Metodos Quantitativos Estatistica

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Prof. José Francisco 
professorjfmp@hotmail.com 
Estatística descritiva 
A Estatística é a disciplina interessada na coleta, 
organização, resumo, análise e interpretação de dados para a 
obtenção de informações úteis aos processos de tomada de 
decisão. 
 
A estatística pode ser dividida em duas partes: 
 
1) estatística descritiva: organização e descrição dos dados 
coletados por meio de representações numéricas em tabelas 
e gráficos. 
 
2) estatística indutiva: análise e interpretação dos dados, visa 
a formulação de conclusões para uma população a partir de 
uma amostra de dados extraída da população, estimação, 
teste de hipóteses, indução de leis a que fenômenos 
obedecem, previsão. 
Estatística 
População: conjunto de indivíduos sobre o qual iremos realizar a coleta e 
análise dos dados. 
 
Amostra: é um subconjunto da população 
População e Amostra 
População Amostra
Amostragem
População Amostra
Amostragem
Estamos interessados em fazer afirmações (inferência) sobre uma população a 
partir de uma amostra de indivíduos da população investigada. 
 
Método indutivo produz conclusões gerais sobre uma população (todo), a partir 
da análise de uma amostra (parte) dos elementos da população. 
Inferência 
Dados, casos, variáveis e informação 
Considere os dados de 36 funcionários 
da seção de orçamento da companhia 
Milsa (BUSSAB & MORETTIN, 1997). 
 
Dados são apresentados para diferentes 
casos (indivíduos ou objetos) descritos 
por um conjunto de variáveis. 
 
Neste exemplo, os casos são os 
funcionários. 
 
As variáveis que descrevem os casos 
são: estado civil, grau de instrução, 
número de filhos, salário, idade, região 
de porcedência. 
 
Os casos costumam ser representados 
nas linhas e as variáveis nas colunas. 
Dados, casos, variáveis e informação 
Variável 1 Variável 2 Variável 3 
Caso 1 
Caso 2 
Caso 3 Dados 
... 
Caso 4 
Bases de dados 
Dados, casos, variáveis e informação 
Classificação das variáveis: 
quantitativa 
qualitativa 
contínua 
discreta 
nominal 
ordinal 
variável 
Expressam 
qualidades ou 
atributos 
Expressam 
números de uma 
contagem ou 
mensuração 
Qualidades ou atributos 
não são ordenáveis 
(estaco civil, procedência) 
Qualidades ou atributos 
são ordenáveis 
(grau de instrução) 
Conjunto enumerável de 
números – contagens 
(nº de filhos, idade) 
Valores de um intervao de 
números - mensurações 
(salário) 
Dados, casos, variáveis e informação 
 A informação contida em uma variável aumenta na direção da variável qualitativa 
para a variável quantitativa 
 
(a) Você usa a internet durante a asemana ? 
 (1) Sim (2) Não 
 
(b) Qual a sua intensidade de uso da internet durante a semana ? 
 (1) Nenhuma (2) Pequena (3) Média (4) Grande 
 
(c) Quantas vezes você usa a internet durante a semana ? 
 (_____) vezes por semana 
 
(d) Por quantas horas você usa a internet durante a semana ? 
 (_____) horas por semana 
Variável qualitativa nominal 
Variável qualitativa 
ordinal 
Variável quantittiva 
discreta 
Variável quantittiva 
contínua 
Dados, casos, variáveis e informação 
Variáveis qualitativas ordinais são bastante comuns em pesquisas socioeconômicas. 
 
Por exemplo, a obtenção dos valores dos rendimentos domiciliares é uma tarefa 
complexa, pois em geral os entrevistados raramente informam seus rendimentos 
verdadeiros. 
 
Para se chegar a uma estimativa confiável do rendimento domiciliar pode-se elaborar 
um conjunto de perguntas, cujas respostas permitem obter uma estimativa do 
rendimento domiciliar. Por exemplo, o Critério de Classificação Econômica do Brasil. 
Dados primários x Dados secundários 
Dados primários são levantados pelo próprio pesquisador 
com o objetivo de atender às necessidades específicas de 
uma pesquisa. 
 
Dados secundários são provenientes de outras fontes 
São dados que já foram coletados, tabulados, ordenados 
e, às vezes, até analisados, com outros propósitos. 
 
Uso combinado das fontes 
Corte transversal, Séries de tempo, Painel 
Corte transversal: observações para um conjunto de indivíduos 
(casos), tomadas em um determinado ponto no tempo (retrato de 
um conjunto de indivíduos em um ponto do tempo). 
 
Séries de tempo: observações sobre uma ou mais variáveis ao 
longo do tempo. 
 
Cortes transversais agrupados: um mesmo conjunto de 
variáveis é coletado em diferentes períodos do tempo, em 
distintas amostras aleatórias (casos diferentes) de uma mesma 
população (Exemplo, Pesquisa Nacional por Amostra de 
Domicílios – PNAD) 
 
Painel (dados longitudinais): observações de um mesmo 
conjunto de indivíduos (casos) acompanhados ao longo do 
tempo. 
Corte transversal, Séries de tempo, Painel 
Corte transversal 
Amostra de 526 trabalhadores no ano de 1976 
Fonte: Wooldridge, J. M. Introdução à econometria: uma abordagem moderna. Cengage 
Learning, São Paulo, 2008. 
Corte transversal, Séries de tempo, Painel 
Corte transversal 
Regiões administrativas da cidade do Rio em 1991 
Fonte: Anuário Estatístico da Cidade do Rio de Janeiro 
ANOESC4: percentual de 
chefes de família com até 
quatro anos de escolaridade 
 
ANOESC15: percentual de 
chefes de família com mais de 
quinze anos de escolaridade 
 
RMSM : renda média em 
salários mínimos 
 
MENOS1SM: percentual de 
famílias com renda de até um 
salário mínimo 
 
MAIS20SM: percentual de 
famílias com renda superior a 
20 salários mínimos 
 
FAV91: percentual de 
população favelada em 1991 
 
DOMFAV91: percentual de 
domicílios localizados em 
favelas no ano de 1991 
 
AREAHAB: área residencial 
construída (m2 ) por habitante 
da R.A. 
Corte transversal, Séries de tempo, Painel 
Séries de tempo 
Conjunto de séries de tempo em Porto Rico 
Fonte: Wooldridge, J. M. Introdução à econometria: uma abordagem moderna. Cengage 
Learning, São Paulo, 2008. 
Corte transversal, Séries de tempo, Painel 
Série de tempo 
1980 1985 1990 1995 2000
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
GWh
 
