Aula_Teorica_5_e_6

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20/09/2013
1
Teoremas de Redes
Universidade Estadual de Feira de Santana
Departamento de Tecnologia 
Área de Eletrônica e Sistemas
Prof. João Bosco Gertrudes
e-mail: jbosco@ecomp.uefs.br; jbosco@dsce.fee.unicamp.br
Atendimento em sala: terças e quintas das 14:30h as 15:30h
TEC 500 – Circuitos Elétricos e Eletrônicos 2013.2 
� Introdução
– Serão apresentados teoremas fundamentais da análise de circuitos.
• Teoremas da superposição;
• Teorema de Thévenin;
• Teorema de Norton,;
• Teorema da máxima transferência de potência.
– Serão consideradas aplicações para cada um deles.
2TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos
4. Teoremas de redes2/40
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� Teorema da Superposição (Aplicável somente para circuitos lineares)
– Este teorema pode ser utilizado para encontrar a solução para circuitos
contendo uma ou mais fontes, que não estejam em série nem em paralelo.
– A vantagem mais evidente deste método é dispensar o uso de ferramentas
matemáticas, como os determinantes, para calcular as tensões e correntes
solicitadas.
– O efeito de cada fonte é levado em conta separadamente, e o valor da
incógnita é obtido efetuando a soma algébrica desses efeitos individuais.
– O enunciado é o seguinte:
– A corrente através de um elemento, ou a tensão entre seus terminais, em um
circuito linear é igual à soma algébrica das correntes ou das tensões
produzidas independentemente por cada uma das fontes.
3TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos
4. Teoremas de redes3/40
� Teorema da Superposição
– Quando se aplica o teorema, é possível considerar os efeitos de duas fontes 
ao mesmo tempo e reduzir o número de circuitos que têm de ser analisados;
– Em geral: O número de circuitos a serem analisados é igual ao número de 
fontes independentes.
– É necessário que as fontes sejam removidas e substituídas sem afetar o 
resultado final.
– Para remover a fonte de tensão, a diferença de potencial entre os terminais 
da fonte tem de ser zero (curto-circuito).
– Para remover a fonte de corrente, os seus terminais precisam ser abertos 
(circuito aberto).
– A figura 1 ilustra as substituições.
Figura 1
4TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos
4. Teoremas de redes4/40
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� Teorema da Superposição
– A corrente total em qualquer parte do circuito é igual à soma algébrica das
correntes que seriam produzidas separadamente por cada uma das fontes.
– Este princípio não pode ser usado para calcular a potência dissipada em um
circuito, já que a dissipação de potência em um resistor varia com o quadrado
da corrente ou da tensão, sendo portanto um efeito não-linear.
– Qualquer resistência interna tem de ser mantida no circuito.
5TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos
Figura 2
4. Teoremas de redes5/40
• Exemplo 1
– Determine I1 para o circuito mostrado na figura 3.
6TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos
Figura 3
4. Teoremas de redes6/40
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4
• Exemplo 1
– Fazendo E = 0V, obtemos o circuito da Figura 4. Toda a corrente fornecida pela 
fonte de 3A passa pelo ramo onde está o curto-circuito.
7TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos
Figura 4
4. Teoremas de redes7/40
• Exemplo 1
– Fazendo I igual a 0, obteremos o circuito da figura 5. Pela lei de Ohm:
– Como I1’ e I1’’ têm o mesmo sentido,
8TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos
Figura 5
4. Teoremas de redes8/40
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5
• Exemplo 2
– Usando o teorema da superposição, determine a corrente no resistor de 4ΩΩΩΩ na Figura 6.
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TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos
Figura 6
4. Teoremas de redes9/40
• Exemplo 2
– Considerando os efeitos da fonte de 54 V, Figura 7:
– Usando divisor de corrente:
10
TEC 405 Circuitos Elétricos
Figura 7
10
Bateria de 48V 
substituída por 
curto-circuito
4. Teoremas de redes10/40
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• Exemplo 2
– Considerando os efeitos da fonte de 48 V, figura 8
– A corrente resultante no resistor de 4Ω é:
Figura 8
TEC 405 Circuitos Elétricos
11
Bateria de 54V substituída por curto-circuito
no sentido de I3’’
4. Teoremas de redes11/40
� Teorema de Thévenin
– O Teorema de Thévenin afirma que:
Qualquer circuito de corrente contínua linear pode ser substituído por um circuito
equivalente, constituído por uma fonte de tensão e um resistor em série, como na
Figura 9.
