Estimativa de Variância Populacional e Teste de Hipóteses

Prévia do material em texto

Curso: Engenharia Civil 
Disciplina: Estatística (ESTE2) 
Prof. Rodrigo Cleber da Silva 
Aula 19 
15 – Estimativas e Tamanho de Amostras 
4- ESTIMATIVA DE UMA VARIÂNCIA POPULACIONAL 
 Mantendo a linha de estudos dos itens anteriores usaremos 
agora a VARIÂNCIA POPULACIONAL σ², no lugar do desvio padrão 
σ. 
 Para isso usaremos a Distribuição Qui-Quadrado: 
15 – Estimativas e Tamanho de Amostras 
4- ESTIMATIVA DE UMA VARIÂNCIA POPULACIONAL 
 
 Denotamos Qui-Quadrado por Χ². Para achar os valores críticos 
dos valores Qui-Quadrado, recorremos à Tabela 1 a seguir. 
 A Distribuição Qui-Quadrado é determinada pelo número de 
graus de liberdade. Neste capitulo utilizamos (n-1) graus de liberdade. 
15 – Estimativas e Tamanho de Amostras 
4- ESTIMATIVA DE UMA VARIÂNCIA POPULACIONAL 
 
 
15 – Estimativas e Tamanho de Amostras 
4- ESTIMATIVA DE UMA VARIÂNCIA POPULACIONAL 
 
 
15 – Estimativas e Tamanho de Amostras 
4- ESTIMATIVA DE UMA VARIÂNCIA POPULACIONAL 
 
 EXEMPLO: Determine os valores críticos de Χ² que definem 
regiões criticas contendo uma área de 0,025 em cada cauda. Suponha 
que o tamanho da amostra seja 10, de modo que o número de graus de 
liberdade é 10-1= 9. 
 
 
15 – Estimativas e Tamanho de Amostras 
4- ESTIMATIVA DE UMA VARIÂNCIA POPULACIONAL 
 
 
15 – Estimativas e Tamanho de Amostras 
4- ESTIMATIVA DE UMA VARIÂNCIA POPULACIONAL 
 
 Solução: Conforme a figura abaixo, o valor critico é obtido à 
direita (Χ² = 19,023) diretamente, localizando 9 na coluna de graus de 
liberdade à esquerda e 0,025 na parte superior. O valor critico Χ² = 2,70 
à esquerda mais uma vez correspondente a 9 na coluna de graus de 
liberdade mas devemos localizar 0,975 (1- 0,025) na parte superior, 
porque os valores no topo são sempre áreas à direita do valor critico. 
Verifique na figura abaixo que a área total à direita de Χ ² = 2,70 e 
0,975. 
15 – Estimativas e Tamanho de Amostras 
4- ESTIMATIVA DE UMA VARIÂNCIA POPULACIONAL 
 
 Estimadores de σ². 
 
 A variância amostral S² é a melhor estimativa pontual da 
variância populacional σ². Embora S² seja a melhor estimativa de σ² 
não podemos avaliar quão boa é essa estimativa, portanto 
estabelecemos uma estimativa intervalar mais reveladora. 
15 – Estimativas e Tamanho de Amostras 
4- ESTIMATIVA DE UMA VARIÂNCIA POPULACIONAL 
 
 
15 – Estimativas e Tamanho de Amostras 
4- ESTIMATIVA DE UMA VARIÂNCIA POPULACIONAL 
 
Exemplo: Uma confeitaria fabrica bombons que são embalados em 
pacotes com 12 unidades pesando no total 420 gramas. Se a variação 
dos bombons é muito grande, algumas caixas terão peso a menos 
(prejudicando o consumidor) e outras terão peso a mais (diminuindo o 
lucro). Este problema pode ser evitado se os bombons tiverem um peso 
médio de 35 gramas e um desvio padrão de 0,60 gramas ou menos. 
Selecionam-se aleatoriamente, na linha de produção, dez bombons que 
são pesados, dando os resultados a seguir: 
 
 35,8 35,0 36,8 36,1 34,2 35,2 36,6 35,0 33,6 34,2 (gramas) 
 
 Construa dois intervalos de confiança de 95%, um para σ² e 
outro para σ, e determine se o processo está com problemas. 
15 – Estimativas e Tamanho de Amostras 
4- ESTIMATIVA DE UMA VARIÂNCIA POPULACIONAL 
 
15 – Estimativas e Tamanho de Amostras 
4- ESTIMATIVA DE UMA VARIÂNCIA POPULACIONAL 
 
15 – Estimativas e Tamanho de Amostras 
4- ESTIMATIVA DE UMA VARIÂNCIA POPULACIONAL 
 
Exercícios: 
15 – Estimativas e Tamanho de Amostras 
4- ESTIMATIVA DE UMA VARIÂNCIA POPULACIONAL 
 
Exercícios: 
15 – Estimativas e Tamanho de Amostras 
4- ESTIMATIVA DE UMA VARIÂNCIA POPULACIONAL 
 
Exercícios: 
16 – Teste de Hipótese 
 Já foi visto como uma amostra pode ser usada para desenvolver 
estimativas pontuais e do intervalo dos parâmetros da população. 
Agora, continuaremos a discussão da inferência estatística mostrando 
como o teste de hipóteses pode ser usado para determinar se uma 
declaração sobre o valor de um parâmetro da população deve ser 
rejeitado. 
 
