Eletromagnetismo - Energia potencial - Prof Danilo Huanca

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Prof. Dr. Danilo Roque H.
e-mail: droqueh@unifei.edu.br
Física Geral III
Energia potencial
https://sites.google.com/site/droqueh/
 
Física geral III (Fis403)
● Conteúdo 
– Conceito de energia potencial: analogia entre a energia potencial mecânica e a energia potencia 
elétrica
– Energia potencial elétrica em um campo uniforme
– Energia elétrica de duas cargas pontuais 
– Energia potencial elétrica de varias cargas pontuais
– Potencial elétrico
– Determinação do potencial elétrico
– Relação entre o potencial elétrico e o campo elétrico
– Superfícies equipotenciais e linhas de campo
– Equipotenciais e condutores
– Gradiente de potencial
– Densidade de energia de um campo eletrostático
● Bibliografia 
- Elementos de eletromagnetismo, 5a edição, 2012. Matthew N. O. Sadiku
- Electromagnetismo, 8a edição, 2013. William H. Hayt Jr, and John A. Buck
- Fundamentos de Física 3: eletromagnetismo, LTC: RESNICK, R; HALLIDAY, D.
- Física: Eletricidade, Magnetismo e Tópicos de Física Moderna, L.T.C: SEARS, F. W; ZEMANSKY, M. W. 
 
Energia Potencial
y
P⃗=m g⃗
W ab=∫
a
b
F⃗⋅d l⃗
F⃗
d l⃗
b
a
θ
● Energia potencial mecânica
● Para forças conservativas
W ab=mg ( y a−y b)
W ab=−ΔU
U=mgy
● Depende do sistema de 
referência.
● Se então W ab≥0 ΔU≤0
Energia a=energiab
ka+U a=k b+U b
b
a
● Energia potencial mecânica
● Para forças conservativas
g⃗
 
Energia Potencial em um campo conservativo
Partícula movimentando-se em um campo 
conservativo
P⃗=m g⃗
W ab=mg ( y a−y b)
 
Energia Potencial em um campo conservativo
W ab=∫
a
b
F⃗⋅d l⃗
Partícula movimentando-se em um campo 
conservativo
P⃗=m g⃗
Em um campo conservativo, não importa a 
trajetória percorrida pela partícula o 
resultado final é sempre o mesmo. 
Partícula carregada 
movimentando-se em 
um campo elétrico 
uniforme
W ab=∫
a
b
q0 E⃗⋅d l⃗
W ab=∫
a
b
q0 E⃗⋅d l⃗
W ab=q0E ( y a−y b)
U=q0 Ey
W ab=mg ( y a−y b)
−ΔU=q0 E( ya− yb)
 
Energia Potencial em um campo conservativo
● Se a carga positiva se move na direção 
de E
● O campo realiza o campo trabalho 
positivo sobre a carga
● U diminui.
● Se a carga positiva se move na direção 
de E.
● O campo realiza trabalho negativo sobre 
a carga
● U incrementa.
E⃗ E⃗
 
Energia Potencial em um campo conservativo
● Uma carga nevativa se move na direção de E
● O campo realiza um trabalho negativo sobre a 
carga.
● U aumenta. 
● Uma carga negativa se move na direção do 
campo E.
● O campo realiza um trabalho negativo sobre a 
carga.
● U incrementa.
● Uma carga nevativa se move na direção 
contraria de E
● O campo realiza um trabalho positivo 
sobre a carga.
● U diminui. 
 
Potencial elétrico de duas cargas
A carga teste se 
move do ponto 
a ao ponto b na 
direção radial
F⃗ r=k
qq0
r 2
r^
W ab=∫
a
b
F⃗ r⋅d l⃗=∫
ra
rb
k
qq0
r 2
dr
W ab=kqq0 ( 1r a−
1
r b )
A carga teste se move do ponto a ao 
ponto b em uma trajetoria arbitraria
W ab=∫
a
b
F⃗ r⋅d l⃗=∫
ra
rb
k
qq0
r 2
cosφ d l
O trabalho efetuado sobre a carga qo pelo campo 
eletrico da carga q não depende da trajetoria 
seguida, mas unicamente das distancia ra e rb.
 
Potencial elétrico de duas cargas
● A energia potencial sempre é definida em relação 
a um ponto de referência onde U = 0.
U=k
q q0
r
● Energia potencial de duas partículas carregadas.q e qo tem cargas do mesmo tipo.
q e qo tem cargas diferentes
● U representa o trabalho que realizaria o campo de 
q sobre a carga teste qo se esta última se 
deslocasse desde uma distância r ao infinito .
 
