condensada e requer
conhecimentos de Física Quântica. Veremos alguns conceitos dessa àrea aqui.
Os corpos são formados por moléculas e elas podem se ligar de várias formas. As estruturas cristalinas é uma
dessas formas e que permitem formar corpos com maior rigidez.
Um exemplo simples de estrutura cristalina é a da forma cúbica.
10 CHAPTER 1. EQUILÍBRIO E ELASTICIDADE
Cristais de sal NaCl possuem essa estrutura cúbica, com um átomo de sódio Na num dos vétices e o de cloro
Cl no outro.
As linhas representam a ligação química entre eles.
O tipo de ligação entre os átomos
8>>>>>>>>><>>>>>>>>>:
iônica
covalente
orbital s
orbital p
orbital d
orbital f
9>>>>>>>>>=>>>>>>>>>;
e o número de elétrons que participam dessa ligação in‡uen-
ciam na forma da estrutura cristalina e na rigidez.
No caso do sal a interação é do tipo iônica. O sódio é um íon positivo Na+ e o Cloro é um íon negativo Cl�.
O diamante é formado de Carbono. Um átomo de carbono se liga à outros 4 átomos de carbono por meio de
ligações covalente com elétrons em orbitais p. Isso faz com que a estrutura cristalina do diamante seja baseada em
tetraedros.
As ligações nas estruturas cristalinas são do tipo Elétrica, a aplicação de força, por exemplo: em lados opostos
de uma barra, força a separação das moléculas. Interrompendoa aplicação das forças externas, as interações
moleculares puxam de volta as moléculas para as posições de equilíbrio (nos vértices).
A temperatura in‡uencia na rigidez da estrutura. À temperatura ambiente as moléculas possuem energia térmica
que gera a agitação das moléculas, ou seja, elas oscilam em torno das posições de equilíbrio (vértices). Se elevarmos
a temperatura, energia térmica é transferida para as moléculas e elas se agitam mais e as ligações entre elas se
enfraquecem. Nesse caso, a aplicação de forças externas afasta as moléculas com maior facilidade.
Pode-se agora enteder melhor como surge a propriedade de Elasticidade ela depende de como os átomos e
moléculas estão ligados formando uma estrutura cristalina.
Impurezas alteram essas propriedades. Um átomo/molécula diferente dos originais colocado na estrutura, força
novos tipos de ligações e altera a estrutura cristalina no local onde ele está. Isso altera as propriedades físicas da
1.5. ELASTICIDADE 11
estrutura.
Pode enfraquecer a rigidez ou pode aumentá-la.
1.5.1 Grandezas Macroscópicas
Do ponto de vista clássico, a teoria da elasticidade trata de problemas de deformações mecânicas que se recuperam
após a eliminação das forças que causam as deformações.
A elasticidade possui um limite, isto é, dependendo do material, a intensidade das forças que causam as defor-
mações podem ser grandes o su…ciente para que as deformações sejam irrecuperáveis.
As forças ~F nesse caso atuam sobre superfícies de área A. Assim é mais conveniente utilizar o conceito de Tensão
~T .
~T = força deformante por unidade de área que produz uma unidade de deformação
Há três maneiras das forças gerarem deformação.
1 a) Tração: Nesse caso ~F é perpendicular à área A e apontado para fora do corpo.
b) Compressão: ~F é perpendicular à área A mas aponta para dentro do corpo.
12 CHAPTER 1. EQUILÍBRIO E ELASTICIDADE
Nesses casos a tensão T é de…nido por
T =
F
A
e mede-se a taxa de deformação ou fração de deformação em relação ao comprimento total L:
taxa de deform: =
�L
L
Construção Empírica da Fórmula.
a) Quanto maior a tensão T maior será essa taxa, assim T é diretamente proporcional à �L=L, i.e.:
T _ �L
L
(1.24)
b) A taxa de deformação pode depender do tipo de material e outros fatores desconhecidos. Esses fatores
desconhecidos são sintetizados numa constante de proprorcionalidade E, e se reescreve:
T _ E: (1.25)
Reunindo a) e b): Obtemos:
T = E
�L
L
Observe que a taxa de deformação não tem unidades, mas T tem unidades de força/área. Então para que a
equação …que consitente E deve ter unidades de força/área.
E é chamado de módulo de Young.
Essa equação pode ser reescrita por
F
A
= E
�L
L
: (1.26)
1.5. ELASTICIDADE 13
2) Cisalhamento: A força deformante ~F atua paralelo à área A
A taxa de deformação é
�x
L
e a tensão de cisalhamento F=A é proporcional à essa taxa:
F
A
= G
�x
L
; (1.27)
onde G = módulo de cisalhamento.
A construção dessa fórmula é análoga à da Tensão. Exercício: descreva a construção dessa fórmula.
3) Compressão Hidráulica:
As forças ~F atuam perpendicular à toda a superfície externa comprimindo o corpo.
Ocorre a variação de volume
�V = V 0 � V (1.28)
e a taxa de deformação é, nesse caso:
�V
V
é proporcional à pressão p exercída pelo ‡uído.
p = B
�V
V
; (1.29)
14 CHAPTER 1. EQUILÍBRIO E ELASTICIDADE
onde B = módulo de elasticidade volumétrica.
