00 Métodos Numéricos Aplicados Aula 04

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Métodos Numéricos Aplicados 
 
 
 
 
 
 
Aula 4 
 
 
Professora Celina Jarletti 
 
 
 
 
 
 
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Conversa Inicial 
Olá! Estamos na quarta aula de Métodos Numéricos Aplicados. 
Nela abordaremos os principais aspectos da interpolação e da 
extrapolação. Vamos começar? 
Contextualizando 
Nesta aula, apresentaremos os conceitos e os procedimentos para o 
emprego da interpolação e da extrapolação. É importante informar que tanto a 
interpolação quanto a extrapolação são procedimentos empregados sobre dados 
numéricos apresentados normalmente na forma de tabelas, sem definição ou 
conhecimento de uma equação geradora desses dados. 
Inicialmente será abordada a interpolação, com destaque as condições de 
empregabilidade dos procedimentos. Há diferentes formas de realizar a 
interpolação, tais como, a interpolação linear, a interpolação polinomial, a forma 
de Lagrange e a forma de Newton. Todas elas são detalhadas na sequência com 
exemplos aplicativos 
Os últimos temas envolverão a extrapolação. Nestes casos, será 
empregado o método dos mínimos quadrados para realizar a escolha da melhor 
curva que se ajusta aos dados analisados. Exemplos com situações reais e 
cotidianas serão apresentados ao longo do desenvolvimento dos temas. 
Que tal iniciarmos assistindo à introdução da professora Celina 
Jarletti no material online? 
 
 
 
 
 
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TEMA 1: Interpolação 
 
Interpolar consiste em aproximar uma função desconhecida 𝑓(𝑥) (ou 
muito complexa), por outra função 𝑔(𝑥) escolhida entre um grupo de funções e 
que satisfaça algumas propriedades. Normalmente empregam-se funções 
simples como função linear e funções polinomiais e trigonométricas (senos e 
cossenos) para a interpolação, por serem funções sempre contínuas no conjunto 
dos Reais. 
A interpolação é empregada quando: 
 São conhecidos somente valores numéricos da função para um 
conjunto de pontos, e é necessário calcular o valor da função em um 
ponto não tabelado, interior à tabela. 
 A expressão da função em estudo é muito complexa, e operações 
como diferenciação ou integração são muito difíceis ou até 
impossíveis de serem feitas. 
É importantíssimo observar que as técnicas de interpolação são aplicáveis 
a dados confiáveis, ou seja, normalmente apresentados em apêndices de 
livros, ou catálogos técnicos onde tenha ocorrido a consideração de uma teoria 
fundamentada e aplicável aos estudos. Não se aplica a interpolação a dados de 
algum experimento ou de algum censo ou pesquisa que terão erros inerentes 
envolvidos nas informações. 
Conceito de Interpolação: 
Considerando 𝑛 + 1 pontos distintos de uma tabela, denotados por 
𝑥0, 𝑥1, … , 𝑥𝑛 (denominados nós da interpolação) e os valores da função nestes 
pontos 𝑓(𝑥0), 𝑓(𝑥1),… , 𝑓(𝑥𝑛). A interpolação apresenta uma função 𝑔(𝑥) tal que: 
𝑔(𝑥0) = 𝑓(𝑥0), 𝑔(𝑥1) = 𝑓(𝑥1), ... , 𝑔(𝑥𝑛) = 𝑓(𝑥𝑛), ou seja, nos nós de 
 
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interpolação os valores obtidos pela função interpoladora 𝑔(𝑥) são iguais aos 
valores de 𝑓(𝑥) apresentados na tabela. Isto é representado na figura a seguir. 
 
 
Interpolação Linear. 
É o processo mais simples de interpolação, e por isto, o mais comumente 
empregado. Nele, utiliza-se somente dois pontos da tabela de valores para 
realizar a interpolação, sendo estes dois pontos o imediatamente anterior e o 
imediatamente posterior ao valor que se deseja interpolar. Os demais pontos da 
tabela de valores são desconsiderados, o que torna a interpolação linear uma 
aproximação grotesca porque não analisa características da função 𝑓(𝑥) que 
podem ser observadas pelos valores de todos os pontos da tabela. A forma para 
a equação interpoladora 𝑔(𝑥) é a de uma equação de reta passando por dois 
pontos. 
 
