Apostilla de Cálculo III-2013

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Universidade Estadual do Norte Fluminense Darcy Ribeiro
Ca´lculo Diferencial e Integral III
Liliana A. L. Mescua
Rigoberto G. S. Castro
.
Suma´rio
1 Func¸o˜es Vetoriais 1
1.1 Func¸o˜es de Rn para Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Curvas Parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 O vetor tangente a uma curva parametrizada . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Propriedades da derivada de curvas parametrizadas . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 Parametrizac¸a˜o de Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Integrais de Linha 15
2.1 Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Integral de Linha de uma Func¸a˜o Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5 Integral de Linha de um Campo Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.7 Campos Conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.7.1 Construc¸a˜o de uma Func¸a˜o Potencial usando Integrais Indefinidas . 25
ii
2.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Integrais Multiplas 27
3.1 Integrais Duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.1 Integrais Duplas sobre um Retaˆngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.2 Ca´lculo da Integral Dupla pelo Me´todo das Somas de Riemann . . . 28
3.1.3 Integrais Iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.4 Integrac¸a˜o sobre Regio˜es mais Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 Mudanc¸a de Varia´veis na Integral Dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4 Mudanc¸a em Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.6 Integrais Triplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.6.1 Integrais Triplas sobre um Paralelep´ıpedo Retaˆngular . . . . . . . . 45
3.6.2 Integrac¸a˜o Triplas sobre Regio˜es mais Gerais . . . . . . . . . . . . . 47
3.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.8 Mudanc¸a de Varia´veis na Integral Tripla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.9 Mudanc¸a em Coordenadas Cil´ındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.10 Mudanc¸a em Coordenadas Esfe´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.11 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4 Integrais de Superf´ıcie 61
4.1 Parametrizac¸a˜o de Superf´ıcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.1.1 Superf´ıcies de Revoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.3 A´rea de Superf´ıcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
iii
4.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.5 Integral de Superf´ıcie de uma Func¸a˜o Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.6 Integral de Superf´ıcie de uma Func¸a˜o Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5 Teoremas de Green, Stokes e Gauss 77
5.1 Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.3 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.5 Teorema de Gauss (Teorema da Divergeˆncia) . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Maio de 2013
iv
.
Cap´ıtulo 1
Func¸o˜es Vetoriais
Ate´ o presente momento estudamos apenas func¸o˜es do tipo f : D ⊂ Rn → R, que
a cada ponto x ∈ D associa um u´nico nu´mero real z = f(x). Este tipo de func¸o˜es sa˜o
chamadas de func¸a˜o escalar ou campo escalar.
A seguir vamos a estender o nosso estudo para func¸o˜es cujo contradomı´nio (imagem)
e´ Rm.
1.1 Func¸o˜es de Rn para Rm
Definic¸a˜o 1.1. Seja F : Rn → Rm uma aplicac¸a˜o cujo domı´nio e´ Rn e cuja imagem e´
um conjunto de vetores de Rm. Podemos representar F pelas func¸o˜es coordenadas. Em
outras palavras, existem func¸o˜es f1, f2, . . . , fm tais que
F (X) = (f1(X), f2(X), . . . , fm(X)),
onde X = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn e cada func¸a˜o fi : Rn → R.
Definic¸a˜o 1.2. Dizemos que F e´ cont´ınua em X0 ∈ Rn se cada func¸a˜o coordenada fi e´
cont´ınua em X0. Em outras palavras:
lim
X→X0
F (X) = F (X0) ⇔ lim
X→X0
fi(X) = fi(X0), para i = 1, 2, . . . ,m.
Exemplo 1.1. Seja F : R2 → R3 definida por F (x, y) = (xy, x + y, x2). F e´ cont´ınua
em (0, 0) ∈ R2?.
1
Sol. De fato, F e´ cont´ınua em (0, 0) ja´ que cada func¸a˜o coordenada f1(x, y) = xy,
f2(x, y) = x + y e f3(x, y) = x
2 sa˜o cont´ınuas em (0, 0). Assim, observa-se que F e´
cont´ınua em todo R2.
Definic¸a˜o 1.3. Seja F : Rn → Rm tal que F (X) = (f1(X), f2(X), . . . , fm(X)).
Suponhamos que as derivadas parciais de cada func¸a˜o coordenada fi (i = 1, 2, . . . ,m)
existem. Definimos e denotamos a matriz das derivadas parciais por
DF (X) = JF (X) =
∂(f1, f2, . . . , fm)
∂(x1, x2, . . . , xn)
=

∂f1
∂x1
(X)
∂f1
∂x2
(X) . . .
∂f1
∂xn
(X)
∂f2
∂x1
(X)
∂f2
∂x2
(X) . . .
∂f2
∂xn
(X)
...
...
...
∂fm
∂x1
(X)
∂fm
∂x2
(X) . . .
∂fm
∂xn
(X)

mxn
que e´ chamada a matriz Jacobiana de F .
Para o exemplo anterior onde F (x, y) = (xy, x+y, x2) possui suas func¸o˜es coordenadas
diferencia´veis temos que a matriz Jacobiana e´ dada por:
JF (X) =
∂(f1, f2, f3)
∂(x, y)
=

y x
1 1
2x 0

3x2
Observac¸a˜o 1.1. Se F : Rn → Rm, enta˜o:
1. Se m = 1 temos que F : Rn → R e´ uma func¸a˜o real de n varia´veis.
2. Se m = n temos que F : Rn → Rn e´ chamado campo vetorial.
3. Se n = 1 temos que F : R→ Rm e´ chamado func¸a˜o vetorial ou curvas parametri-
zadas.