Série mensal 
de jan/79 a mar/03 
Demanda de energia 
elétrica na classe 
residencial da região Sul 
racionalização 
jul/01 a fev/02 
racionamento 
fev/86 a mai/86 
Corte transversal, Séries de tempo, Painel 
Série de tempo 
Corte transversal, Séries de tempo, Painel 
Cortes transversais agrupados 
Dados sobre os preços das moradias em 1993 e 1995 nos EUA 
Fonte: Wooldridge, J. M. Introdução à econometria: uma abordagem moderna. Cengage 
Learning, São Paulo, 2008. 
Corte transversal, Séries de tempo, Painel 
Painel 
Dados sobre crime e estatísticas relacionadas 
em 1986 e 1990 em 150 cidades nos EUA 
Fonte: Wooldridge, J. M. Introdução à econometria: uma abordagem moderna. Cengage 
Learning, São Paulo, 2008. 
Estatística Descritiva & 
Análise Exploratória de Dados 
 distribuição de frequências, histograma 
 média, moda, mediana, quartis, proporção 
 amplitude, distância interquartílica 
 variância, desvio-padrão 
 coeficiente de variação 
 coeficiente de assimetria 
 coeficiente de curtose 
 boxplot 
Estatística descritiva & análise exploratória de dados 
Grandes quantidades de dados tendem a confundir, ao invés de 
esclarecer, simplesmente porque nossa mente não é capaz de abranger 
a variedade e os detalhes comuns em grandes conjunto de dados. 
 
Para interpretar grandes conjuntos de dados corretamente é precisoprimeiro organizá-los e sumarizá-los em gráficos, tabelas ou em poucos 
números capazes de transmitir a sua essência. 
 
O processamento dos dados visa reduzir a quantidade de detalhes para 
tornar possível a visualização e compreensão dos aspectos mais 
importantes. 
 
A estatística descritiva e a análise exploratória de dados abrangem um 
conjunto de métodos que visam sumarizar e descrever os atributos 
mais proeminentes nos dados, ou seja, resumir os dados brutos em 
poucos números e fornecer representações gráficas que permitam um 
melhor entendimento de um conjunto de dados. 
Dados brutos 
Considere os dados de 36 funcionários 
da seção de orçamento da companhia 
Milsa (BUSSAB & MORETTIN, 1997). 
Distribuição de freqüências 
Informa os valores assumidos por uma variável e com que frequência assume esses 
valores 
Distribuição do grau de escolaridade, 
uma variável qualitativa ordinal 
Distribuição dos salários, 
uma variável quantitativa contínua 
(classes de salários) 
Frequência absoluta n 
Frequência relativa f 
Tabela contendo classes ou categorias e o número de ocorrências (ou frequência) em 
cada categoria 
Bussab & Morettin, 1997 
Bussab & Morettin, 1997 
Distribuição de freqüências no Excel 2007 
Calcula a freqüência absoluta 
=CONT.SE($E$2:$E$37;"<8") 
=CONT.SE($E$2:$E$37;"<12") 
=CONT.SE($E$2:$E$37;"<16") 
=CONT.SE($E$2:$E$37;"<20") 
=CONT.SE($E$2:$E$37;"<24") 
Calcula a freqüência absoluta 
=N2 
=N3 - N2 
=N4 - N3 
=N5 - N4 
=N6 - N5 
Cálculo da distribuição dos salários no Excel 
Gráfico de frequências e Histograma 
Fornecem uma visão rápida e concisa da distribuição de uma variável quantitativa 
Variável quantitativa discreta 
Variável quantitativa contínua 
Histograma 
• Bases dos setores definidos pelos 
limites das classes 
•Alturas dos setores proporcionais a 
frequência relativa 
•Área total do histograma é 1 ou 100% 
Gráfico de frequências 
Histograma: representação gráfica da distribuição de 
freqüências das variáveis quantitativas 
O histograma reflete a forma da distribuição de frequências da amostra ou a 
estrutura da população de onde foi retirada a amostra. 
 
O histograma fornece uma visão rápida e concisa da distribuição de uma variável 
quantitativa 
 
Para construir um histograma é necessário primeiro repartir os dados por classes e 
depois calcular as respectivas frequências. 
 
O histograma é um gráfico construído a partir da tabela com a distribuição de 
frequências (por classes). 
 
Histograma: representação gráfica da distribuição de 
freqüências das variáveis quantitativas 
A apresentação do histograma depende muito do número de classes considerado. 
 
Um número muito grande de classes produz um histograma com demasiada 
irregularidade, enquanto um histograma com um número demasiado reduzido de classes oculta 
a forma da distribuição (perde-se demasiada informação). 
 
Se N é o total de indivíduos no conjunto de dados, podemos considerar a raiz quadrada de N 
como o número de classes. 
 Poucas classes Muitas classes 
Histograma no Excel 2007 
=CONCATENAR(K2;" a ";L2) 
=CONCATENAR(K3;" a ";L3) 
=CONCATENAR(K4;" a ";L4) 
=CONCATENAR(K5;" a ";L5) 
=CONCATENAR(K6;" a ";L6) 
1)Criar rótulos das categoria (procedimento válido para 
classes de tamanhos iguais) 
Histograma no Excel 2007 
2) Selecionar gráfico 
de barras 
Histograma no Excel 2007 
3) Elimine os espaços 
entre as barras 
Histograma no Excel 2007 
4) Adicione rótulos ao 
histograma 
Histograma no Excel 2007 
5) Elimine grade, legenda e marcação do eixo vertical 
Representação gráfica da distribuição de 
freqüências das variáveis quantitativas 
Gráfico de setores dos salários dos empregados 
Exemplo 
domcílio
consumo 
anual 
(kWh)
aquecedor 
de água
condicionador 
de ar
iluminação refrigrador freezer
forno 
elétrico
secador 
de roupa
lavadora 
de roupa
lavadora 
de louça
outros
1 18.055 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1
2 12.232 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0
3 18.195 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0
4 12.295 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1
5 11.450 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0
6 23.450 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1
7 20.951 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
8 16.457 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1
9 17.100 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0
10 23.627 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0
11 16.440 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1
12 23.524 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
13 18.510 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1
14 10.824 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1
15 17.382 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0
16 21.369 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1
17 11.912 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0
18 28.446 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
19 23.501 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1
20 13.536 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0
21 31.265 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
22 10.703 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0
23 14.528 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1
24 12.335 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0
25 20.877 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1
26 6.530 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0
27 24.868 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
28 13.394 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1
29 18.953 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0
30 16.805 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
Dados brutos: 
 