 
 
 
 
 
𝑦 − 𝑦1 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
. (𝑥 − 𝑥1) 
 
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Exemplo 1. 
Considerando a tabela que relaciona a temperatura da água e o calor 
específico: 
 
Calcule o calor específico da água à temperatura de 27ºC. 
Solução: Os pontos considerados são (25;0,99852) e (30; 0,99826) onde 
a abscissa representa a temperatura e a ordenada do ponto representa o calor 
específico. Desejamos calcular o valor do calor específico, então, usando a 
equação da reta que passa por 2 pontos: 
𝑦 − 𝑦1 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
. (𝑥 − 𝑥1) 
𝑦 − 0,99852 =
0,99826 − 0,99852
30 − 25
. (27 − 25) 
𝑦 = 0,99852 +
(−0,00026) . 2 
5
= 0,998416 
O valor do calor específico para a água é 0,998416 quando a água está à 
temperatura de 27ºC. 
 
 
Veja o que a professora Celina Jarletti tem a dizer sobre 
interpolação linear no material online. 
 
 
 
 
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TEMA 2: Interpolação Polinomial 
 
Neste caso, a função interpoladora é um polinômio que tem forma dada 
por: 
 
O grau do polinômio interpolador pode ser menor ou igual a 𝑛 tendo 𝑛 + 1 
pontos na tabela de valores, ou seja, se a tabela apresentar 5 pontos (𝑥; 𝑓(𝑥)) 
poderemos obter polinômio de grau até 4 para a função interpoladora. 
A interpolação polinomial atende a condição 𝑓(𝑥𝑘) = 𝑝𝑛(𝑥𝑘) 𝑐𝑜𝑚 𝑘 =
0, 1, 2,… , 𝑛 que leva ao sistema, com 𝑛 + 1 equações e 𝑛 + 1 variáveis. 
{
 
 
𝑎0 + 𝑎1𝑥0 + 𝑎2𝑥0
2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑥0
𝑛 = 𝑓(𝑥0)
𝑎0 + 𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥1
2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑥1
𝑛 = 𝑓(𝑥1)
… … … … … …
𝑎0 + 𝑎1𝑥𝑛 + 𝑎2𝑥𝑛
2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑛
𝑛 = 𝑓(𝑥𝑛)
 
Usando a notação matricial, vem: 
|
1 𝑥0 … 𝑥0
𝑛
1 𝑥1 … 𝑥1
𝑛
… … … …
1 𝑥𝑛 … 𝑥𝑛
𝑛
| . |
𝑎0
𝑎1
…
𝑎𝑛
| = |
𝑓(𝑥0)
𝑓(𝑥1)
…
𝑓(𝑥𝑛)
| 
A matriz dos coeficientes é denominada matriz de Vandermonde, e terá 
det (𝐴) ≠ 0 desde que os valores de 𝑥𝑘 𝑐𝑜𝑚 𝑘 = 0, 1, 2,… , 𝑛 sejam distintos, o que 
nos leva a um sistema possível e determinado (solução única). 
Exemplo 2: 
Considerando a tabela de valores abaixo, determine o polinômio 
interpolador de grau ≤ 2 e calcule 𝑝(1). 
 
 
𝑔(𝑥) = 𝑝𝑛(𝑥) = 𝑎𝑛 . 𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1. 𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑎2. 𝑥
2 + 𝑎1. 𝑥 + 𝑎0 
 
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Solução: 
Tem-se: 𝑝(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥
2 = 𝑓(𝑥) 
 
Para 𝑥 = −1 tem-se: 𝑎0 + 𝑎1 . (−1) + 𝑎2. (−1)
2 = 4 
Para 𝑥 = 0 tem-se: 𝑎0 + 𝑎1. 0 + 𝑎2 . 0
2 = 1 
Para 𝑥 = 2 tem-se: 𝑎0 + 𝑎1 . 2 + 𝑎2 . 2
2 = −1 
 
Ou {
𝑎0 − 𝑎1 + 𝑎2 = 4
𝑎0 = 1
𝑎0 + 2𝑎1 + 4𝑎2 = −1
 com solução: 𝑎0 = 1; 𝑎1 = −
7
3
; 𝑒 𝑎2 =
2
3
 
 
Então 1 −
7
3
𝑥 +
2
3
𝑥2 = 𝑝(𝑥) é o polinômio interpolador. 
Calculando 𝑝(1) = 1 −
7
3
. 1 +
2
3
. 12 = −
2
3
= −0.66666… 
Exemplo 3 
 A tabela a seguir, apresenta a máxima demanda de energia diária em 
uma cidade. 
 