Exemplos:
Vamos ver a taxa de deformação do aço e da água sob a pressão no Oceano à uma profundidade de 4.000 m.
Módulos de elasticidade volum: 1) Água: BH2O = 2; 2� 109 N=m: 2) Aço: Ba = 16� 1010N=m2.
Na profundidade de 4:000 m a pressão no Oceano é de 4; 0� 107 N=m.
As taxas �V=V . Reescreve-se
p
B
=
�V
V
: (1.30)
Então, temos:
a) A taxa de deformação para a água sob a pressão de 4; 0� 107 N=m é:
�V
V
=
4; 0� 107 N=m
2; 2� 109 N=m =
4; 0� 107
2; 2� 109 =
4; 0
2; 2
107�9 = 1:8� 10�2 = 1:8
100
= 1:8%
ou seja, a àgua possui uma taxa de deformação de 1:8% na profundidade de 4:000 m.
Para o aço sob essa pressão a taxa de deformação é de apenas 0:025%
b) Barra de aço estrutural com raio R = 9; 5 mm e comprimento L. Aplica-se uma força de 6:2 � 104 N para
esticar a barra.
A tensão na barra é de
T =
F
A
=
6:2� 104 N
� (9:5� 10�3m)2 = 2:2� 10
8N=m2
E a taxa de deformação é de
�L
L
= 0:11%: (1.31)
Chapter 2
Oscilações
Veremos aqui os conceitos e propriedades elementares dos movimentos oscilatórios. Não veremos como se obtém a
equação da posição x (t) a partir da 2a¯ lei de Newton. O tipo de movimento oscilatório mais simples que veremos
é o MHS - movimento harmônico simples.
Os movimentos oscilatórios são muito comuns e possuem características próprias que veremos.
2.1 Movimento Harmônico Simples (MHS).
Os tipos de movimentos que conhecemos até aqui são:
MRU,
s (t) = s0 + v0t; v (t) = v0: (2.1)
MRUV
s (t) = s0 + v0t+
a
2
t2; v (t) = v0 + at: (2.2)
MCU
� (t) = �0 + !0t; ! = !0: (2.3)
MCUV
� (t) = �0 + !0t+
�
2
t2; ! (t) = !0 + �t: (2.4)
O MCU é um dos tipos de movimento periódico, uma vez que eles se repetem à intervalos regulares.
No caso vemos que o MCU vai de � = 0 à � = 2�, sendo que a posição � = 2� coincide com � = 0. Dizemos que
de 0 à 2� o movimento completa um ciclo.
O tempo de duração T de um ciclo é denominado de período.
Em geral , num intervalo de tempo �t a partícula pode completar mais de um ciclo e se de…ne a frequência f :
f é o número de ciclos completados por unidade de tempo.
Quando �t = 1s, a unidade de frequência é o Hertz
1Hz = 1 ciclo=s (2.5)
15
16 CHAPTER 2. OSCILAÇÕES
A frequência se relaciona com o período por
f =
1
T
2.1.1 O MHS
Um outro tipo de movimento periódico é o MHS - Movimento Harmônico Simples.
Do cálculo ! uma função periódica simples é
cos (� (t))
O MHS é de fato descrito por funções desse tipo:
x (t) = xm cos (!t+ �) (2.6)
onde xm, ! e � são constantes. Essa expressão nos diz que a posição é uma função senoidal do tempo.
Elementos básicos:
xm ! é a amplitude do movimento
Observe que a função cos possui um máximo: max [cos �] = 1
Quando isso ocorre temos
x (t) = xm (2.7)
é o maior valor para x (t).
!t+ � ! é denominada de fase.
�! é a fase inicial.(ângulo de fase)
O termo !.
Vamos mostrar que a interpretação desse termo é de frequência angular.
Por simplicidade usa-se o caso � = 0.
O movimento deve se repetir depois de um período T , assim
x (t) = x (t+ T )! xm cos (!t) = xm cos! (t+ T )
podemos ter !t = ! (t+ T ) ! T = 0, que é a solução trivial, mas não é a que se deseja, pois queremos o caso
T 6= 0.
A função cos se repetirá a cada 2�
!t+ 2� = ! (t+ T )
e temos,
!T = 2� ! ! = 2�
T
= 2�f
vemos que ! se comporta como uma frequência.
A velocidade
A equação da velocidade é obtida por
v (t) =
d
dt
x (t)
e obtemos
v (t) = �xm! sin! (t+ T ) ; (2.8)
2.1. MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (MHS). 17
O termo xm! é denominado de amplitude de velocidade vm:
vm � xm!
e se reescreve:
v (t) = �vm sin! (t+ T ) ; (2.9)
A função sin está limitada ao intervalo [�1; 1]. Assim vm é o valor máximo para v (t).
A aceleração.
A aceleração é obtida por
a (t) =
d
dt
v (t)
e obtemos
a (t) = �!2xm cos! (t+ T )
= �am cos! (t+ T )
onde am é a amplitude de aceleração.
Pode-se obter uma relação entre a (t) e x (t)
Como x (t) é dado por
x (t) = xm cos (!t+ �)! cos (!t+ �) = x (t)
xm
(2.10)
substituindo em a (t), obtemos
a (t) = �!2x (t) : (2.11)
Essa propriedade: a aceleração é proporcional ao deslocamento mas com sinal oposto é característico do MHS.
