Produto escalar, vetorial e misto - Geometria Analítica

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MMóódduulloo 0033 –– PPrroodduuttoo EEssccaallaarr ee PPrroojjeeççõõeess,, PPrroodduuttooss VVeettoorriiaall ee MMiissttoo 
 
EEFFBB110022 –– GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
 
MÓDULO 03 – PRODUTO ESCALAR E PROJEÇÕES, PRODUTOS 
VETORIAL E MISTO 
 
 
1. Produto Escalar e Projeções 
 
1.1 Definição 
 
Definição: Sejam 
 1 1 1
T
u x y z
 e 
 2 2 2
T
v x y z
 vetores do espaço geométrico tridimensional. 
O produto escalar de 
u
 por 
v
 é o número real 
 
2
1 2 1 2 1 2 1 1 1 2
2
T
x
u v x x y y z z x y z y u v
z
 
      
 
  
 
 
 
Observação: Na Álgebra Linear, a definição fornecida para o produto escalar é extensível a espaços 
n-dimensionais. De fato, sejam os vetores 
 
 1 2
T
nu u u u
 e 
 1 2
T
nv v v v
 do n . 
 
Então: 
1 1 2 2
T
n nu v u v u v u v u v     
. (*) 
 
Propriedades: Para quaisquer vetores 
u
, 
v
 e 
w
 e qualquer 
 
 valem as propriedades: 
a) 
u v v u  
 
b) 
     u v u v u v      
 
c) 
 u v w u v u w     
 
d) 
22 2 2
1 1 1u u x y z u    
, ou seja, 
u u u 
 
e) 
0 0u u u   
 
 
1.2 Ângulo entre Vetores 
 
Definição: O ângulo 

 entre os vetores não-nulos 
u
 e 
v
, com 
0   
, é o ângulo formado pelos 
representantes dos vetores 
u
 e 
v
 construídos a partir de uma origem comum O. 
 u
v O
u
v
 
lê-se “
u
 escalar 
v
” 
MMóódduulloo 0033 –– PPrroodduuttoo EEssccaallaarr ee PPrroojjeeççõõeess,, PPrroodduuttooss VVeettoorriiaall ee MMiissttoo 
 
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Existe uma relação entre o produto escalar de dois vetores 
e o ângulo por eles formado. Para examinar esta relação, 
seja o espaço geométrico bidimensional 2 . Todo vetor 
unitário desse espaço pode ser escrito na forma 
 cos sen
T
u  
, como mostra a figura. Nela, 

 é o 
ângulo formado entre os vetores 
u
 e 
 1 0
T
i 
 – vetor 
unitário que tem a direção do eixo Ox. 
O x
y
u
i
cos
sen
 1
 
 
Então, 
 
1
cos sen cos
0
u i        
 
 – como visto em (*). 
 
Similarmente, o produto escalar entre 
u
 e o vetor unitário 
 0 1
T
j 
 – com direção do eixo Oy – vale 
senu j  
. Estes 
resultados podem ser ampliados para dois versores quaisquer do 
2 . De fato, o produto escalar entre dois vetores unitários do 2 é 
exatamente igual ao cosseno do ângulo formado por tais vetores. 
Para demonstrar este resultado, sejam os vetores unitários 
 cos sen
T
a  
 e 
 cos sen
T
b  
, em que 

 e 

 são os 
ângulos formados entre os respectivos vetores e o eixo Ox. 
O x
y
a
b

 
 
Assim: 
 cos cos sen sen cos cosa b              , com  a,b 
. 
 
Se 
u
 e 
v
 forem vetores não-unitários, então: 
cos
u v u v
u v u v
                 
. 
 
Logo, vale a expressão 
cosu v u v    
, com 
 u,v 
, para quaisquer 
u
 e 
v
. 
 
Como mencionado em (*), o raciocínio aqui descrito vale para espaços vetoriais n-
dimensionais. Em especial, para o espaço geométrico tridimensional 3 , sejam os vetores 
 1 1 1
T
u x y z
 e 
 2 2 2
T
v x y z
. O produto escalar entre estes vetores é determinado por: 
 
 
1 2 1 2 1 2
cos com0
x x y y z z
u v
u v , u,v  
 
  
    
 
 
A relação entre o produto escalar e o ângulo 

 entre vetores 
u
 e 
v
 (pertencentes a espaços 
geométricos bi ou tridimensionais) permite concluir que: 
 
 
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Ouv  é agudo 0 2 0u v      
 
Ouv
  é obtuso 2 0u v       
 
O
u
v  é reto 2 0u v     
 
 
1.3 Projeção Ortogonal 
 
O
projua v
u
bv
 
A projeção ortogonal de um vetor 
v
 na direção de um vetor não-
nulo 
u
 é o vetor 
a
 paralelo ao vetor 
u
, como mostra a figura. 
Assim: 
projua v u 
, com 

. É possível escrever o parâmetro 

 em função dos vetores 
u
 e 
v
. Para tanto, deve-se notar que 
b a v  
 e 
0b u b u   
. 
 
Assim, 
   
2
0 0 0 0a v u a u v u u u v u u u v                      . 
 
Então, 
2
u v
u



 e, consequentemente, 
2
proju
u v
a v u u
u
   
. 
 