Determine o polinômio interpolador e estime o consumo na data de 5 de 
fevereiro 
 
Solução: 𝑛 + 1 = 4 (número de pontos da tabela) ∴ 𝑛 =
3 (𝑔𝑟𝑎𝑢 𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛ô𝑚𝑖𝑜) 
Polinômio interpolador é: 𝑝3(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥
2 + 𝑎3𝑥
3 
 
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As datas devem ser transformadas para não envolver os meses, mas dias 
do ano, ou seja, 21 de janeiro é o 21º dia, 31 de janeiro é o 31ºdia, 10 de fevereiro 
é o 41º dia, e 20 de fevereiro é o 51º dia do ano que são os valores de x. Gerando 
o sistema de equações, vem na forma matricial: 
|
1 21 212 213
1 31 312 313
1 41 412 413
1 51 512 513
| . |
𝑎0
𝑎1
𝑎2
𝑎3
| = |
10
17
20
14
| 
Resolvendo o sistema obtém-se: 
𝑎0 = 4,522 𝑎1 = −0,579 𝑎2 = 0,0575 𝑎3 = −8,33 . 10
−4 
Resultando o polinômio interpolador: 
𝑝(𝑥) = 4,522 − 0,579𝑥 + 0,0575𝑥2 − 8,33.10−4𝑥3 
Para o dia 5 de fevereiro, (36º dia do ano), com 𝑥 = 36 , resulta uma 
demanda de energia de 19,33 Mw. 
Podemos observar que no exemplo 2 a solução do sistema linear foi um 
processo simples e exato para a obtenção de 𝑝(𝑥). No exemplo 3, também foi 
possível determinar o polinômio interpolador, porém com maior dificuldade, visto 
que a matriz de Vandermonde envolve valores elevados e com maior dificuldade 
para solução do sistema linear. 
Dependendo do sistema que estejamos resolvendo, a matriz dos 
coeficientes (Vandermonde) pode ser mal condicionada e nos levar a situações 
onde não se verifica a definição de interpolação, ou seja, ocorre desigualdade 
entre valor obtido pelo polinômio interpolador e o valor da função. Analise o 
exemplo a seguir. 
 
 
 
 
 
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Exemplo 4 
Considerando os dados da tabela: 
 
Resulta o sistema linear: 
{
 
 
 
 𝑎0 + 0,1 𝑎1 + 0,1
2𝑎2 + 0,1
3𝑎3 = 5
𝑎0 + 0,2 𝑎1 + 0,2
2𝑎2 + 0,2
3𝑎3 = 13
𝑎0 + 0,3 𝑎1 + 0,3
2𝑎2 + 0,3
3𝑎3 = −4
𝑎0 + 0,4 𝑎1 + 0,4
2𝑎2 + 0,4
3𝑎3 = −8 
 
 
Realizando os cálculos com três dígitos e empregando o método de 
eliminação de Gauss, tem-se como solução: 
 
 
Calculando para 𝑥 = 0,4 obtém-se 𝑝(𝑥) = −8.88 ≠ −8 = 𝑓(𝑥) 
Sistemas de equações mal condicionados ocorrem quando estivermos 
trabalhando com valores muito grandes ou muito pequenos. No exemplo acima, 
ocorreram termos na ordem de 10−3 tais como 0,13 = 0,1 . 0,1 . 0,1 = 0,001 =
10−3. 
Existem outros procedimentos para determinar o polinômio interpolador. 
Veremos eles no próximo tema. 
 
Entenda melhor a interpolação polinomial assistindo à explicação 
da professora Celina Jarletti no material online. 
 
 
𝑝(𝑥) = −0,66 . 102 + 0,115 . 104 𝑥 − 0,505 . 104 𝑥2 + 0,633 . 104 𝑥3 
 
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TEMA 3: Polinômio Interpolador por Lagrange e por Newton 
 
Lagrange nos oferece uma forma alternativa para determinar o polinômio 
interpolador sem a resolução de sistemas de equações lineares, sendo as 
incógnitas os coeficientes dos termos do polinômio. 
Considerando 𝑛 + 1 pontos distintos de uma tabela de valores, escritos na 
forma (𝑥𝑖; 𝑦𝑖) onde 𝑦𝑖 = 𝑓(𝑥𝑖) e 𝑖 = 0, 1, 2,… , 𝑛. 
O polinômio interpolador de grau ≤ 𝑛 pode ser escrito sendo: 
 
 
 
