Eu Odeio Fenômenos de Transporte II

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“[...] porque sem mim nada podeis 
fazer.”. 
João 15:5 
 
 
 
 
 
F 
 
 Guerreiro, Helder 
 Eu Odeio Fenômenos de Transporte II / 
 Helder Guerreiro – Manaus, 2018. 
 
Bibliografia 
 
Livro não catalogado e não institucional, o 
mesmo é amador. 
Sumário 
Observação ...................................................................................................................................................................... 7 
Apresentação .................................................................................................................................................................. 8 
Calor .................................................................................................................................................................................... 9 
1.1 Modos de transferência de calor ................................................................................................................ 10 
1.1.1 Condução ......................................................................................................................................................... 10 
1.1.2 Convecção ....................................................................................................................................................... 12 
1.1.3 Radiação ......................................................................................................................................................... 14 
Lei de Fourier Tridimensional .......................................................................................................................... 17 
2.1 Exemplos ................................................................................................................................................................ 18 
Exemplo 1 ................................................................................................................................................................. 19 
2.2 Problemas em Geral ......................................................................................................................................... 20 
Problema 1 ............................................................................................................................................................... 20 
Problema 2 .............................................................................................................................................................. 20 
Problema 3............................................................................................................................................................... 22 
Problema 4 .............................................................................................................................................................. 22 
Problema 5 .............................................................................................................................................................. 23 
Problema 6 .............................................................................................................................................................. 23 
Problema 7 .............................................................................................................................................................. 24 
Problema 8 .............................................................................................................................................................. 24 
Configurações .............................................................................................................................................................. 26 
3.1 Parede Plana ....................................................................................................................................................... 26 
3.1.1 Condução ......................................................................................................................................................... 26 
3.1.1 Ligando conceitos ........................................................................................................................................ 26 
3.1.2 Aplicações ...................................................................................................................................................... 28 
3.2 Cilíndrica .............................................................................................................................................................. 29 
3.2.1 Equação ........................................................................................................................................................... 29 
3.3 Esférica .................................................................................................................................................................. 30 
3.3.1 Cálculo 2? ........................................................................................................................................................ 31 
3.4 Equivalência Elétrica ..................................................................................................................................... 33 
Exemplo .................................................................................................................................................................... 34 
5 
 
Raio crítico ................................................................................................................................................................... 36 
4.1 Raios do sistema ................................................................................................................................................ 36 
4.2 Raio crítico .......................................................................................................................................................... 37 
4.2.1 Resistências .................................................................................................................................................. 37 
4.2.2 Interpretação .............................................................................................................................................. 39 
Exercícios ........................................................................................................................................................................ 44 
Questão 1 ....................................................................................................................................................................... 44 
Questão 2 ...................................................................................................................................................................... 47 
Questão 3 ...................................................................................................................................................................... 48 
Equação da difusão ................................................................................................................................................. 54 
6.1 Interpretação ...................................................................................................................................................... 58 
6.2 Aplicações ............................................................................................................................................................ 59 
6.2.1 Engenharia Química ................................................................................................................................ 59 
6.2.2 Engenharia de Alimentos......................................................................................................................59 
6.2.3 Engenharia de Petróleo e Gás .............................................................................................................. 59 
6.2.4 Pesquisa Forense ....................................................................................................................................... 60 
6.2.5 EDO’s e EDP’s .............................................................................................................................................. 60 
Modelo da Capacitância ........................................................................................................................................... 62 
7.1 Mudança Súbita ................................................................................................................................................. 62 
Exemplo ........................................................................................................................................................................ 66 
Cartas de Heisler ........................................................................................................................................................ 69 
8.1 Exemplos ................................................................................................................................................................ 71 
Exemplo 1 ................................................................................................................................................................. 71 
Exemplo 2 ................................................................................................................................................................ 74 
Modelos de Convecção ............................................................................................................................................. 76 
9.1 Parede Plana ....................................................................................................................................................... 76 
9.2 Cilindro e Esfera ................................................................................................................................................ 80 
9.2.1 Cilindro ........................................................................................................................................................... 80 
9.2.2 Esfera .............................................................................................................................................................. 81 
9.3 Transferência total de energia ................................................................................................................... 83 
9.4 Controle e Modelagem .................................................................................................................................... 84 
9.5 Interpolação ........................................................................................................................................................ 87 
Sólido Semi-infinito ................................................................................................................................................. 91 
6 
 
10.1 Aplicações ........................................................................................................................................................... 96 
Exercícios resolvidos ................................................................................................................................................. 98 
Questão 1 ....................................................................................................................................................................... 98 
Questão 2 .................................................................................................................................................................... 104 
Questão 3 .................................................................................................................................................................... 106 
Exercícios resolvidos, cilindro curto e paralelepípedo. .................................................................... 109 
Questão 1 ..................................................................................................................................................................... 109 
12.2 Cilindro curto .................................................................................................................................................. 113 
12.2.1 Placa infinita? ......................................................................................................................................... 114 
12.3 Paralelepípedo ................................................................................................................................................ 115 
Trocadores de calor ............................................................................................................................................... 116 
13.1 Aplicações.......................................................................................................................................................... 117 
13.2 Classificação de Construção ..................................................................................................................... 118 
13.2.1 Casco Tubo ................................................................................................................................................. 118 
13.2.2 Tubo duplo ................................................................................................................................................. 119 
13.2.3 Serpentina ................................................................................................................................................. 119 
13.3 Classificação de Arranjo de Escoamento ........................................................................................... 120 
Métodos e projetos .................................................................................................................................................... 122 
14.1 Método DTML ................................................................................................................................................ 122 
14.1.1 Escoamento Paralelo ............................................................................................................................. 122 
14.1.2 Interpretação ........................................................................................................................................... 125 
14.1.3 Escoamento Contracorrente ............................................................................................................. 126 
14.1.4 Interpretação .......................................................................................................................................... 126 
14.2 Método E-NUT ............................................................................................................................................... 127 
14.2.1 Exemplo ...................................................................................................................................................... 128 
14.3 Projetos .............................................................................................................................................................. 132 
Adeus ............................................................................................................................................................................... 133 
Referências ...................................................................................................................................................................134 
 
 
 
Observação 
 
× Este livro é baseado nas aulas do professor do autor; 
× O livro base para este material não se concentra em somente uma obra, mas em 
várias referências que serão devidamente citadas; 
× Imagens e textos não pertencentes ao autor serão devidamente citados; 
× Este livro é amador e não obteve ajuda de terceiros, ou seja, o autor pensou, 
escreveu, editou e publicou este livro sozinho, o que faz deste passível de certos 
erros pequenos nesta edição, o que não comprometerá o seu estudo, dessa forma 
peço sua compreensão caso encontre algum erro neste livro. 
× Para dúvidas, sugestões, aviso de erros, elogios ou algo que necessite contato, 
envie um e-mail para: heldermeloguerreiro@gmail.com . 
× Este livro é gratuito e não deve, de forma alguma, ser vendido por nenhuma 
pessoa física ou jurídica, o autor deliberou de boa vontade este livro como livre 
para todo aquele que queira possuí-lo. 
 
 
 
 
Apresentação 
 
 Olá meu nome é Helder Guerreiro, estudante de Engenharia Química na 
Universidade Federal do Amazonas (UFAM). Em algumas fases da minha vida eu 
encontrei muitas dificuldades de estudo, porque eu sempre fui uma pessoa que não 
teve muitas oportunidades na vida, então eu entrei numa faculdade de Engenharia 
na cara e na coragem. Eu tenho plena certeza que há pessoas muito mais capacitadas 
do que eu por aí. 
 Este é mais um de uma coleção de “livros” (posso assim dizer) amadores que eu 
tenho criado desde o meu 2° período da minha faculdade, eles são fruto de minhas 
estratégias de estudo que uso nas disciplinas mais difíceis que já enfrentei. Como você 
deve ter percebido, eu não sou uma pessoa superinteligente então não é fácil para 
mim estudar pelos livros e entender algumas explicações de professores, por isso eu 
criei minha própria didática, a minha fuga e no final de tudo, após ter vencido a 
bat6alha eu crio um livro amador e publico-o como forma de espalhar essa minha 
estratégia para outras pessoas que se tenham interesse. 
 Eu não vou prometer dizendo que aqui tem tudo, porque não tem, na verdade 
nenhum livro tem tudo, o meu material é uma forma de introdução, após você 
entender das coisas que aqui estão você estará apto a entender livros mais complexos, 
mas você não aprenderá todo Fenômenos de Transporte de Calor por aqui, somente 
metade, ainda mais porque convenhamos que o professor não consegue dar todo 
assunto em 5 meses de aula certo? 
 Espero que este livro venha ser útil a você, eu o libero publicamente para quem 
o desejar ter, seja bem-vindo ao Fenômenos de Transporte de Calor, está pronto para 
isso? 
 
 
9 
 
Calor 
E a sua transferência 
 
 Começando com a definição mais simples possível e a mais importante dos 
fenômenos de transporte II, temos que calor, segundo Incropera, é: 
“A energia térmica em trânsito devido a uma diferença de temperaturas no espaço. 
“. 
 Ou seja, a diferença de temperatura é a força motriz da transferência de calor, 
mas, primeiramente, o que seria força motriz? 
 A força motriz é o estopim de algo, ou seja, é o “impulso” necessário para algo 
acontecer. Se estivermos falando de energia elétrica, a força motriz é a diferença de 
potencial, que fará os elétrons irem do mais concentrado para o menos, formando 
uma corrente elétrica. Mas se estivermos falando de transferência de calor, a força 
motriz é a diferença de temperatura. 
 Imagine um copo de café quente. Você não precisa entender de termodinâmica 
ou de fenômenos de transporte para saber que o café esfriará depois de um tempo, se 
tornando morno. 
 Isso ocorre porque o café possui uma temperatura maior do que a do ambiente 
em que ele se encontra, ou seja, temos uma diferença de temperatura. 
 A energia em trânsito (calor) que está no café tenderá ao deslocamento para o 
local de menor temperatura até que o equilíbrio térmico seja atingido, isto é, que a 
temperatura do café seja igual a temperatura do ambiente. 
 Nos deparamos em mais um caso em que algo se desloca sempre do mais para o 
menos concentrado. 
 Quando Joule realizou o experimento que levou ao entendimento de que havia 
um tipo de energia interna na matéria, houve a participação do calor. 
 A energia interna pode proporcionar calor, isso podemos ver através da 
primeira lei: 
∆𝑈 = 𝑄 + 𝑊 
 Ou seja, a combinação da energia interna e trabalho realiza o fornecimento de 
calor. 
 Veja bem, o calor da equação da 1° lei ao ser isolado fará o trabalho ficar 
negativo, porém 𝑊 = −𝑃𝑉, ou seja, o resultado será positivo, o que significa que o 
10 
 
trabalho deve ser realizado sobre o sistema. E foi isso que Joule fez, agitou água em 
um recipiente através de trabalho mecânico. A água aqueceu, e após um certo tempo 
retornou ao seu estado inicial. 
 A energia interna está relacionada a energia contida nas partículas da 
substância, como de vibração e cinética em geral. Realizar um trabalho sobre a 
substância fará com que as moléculas fiquem mais agitadas, o que ocasionará a perda 
de energia interna da substância na forma de calor. 
 A termodinâmica aborda muito as funções de estado, por exemplo ∆U, ∆H, ∆S 
e ∆G, porém nesse estudo não é necessário conhecer o caminho para se chegar aos 
resultados, tudo é resumido entre um ponto inicial e final. 
 Esse “caminho” na verdade é o calor, é ele que desenha essas funções e ele será o 
nosso foco nesta disciplina. 
 