2.1.2 O MHS e a Lei da Força
Para massas constantes, temos que
F = ma
vimosque para o MHS
a (t) = �!2x (t)
então pode-se reescrever F , por
F = �m!2x (2.12)
Aqui tanto m como ! são constantes, e se pode de…nir
k � m!2: (2.13)
Isso nos permite reescrever a lei da força por
F = �kx: (2.14)
Essa é a intensidade da força de uma mola com constante de mola k.
Assim um corpo de massa m preso por uma mola de constante k realiza um MHS.
18 CHAPTER 2. OSCILAÇÕES
A frequência de oscilação é
! =
r
k
m
; (2.15)
e o período
T =
2�
!
! T = 2�
r
m
k
: (2.16)
A expressão
! =
r
k
m
; (2.17)
Nos mostra que uma mola forte (k grande) prendendo um corpo leve (m pequeno) gera uma frequência angular !
grande, i.e., o sistema oscila mais rápido.
2.1.3 A energia total
No sistema bloco+mola. Colocamos a origem O no ponto de equilíbrio (mola relaxada).
Numa posição diferente de x = 0 , o bloco possui energia potencial U (t) devido à sua posição x (t) em relação
à O, dada por
U (t) =
1
2
kx2 =
1
2
kx2m cos
2 (!t+ �) :
No caso em que x (t) não é a posição máxima nem mínima, o bloco de massa m possui velocidade v (t), logo
sua energia cinética é
K (t) =
1
2
mv2 =
1
2
m!2x2m sin
2 (!t+ �)
como ! =
q
k
m , obtemos
K (t) =
1
2
kx2m sin
2 (!t+ �)
A energia total mecânica é
E = K + U =
1
2
kx2m sin
2 (!t+ �) +
1
2
kx2m cos
2 (!t+ �)
e usando sin2 � + cos2 � = 1, obtemos
E =
1
2
kx2m: (2.18)
Observe que E é uma constante independente do tempo. Assim num sistema mola+bloco ideal, sem atrito, uma
vez colocado o sistema em MHS ele permanecerá em MHS. A energia total E depende da máxima enlongação xm
inicialmente realizado.
2.1.4 Relação MHS e MCU
Vamos retornar ao MCU.
2.1. MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (MHS). 19
Sobre a curva uma partícula realiza o movimento descrito por
� (t) = �+ !t: (2.19)
xm é o comprimento do raio.
Pode-se projetar o ponto P sobre o eixo horizontal, que escolhemos ser o eixo x^.
x (t) = xm cos � (t) = xm cos (!t+ �) : (2.20)
Essa expressão é exatamente a equação do MHS.
Temos que enquanto a partícula P realiza um MCU sua projeção no eixo x realiza um MHS.
No MHS ! é a frequência angular das oscilações. Contudo aqui podemos ver que ! é também a velocidade
angular da partícula P .
No MHS a fase � é interpretado como fase inicial, enquanto que no MCU � é a posição angular inicial da
partícula P .
A velocidade
~v é a velocidade tangencial à curva da partícula no ponto P .
Queremos obter v (t) ao longo do eixo x^.
Comparando os dois triângulos retângulos vemos que o ângulo entre ~v e a reta vertical é �.
Da de…nição de ângulo, temos
s = r�
20 CHAPTER 2. OSCILAÇÕES
nesse caso r = xm
s = xm�
deriva essa equação em relação à t
d
dt
s = xm
d
dt
� ! v = xm!
onde v é o módulo de ~v.
v (t) é a projeção de ~v sobre o eixo x^ e da …gura, temos
v (t) = � j~vj sin � = � j~vj sin (!t+ �)
e substituindo ~v = jvj = xm!; obtemos
v (t) = xm! sin (!t+ �) : (2.21)
Essa é a expressão da velocidade que obtemos para o MHS.
A aceleração
A aceleração que temos é a aceleração centrípeta
a =
v2
r
=
v2
xm
= !2xm
da …gura, temos
Assim
j~aj = !2xm: (2.22)
A componente a (t) é a projeção de ~a sobre o eixo x^:
a (t) = � j~aj cos � (t) : (2.23)
e se obtém
a (t) = �!2xm cos (!t+ �) : (2.24)
Que é a expressão da aceleração para o MHS.
Podemos então que a projeção do MCU sobre o eixo horizontal é um MHS.
2.2. PÊNDULOS 21
2.2 Pêndulos
Veremos aqui exemplos de sistemas físicos oscilantes simples e ideais (não reais) cujos movimentos são descritos
pelas equações do MHS.
2.2.1 Pêndulo de torsão
O pêndulo de torsão é um disco de massa m pendurado por um …o ideal (inextensível e sem massa) de comprimento
L conforme mostrado na …gura.
O disco gira para direita e esquerda em torno do seu centro.
A posição de equilíbrio é indicado por 0.
Girando o disco por um ângulo �, o …o …ca tensionado e tende a aplicar um torque restaurador dado por
� = ���
Vamos determinar o período comparando com o movimento do sistema mola+bloco.
