capitulo 4 integracao

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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
CAMPUS PATO BRANCO
Curso de Tecnologia em Manutenção Industrial
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4.0 INTEGRAÇÃO
4.1 ANTIDERIVAÇÃO: A INTEGRAL INDEFINIDA
 HOFFMANN (2002, p.271-280), a derivada é conhecida e o objetivo é encontrar a própria
função.
● Tem-se a taxa de aumento da população e usando essa informação para prever qual
será a população em algum instante futuro.
● Conhece-se a velocidade de um corpo em movimento pretende-se calcular a posição
do corpo em momento futuro.
APLICAÇÕES PRÁTICAS
1) Um fabricante constatou que o custo marginal1 é de 3q² -60q+400 $ por unidade, onde q é o
número de unidades produzidas. O custo total para produzir as primeiras duas unidades é de $ 
900. Qual o custo total para produzir as primeiras 5 unidades?
custo marginal
CUNHA(1990,p.227) Seja a função C (t)=x3−6x2+18x+4 (custo total)
derivada primeira: C ' (t)=3x2−12x+18 (custo marginal)
custo exato: terceira unidade
C(3)-C(2)=7 
Custo marginal: C'(2)=6
Solução: 
● ∫ 3q2−60q400dq =q³ -30q² +400q+k
● C(2)=900 e valor de k=212
● C(5)=$1587
1custo marginal é a mudança no custo total de produção advinda da variação em uma unidade da quantidade produzida
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2) Estima-se que daqui a x meses a população de certa cidade estará aumentando à razão de
26 x habitantes por mês. A população atual é de 5000 pessoas. Qual será a população 
daqui a 9 meses? Resposta:5126
solução:
3) ∫ x dx⁵
4) ∫ 1x² dx
 5) ∫5 dx 
 6) ∫ 3t²−5 t2 dt
11) Estima-se que daqui a t meses a população de certa cidade estará aumentando à razão de
45
3 t 2 habitantes por mês. Se a população atual é de 10000 habitantes, qual será a
população daqui a 8 meses?R:10128
12) Uma cadeia de supermercados recebe uma remessa de 12000 latas de óleo de soja que
deverão ser vendidas à taxa constante de 300 latas por semana. Se o custo para armazenar as
latas é 0,2 centavo por lata por semana, quanto a cadeia de supermercados terá que pagar em
custos de armazenamento durante as próximas 40 semanas?
Solução:
● taxa de variação=C'(t)=12000-300t em 40 semanas C'(t)=0
● o custo de armazenamento A'(t)= 0,2* C'(t)
● A'(t)=2400-60t
● ∫ dA=2400∫ dt−60∫ t dt
● A(t)=2400t-30t² +k ( é antiderivada do custo de armazenamento)
● A(0)=0 (Para calcular o valor da constante , fazer t=0)
● A(40)=48000
● o custo total durante os 40 meses é de 48000.
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13) Estima-se que daqui a t anos a população de certa cidade à beira de um lago estará
aumentando à razão de 0,6t² +0,2t +0,5 mil habitantes por ano. Os ecologistas descobriram
que o índice de poluição do lago aumenta à razão de aproximadamente 5 unidades para 1000
habitantes. Qual será o aumento do índice de poluição do lago nos próximos 2 anos?R:15
solução: P'(t)=0,6t²+0,2t+0,5 ∫ dP=0,6∫ t² dt0,2∫ t dt0,5∫ dt
P(t)=0,2t³ +0,1t² +0,5t +C P(2)-P(0) = 3000 habitantes , então para cada 1000 equivale a 5,
para 3000 equivale a x.
14) Um botânico descobre que certo tipo de árvore cresce de tal forma que sua altura (h) após
t anos está variando a uma taxa de h ' t =0,06 t
2
30,3t
1
2 metros/ano. Se a árvore tinha 60
cm quando foi plantada, que altura terá após 27 anos? Reposta:37,4 metros
 7) ∫ 3y− 2y³
1
y
dy
 * regra do logaritmo neperiano ∫ 1x dx=ln∣x∣C 
8) ∫e
x
2
 x x dx * regra da exponencial ( número neperiano) ∫ekx dx=1k e
kxC
9) ∫  1
3u
−
3
2u2
e2u
2
du
10) ∫ 2e26uln 2du
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4.2 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Se g é uma função contínua de u e u(x) é uma função derivável de x.