Figura 9
TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos
12
4. Teoremas de redes12/40
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• Teorema de Thévenin
– Na figura 10(a) o circuito no interior da caixa só está ligado ao exterior por dois 
terminais, que denominamos a e b.
– Com o teorema de Thévenin podemos substituir tudo o que existe no interior da caixa 
por uma fonte e um resistor, figura 10(b), sem mudar as características do circuito entre 
os terminais a e b.
Figura 10
TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos
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4. Teoremas de redes13/40
� Teorema de Thévenin
– O circuito equivalente de Thévenin fornece uma equivalência apenas nos terminais
considerados – a disposição interna e as características do circuito original comparadas
com as do seu equivalente de Thévenin são em geral bem diferentes.
– Na figura 10, o equivalente de Thévenin pode ser determinado diretamente
combinando as baterias e resistores em série.
– Na maioria dos casos, existem outros elementos conectados que não podem ser
compactados diretamente.
– O uso deste teorema leva a atingir dois objetivos:
• Permite determinar qualquer valor particular de tensão ou corrente num circuito linear com uma,
duas ou qualquer outro número de fontes.
• Podemos nos concentrar em uma parte específica de um circuito, substituindo o restante dele por
um outro equivalente.
TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos
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4. Teoremas de redes14/40
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� Teorema de Thévenin
– Na figura 11, após obtermos o circuito equivalente de Thévenin para a parte
sombreada, podemos calcular facilmente a corrente IL no resistor variável RL e a tensão
entre seus terminais para qualquer valor que RL possa assumir.
Figura 11TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos
15
4. Teoremas de redes15/40
• Teorema de Thévenin
– Na figura 11, todo o circuito, com exceção de RL, deve ser substituído por uma bateria e 
um resistor em série.
– Os valores desses dois componentes têm de ser escolhidos de modo a garantir que o 
resistor RL se comporte da mesma forma que no circuito da figura 11 (a).
Figura 11TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos
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4. Teoremas de redes16/40
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� Teorema de Thévenin
– A seqüência de passos a seguir nos conduzirá aos valores corretos de RTh e ETh.
1. Identificar e remover a parte do circuito para a qual deseja obter um equivalente de 
Thévenin. 
• No caso da figura 11(a), é necessário remover temporariamente o resistor RL.
2. Assinalar os terminais do circuito remanescente. 
• (A importância deste passo ficará óbvia à medida que avançarmos em direção a circuitos mais complexos.)
– RTh :
3. Calcular RTh: 
1) Ajustar primeiro todas as fontes em zero (substituindo as fontes de tensão por curtos e as de corrente por 
circuito aberto) 
2) E em seguida determinar a resistência equivalente percebida entre os dois terminais. (considerando 
resistências internas da fonte, se for o caso).
TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos
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4. Teoremas de redes17/40
� Teorema de Thévenin
– ETh:
4. Calcular ETh: retornar primeiro todas as fontes às suas posições originais no circuito, em 
seguida determinar a tensão entre os dois terminais escolhidos.
– Conclusão:
5. Desenhar o circuito equivalente de Thévenin e recolocar entre os terminais do circuito 
equivalente a parte que foi previamente removida. Figura 11 (b).
Figura 11TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos18
4. Teoremas de redes18/40
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� Exemplo 3
– Determine o circuito equivalente de Thévenin para a parte sombreada do circuito da 
Figura 12. Em seguida, determine a corrente em RL considerando que essa resistência 
tenha valores de 2 Ω, 10 Ω e 100 Ω.
Figura 12TEC 405 Circuitos Elétricos
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4. Teoremas de redes19/40
• Exemplo 3
– Os passos 1 e 2 levam ao circuito da figura 13.
Figura 13
TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos
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4. Teoremas de redes20/40
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• Exemplo 3
– Passo 3: Substituindo a fonte de tensão E1 por um curto-circuito, obtemos o circuito da 
figura 14, em que
Figura 14
TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos
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4. Teoremas de redes21/40
• Exemplo 3
– Passo 4: Introduza novamente a fonte de tensão, figura 15.