Energia potencial elétrica com varias cargas 
pontuais.
● Energia potencial associado ao arranjo de cargas 
dentro do campo elétrico. 
U=k q0∑
i
n q i
ri
● Energia potencial associada à carga teste é a 
soma algébrica 
● Não se deve contabilizar os termo i=j já que isto 
representa a interação da carga consigo mesmo.
U=k∑
i< j
n q iq j
r ij
 
Potencial elétrico
● Unidade do potencial: No sistema internacional 
é o volt, em honor ao cientista italiano Alexandre 
Volta.
V=U
q0
● Potencial elétrico: é a energia potencial associada à 
carga teste qo em um campo elétrico. Esta grandeza 
é também chamada simplesmente de potencial.
● A grandeza com significado físico é a diferênça de 
potencial.
1 volt (1V )=Joule/Coulomb=J /C
W ab
q0
=−ΔU
q0
=−(U bq0 −
U a
q0 )=V a−V b
V ab=V a−V b
V ab
a b
● Vab é o potencial de a em relação a b. É o trabalho 
que deve realizar-se para deslocar uma unidade de 
carga lentamente de a contra a força elétrica de b. 
 
Cálculo do potencial elétrico
● Potencial elétrico de uma distribuição contínua de cargas
V=U
q0
=k∑
i=1
n q i
r i
● Potencial elétrico de um conjunto de cargas 
V=k∫ dqr
● Se a carga sobre a qual estamos medindo o potencial não se encontra na origem do sistema
V=U
q0
=k∑
i=1
n q i
|r−ri|
V=U
q0
=k∫ qi|r−r i|
 
Relação do entre o potencial e o campo elétrico
● Se a integral é positiva, então o campo elétrico 
efetua um trabalho positivo sobre a carga conforme 
esta se desloque do ponto a ao ponto b. 
● As linhas de campo elétrico apontam na direção 
onde o potencial diminui.
O potencial 
incrementa
O potencial 
diminui
Carga pontual positiva
Carga pontual negativa
O potencial 
diminui
O potencial 
incrementa
W ab=∫
a
b
F⃗⋅d l⃗=∫
a
b
q0 E⃗⋅d l⃗
W ab
q0
=V a−V b=−∫
a
b
E⃗⋅d l⃗
 
Superfícies equipotenciais
● Ajudam a visualizar o potencial em vários pontos de 
um campo elétrico.
● Tem o mesmo conceito das curvas de nível dos 
mapas topográficos .
● Uma superfície equipotencial é uma superfície 
tridimensional sobre a qual o potencial elétrico V é o 
mesmo em todos os pontos. 
Projeção dos cortes 
de cada plano
Curvas de nível
Superfície geográfica 
Planos horizontais imaginários 
Mapa topográfico 
 
Superfícies equipotenciais
● Ajudam a visualizar o potencial em vários pontos de um campo elétrico.
● Tem o mesmo conceito das curvas de nível dos mapas topográficos .
● Uma superfície equipotencial é uma superfície tridimensional sobre a qual o potencial 
elétrico V é o mesmo em todos os pontos.
● As linhas de campo e as superfícies equipotenciais são sempre perpendiculares entre si. 
● As linhas de campo elétrico aponta na direção do potencial decrescente. 
Carga positiva isolada Dipolo elétrico Duas cargas de igual sinal e 
magnitude
 
exercícios
Exercício 5.1 
● Um pósitron tem massa m e carga q. Suponha que pósitron se move na vizinhança de uma 
partícula alfa cuja carga é 2q e massa 7000 vezes maior a do pósitron (suponha o pósitron em 
repouso). Quando o pósitron está à distância ra da partícula alfa, esta se afasta com uma rapidez 
de 3000000 m/s. (a) qual é a rapidez do pósitron quando as duas partículas estão separadas uma 
distância rb. (b) qual a rapidez quando o pósitron esta muito afastado da partícula alfa?
m=9.11 x10−31 Kg
q=1,6 x 10−19C
ra=1 X 10
−10 m
va=3 X 10
6m /s
rb=2 X 10
−10m
Exercício 5.2 
● Duas cargas pontuais estão localizadas sobre o eixo x. A carga Q1= -e, e x1 = 0, Q2=+e em x = a. 
(a) Determine o trabalho que deve realizar uma força externa para levar uma terceira carga 
pontual Q3 = +e do infinito para x = 2a, (b) a energia total do sistema.
Exercício 5.3 
● Calcular o potencial elétrico de uma partícula pontual se conhecido seu campo elétrico. 
 
exercícios
Exercício 5.5 
● (a) Calcule o potencial em qualquer ponto y entre as duas placas paralelas com cargas opostas,como se mostra na figura. (b) Determine o valor da carga em cada placa. 
V ( y )=V b+E ( y−b)
 
exercícios
Exercício 5.6 
● Um dipolo elétrico de cargas q1=12nC e q2 = -12nC estão separados entre si uma distância de 
10 cm. Calcule os potenciais devido a cada carga nos pontos mostrados na figura. 
 