Onde: 
 𝐿𝑘(𝑥) =
∏ (𝑥−𝑥𝑗)
𝑛
𝑗=0
𝑗≠𝑘
∏ (𝑥𝑘−𝑥𝑗)
𝑛
𝑗=0
𝑗≠𝑘
 
Nota: O símbolo ∏ (𝑥 − 𝑥𝑗)
𝑛
𝑗=0
𝑗≠𝑘
 denota o produtório dos termos (𝑥 − 𝑥𝑗) 
sendo 𝑗 o índice que identifica cada valor de x da tabela. Vejamos no próximo 
exemplo: 
Exemplo 5 
Determine o polinômio interpolador pela forma de Lagrange para a tabela 
de valores a seguir: 
 
 
 
𝑝𝑛(𝑥) = 𝑦0 . 𝐿0(𝑥) + 𝑦1 . 𝐿1(𝑥) + ⋯+ 𝑦𝑛 . 𝐿𝑛(𝑥) = ∑𝑦𝑘 . 𝐿𝑘(𝑥)
𝑛
𝑘=0
 
 
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Solução: 𝑝2(𝑥) = 𝑦0. 𝐿0(𝑥) + 𝑦1. 𝐿1(𝑥) + 𝑦2. 𝐿2(𝑥) 
𝐿0(𝑥) =
(𝑥 − 𝑥1). (𝑥 − 𝑥2)
(𝑥0 − 𝑥1). (𝑥0 − 𝑥2)
=
(𝑥 − 0). (𝑥 − 2)
(−1 − 0). (−1 − 2)
=
𝑥2 − 2𝑥
3
 
𝐿1(𝑥) =
(𝑥 − 𝑥0). (𝑥 − 𝑥2)
(𝑥1 − 𝑥0). (𝑥1 − 𝑥2)
=
(𝑥 + 1). (𝑥 − 2)
(0 + 1). (0 − 2)
=
𝑥2 − 𝑥 − 2
−2
 
𝐿2(𝑥) =
(𝑥 − 𝑥0). (𝑥 − 𝑥1)
(𝑥2 − 𝑥0). (𝑥2 − 𝑥1)
=
(𝑥 + 1). (𝑥 − 0)
(2 + 1). (2 − 0)
=
𝑥2 + 𝑥
6
 
Calculando 𝑝(𝑥) = 4 . (
𝑥2−2𝑥
3
) + 1 . (
𝑥2−𝑥−2
−2
) + (−1)(
𝑥2+𝑥
6
) = 1 −
7
3
𝑥 +
2
3
𝑥2 
Observe que os dados utilizados neste exemplo são os mesmos dados do 
exemplo 2 e o polinômio interpolador resultou na mesma expressão. Verifica-se 
que a forma de Lagrange é um recurso para determinar o polinômio de 
interpolação sem a necessidade de resolver um sistema de equações lineares 
com incógnitas sendo os coeficientes dos termos do polinômio. 
 
Forma de Newton 
Newton apresenta um processo por operador de diferenças divididas 
para escrever o polinômio interpolador utilizando a forma: 
 
 
Onde os 𝑑𝑖 𝑐𝑜𝑚 𝑖 = 0, 1, . . , 𝑛 são as diferenças divididas (de ordem 𝑖) 
calculadas por: 
𝑑0 = 𝑓(𝑥0) 
𝑑1 = 𝑓(𝑥0, 𝑥1) =
𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥0)
𝑥1 − 𝑥0
 
𝑑2 = 𝑓(𝑥0, 𝑥1, 𝑥2) =
𝑓(𝑥1, 𝑥2) − 𝑓(𝑥0, 𝑥1)
𝑥2 − 𝑥0
 
𝑝(𝑥) = 𝑑0 + 𝑑1. (𝑥 − 𝑥0) + 𝑑2. (𝑥 − 𝑥0). (𝑥 − 𝑥1) +⋯+ 𝑑𝑛(𝑥 − 𝑥0)… (𝑥 − 𝑥𝑛−1) 
 
 
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Exemplo 6 
Determinar o polinômio interpolador pela forma de Newton, e calcular 
𝑓(1,3). 
 
Solução: 
𝑑0 = 𝑓(𝑥0) = 1 
 
Cálculo das diferenças divididas de ordem um: 
𝑑1 = 𝑓(𝑥0, 𝑥1) =
𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥0)
𝑥1 − 𝑥0
=
1 − 1
0 − (−1)
=
0
1
= 0 
𝑓(𝑥1, 𝑥2) =
𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1)
𝑥2 − 𝑥1
=
0 − 1
1 − 0
= −
1
1
= −1 
𝑓(𝑥2, 𝑥3) =
𝑓(𝑥3) − 𝑓(𝑥2)
𝑥3 − 𝑥2
=
−1 − 0
2 − 1
= −
1
1
= −1 
Cálculo das diferenças divididas de ordem dois: 
𝑑2 = 𝑓(𝑥0, 𝑥1, 𝑥2) =
𝑓(𝑥1, 𝑥2) − 𝑓(𝑥0, 𝑥1)
𝑥2 − 𝑥0
=
−1− 0
1 − (−1)
= −
1
2
 
