aula_EME_13_-_Circuitos_RL_RC_-_110910

Prévia do material em texto

12/9/2011
1
Correntes Alternadas Senoidais
Circuitos RL e RC
Estudar capítulo 5 
do livro-texto.
Tópicos
• Geração de uma f.e.m. senoidal
• Conceitos fundamentais
– Valor instantâneo, valor eficaz, frequência, período
• Circuito R (resistivo): conceito de defasagem
• Circuito L: conceito de reatância indutiva
• Circuito C: conceito de reatância capacitiva
• Circuito RL : conceito de impedância indutiva
• Circuito RC: conceito de impedância capacitiva
12/9/2011
2
Circuito RL-série
• Considere uma tensão 
alternada senoidal v(t) 
aplicada a um circuito série 
RL (resistor-indutor)
• Uma corrente alternada senoidal i(t), de mesma 
frequência, circulará pela malha
• Para uma corrente senoidal i(t) = Imax sen (ω t), 
podemos escrever as tensões vR(t) e vL(t) entre os 
terminais do resistor e do indutor, respectivamente, 
e, por Kirchhoff, v(t) = vR(t)+vL(t).
i(t)
R
~
+
-
v (t) L
+
–
vL(t)
+ –
vR(t)
Tensões no Circuito RL-série
)cos()()( max tIXdt
tdiLtv LL ω==
)(sen)()( max tRItRitvR ω==
)cos()(sen)()()( maxmax tIXtRItvtvtv LLR ωω +=+=
Circuito RL-série – tensão e corrente
• Chamando R=Zcosϕ e XL=Zsenϕ, temos: 
[ ])cos(sen)(sen cos)( max ttZItv ωϕωϕ +=
)(sen)( max ϕω += tZItv
• Ou seja, a tensão de pico Vmax é ZImax, e a 
tensão instantânea v(t) está adiantada em 
relação à corrente i(t) de um ângulo ϕ
12/9/2011
3
O triângulo de impedância
• A grandeza Z é chamada impedância, e é 
medida em ohms (Ω)
• Observe o triângulo retângulo abaixo:
• senϕ =
• cosϕ =
• tgϕ =
• ϕ = atan(XL/R) = tg-1(XL/R) 
R=Zcosϕϕϕϕ
XL=Zsenϕϕϕϕ
Z
ϕϕϕϕ
22
LXRZ +=
Circuito RL-série – resumo
• A corrente alternada um circuito RL-série:
– É uma função senoidal no tempo, com a mesma 
freqüência da tensão aplicada;
– Tem um valor Imax = Vmax/Z, com Z
2=R2+XL
2. 
Z é chamada impedância indutiva da associação 
RL-série na freqüência angular ω. A impedância é 
medida em ohms. Observe que Imax depende da 
freqüência da tensão aplicada, via XL;
– Está atrasada (defasada) no tempo em relação à 
tensão nos terminais da associação RL-série de um 
ângulo ϕ entre 0° e 90°.
Potência instantânea no circuito RL
• A potência instantânea p(t) entregue pela fonte de 
tensão ao circuito RL-série é p(t)=v(t)i(t):
• Das identidades trigonométricas, tiramos:
( )ϕωω −= tItVtp sen)(sen)( maxmax
( ) ( )[ ]ϕωϕ −−= tIVtp 2coscos
2
)( maxmax
( ) ( )[ ]ϕωϕ −−= tIVtp 2coscos)( efef
12/9/2011
4
Potência ativa no circuito RL-série
• A potência média P = <p(t)> entregue pela fonte de 
tensão ao circuito RL-série é:
• Está é a potência ativa efetivamente dissipada pelo 
circuito RL, e é medida em watts [W].
• Observe que esta potência é toda dissipada no 
resistor R, pois
ϕcosefef IVP =
2
ef
2
efefef cos RIZIPZIV ==∴= ϕ
Potência reativa
• A potência reativa no indutor é dada por 
• É medida em VAR (volt-ampère reativo), e 
corresponde à potência entregue pela fonte ao 
campo magnético do indutor durante ¼ do período, 
e que é devolvida ao circuito ao longo do próximo ¼ 
de período.
• Observe que Vefsenϕ é a tensão eficaz nos terminais do indutor, e 
portanto QL é o produto da tensão eficaz no indutor pela corrente 
eficaz no indutor (como esperado). Prove!
ϕsen efef2ef IVIXQ LL ==
Fator de Potência e Potência Aparente
• O produto VefIef chama-se potência aparente:
e é medido em VA (volt-ampère)
• cosϕϕϕϕ é chamado fator de potência, e é a 
relação entre a potência aparente S e a 
potência efetivamente dissipada P:
efef IVS =
ϕϕ coscos efef IVSP ==
12/9/2011
5
O Triângulo de Potências
• Podemos desenhar um triângulo retângulo 
semelhante ao triângulo de impedância:
• senϕ =
• cosϕ =
• tgϕ =
22
LQPS +=
P=Scosϕϕϕϕ
QL=Ssenϕϕϕϕ
S
ϕϕϕϕ
x Ief2
R=Zcosϕϕϕϕ
XL=Zsenϕϕϕϕ
Z
ϕϕϕϕ
2
ef
2
ef
2
ef IXQRIPZIS LL ===
Circuito RL: tensão e corrente
• Exercício 5.5: A potência consumida por um 
circuito RL é 1000 W. A potência reativa é 
800VAR. Pede-se:
– A potência aparente;
– O fator de potência;
– A impedância, se Ief=20A;
– A resistência e a reatância indutiva;
– Faça um gráfico esboçando a variação de v(t) e de 
i(t) em função do tempo t, bem como da potência 
instantânea, mostrando um período do ciclo 
senoidal. Assuma v(t)=Vmaxsen(377t)
i(t)
R
~
+
-
v (t) L
+
–
vL(t)
+ –
vR(t)
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
0,00 4,17 8,33 12,50 16,67
v
(t
) 
[V
] 
e
 i
(t
) 
[A
]
t [ms]
v (t) 
i(t) 
Circuito RL: v(t) e i(t) defasadas
Corrente atrasada de um 
ângulo entre 0° e 90° em 
relação à tensão
12/9/2011
6
Circuito RL: potência instantânea
-2500
-2000
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
0,00 4,17 8,33 12,50 16,67 p
(t
) 
 [
W
]
v
(t
) 
 [
V
] 
 
