Provas anteriores - Prof Marcio Adames - P1 S71

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Primeira prova de Ca´lculo 3
1) (Peso 1,0) Determine o comprimento da curva com equac¸a˜o vetorial
r(t) = (4cost, 4sint, 3t), 0 ≤ t ≤ 4.
2) (Peso 1,5) Calcule a integral de linha,∫
C
F · dr.
onde F(x, y, z) = −xi + yj + 0k e C e´ a curva parametrizada por r(t) = (cos(t), sen(t), 2t),
0 ≤ t ≤ pi/2.
3) (Peso 1,5) Mostre que o campo vetorial
F(x, y, z) = (yz, xz, xy + picos(piz))
e´ conservativo, determine uma func¸a˜o potencial deste campo e use-a para calcular
∫
C
F · dr
onde C e´ o segmento que liga o ponto (1, 0,−2) ao ponto (4, 6, 3).
4) (Peso 1,5) Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha∫
C
(
y + ln(4
√
x)
)
dx+
(
2x+ cotgy2
)
dy,
onde C e´ a fronteira da regia˜o englobada pelas para´bolas y = x2 e x = y2 orientada positiva-
mente.
5) (Peso 1,5) Calcule ∫∫
S
rotF · dS
onde F(x, y, z) = (2ycos(z), exsen(z), xey) e S e´ o hemisfe´rio x2 + y2 + z2 = 4, z ≥ 0 com
orientac¸a˜o para cima.
6) (Peso 1,5) Calcule o fluxo de F = exsen(y)i− excos(y)j + yx2k atrave´s da superf´ıcie do
so´lido limitado pelos planos x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0 e z = 2.
7) (Peso 1,5) Dado o campo vetorial F (x, y, z) = xi+yj+2zk e dada a superf´ıcie S definida
como a parte do gra´fico da func¸a˜o z = 4 − x2 − y2 que esta´ sobre o quadrado 0 ≤ x ≤ 1,
0 ≤ y ≤ 1, calcule ∫∫
S
F · dS.