𝑓(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) =
𝑓(𝑥2, 𝑥3) − 𝑓(𝑥1, 𝑥2)
𝑥3 − 𝑥1
=
−1 − (−1)
2 − 0
=
0
2
= 0 
Cálculo das diferenças divididas de ordem três: 
𝑑3 = 𝑓(𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) =
𝑓(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) − 𝑓(𝑥0, 𝑥1, 𝑥2)
𝑥3 − 𝑥0
=
0 − (−
1
2)
2 − (−1)
=
1
2
3
=
1
6
 
 
 
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O polinômio interpolador é dado por: 
𝑝(𝑥) = 𝑑0 + 𝑑1. (𝑥 − 𝑥0) + 𝑑2. (𝑥 − 𝑥0). (𝑥 − 𝑥1) + 𝑑3(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) 
𝑝(𝑥) = 1 + 0(𝑥 − (−1)) −
1
2
(𝑥 − (−1))(𝑥 − 0) +
1
6
(𝑥 − (−1)). (𝑥 − 0)(𝑥 − 1) 
𝑝(𝑥) = 1 −
1
2
(𝑥 + 1)𝑥 +
1
6
(𝑥 + 1)𝑥(𝑥 − 1) 
𝑝(𝑥) =
1
6
𝑥3 −
1
2
𝑥2 −
2
3
𝑥 + 1 
Calculando 𝑓(1,3) = 𝑝(1,3) =
1
6
(1,3)3 −
1
2
(1,3)2 −
2
3
. 1,3 + 1 = −0,3455 
Exemplo 7 
Utilizando a forma de Newton, determine o polinômio que interpola 𝑓(𝑥) 
nos pontos dados: 
 
Solução: 
 
𝑝(𝑥) = 4 + (𝑥 − (−1)). (−3) + (𝑥 − (−1)). (𝑥 − 0).
2
3
 
𝑝(𝑥) =
2
3
𝑥2 −
7
3
𝑥 + 1 
 
 
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Observa-se que a forma de Newton ou das diferenças divididas resultou 
o mesmo polinômio interpolador já obtido anteriormente para os dados utilizados 
no problema. Isto leva a conclusão que a forma de Newton e a forma de 
Lagrange são procedimentos para determinar o polinômio interpolador sem a 
necessidade de resolução de sistemas de equações lineares. 
Quer saber mais sobre o polinômio interpolar por Lagrange e por 
Newton? Assista à explicação da professora Celina Jarletti no material 
online. 
 
TEMA 4: Extrapolação, Regressão ou Ajuste de Curvas 
 
 A Extrapolação, Regressão ou Ajuste de Curvas é um procedimento 
empregado quando: 
 É preciso obter um valor aproximado da função em algum ponto fora 
do intervalo de tabelamento, ou seja, quando é necessário extrapolar. 
 Os valores tabelados provêm de algum experimento físico ou de 
alguma pesquisa ou censo, que contém erros inerentes, que não sãoperceptíveis e nem possíveis de correção. 
A ideia é ajustar esta função tabelada a outra função que seja uma “boa 
aproximação” e que permita “extrapolar” com certa margem de segurança. 
A escolha da função de ajuste, de regressão ou extrapolação vem da 
consideração dos dados da tabela que devem ser plotados em uma 
representação cartesiana que se apresenta como o diagrama de dispersão. 
Observando o diagrama de dispersão é possível visualizar como os 
pontos estão dispersos (ou um pouco esparramados) nas proximidades do 
gráfico da função a ser escolhida como a função de ajuste. Vejamos a tabela do 
exemplo 8: 
 
 
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O diagrama de dispersão é dado pela figura: 
 
Observando o diagrama de dispersão é natural escolhermos o traçado de 
uma parábola passando pela origem como a função de ajuste para os dados da 
tabela. A equação seria 𝜑(𝑥) = 𝛼 . 𝑥2 
Exemplo 9: 
 Considerando os dados da tabela a seguir, qual função escolher para o 
ajuste dos dados a uma equação? 
 