Observac¸a˜o 1.2. Tenha-se em conta que:
1. Se F : Rn → R, (m = 1) tem-se que a matriz Jacobiana definida anteriormente e´
o gradiente de F , isto e´
JF (X) =
[
∂F
∂x1
(X),
∂F
∂x2
(X), . . . ,
∂F
∂xn
(X)
]
= ∇F (X)
2
2. Se F : R → Rm, (n = 1), (X = x) tem-se que a matriz Jacobiana de F e´ a
derivada da func¸a˜o vetorial (ou curva) denotada por F ′(x), isto e´
JF (x) =

f ′1(x)
f ′2(x)
...
f ′m(x)

mx1
= F ′(x) = (f ′1(x), f
′
2(x), ..., f
′
m(x))
T
Exemplo 1.2. Seja F : R2 → R2 tal que F (x, y) = (x, y). Para cada ponto (x, y) no
plano, F (x, y) e´ simplesmente seu vetor posic¸a˜o. Aponta diretamente a partir da origem
e tem comprimento ‖F (x, y)‖ = √x2 + y2 = d((0, 0), (x, y)).
Figura 1.1: Campo Vetorial.
Exemplo 1.3. Seja F : R2 → R2 tal que F (x, y) = (−y, x), neste caso tem-se um campo
vetorial bidimensional F (x, y) tem comprimento r =√
x2 + y2 e aponta na direc¸a˜o anti-
hora´ria e (x, y) · F (x, y) = 0, de forma que F (x, y) e´ tangente ao c´ırculo que passa pelo
ponto (x, y).
3
Figura 1.2: Campo Vetorial.
1.2 Curvas Parametrizadas
Um primeiro exemplo muito importante de uma func¸a˜o vetorial e´ dado pela definic¸a˜o
de curva parametrizada que nada mais e´ do que uma func¸a˜o
α : I ⊂R→ Rm
t→ α(t) = (x1(t), x2(t), x3(t), . . . , xm(t))
cujo domı´nio e´ um intervalo aberto I em R e o contradomı´nio e´ Rn. Curvas parametrizadas
sa˜o utilizadas para se modelar m quantidades (posic¸a˜o de um objeto, trabalho, capital
de empresa, etc) que variam no tempo. A varia´vel t e´ chamada de para´metro e x1 =
x1(t), x2 = x2(t), x3 = x3(t), . . . , xm = xm(t), sa˜o chamadas de equac¸o˜es parame´tricas
da curva α.
A representac¸a˜o mais importante de uma curva parametrizada e´ o seu trac¸o.
Definic¸a˜o 1.4. (Trac¸o de uma curva parametrizada). Seja α : I ⊂ R→ Rm uma
curva parametrizada. O trac¸o de α e´ o conjunto C = {α(t), t ∈ I} (tambe´m chamado de
curva C). Para cada instante de tempo t, α(t) e´ um ponto de Rm. O trac¸o de uma curva
parametrizada α nada mais e´ do que unia˜o de todos estes pontos de Rm.
Se por exemplo, α(t) representa a posic¸a˜o de um objeto no instante de tempo t, o
trac¸o da curva representa, neste caso, a trajeto´ria do objeto.
Exemplo 1.4. Suponha que a posic¸a˜o de um objeto (um ponto material) movendo-se no
4
plano R2 seja descrita pela curva parametrizada
α : R→ R2
t→ α(t) = (1 + t, 3− 2t)
a) Qual e´ a posic¸a˜o inicial do objeto?.
b) Qual e´ a posic¸a˜o do objeto no instante de tempo t = 1?.
c) O objeto passa pela origem (0, 0)?.
d) Fac¸a o esboc¸o da trajeto´ria do objeto.
Sol.:
a) A posic¸a˜o inicial do objeto e´ a posic¸a˜o do objeto no instante de tempo t = 0. Assim,
para sabermos a posic¸a˜o inicial do objeto basta calcularmos
α(0) = (1 + 0, 1− 2.0) = (1, 3)
b) Para sabermos a posic¸a˜o do objeto no instante de tempo t = 1 basta calcularmos
α(1) = (1 + 1, 1− 2.1) = (2, 1)
c) Queremos saber se existe um instante de tempo t tal que α(t) = (1+ t, 1−2.t) = (0, 0).
Como o sistema 1 + t = 03− 2t = 0
na˜o possui soluc¸a˜o, segue-se que o objeto nunca passa pela origem (0, 0).
d) Para fazer um esboc¸o do gra´fico da curva parametrizada α vamos tentar determinar
uma equac¸a˜o nas varia´veis cartesianas x e y em R2 que e´ satisfeita pelos pontos α(t) =
(1 + t, 3− 2t). Escrevendo: x = 1 + ty = 3− 2t
podemos isolar t na primeira equac¸a˜o, t = x − 1, e substituir o valor de t na segunda
equac¸a˜o y = 3− 2t = 3− 2(x− 1) = −2x+ 5, istoe´ temos a equac¸a˜o y = −2x+ 5.
Assim, o trac¸o da curva α ( e portanto a trajeto´ria do objeto) e´ a reta y = −2x + 5
no plano cartesiano R2. Desta maneira a trajeto´ria do objeto pode ser descrita de duas
maneiras diferentes:
5
Figura 1.3: Trac¸o da curva α(t) = (1 + t, 3− 2t).
1. Como o trac¸o da curva parametrizada α(t) = (1 + t, 3− 2t), e
2. Como a curva de n´ıvel da func¸a˜o f(x, y) = 2x+y−5 associado ao n´ıvel 0, (2x+y−5 =
0).
No primeiro caso estamos dizendo que estamos descrevendo a curva parametricamente
e no segundo caso implicitamente.
