Apostila de Topografia

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CURSO TÉCNICO-INTEGRADO EM EDIFICAÇÕES 
NOTAS DE AULA – Topografia 
 
2011 Pelo prof. MSc. Ivancildo F. dos Santos 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 2 
SUMÁRIO 
 
 
1. FUNDAMENTOS DA TOPOGRAFIA 05 
 1.1. Introdução 05 
 1.2. Agrimensura 05 
 1.3. Geodésia 06 
 1.3.1. Classificação dos levantamentos geodésicos 07 
 1.4. Topografia 10 
 1.4.1. Métodos de levantamentos topográficos 10 
 1.5. Distinção entre Topografia e Geodésia 10 
 1.6. Formas e dimensões da terra 15 
2. TOPOGRAFIA 16 
 2.1. Conceito 16 
 2.2. Finalidade 16 
 2.3. Importância 16 
 2.4. A hipótese do Plano Topográfico 16 
 2.5 Divisões 18 
 2.5.1. Topometria 19 
 2.5.2. Topologia 22 
 2.5.3. Fotogrametria 22 
3. A TERRA E OS SISTEMAS DE REFERÊNCIA 24 
 3.1. Introdução 24 
 3.2. Formas e dimensões da terra 24 
 3.3. Os sistemas de referência 25 
 3.4. Os sistemas de coordenadas 27 
 3.4.1. Coordenadas geográficas 27 
4. ESCALAS 30 
 4.1. Introdução 30 
 4.2. Tipos e usos 30 
 4.2.1. Escala numérica 30 
 4.2.2. Escala gráfica 31 
 4.3. Critérios para a escolha da escala numérica 32 
 4.4. Posição da folha 35 
 4.5. Legenda, selo e orientação 37 
 4.6. Dobragem da folha 38 
5. MEDIÇÃO DE DISTÂNCIAS HORIZONTAIS E VERTICAIS 39 
 5.1. Introdução 39 
 5.2. Erros ocasionados nas medições 39 
 5.3. Processos de medição de distâncias 41 
 5.3.1. Processo de medição direta 41 
 5.3.2. Processo de medição indireta 46 
 5.3.3. Processo de medição eletrônica 53 
 5.3.4. Processo de medição por satélites 59 
6. MEDIÇÃO DE ÂNGULOS 63 
 6.1. Introdução 63 
 6.2. Goniologia 63 
 6.2.1. Tipos de ângulos 63 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 3 
 6.2.2. Condições de construção de um ângulo 64 
 6.2.3. Goniômetros 64 
 6.2.4. Operacionalização de goniômetros 69 
 6.3. Goniometria 69 
7. MEDIDAS DE ORIENTAÇÃO 77 
 7.1. Introdução 77 
 7.2. A linha meridiana 77 
 7.3. Declinação magnética 78 
 7.4. Rumos e azimutes 80 
 7.4.1. Cálculo do azimute magnético 84 
8. LEVANTAMENTO PLANIMÉTRICO E LOCAÇÃO 86 
 8.1. Introdução 86 
 8.2. Fases do levantamento topográfico 86 
 8.3. Levantamento por triangulação à trena 88 
 8.4. Levantamento por poligonação 95 
 8.4.1. Poligonal aberta 95 
 8.4.2. Poligonal fechada na mesma base 99 
 8.4.3. Poligonal fechada em base diferente ou enquadra 107 
 8.5. Levantamento por irradiação 114 
 8.6. Levantamento por interseção a vante 119 
 8.7. Levantamento por interseção a ré 122 
 8.8. Locação 127 
 8.8.1. Locação de residências 128 
9. CÁLCULO DE ÁREA 134 
 9.1. Introdução 134 
 9.2. Processo geométrico 135 
 9.3. Processo analítico 142 
 9.4. Processo mecânico 145 
 9.4.1 Constituição dos planímetros 145 
 9.4.2 Operacionalização 146 
10. LEVANTAMENTO ALTIMÉTRICO 149 
 10.1. Introdução 149 
 10.2. Referência de nível 149 
 10.3. Nivelamento 150 
 10.4. Métodos gerais de nivelamento 151 
 10.4.1. Nivelamento geométrico simples 152 
 10.4.2. Nivelamento geométrico composto 153 
 10.4.3. Nivelamento taqueométrico 159 
 10.4.4. Nivelamento trigonométrico 165 
 10.5. Plano cotado 172 
11. LEVANTAMENTO PLANIALTIMÉTRICO 173 
 11.1. Introdução 173 
 11.2. Conceito 173 
 11.3. Formas de representação 174 
 11.3.1. Perfis topográficos 174 
 11.3.2. Curvas de nível 176 
 11.3.3. Relevo sombreado 182 
 11.3.4. Cores hipsométricas 183 
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 11.4. Métodos de levantamento de curvas de nível 184 
 11.4.1. Levantamento por seções transversais 184 
 11.4.2. Levantamento por quadriculação 187 
 11.4.3. Levantamento por irradiação 191 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. FUNDAMENTOS DA TOPOGRAFIA 
 
 
1.1. Introdução 
 
 Mesmo considerando todos os avanços tecnológicos que hoje vivenciamos, é 
possível entender a condição de perplexidade de nossos ancestrais, desde o começo dos 
dias, diante da complexidade do mundo a sua volta. Podemos, também, intuir de que 
maneira surgiu no homem a necessidade de conhecer o mundo (sua forma e dimensões) 
que ele habitava, que hoje é possível conhecer tão bem. 
 
 O simples deslocamento de um ponto a outro na superfície de nosso planeta, já 
justifica a necessidade de se conhecer, de alguma forma, as características físicas do 
mundo. É fácil imaginarmos alguns questionamentos que surgiram nas metas de nossos 
ancestrais, como, por exemplo: como orientar os deslocamentos? Como levantar 
terrenos? Como demarcá-los e desenhá-los? Como medir áreas? E os instrumentos, 
como construí-los? 
 
 Diante da necessidade de estudos e invenções, nasceu uma grande ciência a qual 
foi denominada Agrimensura. Em função da grandiosidade dos campos de aplicação 
(atualmente), costuma-se dividi-la segundo a aplicabilidade, em Geodésia e Topografia. 
 
Este capítulo versará, especificamente, sobre os campos de aplicação dessas 
ciências, enfocando as „ferramentas‟ que, direta ou indiretamente, auxiliam as operações 
topográficas, que é o objetivo deste curso. 
 
 
1.2. Agrimensura 
 
A agrimensura teve suas raízes no antigo Egito, nas margens do rio Nilo. Após 
as cheias os medidores de terra conhecidos, à época, como agrimensores, restituíam as 
divisas entre os proprietários, divisas estas destruídas pelas grandes enchentes do Nilo. 
No decorrer dos tempos as técnicas utilizadas pelos antigos egípcios, para demarcação 
de terras, foram se difundindo, aperfeiçoando-se e diversificando-se. 
 
No Brasil, as primeiras normas para a nomeação de agrimensores se deram a 
partir do decreto Nº 3.198, de 1863. Naquela época, só poderiam ser empregados como 
agrimensores: 
 
 Os engenheiros com carta passada pelas escolas nacionais; 
 Os habilitados com o curso completo da academia ou escola de Marinha da 
Côrte; 
 Os pilotos de carta pela mesma academia ou escola; 
 Os agrimensores habilitados com títulos na forma destas instruções; 
 E os que tiverem sido empregados pelo governo até esta data; 
 
Segundo a portaria Nº 555, daquele mesmo ano, eram os seguintes os 
conhecimentos exigidos dos candidatos à carta de agrimensor: 
 
 Matemática elementar; 
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 Metrologia; 
 Topografia; 
 Noções de astronomia; 
 Desenho linear; 
 Prática do uso dos instrumentos e trabalhos de campo; 
 
Atualmente, é a Engenharia de Agrimensura se encarrega de formar 
profissionais para atuarem preparando áreas para obras urbanas, de infra-estrutura 
hidráulica, elétrica ou de transportes. 
É o engenheiro agrimensor que, com base em dados obtidos por meio de 
levantamentos em solo ou por fotografias aéreas, satélites e aparelhos de sistema de 
posicionamento global, analisa o ambiente e define os espaços físicos onde vai ser feita 
determinada obra, e após seu início vai monitorar seu andamento e procurar mapear 
determinados problemas que aparecerão em seu decurso. 
A agrimensura atua nas diversas ramificações da engenharia, tais como: 
 Levantamento planialtimétrico; 
 Levantamento cadastral; 
 Planejamento; 
 Demarcações e divisas de terras; 
 Demarcações de movimento de terras; 
 Fundações; 
 Pontes; 
 Estradas; 
 Obras de infra-estrutura urbana; 
 Portos e aeroportos; 
 Planejamento e implantação de loteamentos;Trabalhos geodésicos; 
 Perícia judicial; 
 
 
1.3. Geodésia 
O termo Geodésia provém do termo grego daiein e significa divisão de terra. Foi 
usado, pela primeira vez, por Aristóteles (384 - 322 a.C.), e pode significar tanto 
divisões geográficas da terra como, também, o ato de dividir a terra entre proprietários. 
Ela é, ao mesmo tempo, um ramo das Geociências e uma Engenharia, que tem 
por finalidade a determinação da forma da terra e o levantamento de glebas tão grandes 
(com as suas feições naturais e artificiais) que não permitem o desprezo da curvatura da 
terra. 
Além disso, a Geodésia fornece, com as suas teorias e seus resultados de 
medição e cálculo, a referência geométrica para as demais geociências como os 
Sistemas de Informação Territoriais, os cadastros, o planejamento, as engenharias de 
construção, a navegação aérea, marítima e rodoviária, entre outros e, inclusivamente 
para aplicações militares e programas espaciais. 
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1.3.1. Classificação dos levantamentos geodésicos 
 
Costuma-se dividir os trabalhos geodésicos de acordo com as suas finalidades, 
de tal modo que podem ser classificados em três tipos: de alta, média e baixa precisão. 
 
 
Levantamento Geodésico de alta precisão ou superior 
 
 Dirigido ao atendimento de programas internacionais de cunho meramente 
científico, e a Sistemas Geodésicos Nacionais, trata de determinar e representar a figura 
da terra em termos globais. 
 
A observação e descrição do 'campo de gravidade' e sua variação temporal 
(produzida pela rotação e pelas massas terrestres, como também das massas do sol, da 
lua e dos outros planetas), atualmente, é considerado o problema de maior interesse na 
Geodésia superior no estudo da forma e dimensões da terra, porque altera a direção da 
força de gravidade num ponto. 
 
Na prática, o problema da determinação de uma figura terrestre, cuja direção do 
campo de gravidade seja idêntica à direção da vertical do lugar (as superfícies 
perpendiculares a estas direções são equipotenciais, e uma destas chama-se geóide) em 
qualquer ponto, será possível se for conhecido o campo de gravidade dentro de um 
sistema de coordenadas. 
 
Deste modo, para uma determinação do geóide, livre de hipóteses, precisa-se em 
primeiro lugar de medições gravimétricas - além de medições astronômicas, 
triangulações, nivelamentos geométricos e trigonométricos e observações de satélites. 
Para tanto, utiliza-se de pontos de amarração de 1º ordem (pontos que constituem um 
sistema de referência mundial, básicos para amarração e controle de trabalhos 
geodésicos e cartográficos) desenvolvidos segundo especificações internacionais. 
 
 Vale salientar, que a definição, implantação, e manutenção do Sistema 
Geodésico Brasileiro - SGB é gerida, no Brasil, pelo Instituto Brasileiro de Geografia e 
Estatística – IBGE, assim como o estabelecimento das especificações e normas gerais 
para levantamentos geodésicos. A materialização desse sistema, através de estações 
geodésicas distribuídas adequadamente pelo país, constitui-se na infra-estrutura de 
referência a partir da qual os novos posicionamentos são efetuados. Conquanto, a rede é 
desdobrada (decomposta) para redes de menores precisões (segunda e terceira ordem). 
 
O SGB é constituído, atualmente, por cerca de 70000 estações geodésicas 
implantadas pelo IBGE em todo o território nacional. Estas estão divididas em sistemas 
ou redes de referência planimétrica, altimétrica e gravimétrica: 
 
 
 Rede de referência planimétrica com latitude e longitude de alta precisão 
 
A maior parte das medições geodésicas aplica-se na superfície terrestre (veja 
Anexo 1), onde, para fins de determinações planimétricas, são marcados pontos de uma 
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rede de triangulação. Com os métodos exatos da Geodésia projetam-se estes pontos 
numa superfície geométrica, que matematicamente deve ser bem definida. 
Para esse fim, costuma-se definir um elipsóide de revolução ou de referência. 
Existe uma série de elipsóides que antes foram definidos para as necessidades de apenas 
um país, depois para os continentes, hoje para o globo inteiro; 
 
Dentre os levantamentos geodésicos planimétricos destacam-se a triangulação, 
trilateração e poligonação: 
 
a) A triangulação – consiste na obtenção de figuras geométricas a partir de 
triângulos formados através da medição dos ângulos subtendidos por cada vértice. Os 
pontos de interseção são denominados vértices de triangulação. É o mais antigo e 
utilizado processo de levantamento planimétrico da geodésia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) A trilateração – método semelhante à triangulação e, como aquele, baseia-se 
em propriedades geométricas a partir de triângulos superpostos, sendo que o 
levantamento será efetuado através da medição dos lados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) A poligonação – é o encadeamento de distâncias e ângulos medidos entre 
pontos adjacentes formando linhas poligonais ou polígonos. Partindo de uma linha 
formada por dois vértices conhecidos (coordenadas), determinam-se novos pontos, até 
chegar a um vértice de pontos conhecidos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
N 
N 
N 
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 Rede de referência altimétrica com altitudes de alta precisão 
 
Além do sistema de referência planimétrica (rede de triangulação e o elipsóide 
de rotação), existe um segundo sistema de referência: o sistema de superfícies 
equipotenciais e linhas verticais para as medições altimétricas (veja Anexo 2). 
Segundo a definição geodésica, a altura de um ponto „P‟ é o comprimento da 
linha vertical entre esse ponto e o geóide (altitude ortométrica „H‟). Também se pode 
descrever a altura do ponto „P’ como a diferença de potencial entre o geóide e uma 
superfície equipotencial (um elipsóide) que contém o ponto P (cota elipsoidal „h‟). 
Cotas elipsoidais têm a vantagem, comparando-as com alturas ortométricas, de 
poderem ser determinadas com alta precisão sem conhecimentos da forma do geóide. 
Por esta razão, nos projetos de nivelamento de grandes áreas, como continentes, 
costuma-se usar cotas elipsoidais. No caso de ter uma quantidade suficiente, tanto de 
pontos planimétricos, como altimétricos, pode-se determinar o geóide local daquela 
área. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Dentre os levantamentos geodésicos altimétricos, destacam-se os nivelamentos 
geométricos, trigonométricos e barométricos. Este, utilizado apenas em regiões onde é 
impossível o uso dos os outros dois, ou quando se queira maior rapidez no 
levantamento. Não obstante, todos desenvolvidos na forma de circuitos, servindo por 
ramais às cidades, vilas e povoados às margens das mesmas e distantes até 20Km. 
 
 
 Rede de referência gravimétrica 
 
À semelhança das redes planimétricas e altimétricas (veja Anexo 3), a rede 
gravimétrica é desdobrada em: alta precisão, média precisão e para fins topográficos. 
 
Matematicamente, os levantamentos dessa rede são similares ao nivelamento 
geométrico, medindo-se diferenças de aceleração da gravidade entre pontos sucessivos. 
 
 
Levantamento Geodésico de média precisão ou nacional 
 
 Os levantamentos de média precisão se destinam a densificação do Sistema 
Geodésico Nacional, a partir da decomposição de sua rede em redes de 2º e 3º ordem. 
Estas são dirigidas às áreas remotas ou aquelas em que não se justificam investimentos 
H 
h 
Elipsóide 
Geóide 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/CampusPalmeira dos Índios - Alagoas 10 
imediatos, à medida que os levantamentos de 2º ordem aplicam-se às regiões sócio-
econômicas mais desenvolvidas. 
 
 
Levantamento Geodésico prático ou para fins topográficos 
 
 Destinado ao atendimento dos levantamentos e representações de partes menores 
da terra onde a superfície pode ser considerada plana. Na verdade, a Geodésia prática 
proporciona à topografia uma rede de pontos os quais irão apoiar os seus levantamentos 
topográficos. 
 
 
1.4. Topografia 
 
É a representação gráfica o mais detalhada possível, de uma parte da superfície 
da terra. 
 
Essa representação gráfica é feita sobre uma superfície plana hipotética chamada 
PLANO TOPOGRÁFICO perpendicular à direção do fio de prumo em um determinado 
ponto da superfície da terra. 
 
No entanto, a hipótese do plano topográfico exige restrição quanto ao raio de 
área a ser levantada, visto que as medidas topográficas são feitas considerando a terra 
plana. Nestas condições, erros planimétricos e altimétricos, provenientes da curvatura 
da terra, devem ser avaliados. As restrições nos levantamentos quanto à hipótese do 
plano topográfico serão abordadas no capítulo seguinte. 
 
 
1.4.1. Métodos de levantamentos topográficos 
 
 No que diz respeito aos métodos de levantamentos topográficos costuma-se 
dividi-los em apenas duas categorias: planimétrico e altimétrico. 
 
 Levantamento planimétrico 
 
 Merecem destaque a triangulação, poligonação, irradiação, interseção e outros. 
 
 Levantamento gravimétrico 
 
Merecem destaque os nivelamentos geométricos, trigonométricos e 
taqueométricos. Esses métodos serão analisados detalhadamente nos capítulos 
seguintes. 
 
 
1.5. Distinção entre Topografia e Geodésia 
 
Como se pôde observar, apesar da Topografia e Geodésia terem os mesmos 
objetivos, e utilizarem métodos e instrumentos semelhantes para o mapeamento da 
superfície terrestre, esta se ocupa dos processos de medida e representação cartográfica 
de grandes porções desta superfície, de acordo com a consideração sobre as 
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deformações devido à esfericidade da terra (trigonometria esférica); a Topografia se 
ocupa da representação de uma pequena porção da superfície da terra, por uma projeção 
ortogonal de todos os detalhes da configuração do solo (trigonometria plana). 
 
Portanto, a Geodésia abrange o todo, ao passo que a Topografia se ocupa de 
detalhes, de forma que elas se completam para a harmonia do conjunto, do qual 
resultam cartas geográficas ou plantas topográficas. 
 
A aplicação da Geodésia nos levantamentos topográficos é justificada quando da 
necessidade de controle sobre a locação de pontos básicos no terreno, de modo a evitar 
o acúmulo de erros na operação do levantamento. 
 
Salienta-se que a Geodésia tem vários campos de aplicação que se confundem 
com a topografia: 
 
 Mapas: na distribuição de pontos de controle (horizontais e verticais) para a 
confecção de cartas topográficas; 
 
 Planejamento urbano: o desenvolvimento urbano (localização, utilização de 
vias, etc.) deve ser definido e localizado. Necessita-se, desta feita, de pontos de 
controle geodésicos; 
 
 Demarcação de limites: a definição rigorosa de limites internacionais, 
interestaduais e intermunicipais é de fundamental importância para os projetos 
de cada região. Ênfase tem sido dada na precisão em oleoduto e gasoduto; 
 
 Cadastro: o estabelecimento de um banco de dados que integre um sistema de 
informações de uso do solo, transporte, título de terra, assentamento, etc., deve 
estar baseado em mapas de localização definidos em termos de coordenadas 
referenciadas a uma rede geodésica; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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LEVANTAMENTOS GEODÉSICOS – PLANIMETRIA 
DE ALTA PRECISÃO ÂMBITO NACIONAL DE PRECISÃO 
ÂMBITO REGIONAL 
PARA FINS 
TOPOGRÁFICOS 
 Científico Fundamental 
(ou de 1º ordem) 
Para áreas mais 
desenvolvidas 
(ou de 2º ordem) 
Para áreas 
menos 
desenvolvidas 
(ou de 3º ordem) 
Local 
Finalidade Dirigido ao 
atendimento de 
programas 
internacionais, de 
cunho científico, 
segundo normas 
específicas, acordadas 
caso a caso. Sua 
realização deverá se 
dar sem prejuízo do 
fundamental, que terá 
precedência de 
utilização. 
Pontos básicos para 
amarrações e controle 
de trabalhos 
geodésicos e 
cartográficos, 
desenvolvido segundo 
especificações 
internacionais, 
constituindo o sistema 
único de referência. 
Dirigido ao 
atendimento das 
necessidades de uma 
região onde se 
desenvolvem 
atividades humanas 
intensas e, em 
conseqüência, existe 
uma valorização 
elevada do solo. 
Dirigido às áreas 
remotas ou àquelas em 
que não se justifiquem 
investimentos 
imediatos e, sempre, 
em função da 
inexistência ou 
impossibilidade de se 
desenvolver 
levantamentos 
geodésicos de alta 
precisão. 
Dirigido ao 
atendimento dos 
levantamentos no 
horizonte 
topográfico, 
prevalecendo os 
critérios de 
exatidão sobre as 
simplificações 
para a figura da 
Terra. 
Exatidão Conforme as 
aplicações, sendo 
julgada caso a caso, 
mas devendo ser o 
erro padrão relativo de 
quaisquer duas 
estações melhor que 
1:500.000 após o 
ajusta-mento. 
Melhor que 1:100.000 Melhor que 1:50.000 Melhor que 1:20.000 Melhor que 
1:5.000 
Desenvolvi
mento 
A estrutura será 
desenvolvida caso a 
caso, de acordo com as 
finalidades de cada 
projeto. 
Arcos de meridianos e 
paralelos espaçados de 
1a estações com 
espaçamento desejável 
de 15 km e no máximo 
de 25 km. Nas áreas 
metropolitanas o 
espaçamento será 
função das 
características do 
processo de 
urbanização, com 
estações afastadas de, 
no máximo 5 km. 
Em função da área a 
ser atendida, com 
estações espaçadas de 
10 a 20 km. Nas áreas 
metropolitanas o 
espaçamento das 
estações deverá ser de 
até 5 km, tendo a 
configuração adaptada 
aos aspectos da 
urbanização. 
Em função da área a 
ser atendida, com 
estações espaçadas de 
10 a 20 km. Nas áreas 
metropolitanas o 
espaçamento das 
estações deverá ser 
limitado a 5 km. 
Em função dos 
objetivos 
específicos a 
serem atingidos, 
com estações 
afastadas entre 5 a 
10 km. Nas áreas 
metropolitanas o 
espaçamento das 
estações deverá 
ser de 0,5 a 2 km. 
Exemplos 
de 
utilização 
Pesquisas sobre a 
deriva continental; 
conexões de Sistemas 
Geodésicos; estudos e 
definição dos 
parâmetros para 
Sistemas Geodésicos. 
Elaboração de cartas 
gerais; apoio e 
controle das obras de 
engenharia e estudos 
científicos em geral. 
Elaboração de cartas 
gerais; controle e 
locação de projetos de 
engenharia. 
Elaboração de cartas 
gerais; controle e 
locação de obras de 
engenharia. 
Levantamentos e 
parcelamentos de 
áreas de pequeno 
valor; pequenas 
obras locais; 
elaboração de 
cartas gerais. 
 
http://www.concar.ibge.gov.br/files/quadro1.doc 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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LEVANTAMENTOS GEODÉSICOS – ALTIMETRIA 
DE ALTA PRECISÃO ÂMBITO NACIONAL DE PRECISÃO 
ÂMBITO REGIONAL 
PARA FINS 
TOPOGRÁFICOS 
 Científico Fundamental 
(ou de 1º ordem) 
Para áreas mais 
desenvolvidas 
(ou de 2º ordem) 
Para áreas 
menos 
desenvolvidas 
(ou de3º ordem) 
Local 
Finalidade Dirigido ao 
atendimento de 
programas 
internacionais, de 
cunho científico, 
segundo normas 
específicas, acordadas 
caso a caso. Sua 
realização deverá se 
dar sem prejuízo do 
fundamental, que terá 
precedência de 
utilização. 
Pontos básicos para 
amarrações e controle 
de trabalhos 
geodésicos e 
cartográficos, 
desenvolvido segundo 
especificações 
internacionais, 
constituindo o sistema 
único de referência. 
Dirigido ao 
atendimento das 
necessidades de uma 
região onde se 
desenvolvem 
atividades humanas 
intensas e, em 
conseqüência, existe 
uma valorização 
elevada do solo. 
Dirigido às áreas 
remotas ou àquelas em 
que não se justifiquem 
investimentos 
imediatos e, sempre, 
em função da 
inexistência ou 
impossibilidade de se 
desenvolver 
levantamentos 
geodésicos de alta 
precisão. 
Dirigido ao 
atendimento dos 
levantamentos no 
horizonte 
topográfico, 
prevalecendo os 
critérios de 
exatidão sobre as 
simplificações 
para a figura da 
Terra. 
Exatidão Conforme as 
aplicações, sendo 
julgada caso a caso, 
mas devendo o erro 
padrão ser inferior a 
2mm para cada duas 
RN após o 
ajustamento. 
Melhor que 2mm Melhor que 3mm Melhor que 4mm Melhor que 6mm 
Desenvolvi
mento 
A estrutura será 
desenvolvida caso a 
caso de acordo com as 
finalidades de cada 
projeto. Basicamente 
em circuitos e 
acompanhada de 
medições 
gravimétricas 
(nivelamento 
geopotencial). 
Em circuitos com até 
400km de perímetro e 
estações 
materializadas, 
afastadas de no 
máximo 3 km. Nas 
áreas metropolitanas 
dar-se-á preferência ao 
desenvolvimento em 
circuitos, em função 
da urbanização, com 
estações 
materializadas e 
espaçadas de, 
preferencialmente, 1 
km. 
Em circuitos com até 
200km de perímetro e 
estações 
materializadas, 
afastadas de no 
máximo 3 km. Nas 
áreas metropolitanas 
dar-se-á preferência ao 
desenvolvimento em 
circuitos, com estações 
materializadas e 
afastadas de, 
preferencialmente, 1 
km. 
Em circuitos ou linhas, 
em função da área a 
ser atendida, com 
estações espaçadas de, 
no máximo, 3 km. 
Em circuitos ou 
linhas, em função 
dos objetivos a 
serem atingidos 
pelos trabalhos. 
Exemplos 
de 
utilização 
Avaliação de 
movimentos da crosta 
terrestre; conexões de 
Sistemas Geodésicos; 
estudos e definição de 
parâmetros para os 
Sistemas Geodésicos; 
determinação de 
valores geopotenciais. 
Elaboração de cartas 
gerais; apoio e 
controle das obras de 
engenharia e estudos 
científicos em geral. 
Elaboração de cartas 
gerais; controle de 
obras de engenharia. 
Elaboração de cartas 
gerais; controle de 
obras de engenharia. 
Levantamentos e 
parcelamentos de 
áreas de pequeno 
valor; peque-nas 
obras; estudos de 
drenagem e 
gradientes em 
áreas de 
topografia 
movimentada; 
elaboração de 
cartas gerais. 
 
http://www.concar.ibge.gov.br/files/quadro1.doc 
 
 
 
 
 
 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 14 
 
LEVANTAMENTOS GEODÉSICOS (GRAVIMETRIA) 
DE ALTA PRECISÃO ÂMBITO NACIONAL DE PRECISÃO 
ÂMBITO REGIONAL 
PARA FINS DE 
DETALHAMENTO 
 Científico Fundamental 
(ou de 1º ordem) 
Regional 
(ou de 2º ordem) 
Local 
Finalidade Dirigido ao 
atendimento de 
programas 
internacionais, de 
cunho científico, 
segundo normas 
específicas, acordadas 
caso a caso. Sua 
realização deverá se 
dar sem prejuízo do 
fundamental, que terá 
procedência de 
utilização. 
Pontos básicos para 
amarrações e controle 
de trabalhos 
geodésicos e 
geofísicos, 
implantados segundo 
especificações inter-
nacionais, constituindo 
o sistema único de 
referência ao IGSN-
71. 
Dirigido ao desdobramento do 
fundamental, visando facilitar os 
trabalhos de detalhamento do 
campo gravitacional. 
Dirigido ao detalhamento do 
campo gravitacional. 
Exatidão Conforme as 
aplicações, sendo 
julgada caso a caso, 
mas devendo ser o 
erro padrão 
melhor que 
0,05 mgal, para 
qualquer estação após 
o ajustamento. 
Melhor que 0,05 mgal Melhor que 0,1 mgal Melhor que 0,3 mgal 
Desenvolvi
mento 
A estrutura será 
desenvolvida caso a 
caso, de acordo com as 
finalidades de cada 
projeto. 
Em circuitos com 
estações espaçadas de 
até 100 km, ou acesso 
para as medições com 
tempo inferior a 48 
horas. As observações 
serão ajustadas a 
IGSN-71 e as estações 
deverão coincidir com 
as Referências de 
Nível decorrentes dos 
levantamentos 
altimétricos de alta 
precisão e de precisão. 
Em circuitos com estações 
espaçadas de até 30 km, com 
acesso para as medições com 
tempo inferior a 72 horas. Serão 
coincidentes preferencialmente, 
com as estações estabelecidas nos 
levantamentos altimétricos de alta 
precisão e de precisão. 
Função dos objetivos 
específicos de cada projeto. 
Exemplos 
de 
utilização 
Conexão de estações 
absolutas da rede 
mundial e estudos de 
escala nos 
levantamentos 
geométricos. 
Estudos do campo 
gravitacional e 
estrutura da crosta 
terrestre; prospecção 
mineralógica; estudos 
de movimentos da 
crosta. 
Estudos do campo gravitacional e 
estrutura da crosta terrestre; 
prospecção mineralógica; estudos 
de movimentos da crosta. 
Estudos do campo 
gravitacional e estrutura da 
crosta terrestre; prospecção 
mineralógica; pesquisa de 
geondulações e desvio da 
vertical; determinação dos 
parâmetros definidores de um 
sistema Geodésico. 
 
http://www.concar.ibge.gov.br/files/quadro1.doc 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 15 
1.6. Formas e dimensões da terra 
 
O nosso planeta (forma e dimensões) é um tema que vem sendo pesquisado ao 
longo dos anos em várias partes do mundo. Muitas foram as interpretações e conceitos 
desenvolvidos para definir qual seria a forma da terra. 
 
A superfície da terra sofre freqüentes alterações devido à natureza e à ação do 
homem, portanto, não serve para definir forma sistemática da terra. 
 
A fim de simplificar o cálculo de coordenadas da superfície terrestre foram 
adotadas algumas referências (superfícies) matemáticas simples. Essas referências 
podem ser encontradas, quando folheamos cronologicamente o período histórico desde 
os mais longínquos tempos, senão vejamos: 
 
 
ERASTÓTENES (276 a 175 a.C.) 
 
Calculou o raio da Terra e o meridiano terrestre. Considerando os valores atuais 
dos raios terrestres, Erastótenes cometeu um erro inferior a 2%. 
 
JOÃO PICARD (1620 a 1682) 
 
Introduziu várias melhorias nos instrumentos de medidas angulares e escreveu 
novas medidas da Terra. 
 
ISSAC NEWTON (1642 a 1727) 
 
Estudos sobre a gravitação, considerando a Terra achatada nos pólos, devendo a 
força da gravidade decrescer dos pólos para o equador. 
 
Várias expedições foram organizadas desde 1737 sob os auspícios da Academia 
de Ciências de Paris que conduziram a evidências que a razão estava com 
Newton; a Terra se assemelharia a um elipsóide de revolução, o eixo menor 
deste coincidindo com o eixo de rotação da Terra. 
 
CARL FRIEDERICH GAUSS (1777 a 1855) 
 
Introduziu a forma de planeta como um „Geóide‟ que corresponde à superfície 
do nível médio do mar homogêneo (ausência de correntes, ventos, variação de 
densidade da água, etc.) supostamente prolongado por sob continentes. Essa 
superfíciese deve, principalmente, às forças de atração da gravidade e centrífuga 
(rotação da terra). 
 
Nesse modelo a superfície da terra tem a forma aproximada de um esferóide 
com achatamento nos Pólos. Todavia, devido às irregularidades de distribuição 
das massas da terra, e à variação da gravidade nos diversos pontos, a forma 
geoidal se torna complexa. 
 
 
 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 16 
2. TOPOGRAFIA 
 
 
2.1. Conceito 
 
A palavra “Topografia” provém do grego Topos (lugar) e Graphein (descrever) e 
significa descrição exata e minuciosa de um lugar. È, portanto, uma ciência que estuda a 
representação detalhada de um trecho da superfície da terra. 
 
O termo só se aplica a áreas relativamente pequenas, sendo utilizado o termo 
Geodésia quando se fala de áreas maiores. 
 
 
2.2. Finalidade 
 
Determinar o contorno, dimensão e posição relativa de uma porção limitada da 
superfície da terra, desconsiderando a curvatura resultante da esfericidade da terra. 
 
 
2.3. Importância 
 
È a topografia que, através de plantas representa o relevo do solo com todas as 
suas elevações e depressões. 
 
Pelo fato de que as obras de engenharia são executadas sobre o terreno, se 
partimos de obras de menor vulto: construção civil (casas, prédios,... etc.), eletrotécnica 
em industria (linhas de eletrificação,... etc.), agricultura (cadastro de áreas cultivadas, 
drenagens, irrigação,... etc.), até obras de maior vulto: barragens, rodovias, pontes, 
subestações de distribuição de energia, telecomunicações, reflorestamento, etc..., impõe-
se um prévio levantamento topográfico do lugar onde a mesma deverá ser implantada. 
Por outro lado, se dispusermos do planejamento, impõe-se a locação, estando presente 
também a topografia. 
 
Portanto, podemos afirmar sem exageros, que a topografia encaixa-se dentro de 
qualquer atividade de um profissional da área de engenharia. Atua muitas vezes como 
atividade fim e atividade meio em qualquer trabalho de planejamento, contribuindo com 
os métodos e instrumentos de precisão que permitem o adequado conhecimento do 
terreno, e a correta implantação da obra. 
 
 
2.4. A hipótese do Plano Topográfico 
 
A projeção ortogonal, de todos os detalhes da configuração do solo, mesmo que 
se trate de detalhes, naturais ou artificiais é que denominamos de planta topográfica. 
Conforme visto no capítulo anterior, esta projeção se faz sobre uma superfície de nível 
(hipotética), a qual conhecemos como Plano Topográfico. Esta superfície é 
perpendicular à vertical do lugar em um determinado ponto da superfície da terra. 
 
No entanto, a hipótese do plano topográfico exige restrições quanto ao raio de 
área a ser levantada, visto que as medidas topográficas são realizadas sobre uma 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 17 
superfície curva (superfície da terra), e os dados coletados são projetados sobre uma 
superfície plana (Plano Topográfico). Nestas condições, deve-se avaliar a extensão dos 
levantamentos planimétricos e altimétricos. 
 
 
O erro planimétrico 
 
 A adoção da hipótese do Plano Topográfico implica na substituição do arco „d‟ 
(raio de uma área circular) pela tangente „D‟, cometendo assim um erro, denominado de 
erro de esfericidade (veja figura a seguir). 
 
Por outro lado, sabemos que não existe uma figura matemática que represente 
fielmente a superfície física da terra, a não ser a superfície geoidal (apresentada como a 
superfície teórica ou ideal que mais se aproxima da forma real da terra) utilizada na 
análise do erro planimétrico, conforme mostra na figura, a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A hipótese admite que o limite da finura do traço no desenho seja igual 0,1mm 
(visível ao olho „nu‟), e que o erro gráfico ∆D cometido a partir do levantamento 
topográfico não ultrapasse este limite de finura. Na verdade, o que se pretende é que o 
erro planimétrico „∆D‟ cometido por conta do caminhamento „d‟ seja absorvido no 
desenho topográfico. 
 
Para tanto, as condições supracitadas devem atender ao limite para representação 
gráfica em topografia, cujo módulo de escala é 1/10.000, e o raio médio da terra de 
6.370Km. 
 
As deduções revelam que o raio da área a ser levantada „d‟ não deve exceder de 
30 a 50 Km. Neste limite „∆D‟ alcança valores de 100cm. 
 
Havendo a necessidade do levantamento de uma faixa estreita de terra, para 
estudos e projetos de distribuição de energia, rodovias e estradas de ferro, por exemplo, 
as operações topográficas não estão sujeitas a limites, desde que seja considerada uma 
∆D 
d 
D 
Raio 
da terra 
Plano Topográfico 
Superfície 
Geoidal 
Superfície 
física 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 18 
série de planos tangentes. A planta resultará numa série de rebatimentos sobre um plano 
horizontal de projeção. 
 
 
O erro altimétrico 
 
Conhecido por efeito C & R, pela soma algébrica de influências da curvatura da 
terra e da refração atmosférica, o erro altimétrico gera uma linha com a curvatura 
voltada para o centro da terra. 
 
O erro altimétrico causado pelo efeito da curvatura da terra é a linha „cb‟. No 
entanto, a refração atmosférica „R‟ (fenômeno natural que faz com que uma linha vista 
vá caindo gradualmente à medida que aumenta a distância topográfica) diminui o efeito 
da curvatura em 14%, e o raio visual cai de „ab‟ para „af‟ (veja a figura abaixo, que 
utiliza também a figura do geóide). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se considerarmos a mesma distância dos 50 Km para „d‟, as deduções indicam 
que o erro altimétrico seria muito elevado 168,7m, já considerando o efeito positivo da 
refração atmosférica. Isto significa dizer, que se pudemos substituir a superfície geoidal 
por um Plano Topográfico na representação planimétrica, o mesmo não acontece na 
representação altimétrica. 
 
Por outro lado, outras deduções que descartam os efeitos C & R, e que seguem o 
limite de representação gráfica em topografia M = 10.000, estabelecem que a distância 
topográfica „d‟ não deve exceder os 3,6Km. Nestas condições, pode-se afirmar que a 
hipótese do Plano Topográfico é satisfatória simultaneamente às medidas horizontais e 
verticais, quando aplicada até distâncias de 3,6Km entre dois pontos subseqüentes de 
um levantamento. 
 
 
 
2.5. Divisões 
 
Definido o campo que limita as operações topográficas em extensão, a 
topografia pode ser dividida em topometria, topologia e fotogrametria: 
d 
D 
Raio 
da terra 
Plano Topográfico 
Superfície 
Geoidal 
Superfície 
física 
f 
a 
c 
b 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 19 
2.5.1. Topometria 
 
Trata de medidas das grandezas lineares e angulares que definem a posição dos 
pontos topográficos, tanto nos planos horizontais e/ou verticais. 
 
As grandezas lineares são as distâncias horizontais e diferenças de nível; As 
angulares são os ângulos horizontais e verticais. 
 
Para tanto, a obtenção das medições compreende um conjunto de processos de 
medidas, baseadas na geometria aplicada, onde os ângulos e distâncias são obtidos por 
instrumentos topográficos, tais como teodolitos, estações totais, níveis, receptores de 
satélite, trenas, para o cálculo e traçado da planta topográfica. 
 
 
A topometria se divide em: 
 
 Planimetria 
 
 Altimetria 
 
 
Que utilizam para o seu desenvolvimento, como ciências auxiliares a:Taqueometria 
 
 Trigonometria 
 
 
Planimetria 
 
Consiste na obtenção de ângulos e distâncias horizontais, não só para a 
representação em projeção horizontal dos lados e contorno perimetral do terreno, como 
também para a representação dos detalhes existentes (não levando em consideração o 
relevo). 
 
Para efeito de representação planimétrica ou avaliação de área, as distâncias 
inclinadas são reduzidas às dimensões de suas bases produtivas. 
 
Entende-se por base produtiva as dimensões que são aproveitadas na prática; É o 
que acontece com as edificações, pois exigem o aplainamento dos terrenos para que 
possam ser construídas. 
 
Os trabalhos provenientes da planimetria dão origem às plantas planimétricas. 
 
Obtenção de distância horizontal: 
 
 
 
 
 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 20 
 
 
 
 
 
 
 
Obtenção de ângulo horizontal: 
 
 
 
 
 
Obtenção de azimutes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Altimetria 
 
Consiste na obtenção de ângulos verticais e distâncias verticais, de um certo 
número de pontos do terreno, referidos a um plano horizontal de comparação (plano 
topográfico). 
 
O trabalho de planimetria juntado ao de altimetria dá origem à planta 
planialtimétrica. A altimetria, isoladamente, só dá origem a perfis, através da obtenção 
de distâncias verticais, ou alturas. 
 
Obtenção de distâncias verticais: 
 
DH 
☼sol 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 21 
 
 
 
 
 
Taqueometria 
 
 A Taqueometria tem por finalidade o levantamento de pontos do terreno, pela 
resolução de triângulos retângulos, dando origem às plantas cotadas ou com curvas de 
nível. A sua principal aplicação é em terrenos altamente acidentados, por exemplo: 
morros, montanhas, vales, etc., sobre o qual oferece reais vantagens em relação aos 
métodos topométricos, já que os levantamentos são realizados com maior rapidez e 
economia. 
 
Os aparelhos usados na taqueometria são chamados taqueômetros, porque o 
campo ótico de suas lunetas é dotado de fios estadimétricos. 
 
Ademais, taqueometria é a parte da topografia que trata da medida indireta de 
distância horizontal e vertical, que discutiremos adiante. 
 
 O campo ótico do taqueômetro possui; 
 
 Fio vertical – fio de referência para as medidas de ângulos horizontais; 
 Fio médio – fio de referência para as medidas de ângulos verticias; 
 Fios horizontais superior e inferior – fios de referência para as leituras 
estadimétricas; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trigonometria 
 
 A Trigonometria tem por finalidade, assim como a taqueometria, o levantamento 
de pontos do terreno, só que pela resolução de triângulos quaisquer, não retângulos, 
dando origem às plantas cotadas ou com curvas de nível. As suas principais aplicações 
se assemelham, também, as da taqueometria. 
 
Fio vertical 
Fio médio 
Fio superior 
Fio inferior 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 22 
Qualquer goniômetro que permita medir ângulos verticais, pode ser usado na 
trigonometria. 
 
As medições obtidas de distância horizontal e vertical são indiretas. 
 
 
2.5.2.Topologia 
 
A Topologia, complemento indispensável à Topometria, tem por objetivo de 
estudo a conformação e representação de terrenos, suas modificações através dos 
tempos e as leis que as regem. 
 
A principal aplicação da Topologia dá-se na representação cartográfica do 
terreno pelas curvas de nível. 
 
Curvas de nível são interseções obtidas por planos eqüidistantes, paralelos com o 
terreno a representar. 
 