O vetor projeção ortogonal 
projua v
 é também denominado componente vetorial de 
v
 ao 
longo de 
u
, ao passo que o vetor 
b v a 
 designa a componente vetorial de 
v
 ortogonal a 
u
. 
 
1.4 Exercícios propostos 
 
Esc1. Nos itens a seguir, a notação 
" "
 indica o produto escalar. Em cada um deles, existe um erro. 
Aponte-os. 
a) 
 u v w 
 b) 
 u v w 
 c) 
u v
 d) 
 k u v 
 
 
Esc2. Se 
v ai bj ck  
, prove que 
a v i 
, 
b v j 
 e 
c v k 
. 
 
Esc3. Sejam 
 2 0 1
T
a  
, 
 1 2
T
b  
 e 
 1
T
c  
. Calcule os parâmetros 

, 

 e 

 
para que os vetores 
a
, 
b
 e 
c
 fiquem dois a dois ortogonais. 
 
 
 
 
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Esc4. Os vetores não nulos 
u
 e 
v
 são ortogonais e têm normas iguais. O vetor 
w
 é combinação 
linear de 
u
 e 
v
. Sabendo-se que 
w u w v  
 e que 
0w 
, obtenha as medidas angulares entre 
u
 e 
w
 e entre 
v
 e 
w
. 
 
Esc5. Sendo 
2u 
 e 
3v 
, calcule 
 u,v 
 para que tenhamos 
2u v 
. 
 
Esc6. Sejam 
0u v 
. Use o produto escalar para provar que: 
 
a) 
u v u v  
 se, e somente se, 
u
 e 
v
 são paralelos e de mesmo sentido. 
b) 
u v u v  
 se, e somente se, 
u
 e 
v
 são paralelos e de mesmo sentido. Neste caso, 
por que empregar 
u v
? 
c) 
u v u v  
 (Desigualdade de Schwarz). 
d) 
u v u v  
 (Desigualdade de Minkowski) 
e) Interprete geometricamente os resultados dos itens a, b e d. 
 
Esc7. Seja ABCD um tetraedro regular de aresta unitária. Calcule 
AB DA
. 
 
Esc8. Os lados do triângulo equilátero ABC têm medida 2. Calcule 
AB BC BC CA CA AB    
. 
 
Esc9. São dados os números reais positivos a e b e o vetor 
u
, de norma a. Dentre os vetores de 
norma b, qual é o que torna máximo o produto escalar 
u v
? E mínimo? Quais são esses valores? 
 
Esc10. Sejam os vetores 
 1 3 1
T
u a a  
 e 
 1 1 1
T
v a a  
, com 
a
, e seja 
 ang u,v 
. Discuta, em função do parâmetro a, quando 

 é agudo, reto ou obtuso. 
 
Esc11. Determine as coordenadas de um vetor 
v
 tal que: 
 
3v 
, 
 1 1 0
T
v x 
, 
 1 0 1
T
v y  
 e 
 v,Oy 
 é obtuso. 
 
Esc12. Decompor o vetor 
 1 0 3
T
u 
 como soma dos vetores 
v
 e 
w
 tais que: 
 
    1 1 1 1 1 2T TS v,a ,b   
 é l.d.,w a
 e 
w b
. 
 
Esc13. Mostre que se 
u
, 
v
 e 
w
 são vetores não nulos e ortogonais dois a dois, então 
 S u,v,w
 é 
um conjunto l.i.. 
 
Esc14. Sabendo-se que 
0u v w  
, 
3 2u 
, 
1 2v 
 e 
2w 
, calcule 
u v v w w u    
. 
 
 
 
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Esc15. Sejam 
u
, 
v
 e 
w
 vetores de norma unitária tais que 
1 2u v v w w u     
. Verifique se 
w
 é 
combinação linear de 
u
 e 
v
. 
 
Esc16. Sabendo-se que 
2u 
, 
3v 
 e 
  45u,v  
, calcule o ângulo 

 entre os vetores 
p
 
e 
q
, onde 
p u v 
 e 
q v u 
. Faça um esboço representando os vetores 
u
, 
v
, 
p
 e 
q
 a partir de 
uma origem comum O. 
 
Esc17. No trapézio ABCD tem-se: 
 
 
1u 
, 
2 2v 
 e 
  45u,v 
; 
 
4 2AB u DC   
 e 
AD v
; 
 M é o ponto médio de BC. 
Pede-se: 
a) Expressar 
p AM
 e 
q BD
 como combinações 
lineares de 
u
 e 
v
. 
u
v
A B
CD
Mp
q
45 
 
b) O maior ângulo 

 das retas AM e BD. 
c) Expressar como combinação linear de 
u
 e 
v
 a projeção ortogonal 
a
 de 
v
 na direção de 
p
. 
d) Mostrar que este trapézio é um trapézio retângulo. 
 