1.1 Modos de transferência de calor 
 
 Como agora você já sabe que o foco de Fenômenos de Transporte II é o calor, é 
importante saber que o que vamos aprender será um complemento do estudo da 
termodinâmica. 
 Na termodinâmica, nós colocamos o pão de cima e de baixo do sanduíche, agora 
em FT2 iremos colocar o recheio e as operações unitárias serão o ketchup e a maionese, 
para fechar com chave de ouro. 
 Os modos de transferência de calor são três: condução, convecção e radiação, 
onde cada um tem as suas próprias características e serão amplamente aprofundados 
nesta disciplina. 
 
1.1.1 Condução 
 
 Quando o calor flui através de um meio, seja sólido ou fluido, diz-se que este é 
um modo de transferência por condução. 
Nas palavras do Incropera: 
 “Quando existe um gradiente de temperatura em um meio estacionário, que 
pode ser um sólido ou fluido, usamos o termo condução para nos referirmos à 
transferência de calor que ocorrerá através do meio. “. 
 Com certeza muita gente já se arrependeu de fazer café usando uma colher sem 
o cabo de plástico, depois de alguns segundos fica impossível segurar a colher de tão 
11 
 
quente que ela fica. Isso ocorre justamente por causa da condução, pois o calor que 
está na água do café usa a colher como meio para fluir. 
 Segundo Incropera, “a condução pode ser vista como a transferência de energia 
das partículas mais energéticas para as menos energéticas de uma substância devido 
às interações entre partículas.”. 
 Explicando o texto acima, temos que a água do café está com uma grande 
quantidade de energia fluindo (calor) dentro de si, mas quando a colher sem o cabo 
de plástico é colocada dentro da água, temos que a colher possui pouca quantidade de 
energia (calor), o que fará a energia da água de café fluir para a colher de metal. 
 A condução de calor é tridimensional, mas pode ser tratada de forma 
unidimensional e bidimensional. 
 Mas porque tridimensional? Veja uma barra de aço, ela tem comprimento, 
largura e volume, ou seja, três dimensões e o calor se propaga diferentemente em 
todas elas. 
 A condução unidimensional é tratada pela Lei de Fourier, que diz que o fluxo 
de calor é proporcional à área vezes a variação de temperatura sobre a variação de 
x. 
�̇� 𝛼 
𝐴 ∆𝑇
∆𝑥
 
 Para tirar esse “proporcional” e colocar um sinal de igual devemos uma 
constante. 
Então temos uma equação:�̇� = 
𝑘 𝐴 ∆𝑇
∆𝑥
 ; ∆𝑇 = 𝑇𝑄 − 𝑇𝑓 
Onde a sua unidade é: 
�̇� → 𝑊𝑎𝑡𝑡 =
𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒
𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜
→ 𝑊 =
𝐽
𝑠
 
A equação pode ser escrita de outra forma, dessa vez em sua forma infinitesimal: 
�̇� = −𝑘𝐴
𝑑𝑇
𝑑𝑥
 
Onde 𝑑𝑇
𝑑𝑥
 é o gradiente de temperatura. Você se lembra de FT1 onde temos o gradiente 
de velocidade? Então, é a mesma coisa aqui. 
 Esse “gradiente” é na verdade uma taxa de variação, segundo James Stewart 
(2), onde ao passo que seguimos em x temos a variação da temperatura. 
 Digamos que esse estudo observa a propagação do calor através de uma barra 
de metal desprezando as influências da altura e volume da mesma. 
12 
 
Mas o que é essa constante k aí? Ela é a constante de condutividade térmica do 
material. Vamos descobrir qual é a unidade dela. 
�̇� = 
𝑘 𝐴 ∆𝑇
∆𝑥
𝐽
𝑠
= [𝑘] 𝑚2
𝐾
𝑚
→ 𝑊 = [𝑘] 𝑚 𝐾 → [𝑘] =
𝑊
𝑚 𝐾
 
 Fazendo uma análise dimensional, temos que as dimensões dessa constante é: 
[𝑘] =
𝑊
𝑚 𝐾
=
𝐽
𝑠 𝑚 𝐾
=
𝑁 𝑚
𝑠 𝑚 𝐾
=
𝑘𝑔 𝑚
𝑠2 𝑠 𝑚 𝐾
=
𝑘𝑔
𝑠3 𝐾
 
[𝑘] =
𝑀
𝑡3 𝑇
 
 Temos que a constante de condutividade térmica tem as suas dimensões na 
massa (M), tempo (t) e na temperatura (T). 
 Essa constante é característica de cada material, ou seja, cada material possui 
um comportamento diferente quando entre em contato com o calor. 
 A condutividade térmica é uma propriedade termo física que exprime 
fenomenologicamente a facilidade de transferência de energia em um sistema em 
estudo. 
 Por exemplo: a condutividade térmica de um material de alumínio é maior que 
a condutividade térmica de um material de polietileno. 
 
1.1.2 Convecção 
 
 Segundo Incropera, “o modo de transferência de calor por convecção abrange 
dois mecanismos. Além de transferência de energia devido ao movimento molecular 
aleatório (difusão), a energia também é transferida através do movimento global, ou 
macroscópico, do fluido.”. 
 Podemos dizer em outras palavras que convecção é a transferência de calor 
através da diferença de velocidade entre um fluido e o objeto de estudo. 
 Veja só, uma bacia cheia de água quente influenciará a temperatura de uma 
sala, porque o ar, que está em movimento, entra em contato com a água quente e 
então a energia que está em excesso na água será transferida para o ar, aquecendo-
o. 
 O condicionador de ar (sim essa é forma correta de se dizer) é um exemplo de 
convecção forçada. Essa máquina refrigeradora usa do ar externo para refrigerá-lo 
através de etapas termodinâmicas, e então um fluido resfriado (ar) será jogado dentro 
da sala que está com um ar mais quente. 
13 
 
 O excesso de energia desta vez está na sala, que será transferida para o ar 
resfriado. O ar resfriado então esquenta, o ar quente é menos denso que o ar frio, logo 
o ar quente sobe até o teto da sala e o frio desce até o chão, resfriando a sala. 
 É por isso que as vezes quando ligamos o condicionador de ar a sala demora 
muito para esfriar, o problema não é da máquina, o que ocorre é que se você fechar 
toda a sala, deixando-a abafada, a máquina terá muito mais trabalho, pois terá que 
resfriar um ar quente retido. 
 Quando você liga o condicionador de ar, o correto é que você deixe pelo menos 
uma janela aberta, porque o ar quente que sobe encontrará uma saída e fugirá pela 
janela. Isso quer dizer que em vez da máquina ter que resfriar o ar quente da sala 
ela irá somente expulsa-lo. 
 Tudo que estamos falando aqui é analisado de forma microscópica, ou seja, o 
movimento das moléculas e suas interações, são elas que são afetadas por essa 
“energia em trânsito” que chamamos de calor. 
 As moléculas de um café quente estão severamente agitadas e atritadas entre 
si, como a natureza sempre deseja a maior estabilidade possível, as moléculas do café 
têm fortíssima tendência a transferir essa energia excessiva para outras moléculas. 
 Em FT1, estudamos o que é a camada limite. Ela vem do princípio da aderência, 
é onde o gradiente de velocidade do fluido despenca de um valor x até zero através 
do seu contato com uma superfície. 
 Se houver uma diferença de temperatura entre a superfície e o fluido, ocorrerá 
também uma camada limite térmica, onde a temperatura estará variando entre a 
da superfície e a do fluido. Ou seja, é uma camada intermediária entre temperaturas, 
onde há variação de temperatura em todos os pontos. 
 A transferência de calor através da camada limite térmica se dá por meio da 
convecção, pois temos um fluido e uma superfície onde o fluido está em velocidade e 
a superfície está fixa. 
 Analisando mais profundamente, a camada limite de velocidade do fluido varia 
da velocidade do fluido até zero, onde o fluido está em total contato com a superfície, 
é através dessa velocidade zero que o calor é transferido. 
 Na camada limite de velocidade a velocidade aumenta ao passo que subimos o 
eixo y, o calor se propaga aos poucos e através do movimento do fluido ele é 
transferido. 
 A convecção também estuda o calor latente, ou seja, o calor necessário para 
mudanças de fase de uma certa substância. Seu estudo mais frequente aqui nesta 
disciplina é o da ebulição e da condensação. 
14 
 
 Agora não iremos nos aprofundar para cálculos envolvendo convecção, mas irei 
apresentar a você uma equação simples que descreve a convecção: 
𝑞𝑛 = ℎ(𝑇𝑠 − 𝑇𝑥) 
 Onde 𝑞𝑛 é o fluxo de calor por convecção (𝑊/𝑚2), 𝑇𝑠 é a temperatura da superfície 
e 𝑇𝑥 é da superfície do fluido. Dessa vez temos uma outra constante, h é o coeficiente 
de transferência de calor por convecção (𝑊/𝑚2𝐾). Essa é a Lei do resfriamento de 
Newton. 
 Esse coeficiente, segundo Incropera, “depende das condições na camada limite, 
as quais, por sua vez, são influenciadas pela geometria da superfície, pela natureza 
do escoamento do fluido e por uma série de propriedades termodinâmicas e de 
transporte do fluido.”. 
 