Respostas de 
30 unidades 
consumidoras 
residenciais a 
um 
questionário 
Cada domicílio investigado é descrito por 10 variáveis: 
1 variável quantitativa: o consumo de energia elétrica no último ano 
9 variáveis categóricas: presença ou ausência de eletrodomésticos no domicílio 
Fonte: Schrock, D.W. 
Load Shape Development, 
Pennwell Books, 1997 
Exemplo 
domcílio
consumo 
anual 
(kWh)
aquecedor 
de água
condicionador 
de ar
iluminação refrigrador freezer
forno 
elétrico
secador 
de roupa
lavadora 
de roupa
lavadora 
de louça
outros
1 18.055 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1
2 12.232 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0
3 18.195 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0
4 12.295 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1
5 11.450 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0
6 23.450 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1
7 20.951 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
8 16.457 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1
9 17.100 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0
10 23.627 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0
11 16.440 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1
12 23.524 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
13 18.510 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1
14 10.824 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1
15 17.382 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0
16 21.369 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1
17 11.912 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0
18 28.446 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
19 23.501 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1
20 13.536 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0
21 31.265 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
22 10.703 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0
23 14.528 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1
24 12.335 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0
25 20.877 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1
26 6.530 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0
27 24.868 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
28 13.394 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1
29 18.953 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0
30 16.805 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
Cada coluna da matriz de dados guarda as observações de uma variável 
Cada linha da matriz guarda o perfil de um caso (domicílio) 
variáveis 
C
a
s
o
s
 
Exemplo 
domcílio
consumo 
anual 
(kWh)
aquecedor 
de água
condicionador 
de ar
iluminação refrigrador freezer
forno 
elétrico
secador 
de roupa
lavadora 
de roupa
lavadora 
de louça
outros
1 18.055 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1
2 12.232 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0
3 18.195 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0
4 12.295 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1
5 11.450 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0
6 23.450 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1
7 20.951 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
8 16.457 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1
9 17.100 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0
10 23.627 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0
11 16.4400 1 1 1 1 0 1 1 0 1
12 23.524 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
13 18.510 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1
14 10.824 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1
15 17.382 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0
16 21.369 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1
17 11.912 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0
18 28.446 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
19 23.501 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1
20 13.536 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0
21 31.265 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
22 10.703 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0
23 14.528 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1
24 12.335 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0
25 20.877 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1
26 6.530 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0
27 24.868 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
28 13.394 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1
29 18.953 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0
30 16.805 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
Histograma
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
45%
6530 11530 16530 21530 26530
Fr
eq
uê
nc
ia
 re
la
tiv
a
A informação é o resultado da análise e interpretação dos dados. 
 
Antes é preciso organizar e sumarizar os dados em gráficos, tabelas ou em 
poucos números capazes de transmitir a essência dos dados. 
consumo anual (kWh)
Número de observações 30,000 
Mínimo 6.530,000 
Mediana 17.241,000 
Máximo 31.265,000 
Amplitude 24.735,000 
Média 17.650,467 
Variância (N) 31.835.957,716 
Variância amostral (N-1) 32.933.749,361 
Desvio-padrão (N) 5.642,336 
Desvio-padrão amostral (N-1) 5.738,793 
Dados brutos 
Distribuição de freqüência do consumo 
Estatísticas 
Consumo é uma variável quantitativa 
Exemplo 
A distribuição de uma variável informa os valores que ela assume e com 
que frequencia assume esses valores. 
Histograma
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
45%
6530 11530 16530 21530 26530
Fr
eq
uê
nc
ia
 re
la
tiv
a
Frequência 
absoluta
Frequência 
Relativa
6530 11477 4 13%
11477 16424 7 23%
16424 21371 12 40%
21371 26318 5 17%
26318 31265 2 7%
Faixas de consumo anual kWh
Uma distribuição qualquer é 
caracterizada, minimamente, por duas 
dimensões, uma medida de posição 
(por exemplo, média ou mediana) e 
uma medida de dispersão (amplitude 
e desvio padrão, por exemplo) 
Histograma 
consumo anual (kWh)
Número de observações 30,000 
Mínimo 6.530,000 
Mediana 17.241,000 
Máximo 31.265,000 
Amplitude 24.735,000 
Média 17.650,467 
Variância (N) 31.835.957,716 
Variância amostral (N-1) 32.933.749,361 
Desvio-padrão (N) 5.642,336 
Desvio-padrão amostral (N-1) 5.738,793 
Algumas medidas associadas a variáveis quantitativas 
Medidas de posição: Apontam um determinado valor da dstribuição, por exemplo, 
máximo, mínimo, média, mediana, moda, quartis, decis, percentis. Apresentam-se de 
várias formas dependendo daquilo de que se deseja conhecer a respeito dos dados. 
Fornecem uma descrição compacta dos dados. 
 
A média e a mediana estabelecem o centro de uma distribuição e são denominadas 
medidas de tendência central. Caracterizam o elementos típico de um grupo. 
 
Os quartis e medianas são denominadas como medidas de ordenamento, pois 
fornecem uma ideia da distribuição dos dados ordenados. 
 
Medidas de dispersão: Quantificam a variabilidade dos valores de uma distribuição, por 
exemplo, a amplitude, a variância e o desvio padrão. 
 
Medidas de assimetria: Quantificam o grau de simetria de uma distribuição. 
 