 r
A BR S
C
v AC
u AB
3
s

 
Esc18. Seja ABC um triângulo equilátero com lados de 
comprimento 
3 0
 e 
1
4
AR SB AB 
. 
Pede-se: 
a) Expressar 
r CR
 e 
s CS
 como combinações lineares de 
u AB
 e 
v AC
; 
b) Expressar 
r
 em função de ; 
c) Calcular o ângulo 

 de 
r
 e 
s
. 
Esc19. Seja o tetraedro OABC em que 
a OA
, 
b OB
, 
c OC
 e 
1a b c  
. Os pontos 
R, S, P e Q são pontos de trissecção dos lados 
correspondentes. Pedem-se os comprimentos de 
p OP
 e 
r OR
 e o ângulo 

 destes vetores. 
a
bc
O
A
B
C
RS
PQ
p
r
 
 
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Esc20. Na figura os vetores 
1AP u
 e 
2AQ u
 são representados sobre os lados de um triângulo 
equilátero APQ. Pede-se: 
 
a) Construir o paralelogramo ABCD em que 
13u AB u 
 e 
22v AD u 
. 
b) Desenhar no paralelogramo ABCD um representante do vetor 
u v
. 
c) Calcular 
u v
, 
v AC
, 
AC
 e 
 v,AC 
. 
 
 
Esc21. São dados o ponto 
 1 1 1R , ,  
 e os vetores 
 4 1 1
T
RS  
 e 
 3 1 2
T
RT  
. Pede-se: 
a) Determinar o vetor 
RX
, projeção ortogonal de 
RT
 na 
direção de 
RS
. 
b) As coordenadas do ponto X. 
c) As coordenadas de um vetor 
h
 que dê a direção da altura 
do triângulo RST relativa ao vértice T. 
d) As coordenadas do ponto Y simétrico de T em relação à reta 
RS. 
 
Esc22. Sendo 
2 2b a 
 e 
a b
, pede-se: 
a) Representar, a partir de uma mesma origem O, os vetores 
a
, 
b
, 
u a b 
 e 
v b a 
. 
 b) Determinar 
 ang u,v 
. 
 
Esc23. Usando o produto escalar, prove a “Lei dos Cossenos” para um triângulo qualquer ABC: 
2 2 2 2 ˆa b c bc cos A   
. 
 
Sugestão: Faça 
b AC
, 
c AB
, 
a BC c b   
, 
a a
, 
b b
, 
c c
 e 
2a a a 
. 
 
 
Esc24. No triângulo ABC temos 
 2 1 2
T
AB u   
 e 
 3 5 1
T
AC v  
. Pedem-se: 
 a) A projeção ortogonal 
a
 de 
v
 na direção de 
u
; 
 b) Um vetor não nulo 
cH
 que dê a direção da altura relativa ao vértice C; 
 c) O comprimento 
ch
 da altura relativa ao vértice C; 
d) As coordenadas do vetor 
AC
, em que 
C
 é o ponto simétrico de C em relação à reta 
suporte do lado AB. 
 
 
 
P
A
Q
12
u
1u
Ac
C
B
b aAˆ Ac
C
B
b aˆA
SR X
T
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Esc25. O tubo mostrado na figura está sujeito à 
força 
F
 de intensidade 80 lb. Determine o 
ângulo 

 entre 
F
 e o segmento BA do tubo e os 
módulos das componentes de 
F
 paralela e 
perpendicular a BA. 
 
 
 
Esc26. O cabo BC da figura exerce uma força de 
intensidade 28 N sobre o topo do mastro. 
Determine a projeção desta força ao longo do 
eixo z do mastro. 
 
Esc27. Determine as projeções das forças 
1F
 e 
2F
 nas direções dos cabos de suporte AB e AC, 
respectivamente. 
 
 
 
 
Esc28. Sabe-se que 
2 3 1
T
AB  
 
 e 
1 3 1
T
AC   
 
. 
 
 a) Verifique que A, B e C são vértices de um triângulo. 
 
 b) Calcule o comprimento da altura relativa ao vértice A e a área do triângulo ABC. 
 
Esc29. Determine os vetores unitários 
 
T
u x y z
 tais que a projeção ortogonal de 
u
 sobre 
k
 
seja 
2k
 e a medida angular entre 
  0
T
v x b
 e 
i
 seja 
6
 radianos. 
 
Esc30. a) Mostre que, se 
u
 é unitário, então 
 projuv v u u  
. 
 
 b) Seja 
 B i , j ,k
 uma base ortonormal. Mostre que todo vetor 
u
 é a soma de suas 
projeções ortogonais sobre 
i
, 
j
 e 
k
. 
 
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2. Produto Vetorial 
 
2.1 Introdução à orientação do espaço geométrico tridimensional 
 
A palavra orientação traz consigo uma carga de significados geométricos. Reta orientada, 
circunferência orientada e segmento orientado são expressões já familiares. No entanto, os conceitos 
de orientação de um plano e, de forma mais geral, a orientação do espaço tridimensional, são um 
tanto quanto contra-intuitivos. Nesta breve introdução ao assunto, os temas relevantes serão 
abordados de forma um tanto quanto superficial, embora seja empregado um formalismo 
matemático adequado. O procedimento de orientação do espaço tridimensional 3 segue três 
etapas: 
 
i) Escolhe-se uma base M do 3 , adotando-as como padrão; 
ii) São construídas duas classes de bases: as concordantes com M (ou de mesma orientação) e 
as discordantes de M (ou de orientação contrária), conforme a Definição 1 (à frente); 
iii) Opção arbitrária por uma das duas classes. Desta forma, o 3 estará orientado. 
 