Exemplo 1.5. Fac¸a o esboc¸o do trac¸o da curva parametrizada
β : R→ R2
t→ β(t) = (cos t, sen t)
Sol.: Desde que β(0) = (cos 0, sen 0) = (1, 0), em t = 0, o mo´vel esta na posic¸a˜o
(1, 0). Analogamente, evaluando temos que β(pi/4) = (cospi/4, sen pi/4) = (
√
2/2,
√
2/2),
β(pi/2) = (cospi/2, sen pi/2) = (0, 1). Mas ao inve´s de tentar obter um esboc¸o do trac¸o
de β atrave´s de alguns poucos pontos, vamos utilizar a mesma te´cnica desenvolvida no
exerc´ıcio resolvido anterior, isto e´, vamos tentar obter uma equac¸a˜o nas varia´veis x e y
que e´ satisfeita pelos pontos β(t), com t ∈ R. Escrevendo:
x = cos t
y = sen t
⇒ x2 + y2 = cos2 t+ sen2t = 1
6
Figura 1.4: Trac¸o da curva β(t) = (cos t, sen t)
Portanto, o trac¸o da curva β e´ a circunfereˆncia de centro na origem (0, 0) e raio 1.
Exemplo 1.6. Fac¸a um esboc¸o do trac¸o da curva parametrizada
β : [0,∞)→ R2
t→ β(t) = (t cos t, t sen t)
Sol.: Fazendo
x = t cos t
y = t sen t
⇒ x2 + y2 = t2 ⇒ t =
√
x2 + y2
Portanto, a equac¸a˜o cartesiana e´ y =
√
x2 + y2 sen
√
x2 + y2, da qual e´ muito dif´ıcil obter
informac¸o˜es geome´tricas a partir desta formulac¸a˜o impl´ıcita.
Observe que β(t) = (t cos t, t sen t). Assim, para cada t ∈ [0,∞), a expressa˜o (cos t, sen t)
representa um ponto sobre a circunfereˆncia de centro a origem (0, 0) e raio 1. Observe
tambe´m que t representa o aˆngulo orientado entre o segmento de reta unindo a origem
(0, 0) e o ponto (cos t, sen t) e o eixo x. Agora, como estamos multiplicando (cos t, sen t)
por t, o raio deixa de ser 1 e fica sendo t. A medida que variamos o aˆngulo t, mudamos o
valor do raio para t. O trac¸o da curva β tem a forma
Exemplo 1.7. A he´lice e´ o trac¸o da curva parametrizada
α : R→ R3
t→ α(t) = (cos t, sen t, t)
7
Figura 1.5: Trac¸o da Espiral
Sol.: Para fazer um esboc¸o do desenho da he´lice, observe que:
x = cos t
y = sen t
z = t.
Segue-se que x2 + y2 = cos2 t + sen2t = 1, isto e´, as duas primeiras coordenadas de α(t)
satisfazem a equac¸a˜o da circunfereˆncia de centro na origem e raio 1. Concluimos que o
trac¸o da curva α esta´ contido no cilindro circular reto x2 + y2 = 1 em R3 e que a altura
z = t cresce com o tempo t.
Figura 1.6: Trac¸o da He´lice.
8
1.2.1 Exerc´ıcios
1. Ilustre o campo vetorial F dado, esboc¸ando va´rios vetores t´ıpicos do campo.
a) F (x, y) = (x, y)
b) F (x, y) = (x,−y)
c) F (x, y) = (3x,−2y)
d) F (x, y) = (2x− y, y)
e) F (x, y, z) = (x2, y2, z2)
f) F (x, y, z) = (xy2, yz2, zx2)
2. Determine o Jacobiano dos exerc´ıcios do item 1.
3. Determine o conjunto onde as func¸o˜es vetoriais α (curvas parametrizadas) sa˜o
cont´ınuas.
a) α(t) = (5t2, 3t+ 1, 3− t2)
b) α(t) = ((1 + t)2, cos t, 3− t2)
c) α(t) = (
√
t, e−3t, t)
d) α(t) = (1/t, |t− 1|, sen t)
1.3 O vetor tangente a uma curva parametrizada
Seja α(t) = (x1(t), x2(t), x3(t), . . . , xm(t)) uma curva parametrizada em Rm. Se o
parametro t representa o tempo, enta˜o x′j(t) =
dxj
dt
(t) e´ a velocidade instantaˆnea da j-
e´sima coordenada ao longo da curva no instante t. Logo se define o vetor velocidade da
curva em t como:
α′(t) = (x′1(t), x
′
2(t), x
′
3(t), . . . , x
′
m(t))
α′(t) e´ tambe´m o vetor tangente a` curva α.
Exemplo 1.8. Considere a curva
α : R→ R2
t→ α(t) = (cos t, sen t).
O vetor tangente e´ α′(t) = (− sen t, cos t). Quando t = 0 temos que α(0) = (1, 0) e
α′(0) = (0, 1).
Observemos que α(t) · α′(t) = (cos t, sen t) · (− sen t, cos t) = 0.
1.4 Propriedades da derivada de curvas parametriza-
das
Sejam as seguintes func¸o˜es: α : R→ Rm, β : R→ Rm, h : R→ R. Enta˜o:
9
Figura 1.7: Vetor derivada α′(t).
1. (α(t)± β(t))′ = α′(t)± β′(t)
2. (h(t)α(t))′ = h′(t)α(t) + h(t)α′(t)
3. (α(t) · β(t))′ = α′(t) · β(t) + α(t) · β′(t)
4.
(
α(t)
h(t)
)′
=
h(t)α′(t)− h′(t)α(t)(
h(t)
)2
5. (‖α(t)‖)′ = α(t) · α
′(t)
‖α(t)‖ , se α(t) 6= 0. Lembre que ‖v‖ =
√
v · v.
6.