Medidas de curtose: Quantificam o grau de achatamento de uma distribuição. 
Estatísticas amostrais vs Parâmetros 
Estatísticas amostrais: 
Medida numérica que descreve alguma característica de uma amostra. 
Calculada com base em uma amostra extraída de uma população 
Representada por letras latinas 
 
 Média 
S2 Variância 
S Desvio padrão 
 
 
Parâmetros: 
Medida numérica que descreve alguma característica de uma população 
Calulada com base em todos os elementos de uma população 
Representada por letras gregas 
 
 Média 
2 Variância 
 Desvio padrão 
X
Medidas de posição 
Medidas de posição: valores representativos do conjunto de dados 
 
Moda: observação mais frequente no conjunto de dados, no exemplo 2 filhos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mediana: observação que ocupa a posição central no conjunto de dados ordenados 
 por exemplo, no conjunto de 5 dados 3, 4, 7, 8, 9 a mediana é 7 
 já no conjunto de 6 dados 3, 4, 7, 8, 9 e 10, a mediana é (7+8)/2 =7,5 
 
Média aritmética: soma das observações dividida pelo número de observações 
 por exemplo, no conjunto de dados 3, 4, 7, 8, 8 a média é 
 (3 + 4 + 7 + 8 + 8)/5 = 30/5 = 6 
 
 
Observação mais frequente 
Moda, mediana e média aritmética são medidas de posição central 
Bussab & Morettin, 1997 
Medidas de posição - Média 
 
A média é o valor representativo do centro geométrico de um conjunto de dados. 
 
Seja xi o valor de uma variável quantitativa x no i-ésimo caso em um conjunto de 
dados com n casos. 
 
A média aritimética da variável x é a soma dos valores de x em todos os casos 
dividida por n. 
 
 
 
 
 
 
A média é sensível aos valores discrepantes, ou seja, demasiadamente extremos em 
relação ao conjunto de dados analisados: 
 
Conjunto de dados 1, 2, 3, 4, 5  Média = (1+2+3+4+5) / 5 = 3 
 
Conjunto de dados 1, 2, 3, 4, 50  Média = (1+2+3+4+50) / 5 = 12 
n
x
n
xxxx
X
n
i
i
n



 1321

n
x
n
xxxx
n
i
i
n



 1321


Média amostral calculada com todos os 
n elementos de uma amostra 
Média populacional calculada com todos 
os n elementos de uma população 
Medidas de posição - Média 
 
 
A média pode ser pensada como o centro de gravidade dos valores de um conjunto 
de dados, ou seja, o ponto de equilíbrio após dispormos as observações sobre 
uma régua. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observações discrepantes afetam a média 
Medidas de posição - Mediana 
 
Medida de tendência central cujo valor localiza–se no centro exato de uma série de 
dados ordenados. 
 
Em ums série ordenada, 50% dos casos estão abaixo da mediana e os outros 50% 
estão acima dela. 
 
O valor da mediana depende da quantidade de casos n. 
 
Se o número de casos é ímpar, então a mediana é igual ao elemento central da série 
ordenada 
 
Se o número de casos é pas, então a mediana é a média aritimética dos dois 
elementos centrais 
 
A mediana é uma medida resistente, ou seja, é pouco afetada por valores 
discrepantes em relação ao conjunto de dados analisados: 
 
Conjunto de dados 1, 2, 3, 4, 5  Mediana = 3 
 
Conjunto de dados 1, 2, 3, 4, 50  Mediana = 3 
Medidas de posição - Mediana 
 
 
A seguir são listadas as comissões de uma amostra de 15 corretores no último mês 
(Stevenson, 2001): 
 
 $2,038 $1,758 $1,721 $1,637 
 $2,097 $2,047 $2,205 $1,787 
 $2,287 $1,940 $2,311 $2,054 
 $2,406 $1,471 $1,460 
 
Localize a mediana das comissões 
 
Primeiro é necessário ordenar os valores em ordem crescente 
 
 $1,460 $1,471 $1,637 $1,721$1,758 $1,787 $1,940 $2,038 
 $2,047 $2,054 $2,097 $2,205 
 $2,287 $2,311 $2,406 
 
Mediana 
Medidas de posição - Moda 
 
É o valor mais frequente em um conjunto de dados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ao contrário do que acontece com a média e a mediana, pode haver mais de uma moda 
em um conjunto de dados. 
 
É a única medida de localização central que pode ser utilizada em variáveis nominais 
 
A moda pode não ter significado, especialmente em dados de natureza contínua ou em 
dados discretos com poucas observações repetidas! 
 
Quando os dados estão agrupados em classes podemos falar da classe modal, ou seja, 
da classe com maior frequência. 
 
Moda 
unimodal bimodal 
Medidas de posição - Quartis 
Os quartis dividem um conjunto de dados ordenados em quatros 
partes iguais: 
 
25% das observações estão abaixo do 1º quartil (Q1) 
50% das observações estão abaixo do 2º quartil, a mediana (M) 
75% das observações estão abaixo do 3º quartil (Q3) 
 
 
 
 
 
O 1º quartil é a mediana da metade das observações abaixo do 2º 
quartil: 
Q1 = 12.335 kWh 
No Excel = PERCENTIL(A1:A30;0,25) = 12.599,75 
 
O 3º quartil é a mediana da metade das observações acima do 2º 
quartil: 
Q3 = 21.369 kWh 
No Excel = PERCENTIL(A1:A30;0,75) = 21.264,5 
Q3 
Q1 
Medidas de posição - Quartis 
 
 
A seguir são listadas as comissões de uma amostra de 15 corretores no último mês: 
 
 $2,038 $1,758 $1,721 $1,637 
 $2,097 $2,047 $2,205 $1,787 
 $2,287 $1,940 $2,311 $2,054 
 $2,406 $1,471 $1,460 
 
Localize o primeiro e o terceiro quartis 
 
Primeiro é necessário ordenar os valores em ordem crescente 
 
 $1,460 $1,471 $1,637 $1,721 
 $1,758 $1,787 $1,940 $2,038 
 $2,047 $2,054 $2,097 $2,205 
 $2,287 $2,311 $2,406 
 
Mediana 
1º Quartil 
3º Quartil 
Medidas de posição - Decis e Percentis 
Os decis correspondem aos valores que dividem 
um conjunto de dados ordenados em 10 partes 
iguais 
 
