Eletrônica Digital - Aula04 - Simplificação de circuitos lógicos

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Simplificação de
Circuitos Lógicos
Christian César de Azevedo
Simplificação de Circuitos Lógicos 2
Introdução
� Até agora obtivemos expressões lógicas a partir 
de circuitos ou tabelas da verdade sem nos 
preocupar com a simplificação.
� Para a simplificação dos circuitos lógicos faremos 
uso de postulados, propriedades, identidades e 
teoremas fundamentais da Álgebra de Boole.
Simplificação de Circuitos Lógicos 3
Postulados
� A .1 = A:
� A = 0 → 0 . 1 = 0
� A = 1 → 1 . 1 = 1
� A . A = A
� A = 0 → 0 . 0 = 0
� A = 1 → 1 . 1 = 1
Simplificação de Circuitos Lógicos 4
Postulados
� A . A = 0:
� A = 0 → 0 . 1 = 0
� A = 1 → 1 . 0 = 0
Simplificação de Circuitos Lógicos 5
Propriedades
� Propriedade Comutativa
� Adição: A + B = B + A
� Multiplicação: A . B = B . A
Simplificação de Circuitos Lógicos 6
Propriedades
� Propriedade Associativa
� Adição: A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C
� Multiplicação: A . (B.C) = (A.B) . C = A . B . C
Simplificação de Circuitos Lógicos 7
Propriedades
� Propriedade Distributiva
A . (B + C) = A . B + A . C
Simplificação de Circuitos Lógicos 8
Propriedades
� Propriedade Distributiva
1
1
1
0
0
0
0
0
A (B + C)
1
1
1
0
0
0
0
0
AB + AC
101
011
111
110
001
0
0
0
A
01
10
00
CB
Simplificação de Circuitos Lógicos 9
Teoremas de De Morgan
� Os teoremas de De Morgan são bastante 
utilizados na prática em simplificações de 
expressões booleanas e no desenvolvimento 
de circuitos digitais 
Simplificação de Circuitos Lógicos 10
1° Teorema de De Morgan
� (A . B) = A + B 
0
1
1
1
A . B
011
101
110
100
A + BBA
Simplificação de Circuitos Lógicos 11
1° Teorema de De Morgan
� O teorema pode ser estendido para mais de 
duas variáveis: 
(A . B .C ... N) = A + B + C + ... + N
Simplificação de Circuitos Lógicos 12
2° Teorema de De Morgan
� Do 1° teorema, temos: 
A . B = (A + B)
Simplificação de Circuitos Lógicos 13
2° Teorema de De Morgan
� 2° teorema → A . B = (A + B)
� O teorema pode ser estendido para mais de 
duas variáveis: 
(A + B + C + ... + N) = A . B . C ... N 
Simplificação de Circuitos Lógicos 14
Identidades Auxiliares - 1
� A + A . B = A
Simplificação de Circuitos Lógicos 15
Identidades Auxiliares - 1
� A + A . B = A
A (1 + B) = A . 1 = A
Simplificação de Circuitos Lógicos 16
Identidades Auxiliares - 2
� (A + B) . (A + C) = A + B.C
Simplificação de Circuitos Lógicos 17
Identidades Auxiliares - 2
� (A + B) . (A + C) = A + B.C
= A.A + A.C + B.A + B.C
= A (1 + B + C) + B.C
= A + B.C
Simplificação de Circuitos Lógicos 18
Identidades Auxiliares - 3
� A + A.B = A + B
Simplificação de Circuitos Lógicos 19
Identidades Auxiliares - 3
� A + A.B = A + B
= [A + (A . B)]
Simplificação de Circuitos Lógicos 20
Identidades Auxiliares - 3
� A + A.B = A + B
= [A + (A . B)]
= [A . (A . B)] → 2° Teorema de De Morgan
Simplificação de Circuitos Lógicos 21