 
2.5.3. Fotogrametria 
 
Compreende o estudo indireto de medição de forma, tamanho e posição de um 
terreno extenso, através de medições e interpretações de imagens fotográficas terrestres 
ou aéreas. Tem como objetivo realizar medições sobre fotografias para a elaboração de 
cartas topográficas planialtimétricas. 
 
Algumas aplicações: 
 
▪ Mapas topográficos, temáticos (solos, vegetação), foto-índice e mosaicos; 
 
▪ Projetos rodoviários, ferroviários, obras de arte especiais, de controle à erosão 
e às cheias, planejamento e desenvolvimento rural e urbano, e projetos 
ambientais; 
 
 
 De acordo com o tipo e a posição espacial da câmara, e segundo a sua finalidade, 
a fotogrametria pode ser classificada em: 
 
▪ Terrestre – utiliza-se de fotografias obtidas de estações fixas sobre a superfície 
do terreno. Este tipo de fotogrametria pode ser útil para fins topográficos 
(mapeamento de regiões de difícil acesso) e não topográficas (engenharia de 
tráfego); 
 
▪ Aérea – utiliza-se de fotografias obtidas de estações móveis no espaço (avião 
ou balão); 
 
▪ Espacial – utiliza-se de fotografias obtidas de estações móveis fora da 
atmosfera da terra; 
 
 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 23 
Como obter uma visão estereoscópica: 
 
 Estereoscopia é um fenômeno natural que ocorre quando se observam duas 
imagens fotográficas de uma mesma cena, tomadas de pontos distintos. 
 
 Visão estereoscópica é a sensação de profundidade que pode ser obtida através 
de processo estereoscópico, capaz de fornecer uma sensação bastante precisa da 
profundidade. 
 
 Para se obter uma visão 3D (terceira dimensão) através de fotografias, é 
necessário que se tenha um par de fotos de uma mesma cena ou região, tomadas de 
pontos distintos, e dispor de estereoscópio. O estereoscópio pode dispor, ainda, de eixos 
óticos cruzados, convergentes e paralelos: 
 
▪ Eixos óticos cruzados – observa-se a foto da direita com o olho esquerdo e a 
foto da esquerda com o olho direito; 
 
▪ Eixos óticos convergentes – a observação da imagem se faz de maneira natural, 
porém, as fotos é que são impressas em filmes coloridos e superpostas com um 
pequeno deslocamento. Para fazer a observação, são utilizados óculos de lentes 
nas cores contrárias às dos filmes adotados. 
 
▪ Eixos óticos paralelos – observa-se a foto da direita com o olho direito e a foto 
da esquerda com o olho esquerdo. 
 
Exemplo de estereoscópio de eixos óticos paralelos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 24 
3. A TERRA E OS SISTEMAS DE REFERÊNCIA 
 
 
3.1. Introdução 
 
O nosso planeta, com as suas formas e dimensões, é um tema que vem sendo 
pesquisado ao longo da história da humanidade em várias partes do mundo. Muitas 
foram as interpretações e conceitos desenvolvidos no passado, para definir qual seria a 
melhor forma a adotar para a ele. Hoje as preocupações se voltam, principalmente, para 
as anomalias que a superfície da terra vem sofrendo, relacionadas basicamente aos 
fenômenos naturais, como terremotos, placas tectônicas, vulcões, desertificações, etc. 
Estas anomalias têm provocado deslocamentos de pontos sobre a superfície da terra, que 
precisam ser atualizados. 
 
Contudo, essa tarefa não recai sobre a Topografia, mas sim, sobre a Geodésia. 
As preocupações da Topografia se resumem, tão somente, ao conhecimento dos 
sistemas de referência existentes para “amarrar” os pontos sobre a superfície da terra. 
 
Assim sendo, este capítulo fará um breve histórico sobre as formas 
historicamente adotadas para a terra, como representá-las matematicamente, e afunilará 
os conceitos para os sistemas de referência atualmente adotados pela Geodésia para 
localização de pontos sobrea superfície da terra, que podem facilmente ser aplicados 
nos projetos topográficos. 
 
 
3.2. Formas e dimensões da terra 
 
Folheando cronologicamente as páginas da história, desde os mais longínquos 
tempos, no que diz respeito aos estudos sobre as formas e dimensões da superfície 
terrestre, podemos enumerar algumas formas estudadas, senão vejamos: 
 
 
HOMERO (S.D.) 
 
Alguns dos escritos descrevem a terra como sendo um grande disco que flutuava 
sobre o oceano, e o sol como sendo o coche em que os deuses efetuavam o seu passeio. 
 
 
ANAXÁGORAS (500 428 a.C.) 
 
 Afirmou que o sol é uma pedra incandescente, maior que o Peloponeso 
(península do sul da Grécia) e que a lua é feita de terra e não de luz própria. 
 
 
ERASTÓTENES (276 a 175 a.C.) 
 
Calculou o raio da Terra e o meridiano terrestre. Considerando os valores atuais 
dos raios terrestres, Erastótenes cometeu um erro inferior a 2%. 
 
 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 25 
JOÃO PICARD (1620 a 1682) 
 
Introduziu várias melhorias nos instrumentos de medidas angulares e escreveu 
novas medidas da Terra. 
 
 
ISAAC NEWTON (1642 a 1727) 
 
Estudos sobre a gravitação, considerando a Terra achatada nos pólos, devendo a 
força da gravidade decrescer dos pólos para o equador. Várias expedições foram 
organizadas desde 1737 sob os auspícios da Academia de Ciências de Paris que 
conduziram a evidências que a razão estava com Newton; a Terra se assemelharia a um 
elipsóide de revolução, o eixo menor deste coincidindo com o eixo de rotação da Terra. 
 
 
CARL FRIEDERICH GAUSS (1777 a 1855) 
 
Introduziu a forma de planeta como um „Geóide‟ que corresponde à superfície 
do nível médio do mar homogêneo (ausência de correntes, ventos, variação de 
densidade da água, etc.) supostamente prolongado por sob continentes. Essa superfície 
se deve, principalmente, às forças de atração da gravidade e centrífuga (rotação da 
terra). 
 
Nesse modelo a superfície da terra tem a forma aproximada de um esferóide 
com achatamento nos Pólos. Todavia, devido às irregularidades de distribuição das 
massas da terra, e à variação da gravidade nos diversos pontos, a forma geoidal se torna 
complexa. 
 
 
3.3. Os sistemas de referência 
 
 
 Com o decorrer dos tempos, e precisando buscar um modelo mais simples para 
representar o nosso planeta, os geofísicos resolveram adotar o elipsóide de revolução 
proposto por Newton. 
 
 Os trabalhos geodésicos foram se multiplicando, sendo medidos arcos de 
meridianos e paralelos em várias regiões do globo, com precisão sempre crescente. Com 
base em trabalhos desta natureza, e, adotando o elipsóide de revolução como sendo 
forma matemática da terra, foram sendo calculados os parâmetros do elipsóide ideal. 
Dentre muitos, destacam-se os resultados obtidos por Bessel (1841), Clarke (1886) e 
Hayford (1909). 
 
 Em 1924, a Assembléia Geral da Associação de Geodésia Internacional em 
Madrid, resolveu adotar o elipsóide de Hayford como sendo o elipsóide de referência 
internacional. 
 
 Em 1967, a mesma assembléia recomendou para a América do Sul, o Sistema 
Geodésico Sul-Americano que adota para modelo geométrico da terra o elipsóide de 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 26 
referência 1967, o qual conhecemos como Sul American Datum – SAD69. Este modelo 
é o que mais se aproxima do geóide na região considerada, e faz parte do SGB. 
 A forma e tamanho de um elipsóide, bem como sua posição relativa ao geóide, 
define um sistema geodésico. No caso do SAD69, ele possui as seguintes 
características: 
 
Origem das coordenadas (ou Datum planimétrico) 
 
- Estação: Vértice CHUÁ (Estado de Minas Gerais); 
- Coodenada latitude: 19º45'41,6527"S; 
- Coordenada longitude: 48º06'07,0639"W; 
- Azimute geodésico para o vértice Uberaba 271º30'04,05"; 
 
Origem das altitudes (ou Datum altimétrico) 
 
- Altura geoidal: 0 m; 
- Imbituba: corresponde ao nível médio determinado por um marégrafo 
instalado em Imbituba (Estado de Santa Catarina) para referenciar a rede 
altimétrica nacional, à exceção do Estado do Amapá, que dispõe do Datum 
Porto de Santana; 
 
DATUM é o ponto de partida de uma rede geodésica, sendo utilizado como um 
sistema de referência para o cômputo ou correlação dos resultados de um levantamento. 
É conhecido pelos parâmetros iniciais; coordenadas do vértice; uma base e um azimute. 
As coordenadas iniciais tem a finalidade de fixar o elipsóide em relação a terra, o 
azimute orienta o sistema e a base fornece a escala. 
Conquanto, existem as redes estaduais GPS que procuram georeferenciar todas 
as propriedades rurais existentes no país, tendo como referência o SGB. Elas procuram 
suprir as demandas atuais da sociedade que são cada vez mais ampliadas devido à 
utilização das técnicas de posicionamento por satélites artificiais. 
Pretende-se, ao estabelecê-las, que todas as Unidades da Federação possuam 
uma rede altamente precisa e conectada entre si, tendo como referência a Rede 
Brasileira de Monitoramento Contínuo - RBMC, a qual é a principal estrutura geodésica 
no território nacional. 
Até dezembro de 2006 foram estabelecidas 13 redes GPS estaduais (abrangendo 
18 estados): São Paulo, Paraná, Minas Gerais, Mato Grosso, Mato Grosso do Sul, Santa 
Catarina, Rio de Janeiro, Rio Grande do Sul, Bahia, Ceará, Espírito Santo, Acre e a rede 
Nordeste. A rede Nordeste foi um caso a parte, pois foi estabelecida em uma única 
campanha de medição contemplando os estados de Alagoas, Sergipe, Pernambuco, 
Paraíba e Rio Grande do Norte. 
A localização de cada marco da rede é previamente escolhida juntamente com 
representantes de instituições federais, estaduais e municipais de forma a zelar pela 
integridade física do marco, isto é, evitar abalos que possam interferir nas coordenadas 
do mesmo ou até mesmo a sua destruição. 
A implantação de uma rede geodésica estadual vem a colaborar na elaboração 
dos seguintes produtos e informações: 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 27 
 Confecção de mapas e cartas; 
 Referência para obras de engenharia tais como: construção e pavimentação de 
rodovias e estradas, construção de pontes, viadutos e túneis; transmissão de energia; 
abastecimento de água; 
 Demarcação de unidades estaduais, unidades municipais, áreas indígenas, 
áreas de proteção ambiental; 
 Regulamentação fundiária; 
 
 
3.4. Os sistemas de coordenadas 
 
Para que cada ponto seja localizado na superfície terrestre, existe um sistema de 
linhas imaginárias, que são representadas em uma carta: os meridianos e paralelos. 
 
Os meridianos são as linhas que passam através dos pólos e ao redor da Terra. O 
ponto de partida para numeração dos meridianos é o meridiano que passa pelo 
Observatório de Greenwich, na Inglaterra. Portanto, o meridiano de Greenwich é o 
meridiano principal. As localizações são feitas a partir dele que é o marco 0º (zero 
grau), para oeste e para leste, 180º. 
 
Partindo-se do Pólo Norte em direção ao Pólo Sul, ou vice-versa, exatamente na 
metade do caminho, encontra-se o Equador, uma linha imaginária que intercepta cada 
meridiano e que rodeia a Terra, contida em um plano perpendicular ao seu eixo de 
rotação. Dividindo-a em duas metades exatas. 
 
O Equador é um círculo máximo, cujo plano é perpendicular à linha dos pólos. 
Seu valor é de 0º, e partindo-se dele em direção ao Pólo Norte e Sul, pode-se construir 
uma infinidade de planos paralelos, cujas seções são círculos que progressivamente 
diminuem de tamanho. São chamados de paralelos. Numeram-se osparalelos de 0º a 
90º, para Norte e para Sul. 
 
O conjunto de meridianos e paralelos forma uma rede de linhas imaginárias ao 
redor do globo, constituindo as coordenadas geográficas. Em uma carta topográfica, este 
conjunto é chamado de rede, e constitui a base da sua construção. Ademais, as cartas 
utilizadas em projetos de engenharia podem apresentar, além do sistema que expressa as 
coordenadas geográficas (latitude e longitude), um outro sistema de projeção construído 
em coordenadas plano-retangulares, o Universal Tranversa de Mercator – UTM. Estas 
coordenadas são usadas na maioria das cartas, de grande e média escala, para corrigir 
distorções de formas de massa terrestre ocasionada pela projeção de uma área da 
superfície curva da terra em uma superfície plana. 
 
Em regiões onde não há rede geodésica ou a rede existente está destruída, é 
necessária a implantação de pontos cujas coordenadas são determinadas por 
rastreamento de satélite usando a tecnologia GPS. 
 
 
3.4.1. Coordenadas geográficas 
 
A superfície geometricamente definida que mais se aproxima da superfície física 
da terra é o elipsóide de revolução. É a partir do elipsóide de revolução, que se 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 28 
determinam as latitudes e longitudes que definem a posição de um ponto na superfície 
da terra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Latitude (Ф) 
 
Latitude de um ponto da superfície terrestre é a distância expressa em graus, 
minutos e segundos de arcos Norte ao Sul do Equador, medidos ao longo do meridiano 
do ponto. O ângulo de latitude é determinado pelas linhas que vão do Equador e do 
paralelo no qual está o ponto a ser localizado, até o ponto onde elas se encontram, que é 
o centro da terra. 
 
Variação: 
 
0º a + 90º no hemisfério norte, indicada pela letra “S” 
0º a – 90º no hemisfério sul, indicada pela letra “N” 
 
Exemplo: Ф = 39º00'00,00"N 
 
 
Longitude (λ) 
 
Longitude de um ponto é a distância expressa em graus, minutos e segundos de 
arco Leste ou Oeste do Meridiano de Greenwich, medidos ao longo do paralelo do 
ponto. O ângulo de longitude é determinado pelas linhas que vão do Meridiano 
Principal e do meridiano no qual está o ponto a ser localizado, até o ponto onde elas se 
encontram, que é o centro da terra. 
0ºE 
10º 
20º 
30º 
40º 
50º 
60º 
70º 
80º 
0ºE 
10º 
20º 
30º 
40º 
50º 
60º 
70º 
80º 
N 
0º 
10º 
20º 30º 40º 50º 60º 70º 
80º 
90º 
E Q U A D O R 
39º N 
Latitude 
95º W Longitude 
Greenwich 
Elipsóide de 
revolução 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 29 
 
Variação: 
 
0º a + 180º a leste de Greenwich, indicada pela letra “E” 
0º a – 180º a oeste de Greenwich, indicada pela letra “W” 
 
Exemplo: λ = 98º00'00,00"W 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 30 
4. ESCALAS 
 
 
4.1. Introdução 
 
O desenho topográfico por motivos óbvios, não pode ser feito jamais em 
verdadeira grandeza e muito menos, ampliado. Seria inútil o desenho de uma parte da 
superfície terrestre nas suas dimensões naturais ou ampliadas. Não poderíamos desenhá-
lo. 
 
Diante destas restrições, resta-nos a necessidade do emprego constante de uma 
redução de grandezas naturais da superfície para possíveis e adequadas representações 
gráficas. 
 
A esta relação entre a medida linear “l” da representação gráfica, e a medida de 
comprimento horizontal “L” correspondente no campo, damos o nome de ESCALA, ou 
seja, através desta relação estaremos traçando no papel uma figura semelhante a do 
terreno levantado. Você não pode esquecer que apenas as medidas lineares são passíveis 
desta redução. As medidas angulares continuam sendo desenhadas com grandeza 
natural. 
 
 
4.2. Tipos e usos 
 
Um dos elementos indispensáveis na construção de uma carta ou planta 
topográfica é a indicação clara e precisa da escala. Tecnicamente o seu trabalho não terá 
valor se não for acompanhado dessa indicação. Em tal representação não se pode saber 
o tamanho dos acidentes nem as distâncias que os separam. 
 
As escalas, em função de sua utilização na topografia, se apresentam sob dois 
aspectos: 
 
 
4.2.1. Escala numérica 
 
Chama-se de escala numérica de um desenho, a razão constante entre o 
comprimento “l” de uma linha medida na planta e o comprimento “L” de sua medida 
homóloga no terreno. Deste modo: 
 
 
 
 
 
Esta concepção leva a determinar o que se pode chamar de módulo de escala, 
elemento que muito facilita o emprego das escalas nos desenhos técnicos. Quanto à 
representação, os módulos podem ser sob a forma de fração ou proporção: 
 
 
 
 
 l 1 a 
 L M 
= 
 1 1 ; 1: M ; 1/M 
 M 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 31 
Assim, quanto maior for o denominador M, tanto menor será a escala e menor o 
desenho, sendo também menor o número de pormenores que podem figurar na planta. 
 
 
Exemplo elucidativo 1: 
 
Numa planta, verifica-se que os pontos A e B tem uma distância indicada de 
858m e que aparecem, no desenho, afastados 0,39m. Qual a escala numérica da planta? 
 
Solução: 
 
 
 
 
A escala desejada é 1:2200 
 
 
Exemplo elucidativo 2: 
 
Numa planta em escala 1:200, dois pontos estão afastados de 75cm. Qual a 
distância real entre eles? 
 
Solução: 
 
 
 
 
A distância real entre eles é 15000cm ou 150m 
 
 
4.2.2. Escala gráfica 
 
É uma figura geométrica representativa de uma determinada escala numérica. É 
geralmente empregada em desenhos feitos com escala numérica, cujo denominador M é 
um número elevado. Daí ser utilizada em desenhos topográficos. 
 
As escalas gráficas, além de facilitarem rápidas determinações no desenho, 
apresentam a vantagem de experimentar, sob a influência do calor ou da umidade, e até 
das reproduções(ampliações e reduções), as mesmas variações que as dimensões do 
desenho, o que evidencia maior precisão nas determinações gráficas. 
 
 
Como construir a escala gráfica na planta 
 
Seja o caso da construção de uma escala gráfica de módulo 1:500: 
 
▪ No espaço do selo, reservado à construção da escala, trace uma reta horizontal 
com, por exemplo, 8cm de comprimento. Limite-se ao comprimento máximo de até 
10cm, na escolha da reta, para que a escala não apresente um aspecto feio na 
ornamentação do selo; 
 l = 1 → 0,39 = 1 → M = 2200 
 L M 858 M 
 l = 1 → 75 = 1 → M = 15000cm 
 L M L 200 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 32 
▪ Usando a fórmula conhecida de cálculo de escala, determina-se que valor no 
terreno corresponde aos 8cm adotados para o desenho; 
 
Assim, 
 
 
 
 
▪ Divide-se a reta em quatro partes iguais a 2cm que representarão cada uma 
10,0m; 
 
▪ Para apreciar décimos da divisão principal, subdivide-se a seção extrema da 
esquerda (talão) em dez partes iguais, e finalmente se escreve a numeração da escala; 
 
logo, 
 
 
 
 
Dado que, as escalas gráficas têm efeitos ornamentais nas plantas, elas devem 
ser construídasem forma retangular, para que apresentem melhor aspecto. 
 
 
Como medir grandezas 
 
1. Tomar na planta a distância gráfica que se pretende medir. Essa distância 
pode ser tomada com o auxílio de um compasso; 
 
2. Transportar essa distância para a escala gráfica. Coloca-se uma das pontas do 
compasso no ponto 0 (zero) da escala, e observa-se à direita em qual seção se 
encontra a outra ponta. Conhecida a seção, coloca-se a ponta direita do 
compasso no início desta seção, e verifica-se no talão o décimo da escala; 
 
3. Proceder à leitura dos resultados obtidos. Os valores menores de um décimo 
da divisão principal do talão só poderão ser apreciados por estimativa; 
 
Obs.1: A escala construída tem precisão de 1m. 
Obs.2: Caso necessário, pode-se aumentar as divisões principais da escala já 
construída, desde que não atinja a largura do selo, que é de 15cm. Veja: 
 
 
 
 
 
 
 
4.3. Critérios para a escolha da escala numérica 
 
Não existem normas rígidas para a escolha da escala. Entretanto, compete ao 
desenhista sua determinação de acordo com a natureza do trabalho. Em casos 
 l = 1 → 0,08 = 1 → M = 40 metros 
 L M L 500 
0 30m 
0 45m 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 33 
específicos, porém, a escala já é pré-determinada, restando apenas a determinação do 
tamanho da folha de desenho. 
 
Existem certas condições que orientam sobre o modo de proceder a respeito da 
escala mais conveniente para uma dada planta ou carta. São elas: 
 
▪ A extensão da área do terreno levantado, comparada com as dimensões do 
papel que deve receber o desenho, visto que, em determinados casos, tem-se de atender 
a determinadas especificações, que definem as dimensões de desenho; 
 
▪ A natureza e do número de detalhes que se pretende colocar na planta com 
clareza e precisão; 
 
▪ A precisão gráfica com que o desenho deve ser executado; 
 
 
Precisão gráfica das escalas 
 
Denomina-se precisão gráfica à menor grandeza suscetível de ser representada 
em um desenho. 
 
Fundamentando-se na estatística, admite-se que a menor grandeza possível de 
ser apreciada a olho nu pelo ser humano de visão normal, é de 0,1mm. Segmentos 
menores só podem ser assinalados e observados ou medidos com o auxílio de 
instrumentos especiais, ou seja, só conseguiremos apreciar pontos sobre a planta com 
espessura mínima de 0,1mm. 
 
A extensão de 0,1mm é, pois, o que chamamos de limite de precisão gráfica que, 
uma vez fixado, determina o valor do maior erro tolerável nas medições feitas sobre um 
desenho executado em uma escala de módulo 1:M. 
 
Se chamarmos este erro de L: 
 
 
 
 
 
Portanto se temos um desenho feito na escala de módulo 1:5000, por exemplo, o 
erro máximo tolerável será: 
 
L = 0,1.5000 = 500mm ou 50cm 
 
Isto quer dizer que, em tal desenho, os acidentes cujas dimensões forem 
inferiores à tolerância de 50cm, não terão representação gráfica, portanto, não figurarão 
no desenho. Para fazei-lo, tem-se que adotar uma escala de módulo maior (1:1000 ou 
1:500, por exemplo) ou utilizar convenções topográficas, conforme descrito no anexo – 
convenções topográficas, da NBR 13133/1994. 
 
Principais escalas para plantas e cartas topográficas e seus respectivos empregos: 
 
 l = 1 → 0,1 = 1 → L = 0,1.M (mm) 
 L M L M 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 34 
 
Escala M Equivalência 100m (no campo 
 1:100 
 1:200 
1 
0,5 
Representação em plantas de edifícios, pequenos 
lotes urbanos, terraplanagem, etc... 
 1:500 
 1:1000 
0,2 
0,1 
Planta de pequena fazenda, loteamento urbano, 
vila, parque, etc... 
 1:2000 
 1:5000 
 1:10 000 
0,05 
0,02 
0,01 
Planta de grande propriedade, pequena cidade. 
 1:50 000 
 --- 
 1:1 000 000 
0,002 
--- 
0,0001 
Cartas de países... 
 
Mapa mundi 
 
 
Tamanho da porção de terreno levantado 
 
Quando a porção levantada e a ser projetada é bastante extensa e, se deseja 
representar convenientemente todos os detalhes naturais e artificiais a ela pertinentes, 
procura-se, ao invés de reduzir a escala para que toda a porção caiba numa única folha 
de papel, dividir esta porção em partes e representar cada parte em uma folha. É o que 
se denomina representação parcial. Porém, pode-se optar por formatos alongados, 
mantendo-se numa única folha a porção levantada. 
 
No Brasil é a Associação Brasileira de Normas Técnicas – ABNT que trata do 
formato padronizado para o papel do desenho, e os tamanhos de folha devem seguir as 
normas por ela estabelecidas. 
 
 
Formato Linha de corte 
(mm) 
Margem 
(mm) 
Medidas mínimas da 
folha sem cortar 
4AO 1682 x 2378 20 1720 x 2420 
2AO 1189 x 1682 15 1230 x 1720 
AO 841 x 1189 10 880 x 1230 
A1 594 x 841 10 625 x 880 
A2 420 x 594 10 450 x 625 
A3 297 x 420 10 330 x 450 
A4 210 x 297 5 240 x 330 
A5 148 x 210 5 165 x 240 
A6 105 x 148 5 120 x 165 
 
Para chegarmos ao formato do papel, inicialmente imaginemos um retângulo de 
área 1m
2
 (841 x 1189mm) o qual chamamos de formato A0. Deste formato, deriva-se 
por bipartição, ou duplicação, os demais formatos, conforme mostrado na tabela acima. 
 
Na obtenção de formatos alongados de papel, o comprimento deve ser múltiplo 
de 185 mm e a altura múltipla de 297mm. Estes, depois, de dobrados terão o formato 
único de apresentação A4 (210 x 297mm). 
 
A margem de arquivo deve seguir as dimensões 25 x 297mm, conforme 
esquema: 
 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 35 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.4. Posição da folha 
 
Os pontos de um levantamento topográfico sejam eles de uma área ou de linhas, 
devem ser expressos em coordenadas no espaço R2. Daí a necessidade, em função das 
diferenças de coordenadas máximas e mínimas, de determinarmos a posição da folha. 
 
A folha poderá assumir duas posições: 
 
▪ Posição vertical, quando 
 
 
 
 
▪ Posição horizontal, quando 
 
 
 
 
 
Onde, 
 
Xmáx = abscissa maior obtida na coluna das coordenadas absolutas; 
Xmin = abscissa menor obtida na coluna das coordenadas absolutas; 
Ymáx = ordenada maior obtida na coluna das coordenadas absolutas; 
Ymin = ordenada menor obtida na coluna das coordenadas absolutas; 
 
Exemplo elucidativo 1: 
 
Dado, 
 
Ponto Coordenadas absolutas 
Abscissa (X)m Ordenada (Y)m 
0 1000,00 1000,00 
1 1230,05 1020,39 
2 1643,45 949,36 
3 1731,62 873,24 
4 2039,31 840,05 
(Xmáx – Xmin) < (Ymáx – Ymin) 
(Xmáx – Xmin) > (Ymáx – Ymin) 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 36 
Solução: 
 
Posição do papel, 
 
Xmáx = 2039,31 
Xmin = 1000,00 
 
Ymáx = 1020,39 
Ymin = 840,05 
 
 
O papel deve assumir a posição horizontal! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo elucidativo 2: 
 
Dado, 
 
Ponto Coordenadas absolutas 
Abscissa (X)m Ordenada (Y)m 
0 1000,00 1000,00 
1 980,05 1001,39 
2 943,45 949,36 
3 831,62 863,14 
4 839,31 850,02 
5 904,96 799,94 
6 971,78 735,18 
7 997,22 805,81 
8 1063,85 864,03 
9 1042,82920,20 
0 1000,00 1000,00 
 
Solução: 
 
Posição do papel, 
 
Xmáx = 1063,85 
Xmin = 831,62 
 
Ymáx = 1001,39 
Ymin = 735,18 
Xmáx – Xmin = 232,23 
 
Ymáx – Ymin = 266,21 
Xmáx – Xmin = 1039,31 
 
Ymáx – Ymin = 180,34 
Espaço horizontal destinado 
para o desenho 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 37 
O papel deve assumir a posição vertical! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.5. Legenda, selo e orientação 
 
O espaço de 185mm no canto direito do papel, a partir da linha de corte, é 
destinado ao desenho do selo, legenda e orientação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Orientação – a orientação da poligonal deve ser indicada seguindo os critérios 
de posicionamento da legenda ou se situar imediatamente acima do selo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Legenda – vai mostrar apenas os símbolos empregados no desenho topográfico 
acompanhados de suas explicações. Sua falta implica em tirar grande parte do 
significado e utilidade do desenho da planta. Deve estar situada no espaço superior do 
canto direito do papel de forma que, após a dobragem, não apareça na frente do formato 
de apresentação. 
Espaço vertical destinado para o 
desenho 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 38 
Selo – é espaço reservado na planta para informar o nome do proprietário, o 
título da planta, local, escalas, profissionais envolvidos (levantamento topográfico, 
desenho, responsável pelo projeto, etc.). Deve ter dimensões de 150 x 70mm, 
localizando-se na parte inferior do canto direito do papel. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.6. Dobragem da folha 
 
Após a dobragem, a folha da planta deve ter o formato definitivo A4 (210 x 
297mm). Veja a seguir, na ilustração, como dobrar a folha: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 39 
5. MEDIÇÃO DE DISTÂNCIAS HORIZONTAIS E VERTICAIS 
 
 
5.1. Introdução 
 
 Comentamos anteriormente que a medida de distância horizontal entre dois 
pontos, em Topografia, é o comprimento do segmento de reta entre estes pontos, 
projetado sobre um plano horizontal. Significa dizer que as distâncias naturais 
inclinadas ou não, são reduzidas às dimensões de sua projeção horizontal equivalente, 
isto para que estejamos sobre o plano de projeção. Já a distância vertical entre os pontos 
será a diferença de altura entre eles. 
 
 Para a obtenção da distância horizontal, existem alguns processos que devem ser 
empregados. Alguns autores costumam dividi-los segundo o instrumento de medição 
utilizado, outros por comparação da distância a uma grandeza padrão previamente 
estabelecida. Na obtenção da distância vertical, os processos são semelhantes, porém, 
restringem-se aos instrumentos utilizados. Qualquer que seja a forma, o que importa é 
que todos os processos implicam em erros decorrentes do operador ou do próprio 
instrumento, e podem ser minimizados ou corrigidos. 
 
Este capítulo tratará sobre dos erros ocasionados na medição de distâncias 
horizontais e verticais, e como minimizá-los, assim como dos processos de medição, de 
maneira que se obtenha os melhores resultados possíveis nas medições. 
 
 
5.2. Erros ocasionados nas medições 
 
 Independente do processo de medição (horizontal ou vertical), os valores que 
manipulamos nas operações são sempre errôneos. Não representam estritamente o 
verdadeiro valor, isto porque são provenientes de causas diversas, como por exemplo, a 
imperfeição dos instrumentos, distração ou falta de habilidade do operador. Nem por 
isso, deixamos de dividi-los em dois tipos: 
 
 ▪ Erros acidentais 
 
 Erros cuja causa nem sempre é a mesma, não seguindo uma lei conhecida. Tais 
erros não admitem cálculo para uma compensação, porque não podem ser mensurados. 
Vão depender da prática e cuidado do operador. 
 
 ▪ Erros sistemáticos 
 
 Decorrentes de falhas da própria aparelhagem e que agem sempre do mesmo 
modo. Os seus valores podem ser calculados e aplicadas correções aos resultados, de 
forma a anulá-los. 
 
Os erros sistemáticos não são objeto de estudo deste curso, e ainda que fosse 
precisaríamos de laboratório específico (termômetro, dinamômetro, barômetro, etc.) 
para aferição dos equipamentos e monitoramento dos mesmos durante a realização de 
medidas no campo. 
 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 40 
Todavia, podemos nos precaver no item manutenção prévia do equipamento e, 
quando necessário o seu reparo, encaminhá-lo para uma empresa especializada. Assim 
sendo, alguns cuidados básicos devem ser levados a cabo, senão vejamos: 
 
 É fundamental, não só para o levantamento a ser executado como também 
para a obra final ao qual se destina, que seja observada a qualidade e o estado 
geral dos instrumentos de medição e do material de apoio antes do uso. 
 
Isso porque, por melhor que sejam os cuidados, a ação do tempo e o próprio 
transporte para os locais de medição podem causar alterações. 
 
Tomemos, como exemplo, os aparelhos transportados em pick-up que enfrentam 
estradas precárias e cheias de buracos: Todos os componentes do aparelho, 
principalmente os parafusos tendem a afrouxar-se o que diretamente alteraria o 
ajuste dos mesmos. 
 
 Outro fator muito importante é a proliferação dos fungos na ótica dos 
aparelhos. Estes nada mais são que micro-organismos provenientes da excessiva 
umidade do clima tropical que, quando em seu início, são fáceis de serem 
eliminados, mas deixarem proliferarem-se pode causar danos irremediáveis nas 
lentes e prismas (caso da estação total), pois eles liberam uma substância ácida, 
corrosiva, para os elementos óticos. 
 
 Após longos períodos de utilização sob condições adversas, aliando-se outros 
fatores como o pó em obras de construção civil e estradas, é fundamental que o 
aparelho passe por uma revisão geral para que volte a funcionar perfeitamente 
(jatos de ar muitas vezes são suficientes). Caso contrário o acúmulo destes 
agentes vai agindo gradativamente nos elementos mecânicos provocando 
desgastes, folgas e por vezes o bloqueio dos movimentos levando à necessidade 
de substituírem-se as peças defeituosas. 
 
 Complementarmente, é aconselhável somente após a utilização do 
instrumento, limpá-lo externamente, com um pincel macio, tirando-se o pó, e a 
ótica externa com algodão embebido em um pouco de álcool, com cuidado e 
observando a presença de areia, a qual riscaria as lentes. Após isto, o aparelho 
deve ser guardado em local ventilado e seco. Caso tenha apanhado chuva, 
convém guardá-lo com a tampa do estojo aberta. 
 
 Para finalizar frisa-se que o prazo médio para se realizar uma revisão numa 
empresa espcializada é de um ano e meio, podendo, em casos de trabalho intenso 
diminuir este prazo. Para a verificação das colimações vertical e horizontal e do 
ajuste do prumo ótico, aconselha-se verificá-los pelo menos três vezes por ano 
ou no início de cada obra, evitando-se assim ter que repetir o levantamento caso 
haja algo errado. 
 
Observando-se estes cuidados, seu aparelho estará sempre valorizado além de 
prolongar a sua vida útil e garantir condições ideais de uso que significa confiabilidade 
no mesmo. 
 
 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 41 
5.3. Processos de medição de distânciasOs processos de medição de distâncias horizontais e verticais podem ser 
considerados em três tipos, conforme os instrumentos de medição utilizados para 
mensuração do comprimento. São eles: Medição direta (apenas nas medições de 
distâncias horizontais), medição indireta e medição eletrônica. 
 
 
5.3.1. Processo de medição direta 
 
 Uma medida é considerada direta se o instrumento usado apoiar-se no terreno ao 
longo do alinhamento, ou seja, a medida da distância horizontal é feita por meio de 
instrumento de medida aplicado diretamente sobre o terreno. Assim, percorrendo o 
alinhamento a ser medido, determina-se o número de vezes que a unidade escolhida está 
contida nele e, multiplicando este número pelo valor da unidade empregada ter-se-á a 
distância percorrida. 
 
Os principais dispositivos utilizados na medida direta de distância, também 
conhecidos como diastímetros, são as trenas de fibra de vidro. Elas são feitas de 
material bastante resistente, com o comprimento total variando até 100 metros. São as 
mais usadas, em relação aos demais tipos de trena encontradas no mercado (lona, aço), 
porque deformam menos quando expostas a variações de tensão e temperatura, além de 
não se deteriorarem facilmente. São altamente resistentes à unidade e a produtos 
químicos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trena de fibra de vidro 
com invólucro 
Trena de fibra de vidro 
sem invólucro 
Trena de fibra de vidro 
com invólucro 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 42 
Apesar da qualidade e da grande variedade de diastímetros disponíveis no 
mercado, toda medida direta de distância só poderá ser realizada se for feito uso de 
alguns acessórios especiais. Os principais são: 
 
 
Piquete 
 
 Estaca feita de madeira resistente a intempéries, com a superfície do topo plana 
(com taxa ou marcação em cruz) e apontada na outra extremidade. O comprimento para 
a cravação vai depender da dureza do terreno, mas parte dele (cerca de 10cm) deve 
permanecer visível. 
 
 Sua principal função é a materialização de um ponto topográfico no terreno. 
Ponto topográfico é aquele escolhido no terreno, que serve como vértice ou ponto de 
balizamento em uma operação topográfica de levantamento ou demarcação. 
 
 
Estaca 
 
 Pedaço de madeira, com dimensões maiores do que a do piquete e chanfrada na 
parte superior. O chanfro permite uma inscrição numérica ou alfabética, que pertence ao 
piquete testemunhado. Ela deve ser cravada a cerca de 50cm do piquete com o chanfro 
voltado para o mesmo. 
 
 A finalidade dessa estaca é possibilitar achar a posição do piquete, que por ter 
sido cravado quase rente ao solo, há dificuldade em achá-lo. 
 
 
Ficha 
 
 Haste de ferro ou aço de pequeno diâmetro com comprimento variável entre 35 e 
55cm. Uma das extremidades é pontiaguda e a outra em formato de argola. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Jogo de fichas e argola 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 43 
É utilizada na marcação de lances efetuados com o diastímetro, quando a 
distância a ser medida é superior ao comprimento deste. 
 
Baliza 
 
 Haste feita de metal, arredondado, sextavado ou oitavado, com 2 metros de 
comprimento, inteiriça ou desmontável, pintada alternadamente de branco e de 
vermelho. Possui uma ponta em uma das extremidades, para facilitar o posicionamento 
sobre a taxa do piquete. 
 
 É usada no terreno (delimitando ou balizando alinhamentos), juntamente com o 
pique, e para executar lances com diastímetro. 
 
 Na materialização do ponto topográfico a baliza deve coincidir com a taxa ou 
marcação em cruz do piquete não deixando de ficar na vertical. Para tanto, o operador 
deve tentar fazê-la ficar em equilíbrio e aprumada, ao mesmo tempo em que deverá 
fixar os olhos no outro operador. 
 
 
 
 
 
 
Nível de cantoneira 
 
 Haste em forma de cantoneira acoplável à baliza e dotada de bolha circular. 
Permite à pessoa que segura a baliza (balizeiro) posicioná-la corretamente na vertical 
sobre o piquete ou sobre o alinhamento a medir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Baliza de seção circular desmontável 
Nível de cantoneira 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 44 
Caderneta de campo 
 
 É um documento onde são registrados todos os elementos levantados no campo, 
tais como, leituras de distâncias, ângulos, croquis dos pontos, etc. normalmente são 
padronizadas, todavia nada impede que a empresa responsável pela operação adote 
cadernetas que melhor atendam às suas necessidades. 
 
 
Métodos de medição direta 
 
 As medidas de distâncias horizontais entre dois pontos A e B, por exemplo, 
devem ser projetadas em um plano horizontal, seguindo a orientação da projeção 
ortogonal dos pontos anteriormente discutida. 
 
O que se indaga é: Se esses pontos estiverem muito distantes um do outro, ou se 
não forem visíveis um do outro, como medir distâncias entre eles usando um 
diastímetro? Aí surge a necessidade de se pensar em trabalhar em um ou mais lances: 
 
 
O lance único: 
 
Diz-se que o lance de medição é único, quando â distância do ponto A ao ponto 
B é inferior ao comprimento do diastímetro. Neste caso, a equipe de trabalho composta 
por três membros, um balizeiro de ré, um de vante e um apontador, consegue fazer a 
medição. 
 
 
Vários lances: 
 
Neste caso, a distância entre os pontos A e B supera o comprimento do 
diastímetro, necessitando-se fazer várias medições. A equipe de trabalho aumentará em 
mais um operador, o balizeiro intermediário. 
 
Na medição, depois de executado o primeiro lance, o balizeiro intermediário 
marca o final do diastímetro com uma ficha. O balizeiro de ré ocupa a posição do 
balizeiro intermediário, e este, por sua vez, ocupará nova posição ao final do distímetro. 
Repete-se o processo de deslocamento das balizas (ré e intemediário) e de marcação dos 
lances até que se chegue ao ponto B onde deve está localizado o balizeiro de vante. 
 
Obs.: Existe, ainda, a possibilidade dos pontos A e B não serem visíveis um do 
outro. Neste caso, serão necessários, além dos balizeiros de ré e de vante, mais dois 
balizeiros intermediários, totalizando quatro balizeiros. A medição poderá acontecer 
somente quando estiver assegurada a linha AB. Para tanto, os dois balizeiros 
intermediários (veja figura) M e M‟ devem se posicionar no ponto de invisibilidade, de 
maneira que M‟ consiga ver A e M consiga ver B. 
 
Para conseguir o alinhamento, o balizeiro M‟ orienta o balizeiro M para que ele 
fique na linha AM‟. Em seguida, e da mesma forma, o balizeiro M orienta o balizeiro 
M‟ para que ele fique na linha MB. Essa operação será repetida tantas vezes seja 
necessária até que não haja mais a necessidade de corrigir a linha. Nesse momento 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 45 
estará assegurado o alinhamento entre A e B. Coloca-se fixas nos pontos onde estão M e 
M‟, e inicia-se a medição da distância AB. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cuidados na medição de distâncias diretas: 
 
 É preciso que se tomem alguns cuidados quando da realização de medidas de 
distâncias com diastímetros. Alguns podem ser citados: 
 
 
▪ que os operadores se mantenham no alinhamento a medir; 
 
 A inobservância a esse cuidado ocasiona o erro que chamamos de desvio lateral.Para eliminar ou minimizar este erro, deve-se ao longo da linha a ser medida, fixar fixas 
espaçadas, entre si, de uma distância menor que o comprimento a ser utilizado do 
diastímetro a ser utilizado na medida. O alinhamento dessas fixas deve ser feito com o 
uso de balizas ou mesmo de medidores de ângulo. 
 
 
 
 
 
 
▪ que se assegurem da tensão nas extremidades do diastímetro 
 
 A falta de tensão nas extremidades do diastímetro aumenta a flecha que já 
aparece devido ao seu peso próprio. Embora não se possa eliminar essa flecha, também 
conhecida como catenária, pode-se diminuir os seus efeitos, mantendo-se as 
extremidades do diastímetro sempre bem tencionadas e evitando longos lances nas 
medições. 
M 
A B 
M‟ 
● 
● 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 46 
 
 
 
 
▪ que se assegurem da horizontalidade do diastímetro 
 
 Caso o diastímetro não seja posicionado em nível, dizemos que o erro cometido 
é de horizontalidade. A minimização ou eliminação desse tipo de erro vai depender da 
experiência dos operadores, ou da utilização de uma mangueira de nível nas duas 
balizas que limitam o trecho da medição. 
 
Mangueira de nível é uma mangueira de água transparente que permite, em 
função do nível de água das extremidades, proceder à medida de distâncias com o 
diastímetro na horizontal. 
 
 
 
▪ que se assegurem da verticalidade da baliza 
 
 Muitas vezes, no afã de diminuir o efeito da catenária, o operador exerce grande 
esforço para tensionar o diastímetro, e esquece de tomar os cuidados com a 
verticalidade da baliza, puxando-a mais para o seu lado e, conseqüentemente, 
desviando-a da vertical. 
 