Os percentis correspondem aos valores que 
dividem um conjunto de dados ordenados em 100 
partes iguais 
Exemplo: Medidas de posição do consumo de energia 
elétrica em uma amostra de 30 domicílios 
Considere os consumos anuais (kWh) de 30 domicílios 
 
A mediana é um valor no meio do conjunto de dados ordenados. 
Metade dos consumos observados estão acima e metade abaixo da 
mediana 
 
Como neste caso N é par não há uma observação central. Neste caso a 
mediana é a média das observações nas posições 15 (30/2) e 16 (15+1) 
 
Mediana = (17382+17100)/2 = 17241 kWh 
No Excel = MED(A1:A30) 
 
Média = MÉDIA(A1:A30) = = 17.650,47 kWh 
 
Classe modal = [16424 kWh , 21371 kWh] 
 
Proximidade da média e da mediana, 
ambas na classe modal, indica que neste 
caso a distribuição do consumo é simétrica 
30
30
1

 i
ikWh
X
Histograma
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
45%
6530 11530 16530 21530 26530
Fr
eq
uê
nc
ia
 re
la
tiv
a
Proporção 
domcílio
consumo 
anual 
(kWh)
aquecedor 
de água
condicionador 
de ar
iluminação refrigrador freezer
forno 
elétrico
secador 
de roupa
lavadora 
de roupa
lavadora 
de louça
outros
1 18.055 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1
2 12.232 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0
3 18.195 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0
4 12.295 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1
5 11.450 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0
6 23.450 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1
7 20.951 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
8 16.457 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1
9 17.100 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0
10 23.627 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0
11 16.440 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1
12 23.524 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
13 18.510 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1
14 10.824 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1
15 17.382 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0
16 21.369 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1
17 11.912 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0
18 28.446 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
19 23.501 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1
20 13.536 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0
21 31.265 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
22 10.703 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0
23 14.528 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1
24 12.335 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0
25 20.877 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1
26 6.530 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0
27 24.868 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
28 13.394 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1
29 18.953 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0
30 16.805 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
30
25
proporção
83,0proporção
Medida aplicável em variáveis qualitativas 
 
Expressa a fração ou percentagem de itens de determinado grupo ou 
classe. 
Proporção de 
domicílios com 
refrigerador 
N
x
proporção 
Número de itens que apresentam determinada característica 
Número total de observações 
83% 
Medidas de dispersão 
Indicam se os valores estão próximos uns dos outros ou separados 
Pequena dispersão 
Grande dispersão 
Quanto maior a dispersão, maior o afastamento entre os dados, logo 
menos informativa são a média e a mediana 
 
As medidas mais usadas são a amplitude, a distância interquartílica, a 
variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação 
Medidas de dispersão - Amplitude 
A amplitude é a diferença entre o maior e o menor valor do conjunto de dados 
Usa apenas os valores extremos, nada informando quanto aos outros valores. 
 
 
 
 
Mesma amplitude, mas 
dispersões diferentes 
Fonte: Stevenson, W.J. Estatística Aplicada a Administração, Harbra, 2001 
Medidas de dispersão – Distância Interquartílica 
A distância interquartílica é a diferença entre o terceiro e o primeiro quartis 
 
25% das observações estão abaixo do 1º quartil (Q1) 
 
75% das observações estão abaixo do 3º quartil (Q3) 
 
Distância interquartílica = Q3 – Q1 
 
50 % das observações estão no intervalo entre Q3 e Q1 
 
Quanto maior a distância interquartílica, maior a dispersão do conjunto de dados 
 
 
Medidas de dispersão - Variância 
 
11
1
1
2
1
2
2
11
2
1
2
2





















n
Xnx
n
x
N
x
n
Xx
S
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
X
 A variância é a média dos quadrados dos desvios dos n valores de uma 
variável x em relação a média da variável no conjunto de dados. 
Funções do Excel 
VAR e VARA calculam a variância amostral 
VARP calcula a variância populacional 
 
n
nx
n
x
n
x
n
x
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
X
2
1
2
2
11
2
1
2
2
1 


















Variância populacional 
Variância amostral 
Medidas de dispersão - Variância 
   
         
15
4645444342
151
22222
5
1
2
1
2
2










 i
i
n
i
i
X
Xx
n
Xx
S
 Considere o conjunto de dados amostrais: 2, 3, 4, 5, 6 
n=5 
 
X1 = 2 
X2 = 3 
X3 = 4 
X4 = 5 
X5 = 6 
variância amostral 
4
5
20
5
65432
5
5
11 



 i
i
n
i
i x
n
x
X
média amostral 
5,2
4
10
4
8090
4
16536251694
15
4565432
1
222222
2
1
2
2 












n
Xnx
S
n
i
i
X
   
5,2
4
10
4
41014
4
21012 222222 



XS
Modo alternativo para o cálculo da variância 
Medidas de dispersão– Desvio Padrão 
1
2
1
2
2





n
Xnx
SS
n
i
i
XX
O desvio padrão é a raiz quadrada positiva da variância 
O desvio padrão tem a mesma unidade das observações. 
No exemplo, o desvio padrão é expresso em kWh 
 
Funções no Excel 
DESVPAD e DESVPADA calculam o desvio padrão com base em uma 
amostra 
 
DESVPADP calcula o desvio padrão com base em uma população 
1
2
1
2
2





n
nx
n
i
i
XX


Desvio padrão populacional 
Desvio padrão amostral 
Medida de dispersão - Coeficiente de Variação 
%100
_

média
padrãodesvio
CV
O coeficiente de variação (CV) é outra medida de dispersão 
Quanto menor o CV mais homogêneo é o conjunto de dados 
 
Medida relativa de variabilidade, é adimensional. 
 
Útil na comparação das dispersões de duas distribuições 
diferentes 
Medida de dispersão - Coeficiente de Variação 
Exemplo: Um gerente de vendas está interessado em saber 
quanto há de homogeneidade no desempenho de seus 
vendedores entre regiões. Para tanto, recebeu os dados anuais 
sobre as vendas médias por vendedor das quatro regiões sobre 
sua responsabilidade (Mattar, 2006). 
O coeficiente de variação permite concluir que na região B está a 
equipe de vendas de desempenho mais homogêneo. 
 