∫ gu  dudx dx=∫ g udu
17) Calcule a derivada da função x²3x5 ⁹
18) Determine ∫9 x²3x282x3dx
19) Determine ∫ x³ e x
42dx 
20) Determine ∫ 3x
x2−1
dx
 resposta: 3
2
ln∣x²−1∣C
21) Determine ∫ 3x62x²8x8 dx resposta :
3
2
2x²8x3C
22) Determine ∫  ln x ²x dx resposta: 
ln x  ³
3
C
Aplicações Práticas
16) Uma toxina é introduzida em uma colônia de bactérias; t horas depois, a taxa de variação
da população da colônia é dada pela expressão dP
dt
=−ln 334−t . Se existiam 1 milhão de
bactérias na colônia no instante em que a toxina foi introduzida, qual é a expressão de P(t) ?
solução:
∫ dP=−ln(3)∫3(4−t )dt u=4-t du=-1dt
P (t)= ln (3)∗3
(4−t)
ln (3)
+C
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P (t)=3(4−t )+C
23) A taxa de variação do preço unitário p ( em reais) de certo produto é dada por
dp
dx
=
−135x
√9+x² onde x é demanda do produto ( numero de unidades vendidas ) em centenas
de unidades. Suponha que a demanda seja de 400 unidades (x=4) para um preço de $ 30 a
unidade:
a) determine a função de demanda p(x). resposta: p(x )=−135√9+x²+705
solução:
∫ dpdx=−135∫
x
√9+ x²
∫ dp=−135∫ x dx√9+x²
u=9+x2
du=2xdx
∫ dp=−135∫ x dx√9+x²
∫ dp=−1352 ∫
2x dx
√9+ x²
P(x )=
−135
2 ∫
du
√u
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P(x )=
−135
2 ∫ u
(−1 /2)du
p(x )=−135
u1/2
2∗1 /2
+C
p(x )=−135√9+x²+C
substitua p(x)=30 e x=4 e o resultado do C=705.
b) para que preço a demanda é de 300 unidades ? Para que preço a demanda é zero? Resposta:
p(3)=$132,24; p(0)= $300
c) qual é a demanda para um preço unitário de $20? resposta: x=4,09
24) Uma árvore foi transplantada e x anos depois está crescendo à razão de 1 1
 x1 ²
metros por ano. Após 2 anos, atingiu uma altura de 5 metros. Qual era a altuta da árvore
quando foi transplantada?
25) Estima-se que daqui a x anos o valor V(x) de um hectare de terra na zona rural estará
aumentando à razão de V ' x =
0,4 x³
0,2 x 48000 reais por ano. O valor atual da terra é de
$500 o hectare:
a) Determine V(x).
b) Quanto valerá a terra daqui a 10 anos. Quanto tempo a terra levará para valer $1000 o
hectare?
15) Um ecologista observa que a população P(t) de um espécie ameaçada de extinção está
aumentando à razão de P ' t =0,51e−0,03 t animais por ano, onde t é o número de anos após
começarem a ser feitos os registros:
a) se o ano em que começaram a ser feitos os registros a população era de 500 animais, qual
será a população 10 anos mais tarde? Resposta: 504
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26) Estima-se que daqui a t anosa população de certo país estará aumentando à razão de
e0,02 t milhões de habitantes por ano. Se a população atual é de 50 milhões de habitantes,
qual será a população daqui a 10 anos?
4.3. INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
● Equação diferencial é qualquer equação que envolva uma derivada.
● Para resolver este tipo de equação basta determinar a integral Indefinida.
● Uma lista de todas as soluções possíveis de uma equação diferencial é chamada de
solução geral.
● Uma solução que satisfaça a condições específicas, conhecidas como condições de
contorno, recebe o nome de solução particular.
27)Detemine ∫ x dxx1 solução: faça u=x+1 e du=dx resposta: x+1 -ln |x+1| +C
EXERCÍCIOS
28) O valor de revenda de um certa máquina industrial diminui, durante um período de 10
anos, a uma taxa que depende da idade da máquina. Quando a máquina tem x anos de uso, a
taxa com a qual seu valor está variando é de 220 (x-10) $ por ano. Expresse o valor da
máquina em função de sua idade e valor inicial. Se a máquina valia $ 12000,00 quando nova,
qual será seu valor com 10 anos de uso?
Resposta: V x =110x²−2200xC solução geral
 V x =110x²−2200x12000 solução particular
 V(10)=$1000,00
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS SEPARÁVEIS
● pode ser escrita na forma g(y) dy=h(x)dx
● a solução geral deste tipo de equação pode ser obtida integrando ambos os membros:
● ∫ g y dy=∫ h x dxC
29) Determine a solução geral da equação diferencial dada:
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a) dy
dx
=3x²5x−6
 
b) dy
dx
=
y
x−1
 
c) dydx=
y3
2x−56
d) dx
dt
=
xt
2t1
*dica : faça : u=2t+1 du=2dt resposta: x=e1 /2 2t1
C
42t1
e) dy e
y
dx
=ey1x−29
4. INTEGRAÇÃO POR PARTES
● Se G é uma antiderivada de g, ∫u dv=u∗v−∫ v∗du dx
● é uma técnica usada para integrar produtos da forma u*dv nos quais um dos
fatores dv, possa ser facilmente integrando e o outro u, se torna mais simples ao
ser derivado.