Solução: Construindo o diagrama de dispersão: 
 
 
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Analisando a dispersão dos pontos é escolhida uma função exponencial 
(sempre positiva) e decrescente, cuja equação pode ser escrita como 𝜑(𝑥) =
𝛼1. 𝑒
−𝛼2𝑥. 
O problema de ajuste de curvas consiste em: dada uma função 𝑓(𝑥) 
contínua em um intervalo [ 𝑎; 𝑏] com dados representados em uma tabela, e 
escolhidas as funções 𝑔1(𝑥); 𝑔2(𝑥);… ; 𝑔𝑛(𝑥) todas contínuas em [ 𝑎; 𝑏], 
determinar 𝑛 constantes 𝛼1; 𝛼2; … ; 𝛼𝑛 de modo que 𝜑(𝑥) = 𝛼1. 𝑔1(𝑥) +
𝛼2. 𝑔2(𝑥) + ⋯+ 𝛼𝑛 . 𝑔𝑛(𝑥) se aproxime ao máximo de 𝑓(𝑥) no intervalo [ 𝑎; 𝑏]. 
A questão da proximidade pode ser avaliada em valores numéricos 
através do desvio, que é a diferença entre o valor da função 𝑓(𝑥) e o valor da 
aproximação 𝜑(𝑥) para todo ponto da tabela de valores. 
Os resultados para os desvios podem ser positivos ou negativos e 
poderíamos pensar que cálculos feitos de forma majorada seriam compensados 
por valores calculados a menor. Esta ideia somente é válida para desvios 
pequenos em alguma aproximação de ajuste de curva. É compreensível que 
pontos muito distantes do traçado da curva de ajuste poderiam ter os desvios 
compensados por outros pontos, porém não teríamos uma curva de “boa 
aproximação”. 
O traçado da curva de ajuste deve passar suficientemente próximo de 
todos os pontos do diagrama de dispersão. Para garantir esta condição, calcula-
se o resíduo que é a soma dos quadrados dos desvios de todos os pontos. 
Quanto menor o valor do resíduo, melhor será a aproximação, ou seja, 
melhor será o ajuste dos dados a uma curva. 
Este procedimento é que define o Método dos Mínimos Quadrados. 
Assim, o resíduo é dado por: 
 
 
 
𝑅 =∑|𝑓(𝑥𝑖) − 𝜑(𝑥𝑖)|
2
𝑛
𝑖=1
 
 
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Para podermos calcular o resíduo e avaliar se uma função 𝜑(𝑥) é um bom 
ajuste, é necessário conhecer a equação desta função. Muitas vezes optamos 
por funções simples (polinomiais, senóides e cossenóides, e exponenciais) que 
são funções contínuas nos reais. Na sequência serão apresentados 
procedimentos e exemplos para estes tipos de ajustes, com comparação entre 
diferentes possibilidades para uma mesma tabela de valores. 
 
A professora Celina Jarletti explica melhor o conceito e a aplicação 
da Extrapolação, Regressão ou Ajuste de Curvas no material online. 
 
 
TEMA 5: Ajuste Polinomial e Outros 
 
Considerando a forma polinomial: 
 
 
Pode-se determinar os coeficientes de cada termo do polinômio de grau 
𝑛 através da resolução do sistema de equações, denotado na forma matricial: 
|
|
𝑚 ∑𝑥𝑖
∑𝑥𝑖 ∑𝑥𝑖
2
… ∑𝑥𝑖
𝑛
… ∑𝑥𝑖
𝑛+1
… …
∑𝑥𝑖
𝑛 ∑𝑥𝑖
𝑛+1
… …
… ∑𝑥𝑖
2𝑛
|
|
 . |
𝑎0
𝑎1…
𝑎𝑛
| = 
|
|
∑𝑦𝑖 
∑𝑥𝑖. 𝑦𝑖
…
∑𝑥𝑖
𝑛 . 𝑦𝑖
|
|
 
 
Esta formulação geral pode ser empregada para diversas funções tais 
como na regressão linear (polinômio de primeiro grau), e polinômios de qualquer 
grau. 
 
 𝑝𝑛(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1. 𝑥 + 𝑎2. 𝑥
2 + +⋯+ 𝑎𝑛−1. 𝑥
𝑛−1 + 𝑎𝑛 . 𝑥
𝑛 =
𝑦 
 
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Exemplo 10: 
Considerando a tabela de dados a seguir, verifique qual das curvas melhor se 
ajusta aos valores. 
a) Equação do primeiro grau: regressão linear 
b) Equação de segundo grau (quadrática) 
c) Equação do terceiro grau (cúbica) 
 
 
Solução: 
a) Regressão linear: 𝜑(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑎0 + 𝑎1. 𝑥 
 
 
 