Na região C a equipe com o desempenho menos homogêneo. 
Medidas de forma da distribuição 
Analisam o formato da distribuição dos dados em relação a 
distribuição Normal ou Curva de Gauss. 
Medida de assimetria: quantifica o grau de assimetria de uma 
distribuição de dados em relação a sua média. 
 
Medida de curtose: quantifica o grau de achatamento ou 
afunilamento de uma distribuição de dados. 
Curva Normal 
média = mediana = moda 
Variável 
Frequência 
Medidas de forma da distribuição – Medida de Assimetria 
 
 
Em uma distribuição simétrica a moda, a média e a mediana 
apresentam o mesmo valor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
A medida de assimetria mede o grau de afastamento que uma 
distribuição apresenta do seu eixo de simetria. 
 
Distribuição simetrica 
Média = Mediana = Moda 
Eixo de simetria 
Variável 
Frequência 
Medidas de forma da distribuição – Medida de Assimetria 
Eixo de simetria 
Cauda desviada para a direita 
média 
mediana 
moda 
Distribuições assimétricas 
Cauda desviada para a esquerda 
média mediana moda 
Distribuição assimetrica 
positiva ou assimétrica à 
direita 
 
Exemplo: distribuição 
dos salários 
Distribuição 
assimetrica negativa ou 
assimétrica à esquerda 
Moda < Mediana < Média 
Moda > Mediana > Média 
Variável 
Variável 
Frequência 
Frequência 
Medidas de forma da distribuição – Medida de Assimetria 
Coeficiente de assimetria de Pearson: mede o grau de assimetria 
 
padrãodesvio
ModaMédia
AS
_
3 

AS = 0 , distribuição simétrica 
AS > 0 , distribuição assimétrica positiva ou à direita 
AS < 0 , distribuição assimétrica negativa ou à esquerda 
No Excel, a função DISTORÇÃO 
calcula o coeficiente de assimetria 
Medidas de forma da distribuição - Curtose 
 
 
Diferentes classificações para curtoses: 
 
Platicúrtica: distribuição mais achatada que a curva Normal, com caudas gordas, maior 
dispersão ao redor da média (menor medida de curtose). 
 
Mesocúrtica: distribuição normal (nem achatada, nem afunilada) 
 
Leptocúrtica: distribuição mais afunilada que a curva normal, dados concetrados ao 
redor da média (alta curtose) 
mesocúrtica 
platicúrtica leptocúrtica 
Medidas de forma da distribuição - Curtose 
Coeficiente de curtose de Pearson: 
 
 
3
4
1
2
1
4




























n
médiax
n
médiax
C
n
i
i
n
i
i
Platicúrtica: c<0 
Mesocúrtica: c=0 
Leptocúrtica: c>0 
No Excel, a função CURT calcula o 
coeficiente de curtose 
Quadro Resumo 
Mattar, F.N. Pesquisa de Marketing, São Paulo: Editora Atlas,2006 
Estatísticas descritivas com dados agrupados 
x = ponto médio do intervalo da classe de renda 
f = frequência absoluta em 100 unidades 
frel = frequência relativa 
fac = frequencia absoluta acumulada em 100 unidades 
frac = frequência relativa acumulada 
Uma pesquisa sobre a renda familiar realizada com uma amostra de 1000 pessoas 
resultou na seguinte tabela de distribuição de frequências (Mattar, 2006): 
Classe modal é a classe com a maior frequência absoluta, ou seja, a classe 10 -20 
Estatísticas descritivas com dados agrupados 
Mattar (2006) 
Média = média dos pontos médios das classes (x) ponderadas pelas respectivas 
frequências absolutas (f) 
Estatísticas descritivas com dados agrupados 
Mattar (2006) 
Quartis 
Qn = valor do quartil que se deseja calcular (Q1 1º quartil, Q2 2º quartil, Q3 3º quartil) 
Q = frequência relativa acumulada do quartila ser calculado (Q=0,25 para o 1º quartil, Q 
= 0,50 para o segundo quartil, Q =0,75 para o terceiro quartil) 
v = valor médio do intervalo de classe em que o quartil está situado 
frac = frequência relativa acumulada até a classe anterior à do quartil considerado 
frel = frequência relativa da classe em que o quartil está situado 
 
Exemplo para a mediana, o 
2º quartil (Q2) 
 
Q = 0,5  v = 15 
 
v = 15  frac = 0,25 
 
v = 15  frel = 0,30 
 
 
 
 
 
Estatísticas descritivas com dados agrupados 
Mattar (2006) 
Quartis 
Qn = valor do quartil que se deseja calcular (Q1 1º quartil, Q2 2º quartil, Q3 3º quartil) 
Q = frequência relativa acumulada do quartila ser calculado (Q=0,25 para o 1º quartil, Q 
= 0,50 para o segundo quartil, Q =0,75 para o terceiro quartil) 
v = valor médio do intervalo de classe em que o quartil está situado 
frac = frequência relativa acumulada até a classe anterior à do quartil considerado 
frel = frequência relativa da classe em que o quartil está situado 
 
Exemplo para o 1º quartil (Q1) 
 
Q = 0,25  v = 5 
 
v = 5  frac = 0 
 
v = 5  frel = 0,25 
 
 
 
 
 
Estatísticas descritivas com dados agrupados 
Mattar (2006) 
Quartis 
Qn = valor do quartil que se deseja calcular (Q1 1º quartil, Q2 2º quartil, Q3 3º quartil) 
Q = frequência relativa acumulada do quartila ser calculado (Q=0,25 para o 1º quartil, Q 
= 0,50 para o segundo quartil, Q =0,75 para o terceiro quartil) 
v = valor médio do intervalo de classe em que o quartil está situado 
frac = frequência relativa acumulada até a classe anterior à do quartil considerado 
frel = frequência relativa da classe em que o quartil está situado 
 
Exemplo para o 3º quartil (Q3) 
 
Q = 0,75  v = 25 
 
v = 25  frac = 0,55 
 
v = 55  frel = 0,20 
 
 
 
 
 
Estatísticas descritivas com dados agrupados 
Mattar (2006) 
Desvio padrão 
Estatísticas descritivas com dados agrupados 
Mattar (2006) 
Box plot 
A média e o desvio padrão fornecem uma visão bastante resumida de uma 
distribuição de frequencias 
 
Média e desvio padrão não são medidas resistentes e por esta razão são 
afetadas por valores extremos. 
 
