solucao_lista_2_estatistica_verao_2012

Prévia do material em texto

Mecânica Estatística - Curso de Verão - 2012 1
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA NATUREZA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO
Lista de Exercícios 2
Prazo de entrega: 13 de fevereiro, durante a aula.
Problema 1: Energia em um gás ideal
Em um gás ideal de moléculas clássicas não-interagentes e em equilíbrio térmico, as compo-
nentes cartesianas das velocidades das moléculas são estatisticamente independentes. No es-
paço 3D, a função densidade de probabilidades obedece à distribuição gaussiana, i.e.
p (vx ,vy ,vz ) =
1p
(2πσ2)3
exp
–
−
(v 2
x
+ v 2
y
+ v 2
z
)
2σ2
™
ondeσ2 = k B T /m e a energia de umamolécula dada porE =
1
2
m |~v |2.
(a) Encontre a função densidade de probabilidades para a energia de uma molécula para um
gás em 3D, p (E ).
(b) É possível criar um gás bidimensional adsorvendo átomos de gases nobres em um subs-
trato microscopicamente plano, de tal maneira que os atómos podem se mover livre-
mente no planomantendo-se presos a ele com relação à direção perpendicular.
Neste caso, qual seria p (E ) para um gás ideal 2D?
Problema 2: Gás ideal de osciladores harmônicos quânticos
ConsidereumconjuntodeN osciladores quânticos independentes, todos commesma frequên-
cia ν . O espectro de energia do iés i mo oscilador é
Ei = (n i +
1
2
)hν , n i = 0,1,2, . . .
Considere que o sistema está em um estado cuja energia total é E , i.e
E =
1
2
N h ν +M h ν
onde M é um número inteiro.
Tal como mostrado em aula, o número de microestados com energia total E possíveis é dado
por
Σ(E ) =
(M +N −1)!
M ! (N −1)!
Prof. Sérgio Coutinho Departamento de Física – UFPE
Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 1/11
Programa de Pós-graduação em Física da UFPE 02/15/2012
Mecânica Estatística - Curso de Verão - 2012 2
(a) Encontre a entropiaS do gás no limite em que N ≫ 1 e M ≫ 1.
Lembre-se de usar a fórmula de Stirling para grandes números: lnN !≃N lnN −N .
(b) Encontre a temperaturano equilíbrio termodinâmico e o valor E¯ (T ) quemaximiza a entro-
pia neste estado.
(c) Obtenha a capacidade calorífica C (T,N ).
(d) Analise o comportamento de E¯ (T ) e de C (T,N ) nos regimes de altas e baixas temperaturas.
Questão 1: Polímero unidimensional - 3 pontos
Um polímero unidimensional pode ser idealizado como uma cadeia de N monômeros (N ≫ 1)
de comprimento a . Considere que as junções entre os monômeros são livres para girar de 180
graus, isto é, desde que os monômeros permaneçam paralelos entre si. Uma configuração de
um polímero típico de tamanho L = 14a e N = 44 monômeros está mostrada na figura abaixo.
bc bc bc bcbc bc bc
bc bc
bc bc bc bc bc bc
bc bc bc
bc bc
b c bc bc
b c bc bc bc bc bc
bc bc bc
bc bc bc bc bc
bc bc bc bc bc bc bc
bc bc bc
bc bc bc
bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc
L
a
θ = 0 θ =π
monômeros
(a) (1,5 pontos) Calcule a entropia do polímero em função do seu comprimento final L .
(b) (1 ponto)Considere que o polímero está em equilíbrio térmico comum reservatório à tem-
peratura T . Use a energia livre de Helmholtz A(T,L,N ) e encontre a força (tensão) τ ne-
cessária para manter o comprimento L quando o sistema está à temperatura T .
(c) (0,5 pontos) Mostre que, em primeira ordem em L/N a , a relação obtida no item (b) recu-
pera a Lei de Hooke τ≃ κ(T )L. Determine a constante de força κ(T ).
Solução dos problemas da Lista 2
Prof. Sérgio Coutinho Departamento de Física – UFPE
Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 2/11
Programa de Pós-graduação em Física da UFPE 02/15/2012
√
MASSACHUSETTS INSTITUTE OF TECHNOLOGY
Physics Department
8.044: Statistical Physics I Spring Term 2008
Solutions to Problem Set #3 
Every problem in this set deals with a situation where a variable is a function of one or 
more random variables and is therefore itself a random variable. The problems all use 
the procedure given in the notes for finding the probability density of the new random 
variable when we know the probability densities for the variables that it depends upon. 