 
Calculando: M = 6 (número de pontos da tabela) 
∑𝑥𝑖 = 0 + 1+ 2 + 3 + 4 + 5 = 15 
∑𝑥𝑖
2 = 02 + 12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 55 
∑𝑦𝑖 = 0 + 0,7 + 3,2 + 5,3 + 7,8 + 9,3 = 26,3 
∑𝑥𝑖 . 𝑦𝑖 = 0 . 0 + 1 . 0,7 +2 . 3,2 + 3 . 5,3 + 4 . 7,8 + 5 . 9,3 = 100,7 
Substituindo vem: 
| 6 15
15 55
| . ⌈
𝑎0
𝑎1
⌉ = |
26,3
100,7
| 
|
𝑚 ∑𝑥𝑖
∑𝑥𝑖 ∑𝑥𝑖
2
| . |
𝑎0
𝑎1
| = |
∑𝑦𝑖 
∑𝑥𝑖. 𝑦𝑖
| 
 
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19 
Com solução: 𝑎1 = 1,9971 e 𝑎0 = −0,60952 
 𝑦 = −0,60952 + 1,9971𝑥 = 𝜑1(𝑥 
 
Calculando o Resíduo: 
𝑅1 =∑|𝑓(𝑥𝑖) − 𝜑1(𝑥𝑖)|
2
𝑛
𝑖=1
 
𝑅1 = |0 + 0,60952|
2 + |0,7 − 1,38758|2 + |3,2 − 3,38468|2 + |5,3 − 5,38178|2
+ |7,8 − 7,3788|2 + |9,3 − 9,37598|2 
𝑅1 = 1,069033811 
 
b) Regressão para 𝜑(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1. 𝑥 + 𝑎2. 𝑥
2 
 
 
 
 
Utilizando os valores já conhecidos e calculando os ainda faltantes: 
∑𝑥𝑖
3 = 03 + 13 +⋯+ 53 = 225 
∑𝑥𝑖
4 = 04 + 14 +⋯+ 54 = 979 
∑𝑥𝑖
2. 𝑦𝑖 = 0
2. 0 + 12. 3,2 +⋯+ 52. 9,3 = 418,5 
Substituindo na forma matricial, vem: 
|
|
𝑚 ∑𝑥𝑖 ∑𝑥𝑖
2
∑𝑥𝑖 ∑𝑥𝑖
2 ∑𝑥𝑖
3
∑𝑥𝑖
2 ∑𝑥𝑖
3 ∑𝑥𝑖
4
|
|
. |
𝑎0
𝑎1
𝑎2
| =
|
|
∑𝑦𝑖
∑𝑥𝑖 . 𝑦𝑖
∑𝑥𝑖
2 . 𝑦𝑖
|
|
 
 
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|
6 15 55
15 55 225
55 225 979
| . |
𝑎0
𝑎1
𝑎2
| = |
26,3
100,7
418,5
| 
 
Resultando para as incógnitas: 𝑎0 = −0,3714 ; 𝑎1 = 1,64 𝑒 𝑎2 = 0,07, e 
para a função de regressão ou de ajuste: 𝜑2(𝑥) = −0,3714 + 1,64𝑥 + 0,07𝑥
2 
Utilizando esta equação, pode-se construir a tabela com os valores em 
cada ponto. 
 
Calculando o Resíduo: 
𝑅2 =∑|𝑓(𝑥𝑖) − 𝜑2(𝑥𝑖)|
2
𝑛
𝑖=1
 
𝑅2 = |0 + 0,3714 |
2 + |0,7 − 1,3386|2 + |3,2 − 3,1886|2 + |5,3 − 5,1786|2
+ |7,8 − 7,3086|2 + |9,3 − 9,5786|2 
𝑅2 = 0,8797077 
c) Regressão para 𝜑(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1. 𝑥 + 𝑎2. 𝑥
2 + 𝑎3. 𝑥
3 
 
 
 
 
 
 
|
|
𝑚 ∑𝑥𝑖 ∑𝑥𝑖
2 ∑𝑥𝑖
3
∑𝑥𝑖 ∑𝑥𝑖
2 ∑𝑥𝑖
3 ∑𝑥𝑖
4
∑𝑥𝑖
2 ∑𝑥𝑖
3 ∑𝑥𝑖
4 ∑𝑥𝑖
5
∑𝑥𝑖
3 ∑𝑥𝑖
4 ∑𝑥𝑖
5 ∑𝑥𝑖
6
 
|
|
. |
𝑎0
𝑎1
𝑎2
𝑎3
| =
|
|
∑𝑦𝑖
∑𝑥𝑖 . 𝑦𝑖
∑𝑥𝑖
2 . 𝑦𝑖
∑𝑥𝑖
3 . 𝑦𝑖
|
|
 
 
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Utilizando os valores já conhecidos e calculando os ainda faltantes: 
∑𝑥𝑖
5 = 05 + 15 +⋯+ 55 = 4425 
∑𝑥𝑖
6 = 06 + 16 +⋯+ 56 = 20515 
∑𝑥𝑖
3. 𝑦𝑖 = 0
3. 0 + 13. 3,2 +⋯+ 53. 9,3 = 1831,1 
 
