Aula 2 - Algebra Boleana

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Família Lógica e Álgebra de 
Boole
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ
Boole
Leonardo B. Zoccal
(lbzoccal@unifei.edu.br)
ELTD01 – Eletrônica Digital I
Uso de Portas Lógicas em Circuitos Eletrônicos
Para a implementação do circuito eletrônico que realiza uma
função lógica são utilizados transistores ligados de forma a obter
a funcionalidade de uma tabela verdade.
Os transistores normalmente são do tipo bipolar (NPN ou PNP)
ou MOS (NMOS ou PMOS), e operam como chaves que “ligam”
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ou MOS (NMOS ou PMOS), e operam como chaves que “ligam”
com nível lógico ‘0’ ou ‘1’. Estes transistores serão estudados
em eletrônica analógica.
É importante saber, que para sua operação, os circuitos
integrados que possuem transistores ligados de forma a
implementar funções lógicas necessitam de fontes de
alimentação.
Constituição das Portas Lógicas
Os componentes principais que 
constituem as portas lógicas são 
os transistores bipolares - BJTs
(Ex: família lógica TTL)
ou os transistores de efeito de 
campo – FETs.
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(Ex: família lógica CMOS)
Estes transistores comportam-se 
como interruptores eletrônicos 
que ou estão em condução (1) 
ou estão ao corte (0).
A figura apresenta um exemplo de um circuito elétrico
(porta lógica que implementa a função AND - 7408)
utilizando a tecnologia TTL.
Representação Elétrica de uma porta lógica
Constituição das Portas Lógicas
Os componentes principais que 
constituem as portas lógicas são 
os transistores bipolares - BJTs
(Ex: família lógica TTL)
ou os transistores de efeito de 
campo – FETs.
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(Ex: família lógica CMOS)
Estes transistores comportam-se 
como interruptores eletrônicos 
que ou estão em condução (1) 
ou estão ao corte (0).
A figura apresenta um exemplo de um circuito 
integrado
(porta lógica que implementa a função AND - 7408)
utilizando a tecnologia TTL.
Representação Lógica
Constituição das Portas Lógicas
Os componentes principais que 
constituem as portas lógicas são 
os transistores bipolares - BJTs
(Ex: família lógica TTL)
ou os transistores de efeito de 
campo – FETs.
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(Ex: família lógica CMOS)
Estes transistores comportam-se 
como interruptores eletrônicos 
que ou estão em condução (1) 
ou estão ao corte (0).
A figura apresenta um exemplo de um circuito elétrico
(porta lógica que implementa a função AND – CD4081)
utilizando a tecnologia CMOS.
Constituição das Portas Lógicas
Os componentes principais que 
constituem as portas lógicas são 
os transistores bipolares - BJTs
(Ex: família lógica TTL)
ou os transistores de efeito de 
campo – FETs.
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(Ex: família lógica CMOS)
Estes transistores comportam-se 
como interruptores eletrônicos 
que ou estão em condução (1) 
ou estão ao corte (0).
Exemplo de Circuito utilizando Circuitos Integrados (CIs) 
da familia TTL (74xx)
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Embora o circuito lógico não indique a alimentação dos circuitos com a 
fonte de alimentação (VDD e GND) lembre-se que o circuito eletrônico 
necessita desta ligação, se não os transistores não conseguem chavear a 
saída de um valor lógico “alto” para “baixo” ou vice-versa
Famílias Lógicas
Os circuitos integrados digitais estão agrupados em famílias lógicas.
 Exemplo de algumas famílias lógicas bipolares
RTL – Resistor Transistor Logic – Lógica de transistor e resistência.
DTL – Díode Transistor Logic – Lógica de transistor e díodo.
TTL – Transistor Transistor Logic – Lógica transistor-transistor.
HTL – High Threshold Logic – Lógica de transistor com alto limiar.
ECL – Emitter Coupled Logic – Lógica de emissores ligados.
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ECL – Emitter Coupled Logic – Lógica de emissores ligados.
 Exemplo de algumas famílias lógicas MOS (Metal – Óxido – Semicondutor)
CMOS – Complemantary MOS – MOS de pares complementares 
NMOS/PMOS
NMOS – Utiliza só transistores MOS-FET canal N.