EXERCÍCIOS
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30) Detemine ∫ x e2x dx solução:
dv= e2x u=x
v= ∫ dvdx= e
2x
2
du=1dx
∫u dv=u∗v−∫ v∗du dx = xe
2x
2
−
1
2∫ e
2x dx =
xe2x
2
−
e2x
4
C
31) Após t segundos, um corpo está se movendo a uma velocidade de t e−t /2 metros por
segundo. Expresse a posição do corpo em função do tempo.
32) Após t horas no emprego, um operário é capaz de produzir 100te−0,5 t unidades por
hora. Quantas unidades o operário produz nas primeiras 3 horas? R:176,87
33) Use o método da integração por partes para calcular a integral dada:
a) ∫ x ex /2 dx b) ∫ x dx x2 c) ∫ x x1
8dx
 d) ∫ x2 ln x dx e) ∫ x2 e3x dx
f) ∫ x  x−6dx
5. INTEGRAL DEFINIDA
área sob a curva: se f(x) é um função contínua e f x 0 no intervalo axb , a área
da região sob a curva y=f(x) no intervalo axb é dada por A= ∫ b
a
f x dx
TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO
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Se a função f(x) é contínua no intervalo axb , ∫ b
a
f x dx=F b−F a onde F(x)
é a aniderivada de f(x) no intervalo axb .
EXERCÍCIOS
34) Calcule ∫ 4
1
 x−x 2dx
 resposta:49/3
35) Calcule ∫ 1
0
8x x 213dx resposta:15
36) Determine a área da região limitada pela curva y=−x24x−3 e pelo eixo x.
Resposta:4/3 * achar os zeros da função e integrar.
ÁREA ENTRE DUAS CURVAS
● se f(x) e g(x) são funções contínuas no intervalo axb com f x g x  e se
R é a região limitada pelas curvas de f e g e pelas retas verticais x=a e x=b.
EXERCÍCIOS
37) Detemine a área da região limitada pelas curvas y=x³ e y=x².
Resposta: 1/12 * os pontos de intersecção são (0;0) e (1;1)
wxmaxima
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GRAFICO FOI CONSTRUÍDO NO BROOFFICE -CALC- dispersão
 
38) Determine a área da região limitada pela reta y=4x e y=x³ +3x² R:32,75
* somar as duas áreas de -4 até 0 e 0 até 1 ou integral -4 até 1.
39) O valor de revenda de certa máquina industrial diminui durante um período de 10 anos, a
uma taxa que varia com o tempo. Quando a máquina tem x anos de uso, a taxa com que o
valor está variando é de 220(x-10) $ por ano. Qual é a depreciação da máquina durante o
segundo ano? R 1870 * integral entre 1 e 2.
40) Os responsáveis por uma exposição estimam que, t horas após os portões serem abertos
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x y=x² y=x³
0 0 0
0,1 0,1 0
0,5 0,25 0,13
0,6 0,36 0,22
0,7 0,49 0,34
0,9 0,81 0,73
1 1 1
x y=4x y=x³+3x²
1 4 4
0,7 2,8 1,81
0,5 2 0,88
0 0 0
­1 ­4 2
­2 ­8 4
­3 ­12 0
­4 ­16 ­16
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
-20
-15
-10
-5
0
5
10
y=4x
y=x³+3x²
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
y=x²
y=x³
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às 9 horas, os visitantes estarão entrando na exposição à taxa de -4(t+2)³ +54(t+2)² pessoas
por hora. Quantas pessoas entrarão na exposição entre 10h(t=1) e meio dia (t=3)? Resposta :
1220
41) Estima-se que após t dias a quantidade de feijão colhida por um fazendeiro estará
aumentando à razão de 0,3t² +0,6t +1 sacos por dia. Qual será o aumento do valor da colheita
nos próximos 5 dias se o preço do saco de feijão pernanecer constante em $ 3,00? R:75
* calcular a integral entre 0 até 5 : 25 sacos * 3 =$75
42) Depois de passar t horas trabalhando, um operário é capaz de produzir 100 te−0,5 t
unidades por hora. Quantas unidades um operário que chega ao trabalho às 8 horas (t=0) é
capaz de produzir entre 10h e rmeio dia? R:132
43) HOFFMANN(2002, p.333) Após t horas de trabalho, um operário é capaz de produzir
Q1(t)=60−2(t−1)
2 unidades por hora, enquanto um segundo operário é capaz de produzir
Q2( t)=5−5t unidades por hora:
a) se os dois operários chegarem ao trabalho as 8 h, quantas unidades a mais que o segundo
operário o primeiro operário terá produzido até ao meio dia?
b) interprete o resultado como area entre duas curvas.
