Apostila- CÁLCULO NUMÉRICO

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FACULDADE ÚNICA 
DE IPATINGA 
CÁLCULO NUMÉRICO E 
APLICAÇÕES 
 
 
MICHELE L. MOURÃO FERNANDES 
 
 
 
 
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Com o intuito de facilitar o seu estudo e uma melhor compreensão do conteúdo aplicado 
ao longo do livro, você irá encontrar ícones ao lado dos textos. Eles são para chamar a 
sua atenção para determinado trecho do conteúdo, cada uma com uma função 
especifica, mostradas a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDADE 
01 
Sumário 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.Modelagem e Métodos numéricos 
1.1.Modelos Matemáticos 
1.2.Métodos Numéricos 
1.3.Fontes de Erros 
1.3.1.Erros de truncamento 
1.3.2. Erros de arredondamento 
1.3.3.Erro absoluto e relativo 
1.4.Representação de números em pontos flutuantes 
 
2.Raízes de Função 
2.1.Método da Bissecção 
2.2.Método da Falsa Posição 
2.3.Método de Newton 
 
UNIDADE 
02 
3.Resolução de Sistemas Lineares e não Lineares 
3.1.Sistemas Lineares direto 
3.1.1.Eliminação de Gauss 
3.1.2.Método de Fatoração LU 
3.2.Sistemas não-lineares 
3.2.1.Método Newton 
 
 
 
UNIDADE 
03 
 
6.Método dos quadrados mínimos 
6.1.O caso linear discreto 
6.1.1.O caso discreto geral 
6.2.O caso contínuo 
 
 
 
4.Interpolação 
4.1.Interpolação Polinomial 
4.2.Forma de Lagrange 
4.3.Forma de Newton 
 
 
UNIDADE 
04 
UNIDADE 
06 
5.Interpolação Numérica 
5.1.Revisão de conceitos e definições iniciais 
5.2.Soma de Riemann 
5.3.A regra dos trapézios 
5.4.A regra de Simpson 
 
 
UNIDADE 
05 
 
 
CONFIRA NA APOSTILA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDADE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nesta unidade, vamos descrever como os modelos matemáticos 
podem ser formulados, reconhecer o uso de métodos numéricos 
para problemas que não podem ser resolvidos analiticamente, 
identificar e corrigir as principais formas de erros numéricos. 
Nesta unidade, vamos abordar a importância do uso dos métodos 
numéricos para o cálculo de raízes de funções. Definir e diferenciar 
os métodos da bissecção, da falsa posição e de Newton. Aplicar os 
métodos da bissecção, da falsa posição e de Newton na solução de 
problemas. 
 
Nesta unidade, vamos abordar os métodos numéricos (direto ou 
interativo) para resolução de sistemas lineares e não lineares. 
Abordaremos a eliminação de Gauus, a fatoração LV, Gauus 
Jacobi, Gauss Sleide e Métodos de Newton. 
 
Nesta unidade, estudaremos métodos que permitem encontrar o valor 
aproximado em um ponto de um intervalo determinado, através do 
conhecimento de uma coleção de pares ordenados. 
 
Nesta unidade, aproximaremos os valores das integrais definidas, 
como visto no Cálculo I. Vamos revisar alguns conceitos de 
integrais definidas e abordaremos a regra dos trapézios simples 
e a de Simpson. 
 
Nesta unidade, prosseguiremos com o estudo de aproximar 
dados por funções conhecidas minimizando as distâncias. 
Apresentaremos e discutiremos métodos e casos do problema de 
mínimos quadrados. 
42 
 
INTRODUÇÃO 
Nosso universo é regido pelo movimento e mudanças, e o Cálculo nos ajuda a 
explicar a forma como ocorre o movimento e a variação das grandezas. Por grandeza, 
entendemos tudo aquilo que pode ser medido. 
 O Cálculo Numérico nos ajuda a resolver problemas que não possuem uma 
solução analítica utilizando para tal uma máquina de calcular ou um computador para 
determinar uma solução aproximada para o problema. 
 Os métodos geralmente se aplicam a problemas que não possuem uma 
solução exata, precisando ser resolvidos numericamente. 
 Utilizando apenas as quatro operações fundamentais e operações lógicas para 
computar um resultado numérico tornando a combinação computador cálculo 
numérico perfeita. 
Esse material está dividido em 06 unidades onde iremos abordar os seguintes 
temas: Modelagem e Métodos numéricos, Raízes de Funções, Resolução de 
Sistemas Lineares e não Lineares, Interpolação, Interpolação Numérica e Equações 
diferenciais. 
Ótimo aprendizado para aplicação prática na vida das empresas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Modelagem e 
 Métodos Numéricos 
 
Nesta unidade, vamos descrever como os modelos matemáticos podem ser 
formulados, realçando a importância do cálculo numérico e sua utilidade como 
ferramenta para resolução de problemas reais das ciências exatas, das engenharias 
e da própria matemática. Trataremos das formas de representação dos números em 
sistemas de numeração, dando ênfase a representação em ponto flutuante. 
Apresentaremos também noção de erro e de aproximação numérica. 
1.1- Modelos Matemáticos 
 A Modelagem matemática é a área da matemática que transforma os 
fenômenos ou as situações reais em linguagem numérica. 
 Para determinar a solução de um problema, podemos seguir as seguintes 
etapas: 
 Definição do problema; 
 Levantar efeitos dominantes; 
 Criar o modelo matemático; 
 Resolver o problema matemático. 
A figura 1, representa um fluxograma com as etapas para solucionar um problema 
através de um modelo matemático. 
 
 
 
 
 
 
 
 Fonte: Material do Saga 
UNIDADE
 
 
 
Entendemos por método analítico aquele que, a menos de erros de 
arredondamentos, fornece as soluções exatas do problema real. Em geral, tais 
soluções são obtidas a partir de fórmulas explícitas. Por outro lado, um método 
numérico é constituído por uma sequência finita de operações aritméticas que, sob 
certas condições, levam a uma solução ou a uma aproximação de uma solução do 
problema. 
(Ministério da Educação - MEC Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior Universidade Aberta do Brasil) 
 
O Fluxograma nos apresenta duas etapas fundamentais para alcançarmos o 
resultado desejado: 
 Modelagem do problema, que consiste na representação do problema através 
de um modelo matemático, tornando o modelo um problema matemático 
resolvível, podemos observar que em um mesmo problema podemos ter vários 
tipos de modelos distintos. 
 Resolução do modelo, etapa que buscamos encontrar um método de resolução 
para o modelo desenvolvido é nesta face que necessitamos de métodos 
numéricos para resolver o modelo. 
Nos vários ramos das ciências aplicadas, os métodos utilizados na resolução de 
problemas matemáticos, baseiam-se em duas categorias: método numérico e método 
analítico. 
 
 
 
 
 
 
 
 Quando desejamos a solução exata de um problema é preferível resolvermos 
pelo método analítico, porém a resolução de alguns modelos de problemas reais é 
muitas das vezes complexas e envolve fenômenos não-lineares, tornando impossível 
a resolução pelo processo analítico, nesses casos podemos utilizar as soluções 
aproximadas dos métodos numéricos, tornando-se estes uma importante ferramenta 
para resolver estes problemas reais. 
 
 
 
 
 
 
 
Em um método numérico, uma solução aproximada é, em geral, obtida de forma 
construtiva: partindo de aproximações iniciais, vão sendo construídas novas 
aproximações até que uma aproximação considerada “boa” seja obtida. Desse 
modo, um método numérico pode ser escrito em forma de algoritmo com as 
operações (ou grupos de operações), podendo ser executadas repetidamente. 
(Ministério da Educação - MEC Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior Universidade Aberta do Brasil) 
 
 
 
 
 
 
Vamos abordar dois exemplos simples para melhor diferenciar os métodos 
analíticos dos métodos numéricos. 
Exemplo 1: 
Um método analítico para determinar (quando existem) os zeros de uma função 
quadrática 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ≠ 0 é dado pela fórmula de Bhaskara, a saber: 
𝑥 =
±√
 . 
Desse modo, os zeros reais de 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 8𝑥 + 15 são 𝑥 =
( ) ( )
= 3 e 
𝑥 =
( ) ( )
= 5. 
Exemplo 2: (Retirado do livro do MEC, cálculo numérico, Fortaleza, 2010) 
Um método numérico para determinar uma aproximação para a raiz quadrada 
de um número real p, maior que 1, é o algoritmo de Eudoxo: 
do fato de 𝑝 > 1, temos que 1 < 𝑝< 𝑝. Escolhe-se, como uma primeira 
aproximação para 𝑝, 𝑥 =
( )
, ou seja, a média aritmética entre 1 e 𝑝. Pode-se 
mostrar que 𝑝/𝑥 < 𝑝<𝑥 . 
Escolhe-se como uma nova aproximação 𝑥 = (𝑝/𝑥 + 𝑥 )/2, isto é, a média 
aritmética entre p/𝑥 e 𝑥 . Novamente, pode-se mostrar que < 𝑝 < 𝑥 . 
Continuando desse modo, podemos construir uma sequência de aproximações 
dada por: 
 
 
 
𝑥 =
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
1 + 𝑝
2
 𝑠𝑒 𝑛 = 0
𝑝
𝑥
+ 𝑥
2
 𝑠𝑒 𝑛 ≥ 1
 
Logo, o cálculo numérico tem por objetivo estudar técnicas numéricas ou 
métodos numéricos para obter solução de problemas que possam ser representados 
por modelos matemáticos. 
 
 
1.2- Métodos Numéricos 
 
Para resolvermos problemas que não apresenta uma solução exata, recorremos 
aos métodos numéricos: 
• Tecnologias Digitais. 
• Números Primos e Casas Decimais. 
• Truncamento: É uma pausa forçada nos casos de números com dízimas 
periódicas ou irracionais, ou decimais que o processador não suporte. 
 
1.3-Fontes de erros 
Os métodos numéricos fornecem soluções aproximadas para os problemas 
reais, com as soluções aproximadas surgem os erros. 
Os erros cometidos para encontrar a solução de um problema podem ocorrer 
tanto na fase da modelagem como na de resolução. Vamos analisar as principais 
fontes de erros que levam a diferença entre a solução exata e uma aproximada de um 
problema real. 
 Na fase de modelagem, pode ocorrer o erro nos dados da simplificação na 
construção do modelo matemático. Já na fase da resolução pode ocorrer o erro de 
truncamento e de arredondamento. 
1.3.1- Erros de truncamento 
 
 
 
 Quando os processos são infinitos ou muito grandes para a determinação de 
certo valor são interrompidos em um determinado ponto, surgindo os erros de 
truncamento. 
 O erro de truncamento ocorre quando substituímos um processo matemático 
por um processo aproximado que corresponde a uma parte deste processo exato. 
Considerando um número finito de termos de uma série, estamos fazendo o 
truncamento desta série. 
 Um exemplo desse tipo de erro ocorre quando calculamos 𝑒 para algum 
número real 𝑥 em um computador. O valor exato é dado pela série: 
𝑒 =∑
!
 
 Por ser impossível somar valores infinitos termos da série, fazemos uma 
aproximação. 
𝑒 ≅ 1 + 𝑥 +
!
+
!
+ ⋯ +
!
. 
 A solução é a de interromper o cálculo quando uma determinada precisão é 
atingida. 
 
1.3.2- Erros de arredondamento 
 No processo de cálculo de uma solução numérica ocorrem erros de 
arredondamento. Tais erros estão associados ao fato de os computadores ou 
sistemas eletrônicos utilizam um número fixo de dígitos para representar os números. 
Portanto, toda vez que o resultado de uma operação for um número que não pode ser 
representado exatamente no sistema usado, necessitamos desprezar dígitos e 
arredondar o número. 
 Ao registrar um valor aproximado, costuma-se usar a seguinte regra: 
 somar meia unidade após a última casa decimal a conservar; 
 desprezar as demais casas. 
√2 ≈ 1,414 ≈ 1,41 
1.3.3- Erro Absoluto e relativo 
 
 
 
 Ao resolvermos modelos matemáticos, muitas vezes utilizamos instrumentos 
de cálculo que necessitam que sejam feitas certas aproximações, tais aproximações 
podem gerar erros, tais como de arredondamento e truncamento que foi explicada 
acima. 
 O erro absoluto apresenta a seguinte definição: 
Seja 𝑥 um número e �̅� sua aproximação, chama-se erro absoluto, 𝐸𝐴 , a diferença 
entre 𝑥 e �̅�. 𝐸𝐴 = 𝑥 − �̅�, no caso de 𝑥 > �̅�,ou seja, quando 𝐸𝐴 > 0, dizemos que �̅� 
é uma aproximação por falta e, no caso de 𝑥 < �̅�, ou seja quando 𝐸𝐴 < 0,dizemos 
que �̅� é uma aproximação por excesso. 
Exemplo 03: 
Como 1,41 < √2 < 1,42, temos que 1,41 é uma aproximação de √2 por falta e 1,42 
uma aproximação por excesso. Logo, temos: 
𝐸𝐴 =|1,42 − 1,41| = 0,01 
𝐸𝐴 < 0,01 , que significa que o erro absoluto cometido é inferior a um centésimo. 
 Chamamos erro relativo o valor do quociente entre o erro absoluto e o valor da 
grandeza, podemos defini-lo como: 
Seja 𝑥 um número e �̅� ≠ 0 uma de sua aproximação, e designamos por 𝐸𝑅 , a razão 
entre 𝐸𝐴 e �̅�. 
𝐸𝑅 =
𝐸𝐴
�̅�
=
𝑥 − �̅�
𝑥
 . 
Ao produto 100 × 𝐸𝑅 , chamamos erro percentual ou percentagem de erro. 
Exemplo 04: 
Seja um número 𝑥 com uma aproximação �̅� = 2112,9 tal que |𝐸𝐴 |<0,1, calcular os 
erros relativos cometidos nas aproximações. 
|𝐸𝑅 | =
|𝐸𝐴 |
|�̅�|
<
0,1
2112,9
≅ 4,73. 10 
1.4. Representação do número em pontos flutuantes 
 
 
 
 A necessidade de contar e registrar os objetos contados vem desde os tempos 
primórdios e o homem desenvolveu várias técnicas para fazê-lo, até chegar ao 
conceito de número que temos hoje. 
 Precisamos diferenciar o conceito de número e numeral. 
 Número serve para descrever a quantidade. 
 Numeral é o símbolo ou conjunto de símbolos para representá-lo. 
O nosso sistema de numeração é o decimal, utilizamos 10 dígitos para representá-
lo: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Este sistema é posicional, ou seja, o valor de cada símbolo é 
relativo à sua posição. 
Exemplo 05: 
No número 56.045 temos: 
1. o algarismo 5 ocupa a posição das dezenas de milhar, podemos representá-lo 5×
10.000 ou 5× 10 unidades; 
2. o algarismo 6 ocupa a posição das unidades de milhar, podemos representá-lo 6 ×
1000 ou 6 × 10 unidades; 
3. o algarismo 0, ocupa a posição das centenas, podemos representá-lo 0𝑥100 ou 
0 × 10 . 
4. o algarismo 4 ocupa a posição das dezenas, podemos representá-la 4 × 10 
unidades; 
5. e o algarismo 5 ocupa a posição das unidades. 
Logo, 56045 significa 5 × 10 + 6 × 10 + 0 × 10 + 4 × 10 + 5 × 10 
Qualquer número natural pode ser representado de modo único em uma base 
qualquer. 
Seja 𝐵 um inteiro maior que 1, então cada 𝑁 ∈ ao conjunto dos naturais, 
admite uma representação única da forma: 
𝑁 = 𝑎 × 𝐵 + 𝑎 × 𝐵 + ⋯ + 𝑎 × 𝐵 + 𝑎 × 𝐵 + 𝑎 , em que 𝑎 ≠ 0 e 0 ≤
𝑎 < 𝐵, para toda 𝑖 com 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 ≤. 
 Trabalhamos com outras bases distintas das decimais, são elas: binária (2); 
octal (8) e hexadecimal (16). 
 
