Lista_3_2-2012

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Terceira Lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo III - 2o. semestre de 2012
Professores: Lonardo (turma A) e Olimpio (turma C)
Prova: 27/3
1. Exerc´ıcios do Ca´lculo B (62):
• 9.8: (7) 1,4,5,8,13,15,16.
• 10.3: (21) 1,4,7,8,11,14,15-18,25-45(´ımpares).
• 10.7: (4) 1,3,4,6.
• 10.11: (10) 8,12,14,15,18,22,23,24,34,35.
• 10.13: (6) 1,2,4,7,9,12
• 10.16: (14) 2,4,6,8,10,11,12-19
2. Exerc´ıcios da Diomara (8):
• 6.5: (3) 4,5,6
• 6.7: (2) 9,10.
• 7.2:(3) 1,2,4.
3. Considere o campo vetorial ~f(x, y) =
(
− y
x2 + y2
− 2y, x
x2 + y2
+ 2x
)
, (x, y) 6= (0, 0).
Calcule
∫
C
~f · d~r, onde C e´ a elipse x2 + y
2
9
= 1, orientada no sentido anti-hora´rio.
4. Considere o campo vetorial ~f(x, y) =
(
− (y − 1)
x2 + (y − 1)2 ,
x
x2 + (y − 1)2
)
, (x, y) 6=
(0, 1). Calcule
∫
C
~f · d~r onde C e´:
(a) a circunfereˆncia x2 + (y − 1)2 = 1.
(b) a circunfereˆncia x2 + y2 = 25.
(c) a circunfereˆncia (x− 10)2 + (y − 10)2 = 25.
5. Calcule
∫
C
(cospix − 2y)dx +
(
xy + tan
(piy
6
))
dy onde C e´ a curva formada pelas
semi-circunfereˆncias x2 + y2 = 4, y ≥ 0 e (x− 1)2 + y2 = 1, y ≥ 0 e cuja orientac¸a˜o
e´ aquela que indica um percurso sobre C do ponto (−2, 0) a` origem.
6. Considere o campo vetorial ~f(x, y, z) = (x+ z, y, z− 4 + xy) definido em R3 e seja S
a calota esfe´rica x2 + y2 + z2 = r2, z ≥ 0 e r > 0. Sabendo que o fluxo de ~f atrave´s
de S deve ser nulo, calcule o raio r da calota.
7. Seja C a he´lice circular parametrizada por σ(t) =
(
cos(t), sin(t),
t
2pi
)
, 0 ≤ t ≤ 2pi,
sobre o cilindro x2+y2 = 1 que comec¸a no ponto (1, 0, 0) e termina no ponto (1, 0, 1).
Calcule a integral de linha
∫
C
~f · d~r onde ~f(x, y, z) = (y(x− 2), x2y, z).
1
8. Considere a superf´ıcie S definida por z =
√
x2 + y2, 1 ≤ z ≤ 3 e seja ~f o campo
vetorial definido por ~f(x, y, z) = (yz,−xz, z3). Calcule a integral
∫∫
S
rot ~f · ~ndS.
9. Seja S a calota esfe´rica dada pela equac¸a˜o x2 + y2 + (z − 2)2 = 4, com 0 ≤ z ≤ 2
orientada com normal exterior. Considere o campo vetorial ~f(x, y, z) = (y+z2, xz2−
y, 2z). Calcule o fluxo de ~f atrave´s da superf´ıcie orientada S.
10. Considere o campo vetorial ~f(x, y, z) = (x, x − y + z, z4 − 3a2). Seja S uma lata
cil´ındrica com fundo e sem tampa dada por x2+y2 = a2, 0 ≤ z ≤ √a e x2+y2 ≤ a2,
z = 0. Sabendo-se que o fluxo atrave´s de S, de dentro para fora, e´ de pia3, calcule o
valor de a.
11. Seja ~f um campo vetorial de classe C1 no aberto U = R3 − {(0, 0, 0), (1, 1, 1)} e
tal que div ~f = 0 em U . Sejam S1 e S2 superf´ıcies esfe´ricas centradas em (0, 0, 0) e
(1, 1, 1), respectivamente, e raios iguais a
1
4
, com normais exteriores ~n1 e ~n2. Seja
S3 uma superf´ıcie esfe´rica, centrada na origem e de raio 5, com normal exterior ~n3.
Calcule
∫∫
S3
~f · ~n3 dS sabendo-se que
∫∫
S1
~f · ~n1 dS = pi e
∫∫
S2
~f · ~n2 dS = 2pi.
12. Sejam S1 a superf´ıcie dada pela equac¸a˜o z = x
2 + 2y2 e S2 a superf´ıcie dada pela
equac¸a˜o z = 4− x2 e ~f um campo de vetores dado por ~f(x, y, z) = (x, y, z).
(a) Calcule o fluxo de ~f atrave´s da superf´ıcie fronteira do so´lido Q limitado por S1
e S2.
(b) Calcule a integral de linha
∫
C
~f ·d~r onde C e´ a curva de intersec¸a˜o das superf´ıcies
S1 e S2.
Resposta dos exerc´ıcios:
1. (Livro)
2. (Livro)
3. 14pi.
4. (a) 2pi; (b)2pi; (c) 0.
5. −14
3
− 3pi.
6. r = 2.
7. 2pi +
1
2
.
8. 52pi.
9. −32pi
3
.
10. a =
1
3
.
11. 3pi.
12. (a) 12pi; (b)0.
2