Esse erro que chamamos de erro de inclinação da baliza pode ser evitado 
quando se acopla à haste da mesma um nível de cantoneira, ou minimizado, fazendo-se 
a medição com o diastímetro na parte mais baixa das balizas. 
 
 
 
 
 
5.3.2. Processo de medição indireta 
 
 Diz-se que o processo de medida de distâncias é indireto quando estas distâncias 
são calculadas em função da medida de outras grandezas com ela relacionada 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 47 
matematicamente, não havendo, portanto, necessidade de percorrê-las para compará-las 
com a grandeza padrão. 
 
Os principais instrumentos utilizados na medida indireta de distância são os 
teodolitos e níveis. Os teodolitos são utilizados na leitura de ângulos horizontais e 
verticais e da régua graduada. O nível é utilizado somente para a leitura de régua. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Entretanto, toda medição de distância indireta necessita de acessórios especiais 
(além dos já conhecidos) não apenas para estacionar o instrumento, mas também para 
possibilitar o ponto onde se deseja a distância horizontal ou vertical. Destarte, podemos 
enumerar os principais: 
 Teodolito mecânico Teodolito mecânico 
 de leitura externa ótico prismático com 
 leitura interna 
Nível mecânico 
de leitura interna 
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Tripé 
 
 Peça de madeira ou alumínio utilizada para estacionar o trânsito ou nível sobre o 
terreno. Pode se apresentar em madeira ou alumínio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mira graduada ou régua 
 
 
 Régua de alumínio, madeira ou PVC, graduada em „m‟, „dm‟, „cm‟ e em 
algumas em „mm‟, de comprimento máximo de 7m. É utilizada na determinação de 
distâncias horizontais e diferença de nível entre pontos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 tripé em alumínio e madeira tripé em madeira 
Parte de uma régua 
graduada de alumínio 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 49 
Métodos de medição indireta: 
 
 As medidas diretas podem ser medidas por dois métodos: 
 
 
 Taqueométrico 
 
É um método de medição de distâncias horizontais e diferença de nível. Os 
taqueômetros funcionam, na verdade, como teodolitos ou níveis, porque estes são 
dotados de fios estadimétricos. 
 
O método consiste em visar uma régua graduada estacionada no ponto onde se 
deseja as distâncias, e fazer três leituras nos fios estadimétricos (Ls, Lm e Li). Os 
ângulos verticais ou zenitais, correspondentes, e a altura do instrumento devem ser 
anotados. As distâncias serão determinadas a partir de fórmulas taqueométricas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dependendo do tipo de ângulo lido no instrumento (vertical β ou zenital Z), as 
fórmulas podem ser: 
 
 
 
 
 
 
 
Elementos das fórmulas: 
 
 DH = distância horizontal; 
 DN = diferença de nível; 
 Ls = leitura no fio superior (conveniente em milímetros); 
 Li = leitura do fio inferior (conveniente em milímetros); 
Lm = leitura do fio médio (conveniente em milímetros) 
Z = distância zenital em teodolito que possui a origem do ângulo vertical no 
zênite (entenda-se por zênite a direção contrária a direção do fio de prumo 
prolongada ao infinito); 
β = ângulo vertical em teodolito que possui a origem deste ângulo no horizonte; 
 AI = altura do instrumento; 
DH 
Li 
Ls 
Lm (fio médio) 
Z 
β 
β 
 DH = (Ls – Li) . 100 . cos
2β e DN = DH . tgβ + AI - Lm 
AI DN 
 DH = (Ls – Li) . 100 . sen
2
Z e DN = DH . cotgZ + AI - Lm 
 
 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 50 
Exemplo elucidativo: 
 
 Ls = 2351mm; 
Lm =1846mm; 
Li = 1341mm; 
Z = 254°36'14"; 
AI = 1,53m; 
Quanto vale DH e DN? 
 
Solução: 
 
DH = (Ls–Li).100.sen
2
Z = (2351–1341).100.sen2254°36'14" = 93881mm 
DH = 93,881m 
 
 DN = DH.cotgZ + AI - Lm = 93,881.cotg254°36'14" + 1,53 – 1,846 = 25,536m. 
 Estando Z compreendido entre 90º e 270º, é necessária a troca do sinal de DN, 
porque a visada é descendente. 
Logo, 
DN = -25,536m. 
 
 
 Trigonométrico 
 
Assim como na taqueometria, a trigonometria consiste na visada em uma régua 
graduada, só que apenas no fio de retículo Lm, anotando-se, também, o ângulo vertical 
ou zenital e a altura do instrumento. 
 
As leituras na mira devem ser feitas deslocando o fio médio para o ponto mais 
baixo da mira (Lm1), lendo o ângulo vertical ou zenital correspondente. Em seguida, 
deslocando-se o fio médio para um ponto acima da primeira leitura e efetua-se nova 
leitura (Lm2) e do ângulo. 
 
Como, normalmente, se faz uma terceira leitura, para realizar cálculos médios, 
sobe-se novamente o fio médio deixando-o no ponto mais alto da mira e efetua-se a 
leitura (Lm3), não esquecendo de fazer a leitura do ângulo vertical ou zenital 
correspondente. As distâncias serão determinadas a partir de fórmulas trigonométricas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
β2 
β1 
DH 
L1 
L2 
Z2 
Z1 
AI 
DN 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 51 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elementos das fórmulas: 
 
 DH = distância horizontal; 
DN = diferença de nível;L1 = primeira leitura na mira (conveniente em milímetros); 
 L2 = Segunda leitura na mira (conveniente em milímetros); 
Z1 = primeira distância zenital no teodolito que possui a origem do 
ângulo vertical no zênite; 
Z2 = Segunda distância zenital no teodolito; 
β1 = primeiro ângulo vertical no teodolito que possui a origem deste 
ângulo no horizonte; 
β2 = segundo ângulo vertical no teodolito; 
AI = altura do instrumento; 
 
Para uma mira de 4m de comprimento, por exemplo, estudos revelam que o 
limite de aplicação da trigonometria para obtenção de precisão de 1:5000 tem as 
seguintes distâncias máximas: 
 
 
TEODOLITO DISTÂNCIA MÁXIMA 
1" 250m 
6" 200m 
10" 150m 
20" 100m 
 
 
 
Exemplo elucidativo: 
 
AI = 1,39m; 
L1 = 200mm; 
L2 = 300mm; 
L3 = 7500mm; 
Z1 = 90°51'20" 
Z2 = 90°47'10" 
Z3 = 85°52'30" 
Quanto vale DH e DN? 
 
Solução: 
 
DH1 = (L3 – L1) ÷ (CotgZ3 – CotgZ1) 
 = (7500 – 200) ÷ (Cotg85°52'30" - Cotg90°51'20") 
 = 83857mm ou 83,857m 
DH = L2 – L1 DN = DH . cotgZi + AI - Li 
 CotgZ2 – CotgZ1 
DH = L2 – L1 DN = DH . tgβi + AI - Li 
 tgβ2 – tgβ1 
β acima do horizonte é (+) 
β abaixo do horizonte é (-) 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 52 
DH2 = (L3 – L2) ÷ (CotgZ3 – CotgZ2) 
 = (7500 – 300) ÷ (Cotg85°52'30" - Cotg90°47'10") 
 = 83876mm ou 83,876m 
DHmédia = (DH1 + DH2) ÷ 2 
 = 83867mm ou 83,867m 
 
DN1 = DH1 . cotgZ1 + AI – L1 
 = 83857.cotg90°51'20" + 1390 – 200 
 = - 62,2677mm ou – 0,062m 
DN2 = DH2 . cotgZ2 + AI – L2 
 = 83876.cotg90°47'10" + 1390 – 300 
 = - 60,8699mm ou – 0,061m 
DNmédia = (DN1 + DN2) ÷ 2 
 = - 61,5688mm ou - 0,0615m 
 
 
Cuidados na medição de distâncias indiretas: 
 
 É preciso que se tomem alguns cuidados quando da realização de medidas de 
distâncias indiretas. Alguns podem ser enumerados: 
 
 
▪ na medida do ângulo (vertical ou zenital) 
 
A influência da leitura do ângulo (zenital ou vertical) na distância horizontal é 
mínima, pelo menos na taqueometria. Contudo, estudos mostram que um erro de 30' na 
medida do ângulo vertical ocasiona um erro de 1cm na medida da distância horizontal. 
 
Para atenuar a influência do erro no ângulo vertical na distância horizontal, 
efetua-se a medida do ângulo vertical nas posições direta e inversa do taqueômetro. 
 
 
▪ na focalização dos fios de retículo 
 
Para atenuar a influência de erros no ângulo (vertical ou zenital), deve-se 
focalizar bem os fios de retículo. 
 
 
▪ na hora dos trabalhos de campo 
 
O efeito do sol ao meio dia faz tremer os fios estadimétricos, impossibilitando a 
sua leitura, principalmente, na avaliação dos milímetros. Para atenuar o efeito deve-se, 
sempre que possível, evitar os trabalhos de taqueometria no período das 10:30hs às 
13:30hs. O posicionamento do fio inferior a um metro acima do solo diminui o efeito da 
reverberação. 
 
▪ no posicionamento do fio inferior (na taqueometria) e médio (na trigonometria) 
 
 Em vistas muito próximas ao solo, principalmente nos horários de sol „quente‟, 
ocorre o desvio da visada na régua graduada por efeito de um fenômeno natural 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 53 
chamado refração atmosférica, que acaba por ocasionar erro das distâncias. Para atenuar 
esse efeito da refração, deve-se posicionar o fio inferior ou médio, conforme o caso, a 
um metro acima do solo. 
 
 
▪ na inclinação da mira 
 
Quando a mira não está devidamente posicionada na vertical, o segmento lido 
(Ls – Li), no caso da taqueometria, ocasionará erro na medida da distância horizontal, 
resultando sempre valor superior ou inferior ao que deveria ser. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
▪ na iluminação da mira 
 
 Devem-se evitar leituras na mira, quando a luneta está posicionada com a 
objetiva contra o sol, porque os valores observados podem discrepar do que deveria ser. 
 
 
▪ na conservação da mira 
 
 Miras com desgaste na pintura devem ser substituídas. 
 
 
▪ na leitura da mira 
As miras normalmente são graduadas em centímetros. Para distâncias superiores 
a 100m fica difícil uma avaliação precisa do milímetro. 
 
 
5.3.3. Processo de medição eletrônica 
 
 A medida eletrônica de distâncias não pode ser considerada um tipo de medida 
direta, pois não necessita percorrer o alinhamento a medir para obter o seu 
comprimento, nem por isso deve ser considerado um tipo de medida indireta, pois não 
envolve a leitura da régua graduada e cálculos para a obtenção das distâncias 
horizontais ou mesmo verticais. 
 
 Na verdade, durante uma medição eletrônica o operador intervém muito pouco 
na obtenção das medidas horizontais e verticais, pois todas são obtidas automaticamente 
através de um simples apertar de botão. Entretanto, esse tipo de medição não isenta o 
operador das etapas de estacionamento e outras que serão discutidas posteriormente, 
qualquer que seja a tecnologia envolvida no processo. 
 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 54 
 A medida eletrônica de distâncias baseia-se na emissão/recepção de sinais 
luminosos (visíveis ou não) ou de microondas que atingem um anteparo ou refletor. O 
instrumento calcula eletronicamente a distância entre o emissor/receptor e o anteparo ou 
refletor em função do tempo que o sinal emitido leva para atingir o alvo, ser refletido e 
recebido de volta; a freqüência e o comprimento de onda são conhecidos pelo 
dispositivo do instrumento. 
 
Assim, entre os principais equipamentos utilizados atualmente na medida de 
distâncias, e mesmo de ângulos, pode-se citar a trena eletrônica, o teodolito eletrônico, o 
distanciômetro eletrônico, a estação total, o nível digital e a lazer e os equipamentos 
motorizados, automáticos e robotizados: 
 
 
Trena eletrônica 
 
 Dispositivo eletrônico composto de um emissor/receptor de sinais que podem se 
pulsações ultra-sônicas ou feixe de luz infravermelho. Na determinação de distâncias 
horizontais acima de 50 metros, é necessário utilizar um alvo eletrônico para a correta 
devolução do sinal emitido. A distância é calculada quando o sinal emitido pelo 
dispositivo é recebido de volta. Ela não mede distâncias verticais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teodolito eletrônico 
 
 Instrumento que possui mecânica de precisão, facilidade de utilização e altíssima 
confiabilidade na leitura de ângulos horizontais e verticais. Normalmente faz parte de 
um sistema modular que permite adaptar outros equipamentos (distanciômetro, trena 
eletrônica, etc.), que permitem medição eletrônica de distâncias horizontais e verticais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trena eletrônica 
Teodolito eletrônico com 
trena eletrônica acoplada 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 55 
Distanciômetro eletrônico 
 
 Equipamento exclusivo para medição eletrônica de distâncias horizontais e 
verticais, podendo ainda medir distâncias inclinadas. A tecnologia utilizada na medição 
destas distâncias é a do infravermelho. O alcance varia de 500m a 20000m e depende da 
quantidade de prismas utilizados para a reflexão do sinal, bem como, das condições 
atmosféricas. 
 
 Prisma é um espelho circular, de faces cúbicas, acoplado a uma haste e que tem 
por finalidade refletir o sinal emitido pelo aparelho precisamente na mesma direção em 
que foi recebido.A haste deve ser posicionada sobre o ponto a medir, na posição 
vertical, com a ajuda de um nível de bolha. 
 
Trabalhos de altíssima precisão requerem que o prisma (ou conjunto de prismas) 
seja apoiado sobre uma base niveladora que deve está posicionada sobre um tripé. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estação total 
 
Instrumento que incorpora o teodolito eletrônico mais distanciômetro eletrônico 
e possui um microprocessador que, automaticamente, monitora o estado de operação do 
instrumento. A tecnologia utilizada na medição de distâncias é a do infravermelho. 
Vistas posterior (teclado e visor) e anterior (emissor e receptor de infravermelho) 
De um distanciômetro 
Conjunto de haste e prismas acoplados a bases niveladoras. 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 56 
Portanto, a estação total representa um instrumento completo, pois permite 
medir ângulos verticais e horizontais, distâncias horizontais, verticais e inclinadas, além 
de fazer monitoramento das condições de nivelamento do instrumento, altitude do 
ponto, altura do aparelho, etc. 
 
O instrumento é dotado, ainda, de um coletor de dados (conectado ao 
instrumento) para registrar as etapas do levantamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nível digital 
 
 O seu funcionamento está baseado no processo digital de leitura, ou seja, num 
sistema eletrônico de varredura e interpretação de padrões codificados (como o código 
de barras nos produtos de supermercado) numa régua graduada em códigos de barra. 
 
É utilizado para medição eletrônica de distâncias horizontais e diferenças de 
nível. Na determinação das distâncias, o aparelho deve ser apontado e focalizado sobre 
a régua que deve estar aprumada com a ajuda de um nível de bolha circular. Os valores 
medidos podem ser armazenados internamente ou em coletores de dados, como nas 
estações totais. O alcance vai depender do aparelho e das condições ambientais (luz, 
calor, vibrações, sombra, etc.). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Coletor de dados e estação total de alcance de 2Km com um prisma 
Nível digital e régua graduada em código de barras 
 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 57 
Nível a lazer 
 
É um tipo de aparelho que não é provido de luneta nem visor LCD e funciona 
baseado na tecnologia do raio infravermelho; a leitura da altura da régua graduada (Lm), 
utilizada no cálculo das distâncias por estadimetria, é efetuada diretamente sobre a 
mesma, com o auxílio do detetor lazer. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O detetor lazer é dotado de um visor que automaticamente se ilumina e soa uma 
campainha ao detectar o raio emitido pelo nível. Uma régua de alumínio, metal ínvar ou 
fibra de vidro deve se utilizada como suporte para o detetor. Assim como o nível digital, 
o nível a lazer é utilizado na obtenção de distâncias verticais ou diferenças de nível e 
também não mede ângulos. Conquanto, é desprovido de luneta. 
 
 
E equipamentos motorizados, automáticos e robotizados 
 
São versões mais sofisticadas de teodolitos ou estações totais, à base de raios 
infravermelhos (ou microondas), destinados a medições de altíssima precisão 
(geodésia). 
 
Os motorizados (Programáveis) são indicados para medição em que não há 
necessidade de contato com o objeto a ser medido e em tarefas que requerem valores 
medidos a intervalos regulares de tempo. Por exemplo, o monitoramento de recalque de 
uma superestrutura ou deslocamentos de terra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Conjunto régua graduada nível a lazer nível a lazer 
 e detetor a lazer 
Estação total convencional (motorizada) 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 58 
Os automáticos combinam a tecnologia dos motorizados com o reconhecimento 
automático do alvo (estático ou dinâmico). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O robótico combina a tecnologia dos automáticos com o acionamento por 
controle remoto. Um levantamento utilizando uma estação total robótica carece de 
apenas um operador para segurar o sinal refletor e controlar remotamente a estação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cuidados na medição de distâncias eletrônicas: 
 
É preciso que se tomem alguns cuidados durante a medida eletrônica de 
distâncias, mesmo que os instrumentos sejam altamente precisos e de fácil utilização, 
porque erros semelhantes aos discutidos, anteriormente, nas medições indiretas de 
distâncias podem ocorrer nas medições eletrônicas. Assim: 
 
 
▪ na medida do ângulo, o centro do retículo do aparelho (cruzeta) pode não coincidir 
com o centro do prisma que compõe o sinal refletor, o que ocasionaria erro de pontaria. 
 
 
▪ quando a projeção do centro do sinal-refletor não coincide com a posição do ponto 
sobre o qual está estacionado ocorre um erro que chamamos de erro linear de 
Estação total robotizada 
Estação total com reconhecimento 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 59 
centragem do sinal-refletor. Pode ser evitado utilizando um bipé para o correto 
funcionamento do sinal sobre o ponto. 
 
▪ erros podem ocorrer também na centragem e nivelamento do instrumento. 
 
▪ a falta de familiaridade do operador com as funções do instrumento, programas e 
acessórios informatizados contribui para os erros de operação do instrumento. 
 
 
5.3.4. Processo de medição por satélites 
 
 A localização por satélites é uma prática muita empregada atualmente em 
serviços topográficos e geodésicos. É baseada em posicionamento global (localização 
espacial) do ponto, de onde se obtém as suas coordenadas planas (E,N) ou geográficas 
(λ,φ), além da altitude. O equipamento utilizado é denominado Global Positioning 
System – GPS. O GPS não é utilizado na medida de ângulos e/ou distâncias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O posicionamento de pontos por GPS 
 
 Os receptores GPS estacionados em qualquer parte da superfície da terra só 
funcionam, porque existe uma constelação de satélites orbitando sobre a terra vinte e 
quatro horas por dia, em planos inclinados em relação à linha do equador. Essa 
constelação permite, a qualquer hora do dia ou da noite, o rastreamento de pelo menos 
quatro satélites para elevações acima de 15º, em relação à linha do horizonte. 
 
Em qualquer tempo, cada satélite emite uma mensagem que, a grosso modo, 
significa: “Eu sou o satélite X, minha posição atual é Y e esta mensagem foi enviada no 
tempo Z”. Esta mensagem é recebida pelos receptores que, em função da diferença de 
tempo entre a recepção das mesmas, calculam as suas distâncias em relação a cada 
satélite. 
 
Constelação de satélites - Sistema TRANSIT 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 60 
Dessa forma, a determinação da localização de um ponto (veículo, alvo, ponto 
topográfico ou geodésico, etc.) na superfície terrestre segue o princípio da triangulação, 
onde com um mínimo de três referências (satélites) o receptor obtém seu 
posicionamento em duas dimensões, correspondentes a E,N ou λ,φ. Uma quarta 
referência adiciona a componente altitude, que completa a posição do ponto em três 
dimensões, permitindo maior precisão na sua localização. 
 
E como se efetivam as determinações da posição dos satélites e dasdistâncias 
deles ao receptor? 
 
▪ A determinação da posição do satélite provém de um conjunto de parâmetros 
previstos para todos os satélites, o chamado almanaque que é, em geral, 
armazenado na memória do receptor, além de ser constantemente transmitido 
pelos satélites. Eventuais desvios na órbita de cada satélite, detectados pelas 
estações de controle, definem novos parâmetros, que a descrevem de modo ainda 
mais preciso, e cujo conjunto é chamado de efemérides, também incluído nas 
mensagens transmitidas pelos satélites (cada satélite transmite suas próprias 
efemérides, enquanto todos transmitem todo o almanaque). Com todos esses 
dados, os receptores podem „rastrear‟ os satélites „visíveis‟, determinando sua 
posição a cada instante. 
 
▪ A determinação da distância de um satélite ao receptor é calculada, e de 
maneira indireta. Na verdade, o que o receptor mede é o intervalo de tempo 
necessário para o sinal percorrer a distância entre satélite e receptor. 
Multiplicando esse tempo pela velocidade de deslocamento do sinal, o receptor 
obtém a sua distância ao satélite. 
 
Ocorre que a medição do tempo de percurso do sinal é afetada pela baixa 
precisão do relógio interno do receptor. Com isso, a distância do receptor a cada 
satélite apresenta um erro considerável, sendo, então, chamada de pseudo-
distância. Porém, ao se tomarem as distâncias a pelo menos 4 satélites 
diferentes, num mesmo instante, os efeitos da imprecisão do relógio se anulam. 
É por isso que um receptor precisa, também, captar sinais enviados por, no 
mínimo, 4 satélites. 
 
Portanto, a precisão na determinação da posição de um receptor e, 
conseqüentemente, das suas coordenadas, depende da precisão das posições dos satélites 
e das distâncias a eles. 
 
 
As mensagens dos satélites aos GPSs 
 
As mensagens dos satélites são emitidas através de sinais de radiofreqüência, 
baseados em uma freqüência fundamental (fo) de 10,23MHz. Desta se obtém duas novas 
freqüências operacionais, multiplicando-se a fo por pelas constantes 154 e 120, gerando 
as ondas portadoras pertencentes à banda L, quais sejam: L1 e L2 respectivamente. 
Banda L é uma gama de freqüências eletromagnéticas entre 390 e1550MHz. A 
transmissão GPS se localiza nesta banda, razão da denominação das portadoras L1 e L2. 
 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 61 
Essas duas ondas portadoras (L1 e L2) são moduladas em fases no satélite, 
gerando códigos chamados Pseudo Randon Noise – PRN, de ruído falsamente aleatório, 
sendo únicos e empregados para identificação dos satélites. Uma vez, demoduladas 
pelos receptores, permitem aumentar a precisão no posicionamento do ponto. Os 
códigos que formam o PRN são basicamente os C/A e P. Existe ainda o código D que 
gera no interior do receptor o almanaque de efemérides dos satélites. 
 
O código C/A é o principal componente do serviço de posicionamento padrão – 
SPS disponibilizado para uso civil. Opera na freqüência de 1,023 MHz com grande 
comprimento de onda por volta de 300 metros. 
 
O código P é transmitido na mesma freqüência da freqüência fundamental: fo = 
10,23 MHz, gerando um comprimento de onda da ordem de 30 metros. A maior 
freqüência e o menor comprimento de onda para este código, tornam ele muito mais 
preciso que o código C/A, por isso que ele é reservado ao uso militar e aos usuários 
autorizados. 
 
 
As fontes de imprecisão no posicionamento 
 
O erro na determinação da posição de um satélite pode ocorrer em função de um 
eventual desvio de órbita e do atraso com que esse desvio é detectado pelas estações de 
controle e registrado nas efemérides dos satélites (pode provocar imprecisão de 2,5m na 
determinação da posição do receptor). Já a medição da distância entre satélite e receptor 
pode ser afetada por uma série de fatores: Desvios nos relógios dos satélites que não 
podem ser detectados pelos receptores (efeito de aproximadamente 1,5m na posição do 
receptor); variação da velocidade dos sinais eletromagnéticos emitidos pelos satélites 
receptores (efeito de aproximadamente 5,5m na posição do receptor); o efeito do 
multicaminhamento, isto é, das múltiplas reflexões que o sinal de um satélite pode 
sofrer, em obstáculos próximos à antena do receptor (da ordem de 0,6m). 
 
Todos esses fatores, e, ainda, eventuais imprecisões do receptor GPS, somados, 
conduzem a um erro típico, na determinação da posição do receptor, da ordem da 
dezena de metros. 
 
Finalmente, existem ainda fatores referentes à disposição relativa dos satélites, 
no instante em que seus sinais são captados por um receptor, que definem a chamada 
diluição de precisão. Quanto mais espalhados no céu estiverem os satélites, mais 
precisa é a determinação da posição do receptor. 
 
 
Mecanismos de correção 
 
A técnica chamada de GPS diferencial surgiu para reduzir, ou mesmo eliminar, 
os efeitos das diversas fontes de imprecisão. 
 
O princípio de rastreamento por GPS diferencial é bastante simples: além do 
receptor GPS itinerante, isto é, que se locomove pelos pontos cujas coordenadas se 
deseja determinar, utiliza-se um outro receptor GPS, chamado de base ou de referência, 
que permanece fixo, num ponto cuja posição é bem conhecida. Esse receptor base, 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 62 
utilizando os sinais que recebe dos satélites (código C/A e as portadoras L1 e L2), 
determina a sua posição, sujeita a todos os erros anteriormente descritos. Comparando-a 
com a sua posição real, previamente conhecida, ele pode, a cada instante, determinar o 
erro a que está sujeito o sinal enviado por cada satélite que ele avista. Dessa forma, o 
receptor base pode tentar corrigir os erros dos sinais captados pelo receptor itinerante, 
assumindo que esses erros sejam iguais aos que afetam a determinação de sua própria 
posição. 
 
Destarte, existem também receptores de pequeno porte, chamados de receptores 
de navegação ou autônomos, que utilizam as pseudodistâncias por meio do código C/A 
para o posicionamento. Por não demodularem as informações das portadoras L1 e L2, 
permitem posicionamento mais rápido e dinâmico, contudo, de baixa precisão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, no posicionamento absoluto, emprega-se somente um receptor, 
enquanto que no posicionamento relativo utiliza-se de dois ou mais receptores. No 
entanto, com o advento dos Sistemas de Controle Ativos (SCA), um usuário que 
disponha de um único receptor poderá realizar o posicionamento relativo, desde que 
acesse os dados de uma ou mais estações pertencentes ao SCA. No caso do Brasil, tem-
se a Rede Brasileira de Monitoramento Contínuo - RBMC, a Rede INCRA de Base 
Comunitárias - RIBAC, entre outras, cujos dados de uma ou mais estações podem ser 
introduzidos no processamento, sendo as coordenadas das estações utilizadas para fazer 
a vinculação ao Sistema Geodésico Brasileiro (SGB). 
 
Para os usuários da área de Topografia e Geodésia, uma característica muito 
importante do GPS, em relação aos tradicionais métodos de levantamento, discutidos 
anteriormente, é a não necessidade, no posicionamento diferencial e relativo, de 
intervisibilidade entre as estações. Além de poder ser usado sob quaisquer condições 
climáticas. 
 
 
 
 GPS de navegação GPS diferencial 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 63 
6. MEDIÇÃO DE ÂNGULOS 
 
 
6.1. Introdução 
 
Um dos elementos necessários, além dos alinhamentos,à representação gráfica 
dos pontos topográficos que definem levantamentos topográficos de um terreno, ou a 
sua locação, é o ângulo. 
 
Sabemos que nas operações topográficas cujos instrumentos de medição são os 
GPSs, a determinação dos ângulos entre alinhamentos não pode acontecer: Primeiro, 
porque esses instrumentos não permitem leitura de ângulos e nem tampouco de 
distâncias; segundo, os ângulos se tornam desnecessários (a princípio), já que são as 
coordenadas de cada um são suficientes para confeccionar um desenho. 
 
Entretanto, quando se trata do uso de instrumentos como os diastímetros, 
teodolitos, estações totais e medidores eletrônicos (que não permitem obter diretamente 
no terreno as coordenadas dos pontos), as medidas horizontais e verticais devem ser 
complementadas com ângulos. Portanto, é imprescindível conhecermos a parte da 
topografia relacionada à avaliação numérica de ângulos, e os instrumentos destinados 
para esse fim. 
 
Este capítulo é destinado ao conhecimento dos ângulos, a classificação e, 
também, ao conhecimento dos instrumentos de medição de ângulos na topografia, dada 
a necessidade de levantamento ou locação. Para tanto, dividiremos o estudo em duas 
partes, a goniologia e a goniometria. 
 
 
6.2. Goniologia 
 
 Ângulo é um trecho de um plano compreendido entre duas semi-retas que têm 
origem comum (vértice). 
 
Goniologia é a parte da topografia que estuda, de modo geral, os tipos de 
ângulos e os instrumentos (goniômetros) necessários às realizações das medições. 
 
 
6.2.1. Tipos de ângulos 
 
 Dentre os tipos de ângulos existentes (plano, diedro, triedro e esférico), os 
ângulos construídos na topografia são considerados do tipo plano, porque são formados 
sobre um plano que pode ser horizontal ou vertical. Quando os planos são verticais os 
ângulos formados recebem a denominação de zenital e vertical, e quando horizontais os 
ângulos recebem as denominações de horizontal e de orientação. 
 
A parte do goniômetro para a avaliação de ângulos chama-se limbo. O limbo 
consiste de uma coroa circular graduada, podendo ser de dois tipos: o que mede ângulos 
horizontais e de orientação, chamado de limbo horizontal, e o que mede ângulos zenitais 
e verticais, denominado limbo vertical. O limbo pode, ainda, apresentar-se visível ou 
não ao operador do goniômetro, dependendo do tipo de aparelho utilizado. 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 64 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.2.2. Condições de construção de um ângulo 
 
 A construção de um ângulo mediante o uso de um goniômetro, requer pelo 
menos duas exigências básicas, senão vejamos: 
 
 ▪ que o eixo vertical de rotação do instrumento passe pelo centro do limbo 
graduado horizontal, e tenha a direção normal ao seu plano. Esta condição garante, por 
si só, que o centro do limbo coincida com o vértice do ângulo a ser medido. 
 
▪ que o eixo de colimação do instrumento seja concorrente com o eixo principal 
do instrumento. Esta condição complementa a primeira, pela centralização da luneta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.2.3. Goniômetros 
 
 De acordo com as direções que a luneta pode tomar (horizontal e/ou vertical), os 
goniômetros podem se apresentar sob quatro tipos: Nível, teodolito, estação total e 
bússola. 
Eixo de colimação 
Eixo secundário 
Eixo principal 
Eixos de um goniômetro 
N 
 Zenital Vertical Horizontal Azimutal 
Z 
H 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 65 
 Nível 
 
 Comentamos antes sobre níveis digitais e eletrônicos à base de infravermelho 
(lazer). Os primeiros possuem luneta e permitem medir tanto distâncias verticais como 
horizontais. Os outros não são dotados de luneta e, por conseguinte, mede somente 
distância vertical. 
 
Além desses existem os níveis óticos mecânicos estadimétricos dotados de limbo 
horizontal que permitem, ainda, a medição de ângulos horizontais. Devido à pouca 
precisão angular, quando comparados aos teodolitos modernos e as estações totais, esses 
instrumentos são usados apenas em medições expeditas. 
 
 Medições expeditas são aquelas de baixa precisão, feitas apenas para 
reconhecimento de ângulos ou distâncias no terreno. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teodolito 
 
 Instrumento dotado de luneta, limbo horizontal e vertical. A sua função é a 
medição de distâncias horizontais, verticais e ângulos. 
 
 À parte do instrumento que suporta o conjunto luneta e limbos, com os seus 
parafusos de blocagem e ajuste, chama-se alidade. 
 
 Embora o teodolito tenha sofrido constante avanço tecnológico nas ultimas 
décadas, passando de teodolito mecânico para teodolito prismático e eletrônico, 
costumamos dividi-lo em três categorias: 
 
 
▪ teodolito mecânico 
Nível ótico mecânico – graduação 
do limbo 1º; precisão por Km duplo 
de nivelamento 2,0mm; ampliação 
24x; 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 66 
 Nestes instrumentos os limbos horizontais horizontal e vertical estão localizados 
na periferia da alidade, onde a graduação dos ângulos é visível através de janelas ou de 
parafusos micrométricos. Nestas janelas existe uma parte chamada vernier, que serve 
para apreciar o ângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
▪ teodolito eletrônico 
 
 Da mesma forma que nos teodolitos mecânicos, os eletrônicos também dispõem 
de alidade com limbos horizontais e verticais, só que o sistema de varredura do ângulo é 
Teodolito mecânico modelo TW-20T Teodolito mecânico modelo T1 
 precisão 6 segundos; prumo ótico; precisão 6 segundos; prumo ótico 
Teodolito mecânico modelo CST56-
SCT1– leitura 1 minuto; prumo ótico; 
bússola declinatória 
Teodolito mecânico – leitura 1 minuto; 
fio de prumo; bússola de rumo 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 67 
eletrônico. Não existem janelas ou parafusos micrométricos para as avaliações de 
ângulos. É o „display‟ do instrumento que fornece automaticamente os valores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estação total 
 
 Conforme visto anteriormente, as estações totais permitem a leitura de ângulos 
horizontais e verticais. Por ser uma versão completa do teodolito eletrônico e do 
medidor eletrônico de distâncias, as avaliações de ângulos são mostradas no „display‟ 
do instrumento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Teodolito eletrônico modelo NE203-202 Teodolito eletrônico modelo NE20H-20S 
 de leitura 10 segundos de leitura 20 segundos 
Estação total modelo 
5605DR 200 robótica 
com coletor de dados. 
Leitura angular 1 segundo 
Estação total modelo 
5605DR 200 autolock 
Leitura angular 1 segundo 
Estação total modelo 
GTS 235W 
leitura 1seg e precisão 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 68 
Bússola 
 
Chama-se bússola a uma agulha deaço imantada, suspensa em seu centro de 
gravidade, por um pião. Permite a leitura apenas de ângulos horizontais, e de forma 
expedita, devido à baixa precisão angular (a divisão do limbo é geralmente de grau). Na 
topografia ela pode ser usada para orientação dos alinhamentos. 
 
 
Formas de apresentação 
 
 As bússolas podem se apresentar sob três formas: 
 
 ▪ Bússola de azimute – graduada de 0º a 360º; 
 ▪ Bússola de rumo – graduada de 0º a 90º nos quatro quadrantes; 
▪ Bússola declinatória – graduada de 0º a 360º com dispositivo para aferir a 
declinação magnética; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Existem também as bússolas prismáticas portáteis, com graduação para rumos e 
azimutes, que não podem ser acopladas ao teodolito. Estas possuem um sistema de 
pínulas para sua visada e um prisma de reflexão total para sua leitura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A operacionalização das bússolas será discutida detalhadamente no capítulo 
destinado às medidas de orientação. 
Bússola azimutal acoplada a um 
teodolito 
Bússola prismática 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 69 
6.2.4. Operacionalização de goniômetros 
 
 As principais operações efetuadas com um goniômetro antes de medir ângulos 
são: 
 
▪ Centragem 
 
 Consiste em fazer com que o eixo principal do goniômetro passe pelo ponto 
topográfico. Uma regra prática: 
 
- Regular as pernas do tripé à altura do operador; 
- Deslocar o tripé para o ponto topográfico; 
- Procurar deixar a base do tripé aproximadamente na horizontal, ajustando 
brevemente o prumo de cordão sobre o ponto topográfico; 
- Fixar o goniômetro ao tripé através do parafuso de ancoragem, deixando 
folga para que possa ser feita a perfeita coincidência do prumo de cordão ou 
ótico sobre o ponto topográfico. Satisfeita a condição, fixa-se 
definitivamente o parafuso; 
 
▪ Calagem 
 
 Consiste em fazer com que o prato do goniômetro fique perpendicular ao seu 
eixo principal, ou seja, a horizontalidade do prato do limbo. Uma regra prática: 
 
- Verificar se o parafuso de fixação do movimento geral da alidade está 
apertado; 
- Soltar o movimento da alidade através do parafuso de fixação do movimento 
particular; 
- Escolher dois parafusos niveladores quaisquer e um dos níveis de bolha do 
círculo graduado horizontal. Girar a alidade até o eixo longitudinal do nível 
tubular escolhido ficar paralelo e superposto aos dois parafusos niveladores; 
- Girar os dois parafusos para dentro ou para fora simultaneamente, tornando a 
bolha centrada; 
- Usar apenas o terceiro parafuso para centralizar o segundo nível tubular; 
- Dar um giro qualquer no goniômetro, a fim de verificar a calagem. Com o 
goniômetro calado, os níveis tubulares ficam centrados em qualquer posição; 
 
Ressalta-se que os parafusos calantes podem variar na quantidade, de um 
goniômetro para outro (existem níveis, por exemplo, com apenas um parafuso calante), 
assim como os tipos de níveis de bolha (esférico ou tubular). A posição dos parafusos de 
blocagens e ajustes também é variável, dependendo da marca e do modelo do 
goniômetro. 
 
 
6.3. Goniometria 
 
 É a parte da gionologia que trata da medição de ângulos. O tipo de ângulo a ser 
avaliado vai depender do levantamento, se é horizontal ou vertical: 
 
 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 70 
Levantamento de ângulos horizontais 
 
Para a medida do ângulo horizontal a dois alinhamentos consecutivos, devem ser 
feitas as operações básicas de centragem e calagem sobre um dos pontos que a definem. 
O prolongamento do eixo principal do instrumento deve coincidir com a tachinha ou 
cruz sobre o piquete. Os ângulos podem ser assim classificados: Ângulos internos, 
externos, de deflexão, repetição e reiteração. 
 
Ângulos internos 
 
 O método de leitura do referido ângulo consiste em: 
 
- Executar a pontaria fina sobre o ponto a ré (primeiro alinhamento); 
- Zerar o círculo horizontal do goniômetro nesta posição (procedimento 
padrão Hz = 000º00‟00‟‟); 
- Liberar e girar o aparelho (sentido horário), executando a pontaria (fina) 
sobre o ponto a vante (segundo alinhamento); 
- Anotar ou registrar o ângulo (Hz) marcado no visor ou no vernier 
correspondente ao ângulo horizontal interno medido; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo elucidativo: 
 
 Medir os ângulos Hz dos vértices de 1 a 4, conforme caderneta de campo abaixo: 
 
 
CADERNETA DE LEVANTAMENTO PELO ÂNGULO INTERNO 
 
Est. 
Ponto visado Ângulo 
Horiz. 
Croqui 
Ré Vante 
ponto Horiz ponto Horiz 
P1 4 000º00‟00‟‟ 2 60º18'16" 60º18'16" 
P2 1 000º00‟00‟‟ 3 120º25'56" 120º25'56" 
P3 2 000º00‟00‟‟ 4 60º19'18" 60º19'18" 
P4 3 000º00‟00‟‟ 1 118º56'30" 118º56'30" 
 
 
 
Ângulos externos 
 
 O método de leitura do referido ângulo consiste em: 
 
- Executar a pontaria fina sobre o ponto a ré (primeiro alinhamento); 
Hz1 
Hz3 
Hz4 
Hz2 Ângulos internos medidos numa 
poligonal fechada de quatro vértices. 
1 2 
3 4 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 71 
- Zerar o círculo horizontal do goniômetro nesta posição (procedimento 
padrão Hz = 000º00‟00‟‟); 
- Liberar e girar o aparelho (sentido horário), executando a pontaria (fina) 
sobre o ponto a vante (segundo alinhamento); 
- Anotar ou registrar o ângulo (Hz) marcado no visor ou no vernier 
correspondente ao ângulo horizontal externo medido; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo elucidativo: 
 
 Medir os ângulos Hz dos vértices de 1 a 4, conforme caderneta de campo abaixo: 
 
 
CADERNETA DE LEVANTAMENTO PELO ÂNGULO EXTERNO 
 
Est. 
Ponto visado Ângulo 
Horiz. 
Croqui 
Ré Vante 
ponto Horiz ponto Horiz 
P1 4 000º00‟00‟‟ 2 309º41'44" 309º41'44" 
P2 1 000º00‟00‟‟ 3 241º03'30" 241º03'30" 
P3 2 000º00‟00‟‟ 4 299º40'41" 299º40'41" 
P4 3 000º00‟00‟‟ 1 239º34'04" 239º34'04" 
 
 
 
Ângulos de deflexão 
 
 É o ângulo horizontal que o alinhamento de vante forma com o prolongamento 
do alinhamento à ré num determinado vértice. Este ângulo varia de 0º a 180º, podendo 
ser positivo (deflexão à direita), se o sentido do giro for horário, ou negativo (deflexão à 
esquerda), se o sentido do giro for anti-horário. 
 
O método de leitura do referido ângulo consiste em: 
 
- Executar a pontaria fina sobre o ponto a ré (primeiro alinhamento); 
- Zerar o círculo horizontal do goniômetro nesta posição (procedimento 
padrão Hz = 000º00‟00‟‟); 
- Liberar somente a luneta do aparelho e tomá-la segundo o prolongamento do 
primeiro alinhamento; 
Hz1 
Hz3 Hz4 
Hz2 
Ângulos externos medidos numa 
poligonal fechada de quatro vértices. 
3 
4 1 
2 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 72 
- Liberar e girar o aparelho (sentido horário ou anti-horário) executando a 
pontaria (fina) sobre o ponto a vante (segundo alinhamento); 
- Anotar ou registrar o ângulo (Hz) marcado no visor ou no vernier 
correspondente à deflexão medida; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo elucidativo: 
 
 Medir os ângulos αi dos vértices de 1 a 4, conforme caderneta de campo abaixo: 
 
CADERNETA DE LEVANTAMENTO POR 
DEFLEXÃO 
Est. Deflexão D(m) 
Esquerda Direita 
P1-P2 - 120º25'56" 
P2-P3 - 60º18'16" 
P3-P4 - 118º56'30" 
P4-P1 - 60º19'18" 
 
 
 
Repetição 
 
 Consiste em visar, sucessivamente, os alinhamentos a vante e a ré de um 
determinado ponto, fixando o ângulo horizontal lido e tomando-ocomo partida para a 
medida seguinte. 
 