22 CHAPTER 2. OSCILAÇÕES
Reanálise do sistema mola+bloco com base na 2a¯ lei de Newton
A força restauradora é:
F = �kx (t) (2.25)
E a segunda lei de Newton na forma linear é dada por:
F = ma (t)
Lembrando que a (t) = d
2
dt2x (t) = x (t), reescreve-se a segunda lei na forma:
F = mx (t) (2.26)
substituímos a equação (2.25) nessa equação e obtemos
�kx (t) = mx (t) : (2.27)
Essa equação é chamada de equação de movimento do MHS. Aqui temos
A posição x (t) é diretamente proporcional à aceleração x (t)
Nesse caso vimos que o período é
T = 2�
r
m
k
: (2.28)
No caso do pêndulo de torsão.
Temos a expressão do torque restaurador:
� = ��� (t) (2.29)
A segunda lei de Newton na forma angular é:
� = I� (t) (2.30)
Lembrando que � (t) = d
2
dt2 � (t) =
� (t), reescrevo essa expressão na seguinte forma:
� = I� (t) (2.31)
Substituindo a expressão do torque restaurador nessa expressão, obtemos
��� (t) = I� (t) (2.32)
E aqui também obtemos:
A posição � (t) é diretamente proporcional à aceleração � (t)
Comparando com a equação de movimento do MHS:
�kx (t) = mx (t) : (2.33)
2.2. PÊNDULOS 23
Identi…camos
� ! x (2.34)
�� ! �k
m ! I
Conclusão: O pêndulo de torsão também realiza um MHS.
Podemos usar a mesma expressão do período T:
Usamos essas identidades na expressão do período T do sistema mola+bloco e obtemos
Tmola = 2�
p
m
k
mola+bloco
)
!
8<: TpendTor = 2�
q
I
�
pêndulo de torsão
(2.35)
2.2.2 Pêndulo Simples pequenas oscilações
Um corpo de massa m pendurado por um …o ideal de comprimento L
A força restauradora atua tangente à trajetória e apontada em direção ao ponto O (ponto de equilíbrio). Pela
…gura sua itensidade é
Frestaur = �P sin �
onde P = mg, g = intensidade da aceleração da gravidade.
A trajetória do corpo é um arco de círculo de raio L. O comprimento desse arco é (de…nição de ângulo):
s = L�: (2.36)
Vamos realizar a aproximação de pequenas oscilações.
A oscilação é pequena, ou seja � muito pequeno.
Nesse caso, do cálculo, podemos expandir sin � em série de Taylor.
Fórmula da expansão em série de Taylor para uma função qualquer f (x) para x pequenos próximos de zero
f (x) ' f (0) +
�
df (x)
dx
jx=0
�
x+
�
d2f (x)
dx2
jx=0
�
x2
2
+ ::: (2.37)
24 CHAPTER 2. OSCILAÇÕES
aplica para f (x) = sinx
sinx ' 0 + (cos 0)x+ :::
para x� 1 temos que x2 � x e pode-se desprezar os termos maiores que x, assim aproxima-se
sinx ' x (2.38)
Aplicamos na expressão da força restauradora, e temos
Frestaur ' �P�
Usando s = L� e P = mg reescreve-se
Frestaur ' �mg s
L
= �
�mg
L
�
s (2.39)
E obtemos uma força restauradora diretamente proporcional à distância . Compare com
F = �kx
podemos identi…car
k !
�mg
L
�
; x! s: (2.40)
ou seja, a força restauradora Frestaur é uma força do tipo harmônica nesse caso de pequenas oscilações do pêndulo.
Assim o movimento do pêndulo na aproximação de pequenas oscilações é do tipo MHS. Usamos então a expressão
do período T do MHS
T = 2�
r
m
k
! Tpend = 2�
r
m
mg
L
= 2�
s
L
g
Observe que a constante k da força restauradora (harmônica) nesse caso está relacionada à força gravitacional
que depende diretamente da massa m. Isso permitiu que se elimina-se o termo inercial m da expressão de T .
2.2.3 Pêndulo físico - pequenas oscilações
Os pêndulos reais não são tão simples como os casos anteriores. Um pêndulo real é obtido quando se segura um
corpo a partir de um ponto que não é o seu Centro de Gravidade. Lembre-se que nesse caso o corpo gira até que o
seu CG …que na reta vertical que passa pelo ponto onde o corpoestá sendo segurado e abaixo desse ponto.
2.2. PÊNDULOS 25
O CG descreve uma trajetória que é um arco de circulo.
A intensidade da força restauradora é
Frestau = P sin �
A distância entre O e CG é h e é o braço de alavanca para a aplicação do torque ~� .
~Frestau realiza um torque ~� , dado por
� = � (P sin �)h
A aproximação de pequenas oscilações.
Faz-se novamente que � é pequeno e nesse caso
sin � ' �
e com P = mg temos para o torque
� ' � (mgh) �
comparando com o torque do pêndulo de torsão
� = ���
identi…camos
� = mgh
e usando a expressão do período do pêndulo de torsão (2.35)
TpendTors = 2�
r
I
�
! TpendFisico = 2�
s
I
mgh
(2.41)
Pêndulo Físico e o Pêndulo Simples
O pêndulo físico inclui o pêndulo simples. Para ver isso podemos simpli…car o pêndulo físico
Nesse caso se realiza as seguintes reduções:
1) Concentra-se toda a massa no Centro de Gravidade CG
2) A distância h se torna o comprimento L do pêndulo.