(
α
(
h(t)
))′
=
d
dt
(
α
(
h(t)
))
= α′
(
h(t)
) · h′(t) = d
dt
α
(
h(t)
) · d
dt
h(t).
1.5 Exerc´ıcios
1. Para cada um dos seguintes pares de equac¸o˜es parame´tricas, esboce a curva e de-
termine sua equac¸a˜o cartesiana.
a) x = −1 + t, y = 2− t, t ∈ R
b) x = cos2 t, y = sen2 t, t ∈ R
c) x = t2, y = t3, t ∈ R
d) x = cos t, y = −3 + sen t, t ∈ [0, 2pi]
e) x = 3 cos 2t, y = 2 sen 2t, t ∈ [0, 2pi]
f) x = sec t, y = tan t, t ∈ (− pi
2
, pi
2
)
g) x = −t, y = t, z = t2, t ∈ [−1, 1]
h) x = 3, y = 2 cos 2t, z = 2 sen t, t ∈ R
As equac¸o˜es a) e b) representam a mesma curva?.
2. Fac¸aum esboc¸o das curvas definidas pelas seguintes func¸o˜es vetoriais:
a) α(t) = (cosh t, senh t), t ∈ R
b) α(t) = (2 cos t, 3 sen t, 5), t ∈ [0, 2pi]
c) α(t) = (t, |t|), t ∈ R
d) α(t) = (a cos t, b sen t), t ∈ [0, 2pi)
10
3. A curva parametrizada α(t) = (2t3 − 3t2, t3 − 12t) da´ a posic¸a˜o de uma part´ıcula
que se move no instante t.
a) Escreva uma equac¸a˜o para a reta tangente a` trajeto´ria da part´ıcula no ponto
onde t = 1.
b) Encontre as coordenadas de cada ponto na trajeto´ria onde a componente hori-
zontal da velocidade e´ 0.
1.6 Parametrizac¸a˜o de Curvas
Em geral as curvas na˜o esta˜o dadas na sua forma parame´trica, enta˜o e´ conveniente
parametriza´-las.
Exemplo 1.9. Seja L a reta de R3 que passa pelo ponto P0 = (x0, y0, z0) e e´ paralela ao
vetor v = (v1, v2, v3). Encontre uma parametrizac¸a˜o da reta L.
Sol.: Se P = (x, y, z) ∈ L, enta˜o −→OP = −−→OP0 + t~v para algum t ∈ R, isto e´
(x, y, z) = (x0, y0, z0) + t(v1, v2, v3).
Assim, uma parametrizac¸a˜o de L e´ α(t) = (x0 + tv1, y0 + tv2, z0 + tv3), com t ∈ R. Logo,
suas equac¸o˜es parame´tricas sa˜o:
x = x0 + tv1, t ∈ R
y = y0 + tv2, t ∈ R.
z = z0 + tv3, t ∈ R.
Por outro lado, podemos eliminar o paraˆmetro t nas equac¸o˜es parame´tricas para obter
uma expressa˜o cartesiana da reta L. Se v1, v2, v3, sa˜o na˜o nulos, enta˜o
x− x0
v1
=
y − y0
v2
=
z − z0
v3
,
e´ uma expressa˜o cartesiana da reta L.
Exemplo 1.10. Seja C uma curva de R2 que e´ gra´fico de uma func¸a˜o cont´ınua y = f(x),
x ∈ I ⊂ R.
11
1. Encontre uma parametrizac¸a˜o natural de C.
2. Parametrize a reta 2x− y = 2.
Sol.: Uma parametrizac¸a˜o natural de C e´ α(t) = (t, f(t)), com t ∈ I. Logo, a reta
2x− y = 2 tem uma parametrizac¸a˜o natural: α(t) = (t, 2t− 2), pois y = 2x− 2.
Exemplo 1.11. Sejam α(t) = (t, t2) e β(t) = (t2, t4), t ∈ R equac¸o˜es parame´tricas das
curvas C1 e C2 respectivamente. Elas possuem a mesma equac¸a˜o cartesiana, embora sejam
curvas diferentes.
Sol.: De fato, para C1 temos que sua eq. parame´trica e´ x = t,y = t2, ⇒ x = √y ⇒ y = x2. (1.-8)
Para C2 sua eq. parame´trica e´ x = t2,y = t4, ⇒ t2 = √y ⇒ y = x2, x ≥ 0. (1.-8)
Observamos que C1 esta representada pela para´bola y = x2, x ∈ R e quanto que a
curva C2 esta representada pela porc¸a˜o de para´bola y = x2, x ≥ 0.
1.7 Exerc´ıcios
1. Deˆ uma parametrizac¸a˜o para cada uma das curvas
a) a reta 2x− 3y = 6
b) a para´bola x2 = 4ay
c) a circunfereˆncia (x− a)2 + (y − b)2 = r2
d) a elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1, x ≥ 0.
e) o ramo da hipe´rbole
x2
a2
− y
2
b2
= 1, x ≥ a
f) a reta
x− 1
2
=
y + 1
3
=
z − 1
2
, x ≥ 0.
g) o segmento de reta que liga os pontos
A = (−1, 0, 2) e B = (2, 3, 3)
12
2. Esboce a curva de intersecc¸a˜o das superf´ıcies, e determine uma equac¸a˜o vetorial
para a curva em termos do paraˆmetro x = t.
a) 9x2 + y2 + 9z2 = 81, y = x2 (x > 0) b) y = x, x+ y + z = 1
13
.
14
Cap´ıtulo 2
Integrais de Linha
2.1 Comprimento de Arco
Seja C uma curva em R3 parametrizada por α(t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ [a, b].
Podemos pensar que esta curva e´ a trajetoria descrita por uma part´ıcula se movendo com
velocidade v(t) = ‖α′(t)‖.