– Neste exemplo, a tensão de circuito aberto ETh é a mesma que a queda de tensão entre 
os terminais da resistência de 6 Ω. Aplicando divisor de tensão:
Figura 15
22
TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos
4. Teoremas de redes22/40
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• Exemplo 3
– Passo 5: figura 16.
– RL = 2 Ω⇒
– RL = 10 Ω⇒
– RL = 100 Ω⇒ Figura 16
23
TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos
4. Teoremas de redes23/40
• Teorema de Norton
– O circuito com fonte de corrente equivalente ao circuito de Thévenin, conforme Figura 
17, pode ser obtido com o teorema de Norton.
– O teorema de Norton afirma que:
– Qualquer circuito de corrente contínua linear bilateral de dois terminais pode ser 
substituído por um circuito equivalente formado por uma fonte de corrente e um 
resistor em paralelo.
Figura 17
24
TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos
4. Teoremas de redes24/40
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25
• Teorema de Norton
– Passos preliminares:
• 1. Separe a parte do circuito para a qual deseja obter o equivalente de Norton.
• 2. Assinale os dois terminais do circuito remanescente.
– RN:
• 3. Para calcular RN, coloque todas as fontes em zero e em seguida determine a resistência 
equivalente entre os dois terminais assinalados. Talvez seja necessário redesenhar o circuito.
– IN:
• 4. Para calcular IN, retorne todas as fontes às suas posições originais e em seguida determine a 
corrente de curto circuito entre os dois terminais assinalados.
TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos
4. Teoremas de redes25/40
• Teorema de Norton
– Conclusão:
5. Desenhe o circuito equivalente de Norton e recoloque entre os terminais do circuito equivalente à 
parte que foi previamente removida
26
TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos
4. Teoremas de redes26/40
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• Exemplo 4
– Determine o circuito equivalente de Norton para a parte sombreada do circuito 
mostrada na figura 19.
Figura 19
27
TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos
4. Teoremas de redes27/40
• Exemplo 4
– Os passos 1 e 2 são mostrados na figura 20
Figura 20
28
TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos
4. Teoremas de redes28/40
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• Exemplo 4
– O passo 3 é mostrado na figura 21
Figura 21
29
TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos
4. Teoremas de redes29/40
• Exemplo 4
– O passo 4 é mostrado na figura 22 indicando claramente que o curto-circuito entre os 
terminais a e b está em paralelo com R2, eliminando qualquer efeito desta resistência.
– Portanto, IN é a corrente que atravessa R1, e toda tensão da bateria aparece entre os 
terminais de R1, já que:
30
Figura 22
TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos
4. Teoremas de redes30/40
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• Exemplo 4
– Passo 5: Veja a figura 23. Este circuito é o mesmo no qual aplicamos o Teorema de 
Thévenin inicialmente.
– Uma simples conversão indica que os circuitos de Thévenin são, de fato, os mesmos.
Figura 23
31
TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos
4. Teoremas de redes31/40
� Teorema de Norton
– Podemos fazer a conversão de fontes que são equivalentes somente no que se refere 
aos seus terminais exteriores.
– Desejamos a equivalência para assegurar que a carga aplicada às fontes mostradas nas 
figuras 24 e 25 recebam a mesma corrente, tensão e potência dos dois tipos de fonte.
– Na figura 24, a corrente na carga 
– Se multiplicarmos e dividirmos por RS :
Figura 24
Figura 25
32
(1)
TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos
4. Teoremas de redes32/40
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� Teorema de Norton
– Se definirmos I = E/RS, a equação (1) é a mesma que obtemos aplicando a regra dos 
divisores de corrente ao circuito mostrado na figura 25.
– O resultado é uma equivalência entre os circuitos das figuras 24 e 25 que requer 
simplesmente que I = E/RS e que o resistor em série RS da figura 24 seja colocado em 
paralelo, como mostra a figura 25.
– Na figura 26 estão os terminais:
33
Figura 26
TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos
4. Teoremas de redes33/40
• Exemplo 5
Figura 27
34
TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos
4. Teoremas de redes34/40
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� Teorema da Máxima Transferência de Potência
– A potência transferida a uma carga por um circuito de corrente contínua linear será 
máxima quando a resistência desta carga for exatamente igual à resistência de Thévenin 
do circuito ligado a esta carga.