Uma medida resistente é pouco afetada por pequenas mudanças em alguns 
dados 
 
A mediana é uma medida resistente 
 
Por exemplo, considere os seguintes conjuntos de dados 
 
5, 7, 8, 10, 12, 15 (média = 9,5 e mediana = 9,0 e desvio padrão = 3,62). 
 
5, 7, 8, 10, 12, 150 (média = 32 e mediana = 9,0 e desvio padrão = 57,86). 
 
Para contornar estas deficiências Tukey propôs a construção deum gráfico 
chamado Box Plot 
John Tukey 
Box plot 
Considere os consumos anuais (kWh) de 30 domicílios 
 
A mediana é um valor no meio do conjunto de dados ordenados. 
Metade dos consumos observados estão acima e metade abaixo da 
mediana 
 
Como neste caso N é par não há uma observação central. Neste caso a 
mediana é a média das observações nas posições 15 (30/2) e 16 (15+1) 
 
Mediana = (17382+17100)/2 = 17241 kWh 
No Excel = MED(A1:A30) 
 
Box plot 
Quartis também são medidas de posição 
Separam o conjunto de dados em quartos: 
25% das observações estão abaixo do 1º quartil (Q1) 
50% das observações estão abaixo do 2º quartil, a mediana 
75% das observações estão abaixo do 3º quartil (Q3) 
 
O 3º quartil é a mediana da metade das observações acima da 
Mediana: 
Q3 = 21.369 kWh 
No Excel = PERCENTIL(A1:A30;0,75) = 21.264,5 
 
 
 
 
 
 
O 1º quartil é a mediana da metade das observações abaixo da 
Mediana: 
Q1 = 12.335 kWh 
No Excel = PERCENTIL(A1:A30;0,25) = 12.599,75 
 
Q3 
Q1 
Box plot 
* 
Q1 
Q3 
M 
Menor valor 
observado acima da 
cerca inferior 
Maior valor 
observado abaixo da 
cerca superior 
Cerca inferior (CI) 
Cerca superior (CS) 
Distância interquartílica (DEQ) 
DEQ = Q3 - Q1 
50% dos dados encontram-se neste 
intervalo 
Q1 – 1,5 DEQ 
Q3 + 1,5 DEQ 
0 
* 
* 
Observações maiores que a cerca superior são representadas por 
asteriscos (pontos atípicos ou outliers) 
Observações menores que a cerca inferior são representadas por 
asteriscos (pontos atípicos ou outliers) 
X 
O boxplot é uma representação gráfica de algumas medidas de posição 
Box plot 
* 
A caixa que ocupa o espaço entre o primeiro 
quartil (Q1) e o terceiro quartil (Q3) 
compreende 50% das observações, 
inclusive a mediana. 
 
A medida que uma observação se afasta 
desta caixa seguindo a linha vertical, para 
baixo ou para cima, mais distante a 
observação está do comportamento típico, 
representado pela mediana. 
 
Assim, considera-se como atípica qualquer 
observação localizada abaixo da cerca 
inferior (CI) ou acima da cerca superior (CS), 
 
O box plot é um procedimento exploratório 
bastante usual na identificação de dados 
atípicos 
Q1 
Q3 
M 
* 
* 
X 
Box plot 
Um boxplot informa: 
 
 A localização central (mediana), o 1º e 3º quartis, o mínimo e o máximo. 
 A dispersão dos dados: amplitude e distância inter-quartil 
 A assimetria: posição relativa da mediana na caixa que ocupa o espaço 
entre o primeiro quartil (Q1) e o terceiro quartil (Q3). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Boxplots são úteis para comparar várias amostras num mesmo gráfico. 
Box plot 
Número Município
Renda per Capita 
2000
15 Boa Vista (RR) 299,46
14 Mucajaí (RR) 170,89
13 Caracaraí (RR) 159,41
12 Iracema (RR) 159,14
11 São João da Baliza (RR) 149,88
10 São Luiz (RR) 149,49
9 Pacaraima (RR) 147,87
8 Caroebe (RR) 138,19
7 Rorainópolis (RR) 136,32
6 Cantá (RR) 115,78
5 Amajari (RR) 93,41
4 Bonfim (RR) 91,85
3 Alto Alegre (RR) 79,21
2 Normandia (RR) 66,13
1 Uiramutã (RR) 49,08
Município
Renda per Capita 
2000
Alto Alegre (RR) 79,21
Amajari (RR) 93,41
Boa Vista (RR) 299,46
Bonfim (RR) 91,85
Cantá (RR) 115,78
Caracaraí (RR) 159,41
Caroebe (RR) 138,19
Iracema (RR) 159,14
Mucajaí (RR) 170,89
Normandia (RR) 66,13
Pacaraima (RR) 147,87
Rorainópolis (RR) 136,32
São João da Baliza (RR) 149,88
São Luiz (RR) 149,49
Uiramutã (RR) 49,08
Considere a Renda per capita nos municípios de Roraima avaliada no Censo 2000 
Primeiro, organizamos 
os dados na ordem 
decrescente da renda 
per capita e depois 
calculamos os quartis 
Neste caso N é ímpar (15 municípios), logo a mediana (M) é a observação central 
(município de Caroebe na posição 8 = (15+1)/2): Mediana = 138,19 
 