Qual e´ o comprimento desta curva quando t varia de a ate´ b?. Intuitivamente, isto
nada mais e´ do que o espac¸o percorrido pela part´ıcula no intervalo do tempo [a, b], isto e´∫ b
a
v(t) dt. Vejamos:
Figura 2.1:
15
Seja P uma partic¸a˜o do intervalo [a, b], isto e´, P = {t0, t1, . . . , tn} onde
a = t0 ≤ t1 ≤ · · · ≤ tn = b e 4t = ti+1 − ti = b− a
n
O comprimento do segmento de reta α(ti) ate´ α(ti+1) e´
‖α(ti+1)− α(ti)‖ =
√
(x(ti+1)− x(ti))2 + (y(ti+1)− y(ti))2 + (z(ti+1)− z(ti))2.
Aplicando o teorema de valor me´dio as func¸o˜es x(t), y(t) e z(t) no intervalo [ti, ti+1],
obtemos t1i , t
2
i , t
3
i ∈ [ti, ti+1] tais que
x(ti+1)− x(ti) = x′(t1i ) (ti+1 − ti)
y(ti+1)− y(ti) = y′(t2i ) (ti+1 − ti)
z(ti+1)− z(ti) = z′(t3i ) (ti+1 − ti)
Logo, o comprimento total da linha poligonal e´
Sn =
n−1∑
i=0
‖α(ti+1)− α(ti)‖
=
n−1∑
i=0
√
(x′(t1i ))2 + (y′(t
2
i ))
2 + (z′(t3i ))2 (ti+1 − ti) (soma de Riemann)
Portanto, o comprimento da curva C e´ o limite de Sn quando n→∞, isto e´,
L(C) = lim
n→∞
Sn =
∫ b
a
√
(x′(t))2 + (y′(t))2 + (z′(t))2 dt
Definic¸a˜o 2.1. O comprimento da curva C ⊂ R3 e´ definido por
L(C) =
∫ b
a
‖α′(t)‖ dt =
∫ b
a
√
(x′(t))2 + (y′(t))2 + (z′(t))2 dt.
Observac¸a˜o 2.1. Analogamente, definiremos o comprimento de uma curva C ⊂ R2 para-
metrizada por α(t) = (x(t), y(t)) com t ∈ [a, b], por:
L(C) =
∫ b
a
√
(x′(t))2 + (y′(t))2 dt.
Exemplo 2.1. O comprimento de uma circunfereˆncia de raio r e´ igual a 2pir.
Sol: De fato, seja C a circunfereˆncia de raio r com centro na origem, parametrizada por
α(t) = (r cos t, r sen t), t ∈ [0, 2pi].
16
E´ simples veˆr que α′(t) = (−r sen t, r cos t) e ‖α′(t)‖ = r, logo
L(C) =
∫ 2pi
0
r dt = 2pir.
Podemos tambe´m calcular o comprimento de C usando a parametrizac¸a˜o
β(t) = (r cos 2pit, r sen 2pit), t ∈ [0, 1]
Neste caso, β′(t) = (−2pir sen 2pit, 2pir cos 2pit) e ‖β′(t)‖ = 2pir, logo
L(C) =
∫ 1
0
2pir dt = 2pir.
2.2 Exerc´ıcios
Encontre o comprimento de arco das seguintes curvas no intervalo de tempo indicado:
1. α(t) = (et cos t, et sen t) t ∈ [0, 2]
2. α(t) = (a(cos t+ t sen t), a(sen t− t cos t)) t ∈ [0, 2pi]
3. α(t) = (sen t, t, 1− cos t) t ∈ [0, 2pi]
4. α(t) = (t, 3t2, 6t3) t ∈ [0, 2]
2.3 Integral de Linha de uma Func¸a˜o Escalar
Sejam f : R3 → R uma func¸a˜o real e C uma curva em R3 que e´ parametrizada por
α(t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ [a, b].
Podemos supor que C representa um arame e f(x, y, z) a densidade (massa por unidade
de comprimento) em cada ponto (x, y, z) ∈ C. O objetivo e´ calcular a massa total do
arame.
Para isto, dividimos o intervalo I = [a, b] por meio de uma partic¸a˜o regular,
a = t0 ≤ t1 ≤ · · · ≤ tn = b e 4t = ti+1 − ti = b− a
n
,
Obtendo assim, uma decomposic¸a˜o de C em curvas Ci definidas em [ti, ti+1]
17
Figura 2.2:
Denotemos por 4si o comprimento da curva Ci, isto e´
4si =
∫ ti+1
ti
‖α′(t)‖ dt.
Pelo Teorema de valor me´dio para integrais, existe ui ∈ [ti, ti+1] tal que
4si = ‖α′(ui)‖ (ti+1 − ti) = ‖α′(ui)‖ 4si
Quando n e´ grande, 4si e´ pequeno e f(x, y, z) pode ser considerada constante em Ci e
igual a f(α(ui)). Portanto, a massa total M e´ aproximada por
Sn =
n−1∑
i=0
f(α(ui))‖α′(ui)‖4ti, (soma de Riemann)
onde Sn e´ a soma de Riemann da func¸a˜o f(α(t))‖α′(t)‖ dt no intevalo [a, b]. Logo, a
massa M e´ calculada por
M =
∫ b
a
f(α(t))‖α′(t)‖ dt.
Definic¸a˜o 2.2. A integral de linha ao longo da curva C ⊂ R3 e´ definido por∫
C
f ds =
∫
C
f(x, y, z) ds =
∫ b
a
f(α(t))‖α′(t)‖ dt.
Exemplo 2.2. Calcule
∫
C
(x2 + y2 + z2) ds, onde C e´ a he´lice parametrizada pela func¸a˜o
α(t) = (cos t, sen t, t), t ∈ [0, 2pi].