 
 
Exemplo 06: 
Representar o número 69 nas bases 2 (binária), 8 (octal), 10 (decimal) e 16 
(hexadecimal). 
69 = 1x2 + 0𝑥2 + 0𝑥2 + 0𝑥2 + 1𝑥2 + 0𝑥2 + 1𝑥2 = (1000101) 
69 =1𝑥8 + 0𝑥8 +5𝑥8 = (105) 
69 = 6𝑥10 + 9𝑥10 = 69 
69 = 4𝑥16 + 5𝑥16 =(45) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 07: 
Transformar as bases abaixo para números decimais 
(1101.101) = 1 × 2 + 1 × 2 + 0 × 2 + 1 × 2 + 1 × 2 + 0 × 2 + 1 × 2 =
13,625 
(470,75) = 4 × 8 + 7 × 8 + 0 × 8 + 7 × 8 + 5 × 8 = 312,953125 
 A representação em ponto fixo, não é adequada para processarmos nos 
computadores ou calculadoras. Usamos uma representação denominada 
representação em pontos flutuantes, o número é representado na forma: 
𝑥 = ±0, 𝑑 𝑑 … 𝑑 𝛽 , 𝑐𝑜𝑚 𝑥 ≠ 0; 𝑑 ≠ 0; 𝑑 ,𝑑 , … 𝑑 ∈ {0, … , 𝛽 − 1} é um inteiro com 
0 ≤ 𝑑𝑑 < 𝐵 e 𝑑 ≠ 0 e é um inteiro tal que 𝑙 ≤ 𝑒 ≤ 𝑢 , o número 0,𝑑 𝑑 … 𝑑 é 
chamado de mantissa, 𝛽 é a base do sistema, 𝑡 é um número de algarismos na 
mantissa e 𝑙 e 𝑢 são, respectivamente, os limites inferiores e superior para o 
expoente 𝑒. 
Você sabia que qualquer número inteiro ou fracionário, pode ser exposto no 
formato x𝑏𝑎𝑠𝑒 ,em que variam a posição da vírgula e o expoente ao qual 
elevamos a base. 
 
 
 
 Para fixar melhor a representação em ponto flutuante normalizada, vejamos o 
seguinte exemplo retirado do livro do MEC, cálculo numérico, Fortaleza, 2010. 
Considere uma máquina S com representação em ponto flutuante normalizada na 
base binária, com t =8 e ∈ [−5,5]. Temos então: 
O número 𝑛 = 0,10100110 × 2 representado em S corresponde, na base 10, a 
5,1875 e o número 𝑛 10100111 × 2 presentado em S, corresponde, na base 10, a 
5,21875, podemos perceber que 𝑛 e 𝑛 são dois números consecutivos. Portanto não 
é possível representar em S qualquer número compreendido entre 5,1875 e 5,21875. 
Assim 5,2, porexemplo, não tem representação exata em S. Esta perda se da porque 
o número de dígitos na mantissa não é suficiente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Você pode aprofundar seus conhecimentos consultando as referências que 
citamos e/ou visitando páginas da internet. Abaixo, listamos uma página 
interessante que pode ajudá-lo nessa pesquisa. Bons estudos! 
https://www.univates.br/bdu/bitstream/10737/2519/1/2015JeffersonFerreiraMesqu
ita.pdf 
https://www1.univap.br/spilling/CN/apostila1.pdf 
https://prominasonline.com.br/?gclid=EAIaIQobChMIoZ3msqun9QIV4suGCh2Fh
AzcEAAYASAAEgIgJfD_BwE 
 
 
 
 
 
 
Questão 01. (https://anhanguera-atps.weebly.com/Adaptado) Marque a opção que 
apresenta o valor absoluto e relativo que utiliza um sistema aritmético de ponto 
flutuante de 4 dígitos ao registrar o número X = 0.654987 x10 , se o processo usado 
for o de truncamento. 
 
A) EA = 0,000087 e ER = 0,0133%. 
B) EA = 0,087 e ER = 0,12%. 
C) EA = 0,00016 e ER = 0,0013%. 
D) EA = 0,0014 e ER = 0,012%. 
E) EA = 0,00015 e ER = 12%. 
 
Questão 02. Mudar a representação do número (1101) base 2 para base 10. 
 
A) 26. 
B) 20. 
C) 13. 
D) 15. 
E) 12. 
 
Questão 03. Considere o valor exato x= 3247,512 e o valor aproximado �̅� = 3247,000. 
O erro relativo corresponde a: 
A) 0,0122568%. 
B) 0,124567%. 
C) 0,00123456%. 
D) 0,00134567%. 
E) 0,0157659%. 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 04. Considere agora o valor exato x=1,512 e o valor aproximado �̅� = 1,000. 
Para essa aproximação o erro absoluto é igual a: 
A) 41,3. 
B) 51,2. 
C) 46,7. 
D) 54,2. 
E) 23,5. 
 
Questão 05. Considere 𝑥 = 100; �̅� = 100,1, 𝑦 = 0,0006 e 𝑦=0,0004. Assim, 𝐸𝐴 = 0,1 
e 𝐸𝐴 = 0,0002. Marque a opção que representa o |𝐸𝑅 |, aproximadamente. 
A) 4,73 × 10 
B) 4,73 × 10 
C) 1,73 × 10 
D) 2,65 × 10 
E) 2,76 × 10 
 
Questão 06. A forma binária do número 37 é: 
 
A) (111001)2 
B) (101010)2 
C) (100101)2 
D) (100010)2 
E) (11111)2 
 
Questão 07. A representação em ponto flutuante normalizada na base indicada do 
número (5987)10 é: 
A) 0,05987 × 10 
B) 0,004567 
C) 0,004578 
D) 0,5987 × 10 
E) 1,2345 
 
Questão 08. Um administrador de sistemas, ao analisar o conteúdo de um arquivo 
binário, percebeu que o primeiro byte desse arquivo é, em hexadecimal, igual a 9F, 
que corresponde, em decimal ao valor: 
a) 99. 
b) 234. 
c) 105. 
d) 16. 
e) 159. 
 
 
 
 
Teorema de Bolzano: Considerando 𝑓(𝑥) = 0, uma equação algébrica com 
coeficientes reais e 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]: 
• Se 𝑓(𝑎) × 𝑓(𝑏) < 0, então existe um número ímpar de raízes reais no intervalor 
[a, b]. 
• Se 𝑓(𝑎) × 𝑓(𝑏) > 0, então existe um número par de raízes reais no intervalor 
[a, b]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Raízes de Funções 
 
Nesta unidade, vamos abordar a importância do uso dos métodos numéricos 
para o cálculo de raízes de funções. Definir e diferenciar os métodos da bissecção, da 
falsa posição e de Newton. Aplicar os métodos da bissecção, da falsa posição e de 
Newton na solução de problemas. 
Para obtermos as raízes de funções, utilizando métodos numéricos, podemos 
utilizar, métodos diretos que é utilizado quando for possível obter a raiz por meio de 
teorema, fórmula ou expressão fechada. Métodos indiretos que é um recurso de 
cálculo infinito, no qual o valor obtido depende do valor anterior. 
Para encontrar as raízes de forma analítica, basta considerar um intervalo [a,b] 
em que a função seja definida. Se a função for contínua nesse intervalo e existirem 
dois pontos do domínio que assumem valores com sinais distintos na imagem, então 
a função corta o eixo OX em pelo menos um ponto no intervalo [a,b]. 
Quando precisamos determinar o número de raízes em um determinado 
intervalo [a,b], podemos recorrer ao teorema de Bolzano. 
 
 
 
 
 
 
UNIDADE
 
 
 
 
2.1-Método da Bissecção 
 Consiste em um dos métodos para se determinar as possíveis raízes de uma 
equação, o Método da Bissecção consiste em dividir o intervalo que contém a raiz da 
função ao meio e por aplicação do Teorema de Bolzano, aplicado aos subintervalos 
resultantes, determinar qual deles contém o zero ou a raiz da função. 
 Seja 𝑓(𝑥) uma função contínua no intervalo [𝑎, 𝑏] e seja 𝜀 uma raiz desta 
função, sendo 𝜀 ∈ (𝑎, 𝑏), tal que 𝑓(𝜀) = 0. 
Figura 02, representa a interpretação geométrica do método da bissecção. 
 
Fonte: Material da Saga 
 O método consiste em dividir o intervalo [𝑎, 𝑏] de forma interativa, ao meio. Para 
verificar se a raiz está contida na primeira ou na segunda metade do intervalo inicial, 
é utilizado o teorema de Bolzano. Em seguida, o processo é repetido para aquela 
metade que contém a raiz de 𝑓(𝑥) = 0, ou seja, aquela que a função, 𝑦 = 𝑓(𝑥), tem 
valores numéricos com sinais opostos aos seus extremos. 
Algoritmo: 
𝑥 = , para 𝑛 = 1,2,3, … 
 
 
 
Se 𝑓(𝑎). 𝑓(𝑥 )< 0, então teremos 𝑏 = 𝑥 , senão 𝑎 = 𝑥 . 
Critério de parada, é definido por uma inequação que vamos testar em cada iteração. 
|𝑓(𝑥 )| ≤ erro 
Ou 
|𝑏 − 𝑎| ≤ erro 
 O processo desta divisão em subintervalos, pode ser repetido até que se 
obtenha uma precisão. Em cada iteração o zero da função é aproximado pelo ponto 
médio que cada subintervalo que o contém. 
 
Exemplo 01. 
Encontrar a raiz da função 𝑓(𝑥) = 𝑥. ln(𝑥) − 3.2 contida no intervalo [2,3], com 
erro≤ 10 . 
 Algoritmo do método 
𝑥 =
𝑎 + 𝑏
2
 
 
 Verificar se no intervalo dado se encontra uma de suas raízes: 
𝑓(2) = 2. 𝑙𝑛2 − 3.2 = −1,8137 
𝑓(3) = 3. 𝑙𝑛3 − 3.2 = 0,09584 
Como, 𝑓(2). 𝑓(3) < 0, podemos concluir que existe uma raiz neste intervalo. 
 Interações 
𝑎 𝑥 𝑏 𝑓(𝑎) 𝑓(𝑥 ) |𝑥 𝑎| 𝜀 = |𝑓(𝑥 )| 
2 2.5 3 -1.81371 -0.90927 0.5 0.90927 
2.5 2.75 3 -0.90927 -0.41810 0.25 0.41810 
2.75 2.875 3 -0.41810 -0.16385 0.125 0.16385 
2.875 2.9375 3 -0.16385 -0.03467 0.0625 0.03467 
2.9375 2.96875 3 -0.03467 0.03042 0.03125 0.03042 
2.9375 2.953125 2.96875 -0.03467 -0.00217 0.015625 0.00217 
 
 
 
 
A raiz desejada é 𝜀 = 2,953125 
Representaremos o cálculo da primeira iteração passo a passo, que representa 
a primeira linha da tabela, as demais linhas seguem o mesmo raciocínio. 
I- Algoritmo do método 
𝑥𝑛 =
𝑎+𝑏
2
, o intervalo que se encontra uma de suas raízes é [2,3],𝑎 = 2 𝑒 𝑏 = 3, logo 𝑥 =
= = 2,5. 
II. Redefinir o intervalo 
𝑓(2) = 2. 𝑙𝑛2 − 3.2 = −1,8137 
𝑓(3) = 3. 𝑙𝑛3 − 3.2 = 0,09584 
𝑓(2,5) = 2,5. 𝑙𝑛2,5 − 3.2 = −0,90927 
𝑓(2,5). 𝑓(3) < 0, o novo intervalo será: [2,5 ; 3] 
III. Cálculo do critério de parada 
|𝑓(𝑥 )| < 𝑒𝑟𝑟𝑜 
|−0,90927| > 0,01 
 
Como,|𝑓(𝑥 )| < 𝑒𝑟𝑟𝑜, precisamos fazer a segunda iteração. 
 O processo é repetido até que |𝑓(𝑥 )| < 𝑒𝑟𝑟𝑜. 
 
