Seção 15_9_S

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SEÇÃO 15.9 INTEGRAIS TRIPLAS EM COORDENADAS ESFÉRICAS  3
 1. x = 2 sen 3pi4 cos
pi
2 = 0, y = 2 sen
3pi
4 sen
pi
2 = 2 e
z = 2 cos 3pi4 = − 2 , então o ponto é 0, 2,− 2 .
 2. x = 4 sen pi6 cos
pi
4 = 4
1
2
1
2 = 2,
y = 4 sen pi6 sen
pi
4 = 2 e z = 4 cos
pi
6 = 4
3
2 = 2 3,
então o ponto é 2, 2, 2 3 .
 3. x = 2 sen pi4 cos
pi
4 = 1, y = 2 sen
pi
4 sen
pi
4 = 1 e
z = 2 cos pi4 = 2, então o ponto é 1,1, 2 nas
coordenadas retangulares..
 4. ρ = 9+ 0+ 0 = 3, cos φ = 03 = 0, então φ =
pi
2 , e
cos θ = −3
3 sen pi2
= −1, logo θ = pi, assim as coordenadas
esféricas são 3, pi, pi2 .
 5. ρ = 1+ 1+ 2 = 2, cos φ =
2
2
 então, φ = pi4 , e
cos θ = 1
2 sen pi4
=
1
2
, assim θ = pi4 , logo, em coordenadas
esféricas, o ponto é 2, pi4 ,
pi
4 .
 6. ρ = 3+ 1 = 2, cos φ = 12 , então φ =
pi
3 , e
cos θ = 3
2 sen pi3
=
3 · 2
2 · 3
= 1, assim, θ = 0 e
o ponto é 2,0, pi3 em coordenadas esféricas.
 Observação: Parece, também, que θ = 0, uma vez que 
o ponto está no plano xz e x > 0.
 7. ρ = 3+ 9+ 4 = 4, cos φ = − 24 = −
1
2 , então φ =
2pi
3 , e
cos θ = − 3
4 sen 5pi6
= −
3 · 2
4 · 3
= − 12 e y = −3, logo
θ = 4pi3 . Assim, em coordenadas esféricas, o ponto é
4, 4pi3 ,
2pi
3 .
 8. ρ = x 2 + y2 + z 2 = r2 + z 2 = 2+ 0 = 2; θ = pi4 ;
z = ρ cos φ = 2 cos φ = 0, então φ = pi2 e o ponto é
2, pi4 ,
pi
2 .
 9. ρ = r2 + z 2 = 1+ 1 = 2, z = 1 = 2 cos φ, então
φ = pi4 , θ =
pi
2 e o ponto é 2,
pi
2 ,
pi
4 .
 10. ρ = r2 + z 2 = 42 + 42 = 4 2; θ = pi3 ;
z = 4 = 4 2 cos φ, então cos φ = 12 ⇒ φ =
pi
4 e o
ponto é 4 2, pi3 ,
pi
4 .
 11. ρ = r2 + z 2 = 122 + 52 = 13, z = 5 = 13 cos φ, então
φ = cos− 1 513 , θ = pi e o ponto é 13, pi, cos
− 1 5
13 .
 12. ρ2 = x 2 + y2 + z 2 , então ρ2 = 16 ouρ = 4.
 13. x 2 + y2 − z 2 = x 2 + y2 + z 2 − 2z 2 , agora
ρ2 − 2ρ2 cos2 φ = 16 ou ρ2 1 − 2 cos2 φ = 16.
 14. ρ senφ cos θ + 2ρ senφ senθ + 3ρ cos φ = 6 ou
ρ (senφ cos θ + 2senφ senθ + 3cos φ) = 6.
 15. ρ2 sen2 φ cos2 θ + ρ2 sen2 φ sen2 θ = 2ρ cos φ ou
ρ2 sen2 φ = 2ρ cos φ ouρ sen2 φ = 2 cos φ.
 16. A região de integração é dada em coordenadas esféricas por 
 Ε = (ρ, θ, φ) | 0 ≤ ρ ≤ 1,0 ≤ θ ≤
pi
2 ,0 ≤ φ ≤
pi
2 . 
 Então E é o sólido no primeiro octante limitado pela esfera 
 r = x2 + y2 + z2 = 1 e os três planos coordenados.
 