Problem 1: Energy in an Ideal Gas 
In this problem the kinetic energy E is a function of three random variables (vx, vy, vz) 
in three dimensions, two random variables (vx, vy) in two dimensions, and just one 
random variable, vx, in one dimension. 
(a) In three dimensions 
2 2 2E
 =
 1
2
(v
 )
+
 v + v
x y z
and the probability density for the three velocity random variables is
1
 22+v
x y z 
2)/2σ2−(v +vp(vx, vy, vz) = e .
(2πσ2)3/2 
Following the procedure, we want first to calculate the cumulative probability 
function P (E), which is the probability that the kinetic energy will have a value 
which is less than or equal to E. To find P (E) we need to integrate p(vx, vy, vz) 
2 2 2+ vover all regions of (vx, vy, vz) that correspond to 12(v
 ) ≤ E. That
+
 v
x y z
region in (vx, vy, vz) space is just a sphere of radius 2E/m centered at the 
origin. 
The integral is most easily done in spherical polar coordinates where 
2 2 2 2 v = v + v + vx y z 
vx = v sin θ cosφ 
vy = v sin θ sin φ 
vz = v cos θ 
dvx dvy dvz = v 
2 dv sin θ dθ dφ 
1
Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 3/11
Programa de Pós-graduação em Física da UFPE 02/15/2012
sergio
Rectangle
√ 
√ 
This gives 
∫ π ∫ 2π ∫ √2E/m 1 2 −v2/2σ2 P (E) = sin θ dθ dφ v e dv 
(2πσ2)3/2 0 0 0 ∫ √2E/m 4π 2 −v2 /2σ2 = v e dv 
(2πσ2)3/2 0 
Thus (substituting mσ2 = kT ) 
dP (E) 2 1 E −E/kT p(E) = 
dE 
= √
π kT kT 
e if E ≥ 0 (0 if E < 0) 
p(E) 
0 E 
3 dimensions 
You can use this to calculate 〈E〉 = 3 kT . 
2 
(b) In two dimensions 
E = 
2
1 (vx 
2 + vy
2) 
and the probability density for the two velocity random variables is 
2 21 −(vx +vy)/2σ2 p(vx, vy) = e . 
(2πσ2) 
To find P (E) we need to integrate p(vx, vy) over all regions of (vx, vy) that 
correspond to 1
2 
(vx 
2 + vy
2) ≤ E. That region in (vx, vy) space is just a circle of 
radius 2E/m centered at the origin.
The integral is most easily done in polar coordinates where
2 2 2 v = v + vx y 
vx = v cos θ 
vy = v sin θ 
dvx dvy = v dv dθ 
2 
Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 4/11
Programa de Pós-graduação em Física da UFPE 02/15/2012
√ √ 
This gives ∫ 2π ∫ √2E/m ∫ √2E/m 1 −v2 /2σ2 1 −v2 /2σ2 P (E) = dθ v e dv = e dv 
2πσ2 0 0 σ
2
0 
Thus (substituting mσ2 = kT ) 
p(E) = 
dP (E) 
=
1 
e −E/kt if E ≥ 0 (and 0 if E < 0) 
dE kT 
You can use this to calculate 〈E〉 = kT . 
(c) In one dimension (not required) 
E = 1 v 2 
2 x 
and the probability density for the single velocity random variable is
1 2 /2σ2
xp(vx) = e 
−v .√
2πσ2 
To find P (E) we need to integrate p(vx) over all regions of vx that correspond 
to 1
2 
vx 
2 ≤ E. That region in vx space is just a line from − 2E/m to 2E/m. ∫ √2E/m 2 
v1 − 
2σP (E) = v e 2 dv √
2πσ2 −
√
2E/m
Thus (substituting mσ2 = kT )
dP (E) 1
p(E) = 
dE 
= √
πkT E 
e −E/kt if E ≥ 0 (0 if E < 0) 
p(E) 
0 E 
2 dimensions 
p(E) 
0 E 
1 dimension 
You can use this to calculate 〈E〉 = 1 kT . 