1.1.3 Radiação 
 
 Segundo Incropera, “radiação térmica é a energia emitida pela matéria que se 
encontra a uma temperatura não nula.”. 
 Como o calor na forma de radiação não depende de um meio para se propagar, 
temos que tanto fluidos como sólidos podem emitir calor através da radiação. 
 Segundo Incropera, “a emissão pode ser atribuída a mudanças nas 
configurações eletrônicas dos átomos ou moléculas que constituem a matéria.”. Ainda 
mais: “a energia do campo de radiação é transportada por ondas eletromagnéticas 
(ou, alternativamente, fótons). 
 Você com certeza já passou perto de uma churrasqueira e sentiu aquele calor 
forte vindo dela, então, prazer você sentiu a radiação do calor. 
 A busca da natureza por uma forma de encontrar equilíbrio é tão forte que a 
matéria com excesso de energia simplesmente emite a energia para o meio externo. 
 O nosso Sol de cada dia é um exemplo de um material que emite radiação na 
forma de calor, a quantidade de energia que está no Sol é tão grande que irá demorar 
alguns milhões de anos para ele conseguir emitir tudo e conseguir o equilibro, 
infelizmente o seu equilíbrio significa a morte. 
 Podemos dizer que a capacidade de um certo objeto emitir calor é denominado 
de poder emissivo. Ele é determinado pela Lei de Stefan-Boltzmann, um velho 
conhecido da química inorgânica. 
𝐸𝑛 = 𝜎𝑇𝑠
4 
15 
 
 Lei de Stefan-Boltzmann, isso lhe lembra algo? Para os esquecidos, esses caras 
chegaram até aqui através dos seus estudos com corpos negros (radiador ideal), um 
assunto introduzido pela química inorgânica. 
A sigma (σ) é a constante de Stefan-Boltzmann cujo valor é: 𝜎 = 5,67 × 10−8 𝑊
𝑚2𝐾4
. 
 Lembra de Termodinâmica? Então, tem aquele papo de ciclo de Carnot que é 
digamos “a máquina mais perfeita possível” e qualquer outra máquina terá menor 
rendimento que ela,a mesma coisa se repete aqui. 
 O fluxo térmico emitido por uma superfície real será sempre menor que o fluxo 
emitido por um corpo negro, ou superfície ideal, à mesma temperatura. Por causa 
disso temos um coeficiente que irá diferenciar cada superfície, a emissividade (ԑ). 
Temos uma nova equação para casos reais: 
𝐸 = 𝜀𝜎𝑇𝑠
4 
 Onde o coeficiente de emissividade varia entre 0 e 1. Digamos que a 
emissividade é a eficiência da superfície ao emitir energia em relação ao corpo negro. 
 Segundo Incropera, “ela depende fortemente do material da superfície e de seu 
acabamento.”. 
 Partindo de todo esse estudo voltado à capacidade de uma certa superfície 
emitir energia, é importante também observar o outro lado da moeda, ou seja, em 
vez de emitir vamos absorver energia. 
 Isso porque se energia está sendo emitida alguém terá que absorver essa energia, 
não? 
 Agora sobre a absorvidade. A absorvidade é representada pela letra grega α, 
onde a mesma pode variar entre 0 e 1. 
 Se α < 1 então temos uma superfície opaca. A superfície influencia bastante, pois 
dependendo da mesma, temos casos em que a radiação pode fluir melhor ou não. 
 No caso da radiação do Sol, a superfície pode deixar essa radiação o transpassar 
assim como também refletir boa parte dessa irradiação. 
 A absorvidade depende da natureza da irradiação e do material da superfície. 
São esses estudos que nos levam às aplicações das placas fotovoltaicas. 
 Incropera demonstra uma equação que envolve uma relação entre a emissão de 
energia e absorção de energia, da seguinte forma: 
𝑞𝑟𝑎𝑑
𝑛 =
𝑞
𝐴
− 𝜀𝐸𝑛(𝑇𝑠) − 𝛼𝐺 = 𝜀𝜎(𝑇𝑠
4 − 𝑇𝑣𝑖𝑧
4 ) 
 Isso fazendo 𝛼 = 𝜀, ou seja, a absorvidade igual a emissividade. Portanto, temos 
uma forma de “equilíbrio” através dessa igualdade, pois da mesma forma que a 
16 
 
superfície emite ela absorve. Essa letra “G” é a medida da irradiação na superfície 
estudada. Do outro lado da igualdade, o que acontece é que a irradiação é 
aproximada a emissão de um corpo negro, fazendo: 
𝐺 = 𝜎𝑇𝑣𝑖𝑧
4 
Essa equação pode ser organizada também como: 
𝑞𝑟𝑎𝑑 = ℎ𝑟𝐴(𝑇𝑠 − 𝑇𝑣𝑖𝑧) 
 Onde esse ℎ𝑟 é o coeficiente de transferência de calor por radiação, que pode ser 
encontrado por: 
ℎ𝑟 = 𝜀𝜎(𝑇𝑠 + 𝑇𝑣𝑖𝑧)(𝑇𝑠
2 + 𝑇𝑣𝑖𝑧
2 ) 
 
1.1.4 Tudo Junto 
 
 É necessário compreendermos que tudo que foi apresentado a você ocorre em 
conjunto. Porque os fenômenos não ocorrem separadamente, eles ocorrem em 
concomitância, ou seja, um interagindo com outro. 
 Veja um café quente, ele pode realizar troca de calor através da condução, 
utilizando uma colher de metal, e trocar calor através da convecção, utilizando da 
corrente de ar do meio externo, e também através da radiação simplesmente 
liberando seu calor para o meio externo. 
 Porém, é válido ressaltar que a troca de calor por irradiação é mais perceptível 
no vácuo. Veja o Sol, é impossível transferir calor até a terra através de condução ou 
convecção, todo seu calor é transferido através da irradiação no vácuo pelas ondas 
eletromagnéticas. 
 
17 
 
Lei de Fourier Tridimensional 
E problemas resolvidos 
 
 Na aula anterior foi dito que a transferência de calor é tridimensional, então 
agora iremos ver as diferenças importantes entre o que foi apresentado 
primeiramente a você, ou seja, o unidimensional, e o tridimensional. 
Temos que a equação do fluxo de calor em transferência por condução unidimensional 
é: 
�̇� =
𝑘 𝐴 ∆𝑇
∆𝑥
= −𝑘 𝐴
𝑑𝑇
𝑑𝑥
 
 É conveniente, nesta disciplina, representar o fluxo de calor por área, assim 
poderemos representar todo o objeto de estudo, podendo diferenciar as áreas. 
𝑞𝑛 =
�̇�
𝐴
= −𝑘 
𝑑𝑇
𝑑𝑥
 
 Isso fará do fluxo de calor uma grandeza direcional. 
Como assim uma grandeza direcional? 
Como não definimos uma área exata, o valor do fluxo de calor será incerto em todo 
o objeto de estudo, dessa forma será necessário uma direção, que indicará em que 
terreno estamos pisando, essa direção irá definir o resultado final do fluxo de calor. 
Mas porque esse valor negativo? 
Segundo Incropera, “porque o calor é sempre transferido no sentido da diminuição 
das temperaturas. ”. 
Mas na forma finita (∆𝑻/∆𝒙) não tem negativo, porque? 
Porque esse ∆T na verdade já satisfaz o que o Incropera falou, nos exercícios eu 
falarei mais sobre ele. 
 O Incropera define o fluxo de calor sobre a área, que mostramos ainda pouco, 
de fluxo térmico. Eu sei que pode parecer trocar seis por meia dúzia, mas atente para 
diferença entre as nomenclaturas. 
�̇�
𝐹𝑙𝑢𝑥𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟
𝑞𝑛
𝐹𝑙𝑢𝑥𝑜 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑐𝑜
 
 O fluxo de calor é a quantidade de energia liberada em uma certa área do objeto 
e o fluxo térmico é a quantidade de energia que o objeto pode liberar por área. 
18 
 
 É a forma tridimensional que representa fielmente o estudo da transferência de 
calor por condução, portanto ao estudarmos um objeto, consideramos os eixos x, y e 
z e os vetores unitários 𝑖, 𝑗 e �⃗⃗�. 
 O fato de estarmos usando uma forma 
tridimensional afeta o gradiente, ou seja, vamos 
deixar de usar aquela taxa de variação disfarçada 
de gradiente e usar um gradiente de verdade de três 
variáveis. 
�⃗⃗�𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝜕𝑇
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕𝑇
𝜕𝑦
𝑗 +
𝜕𝑇
𝜕𝑧
�⃗⃗� 
 Um gradiente assim como apresentado por James 
Stewart (4). 
 
 
Dessa forma, a equação do fluxo de calor vetorial tridimensional é: 
𝑞𝑛⃗⃗ ⃗⃗⃗ = −𝑘�⃗⃗�𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) 
 Para encontrar o seu módulo temos de desmembrar esse calor tridimensional 
em calor em relação a x, y e z, onde escrevemos: 
𝑞𝑥
𝑛⃗⃗ ⃗⃗⃗, 𝑞𝑦𝑛⃗⃗ ⃗⃗⃗ e 𝑞𝑧𝑛⃗⃗ ⃗⃗⃗ 
 Mas, para fazer isso temos que abrir o gradiente e multiplicar k por cada 
componente, ficando assim: 
𝑞𝑥
𝑛⃗⃗ ⃗⃗⃗ = −𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥
𝑖 , 𝑞𝑦
𝑛⃗⃗ ⃗⃗⃗ = −𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑦
𝑗 , 𝑞𝑧
𝑛⃗⃗ ⃗⃗⃗ = −𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑧
�⃗⃗� 
Portanto, o módulo do fluxo de calor fica: 
|�⃗̇�| = √𝑞𝑥2 + 𝑞𝑦2 + 𝑞𝑧2 
 
2.1 Exemplos 
 
 
 
 
 
19 
 
Exemplo 1 
 
Um campo de temperatura é descrito por: 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥 + 𝑦2 − 𝑥𝑦𝑧, encontrar: 
a) O gradiente de temperatura; 
b) O vetor fluxo de calor; 
c) O módulo do vetor fluxo de calor. 
 