PMOS – Utiliza só transistores MOS-FET canal P.
A família lógica TTL e a CMOS são as mais usadas, quando se considera o 
uso de circuitos integrados (CIs) para disponibilização de portas lógicas.
Séries das famílias TTL e CMOS
A família TTL é principalmente reconhecida pelo fato de ter duas séries 
que começam pelos números 54 para os componentes de uso militar e 
74 para os componentes de uso comercial.
TTL 74L de Baixa Potência
TTL 74H de Alta Velocidade
TTL 74S Schottky
TTL 74LS Schottky de Baixa Potência (LS-TTL)
TTL 74AS Schottky Avançada (AS-TTL)
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TTL 74AS Schottky Avançada (AS-TTL)
TTL 74ALS- TTL Schottky Avançada de Baixa Potência
Séries CMOS:
4000/14000 (foram as primeiras séries da família CMOS)
74C (compatível, pino a pino e função por função, com os dispositivos 
TTL)
74HC (CMOS de Alta Velocidade)
74HCT (os dispositivos 74HCT - CMOS de Alta Velocidade - podem ser 
alimentados diretamente por saídas de dispositivos TTL)
Tensões dos níveis lógicos
Família Lógica TTL
Faixas de tensão correspondentes aos níveis lógicos de entrada:
Entre 2,0 V e 5,0 V, nível lógico 1
Entre 0,8 V e 2,0 V o componente não reconhece os níveis lógicos 0 e 1, 
devendo portanto, ser evitada em projectos de circuitos digitais.
Entre 0,0 V e 0,8 V, nível lógico 0
Faixas de tensão correspondentes aos níveis lógicos de saída:
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Entre 2,4 V e 5,0 V, nível lógico 1
Entre 0,3 V e 0,5 V, nível lógico 0
Família Lógica CMOS
Faixa de alimentação que se estende de 3 V a 15 V ou 18 V, dependendo do 
modelo.
A família CMOS possui também, uma determinada faixa de tensão para 
representar os níveis lógicos de entrada e de saída, porém estes valores 
dependem da tensão de alimentação e da temperatura ambiente.
Circuitos Integrados Digitais
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Circuitos Integrados Digitais
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Circuitos Integrados Digitais – Esquema Elétrico
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Circuitos Integrados Digitais – Simulação
Diagrama de Tempo
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Circuitos Integrados Digitais – Simulação
Diagrama de Tempo
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Obs: Neste exemplo foi apresentada uma
simulação/análise do circuito
desconsiderando o tempo de resposta de
cada porta lógica (tempo de atraso).
Esta simulação comprova a funcionalidade 
lógica do circuito (simulação funcional)
Álgebra de Boole (ou Booleana)
• Desenvolvida pelo matemático britânico George Boole
para estudo da lógica.
• Definida sobre um conjunto de dois elementos:
(falso, verdadeiro)
(0, 1)
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• Seus elementos, a princípio, não tem significado 
numérico.
• Postulados: se x é uma variável booleana então:
– Se x  0  x = 1
– Se x  1  x = 0
(baixo, alto)
Álgebra de Boole (ou Booleana)
• Uma variável booleana só pode assumir um dos
valores possíveis (0 e 1)
• Uma ou mais variáveis e operadores podem ser
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• Uma ou mais variáveis e operadores podem ser
combinados formando uma função lógica
Z1(A) = f(A) = ... (expressão usando variável A)
Z2(A,B) = f(A,B) = ... (expressão usando variável A e B)
Álgebra de Boole (ou Booleana)
• Precedência das Operações:
– (0) parêntesis
– (1) “Negação”
– (2) “E”
– (3) “Ou”, “Ou-exclusivo”
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– (3) “Ou”, “Ou-exclusivo”
• O uso de parêntesis altera a precedência “normal” dos 
operadores, como na álgebra comum.
