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Terceira Lista de Exerc´ıcios 1. Exerc´ıcios do Ca´lculo B (62): • 9.8: (7) 1,4,5,8,13,15,16. • 10.3: (21) 1,4,7,8,11,14,15-18,25-45(´ımpares). • 10.7: (4) 1,3,4,6. • 10.11: (10) 8,12,14,15,18,22,23,24,34,35. • 10.13: (6) 1,2,4,7,9,12 • 10.16: (14) 2,4,6,8,10,11,12-19 2. Exerc´ıcios da Diomara (8): • 6.5: (3) 4,5,6 • 6.7: (2) 9,10. • 7.2: (3) 1,2,4. 3. Considere o campo vetorial ~f(x, y) = ( − y x2 + y2 − 2y, x x2 + y2 + 2x ) , (x, y) 6= (0, 0). Calcule ∫ C ~f · d~r, onde C e´ a elipse x2 + y 2 9 = 1, orientada no sentido anti-hora´rio. 4. Considere o campo vetorial ~f(x, y) = ( − (y − 1) x2 + (y − 1)2 , x x2 + (y − 1)2 ) , (x, y) 6= (0, 1). Calcule ∫ C ~f · d~r onde C e´: (a) a circunfereˆncia x2 + (y − 1)2 = 1. (b) a circunfereˆncia x2 + y2 = 25. (c) a circunfereˆncia (x− 10)2 + (y − 10)2 = 25. 5. Calcule ∫ C (cospix − 2y)dx + ( xy + tan (piy 6 )) dy onde C e´ a curva formada pelas semi-circunfereˆncias x2 + y2 = 4, y ≥ 0 e (x− 1)2 + y2 = 1, y ≥ 0 e cuja orientac¸a˜o e´ aquela que indica um percurso sobre C do ponto (−2, 0) a` origem. 6. Considere o campo vetorial ~f(x, y, z) = (x+ z, y, z− 4 + xy) definido em R3 e seja S a calota esfe´rica x2 + y2 + z2 = r2, z ≥ 0 e r > 0. Sabendo que o fluxo de ~f atrave´s de S deve ser nulo, calcule o raio r da calota. 7. Seja C a he´lice circular parametrizada por σ(t) = ( cos(t), sin(t), t 2pi ) , 0 ≤ t ≤ 2pi, sobre o cilindro x2+y2 = 1 que comec¸a no ponto (1, 0, 0) e termina no ponto (1, 0, 1). Calcule a integral de linha ∫ C ~f · d~r onde ~f(x, y, z) = (y(x− 2), x2y, z). 1 8. Considere a superf´ıcie S definida por z = √ x2 + y2, 1 ≤ z ≤ 3 e seja ~f o campo vetorial definido por ~f(x, y, z) = (yz,−xz, z3). Calcule a integral ∫∫ S rot ~f · ~ndS. 9. Seja S a calota esfe´rica dada pela equac¸a˜o x2 + y2 + (z − 2)2 = 4, com 0 ≤ z ≤ 2 orientada com normal exterior. Considere o campo vetorial ~f(x, y, z) = (y+z2, xz2− y, 2z). Calcule o fluxo de ~f atrave´s da superf´ıcie orientada S. 10. Considere o campo vetorial ~f(x, y, z) = (x, x − y + z, z4 − 3a2). Seja S uma lata cil´ındrica com fundo e sem tampa dada por x2+y2 = a2, 0 ≤ z ≤ √a e x2+y2 ≤ a2, z = 0. Sabendo-se que o fluxo atrave´s de S, de dentro para fora, e´ de pia3, calcule o valor de a. 11. Seja ~f um campo vetorial de classe C1 no aberto U = R3 − {(0, 0, 0), (1, 1, 1)} e tal que div ~f = 0 em U . Sejam S1 e S2 superf´ıcies esfe´ricas centradas em (0, 0, 0) e (1, 1, 1), respectivamente, e raios iguais a 1 4 , com normais exteriores ~n1 e ~n2. Seja S3 uma superf´ıcie esfe´rica, centrada na origem e de raio 5, com normal exterior ~n3. Calcule ∫∫ S3 ~f · ~n3 dS sabendo-se que ∫∫ S1 ~f · ~n1 dS = pi e ∫∫ S2 ~f · ~n2 dS = 2pi. 12. Sejam S1 a superf´ıcie dada pela equac¸a˜o z = x 2 + 2y2 e S2 a superf´ıcie dada pela equac¸a˜o z = 4− x2 e ~f um campo de vetores dado por ~f(x, y, z) = (x, y, z). (a) Calcule o fluxo de ~f atrave´s da superf´ıcie fronteira do so´lido Q limitado por S1 e S2. (b) Calcule a integral de linha ∫ C ~f ·d~r onde C e´ a curva de intersec¸a˜o das superf´ıcies S1 e S2. Resposta dos exerc´ıcios adicionais: 1. 14pi. 2. (a) 2pi; (b)2pi; (c) 0. 3. −14 3 − 3pi. 4. r = 2. 5. 2pi + 1 2 . 6. 52pi. 7. −32pi 3 . 8. a = 1 3 . 9. 3pi. 10. (a) 12pi; (b)0. 2