Primeiramente, será estabelecido o significado geométrico da expressão orientação do espaço. 
O conceito em que se fundamenta esta orientação é variação de uma base. Para compreender 
melhor esta noção, sejam 
 1 2 3, ,M m m m
 (escolhida como padrão, conforme i) e 
 1 2 3, ,N n n n
 
duas bases quaisquer do 3 e suas variações ilustradas na Figura 1. 
 1m 2
m
3m
1n
2n
3n
2m1
m
3m
3n
2n
1n a  b
 
 
Figura 1: Variações (transformações) da base M para a base N em duas situações 
 
 
 
 
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É interessante associar três hastes telescópicas (que permitem rotação e ajuste de 
comprimento) fazendo as vezes de representantes dos vetores 
1m
, 
2m
 e 
3m
 e articuladas no ponto 
de origem. O processo de variação consiste na transformação gradual de M em N, aplicando rotações 
e dilatações ou contrações em 
1m
 para obter 
1n
, em 
2m
 para obter 
2n
 e, finalmente, em 
3m
 para 
obter 
3n
. Há uma importante diferença entre as situações (a) e (b) ilustradas na Figura 1. Em (a), 
nota-se que é possível transformar M em N de tal modo que, em cada etapa, os três vetores 
envolvidos mantenham-se l.i. (isto é, as hastes articuladas jamais ficam coplanares). No caso 
ilustrado em (b), em que as hastes que representam 
1m
, 
1n
, 
2m
 e 
2n
 repousam em um plano, ocorre 
o contrário: é impossível manter a independência linear dos três vetores ao longo de todo o processo 
de variação (em alguma etapa, as hastes ficam obrigatoriamente coplanares). Assim, aplicando um 
abuso de linguagem, é necessário “virar a base M do avesso” para garantir a independência linear. 
Esta diferença é que determina o orientação das bases, conforme a definição a seguir: 
 
Definição 1: Sejam 
 1 2 3, ,M m m m
 (escolhida como padrão, conforme i) e 
 1 2 3, ,N n n n
 duas 
bases quaisquer do 3 . Durante o processo de conversão de M em N: 
 
 caso os vetores envolvidos mantenham-se linearmente independentes, diz-se que M e N são 
concordantes, ou compartilham a mesma orientação; 
 caso contrário, ou seja, se em alguma etapa da conversão os três vetores tornem-se 
linearmente dependentes, diz-se que M e N são discordantes, ou possuem orientações 
contrárias. 
 
 Fundamentando-se na Definição 1, é possível classificar todas as bases do espaço geométrico 
tridimensional 3 , tomando-se como padrão a base 
 1 2 3, ,M m m m
. Para tanto, seja B o conjunto 
de todas as bases do 3 . Divide-se B em dois subconjuntos disjuntos 
1B
e 
2B
de tal modo que 
 1 2B B  e 1 2B B B  . Assim, 1B contém todas as bases do espaço que tem mesma orientação 
da base M e 
2B
 contém todas as bases do espaço que tem orientação contrária a da base M. 
 
Observações: 
 
a) A divisão do conjunto de todas as bases do espaço tridimensional 3 em duas classes, 
1B e 
2B
, implica em que uma base qualquer 
 1 2 3, ,X x x x
 pertence à apenas uma e somente 
uma dessas classes! 
b) A classificação das bases não depende da escolha da base inicial 
 1 2 3, ,M m m m
. 
 
MMóódduulloo 0033 –– PPrroodduuttoo EEssccaallaarr ee PPrroojjeeççõõeess,, PPrroodduuttooss VVeettoorriiaall ee MMiissttoo 
 
EEFFBB110022 –– GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
Após esta conceituação geométrica, faz-se necessário também estabelecer um critério algébrico 
para a determinação da orientação das bases do espaço 3 . Sejam as bases 
 1 2 3, ,M m m m
 e 
 1 2 3, ,N n n n
. Uma vez que M é uma base, é possível escrever cada um dos vetores de N em 
função dos vetores de M. Ou seja, 
1n
, 
2n
 e 
3n
 podem ser escritos como combinações lineares de 
1m
, 
2m
 e 
3m
. Assim: 
 
1 11 1 12 2 13 3 1 11 12 13 1
2 21 1 22 2 23 3 2 21 22 23 2
3 31 32 33 33 31 1 32 2 33 3
A
n a m a m a m n a a a m
n a m a m a m n a a a m
n a a a mn a m a m a m
        
      
           
              
 
 
Seja a matriz A que reúne os coeficientes das combinações lineares expressas anteriormente. 
Demonstra-se que: 
i) As bases M e N possuem a mesma orientação se 
 det 0A 
. 
ii) As bases M e N possuem orientações contrárias se 
 det 0A 
. 
 
 
2.2 Bases Ortogonais e Ortonormais 
 
Definição 2: Uma base 
 1 2 3, ,M m m m
 do 3 é dita ortogonal se,e somente se, os vetores 
1m
, 
2m
 e 
3m
 são dois a dois ortogonais. 
 
Definição 3: Uma base 
 1 2 3, ,M m m m
 do 3 é dita ortonormal se, e somente se: 
 M é uma base ortogonal; 
 os vetores 
1m
, 
2m
 e 
3m
 são unitários, ou seja, 
1 2 3 1m m m  
. 
 