Sol. Desde que α(t) e´ de classe C1 em [0, 2pi] temos que α′(t) = (− sen t, cos t, 1). Logo,
ds = ‖α′(t)‖ dt =
√
sen2t+ cos2 t+ 1 dt =
√
2 dt
18
Como f e´ cont´ınua, enta˜o∫
C
(x2 + y2 + z2) ds =
∫ 2pi
0
(cos2 t+ sen2t+ t2)
√
2 dt
=
√
2
∫ 2pi
0
(1 + t2) dt =
√
2
[
t+
t3
3
]2pi
0
=
2
√
2pi
3
(3 + 4pi2)
Se pensarmos na he´lice como um arame e f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 como a densidade de
massa no arame, enta˜o a massa total do arame´ e´
2
√
2pi
3
(3 + 4pi2)
Definic¸a˜o 2.3. A integral de linha ao longo de uma curva C ⊂ R2 definida por uma
func¸a˜o α(t) = (x(t), y(t)) de classe C1 em [a, b] e f(x, y) uma func¸a˜o real cont´ınua definida
em C, e´∫
C
f ds =
∫
C
f(x, y) ds =
∫ b
a
f(α(t))‖α′(t)‖ dt.
Exemplo 2.3. Calcule
∫
C
xy ds, onde C e´ o quarto de c´ırculodo primeiro quadrante
parametrizado por α(t) = (cos t, sen t), t ∈ [0, pi
2
].
Sol. Desde que α(t) e´ de classe C1 em [0, pi/2] temos que α′(t) = (− sen t, cos t). Logo,
ds = ‖α′(t)‖ dt =
√
sen2t+ cos2 t dt = dt
Como f e´ cont´ınua, enta˜o∫
C
xy ds =
∫ pi
2
0
cos t sen t dt =
1
2
sen2t
]pi
2
0
=
1
2
.
Observac¸a˜o 2.2. Quando f(x, y) ≥ 0 , a fo´rmula (2.3) tem como interpretac¸a˜o geome´trica
a a´rea de uma cerca que tem como base a curva C e altura f(x, y) em cada (x, y) ∈ C.
2.4 Exerc´ıcios
1. Calcule
∫
C
fds, onde
a) f(x, y) = x+ y e C e´ a fronteira do triaˆngulo de ve´rtices (0,0), (1,0) e (0,1).
b) f(x, y) = x2 − y2 e C e´ a circunfereˆncia x2 + y2 = 4.
c) f(x, y) = y2 e C tem equac¸o˜es parame´tricas x = t−sen t, y = 1−cos t, 0 ≤ t ≤ 2pi.
19
d) f(x, y, z) = e
√
z e C e´ definida por σ(t) = (1, 2, t2), 0 ≤ t ≤ 1.
e) f(x, y, z) = x + y e C e´ a curva obtida como a intersec¸a˜o do semiplano x =
y, y ≥ 0, com o paraboloide z = x2 + y2, z ≤ 2.
2. Um arame tem a forma da curva obtida como intersec¸a˜o da porc¸a˜o da esfera
x2 + y2 + z2 = 4, y ≥ 0, com o plano x + z = 2. Sabendo-se que a densidade em
cada ponto do arame e´ dada por f(x, y, z) = xy, calcule massa total do arame.
3. Deseja-se construir uma pec¸a de zinco que tem a forma da superf´ıcie do cilindro
x2 + y2 = 4, comprendida entre os planos z = 0 e x+ y+ z = 2, z ≥ 0. se o metro
quadrado de zinco custa M reais, calcule o prec¸o total da pec¸a.
2.5 Integral de Linha de um Campo Vetorial
Sejam F : R3 −→ R3, F (x, y, z) = (F1(x, y, z), F2(x, y, z), F3(x, y, z)) um campo
vetorial e C uma curva em R3, definida por α(t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ [a, b].
Para motivar a definic¸a˜o de integral de linha de F ao longo de C, suponhamos que F
representa um campo de forc¸as e calculemos o trabalho realizado pela forc¸a F ao deslocar
uma part´ıcula ao longo de C.
Quando C e´ um segmento de reta ligando o ponto A ao ponto B e F e´ uma forc¸a
constante, sabemos que o trabalho realizado pela forc¸a F ao deslocar uma part´ıcula ao
longo de C e´ dado por
W = F · −→AB = forc¸a × deslocamento.
Figura 2.3:
Quando C na˜o e´ um segmento de reta, podemos aproxima´-la por uma linha poligonal
com veˆrtices em C, de modo que para n grande 4ti = ti+1 − ti seja pequeno. Assim, o
20
Figura 2.4:
deslocamento da part´ıcula de α(ti) a α(ti+1) e´ aproximado pelo vetor
4si = α(ti+1)− α(ti).
Logo, F pode ser considerado constante e igual a F (α(ti)) no intervalo [ti, ti+1].
Supondo que α′(t) existe para todo t ∈ [a, b], enta˜o pela definic¸a˜o de derivada, temos
que
4si ≈ α′(ti) 4ti
Portanto, o trabalho realizado para deslocar uma part´ıcula de α(ti) ate´ α(ti+1) e´ aproxi-
madamente
F (α(ti))4si ≈ F (α(ti)) α′(ti) 4ti.
Assim, o trabalho W realizado pela forc¸a F ao deslocar uma part´ıcula ao longo de C e´:
W = lim
n−→∞
(n−1∑
i=0
F (α(ti)) α
′(ti) 4ti
)
Logo,
W =
∫ b
a
F (α(t)) · α′(t) dt.