Sabemos que o gradiente de temperatura tem a seguinte forma: 
�⃗⃗�𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝜕𝑇
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕𝑇
𝜕𝑦
𝑗 +
𝜕𝑇
𝜕𝑧
�⃗⃗� 
Então, usando as leis básicas de cálculo II de James Stewart (1), temos: 
𝜕𝑇
𝜕𝑥
= 2 − 𝑦𝑧
𝜕𝑇
𝜕𝑦
= 2𝑦 − 𝑥𝑧
𝜕𝑇
𝜕𝑧
= −𝑥𝑦 
Portanto, a resposta da letra a) é: 
�⃗⃗�𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2 − 𝑦𝑧)𝑖 + (2𝑦 − 𝑥𝑧)𝑗 + (−𝑥𝑦)�⃗⃗� 
Para encontrarmos o vetor fluxo de calor, utilizaremos a equação do fluxo de calor 
vetorial tridimensional: 
𝑞�̇� = −𝑘�⃗⃗�𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) 
Portanto, a resposta da letra b) é: 
𝑞𝑛⃗⃗ ⃗⃗⃗ = −𝑘[(2 − 𝑦𝑧)𝑖 + (2𝑦 − 𝑥𝑧)𝑗 + (−𝑥𝑦)�⃗⃗�] 
Para o módulo, vamos calcular 𝑞𝑥�̇�, 𝑞𝑦�̇� 𝑒 𝑞𝑧�̇�: 
𝑞𝑥
𝑛⃗⃗ ⃗⃗⃗ = −𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥
𝑖 , 𝑞𝑦
𝑛⃗⃗ ⃗⃗⃗ = −𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑦
𝑗 , 𝑞𝑧
𝑛⃗⃗ ⃗⃗⃗ = −𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑧
�⃗⃗� 
𝑞𝑥
𝑛⃗⃗ ⃗⃗⃗ = −𝑘(2 − 𝑦𝑧)𝑖 𝑞𝑦
𝑛⃗⃗ ⃗⃗⃗ = −𝑘(2𝑦 − 𝑥𝑧)𝑗 𝑞𝑧
𝑛⃗⃗ ⃗⃗⃗ = −𝑘(−𝑥𝑦)�⃗⃗� 
Portanto, o módulo do fluxo de calor fica: 
|�⃗̇�| = √[−𝑘(2 − 𝑦𝑧)]2 + [−𝑘(2𝑦 − 𝑥𝑧)]2 + [−𝑘(−𝑥𝑦)]2 
 Se por um acaso a questão desse os valores de x, y e z, bastava substituir na 
equação acima e pronto, teríamos um resultado numérico. 
 
 
 
20 
 
2.2 Problemas em Geral 
 
Problema 1 
 
 Informa-se que a condutividade térmica de uma folha de isolante extrudado 
rígido é igual a k = 0,029 W/(m.K). A diferença de temperaturas medida entre as 
superfícies de uma folha com 20 mm de espessura deste material é 𝑇1 − 𝑇2 = 10 °C. 
a) Qual éo fluxo térmico através de uma folha do isolante com 2 m X 2 m? 
b) Qual é a taxa de transferência de calor através da folha de isolante? 
 
Perceba a diferença entre o que se pede na a) e na b). A letra a) pede o fluxo térmico 
enquanto a letra b) pede a taxa de transferência de calor. 
a) 
𝑞𝑛 =
𝑘∆𝑇
∆𝑥
=
(0,029 𝑊/𝑚𝐾)(10 𝐾)
20 × 10−3 𝑚
= 14,5 𝑊/𝑚2 
b) 
�̇� = 𝑞𝑛𝐴 = (14,5 𝑊/𝑚2)(4 𝑚2) = 58 𝑊 
Veja que na letra a) a questão lhe dá a área da folha, sendo que não precisa, somente 
na letra b). Esse trocadilho pode enganar você, fique atento. 
 
Problema 2 
 
 Uma parede de concreto, que tem uma área superficial de 20 𝑚2 e espessura de 
0,30 m, separa o ar refrigerado de um quarto do ar ambiente. A temperatura da 
superfície interna da parede é mantida a 25 °C e a condutividade térmica do concreto 
é de 1 W/(m.K). 
a) Determine a perda de calor através da parede considerando que a temperatura 
de sua superfície externa varie de – 15 °C a 38 °C, que correspondem aos extremos 
do inverno e do verão, respectivamente. 
 
 Vamos prestar atenção no que o enunciado diz. É normal que você venha se 
perguntar: “se eu tenho que fazer ∆T, quem eu devo subtrair pelo quê? ” . 
21 
 
 Bom, eu vou lhe dar uma dica: sempre valorize o enunciado da questão. A 
questão lhe pediu para que você calcule a perda de calor, e refrescando a sua 
memória: 
 “o calor é sempre transferido no sentido da diminuição das temperaturas.”. 
 Se a temperatura de algo está diminuindo, então está havendo perda de calor! 
Logo, o cálculo da transferência de calor já é a perda em si, quando está positivo. 
 Por isso, se você sabe que deve perder calor, então faça a subtração de tal forma 
que o resultado seja positivo. 
Ou seja, o modo certo é fazer : 
25 − (−15) → 25 + 15 
 Analiticamente, isso representa perda de calor porque 25 °C é a temperatura 
interna da parede, enquanto que – 15 °C é a temperatura externa. 
 As temperaturas dão tipo uma “direção” ao calor, ou seja, são as temperaturas 
que dizem em que sentido estamos olhando o calor. Porque se olharmos de dentro para 
fora, a parede estará perdendo calor, porque dentro é mais quente do que lá fora; já 
se olharmos de fora para dentro, a parede está ganhando calor. 
 Mas como Incropera falou, o calor é sempre no sentido da perda, então a forma 
correta de pensar é que a parede está perdendo calor para o meio externo. 
 Já no segundo caso, onde há o verão de 38 °C, temos que a forma correta será: 
38 − 25 
 Ora, os papeis se inverterão. Temos que agora lá fora é mais quente do que lá 
dentro, então o meio externo está perdendo calor para a parede. 
 Tudo isso foi abordado no estudo da condução. Relembrando: “a condução pode 
ser vista como a transferência de energia das partículas mais energéticas para as 
menos energéticas [...].”. 
 Então, o meio externo tem mais energia em trânsito e o meio interno tem menos, 
logo a energia em excesso será deslocada em direção ao local onde há deficiência. 
No inverno: 
�̇� =
𝐴𝑘∆𝑇
∆𝑥
=
(20 𝑚2) (1
𝑊
𝑚𝐾)
(25 + 15)
0,30 𝑚
= 2667 𝑊 
No verão: 
�̇� =
𝐴𝑘∆𝑇
∆𝑥
=
(20 𝑚2) (1
𝑊
𝑚𝐾)
(38 − 25)
0,30 𝑚
= 867 𝑊 
22 
 
Perceba, a questão falou para determinar a perda de calor através da parede não da 
parede. 
 
Problema 3 
 
 A base de concreto de um porão tem 11 m de comprimento, 8 m de largura e 0,20 
m de espessura. Durante o inverno, as temperaturas são normalmente de 17 °C e 10 °C 
em suas superfícies superior e inferior, respectivamente. Se o concreto tiver uma 
condutividade térmica de 1,4 W/(m.K), qual é a taxa de perda de calor através da 
base? 
 
 Mais uma questão falando de perda de calor, idêntica a questão anterior. 
 A questão simplesmente está pedindo para que você calcule a taxa de calor 
perdida pelo concreto. Usando o mesmo esquema que foi falado na questão anterior, 
a parte superior é mais quente do que a inferior, ou seja, o calor está se deslocando 
da parte superior até a inferior. Logo: 
�̇� =
𝐴𝑘∆𝑇
∆𝑥
=
(11 𝑚)(8 𝑚) (1,4
𝑊
𝑚𝐾)
(17 − 10)
0,20 𝑚
= 4312 𝑊 
 
Problema 4 
 
 O fluxo térmico através de uma lâmina de madeira, com espessura de 50 mm, 
cujas temperaturas das superfícies são de 40 e 20 °C, foi determinado como de a 40 
W/𝑚2. Qual é a condutividade térmica da madeira? 
 
Esta é uma questão muito simples, onde seu único trabalho é rearranjar a equação 
do fluxo térmico. 
𝑞𝑛 =
𝑘𝛥𝑇
𝛥𝑥
→ 𝑘 =
𝑞𝑛𝛥𝑥
𝛥𝑇
 
Logo: 
𝑘 =
𝑞𝑛𝛥𝑥
𝛥𝑇
=
(40
𝑊
𝑚2
) (50 × 10−3 𝑚)
40 − 20
= 0,1
𝑊
𝑚𝐾
 
 
 
23 
 
Problema 5 
 
 As temperaturas interna e externa de uma janela de vidro com 5 mm de 
espessura são de 15 e 5 °C. Qual é a perda de calor através de uma janela com dimensões 
de 1 m por 3 m? A condutividade térmica do vidro é de 1,4 W/(m.K). 
 
Nenhuma novidade não é mesmo? Então vamos calcular: 
�̇� =
𝐴𝑘∆𝑇
∆𝑥
=
(3 𝑚2) (1,4
𝑊
𝑚𝐾)
(15 − 5)
5 × 10−3 𝑚
= 8400 𝑊 
 
Problema 6 
 
 Uma janela de vidro, com 1 m de largura e 2 m de altura, tem espessura de 5 
mm e uma condutividade térmica de k = 1,4 W/(m.K). Se em um dia de inverno as 
temperaturas das superfícies interna e externa do vidro são de 15 °C e – 20 °C, 
respectivamente, qual é a taxa de perda de calor através do vidro? 
 Para reduzir a perda de calor através da janela, é costume usar janelas de vidro 
duplo nas quais as placas de vidro são separadas por uma camada de ar. Se o 
afastamento entre as placas for de 10 mm e as temperaturas das superfícies do vidro 
em contato com os ambientes estiverem nas temperaturas de 10 °C e – 15 °C, qual é a 
taxa de perda de calor em uma janela de 1 m X 2 m? A condutividade térmica do ar 
é k = 0,024 W/(m.K). 
 