3) O sistema O � CG se comporta como uma barra de comprimento L. Nesse caso o momento de inércia é
I = mL2.
26 CHAPTER 2. OSCILAÇÕES
Aplicando essas modi…cações no período do pêndulo físico, obtemos
TpendFisico = 2�
s
I
mgh
! Tpend simples = 2�
s
mL2
mgL
= 2�
s
L
g
reobtemos a expressão do período para o pêndulo simples.
Medida de g
Pode-se utilizar um pêndulo físico para se medir g.
Considere uma barra de comprimento L e massa m. Prende-se a barra por uma das extremidades. A distância
h entre o CM e o ponto de …xação é L=2. A força peso total atua sobre o CG = CM .
Aplica-se T do pêndulo físico
TpendFisico = 2�
s
I
mgh
! TpendFisico = 2�
s
I
mgL2
Cálculo do momento de inércia I.
O eixo de rotação está em uma das extremidades. Da tabela, temos que
I =
mL2
3
Substitui esse valor em TpendFisico, obtemos
TpendFisico = 2�
s
mL
2
3
mgL2
= 2�
s
2L2
3gL
= 2�
s
2L
3g
E isolando g,
4�2
2L
3g
= T 2 ! 8�
2L
3T 2
= g
Assim, medindo o período T e o comprimento L, pode-se obter g, dentro dos limites dos erros experimentais
das medidas.
2.2. PÊNDULOS 27
2.2.4 Exemplo
Uma haste de comprimento L e massa m é pendurada por um ponto P localizado à uma distância x da extremidade
superior, como mostra o desenho:
Vamos determinar o seu período.
Utilizamos
TpendFisico = 2�
s
I
mgh
Temos que determinar I e h.
h! distância P � CM .
h =
L
2
� x: (2.42)
Momento de inércia IP da barra em relação ao eixo que passa pelo ponto P .
Escolhe-se esse eixo paralelo ao eixo que passa pelo CM e aplica-se o teorema do eixo paralelo
Ip = ICM +Mh
2: (2.43)
No nosso caso M = m, h2 =
�
L
2 � x
�2
e ICM = mL
2
12 , obtemos
Ip =
mL2
12
+m
�
L
2
� x
�2
=
mL2
12
+m
�
L2
4
+ x2 � Lx
�
=
mL2
12
+m
L2
4
+m (x� L)x = 4
12
mL2 +m (x� L)x
substituindo h e I temos
TpendFisico = 2�
s
1
3mL
2 +m (x� L)x
mg
�
L
2 � x
� = 2�s 13L2 + (x� L)x
g
�
L
2 � x
� (2.44)
28 CHAPTER 2. OSCILAÇÕES
Chapter 3
Forças Fundamentais e Gravitação
As Forças Fundamentais.
São as forças consideradas principais para se entender a natureza física do nosso universo. Desde a escala
subnuclear até a escala do próprio Universo.
Atualmente são conhecidas 4 forças fundamentais:
1) Força nuclear forte: Responsável por manter o próton e o nêutron dentro do núcleo atômico, permitindo que
o núcleo sobreviva o su…ciente para que possamos existir.
2) Força nuclear fraca: Responsável por vários tipos de desintegrações nucleares que desestabilizam o núcleo.
3) Força Electromagnética: Responsável pela interação entre o elétron e o próton permitindo a formação do
átomo. Também atua entre átomos formando as moléculas. É a força que mais conhecemos e dominamos.
4) Força Gravitacional: Responsável pela formação de sistemas solares, constelações, galáxias, aglomerados de
galáxias e do próprio Universo.
Apesar dos efeitos da Força Gravitacional serem importantes sómente para corpos com massas M grandes
(M � massa molecular), há situações onde a Força Gravitacional e as Forças Nucleares se combinam. Isso ocorre
na formação das estrelas e do nosso próprio universo.
Nascimento de uma estrela.
Inicialmente temos uma nuvem da gás de hidrogênio. Mas essa núvem possui regiões mais densas e outras menos
densas. Essa diferença na densidade permite que a atração gravitacional da região mais densa seja mais forte que
a força devido às outras regiões.
Essa atração mais forte atrai mais matéria para a região mais densa, aumentando a densidade. A densidade
cresce, isso aumenta a atração gravitacional. Mais atração aumenta a quantidade de matéria atraída. A região se
torna mais densa.
Com o aumento da densidade, ocorre mais colisões entre as partículas do gás e o gás se aquece.
Maior aquecimento, maior a temperatura, então a energia cinética também é maior. As colisões entre as
partículas se tornam mais frequentes e mais forte até que numa colisão há energia su…ciente para iniciar uma reação
de fusão nuclear do tipo:
p+ p! d+ e+ + �e + energia (3.1)
onde d = núcleo do dêutérion = próton+nêutron.
29
30 CHAPTER 3. FORÇAS FUNDAMENTAIS E GRAVITAÇÃO
Assim nasce uma estrela.
3.1 Gravitação newtoniana: rudimentos
Newton, a partir de observações e de alguns cálculos concluiu que a Terra atrai corpos tais como uma simples maçã
como também corpos maiores como a Lua.
Ele também concluiu que o contrário também deve ocorrer: a maçã atrai a Terra com a mesma intensidade com
que a Terra atrai a maçã. Isso é uma consequência da Lei de ação e reação.