2.2-Método da Falsa Posição 
 
 Consideremos uma função 𝑓(𝑥) contínua no intervalo [𝑎, 𝑏] e 𝜀 uma raiz desta 
função. 
 No método da Bissecção, o 𝑥 é obtido através da média aritmética entre os 
extremos do intervalo 𝑎, 𝑏: 
 
 
 
 
 
 
 
𝑥𝑛 =
𝑎 + 𝑏
2
 
A raiz, na maioria das vezes está mais próxima de um dos extremos do intervalo. O 
método da falsa posição toma a média aritmética ponderada entre 𝑎 𝑒 𝑏 com pesos 
|𝑓(𝑏)| e |𝑓(𝑎)|, respectivamente, temos: 
𝑥 =
| ( )| | ( )|
| ( )| | ( )|
, visto que |𝑓(𝑏)| e |𝑓(𝑎)| têm sinais opostos . 𝑥 =
( ) ( )
( ) ( )
 
 
Seja f contínua em [a,b] tal que 𝑓(𝑎) × 𝑓(𝑏) < 0 e seja 𝜀 o único zero de f neste 
intervalo. Então o método da falsa posição gera uma sucessão 𝑥 que converge para 
𝜀 . Ou seja lim
→
𝑥 = 𝜀. 
 
Para determinar o critério de parada, que determina quando não precisamos 
prosseguir com as iterações, seguiremos os seguintes critérios: 
I) 𝑓(𝑥 ) < 𝑒𝑟𝑟𝑜 
II) |𝑥 − 𝑥 |<𝑒𝑟𝑟𝑜 
III) Número limite de iterações. 
 
Exemplo 02: 
Encontrar a raiz da função f(x) = 𝑥 -9𝑥 + 3, utilizando o método da falsa posição 
usando como condições iniciais o intervalo I = [0,1] e 𝜀 = 2 x 10 . 
 Iniciamospelo cálculo dos valores de 𝑓(𝑎)𝑒 𝑓(𝑏) 
𝐹(0) = 0 − 9.0 + 3 = 3 
𝐹(1) = 1 − 9.1 + 3 = −5 
 Vamos calcular o valor da primeira interação: 
𝑥 =
( ) ( )
( ) ( )
=
.( ) .( )
( )
= = 0,375 
 
 Calculando 𝑓(𝑥), temos: 
𝐹(0,375) = (0,375) − 9. (0,375) − 3 = −0,322 
 
 
 
 
 Vamos calcular a segunda iteração. Como o 𝑓(𝑥) deu negativo, precisamos 
trocar este valor, ou seja, vamos trocar o valor de b. O novo intervalo será 
[0;0,375]. 
Logo, temos que: 
𝐹(0) = 0 − 9.0 + 3 = 3 
𝐹(0,375) = (0,375) − 9. (0,375) − 3 = −0,322 
Atualizando o x, temos: 
𝑥 =
𝑎𝑓(𝑏) − 𝑏𝑓(𝑎)
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
=
0. (−0,322) − 0,375(3)
(−0,322) − 3
= 0,338624 
Calculando 𝑓(𝑥), temos: 
𝐹(0,3386224) = (0,338624) − 9. (0,336224) − 3 = −0,00879 
I) Estamos nos aproximando do critério de parada, ou seja, |𝑥 − 𝑥 |<𝑒𝑟𝑟𝑜. 
 
 Para redefinir o intervalo, utilizamos novamente o teorema de Bolzano, como o 
valor de 𝑓(𝑥) é negativo, iremos substituir o negativo, que no caso é o valor de 
b, logo nosso novo intervalo será : [0; 0.338624] 
𝐹(0) = 0 − 9.0 + 3 = 3 
𝐹(0,3386224) = (0,338624) − 9. (0,336224) − 3 = −0,00879 
 
𝑥 =
0. (−0,00879) − (0,338624)(3)
(−0,00879) − 3
= 0,337635 
Atualizando F(x) 
𝐹(0,337635) = (0,337635) − 9. (0,337635) − 3 = −0,00023 
De acordo com o nosso critério de parada, queríamos que na nossa terceira 
casa fosse menor que 2, como o zero é menor, podemos parar, podemos 
concluir que a raiz aproximada desta função é 0,337635. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.3- Método de Newton 
 
Para determinarmos a raiz ou as raízes aproximadas de uma função podemos 
recorrer ao método de Newton que consiste em considerar uma reta tangente a função 
dada e determinar a equação desta reta tangente. Para encontrarmos a equação da 
reta tangente podemos utilizar a equação fundamental da reta. 
 Seja 𝑓(𝑥) uma função contínua no intervalo [𝑎, 𝑏] e seja 𝜀 uma raiz desta 
função, sendo 𝜀 ∈ (𝑎, 𝑏), tal que 𝑓(𝜀) = 0 𝑒 𝑓′(𝑥) ≠ 0. 
 A figura 03, representa a forma geométrica do método de Newton. 
 
 
 
 
 Em geral, utilizando várias retas tangentes a função dada até se aproximar da 
raiz e encontrando sua equação da reta temos a seguinte fórmula do método de 
Newton: 
Desvantagens do Método da Falsa Posição: 
Lentidão do processo de convergência (requer o cálculo de f(x) em um elevado 
número de iterações); 
Necessidade de conhecimento prévio da região na qual se encontra a raiz de 
interesse (o que nem sempre é possível). 
 
 
 
 
𝑥 = 𝑥 −
( )
( )
, para 𝑛 = 1,2,3 … 
 Critério de parada, que determina quando não precisamos prosseguir com as 
iterações é: 
|𝑥 − 𝑥 | ≤ 𝑒𝑟𝑟𝑜. 
 
Exemplo 03: 
Considere 𝑥 = 1, encontre a terceira aproximação 𝑥 para a raiz da equação 
 𝑥 + 2𝑥 − 4 = 0, utilizando o método de Newton. 
 
𝐼. 𝐹(𝑥) = 𝑥 + 2𝑥 − 4, como vamos utilizar o método de Newton, precisamos derivar a função 
dada, temos: 
𝐹 (𝑥) = 3𝑥 + 2 
𝑥𝑁+1 = 𝑥𝑁 −
𝑥𝑁
3 + 2𝑥𝑁 − 4
3𝑥𝑁2 + 2
 
Se 𝑥 = 1, podemos substituir na fórmula de Newton, logo: 
𝑥 = 1 − 
1 + 2.1 − 4
3. 1 + 2
= 1,2 
Se 𝑥 1,2, temos que 𝑥 = 1,2 −
, . ,
. ,
≅ 1,1797 
 
Logo a raiz aproximada da nossa equação será 1,1797. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Você pode aprofundar seus conhecimentos consultando as referências que citamos 
e/ou visitando páginas da internet. Abaixo, listamos uma página interessante que 
pode ajudá-lo nessa pesquisa. Bons estudos! 
https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/107647/MTM0038-
M.pdf?sequence=1 
 
https://prominasonline.com.br/?gclid=EAIaIQobChMIoZ3msqun9QIV4suGCh2FhAzcEAAYA
SAAEgIgJfD_BwE 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 01. Considere a função𝑓(𝑥) = 𝑥. ln (𝑥) − 3, calcule os valores de 𝑓(𝑥) para 
os seguintes valores arbitrários: 
𝑥 1 2 3 4 
𝑓(𝑥) 
 
Utilizando o Método da Bisseção, podemos concluir que uma das possíveis raízes, 
encontra-se no intervalo: 
 
A) [1,2] 
B) [2,4] 
C) [3,4] 
D) [1,4] 
E) [2,3] 
 
Questão 02. A função 𝑓(𝑥) = 2 − 3𝑥, possui dois zeros, um no intervalo de [0,1] e 
outro no intervalo [3,4], aplicando o teorema da Bissecção, podemos determinar na 
primeira iteração que o intervalo que contém a raiz é: 
 
A) [0;0,25] 
B) [0,25;1] 
C) [0;0,75] 
D) [0; 0,5] 
E) [0,5;1] 
 
Questão 03. Seja 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 2)(𝑥 + 1)𝑥(𝑥 − 1) (𝑥 − 2). Para qual raiz de f o método 
da bisseção converge quando aplicado no intervalo [-3; 2,5]. 
 
A) 1 
B) 0,25 
C) 0,35 
D) 2 
E) 3 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 04. Considere a função 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 0,8 − 0,2𝑠𝑒𝑛(𝑥) com raiz no intervalo 
0, , usando o método da falsa posição encontre uma aproximação para a raiz de f 
com precisão de 10 . 
 
A) 0,97564 
B) 0,98765 
C) 0,96432 
D) 0,8765 
E) 0,7565 
 
 
Questão 05. Dada a função, 𝐹(𝑥) = 𝑒 +2 + 2 cos(𝑥) − 6 com zero no intervalo [1,2]. 
Use o método da falsa posição para encontrar uma aproximação para a raiz de f com 
precisão de 10 . 
 
A) 1,4356 
B) 1,3456 
C) 1,82938 
D) 1,74567 
E) 1,45677 
 
Questão 06. A função 𝐹(𝑥) = 𝑥 − 4𝑥 + 4 − ln (𝑥) com zero no intervalo [1,2]. Calcule 
a raiz de f(x)com precisão de 10 . Utilizando o método da falsa posição. 
 
A) 1,41242 
B) 1,34231 
C) 1,23456 
D) 1,12345 
E) 1,45678 
 
Questão 07. A função 𝐹(𝑥) = 2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠(𝑥) possui uma raiz x no intervalo de 0, . 
Calcule o valor de x com quatro casas decimais através do Método de Newton. 
 
A) 0,4502 
B) 0,3456 
C) 0,4567 
D) 0,4587 
E) 0,7654 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 08. Encontre a raiz aproximada, utilizando o método de Newton de 
 𝐹(𝑥) = 5𝑥 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥), com quatro casas decimais. Use 𝑥 = 0,5. 
 
A) 0,5741 
B) 0,2452 
C) 0,4356 
D) 0,5678 
E) 0,5678 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A determinação do conjunto solução dos sistemas lineares é um tema de estudo 
relevante dentro da Matemática Aplicada e, particularmente, em muitos tópicos de 
Engenharia. A complexidade de muitos sistemas, com elevado número de equações 
e de incógnitas, requer, muitas vezes, o auxílio de um computador para resolvê-los. 
Existem diversos algoritmos que permitem encontrar, caso existam, soluções de um 
sistema, recorrendo eventualmente a métodos numéricos de aproximação. 
 
 
Resolução de sistemas lineares 
E não lineares 
 
 Para determinarmos alguns fenomenos como, previsão do tempo, linhas de 
metrô, sinais de trânsito e etc., utilizamos a resolução de sistemas lineares.Veremos 
nesta unidade alguns métodos numéricos (direto ou interativo) para resolução de 
sistemas de equações lineares e não lineares. 
 
3.1-Sistemas Lineares direto 
 
 Apresentaremos nesta unidade métodos numéricos para resolvermos 
sitemas do tipo: 
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑥 = 𝑏
.
.
.
𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑥 = 𝑏
 
 
 
 
 
 
 
 
3.1.1-Eliminação de Gauss 
 
Consiste em transformar um sistema Ax = b em um sistema equivalente com 
matriz dos coeficientes triangular superior , por meio de transformações lineares. 
 
Ax = b → 𝐴𝑥 = 𝑏 ( transformação equivalente) 
 
 
UNIDADE
 
 
 
Teorema: Seja Ax =b, um sistema linear. Se: 
I) trocarmos duas equações; 
II) multiplicarmos uma equação por uma constante não nula; 
III) adicionarmos um múltiplo de uma equação a outra equação. 
 
Obteremos um sistema equivalente 𝐴𝑥 = 𝑏 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O método de Gauss é composto por dua fases: 
 
 fase de eliminação; 
 fase de substituição. 
 Na fase de eliminação vamos escalonar a matriz transformando ela em uma 
matriz triangular superior, na fase de eliminação vamos trabalhar com a matriz 
aumentada [𝐴 ∣ 𝐵]e para uma matriz 𝑛 × 𝑛 este processo tera (𝑛 − 1) etapas. 
 
O procedimento da fase de eliminação consite: 
I) montar a matriz aumentada [𝐴 ∣ 𝐵], que consite em representar o sistema 
em forma de matriz. 
II)determinação do pivô :𝑎 
III) definir os múltiplos de linha 𝑚 = 
IV) atualização das linhas 𝐿 ← 𝐿𝑖 − 𝑚 𝑥𝐿 ô 
Podemos destacar as seguintes vantagens do método: 
 possui solução exata; 
 é o método com o menor número de operações, diminuindo custo 
computacional; 
 consiste em multiplicar casa equação por um número real (pivô) para obter o 
sistema na forma de escada: 
 
 
 
 
Exemplo 01: 
 
Vamos aplicar o método da eliminação de Gauss, para resolver o sistema. 
 
3𝑥 + 2𝑥 + 4𝑥 = 1
𝑥 + 𝑥 + 2𝑥 = 2
4𝑥 + 3𝑥 − 2𝑥 = 3
 
I. Montar a matriz aumentada [𝐴 ∣ 𝐵] 
 
𝐴( )/𝑏( )= 










 3234
2211
1423
 
II. Para eliminar o primeiro coeficiente da segunda equação devemos 
encontrar um “pivô” que possa eliminá-lo, neste caso, o pivô será o 3. 
 
 










 3234
2211
1423
, elemento pivô é o 3. 
 
 
III. Definir os múltiplos de linha 𝑚 = 
𝑚𝐿 = , 𝐿 ← 𝐿 − 𝑚𝐿 × 𝐿 
 A linha 02 recebendo ela mesma, menos o multiplicador, que são múltiplos 
convenientes da primeira equação a cada uma das equações seguintes de modo 
a ter todos os coeficientes da incógnita 𝑥 abaixo da primeira equação iguais a 
zero, vezes o elemento da linha pivô. 
𝑚𝐿 = , 𝐿 ← 𝐿 − 𝑚𝐿 × 𝐿 
 
 
 
 
 
 
IV. Precisamos zerar os elmentos 𝑎 e 𝑎 . 
 










 3234
2211
1423
 
 
Para zeramos os elementos𝑎 e 𝑎 da linha 02, que são 1,1,2 e 2, subtrair pelo 
elemento multiplicador que é e multiplicar pelos elementos da linha 1 que são 3,2,4 
e 1. 
 