Bom, no primeiro caso temos uma simples janela, onde podemos calcular a sua taxa 
de perda de calor sem problema. 
�̇� =
𝐴𝑘∆𝑇
∆𝑥
=
(2 𝑚2) (1,4
𝑊
𝑚𝐾)
(15 + 20)
5 × 10−3 𝑚
= 19600 𝑊 
 No segundo caso temos uma separação entre duas placas de vidro através do 
ar. Perceba que na questão as temperaturas dadas são da placa de vidro que está em 
contato com o ambiente externo, ou seja, são as temperaturas somente da placa de 
fora e não a de dentro. 
 Isso significa que estamos analisando o calor que está entrando por uma placa 
e indo até a outra, veja que não foi dado a temperatura da segunda placa, e o que há 
entre as placas? Isso mesmo, ar. 
24 
 
 Enfim, o que queremos calcular na verdade é a perda de calor existente entre a 
primeira placa e a segunda. Isso quer dizer que não precisamos calcular a perda de 
calor nas placas em si, somente entre elas. 
�̇� =
𝐴𝑘∆𝑇
∆𝑥
=
(2 𝑚2) (0,024
𝑊
𝑚𝐾)
(15 + 20)
10 × 10−3 𝑚
= 120 𝑊 
 
Problema 7 
 
 Uma câmara de congelador é um espaço cúbico de lado igual a 2 m. Considere 
que a sua base seja perfeitamente isolada. Qual é a espessura mínima de um 
isolamento à base de espuma de estireno (k = 0,030 W/(m.K)) que deve ser usada no 
topo e nas paredes laterais para garantir uma carga térmica menor do que 500 W, 
quando as superfícies interna e externa estiveram a -10 e 35 °C? 
 
 Nesta questão deve-se ter cuidado com a geometria do objeto estudado. 
 Veja que a questão está falando para calcularmos a espessura da espuma de 
estireno a ser utilizada somente no topo e nas laterais, aja vista que a base é isolada 
termicamente. 
 Como o comprimento de cada lado da câmara é 2 m e estamos falando de um 
cubo, então temos que a área de uma face é 4 𝑚2. Um cubo tem seis faces, porém não 
devemos esquecer que uma delas é inválida, portanto, ao calcular o valor de ∆x temos 
que levar em consideração 5 faces. 
Rearranjando: 
�̇� =
𝐴𝑘∆𝑇
∆𝑥
→ ∆𝑥 =
𝐴𝑘∆𝑇�̇�
 
Logo: 
∆𝑥 =
𝐴𝑘∆𝑇
�̇�
=
(4 𝑚2)(5) (0,030
𝑊
𝑚𝐾)
(35 + 10)
500 𝑊
= 54 𝑚𝑚 
 
Problema 8 
 
 Qual é a espessura requerida para uma parede de alvenaria com condutividade 
térmica igual a 0,75 W/(m.K), se a taxa de calor de ser 80 % da taxa através de uma 
parede estrutural composta com uma condutividade térmica de 0,25 W/(m.K) e uma 
25 
 
espessura de 100 mm? A diferença de temperaturas imposta nas duas paredes é a 
mesma. 
 
A questão não fala, mas devemos supor que as duas paredes devam ter a mesma área 
para esse experimento, para que possamos resolve-la. 
Veja que a questão nos dá a informação que a taxa de transferência da alvenaria 
deve ser 80% da parede estrutural: 
�̇�1 = �̇�20,80 
Perceba que nós podemos fazer isso: 
�̇�1
�̇�2
= 0,80 
Logo: 
𝐴𝑘1∆𝑇
∆𝑥1
𝐴𝑘1∆𝑇
∆𝑥1
= 0,80 →
𝑘1∆𝑥2
∆𝑥1𝑘2
= 0,80 
Rearranjando: 
∆𝑥1 =
𝑘1∆𝑥2
0,80𝑘2
=
(0,75
𝑊
𝑚𝐾)
(100 × 10−3 𝑚)
0,80 (0,25
𝑊
𝑚𝐾)
= 375 𝑚𝑚 
Percebeu porque tínhamos que considerar as paredes de mesma área? 
 
26 
 
Configurações 
De transferência de calor por condução 
 
3.1 Parede Plana 
 
3.1.1 Condução 
 
 A transferência de calor por condução é a forma mais simples de se observar 
esse fenômeno, pelo fato de sua ocorrência ser óbvia: o calor é conduzido por um 
material, simplesmente isso. 
 Aqui estaremos observando o caso de uma parede. Imagine a parede de um 
forno, com certeza dentro dele (se ele estiver ligado) a temperatura estará altíssima, 
mas isso não pode se espalhar pelo ambiente, porque se não irá tirar o conforto 
térmico do local e a eficiência do forno será perdida. 
 A análise em parede plana é como se pegássemos essa parede do forno e 
cortássemos em fatias, do mesmo jeito como fazemos em desenho (suponho que você 
já fez essa disciplina). 
 
3.1.1 Ligando conceitos 
 
 Com os exercícios apresentados anteriormente você já deve ter percebido como 
é o comportamento da transferência de calor através de paredes né. 
 A variação de temperatura é a força motriz da transferência de calor, quanto 
maior essa variação, maior será a transferência de calor. 
 Veja a configuração através da imagem abaixo: 
27 
 
 
 A reta que você viu na fatia é a reta de variação da temperatura, essa reta 
simplesmente mostra o comportamento da transferência de calor através da 
espessura da parede. 
 Veja que a reta está caindo ao passo que se move pelo eixo x. Ora, como a 
ordenada é a temperatura, temos que a temperatura está caindo ao passo que se 
prossegue na espessura da parede, isso significa que está havendo perda de calor de 
dentro para fora. 
 Claro que é nenhuma novidade que o calor é direcionado do mais quente para 
o mais frio, veja que a reta é decrescente no sentido de dentro para fora, isso remete 
ao fato do resultado da transferência de calor ser negativo. 
 Podemos desenvolver uma equação para esse tipo de configuração, essa equação 
irá calcular o calor referente à reta que está na fatia, ou seja, é a taxa de 
transferência de calor superficial da fatia. 
Partindo da lei de Fourier, temos: 
𝑞𝑛 = −𝑘
𝑑𝑇
𝑑𝑥
→ �̇� = −𝑘𝐴
𝑑𝑇
𝑑𝑥
 
Separando variáveis: 
∫ �̇�𝑑𝑥
𝑥=𝑏
𝑥=0
= − ∫ 𝑘𝐴𝑑𝑇
𝑇𝑓
𝑇𝑞
→ �̇�(𝑥 − 0) = −𝑘𝐴(𝑇𝑓 − 𝑇𝑞) 
�̇� =
𝒌𝑨∆𝑻
𝒃
 
 Veja que a transferência de calor através da espessura da parede depende de 4 
incógnitas, dentre elas 3 são constantes, mas há uma em especial que deve ter uma 
certa atenção. 
28 
 
 A constante de condutividade térmica do material (k) tem grande importância 
nesse estudo, pois o seu valor geralmente é o mais impactante em toda equação. 
 Se o material for um isolante, não importa a variação de temperatura e da 
área, o resultado geralmente será pequeno. E ainda podemos ajudar a isolar mais 
ainda o sistema, aumentando a espessura (b) do material. 
 Porém, se o material for um condutor, pouco adiantará variar área e espessura, 
até uma pequena variação de temperatura poderá acionar a transferência de calor. 
 
Como posso diferenciar um material isolante de um condutor (térmico)? 
Através do k. Um material isolante possui um k muito pequeno (k = 0.5, por exemplo) 
enquanto um material condutor possui um k alto (k = 200, por exemplo). 
 
Porque dividir o material em fatias? 
Principalmente quando é necessário separar um ambiente do outro, a configuração 
em fatias é utilizada quando se dá prioridade à transferência de calor através da 
espessura do material, ou seja, através da penetração da energia pela parede do 
material. 
 
3.1.2 Aplicações 
 
 Na engenharia química, há reatores que são altamente exotérmicos, ou seja, 
liberam muito calor. Isso pode causar um desconforto térmico para os trabalhadores 
em volta. 
 Um reator realiza uma reação de hidróxido de sódio (𝑁𝑎𝑂𝐻) e ácido sulfúrico 
(𝐻2𝑆𝑂4) liberando -13,8 kJ/kmol e formando sulfato de sódio (𝑁𝑎2𝑆𝑂4) e água (𝐻2𝑂). Para 
que não haja uma liberação exagerada de calor no meio de trabalho, o engenheiro 
químico deverá saber qual é o isolante térmico e a espessura mais eficiente para esse 
reator. 
 Como ele faz isso? Claro né gente, ele vai usar parâmetros conhecidos através 
de outro material de teste, ao conhecer o comportamento de transferência de calor, 
basta calcular a melhor espessura para um dado k. 
 Na aerodinâmica, os aviões usam uma camada de policarbonato entre o seu 
casco e o local onde os passageiros ficam, para que não haja uma variação brusca de 
temperatura. Claro, é muito importante que todos estejam bem confortáveis e seguro 
dentro de um avião. 
29 
 
 Na área petrolífera, a perfuração de um poço exige cuidados. Ao cimentar um 
poço, o engenheiro deve ter muito cuidado com a corrosão, pois os materiais 
petrolíferos são muito corrosivos. Então, deve ser calculado a espessura ideal de um 
isolante que impeça uma alta variação de temperatura, pois, para quem não sabe, a 
alta temperatura propicia a corrosão de um material. 
 
3.2 Cilíndrica 
 
 A condução ainda continua sendo aplicada aqui, a teoria ainda é a mesma, a 
nossa mudança está na geometria do material que vamos analisar. 
 A forma cilíndrica é famosa no nosso dia a dia, latas de bebidas, alimentos, 
temperos, materiais químicos etc., estão por todos os lados, então é importante saber 
como ocorre uma transferência de calor em seu interior. 
Veja a imagem abaixo: 
 
 Não confunda, estamos consideração aqui um cilindro cheio, então, aquele 
círculo apresentado é uma visão de cima, porque o cilindro está cheio de fluido quente. 
A distância entre a temperatura fria e quente é a espessura do material. Então o 
verde é o fluido e o azul é o material. 
 A diferença da configuração cilíndrica para a parede plana é que aqui o calor 
é transferido para todos os lados, em forma de anéis, enquanto que na parede plana 
a transferência era linear. 
 Essa forma é muito usada na indústria, os trocadores de calor em forma de 
tubos possuem uma ideia parecida, a única diferença é que a ideia não é isolar o calor 
e sim trocar, entre um material quente e frio. 
 