O 1º quartil (Q1) é a mediana das 7 observações abaixo de 138,19: Q1 = 91,85 
 
O 3º quartil (Q3) é a mediana das 7 observações acima de 138,19: Q3 = 159,14 
M 
Q1 
Q3 
Box plot 
0
50
100
150
200
250
300
350
Boa vista 
Mediana = 138,19 
Q1 = 91,85 
Q3 = 159,14 
Maior valor 
observado que não 
supera a cerca 
superior (Mucajaí) 
Menor valor 
observado que 
supera a cerca 
inferior (Uiramutã) 
Box plot 
Número Município
Renda per Capita 
2000
15 Boa Vista (RR) 299,46
14 Mucajaí (RR) 170,89
13 Caracaraí (RR) 159,41
12 Iracema (RR) 159,14
11 São João da Baliza (RR) 149,88
10 São Luiz (RR) 149,49
9 Pacaraima (RR) 147,87
8 Caroebe (RR) 138,19
7 Rorainópolis (RR) 136,32
6 Cantá (RR) 115,78
5 Amajari (RR) 93,41
4 Bonfim (RR) 91,85
3 Alto Alegre (RR) 79,21
2 Normandia (RR) 66,13
1 Uiramutã (RR) 49,08
Distância interquartílica (DEQ) 
Q3 – Q1 = 159,14 – 91,85 = 67,290 
 
Cerca superior (CS) = Q3 + 1,5 DEQ = 260,08 
Cerca inferior (CI) = Q1 - 1,5 DEQ = -9,09 
Box plot 
Número Município
Renda per Capita 
2000
16 Oiapoque (AP) 257,93
15 Macapá (AP) 253,69
14 Santana (AP) 162,39
13 Laranjal do Jari (AP) 157,43
12 Porto Grande (AP) 146,45
11 Serra do Navio (AP) 146,38
10 Calçoene (AP) 136,15
9 Amapá (AP) 135,43
8 Vitória do Jari (AP) 115,85
7 Ferreira Gomes (AP) 107,19
6 Pracuúba (AP) 91,45
5 Tartarugalzinho (AP) 89,98
4 Pedra Branca do Amapari (AP) 88,37
3 Mazagão (AP) 87,18
2 Itaubal (AP) 83,04
1 Cutias (AP) 77,43
Município
Renda per Capita 
2000
Amapá (AP) 135,43
Calçoene (AP) 136,15
Cutias (AP) 77,43
Ferreira Gomes (AP) 107,19
Itaubal (AP) 83,04
Laranjal do Jari (AP) 157,43
Macapá (AP) 253,69
Mazagão (AP) 87,18
Oiapoque (AP) 257,93
Pedra Branca do Amapari (AP) 88,37
Porto Grande (AP) 146,45
Pracuúba (AP) 91,45
Santana (AP) 162,39
Serra do Navio (AP) 146,38
Tartarugalzinho (AP) 89,98
Vitória do Jari (AP) 115,85
Considere a Renda per capita nos municípios do Amapá avaliada no Censo 2000 
Neste caso N é par (16 municípios), logo a mediana (M) é a média das duas 
observações centrais nas posições 8 e 9: Mediana = (115,85 + 135,43)/2 = 125,64 
 
O 1º quartil (Q1) é a mediana das 8 observações abaixo de 125,64: 
Q1 = (88,37 + 89,98)/2 = 89,17 
 
O 3º quartil (Q3) é a mediana das 8 observações acima de 125,64: 
Q3 = (145,45 + 157,43)/2 = 151,94 
M 
Q1 
Q3 
Primeiro, organizamos 
os dados na ordem 
decrescente da renda 
per capita e depois 
calculamos os quartis 
Box plot 
0
50
100
150
200
250
300
OIapoque 
Macapá 
Mediana = 125,64 
Q1 = 89,17 
Q3 = 151,94 
Número Município
Renda per Capita 
2000
16 Oiapoque (AP) 257,93
15 Macapá (AP) 253,69
14 Santana (AP) 162,39
13 Laranjal do Jari (AP) 157,43
12 Porto Grande (AP) 146,45
11 Serra do Navio (AP) 146,38
10 Calçoene (AP) 136,15
9 Amapá (AP) 135,43
8 Vitória do Jari (AP) 115,85
7 Ferreira Gomes (AP) 107,19
6 Pracuúba (AP) 91,45
5 Tartarugalzinho (AP) 89,98
4 Pedra Branca do Amapari (AP) 88,37
3 Mazagão (AP) 87,18
2 Itaubal (AP) 83,04
1 Cutias (AP) 77,43
Maior valor 
observado que não 
supera a cerca 
superior (Santana) 
Menor valor 
observado que 
supera a cerca 
inferior (Cutias) 
Box plot 
Distância interquartílica (DEQ) 
Q3 – Q1 = 151,94 – 89,17 = 62,77 
 
Cerca superior (CS) = Q3 + 1,5 DEQ = 246,09 
Cerca inferior (CI) = Q1 - 1,5 DEQ = -4,97 
Box plot 
0
50
100
150
200
250
300
350
OIapoque 
Macapá 
Boa vista 
Amapá Roraima 
As distribuições da renda per capita são semelhantes 
Box plotdo IDHM dos municípios do RJ em 1991 e 2000 
20001991
ID
HM
1,0
,9
,8
,7
,6
,5
Niterói
Cardoso MoreiraSão Francisco de Ita
Rio de Janeiro
Niterói
São Francisco de Itabapoana 
Cardoso Moreira 
Niterói 
Rio de Janeiro 
Niterói 
Comparação entre dois momentos no tempo 
Box plot das taxas de retorno semanais das ações de 
cinco empresas negociadas na bolsa 
1 2 3 4 5
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
Ta
xa
 de
 re
tor
no
 se
ma
na
l
Column Number
Allied 
Chemical 
Du Point Union 
Carbide 
Exxon Texaco 
A mediana de cada caixa indica o retorno esperado (nível) 
A altura de cada caixa indica a volatilidade da taxa de retorno 
Exercício 
Procure uma base de dados com pelo menos 30 casos e 5 
variáveis. 
 
Identifique os tipos de variáveis existentes na base 
 
Faça a análise descritiva dos dados. Indique o software 
utilizado. 
 
Interprete os resultados obtidos. Que conclusões podem ser 
alcançadas? 
 
Prepare um relatório sobre o estudo. 
Bussab, W.O., Morettin, P.A. Estatística Básica, São Paulo: Atual 
Editora, 1997. 
 
Mattar, F.N. Pesquisa de Marketing, São Paulo: Editora 
Atlas,2006 
 
Stevenson, W.J. Estatística Aplicada a Administração, Harbra, 
2001 
 
 
Referências bibliiograficas