Definic¸a˜o 2.4. Seja C ⊂ R3 uma curva parametrizada por α(t) = (x(t), y(t), z(t)) com
t ∈ [a, b], onde α e´ de classe C1, e F (x, y, z) = (F1(x, y, z), F2(x, y, z), F3(x, y, z)) um
campo vetorial cont´ınuo definido em C. Definimos a integral de linha de F ao longo de
C por∫
C
F · dr =
∫ b
a
F (α(t)) · α′(t) dt.
21
Se a curva C e´ fechada, isto e´ α(a) = α(b) a integral de linha e´ denotada por
∮
C
F · dr.
Note que ao usarmos as componentes de F e de α, a equac¸a˜o (2.4) se escreve∫
C
F · dr =
∫ b
a
F1(α(t)) x
′(t) dt+
∫ b
a
F2(α(t)) y
′(t) dt+
∫ b
a
F3(α(t)) z
′(t) dt.
=
∫
C
F1 dx+
∫
C
F2 dy +
∫
C
F3 dz
Observac¸a˜o 2.3. Se C e´ uma curva no plano xy parametrizada por α(t) = (x(t), y(t))
com t ∈ [a, b], a integral de linha de F (x, y) = (F1(x, y), F2(x, y)) ao longo de C e´ dada
por ∫
C
F · dr =
∫
C
F1 dx+
∫
C
F2 dy
Exemplo 2.4. Calcule
∫
C
F · dr, onde F (x, y, z) = (x, y, z) e C e´ a curva parametrizada
por α(t) = (sen t, cos t, t), t ∈ [0, 2pi].
Sol. Desde que F e´ cont´ınua em R3 e α′(t) = (cos t,− sen t, 1), temos∫
C
F · dr =
∫ 2pi
0
(sen t, cos t, t) · (cos t,− sen t, 1) dt =
∫ 2pi
0
t dt = 2pi2
Propriedades
1.
∫
C
F · dr = −
∫
C−
F · dr, onde C− e´ a curva C com orientac¸a˜o oposta.
2.
∫
C
(aF + bG) · dr = a
∫
C
F · dr + b
∫
C
G · dr
3. Se C admite uma decomposic¸a˜o num nu´mero finito de curvas C1, C2, . . . , Cn, isto
e´, C = C1 ∪ C2 ∪ · · · ∪ Cn, enta˜o:∫
C
F · dr =
∫
C1
F · dr +
∫
C2
F · dr + · · ·+
∫
Cn
F · dr
Exemplo 2.5. Considere C a fronteira de um quadrado no plano xy de ve´rtices (0, 0), (1, 0),
(1, 1), (0, 1), orientada no sentido anti-hora´rio. Calcule a integral de linha∫
C
x2 dx+ xy dy =
∫
C
x2 dx+
∫
C
xy dy.
22
Sol. A curva C e´ decomposta em quatro segmentos de reta que podem ser parametrizados
por:
α1(t) = (t, 0), 0 ≤ t ≤ 1
α2(t) = (1, t), 0 ≤ t ≤ 1
α3(t) = (−t, 1), −1 ≤ t ≤ 0
α4(t) = (0,−t), −1 ≤ t ≤ 0.
Assim, para F (x, y) = (x2, xy) e dr = (dx, dy), temos
Figura 2.5:∫
C1
x2 dx+ xy dy =
∫ 1
0
t2 dt =
1
3∫
C2
x2 dx+ xy dy =
∫ 1
0
t dt =
1
2∫
C3
x2 dx+ xy dy =
∫ 0
−1
−t2 dt = −1
3∫
C4
x2 dx+ xy dy =
∫ 0
−1
0 dt = 0.
Logo, ∫
C
x2 dx+ xy dy =
1
3
+
1
2
− 1
3
=
1
2
2.6 Exerc´ıcios
Calcule
∫
C
F.dr, onde
1) F (x, y) = (x2 − 2xy, y2 − 2xy) e C e´ a para´bola y = x2 de (-2,4) a (1,1).
23
2) F (x, y) =
(
x√
x2 + y2
,
y√
x2 + y2
)
e C e´ a circunfereˆncia de centro na origem e
raio a, percorrida no sentido anti-hora´rio.
3) F (x, y) = (y + 3x, 2y − x) e C e´ a elipse 4x2 + y2 = 4, percorrida no sentido
anti-hora´rio.
4) F (x, y) = (x2 + y2, x2 − y2) e C e´ a curva de equac¸a˜o y = 1 − |1 − x| de (0,0) a
(2,0).
5) F (x, y, z) = (yz, xz, x(y + 1)) e C e´ a fronteira do triaˆngulo de ve´rtices (0,0,0),
(1,1,1) e (-1,1,,-1), percorrida nesta ordem.
6) F (x, y, z) = (xy, x2 + z, y2 − x) e C e´ a curva obtida como intersec¸a˜o do cone
x2 + y2 = z2, z ≥ 0, com o cilindro x = y2 de (0,0,0) a (1, 1,√2).
7) Calcule o trabalho realizado pelo campo de forc¸as F (x, y) = (x2−y2, 2xy) ao mover
uma part´ıcula ao longo da fronteira do quadrado limitado pelos eixos coordenados e pelas
retas x = a e y = a (a > 0) no sentido anti-hora´rio.
8) Calcule o trabalho realizado pelo campo de forc¸as F (x, y, z) = (y2, z2, x2) ao longo
da curva obtida como intersec¸a˜o da esfera x2 + y2 + z2 = a2 com o cilindro x2 + y2 = ax,
onde z ≥ 0 e a ≥ 0. A curva e percorrida em sentido anti-hora´rio quando vista do plano
xy.
2.7 Campos Conservativos
Definic¸a˜o 2.5. Um campo vetorial F : Ω ⊂ Rn −→ Rn denomina-se conservativo se
existe um campo escalar diferencia´vel f : Ω ⊂ Rn −→ R tal que:
5f = F, em Ω.