Teoremas de Boole
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Teoremas de Boole
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Teoremas de Boole
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Teoremas de Boole
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Teoremas de Boole
O operador de inversão é aplicado em cada produto parcial e o
operador de ligação quando “+” é trocado por “.” e vice-versa
7 DeMorgan
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Teoremas de Boole
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Teoremas de Boole
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Teoremas de Boole
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Teoremas de Boole
1
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Teoremas de Boole
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Neste termo não aparece X
Reagrupar para facilitar a visualização
Teoremas de Boole
Exemplo de Simplificação
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Teoremas de Boole
Exemplo de Simplificação
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Transcrevendo o texto explicativo para uma expressão lógica:
Uma opção para início da simplificação pode ser esse agrupamento
Teoremas de Boole
Exemplo de Simplificação
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Eliminação
Teoremas de Boole
Exemplo de Simplificação
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Teorema DeMorgan
Primeira Lei
Segunda Lei
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Estes teoremas fornecem expressões 
alternativas que relacionam as operações 
NOR e NAND
Ambas as leis podem ser estendidas para n 
variáveis
Teorema DeMorgan
Lógica Baseada em NAND
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Teorema DeMorganLógica Baseada em NOR
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Teorema DeMorgan
Lógica Baseada em NOR
Observe que o operador desejado 
agora é NOR e a expressão 
utiliza um operador AND
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Tabela ilustrativa de conversão de expressões utilizando 
portas Não-E ou Não-OU
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Tabela ilustrativa de conversão de expressões utilizando 
portas Não-E ou Não-OU
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Tabela ilustrativa de conversão de expressões utilizando 
portas Não-E ou Não-OU
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Tabela ilustrativa de conversão de expressões utilizando 
portas Não-E ou Não-OU
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Tabela ilustrativa de conversão de expressões utilizando 
portas Não-E ou Não-OU
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Exemplos
Operador contrário ao 
desejado
Operador contrário ao 
desejado
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Exemplos
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Fórmula de Interpolação de Lagrange
A partir de uma expressão, desenha-se o circuito e obtém-se a
sua tabela de operação (Tabela Verdade). Da mesma forma, a
partir do circuito, pode-se obter a expressão e também a tabela
de operação.
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A leitura é realizada utilizando a fórmula de interpolação de
Lagrange, ou simplesmente leitura por Lagrange. A leitura pode
ser feita na forma de soma de produtos ou na forma de
produto de somas.
Fórmula de Interpolação de Lagrange
Soma de Produtos
Produto parcial 0
Produto parcial 1
Produto parcial 2
Produto parcial 3
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Soma de Produtos
Convenção considera => “1” variável
“0” variável invertida
Interligação das variáveis em um produto parcial é realizada com
operador “AND” e a interligação dos produtos parciais é realizada
com operador “OR”
Fórmula de Interpolação de Lagrange
Produto de Somas 
Produto parcial 0
Produto parcial 1
Produto parcial 2
Produto parcial 3
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Produto de Somas 
(Representa a mesma função e para não alterar a função, a convenção é contrária)
convenção considera => “0” variável
“1” variável invertida
Interligação das variáveis em um produto parcial é realizada com
operador “OU” e a interligação dos produtos parciais é realizada
com operador “AND”
Fórmula de Interpolação de Lagrange
Exemplo
Soma de Produtos
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Produto de Somas
Termo 
assume 1
Fórmula de Interpolação de Lagrange
Exemplo
Soma de Produtos
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A 0Produto de Somas
Fórmula de Interpolação de Lagrange
A mais utilizada é a
Exemplo
Soma de Produtos
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Formas diferentes de representar a 
mesma função lógica
A mais utilizada é a
Soma de Produtos
Produto de Somas
Mintermos e Maxtermos
Correspondem a uma forma alternativa de se representar uma
função. Neste caso, ao invés de se representar a função pelas
variáveis, pode-se optar pela representação através do uso da
localização ou posição das variáveis na listagem binária da
tabela.
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Mintermos e Maxtermos
Lembrar que representam 
a mesma função lógica
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Assim, para mintermos,
indica-se as posições
onde a função vale 1.
Da mesma forma, para
maxtermos, indica-se as
posições onde a função
vale 0.
Mintermos e Maxtermos
Exemplo
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