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CURVAS DE LORENTZ
● distribuição de renda em uma sociedade.
● Um modelo matemático para estudar desigualdades na distribuição de renda.
● Na curva da figura 1, por exemplo o ponto (0,30; 0,23) representa o fato de que as
famílias com renda menor que 30% da população recebem 23% da renda do país.
● A reta y=x representa o caso idealem que a distribuição de renda é homogênea.
● Esse ideal é raramente conseguido na prática, a curva de LORENTZ está abaixo da
reta y=x.
● A região entre a reta y=x e a curva de LORENTZ, representa o desvio da distribuição
de renda em relação caso ideal.
● A área da região y=x é ½ ( triangulo )
● a razão conhecida como índice de GINI ( ou índice de desigualdade de renda) é
calculado pela expressão:
●
indicedeGini=
área de R1
área de R2
=
∫1
0
[ x−L x ]dx
1/2
=2∫ 1
0
[ x−L x ]dx
FIGURA 1- CURVA DE LORENTZ
prof.Jorge Roberto Grobe CA31M 03/02/2014 22:03:09 13
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
porcentagem das familias
po
rc
en
ta
ge
m
 d
a 
re
nd
a
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Indice de Gini : se y =L(x) é a equação de uma curva de LORENTZ, a desigualdade da
distribuição de renda correspondente é medida pelo índice de Gini , que é dado pela
expressão :
indicedeGini=2∫ 1
0
[ x−L x ]dx
 este valor está entre 0 e 1.
● índice 0 – distribuição uniforme
● índice 1- maior desigualdade possível ( toda renda do país vai para uma unica familia)
● quanto menor o índice, mais uniforme a distribuição de renda
● quanto maior o índice ; mais concentrada a renda nas mãos de poucos indivíduos.
I ndice de GINI - distribuição da renda
O índice de GINI mede o grau de distribuição da renda (ou em alguns casos os gastos com o
consumo) entre os indivíduos em uma economia. Medido com referência ao desvio de uma
distribuição perfeita, um índice de GINI zero implica em uma perfeita equanimidade na
distribuição da renda, enquanto que um índice de 100 implica na perfeita
desigualdade.América do Sul (1984-2002) Índice de GINI
 País Abreviatura Índice de GINI
 Argentina ARG 52.2
 Bolívia BOL 44.7
 Brasil BRA 58.5
 Chile CHL 57.1
 Colômbia COL 57.6
 Equador ECU 43.7
 Guiana GUY 43.2
 Paraguai PRY 56.8
 Peru PER 49.8
 Suriname SUR -
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 Uruguai URY 44.6
 Venezuela VEN 49.1
EXERCÍCIOS
43)Um órgão do governo verifica que as curvas de Lorentz para as distribuições de renda dos
dentistas e médicos em certo estado são dadas pelas funções L1 x=x
1,7 e L2=0,8 x²0,2 x
respectivamente. Para que profissão a distribuição de renda é mais homogênea?
FIGURA 2 – DISTRIBUIÇÃO DE RENDA DOS DENTISTAS
Respostas: G1=0,2593 a distribuição de renda é mais homogênea e G2=0,2667 
● A a ea entre a curva de LORENTZ e reta y=x é uma medida de desigualdade deŕ
renda, quanto maior a área maior a desigualdade.
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44) Um estudo sugere que as curvas de Lorentz para as distruições de renda dos engenheiros
de computadores e os corredores de ações são das pelas funções
L1=x
1,8e L2 x=0,75 x²0,25 x Para qual das profissões a distribuição de renda é mais
homogênea? R: corretores de ações
45)A distribuição de renda de duas profissões diferentes são dadas pelas funções
L1x =0,7 x
40,3 xe L2 x=Ax²Bx . Determine os valores de A e B para que as
distribuições de renda é mais homogênea?
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REFERENCIAS
• CUNHA, Felix da et al. Matemática Aplicada. Editora Atlas. SP.1990.
• HOFFMANN .L.D. & BRADLEY.G.L. Cálculo . Um curso moderno e suas
aplicações. Editora LTC.RJ.7a edição.2002.
• Disponível em http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm28/func/grgr.htm acessado
02/09/2008.
• Disponível em http://www.hottopos.com.br/regeq8/cardoso1.htm, acessado em
04/09/2008
• Disponível em http://www.politica-democracia.com/al-america-latina/ind-gini.htm,
acessado em 25/11/2008
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