Identidades Auxiliares - 3
� A + A.B = A + B
= [A + (A . B)]
= [A . (A . B)] → 2° Teorema de De Morgan
= [A . (A + B)] → 1° Teorema de De Morgan
Simplificação de Circuitos Lógicos 22
Identidades Auxiliares - 3
� A + A.B = A + B
= [A + (A . B)]
= [A . (A . B)] → 2° Teorema de De Morgan
= [A . (A + B)] → 1° Teorema de De Morgan
= (A . A + A . B)
Simplificação de Circuitos Lógicos 23
Identidades Auxiliares - 3
� A + A.B = A + B
= (A . B) → 1° Teorema de De Morgan 
Simplificação de Circuitos Lógicos 24
Identidades Auxiliares - 3
� A + A.B = A + B
= (A . B) → 1° Teorema de De Morgan 
= (A + B)
Simplificação de Circuitos Lógicos 25
Simplificação de Expressões Booleanas
� S = ABC + AC + AB
Simplificação de Circuitos Lógicos 26
Simplificação de Expressões Booleanas
� S = ABC + AC + AB
S = A[BC + (C + B)]
S = A[BC + (C + B)] → Teorema de De Morgan
Simplificação de Circuitos Lógicos 27
Simplificação de Expressões Booleanas
� S = ABC + AC + AB
S = A[BC + (C + B)]
S = A[BC + (C + B)] → Teorema de De Morgan
S = [BC + (BC)].A
Simplificação de Circuitos Lógicos 28
Simplificação de Expressões Booleanas
� S = ABC + AC + AB
S = [ 1 ] . A
S = A
Simplificação de Circuitos Lógicos 29
Diagramas de Veitch-Karnaugh
� Os mapas ou diagramas permitem a simplificação de 
maneira mais rápida dos casos extraídos de tabelas da 
verdade.
A
A
B B
� Diagrama para 2 variáveis:
Simplificação de Circuitos Lógicos 30
Diagramas de Veitch-Karnaugh
A
A
B B
� Região onde A = 1
Simplificação de Circuitos Lógicos 31
Diagramas de Veitch-Karnaugh
A
A
B B
� Região onde A = 0 (A = 1)
Simplificação de Circuitos Lógicos 32
Diagramas de Veitch-Karnaugh
A
A
B B
� Região onde B = 1
Simplificação de Circuitos Lógicos 33
Diagramas de Veitch-Karnaugh
A
A
B B
� Região onde B = 0 (B = 1)
Simplificação de Circuitos Lógicos 34
Diagramas de Veitch-Karnaugh
A
A
B B
� Região onde A = 1
Simplificação de Circuitos Lógicos 35
Diagramas de Veitch-Karnaugh
� Com duas variáveis podemos obter 4 possibilidades:
11
01
10
00
BA
Caso 0
Caso 1
Caso 2
Caso 3
Simplificação de Circuitos Lógicos 36
Diagramas de Veitch-Karnaugh
A
A
B B
� Caso 0 (A = 0 e B = 0)
Simplificação de Circuitos Lógicos 37
Diagramas de Veitch-Karnaugh
A
A
B B
� Caso 1 (A = 0 e B = 1)
Simplificação de Circuitos Lógicos 38
Diagramas de Veitch-Karnaugh
A
A
B B
� Caso 2 (A = 1 e B = 0)
Simplificação de Circuitos Lógicos 39
Diagramas de Veitch-Karnaugh
A
A
B B
� Caso 3 (A = 1 e B = 1)
Simplificação de Circuitos Lógicos 40
Diagramas de Veitch-Karnaugh
� Exemplo:
111
101
110
000
SBA
Caso 0
Caso 1
Caso 2
Caso 3
Simplificação de Circuitos Lógicos 41
Diagramas de Veitch-Karnaugh
� Método tradicional:
0 1
1 1
A
A
B B
ABBABAS ++=
� Mapa de Veitch-Karnaugh:
Simplificação de Circuitos Lógicos 42
Diagramas de Veitch-Karnaugh
� Para a simplificação do diagrama agrupamos as 
regiões onde S = 1. As regiões que não puderem 
ser agrupadas, serão consideradas isoladamente.