 As definições 2 e 3 implicam em que a base canônica do 3 , 
 , ,C i j k
 é uma base 
ortonormal. De fato, é comum adotar esta base como base padrão para a orientação do 3 . 
 
Diz-se que a orientação da base C é positiva, pois seus vetores obedecem à Regra da Mão 
Direita, razão pela qual a base canônica C é dita uma base ortonormal positiva ou dextrógira (esta 
regra será abordada na seção seguinte). Desta maneira, todas as bases do 3 concordantes com C 
são chamadas bases de orientação positiva. 
 
De forma análoga, todas as bases discordantes de C são chamadas bases de orientação 
negativa, ou levógiras, ou ainda sinistras (pois seus vetores obedecem à Regra da Mão Esquerda). 
 
 
MMóódduulloo 0033 –– PPrroodduuttoo EEssccaallaarr ee PPrroojjeeççõõeess,, PPrroodduuttooss VVeettoorriiaall ee MMiissttoo 
 
EEFFBB110022 –– GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
2.3 Produto Vetorial 
 
Sejam os vetores 
 1 1 1
T
u x y z
e 
 2 2 2
T
v x y z
 do espaço tridimensional 3 , escritos 
na base canônica ortonormal positiva 
 , ,C i j k
. 
 
Definição 4: O produto vetorial entre os vetores 
u
 e 
v
 é o vetor 
u v
 expresso por 
 
     
1 1
2 2
1 2 2 1
1 1
2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1
2 2
1 2 2 1 2 2 2
1 1
2 2
y z
y z
y z y z i j k
x z
u v x z x z y z y z i x z x z j x y x y k x y z
x z
x y x y x y z
x y
x y
 
 
 
  
                
  
   
 
 
 
 
 
 Propriedades: Sejam os vetores 
u
, 
v
 e 
w
 do 3 e os escalares 

 e 

. Valem as propriedades: 
 
a) 
u v v u   
 d) 
 u v u v    
 
b) 
 u v w u v u w     
 e) 
0 0u 
 
 c) 
 u v w u w v w     
 f) 
0u u 
 
g) 
 
2 2 2 2
u v u v u v   
 (Identidade de Lagrange) 
 
O produto vetorial 
u v
 é um vetor: 
 
i) Ortogonal aos vetores 
u
 e 
v
. Este fato é facilmente verificado ao se mostrar que 
  0u u v  
 e 
  0v u v  
. 
ii) Com sentido definido pela Regra da Mão Direita – com os dedos da mão direita procure 
levar o vetor 
u
 para o vetor 
v
; o sentido do vetor produto vetorial será dado pelo polegar. 
iii) Tal que 
senu v u v    
, em que 
 ,u v 
. 
 
 Demonstração de iii: A Identidade de Lagrange atesta que 
 
2 2 2 2
u v u v u v   
. Também 
sabe-se que 
cosu v u v    
. Daí: 
 
2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2cos 1 cos senu v u v u v u v u v          
 
Uma vez que 
 ,u v 
, tem-se 
0   
 e, consequentemente, 
sen 0 
. Então: 
 
senu v u v    
. 
 
lê-se 
u
 vetorial 
v
 
Notação !! 
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2.4 Interpretação Geométrica do Produto Vetorial 
 
A área S do paralelogramo ABCD da figura é dada por 
S b h 
. 
 
A B
CD
 h A B
CD
 hu
v
 
 
Associando aos segmentos AB e AD os vetores 
u AB
 e 
v AD
 tem-se 
b u AB 
 e 
sen senh v AD    
. Então, a área S do paralelogramo ABCD podeser expressa por: 
 
senS u v u v    
. 
 
 
2.5 Exercícios propostos 
 
Vet1. Sendo 
 1 0 0
T
u 
, 
 1 1 0
T
v 
 e 
 1 1 1
T
w 
, mostre que: 
 
 a) 
 0 0 1
T
u v 
 e 
 1 1 0
T
v w  
. 
 
b) 
   1 1 0
T
u v w   
 e 
   0 0 1
T
u v w   
. 
 
Estes cálculos são suficientes para garantir que o produto vetorial não é associativo? Por quê? 
 
Vet2. Sendo 
26u 
, 
3v 
 e 
72u v 
, calcular 
u v
, sabendo que 
u
 e 
v
 formam um ângulo 
obtuso. 
 
Vet3. Sejam 
   3 2w a b a b   
, 
2a 
, 
3b 
 e 
a b
. Calcule 
w
. 
 
Vet4. O ângulo entre os vetores 
a
 e 
b
 é 
60
 e suas normas são, respectivamente, 1 e 2. Sendo 
u a b 
 e 
v a b 
, calcule 
u v
. 
 
Vet5. Seja 
   2v r s r s     
, 
 
, em que 
2r 
, 
1s 
 e 
  3 4r ,s  
 rad. Pede-
se calcular o valor do parâmetro  para que 
1v 
. 
 
Vet6. Um paralelogramo ABCD possui sobre suas diagonais os vetores 
 0 2 3
T
AC 
 e 
 2 4 1
T
BD  
. Calcule a área  do paralelogramo ABCD. 
 