𝐿 ← 𝐿 − 𝑚𝐿 × 𝐿 
1 −
1
3
× 3 = 0 
1 −
1
3
× 2 =
1
3
 
2 −
1
3
× 4 =
2
3
 
2 −
1
3
× 1 =
5
3
 
 
𝐴( )/𝑏( ) = 










3
5
3
2
3
1
0
1423
 
Precisamos pegar os elementos da linha 03, que são 4,3, -2 e 3, subtrarir pelo 
elemntos multiplicador que é e multiplicar pelos elementos da linha 01. 
𝐿 ← 𝐿 − 𝑚𝐿 × 𝐿 
4 −
4
3
× 3 = 0 
3 −
4
3
× 2 =
1
3
 
−2 −
4
3
× 4 =
−22
3
 
3 −
4
3
× 1 =
5
3
 
 
 
 
 
𝐴( )/𝑏( ) = 










 3/53/223/10
3/53/23/10
1423
 
 
 
Para zerar o elemento da terceira linha e segunda coluna, o novo elemento pivô é o 
𝑎 = , o elemento multiplicador 𝑚𝐿 = = 1. 
Calculando os novos elementos da terceira linha temos: 
𝐿 ← 𝐿 − 𝑚𝐿 × 𝐿 
0 − 1 × 0 = 0 
1
3
− 1 ×
1
3
= 0 
−22
3
− 1 ×
2
3
= −8 
5
3
− 1 ×
5
3
= 0 
 
Logo, 𝐴( )/𝑏( ) = 










 0800
3/53/23/10
1423
, temos uma matriz triângular superior trivial. 
V.Reescrevendo o sistema temos: 
 
3𝑥 + 2𝑥 + 4𝑥 = 1
1
3
𝑥 +
2
3
𝑥 =
5
3
−8𝑥 = 0
 
 
Logo 𝑥 = 0 
𝑥 + . 0 = → 𝑥 = 5 
3𝑥 + 2.5 + 4.0 ⇒ 𝑥 = −3 
 
𝐴𝑥 = 𝑏, x = 
−3
5
0
 
𝑥 representa a solução do sistema que foi proposto inicialmente. 
 
 
 
 
Teorema: Se o determinante de todos os menores principais da matriz A forem não-
nulo, então a fatoração 𝐴 = 𝐿𝑈 é única. 
 
 
3.1.2- Método de Fatoração LU 
 
 A fatoração 𝐿 𝑈 ou decomposição 𝐿𝑈 é uma das técnicas mais usadas para 
resolver sistemas de equações lineares. Ela consiste em decompor a matriz 𝐴 dos 
coeficientes do sistema em produto de duas matrizes 𝐿 𝑒 𝑈, em que 𝐿 é uma matriz 
triangular inferior com a diagonal unitária e 𝑈 uma matriz triangular superior. 
Este método consiste em fatorar a matriz 𝐴 dos coeficientes na forma 𝐴 = 𝐿𝑈, 
logo a matriz 𝐴. 𝑥 = 𝑏, devemos substituir a matriz 𝐴 pela matriz 𝐿𝑈, o novo sistema 
vai ficar na forma (𝐿𝑈). 𝑥 = 𝑏. 
 
 
 
Exemplo 02: 
Resolver o sistema 
3𝑥 + 2𝑥 + 4𝑥 = 1
𝑥 + 𝑥 + 2𝑥 = 2
4𝑥 + 3𝑥 − 2𝑥 = 3
 
Pelo método da fatoração 𝐿𝑈. 
 
A matriz 𝐿 é uma matriz triangular inferior com a diagonal unitária. 
 
L = 
1 0 0
1 0
1
 
 
 A matriz 𝑈 é uma matriz triangular superior resultante do escalonamento. 
u = 0
0 0
 
 
 
 
Precisamos preencher a matriz 𝐿 𝑒 𝑈 de forma a acompanhar o procedimento do 
método. 
V. Vamos trabalhar com a matriz 𝑎 
A = 
3 2 4
1 1 2
4 3 −2
 
VI. Primeira Etapa- Escalonamento, zerar os elementos 𝑎 e 𝑎 . 
 
Elemento pivô é 𝑎 = 3 
𝑚𝐿 = , 𝐿 ← 𝐿 − 𝑚𝐿 × 𝐿 
𝑚𝐿 = , 𝐿 ← 𝐿 − 𝑚𝐿 × 𝐿 
 
Precisamos utilizer os elementos da linha 02, que são 1,1 e 2 , subtrair pelo elemento 
multiplicador que é e multiplicar pelos elementos da linha 1 que são 3,2 e 4. 
 
𝐿 ← 𝐿 − 𝑚𝐿 × 𝐿 
1 −
1
3
× 3 = 0 
1 −
1
3
× 2 =
1
3
 
2 −
1
3
× 4 =
2
3
 
 
 
𝐴( ) =
3 2 4
0 1/3 2/3 
 
Vamos utilizar os elementos da linha 03, que são 4,3 e -2 , subtrarir pelo elementos 
multiplicador que é e multiplicar pelos elementos da linha 01. 
 
 
 
𝐿 ← 𝐿 − 𝑚𝐿 × 𝐿 
4 −
4
3
× 3 = 0 
3 −
4
3
× 2 =
1
3
 
−2 −
4
3
× 4 =
−22
3
 
 
𝐴( ) =
3 2 4
0 1/3 2/3
0 1/3 −22/3
 
Segunda etapa, o objetivo é zerar o elemento da terceira linha e segunda coluna, o 
novo elemento pivô é o 𝑎 = , o elemento multiplicador 𝑚𝐿 = = 1. 
Calculando os novos elementos da terceira linha temos: 
𝐿 ← 𝐿 − 𝑚𝐿 × 𝐿 
0 − 1 × 0 = 0 
1
3
− 1 ×
1
3
= 0 
−22
3
− 1 ×
2
3
= −8 
 
𝐴( ) =
3 2 4
0 1/3 2/3
0 0 −8
 
Podemos montar agora as matrizes 𝐿 𝑒 𝑈. 
A matriz 𝐿 será: 
L = 
1 0 0
1/3 1 0
4/3 1 1
, onde o elemento 𝑎 , 𝑎 , e 𝑎 são os multiplicadores das 
respectivas linhas para zerar os elementos no escalonamento. 
A Matriz 𝑈 e a mesma matriz resultante do escalonamento. 
 
 
 
u = 
3 2 4
0 1/3 2/3
0 0 −8
 
Vamos resolver dois sistemas 
𝑢. 𝑥 = 𝑦
𝐿𝑦 = 𝑏 
Primeiro vamos resolver 𝐿. 𝑦 = 𝑏 
1 0 0
1 0
1 1
.
𝑦
𝑦
𝑦
=
1
2
3
, temos que: 
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
𝑦 = 1
1
3
𝑦 + 𝑦 = 2
4
3
𝑦 + 𝑦 + 𝑦 = 3
 
Sistema triangular superior, resolvendo pelo método da substituição: 
𝑦 = 1 
1
3
. 1 + 𝑦 = 2 → 𝑦 = 
5
3
 
4
3
. 1 +
5
3
+ 𝑦 = 3 → 𝑦 = 0 
Logo o vetor y = 
1
0
. 
Resolvendo o segundo sistema, 𝑢. 𝑥 = 𝑦 
 
3 2 4
0 1/3 2/3
0 0 −8
𝑥
𝑥
𝑥
=
1
0
, reescrevendo o sistema: 
 
 
 
3𝑥 + 2𝑥 + 4𝑥 = 1
1
3
𝑥 +
2
3
𝑥 =
5
3
−8𝑥 = 0
 
Resolvendo o sistema pelo método da substituição temos: 
𝑥 = 0 
1
3
𝑥 +
2
3
. 0 =
5
3
→ 𝑥 = 5 
3𝑥 + 2.5 + 4.0 = 1 → 𝑥 = −3 
x = 
−3
5
0
, representa a solução do sistema proposto inicialmente. 
3.2-Sistemas não lineares 
São sistemas em que pelo menos uma de suas equações não são lineares. 
As equações não lineares são equações que não podem ser representadas 
por retas, planos ou hiperplanos. 
 Resolver um sistema não linear é encontrar a seguinte solução: 
𝑓 (𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 ) = 0
𝑓 ((𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 ) = 0
⋮
𝑓 (𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 ) = 0
 
 
3.2.1-Método de Newton 
É um dos principais métodos usados na resolução de sistemas não lineares. 
Dada uma aproximação 𝑥( ), o método de Newton define a sequência {𝑥( )} 
através dos seguintes passos: 
 
 
 
VII. Resolver 𝐽 𝑥( ) 𝑠( ) = 𝐹(𝑥( )). 
VIII. Define 𝑥 = 𝑥( ) + 𝑠( ). 
Espera-se que a sequência convirja para solução 𝜀 do sistema não linear 
𝑓(𝑥) = 0, ou seja lim
→
𝑥( ) = 𝜀. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 04: 
Resolver o sistema não linear 
𝑥 + 𝑦 − 4 = 0
𝑥 − 𝑦 − 1 = 0
, com critério de parada de 0,01 e 
= ,
,
. 
IX. Montar a matriz jacobiana, que consiste em derivar as equações dadas 
inicialmente. 
𝑓′(𝑥)= ? 
𝐹 : 𝑥 + 𝑦 − 4 
𝐹 : 𝑥 − 𝑦 − 1 
F'(x)= , Portanto, 𝐹 (𝑥) = 
2𝑥 2𝑦
2𝑥 −2𝑦
, que são as derivadas parciais 
das funções 𝐹 e 𝐹 . 
A cada interação o Método de Newton requer: 
-Avaliação da Matriz Jacobiana; 
-Resolução de um sistema linear. 
 
 
 
X. Aplicação do Método de Newton: A.Z = b, onde: 
A- Matriz Jacobiana 
Z- O resultado que precisamos encontrar (termo desconhecido) 
b- matriz em que substitui o x nas funções 𝐹 e 𝐹 . 
XI. Primeira interação 
𝑥 = 1,5
𝑦 = 1,5
 
A = 𝐹 (𝑥 ) =
2𝑥 2𝑦
2𝑥 −2𝑦
=
2.1,5 2.1,5
2.1,5 2.1,5
= 3 3
3 −3
 
 
A = 𝐹 (𝑥 ) = −
𝑥2 + 𝑦2 − 4
𝑥2 − 𝑦2 − 1 
= −
1,5 + 1,5 − 4
1,5 − 1,5 − 1
= −
0,5
−1
=
−0,5
1
 
A.Z=b3 3
3 −3
𝑧
𝑧 =
−0,5
1
, resolvendo a multiplicação, chegamos no seguinte sistema: 
3𝑧 + 3𝑧 = −0,5
3𝑧 − 3𝑧 = 1
, resolvendo pelo processo da adição temos: 
𝑧 = 0,0833 𝑒 𝑧 = −0,25 
Z = 
0,0833
−0,25
, como 𝑧 > 0,01 e 𝑧 > 0,01, precisamos fazer a segunda interação. 
Para determinarmos os valores de 𝑥 𝑒 𝑦 ,vamos resolver a seguinte soma de 
matrizes. 
𝑥
𝑦
=
𝑥
𝑦
+
𝑧
𝑧
=
1,5
1,5
+
0,0833
1,25
=
1,5833
1,25
 
 
 
 
Repete todo o processo, até chegarmos a valores de 𝑧 e 𝑧 menores que 0,01. 
Podemos utilizar o Software VCN, para encontrarmos o resultado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Você pode aprofundar seus conhecimentos consultando as referências que citamos 
e/ou visitando páginas da internet. Abaixo, listamos uma página interessante que pode 
ajudá-lo nessa pesquisa. Bons estudos! 
https://www1.univap.br/spilling/CN/CN_Capt3.pdf 
https://homepages.dcc.ufmg.br/~ana.coutosilva/Aulas-CN/SistemasLineares/SL1.pdf 
https://www.ime.unicamp.br/~valle/Teaching/MS211/Aula01.pdf 
https://prominasonline.com.br/?gclid=EAIaIQobChMIoZ3msqun9QIV4suGCh2FhAzcEAAYAS
AAEgIgJfD_BwE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 01. Resolvendo o sistema abaixo, utilizando a eliminação de Gauss, o valor 
de 𝑥 é: 
𝑥 + 6𝑥 + 2𝑥 + 4𝑥 = 8
3𝑥 + 19𝑥 + 4𝑥 + 15𝑥 = 25
𝑥 + 4𝑥 + 8𝑥 − 12𝑥 = 18
5𝑥 + 33𝑥 + 9𝑥 + 3𝑥 = 72
 
A) -138 
B) 120 
C) 123 
D) 125 
E) 156 
 
Questão 02. Considere o sistema linear 
𝑥 − 3𝑥 + 2𝑥 = 11
−2𝑥 + 8 𝑥 − 𝑥 = −15
4𝑥 − 6𝑥 + 5𝑥 = 29
, resolvendo pelo 
processo da eliminação de Gauss, chegamos a 𝑥 igual a: 
 
A) 2 
B) -1 
C) -3 
D) -5 
E) 3 
 
Questão 03. Considere o sistema Linear 
𝑥 + 𝑥 + 𝑥 = −2
2𝑥 + 𝑥 − 𝑥 = 1
2𝑥 − 𝑥 + 𝑥 = 3
, o resultado de 𝑥 , 
utilizando a fatoração LU é: 
 
A) 2 
B) 4 
C) -1 
 
 
 
D) -2 
E) -3 
 
 
 
 
Questão 04. Sabe-se que uma alimentação diária equilibrada em vitaminas deve 
constar de 170 unidades de vitamina A, 180 unidades de vitamina B, 150 unidades de 
vitamina C, 180 unidades de vitamina D e 350 unidades de vitamina E. 
Com o objetivo de descobrir como deverá ser uma refeição equilibrada, foram 
estudados cinco alimentos. Fixada a mesma quantidade (1grama) de cada alimento, 
determinou-se que: 
 O alimento I tem 1 unidade de vitamina A, 10 unidades de vitamina B, 1 unidade de 
vitamina C, 2 unidades de vitamina D e 2 unidades de vitamina E; 
 O alimento II tem 9 unidades de vitamina A, 1 unidade de vitamina B, 0 unidades de 
vitamina C, 1 unidade de vitamina D e 1 unidade de vitamina E; 
 O alimento III tem 2 unidades de vitamina A, 2 unidades de vitamina B, 5 unidades 
de vitamina C, 1 unidade de vitamina D e 2 unidades de vitamina E; 
 O alimento IV tem 1 unidade de vitamina A, 1 unidade de vitamina B, 1 unidade de 
vitamina C, 2 unidades de vitamina D e 13 unidades de vitamina E; 
 O alimento V tem 1 unidade de vitamina A, 1 unidade de vitamina B, 1 unidade de 
vitamina C, 9 unidades de vitamina D, e 2 unidades de vitamina E. 
Quantos gramas do alimento I, deve-se ingerir diariamente para que se possa ter uma 
alimentação equilibrada? 
 