Substituindo na forma matricial, vem: 
|
6 15 55 225
15 55 225 979
55 225 979 4425
225 979 4425 20515
| . |
𝑎0
𝑎1
𝑎2
𝑎3
| = |
26,3
100,7
418,5
1831,1
| 
 
Resultando para as incógnitas: 𝑎0 = −0,05 ; 𝑎1 = 0,17 ; 𝑎2 = 0,88 𝑒 𝑎3 =
−0,11 e para a funçãode regressão ou de ajuste: 𝜑3(𝑥) = −0,05 + 0,17𝑥 +
0,88𝑥2 − 0,11𝑥3 
Utilizando a equação acima, pode-se construir a tabela com os valores 
em cada ponto. 
 
 
Calculando o Resíduo: 
𝑅3 =∑|𝑓(𝑥𝑖) − 𝜑3(𝑥𝑖)|
2
𝑛
𝑖=1
 
 
 
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𝑅3 = |0 + 0,05 |
2 + |0,7 − 0,89|2 + |3,2 − 2,93|2 + |5,3 − 5,41|2 + |7,8 − 7,67|2
+ |9,3 − 9,05|2 
𝑅3 = 0,203 
Comparando as três equações de ajuste através dos resíduos tem-se: 
 
Observa-se que o resíduo da terceira equação foi menor que das demais 
equações utilizadas. Quanto menor a resíduo, melhor será o ajuste da equação 
aos dados da tabela. 
Neste caso, o polinômio dado por 𝜑3(𝑥) = −0,05 + 0,17𝑥 + 0,88𝑥
2 −
0,11𝑥3 é a melhor equação de ajuste, e é a escolhida para estimar valores dentro 
e fora da tabela de valores. 
 
No material online a professora Celina Jarletti explica melhor o 
ajuste polinomial. Não deixe de assistir! 
Trocando ideias 
 
Está com alguma dúvida sobre o conteúdo? Não perca tempo e entre em contato 
com o nosso tutor. Ele sempre está disponível para ajudá-lo. 
 
 
 
 
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Na Prática 
Em quais momentos a interpolação e a extrapolação são utilizadas na 
prática engenheira? 
Confira a resposta da professora Celina no material online. 
 
Síntese 
E assim terminamos a aula de hoje. 
Nela, vimos várias técnicas para a interpolação e a extrapolação (ou 
ajuste de curvas). Estes procedimentos são de emprego frequente na 
Engenharia. É importante lembrar que interpolação requer dados de procedência 
confiável e somente avaliam valores internos ao intervalo da tabela. Já a 
extrapolação ou ajuste de curvas podem ser empregados com dados com erros 
inerentes para estimar valores internos e além da tabela de dados. 
 
Pronto para assistir as considerações finais da professora Celina 
Jarletti sobre os tópicos abordados nesta rota? Acesse o material online! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Referências 
RUGGIERO, M.A.G. e LOPES, V.L.R. Cálculo Numérico, Aspectos Teóricos 
e Computacionais. 3ª ed. São Paulo: Pearson, 2014. 
BURDEN, R.; FAIRES, J. Douglas. Análise numérica. São Paulo: Pioneira, 
2003. 
BURIAN, R., HETEM JUNIOR, A. Cálculo Numérico. Rio de Janeiro: LTC, 2007 
CASTANHERIA, N. P; ROCHA, Alex; MACEDO, Luiz Roberto Dias de. Tópicos 
de Matemática Aplicada. Curitiba: InterSaberes, 2013 
FRANCO, N. B. Cálculo Numérico. São Paulo: Pearson, 2006. 
LEITHOLD, L. O Cálculo e Geometria Analítica Vol.1. São Paulo: Harbra, 
1986. 
RUGGIERO, M.A.G. e LOPES, V.L.R. Cálculo Numérico, Aspectos Teóricos 
e Computacionais. 3ª ed. São Paulo: Pearson, 2014. 
SPERANDIO, D. Cálculo Numérico. 2ª ed. São Paulo: Pearson, 2014.