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Vet7. Seja o triângulo ABC em que 
 0 1 3
T
AB  
 e 
 2 0 1
T
CB  
. Pede-se: 
 
a) Um vetor não-nulo 
n
 que dê a direção normal ao plano 

 do triângulo ABC. 
b) A área 
 do triângulo ABC. 
c) O comprimento h da altura do triângulo, relativa ao vértice C. 
d) Um vetor 
H
 que dê a direção da altura do triângulo relativa ao vértice C. 
 
Vet8. Seja o triângulo ABC, em que 
 1 1 0
T
BA   
 e 
 2 0 1
T
BC 
. Pede-se: 
 
 a) A área  do triângulo. 
 
 b) O comprimento 
Bh
 da altura do triângulo relativa ao vértice B. 
 
 c) Um vetor 
BH
 que dê a direção da altura do triângulo relativa ao vértice B. 
 
Vet9. ABC é um triângulo e P e Q são pontos tais que 
3AP AC
 e 
3 2BQ BC
. Calcule a razão 
entre as áreas dos triângulos BPQ e ABC. 
 
Vet10. Seja o triângulo ABC em que 
 1 0
T
u AB m m  
 e 
 3 1 1
T
v AC 
. Pede-se: 
 
 a) A área 

 do triângulo ABC expressa em função exclusivamente do parâmetro m. 
 b) Determinar o valor 
0m
 de m onde a área é mínima. Qual é a área mínima? 
 
Vet11. Sejam os pontos 
 3 1 2A , , 
, 
 4 0 3B , ,
, 
 2 3C , ,m
 e 
 2 6D n, ,
 dados em um sistema 
cartesiano Oxyz. Pede-se: 
 
a) Encontrar os valores de m e n para os quais o quadrilátero ABCD é um paralelogramo. 
b) A seguir, calcular a área 

 do paralelogramo. 
 
 Vet12. A máquina de radiografia ilustrada na figura é 
utilizada em um diagnóstico médico. Se a câmara e seu 
compartimento em C têm uma massa de 150 kg e um 
cento de massa localizado em G, determine o momento 
de seu peso em relação ao ponto O quando estiver na 
posição mostrada. 
 
 
 
 
 
 
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Vet13. Determine 
 
T
z a b c
 tal que  
   
2 1 3 1
2 1 3 1 8 2
T
T T
z
z
    

  
. 
 
Vet14. Seja 
0u 
. Prove: 
 0 e 0 0u v u v v     
. Em outras palavras, se 
v
 é 
simultaneamente paralelo e ortogonal a um vetor 
0u 
, então 
0v 
. 
 
Vet15. Prove: se 
1z
 e 
2z
 são combinações lineares de 
u
 e 
v
, então 
1 2z z
 é paralelo a 
u v
. 
Interprete geometricamente este resultado. 
 
Vet16. Prove: 
0u v w u v v w w u        
. 
 
Vet17. Utilize o resultado anterior e deduza a Lei dos Senos para um triângulo quaisquer. 
 
Vet18. Prove que, se 
u v w t  
 e 
u w v t  
, então 
u t
 e 
v w
 são linearmente dependentes. 
 
Vet19. Prove que, se 
 u,v
 é l.i. e 
0w u w v   
, então 
0w 
. Interprete geometricamente. 
 
 
3. Produto Misto 
 
3.1 Definição 
 
 Sejam 
 1 1 1
T
u x y z
, 
 2 2 2
T
v x y z
 e 
 3 3 3
T
w x y z
 vetores do espaço geométrico 
tridimensional 3 . O número real 
 u v w 
 é denominado produto misto dos vetores 
u
, 
v
 e 
w
. 
 Em termos de coordenadas, o produto misto é expresso por: 
 
   
2 2
3 3
1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3
2 2
3 3
y z
y z
x y z
x z y z x z x y
u v w x y z x y z x y z
x z y z x z x y
x y z
x y
x y
 
 
 
 
         
 
 
 
 
 
 
 
Importante: Sabe-se que a permutação de duas linhas em um determinante resulta na aletração do 
sinal deste determinante. Assim, pode-se afirmar que: 
 
     u v w w u v v w u       
. 
 
 
 
 
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3.2 Interpretação Geométrica do Produto Misto 
 
Antes de abordar a interpretação geométrica do produto misto, é interessante investigar um 
aspecto relativo aos determinantes de ordem 2. 
 
* Sejam os vetores 
 1 1
T
u x y
e 
 2 2
T
v x y
 
do 2 . A área do paralelogramo determinado 
pelos vetores 
u
 e 
v
 é dada por: 
 
1 1
2 2
Área det
x y
x y
 
  
 
. 
 
Demonstração: Como visto na figura ao lado, é 
possível representar os vetores 
u
 e 
v
 no espaço 
geométrico tridimensional. Assim, tem-se: 
 
 1 1 0
T
u x y
 e 
 2 2 0
T
v x y
. 
x y
z
u v1x 2
x 1y
2y
O
A
B
C
 
 
Neste cenário, torna-se possível determinar a área do paralelogramo OABC utilizando o produto 
vetorial: 
1 1 1 1 1 1
1 1
2 2 2 2 2 2
2 2
Área 0 det
0
OABC
i j k
x y x y x y
u v x y k k
x y x y x y
x y
 
         
 
 
 
* Sejam os vetores (não-coplanares) 
 1 1 1
T
u x y z
, 
 2 2 2
T
v x y z
 e 
 3 3 3
T
w x y z
 3 , como ilustra a 
figura. 
 