� Para 2 variáveis, são possíveis os seguintes 
agrupamentos:
Simplificação de Circuitos Lógicos 43
Diagramas de Veitch-Karnaugh
� Quadra
1 1
1 1
A
A
B B
Quadra S = 1
Simplificação de Circuitos Lógicos 44
Diagramas de Veitch-Karnaugh
� Pares
0 0
1 1
A
A
B B
Par A
Simplificação de Circuitos Lógicos 45
Diagramas de Veitch-Karnaugh
� Pares
1 0
1 0
A
A
B B
Par B
Simplificação de Circuitos Lógicos 46
Diagramas de Veitch-Karnaugh
� Termos isolados
1 0
0 1
A
A
B B
Termo A B
Termo AB
Simplificação de Circuitos Lógicos 47
Diagramas de Veitch-Karnaugh
� Para o exemplo, temos o seguinte:
0 1
1 1
A
A
B B
Par 1
Par 2
Simplificação de Circuitos Lógicos 48
Diagramas de Veitch-Karnaugh
� Para o exemplo, temos o seguinte:
S = Par 1 + Par 2
S = A + B
Simplificação de Circuitos Lógicos 49
Diagramas de Veitch-Karnaugh
� Diagrama para 3 variáveis:
A
A
B B
C CC
Simplificação de Circuitos Lógicos 50
Diagramas de Veitch-Karnaugh
� Região A = 1:
A
A
B B
C CC
Simplificação de Circuitos Lógicos 51
Diagramas de Veitch-Karnaugh
A
A
B B
C CC
� Região A = 1 (A = 0):
Simplificação de Circuitos Lógicos 52
Diagramas de Veitch-Karnaugh� Região B = 1:
A
A
B B
C CC
Simplificação de Circuitos Lógicos 53
Diagramas de Veitch-Karnaugh
A
A
B B
C CC
� Região B = 1 (B = 0):
Simplificação de Circuitos Lógicos 54
Diagramas de Veitch-Karnaugh
� Região C = 1:
A
A
B B
C CC
Simplificação de Circuitos Lógicos 55
Diagramas de Veitch-Karnaugh
A
A
B B
C CC
� Região C = 1 (C = 0):
Simplificação de Circuitos Lógicos 56
Diagramas de Veitch-Karnaugh
5101
6011
7111
3110
4001
0
0
0
A
201
110
000
CasoCB
Simplificação de Circuitos Lógicos 57
Diagramas de Veitch-Karnaugh
� Localização dos casos:
� Caso 5: (A = 1) (B = 0) (C = 1) 
A
A
B B
C CC
Simplificação de Circuitos Lógicos 58
Diagramas de Veitch-Karnaugh
1101
1011
0111
0110
0001
0
0
0
A
001
110
000
SCB
Simplificação de Circuitos Lógicos 59
Diagramas de Veitch-Karnaugh
� Transpondo a tabela para o diagrama:
A
A
B B
C CC
Simplificação de Circuitos Lógicos 60
Diagramas de Veitch-Karnaugh
� Oitava:
A 1 1
1 1A
B B
1 1
1 1
C CC
S = 1
Simplificação de Circuitos Lógicos 61
Diagramas de Veitch-Karnaugh
A 1 1
1 1A
B B
0 0
0 0
C CC
� Quadra B:
Simplificação de Circuitos Lógicos 62
Diagramas de Veitch-Karnaugh
A 1 1
0 0A
B B
1 1
0 0
C CC
� Quadra A:
Simplificação de Circuitos Lógicos 63
Diagramas de Veitch-Karnaugh
� Quadra C:
A 1 0
1 0A
B B
0 1
0 1
C CC
Simplificação de Circuitos Lógicos 64