exercícios
Exercício 5.7 
● Calcular o potencial de uma linha carregada de comprimento L.
P (x0, y0, z0)
dQ
R⃗
R^
α
a
b
y
x
z
α1
d E⃗
d E⃗ρ
d E⃗z
α2
z
z0
0
ρ
V=ln|√ρ2+( z0−a)2+(z 0−a)√ρ2+(z0−b)2+(z 0−b)|
 
Gradiente de potencial
● O trabalho que se realiza para mover a carga um 
pequeno deslocamento dl é:
dW= F⃗⋅d l⃗
d l⃗
−dV=E cosθd l
E l=−
∂V
∂ l
● A componente do campo elétrico em qualquer direção dos espaço é o negativo da taxa 
de variação do potencial elétrico com a distância nessa direção.
● O potencial associado a esse trabalho esta dado 
por:
● O campo elétrico na direção onde o trabalho é 
máximo é
● Essa variação espacial do campo é conhecido como gradiente. Se l = x, y,z, então temos: 
E x=−
∂V
∂ x
E y=−
∂V
∂ y
E z=−
∂V
∂ z
E⃗=−∇ V
 
Gradiente de potencial: dedução matemática
● O trabalho que se realiza para mover a carga um 
pequeno deslocamento dl é:
dW= F⃗⋅d l⃗
d l⃗
−dV= E⃗⋅d l⃗
● Para um campo conservativo a diferencial exata é:
dV=∂V
∂ x
dx+ ∂V
∂ y
dy+ ∂V
∂ z
dz
● O potencial associado a esse trabalho esta dado 
por:
● Substituindo as expressões de 
dV=−Exdx−E y dy E zdz
E⃗=(E x , E y , E z )
l⃗=(dx ,dy , dz)
V=V ( x , y , z)
E⃗=−∇ V
(1)
(2)
● Igualando as expressões (1) e (2) temos:
∇V=∂V
∂ x
i^+ ∂V
∂ y
j^+∂V
∂ z
k^
∇V=∂V∂ρ a^ρ+
1
ρ
∂V
∂φ a^φ+
∂V
∂ z
k^
∇V=∂V
∂ r
a^r+
1
r
∂V
∂θ a^θ+
1
r senθ
∂V
∂ φ a^φ
 
Equação de Poisson e de Laplace
● Substituindo o valor do campo elétrico na forma 
diferencial da equação de Gauss temos a equação 
de Poisson
∇2V=−ρε0
d l⃗
● Para o caso particular de o sistema não ter cargas, 
então esta é chamada como equação de Laplace
∇ 2V=0
● Permitem obter a distribuição do potencial de um 
sistema.
 
exercícios
Exercício 5.4 
● Calcular o potencial produzido por um dipolo elétrico
V=V (+ .)+V (−.)
 
exercícios
Exercício 5.4 
● Calcular o potencial produzido por um dipolo elétrico
Para r >> d, podemos considerar 
r⃗ (+.)∥r⃗ (−.)
V=V (+ .)+V (−.) V= 14 π ε0
pcosθ
r 2
 
Densidade de energia em campos eletrostáticos
● Trazer uma carga de um ponto a outro ponto que 
esta localizada na vizinhança do campo elétrico de 
outa carga fixa requer trabalho:
W=F⃗⋅l⃗
● O trabalho total é:
W E=0+Q2V 2,1+Q3(V 3,1+V 3,2)
● Esse trabalho é realizado por uma fonte externa 
que move a carga.
● Quando a carga é posicionada entorno da carga fixa é 
necessário que o campo externo a mantenha lá, caso 
contrario a carga pode sair dessa posição por ação da 
carga fixa. 
W E=W 1+W 2+W 3
W E=
1
2∫V dQ
(1)
(2)
W T=V
P1 P2
P3
r1,2
r2,3r1,3
Q1
Q2
Q3
E⃗ ext
W E=W 3+W 2+W 1
W E=0+Q2V 2,3+Q1(V 1,3+V 1,2)
W E=
1
2
(Q1V 1+Q2V 2+Q3V 3)
W E=
1
2∑i=1
N
QiV i Para N partículas
● Para uma distribuição contínua de carga
W E=
ε0
2 ∫E
2dv
● Densidade de energia eletrostática
we=
W E
dv
=
ε0
2
E2
 
Exercícios
● Calcular a energia armazenada no campo eletrostático de uma seção de um cabo coaxial de 
comprimento L. 
W E=
π La2σ2
ε0 ln
c
a
L
a
b
c
E⃗= 1ε0
aσ inter
R
a^ρ σexter=−
a
c
σinter
 
aplicação
● Baterias e pilhas
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