O volume do paralelípedo gerado por 
u
, 
v
 e 
w
 é calculado a partir de: 
 
Volume Área da base altura bA h   
. 
A
C
BO
u
v
w
v w
 proj v w u
 
Tem-se: 
bA v w 
 e 
 proj v wh u
. Daí: 
 
1 1 1
2 2 2
3 3 3
Volume proj det
v w
x y z
u v w
v w u v w u v w x y z
v w
x y z

 
   
         
 
  
. 
 
 
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Deste fato, conclui-se que os representantes de três vetores 
u
, 
v
 e 
w
 – com mesmo ponto de 
origem – são coplanares se, e somente se, 
  0u v w  
. 
 Como consequência, quatro pontos A, B, C e D do 3 são coplanares se 
  0AB AC AD  
. 
 
A B
DAD
ABCAC
 
 
3.3 Exercícios propostos 
 
Mix1. A medida angular entre os vetores unitários 
ue 
v
 é 
30
, e o vetor 
w
, de norma 4, é 
ortogonal a ambos. Sabendo que a base 
 u,v,w
 é positiva, calcule 
u v w 
. 
 
Mix2. Sejam 
u
 e 
v
 dois vetores l.i. e 
w
 um vetor não nulo. Sendo 
 u,v 
 e 
 u v,w  
, 
exprima 
u v w 
 em função de 

, 

 e das normas dos vetores. 
 
Mix3. Sejam A, B e C pontos não colineares. Exprima a distância de um ponto D ao plano ABC em 
função de 
AB
, 
AC
 e 
AD
. 
 
Mix4. Sendo 
 2 2 2
T
AB 
, 
 0 2 1
T
AC  
 e 
 1 5 3
T
AP  
, pede-se a distância d do 
ponto P ao plano 

 de A, B e C. 
 
Mix5. Dados 
 1 1 0
T
OA a 
, 
 0 1 1
T
OB b 
 e 
 2 1 0
T
OC c 
, pede-se o vetor 
OP x
 
tal que tenhamos simultaneamente: 
 
 i) 
x
 coplanar com 
a b
 e 
b c
 ii) 
x
 seja ortogonal a 
a c
 
iii) o volume do tetraedro OPBC seja igual ao dobro do volume do tetraedro OABC. 
 
Mix6. As arestas AO, OB e OC do tetraedro OABC medem, respectivamente, a, b e c, e as medidas 
dos ângulos ˆAOB , ˆBOC e ˆCOA , são (respectivamente)  , 

 e 

. Calcule o volume do tetraedro 
em função de a, b, c, 

, 

 e 

. 
 
Mix7. Sejam os vetores 
 2 1 3
T
AB  
, 
 2 0 1
T
AC 
 e 
2 34 2
T
AD m m     
, com 
m
, pede-se o valor de m para o qual o volume do tetraedro ABCD é mínimo. Qual é o volume 
mínimo? 
 
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Mix8. Sendo 
 1 1 1A , ,
, 
 2 0 2B , ,
, 
 3 1 2C , ,
 e 
 22 1 2 3D m ,m ,  
, pede-se: 
 
a) Expressar o volume do tetraedro ABCD em função exclusivamente do parâmetro m. 
b) Encontrar, caso exista, o valor 
0m
 de m para o qual o volume V é mínimo; calcule o volume 
mínimo 
0V
. 
 
Mix9. Utilize o produto misto para verificar se os vetores coluna das matrizes A e B são l.i. ou l.d. 
 
1 1 2
6 8 2
1 2 1
A
 
   
 
  
 ; 
1 0 1
0 2 2
1 5 0
B
 
  
 
   
 
Mix10. É dado o tetraedro OABC: 
OA a
, 
OB b
 e 
OC c
. Sendo M, N e P os pontos médios, 
respectivamente, de AC, AB e BC, qual é a relação entre o número 
OM ON OP 
 e o volume V do 
tetraedro? 
 
Mix11. Seja 
 B u,v,w
 uma base do 3 , pede-se mostrar que: 
 
a) se B é uma base ortonormal positiva, então 
1u v w  
. 
 b) se B é uma base ortonormal negativa, então 
1u v w   
. 
 
 
4. Respostas dos exercícios propostos 
 
 
Esc1. a) 
 
escalar
u v w u k    
não se aplica o produto escalar entre um vetor e um escalar k 
 b) 
 
escalar
u v w k w    
 não existe a soma entre um escalar k e um vetor 
 c) 
u v k  
 o conceito de norma não se aplica a um escalar k 
 d) 
 
vetor
k u v k w    
 não se aplica o produto escalar entre um vetor e um escalar k
 
 
Esc2. Tem-se: 
       
2
v i ai bj ck i a i i b i j c i k a i a                
 
 
       
2
v j ai bj ck j a i j b j j c k j b j b                
 
 
       
2
v k ai bj ck k a i k b j k c k k c k c                
 
 
Outra solução: 
 2i
v i
ai proj v i v i i a v i
i

       
 e assim, analogamente para b e c. 
 
 
MMóódduulloo 0033 –– PPrroodduuttoo EEssccaallaarr ee PPrroojjeeççõõeess,, PPrroodduuttooss VVeettoorriiaall ee MMiissttoo 
 
EEFFBB110022 –– GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
Esc3. 
1 
, 
5  e 2  . Esc4.   45 ou  135 Esc5.     
 