A) 9,4532 
B) 8,7654 
C) 7,6754 
D) 9,6441 
E) 7,6743 
 
 
 
 
Questão 05. Resolvendo o sistema a seguir pela eliminação de Gauss, o valor de 𝑥 
é: 
 
2𝑥 + 3𝑥 + 4𝑥 + 5𝑥 = 14
4𝑥 − 6𝑥 + 𝑥 + 𝑥 = 12
2𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 = 5
4𝑥 − 2𝑥 − 2𝑥 + 2𝑥 = 1
 
A) -0,876 
B) -0,098 
C) -0,007 
D) -0,876 
E) -0,664 
 
Questão 06. Utilizando o processo da eliminação de Gauss, marque a opção que 
determina o valor de 𝑥 . 
𝑥 + 𝑥 + 3𝑥 = 4
2𝑥 + 𝑥 − 𝑥 + 𝑥 = 1
3𝑥 − 𝑥 − 𝑥 + 2𝑥 = −3
−𝑥 + 2𝑥 + 3𝑥 − 𝑥 = 4
 
A) 2 
B) 0 
C) 1 
D) 4 
E) -1 
 
Questão 07. Considere o sistema linear: 
 
𝑥 − 𝑥 + 2𝑥 − 𝑥 = −8
2𝑥 − 2𝑥 + 3𝑥 − 3𝑥 = −20
𝑥 + 𝑥 + 𝑥 = −2
𝑥 − 𝑥 + 4𝑥 + 3𝑥 = 4
 
Aplicando o método da eliminação de Gauss, o valor de 𝑥 é: 
 
A) 3 
B) 5 
C) -14 
D) 2 
E) 6 
 
 
 
 
 
Questão 08. Resolvendo o sistema a seguir pela eliminação de Gauss, o valor de 𝑥 
é: 
 
2𝑥 + 3𝑥 + 4𝑥 + 5𝑥 = 14
4𝑥 − 6𝑥 + 𝑥 + 𝑥 = 12
2𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 = 5
4𝑥 − 2𝑥 − 2𝑥 + 2𝑥 = 1
 
A) 1,345 
B) 1,123 
C) 1,175 
D) 1,234 
E) 1,347 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Interpolar uma função 𝑓(𝑥) consiste em aproximar essa função por uma função 𝑔(𝑥), escolhida 
dentro de uma classe de função definida a priori que satisfaça algumas propriedades. 
 
 
 
 
Interpolação 
 
 Nesta unidade estudaremos métodos que nos permitem encontrar um valor 
aproximado para uma função 𝑓, calculado em um ponto de um intervalo determinado, 
através do conhecimento de uma coleção de pares ordenados. 
 
 
 
 
 
 
 
Ao interpolarmos, vamos construir um novo conjunto de dados a partir de um 
conjunto discreto de dados pontuais previamente conhecidos. 
 Utilizamos a interpolação quando temos valores numéricos de uma função não 
conhecida para um conjunto de pontos e queremos o valor desta função em um ponto 
não tabulado, ou, quando temos uma função complicada demais para que seja 
possível avaliá-la de forma eficiente, podemos então, escolher alguns dados pontuais 
da função cuja lei de formação seja complicada e tentar interpolá-los com mais 
sinais.Segue abaixo a definição de interpolação: 
 Sejam (𝑛 + 1) pontos distintos 𝑥 , 𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 chamados “nós” da interpolação 
e seus respectivos valores na função 𝑓(𝑥): 𝑓(𝑥 ), 𝑓(𝑥 ), … , 𝑓(𝑥 ). 
 A interpolação de 𝑓(𝑥) consiste em obter uma função 𝑔(𝑥) tal que: 
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
𝑔(𝑥 ) = 𝑓(𝑥 )
𝑔(𝑥 ) = 𝑓(𝑥 )
𝑔(𝑥 ) = 𝑓(𝑥 )
⋮
𝑔(𝑥 ) = 𝑓(𝑥 )
 
 
 
 
UNIDADE
 
 
 
 A figura 04, representa o método geométrico de uma interpolação. 
 
4.1.Interpolação Polinomial 
 
 Aproximar funções por polinômios é uma das técnicas mais utilizadas na 
análise numérica, isto acontece porque os polinômios são facilmente computáveis, 
suas integrais e derivadas são novamente polinômios, suas raízes podem ser 
encontradas com facilidade. 
 Dados os pontos 𝑥 , 𝑓(𝑥 ) , 𝑥 , 𝑓(𝑥 ) , … , (𝑥 , 𝑓(𝑥 )), queremos aproximar 
𝑓(𝑥) por um polinômio 𝑃 (𝑥), de grau menor ou igual a 𝑛, tal que 
𝑓(𝑥 ) = 𝑃 (𝑥 ), 𝑖 = 0, … , 𝑛. A representação de 𝑃 (𝑥), é dada por: 
𝑃 (𝑥) = 𝑎 + 𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑥 , obter 𝑃 (𝑥) consiste em encontrar os 
coeficientes 𝑎 , 𝑎 , 𝑎 … , 𝑎 , da condição 𝑃 (𝑘 ) = 𝑓(𝑘 ), ∀𝑘 = 0,1,2, … , 𝑛. 
 Colocando o polinômio na forma matricial, as linhas da matriz são formadas por 
todas as potências dos coeficientes do polinômio até o grau do mesmo, temos: 
 
𝑣 =
1 𝑥 ⋯
⋮ ⋮ ⋯
1 𝑥 ⋯
𝑥
⋮
𝑥
 é chamada matriz de Vandermonde. 
 Se os pontos 𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 forem distintos, temos det (𝑣) ≠ 0,logo o sistema 𝑣𝛼 =
𝑦 adimite uma solução única. 
 
 
 
 
 
 
Chama-se matriz de Vandermonde toda matriz quadrada de ordem 𝑛 × 𝑛, ou seja,com 𝑛 
linhas e 𝑛 colunas, da forma geral: 
 
Nesse tipo de matriz, cada coluna(ou linha) é uma PG com o primeiro termo igual a 1, os 
elementos que surgem após 1 são chamados de “elementos característicos” da matriz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Há várias maneiras para obter 𝑝 (𝑥), nesta unidade vamos abordar três 
possibilidades: 
 
 Resolução de sistemas lineares; 
 Forma de Lagrange; 
 Forma de Newton. 
 
4.2. Resolução de sistemas lineares 
 Para abordar este tópico vamos recorrer ao exemplo abaixo: 
 
Exemplo 01. 
Vamos determinar um polinômio que interpola uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥) , dadas nos 
pontos a seguir. 
𝑖 0 1 2 
𝑥 -1 0 2 
𝑦 4 1 -1 
 Como foi dado três pontos distintos, o polinômio considerado será do segundo grau. 
Temos: 𝑃 (𝑥) = 𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑥 + 𝑎 
 
 
 
𝑃 (−1) = 𝑓 (−1) = 4 ⇒ 𝑎 (−1) + 𝑎 (−1) + 𝑎 = 4 ⇒ 𝑎 − 𝑎 + 𝑎 = 4 
𝑃 (0) = 𝑓(0) = 1 ⇒ 𝑎 (0) + 𝑎 (0) + 𝑎 = 1 ⇒ 𝑎 = 1 
𝑃 (2) = 𝑓(2) =−1 ⇒ 𝑎 (2) + 𝑎 (2) + 𝑎 = −1 ⇒ 4𝑎 + 2𝑎 + 𝑎 = −1 
 
Resolvendo o sistema pelo método da substituição 
𝑎 − 𝑎 + 𝑎 = 4
𝑎 = 1
4𝑎 + 2𝑎 + 𝑎 = −1
, temos: 
 
I. 𝑎 − 𝑎 + 1 = 4 ⇒ 𝑎 − 𝑎 = 3 ⇒ 𝑎 = 3 + 𝑎 
II. 4(3 + 𝑎 ) + 2𝑎 + 1 = −1, aplicando a propriedade distributiva, 
III. 12 + 4𝑎 + 2𝑎 + 1 = −1 ⇒ 5𝑎 = −1 − 13 ⇒ 𝑎 = −2,333 
IV. 𝑎 = 3 − 2,333 = 0,667 
𝑃 (𝑥) = 0,667𝑥 − 2,333𝑥 + 1 
4.3.Forma de Lagrange 
A ideia da forma de Lagrange consiste basicamente em escrever um polinômio 
como soma de polinômios ditos elementares, que se anulem em todos os valores dos 
conjuntos de dados. 
 A interpolação 𝑓(𝑥) pela forma de Lagrange consiste em obter uma função 
𝑃 (𝑥) tal que: 
𝑃 (𝑥) = 𝑓(𝑥 )𝐿 (𝑥) + 𝑓(𝑥 )𝐿 (𝑥) + ⋯ + 𝑓(𝑥 )𝐿 (𝑥), onde os polinômios 𝐿 (𝑥), são de 
grau 𝑛. 
 
Exemplo 02. Usando o método de Lagrange, encontrar o polinômio de grau menor ou 
igual a 2 que interpola os dados da tabela abaixo. 
 
𝑥 -1 0 2 
𝑓(𝑥) 4 1 -1 
 
 
I. O conjunto de dados contém três pontos,logo o polinômio interpolador será 
de grau 2 e será da forma: 
𝑃 (𝑥) = 𝑓(𝑥 )𝐿 (𝑥) + 𝑓(𝑥 )𝐿 (𝑥) + 𝑓(𝑥 )𝐿 (𝑥), sendo (𝑥 , 𝑦 )= (−1,4); (𝑥 , 𝑦 )= (0,1); 
(𝑥 , 𝑦 )= (2, −1). 
 
 
 
II. Comecemos a encontrar os polinômios 𝐿 (𝑥); 𝐿 (𝑥); 𝐿 (𝑥). Temos 
 
𝐿 (𝑥) =
(𝑥 − 𝑥 )(𝑥 − 𝑥 )
(𝑥 − 𝑥 )(𝑥 − 𝑥 )
=
(𝑥 − 0)(𝑥 − 2)
(−1 − 0)(−1 − 2)
=
𝑥 − 2𝑥
3
 
𝐿 (𝑥) =
(𝑥 − 𝑥 )(𝑥 − 𝑥 )
(𝑥 − 𝑥 )(𝑥 − 𝑥 )
=
(𝑥 + 1)(𝑥 − 2)
(0 + 1)(0 − 2)
=
𝑥 − 𝑥 − 2
−2
 
𝐿 (𝑥) =
(𝑥 − 𝑥 )(𝑥 − 𝑥 )
(𝑥 − 𝑥 )(𝑥 − 𝑥 )
=
(𝑥 + 1)(𝑥 − 0)
(2 + 1)(2 − 0)
=
𝑥 + 𝑥
6
 
Dessa maneira encontraremos 𝑃 (𝑥) = 𝑓(𝑥 )𝐿 (𝑥) + 𝑓(𝑥 )𝐿 (𝑥) + 𝑓(𝑥 )𝐿 (𝑥) 
𝑃 (𝑥) = 4.
𝑥2−2𝑥
3
+ 1. 
𝑥2−𝑥−2
−2
+ (−1) 
𝑥2+𝑥
6
= 1 − 𝑥 + 𝑥 . 
 Os polinômios elementares são dados por: 
𝐿 (𝑥) =
∏ ( )
∏ ( )
, o polinômio interpolador fica 𝑝(𝑥) = ∑ 𝑦 𝐿 (𝑥). 
 Exemplo 03. 
Usando o método de Lagrange, encontre o polinômio interpolador para o conjunto de 
dados {(1, 3), (4, 18)}. 
I. O conjunto de dados contém dois pontos,logo o polinômio interpolador será 
de grau 1 e será da forma: 
 
𝑃 (𝑥) = 𝑓(𝑥 )𝐿 (𝑥) + 𝑓(𝑥 )𝐿 (𝑥), sendo (𝑥 , 𝑦 )= (1,3); (𝑥 , 𝑦 )= (4,18); 
 
II. Comecemos encontrando os polinômios 𝐿 (𝑥); 𝐿 (𝑥). Temos 
𝐿 (𝑥) =
(𝑥 − 𝑥 )
(𝑥 − 𝑥 )
=
(𝑥 − 4)
(1 − 4)
=
𝑥 − 4
−3
 
𝐿 (𝑥) =
(𝑥 − 𝑥 )
(𝑥 𝑥 )
=
(𝑥 − 1)
(4 − 1)
=
𝑥 − 1
3
 
III. Dessa maneira encontraremos 𝑃 (𝑥) = 𝑓(𝑥 )𝐿 (𝑥) + 𝑓(𝑥 )𝐿 (𝑥) 
 
 
 
 
 
𝑃 (𝑥) = 3.
𝑥 − 4
−3
+ 18.
𝑥 − 1
3
= 5𝑥 − 2 
 
 
 
 
 
 
 
4.3.Forma de Newton 
 
 A forma de, Newton também é utilizada para encontramos o polinômio 
interpolador 𝑃 (𝑥), que interpola em (𝑛 + 1) pontos distintos 𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 é o seguinte: 
𝑷𝒏(𝒙) = 𝒅𝟎 + 𝒅𝟏(𝒙 − 𝒙𝟎) + 𝒅𝟐(𝒙 − 𝒙𝟎)(𝒙 − 𝒙𝟏) + ⋯ + 𝒅𝒏(𝒙 − 𝒙𝟎)(𝒙 − 𝒙𝟏) … (𝒙 −
𝒙𝒏 𝟏). 
 No método de Newton, os valores de 𝑑 , são dados por diferenças divididas de 
ordem 𝑘. 
 Seja 𝑓(𝑥) definida em (𝑛 + 1) pontos distintos 𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 . 
Para o conjunto de dados {(𝑥 , 𝑦 )(𝑥 , 𝑦 ), … , (𝑥 , 𝑦 }, a diferença dividida de 
ordem 0 em relação a 𝑥 será dada por ∇ = 𝑦 e a diferença dividida de ordem 1 em 
relação 𝑥 será dada por ∇ =
∇ ∇
. 
Para o conjunto de dados{(𝑥 , 𝑦 )(𝑥 , 𝑦 ), … , (𝑥 , 𝑦 }, a diferença dividida de 
ordem 𝑘 em relação a 𝑥 , com 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛, será dada por ∇ =
∇ ∇
. 
 