 O método de leitura do referido ângulo consiste em: 
- Apontar a luneta do goniômetro para o ponto a ré (pontaria fina) e o círculo 
horizontal do mesmo é zerado (procedimento padrão Hz = 000º00‟00‟‟); 
- Em seguida, o aparelho é liberado e a luneta é apontada (pontaria fina) para o 
ponto a vante; 
- O ângulo horizontal resultante é registrado ou anotado; 
- O aparelho é liberado e a luneta é novamente apontada (pontaria fina) para o 
ponto a ré; 
- O ângulo de partida utilizado neste momento para a segunda medida do 
ângulo horizontal não é mais zero, e sim, o ângulo anotado ou registrado 
anteriormente; 
- Liberar novamente o aparelho e aponta-se para o ponto a vante; 
- Um novo ângulo horizontal é anotado ou registrado; 
- O processo se repete um certo número „n‟ de vezes; 
- O processo se repete um certo número „n‟ de vezes; 
Ângulos de deflexão medidos numa 
poligonal fechada de quatro vértices. 
3 
4 1 
2 
Dd 
Dd 
Dd 
Dd 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 73 
 
A este processo de medir sucessivamente várias vezes o mesmo ângulo 
horizontal denomina-se séries de leituras. As séries são compostas, normalmente, de 3 
leituras, dependendo da precisão exigida para o levantamento. O valor final do ângulo 
horizontal, para os alinhamentos medidos, é dado pela relação: 
 
 
 
 
 
 
Exemplo elucidativo: 
 
 Medir o ângulo “α” do vértice A, conforme caderneta de campo abaixo: 
 
 
CADERNETA DE LEVANTAMENTO PELO ÂNGULO DA REPETIÇÃO 
 
Est. 
Ponto visado 
Ângulo 
Horiz. 
Croqui Ré Vante 
ponto Horiz ponto Horiz 
A 1 
0º 
2 
123º18'16" 123º18'16" 
123º18'16" 246º36'16" 123º18'22" 
 
 
Solução: 
 
Quando L0 = 00º, L1 = 123º18'16", L2 = 246º36'38" 
 
α1 = L1 – L0 = 123º18'16" – 0º = 123º18'16" 
α 2 = L2 – L1 = 246º36'38" - 123º18'16" = 123º18'22" 
 
α = (α 1 + α 2 ) = (123º18'16" + 123º18'22") = 123º18'19" 
 2 2 
 
 
Reiteração 
 
 Este método consiste em visar, sucessivamente, os alinhamento a vante e a ré de 
um determinado ponto ou estação, tomando como partida para a medida do ângulo 
horizontal intervalos regulares do círculo. 
 
O método de leitura do referido ângulo consiste em: 
 
- Apontar a luneta do goniômetro para o ponto a ré (pontaria fina) e o círculo 
horizontal do mesmo não deve ser zerado; 
- O ângulo horizontal deve ser registrado ou anotado; 
- Liberar somente a luneta do aparelho e tomá-la no sentido inverso; 
- Em seguida, o aparelho é liberado e a luneta é apontada (pontaria fina) 
novamente para o ponto a ré; 
- O ângulo horizontal resultante é mais uma vez anotado ou registrado; 
Hz = Hzn – Hz1 
 (n-1) 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 74 
- Liberar somente a luneta do aparelho e tomá-la de volta no sentido direto; 
- Libera-se novamente o aparelho e aponta-se, desta vez, para o ponto de 
vante; 
- O ângulo horizontal deve ser registrado ou anotado; 
- Liberar somente a luneta do aparelho e tomá-la no sentido inverso; 
- Em seguida, o aparelho é liberado e a luneta é apontada (pontaria fina) 
novamente para o ponto a vante; 
- O ângulo horizontal resultante é mais uma vez anotado ou registrado; 
 
A reiteração pode ser simples ou múltipla: 
 
Quando a reiteração é simples, ela é efetuada numa única posição do limbo em 
apenas uma série de leituras. Usada para trabalhos de média precisão. 
 
O ângulo horizontal (sentido horário) é determinado pela fórmula 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
 
Posições do instrumento: PD = Luneta tomada na posição direta; 
 PI = Luneta tomada na posição inversa; 
 
 
Exemplo elucidativo: 
 
Determinar o ângulo α do vértice B, conforme caderneta de campo abaixo: 
 
CADERNETA DE LEVANTAMENTO PELA REITERAÇÃO SIMPLES 
Est. PV Leitura na Mira D(m) Ângulo Croqui 
PD PI 
 
B 
 
01 123º18'20" 
113º18'20" 
 
 303º18'12" 
02 236º36'38" 
 56º36'34" 
 
 
Solução: 
 
α = (236º36'38" - 123º18'20") + (56º36'34" - 303º18'12") 
 2 
 
α = (113º18'18") + (- 246º41'46" + 360º) = 113º18'20" 
 2 
 
 
Quando a reiteração é múltipla, ela é efetuada em várias posições do limbo. A 
cada posição denomina-se uma série. 
α = (PD2 – PD1) + (PI2 – PI1) 
2 
 
B 
α 
01 02 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 75 
Para trabalhos que requerem uma maior precisão, recomenda-se efetuar no 
mínimo 3 séries. Nas poligonais geodésicas utilizam-se: 12 séries para levantamento de 
1ª ordem, 6 séries para levantamento de 2ª ordem. 
 
Para um bom trabalho topográfico recomenda-se dividir o limbo do instrumento 
conforme o número de séries. Assim em 3 séries as leituras são efetuadas próximas a 0º, 
120º e 240º. 
 
 
Exemplo elucidativo: 
 
Determinar o ângulo α do vértice B, conforme caderneta de campo abaixo: 
 
 
CADERNETA DE LEVANTAMENTO PELA REITERAÇÃO MÚLTIPLA 
Est. PV SÉRIE Leitura na Mira D(m) Ângulo Croqui 
PD PI 
 
 
 
 
 
B 
 
 
 
 
 
1 
1 00º23'16" 
 
 
 
 
73º03'58" 
 
 180º23'19" 
2 120º10'28" 
 300º10'25" 
3 240º15'34" 
 60º15'33" 
 
 
 
2 
 
1 73º27'14" 
 253º27'12" 
2 193º14'23" 
 13º14'26" 
3 313º19'32" 
 133º19'35" 
 
 
Solução: 
 
α 1 = (73º27'14" - 00º23'16") = 73º03'58" 
α 2 = (253º27'12" - 180º23'19") = 73º03'53" 
α 3 = (193º14'23" - 120º10'28") = 73º03'55" 
α 4 = (13º14'26" - 300º10'25") = 73º04'01" 
α 5 = (313º19'32" - 240º15'34") = 73º03'58" 
α 6 = (133º19'35" - 60º15'33") = 73º04'02" 
 
α = α 1 + α 2 + α 3 + α 4 + α 5 + α 6 = 73º03'58" 
 6 
 
 
Levantamento de ângulos verticais 
 
 
Para a medida do ângulo vertical basta saber que, em alguns aparelhos, poderá 
ser feita da seguinte maneira: 
 
▪ Com origem no horizonte 
 
02 01 
B 
α 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 76 
 Quando recebe o nome de „ângulo vertical‟ propriamente dito, variando de 0º a 
90º em direção ascendente (acima do horizonte) ou descendente (abaixo do horizonte). 
 
▪ Com origem no zênite 
 
 Quando recebe o nome de „ângulo zenital‟ variando de 0º a 360º. 
 
As relações entre o ângulo zenital e o vertical são as seguintes: 
 
 
Ângulo zenital Ângulo vertical ou 
inclinação 
Direção 
000º < V ≤ 90º α = 90º - V Ascendente 
090º < V ≤ 180º α = V - 90º Descendente 
180º < V ≤ 270º α = 270º - V Descendente 
270º < V ≤ 360º α = V - 270º Ascendente 
 
 
 
Levantamento de ângulos de orientação 
 
 
 São ângulos destinados a orientar os alinhamentos num plano topográfico de 
projeção. 
 
Sabe-se que não existe na superfície da Terra uma referência melhor do que o 
seu eixo Norte-Sul para orientar os alinhamentos topográficos, porque a qualquer tempo 
podermos voltar ao campo e retomar os trabalhos achando diversos elementos que a eles 
se achem relacionados. 
 
O capítulo seguinte versará sobre a adoção desse sistema de referência nas 
orientações topográficas e, conseqüentemente, da linha meridiana formada a partir dele, 
bem como dos métodos e instrumentos que permitirão o seu levantamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 77 
7. MEDIDAS DE ORIENTAÇÃO 
 
 
7.1. Introdução 
 
Sabemos da geografia que todae qualquer linha que passe por um ponto 
localizado na superfície da terra, e que vá à direção dos pólos recebe o nome de 
meridiana, e que não existe na superfície da terra uma referência melhor do que esta 
para orientar as navegações (terrestres e aéreas). 
 
Por outro lado, na Topografia, sabemos que os acidentes projetados num plano 
horizontal poderão ocupar diferentes posições, embora estejam levantados em suas 
formas e dimensões naturais. É a introdução do conceito de meridiana nas operações 
topográficas „norteará‟ as mesmas, de forma que em qualquer tempo possamos voltar ao 
campo e retornar os trabalhos achando diversos elementos que a ela se achem 
relacionados. O grande problema reside, entretanto, na escolha dessa meridiana, uma 
vez que ela pode ser magnética ou verdadeira. 
 
Obviamente que nas operações topográficas, cujos instrumentos utilizados são 
os GPSs, o conhecimento da meridiana magnética se torna relativamente desnecessário, 
uma vez que as coordenadas obtidas nos diversos pontos levantados são expressas 
sempre em termos de coordenadas geográficas. Estas permitem analiticamente, a 
obtenção da meridiana verdadeira. O que não ocorre na topografia convencional, cujas 
medidas obtidas se restringem à medição de ângulos, distâncias e declividades. Nesta, a 
obtenção da meridiana (magnética ou verdadeira) se dará, efetivamente, a partir de 
levantamento de campo. 
 
Sendo assim, este capítulo abordará a questão da orientação de projetos 
topográficos, a partir da meridiana magnética, e tratará do método e instrumentos que 
permitirão a obtenção da mesma. 
 
 
7.2. A linha meridiana 
 
 Como já explicitado, anteriormente, a linha que une os pólos Norte ao Sul da 
Terra (aquelas representadas nos mapas geográficos) é denominada linha dos pólos. 
Esses pólos são denominados geográficos ou verdadeiros e, em função disso, a linha 
meridiana que os une, também é tida como meridiana verdadeira. 
 
 No entanto, sabe-se que a terra, devido ao seu movimento de rotação, gera um 
campo magnético fazendo com que se comporte como um grande imã. Assim, uma 
bússola estacionada sobre a superfície terrestre, tem sua agulha atraída pelos pólos deste 
imã. Acontece que, Como estamos falando de propriedades magnéticas, a meridiana 
gerada pelo prolongamento da agulha da bússola (pontas norte e sul) irá de encontro aos 
pólos norte e sul magnéticos, pela atração que sofrerá. Neste caso, porém, os pólos que 
atraem a agulha da bússola são denominados magnéticos, e a meridiana formada é tida 
como meridiana magnética. 
 
Portanto, para cada ponto da superfície da terra podemos ter um plano vertical 
absolutamente imutável que passa por esse ponto e pelos pólos, e que recebe o nome de 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 78 
meridiano verdadeiro ou geográfico, e um plano vertical mutável que não passa 
necessariamente pelos pólos e recebe o nome de meridiano magnético, determinável 
pela agulha da bússola. 
 
 
7.3. Declinação magnética 
 
 O ângulo de declinação magnética (δ) é aquele formado pela variação da 
meridiana magnética em relação à meridiana verdadeira. Este ângulo varia de lugar para 
lugar e também varia num mesmo lugar com o passar do tempo, e será positivo quando 
o norte magnético estiver à direita do norte verdadeiro ou negativo quando o norte 
magnético estiver à esquerda do norte verdadeiro. Quando houver coincidência a 
declinação será nula. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para o cálculo da declinação magnética, pode-se usar utilizar a carta isogônica 
(contém linhas de mesma declinação magnética ou isogônicas) e a carta isopórica 
(contém linhas de mesma variação da declinação magnética ou isopóricas). Ambas são 
publicadas pelo Observatório Nacional do Rio de Janeiro, a cada cinco anos. 
 
Assim, em Palmeira dos Índios no campus do IFAL, por exemplo, a declinação 
magnética de uma linha formada entre o marco geográfico GPS01 e o ponto topográfico 
04 existentes no terreno, é de aproximadamente -24º520‟. Estas informações foram 
obtidas mediante levantamento topográfico astronômico e convencional, mas poderiam 
ter sido obtidas através de consulta a uma carta isogônica o (por interpolação). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
04 
GPS02 
Nv 
- δ + δ δ = 0 
Nv = Nm Nv 
Nm 
Nm 
Nv 
Nm 
Poligonal existente no 
Campus do IFAL/PIn 
δ = -24º20‟ 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 79 
 
 
 
Quanto à escolha de um ou de outro sistema de referência não implica em erro 
na orientação. O que vai definir a escolha é o rigor do trabalho a ser apresentado. Os 
trabalhos de apoio topográfico, por exemplo, exigem orientação para o Norte 
Verdadeiro, senão vejamos o que recomenda a Norma brasileira para levantamentos 
topográficos: 
 
“... Convém, então, proceder de modo que a rede topográfica de apoio seja 
orientada para o norte geográfico(ou verdadeiro),...determinando o azimute 
geográfico de um lado deste apoio, por meio de observação astronômica... . Não 
sendo possível este procedimento orientar pelo menos este lado em relação ao 
norte magnético, por meio de observação com bússola ou declinatória acoplada 
a um teodolito, ficando o levantamento topográfico orientado para o norte 
magnético. É imprescindível que sejam mencionados no desenho topográfico 
final do levantamento a data do levantamento, a declinação magnética nesta 
data bem como a sua variação anual, uma vez que a indicação do norte 
magnético é variável em função do tempo”(NBR, 1997). 
 
A informação da data do levantamento topográfico, supracitada na Norma, está 
relacionada diretamente à necessidade de aviventação da orientação, ou seja, ao 
restabelecimento dos alinhamentos e ângulos magnéticos marcados para uma poligonal, 
Carta isogônica do Brasil – ano 2005 
 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 80 
na época de sua medição, para os dias atuais. Este trabalho é necessário, visto que a 
posição dos pólos norte e sul magnéticos varia com o passar dos tempos. Assim, para 
achar a posição correta de uma poligonal levantada em determinada época, é necessário 
que os valores resultantes deste levantamento sejam reconstituídos para a época atual. O 
mesmo processo é utilizado para a locação em campo, de linhas projetadas sobre plantas 
de estradas, linhas de transmissão, etc. 
 
As cartas isopóricas permitem essa atualização, e ainda programas específicos de 
computador para cartografia. 
 
 
7.4. Rumos e azimutes 
 
 Os ângulos de orientação formados a partir da meridiana magnética ou 
verdadeira a um alinhamento, são conhecidos como azimutes ou rumos. Este último é 
raramente encontrado em memoriais descritivos recentes de projetos topográficos. 
 
Chama-se azimute ao ângulo que o alinhamento forma com a direção norte-sul 
do meridiano. Como esta direção pode ser magnética ou verdadeira, o azimute assume 
os nomes magnético ou verdadeiro, respectivamente. É contado de 0º a 360º no sentido 
horário. Assim, os azimutes entre dois pontos AB e BC são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estando o alinhamento na direção AB, o azimute da linha AB será AzA-B, e se 
estiver na direção BC, o azimute será AzB-C. 
 
Já o rumo de uma linha é o menor ângulo horizontal, formado entre a direção 
Norte-sul da agulha magnética e o alinhamento, medindo apartir do Norte ou do Sul, no 
sentido horário (à direita) ou sentido anti-horário (à esquerda) e variando de 0º a 90º. 
Quando tomamos como referência a meridiano magnético, o rumo obtido é chamado 
rumo magnético, e quando usamos o meridiano verdadeiro, o rumo obtido é chamado 
rumo verdadeiro. 
 
0º 0º 
90º 90º 
180º 180º 
270º 270º 
Nv ou Nm Nv ou Nm 
Azv ou Azm 
Azv ou Azm 
A B 
B 
C 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 81 
Conforme mencionado no capítulo anterior, a bússola de rumos é dividida em 
quatro quadrantes: 
 
▪ Nordeste (NE); 
▪ Sudeste (SE); 
▪ Sudoeste (SW); 
▪ Noroeste (NW); 
 
Tomando o exemplo, desta vez para rumos, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estando o alinhamento na direção AB, o rumo da linha AB será RA-B(NE), se 
estiver na direção BC, o rumo será RB-C(SE), se estiver na direção CD, o rumo será RC-D 
(SW), e se estiver na direção DE, o rumo será RD-E(NW). 
 
Uma relação pode ser feita entre rumos e azimutes: 
 
▪ 1º Quadrante (NE) → Rumo = Azimute; 
▪ 2º Quadrante (SE) → Rumo = 180º - Azimute; 
90º (E) 90º (E) 
0º 0º 
90º (W) 
A 
B 
B 
0º 0º 
90º (W) 
90º (E) 90º (E) 
0º 0º 
90º (W) 
D 
E 
0º 0º 
90º (W) 
C 
C 
D 
Quadrante NE Quadrante SE 
Quadrante SE Quadrante NW 
RBC 
RCD 
RDE 
RA-B 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 82 
▪ 3º Quadrante (SW) → Rumo = Azimute – 180º; 
▪ 4º Quadrante (NW) → Rumo = 360º - Azimute; 
 
Operacionalização da bússola azimutal 
 
Para operacionalizar a bússola azimutal acoplada ao teodolito, é necessário que 
se tenham cumpridas as etapas básicas de centragem e calagem do goniômetro. Uma 
regra prática: 
 
- Zerar o limbo horizontal do goniômetro; 
- Liberar o parafuso de blocagem da agulha da bússola; 
- Fazer coincidir a linha de fé Norte-sul do limbo da bússola com a linha 
Norte-sul da agulha magnética; 
- Girar a luneta do teodolito no sentido horário e na direção do alinhamento 
para se obter o azimute; 
 
 
Exemplo elucidativo: 
 
Determinar o ângulo azimutal das linhas 1-2 e 2-3, conforme esquema abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nm 
Az1-2 
1 
2 
3 
Az1-2 = 99º45‟32” 
1 
3 
2 
1 
Nm 
Nm 
Az2-3 
2 
Nm 
2 
Az2-3 = 42º27‟17” 
3 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 83 
Operacionalização da bússola de rumo 
 
Assim como nas bússolas azimutais, as de rumo acopladas ao teodolito carecem 
de centragem e calagem. Uma regra prática: 
 
- Zerar o limbo horizontal do goniômetro; 
- Liberar o parafuso de blocagem da agulha da bússola; 
- Fazer coincidir a linha de fé Norte-sul da bússola com a linha Norte-sul da 
agulha magnética; 
- Posicionar e girar (posição direta ou inversa) a luneta do teodolito para a 
direção do alinhamento e, no sentido horário ou anti-horário, obter o rumo; 
 
Obs.: As aproximações nas leituras das bússolas variam de acordo com a 
fabricação e modelo do teodolito e da bússola acoplada, prevalecendo aquela de menor 
precisão. 
 
 
Exemplo elucidativo: 
 
Determinar o rumo das linhas 1-2 e 2-3, conforme esquema abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nm 
R1-2 
1 
2 
3 
R1-2 = 80º14‟28” 
1 
3 
2 
1 
Nm 
Nm 
R2-3 
2 
Nm 
2 
R2-3 = 42º27‟17” 
3 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 84 
7.4.1. Cálculo do azimute magnético 
 
Conhecido o azimute do primeiro alinhamento, e os ângulos que formam os 
vértices dos alinhamentos seguintes, pode-se determinar analiticamente os azimutes dos 
demais alinhamentos, sem que seja necessário percorrer todo o perímetro usando uma 
bússola. A expressão abaixo simplifica as operações no campo: 
 
 
 
 
 
Onde: 
Azn = azimute da linha; 
Azn-1 = azimute da linha anterior; 
An = ângulo do vértice na linha; 
 
Observação 1: A variação do sinal em An vai depender do sentido do 
caminhamento, ou seja, se o caminhamento for com o polígono à sua esquerda 
implica em sinal (-), e se for com polígono à sua direita implica em sinal (+); 
 
Observação 2: Uma maneira prática de saber se o polígono está à sua direita é 
verificar se os ângulos da poligonal foram gerados de ré para vante, de acordo 
com o sentido progressivo dos trabalhos. Caso contrário, o polígono estará à sua 
esquerda; 
 
Observação 3: Quando Azn-1 ± An ≥ 180º, deve-se usar o sinal (-) ao termo 180º. 
Caso contrário, usar o sinal (+); 
 
 
Exemplo elucidativo: 
 
Determinar analiticamente os azimutes magnéticos dos vértices 2 a 6, sabendo-
se que o azimute magnético inicial do vértice 1 é Az1-2 = 70º: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
 Az1-2 = 70º 
 Como o polígono está à direita no caminhamento, tem-se (+) An. 
190º 
Azn = Azn-1 ± An ± 180º 
 
195º 
210º 
280º 
7 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
Az1-2 
Nm ou Nv 
320º 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 85 
Daí, 
 
 Az2-3 = 70º + 190º ± 180º = 260º - 180º = 80º 
 Az3-4 = 80º +195º ± 180º = 275º - 180º = 95º 
 Az4-5 = 95º + 210º ± 180º = 305º - 180º = 125º 
 Az5-6 = 125º + 280º ± 180º = 405º - 180º = 225º 
 Az6-7 = 225º + 320º ± 180º = 545º - 180º = 365º → 5º pois (365º - 360º = 5º) 
 
 
Exemplo elucidativo: 
 
Determinar analiticamente os azimutes magnéticos dos vértices 2 a 6, sabendo-
se que o azimute magnético inicial do vértice 1 é Az1-2 = 45º: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
 Az1-2 = 70º 
 
Como o polígono está à esquerda no caminhamento, tem-se (-) An. 
 
Daí, 
 Az2-3 = 70º - 170º ± 180º = -100º + 180º = 80º 
 Az3-4 = 80º - 1165º ± 180º = -85º + 180º = 95º 
 Az4-5 = 95º - 150º ± 180º = -55º + 180º = 125º 
 Az5-6 = 125º - 80º ± 180º = -45º + 180º = 225º 
 Az6-7 = 225º - 40º ± 180º = 185º - 180º = 5º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
170º 
165º 150º 
80º 
7 
1 
6 
5 
4 
3 
2 
40º 
Nm ou Nv 
Az1-2 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 86 
8. LEVANTAMENTO PLANIMÉTRICO E LOCAÇÃO 
 
 
8.1. Introdução 
 
 Conhecidos os métodos e os instrumentos empregados na medição de ângulos e 
distâncias, é necessário que sejam atendidas algumas fases e procedimentos que 
viabilizarão a execução dos levantamentos ou locações topográficas planimétricas. 
 
 Este capítulo será dedicado ao estudo dessas etapas. Para tanto, será mostrado 
como elas devem transcorrer durante um levantamento topográfico, e como preencher 
planilhas que resultarão nas coordenadas dos pontos topográficos observados. Além 
disso, serão tratadas algumas questões gerais referentes à locação de obras de 
engenharia, especificamente, residências e prédios. 
 
 
8.2. Fases do levantamento topográfico 
 
O levantamento topográfico é um conjunto de operações realizadas no campo, afim de se obter com precisão os elementos necessários e suficientes à representação 
geométrica de determinada área do terreno estudada topograficamente, em escala 
conveniente. 
 
Segundo a NBR 13.133 da ABNT, item 5.1, o levantamento topográfico, em 
qualquer de suas finalidades, deve ter, no mínimo, as seguintes fases: 
 
a) Planejamento, seleção de métodos e aparelhagem; 
 b) Apoio topográfico; 
 c) Levantamento de detalhes; 
 d) Cálculos e ajustes; 
 e) Original topográfico; 
 f) Desenho topográfico final; 
 g) Relatório técnico; 
 
Entretanto, o desconhecimento da norma vigente, associado à outros fatores 
como o preço de aquisição de equipamentos de alta precisão, má qualidade profissional 
e número reduzido de pontos de apoio geodésico, tem dificultado bastante o 
atendimento a essa Norma. 
 
Destarte, costuma-se sintetizar essas fases em apenas quatro etapas, podendo a 
primeira se confundir com a segunda, dependendo dos recursos instrumentais 
disponíveis: 
 
 
Fase de reconhecimento do terreno 
 
É nesta fase que se percorre a região a ser levantada, elegendo-se os principais 
vértices da poligonal básica do levantamento, não deixando de determinar o ponto de 
partida do levantamento. Nesta fase de trabalho, deve-se também providenciar a 
cravação de piquetes, com a sua numeração. Organizar também a turma de auxiliares, 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 87 
ministrando-lhes as instruções e recomendações necessárias, para que todo o trabalho se 
desenvolva normalmente. 
 
É conveniente a abertura de picadas e a limpeza dos rumos divisórios “aceiro”, 
antes de iniciar os trabalhos de levantamento. 
 
Finalmente, organiza-se um croqui da área do terreno, que servirá de subsídio 
tanto nos trabalhos de campo como nos de escritório. 
 
Essas exigências são indispensáveis, mesmo que o levantamento seja feito por 
meio de equipamentos rastreadores de satélite, e poderão ser aumentadas. Vai depender 
do rigor desejado nos levantamentos e da área do terreno. 
 
 
Fase de caracterização 
 
Durante esta fase, serão levantados todos os elementos que caracterizam as 
linhas divisórias do terreno em estudo. Quando o levantamento é feito por instrumentos 
topográficos convencionais, deve-se lançar mão de alguns métodos de levantamento: 
 
▪ Triangulação a trena 
▪ Poligonação 
▪ Irradiação 
▪ Interseção à vante 
▪ Interseção à ré 
▪ Outras 
 
 
Fase de cálculos e memorial descritivo 
 
 Terminadas as operações de campo, deve-se proceder à computação, em 
escritório, dos dados obtidos. Este é um processo que envolve o “fechamento” angular e 
linear, o transporte dos rumos ou azimutes e das coordenadas, e o cálculo da área caso 
necessite. 
 
 
Fase de desenho 
 
 Depois de calculadas as coordenadas dos diversos pontos medidos, e redigido o 
memorial descritivo, procede-se à confecção do desenho da planta topográfica. Este 
desenho pode ser feito à nanquim ou no computador. Qualquer que seja o recurso de 
desenho disponível, os pontos de referência devem ser plotados segundo suas 
coordenadas, enquanto os pontos de detalhes comuns (feições), devem ser ajustados 
como auxílio de escalímetro, se o desenho for à mão, ou do CAD se forem no 
computador. 
 
 Além do mais, devem ser obedecidos os critérios de apresentação, tais como: 
 
 A orientação magnética e verdadeira; 
 A data do levantamento; 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 88 
 As escalas gráfica e numérica; 
 A legenda e convenções utilizadas; 
 O título do trabalho; 
 O número de vértices, distâncias dos alinhamentos; 
 Os eixos de coordenadas; 
 Os responsáveis pelo trabalho; 
 As feições naturais e/ou artificiais (representadas através de símbolos 
padronizados ou convenções e sua respectiva toponímia); 
 
 
8.3. Levantamento por triangulação à trena 
 
 
Processo - 1 
 
É um método expedito, porque se utilizam apenas de trenas, balizas e piquetes. É 
aplicado para a caracterização de pequenas áreas (planas) e amarrações de pontos, tais 
como postes, árvores, etc. Consiste na decomposição do terreno em triângulos, com a 
instalação de diversos piquetes nos seus vértices e no interior. 
 
Medem-se as distâncias de todos os lados dos triângulos, e calculam-se as áreas 
através da resolução de triângulos quaisquer. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O desenho da planta topográfica será feito com os artifícios de desenho 
geométrico, utilizando-se de escala e compasso. 
 
 
Processo - 2 
 
Aplicado para levantamentos de áreas planas que exigem melhor precisão que o 
processo anterior. Este método permite que a planta topográfica seja desenhada através 
de coordenadas retangulares. Para tanto, alguns passos precisam ser seguidos, tais 
como: 
 
 
1 
2 
3 
4 
5 6 
7 
8 
9 
11 
10 
12 ● 
● 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 89 
▪ Decompor o terreno em triângulos com a instalação de piquetes; 
▪ Medir as distâncias de todos os lados dos triângulos; 
▪ Levantar o azimute do primeiro vértice; 
▪ Calcular os ângulos internos de cada triângulo levantado, a partir das 
dimensões de seus lados; 
▪ Determinar as coordenadas retangulares dos vértices principais; 
▪ Desenho; 
 
 
Exemplo elucidativo: 
 
Dada a caderneta de campo abaixo, obtida a partir de um levantamento de 
campo feito à trena, determinar as coordenadas dos vértices B até H. As coordenadas 
iniciais do vértice „A‟ foram arbitradas e o azimute inicial de „A‟ na direção de „B‟ foi 
levantado através uma bússola prismática. 
 
 
DISTÂNCIAS HORIZONTAIS MEDIDAS À TRENA 
AB = 60280m EF = 91790m AG = 101720m CE = 123770m 
BC = 69890m FG = 57515m BH = 93500m DF = 114760m 
CD = 74880m GH = 75520m BF = 106080m BG = 84900m 
DE = 112695m HÁ = 58590m GC = 88900m CF = 65070m 
Coordenadas iniciais 
XA = YA = 1000000 
Azimute magnético 
AzAB = 93º19'43" 
 
 
 
 
 
 
 
N 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 90 
Solução: 
 
1) Cálculo dos ângulos 
 
Triângulo AGH 
 
 
 
 
 
 
 
 
Triângulo AGB 
 
 
 
 
 
 
 
 
Triângulo BCG 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Triângulo CDF 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Triângulo CDE 
 
 
 
 
 
 
A 
G 
H 
1 
22 
ArcCos1 = GA
2
 + HA
2
 –GH2 
 2.GA.HA 
ângulo 1 = 47º20'42" 
ArcCos22 = AG
2
 + HG
2
 –AH2 
 2.AG.HG 
ângulo 22 = 34º47'25" 
G 
A B 
2 
ArcCos2 = GA
2
 + BA
2
 – BG2 
 2.GA.BA 
ângulo 2 = 56º28'39" 
ArcCos21 = AG
2
 + BG
2
 – AB2 
 2.AG.BG 
ângulo 21 = 36º17'35" 
B 
G 
C 
20 
21 
ArcCos7 = BC
2
 + GC
2
 – BG2 
 2.BC.GC 
ângulo 7 = 63º19'07" 
ArcCos20 = CG
2
 + BG
2
 – BC2 
 2.CG.BG 
ângulo 20 = 47º21'13" 
ArcCos11= FD
2
 + CD
2
 – FC2 
 2.FD.CD 
ângulo 11 = 32º12'06,66" 
ArcCos16 = CF
2
 + DF
2
 – CD2 
 2.CF.DF 
ângulo 16 = 37º49'28,11" 
ArcCos13 =CE
2
 + DE
2
 – CD2 
 2.CE.DEângulo 13 = 36º32'37,14" 
ArcCos10 = EC
2
 + DC
2
 – ED2 
 2.EC.DC 
ângulo 10 = 63º39'16,27" 
C D 
F 
D 
C 
E 
7 
16 
11 
10 
13 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 91 
Triângulo DEF 
 
 
 
 
 
 
 
 
Triângulo CEF 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Triângulo CFG 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Triângulo BFG 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Triângulo BGH 
 
 
 
 
 
 
 
 
ArcCos15 =EF
2
 + DF
2
 – DE2 
 2.EF.DF 
ângulo 15 = 65º01'30,24" 
ArcCos12 = FD
2
 + ED
2
 – EF2 
 2.FD.ED 
ângulo 12 = 47º35'24,63" 
ArcCos14 =FE
2
 + CE
2
 – FC2 
 2.FE.CE 
ângulo 14 = 30º49'58,97" 
ArcCos9 = FC
2
 + EC
2
 – FE2 
 2.FC.EC 
ângulo 9 = 46º18'11,07" 
ArcCos19 = CG
2
 + FG
2
 – FC2 
 2.CG.FG 
ângulo 19 = 46º58'41,35" 
ArcCos8 = CG
2
 + FC
2
 – GF2 
 2.CG.FC 
ângulo 8 = 40º15'23,10" 
ArcCos5 = GB
2
 + FB
2
 – GF2 
 2.GB.FB 
ângulo 5 = 32º43'37,77" 
ArcCos18 = BF
2
 + GF
2
 – GB2 
 2.BF.GF 
ângulo 18 = 52º56'41,93" 
ArcCos23 =BH
2
 + GH
2
 – GB2 
 2.BH.GH 
ângulo 23 = 59º10'12,55" 
ArcCos4 = BH
2
 + GB
2
 – GH2 
 2.BH.GB 
ângulo 4 = 49º48'08,34" 
D 
E 
F 
E 
F 
C 
F 
G 
G 
F 
B 
B 
G 
H 
15 
12 
14 
8 
19 
5 
18 
23 
4 
C 
9 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 92 
Triângulo BHA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Triângulo BFC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, os ângulos da poligonal somam 
 
A = 1 + 2 = 103º49'21" 
B = 3 + 4 + 5 + 6 = 156º37'55" 
C = 7 + 8 + 9 + 10 = 213º31'57" 
D = 11 + 12 = 79º47'32" 
E = 13 + 14 = 67º22'36" 
F = 15 + 16 + 17 + 18 = 195º37'11" 
G = 19 + 20 + 21 + 22 = 165º24'54" 
H = 23 + 24 = 97º56'52" 
 
 
2) Cálculo dos azimutes 
 
AzAB = 93º19'43" 
AzBC = 93º19'43" + 156º37'55" – 180º = 69º57'38" 
AzCD = 69º57'38" + 213º31'57" - 180º = 103º29'35" 
AzDE = 103º29'35" + 79º47'32" – 180º = 3º17'07" 
AzEF = 3º17'07" + 67º22'36" + 180º = 250º39'43" 
AzFG = 250º39'43" + 195º37'11" – 180º = 266º16'54" 
AzGH = 266º16'54" + 165º24'54" –180º = 251º41'48" 
AzHA = 251º41'48" + 97º56'52" – 180º = 169º38'40" 
 
 
3) Cálculo das projeções no eixo do X e do Y 
 
ΔXAB = DAB.senAzAB = 60280.sen93º19'43" = 60178,304 
ΔXBC = DBC.senAzBC = 69890.sen69º57'38" = 65658,645 
ΔXCD = DCD.senAzCD = 74880.sen103º29'35" = 72813,178 
ΔXDE = DDE.senAzDE = 112695.sen3º17'07" = 6458,269 
ArcCos3 = AB
2
 + HB
2
 – HA2 
 2.AB.HB 
ângulo 3 = 37º29'54,71" 
ArcCos24 =AH
2
 + BH
2
 – AB2 
 2.AH.BH 
ângulo 24 = 38º46'39,59" 
ArcCos17 =BF
2
 + CF
2
 – BC2 
 2.BF.CF 
ângulo 17 = 39º49'30,72" 
ArcCos6 = FB
2
 + CB
2
 – FC2 
 2.FB.CB 
ângulo 6 = 36º36'13,85" 
B 
A H 
B 
F 
C 
17 
24 
3 
6 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 93 
ΔXEF = DEF.senAzEF = 91790.sen250º39'43" = - 86611,320 
ΔXFG = DFG.senAzFG = 57515.sen266º16'54" = -57393,926 
ΔXGH = DGH.senAzGH = 75520.sen251º41'48" = -71699,232 
ΔXHA = DHA.senAzHA = 58590.sen169º38'40" = 10531,912 
 
 
ΔYAB = DAB.cosAzAB = 60280.cos93º19'43" = -3500,010 
ΔYBC = DBC.cosAzBC = 69890.cos69º57'38" = 23948,995 
ΔYCD = DCD.cosAzCD = 74880.cos103º29'35" = - 17471,564 
ΔYDE = DDE.cosAzDE = 112695.cos3º17'07" = 112509,794 
ΔYEF = DEF.cosAzEF = 91790.cos250º39'43" = - 30395,449 
ΔYFG = DFG.cosAzFG = 57515.cos266º16'54" = - 3729,941 
ΔYGH = DGH.cosAzGH = 75520.cos251º41'48" = - 23716,882 
ΔYHA = DHA.cosAzHA = 58590.cos169º38'40" = - 57635,640 
 
 
4) Cálculo das coordenadas 
 
XA = 1000000 
XB = XA + ΔXAB = 1000000 + 60178,30 = 1060178,3 
XC = XB + ΔXBC = 1060178,3 + 65658,64 = 1125836,94 
XD = XC + ΔXCD = 1125836,94 + 72813,18 = 1198650,12 
XE = XD + ΔXDE = 1198650,12 + 6458,27 = 1205108,39 
XF = XE + ΔXEF = 1205108,39 – 86611,32 = 1118497,07 
XG = XF + ΔXFG = 1118497,07 – 57393,93 = 1061103,14 
XH = XG + ΔXGH = 1061103,14 – 71699,23 = 989403,91 
XA = XH + ΔXHA = 989403,91 – 10531,91 = 999935,82 ≈ 1000000 
 
YA = 1000000 
YB = YA + ΔYAB = 1000000 – 3500,00 = 996500 
YC = YB + ΔYBC = 996500 + 23948,99 = 1020448,99 
YD = YC + ΔYCD = 1020448,99 – 17471,56 = 1002977,43 
YE = YD + ΔYDE = 1002977,43 + 112509,79 = 1115487,22 
YF = YE + ΔYEF = 1115487,22 – 30395,45 = 1085091,77 
YG = YF + ΔYFG = 1085091,77 – 3729,94 = 1081361,83 
YH = YG + ΔYGH = 1081361,83 –23716,88 = 1057644,95 
YA = YH + ΔYHA = 1057644,95 –57635,64 = 1000009,31 ≈ 1000000 
 
 
5) Montagem da planilha de cálculo 
 
E Ré PV Angulo 
 Horiz. 
Azimute Dist. 
(m) 
Projeções Coordenadas 
ΔX ΔY X Y 
A - - - - - - - 1000000 1000000 
A - B - 93º19'43" 60280 60178,30 -3500,00 1060178,3 996500 
B A C 156º37'55" 69º57'38" 69890 65658,64 23948,99 1125836,94 1020448,99 
C B D 213º31'57" 103º29'35" 74880 72813,18 -17471,56 1198650,12 1002977,43 
D C E 79º47'32" 3º17'07" 112695 6458,27 112509,79 1205108,39 1115487,22 
E D F 67º22'36" 250º39'43" 91790 -86611,32 -30395,45 1118497,07 1085091,77 
F E G 195º37'11" 266º16'54" 57515 -57393,93 -3729,94 1061103,14 1081361,83 
G F H 165º24'54" 251º41'48" 75520 -71699,23 -23716,88 989403,91 1057644,95 
H G A 97º56'52" 169º38'40" 58590 10531,91 -57635,64 999935,82 1000009,31 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 94 
 
 PLANILHA DE CÁLCULO ANALÍTICO 
 TRIANGULAÇÃO À TRENA 
 
SERVIÇO: Exemplo elucidativo LOCAL: 
AZIMUTE INICIAL: AzP03-A = 93˚19'43" COORDENADAS INICIAIS: XA = 1000000 YA = 10000 
FOLHA: Única 
 
 
E 
 
PV 
ÂNGULO 
HORIZON- 
TAL 
 
AZIMUTE 
 
DISTÂN
CIA 
(m) 
 
PROJEÇÕES 
 
COORDENADAS 
 
CROQUI/OBSERVA 
ÇÕES 
º ' " º ' " ΔX ΔY X Y 
A - - - - - - - 1000000 1000000 
A B - - - 93 19 43 60280 60178,30 -3500,00 1060178,3 996500 
B C 156 37 55 69 57 38 69890 65658,64 23948,99 1125836,94 1020448,99 
C D 213 31 57 103 29 35 74880 72813,18 -17471,56 1198650,12 1002977,43 
D E 79 47 32 3 17 07 112695 6458,27 112509,79 1205108,39 1115487,22 
E F 67 22 36 250 39 43 91790 -86611,32 -30395,45 1118497,07 1085091,77 
F G 195 37 11 266 16 54 57515 -57393,93 -3729,94 1061103,14 1081361,83 
G H 165 24 54 251 41 48 75520 -71699,23 -23716,88 989403,91 1057644,95 LEVANTAMENTO DE CAMPO: 
DATA: 
H A 97 56 52 169 38 40 58590 10531,91 -57635,64 999935,82 1000009,31 
 CÁLCULO: 
 
DATA: 
 VISTO: 
 
DATA: 
 
 
 
 
Adaptado do formulário organizado pelo Professor Luiz Carlos da Silveira. 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios- Alagoas 95 
8.4. Levantamento por poligonação 
 
Consiste no levantamento de poligonais em uma área ou linha, pela medição de 
distâncias e ângulos. Os resultados obtidos podem ser analisados e compensados 
analiticamente, podendo-se obter coordenadas de alta precisão. Assim, podem existir 
três tipos de poligonais: 
 
▪ Aberta; 
▪ Fechada na mesma base; 
▪ Fechada em base diferente; 
 
O caminhamento para a obtenção das distâncias e dos ângulos pode ser feito 
internamente ou externamente às poligonais, e ao mesmo tempo à direita ou à esquerda 
delas. Ressalta-se que a exatidão do levantamento não depende apenas do 
caminhamento, mas também, da habilidade do operador, do emprego de bons 
instrumentos e, sobretudo, de se saber escolher, de acordo com o processo de 
levantamento mais adequado a determinadas condições de trabalho, o aparelho a ser 
empregado, procurando, assim, harmonizar a natureza do instrumento e o método a ser 
usado com o tipo de operação topográfica que se tem em vista realizar. 
 
 
8.4.1. Poligonal aberta 
 
A poligonal aberta é usada apenas para amarração de pontos distantes da área 
que está sendo levantada. Parte de pontos com coordenadas conhecidas e não tem 
fechamento, ou seja, o último vértice não coincide com o primeiro, não caracterizando, 
desta forma um polígono. 
 
Sendo uma poligonal aberta não é possível verificar a presença de erros com a 
análise dos dados. 
 
O cálculo analítico de uma poligonal aberta consiste em calcular o azimute, 
projeções e coordenadas, a partir dos ângulos horizontais e distâncias, que são extraídos 
da caderneta de campo. 
 
