Aula12-Técnicas de contagem

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Curso: Engenharia Civil 
Disciplina: Estatística (ESTE2) 
Prof. Rodrigo Cleber da Silva 
Aula 12 
12 – Técnicas de contagem 
 Para utilizar o método clássico da probabilidade, é preciso 
conhecer o número total de resultados possíveis de um experimento. 
 
 Uma das possibilidades é o uso das árvores de decisão, mas 
quando o número de resultados é grande, essa lista se torna muito 
trabalhosa; é necessário então recorrer a fórmulas matemáticas para 
determinar o número total de resultados possíveis. 
 
 Suponhamos que um estudante esteja fazendo um teste de 20 
questões do tipo “verdadeiro-ou-falso”. Suponhamos ainda que ele, 
não tenha estudado nada, esteja dando todas as respostas na base do 
palpite. Qual a probabilidade de ele responder corretamente todo o 
teste? 
12 – Técnicas de contagem 
 A primeira coisa a fazer é determinar o número total de 
resultados possíveis. 
 
 Em segundo lugar devemos explorar suas diversas versões. 
Imaginemos que o teste consista de apenas: 
 
Uma questão temos V ou F 
 
Duas questões temos VV, VF, FV, FF 
 
Três questões temos VVV, VVF, VFF, VFV, FVF, FVV, FFV, FFF 
 
Conclui-se: 
Número de questões : 1 2 3 4 
Número de resultados : 2 4 8 16 
12 – Técnicas de contagem 
12.1- Principio da multiplicação 
 
O diagrama mostra que cada questão dobra o número total de 
resultados possíveis (com duas alternativas V ou F) temos: 
12 – Técnicas de contagem 
12.1- Principio da multiplicação 
12 – Técnicas de contagem 
12.2- Arranjo, permutação e combinação 
 
 Quando a ordem em que os elementos se dispõem é 
importante, o número total de resultados possíveis é conhecido como 
Arranjo ou Permutação. Quando a ordem não interessa, o número 
total de resultados possíveis é designado como Combinação. 
 
 Para o uso na análise combinatória usaremos o número fatorial 
representado pelo símbolo ! como por exemplo 4! lê-se “quatro 
fatorial” e significa 4 x 3 x 2 x 1 = 24. 
 
12 – Técnicas de contagem 
12.2- Arranjo, permutação e combinação 
 
 Outros exemplos: 
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 
12! = 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x ..............x 1 = 479.001.600 
 
 Os fatoriais crescem de modo extremamente rápido, à medida 
que aumenta o número base. 
 
 Felizmente, quase nunca é necessário utilizar-se 
completamente os fatoriais, pois eles aparecem em grupos, permitindo 
cancelamentos: 
12 – Técnicas de contagem 
12.2- Arranjo, permutação e combinação 
 
 
12 – Técnicas de contagem 
12.2- Arranjo, permutação e combinação 
 
 
12 – Técnicas de contagem 
12.2- Arranjo, permutação e combinação 
 
 São agrupamentos que podem variar pela ordem ou natureza 
dos elementos. Quando se consideram n elementos distintos tomados 
x a x chamamos arranjo ou agrupamentos “eneários” que se podem 
formar com esses n elementos, dispomos de todas as formas possíveis 
de modo que dois arranjos quaisquer difiram ao menos pela ordem 
dos elementos. 
 
 Assim, os arranjos possíveis com as letras A, B e C são A 3,2 
(3 elementos dois a dois) A 3,2 = AB; BA; AC; CA, BC; CB. 
 
 E com os números: 2, 6 e 8 podem ser feitos os seguintes 
arranjos A 3,2 
A 3,2 = 26; 28; 62; 68; 82; 86. 
12 – Técnicas de contagem 
12.2- Arranjo, permutação e combinação 
 
 
12 – Técnicas de contagem 
12.2- Arranjo, permutação e combinação 
 
 Denomina-se permutação aos arranjos de objetos tomados n a 
n. Neste caso cada objeto entra só uma vez em todos os grupos. 
 
 Em geral o número de permutações distintas com n itens, dos 
quais n1 são indistinguíveis de um tipo, n2 de outro tipo, etc, é: 
12 – Técnicas de contagem 
12.2- Arranjo, permutação e combinação 
 
 
12 – Técnicas de contagem 
12.2- Arranjo, permutação e combinação 
 
 Chama-se combinação quando não interessa a ordem para 
denotar o número de agrupamentos distintos possíveis. 
 
 Exemplo: é a escolha de 2 tipos de vegetal de um cardápio 
com 5 tipos. A escolha de batata e cenoura é a mesma que cenoura e 
batata. 
 
 De um modo geral, para agrupamentos de tamanho x extraídos 
de uma lista de n itens, o Número de combinações possíveis é: 
12 – Técnicas de contagem 
12.2- Arranjo, permutação e combinação 
 
 Chama-se combinação quando não interessa a ordem para 
denotar o número de agrupamentos distintos possíveis. 
 
 Exemplo: é a escolha de 2 tipos de vegetal de um cardápio 
com 5 tipos. A escolha de batata e cenoura é a mesma que cenoura e 
batata. 
 
 De um modo geral, para agrupamentos de tamanho x extraídos 
de uma lista de n itens, o Número de combinações possíveis é: 
12 – Técnicas de contagem 
12.2- Arranjo, permutação e combinação 
 
 Quantos comitês distintos, de 3 pessoas cada um, podemos 
formar com um grupo de 10 pessoas? 
12 – Técnicas de contagem 
12.3- REGRAS DE CONTAGEM 
 
 
12 – Técnicas de contagem 
12.3- REGRAS DE CONTAGEM 
 
 
12 – Técnicas de contagem 
12 – Técnicas de contagem 
12 – Técnicas de contagem