 
 
 
 
Exemplo 04. 
Na definição geral podemos usar ∇ apenas para 𝑖 = 0,1, … , 𝑛 − 1? 
As formas polinomiais que utilizam a resolução de sistemas e as de Lagrange são muito 
utilizadas nos problemas reais onde temos 𝑚 pontos observados. A forma de Lagrange tem 
desvantagem de ter um custo computacional alto se quisermos aumentar pontos de 
interpolação. 
 
 
 
Usando o método de Newton, encontrar o polinômio interpolador para os dados 
{(−1,4); (0,1); (2, −1)}. 
I. Fazendo (𝑥 , 𝑦 ) = (−1,4), (𝑥 , 𝑦 ) = (0,1)𝑒 (𝑥 , 𝑦 ) = (2. −1), podemos 
encontrar as diferenças divididas. 
 
II. De ordem 0 
 
∇ = 𝑦 = 4, ∇ = 𝑦 = 1, ∇ = 𝑦2 = −1 
 
III. De ordem 1 
 
∇ =
∇ − ∇
𝑥 − 𝑥
=
1 − 4
0 − (−1)
=
−3
1
= −3 𝑒∇ =
∇ − ∇
𝑥 − 𝑥
=
−1 − 1
2 − 0
=
−2
2
= −1 
 
IV. De ordem 2 
∇ =
∇ − ∇
𝑥 − 𝑥
=
−1 − (−3)
2 − (−1)
=
2
3
 
 
Assim, o polinômio interpolador será: 𝑝(𝑥) = 𝑦 + ∇ (𝑥 − 𝑥 ) + ∇ (𝑥 − 𝑥 )(𝑥 − 𝑥 ) = 
= 4 + (−3)(𝑥 + 1) +
2
3
(𝑥 + 1)(𝑥 − 0) 
𝑃 (𝑥) =
2
3
𝑥 −
7
3
𝑥 + 1 
 
 
 
Exemplo 05. 
Usando o método de Newton, encontrar o polinômio interpolador para os dados 
{(1,4); (3,8); (6,29)}. 
 
 
 
 
I. Fazendo (𝑥 , 𝑦 ) = (1,4), (𝑥 , 𝑦 ) = (3,8)𝑒 (𝑥 , 𝑦 ) = (6,29), podemos 
encontrar as diferenças divididas. 
 
 
II. De ordem 0 
 
∇ = 𝑦 = 4, ∇ = 𝑦 = 8, ∇ = 𝑦2 = 29 
 
 
III. De ordem 1 
 
∇ =
∇ − ∇
𝑥 − 𝑥
=
8 − 4
3 − 1
= 2 𝑒∇ =
∇ − ∇
𝑥 − 𝑥
=
29 − 8
6 − 3
= 7 
 
 
 
IV. De ordem 2 
∇ =
∇ − ∇
𝑥 − 𝑥
=
7 − 2
6 − 1
= 1 
 
 
Assim, o polinômio interpolador será: 𝑝(𝑥) = 𝑦 + ∇ (𝑥 − 𝑥 ) + ∇ (𝑥 − 𝑥 )(𝑥 − 𝑥 ) = 
4 + 2. (𝑥 − 1) + 1. (𝑥 − 1)(𝑥 − 3) = 𝑥 − 2𝑥 + 5. 
 
 
 
 
 
 Você pode aprofundar seus conhecimentos consultando as referências que citamos 
e/ou visitando páginas da internet. Abaixo, listamos uma página interessante que pode 
ajudá-lo nessa pesquisa. Bons estudos! 
 
https://www.ime.usp.br/~asano/LivroNumerico/LivroNumerico.pdf 
 
 
 
 
 
Questão 01. (CCSE/Adaptada) Na tabela a seguir, está representada a produção e 
o número de habitantes de uma cidade A em quatro censos. 
 
Ano 1950 1960 
N0 de Habitantes 352.724 683.905 
 
Utilize o polinômio interpolador do primeiro grau 𝑃 (𝑥) = 𝑎 𝑥 + 𝑎 e determine o 
número aproximado de habitantes na cidade A em 1955. 
 
A) 518.316 
B) 33.118,40 
C) 601.316 
D) 642.281,56 
E) 300.000 
 
Questão 02.(UEPA/Adaptada) Determine a partir das informações existentes na 
tabela, determine o polinômio interpolador de Lagrange. 
 
𝑖 𝑥 𝑦 
0 0.0 0.000 
1 0.2 2.008 
2 0.4 4.064 
3 0.5 5.125 
 
A) 𝑃 (𝑥) = 𝑥 + 12𝑥 
B) 𝑃 (𝑥) = 𝑥 + 10𝑥 
C) 𝑃 (𝑥) = 𝑥 + 4𝑥 
D) 𝑃 (𝑥) = 𝑥 + 8𝑥 
E) 𝑃 (𝑥) = 𝑥 − 10𝑥 
 
 
 
Questão 03. Usando a forma de Newton, marque a opção que determina o 
polinômio 𝑃 (𝑥) que interpola 𝑓(𝑥) nos pontos dados. 
{(−1,4); (0,1); (2, −1)} 
 
A) 𝑥 − 𝑥 + 1 
B) 𝑥 − 𝑥 + 1 
C) 𝑥 − 𝑥 − 1 
D) 𝑥 − 𝑥 + 1 
E) 𝑥 − 𝑥 + 1 
 
Questão 04. Calcular 𝐿 (0,2) a partir da tabela. Utilize o método de Lagrange para 
𝑛 = 1. 
𝑖 0 1 
𝑥 0,1 0,6 
𝑦 1,221 3,320 
 
A) 1,341 
B) 0,6 
C) 1,5 
D) 0,2 
E) 1,312 
 
Questão 05. Determinar 𝑃 (1,2) usando a tabela de diferenças divididas para 𝑛 = 2. 
𝑖 𝑥 𝑦 ∇𝑦 ∇ 𝑦 
0 0,9 3,211 -2,90 0,602 
1 1,1 2,809 -1,328 
2 2,0 1,614 
 
A) 2,630 
 
 
 
B) 1,630 
C) 1,412 
D) 1,364 
E) 2,627 
 
Questão 06. 
Calcular 𝐿 (0,2) a partir da tabela para 𝑛 = 2. 
𝑖 0 1 2 
𝑥 0,1 0,6 0,8 
𝑦 1,221 3,320 4,953 
 
A) 0,2857 
B) 0,3122 
C) 0,512 
D) 2,373 
E) 1,3154 
 
Questão 07. O polinômio de grau ≤ 2 que interpola os pontos que seguem. 
𝑥 -1 0 1 
𝑓(𝑥) 0,54 1 0,54 
 
A) 𝑃 (𝑥) = 1 + 0,46𝑥 
B) 𝑃 (𝑥) = 1 − 0,46𝑥 
C) 𝑃 (𝑥) = 1 + 0,36𝑥 
D) 𝑃 (𝑥) = 1 + 0,26𝑥 
E) 𝑃 (𝑥) = 1 + 0,6𝑥 
 
 
 
 
 
 
Questão 08. O volume de água em um reservatório foi medido em tempos regulares. 
Os resultados das medições aparecem na tabela abaixo. Usando interpolação 
polinimial, estime o volume de água no reservatório para 𝑡 = 2,5ℎ. 
𝑡(𝑒𝑚 ℎ) 0 1 2 3 4 
𝑉(𝑒𝑚 𝑚 ) 0 3 7 15 30 
 
A) 10,3125 
B) 11,2345 
C) 12,3456 
D) 11,3456 
E) 12,1224 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Integração Numérica 
 
Nesta unidade, aproximaremos os valores das integrais definidas, como visto no 
Cálculo I. Vamos revisar alguns conceitos de integrais definidas e abordaremos a 
regra dos trapéziossimples e a de Simpson. 
 
5.1.Revisão de conceitos e definições iniciais 
 
 No cálculo diferencial, precisamos frequentemente encontrar a área da região 
do plano cartesiano limitado pelo gráfico da função contínua 𝑓: [𝑎, 𝑏] → 𝑅 , pelo eixo 
𝑥 e pelas retas 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏. 
 Na figura 05, representamos a área da região limitada pelas retas 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 =
𝑏 e também pela função 𝑓(𝑥). 
 
 O problema proposto no gráfico, pode ser resolvido a partir da determinação da 
integral definida ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥. 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDADE
Teorema fundamental do cálculo: Se : [𝑎, 𝑏] → 𝑅 é uma função contínua, e 𝑓 é uma 
primitiva de 𝑓 em (𝑎, 𝑏), ou seja, vale 
( )
= 𝑓(𝑥), ∀𝑥𝜖(𝑎, 𝑏), então 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎). 
 
 
 
 
 
 
5.2. Soma de Riemann 
 
 Para definirmos a fórmula da soma de Riemann, vamos começar recordando a 
definição de Integral de Riemann. 
Dada a função contínua 𝑓: [𝑎, 𝑏] → 𝑅 , dividimos o intervalo [𝑎, 𝑏] em 𝑛 
subintervalos de igual comprimento ∆𝑥 = (ou seja, fazemos uma partição uniforme 
de [𝑎, 𝑏]) e escolhemos em cada subintervalo [𝑥 , 𝑥 ] um valor 𝑥∗. Dessa forma, 
temos, por definição: 
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim
→
𝑓(𝑥∗)∆𝑥. 
Na figura 06, temos a interpretação geométrica da fórmula citada acima, 
considerando 𝑥∗ como mínimo em cada subintervalo. 
 
Exemplo 01. Usando a soma de Riemann, quatro subintervalos e escolhendo 𝑥∗ como 
o extremo superior de cada subintervalo, aproxime ∫ 𝑒 𝑑𝑥. 
 
 
I. Temos o intervalo [0; 2], precisamos dividir em quatro subintervalos, cada 
um deles com comprimento ∆𝑥 = = 0,5. 
II. No primeiro subintervalo [0; 0,5], obtemos 𝑥 = 0,5 e assim 
𝑓(𝑥∗)∆𝑥 = 𝑒 , × 0,5 = 𝑒 , × 0,5. 
III. No segundo subintervalo [0,5; 1], temos 𝑥 = 1, portanto encontraremos 
𝑓(𝑥𝑖
∗)∆𝑥 = 𝑒1
2
× 0,5 = 𝑒 × 0,5. 
 
 
 
IV. No terceiro subintervalo [1; 1,5], encontramos 𝑥 = 1,5 e, por conseguinte 
𝑓(𝑥∗)∆𝑥 = 𝑒 , × 0,5 = 𝑒 , × 0,5. 
V. No quarto subintervalo [1,5; 2] encontramos 𝑥 = 2 e, por conseguinte 
𝑓(𝑥𝑖
∗)∆𝑥 = 𝑒
2
× 0,5 = 𝑒 × 0,5. 
 
Assim, podemos aproximar: 
 
∫ 𝑒 𝑑𝑥 ≈ ∑ 𝑓( 𝑥∗) ∆𝑥 = 𝑓(𝑥∗) ∆𝑥 + 𝑓(𝑥∗) ∆𝑥 + 𝑓(𝑥∗) ∆𝑥 + 𝑓(𝑥∗) ∆𝑥= 
=𝑒0,25 × 0,5 + 𝑒 × 0,5 + 𝑒2,25 × 0,5 + 𝑒4 × 0,5 = 0,5. (𝑒0,25 + 𝑒 + 𝑒2,25 + 𝑒4) ≅ 0,5 × 68,08 =
= 34,04 
 
5.3.Regra dos trapézios 
 
 Vimos anteriormente que a integral por soma de Riemann, consiste em somar 
área de retângulos faremos agora uma aproximação por trapézios. 
 A figura 07, representa a área pretendida (à esquerda) e aproximação por 
trapézio (à direita). 
 
 
 Comecemos recordando que a fórmula da área de um trapézio de bases maior 
𝐵 e 𝑏 e altura ℎ é: 𝐴 = (𝐵 + 𝑏). 
 Observamos no gráfico, que a altura do trapézio é o comprimento do intervalo 
e as bases medem 𝑓(𝑏) e 𝑓(𝑎). Assim, podemos aproximar. 
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈
𝑏 − 𝑎
2
[𝑓(𝑏) + 𝑓(𝑎)] 
Exemplo 02. 
Use a regra do trapézio para estimar o valor da integral ∫
,
. 
I. Para a função 𝑓(𝑥) = , podemos fazer 
 
 
 
∫
,
≈
,
[𝑓(3,6) + 𝑓(3)]=
,
.
,
+ = 0,18333 
 
Podemos dividir o intervalo considerado e aplicar a regra do trapézio em cada 
um dos subintervalos,no qual ℎ = ∆𝑥 = : 
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ⋯ + 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈ 
≈ 𝑓(𝑥 ) + 𝑓(𝑥 ) + 𝑓(𝑥 ) + 𝑓(𝑥 ) + ⋯ + (𝑓(𝑥 )+𝑓(𝑥 ) = 
(𝑓(𝑥 ) + 2. 𝑓(𝑥 ) + ⋯ + 2. 𝑓(𝑥 )+𝑓(𝑥 )). 
Exemplo 03. 
Use a regra do trapézio para estimar o valor da integral ∫ √1 + 𝑥 𝑑𝑥. 
 