 
Exemplo elucidativo: 
 
 Determinar as coordenadas em UTM dos vértices A, B, C, D e E de uma 
poligonal aberta iniciada a partir do marco geográfico P03 de coordenadas conhecidas: 
 
CADERNETA DE LEVANTAMENTO 
Estação Ré Pv Ang. Horiz. Distância (m) 
P03 - A - 29,56 
A P03 B 289º30'30" 28,80 
B A C 176º24'06" 36,03 
C B D 100º05'56" 33,44 
D C E 129º11'20" 23,29 
Azimute inicial 
AzP03-A = 259º56'36" 
Coordenadas de P03 
EP03 = 4416,319 NP03 = 5719,717 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 96 
Croqui: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
1) Cálculo dos azimutes 
 
AzP03-A = 259º56'36" 
AzA-B = 259º56'36" + 289º30'30" – 180º = 369º27'06" ou 9º27'06" 
AzB-C = 9º27'06" + 176º24'06" – 180º = 5º51'12" 
AzC-D = 5º51'12" + 100º05'56" + 180º = 285º57'08" 
AzD-E = 285º57'08" + 129º11'20" – 180º = 235º08'28" 
 
2) Cálculo das projeções 
 
ΔEP03-A = DP03-A.senAzP03-A = 29,56.sen259º56'36" = 21,387 
ΔEA-B = DA-B.senAzP03-A = 28,80.sen9º27'06" = -0,774 
ΔEB-C = DB-C.senAzP03-A = 36,03.sen5º51'12" = -15,015 
ΔEC-D = DC-D.senAzP03-A = 33,44.sen285º57'08" = -2,248 
ΔED-E = DD-E.senAzP03-A = 23,29.sen235º08'28" = 10,720 
 
ΔNP03-A = DP03-A.cosAzP03-A = 29,56.cos259º56'36" = - 20,406 
ΔNA-B = DA-B.cosAzP03-A = 28,80.cos9º27'06" = -29,790 
ΔNB-C = DB-C.cosAzP03-A = 36,03.cos5º51'12" = 32,752 
ΔNC-D = DC-D.cosAzP03-A = 33,44.cos285º57'08" = -33,364 
ΔND-E = DD-E.cosAzP03-A = 23,29.cos235º08'28" = -20,676 
 
3) Cálculo das coordenadas 
 
EP03 = 4416,319 
EA = EP03 + ΔEP03-A = 4416,319 + 21,387 = 4437,706 
EB = EA + ΔEAB = 4437,706 + (-0,774) = 4436,932 
EC = EB + ΔEBC = 4436,932 + (-15,015) = 4421,917 
ED = EC + ΔECD = 4421,917 + (-2,248) = 4419,669 
EE = ED + ΔEDE = 4419,669 + (10,720) = 4430,389 
 
P03 
A 
B 
C 
D 
E 
N 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 97 
NP03 = 5719,717 
NA = NP03 + ΔNP03-A = 5719,717 + (- 20,406) = 5699,110 
NB = NA + ΔNAB = 5699,11 + (-29,790) = 5669,521 
NC = NB + ΔNBC = 5669,521 + 32,752 = 5702,273 
ND = NC + ΔNCD = 5702,273 + (-33,364) = 5668,909 
NE = ND + ΔNDE = 5668,809 + (-20,676) = 5648,233 
 
4) Montagem da planilha de cálculo 
 
E Ré PV Angulo 
 Horiz. 
Azimute Dist. 
(m) 
Projeções Coordenadas 
ΔE ΔN E N 
P03 - - - - - - - 4416,319 5719,717 
P03 - A - 259º56'36" 29,56 21,387 - 20,406 4437,706 5699,110 
A P03 B 289º30'30" 89º27'06" 28,80 -0,774 -29,790 4436,932 5669,521 
B A C 176º24'06" 355º51'12" 36,03 -15,015 32,752 4421,917 5702,273 
C B D 100º05'56" 275º57'08" 33,44 -2,248 -33,364 4419,669 5668,909 
D C E 129º11'20" 225º08'28" 23,29 10,720 -20,676 4430,389 5648,233 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 98 
 
 PLANILHA DE CÁLCULO ANALÍTICO 
 POLIGONAL ABERTA 
 
SERVIÇO: Exemplo elucidativo LOCAL: TEODOLITO: 
AZIMUTE INICIAL: AzP03-A = 259˚56'36" COORDENADAS INICIAIS: EP03 = 4416,319 NP03 = 5719,717 
FOLHA: Única 
 
 
E 
 
PV 
ÂNGULO 
HORIZON- 
TAL 
 
AZIMUTE 
 
DISTÂN
CIA 
(m) 
 
PROJEÇÕES 
 
COORDENADAS 
 
ALTITUDES 
COTA 
 
CROQUI/ 
OBSER - 
VAÇÕES º ' " º ' " ΔE ΔN E N 
P03 - - - - - - - - - - 4416,319 5719,717 
P03 A - - - 259 56 36 29,56 21,387 - 20,406 4437,706 5699,110 
A B 289 30 30 89 27 06 28,80 -0,774 -29,790 4436,932 5669,521 
B C 176 24 06 355 51 12 36,03 -15,015 32,752 4421,917 5702,273 
C D 100 05 56 275 57 08 33,44 -2,248 -33,364 4419,669 5668,909 
D E 129 11 20 225 08 28 23,29 10,720 -20,676 4430,389 5648,233 
 
 LEVANTAMENTO DE 
CAMPO: 
DATA: 
 
 CÁLCULO: 
 
DATA: 
 VISTO: 
 
DATA: 
 
 
 
 
Adaptado do formulário organizado pelo Professor Luiz Carlos da Silveira. 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 99 
8.4.2. Poligonal fechada na mesma base 
 
A poligonal fechada na mesma base é caracterizada por ter o último vértice 
coincidindo com o vértice inicial, formando, desta forma, um polígono. 
 
Na poligonal fechada há controle de fechamento angular e linear a partir de uma 
precisão pré-estabelecida pela NBR 13.133. 
 
Normalmente para precisão linear, são aceitos os valores: 
 
1/1000 → para poligonais taqueométricas; 
1/2000 → para poligonais medidas com trigonometria; 
1/4000 → para poligonais medidas a trena; 
1/10000 → para poligonais eletrônicas (dependendo da precisão da estação total 
pode-se chegar a precisões, no fechamento da poligonal, da ordem de 1/30000 
ou melhor); 
 
A precisão angular depende, fundamentalmente, do teodolito ou estação 
utilizada no levantamento topográfico. Estas precisões são fornecidas pela NBR 13.133 
para os diversos tipos de poligonais. 
 
O cálculo de uma poligonal fechada é idêntico ao cálculo de uma poligonal 
aberta, diferindo apenas na verificação e compensação dos erros cometidos. 
 
 
Exemplo elucidativo: 
 
Determinar as coordenadas em UTM dos vértices P01 à P09 da poligonal-escola 
fechada na mesma base P00 de coordenadas conhecidas: 
 
 
CADERNETA DE LEVANTAMENTO 
Estação Ré Pv Ang. Horiz. Distância (m) 
P00 P09 P01 122º12' 20,00 
P01 P00 P02 121º08' 63,60 
P02 P01 P03 197º14' 141,20 
P03 P02 P04 97º13' 15,20 
P04 P03 P05 167º14' 96,00 
P05 P04 P06 166º56' 80,40 
P06 P05 P07 75º58' 75,10 
P07 P06 P08 209º02' 88,50 
P08 P07 P09 110º38' 60,00 
P09 P08 P00 172º18' 90,60 
Azimute inicial 
AzP00-P01 = 274º 
Coordenadas de P00 
EP03 = 757533,195 NP03= 8959419,244 
 
 
Croqui: 
 
 
 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 100 
 
 
 
Solução: 
 
1) Soma dos ângulos internos 
 
A poligonal estará geometricamente fechada angularmente, se: 
 
 
 
Onde: 
 
ΣAi = soma dos ângulos internos; 
 n = número de vértices; 
 
Logo, 
 
 
 
 
2) Erro angular 
 
O erro angular dá uma idéia de precisão com que os ângulos foram medidos. É 
dado pela diferença entre a soma dos ângulos lidos em campo e a soma calculada pela 
expressão teórica: 
ΣAi = 180º(n-2) 
ΣAi = 180º (10 – 2) 
ΣAi = 1440º 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 101 
 Soma de campo = 1439º53' 
 ΣAi = 1440º00' 
 Erro angular = 1439º53' - 1440º00' = - 0º07' 
 
A distribuição desse erro pode ser feita em quantidades iguais por vértice. 
 
 
3) Erro admissível 
 
 O erro admissível é aquele que expressa um limite para o erro angular, abaixo do 
qual o trabalho de leitura de ângulos é considerado de boa qualidade. 
 
 
 
 
Eadm = erro angular admissível; 
m = valor de 1 a 3 de acordo com a precisão requerida para o levantamento; 
a = metade da menor divisão da leitura do limbo horizontal; 
n = número de vértices da poligonal; 
 
Logo, 
 
E = ± 3.00º00'30". √10 ≈ 00º04'45" 
 
A determinação desse erro não se constitui num índice rígido quanto à qualidade 
do trabalho, pois o valor encontrado é simplesmente um resíduo dos erros acidentais, 
pois podem ocorrer compensações durante o levantamento. 
 
 
4) Ângulo compensado 
 
Conhecido o erro angular, faz-se a sua distribuição igualmente entre os vértices. 
 
Erro distribuído = 00º07' = 00º00'42" 
 10 
 
O ângulo compensado é obtido adicionando o erro distribuído do ângulo lido. O 
sinal da correção deverá ser contrário do sinal do erro angular. Ao final da 
compensação, a soma dos ângulos compensados deve ser igual a soma determinada pela 
fórmula teórica. Assim: 
 
Compensado em P00 = 122º12' + 42" = 122º12'42" 
Compensado em P01 = 121º08' + 42" = 121º08'42" 
Compensado em P02 = 197º14' + 42" = 197º14'42" 
Compensado em P03 = 97º13' + 42" = 97º13'42" 
Compensado em P04 = 167º14' + 42" = 167º14'42" 
Compensado em P05 = 166º56' + 42" = 166º56'42" 
Compensado em P06 = 75º58' + 42" = 75º58'42" 
Compensado em P07 = 209º02' + 42" = 209º02'42" 
Compensado em P08 = 110º38' + 42" = 110º38'42" 
Eadm = ± m.a.√n 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 102 
Compensado em P09 = 172º18' + 42" = 172º18'42" 
 Total 1440º00'00" 
 
 
5) Azimutes 
 
AzP00-P01 = 274º 
AzP01-P02 = 274º + 121º08'42" – 180º = 215º08'42" 
AzP02-P03 = 215º08'42" + 197º14'42" - 180º = 232º23'24" 
AzP03-P04 = 232º23'24" + 97º13'42" – 180º = 149º37'06" 
AzP04-P05 = 149º37'06" + 167º14'42" - 180º = 136º51'48" 
AzP05-P06 = 136º51'48" + 166º56'42" – 180º = 123º48'30" 
AzP06-P07 = 123º48'30" + 75º58'42" –180º = 19º47'12" 
AzP07-P08 = 19º47'12" + 209º02'42" – 180º = 48º49'54" 
AzP08-P09 = 48º49'54" + 110º38'42" – 180º = 339º28'36" 
AzP09-P00 = 339º28'36" + 172º18'42" - 180º = 331º47'18" 
 
Para conferência 
AzP00-P01 = 331º47'18" + 122º12'42" – 180º = 274º00'00" Ok! 
 
 
6) Projeções 
 
ΔX‟P00-P01 = DP00-P01.senAzP00-P01 = 20,00.sen274º = - 19,9513 
ΔX‟P01-P02 = D P01-P02.senAz P01-P02 = 63,60.sen215º08'42" = - 36,6112 
ΔX‟P02-P03 = D P02-P03.senAz P02-P03 = 41,20.sen232º23'24" = - 111,8563 
ΔX‟P03-P04 = D P03-P04.senAz P03-P04 = 15,20.sen149º37'06" = 7,6875 
ΔX‟P04-P05 = D P04-P05.senAz P04-P05 = 96,00.sen136º51'48" = 65,6391 
ΔX‟P05-P06 = D P05-P06.senAz P05-P06 = 80,40.sen123º48'30" = 66,8046 
ΔX‟P06-P07 = D P06-P07.senAz P06-P07 = 75,10.sen19º47'12" = 25,4296 
ΔX‟P07-P08 = D P07-P08.senAz P07-P08 = 88,50.sen48º49'54" = 66,6209 
ΔX‟P08-P09 = D P08-P09.senAz P08-P09 = 60,00.sen339º28'36" = - 21,0353 
ΔX‟P09-P00 = D P09-P00.senAz P09-P00 = 90,60.sen331º47'18" = - 42,8294 
 
ΔY‟P00-P01 = DP00-P01.cosAzP00-P01 = 20,00.cos274º = 1,3951 
ΔY‟P01-P02 = D P01-P02.cosAz P01-P02 = 63,60.cos 215º08'42" = -52,0056 
ΔY‟P02-P03 = D P02-P03.cosAz P02-P03 = 41,20.cos 232º23'24" = - 86,1720 
ΔY‟P03-P04 = D P03-P04.cosAz P03-P04 = 15,20.cos 149º37'06" = - 13,1127 
ΔY‟P04-P05 = D P04-P05.cosAz P04-P05 = 96,00.cos136º51'48" = - 70,0536 
ΔY‟P05-P06 = D P05-P06.cosAz P05-P06 = 80,40.cos123º48'30" = - 44,7359 
ΔY‟P06-P07 = D P06-P07.cosAz P06-P07 = 75,10.cos19º47'12" = 70,6636 
ΔY‟P07-P08 = D P07-P08.cosAz P07-P08 = 88,50.cos48º49'54" = 58,2572 
ΔY‟P08-P09 = D P08-P09.cosAz P08-P09 = 60,00.cos339º28'36" = 56,1918 
ΔY‟P09-P00 = D P09-P00.cosAz P09-P00 = 90,60.cos331º47'18" = 79,8374 
 
 
7) Soma das projeções: 
 
ΣΔX‟ = -0,1018 
Σ|ΔX‟| = 464,4652 
ΣΔY‟ = 0,2653 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 103 
Σ|ΔY‟| = 532,4249 
 
 
8) Erro linear 
 
O erro linear é dado pela fórmula: 
 
 
 
 
Logo, 
 
EL = [(-0,1018)
2
 + (0,2653)
2 
]
½
 = 0,2842 
 
 
9) Precisão 
 
A precisão indica o perímetro de levantamento para se obter o erro de 1 metro. A 
precisão do levantamento é dada pela fórmula: 
 
 
 
 
 Onde: 
 
Perímetro = soma dos lados da poligonal; 
 EL = erro linear; 
 
Logo, 
 
P = 730,60 = 2570,7 
 0,2842 
 
A precisão é anotada na forma de escala → P = 1:2570 
 
 
10) Correções do Erro Linear: 
 
No eixo do X 
 
 
 
 
 
 
 
 
CP00-P01 = 0,000219176.(19,9513) = 0,004372 
CP01-P02 = 0,000219176.(36,6112) = 0,008024 
CP02-P03 = 0,000219176.(111,8563) = 0,024516 
EL = [(ΣΔX‟)2 + (ΣΔY‟)2]½ 
 
P = Perímetro 
 EL 
Cx = |ΔX‟.ΣΔX‟| 
Σ|ΔX‟| 
Cx = | ΔX‟.(0,1018) | = 0,000219176.ΔX‟ 
 464,4652 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 104 
CP03-P04 = 0,000219176.(7,6875) = 0,001685 
CP04-P05 = 0,000219176.(65,6391) = 0,014386 
CP05-P06 = 0,000219176.(66,8046) = 0,014642 
CP06-P07 = 0,000219176.(25,4296) = 0,005574 
CP07-P08 = 0,000219176.(66,6209) = 0,014602 
CP08-P09 = 0,000219176.(21,0353) = 0,004610 
CP09-P00 = 0,000219176.(42,8294) = 0,009387 
 
 
No eixo do Y 
 
 
 
 
 
 
 
 
CP00-P01 = 0,000498286.(1,3951) = 0,000695 
CP01-P02 = 0,000498286.(52,0056) = 0,025914 
CP02-P03 = 0,000498286.(86,1720) = 0,042938 
CP03-P04 = 0,000498286.(13,1127) = 0,006534 
CP04-P05 = 0,000498286.(70,0536) = 0,034907 
CP05-P06 = 0,000498286.(44,7359) = 0,022291 
CP06-P07 = 0,000498286.(70,6636) = 0,035211 
CP07-P08 = 0,000498286.(58,2572) = 0,029029 
CP08-P09 = 0,000498286.(56,1918) = 0,027999 
CP09-P00 = 0,000498286.(79,8374) = 0,039782 
 
 
 
11) Projeções compensadas 
 
 As projeções compensadas são calculadas pelas fórmulas: 
 
 
 
 
Deve-se no cálculo das projeções compensadas, observar que os sinais de Cx e 
Cy devem ser contrários aos sinais obtidos nos (ΣΔX‟ e ΣΔY‟). Assim, Cx será positivo 
neste exemplo, porque ΣΔX‟ é negativo e Cy será negativo porque ΣΔY‟ é positivo. 
 
A soma das projeções compensadas deve ser zero. 
 
Logo, 
 
ΔXP00-P01 = ΔX‟P00-P01 + C P00-P01 = - 19,9513 + 0,004372 = - 19,946928 
ΔXP01-P02 = ΔX‟P01-P02 + C P01-P02 = - 36,6112 + 0,008024 = - 36,603176 
ΔXP02-P03 = ΔX‟P02-P03 + C P02-P03 = - 111,8563 + 0,024516 = - 111,831784 
ΔXP03-P04 = ΔX‟P03-P04 + C P03-P04 = 7,6875 + 0,001685= 7,689185 
ΔXP04-P05 = ΔX‟P04-P05 + C P04-P05 = 65,6391 + 0,014386 = 65,653486 
Cy =|ΔY‟.ΣΔY‟| 
Σ|ΔY‟| 
ΔX = ΔX‟ + Cx 
Cy = | ΔY‟.(0,2653) | = 0,000498286.ΔY‟ 
 532,4249 
 
ΔY = ΔY‟ + Cy 
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ΔXP05-P06 = ΔX‟P05-P06 + C P05-P06 = 66,8046 + 0,014642 = 66,819242 
ΔXP06-P07 = ΔX‟P06-P07 + C P06-P07 = 25,4296 + 0,005574 = 25,435174 
ΔXP07-P08 = ΔX‟P07-P08 + C P07-P08 = 66,6209 + 0,014602 = 66,635502 
ΔXP08-P09 = ΔX‟P08-P09 + C P08-P09 = - 21,0353 + 0,004610 = - 21,03069 
ΔXP09-P00 = ΔX‟P09-P00 + C P09-P00 = - 42,8294 + 0,009387 = - 42,820013 
 ΣΔX = 0 
 
ΔYP00-P01 = ΔY‟P00-P01 + C P00-P01 = 1,3951 – 0,000695 = 1,394405 
ΔYP01-P02 = ΔY‟P01-P02 + C P01-P02 = -52,0056 – 0,025914 = - 52,031514 
ΔYP02-P03 = ΔY‟P02-P03 + C P02-P03 = - 86,1720 – 0,042938 = - 86,214938 
ΔYP03-P04 = ΔY‟P03-P04 + C P03-P04 = - 13,1127 – 0,006534 = - 13,110234 
ΔYP04-P05 = ΔY‟P04-P05 + C P04-P05 = - 70,0536 – 0,034907 = -70,088507 
ΔYP05-P06 = ΔY‟P05-P06 + C P05-P06 = - 44,7359 –(-0,022291) = - 44,758191 
ΔYP06-P07 = ΔY‟P06-P07 + C P06-P07 = 70,6636 – 0,035211 = 70,628389 
ΔYP07-P08 = ΔY‟P07-P08 + C P07-P08 = 58,2572 – 0,029029 = 58,228171 
ΔYP08-P09 = ΔY‟P08-P09 + C P08-P09 = 56,1918 – 0,027999 = 56,163801 
ΔYP09-P00 = ΔY‟P09-P00 + C P09-P00 = 79,8374 – 0,039782 = 79,797618 
 ΣΔY = 0 
 
 
12) Coordenadas planas-UTM 
 
XP00 = 757533,195 
XP01 = XP00 + ΔXP00-P01 = 757533,195 + (-19,95) = 757513,245 
XP02 = XP01 + ΔXP01-P02 = 757513,245 + (-36,60) = 757476,645 
XP03 = XP02 + ΔXP02-P03 = 757476,645 + (-111,83) = 757364,815 
XP04 = XP03 + ΔXP03-P04 = 757364,815 +7,69 = 757372,505 
XP05 = XP04 + ΔXP04-P05 = 757372,505 + 65,65 = 757438,155 
XP06 = XP05 + ΔXP05-P06 = 757438,155 + 66,82 = 757504,975 
XP07 = XP06 + ΔXP06-P07 = 757504,975 + 25,43 = 757530,405 
XP08 = XP07 + ΔXP07-P08 = 757530,405 + 66,64 = 757597,045 
XP09 = XP08 + ΔXP08-P09 = 757530,405 + (-21,03) = 757576,015 
XP00 = XP09 + ΔXP09-P00 = 757576,015 + (-42,82) = 757533,197 ok! 
 
 
YP00 = 8959419,244 
YP01 = YP00 + ΔYP00-P01 = 8959419,244 + 1,39 8959420,634 
YP02 = YP01 + ΔYP01-P02 = 8959420,634 + (-52,03) = 8959368,604 
YP03 = YP02 + ΔYP02-P03 = 8959368,604 + (-86,21) = 8959282,394 
YP04 = YP03 + ΔYP03-P04 = 8959282,394 + (-13,20) = 8959269,194 
YP05 = YP04 + ΔYP04-P05 = 8959269,194 + (-70,09) = 8959199,104 
YP06 = YP05 + ΔYP05-P06 = 8959199,104 + (-44,76) = 8959154,344 
YP07 = YP06 + ΔYP06-P07 = 8959152,344 + 70,63 = 8959224,974 
YP08 = YP07 + ΔYP07-P08 = 8959222,974 + 58,23 = 8959283,204 
YP09 = YP08 + ΔYP08-P09 = 8959281,204 + 56,16 = 8959339,364 
YP00 = YP09 + ΔYP09-P00 = 8959337,364 + 79,80 ≈ 8959419,244 
 
 
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 PLANILHA DE CÁLCULO ANALÍTICO – POLIGONAL FECHADA NA MESMA BASE 
 
SERVIÇO: Exemplo elucidativo LOCAL: perímetro do IFAL Campus Palmeia dos Indios TEODOLITO: Wild de precisão 6” 
AZIMUTE INICIAL: AzP00-P01 = 274º COORDENADAS INICIAIS: XP00 = E P00 = 757533,197 ; YP00 = N P00 = 8959419,244 
 
E 
 
PV 
ÃNGULOS AZIMUTE DIST. 
(m) 
PROJEÇÃO NO EIXO X PROJEÇÃO NO EIXO Y COORDENADAS 
LIDO 
ER
RO 
COMPEN 
SADO 
CALCU 
LADA 
CORRE 
ÇÃO 
COMPEN 
SADA 
CALCU 
LADA 
CORRE 
ÇÃO 
COMPEN 
SADA 
º ' " " º ' " º ' " ΔX’ CX ΔX ΔY’ CY ΔY X Y 
P00 P01 122 12 00 42 122 12 42 274 20,0 -19,9513 0,004372 -19,946928 1,3951 0,000695 1,394405 757513,2 8959420,6 
P01 P02 121 08 00 42 121 08 42 215 08 42 63,6 -36,6112 0,008024 -36,603176 -52,0056 0,025914 -52,031514 757476,6 8959368,6 
P02 P03 197 14 00 42 197 14 42 232 23 24 141,2 -111,8563 0,024516 -111,831784 -86,1720 0,042938 -86,214938 757364,8 8959282,3 
P03 P04 97 13 00 42 97 13 42 149 37 06 15,2 7,6875 0,001685 7,689185 -13,1127 0,006534 -13,119234 757372,5 8959269,1 
P04 P05 167 14 00 42 167 14 42 136 51 48 96,0 65,6391 0,014386 65,653486 -70,0536 0,034907 -70,088507 757438,1 8959199,1 
P05 P06 166 56 00 42 166 56 42 123 48 30 80,4 66,8046 0,014642 66,819242 -44,7359 0,022291 -44,758191 757504,9 8959154,3 
P06 P07 75 58 00 42 75 58 42 19 47 12 75,1 25,4296 0,005574 25,435174 70,6636 0,035211 70,628389 757530,4 8959224,9 
P07 P08 209 02 00 42 209 02 42 48 49 54 88,5 66,6209 0,014602 66,635502 58,2572 0,029029 58,228171 757597,5 8959283,2 
P08 P09 110 38 00 42 110 38 42 339 28 36 60,0 -21,0353 0,004610 -21,03069 56,1918 0,027999 56,163801 757576,0 8959339,3 
P09 P00 172 18 00 42 172 18 42 331 47 18 90,6 -42,8294 0,009387 -42,820013 79,8374 0,039782 79,797618 757533,1 8959419,2 
 
 
SOMA 1439 53 00 1440 00 00 730,6 0,1018 ΣΔX = 0 -0,2653 ΣΔY = 0 
180. (N-2) = 1440º00'00" 
DISTRIBUIÇÃO DO ERRO: 
42” por vértice 
ΣΔX’ Σ│ΔX’│ ΣΔY’ Σ│ΔY’│ ERRO 
LINEAR 
PRECISÃO 
 ERRO = 00º07’ -0,1018 464,4652 0,2653 532,4249 0,2842 1/2570 
 
PRECISÃO (P) = PERÍMETRO ; CORREÇÕES CX= ΔX’. ΣΔX’ CY = ΔY’. ΣΔY’ ; 
EL Σ│ΔX’│ Σ│ΔY’│ 
 
ERRO LINEAR(EL) = [(ΣΔX‟)2 + (ΣΔY‟)2] ½ ; PROJEÇÕES ΔX‟ = D.senAz ΔY‟ = D.cosAz 
 
LEV. 
TOPOGRAF.: 
PROF. E 
ALUNOS 
 
DATA: 1996 
CÁLCULO: 
PROF. E 
ALUNOS 
 
 
DATA: 1996 
VISTO: 
 
 
 
 
DATA: 1996 
 
Adaptado do formulário organizado pelo professor Luiz Carlos da Silveira 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 107 
8.4.3. Poligonal fechada em base diferente ou enquadrada 
 
A poligonal fechada em base diferente parte de uma linha de uma poligonal 
fechada e chega numa outra linha da mesma poligonal ou de outra poligonal cujos 
pontos das linhas são conhecidos. Caracteriza-se pelo último vértice não coincidir com 
o vértice inicial, formando, desta forma, um polígono aberto, mas de coordenadas 
iniciais e finais conhecidas. 
 
Desta forma são conhecidos: 
 
 Estação de saída; 
 Azimute na saída (pode não ser conhecido); 
 Ré de saída; 
 Estação de chegada; 
 Vante de chegada; 
 
Elementos a levantar: 
 
 Azimute na chegada; 
 Projeções; 
 Coordenadas; 
 
Neste tipo de poligonal o erro angular é dado pela diferença entre o azimute de 
chegada existente e o azimute de chegada calculado. Quanto ao erro linear, este é 
calculado pela diferença entre as coordenadas de chegada e as coordenadas de saída, 
comparadas com as projeções calculadas. 
 
 
Exemplo elucidativo: 
 
Determinar as coordenadas dos vértices A, B, C e D de uma poligonal 
enquadrada que partiu de um ponto P02 e findou num ponto P14, ambos de coordenadas 
conhecidas: 
 
 
CADERNETA DE LEVANTAMENTO 
Estação Ré Pv Ang. Horiz. Distância (m) 
P02 P01 A 43º54'53" 136,009 
A P02 B 288º44'07" 120,015 
B A C 71º05'06" 152,770 
C B D 305º40'16" 123,220 
D C P14 16º15'37" 139,210 
P14 D P15 175º17'56" - 
Azimute de saída AzP01-P02 = 177º28'03" 
Coordenadas da estação de 
saída 
XP02 = 1119,714 YP02 = 343,119 
Coordenadas das estações de 
chegada 
XP14 = 1405,714 YP14 = 475,129 
XP15 = 1402,127 YP15 = 606,723 
 
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Croqui:Solução: 
 
1) Azimutes 
 
AzP01-P02 = 177º28'03" 
AzP02-A = 177º28'03" + 43º54'53" – 180º = 41º22'56" 
AzA-B = 41º22'56" + 288º44'07" - 180º = 150º07'03" 
AzB-C = 150º07'03" + 71º05'06" – 180º = 41º12'09" 
AzC-D = 41º12'09" + 305º40'16" - 180º = 166º52'25" 
AzD-P14 = 166º52'25" + 16º15'37" – 180º = 3º08'02" 
AzP14-P15 = 3º08'02" + 175º17'56" – 180º = 358º25'58" 
 
 
2) Erro angular 
 
 O erro angular do levantamento é calculado na linha P14 – P15 pela diferença 
entre o azimute de chegada (conhecido) e o calculado. 
 
 Erro angular P14-P15 = AzP14-P15 (conhecido) – AzP14-P15 (calculado) 
 
Mas, o termo „azimute calculado‟ precisa ainda ser conhecido: 
 
 Calcula-se AzP14-P15 pela fórmula 
 
 
 
 
Sendo, 
 
 
 
 
 
N 
A 
B 
C 
D 
AzP01-P02 
P15 
P14 
P02 
P01 
● 
● 
Az'P14-P15 = arc Cos ∆Y 
 D 
→ Az = Az' 
Az = 360º - Az' → 
Sempre que ∆X for positivo 
Sempre que ∆X for negativo, porque o Az estará 
entre 180º e 360º 
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 Onde: 
 
∆Y= projeção da linha no eixo das ordenadas; 
 D = comprimento da linha 14-15; 
 
 Logo 
 
∆Y= YP15 – YP14 = 606,723 – 475,129 = 131,594 
 ∆X = XP15 – XP14 = 1402,127 – 1405,714 = -3,587 
 D = [∆X2 + ∆Y2 ]½ = [(-3,587)2 + (131,594)2 ]½ = 131,6428m 
 
Az‟P14-P15 = arc Cos131,594 = arc Cos 0,999635374 = 1º33'40,99" 
 131,642 
 
AzP14-P15 = 360º - Az‟ = 360º - 1º33'40,99" = 358º26'19" 
 
 
Finalmente 
 
 Erro angular = AzP14-P15 (conhecido) – AzP14-P15 (calculado) 
 Erro angular = 358º26'19" - 358º25'58" = 000º00'21" 
 
 
3) Azimute compensado 
 
Conhecido o erro angular, faz-se a sua distribuição igualmente da estação de 
saída (P02) até a estação de chegada (P14). 
 
Erro distribuído = 21" = 3,5" 
 6 
A correção deve ser acumulada a cada estação. 
 
Ao final da compensação, o AzP14-P15 (calculado) deverá ser igual ao AzP14-P15 
(conhecido): 
 
AzP02-A Compensado = 41º22'56" + 3,5" = 41º22'59,5" 
AzA-B Compensado = 150º07'03" + 7,0" = 150º07'10" 
AzB-C Compensado = 41º12'09" + 10,5" = 41º12'19,5" 
AzC-D Compensado = 166º52'25" + 14" = 166º52'39" 
AzD-P14 Compensado = 3º08'02" + 17,5" = 3º08'19,5" 
AzP14-P15 Compensado = 358º25'58" + 21" = 358º26'19" 
 
 
4) Projeções 
 
ΔX‟P02-A = DP02-A.senAzP02-A = 136,009.sen41º22'59,5" = 89,9144 
ΔX‟A-B = DA-B.senAzA-B = 120,015.sen150º07'10" = 59,7907 
ΔX‟B-C = DB-C.senAzB-C = 152,770.sen41º12'19,5" = 100,6388 
ΔX‟C-D = DC-D.senAzC-D = 123,220.sen166º52'39" = 27,9751 
ΔX‟D-P14 = DD-P14.senAzD-P14 = 139,210.sen3º08'19,5" = 7,6223 
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ΔY‟P02-A = DP02-A.cosAzP02-A = 136,009.cos41º22'59,5" = 102,0482 
ΔY‟A-B = DA-B.cosAzA-B = 120,015.cos150º07'10" = -104,0609 
ΔY‟B-C = DB-C.cosAzB-C = 152,770.cos41º12'19,5" = 114,9396 
ΔY‟C-D = DC-D.cosAzC-D = 123,220.cos166º52'39" = -120,0023 
ΔY‟D-P14 = DD-P14.cosAzD-P14 = 139,210.cos3º08'19,5" = 139,0012 
 
 
5) Soma das projeções: 
 
ΣΔX‟ = 285,941 
Σ|ΔX‟| = 285,941 
ΣΔY‟ = 131,926 
Σ|ΔY‟| = 580,052 
 
 
6) Erro linear 
 
 O erro linear é dado pela fórmula: 
 
 
 
ErroX = ΣΔX - ΣΔX’ 
 
 Sendo 
ΣΔX = XP14 (chegada) – XP02 (saída) 
ΣΔX = 1405,714 – 1119,714 
ΣΔX = 286,000 
 
Erro X = 286,000 – 285,941 = 0,059m 
 
ErroY = ΣΔY - ΣΔY’ 
 
 Sendo 
ΣΔY = YP14 (chegada) – YP02 (saída) 
ΣΔY = 475,129 – 343,119 
ΣΔY = 132,01 
 
Erro Y = 132,01 – 131,9258 = 0,0842m 
 
Finalmente 
 
 EL = [(0,059)
2
 + (0,0842)
2
 ]
½
 
EL = 0,103 
 
 
7) Precisão 
 
A precisão indica a distância de levantamento para se obter o erro de 1 metro. A 
precisão do levantamento é dada pela fórmula: 
 
 
EL = [(ErroX)
2
 + (ErroY)
2
]
½
 
 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 111 
 
 
Onde: 
 
Perímetro = soma dos lados da poligonal; 
 EL = erro linear; 
 
Logo, 
 
P = 671,224 = 6516,74 
 0,103 
 A precisão é anotada na forma de escala → P = 1: 6516,74 
 
 
8) Correções do Erro Linear: 
 
No eixo do X 
 
 
 
 
 
 
 
 
CP02-A = 0,000206336.(89,9144) = 0,018552 
CA-B = 0,000206336.(59,7907) = 0,012336 
CB-C = 0,000206336.(100,6388) = 0,020765 
CC-D = 0,000206336.(27,9751) = 0,005772 
CD-P14 = 0,000206336.(7,6223) = 0,001573 
 
No eixo do Y 
 
 
 
 
 
 
 
 
CP02-A = 0,000145159.(102,0482) = 0,014813 
CA-B = 0,000145159.(-104,0609) = -0,015105 
CB-C = 0,000145159.(114,9396) = 0,016684 
CC-D = 0,000145159.(-120,0023) = -0,017419 
CD-P14 = 0,000145159.(139,0012) = 0,020178 
 
 
9) Projeções compensadas 
 
 As projeções compensadas são calculadas pelas fórmulas: 
P = Perímetro 
 EL 
Cx = |ΔX‟.ErroX| 
Σ|ΔX‟| 
Cy = |ΔY‟.ErroY| 
 Σ|ΔY‟| 
Cx = | ΔX‟.(0,059) | = 0,000206336.ΔX‟ 
 285,941 
Cy = | ΔY‟.(0,0842) | = 0,000145159.ΔY‟ 
 580,052 
 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 112 
 
 
 
 
Logo, 
 
ΔXP02-A = ΔX‟P02-A + C P02-A = 89,9144 + 0,018552 = 89,9329 
ΔXA-B = ΔX‟A-B + C A-B = 59,7907 + 0,012336 = 59,8030 
ΔXB-C = ΔX‟B-C + C B-C = 100,6388 + 0,020765 = 100,6596 
ΔXC-D = ΔX‟C-D + C C-D = 27,9751 + 0,005772 = 27,9809 
ΔXD-P14 = ΔX‟D-P14 + C D-P14 = 7,6223 + 0,001573 = 7,6239 
 ΣΔX = 286,0000 
 
ΔYP02-A = ΔY‟P02-A + C P02-A = 102,0482 + 0,014813 = 102,0630 
ΔYA-B = ΔY‟A-B + C A-B = -104,0609 + (-0,015105) = -104,0760 
ΔYB-C = ΔY‟B-C + C B-C = 114,9396 + 0,016684 = 114,9563 
ΔYC-D = ΔY‟C-D + C C-D = -120,0023 + (-0,017419) = -120,0197 
ΔYD-P14 = ΔY‟D-P14 + C D-P14 = 139,0012 + 0,020178 = 139,0214 
 ΣΔY = 131,945 
 
 
10) Coordenadas 
 
XP02 = 1119,714 
XA = XP02 + ΔXP02-A = 1119,714 + 89,9329 = 1209,65 
XB = XA + ΔXA-B = 1209,65 + 59,8030 = 1269,45 
XC = XB + ΔXB-C = 1269,45 + 100,6596 = 1370,11 
XD = XC + ΔXC-D = 1370,1095 + 27,9809 = 1398,09 
XP14 = XD + ΔXD-P14 = 1398,09 + 7,6239 = 1405,71 → OK! 
 
YP02 = 343,119 
YA = YP02 + ΔYP02-A = 343,119 + 102,0630 = 445,18 
YB = YA + ΔYA-B = 445,18 -104,0760 = 341,11 
YC = YB + ΔYB-C = 341,11 + 114,9563 = 456,06 
YD = YC + ΔYC-D = 456,06 – 120,0197 = 336,04 
YP14 = YD + ΔYD-P14 = 336,04 + 139,0214 = 475,06 → OK! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ΔX = ΔX‟ + Cx ΔY = ΔY‟ + Cy 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 113 
 PLANILHA DE CÁLCULO ANALÍTICO – POLIGONAL ENQUADRADA 
SERVIÇO: Exemplo elucidativo LOCAL: TEODOLITO: 
FOLHA nº: Única 
AZ.SAÍDA: AzP0-P02 = 177º28'03" COORD. SAÍDA: XP02 = 1119,714 YP02 = 343,119 AZ.CHEGADA: Az14-15 = 358º26'19" 
COORD. CHEGADA: X14 =1405,714 Y14 = 475,129 
 
 
E 
 
PV 
ÂNGULOS 
LIDOS 
AZIMUTE 
CALCULAD
O 
ER 
RO 
 
AZIMUTE 
CORRIGIDO 
DIST. 
(m) 
PROJEÇÃO NO EIXO X PROJEÇÃO NO EIXO Y 
COORDENADAS CALCU 
LADA 
CORRE 
ÇÃO 
COMPEN 
SADA 
CALCU- 
LADA 
CORRE 
ÇÃO 
COMPEN
SADA 
º ' "º ' " " º ' " ΔX’ CX ΔX ΔY’ CY ΔY X Y 
P02 A 43 54 53 41 22 56 3,5 41 22 59,5 136,009 89,9144 0,018552 89,9329 102,0482 0,014813 102,0630 1209,65 445,18 
A B 288 44 07 150 07 03 7,0 150 07 10 120,015 59,7907 0,012336 59,8030 -104,0609 -0,015105 -104,0760 1269,45 341,11 
B C 71 05 06 41 12 09 10,5 41 12 19,5 152,770 100,6388 0,020765 100,6596 114,9396 0,016684 114,9563 1370,11 456,06 
C D 305 40 16 166 52 25 14 166 52 39 123,220 27,9751 0,005772 27,9809 -120,0023 -0,017419 -120,0197 1398,09 336,04 
D 14 16 15 37 3 08 02 17,5 3 08 19,5 139,210 7,6223 0,001573 7,6239 139,0012 0,020178 139,0214 1405,71 475,06 
 
AZIMUTE CALCULADO 358 25 58 671,224 
AZIMUTE CONHECIDO 358 26 19 DISTR ERRO ANGULAR ACUMULADO 
3,5”/vértice 
ERRO X Σ│ΔX’│ ERRO Y Σ│ΔY’│ E. Linear PRECISÃO 
ERRO 21 0,059 285,941 0,0842 580,052 0,103 1/6516,74 
 
PRECISÃO(P) = PERÍMETRO ; CORREÇÕES CX = ΔX’.ERROX ; CY = ΔY’.ERROY ; 
 Σ│ΔX’│ Σ│ΔY’│ 
ERRO LINEAR (EL) =[(ErroX)2+(ErroY)2] ½ 
ErroX = ΣΔX – ΣΔX’ = (Xchegada – Xsaída) - ΣΔX’ ; ErroY = ΣΔY – ΣΔY’ = (Ychegada – Ysaída) - ΣΔY’ ; 
PROJEÇÕES ΔX’ = D.senAz ΔY’ = D.conAz 
 
 
LEV.TOPOGRÁFICO: 
 
 
 
DATA: 
 
CÁLCULO: 
 
 
 
DATA: 
 
VISTO: 
 
 
 
DATA: 
ΣΔX’ ΣΔY’ 
 
286 
 
131,945 
 
 
 
 
Adaptado do formulário organizado pelo professor Luiz Carlos da Silveira. 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 114 
8.5. Levantamento por irradiação 
 
Conhecido também como método das coordenadas polares, este método é 
bastante útil em projetos que exigem “amarração” de detalhes. 
 
Uma vez demarcada e levantada a poligonal principal (aberta ou fechada), o 
método consiste em escolher, estrategicamente, um ou mais pontos „P‟ pertencentes a 
essa poligonal, de onde possam ser avistados os pontos que definem o detalhe a 
levantar. Assim, deste ponto „P‟ são medidas as distâncias (através dos métodos de 
medição de distâncias horizontais conhecidos) aos pontos definidores do referido 
detalhe, bem como, os ângulos horizontais entre os alinhamentos que possuem „P‟ como 
vértice. 
 
A precisão resultante do levantamento dependerá, evidentemente, do tipo de 
dispositivo ou equipamento utilizado. 
 
A execução dos cálculos para a obtenção das coordenadas dos diversos pontos 
avistados pode ser feita na mesma planilha de cálculos da poligonal principal (poligonal 
fechada ou enquadrada), ressaltando-se que o fechamento desta independe dos pontos 
irradiados. 
 
 
Exemplo elucidativo: 
 
Determinar as coordenadas planas-UTM dos pontos irradiados P10, P11, P12 e 
P13 a partir da poligonal-escola de coordenadas previamente levantadas. 
 