3
138 6
4
arccos ,
 
 
Esc7. 
1
2
AB DA  
 Esc9. 
6AB BC BC CA CA AB      
 
 
Esc9. 
max
b
v u
a
, 
 min
b
v u
a
, 
 maxu v ab
 e 
  minu v ab
 
 
Esc10. O ângulo 
 é agudo quando 1a  ou 3a  ;  é obtuso quando 1 3a  ou;  é reto quando 
1a  ou 3a  . 
 
Esc11. 
  1 1 1
T
v
 Esc12. 
 
  
 
1 3
2
2 2
T
v
; 
 
  
 
1 3
1
2 2
T
w
 
 
Esc14. 
13
4
u v v w w u      
 Esc16. 
7
arccos 40 60
85
,    
 
 
 
Esc17. 
 
1
3
2
p u v
 e 
  4q u v
, 
 121
, 
  
1
30 5
17
a u v
 
 
Esc18. 
 
1
4
r u v
, 
 
3
4
s u v
, 

3 13
4
r l
, 
 32 2,
 
 
Esc19. 
 
7
3
p r
 e 
    
 
11
38 21
14
arccos ,
 
 
Esc20. a,b) A representação geométrica a 
seguir soluciona os itens a e b. 
 
c) 
3u v 
; 
7v AC 
; 
19AC 
 e 
 
7
arccos 36 59
2 19
,    
 
. 
 
Esc21. a) 
 2 1 2 1 2
T
RX  
; 
b) 
 1 3 2 3 2X , , 
; c) 
 1 3 2 5 2
T
h  
; 
d) 
 0 3 4Y , , 
. 
 
Esc22. a) Construção geométrica: 
 
 
 
b) O ângulo  é tal que: 
 
3
arc cos
5
    
 
 
MMóódduulloo 0033 –– PPrroodduuttoo EEssccaallaarr ee PPrroojjeeççõõeess,, PPrroodduuttooss VVeettoorriiaall ee MMiissttoo 
 
EEFFBB110022 –– GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
Esc23. Adotando os vetores sugeridos no enunciado, tem-se: 
 
     
2 22 2 22 2a a a a c b c b c c b b c b c b c b                   
 
22 2 2 22 cos 2 cosˆ ˆc b c A b a b c ab A         
. 
 
Esc24. 
   
1
2 1 2
3
T
a
, 
  
1
7 16 1
3
T
b
, 
  7 16 1
T
Ch
, 
34
, 
  
1
5 17 1
3
T''AC
 
 
Esc25. 
7
arccos 42 45
3 10
,    
 
; 
1 1 59lbF BA F 
; 
2 2 54 lbF BA F  
. 
 
Esc26. 
 1 proj 24 0 0 24
T
k
F F k    
. 
 
Esc27. 
 1 1proj 8 79 26 36 13 18
T
AB
P F , , ,    
 e 
 2 2proj 7 24 10 86 8 14
T
AC
P F , , ,   
. 
 
Esc28. Altura relativa ao vértice A = 2; Área do triângulo ABC = 3. 
 
Esc29.  
  
  
3 1
0
2 2
T
u
e  
  
  
3 1
0
2 2
T
v
 
 
Vet2. 
  30u v
 Vet3. 
 21 2w
 Vet4. 
2 3u v 
 Vet5. 
0 ou 1  
 Vet6. 
38 
 
 
Vet7. a) 
 1 6 2
T
n AB CB 
; b)
41
2
 
; c)
41
10
h 
; d) 
   20 3 1 TH AB CB AB    
. 
 
Vet8. 
6
2
, 
66
11
, 
  1 7 4
T
BH
 Vet9. 
4
Razão
9

. 
 
Vet10. a) 
22 3 1
2
m m   
; b) 
0
1
6
m  
 e 
1 22
4 3
min 
. 
 
Vet11. a) 
7m 
 e 
1n 
; b) 
6 
. 
 
Vet12. 
1 5 cos60 0 1764
1,2 0 1102 5 Nm
150 9 8 01 5 sen60
,
M r F ,
,,
      
              
          
. Vet13. 
  2 0 1
T
z
 
 
 
 
MMóódduulloo 0033 –– PPrroodduuttoo EEssccaallaarr ee PPrroojjeeççõõeess,, PPrroodduuttooss VVeettoorriiaall ee MMiissttoo 
 
EEFFBB110022 –– GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
Mix1. 
2u v w  
 Mix4. 
14d 
. Mix5. 
 
1
2 3 3
7
T
x  
 ou 
 
1
2 3 3
7
T
x   
. 
 
Mix7. 
0 2m  
 e 
0
2
3
V 
. Mix8. a) 
21 2 3
6
V m m   
; b) 
0 1m e 
0
1
3
V 
. 
 
Mix9. Como 
   det det 0TA A 
 tem-se que o produto misto dos vetores coluna da matriz A é 
zero. Assim, as colunas de A são ld e, portanto, os vetores são coplanares. Já na matriz B temos 
   det det 8 0TB B  
. Assim os vetores coluna da matriz B são li (não coplanares). 
 
Mix10. 
3
4
OM ON OP V   
.