Séries de Taylor e Maclaurin

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UTFPR � MA73A � Turma S23 � Prova 2 � 07/12/2022
1. Encontre a série de Taylor de f(x) = ln
√
x centrada em a = 1 e seu intervalo de convergência.
n f (n)(x) f (n)(1)
0 ln
√
x 0
1 1/(2x) 0!/2
2 −1/(2x2) −1!/2
3 2/(2x3) 2!/2
4 −6/(2x4) −3!/2
...
...
...
T (x) =
0!/2
1!
(x− 1)− 1!/2
2!
(x− 1)2 +
2!/2
3!
(x− 1)3 − 3!/2
4!
(x− 1)4 + · · ·
=
x− 1
2
− (x− 1)2
4
+
(x− 1)3
6
− (x− 1)4
8
+ · · ·
Logo, a série de Taylor é : T (x) =
∞∑
n=1
(−1)n+1 (x− 1)n
2n
.
Se an = (−1)n+1 (x− 1)n
2n
, então lim
n→∞
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = lim
n→∞
∣∣∣∣(x− 1)n+1
2n+ 2
· 2n
(x− 1)n
∣∣∣∣ = |x − 1|. Pelo teste da
razão, a série converge quando |x− 1| < 1 ⇔ −1 < x− 1 < 1 ⇔ 0 < x < 2. Para x = 0,
∞∑
n=1
− 1
2n
é
divergente e para x = 2,
∞∑
n=1
(−1)n+1
2n
é convergente. Logo, o intervalo de convergência é : I = (0, 2].
2. Determine o coe�ciente de x2022 na série de Maclaurin de
∫
x cosx10 dx.
cosx =
∞∑
n=0
(−1)n
x2n
(2n)!
⇒ cosx10 =
∞∑
n=0
(−1)n
x20n
(2n)!
⇒ x cosx10 =
∞∑
n=0
(−1)n
x20n+1
(2n)!
⇒
∫
x cosx10 dx = C +
∞∑
n=0
(−1)n
x20n+2
(20n+ 2) · (2n)!
= C +
x2
2
− x22
22 · 2!
+
x42
42 · 4!
− x62
62 · 6!
+ · · · .
Logo, para n = 101, o coe�ciente de x2022 é : − 1
2022 · 202!
.
3. Usando as condições de Cauchy-Riemann, mostre que a função f(z) = z2022 é analítica para todo z.
f(z) = r2022(cos 2022θ + i sen 2022θ) ⇒ u = r2022 cos 2022θ e v = r2022 sen 2022θ.
As funções u, v e suas derivadas parciais são contínuas e
∂u
∂r
= 2022r2021 cos 2022θ =
1
r
· ∂v
∂θ
e
∂v
∂r
= 2022r2021 sen 2022θ = −1
r
· ∂u
∂θ
para todo z. Logo, pelas condições de Cauchy-Riemann na forma polar, a função f é analítica.
4. Calcule
∮
C1
iz
1− 2z
dz +
∫
C2
Im(z) dz, onde C1 é dada por |z| = 2, com sentido anti-horário e C2 é o
caminho mais curto de 5 até 3 + 2i.
Pela Fórmula Integral de Cauchy:∮
C1
iz
1− 2z
dz =
∮
C1
−iz/2
z − 1/2
dz = 2πi (−iz/2)
∣∣∣
z=
1
2
=
π
2
,
pois o ponto z0 =
1
2
está no interior de C1 e a função f(z) = −iz
2
é analítica para todo z.
A curva C2 é dada por z(t) = 5− 2t+ 2ti, 0 ≤ t ≤ 1. Pela de�nição:∫
C
Im(z) dz =
∫ 1
0
Im(5− 2t+ 2ti)(5− 2t+ 2ti)′ dt =
∫ 1
0
(2t)(−2 + 2i) dt = −2 + 2i.
Logo,
∮
C1
iz
1− 2z
dz +
∫
C2
Im(z) dz =
π
2
− 2 + 2i.