Aplicando a regra dos trapézios, temos: 
∫ √1 + 𝑥 𝑑𝑥 ≈ . 𝑓(2) + 𝑓(0) = 1. √1 + 2 + √1 + 0 = √9 + √1=4 
5.4. A regra de Simpson 
 
Primeiro vimos como aproximar o gráfico de uma função por segmento de reta, 
horizontais ou não, tinhamos o objetivo de encontrar o valor aproximado da integral 
da função. A regra de Simpson tem por objetivo aproximar as funções por arco de 
parábola. Um polinômio do segundo grau fica bem determinado por três pontos, com 
isso precisaremos de três pontos do intervalo e não simplesmente dos extremos. 
Vamos enunciar a regra de Simpson: 
Se 𝑓(𝑥) é uma função contínua, e os pontos (𝑥 , 𝑦 ), (𝑥 , 𝑦 )𝑒 (𝑥 , 𝑦 ) do gráfico de 
𝑓(𝑥) estão igualmente espaçados horizontalmente, ou seja, se 𝑥 − 𝑥 = 𝑥 − 𝑥 = ℎ, 
então podemos aproximar: 
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≅
ℎ
3
(𝑦 + 4𝑦 + 𝑦 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 04. 
Use a regra de Simpson para estimar o valor da integral ∫ √1 + 𝑥 𝑑𝑥. 
 
Precisamos de três pontos igualmente espaçados, vamos tomar o ponto médio do 
intervalo [2,3]. 
𝑥 = 2, logo , 𝑦 = √1 + 2 = 3 
𝑥 = 2,5, logo, 𝑦 = 1 + 2,5 ≅ 4,0774 
𝑥 = 3,logo, 𝑦 = √1 + 3 = 5,2915 
𝑥 =
2 + 3
2
= 2,5 
Assim podemos aproximar para: 
ℎ =
3 − 2
2
= 0,5 
Portanto: 
1 + 𝑥 𝑑𝑥 =
0,5
3
(𝑦 + 4𝑦 + 𝑦 ) ≅
0,5
3
(3 + 4 × 4,0744 + 5,2913) ≅ 4,0982 
 
 
 
 
 
 
 
O resultado enunciado na proposição(Regra de Simposon) já era conhecimento por 
matemáticos do século XVIII, mas foi popularizado nos textos do britânico Thomas 
Simpson (1710-1761),reconhecido por muitos como um dos melhores matemáticos 
ingleses do século XVIII. Em sua homenagem, damos ao método o nome de Regra de 
Simpson. 
 
 
 
 
Questão 01. Usando a soma de Riemann, cinco subintervalos e escolhendo 𝑥 como 
ponto médio de casa subintervalo, marque a opção que aproxima ∫ 𝑑𝑥. 
 
A) 0,594 
B) 0,324 
C) 0,263 
D) 0,692 
E) 0,134 
 
Questão 02. O valor de ∫ √6𝑥 − 5 𝑑𝑥, usando a regra dos trapézios é: 
A) 32 
B) 30 
C) 20 
D) 10 
E) 40 
 
Questão 03. Utilize a regra dos trapézios e determine o valor aproximado de 
∫ 𝑥 + 𝑑𝑥
,
,
. 
 
A) 0,4370 
B) 0,4273 
C) 0,3672 
D) 0,4406 
E) 0,3604 
 
Questão 04. O valor de ∫ (𝑥. 𝑙𝑛𝑥)𝑑𝑥
,
,
, utilize a regra dos trapézios. 
A) 1,2631 
B) 1,3672 
 
 
 
C) 1,3994 
D) 1,3474 
E) 1,4735 
 
Questão 05. O valor aproximado de ∫ (𝑥
,
,
. 𝑙𝑛𝑥 + 1)𝑑𝑥 é: (Utilize a regra dos 
trapézios) 
A) 0,3642 
B) 0,2736 
C) 0,4721 
D) 0,3127 
E) 0,2904 
 
Questão 06. Utilize a primeira regra de Simpson,determine o valor aproximado de 
∫ (𝑥. 𝑒 )𝑑𝑥
,
,
. 
A) 8,8346 
B) 3,2137 
C) 4,3214 
D) 3,2143 
E) 3,2731 
 
Questão 07. Determine o valor aproximado de 𝐼 = ∫ √𝑥 + 𝑑𝑥
,
,
, utilizando a regra 
de Simpson. 
A) 1,4472 
B) 0,6436 
C) 0,2432 
D) 0,4231 
E) 0,4127 
 
Questão 08. Usando a regra de Simpson, marque a opção que representa a 
aproximação da integral ∫ 𝑒 𝑑𝑥. 
 
 
 
A) 0,7155 
B) 0,6236 
C) 0,4732 
D) 0,3724 
E) 0,6427 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O Método dos Quadrados Mínimos 
 
Nesta unidade, daremos prosseguimento ao estudo de aproximar dados por funções 
conhecidas minimizando as distâncias. Apresentaremos e discutiremos métodos e 
casos do problema de mínimos quadrados. 
 
6.1.O caso linear discreto 
 Consideremos um conjunto de dados isolados que vamos aproximar por uma 
função do primeiro grau. 
 
Exemplo 01. 
Encontrar a equação da reta que passa pelos pontos (1,6), (2,13) e (4,45). 
 
I. Uma reta tem equação do tipo 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, temos: 
𝑥 = 1 𝑒 𝑦 = 6 ⇒ 𝑎. 1 + 𝑏 = 6 ⇒ 𝑎 + 𝑏 = 6 
𝑥 = 2 𝑒 𝑦 = 13 ⇒ 𝑎. 2 + 𝑏 = 13 ⇒ 2𝑎 + 𝑏 = 13 
𝑥 = 4 𝑒 𝑦 = 45 ⇒ 𝑎. 4 + 𝑏 = 45 ⇒ 4𝑎 + 𝑏 = 45 
II. Temos o seguinte sistema: 
𝑎 + 𝑏 = 6
2𝑎 + 𝑏 = 13
4𝑎 + 𝑏 = 45
 possui três equações e duas 
incógnitas, podemos trabalhar com as duas primeiras e substituir a solução 
na terceira para verificar a igualdade. 
𝑎 + 𝑏 = 6 (−1)
2𝑎 + 𝑏 = 13
 ⇒
−𝑎 − 𝑏 = −6
2𝑎 + 𝑏 = 13
 ⇒ 𝑎 = 7 
Substituindo na primeira 𝑎 + 𝑏 = 6 ⇒ 7 + 𝑏 = 6 ⇒ 𝑏 = −1 
III. Sustituir os valores de 𝑎 𝑒 𝑏 na terceira equação 4𝑎 + 𝑏 = 45 ⇒ 4.7 − 1 ≠
45, ou seja, o sistema é impossível. 
Como o sistema não tem solução podemos concluir que os pontos citados 
acima não estão alinhados , nenhuma reta passará pelos três pontos, poderíamos 
escolher dois dos pontos e encontrara reta que passa por eles, usando-a como 
função de aproximação. Surgem as seguintes indagações: 
 Quais pontos devem ser escolhidos? 
 Como dizer se uma aproximação é melhor do que a outra? 
UNIDADE
 
 
 
Para o conjunto de dados {(𝑥 , 𝑦 ), … , (𝑥 , 𝑦 )},devemos encontrar a reta 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 que 
minimiza a soma dos desvios quadrados, ou seja, tal que o valor de: 
𝑄 = 𝑑𝑞 = (𝑦 − (𝑎𝑥 + 𝑏)) 
Seja menor possível. 
 
 Uma reta que não passa pelos pontos pode ter uma aproximação melhor? 
Usamos o cálculo da distância vertical entre (𝑥 , 𝑦 ) e seu correspondente 
(𝑥 , 𝑎𝑥 + 𝑏) para medir o quanto uma reta 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 se distancia de um conjunto 
de dados {(𝑥 , 𝑦 ), … , (𝑥 , 𝑦 )}, logo, temos o cálculo do módulo |𝑦 − (𝑎𝑥 +
𝑏)|,que diretamente divide os casos em pontos que estão acima ou abaixo da reta, 
para simplificar o processo, calculamos diretamente o quadrado desse valor. 
𝑑𝑞 = (𝑦 − (𝑎𝑥 + 𝑏)) 
Esses elementos são chamados desvios quadrados. 
Exemplo 02. 
Para o conjunto de dados {(1,6), (2,13), (4,45)} e para a reta 𝑦 = 8𝑥 + 2, calcule todos 
os desvios quadrados. 
 
I. Temos que substituir 𝑥 por 1,2 e 4 na equação da reta 
𝑦 = 8.1 + 2 = 8 + 2 = 10 
𝑦 = 8.2 + 2 = 16 + 2 = 18 
𝑦 = 8.4 + 2 = 32 + 2 = 34 
II. Calculando os desvios quadrados, para 𝑦 = 6, 𝑦 = 13 𝑒 𝑦 = 45 
𝑑𝑞 = (𝑦 − (𝑎𝑥 + 𝑏)) 
𝑑𝑞 = 𝑦 − (8𝑥 + 2) = (6 − 10) = 16 
𝑑𝑞 = 𝑦 − (8𝑥 + 2) = (13 − 18) = 25 
𝑑𝑞 = 𝑦 − (8𝑥 + 2) = (34 − 45) = 121 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O nome método dos quadrados mínimos, consiste em encontrar os valores de 
𝑎 𝑒 𝑏 que minimizem a expressão 𝑄. Do cálculo sabemos que os pontos de mínimo de 
uma funçao possuem derivadas nulas em relação às variáveis 𝑎 𝑒 𝑏. A derivada de 
𝑄em relação a 𝑎 é representada por e por ser igual a zero, devemos ter: 
= 0 ⇔ −2 ∑ 𝑥 𝑦
𝑖
− (𝑎𝑥𝑖 + 𝑏) = 0 ⇔ 
⇔ 𝑥 (𝑦 − 𝑎𝑥 − 𝑏) = 0 ⇔ 𝑥 𝑦 − 𝑎𝑥 − 𝑏𝑥 = 0 ⇔ 
⇔ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 = 𝑥 𝑦 ⇔ 
⇔ 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥 = 𝑥 𝑦 
Analogamente, a derivada de 𝑄 em relação a 𝑏 é representada por = 0
⇔ −2 ∑𝑛𝑖=0 𝑦𝑖 − (𝑎𝑥𝑖 + 𝑏) = 0 ⇔ 
⇔ (𝑦 − 𝑎𝑥 − 𝑏) = 0 ⇔ 𝑦 − 𝑎𝑥 − 𝑏 = 0 ⇔ 
⇔ 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑦 ⇔ 
⇔ 𝑎 𝑥 + 𝑏(𝑛 + 1) = 𝑦 
Juntando as equações resultantes, obtemos o sistema nas incógnitas 𝑎 𝑒 𝑏. 
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥 = 𝑥 𝑦
𝑎 𝑥 + 𝑏(𝑛 + 1) = 𝑦
 
 
 
 
Ao processo descrito no exemplo 03, damos o nome de regressão linear dos dados e 
os coeficientes procurados podem ser encontrados diretamente em algumas 
calculadoras científica. 
Essas equações são chamadas de equações normais do problema. 
 
Exemplo 03. 
Usando o método dos mínimos quadrados, encontre a reta que melhor se ajusta ao 
conjunto de dados {(1,6), (2,13), (4,45)}. 
I. Temos que 𝑥 = 1, 𝑥 = 2, 𝑥 = 4 𝑒 𝑦 = 6, 𝑦 = 13, 𝑦 = 45 
II. Assim, vamos calcular: 
 
∑ 𝑥 = 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 = 1 + 2 + 4 = 1 + 4 + 16 = 21 
∑ 𝑥 = 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 = 1 + 2 + 4 = 7 
∑ 𝑥 𝑦 = 𝑥 𝑦 + 𝑥 𝑦 + 𝑥 𝑦 = 1 × 6 + 2 × 13 + 4 × 45 = 6 + 26 + 180 = 212 
∑ 𝑦 = 𝑦 + 𝑦 + 𝑦 = 6 + 13 + 45 = 64 
 
III. Colocando os valores encontrados no passo II no sistema de equações 
normais: 
 
 
𝑎 ∑ 𝑥 + 𝑏 ∑ 𝑥 = ∑ 𝑥 𝑦
∑ 𝑥 + 𝑏(𝑛 + 1) = ∑ 𝑦
 fica 21𝑎 + 7𝑏 = 212
7𝑎 + 3𝑏 = 64
, resolvendo o sistema pelo 
processo da substituição, encontramos 𝑎 = e 𝑏 = −10. 
IV. Dessa forma, a reta procurada tem equação 𝑦 = 𝑥 − 10. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.1.1.Caso discreto geral 
No tópico anterior desta unidade, aproximamos um conjunto de dados por uma 
função do primeiro grau, obtemos os coeficientes da equação da reta através da 
resolução dessas equações. 
O Método dos mínimos quadrados consiste em encontrar a função, dentro de 
um modelo pré estabelecido, que minimize a soma dos desvios quadrados. 
 Dado o conjuto de pontos {(𝑥 , 𝑦 ), (𝑥 , 𝑦 ), … , (𝑥 , 𝑦 )}, os desvios de uma 
função 𝛿(𝑥) são definidos por 𝑑 = |𝛿(𝑥 ) − 𝑦 |, e os desvios quadrados por 
𝑑𝑞 = (𝛿(𝑥 ) − 𝑦 ) , o modelo do método dos mínimos quadrados é 
𝑄 = ∑ (𝛿(𝑥 ) − 𝑦 ) , a escolha da função depende dos fenômenos descritos pelos 
dados ou da análise gráfica. 
 Assim como desenvolvido no caso linear, no processo da função quadrática 
faremos = = = 0, que irá gerar três equações normais. 
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎧𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥 + 𝑐 𝑥 = 𝑥 𝑦
𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥 + 𝑐 𝑥 = 𝑥 𝑦
𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥 + 𝑐(𝑛 + 1) = 𝑦
 
Os valores de ∑ 𝑥 , ∑ 𝑥 ,∑ 𝑥 ,∑ 𝑥 ,∑ 𝑥 𝑦 , ∑ 𝑥 𝑦 𝑒 ∑ 𝑦 são 
facilmente determinados, porém para uma grande quantidade de pontos encontrá-los 
manualmente se torna demorado, para encontrarmos uma equação do segundo grau 
por exemplo são necessários cinco pontos. Após determinar os valores citados, basta 
resolver o sistema de equações normais para determinar os coeficientes da função 
𝛿(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐. 
Exemplo 04. 
Usando o método dos mínimos quadrados, encontrar a equação da parábola que 
melhor se ajusta ao conjuto de dado 
{(−2; 14,5), (−1; 7,5), (0; 4,5), (1; 2,5), (2; 2), (3; 4,5)}. 
 