Newton propôs a lei que hoje recebe o seu nome: a lei de gravitação de Newton:
Toda partícula atrai qualquer outra com intensidade diretamente proporcional as suas massas e inversamente
proporcional ao quadrado da distância entre elas:
~F = �Gm2m1
r2
r^; r^ =
~r
j~rj
e essa força atua ao longo da direção que liga as duas partículas. ~r é a posição da partícula 2 medido a partir da
partícula 1. a força ~F é a força que o corpo 1 faz sobre o corpo 2.
A constante G é denominada de constante de gravitação universal.
G = 6; 67� 10�11Nm=kg2 = 6; 67� 10�11m3=kg � s2
Essa força é aplicada considerando que a distância r é muito grande quando comparada aos tamanhos dos corpos.
E nesse caso pode-se considerar os corpos como sendo partículas.
No caso da maçã isso não ocorre.
Como então se pode aplicar a lei de gravitação de Newton?
Newton provou o seguinte teorema:
Uma casca esférica uniforme de matéria atrai uma partícula que está fora dela, como se toda a
sua massa estivesse concentrada no seu centro.
A Terra, pode ser interpretada como sendo uma superposição de cascas esféricas, cada uma atraindo uma
partícula exterior ao planeta como se sua massa estivesse toda concentrada no seu centro.
Assim do ponto de vista da maçã:
A Terra se comporta como se toda a sua massa estivesse concentrada no seu centro.
3.2. PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO E GRAVITAÇÃO NEWTONIANA 31
3.2 Princípio da Superposição e gravitação newtoniana
O princípio de superposição nos assegura que
~R =
nX
i=1
~Fi
ou seja, podemos combinar linearmente as forças externas e obter uma força resultante.
A força gravitacional newtoniana permite que esse princípio seja aplicado da seguinte forma:
Seja dado um sistema com N corpos.
Escolhe-se um deles como sendo o corpo teste: digamos o corpo 1.
Os demais corpos vão atrair o corpo 1, ou seja:
~F12 = força de 2 sobre 1, ~F13 força de 3 sobre 1,...,~F1N =força de N sobre 1.
E o princípio da superposição nos permite escrever a força resultante sobre o corpo 1 da seguinte forma:
~F1 = ~F12 + ~F13 + ~F14 + :::+ ~F1N =
NX
i=1
~F1i: (3.2)
No caso de um sistema contínuo,
cadapedaço elementar de um corpo contínuo exerce um elemento de força d~F :
A força total é
~F1 =
Z
d~F ; (3.3)
Exemplo:
Um corpo de massa m1 está à uma distância d da extremidade de uma barra uniforme de comprimento L e
massa M .
32 CHAPTER 3. FORÇAS FUNDAMENTAIS E GRAVITAÇÃO
O elemento dr da barra tem massa dm e está a uma distância r do corpo m1. O elemento dF de intensidade de
força atrativa que o pedaço dr faz sobre o corpo de massa m1 é:
dF = G
m1
r2
dm
A intensidade da força total sobre m1 devido à barra é
F1 =
Z
dF =
Z
G
m1
r2
dm
uma vez que a barra é uniforme, sua densidade linear é constante � e temos
� =
M
L
=
dm
dr
! dm = M
L
dr
substituindo no integrando, temos
F1 =
Z
G
m1
r2
M
L
dr
em relação ao corpo m1, a extremidade mais próxima está em d e a mais distante está em L+d, assim os limites
de integração são:
F1 =
Z L+d
d
G
m1
r2
M
L
dr = G
m1M
L
Z L+d
d
1
r2
dr
= G
m1M
L
�
�1
r
�L+d
d
= �Gm1M
L
�
1
L+ d
� 1
d
�
= �Gm1M
L
�
d� L� d
d (L+ d)
�
= G
m1M
d (L+ d)
e temos que a força da barra linear sobre o corpo de massa m1 é
F1 = G
m1M
d (L+ d)
(3.4)
3.2.1 A gravidade próximo à superfície da Terra
Faremos as seguintes aproximações:
1) Ignora-se a rotação da Terra
2) Assume-se que a Terra é uma esfera perfeita
Denota-se por M e R a massa e o raio da Terra, respectivamente. Um corpo de massa m está a uma altura h
da superfície da Terra.
3.2. PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO E GRAVITAÇÃO NEWTONIANA 33
A força gravitacional da Terra sobre esse corpo tem intensidade:
F = G
Mm
(R+ h)
2 (3.5)
comparando com R a altura h é muito pequeno e se pode reescrever
F = G
Mm
R2
1�
1 + hR
�2 (3.6)
renomeio x = hR e temos:
1�
1 + hR
�2 = 1
(1 + x)
2
onde o fator x é muito menor que 1: x� 1, nesse caso podemos expandir em série de Taylor
1
(1 + x)
2 = 1� 2x+ 3x2 � 4x3 +O
�
x4
�
substituindo x pelos seu valor original
1�
1 + hR
�2 = 1� 2 hR + :::
substitui na expressão de F
F = G
Mm
R2
�
1� 2 h
R
+ :::
�
(3.7)
como hR � 1 pode-se desprezar e obtemos um valor aproximado para F
F ' GMm
R2
: (3.8)
Por outro lado, essa força gera uma aceleração sobre o corpo próximo à Terra que segundo a segunda lei de
Newton para massa constante é
F = mag
substitui o valor aproximado de F nessa equação, temos
G
Mm
R2
= mag: (3.9)
e obtemos
ag = G
M
R2
(3.10)
que é a constante da aceleração da gravidade. É constante pois G, M e R nesse caso são constantes.