pi/ 2
0
pi/2
0
1
0 ρ
2 sen φ dρ dθ dφ
= pi/20
pi/2
0
1
3 ρ
3 senφ ρ=1ρ=0 dθ dφ
= pi/20
pi/2
0
1
3 sen φ dθ dφ =
pi/2
0
1
3 sen φ [θ]
θ= pi/2
θ=0 dφ
= 13
pi/2
0
pi
2 sen φ dφ =
pi
6 [− cos φ]
pi/2
0 =
pi
6
 17. A região de integração é dada em coordenadas esféricas por 
 Ε = (ρ, θ, φ) | 0 ≤ θ ≤ 2pi, 0 ≤ φ ≤
pi
3 ,0 ≤ ρ ≤ sec φ .
 Uma vez que r = sec φ é equivalente a r cos φ = z = 1, 
 E é o sólido limitado pelo cone φ = pi3 e pelo plano z = 1.
 
pi/ 3
0
2pi
0
secφ
0 ρ
2 sen
(ou z = 1)
φ dρ dθ dφ
= pi/ 30
2pi
0
1
3 ρ
3 sen φ ρ=sec φρ=0 dθ dφ
=
1
3
pi/ 3
0
2pi
0
sen φ
cos3 φ
dθ dφ
= 2pi3
pi/ 3
0 tg φ sec
2 φ dφ = 2pi3
1
2 tg
2 φ pi/ 30 = pi
 
15.9 SOLUÇÕES Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins – IMECC – Unicamp
4  SEÇÃO 15.9 INTEGRAIS TRIPLAS EM COORDENADAS ESFÉRICAS
 18. E xe
(x 2 + y 2 + z 2 )2 dV
= pi/20
pi/ 2
0
2
1 (ρsen φ cos θ) e
ρ4 ρ2 senφ dρ dφ dθ
= pi/20 cos θ dθ
pi/2
0 sen
2 φ dφ 21 ρ
3eρ
4
dρ
= [senθ]pi/ 20
1
2 φ −
1
4 sen 2φ
pi/2
0
1
4 e
ρ4
2
1
= (1) pi4
1
4 e
16 − e = 116 pi e
16 − e
 19. E x 2 + y2 + z 2 dV
= 2pi0
pi/6
0
2
0 (ρ) ρ
2sen φ dρ dφ dθ
= 2pi0 dθ
pi/6
0 senφ dφ
2
0 ρ
3 dρ
= [θ]2pi0 [− cos φ]
pi/6
0
1
4 ρ
4 2
0 = (2pi) 1 −
3
2 (4)
= 8pi 1 − 32 = 4pi 2 − 3
 20. E x
2 dV = 2pi0
pi/ 4
0
3
1 ρ
4 sen3 φ cos2 θ dρ dφ dθ
= 2pi0 cos
2 θ dθ pi/ 40 sen
3 φ dφ 31 ρ
4 dρ
= pi − cos φ + 13 cos
3 φ pi/ 40
1
5 ρ
5 3
1
= pi 8− 5 212
242
5 = 121pi
8− 5 2
30
 21. Pela simetria do problema Myz = Mxz = 0. Então
 
Mxy = 2pi0
pi/ 3
0
4 cos φ
0 ρ
3 cos φ senφ dρ dφ dθ
= 2pi0
pi/ 3
0 cos φ senφ 64 cos
4 φ dφ dθ
= 2pi0 64 −
1
6 cos
6 φ φ= pi/ 3φ=0 dθ =
2pi
0
21
2 dθ = 21pi
Portanto (x, y, z ) = (0, 0, 2.1).