Croqui: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 115 
Caderneta de campo 
 
CADERNETA DE LEVANTAMENTO 
Estação Ré Pv Ang. Horiz. Distância (m) 
P02 P01 P12 142º14'00" 71,20 
P02 P01 P13 172º13'50" 82,10 
P09 P08 P10 87º12'06" 29,00 
P09 P08 P11 121º08'18" 20,62 
Coordenadas P02 E = 757476,6 N = 8959368,6 
Coordenadas P09 E = 757576,0 N = 8959339,3 
Azimute saída Az P01-P02 = 215º08'42" 
AzP08-P09 = 339º28'36" 
 
Solução: 
 
1) Azimutes 
 
AzP01-P02 = 215º08'42" 
AzP02-P12 = 215º08'42" + 142º14'00" – 180º = 177º22'42" 
AzP02-P13 = 177º22'42" + 172º13'50" – 180º = 169º36'32" 
 
AzP08-P09 = 339º28'36" 
AzP09-P10 = 339º28'36" + 87º12'06" – 180º = 246º40'42" 
AzP09-P11 = 246º40'42" + 121º08'18" – 180º = 187º49'00" 
 
 
2) Projeções 
 
ΔEP02-P12 = DP02-P12.senAzP02-P12 = 71,20.sen177º22'42" = 70,673 
ΔEP02-P13 = DP02-P13.senAzP02-P13 = 82,10.sen169º36'32" = -3,046 
ΔEP09-P10 = DP09-P10.senAzP09-P10 = 29,00.sen246º40'42" = 28,942 
ΔEP09-P11 = DP09-P11.senAzP09-P11 = 20,62.sen187º49'00" = -12,947 
 
ΔNP02-P12 = DP02-P12.cosAzP02-P12 = 71,20.cos177º22'42" = 8,640 
ΔNP02-P13 = DP02-P13.cosAzP02-P13 = 82,10.cos169º36'32" = 82,043 
ΔNP09-P10 = DP09-P10.cosAzP09-P10 = 29,00.cos246º40'42" = -1,834 
ΔNP09-P11 = DP09-P11.cosAzP09-P11 = 20,62.cos187º49'00" = 16,047 
 
 
3) Coordenadas 
 
A partir do vértice P02 
 
EP02 = 757476,6 
EP12 = EP02 + ΔEP02-P12 = 757476,6 + 70,673 = 757547,27 
EP13 = XP12 + ΔEP01-P13 = 757547,27 + (-3,046) = 757544,23 
 
NP02 = 8959368,6 
NP12 = NP02 + ΔNP02-P12 = 8959368,6 + 8,64 = 8959377,24 
NP13 = NP12 + ΔNP02-P13 = 8959377,24 + 82,043 = 8959459,28 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 116 
A partir do vértice P09 
 
EP09 = 757576,0 
EP10 = EP09 + ΔEP09-P10 = 757576,0 + 28,942 = 757604,94 
EP11 = XP12 + ΔEP09-P11 = 757604,94 + (-12,947) = 757591,99 
 
NP09 = 8959339,3 
NP10 = NP09 + ΔNP09-P10 = 8959339,3 + (-1,834) = 8959337,47 
NP11 = NP12 + ΔNP09-P11 = 8959377,47 + 16,047 = 8959393,52 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ivancildo F. dos Santos – IFAL/Campus Palmeira dos Índios - Alagoas 118 
 PLANILHA DE CÁLCULO ANALÍTICO – POLIGONAL FECHADA NA MESMA BASE 
 
SERVIÇO: Exemplo elucidativo LOCAL: perímetro da UNED/PIn TEODOLITO: Wild de precisão 6” 
AZIMUTE INICIAL: AzP00-P01 = 274º COORDENADAS INICIAIS: XP00 = E P00 = 757533,197 ; YP00 = N P00 = 8959419,244 
 
E 
 
PV 
ÃNGULOS 
AZIMUTE DIST. 
(m) 
PROJEÇÃO NO EIXO X PROJEÇÃO NO EIXO Y 
COORDENADAS 
LIDO 
ER
RO 
COMPEN 
SADO 
CALCU 
LADA 
CORRE 
ÇÃO 
COMPEN 
SADA 
CALCU 
LADA 
CORRE 
ÇÃO 
COMPEN 
SADA 
º ' " " º ' " º ' " ΔX’ CX ΔX ΔY’ CY ΔY X Y 
P00 P01 122 12 00 42 122 12 42 274 20,0 -19,9513 0,004372 -19,946928 1,3951 0,000695 1,394405 757513,2 8959420,6 
P01 P02 121 08 00 42 121 08 42 215 08 42 63,6 -36,6112 0,008024 -36,603176 -52,0056 0,025914 -52,031514 757476,6 8959368,6 
P02 P03 197 14 00 42 197 14 42 232 23 24 141,2 -111,8563 0,024516 -111,831784 -86,1720 0,042938 -86,214938 757364,8 8959282,3 
P03 P04 97 13 00 42 97 13 42 149 37 06 15,2 7,6875 0,001685 7,689185 -13,1127 0,006534 -13,119234 757372,5 8959269,1 
P04 P05 167 14 00 42 167 14 42 136 51 48 96,0 65,6391 0,014386 65,653486 -70,0536 0,034907 -70,088507 757438,1 8959199,1 
P05 P06 166 56 00 42 166 56 42 123 48 30 80,4 66,8046 0,014642 66,819242 -44,7359 0,022291 -44,758191 757504,9 8959154,3 
P06 P07 75 58 00 42 75 58 42 19 47 12 75,1 25,4296 0,005574 25,435174 70,6636 0,035211 70,628389 757530,4 8959224,9 
P07 P08 209 02 00 42 209 02 42 48 49 54 88,5 66,6209 0,014602 66,635502 58,2572 0,029029 58,228171 757597,5 8959283,2 
P08 P09 110 38 00 42 110 38 42 339 28 36 60,0 -21,0353 0,004610 -21,03069 56,1918 0,027999 56,163801 757576,0 8959339,3 
P09 P00 172 18 00 42 172 18 42 331 47 18 90,6 -42,8294 0,009387 -42,820013 79,8374 0,039782 79,797618 757533,1 8959419,2 
 
P02 P12 142 14 00 - - - - - - - 71,2 70,673 - - 8,640 - - 757547,2 8959377,2 
P02 P13 172 13 50 - - - - - - - 82,10 -3,046 - - 82,043 - - 757544,2 8959459,2 
P09 P10 87 12 06 - - - - - - - 29,0 28,942 - - -1,834 - - 757604,9 8959337,4 
P09 P11 121 08 18 - - - - - - - 20,62 -12,947 - - 16,047 - - 757591,9 8959393,5 
 
SOMA 1439 53 00 1440 00 00 730,6 0,1018 ΣΔX = 0 -0,2653ΣΔY = 0 
180. (N-2) = 1440º00'00" DISTRIBUIÇÃO DO ERRO: 
42” por vértice 
ΣΔX’ Σ│ΔX’│ ΣΔY’ Σ│ΔY’│ ERR LINEAR PRECISÃO 
 ERRO = 00º07’ -0,1018 464,4652 0,2653 532,4249 0,2842 1/2570 
 
PRECISÃO (P) = PERÍMETRO ; CORREÇÕES CX= ΔX‟. ΣΔX‟ CY = ΔY‟. ΣΔY‟ ; 
EL Σ│ΔX‟│ Σ│ΔY‟│ 
 
ERRO LINEAR(EL) = [(ΣΔX‟)2 + (ΣΔY‟)2] ½ ; PROJEÇÕES ΔX‟ = D.senAz ΔY‟ = D.cosAz 
 
LEV. 
TOPOGRAF.: 
PROF. E 
ALUNOS 
 
DATA: 1996 
CÁLCULO: 
PROF. E 
ALUNOS 
 
 
DATA: 1996 
VISTO: 
 
 
 
 
DATA: 1996 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 119 
8.6. Levantamento por interseção a vante 
 
Conhecido também como método das coordenadas bipolares, este método é 
bastante útil em projetos que exigem “amarração” de detalhes inacessíveis, seja pela 
distância ou por obstáculos intransponíveis. 
 
Porém, não deixa de ser semelhante ao método anterior, exigindo que se tenha 
uma poligonal principal demarcada e levantada (aberta ou fechada). Desta vez, deve-se 
escolher na poligonal, não um, mais dois vértices „P‟ e „Q‟ subseqüentes (Ambos 
extremos de um mesmo alinhamento – linha base) que possam avistar, 
simultaneamente, os pontos que definem o detalhe a levantar. 
 
Os pontos topográficos a serem levantados serão definidos pelas interseções dos 
lados de ângulos horizontais medidos das extremidades da base estabelecida na 
poligonal. A precisão resultante do levantamento dependerá, evidentemente, do tipo de 
dispositivo ou equipamento utilizado. 
 
Para a execução dos cálculos das coordenadas bipolares dos diversos pontos 
avistados, pode-se aproveitar a planilha de cálculos da poligonal principal. 
 
 
Exemplo elucidativo: 
 
Determinar as coordenadas planas-UTM dos pontos P14 e P15, que delimitam a 
fachada de um terreno existente em uma área externa e inacessível da poligonal-escola 
de coordenadas previamente levantadas. 
 
Croqui: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 120 
Caderneta de campo 
 
LEVANTAMENTO DE CAMPO 
Estação Ré Pv Ang. Horiz. 
P09 P08 P14 214º33'00" 
P09 P08 P15 244º31'50" 
P00 P09 P14 300º18'06" 
P00 P09 P15 325º48'18" 
Coordenadas P00 E = 757533,197 N = 8959419,244 
Coordenadas P09 E = 757576,0 N = 8959339,3 
Azimute saída Az P08-P09 = 339º28'36" 
AzP09-P00 = 331º47'18" 
 
 
Solução: 
 
1) Azimutes 
 
AzP08-P09 = 339º28'36" 
AzP09-P14 = 339º28'36" + 214º33'00" = 554º01'36" ou 194º01'36" 
AzP09-P15 = 339º28'36" + 244º31'50" = 584º00'26" ou 224º00'26" 
 
AzP09-P00 = 331º47'18" 
AzP09-P14 = 331º47'18" + 300º18'06" = 632º05'24" ou 272º05'24" 
AzP09-P15 = 331º47'18" + 325º48'18" = 657º35'36" ou 297º35'36" 
 
 
2) Coordenadas 
 
Estamos diante da interseção de retas oblíquas nos pontos P14 e P15. Da 
trigonometria, pode-se conhecer as coordenadas dos pontos (EP14,NP14) e (EP14,NP15) por 
interseção das linhas oblíquas P00-P14 com P09-P14 e P00-P15 com P09-P15: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Coordenadas do ponto P14 
 
 
 
 
 
 
XP14 = (YP00 – XP00.cotgAzP00-P14) – (YP09 - XP09.cotgAzP09-P14) 
 cotgAzP09-P14 - cotgAzP00-P14 
P14 
P00 
Az3P00-P14 
N 
N 
P09 
● 
N 
● 
P15 
P00 
P09 
Az3P09-P14 
N 
Az3P09-P15 
Az3P00-P15 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 121 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Coordenadas do ponto P15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
YP14 = (XP00 – YP00.tgAzP00-P14) – (XP09 - YP09.tgAzP09-P14) 
 tgAzP09-P14 - tgAzP00-P14 
XP14 = (8959419,244 -757533,197.cotg272º05'24") – (8959339,3 -757576,0.cotg194º01'36") 
 cotg194º01'36" - cotg272º05'24" 
YP14 = (757533,197 – 8959419,244.tg272º05'24") – (757576,0 – 8959339,3tg194º01'36") 
 tg194º01'36" - tg272º05'24" 
XP14 = (8959419,244 + 269874,2773) – (8959339,3 + 809821,5038) 
 -1,068964043 – (-0,35625406) 
XP14 = 9229293,521 – 9769160,804 = 
 -0,71270998 
XP14 = 757485,2298 
 
YP14 = (757533,197 + 25148960,36) – (757576,0 + 8381328,97) 
 -0,935485 – (-2,806985) 
XP14 = 25906493,56 – 9138904,97 = 
 1,8715 
XP14 = 8959438,199 
 
XP15 = (YP00 – XP00.cotgAzP00-P15) – (YP09 - XP09.cotgAzP09-P15) 
 cotgAzP09-P15 - cotgAzP00-P15 
YP15 = (XP00 – YP00.tgAzP00-P15) – (XP09 - YP09.tgAzP09-P15) 
 tgAzP09-P15 - tgAzP00-P15 
XP15 = (8959419,244 -757533,197.cotg297º35'36") – (8959339,3 -757576,0.cotg224º00'26") 
 cotg224º00'26" - cotg297º35'36" 
YP15 = (757533,197 – 8959419,244.tg297º35'36") – (757576,0 – 8959339,3tg224º00'26") 
 tg224º00'26" - tg297º35'36" 
XP15 = (8959419,244 + 654854,8749) – (8959339,3 – 537020,9294) 
 0,7088674 - (-0,864457) 
XP15 = 9614274,119 – 8422318,371 = 1191955,748 
 1,5733244 
XP15 = 757603,294 
 
YP15 = (757533,197 + 10364213,76) – (757576,0 – 12638948,76) 
 1,4107009 – (-1,1567952) 
XP15 = 11121746,96 +11881372,76 = 
 2,5674961 
XP15 = 8959359,167 
 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 122 
8.7. Levantamento por interseção a ré 
 
O problema de interseção à ré ou problema de Pothenot, foi inicialmente 
concebido para utilização em navegação. O navegador visava três pontos na costa 
(faróis 03, 02 e 01, por exemplo), media os ângulos A e B, e através da geometria, 
determinava sua posição no mar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com o passar dos tempos o problema de Pothenot também foi implantado na 
solução de problemas rotineiros da topografia em pontos de difícil acesso em áreas 
rurais e urbanas. 
 
 
Exemplo elucidativo: 
 
 Determinar por Pothenot as coordenadas do ponto topográfico P04, quando 
através dele foi possível observar e medir os ângulos aos pontos inacessíveis 01, 02 e 03 
de coordenadas (X,Y) conhecidas: 
 
 
Croqui 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando como dados: 
03 
02 
01 
observador 
A B 
03 
02 
01 
P04 
A B 
C D 
2' ^ ^
' 
2" ^
' 
^
' 
^
' 
^
' 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 123 
 
Ponto 01 Ponto 02 Ponto 03 
X01 = 108,31 X02 = 57,964 X03 = 10,033 
Y01 = 106,215 Y02 = 126,701 Y03 = 112,415 
Ângulo horizontal medido 
A = 34º36'20" B = 38º41'20" 
 
 
Solução: 
 
1) Comprimento das linhas 01-02 e 02-03: 
 
Linha 01-02: 
 D01-02 =[(X02 – X01)
2
 + (Y02 – Y01)
2 
]½ 
D01-02 = 54,354m 
 
Linha 02-03: 
D02-03 = [(X03 - X02)
2
 + (Y03 – Y02)
2 
]½ 
DGPS02-03 = 50,015m 
 
 
2) Azimute das linhas 01-02 e 02-03: 
 
Conhecidas as coordenadas da linha 01-02, calcula-se o azimute Az'01-02: 
 
 
 
 
 
Analisando Az em função do Az': 
 
 
 
 
 
 
 Onde: ∆Y= projeção da linha no eixo das ordenadas; 
 D = comprimento da linha 01-02; 
 
Daí, 
 
Az‟01-02 = arccos(Y02 – Y01) = arcos(126,701 – 106,215) = arccos 0,3768 
 D02-01 54,354 
 
 Az‟01-02 = 67º51'29,64" 
 
Sendo 
∆X (X02 – X01) < 0 
 Az01-02 = 360º - Az‟01-02 = 360º - 67º51'29,64" = 292º08'30,36" 
 Az01-02 = 292º08'30,36" 
Az'01-02 = arcCos ∆Y 
 D 
→ Az = Az' 
Az = 360º - Az' → 
Sempre que ∆X da linha for positivo 
Sempre que ∆X da linha for negativo, porque o Az estará entre 
180º e 360º 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 124 
Analogamente, 
 
Az‟02-03 = arccos (Y03 – Y02 ) 
 D02-03 
 
Az‟02-03 = arccos (112,415 – 126,701) = arccos (-0,285634) 
 50,015 
 
Az‟02-03 = 106º35'48,3" 
 
Sendo 
∆X (X03 – X02) < 0 
 Az02-03 = 360º - Az‟02-03 = 360º - 106º35'48,3" 
 Az02-03 = 253º24'11,7" 
 
 
3) Ângulo 2 = 2' + 2" : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Az02-03 = Az01-02 + 2 ± 180º 
 
Onde 
 
2 = Az02-03 – Az01-02 ± 180º 
 
2 = 253º24'11,7" - 292º08'30,36" ± 180º 
 
2 = 141º15'41,3" 
 
 
4) Ângulos D e C: 
 
 A + B + C + D + 2 = 360º 
 
 34º36'20" + 38º41'20" + C + D + 141º15'41,3" = 360º 
 
 C + D = 145º26'38,7" 
 
Por outro lado, 
 
tg(D – C) = tg(D + C) . K – 1 
 2 2 K +1 
^
' 
^
' 
^
' 
^
' 
^ 
02 
01 
03 
Az02-03 
Az01-02 
^
' 
2 
^
' 
^
' 
^ ^ ^ ^ ^ 
^ ^ 
^ ^ 
N 
^ 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 125 
 
 = 54,354 . sen 34º36'20" = 0,987364857 
 50,015 . sen 38º41'20" 
 
K -1 = 0,987364857 - 1 = - 0,00635773700187 
K+1 0,987364857 + 1 
 
Substituindo os valores na expressão acima, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os ângulos C e D são determinados a partir do sistema de duas equações a duas 
incógnitas 
 
D + C = 145º26'38,70" 
 
D - C = -2º20'30,95" 
 
Logo, 
 
D = 71º33'03,88" 
 
C = 73º53'34,82" 
 
 
5) Lados 03-04 e 01-04: 
 
Do triângulo de vértices 02, 03 e 04, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
tg(D – C) = tg(145º26'38,7") . (-0,00635773700187) 
 2 2 
 
tg(D – C) = - 0,020440035 
 2 
 
(D – C) = 2.arctg (-0,020440035) 
 
(D – C) = - 2,341929365 
 
D – C = -2º20'30,95" 
K = D01-02 sen A E 
 D02-03 sen B 
^ ^ 
^ 
^ 
03 
02 
04 
A 
D 
2' 
^
' ^
' 
^
' 
^ ^ 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 126 
 
2‟ + D + A = 180º 
 
2‟ = 180º - D - A = 180º - 71º33'03,88" - 34º36'20" 
 
2‟ = 73º50'36,12" 
 
 
Numa relação de senos, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Do triângulo de vértices 01, 02 e 04, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2” + B + C = 180º 
 
2” = 180º - B - C = 180º - 38º41'20" - 73º53'34,82" 
 
2” = 67º25'05,18" 
 
 
Numa relação de senos, 
 
 
 
 
 
 
 
 
D03-04 = D02-03 
 sen 2‟ sen A 
 
D03-04 = D02-03 sen 2‟ = 50,015 . sen73º50'36,12" s 
 sen A sen34º36'20" 
D03-04 = 84,588m 
^
' 
^
' 
^
' 
^ ^ ^ 
D01-04 = D01-02 
sen 2” sen B 
 
D01-04 = D01-02 sen 2” = 54,354 . sen67º25'05,18" s 
 sen B sen38º41'20" 
D01-04 = 80,287m 
^
' 
^
' 
^
' 
01 
02 
04 
B 
C 
2” ^
' ^
' 
^
' 
^ ^ ^ 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 127 
 
6) Coordenadas do vértice 04: 
 
Precisa-se de 
 
Az01-04 = Az02-01 – C ± 180º 
Az01-04 = (Az01-02 – 180º) - 73º53'34,82" ± 180º 
Az01-04 = (292º08'30,36" – 180º) - 73º53'34,82" ± 180º 
Az01-04 = 112º08'30,36" - 73º53'34,82" ± 180º 
Az01-04 = 218º14'55,5" 
 
Az03-04 = Az02-03 + D ± 180º 
Az03-04 = 253º24'11,7" + 71º33'03,88" ± 180º 
Az03-04 = 144º57'15,5" 
 
 
Coordenadas (X04 , Y04) do vértice 04 a partir do ponto 01, 
 
X04 = X01 + D01-04 . senAz01-04 
X04 = 108,31 + 80,287.sen218º14'55,5" 
X04 = 58,606 
 
Y04 = Y01 + D01-04 . cosAz01-04 
Y04 = 106,215 + 80,287.cos218º14'55,5" 
Y04 = 43,163 
 
Coordenadas (X04 , Y04) do vértice 04 a partir do ponto 03, 
 
X04 = X03 + D03-04 . senAz03-04 
X04 = 10,033 + 84,588.sen144º57'15,5" 
X04 = 58,606 
 
Y04 = Y03 + D03-04 . cosAz03-04 
Y04 = 112,415 + 84,588.cos144º57'15,5" 
Y04 = 43,163 
 
 
8.8. Fase da locação 
 
Conforme dito no início deste capítulo, locação é a operação inversa do 
levantamento. No levantamento, também chamado de medição, o profissional vai ao 
terreno obter medidas de ângulos e distâncias para, no escritório, calcular e desenhar. 
 
Na locação, também chamada de marcação, os dados foram previamente 
elaborados no escritório através de um projeto. O projeto da obra, no entanto, deverá ser 
implantado no terreno. Para isso, o profissional em topografia, munido dos dados do 
projeto, irá locá-los no terreno. 
 
Basicamente, a locação pode ser efetuada usando-se os dois sistemas de 
coordenadas conhecidos: 
^
' 
^
' 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 128 
 
▪ Retangulares 
 
▪ Polares 
 
Como regra geral, pode-se afirmar que as coordenadas retangulares ou 
cartesianas são melhores para locar alinhamentos, e as coordenadas polares (ângulo em 
uma direção e uma distância) para locar pontos. 
 
O processo de locação de um edifício, por exemplo, não significa apenas sua 
locação no plano. É necessário observar as diversas cotas de apoio e de arrasamento 
para sapatas, blocos, tubulões ou estacas. Não observar tal arrasamento (nível adotado 
para corte da cabeça de estacas, por exemplo) fatalmente acarretará grandes prejuízos, 
gastos adicionais desnecessários e grandes dificuldades de execução. 
 
 
8.8.1. Locação de residências 
 
O processo de locação de uma residência é praticamente semelhante ao de um 
prédio com vários andares. Difere apenas no controle da verticalidade e transferência 
dos alinhamentos para os andares superiores (etapa que independe da presença de um 
profissional em topografia). 
 
Para as locações dos pilares, blocos, sapatas isoladas ou corridas, estacas ou 
tubulões, vigas baldrames e as paredes deve-se dispor da planta de arquitetura e 
estrutura. Como os alinhamentos para vigas e baldrames são a base do projeto, o uso das 
coordenadas retangulares é mais favorável. 
 
Os engenheiros calculistas normalmente entregam ao engenheiro de obra os 
cálculos estruturais constando de dimensões das vigas, pilares e demais elementos 
estruturais. Todavia, estas informações sãoinsuficientes para a locação, devendo 
constar ainda: 
 
▪ Planta de locação do gabarito, no sistema de coordenadas retangulares; 
 
▪ Planta de amarração dos eixos aos demais elementos estruturais (estacas, 
tubulões, blocos, pilares e vigas baldrames); 
 
▪ Cotas de arrasamentos das sapatas, estacas ou tubulões; 
 
 
O procedimento de locação no campo: 
 
Para um bom controle de locação de uma residência ou prédio devemos seguir 
os seguintes passos: 
 
▪ De posse da planta com os eixos, loca-se a posição do gabarito que deve 
contornar a área de construção, observando-se uma folga entre as paredes e o sarrafo de 
1,30 a 1,50 metros para que os pontaletes (de caibros ou eucaliptos) possam ser 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 129 
utilizados como futuras "passarelas” dos andaimes. Essa locação não carece da presença 
do profissional em topografia. 
 
 
 
▪ Loca-se, aleatoriamente, dois pontos A e B. O primeiro ponto “amarrado”, por 
exemplo, na linha do meio fio e o segundo (B) na transversal dessa linha e dentro da 
área a construir. A partir do ponto B, e transversalmente à linha que o gerou, cria-se 
uma linha que vai de encontro às faces da tábua corrida. Registra-se esse cruzamento 
colocando um prego em cada seccionamento. 
 
Área a construir 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 130 
Após tal locação, estica-se uma linha através do uso de diastímetro e fazem-se 
medidas aleatórias de tamanho (Y), por exemplo, verificando essas medidas por meio de 
medidas aleatórias (X) e de diagonais do retângulo. Se estas diagonais tiverem o mesmo 
valor significa que construímos ou demarcamos realmente um quadrilátero. 
 
Caso ocorra diferença devemos verificar e corrigir eventuais erros. Somente 
após a total correção é que deveremos continuar a locação da obra. 
 
 
 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 131 
▪ Concluída a verificação da ortogonalidade dos eixos aleatórios é que 
iniciaremos a locação (na tábua corrida) dos diversos eixos fornecidos pelo projetista 
estrutural. Após a demarcação desses eixos, amarra-se a eles as respectivas estacas ou 
tubulões, pilares, blocos, vigas baldrames e paredes. A amarração deve ser efetuada 
sempre pelos eixos. A fixação dos eixos e feito por intermédio de cravação de pregos 
nas quatro faces da tábua corrida. 
 
Por exemplo, a estaca X tem seu local fixado pela interseção de duas linhas 
esticadas: uma do prego “Ax” ao prego “Ax” e outra do prego “Ay” ao “Ay”. Depois de 
terminada a cravação de todos os pregos necessários, iremos esticando linhas 2 a 2 e as 
interseções estarão no mesmo prumos do local escolhido pelo projeto para a cravação 
das estacas ou tubulões. 
 
 
 
 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 132 
▪ Deve-se ainda, transferir a cota do RN para o gabarito (que deve estar 
nivelado). Com esta cota do gabarito podemos marcar todas as cotas de arrasamento das 
estacas. 
 
 
 
 
▪ Identificar as estacas ou tubulões em função da cota de arrasamento. Preparar 
para o mestre, encarregado, construtor ou operador de máquina do estaqueamento uma 
galga para cada valor de arrasamento. Esta galga deve ter como referência a cota da 
parte superior do gabarito. 
 
 
 
▪ Após a conclusão das locações dos eixos, caberá ao mestre de obra ou 
construtor a colocação de pregos laterais que marquem a largura necessária para 
abertura da vala, das vigas baldrames e paredes. 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 133 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A Figura anterior mostra um conjunto de pregos que 2 a 2 marcam com 12 cm a 
largura da parede (só tijolo, sem revestimento), com 20 cm a largura da viga baldrame 
(dado em função do projeto estrutural, normalmente coincidem com a largura da 
parede) e com 40 cm a largura da vala. Este último par de pregos pode ser dispensado, 
sendo que os pedreiros abrem a vala um pouco maior do que a largura do alicerce. É 
importante também o controle da profundidade da vala, controlada através de uma 
galga. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 134 
09. CÁLCULO DE ÁREA 
 
9.1. Introdução 
 
 Na medição da área de um terreno, compreende-se determinar a área com limites 
pré-fixados. Deve-se considerar que, as áreas avaliadas topograficamente são aquelas 
que realmente nos interessam, porque além de só podermos contar efetivamente com 
elas, todas as construções apóiam-se em projeção horizontal. 
 
Para fins legais, uma área de um terreno é calculada segundo as projeções dos 
seus limites. 
 
Assim sendo, este capítulo enfoca a medida das áreas topográficas, através de 
medições feitas diretamente no terreno, por meio de números que representam as 
diversas dimensões obtidas ou, usando-se as grandezas gráficas (desenhos) medidas nas 
plantas topográficas, sendo estas transformadas em grandezas naturais, antes ou após os 
cálculos, obedecendo-se à escala da planta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para alcançar esses objetivos, três são os processos empregados, dependendo do 
maior ou menor rigor com que se deseja a avaliação da área: 
 
 ▪ Processo geométrico 
 
▪ Processo analítico 
 
▪ Processo mecânico 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 135 
9.2. Processo geométrico 
 
Pela decomposição do polígono em figuras geométricas conhecidas 
 
 
Consiste em dividir o polígono em figuras geométricas conhecidas, fazer o 
cálculo da área de cada uma dessas figuras e, posteriormente, o cálculo da área total. 
Neste processo, cabe, diante das dificuldades apresentadas em cada caso, escolher a 
forma mais conveniente de decomposição, a fim de que as fórmulas geométricas 
conhecidas de cálculo de áreas possam ser aplicadas. 
 
Algumas expressões básicas para triângulos: 
 
Seja um triângulo qualquer de lados a, b e c e ângulos A, B e C: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pela fórmula dos senos: 
 
 
 
 
 
 
Pela fórmula dos co-senos (para ângulos) 
 
 
 
 
 
 Pela fórmula dos co-senos (para lados) 
 
 
 
 
 
B A 
C 
c 
a b 
A a = b a 
 Sen A Sen B 
A a = c a 
 Sen A Sen C 
A b = c a 
 Sen B Sen C 
Cos A = b
2
 + c
2
 – a2 
2.b.c 
Cos B = c
2
 + a
2
 – b2 
2.c.a 
b
2
 + a
2
 – c2 
2.b.a 
Cos C = 
a
2
 = b
2
 + c
2
 – 2.b.c.cosA 
c
2
 = a
2
 + b
2
 – 2.a.b.cosC 
b
2
 = c
2
 + a
2
 – 2.c.a.cosB 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 136 
Deduções para cálculo de áreas: 
1. Dado um triângulo qualquer com um lado b, por exemplo, e os ângulos adjacentes A 
e C também conhecidos, o cálculo da área será deduzido da seguinte maneira: 
 
 
 
 
 
 
 Portanto, 
 
 
 
2. Dado um triângulo qualquer com dois lados b e c conhecidos, por exemplo, e o 
ângulo A por eles formados, o cálculo da área será deduzido da seguinte maneira: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, 
 
 
 
A B 
C 
a b 
c 
B = 180º - (A + C) 
 
A b = c a 
 Sen B Sen C 
A b = a a 
 SenB Sen A 
b.senC 
senB 
b.senA 
senA 
a = 
c = 
b
2
.senC.senA 
2.senB 
ÁREA = 
A B 
C 
a b 
c 
A a = b a 
 Sen A Sen B 
A a = c a 
 Sen A Sen C 
b.senA 
a 
senC = 
senB = 
b.c.senA 
2 
ÁREA = 
a
2
 = b
2
 + c
2
 – 2.b.c.cosA 
c.senA 
a 
B = arc.sen. b.senA 
 a 
C = arc.sen. c.senA 
 a 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 137 
3. Dado um triângulo qualquer com três lados a, b e c conhecidos, por exemplo, o 
cálculo da área será deduzido da seguinte maneira: 
 
 
 
 
 
Veja a seguir outras formas geométricas, e suas respectivas fórmulas para o cálculo de 
área: 
NOME FIGURA PERÍMETRO ÁREA 
 
QUADRADO 
 
4.l l
2 
ou
 
[d
2
]÷2
 
RETÂNGULO 
 
2.(l + h) l.h 
PARALELOGRAMO 
 
2.(l + s) l.h 
TRAPÉZIO 
 
a + b + c + d [h.(a + b)] ÷2 
TRIÂNGULO 
 
a + b + c (b.h)÷2 
CÍRCULO 
 
π.d ou 2.π.R π.R2 
a + b + c 
2 
A B 
C 
a b 
c 
S = 
Área = [s.(s – a).(s – b).(s – c)]½ 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 138 
Exemplo elucidativo: 
 
 Seja calcular a área de um polígono fechado, conforme mostra a figura abaixo, 
onde existem limites sinuosos no mesmo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como se pôde observar, o lado curvo dessa área foi substituído pelos lados planos. A 
soma das áreas parciais geradas, assim determinadas, dará a área total (aproximada) do 
polígono topográfico. 
Portanto, 
 
 
Os métodos a serem descritos, a seguir, permitirão calcular a área do lado sinuoso do 
perímetro com melhor precisão. 
A1 
A2 A3 A4 A5 
A6 
A7 
A8 
Área = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 139 
Pela fórmula de Bezout 
 
 
Este processo permite a obtenção do valor da área (S) através da divisão do 
polígono em um número qualquer de trapézios “n”, tendo todos eles a mesma altura “d” 
e ordenadas “y1, y2, y3, ..., yn dos respectivos trapézios. 
 
 
 
 
 
 
 Quanto maior o número de trapézios, maior será a proximidade entre a área 
calculada e a natural. 
 Fórmula de Bezout: 
 
 
 Esquema: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pela fórmula de Simpson 
 
 
Desta vez o polígono deve ser dividido, necessariamente, em um número par de 
trapézios, tendo todos eles a mesma altura “d” e ordenadas “y1, y2, y3, ..., yn dos 
respectivos trapézios. 
 
 1 .d.[(y1 + yn) + 2.(y2 + y3 + y3 + ... + yn-1)] 
 2 
S = 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 140 
Fórmula de Simpson: 
 
 
 
Esquema: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pela fórmula de Poncelet 
 
 
Analogamente, seguindo a divisão par de trapézios no polígono, também para a 
altura “d” e ordenadas “y1, y2, y3, ..., yn dos respectivos trapézios. 
 
Fórmula de Poncelet: 
 
 
 
Exemplo elucidativo: 
Calcular a área do polígono abaixo, usando os métodos de Simpson, Bezout e Poncelet: 
 
 
 
 
 
 1 .d.[(y1 + yn) + 2.(y3 + y5 + y7 + ... + yn-2) + 4.( y2 + y4 + y6 + ... + yn-1)] 
 3 
S = 
 1 .d.[4.(y2 + y4 + … + yn-1) + 1 .(y1 + yn) - 1 .( y2 + yn-1)] 
 2 2 2 
S = 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 141 
Dados os valores (fora de escala) 
Abscissa Comprimento (m) Abscissa Comprimento (m) 
Y1 80,0 Y8 68,0 
Y2 57,0 Y9 76,0 
Y3 56,0 Y10 90,0 
Y4 60,0 Y11 91,5 
Y5 63,5 Y12 79,0 
Y6 61,5 Y13 55,5 
Y7 60,5 
Solução: 
Usando Bezout: 
 
 
 
 
 
 
Usando Simpson: 
Fórmula de Simpson: 
 
 
 
 
 
 
 
Usando Poncelet: 
 
 
 
 
 
 
 1 .d.[(y1 + yn) + 2.(y2 + y3 + y3 + ... + yn-1)] 
 2 
S = 
 1 .14.[(80,0 + 55,5) + 2.(57,0 + 56,0 + 60,0 + 63,5 + 61,5 + ... + 79,0)] 
 2 
S = 
S = 11630,5m
2 
 1 .d.[(y1 + yn) + 2.(y3 + y5 + y7 + ... + yn-2) + 4.( y2 + y4 + y6 + ... + yn-1)] 
 3 
S = 
 1 .14.[(80,5 + 55,5) + 2.(56,0 + 63,5 + … + 91,5) + 4.(57,0 + 60,0 + … + 79,0)] 
 3 
S = 
S = 11631,7m
2 
 1 .d.[4.(y2 + y4 + … + yn-1) + 1 .(y1 + yn) - 1 .( y2 + yn-1)] 
 2 2 2 
S = 
 1 .14.[4.(57,0 + 60,0 + 61,5 + … + 79,0) + 1 .(80,0 + 55,5) - 1 .(57,0 + 79,0)] 
 2 2 2 
S = 
S = 11632,2m
2 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 142 
9.3. Processo analítico 
 
 O método é aplicável para poligonais de lados retos, permitindo obter valor da 
área apenas por cálculos, ou seja, não necessita fazer divisões na área a determinar. 
Áreas sinuosas não podem ser determinadas por esse processo. 
 
1) Por Gauss (ou determinante) 
Este método é função das coordenadas retangulares dos vértices da poligonal. 
Fórmula: 
 
 
2) Por área dupla 
Este método é função, também, das coordenadas retangulares dos vértices da 
poligonal. 
Fórmula: 
 
 
 
 
 
Exemplo elucidativo 1: 
Calcular a área de um polígono de coordenadas conhecidas, usando o método de Gauss 
e área dupla: 
ponto Coordenada X (m) Coordenada Y (m) 
01 1000,00 1000,00 
02 980,05 1001,39 
03 943,45 949,36 
04 831,62 863,14 
05 839,31 850,02 
06 904,96 799,94 
07 971,78 735,18 
08 997,22 805,81 
09 1063,85 864,03 
10 1042,82 920,20 
 1 .[(x1.y2 + x2.y3 + x3.y4 + ... + xn.y1) - (x2.y1 + x3.y2 + x4.y3 + ... + x1.yn)] 
 2 
S = 
[(x1 + x2).(y1 - y2) + (x2 + x3).(y2 - y3) + … + (xn + x1).(yn - y1)] 2S = 
2S = [(y1 + y2).(x1 - x2) + (y2 + y3).(x2 - x3) + … + (yn + y1).(xn - x1)] 
Ou, 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 143 
Solução: 
Usando Gauss 
 
Cálculo de área 
Método de Gauss - determinante 
 
 
Ponto Coordenada X(m) Coordenada Y (m) Cálculos 
01 1000,00 1000,00 
02 980,05 1001,39 Produto dos (+) = 8456212,28 
03 943,45 949,36 Produto dos ( - ) = 8396984,91 
04 831,62 863,14 
05 839,31 850,02 Soma algébrica = 8456212,28 
06 904,96 799,94 - 8396984,91 
07 971,78 735,18 59227,37 
08 997,22 805,81 
09 1063,85 864,03 Área (S) = (soma algébrica) ÷ 2 
10 1042,82 920,20 = 59227,37 ÷ 2 
01 1000,00 1000,00 = 29613,68m
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+ 
_ 
_ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
_ 
_ 
_ 
_ 
_ 
_ 
_ 
_ 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 144 
Usando a área dupla 
 
Cálculo de área – Área dupla 
 
Ponto Coord. (X)m 
 
Coord. (Y)m 
Soma binária Diferença binária Áreas duplas 
∑X ∑Y ΔX ΔY ∑XΔY ∑YΔX 
01 1000,00 1000,00 1980,05 2001,39 19,95 -1,39 -2752,27 39927,73 
02 980,05 1001,39 1923,50 1950,75 36,60 52,03 100079,71 71397,45 
03 943,45 949,36 1775,07 1812,50 111,83 86,22 153046,53 202691,88 
04 831,62 863,14 1670,93 1713,16 -7,69 13,12 21922,60 -13174,20 
05 839,31 850,02 1744,27 1649,96 -65,65 50,08 87353,04 -108319,87 
06 904,96 799,94 1876,74 1535,12 -66,82 64,76 121537,68 -102576,72 
07 971,78 735,18 1969,00 1540,99 -25,44 -70,63 -139070,47 -39202,79 
08 997,22 805,812061,07 1669,84 -66,63 -58,22 -119995,50 -111261,44 
09 1063,85 864,03 2106,67 1784,23 21,03 -56,17 -118331,65 37522,36 
10 1042,82 920,20 2042,82 1920,20 42,82 -79,80 -163017,04 82222,96 
01 1000,00 1000,00 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
Soma -59227,37 ou 59227,37 
Área (m
2
) = |soma ÷ 2 | 29613,68 ou 29613,68 
 1000,00 + 980,05 1000,00 + 1001,39 1000,00 – 980,05 1000,00 – 1001,39 1980,05 . (-1,39) 2001,39 . 19,95 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 145 
9.4. Processo mecânico 
 
 Este processo se caracteriza pelo emprego de instrumento que fornece 
automaticamente a área de uma superfície. O uso deste método tem sido largamente 
utilizado para desenhos que possuem formas irregulares (sinuosidades). 
 O método mecânico do planímetro polar é rápido e proporciona ótima avaliação 
de uma área topográfica. 
 Planímetro polar consiste num instrumento mecânico capaz de medir áreas por 
linhas retas e sinuosas, a partir de leitura feita em uma carruagem que deve percorrer 
todo a margem da mesma. 
 
9.4.1. Constituição dos planímetros 
 
 
 Os planímetros são constituídos de duas hastes de metal e um conjunto em forma 
de engrenagem contendo discos graduados. 
 
 Componentes: 
 
 01 – Braço traçador; 
 02 – Braço do pólo; 
 03 – Base do peso do pólo; 
 04 – Amplificador traçador; 
 05 - Apoio da mão; 
 06 – Parafuso de blocagem do vernier; 
 07 – Parafuso de ajuste do vernier; 
 08 – Vernier do braço traçador; 
 09 – Disco de revolução; 
 10 – Disco de medição; 
 11 – Vernier da carruagem; 
 12 – Parafuso de apoio da carruagem; 
 13 – Carruagem; 
 14 – Barra de zeragem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 146 
9.4.2. Operacionalização 
 
 
 A fim de se obter melhores resultados com o planímetro é essencial que a planta 
topográfica ou carta seja estendida e fixada sobre um superfície plana e na horizontal. 
 
 Para assentar o planímetro sobre a mesa, coloque o braço traçador com a 
carruagem sobre a planta e insira a bola do final do braço do pólo no receptáculo da 
carruagem. O instrumento está montado e em condições de uso. 
 
 Há dois métodos que se pode empregar na medição de uma área: 
 
 - Com o pólo do planímetro fora dessa área; 
 - Com o pólo do planímetro dentro dessa área. 
 
 O primeiro método será empregado, pois dá melhores resultados e demanda 
poucos cálculos: 
 
 O modelo de tabela abaixo é exclusivo do aparelho de número de série 06270, 
não servindo para nenhum outro. Portanto, cada aparelho deve estar acompanhar de sua 
tabela. 
 