– Analisando os circuitos equivalentes pode-se determinar a equação da potência 
fornecida para a carga:
Figura 28
TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos
4. Teoremas de redes35/40
� Teorema da Máxima Transferência de Potência
– Eficiência de operação: razão entre a potência dissipada pela carga e a potência 
fornecida pela fonte:
– Para PL máxima, 
(metade da potência fornecida é entregue a carga)
TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos
4. Teoremas de redes36/40
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� Teorema da Máxima Transferência de Potência
– Para um circuito que tenha Eth = 10V, Rth = 5Ω, e uma resistencia de carga RL variável 
de 0 a 10 Ω, vamos esboçar os gráficos de VL, IL e PL como função de RL:
RL (Ω) VL (V) IL (A) PL (w)
0 0,000 2,000 0,000
1 1,667 1,667 2,778
2 2,857 1,429 4,082
3 3,750 1,250 4,688
4 4,444 1,111 4,938
5 5,000 1,000 5,000
6 5,455 0,909 4,959
7 5,833 0,833 4,861
8 6,154 0,769 4,734
9 6,429 0,714 4,592
10 6,667 0,667 4,444 0,000
0,500
1,000
1,500
2,000
2,500
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
RL
IL
Figura 29
TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos
4. Teoremas de redes37/40
� Teorema da Máxima Transferência de Potência
– Para um circuito que tenha Eth = 10V, Rth = 5Ω, e uma resistencia de carga RL variável 
de 0 a 10 Ω, vamos esboçar os gráficos de VL, IL e PL como função de RL:
RL (Ω) VL (V) IL (A) PL (w)
0 0,000 2,000 0,000
1 1,667 1,667 2,778
2 2,857 1,429 4,082
3 3,750 1,250 4,688
4 4,444 1,111 4,938
5 5,000 1,000 5,000
6 5,455 0,909 4,959
7 5,833 0,833 4,861
8 6,154 0,769 4,734
9 6,429 0,714 4,592
10 6,667 0,667 4,444 0,000
1,000
2,000
3,000
4,000
5,000
6,000
7,000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
RL
VL
Figura 30
TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos
4. Teoremas de redes38/40
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20
� Teorema da Máxima Transferência de Potência
– Para um circuito que tenha Eth = 10V, Rth = 5Ω, e uma resistência de carga RL variável 
de 0 a 10 Ω, vamos esboçar os gráficos de VL, IL e PL como função de RL:
RL (Ω) VL (V) IL (A) PL (w)
0 0,000 2,000 0,000
1 1,667 1,667 2,778
2 2,857 1,429 4,082
3 3,750 1,250 4,688
4 4,444 1,111 4,938
5 5,000 1,000 5,000
6 5,455 0,909 4,959
7 5,833 0,833 4,861
8 6,154 0,769 4,734
9 6,429 0,714 4,592
10 6,667 0,667 4,444
RL
PL
0,000
1,000
2,000
3,000
4,000
5,000
6,000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
PL (w)
Figura 31
TEC 500 Circuitos Elétricose Eletrônicos
4. Teoremas de redes39/40
� Teorema da Máxima Transferência de Potência
– Para um circuito que tenha Eth = 10V, Rth = 5Ω, e uma resistência de carga RL variável 
de 0 a 10 Ω, vamos esboçar os gráficos de VL, IL e PL como função de RL:
40
RL (Ω) VL (V) IL (A) PL (w)
0 0,000 2,000 0,000
1 1,667 1,667 2,778
2 2,857 1,429 4,082
3 3,750 1,250 4,688
4 4,444 1,111 4,938
5 5,000 1,000 5,000
6 5,455 0,909 4,959
7 5,833 0,833 4,861
8 6,154 0,769 4,734
9 6,429 0,714 4,592
10 6,667 0,667 4,444
0,00
2,78
4,08
4,69
4,94 5,00 4,96 4,86 4,73 4,59 4,44
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
T
e
n
sã
o
 (
V
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 C
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rr
e
n
te
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A
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a
 (
W
) 
n
a
 C
a
rg
a
ResisTência RL (ohms)
VL (V)
IL (A)
PL (w)
Figura 32TEC 500 Circuitos Elétricos e Eletrônicos
4. Teoremas de redes40/40