2 
3 
Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 5/11
Programa de Pós-graduação em Física da UFPE 02/15/2012
Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 6/11
Programa de Pós-graduação em Física da UFPE 02/15/2012
sergio
Rectangle
sergio
Typewritten Text
Problema 2 - Lista 2
sergio
Typewritten Text
sergio
Typewritten Text
sergio
Typewritten Text
sergio
Typewritten Text
(a)
Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 7/11
Programa de Pós-graduação em Física da UFPE 02/15/2012
sergio
Typewritten Text
sergio
Typewritten Text
(b)
Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 8/11
Programa de Pós-graduação em Físicada UFPE 02/15/2012
sergio
Typewritten Text
(c)
sergio
Typewritten Text
Capacidade Calorífica
sergio
Typewritten Text
sergio
Typewritten Text
sergio
Rectangle
Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 9/11
Programa de Pós-graduação em Física da UFPE 02/15/2012
sergio
Typewritten Text
sergio
Typewritten Text
(d)
Mecânica Estatística - Curso de Verão - 2012 3
Problema 3: Polímero unidimensional
Um polímero unidimensional pode ser idealizado como uma cadeia de N monômeros (N ≫ 1)
de comprimento a . Considere que as junções entre os monômeros são livres para girar de 180
graus, isto é, desde que os monômeros permaneçam paralelos entre si. Uma configuração de
um polímero típico de tamanho L = 14a e N = 44 monômeros está mostrada na figura abaixo.
bc bc bc bcbc bc bc
bc bc
bc bc bc bc bc bc
bc bc bc
bc bc
b c bc bc
b c bc bc bc bc bc
bc bc bc
bc bc bc bc bc
bc bc bc bc bc bc bc
bc bc bc
bc bc bc
bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc
L
a
θ = 0 θ =π
monômeros
(a) (1,5 pontos) Calcule a entropia do polímero em função do seu comprimento final L .
(b) (1 ponto)Considere que o polímero está em equilíbrio térmico comum reservatório à tem-
peratura T . Use a energia livre de Helmholtz A(T,L,N ) e encontre a força (tensão) τ ne-
cessária para manter o comprimento L quando o sistema está à temperatura T .
(c) (0,5 pontos) Mostre que, em primeira ordem em L/N a , a relação obtida no item (b) recu-
pera a Lei de Hooke τ≃ κ(T )L. Determine a constante de força κ(T ).
Solução:
(a) Para especificar um dada configuração vamos contar o número de monômeros que fazem
ângulo nulo ou π rad com a direção do polímero, i.e seja N+ os monômeros que fazem
ângulo nulo e N− os que fazem ângulo de π rad, respectivamente. É imediato verificar
que a distância entre as extremidades L será igual a
L = (N+−N−)a , e N = (N++N−)
O número de possíveis configurações com mesmo tamanho L, e portanto o mesmo N+
será
W (L,N ) =
N !
N+!N−!
∴
S = k lnW (L,N ) = k ln
N !
N+!N−!
= k [N lnN −N+ lnN+−N− lnN−]
Escrevendo N+ e N− como função de L,N teremos
N+ =
N a + L
2a
=
N
2
�
1+
L
N a
�
, e N− =
N a − L
2a
=
N
2
�
1−
L
N a
�
,
Prof. Sérgio Coutinho Departamento de Física – UFPE
Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 10/11
Programa de Pós-graduação em Física da UFPE 02/15/2012
Mecânica Estatística - Curso de Verão - 2012 4
resulta
S(L,N ) = k
�
N lnN −
N
2
�
1+
L
N a
�
ln
N
2
�
1+
L
N a
�
−
N
2
�
1−
L
N a
�
ln
N
2
�
1−
L
N a
��
=
S(L,N ) = N k
�
ln2−
1
2
�
1+
L
N a
�
ln
�
1+
L
N a
�
−
1
2
�
1−
L
N a
�
ln
�
1−
L
N a
��
Observe que a entropia não depende da energia, vez que não há custo energético para o
movimento nas junções.
(b) A força (ou tensão) em termos da energia livre A(T,L,N ) =U −TS é dada por
τ=
�∂ A
∂ L
�
T,N
, → τ=
�∂U
∂ L
�
T,N
−T
� ∂ S
∂ L
�
T,N
Comoa energia internaU não é alteradapela rotação dosmonômeros temosque (∂U/∂ L)T,N =
0. Logo
τ=−T
� ∂ S
∂ L
�
T,N
=−N k T
�
−
1
2N a
ln
�
1+
L
N a
�
−
−1
2N a
ln
�
1−
L
N a
�
−
1
2N a
+
1
2N a
�
∴
τ=
k T
2a
ln


1+
L
N a
1−
L
N a

 → τ= k T2a tanh−1
� L
N a
�
(c) No limite em que L <<N a , podemos expandir o resultado do item (b), i.e.
τ=≃
k T
a
�� L
N a
�
+
1
3
� L
N a
�3
+ . . .
�
→ τ=
k T
N a 2
L +
k T
3N 3a 4
L3+ . . . ∴ κ=
k T
N a 2
Prof. Sérgio Coutinho Departamento de Física – UFPE
Curso de Mecânica Estatística - Verão 2012 11/11
Programa de Pós-graduação em Física da UFPE 02/15/2012