&
 
 i
(t
) 
 [
A
]
t [ms]
v (t) 
i(t) 
p(t)
Circuito RL: potência instantânea
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
0,00 4,17 8,33 12,50 16,67
p
(t
) 
 [
W
]
t [ms]
12/9/2011
7
Circuito RC-série
• Considere, agora, uma 
tensão alternada senoidal 
v(t) aplicada a um circuito 
série RC (resistor-capacitor)
• Uma corrente alternada senoidal i(t), de mesma 
frequência, circulará pela malha
• Para uma corrente senoidal i(t) = Imax sen (ω t), 
podemos escrever as tensões vR(t) e vC(t) entre os 
terminais do resistor e do capacitor, 
respectivamente, e, por Kirchhoff, v(t) = vR(t)+vC(t).
i(t)
R
~
+
-
v (t) C
+
–
vC(t)
+ –
vR(t)
Tensões no Circuito RC-série
)(cos )90(sen )( maxmax tIXtIXtv CCC ωω −=°−=
)(sen)()( max tRItRitvR ω==
)cos()(sen)()()( maxmax tIXtRItvtvtv CCR ωω −=+=
• Vemos que esta expressão é semelhante àquela 
obtida para um circuito RL-série.
Circuito RC-série – tensão e corrente
• Devido a essa semelhança, procuraremos 
escrevê-la da mesma maneira lá utilizada:
• ou seja, a tensão de pico Vmax é ZImax, e a 
tensão instantânea v(t) está adiantada em 
relação à corrente i(t) de um ângulo ϕ
• Desenvolvendo o seno da soma:
[ ])cos(sen)(sen cos)( max ttZItv ωϕωϕ +=
)(sen)( max ϕω += tZItv
12/9/2011
8
Circuito RC-série – tensão e corrente
• Comparando as 2 expressões, temos:
• R = Zcosϕ
• XC = -Zsenϕ
• Consequentemente, 
• tanϕ = -XC /R é negativa
• ϕ = atan(-XC /R) é um ângulo entre 0° e -90°
• Na verdade, a tensão no circuito RC está 
adiantada de um ângulo negativo ϕ, ou seja, 
atrasada de um ângulo positivo -ϕ. 
(Corrija este ponto no seu livro-texto.)
O triângulo de impedância
• A grandeza Z é chamada impedância, e é 
medida em ohms (Ω).
• Observe o triângulo retângulo abaixo:
• senϕ =
• cosϕ =
• tgϕ =
• ϕ = atan(-XC/R) = tg-1(-XC/R) 
22
CXRZ +=
R
XC
Z
ϕϕϕϕ
Circuito RC-série – resumo
• A corrente alternada um circuito RC-série:
– É uma função senoidal no tempo, com a mesma 
freqüência da tensão aplicada;
– Tem um valor Imax = Vmax/Z, com Z
2=R2+XC
2. 
Z é chamada impedância capacitiva da associação 
RC-série na freqüência angular ω. A impedância é 
medida em ohms. Observe que Imax depende da 
freqüência da tensão aplicada, via XC;
– Está adiantada (defasada) no tempo em relação à 
tensão nos terminais da associação RC-série de 
um ângulo (-ϕ) entre 0° e 90°.
12/9/2011
9
Potência instantânea no circuito RC
• A potência instantânea p(t) entregue pela fonte de 
tensão ao circuito RC-série é p(t)=v(t)i(t):
• Das identidades trigonométricas, tiramos:
( )ϕωω −= tItVtp sen)(sen)( maxmax
( ) ( )[ ]ϕωϕ −−= tIVtp 2coscos2