3.2.1 Equação 
 
30 
 
Vamos desenvolver uma equação para esse tipo de transferência de calor: 
�̇� = −𝑘𝐴
𝑑𝑇
𝑑𝑟
→ �̇�𝑑𝑟 = −𝑘𝐴𝑑𝑇 
�̇�
1
𝐴
𝑑𝑟 = −𝑘𝑑𝑇 → 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐴 = 2𝜋𝑟𝑏 → �̇�
1
2𝜋𝑟𝑏
𝑑𝑟 = −𝑘𝑑𝑇 
Integrando: 
∫ �̇�
1
2𝜋𝑏
𝑑𝑟
𝑟
𝑟2
𝑟1
= − ∫ 𝑘𝑑𝑇
𝑇𝑓
𝑇𝑞
→
�̇�
2𝜋𝑏
ln 𝑟2 − 𝑟1 = 𝑘(𝑇𝑞 − 𝑇𝑓) 
�̇� ln
𝑟2
𝑟2
= 2𝜋𝑏𝑘∆𝑇 → �̇� =
2𝜋𝑏𝑘∆𝑇
ln
𝑟2
𝑟2
 
 Todo o entendimento explicado antes sobre os materiais e o comportamento da 
transferência de calor se aplica aqui também, a única diferença é que a transferência 
não é mais linear esim cilíndrica. 
 Essa configuração mostra que o calor se expande do centro para as bordas, ou 
seja, se você estiver fazendo um bolo, as bordas que estão encostadas na parede da 
panela terão uma temperatura mais fria do que a aquela que está no centro da 
panela. Lembra quando você comia aquele mingau de aveia? Isso mesmo né, estava 
fervendo, mas você não resistia a essa delícia, então você pegava o mingau só das 
bordas porque estava mais frio. 
 
3.3 Esférica 
 
 Bom, nós vamos fazer a mesma coisa pela terceira vez. 
 Perceba que isso já está dando tédio né? Simplesmente, de todos os casos que 
pegamos até aqui, nós substituímos a área pelo nosso objeto de estudo, então, eu acho 
que ninguém é bobo de ficar decorando nada aqui né? Se você ver que o seu objeto é 
de uma tal forma, substituía o valor respectivo da sua área na lei de Fourier e pronto, 
seja feliz. 
 A forma esférica também é outra forma bastante evidente no nosso dia a dia, 
veremos agora o seu equacionamento. 
31 
 
 
�̇� = −𝑘𝐴
𝑑𝑇
𝑑𝑟
→ �̇�
1
𝐴
𝑑𝑟 = −𝑘𝑑𝑇 
�̇�
1
4𝜋𝑟2
𝑑𝑟 = −𝑘𝑑𝑇 → ∫ �̇�
1
4𝜋𝑟2
𝑑𝑟
𝑟2
𝑟1
= − ∫ 𝑘𝑑𝑇
𝑇𝑓
𝑇𝑞
 
�̇�
4𝜋
[
(𝑟2 − 𝑟1)
−1
−1
] = 𝑘∆𝑇 →
�̇�
4𝜋
[−
1
𝑟2
+
1
𝑟1
] = 𝑘∆𝑇 
�̇� = 𝟒𝝅𝒌∆𝑻 [
𝒓𝟏𝒓𝟐
𝒓𝟐 − 𝒓𝟏
] 
 
3.3.1 Cálculo 2? 
 
 Você se lembra de cálculo 2? Uma das proezas que tínhamos que realizar era o 
tal do estudo do gradiente, lembra? 
 O gradiente indica o sentido de crescimento de uma certa função, ele também 
serve para indicar máximos e mínimos. Então, esse gradiente tem o mesmo objetivo 
aqui, porém a única diferença é que a resposta da função é a transferência de calor. 
 A função é a forma geométrica do objeto de estudo, por exemplo uma 
circunferência é 𝑥2 + 𝑦2, e o gradiente é o sentido da transferência de calor através 
desse objeto. 
 
Exemplo: 
Encontre o gradiente da função no ponto dado. Depois, esboce o gradiente junto com 
a curva de nível que passa pelo ponto. 
32 
 
𝑓(𝑥, 𝑦) = ln(𝑥2 + 𝑦2) , (1, 1) 
1° passo – Calcular o gradiente 
𝛻𝑓(𝑥, 𝑦) = (
𝜕𝑓
𝜕𝑥
 ,
𝜕𝑓
𝜕𝑦
) = (
2𝑥
𝑥2 + 𝑦2 
 ,
2𝑦
𝑥2 + 𝑦2
) 
Substituindo o ponto: 
𝛻𝑓(1, 1) = (1, 1) 
2° passo – Curvas de nível 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐾, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐾 ∈ ℝ 
𝐾 = 𝑓(1, 1) = ln(12 + 12) = ln 2 
ln(𝑥2 + 𝑦2) = ln 2 
𝑥2 + 𝑦2 = 2 
Com esse resultado, nós sabemos que as curvas de nível dessa função têm como 
múltiplo o seu raio que é √2. 
 
3° passo – Desenhar as curvas de nível e o gradiente 
 
4° passo – Sua forma 3D 
Tem-se a função: 
𝑧 = ln(𝑥2 + 𝑦2) 
Desconsidera-se o 𝑥2, logo: 
𝑧 = ln(𝑦2) = 2 ln(𝑦) 
Com esse valor, criamos um gráfico, depois fazemos a sua revolução: 
33 
 
 
 Observe que como é o comportamento do gradiente, a função apresenta um 
desenvolvimento de dentro para fora. Como essa função possui um fundo, ou seja, ela 
é tridimensional, então o gradiente segue subindo até as bordas. 
 Como interpreto isso para um 
objeto comum? Esse gradiente 
representa o sentido da transferência 
de calor, ou seja, o calor está saindo do 
centro e subindo até as bordas do 
objeto. 
 Logo, conclui-se que a temperatura 
na parte de baixo do objeto é maior do 
que a temperatura nas bordas. 
 
 
3.4 Equivalência Elétrica 
 
Seja o sistema formado por resistências em série abaixo: 
34 
 
 
Logo, seu circuito térmico equivalente será: 
 
𝑅𝑒𝑞 = ∑ 𝑅𝑖
𝑖=1
 
 Temos que a resistência equivalente em associação em série é igual ao somatório 
das resistências térmicas individuais. 
Temos uma comparação entre as leis de Fourier e de Ohm: 
�̇� =
∆𝑇
𝑅𝑒𝑞
𝑖 =
𝑈
𝑅𝑒𝑞
 
 O comportamento físico e matemático entre as duas leis é parecido. Portanto, 
os sistemas térmicos podem ser representados por sistemas elétricos. 
Isso é uma forma de análise, não existe um circuito térmico literalmente com fios e 
resistores. 
 
Exemplo 
 
Seja o sistema a seguir: 
35 
 
 
 
Encontre o circuito térmico equivalente. 
 
Temos que para calcular resistências térmicas fazemos: 
𝑅𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎 =
𝑏
𝑘𝐴
 ; 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 =
1
ℎ𝐴
 
Veja que temos três resistências térmicas: o fluido antes da fatia, a fatia e o fluido 
depois da fatia. A diferença entre eles é que a transferência através da velocidade de 
um fluido é convectiva e a transferência através do material é condutiva. 
Logo nosso circuito térmico genérico é: 
 
 
 
36 
 
Raio crítico 
De isolamento 
 
4.1 Raios do sistema 
 
 Imagine o caso de uma tubulação que escoa um fluido quente, na indústria é 
necessário se evitar a poluição térmica, ou seja, o desconforto no ambiente ocasionado 
pelo aumento da temperatura através de uma máquina. Logo é necessário aplicar 
um isolante nessa tubulação, mas como saber qual a quantidade mínima de material 
que deveremos usar? 
 Um engenheiro deve ser capaz de otimizar os seus produtos, ou seja, fazer com 
que se gaste o mínimo possível para se produzir com a melhor qualidade possível. 
Ninguém quer ficar gastando com isolantes à toa. 
Veja a ilustração abaixo: 
 
 A parte azul representa o fluido, enquanto que a parte preta é o tubo e a cinza 
é o isolador. 
 Já foi mostrado antes que a distribuição de calor em um meio pode ser 
representada através de um circuito equivalente, um circuito térmico. Vamos ver a 
fundo como calcular as resistências desse circuito. 
37 
 
 Foi mostrado a pouco que o gradiente de uma função também pode mostrar o 
crescimento da taxa de transferência de calor, mas como interpretar isso? 
 Esse crescimento pode ser interpretado melhor como o desenvolvimento da taxa 
de transferência de calor, ou seja, até aonde o calor consegue se propagar. 
 É claro que o calor é dissipado ao passo que ele se propaga pelo material, 
perdendo, assim, as suas forças. Mas porque isso ocorre? Por causa das resistências 
térmicas. 
 Todo material possui uma resistência ao transporte de energia, não importa o 
quão bom condutor ele seja. Essa propriedade faz com que o calor se desgaste ao passo 
que ele avança sobre o material. 
 Logo, a taxa de calor presente num ponto do material será menor em outro 
ponto mais adiante. 
 Não confunda as coisas, a função dada para calcular um gradiente não 
representa o objeto aquecido, representa o calor. Porque o calor pode ser incidido 
sobre o objeto de várias formas em várias localidades diferentes. Portanto, haverá 
uma função para cada comportamento da transferência de calor, e o gradiente dessa 
função determinará o seu desenvolvimento pelo objeto. 
 Aqui as resistências serão calculadas através dos raios dos materiais, porque a 
unidade da resistência é 
𝑇𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎
𝑇𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟
, ou seja, temos que observar o comportamento 
da temperatura em relação a sua taxa de calor. 
 Isso porque se um material está recebendo uma grande variação de 
temperatura e está emitindo pouco calor, isso significa que o seu efeito joule é pequeno 
e o efeito joule é sinônimo de desperdício de energia. Portanto, o material possui uma 
baixa resistência, pois um material com alta resistência dissipa muito calor. 
Como foi visto antes, a resistência condutiva e convectiva é calculada por: 
𝑅𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎 =
𝑏
𝑘𝐴
 ; 𝑅𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 =
1
ℎ𝐴
 
 Veja que através do raio dos materiais (porque estamos falando de um tubo) 
podemos calcular a área e consequentemente a sua resistência térmica. 
 
