ATPS Calculo III

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ETAPA 3
Passo 1
Calculando áreas com uma curva
Para calcularmos áreas de figuras como um quadrado, triângulos, retângulo, trapézios, losangos basta relacionarmos os figuras as formulas matemáticas e realizarmos os cálculos. Já nas regiões existentes sob uma curva é necessário que utilizemos as noções de Integração. 
Uma curva pode ser representada algebricamente através de uma função. A integral de uma função serve para determinar áreas sob uma curva em um plano cartesiano. 
Observe a figura a seguir:
Temos uma área chamada de “S” e para calcular a mesma iremos utilizar a integral de uma função f na variável x, contida no intervalo entre a e b.
A expressão acima tem como ideia principal dividir a área demarcada em infinitos retângulos, a integral f(x) representa a soma dos retângulos formados por altura f(x) e base dx, sendo o produto de f(x) por dx a área de cada retângulo, a soma dos retângulos é a área total da superfície sob a curva.
Após a resolução da integral no intervalo a e b teremos a expressão a seguir.
Exemplo:
Expressão: f(x) = -x² + 4, no intervalo [-2,2].
Determine a área usando a seguinte regra de integração.
A área delimitada pela função f(x) = -x²+4, entre o intervalo -2 a 2 é 10,6 unidades de área. 
Calculando áreas com duas curvas ou mais
A integral definida também pode ser utilizada para calcular área entre duas curvas ou mais, que estejam no mesmo plano cartesiano. Temos duas funções f(x) e g(x), em um intervalo [a,b], sendo f(x) ≥ g(x) para um intervalo a ≤ x ≤ b. Podemos utilizar a seguinte formula para calcular a área limitada.
Particularmente se ambas funções f(x) e g(x) estiverem acima do eixo x, a formula representa a diferença da área entre a função superior e o eixo e também da função inferior e o eixo. È fundamental termos os valores de a e b para calcularmos a integral definida, muitas vezes podem ser somente dadas às leis das funções, como no caso a cima f(x) ≥ g(x), neste caso f(x) está acima da função g(x) e pode ser que venham a se interseccionar e é dessa intersecção que vamos tirar os limites laterais da nossa área.
Temos que encontrar os limites, para isso precisaram igualar as funções. Caso as mesmas estejam em função da mesma variável, Por exemplo, y = x² e y = x + 6, só precisamos igualar as funções x² = x + 6, ou seja x² - x - = 0, resolvendo a equação teremos x = 2 e x = 3, sendo respectivamente a e b. No entanto podemos ter cada função e função de uma variável, vamos ilustrar com um exemplo: Calcular a área por cima y = x +6 e abaixo por y = x² e nas laterais x = 0 e x = 2. Na primeira parte vamos entender y = x + 6 na segunda, a área de y = x2 (lembre-se de que a integral calcula a área entre o gráfico e o eixo x) e na terceira a área da primeira função limitada pela segunda:
Assim, para obtermos o resultado desejado, basta fazer:
Obs: Substituir em x os valores [2 e 0].
Passo 2
Podemos afirmar que:
Alternativa (C) (I) é verdadeiro e (II) é falso, é a correta.
Passo 3
Figura 1
Figura 2
Com base nos cálculos acima podemos afirmar que S1 é verdadeiro e S2 é falso, sendo assim a alternativa (C) a alternativa correta.
Etapa 4
Passo 1
Conceitos de cálculo do volume de um sólido de revolução.
Dentro da ciência física o volume de um sólida desempenha um importante papel, como determinação de centro de massa e de momento de inércia entre outros. É chamado de sólido de revolução o sólido obtido quando há a rotação de uma região plana em torno de uma reta do plano, a qual chamamos de eixo de revolução.
Formula: 
 Para calcularmos o volume dos sólidos de revolução, utilizaremos os métodos abaixo:
1º Método do disco circular
Como podemos ver na figura a baixo, é usado quando o eixo de rotação é parte da fronteira da área.
2º Método do anéis circulares ou arruelas
Observe na figura abaixo, é usado quando o eixo de revolução não faz parte da área plana.
3º Método de casca 
No método da casca é definida uma casca de espessura dx (ou dy), para que a mesma tenha uma revolução em torno do eixo x ( ou y), determinamos o volume da casca e integra-se.
Observe a figura a baixo.
História do surgimento das desta forma de calcular o volume de um sólido de revolução.
Em meados do século XVII, começaram a aparecer muitos problemas envolvendo curvas, entre as duvidas que estavam surgindo era como encontrar uma reta tangente a uma curva dada e problemas de quadratura. Temos três problemas clássicos na geométrica grega e uma deles é a quadratura do círculo, consiste na obtenção de uma sequência finita de construções geométricas usando régua não graduada e compasso que possibilite obter um quadrado de mesma área a partir de um circulo. No século XVII Newton e Leibniz deram uma atenção maior há geometria analítica, considerados os inventores do cálculo o problema da quadratura assumiu um caráter mais geral, busca pela obtenção de medidas de áreas entre curvas. Problema que está relacionado diretamente ao conceito de integração que por sua vez parte do conceito de derivação.
Passo 2 
Desafio A
Desafio B
Sequencia de números encontrados desde a Etapa 1 até a Etapa 4
Resposta: 
Etapa 1: A sequência dos números encontrados é, 3019.
Etapa 2: A sequência dos números encontrados é, 4.
Etapa 3: A sequência dos números encontrados é, 8.
Etapa 4: A sequência dos números encontrados é, 45.