 
TRACE ARM 
LENGTH 
149,3 116,0 
1:1 0,1 cm
2 
0,08 cm
2
 
1:10 10 cm
2
 8,00 cm
2
 
1:50 250 cm
2
 200 cm
2
 
1:100 0,1 m
2
 0,08 m
2
 
1:200 0,4 m
2
 0,32 m
2
 
1:250 0,625 m
2
 0,5 m
2
 
1:300 0,9 m
2
 0,72 m
2
 
1:400 1,6 m
2
 1,28 m
2
 
1:500 2,5 m
2
 2 m
2
 
1:600 3,6 m
2
 2,88 m
2
 
1:1000 10 m
2
 8 m
2
 
1:1500 22,5 m
2
 18 m
2
 
1:2000 40 m
2
 32 m
2
 
1:2500 62,5 m
2
 50 m
2
 
1:3000 90 m
2
 72 m
2
 
1:5000 250 m
2
 200 m
2
 
1:6000 360 m
2
 288 m
2
 
1:10000 1000 m
2
 800 m
2
 
1:20000 4000 m
2
 3200 m
2
 
1:25000 6250 m
2
 5000 m
2
 
1:30000 9000 m
2
 7200 m
2
 
1:50000 25000 m
2
 20000 m
2
 
CONSTANT 23103 24265 
 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 147 
- Escolhido o braço traçador 149,3 ou 116,0 no sistema métrico, por exemplo, move-se 
a carruagem grosseiramente até este arranjo, e através dos parafusos (6) e (7) leva-se o 
vernier até o ponto desejado no braço traçador; 
 
- Coloque o amplificador traçador (4) no centro da área a ser medida. Mova o peso do 
pólo até a posição onde o ângulo entre o braço traçador e o braço do pólo formem 
aproximadamente um ângulo reto. Certifique-se que o amplificador traçador percorrerá 
toda a margem da área. Senão ajuste o peso do pólo ou divida a área em duas ou mais 
partes; 
 
- Marque o ponto de partida nas margens da figura. Segure a ponta do amplificador 
traçador no ponto de partida e com a barra do zero na parte frontal da carruagem (14) 
ajuste o botão de medidas e zere as leituras; 
 
- Risque cuidadosamente a linha da margem em direção horária até o ponto de partida, 
sempre mantendo o ponto central do círculo do traçador na linha da margem; 
 
- Faça a leitura dos discos. Multiplique esse número pelo valor da roda do vernier como 
indicado na tabela métrica ou inglesa adotada. Para cada revolução completa do tambor 
horizontal deve-se adicionar 10000 unidades vernier à leitura final; 
 
- Para os resultados serem mais rigorosos, devem-se repetir as operações indicadas e 
tomar a média deles. 
 
- A leitura: 
 
 Ao percorrer o perímetro, o planímetro oferecerá quatro algarismos, que 
justapostos em uma determinada ordem formam um número que associado à escala da 
planta dá o valor da área em “m2” ou “ft2” (pés). Cada algarismo provém de uma leitura 
sobre uma das peças do planímetro que são: 
 
 1º algarismo – leitura do disco de revolução ou contador de voltas; 
 2º algarismo – leitura do número inteiro do disco de medição; 
 3º algarismo – leitura do número fracionário do disco de medição; 
 4º algarismo – leitura do vernier da carruagem. 
 
 
 
Exemplo elucidativo: 
 
 Assumindo uma figura na escala 1:2000 e o braço traçador do planímetro polar 
de valor selecionado (149,3), conforme tabela série nº 06270, obteve-se leituras finais 
de 2396, 2390 e 2384 ao final de três observações. A área do desenho será: 
 
 
Solução: 
 
 Média das três leituras = (2396 + 2390 + 2384) ÷ 3 = 2390 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 148 
 O valor por unidade de área é determinado na tabela pelo cruzamento da linha 
(escala 1:2000) com a coluna (comprimento do braço 149,3), obtendo-se 40m
2
. A área 
da figura é 2390.40 = 95600 m
2
. 
 
 
 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 149 
10. LEVANTAMENTO ALTIMÉTRICO 
 
10.1. Introdução 
 
 Conforme vimos às etapas de levantamento topográfico planimétrico, nenhuma 
requereu informações de campo que permitisse a representação do relevo do terreno. 
Isto, porque foi levado em consideração apenas o levantamento da parte plana do 
mesmo, já que muitos projetos necessitam apenas desse tipo de levantamento. 
 
No entanto, na elaboração de projetos para aterros, barragens, estradas, 
loteamentos, adução de água, rede elétrica, rede de esgotos e tantos outros, a 
representação altimétrica do terreno, a partir do levantamento topográfico, se torna 
indispensável, porque susidiará a tomada de decisões nos projetos seguintes. Basta citar, 
por exemplo, o caso da construção de barragens: como conhecer o volume de água a 
acumular num maciço de terra a construir, se não se conhece a micro-bacia a montante 
do mesmo? E numa rede de distribuição de energia, como localizar o posteamento, de 
forma que os cabos não toquem o chão? 
 
 Diante do exposto, este capítulo se destina ao conhecimento dos métodos que 
permitirão a representação do terreno em forma de cotas e altitudes. Para tanto, será 
mostrado como medir a distância vertical entre pontos, como preencher planilhas de 
cálculos de cotas ou altitudes e, finalmente, como cotá-los. 
 
 
10.2. Referência de nível 
 
 Chama-se altura de um ponto em altimetria o comprimento da perpendicular 
baixada deste ponto sobre um planohorizontal denominado superfície de nível de 
comparação. 
 
Essa superfície de nível pode ser tomada arbitrariamente, e as alturas dos 
diferentes pontos característicos com ela relacionados recebem a denominação de cotas, 
ou ser tomada em relação ao geóide ou elipsóide, e as alturas recebem a denominação 
de altitudes: 
 
Nas ilustrações, a seguir, a superfície de nível referida a uma superfície de nível 
qualquer recebe o nome de cota (nível aparente). Quando é referida à superfície do 
geóide, recebe o nome de altitude geoidal (ortométrica), e quando a superfície do geóide 
é a referência, a diferença de nível recebe o nome de altitude elipsoidal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Superfície de nível 
arbitrada(RN) 
A 
B Superfície física 
 da terra 
co
ta
 
co
ta
 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 150 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As cartas topográficas editadas pelo IBGE, e outros órgãos possuem altimetria 
referenciada ao geóide. Em levantamentos de altitude com rastreadores GPS, as 
altitudes elipsoidais obtidas são referenciadas ao datum escolhido para visualização, 
cabendo ao operador do GPS transformar as altitudes elipsoidais para altitudes 
ortométricas (também conhecidas como MSL). 
 
Assim, ao se fazer a escolha no rastreador, para altitudes MSL, um Modelo 
Geoidal Global é então acionado pelo dispositivo de controle do rastreador, calculando 
a ondulação geoidal para as coordenadas Ф e λ determinadas. Em conseqüência, é desta 
maneira que o rastreador transforma altitudes elipsoidais em ortométricas. 
 
Acontece que a modelagem geoidal utiliza o princípio da interpolação para o 
cálculo da ondulação, o que o torna inexato, comprometendo a precisão final alcançada 
em termos altimétricos. O geoposicionamento GPS pelo método diferencial, minora 
sobremaneira a degradação altimétrica. 
 
 
10.3. Nivelamento 
 
Para determinar as diferenças de nível entre os pontos característicos da 
altimetria de um terreno, é necessário proceder a um trabalho topográfico denominado 
Nivelamento, através de aparelhos denominados níveis, podendo ser usados teodolitos 
quando o método requerer ângulos verticais. 
 
Portanto, nivelamento é a operação topográfica que consiste na determinação da 
diferença de nível entre dois ou mais pontos do terreno. 
 
São dois os referenciais de nivelamento: 
 
Superfície 
geoidal 
A 
B Superfície física 
 da terra 
A
lt
it
u
d
e 
g
eo
id
al
 
A
lt
it
u
d
e 
g
eo
id
al
 
A
lt
it
u
d
e 
el
ip
so
id
al
 
A
lt
it
u
d
e 
el
ip
so
id
al
 
Superfície 
elipsoidal 
Superfície física 
 da terra B 
A 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 151 
Referencial de nível verdadeiro 
 
▪ Nivelamento barométrico – obtido pela diferença de pressão com a altitude do 
ponto, tendo como princípio que, para um determinado ponto da superfície da terra, o 
valor da altitude é inversamente proporcional ao valor da pressão atmosférica. Devido a 
sua fragilidade, é dispensável em operações topográficas. 
 
Atualmente, com os avanços da tecnologia GPS e dos níveis laser e digital, esse 
método não é mais empregado, mas é possível, no entanto, utilizar-se dos seus 
equipamentos para trabalhos rotineiros de reconhecimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
▪ Nivelamento GPS – fornece resultados extremamente satisfatórios, quando no 
modo diferencial. 
 
 
Referencial de nível aparente 
 
Obtido pela diferença de nível entre pontos de cotas arbitrárias. O inconveniente 
do emprego das cotas, nos nivelamentos, é a impossibilidade de não se poder relacionar 
plantas provenientes de levantamentos topográficos diferentes. 
 
Assim, se dispusermos de duas plantas topográficas de terrenos diferentes, e 
desejando determinar a diferença de altura entre dois pontos nelas fixados, não será 
possível esta determinação se as alturas dos respectivos pontos estiverem expressas em 
cotas, visto que para cada um dos levantamentos se tomou uma superfície de 
comparação arbitrária, para se determinar as alturas dos respectivos pontos. 
 
 
10.4. Métodos gerais de nivelamento 
 
Os métodos de nivelamento utilizados para a determinação das diferenças de 
nível e o posterior transporte da cota ou altitude, são nivelamento geométrico simples, 
nivelamento geométrico composto, taqueométrico e trigonométrico. 
Altímetro digital com 
precisão de até 0,04m 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 152 
10.4.1. Nivelamento geométrico simples 
 
A determinação da diferença de nível entre dois pontos, ou entre um ponto e 
diversos outros pontos, é efetuada com o nível estacionado num único local, ou seja, o 
nível é colocado em uma posição tal que seja possível visar a mira colocada em 
qualquer dos pontos do nivelamento. 
 
Em particular, quando mais de um ponto é nivelado, a partir de um ponto 
ocupado pelo nível, costuma-se chamar nivelamento por irradiação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De acordo com a ilustração vista, o nível foi estacionado em um ponto 
conveniente sobre a linha a nivelar, de onde podem ser visados todos os pontos 
necessários: B, C, D, E e F além do RN; 
 
Visadas 
 
Ré – é a visada que é efetuada no RN (A) ponto de cota ou altitude conhecida. 
É a primeira visada do nivelamento; 
 
 Vante – é a visada nos pontos de cota ou altitude a determinar (B, C, D, E, F); 
 
Cálculos 
 
 Plano de referência (PR) – eqüivale a soma da altura do ponto visado em ré e 
a leitura da mira no mesmo ponto. É dado pela fórmula: 
 
 
 
 
 Cota ou altitude – eqüivale a diferença entre o plano de referência, que passa no centro ótico da luneta 
do nível, e a leitura na mira no mesmo ponto. 
 
 
 
RN 
(A) 
B 
E 
RN 
C 
D F 
LA LB LC LD LE LF 
PR = RN (A) + LA 
Cota ou altitude = PR - LM 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 153 
 
Exemplo elucidativo: 
 
 Determinar as cotas dos pontos B, C, D, E e F a partir da caderneta de 
nivelamento abaixo: 
 
 
CADERNETA DE NIVELAMENTO GEOMÉTRICO SIMPLES 
 
Est. 
Leitura na mira 
PR 
Cota ou 
Altitude Ré Vante 
RN(A) 1295 - 10520 
B - 1610 
C - 890 
D - 2733 
E - 1800 
F - 3125 
 
 
Solução: 
 
PR = cota + ré = 10520 + 11815 
CotaB = PR – VanteB = 11815 – 1610 = 10205 
CotaC = PR – VanteC = 11815 – 890 = 10925 
CotaD = PR – VanteD = 11815 – 2733 = 9082 
CotaE = PR – VanteE = 11815 – 1800 = 10015 
CotaF = PR – VanteF = 11815 – 3125 = 8690 
 
Preenchimento da caderneta de campo 
 
CADERNETA DE NIVELAMENTO GEOMÉTRICO SIMPLES 
 
Est. 
Leitura na mira 
PR 
Cota ou 
Altitude Ré Vante 
A(Ha) 1295 - 11815 10520 
B - 1610 10205 
C - 890 10925 
D - 2733 9082 
E - 1800 10015 
F - 3125 8690 
 
 
 
10.4.2. Nivelamento geométrico composto 
 
A determinação da diferença de nível entre diversos pontos é efetuada através de 
mudanças sucessivas do nível, numa associação de nivelamentos geométricos simples. 
A única preocupação, neste caso, é relacionar devidamente as medições, para cada 
posição do instrumento. 
 
Aconselha-se cravar um piquete nos pontos de mudança, para evitar a perda do 
ponto enquanto ocorre a mudança de posição do nível. 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeirados Indios 154 
 
O nivelamento geométrico composto pode ser de poligonal aberta e de poligonal 
fechada: 
 
 
Nivelamento geométrico composto de poligonal aberta 
 
É o caso mais comum de nivelamento, onde o ponto de partida do nivelamento 
não é o mesmo ponto de chegada. Neste nivelamento, se quiser saber o erro de 
fechamento vertical, é necessário fazer a operação de contra-nivelamento. O ponto final 
será aquele de partida. 
 
A precisão do nivelamento: 
 
 
 
 
 
Onde: 
 
Emáx = Erro máximo aceitável; 
e = precisão do nível utilizado; 
 μ = extensão da poligonal; 
 
 
 
 
 
Onde: 
 
Ec = Erro cometido; 
Cota inicial = cota de partida do nivelamento; 
 Cota final = última cota do contra-nivelamento; 
 
 
 
 
 
Onde: 
 
Δη = distribuição do erro; 
Ec = erro cometido; 
 NºPR = número de planos de referência; 
 
OBS: O erro deve ser distribuído em partes iguais nos pontos de estacionamento 
do instrumento, ou seja, nos PR. 
 
 
Exemplo elucidativo: 
 
A caderneta de campo, a seguir, é resultado de um nivelamento realizado em 7 
vértices (A, B, C, D, E, F, e G) de uma poligonal aberta. Verificar o erro de fechamento 
Δη = Ec / NºPR 
Emáx = 2.e.(μ)
½ 
Ec = Cota final – Cota inicial 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 155 
vertical, distribuindo-o ao longo dos pontos levantados, e calcular as cotas finais desses 
pontos: 
 
Dados complementares: 
- Precisão do nível utilizado: 1,5mm/Km ; 
- Extensão da poligonal somente ida: 1,2Km ; 
- Cota inicial (partida da poligonal em RN): 12370mm; 
- Cota final (chegada do contra-nivelamento em RN): 12378mm; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
1) Erros e distribuição: 
 
Emáx = 2.e.(μ)
½ = 2.1,5.(1,2)
½
 
Emáx = 3,286mm 
 
Ec = Cota final – Cota inicial = 12378 – 12370 
Ec = 8mm > Emáx ! 
 
Considerando apenas a metade de Ec para a ida, já que temos um contra-
nivelamento, teremos Ec = 4mm 
 2 
Δη = 4 = 1mm/PR 
 4 
 
2) Altitudes provisórias (sem as correções): 
 
PRRN = cotaRN + réRN = 12370 + 4800 = 17170 
Altitude provisóriaA = PRRN – PIA = 17170 – 4655 = 12515 
Altitude provisóriaB = PRRN – PIB = 17170 – 3700 = 13470 
Altitude provisóriaC = PRRN – PIC = 17170 – 4500 = 12670 
 
PRC = Altitude provisóriaC + réC = 12670 + 2330 = 15000 
Altitude provisóriaD = PRC – PMD = 15000 – 4990 = 10010 
 
PRD = Altitude provisóriaD + réD = 10010 + 4128 = 14138 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 156 
Altitude provisóriaE = PRD – PIE = 14138 - 4748 = 9390 
Altitude provisóriaF = PRD – PMF = 14138 – 760 = 13378 
 
PRF = Altitude provisóriaF + réF = 13378 + 2800 = 16178 
Altitude provisóriaG = PRF – PIG = 16178 - 1535 = 14643 
Altitude provisóriaH = PRF – PMH = 14178 - 4650 = 11528 
 
 
3) Altitudes definitivas (após as correções): 
 
Altitude definitivaRN = 12370 não corrige 
Altitude definitivaA = 12515 – 1 = 12514 
Altitude definitivaB = 13470 – 1 = 13469 
Altitude definitivaC = 12670 – 1 = 12669 
Altitude definitivaD = 10010 – 2 = 10008 
Altitude definitivaE = 9390 – 3 = 9387 
Altitude definitivaF = 13378 – 3 = 13375 
Altitude definitivaG = 14643 – 4 = 14639 
Altitude definitivaH = 11528 – 4 = 11524 
 
 
4) Preenchimento da caderneta de campo 
 
 
CADERNETA DE NIVELAMENTO GEOMÉTRICO 
Est. Visada
Ré 
Visada Vante 
 
PR Altitude 
provisória 
Correção Altitude 
Definitiva PI PM 
RN 4800 17170 12370 - 
1 
1 
1 
12370 
A 4655 12515 12514 
B 3700 13470 13469 
C 4500 12670 12669 
 2330 15000 - 
2 
 
D 4990 10010 10008 
 4128 14138 - 
3 
3 
 
E 4748 9390 9387 
F 760 13378 13375 
 2800 16178 - 
4 
4 
 
G 1535 14643 14639 
H 4650 11528 11524 
 
 
Nivelamento geométrico composto de poligonal fechada 
 
Neste nivelamento não é necessário fazer a operação de contra-nivelamento, pois 
o ponto inicial é o mesmo ponto de chegada do nivelamento. 
 
A diferença entre a cota (ou altitude) de saída e a cota (ou altitude) de chegada é 
o erro que foi cometido no nivelamento, e as fórmulas para a compensação do erro de 
fechamento vertical são semelhantes àquelas usadas na poligonal aberta. 
 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 157 
Exemplo elucidativo: 
 
Dado o croqui de nivelamento de uma poligonal fechada, a partir das estações A, 
B, C, D, E e F, calcular as cotas definitivas dos pontos levantados 1, 2, 3, 4, 5 e 6: 
Dados complementares: 
- Precisão do nível utilizado: 7mm/Km ; 
- Extensão da poligonal somente ida: 1,264Km ; 
- Cota inicial (partida da poligonal em RN): 110,328m = 110328mm; 
- Cota final (chegada do contra-nivelamento em RN): 12378mm; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CADERNETA DE NIVELAMENTO GEOMÉTRICO COMPOSTO 
 
Est. 
 
Visada 
Ré 
Visada Vante 
PR 
 
Altitude 
Provisória 
 
Correção 
 
Altitude 
Definitiva 
 
PI 
 
PM 
A/1(RN) 2348 - - 110,328 
A/2 - - 3418 
B/2 1320 - - 
B/3 - - 265 
C/3 963 - - 
C/4 - - 1342 
D/4 1928 - - 
D/5 - - 2329 
E/5 1629 - - 
E/6 - - 3418 
F/6 3912 - - 
F/(RN) - - 1322 
 
Solução: 
 
1) Erros e distribuição: 
Emáx = 2.e.(μ)
½ = 2.7.(1,264)
½
 
Emáx = 15,78mm 
 
Ec = Cota final – Cota inicial = 110334 – 110328 
Ec = 6mm < Emáx ! 
 
Δη = 6 = 1mm/PR 
 6 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 158 
2) Altitudes provisórias (sem as correções): 
 
PRA = altitudeRN + réRN = 110328 + 2348 = 112676 
Altitude provisória2 = PRA – PM2 = 112676 – 3418 = 109258 
 
PRB = Altitude provisória2 + ré2 = 109258 + 1320 = 110578 
Altitude provisória3 = PRB – PM3 = 110578 – 265 = 110313 
 
PRC = Altitude provisória3 + ré3 = 110313 + 963 = 111276 
Altitude provisória4 = PRC – PM4 = 111276 - 1342 = 109934 
 
PRD = Altitude provisória4 + ré4 = 109934 + 1928 = 111862 
Altitude provisória5 = PRD – PM5 = 111862 - 2329 = 109533 
 
PRE = Altitude provisória5 + ré5 = 109533 + 1629 = 111162 
Altitude provisória6 = PRE – PM6 = 111162 - 3418 = 107744 
 
PRF = Altitude provisória6 + ré6 = 107744 + 3912 = 111656 
Altitude provisóriaRN = PRF – PMRN = 111656 - 1322 = 110334 
 
3) Altitudes definitivas (após as correções): 
 
Altitude definitivaRN = 110328 não corrige 
Altitude definitiva2 = 109258 – 1 = 109257 
Altitude definitiva3 = 110313 – 2 = 110311 
Altitude definitiva4 = 109934 – 3 = 109931 
Altitude definitiva5 = 109533 – 4 = 109529 
Altitude definitiva6 = 107744 – 5 = 107739 
Altitude definitiva1 = 110334 – 6 = 110328 
 
 
4) Preenchimento da caderneta de campo 
 
 
CADERNETA DE NIVELAMENTO GEOMÉTRICO 
 
Est. 
 
Visada
Ré 
Visada Vante 
 
PR Altitude 
Provisória 
 
Correção Altitude 
Definitiva 
 
PI 
 
PM 
A/(RN
) 
2348 112676 110328 - 
1 
110328 
A/2 3418 109258 109257 
B/2 1320 110578 - 
2 
 
B/3 265 110313 110311 
C/3 963 111276 - 
3 
 
C/4 1342 109934 109931 
D/4 1928 111862 - 
4 
 
D/5 2329 109533 109529 
E/5 1629 111162 - 
5 
 
E/6 3418 107744 107739 
F/6 3912 111656 - 
6 
 
F/(RN) 1322 110334 110328 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 159 
10.4.3. Nivelamento taqueométrico 
 
Sabemos que a taqueometriatrata da medida indireta da distância horizontal e 
diferença de nível, e que os aparelhos usados na taqueometria podem ser o nível e o 
teodolito (taqueômetros), ambos diferenciando apenas no deslocamento vertical da 
luneta. 
 
 Nas operações de nivelamento, é comum fazer na mesma caderneta a distância 
horizontal entre pontos nivelados. O ângulo horizontal deve ser medido pelo método das 
direções, conforme indicação da NBR 13.133. 
 
Quando o levantamento for executado com teodolito eletrônico, pode-se zerar na 
visada de ré. Já nos teodolitos óticos mecânicos, recomenda-se ler o ângulo horizontal 
existente no ato da colimação em ré. 
 
 
Exemplo elucidativo: 
 
Determinar as altitudes definitivas dos pontos 2 a 12 pertencentes a uma 
poligonal fechada. O nivelamento foi do tipo taqueométrico, conforme descrito na 
caderneta de campo a seguir. 
 
 
Croqui: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 2 
3 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
4 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 160 
CADERNETA TAQUEOMÉTRICA 
 
EST. 
 
AI 
 
 
PV 
 
LIMBO 
HORIZONTAL 
RED. DO 
 ÂNG. HORIZ. 
 
LEITURA 
NA 
MIRA 
 
LIMBO 
VERTICAL 
 
DIST. 
HORIZ. 
DIF. 
NÍVEL 
 
DN 
MÉDIA 
DH. 
MÉDIA 
 
ALTI 
TUDE 
º ‘ “ º ‘ “ º ‘ “ 
 
 
2 
 
1,374 
 
12 
00 00 00 SUP 2500 89 53 40 
180 00 00 MED 2000 
 INF 1500 
 
3 
95 29 10 SUP 2220 89 39 00 
123,203 275 29 10 MED 1800 
MÉDIA → INF 1380 
 
 
3 
 
1,485 
 
2 
00 00 00 SUP 2620 89 32 50 
180 00 00 MED 2200 
 INF 1780 
 
4 
84 57 50 SUP 3420 89 28 00 
264 58 00 MED 3000 
MÉDIA → INF 2580 
 
 
4 
 
1,454 
 
 
3 
00 00 00 SUP 1420 89 49 30 
180 00 00 MED 1000 
 INF 0580 
 
5 
180 55 40 SUP 2120 86 24 10 
00 55 40 MED 1800 
MÉDIA → INF 1480 
 
 
5 
 
1,418 
 
4 
00 00 00 SUP 1320 93 38 30 
180 00 00 MED 1000 
 INF 0680 
 
6 
183 36 40 SUP 2055 85 09 00 
03 36 50 MED 1600 
MÉDIA → INF 1145 
 
 
6 
 
1,475 
 
5 
00 00 00 SUP 1850 94 47 30 
180 00 00 MED 1400 
 INF 0950 
 
7 
170 51 30 SUP 2370 91 39 30 
350 51 30 MED 2000 
MÉDIA → INF 1630 
 
 
7 
 
1,493 
 
6 
00 00 00 SUP 1470 88 13 10 
180 00 00 MED 1100 
 INF 0730 
 
8 
184 55 50 SUP 1345 93 14 50 
04 55 40 MED 0800 
MÉDIA → INF 0255 
 
 
8 
 
1,484 
 
7 
00 00 00 SUP 1545 87 23 00 
180 00 00 MED 1000 
 INF 0455 
 
9 
93 48 50 SUP 1690 90 47 10 
273 48 50 MED 1300 
MÉDIA → INF 0910 
 
 
9 
 
1,367 
 
8 
00 00 00 SUP 2390 88 52 50 
180 00 00 MED 2000 
 INF 1610 
 
10 
90 45 10 SUP 2390 87 49 40 
270 45 10 MED 1800 
MÉDIA → INF 1210 
 
 
10 
 
1,531 
 
9 
00 00 00 SUP 2590 91 44 00 
180 00 00 MED 2000 
 INF 1410 
 
11 
174 59 00 SUP 2620 88 16 30 
354 59 00 MED 2200 
MÉDIA → INF 1780 
 
 
11 
 
1,520 
 
10 
00 00 00 SUP 2120 91 08 10 
180 00 00 MED 1700 
 INF 1310 
 
12 
179 44 20 SUP 2490 93 38 30 
359 44 20 MED 1900 
MÉDIA → INF 1310 
 
 
12 
 
1,529 
 
11 
00 00 00 SUP 2390 86 03 20 
180 00 00 MED 1800 
 INF 1210 
 
2 
179 56 10 SUP 2300 89 34 30 
359 56 10 MED 1800 
MÉDIA → INF 1300 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 161 
Solução: 
 
 
1) Ângulos horizontais: 
 
α2 = [(95º29'10" - 00º00'00") + (275º29'10" - 180º00'00")]÷2 = 95º29'10" 
α 3 = [(84º57'50" - 00º00'00") + (264º58'00" - 180º00'00")]÷2 = 84º57'55" 
α 4 = [(180º55'40" - 00º00'00") + (00º55'40" - 180º00'00")]÷2 = 180º55'40" 
α 5 = [(183º36'40" - 00º00'00") + (3º36'50" - 180º00'00")]÷2 = 183º36'45" 
α 6 = [(170º51'30" - 00º00'00") + (350º51'30" - 180º00'00")]÷2 = 170º51'30" 
α 7 = [(184º55'50" - 00º00'00") + (4º55'40" - 180º00'00")]÷2 = 184º55'45" 
α 8 = [(93º48'50" - 00º00'00") + (273º48'50" - 180º00'00")]÷2 = 93º48'50" 
α 9 = [(90º45'10" - 00º00'00") + (270º45'10" - 180º00'00")]÷2 = 90º45'10" 
α 10 = [(174º59'00" - 00º00'00") + (354º59'00" - 180º00'00")]÷2 = 174º59'00" 
α 11 = [(179º44'20" - 00º00'00") + (359º44'20" - 180º00'00")]÷2 = 179º44'20" 
α 12 = [(179º56'10" - 00º00'00") + (359º56'10" - 180º00'00")]÷2 = 179º56'10" 
 
 
2) Distâncias horizontais: 
 
DH2-12 = (2500 – 1500).100.sen
2
89°53'40" = 99999 mm = 99,99m 
DH2-3 = (2220 – 1380).100.sen
2
89°39'00" = 83996mm = 83,996m 
DH3-2 = (2620 – 1780).100.sen
2
89°32'50" = 83995mm = 83,995m 
DH3-4 = (3420 – 2580).100.sen
2
89°28'00" = 83993mm = 83,993m 
DH4-3 = (1420 – 580).100.sen
2
89°49'30" = 83999mm = 83,999m 
DH4-5 = (2120 – 1480).100.sen
2
86°24'10" = 63747mm = 63,747m 
DH5-4 = (1320 – 680).100.sen
2
93°38'30" = 63742mm = 63,742m 
DH5-6 = (2055 – 1145).100.sen
2
85°09'00" = 90349mm = 90,349m 
DH6-5 = (1850 – 950).100.sen
2
94°47'30" = 89372mm = 89,372m 
DH6-7 = (2370 – 1630).100.sen
2
91°39'30" = 73938mm = 73,938 
DH7-6 = (1470 – 730).100.sen
2
88°13'10" = 73928mm = 73,928m 
DH7-8 = (1345 – 255).100.sen
2
93°14'50" = 108650mm = 108,650m 
DH8-7 = (1545 – 455).100.sen
2
87°23'00" = 108773mm = 108,773m 
DH8-9 = (1690 – 910).100.sen
2
90°47'10" = 77985mm = 77,985m 
DH9-8 = (2390 – 1610).100.sen
2
88°52'50" = 77970mm = 77,970m 
DH9-10 = (2390 – 1210).100.sen
2
87°49'40" =117830mm = 117,830m 
DH10-9 = (2590 – 1410).100.sen
2
91°44'00" = 117892mm = 117,892m 
DH10-11 = (2620 – 1780).100.sen
2
88°16'30" = 83924mm = 83,924m 
DH11-10 = (2120 – 1310).100.sen
2
91°08'10" = 80968mm = 80,968m 
DH11-12 = (2490 – 1310).100.sen
2
93°38'30" = 117524mm = 117,524m 
DH12-11 = (2390 – 1210).100.sen
2
86°03'20" = 117442mm = 117,442m 
DH12-2 = (2300 – 1300).100.sen
2
89°34'30" = 99994mm = 99,994m 
 
 
3) Diferenças de nível: 
 
DN2-12 = 99,99.cotg89°53'40" + 1,374 – 2,000 = -0,442 
DN2-3 = 83,996.cotg89°39'00" + 1,374 – 1,800 = 0,087 
DN3-2 = 83,995.cotg89°32'50" + 1,485 – 2,200 = -0,051 
DN3-4 = 83,993.cotg89°28'00" + 1,485 –3,000 = -0,733 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 162 
DN4-3 = 83,999.cotg89°49'30" + 1,454 – 1,000 = 0,710 
DN4-5 = 63,747.cotg86°24'10" + 1,454 – 1,800 = 3,662 
DN5-4 = 63,742.cotg93°38'30" + 1,418 – 1,000 = -3,639 
DN5-6 = 90,349.cotg85°09'00" + 1,418 – 1,600 = 7,484 
DN6-5 = 89,372.cotg94°47'30" + 1,475 – 1,400 = -7,417 
DN6-7 = 73,938.cotg91°39'30" + 1,475 – 2,000 = -2,666 
DN7-6 = 73,928.cotg88°13'10" + 1,493 – 1,100 = 2,691 
DN7-8 = 108,650.cotg93°14'50" + 1,493 – 0,800 = -5,471 
DN8-7 = 108,773.cotg87°23'00" + 1,484 – 1,000 = 5,455 
DN8-9 = 77,985.cotg90°47'10" + 1,484 – 1,300 = -0,886 
DN9-8 = 77,970.cotg88°52'50" + 1,367 – 2,000 = 0,890 
DN9-10 = 117,830.cotg87°49'40" + 1,367 – 1,800 = 4,036 
DN10-9 = 117,892.cotg91°44'00" + 1,531 – 2,000 = -4,036 
DN10-11 = 83,924.cotg88°16'30" + 1,531 – 2,200 = 1,857 
DN11-10 = 80,968.cotg91°08'10" + 1,520 – 1,700 = -1,786 
DN11-12 = 117,524.cotg93°38'30" + 1,520 – 1,900 = -7,860 
DN12-11 = 117,442.cotg86°03'20" + 1,529 – 1,800 = 7,827 
DN12-2 = 99,994.cotg89°34'30"+ 1,529 – 1,800 = 0,471 
 
 
4) Distâncias horizontais médias: 
 
DH2-3 = (83,996 + 83,995)÷2 = 83,995 
DH3-4 = (83,993 + 83,999)÷2 = 83,996 
DH4-5 = (63,747 + 63,742)÷2 = 63,745 
DH5-6 = (90,349 + 89,372)÷2 = 89,860 
DH6-7 = (73,938 + 73,928)÷2 = 73,933 
DH7-8 = (108,650 + 108,773)÷2 = 108,691 
DH8-9 = (77,985 + 77,970)÷2 = 77,977 
DH9-10 = (117,830 + 117,892)÷2 = 117,861 
DH10-11 = (83,924 + 80,968)÷2 = 82,446 
DH11-12 = (117,524 + 117,442)÷2 = 117,483 
DH12-2 = (99,990 + 99,9945)÷2 = 99,99 
 
 
5) Diferenças de nível médias: 
 
DN2-3 = (0,087 + 0,051)÷2 = 0,069 
DN3-4 = (0,733 + 0,710)÷2 = 0,7215 
DN4-5 = (3,662 + 3,639)÷2 = 3,6505 
DN5-6 = (7,484 + 7,417)÷2 = 7,4505 
DN6-7 = (2,666 + 2,691)÷2 = 2,6785 
DN7-8 = (5,471 + 5,455)÷2 = 5,463 
DN8-9 = (0,886 + 0,890)÷2 = 0,888 
DN9-10 = (4,036 + 4,036)÷2 = 4,036 
DN10-11 = (1,857 + 1,786)÷2 = 1,821 
DN11-12 = (7,860 + 7,827)÷2 = 7,843 
DN12-2 = (0,442 + 0,471)÷2 = 0,456 
 
 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 163 
6) Altitudes: 
 
Altitude3 = 123,203 
Altitude4 = altitude3 + DNmédia3-4/4-3 = 123,203 + (-)0,721 = 122,482 
Altitude5 = altitude4 + DNmédia4-5/5-4 = 122,482 + 3,650 = 126,132 
Altitude6 = altitude5 + DNmédia5-6/6-5 = 126,132 + 7,450 = 133,582 
Altitude7 = altitude6 + DNmédia6-7/7-6 = 133,582 + (-)2,678 = 130,904 
Altitude8 = altitude7 + DNmédia7-8 = 130,904 + (-)5,463 = 125,441 
Altitude9 = altitude8 + DNmédia8-9 = 125,441 + (-)0,888 = 124,553 
Altitude10 = altitude9 + DNmédia9-10 = 124,553 + 4,036 = 128,589 
Altitude11 = altitude10 + DNmédia10-11 = 128,589 + 1,821 = 130,410 
Altitude12 = altitude11 + DNmédia11-12 = 130,410 + (-)7,84 = 122,567 
Altitude2 = altitude12 + DNmédia12-2 = 122,567 + 0,456 = 123,023 
Altitude3 = altitude2 + DNmédia2-3/3-2 = 123,023 + 0,069 = 122,092 ≠ 123,203 OK! 
 
 
7) Preenchimento da caderneta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 164 
CADERNETA TAQUEOMÉTRICA 
 
EST. 
 
AI 
 
 
PV 
 
LIMBO HORIZ. 
REDUÇÃO DO 
 ÂNG. HORIZONTAL 
LEITURA 
NA 
MIRA 
 
LIMBO VERT. 
 
DIST. H 
 
DIF. N 
 
DN. MÉDIA 
DH. MÉDIA 
 
ALTI 
TUDE º ‘ “ º ‘ “ º ‘ “ 
 
 
2 
 
1,374 
 
12 
00 00 00 SUP 2500 89 53 40 99,99 
 
-0,442 
 
180 00 00 MED 2000 
 INF 1500 
 
3 
95 29 10 SUP 2220 89 39 00 83,996 
 
0,087 
 
0,069 
 
 
83,995 
 
123,203 275 29 10 MED 1800 
MÉDIA → 95 29 10 INF 1380 
 
 
3 
 
1,485 
 
2 
00 00 00 SUP 2620 89 32 50 83,995 
 
-0,051 
 
180 00 00 MED 2200 
 INF 1780 
 
4 
84 57 50 SUP 3420 89 28 00 83,993 
 
-0,733 
 
(-)0,721 
 
 
83,996 
 
122,482 264 58 00 MED 3000 
MÉDIA → 84 57 55 INF 2580 
 
 
4 
 
1,454 
 
 
3 
00 00 00 SUP 1420 89 49 30 83,999 
 
0,710 
 
180 00 00 MED 1000 
 INF 0580 
 
5 
180 55 40 SUP 2120 86 24 10 63,747 
 
3,662 
 
3,650 
 
 
63,745 
 
126,132 00 55 40 MED 1800 
MÉDIA → 180 55 40 INF 1480 
 
 
5 
 
1,418 
 
4 
00 00 00 SUP 1320 93 38 30 63,742 
 
-3,639 
 
180 00 00 MED 1000 
 INF 0680 
 
6 
183 36 40 SUP 2055 85 09 00 90,349 
 
7,484 
 
7,450 
 
 
89,860 
 
133,582 03 36 50 MED 1600 
MÉDIA → 183 36 45 INF 1145 
 
 
6 
 
1,475 
 
5 
00 00 00 SUP 1850 94 47 30 89,372 
 
-7,417 
 
180 00 00 MED 1400 
 INF 0950 
 
7 
170 51 30 SUP 2370 91 39 30 73,938 
 
-2,666 
 
(-)2,678 
 
 
73,933 
 
130,904 350 51 30 MED 2000 
MÉDIA → 170 51 30 INF 1630 
 
 
7 
 
1,493 
 
6 
00 00 00 SUP 1470 88 13 10 73,928 
 
2,691 
 
180 00 00 MED 1100 
 INF 0730 
 
8 
184 55 50 SUP 1345 93 14 50 108,650 
 
-5,471 
 
(-)5,463 
 
 
108,691 
 
125,441 04 55 40 MED 0800 
MÉDIA → 184 55 45 INF 0255 
 
 
8 
 
1,484 
 
7 
00 00 00 SUP 1545 87 23 00 108,773 
 
5,455 
 
180 00 00 MED 1000 
 INF 0455 
 
9 
93 48 50 SUP 1690 90 47 10 77,985 
 
-0,886 
 
0,888 
 
 
77,977 
 
124,553 273 48 50 MED 1300 
MÉDIA → 93 48 50 INF 0910 
 
 
9 
 
1,367 
 
8 
00 00 00 SUP 2390 88 52 50 77,970 
 
0,890 
 
180 00 00 MED 2000 
 INF 1610 
 
10 
90 45 10 SUP 2390 87 49 40 117,830 
 
4,036 
 
4,036 
 
 
117,861 
 
128,589 270 45 10 MED 1800 
MÉDIA → 90 45 10 INF 1210 
 
 
10 
 
1,531 
 
9 
00 00 00 SUP 2590 91 44 00 117,892 
 
-4,036 
 
180 00 00 MED 2000 
 INF 1410 
 
11 
174 59 00 SUP 2620 88 16 30 83,924 
 
1,857 
 
1,821 
 
 
82,446 
 
130,410 354 59 00 MED 2200 
MÉDIA → 174 59 00 INF 1780 
 
 
11 
 
1,520 
 
10 
00 00 00 SUP 2120 91 08 10 80,968 
 
-1,786 
 
180 00 00 MED 1700 
 INF 1310 
 
12 
179 44 20 SUP 2490 93 38 30 117,524 
 
-7,860 
 
(-)7,843 
 
 
117,483 
 
122,567 359 44 20 MED 1900 
MÉDIA → 179 44 20 INF 1310 
 
 
12 
 
1,529 
 
11 
00 00 00 SUP 2390 86 03 20 117,442 
 
7,827 
 
180 00 00 MED 1800 
 INF 1210 
 
2 
179 56 10 SUP 2300 89 34 30 99,994 
 
0,471 
 
0,456 
99,99 
 
123,023 359 56 10 MED 1800 
MÉDIA → 179 56 10 INF 1300 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 165 
10.4.4. Nivelamento trigonométrico 
 
O nivelamento trigonométrico a mira é mais preciso do que o nivelamento 
taqueométrico, no entanto, deve-se ter o cuidado de limitar a linha de visada em 150m, 
independente da precisão do teodolito utilizado, para atenuar o erro altimétrico 
ocasionado pela curvatura terrestre. 
 
 
Exemplo elucidativo: 
 
Determinar as altitudes definitivas dos pontos 2 a 8 pertencentes a uma poligonal 
fechada. O nivelamento foi do tipo trigonométrico, conforme descrito na caderneta de 
campo a seguir. 
 
 
Croqui: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
3 
4 
5 
6 
7 8 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 166 
CADERNETA TRIGONOMÉTRICA 
 
EST. 
 
AI 
 
 
PV 
 
LIMBO HORIZ. 
RED. DO 
 ÂNG. HORIZ. 
 
LEITURA 
NA 
MIRA 
 
LIMBO VERT. 
 