4.2 Raio crítico 
 
4.2.1 Resistências 
 
38 
 
Temos o caso abaixo: 
 
 Temos que 𝑅1 é uma resistência convectiva, porque nesse ponto está ocorrendo 
a troca de calor atravésdo movimento do fluido para o tubo. 
𝑅1 =
1
ℎ𝐴
=
1
ℎ(2𝜋𝑟1𝑏)
 
 Para não ter confusão vamos definir algumas coisas: 
R = resistência térmica; 
r = raio; 
b = comprimento. 
 No caso do 𝑅2 temos uma resistência condutiva, que deverá ser formulada para 
a situação atual. 
Normalmente se emprega a lei de Fourier como: 
�̇� = −𝑘𝐴
𝑑𝑇
𝑑𝑥
 
39 
 
Porém, neste caso não estamos mais andando sobre um eixo x, estamos analisando o 
raio de uma circunferência, logo: 
�̇� = −𝑘𝐴
𝑑𝑇
𝑑𝑟
 
Mas o que estamos procurando é a resistência térmica condutiva, que é definida por: 
𝑅𝑒𝑞 =
∆𝑇
�̇�
 
Logo, fazemos: 
�̇�
𝑑𝑇
= −𝑘𝐴
1
𝑑𝑟
→
𝑑𝑇
�̇�
=
𝑑𝑟
−𝑘𝐴
 
Então, por definição: 
𝑅2 =
𝑑𝑟
𝑘𝐴
=
𝑑𝑟
𝑘(2𝜋𝑟𝑏)
 
Integrando: 
𝑅2 =
ln 𝑟2/𝑟1
𝑘(2𝜋𝑏)
 
 Temos 𝑟2/𝑟1 porque para haver uma visualização do local onde se está 
integrando devemos usar o raio maior (𝑟2) e subtrair o menor (𝑟1). 
Na terceira resistência temos algo parecido: 
𝑅3 =
ln 𝑟3/𝑟2
𝑘(2𝜋𝑏)
 
E por fim, temos uma quarta resistência, que não está exposta no desenho do tubo, 
por ser algo implícito, ou seja, nós somos obrigados a saber que ela está ali, ela 
pertence a convecção do tubo com o meio externo. 
𝑅4 =
1
ℎ(2𝜋𝑟3𝑏)
 
 
4.2.2 Interpretação 
 
 Mas para que tudo isso? Como posso relacionar uma coisa com a outra? 
 A relação entre os raios é a chave para a nossa interpretação. Veja que na 
primeira e segunda resistência não existe relação com a terceira resistência. Mas o 
que a terceira resistência tem de tão importante? Ela é a resistência do isolante do 
tubo. 
O negativo é omitido porque ao 
trocar 
𝑑𝑇
�̇�
 por 𝑅2, já consideramos 
dT resolvido, que é um resultado 
negativo. 
40 
 
 Então, essas equações mostram que não importa a ocorrência de uma 
modificação no isolante, elas permanecerão com as suas respectivas taxas de calor, 
mas também não é para tanto, veja que a primeira e segunda resistência são as 
resistências do material do tubo. Ora, se o calor está vindo de dentro para fora (por 
causa do fluido quente) então não importa o que se faça no meio externo, a taxa de 
calor interna não se modificará. 
 Como já temos uma relação entre duas resistências que compartilham do raio 
do isolador, podemos relacioná-las, para encontrar um ponto em comum. 
 Esse ponto em comum iria ocasionar um equilíbrio entre a resistência externa 
e interna, que é o nosso objetivo. Seria um ponto perfeito, onde não haveria 
necessidade nem de acrescentar nem de retirar material isolador. 
 Perceba que um equilíbrio entre essas resistências tem como consequência 
impedir que o calor interno dissipe para o externo garantindo, assim, o conforto 
térmico. 
 Esse tal ponto de equilíbrio pode ser descoberto através do ponto crítico de uma 
função que relacione as duas equações, mas antes vamos entender graficamente o 
porquê de usar esse ponto crítico. 
Observe o gráfico abaixo retirado do Incropera. 
 
Esse gráfico mostra o comportamento da terceira e quarta resistência, 
individualmente, e das duas juntas. 
 Vamos analisar o comportamento de cada curva. 
41 
 
 A terceira resistência está aumentando com o raio, isso significa que quanto 
maior o raio mais difícil será de o calor dissipar, porém, não há uma referência para 
se saber quando parar de aumentar o raio. 
 A quarta resistência diminui com o aumento do raio, sendo que essa resistência 
é a resistência do meio ambiente e o seu raio é a disposição da convecção ao redor do 
tubo. O aumento do seu raio significará se distanciar do tubo. A consequência disso é 
que a convecção terá menos efeito sobre o tubo, fazendo com que a sua resistência 
contra a transferência de calor seja enfraquecida. 
 A curva da soma possui um ponto de inflexão que é o ponto que falei antes, ou 
seja, o ponto de equilíbrio entre as duas funções. 
 Veja que antes do ponte de inflexão a resistência diminui com o aumento do 
raio, mas após a inflexão a resistência aumenta consideravelmente, ou seja, antes 
desse ponto a resistência é menos que o necessário e após esse ponto ela é mais que o 
necessário. 
Um material cujas dimensões atendam esse ponto de inflexão será perfeitamente 
otimizado, mas para encontra-lo deveremos usar o cálculo ao nosso favor. 
Temos então a derivada da soma das funções igualada a zero: 
𝑑
𝑑𝑟3
(
ln 𝑟3/𝑟2
𝑘(2𝜋𝑏)
+
1
ℎ(2𝜋𝑟3𝑏)
) = 0 
𝑑
𝑑𝑟3
(
ln 𝑟3
𝑘(2𝜋𝑏)
−
ln 𝑟2
𝑘(2𝜋𝑏)
+
1
ℎ(2𝜋𝑟3𝑏)
) = 0 
1
𝑘(2𝜋𝑏)
1
𝑟3
−
1
ℎ(2𝜋𝑏)
1
𝑟3
2 = 0 
Fazendo 𝑟3 = 𝑟𝑐 
1
𝑘(2𝜋𝑏)
1
𝑟𝑐
=
1
ℎ(2𝜋𝑏)
1
𝑟𝑐2
 
O resultado é: 
𝑟𝑐 =
𝑘
ℎ
 
 Com esse resultado, temos que se queremos um raio crítico cada vez menor, 
devemos procurar um isolante que tenha um baixo k (constante de condutividade 
térmica do material) e o meio externo deve ter um alto h (coeficiente de transferência 
de calor por convecção). 
 Isso pode ser justificado pelos seguintes fatos: um material com um baixo valor 
de k é um bom isolador e um meio externo com um alto valor de h é um bom dissipador 
de calor, fazendo com que o calor cedido pelo tubo seja rapidamente transferido para 
o ar por meio da convecção, impedindo o acúmulo no ambiente. 
42 
 
 A espessura crítica de um isolante pode ser calculada pela seguinte diferença: 
𝑒∗ = 𝑟𝑐 − 𝑟𝑎𝑑 
 Onde 𝑟𝑐 é o raio crítico e 𝑟𝑎𝑑 é o raio adjacente ao raio crítico. Se pegarmos o 
exemplo do tubo mostrado anteriormente, temos que 𝑟3é o raio crítico (porque já 
estamos considerando todo aquele cálculo do ponto crítico) e 𝑟2 é o raio adjacente. 
Claro que não vamos comparar um raio de um isolante com o raio de uma convecção 
não é mesmo? Simplesmente pegamos o raio do isolante menos o do tubo. 
 
Exemplo 
 
 Determine o �̇� (em watt) para o isolamento de um tubo de 3/8"de diâmetro 
externo e 1 m de comprimento, para as seguintes espessuras do isolante: 
 
Dados: 
𝑟2 = 3/8" = 9,525 × 10
−3 𝑚 
𝑟3 = 1,2 × 10
−2 𝑚 
ℎ𝑒 = 15
𝑊
𝑚2 °𝑐
 
43 
 
𝑘𝑖𝑠𝑜 = 4
𝑊
𝑚 °𝑐
 
𝑇𝑖 = 150 °𝑐 
𝑇𝑒 = 𝑇∞ = 25 °𝑐 
 
Não necessitamos calcular as resistências 1 e 2 porque elas não se relacionam com a 
resistência 3, que é o isolador. 
𝑅3 =
ln 𝑟3/𝑟2
𝑘(2𝜋𝑏)
=
ln(1,2 × 10−2)/(9,525 × 10−3)
4(2𝜋1)
= 9,19 × 10−3 
°𝑐
𝑊
 
𝑅4 =
1
ℎ𝐴
=
1
ℎ(2𝜋𝑟𝑏)
=
1
15(2𝜋1,2 × 10−2)
= 0,884 
°𝑐
𝑊
 
A resistência equivalente é então: 
𝑅𝑒𝑞 = 0,893
°𝑐
𝑊
 
Agora pode-se encontrar a taxa de calor: 
�̇� =
∆𝑇
𝑅𝑒𝑞
=
(150 − 25) °𝑐
0,893 °𝑐/𝑊
= 13998 𝑊 
Por fim, o raio crítico é: 
𝑅𝑐 =
𝑘𝑖𝑠𝑜
ℎ𝑒
=
4
𝑊
𝑚 °𝑐
15
𝑊
𝑚2 °𝑐
= 0,267 𝑚 = 26,7 𝑐𝑚 
 
44 
 
Exercícios 
Resolvidos 
 
Questão 1 
 
Uma esfera de metal com 1 m de raio externo e 3 cm de espessura é feita de um 
material de 𝑘 = 150
𝑊
𝑚𝐾
. As superfícies externas e internas são mantidas, 
respectivamente, a 40 °C e -10 °C. 
Aplicando os fundamentos de transferência de calor: 
a) Represente o circuito térmico do sistema; 
b) Determine as resistências térmicas; 
c) Calcule o fluxo de calor. 
 