Por esse modelo o valor de ag é o mesmo em qualquer parte da superfície da Terra, contudo a Terra não é uma
esfera perfeita, sua massa não está distribuída uniformemente e possui movimento de rotação sobre si mesma.
A densidade da Terra.
34 CHAPTER 3. FORÇAS FUNDAMENTAIS E GRAVITAÇÃO
Ela é quase 5 vezes mais densa no seu núcleo interno do que na crosta.
núcleo int. � = 14; 0� 103 kg=m3
núcleo ext. � = 11; 0� 103 kg=m3
manto � = 4; 1� 103 kg=m3
crosta � = 3; 0� 103 kg=m3
A forma da Terra.
É aproximadamente uma elipse achatada nos pólos e dilatada no equador
A rotação da Terra.
O eixo de rotação atravessa os pólos da Terra. Qualquer corpo em repouso sobre a superfície da Terra em
qualquer parte, com exceção nos pólos, descreve um movimento circular em torno do eixo de rotação. Como o
movimento é circular a aceleração resultante a é a aceleração centrípeta apontada para o eixo de rotação. Para um
corpo de massa m a força resultante é
F = ma (3.11)
Caso especial: um corpo em repouso sobre uma balança em algum ponto da linha do equador da Terra.
Nesse caso a aceleração centrípeta ~a também aponta para o centro da Terra.
As forças: Temos
1) A atração gravitacional apontada para o centro da Terra: Fg = mag
2) A Normal N é a reação da balança.
Assim o princípio da superposição nos forneceX
F = mag �N = ma
A normal N da balança é igual à leitura do peso do corpo, então
N = mg (3.12)
E reescreve-se X
F = mag �mg = ma (3.13)
Essa equação mostra que o peso do corpo mg é diferente da força de atração gravitacional mag.
O mesmo ocorre para g
ag � g = a
3.2. PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO E GRAVITAÇÃO NEWTONIANA 35
Denotando por ! a velocidade angular da Terra e R o raio da Terra (Supondo esférica). Temos
ag � g = !2R (3.14)
Usando
! =
2�
T
; T = periodo: (3.15)
temos
ag � g =
�
2�
T
�2
R
Usando T = 24h e o raio médio da Terra R = 6; 37 � 1030m, a diferença entre a aceleração devido à atração da
gravidade ag e a aceleração de queda livre g medido no equador é dado por
ag � g = 0:034 m=s2
ou seja
g < ag (3.16)
Para as aplicações que não requer muita precisão (3% de margem de erro) pode-se desprezar esse efeito.
3.2.2 Medida de G
A Primeira medida foi realizada em 1798 por Henry Cavendish.
Ele utilizou a balança de torção.
Uma barra …na de comprimento L e com dois corpos de massa m presos à extremidades da barra. A barra é
suspensa por um …o …no preso no CM da barra e mantido em equilíbrio.
A seguir dois corpos de massa M são aproximados de cada um corpos presos à barra na con…guração mostrada.
A atração entre os corpos de massas M e m desloca a barra que conecta as massas m por um ângulo �. A força
gravitacional entre M e m realiza um torque e esse torque é equilibrado pelo torque realizado pelo Fio. E os corpos
m e M são mantidos à uma distância R.
O torque � realizado pelas força gravitacionais é
� = 2F
L
2
= G
Mm
R2
L
então G nesse experimento é dado por
G =
�R2
MmL
(3.17)
36 CHAPTER 3. FORÇAS FUNDAMENTAIS E GRAVITAÇÃO
3.2.3 Gravitação no interior da Terra
Um outro teorema a respeito da Força gravitacional é o seguinte:
Uma casca uniforme de matéria exerce uma força gravitacional nula sobre uma partícula dentro
dela.
Vamos aplicar esse teorema no seguinte exemplo.
Supondo que a Terra seja um esfera perfeita e que a densidade de matéria � seja constante.
Se fosse possível ter um túnel atravessando toda a Terra:
Um corpo de massa m está à uma distância r do centro da Terra.
A massa �M que atua sobre m, devido ao teorema acima é só a parte da massa do volume da esfera de raio r e
não a massa total da Terra.
Essa massa �M é
�M = �V = �
4
3
�r3
A força gravitacional é
F = �Gm
�M
r2
= �Gm�
4
3�r
3
r2
= �Gm�4
3
�r
De…nindo K = Gm� 43 , reescreve-se
F = �Kr (3.18)
O sinal dessa força indica que ~F sempre aponta no sentido oposto de ~r, medida a partir do centro da Terra.
Essa é a mesma expressão do caso de um corpo preso à uma mola. Assim o movimento dessa partícula é um MHS.
3.2.4 Energia Potencial Gravitacional
No caso em que um corpo de massa m está à uma distância pequena h da superfície da Terra (h � RT , RT =
raio da Terra) realiza-se a aproximação de que a aceleração é uma constante g e nesse caso foi visto que a energia
potencial armazenada nesse corpo é dado por
U = mgh: (3.19)
Assim essa expressão só é válida como uma aproximação onde h� RT .