DISTÂNCIA 
HORIZONTAL 
 
DIFERENÇA DE 
NÍVEL 
 
DNmédia
DHmédia 
 
Altitude 
º ‘ “ º ‘ “ º ‘ “ 
 
 
3 
 
1,390 
 
2 
00 00 00 LM1 0,200 90 51 20 DH1 DN1 
 
 
123,134 
 
180 00 05 LM2 0,300 90 47 10 DH2 DN2 
 LM3 7,500 85 52 30 MÉDIA MÉDIA 
 
4 
84 57 40 LM1 0,500 91 05 50 DH1 DN1 
264 57 50 LM2 0,700 90 57 35 DH2 DN2 
MÉDIA → LM3 7,500 86 21 10 MÉDIA MÉDIA 
 
 
4 
 
1,465 
 
3 
00 00 00 LM1 0,400 90 14 05 DH1 DN1 
179 59 55 LM2 0,700 90 01 50 DH2 DN2 
 LM3 7,600 85 21 50 MÉDIA MÉDIA 
 
5 
183 02 45 LM1 0,400 86 15 20 DH1 DN1 
03 02 45 LM2 0,500 86 13 10 DH2 DN2 
MÉDIA → LM3 7,600 83 35 35 MÉDIA MÉDIA 
 
 
5 
 
1,5424 
00 00 00 LM1 0,100 94 40 40 DH1 DN1 
180 00 00 LM2 0,300 94 36 10 DH2 DN2 
 LM3 7,500 91 56 00 MÉDIA MÉDIA 
 
6 
175 17 45 LM1 0,400 92 55 15 DH1 DN1 
355 17 40 LM2 0,700 92 49 30 DH2 DN2 
MÉDIA → LM3 2,600 92 13 40 MÉDIA MÉDIA 
 
 
6 
 
1,423 
 
5 
00 00 00 LM1 0,700 87 40 30 DH1 DN1 
180 00 00 LM2 0,800 87 38 40 DH2 DN2 
 LM3 5,700 86 06 15 MÉDIA MÉDIA 
 
7 
95 47 20 LM1 0,700 91 11 50 DH1 DN1 
275 47 10 LM2 0,900 91 03 00 DH2 DN2 
MÉDIA → LM3 2,700 89 43 50 MÉDIA MÉDIA 
 
 
7 
 
1,407 
 
6 
00 00 00 LM1 0,200 90 13 15 DH1 DN1 
180 00 00 LM2 0,300 90 08 50 DH2 DN2 
 LM3 4,700 86 55 00 MÉDIA MÉDIA 
 
8 
88 06 20 LM1 0,900 88 25 30 DH1 DN1 
268 06 20 LM2 1,000 88 23 35 DH2 DN2 
MÉDIA → LM3 7,600 86 31 10 MÉDIA MÉDIA 
 
 
8 
 
1,485 
 
7 
00 00 00 LM1 0,200 92 05 55 DH1 DN1 
179 59 55 LM2 0,300 92 04 20 DH2 DN2 
 LM3 7,600 89 59 30 MÉDIA MÉDIA 
 
2 
177 57 20 LM1 1,000 92 06 45 DH1 DN1 
357 57 25 LM2 1,000 92 06 45 DH2 DN2 
MÉDIA → LM3 7,000 90 31 50 MÉDIA MÉDIA 
 
 
2 
 
1,390 
 
8 
00 00 00 LM1 2,600 87 42 30 DH1 DN1 
180 00 05 LM2 2,700 87 40 50 DH2 DN2 
 LM3 7,640 86 22 55 MÉDIA MÉDIA 
 
3 
93 50 55 LM1 0,380 90 39 05 DH1 DN1 
274 50 55 LM2 0,400 90 38 05 DH2 DN2 
MÉDIA → LM3 7,700 85 39 00 MÉDIA MÉDIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 167 
Solução: 
 
1) Ângulos horizontais: 
 
α3 = [(84º57'40" - 00º00'00") + (264º57'50" - 180º00'00")]÷2 = 84º57'42" 
α 4 = [(183º02'45" - 00º00'00") + (03º02'45" - 179º59'55")]÷2 = 183º02'47" 
α 5 = [(175º17'45" - 00º00'00") + (355º17'40" - 180º00'00")]÷2 = 175º17'42" 
α 6 = [(95º47'20" - 00º00'00") + (275º47'10" - 180º00'00")]÷2 = 95º47'05" 
α 7 = [(88º06'20" - 00º00'00") + (268º06'20" - 180º00'00")]÷2 = 88º06'20" 
α 8 = [(177º57'20" - 00º00'00") + (357º57'25" - 179º59'55")]÷2 = 177º57'25" 
α 2 = [(93º50'55" - 00º00'00") + (274º50'55" - 180º00'00")]÷2 = 94º50'55" 
 
 
2) Distâncias horizontais: 
 
DH3-2 
DH1 = (7,500 – 0,200) ÷ (cotg85°52'30" – cotg90°51'20") = 83,857m 
DH1 = (7,500 – 0,300) ÷ (cotg85°52'30" – cotg90°47'10") = 83,876m 
DHmédia = (83,857 + 83,876) ÷ 2 = 83,866m 
DH3-4 
DH1 = (7,500 – 0,500) ÷ (cotg86°21'10" – cotg91°05'50") = 84,444m 
DH1 = (7,500 – 0,700) ÷ (cotg86°21'10" – cotg90°57'35") = 84,478m 
DHmédia = (84,444 + 84,478) ÷ 2 = 84,461m 
DH4-3 
DH1 = (7,600 – 0,400) ÷ (cotg85°21'50" – cotg90°14'05") = 84,518 
DH1 = (7,600 – 0,700) ÷ (cotg85°21'50" – cotg90°01'50") = 84,532 
DHmédia = (84,518 + 84,532) ÷ 2 = 84,525m 
DH4-5 
DH1 = (7,600 – 0,400) ÷ (cotg83°35'35" – cotg86°15'20") = 153,699 
DH1 = (7,600 – 0,500) ÷ (cotg83°35'35" – cotg86°13'10") = 153,641 
DHmédia = ( 153,699 + 153,641) ÷ 2 = 153,7m 
DH5-4 
DH1 = (7,500 – 0,100) ÷ (cotg91°56'00" – cotg94°40'40") = 153,946 
DH1 = (7,500 – 0,300) ÷ (cotg91°56'00" – cotg94°36'10") = 154,007 
DHmédia = (153,946 + 154,007) ÷ 2 = 153,977m 
DH5-6 
DH1 = (2,600 – 0,400) ÷ (cotg92°13'40" – cotg92°55'15") = 181,508 
DH1 = (2,600 – 0,700) ÷ (cotg92°13'40" – cotg92°49'30") = 181,925 
DHmédia = (181,508 + 181,925) ÷ 2 = 181,716m 
DH6-5 
DH1 = (5,700 – 0,700) ÷ (cotg86°06'15" – cotg87°40'30") = 181,825 
DH1 = (5,700 – 0,800) ÷ (cotg86°06'15" – cotg87°38'40") = 181,719 
DHmédia = (181,825 + 181,719) ÷ 2 = 181,772m 
DH6-7 
DH1 = (2,700 – 0,700) ÷ (cotg89°43'50" – cotg91°11'50") = 78,121 
DH1 = (2,700 – 0,900) ÷ (cotg89°43'50" – cotg91°03'00") = 78,156 
DHmédia = (78,121 + 78,156) ÷ 2 = 78,139m 
DH7-6 
DH1 = (4,700 – 0,200) ÷ (cotg86°55'00" – cotg90°13'15") = 77,962 
DH1 = (4,700 – 0,300) ÷ (cotg86°52'00" – cotg90°08'50") = 76,774 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 168 
DHmédia = (77,962 + 76,774) ÷ 2 = 77,368m 
DH7-8 
DH1 = (7,600 – 0,900) ÷ (cotg86°31'10" – cotg88°25'30") = 201,043 
DH1 = (7,600 – 1,000) ÷ (cotg86°31'10" – cotg88°23'35") = 201,415 
DHmédia = (201,043 + 201,415) ÷ 2 = 201,229m 
DH8-7 
DH1 = (7,600 – 0,200) ÷ (cotg89°59'30" – cotg92°05'55") = 201,144 
DH1 = (7,600 – 0,300) ÷ (cotg89°59'30" – cotg92°04'20") = 200,945 
DHmédia = (201,144 + 200,945) ÷ 2 = 201,045m 
DH8-2 
DH1 = DH2 = (7,000 – 1,000) ÷ (cotg90°31'50" – cotg92°06'45") = 217,182 
DHmédia = 217,182m 
 DH2-8 
DH1 = (7,640 – 2,600) ÷ (cotg86°22'55" – cotg87°42'30") = 217,124 
DH1 = (7,640 – 2,700) ÷ (cotg86°22'55" – cotg87°40'50") = 217,363 
DHmédia = (217,124 + 217,363) ÷ 2 = 217,243m 
DH2-3 
DH1 = (7,700 – 0,380) ÷ (cotg85°39'00" – cotg90°39'05") = 83,717 
DH1 = (7,700 – 0,400) ÷ (cotg85°39'00" – cotg90°38'05") = 83,767 
DHmédia = (83,717 + 83,767) ÷ 2 = 83,742m 
 
 
3) Diferenças de nível: 
 
DN3-2 
DN1 = 83,857.cotg90°51'20" + 1,390 – 0,200 = - 0,062 
DN2 = 83,876.cotg90°47'10" + 1,390 – 0,300 = -0,061 
DNmédia = -0,061m 
DN3-4 
DN1 = 84,444.cotg91°05'50" + 1,390 – 0,500 = -0,727 
DN2 = 84,478.cotg90°57'35" + 1,390 – 0,700 = -0,725 
DNmédia = (0,726 + 0,725) ÷ 2 = -0,726m 
DN4-3 
DN1 = 84,558.cotg90°14'05" + 1,465 – 0,400 = 0,719 
DN2 = 84,538.cotg90°01'50" + 1,465 – 0,700 = 0,720 
DNmédia = (0,719 + 0,720) ÷ 2 = 0,719m 
DN4-5 
DN1 = 153,699.cotg86°15'20" + 1,465 – 0,400 = 11,124 
DN2 = 153,641.cotg86°13'10" + 1,465 – 0,500 = 11,117 
DNmédia = (11,124 + 11,117) ÷ 2 = 11,120m 
DN5-4 
DN1 = 153,946.cotg94°40'40" + 1,542 – 0,100 = -11,154 
DN2 = 154,007.cotg94°36'10" + 1,542 – 0,300 = -11,157 
DNmédia = (11,154 + 11,157) ÷ 2 = -11,155m 
DN5-6 
DN1 = 181,508.cotg92°55'15" + 1,542 – 0,400 = -8,119 
DN2 = 181,925.cotg92°49'30" + 1,542 – 0,700 = -8,135 
DNmédia = (8,119 + 8,135) ÷ 2 = -8,127 
DN6-5 
DN1 = 181,825.cotg87°40'30" + 1,423 – 0,700 = 8,105 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 169 
DN2 = 181,719.cotg87°38'40" + 1,423 – 0,800 = 8,098 
DNmédia = (8,105 + 8,098) ÷ 2 = 8,1 
DN6-7 
DN1 = 78,121.cotg91°11'50" + 1,423 – 0,700 = -0,909 
DN2 = 78,156.cotg91°03'00" + 1,423 – 0,900 = -0,909 
DNmédia = (0,909 + 0,909) ÷ 2 = - 0,909 
DN7-6 
DN1 = 77,962.cotg90°13'15" + 1,407 – 0,200 = 0,908 
DN2 = 76,774.cotg90°08'50" + 1,407 – 0,300 = 0,91 
DNmédia = (0,908 + 0,91) ÷ 2 = 0,909 
DN7-8 
DN1 = 201,043.cotg88°25'30" + 1,407 – 0,900 = 6,035 
DN2 = 201,415.cotg88°23'35" + 1,407 – 1,000 = 6,057 
DNmédia = (6,035 + 6,057) ÷ 2 = 6,046 
DN8-7 
DN1 = 201,144.cotg92°05'55" + 1,485 – 0,200 = -6,086 
DN2 = 200,945.cotg92°04'20" + 1,485 – 0,300 = -6,086 
DNmédia = (6,086 + 6,086) ÷ 2 = -6,086 
DN8-2 
DN1 = DN2 = 217,182.cotg92°06'45" + 1,485 – 1,000 = -7,526 
DNmédia = -7,526 
DN2-8 
DN1 = 217,124.cotg87°42'30" + 1,390 – 2,600 = 7,479 
DN2 = 217,363.cotg87°40'50" + 1,390 – 2,700 = 7,494 
DNmédia = (7,479 + 7,494) ÷ 2 = 7,486 
DN2-3 
DN1 = 83,717.cotg90°39'05" + 1,390 – 0,380 = 0,058 
DN2 = 83,767.cotg90°38'05" + 1,390 – 0,400 = 0,062 
DNmédia = (0,058 + 0,062) ÷ 2 = 0,060 
 
 
4) Distâncias horizontais médias: 
 
DH3-4 = (84,461 + 84,525)÷2 = 84,493 
DH4-5 = (11,120 + 11,155)÷2 = 11,137 
DH5-6 = (181,772 + 181,716)÷2 = 181,744 
DH6-7 = (78,139 + 77,368)÷2 = 77,753 
DH7-8 = (201,229 + 201,045)÷2 = 201,137 
DH8-2 = (217,182 + 217,243)÷2 = 217,212 
DH2-3 = (83,742 + 83,866)÷2 = 83,804 
 
 
5) Diferenças de nível médias: 
 
DN3-4 = (0,726 + 0,719)÷2 = 0,7225 
DN4-5 = (11,120 + 11,155)÷2 = 11,137 
DN5-6 = (8,127 + 8,1)÷2 = 8,113 
DN6-7 = (0,909 + 0,909)÷2 = 0,909 
DN7-8 = (6,046 + 6,086)÷2= 6,066 
DN8-2 = (7,526 + 7,486)÷2 = 7,506 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 170 
DN2-3 = (0,060 + 0,061)÷2 = 0,060 
 
 
6) Altitudes: 
 
Altitude3 = 123,134 
Altitude4 = altitude3 + DNmédia3-4 = 123,134 + (-)0,722 = 122,411 
Altitude5 = altitude4 + DNmédia4-5 = 122,411 + 11,137 = 133,548 
Altitude6 = altitude5 + DNmédia5-6 = 133,548 + (-)8,113 = 125,436 
Altitude7 = altitude6 + DNmédia6-7 = 125,436 + (-)0,909 = 124,527 
Altitude8 = altitude7 + DNmédia7-8 = 124,527 + 6,066 = 130,593 
Altitude2 = altitude8 + DNmédia8-2 = 130,593 + (-)7,506 = 123,087 
Altitude3 = altitude2 + DNmédia2-3 = 123,087 + 0,060 = 123,147 OK! 
 
 
7) Preenchimento da caderneta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 171 
CADERNETA TRIGONOMÉTRICA 
 
EST. 
 
AI 
 
 
PV 
 
LIMBO HORIZ. 
RED. DO 
 ÂNG. HORIZ. 
 
LEITURA 
NA 
MIRA 
 
LIMBO VERT. 
 
DISTÂNCIA 
HORIZONTAL 
 
DIFERENÇA DE 
NÍVEL 
 
DN média 
DH média 
 
 
Altitude 
º ‘ “ º ‘ “ º ‘ “ 
 
 
3 
 
1,390 
 
2 
00 00 00 LM1 0,200 90 51 20 DH1 83,85
7 
DN1 -0,062 
 
 
123,134 
180 00 05 LM2 0,300 90 47 10 DH2 83,87
6 
DN2 -0,061 
 LM3 7,500 85 52 30 MÉDIA 83,86
6 
MÉDIA -0,061 
 
4 
84 57 40 LM1 0,500 91 05 50 DH1 84,44
4 
DN1 -0,727 
 
(-
)0,722 
 
84,493 
264 57 50 LM2 0,700 90 57 35 DH2 84,47
8 
DN2 -0,725 
MÉDIA → 84 57 42 LM3 7,500 86 21 10 MÉDIA 84,46
1 
MÉDIA -0,726 
 
 
4 
 
1,465 
 
3 
00 00 00 LM1 0,400 90 14 05 DH1 84,51
8 
DN1 0,719 
 
 
122,41
1 
179 59 55 LM2 0,700 90 01 50 DH2 84,53
2 
DN2 0,720 
 LM3 7,600 85 21 50 MÉDIA 84,52
5 
MÉDIA 0,719 
 
5 
183 02 45 LM1 0,400 86 15 20 DH1 153,6
99 
DN1 11,124 
 
11,137 
 
153,96
1 
03 02 45 LM2 0,500 86 13 10 DH2 153,6
41 
DN2 11,117 
MÉDIA → 183 02 47 LM3 7,600 83 35 35 MÉDIA 153,7 MÉDIA 11,120 
 
 
5 
 
1,542 
 
 
4 
00 00 00 LM1 0,100 94 40 40 DH1 153,9
46 
DN1 -
11,154 
 
 
 
133,54
8 
180 00 00 LM2 0,300 94 36 10 DH2 154,0
07 
DN2 -
11,157 
 LM3 7,500 91 56 00 MÉDIA 153,9
77 
MÉDIA -
11,155 
 
6 
175 17 45 LM1 0,400 92 55 15 DH1 181,5
08 
DN1 -8,119 
 
(-
)8,113 
 
181,77
4 
355 17 40 LM2 0,700 92 49 30 DH2 181,9
25 
DN2 -8,135 
MÉDIA → 175 17 42 LM3 2,600 92 13 40 MÉDIA 181,7
16 
MÉDIA -8,127 
 
 
6 
 
1,423 
 
5 
00 00 00 LM1 0,700 87 40 30 DH1 181,8
25 
DN1 8,105 
 
 
125,43
6 
180 00 00 LM2 0,800 87 38 40 DH2 181,7
19 
DN2 8,098 
 LM3 5,700 86 06 15 MÉDIA 181,7
72 
MÉDIA 8,1 
 
7 
95 47 20 LM1 0,700 91 11 50 DH1 78,12
1 
DN1 -0,909 
 
(-
)0,909 
 
77,753 
 
275 47 10 LM2 0,900 91 03 00 DH2 78,15
6 
DN2 -0,909 
MÉDIA → 95 47 05 LM3 2,700 89 43 50 MÉDIA 78,13
9 
MÉDIA -0,909 
 
 
7 
 
1,407 
 
6 
00 00 00 LM1 0,200 90 13 15 DH1 77,96
2 
DN1 0,908 
 
 
124,52
7 
180 00 00 LM2 0,300 90 08 50 DH2 76,77
4 
DN2 0,91 
 LM3 4,700 86 55 00 MÉDIA 77,36
8 
MÉDIA 0,909 
 
8 
88 06 20 LM1 0,900 88 25 30 DH1 201,0
43 
DN1 6,035 
 
6,066 
 
201,13
7 
268 06 20 LM2 1,000 88 23 35 DH2 201,4
15 
DN2 6,057 
MÉDIA → 88 06 20 LM3 7,600 86 31 10 MÉDIA 201,2
29 
MÉDIA 6,046 
 
 
8 
 
1,485 
 
7 
00 00 00 LM1 0,200 92 05 55 DH1 201,1
44 
DN1 -6,086 
 
 
130,59
3 
179 59 55 LM2 0,300 92 04 20 DH2 200,9
45 
DN2 -6,086 
 LM3 7,600 89 59 30 MÉDIA 201,0
45 
MÉDIA -6,086 
 
2 
177 57 20 LM1 1,000 92 06 45 DH1 217,1
82 
DN1 -7,526 
 
(-
)7,505 
 
217,21
2 
357 57 25 LM2 1,000 92 06 45 DH2 217,1
82 
DN2 -7,526 
MÉDIA → 177 57 25 LM3 7,000 90 31 50 MÉDIA 217,1
82 
MÉDIA -7,526 
 
 
2 
 
1,390 
 
8 
00 00 00 LM1 2,600 87 42 30 DH1 217,1
24 
DN1 7,479 
 
 
123,08
7 
180 00 05 LM2 2,700 87 40 50 DH2 217,3
63 
DN2 7,494 
 LM3 7,640 86 22 55 MÉDIA 217,2
43 
MÉDIA 7,486 
 
3 
93 50 55 LM1 0,380 90 39 05 DH1 83,71
7 
DN1 0,058 
0,060 
83,804 274 50 55 LM2 0,400 90 38 05 DH2 83,76
7 
DN2 0,062 
MÉDIA → 94 50 55 LM3 7,700 85 39 00 MÉDIA 83,74
2 
MÉDIA 0,060 
 
 
 
 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 172 
10.5 Plano cotado 
 
Processo utilizado apenas para cotar pontos resultantes das projeções horizontais 
numa planta topográfica. É um processo que normalmente não é empregado só, porque 
não ressalta à vista. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(↓)123,0
7 
(↓)123,1
3 
(↓)123,0
23 
 
 
 
(↓)123,1
2 
 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 173 
11. LEVANTAMENTO PLANIALTIMÉTRICO 
 
11.1. Introdução 
 
 A representação do relevo do terreno sempre constitui um sério problema para o 
desenhista, porque as feições nunca se repetem; mais ainda para o operador dos 
equipamentos topográficos: Este precisa, além do conhecimento técnico, de 
sensibilidade para escolher este ou aquele método de trabalho, pois deles resultarão 
informações do relevo, que devem ser confiáveis para o leitor. 
Sendo assim, este capítulo se dedica ao estudo da representação do relevo de 
uma área topográfica. Serão apresentados métodos de representação bastante 
conhecidos, que permitirão confeccionar cartas planialtimétricas com bastante 
confiabilidade. 
 
 
11.2. Conceito 
 
 
Planialtimetria é a representação das informações obtidas dos levantamentos 
planimétricos e altimétricos em uma única planta ou carta topográfica. A finalidade é de 
fornecer o maior número possível de informações da superfície representada para 
efeitos de estudo, planejamento e viabilização de projetos. 
 
A planialtimetria pode ser utilizada para: 
 
✔ Rodovias e ferrovias na escolha do melhor traçado e locação. 
 - Declividades máxima e mínima; 
- Mínimo de curvas necessárias; 
- Movimentação de terra; 
- Locais sujeitos a inundação; 
- Necessidades de obras de arte especiais. 
 
✔ Linhas de transmissão de energia. 
 - Direção e largura da faixa de domínio da linha; 
- Áreas de desapropriação; 
- Melhores pontos para instalação de torres, postes e etc. 
 
✔ Dutos de óleo, gás, água, esgoto, produtos químicos, etc. 
 - Estudar o relevo para a idealização do projeto; 
- Determinar pontos onde é necessária a utilização de bombas para 
recondução do escoamento. 
 
✔ Serviços de terraplenagem. 
 - Estudar o relevo para fins de planificação; 
- Movimentação de terras para construir edificações; 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 174 
- Retificar as curvas de nível em atendimento a projetos idealizados; 
 
✔ Construção de açudes, barragens e usinas. 
 - Determinar áreas de inundação pelas águas; 
- Projetar desvios de cursos d‟água; 
- Realizar estudos de impacto ambiental. 
 
✔ Planejamento de uso da terra. 
 - Organizar o plantio; 
- Prevenir erosões; 
- Realizar projetos de irrigação; 
- Definir a economia (criação ou plantio) mais apropriada para a região; 
- Preservar áreas de interesse ecológico e ambiental. 
 
✔ Planejamentourbano. 
 - Estudar e planejar a direção das vias; 
- Estudar e planejar áreas industriais, comerciais, residenciais, de lazer e 
recreação; 
- Estudar e planejar o tráfego de veículos; 
 
✔ Peritagem. 
- Avaliar judicialmente a propriedade, estimando preço de venda e 
valores de tributação. 
 
 
11.3. Formas de representação 
 
 
O relevo de uma área pode ser representado, pelo menos, das seguintes 
maneiras: 
 
 - Perfis topográficos; 
- Curvas de nível; 
- Relevo sombreado; e 
- Cores hipsométricas. 
 
 
11.3.1. Perfis topográficos 
 
 
Perfil é o desenvolvimento em um plano vertical da interseção do alinhamento 
com a superfície topográfica. 
 
Se o perfil é referente ao eixo do caminhamento recebe o nome de perfil 
longitudinal. Se for perpendicular ao alinhamento, recebe o nome de perfil ou seção 
transversal. 
 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 175 
Para o levantamento de um perfil, sobre um eixo, para projeto de abastecimento 
d‟água, gasoduto, oleoduto, linhas de transmissão e outros projetos, necessita-se efetuar 
um projeto preliminar onde os PI‟s, pontos de interseção, são previamente escolhidos. A 
distância horizontal e a diferença de nível entre cada PI, é que determinarão o traçado 
do perfil. O traçado se dará através da ligação em linha reta (de preferência) ou não, 
entre cada PI. 
 
 
Levantamento da linha 
 
Os dados topográficos da poligonal, ângulos (horizontal e vertical) e distâncias 
(distância horizontal e diferença de nível) são anotados nas cadernetas de campo de 
nivelamento que já conhecemos. 
 
Os detalhes altimétricos correspondem aos pontos da superfície topográfica que 
mudam de aclividade ou declividade, sendo obtidos simultaneamente ao levantamento 
da poligonal. Aclividade é a parte da superfície topográfica que sobe em relação ao 
observador, e declividade é a parte da superfície topográfica que desce em relação ao 
observador. 
 
Os detalhes planimétricos referem-se a travessias sob ou sobre o eixo que está 
sendo nivelado para o perfil, tais como, drenos, cursos d‟água, estradas, redes de 
transmissão de energia, etc. 
 
Com a finalidade de dar mais realce às variações das alturas, toma-se a escala 
vertical dez vezes maior do que a escala horizontal: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo elucidativo: 
 
Desenhar o perfil do eixo de uma poligonal, que parte da estaca E0 (zero) até a 
estaca E14. A nomenclatura „estaca‟ corresponde a uma distância de 20,00m. 
703,5 
 
702,9 
702,6 
 
 
701,9 
701,5 
 
700 
706,1 
 
705,5 
705,2 
 
704,4 
 
703,8 
 
 
500 509 516 528 546 555 564 573 598 614 635 
A
lt
it
u
d
es
 (
m
) 
E
v
 =
 1
:2
0
0
 
Estacas (m) 
EH = 1:2000 
Perfil com linhas curvas 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 176 
 
 
Estaca Cota Observações Estaca Cota Observações 
0 164,50 Ponto A 7 158,70 N.A. do rio; margem esq. Ponto F 
1 165,00 8 159,15 
 + 10,40 165,40 Ponto A‟ 9 160,20 
2 165,10 10 160,90 
3 164,30 Ponto B 11 161,12 
4 160,40 + 15,00 159,50 Ponto G 
 + 10,50 158,70 Leito da estrada. Ponto C 12 158,80 
 + 19,00 158,40 Leito da estrada. Ponto D 13 159,40 
5 158,00 14 160,10 
 + 18,00 158,60 N.A. do rio; margem esq. Ponto E 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11.3.2. Curvas de nível 
 
 
 Curva de nível é uma linha sinuosa que liga pontos, na superfície do terreno, que 
têm a mesma cota (ou altitude). 
 
 A curva de nível é uma forma de representação gráfica de extrema importância: 
a planimetria possui uma forma de representação gráfica perfeita, que é a planta 
(resultado da projeção da superfície num plano horizontal). Nela, os ângulos e 
distâncias, embora reduzidos na escala, são representados fielmente. Enquanto isso, a 
altimetria só conta com a representação gráfica em perfil. Mas o perfil só representa a 
altimetria de um eixo, mas não de uma área. Então a visão geral do terreno fica 
prejudicada, pois precisaríamos de um número imenso de perfis da mesma área em 
G 
F 
E 
D 
C 
B A 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 177 
diversas posições e direções, para termos uma visão panorâmica e nunca poderíamos 
visualizá-los todos ao mesmo tempo. 
 
A visão imaginativa geral da sinuosidade do terreno é dada então pelas curvas de 
nível, que abrangem toda a área em estudo. Qualquer profissional conhecedor de curvas 
de nível é capaz de visualizar o relevo do terreno com suas características. 
 
As linhas das curvas de nível são geradas pela interseção de planos horizontais 
com a superfície do terreno. Veja a seguir: 
 
Elevação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os planos horizontais são paralelos e eqüidistantes. O valor da eqüidistância 
vertical varia de acordo com a precisão requerida. A eqüidistância escolhida em cada 
trabalho topográfico depende basicamente da escala da planta: 
 
Escala Eqüidistância 
1:500 0,5 metros 
1:1000 1,0 metros 
1:2000 2,0 metros 
1:10000 10,0 metros 
 
 
Para numerar as curvas de nível, costuma-se seccionar a linha, e colocar a sua 
cota (ou altitude) entre os extremos seccionados. 
 
Veja de forma elucidativa, a seguir, o esquema de delimitação de uma área 
retangular ABCD a ser representada em planta planialtimétrica: 
 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 178 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O corte vertical do terreno, em bloco diagrama, segundo o contorno retangular 
ABCD até uma profundidade de 15 metros abaixo do nível d‟água: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Corte horizontal de 5 em 5 metros do bloco diagrama, possibilitando visão 
imaginativa do terreno: 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 179 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Projeção das curvas de nível na planta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Características das curvas de nível: 
 
● Duas curvas de nível jamais se cruzam, porque disto resultaria um único ponto 
com duas cotas (altitudes) diferentes: 
 
 
 
 
 
67 
68 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 180 
● Curvas de nível muito afastadas uma das outras significa que o terreno é 
levemente inclinado, e quando muito próximas, um terreno fortemente inclinado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
● Curva de nível não pode desaparecer repentinamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Interpretação das curvas de nível: 
 
1) Vertente: 
 
É o elemento mais simples de se interpretar na superfície topográfica, pois é a 
própria inclinação do terreno. Corresponde a superfície compreendida entre a linha de 
cumiada e a linha de talvegue. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Linha de cumiada (cumeeira): 
 
É o lugar geométricodos pontos de cotas (ou altitudes) mais altas, onde são 
divididas as águas. 
 
 
 
 
 
 
67 
68 
67 
66 
65 
64 
68 
67 
66 
68 
66 
68 
66 
65 
64 
64 
64 
63 
63 
62 
65 
64 
 65 
67 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 181 
3) Vale: 
 
É o lugar geométrico dos pontos de cotas (ou altitudes) mais baixas, onde são 
acumuladas as águas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Linha de talvegue: 
 
Quando as vertentes têm inclinações rápidas e uniformes provocando na sua 
representação curvas de nível em ângulo agudo, formando uma linha de reunião de 
águas. As cotas (ou altitudes) maiores abraçam as cotas menores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Linha de espigão: 
 
Quando as vertentes têm inclinações rápidas e uniformes provocando na sua 
representação curvas de nível em ângulo côncavo, formando uma linha de divisão de 
águas. As cotas (ou altitudes) menores abraçam as cotas menores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6) Garganta: 
 
Conhecida também como ponto obrigatório de passagem, a garganta é um ponto 
de mínima cota (ou altitude) ao longo de uma seqüência de pontos elevados, ou seja, 
62 61 60 59 
59 
60 62 
61 
62 
62 
63 
63 
64 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 182 
quando queremos atravessar de um espigão para outro com qualquer via de transporte, 
uma ferrovia, uma rodovia, uma linha de transmissão de energia elétrica, etc., este ponto 
de mínima cota (ou altitude) é o local ideal para a travessia, pois subiremos menos de 
um lado e desceremos menos do outro. 
 
Pode-se entender a garganta também, como o ponto de cota (ou altitude) mais 
baixa na linha de talvegue. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Depressão e elevação: 
 
As depressões se distinguem das elevações, pelo fato de nas depressões as 
curvas de nível de cotas (ou altitudes) maiores envolverem as curvas de cotas (ou 
altitudes) menores e vice-versa no segundo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11.3.3. Relevo sombreado 
 
 
 O sombreamento executado diretamente em função das curvas de nível é uma 
modalidade de representação do relevo. 
Depressão Elevação 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 183 
 Consiste na pintura de sombras contínuas sobre certas vertentes, dando a 
impressão de saliências iluminadas e reentrâncias não iluminadas. 
 
 A execução do relevo sombreado requer um ângulo de 45º com o plano da carta, 
a partir de uma fonte luminosa (imaginária) à noroeste, de forma que as sombras sobre 
as vertentes fiquem voltadas para sudoeste. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11.3.4. Cores hipsométricas 
 
 
 Além das curvas de nível, adotam-se cores para facilitar o conhecimento geral 
do relevo. Faixas de determinadas altitudes recebem cores diferentes como o verde, 
amarelo, laranja, sépia, rosa e branco. 
Representação de relevo sombreado 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 184 
11.4. Métodos de levantamento de curvas de nível 
 
 
São três os métodos que podem ser empregados para a obtenção das curvas de 
nível: 
 
- Seções transversais; 
- Quadriculação; e 
- Irradiação (taqueométrica); 
 
 
11.4.1. Levantamento por seções transversais 
 
 
Método rápido e preciso, quando a área a levantar tiver a forma de uma faixa 
estreita e longa. É adequado na construção de estradas de rodagem, canais de irrigação e 
drenagem, eletrificação rural, etc. 
 
Consiste no traçado de uma poligonal aberta ou enquadrada acompanhando o 
eixo longitudinal da faixa do terreno. Após o estaqueamento dos vértices, feito 
normalmente a cada 20m, faz-se o nivelamento dos mesmos. Em seguida, a partir de 
cada estaca dessa poligonal, traçam-se perpendiculares que devem abranger toda a faixa 
da largura do terreno. O passo seguinte é nivelar as transversais, tendo cada uma como 
referencial a estaca de ré, que deverá pertencer à poligonal de base. A obtenção das 
cotas inteiras deverá vim de perfis correspondentes a cada nivelamento. 
 
 
Exemplo elucidativo: 
 
Eixo da poligonal: E0 – E11+10 
Precisão do nível utilizado: 7mm/Km 
Extensão da poligonal enquadrada: 0,230Km 
Altitude inicial E0(partida da poligonal enquadrada): 12,370m 
Altitude de chegada E11+10(chegada da poligonal): 18,002m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E0 
E2 
E3 
E4 
E5 
E6 E7 
E8 
E9 
E10 E11 E11+10 
E1 
1/1000 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 185 
 Apresentação da caderneta de nivelamento geométrico preenchida, do eixo da 
poligonal enquadrada: 
 
 
 
CADERNETA DE NIVELAMENTO GEOMÉTRICO 
 
 
Est. 
 
Visada
Ré 
Visada Vante 
PR 
Altitude 
Provisória 
(m) 
 
Correção 
(mm) 
Altitude 
Definitiva 
 
PI 
 
PM 
RN(E0) 4,800 17,170 12,370 - 
1 
1 
1 
1 
12,370 
E1 4,655 12,515 12,516 
E2 3,700 13,470 13,471 
E3 4,500 12,670 12,671 
E4 4,990 12,180 12,181 
 4,128 16,308 - 
E5 3,700 12,608 2 
2 
2 
12,610 
E6 3,448 12,860 12,862 
E7 0,760 15,548 15,550 
 2,800 18,348 - 
E8 1,535 16,813 4 
4 
4 
4 
4 
16,817 
E9 4,650 13,698 13,702 
E10 2,700 15,648 15,652 
E11 1,030 17,318 17,322 
E11+10 0,350 17,998 18,002 
 
 
Emáx = 2.e.(μ)
½ = 2.7.(0,230)
½
 = 6,71mm 
 
Ec = altitude de chegada real – altitude de chegada calculada = 18,002 – 17,998 = 4mm 
 
Δη = 4 = 1,33mm/PR 
 3 
 
Veja, a seguir, o modelo de preenchimento da caderneta de campo, para as três 
primeiras seções transversais: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 186 
 
CADERNETA DE NIVELAMENTO GEOMÉTRICO 
 
 
Est. Leitura na mira 
 
PR Cota ou 
Altitude Ré Vante 
EO/1,650 - - 14,02 12,370 
E+7,0 - 3,230 - 10,790 
E+16,0 - 4,710 - 9,310 
D+9,0 - 4,550 - 9,470 
D+15,0 - 3,870 - 10,150 
D+25,0 - 0,920 - 13,100 
E1/1,72 - - 14,236 12,516 
E+6,5 - 3,155 - 11,081 
E+19,0 - 4,815 - 9,421 
E+23,0 - 4,990 - 9,246 
D+7,0 - 4,325 - 9,911 
D+18,0 - 1,923 - 12,313 
E2/1,69 - - 15,161 13,471 
E+7,0 - 2,994 - 12,167 
E+18,0 - 4,910 - 10,251 
E+26,0 - 5,500 - 9,661 
D+5,0 - 4,680 - 10,481 
D+14,0 - 5,005 - 10,156 
D+29,0 - 5,627 - 9,534 
 
 
Perfil longitudinal: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cotas inteiras do perfil longitudinal: 
18 
 
17 
 
16 
 
15 
 
14 
 
13 
 
12 
E0 E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10 E11E12 
1/100 
1/1000 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 187 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Da mesma maneira, faz-se o perfil de cada seção transversal, passando as cotas 
inteiras encontradas e suas respectivas posições para a planta planimétrica. 
 
A união dos pontos de mesma cota dará as curvas de nível: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11.4.2. Levantamento por quadriculação 
 
 
É o método mais exato e também o mais trabalhoso. É facilmente aplicável para 
pequenas áreas e impossível para grandes glebas. Pela precisão, é recomendado quando 
se trata de movimentação de terra para edificações, irrigação, barragens, etc. 
 
O método consiste em fazer a quadriculação do terreno, colocando estacas em 
cada vértice dos quadrados, e proceder ao nivelamento geométrico de todas as estacas. 
 
A quadriculação deve ser feita com o emprego do teodolito, para dar as direções, 
e a trena, para a marcação das distâncias. 
18 
 
17 
 
16 
 
15 
 
14 
 
13 
 
12 
E0 E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10 E11 E12 
1
3
 
1
3
 
1
3
 
1
4
 
1
4
 
1
4
 
1
5
 
1
5
 
1
5
 
1
6
 
1
6
 
1
7
 
1
8
 
E0 
E2 
E3 
E4 
E5 
E6 E7 
E8 
E9 
E10 E11 E11+10 
E1 
13 
14 
14 
15 
15 
16 
16 
17 18 
9 
11 
12 
13 
11 
10 
12 
10 
12 
11 
12 
10 
11 
1/1000 
1/100 
1/1000 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 188 
Para a marcação, marca-se inicialmente uma linha M-N de preferência no eixo 
longitudinal do terreno (se existir). A subdivisão desta linha em estacas de d em d 
metros, vai depender do grau de precisão desejado, podendo ser a cada 5, 10, 20 metros. 
Em seguida são tiradas perpendiculares para cada estaca da linha M-N, que também são 
estaqueadas de d em d metros. Costuma-se utilizar letras para definir as linhas, numa 
direção e algarismos nas outras. 
 
A operação seguinte é o nivelamento geométrico de todas as estacas. A obtenção 
das cotas inteiras para o traçado das curvas de nível, vai depender de processos de 
interpolação ou gráficos. 
 
 
Como fazer a interpolação: 
 
 Considere uma linha AB de cotas (ou altitudes) conhecidas nos seus extremos 
A=12,4 e B=13,4. O propósito é encontrar nesta linha a cota inteira 13,0, por onde 
deverá passar a curva de nível. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Perpendicular à linha AB foram marcadas as distâncias 0,6 e 0,4 em qualquer 
escala, contanto que iguais. São os valores para chegar de 12,4 a 13 (0,6) e de 13,4 a 13 
(0,4). Obtêm-se os pontos C e D da reta CD que cruza a linha AB exatamente na cota 
13. 
 
 
Como construir o gráfico: 
 
 Na situação anterior, linha AB, reconstitui-se o perfil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Transporte a distância AE a partir de A, para marcação no desenho, 
determinando a posição da cota inteira de 13m. 
 E 
12 
13,4 
0
,4
 
Cota B (13,4) Cota A (12,4) 
Cota 13 
0
,6
 
Compr. da linha 20m 
C 
D 
13 
12,4 
Compr. da linha AB = 20m 
 B A 
Dist. a ser transportada 
Escala da planta 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 189 
Exemplo elucidativo: 
 
 
A partir da caderneta (preenchida), abaixo, de um levantamento planialtimétrico 
pela quadriculação do terreno, desenhar as curvas de nível. 
 
 
CADERNETA DE NIVELAMENTO GEOMÉTRICO 
 
Est. 
 
Visada
Ré 
Visada Vante 
PR 
 
Altitude 
Provisória 
 
Correção 
 
Altitude 
Definitiva 
 
PI 
 
PM 
A (RN) 0,10 100,10 100,00 
 
- 
B1 1,60 98,50 - 
B 0,80 99,30 - 
C 1,40 98,70 - 
D 2,10 98,00 - 
E 3,20 96,90 - 
C1 1,80 98,30 - 
D1 3,10 97,00 - 
D2 3,30 96,80 - 
C3 3,50 96,60 - 
C2 2,60 97,50 - 
B3 3,70 96,40 - 
B2 2,60 97,50 - 
A2 2,90 97,20 - 
A1 1,50 98,60 - 
E 3,20 96,90 - 
 0,10 97,00 - 
F 0,70 96,30 - 
G 1,00 96,00 - 
F1 1,10 95,90 - 
G1 1,10 95,90 - 
G2 1,40 95,60 - 
G3 1,70 93,30 - 
F3 1,90 95,10 - 
E3 1,00 96,00 - 
E2 0,70 96,30 - 
F2 1,40 95,60 - 
E1 0,50 96,50 - 
E3 1,00 96,00 - 
 0,60 96,60 - 
E4 1,00 95,60 - 
F4 2,00 94,60 - 
G4 1,30 95,30 
 
- 
G5 1,50 95,10 - 
F5 2,60 94,00 - 
E5 1,80 94,80 - 
D5 1,60 95,00 - 
D4 0,80 95,80 - 
D3 0,10 96,50 - 
 0,40 96,90 - 
C4 1,00 95,90 - 
C5 1,90 95,00 
 
- 
B5 2,00 94,90 - 
A5 2,20 94,70 - 
A4 1,60 95,30 - 
A3 0,90 96,00 - 
B4 1,20 95,70 - 
 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 190 
Solução: 
 
Croqui com as cotas calculadas (apenas perfis verticais) e interpoladas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Planta planialtimétrica desenhada: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 191 
11.4.3. Levantamento por irradiação 
 
 
É o método recomendado para áreas grandes e relativamente planas. Consiste em 
levantar poligonais principais e secundárias interligadas. Todas as poligonais devem ser 
niveladas e delas serem irradiados os pontos notáveis do terreno, nivelando-os e 
determinando a sua posição através de ângulos e de distâncias horizontais. 
 
O uso da taqueometria na determinação das distâncias horizontais é de grande 
ajuda, e economiza tempo, além de reduzir o número de pontos topográficos a serem 
cravados no terreno ao longo das linhas de nivelamento. 
 
 Os perfis devem ser traçados para a confecção das curvas de nível, tanto para as 
poligonais principais, como para as secundárias e linhas irradiadas. 
 
 
Exemplo elucidativo: 
 
 
Seja desenhar curvas de nível em um terreno de quatro lados: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Medida do comprimento dos lados: 
Linha 01-G = 121m 
Linha 01-J = 145m 
Linha 01-03 = 197m 
Linha 01-P = 167m 
01 • 
• 02 
• 
• 
20m 20m 
20m 20m 
20m 20m 
20m 
20m 
20m 
20m 
20m 
20m 
20m 
20m 
15m 
20m 
20m 
20m 
20m 
7m 
20m 
20m 
20m 
20m 
20m 
20m 
20m 
10m 
04 
03 
167m 
197m 
145m 
121m 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 192 
Solução: 
 
 
Criar perfis para as linhas principais e irradiadas da poligonal (Linha 01-02; 
Linha 02-03; Linha 03-04; Linha 04-01; Linha 01-P; Linha 01-03; Linha 01-J; e Linha 
01-G), a partir de caderneta de nivelamento apresentada:Ilustração do perfil longitudinal da linha 01-02. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
120 m 
47 m 
6
0
 m
 
1
5
0
 m
 
121 m 
145 m 
197 m 
167 m 
4
0
 m
 
7
5
 m
 
40 m 
A B 
M 
L 
K 
J 
I 
H 
N 
O 
P 
Q 
R 
S 
T 
U 
V 
X 
Z 
C D 
E 
G 
F 
40 
 
35 
 
30 
 
25 
 
20 
 
15 
 
10 
01 A B C D E 02 
Sem escala 
Sem escala 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 193 
 
Passar as cotas inteiras encontradas nos perfis, e suas respectivas posições, para 
a planta planimétrica; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ilustração da projeção das cotas inteiras a cada metro para o perfil da linha 01-
02. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
35 
 
30 
 
25 
 
20 
 
15 
 
10 
01 A B C D E 02 
Sem escala 
Sem escala 
Ivancildo F. dos Santos – IF-AL Campus Palmeira dos Indios 194 
Unir pontos de cotas inteiras gerando as curvas de nível.