 A primeira letra não é difícil, é só uma questão de interpretação que podemos 
tirar de letra, mas vamos discuti-la bem para que não nos reste dúvidas. 
 Perceba que o enunciado da questão fala simplesmente de uma esfera que tem 
diferenças de temperatura entre o seu interior e o seu exterior, mas não diz nada 
sobre o seu arredor, sobre alguns objetos nas proximidades. Isso é uma pista, pois se 
nada é falado sobre o arredor só nos resta pensar sobre a própria esfera.Se há uma diferença de temperatura na própria esfera a única forma de 
transferência de calor existente é a condutiva, pois não existe um fluido no ambiente 
da esfera e muito menos foi falado sobre radiação. Logo, tenha em mente que esta 
questão está falando somente sobre condução. 
O que é resistência térmica? 
É a resistência que todo material apresenta para a condução de calor. 
Quando vou saber que existe uma resistência térmica? 
Relembre da eletricidade, você se lembra que todos os fios possuem uma resistência 
né? Porque não existe fio sem resistência elétrica. Do mesmo jeito, não existe material 
sem resistência térmica, sempre quando o calor for passar por algum lugar esse lugar 
apresentará resistência térmica, até mesmo o ar do ambiente. 
45 
 
Se as resistências são representadas por resistências térmicas, como são representadas 
as correntes e a ddp? 
A corrente do circuito térmico é o calor, a ddp é a diferença de temperatura do 
sistema. 
 
Se o calor tem que percorrer do interior da esfera até o seu exterior então houve uma 
resistência térmica por parte do material da esfera. Logo, o circuito térmico do 
sistema será: 
 
É evidente que o circuito deve respeitar a premissa de que o calor é transferido da 
maior temperatura para a menor. 
 
 Para você entender a letra b) é necessário você enxergar o desenho do que o 
enunciado está dizendo, observe-o abaixo: 
 
Primeiramente, onde está localizada essa resistência no objeto? 
 O ponto da resistência térmica é marcado onde geralmente se inicia a 
transferência de calor. No caso da esfera, a transferência de calor se inicia na parte 
46 
 
interna da esfera, ou seja, nos limites do raio 1, então o calor irá percorrer toda a 
espessura da esfera até chegar na parte externa. 
 Mas se você leu bem o enunciado, notará que não foi falado o valor do raio 1, 
então nós devemos calcula-lo. 
 O raio 2 é o limite da esfera e a espessura é o caminho entre o raio 1 e o raio 2, 
logo podemos perceber que se pegarmos o raio 2 (que é toda a esfera) e tirarmos a 
espessura, sobrará somente a parte interna, que é o raio 1. 
Temos que o raio 1 é: 
𝑟1 = 1 𝑚 − 3 𝑐𝑚 = 1 𝑚 − 0,03 𝑚 = 0,97 𝑚 
Você se lembra da equação para calcular uma resistência condutiva? 
𝑅 =
𝑏
𝑘𝐴
 
 Bom, essa é uma equação para um caso específico, quando estamos falando de 
uma parede plana, por exemplo, mas ninguém aqui está no ensino médio para ficar 
nessa de decorar fórmulas não é mesmo? Então, apresento a você a real equação da 
resistência condutiva: 
𝑅 =
𝑑𝑟
𝑘𝐴
 
 Utilizando a equação, temos que para o caso da esfera: 
𝑅 =
𝑑𝑟
𝑘𝐴
=
𝑑𝑟
𝑘(4𝜋𝑟2)
→
1
𝑘4𝜋
∫
𝑑𝑟
𝑟2
𝑟1
𝑟2
=
1
𝑘4𝜋
(
1
𝑟1
−
1
𝑟2
) 
 Como defino aqueles limites de integração? Bom, o calor ele vai ser transferido 
do 𝑟1 para o 𝑟2, então estamos simplesmente seguindo o comportamento da 
transferência de calor. Na dúvida, coloque os limites de tal forma que o resultado seja 
positivo. 
𝑅𝑇 =
1
(150)4𝜋
(
1
0,97
−
1
1
) = 1,64 × 10−5 𝐾/𝑊 
 O fluxo de calor utilizando uma resistência é basicamente descrito pela equação 
abaixo: 
�̇� =
∆𝑇
𝑅𝑇
=
[40 − (−10)] 𝐾
1,64 × 10−5 𝐾/𝑊
= 3,05 × 106 𝑊 
 Você viu que em vez de °C eu coloquei K não é mesmo? Isso porque quando o 
assunto é ∆𝑇, Kelvin e graus Celsius são iguais, porque para encontrar um valor de 
temperatura de K para °C, ou vice versar, é necessário somar um número: 
𝐾 = 273,15 + °𝐶 
Logo, quando formos fazer a diferença: 
47 
 
∆𝑇 = 𝐾2 − 𝐾1 = (273,15 + °𝐶2) − (273,15 + °𝐶1) = °C2 − °𝐶1 
Portanto: 
∆𝑇 = 𝐾2 − 𝐾1 = °𝐶2 − °𝐶1 
 
Questão 2 
 
 Um pistão de motor com 25 cm de altura e 10,2 cm; 10 cm (respectivamente De 
e Di) deve dissipar pelo corpo (desprezar a tampa e a base) 2,5 kW de calor. O pistão 
é de metal (𝑘 = 72
𝑊
𝑚𝐾
). Têm-se das opções: ar (30 °C, ℎ = 200
𝑊
𝑚2𝐾
) e água (30 °C, ℎ =
2100
𝑊
𝑚2𝐾
). 
Determine a temperatura em ambos os casos: 
𝐷𝑒 = 10,2 𝑐𝑚 �̇� = 2,5 𝑘𝑊
𝐷𝑖 = 10 𝑐𝑚 𝐾 = 72
𝑊
𝑚𝐾
 𝐿 = 25 𝑐𝑚 
 
 
 
 
 Primeiro, devemos observar quais são as possíveis equações que podem nos 
conceber a temperatura: 
�̇� = ℎ𝐴∆𝑇 �̇� =
∆𝑇
𝑅
 
 Olhe só uma coisa, as duas equações estão certas. Como estamos falando de 
resistência convectiva então a equação fica: 
�̇� =
∆𝑇
(
1
ℎ𝐴)
= ∆𝑇(ℎ𝐴) = ℎ𝐴∆𝑇 
 Ou seja, voltamos para a equação de transferência de calor por convecção. 
 Vamos dividir a resolução para cada caso, o do ar e o da água. 
 
 
No primeiro caso temos: 
�̇� = ℎ𝐴∆𝑇, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐴 = 2𝜋𝑟𝐿 
O raio usado será o De, porque esse é o raio que 
engloba todo o pistão, porque o Di não entra em 
contato com o externo e, portanto, não poderá 
realizar convecção. 
48 
 
2500 = (300)(2𝜋(5,1 × 10−2)(25 × 10−2))(𝑇1 − 30) 
𝑇1 = 134,02 °𝐶 
No segundo caso encontramos: 
 
�̇� = ℎ𝐴∆𝑇, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐴 = 2𝜋𝑟𝐿 
2500 = (2100)(2𝜋(5,1 × 10−2)(25 × 10−2))(𝑇1 − 30) 
𝑇1 = 44,86 °𝐶 
 Geralmente 𝑇1 é o quente e o 𝑇2 é o frio, ou seja, ∆𝑇 = 𝑇1 − 𝑇2, que significa que o 
calor vai do quente para o frio. 
Vamos montar o circuito térmico dessa questão como forma de demonstrar a você a 
montagem para este caso. 
 
 
Questão 3 
 
 Uma parede de um forno é constituída de tijolos ligados entre si por argamassa 
revestida por reboco e uma camada de isopor. No lado interno do forno, a 
temperatura é de 120 °C com o ℎ𝑖𝑛𝑡 = 100
𝑊
𝑚2 °𝐶
, na superfície externa da parede (fase 
externa do isopor) a temperatura é de 45 °C. No lado externo do forno temos ar a 
temperatura de 22 °C com ℎ𝑒𝑥𝑡 = 5
𝑊
𝑚2 °𝐶
. 
 Isto posto, determinar a relação Y e X no problema explicitado. Dados: 
49 
 
● 𝑘𝑡𝑖𝑗𝑜𝑙𝑜 = 0,80
𝑊
𝑚 °𝐶
 
● 𝑘𝑟𝑒𝑏𝑜𝑐𝑜 = 10,50
𝑊
𝑚 °𝐶
 
● 𝑘𝑎𝑟𝑔𝑎 = 0,02
𝑊
𝑚 °𝐶
 
 
 
O que é esse Px e Py? 
 Como estamos analisando a altura do tijolo e da argamassa temos que levar em 
consideração o sentido que o calor está se dissipando. 
Vamos observar as equações de Px e Py novamente: 
𝑃𝑥 =
𝑋
𝑋 + 𝑌
 ; 𝑃𝑦 =
𝑌
𝑋 + 𝑌
 
 Essas equações significam: o quanto x ou y se deslocou pelo material em relação 
ao total. 
Esse total é a parede toda, o X é contado a partir do momento quando o calor passa 
pelo tijolo e o Y é a partir da argamassa, por isso X + Y é parede toda, ou seja, o total. 
50 
 
 Ora, se X + Y é o total então quer dizer que os dois dão 100 %, então concluímos 
que Px e Py são porcentagens, onde Px é a porcentagem em relação ao tijolo e Py em 
relação a argamassa. 
 Onde essa porcentagem estará? Bom, a única coisa que podemos usar para 
representar um tijolo ou argamassa é a área da parede, então toda vez que a área 
envolvendo tijolo e argamassa aparecer nos cálculos vamos inserir a porcentagem. 
 Se você prestou atenção no enunciado, perceberá que não foi dado a área da 
parede, mas como forma de convenção, sempre que a questão não lhe der a área para 
os cálculos, adote área igual a 1 𝑚2. 
 Esse é um tipo de questão que devemos analisar o seu circuito térmico. Vamos 
construí-lo aos poucos em nossa mente e depois veremos o resultado disso. 
 A primeira resistência do sistema da parede é a resistência interna, essa é a 
resistência que o meio oferece para que os 120 °C chegue até a parede, veja que o 
enunciado não diz que os 120 °C estão na superfície da parede interna e sim no lado 
interno. 
 Depois, temos a parede, que é primeiramente constituída por tijolos e 
argamassa, ambos têm a sua resistência térmica individual. Pelo fato deles estarem 
dividindo um calor em comum, eles estão em paralelo. Lembre-se da elétrica,