 No teste de hipóteses começamos fazendo uma hipótese 
tentativa sobre um parâmetro da população. Essa hipótese tentativa é 
chamada de hipótese nula e é denotada por H0. Definimos então uma 
outra hipótese, chamada de hipótese alternativa, que é o oposto do que 
foi estabelecido na hipótese nula. A hipótese alternativa é denotada por 
Ha. O procedimento do teste de hipóteses implica em usar dados de 
uma amostra para testar as duas declarações contrárias indicadas por 
H0 e Ha. 
16 – Teste de Hipótese 
 
 
 
 
 O objetivo aqui é mostrar como o teste de hipóteses pode ser 
conduzido sobre uma média da população. Começaremos dando 
exemplos que ilustram abordagens para desenvolver as hipóteses nula e 
alternativa. 
16 – Teste de Hipótese 
1- DESENVOLVENDO AS HIPÓTESES NULA E ALTERNATIVA 
 
 Em algumas aplicações pode não ser óbvio como as hipóteses 
nula e alternativa devem ser formuladas. Deve-se tomar cuidado para 
estar seguro de que as hipóteses são estruturadas apropriadamente e que 
a conclusão do teste de hipóteses forneça as informações que o 
pesquisador ou o tomador de decisão deseja. Diretrizes para estabelecer 
as hipóteses nula e alternativa são dadas para três tipos de situações nas 
quais os procedimentos do teste de hipóteses são comumente 
empregados. 
16 – Teste de Hipótese 
1- DESENVOLVENDO AS HIPÓTESES NULA E ALTERNATIVA 
 
 Testando Hipóteses de Pesquisa 
 
 Considere um modelo particular de automóvel que atualmente 
atinge uma eficiência média de combustível de 24 Km por litro. Um 
grupo de pesquisa do produto desenvolveu um novo motor 
especificamente projetado para aumentar a relação quilômetros por 
litro. Para avaliar o novo motor, diversos deles são fabricados, 
instalados em automóveis e submetidos aos testes de condução 
controlados pela pesquisa. Note que o grupo de pesquisa do produto 
está buscando evidências para concluir que o novo motor aumenta a 
média de quilômetros por litro. Neste caso, a hipótese de pesquisa é que 
o novo motor fornecerá uma média de quilômetros por litro que exceda 
24; isto é, μ > 24. Como diretriz geral, uma hipótese de pesquisa como 
essa deve ser formulada como hipótese alternativa. 
16 – Teste de Hipótese 
1- DESENVOLVENDO AS HIPÓTESES NULA E ALTERNATIVA 
 
 Testando Hipóteses de Pesquisa 
 
 Por isso as hipóteses nula e alternativa para esse estudo são: 
16 – Teste de Hipótese 
1- DESENVOLVENDO AS HIPÓTESES NULA E ALTERNATIVA 
 
 Se os resultados da amostra indicam que H0 não pode ser 
rejeitada, os pesquisadores não podem concluir que o novo motor seja 
melhor. Talvez mais pesquisas e testes subseqüentes devam ser 
realizados. No entanto, se os resultados da amostra indicam que H0 
pode ser rejeitada, os pesquisadores podem fazer a inferência de que Ha 
: μ > 24 seja verdadeira. Com essa conclusão, os pesquisadores têm o 
suporte estatístico necessário para estabelecer que o novo motor 
aumenta o número médio de quilômetros por litro. A ação para iniciar a 
produção com o novo motor pode ser empreendida. 
16 – Teste de Hipótese 
1- DESENVOLVENDO AS HIPÓTESES NULA E ALTERNATIVA 
 
 Em estudos de pesquisa como esse, as hipóteses nula e 
alternativa devem ser formuladas de modo que a rejeição de H0 suporte 
a conclusão e a ação que estão sendo procuradas. Em tais casos, a 
hipótese de pesquisa deve ser expressa como a hipótese alternativa. 
16 – Teste de Hipótese 
1- DESENVOLVENDO AS HIPÓTESES NULA E ALTERNATIVA 
 
 Testando a Validade de umaAfirmação 
 
 Como uma ilustração do teste da validade de uma afirmação, 
considere a situação de um fabricante de refrigerantes que estabelece 
que os recipientes de dois litros de seus produtos têm uma média de 
pelo menos 2,1 litros de líquido. Uma amostra de recipientes de dois 
litros será selecionada e o conteúdo será medido para testar a afirmação 
do fabricante. Neste tipo de situação de teste de hipóteses, geralmente 
partimos do pressuposto de que a afirmação do fabricante é verdadeira. 
Usando essa abordagem para o exemplo dos refrigerantes, poderíamos 
estabelecer as hipóteses nula e alternativa como segue: 
16 – Teste de Hipótese 
1- DESENVOLVENDO AS HIPÓTESES NULA E ALTERNATIVA 
 