Diagramas de Veitch-Karnaugh
� Pares:
1 0
0 1A
B B
0 1
1 0
C CC
A
Par A C
Simplificação de Circuitos Lógicos 65
Diagramas de Veitch-Karnaugh
� Termos isolados:
0 0
0 1A
B B
0 1
0 0
C CC
A → Termo A B C
Termo A B C
Simplificação de Circuitos Lógicos 66
Diagramas de Veitch-Karnaugh
� Diagrama para 4 variáveis:
A
A
B
B
CC
B
DD D
Simplificação de Circuitos Lógicos 67
Diagramas de Veitch-Karnaugh
� Região onde A = 1:
A
A
B
B
CC
B
DD D
Simplificação de Circuitos Lógicos 68
Diagramas de Veitch-Karnaugh
101113
001112
110111
010110
10019
00018
011114
111115
11107
1
0
0
1
1
0
0
C
0
1
0
1
0
1
0
D
6
5
4
3
2
1
0
Casos
10
10
00
10
0
0
0
A
0
0
0
B
A
A
B
B
CC
0 1
4 5
2 3
6 7
8 9
12 13
10 11
14 15 B
DD D
Simplificação de Circuitos Lógicos 69
Diagramas de Veitch-Karnaugh
� Regiões:
� Oitavas
� Quadras
� Pares
A
A
B
B
CC
B
DD D
Simplificação de Circuitos Lógicos 70
Diagramas de Veitch-Karnaugh
A
� Diagrama para 5 variáveis:
A
E
B
B
C
C
DD
C
E E E
B
B
C
C
DD
C
E E
Simplificação de Circuitos Lógicos 71
Diagramas de Veitch-Karnaugh
A
� Região onde A = 1:
A
E
B
B
C
C
DD
C
E E E
B
B
C
C
DD
C
E E
Simplificação de Circuitos Lógicos 72
Diagramas de Veitch-Karnaugh
A
� Região onde B = 1:
A
E
B
B
C
C
DD
C
E E E
B
B
C
C
DD
C
E E
Simplificação de Circuitos Lógicos 73
Diagramas de Veitch-Karnaugh
A
� Regiões:
A
E
B
B
C
C
DD
C
E E E
B
B
C
C
DD
C
E E
Simplificação de Circuitos Lógicos 74
Diagramas com condições irrelevantes
� Chamamos de condição irrelevante (X) a situação 
de entrada onde a saída pode assumir 0 ou 1 
indiferentemente.
Simplificação de Circuitos Lógicos 75
Diagramas com condições irrelevantes
0101
0011
0111
1110
0001
0
0
0
A
101
110
X00
SCB
A X 1
0 0A
B B
1 1
0 0
C CC
Simplificação de Circuitos Lógicos 76
Diagramas com condições irrelevantes
A X 1
0 0A
B B
1 1
0 0
C CC
A=S
Simplificação de Circuitos Lógicos 77
Diagramas com condições irrelevantes
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
D
X011
0011
0101
X101
1001
0001
0111
X111
1110
1
0
0
1
1
0
0
C
1
0
1
X
1
0
X
S
10
10
00
10
0
0
0
A
0
0
0
B
A
A
B
B
CC
X 0
1 0
X 1
1 1
0 X
0 1
X 0
0 X B
DD D
Simplificação de Circuitos Lógicos 78
Diagramas com condições irrelevantes
A
A
B
B
CC
X 0
1 0
X 1
1 1
0 X
0 1
X 0
0 X B
DD D
Simplificação de Circuitos Lógicos 79
Diagramas com condições irrelevantes
A
A
B
B
CC
X 0
1 0
X 1
1 1
0 X
0 1
X 0
0 X B
DD D
DDCS CAAA ++=
Simplificação de Circuitos Lógicos 80
Perguntas?