)( maxmax
( ) ( )[ ]ϕωϕ −−= tIVtp 2coscos)( efef
Potência ativa no circuito RC-série
• A potência média P = <p(t)> entregue pela fonte de 
tensão ao circuito RC-série é:
• Está é a potência ativa efetivamente dissipada pelo 
circuito RC, e é medida em watts [W].
– Observe que P>0, pois cosϕ é positivo entre 0° e -90°.
• Observe também que esta potência é toda dissipada 
no resistor R, pois
ϕcosefef IVP =
2
ef
2
efefef cos RIZIPZIV ==∴= ϕ
Potência reativa
• A potência reativa no capacitor é dada por 
• É medida em VAR (volt-ampère reativo), e 
corresponde à potência entregue pela fonte ao 
campo elétrico no capacitor durante ¼ do período, 
e que é devolvida ao circuito ao longo do próximo ¼ 
de período.
• Observe que Vefsenϕ é a tensão eficaz nos terminais do capacitor, e 
portanto QC é o produto da tensão eficaz no capacitor pela corrente 
eficaz no capacitor (como esperado). Prove!
ϕsen efef2ef IVIXQ CC ==
12/9/2011
10
Fator de Potência e Potência Aparente
• Da mesma maneira como no circuito RL, o 
produto VefIef chama-se potência aparente:
e é medido em VA (volt-ampère)
• cosϕϕϕϕ é chamado fator de potência, e é a 
relação entre a potência aparente S e a 
potência efetivamente dissipada P:
efef IVS =
ϕϕ coscos efef IVSP ==
O Triângulo de Potências
• Podemos desenhar um triângulo retângulo 
semelhante ao triângulo de impedância:
• senϕ =
• cosϕ =
• tgϕ =
22
CQPS +=
2
ef
2
ef
2
ef IXQRIPZIS CC ===
Z
XC
R
φ
S
QC
P
φ
x Ief2
Circuito RC: tensão e corrente
• Exercício 5.6: Uma tensão 100Vsen(314t) é aplicada a um 
circuito constituído da associação série de um resistor de 
5Ω com uma reatância capacitiva de 5Ω. Determinar:
– A impedância do circuito;
– A capacitância C
– A corrente instantânea;
– A corrente eficaz;
– O fator de potência;
– A potência ativa, potência reativa e potência aparente;
– Faça um gráfico esboçando a variação de v(t) e de i(t) em função 
do tempo t, bem como da potência instantânea, mostrando um 
período do ciclo senoidal.
i(t)
R
~
+
-
v (t) C
+
–
vC(t)
+ –
vR(t)
12/9/2011
11
Circuito RC: v(t) e i(t) defasadas
-150
-100
-50
0
50
100
150
0 5 10 15 20
v
(t
) 
[V
] 
e
 i
(t
) 
[A
]
t [ms]
v (t) 
i(t) 
Corrente adiantada de 
um ângulo entre 0° e 90°
em relação à tensão
Circuito RC: potência instantânea
-2500
-2000
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
-150
-100
-50
0
50
100
150
0 5 10 15 20 p
(t
) 
 [
W
]
v
(t
) 
 [
V
] 
 
&
 
 i
(t
) 
 [
A
]
t [ms]
v (t) 
i(t) 
p(t)
Circuito RC: potência instantânea
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
0 5 10 15 20
p
(t
) 
 [
W
]
t [ms]