Caso dois corpos.
3.2. PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO E GRAVITAÇÃO NEWTONIANA 37
As massas deles são m1 e m2.
Nesse caso vimos que a força gravitacional que um corpo de massa m1 exerce sobre um outro corpo de massa
m2 é dado por:
~F = �Gm1m2
r2
r^; r^ =
~r
j~rj
onde ~r é a posição do corpo 2 em relação ao centro de massa do corpo 1. Veremos que essa força realiza trabalho W
sobre o corpo de massa m2. E esse trabalho …ca armazenado nesse sistema de dois corpos na forma de energia
potencial U (r) dado por:
U (r) = �Gm1m2
r
: (3.20)
Caso M � m.
Suponha que m1 = M e m2 = m.
Nesse caso os efeitos da mudança na energia potencial do sistema de dois corpos aparece mais no corpo de massa
menor,pois o efeito é o do corpo entrar em movimento e é mais difícil movimentar o corpo com massa maior. Assim
nesse caso se diz que:
"A energia potencial está armazenada no corpo de massa menor".
Caso de três corpos(m1, m2 e m3)
Nesse caso trata-se de obter a expressão de U (rij) entre os pares de corpos i e j possíveis de se formar:
U = �G
�
m1m2
r12
+
m1m3
r13
+
m2m3
r23
�
Demonstração de
U (r) = �GMm
r
: (3.21)
Vamos adotar que o corpo de massa M …ca em repouso no referencial O e que o corpo de massa m está muito
distante r !1, onde ~r é a posição de m em relação ao centro de massa de M .
38 CHAPTER 3. FORÇAS FUNDAMENTAIS E GRAVITAÇÃO
O Ponto onde U (r) = 0:
Observe que a força gravitacional se anula quando r !1
r !1; 1
r
! 0;
���~F ��� = �GMm 1
r2
! 0: (3.22)
Assim nesse caso ~FG realiza um trabalho nulo (W = 0) e se pode adotar que U (r !1) = 0.
Seja r a distância OP . E colocamos o eixo x ao longo da linha que liga M e m.
A força ~F queM exerce sobre m a medida que m desloca de �d~x (m vem do in…nito e vai até o ponto P ) realiza
um trabalho W que é armazenada na forma de energia potencial U , dada por
U = �W = �
Z r
1
~F (~x) � d~x
como ~F (x) aponta na direção oposta de d~x, temos
~F (x) � d~x = F (x) dx cos� = �F (x) dx
como
F (x) =
GMm
x2
e substituindo no integrando, obtemos
U = �
Z r
1
�GMm
x2
dx = �
�
GMm
x
�r
1
= �GMm
r
(3.23)
A validade da integração não depende do caminho que o corpo m percorre. Isso é porque a força é radial, ou
seja, só varia com a distância j~rj e não depende dos ângulos. Isso faz com que o trabalho realizado por ~F quando o
corpo m percorre uma circunferência seja nulo.
3.2. PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO E GRAVITAÇÃO NEWTONIANA 39
Pois temos que
~F (x) � d~x = F (x) dx cos �
2
= 0 (3.24)
Assim o trabalho W só depende da posição inicial e …nal ao longo do raio e as posições com r iguais fornecem
U iguais, ou seja, U (r) é o mesmo em todos os pontos do circulo de raio r.
O módulo da força a partir de U
Pode-se realizar a operação inversa e obter a força ~F a partir de U , nesse caso.
Usando a expressão que foi vista
F = �dU
dr
= � d
dr
�
�GMm
r
�
= �GMm
r2
e reobtemos o módulo da força.
Velocidade de escape
Quando se arremessa um corpo para cima, vemos que ele sobre pára numa certa altura e cai de volta. Isso
porque a Força gravitacional desacelera o corpo na subida até ele parar e depois puxa o corpo de volta.
Mas se arremessarmos o corpo com uma velocidade inicial maior ele vai atingir alturas maiores.
Com qual velocidade inicial deve-se arremessar o corpo para que ele consiga superar a atração gravitacional?
A velocidade de escape.
Um corpo de massa m e com velocidade inicial v partindo da superfície da Terra, tem energia cinética
K =
1
2
mv2
e sua energia potencial é
U = �GMm
R
onde R é o raio da Terra e M a sua massa. A energia total inicial Ei é então:
Ei =
1
2
mv2 � GMm
R
: (3.25)
Queremos que o corpo vá para bem longe da Terra, digamos para o in…nito e lá ele pare.
40 CHAPTER 3. FORÇAS FUNDAMENTAIS E GRAVITAÇÃO
Se ele parar no in…nito v1 = 0 então K = 0, e também em r =1 temos que U (r =1) = 0; assim no in…nito
temos
E1 = 0: (3.26)
Pela conservação de energia, temos
Ei = E1 ! 1
2
mv2 � GMm
R
= 0 (3.27)
e dessa equação, obtemos
v =
r
2GM
R
a velocidade de escape.
Appendix A
The First Appendix
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42 APPENDIX A. THE FIRST APPENDIX
Afterword
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or any other similar item. In the back matter, chapters do not produce a chapter number, but they are entered in
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