 Se os resultados da amostra indicam que H0 não pode ser 
rejeitada, a afirmação do fabricante não pode ser desafiada. No entanto, 
se os resultados da amostra indicam que H0 pode ser rejeitada, será feita 
a inferência de que Ha : μ < 2,1 é verdadeira. Com essa conclusão, a 
evidência estatística indica que a afirmação do fabricante está incorreta 
e que os recipientes de refrigerante estão sendo preenchidos com uma 
média menor do que os 2,1 litros declarados. Uma ação apropriada 
contra o fabricante pode ser considerada. 
16 – Teste de Hipótese 
1- DESENVOLVENDO AS HIPÓTESES NULA E ALTERNATIVA 
 
 Em qualquer situação que implica testar a validade de uma 
afirmação sobre o produto, a hipótese nula é geralmente baseada na 
hipótese de que a afirmação é verdadeira. A hipótese alternativa é 
então formulada de modo que a rejeição de H0 fornecerá evidência 
estatística de que a hipótese estabelecida está incorreta. A ação para 
corrigir a afirmação deve ser considerada sempre que H0 é rejeitada. 
16 – Teste de Hipótese 
1- DESENVOLVENDO AS HIPÓTESES NULA E ALTERNATIVA 
 
 Testando em Situações de Tomada de Decisão 
 
 Ao testar hipóteses de pesquisa ou testar a validade de uma 
afirmação, uma ação é tomada se H0 for rejeitada. Em muitos casos, no 
entanto, a ação precisa ser tomada tanto quando H0 não pode ser 
rejeitada como quando H0 pode ser rejeitada. Em geral, esse tipo de 
situação ocorre quando um tomador de decisão precisa escolher entre 
dois cursos de ação, um associado com a hipótese nula e um outro 
associado com a hipótese alternativa. Por exemplo, com base em uma 
amostra de peças de um embarque que acabou de ser recebido, o 
inspetor de controle de qualidade precisa decidir se aceita o 
carregamento inteiro ou retorna o carregamento ao fornecedor porque 
ele não satisfaz as especificações. 
16 – Teste de Hipótese 
1- DESENVOLVENDO AS HIPÓTESES NULA E ALTERNATIVA 
 
 Testando em Situações de Tomada de Decisão 
 
 Considere que as especificações para uma determinada peça 
estabeleçam que um comprimento médio de duas polegadas seja 
desejado. Se a média for maior ou menor que duas polegadas, as peças 
causarão problemas de controle de qualidade na operação de 
montagem. Neste caso, as hipóteses nula e alternativa seriam 
formuladas como segue: 
16 – Teste de Hipótese 
1- DESENVOLVENDO AS HIPÓTESES NULA E ALTERNATIVA 
 
 Se o resultado da amostra indica que H0 não pode ser rejeitada, 
o inspetor de controle de qualidade não terá razões para duvidar de que 
o embarque satisfaz as especificações e o embarque será aceito. No 
entanto, se os resultados da amostra indicam que H0 deva ser rejeitada, 
a conclusão será de que as peças não satisfazem as especificações. 
Neste caso, o inspetor de qualidade terá evidência suficiente para 
retornar o embarque ao fornecedor. Assim, que para esses tipos de 
situações, a ação é tomada tanto quando H0 não pode ser rejeitada como 
quando H0 pode ser rejeitada. 
16 – Teste de Hipótese 
1- DESENVOLVENDO AS HIPÓTESES NULA E ALTERNATIVA 
 
 Resumo das Formas para as Hipóteses Nula e Alternativa 
 
 Seja μ0 denotando o valor numérico específico que está sendo 
considerado nas hipóteses nula e alternativa. Em geral, um teste de 
hipóteses ao redor dos valores de uma média de população μ precisa 
tomar uma das seguintes três formas: 
16 – Teste de Hipótese 
1- DESENVOLVENDO AS HIPÓTESES NULA E ALTERNATIVA 
 
 Em muitas situações, a escolha de H0 e de Ha não é óbvia e é 
necessário julgamento para selecionar a forma apropriada. No entanto, 
como as formas acima mostram, a parte de igualdade da expressão 
(tanto ³, £ ou =) sempre aparece na hipótese nula. Ao selecionar a forma 
apropriada de H0 e de Ha tenha em mente que a hipótese alternativa é o 
que o teste está tentando estabelecer. Por isso, perguntar se o usuário 
está procurando por evidência para confirmar μ < μ0, μ > μ0 ou μ ≠ μ0 
ajudará a determinar Ha. 
16 – Teste de Hipótese 
1- DESENVOLVENDO AS HIPÓTESES NULA E ALTERNATIVA 
 
16 – Teste de Hipótese 
1- DESENVOLVENDO AS HIPÓTESES NULA E ALTERNATIVA