 
 
 
I. Precisamos determinar os coeficientes da equação 𝛿(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 
temos: 𝑥 = −2; 𝑥 = −1; 𝑥 = 0; 𝑥 = 1; 𝑥 = 2 ; 𝑥 = 3 e 𝑦 = 14,5; 𝑦 =
7,5; 𝑦 = 4,5; 𝑦 = 2,5; 𝑦 = 2 ; 𝑦 = 4,5 
II. Encontrando os valores de: 
 
∑ 𝑥 = 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 = (−2) + (−1) + 0 + 1 +2 +3 = 115; 
∑ 𝑥 = 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 = (−2) + (−1) + 0 + 1 +2 + 3 = 27 
∑ 𝑥 = 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 = (−2) + (−1) + 0 + 1 +2 +3 = 19; 
∑ 𝑥 = 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 = (−2) + (−1) + 0 + 1 + 2 + 3 = 3; 
∑ 𝑥 𝑦 = 𝑥0
2𝑦
0
+ 𝑥1
2 𝑦
1
+ 𝑥2
2𝑦
2
+ 𝑥3
2𝑦
3
+ 𝑥4
2𝑦
4
+ 𝑥5
2𝑦
5
= (−2) ×14,5+(−1) × 7,5 +
0 × 4,5 + 1 × 2,5 + 2 × 2 + 3 × 4,5 = 58 + 7,5 + 0 + 2,5 + 8 + 40,5 = 116,5; 
∑ 𝑥 𝑦 = 𝑥 𝑦 + 𝑥 + 𝑥 𝑦 + 𝑥 𝑦 + 𝑥 𝑦 + 𝑥 𝑦 = (−2) × 14,5 + (−1) × 7,5 + 0 ×
4,5 + 1 × 2,5 + 2 × 2 + 3 × 4,5 = −29 − 7,5 + 0 + 2,5 + 4 + 13,5 = −16,5; 
∑ 𝑦 = 𝑦
0
+ 𝑦
1
+ 𝑦
2
+ 𝑦
3
+ 𝑦
4
+ 𝑦
5
= 14,5 + 7,5 + 4,5 + 2,5 + 2 + 4,5 = 35,5; 
 
III. O sistema de equações normais descrito acima fica: 
115𝑎 + 27𝑏 + 19𝑐 = 116,5
27𝑎 + 19𝑏 + 3𝑐 = −16,5
19𝑎 + 3𝑏 + 6𝑐 = 35,5
, cuja solução pode ser encontrada (ou 
aproximada) por algum método conhecido para resolver sistema. Temos: 
𝑎 ≅ 1,0269, 𝑏 ≅ −2,9839 𝑒 𝑐 ≅ 4,1571. 
IV. Assim a parábola procurada tem equação 𝑦 = 1,0269𝑥 − 2,9839𝑥 + 4,1571 
 
 
 
 
 
 
 
O método empregado no exemplo 04 pode ser estendido para encontrar polinômio 
de qualquer grau cujo gráfico aproxime um conjunto de pontos. Porém o processo 
ganha complexidade à medida que o grau do polinômio aumenta. 
 
 
 
6.2. O caso contínuo 
 No caso contínuo não trabalhamos com um conjunto de dados , teremos uma 
função 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ a qual aproximaremos por outra função 𝜕: [𝑎, 𝑏] → ℝ Não 
podemos definir o desvio total pela soma dos desvios de cada ponto já que o conjunto 
base não é mais formado por pontos isolados.Segue a definição: 
Dada a função 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ , o desvio quadrado total de 𝜕: [𝑎, 𝑏] → ℝ em relação a 𝑓 é 
dado por 𝑄 = ∫ (𝑓(𝑥) − 𝜕(𝑥)) 𝑑𝑥. 
Exemplo 05. 
Encontre uma função do primeiro grau que minimiza o desvio quadrado total em 
relação à função 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 6 no intervalo [0,1]. 
 
I. Sabemos que uma função do primeiro grau é do tipo 𝜕(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏. 
II. Calculando o desvio total no intervalo dado temos: 
𝑄 = ∫ ((𝑥 + 6) − (𝑎𝑥 + 𝑏)) 𝑑𝑥 = 
= ∫ ((𝑥 + 6) − 2(𝑥 + 6)(𝑎𝑥 + 𝑏) + (𝑎𝑥 + 𝑏) )𝑑𝑥= 
= ∫ (𝑥 + 12𝑥 + 36 − 2(𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 6𝑎𝑥 + 6𝑏) + 𝑎 𝑥 +2𝑎𝑏𝑥 + 𝑏 )𝑑𝑥 = 
= + 3𝑥 + 36𝑥 − 2𝑎 − 𝑏 − 6𝑎𝑥 − 12𝑏𝑥 + 𝑎 + 𝑎𝑏𝑥 + 𝑏 𝑥] = 
= + 3 + 36 − − − 6𝑎 − 12𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑏 = 
= − − + + 𝑎𝑏 + 𝑏 . 
III. Como o objetivo é minimizar o valor de𝑄 = − − + + 𝑎𝑏 + 𝑏 , 
devemos anular suas derivadas parciais em relação a 𝑎 𝑒𝑏.Assim 
calculamos: 
𝜕𝑄
𝜕𝑎
=
−32
5
+
2𝑎
3
+ 𝑏 𝑒 
𝜕𝑄
𝜕𝑏
=
−25
2
+ 𝑎 + 2𝑏 
IV. Vamos igualar as duas equações a zero, teremos: 
2𝑎
3
+ 𝑏 =
32
5
 e 𝑎 + 2𝑏 =
25
2
. Multiplicando a primeira por 15 e a segunda por 
2, obtemos o sistema: 
 
 
 
 
O ajuste pelos mínimos quadrados permite, também, obter aproximações para valores 
fora do intervalo considerado com certa segurança. 
10𝑎 + 15𝑏 = 96
2𝑎 + 4𝑏 = 25
, resolvendo pelo processo da soma encontramos: 𝑎 =
0,9 𝑒 𝑏 = 5,8. 
V. Assim, a função procurada é da equação 𝛿(𝑥) = 0,9𝑥 + 5,8. 
Podemos perceber que ajustar curvas pelo processo dos mínimos 
quadrados pode ser bem trabalhoso, como por exemplo, fazer o exemplo 
anterior ajustando por função do segundo grau. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Você pode aprofundar seus conhecimentos consultando as referências que citamos 
e/ou visitando páginas da internet. Abaixo, listamos uma página interessante que pode 
ajudá-lo nessa pesquisa. Bons estudos! 
 
https://app.uff.br/riuff/bitstream/handle/1/4174/AnaBeatrizGraca%202016-
1.PDF;jsessionid=61C5BEEE20897625C8A0E9064B259084?sequence=1 
https://app.uff.br/riuff/bitstream/handle/1/4174/AnaBeatrizGraca%202016-
1.PDF;jsessionid=61C5BEEE20897625C8A0E9064B259084?sequence=1 
 
 
 
 
 
 
Questão 01.Para o conjuntos de dados {(1,2), (3,9), (5,16), (7,20)} e para a reta 
𝑦 = 3𝑥 − 1, marque a opção que representa todos os desvios quadrados. 
 
A) 0,1,4 e 0 
B) 3,4,4 e 6 
C) 2,3,4 e 1 
D) 3,4,5 e 6 
E) 2,7,9 e 11 
 
Questão 02. Usando o método dos mínimos quadrados, encontre a equação da reta 
que melhor ajusta ao conjunto de dados {(1,2), (3,9), (5,16), (7,20)}. 
A) 𝑦 = 𝑥 − 
B) 𝑦 = 𝑥 − 
C) 𝑦 = 61𝑥 − 9 
D) 𝑦 = 𝑥 − 
E) 𝑦 = 12𝑥 − 4 
 
Questão 03. Aproximando a função 𝑓(𝑥) = 4𝑥 por um por um polinômio do primeiro 
grau, uma reta, no intervalo [𝑎, 𝑏] = [0,1]. 
A) 𝜕(𝑥) = − 
B) 𝜕(𝑥) = − 
C) 𝜕(𝑥) = + 
D) 𝜕(𝑥) = − 
E) 𝜕(𝑥) = − 
 
 
 
 
 
 
Questão 04. Usando o método dos mínimos quadrados, encontre a reta que melhor 
se ajusta ao conjunto de dados {(1,3), (3,7), (4,9)}. 
A) 𝑦 = 4𝑥 − 1 
B) 𝑦 = 2𝑥 + 12 
C) 𝑦 = 2𝑥 + 1 
D) 𝑦 = 𝑥 − 1 
E) 𝑦 = 4𝑥 − 12 
 
Questão 05. Ache a aproximação linear através dos mínimos quadrados para os 
pontos: {(1,1), (2,4), (3,8)}. 
A) 𝑦 = 𝑥 − 2 
B) 𝑦 = 𝑥 − 
C) 𝑦 = 𝑥 − 
D) 𝑦 = 𝑥 − 
E) 𝑦 = 3𝑥 − 6 
 
Questão 06. Ache a aproximação linear através dos mínimos quadrados para os 
pontos: {(2,2), (4,11), (6,28), (8,40)}. 
A) y = 6x − 12 
B) y = 7,6x − 12,5 
C) y = 6,55x − 12,5 
D) y = 2,7x − 11,5 
E) y = 3,2x − 11,2 
 
Questão 07.Considere a seguinte tabela da função 𝑦 = 𝑓(𝑥). Encontre a aproximação 
linear através dos mínimos quadrados para os pontos da tabela. 
 
𝑖 0 1 2 3 4 
𝑥 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 
𝑦 1.000 1.2840 1.6487 2.1170 2.7183 
 
 
 
 
A) 𝑃 (𝑥) = 0.8437𝑥 + 0.8641𝑥 + 1.0052 
B) 𝑃 (𝑥) = 0.7437𝑥 + 0.6641𝑥 + 1.0052 
C) 𝑃 (𝑥) = 0.8437𝑥 + 0.4641𝑥 + 2.0052 
D) 𝑃 (𝑥) = 0.5437𝑥 + 0.2641𝑥 + 1.0052 
E) 𝑃 (𝑥) = 0.8437𝑥 + 0.8831𝑥 + 3.0052 
 
Questão 08. Sejam os pontos {(1,5);(2,7);(0,3)}. A reta que melhor se ajusta aos 
pontos é: 
A) 𝑦 = 12𝑥 − 4 
B) 𝑦 = 2𝑥 + 3 
C) 𝑦 = 0,7𝑥 − 1,2 
D) 𝑦 = 0,4𝑥 + 1,5 
E) 𝑦 = 2,2𝑥 + 1,3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO FIXANDO CONTEÚDO 
 
 
Unidade 1 
1 LETRA A 
2 LETRA C 
3 LETRA E 
4 LETRA B 
5 LETRA A 
6 LETRA C 
7 LETRA D 
8 LETRA E 
 
Unidade 2 
1 LETRA E 
2 LETRA D 
3 LETRA D 
4 LETRA C 
5 LETRA C 
6 LETRA A 
7 LETRA A 
8 LETRA A 
 
Unidade 3 
1 LETRA A 
2 LETRA B 
3 LETRA C 
4 LETRA D 
5 LETRA E 
6 LETRA E 
7 LETRA D 
8 LETRA C 
 
Unidade 4 
1 LETRA A 
2 LETRA B 
3 LETRA A 
4 LETRA D 
5 LETRA E 
6 LETRA A 
7 LETRA B 
8 LETRA A 
 
 
 
 
 
 
 
Unidade 5 
1 LETRA D 
2 LETRA A 
3 LETRA B 
4 LETRA C 
5 LETRA E 
6 LETRA A 
7 LETRA A 
8 LETRA A 
 
 
Unidade 6 
1 LETRA A 
2 LETRA B 
3 LETRA A 
4 LETRA C 
5 LETRA E 
6 LETRA C 
7 LETRA A 
8 LETRA B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
 M. A. Gomes Ruggiero, V. L. da Rocha Lopes. Cálculo Numérico - Aspectos 
Teóricos e Computacionais, 2ª edição, Editora Pearson, 1997. 
 M.C. Cunha. Métodos Numéricos. 2a edição, Editora da Unicamp, 2000. 
 N.B. Franco. Cálculo Numérico. Pearson Prentice Hall, 2007. 
 Richard L. Burden e J. Douglas Faires, Análise Numérica, Cengage Learning, 
Tradução da 8. Ed. Americana, 2008 
 A. Quarteroni, F. Saleri. Cálculo Científico - Com MATLAB e Octave. (Online 
grátis para internet da Unicamp) 
 D. S. Watkins, Fundamentals of Matrix Computations, New Jersey: John Wiley 
& Sons, 3. Ed, 2010 
 ANTON,Howard e BUSBY, Robert C. Álgebra linear contemporânea. 
Tradução Claus Ivo Doering. Porto Alegre: Bookman, 2006. 
 ASANO, Claudio Hirofume e COLLI, Eduardo. Cálculo numérico: fundamentos 
e aplicações.2007.Disponível 
em:www.ime.usp.br/~asano/LivroNumerico/Livronumerico.pdf.Acesso 
em:01marc.2022.