Teorema 2.1. Seja F um campo vetorial cont´ınuo definido num subconjunto aberto U ⊂
R3 para o qual existe uma func¸a˜o real f tal que 5f = F, em U . Se C e´ uma curva em U
com ponto inicial e final A e B, respectivamente, parametrizada por uma func¸a˜o α(t) de
classe C1 por partes, enta˜o∫
C
F · dr =
∫
C
∇f · dr = f(B)− f(A)
24
O campo vetorial F do teorema anterior e´ chamado campo gradiente ou campo
conservativo e a func¸a˜o f , uma func¸a˜o potencial.
2.7.1 Construc¸a˜o de uma Func¸a˜o Potencial usando Integrais In-
definidas
Se F = (F1, F2, F3) e´ um campo vetorial gradiente de uma func¸a˜o potencial f num
aberto U ⊂ R3, enta˜o:
∇f = F
ou
∂f
∂x
= F1
∂f
∂y
= F2
∂f
∂z
= F3
Usando integrais indefinidas e integrando (2.7.1) em relac¸a˜o a x (mantendo y e z cons-
tantes) obtemos:
f(x, y, z) =
∫
F1(x, y, z) dx+ A(y, z),
onde A(y, z) e´ uma constante de integrac¸a˜o a ser determinada. Analogamente integrando
(2.7.1)e (2.7.1) em relac¸a˜o a y e z respectivamente, obtemos
f(x, y, z) =
∫
F2(x, y, z) dy +B(x, z),
e
f(x, y, z) =
∫
F3(x, y, z) dz + C(x, y),
onde B(x, z) e C(x, y) sa˜o func¸o˜es a serem determinadas.
Para encontrar f devemos determinar A(y, z), B(x, z) e C(x, y) de modo que as
equac¸o˜es (2.7.1), (2.7.1) e (2.7.1) tenham o mesmo lado direito.
Exemplo 2.6. Considere o campo gradiente F (x, y) = (e−y − 2x,−xe−y − sen y). Calcule∫
C
F · dr, onde C e´ qualquer curva de classe C1 por partes de A = (pi, 0) ate´ B = (0, pi).
25
Sol. Se existe f tal que ∇f = F , pelo Teorema anterior,∫
C
F · dr = f(0, pi)− f(pi, 0)
temos que
∂f
∂x
(x, y) = e−y − 2x
∂f
∂y
(x, y) = −xe−y − sen y.
Integrando em relac¸a˜o a x e y respectivamente obtemos:
f(x, y) = xe−y − x2 + A(y)
f(x, y) = xe−y + cos y +B(x)
Por inspec¸a˜o, resulta que A(y) = cos y e B(x) = −x2 verificam as equac¸o˜es (2.7.1) e
(2.7.1). Portanto, a func¸a˜o potencial e´
f(x, y) = xe−y + cos y − x2.
Logo, ∫
C
F · dr = f(0, pi)− f(pi, 0) = −1− (pi + 1− pi2) = pi2 − pi − 2.
2.8 Exerc´ıcios
Determine a func¸a˜o potencial para cada campo gradiente F dado.
1) F (x, y) = (ex sen y, ex cos y).
2) F (x, y) = (2xy2 − y3, 2x2y − 3xy2 + 2).
3) F (x, y, z) = (y + z, x+ z, x+ y).
4) F (x, y, z) = (y sen z, x sen z, xy cos z).
5) Calcule ∫ (2,2,pi
4
)
(1,1, 3pi
4
)
y sen zdx+ x sen zdy + xy cos zdz
26
Cap´ıtulo 3
Integrais Multiplas
3.1 Integrais Duplas
3.1.1 Integrais Duplas sobre um Retaˆngulo
Seja z = f(x, y) uma func¸a˜o definida no retaˆngulo
R = [a, b]× [c, d] = {(x, y) ∈ R2/a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}
Seja f(x, y) ≥ 0 em R, isto e´, o gra´fico de z = f(x, y) e´ uma superf´ıcie situada acima do
retaˆngulo R. Esta superf´ıcie, o retaˆngulo R e os quatro planos x = a, x = b, y = c e
y = d formam a fronteira de uma regia˜o W do espac¸o.
Figura 3.1:
Assumindo que a regia˜o W assim definida possui um volume, chamamos este volume
27
de integral dupla de f sobre o retaˆngulo R e o denotamos por∫ ∫
R
f(x, y) dx dy ou
∫ ∫
R
f(x, y) dA.
3.1.2 Ca´lculo da Integral Dupla pelo Me´todo das Somas de Rie-
mann
Consideremos P1 e P2 duas partic¸o˜es regulares de ordem n de [a, b] e [c, d] respectiva-
mente, isto e´ P1 = {x0, x1, x2 . . . , xn} e P2 = {y0, y1, y2 . . . , yn}, onde
a = x0 ≤ x1 ≤ · · · ≤ xn = b com 4x = xi+1 − xi = b− a
n
e
c = y0 ≤ y1 ≤ · · · ≤ yn = d com 4y = yj+1 − yj = d− c
n
O produto cartesiano P1 × P2 e´ dita uma partic¸a˜o regular de ordem n do retaˆngulo
R = [a, b]× [c, d]. Esta partic¸a˜o decompo˜e o retaˆngulo R em n2 subretaˆngulos.
Figura 3.2: Partic¸a˜o de ordem n = 4
Suponhamos que z = f(x, y) e´ uma func¸a˜o real limitada em R, (isto e´, existe M >
0, tal que |f(x, y)| ≤ M , para todo (x, y) ∈ R). Denotemos por Rjk o subretaˆngulo
[xj, xj+1]× [yk, yk+1] e cjk um ponto qualquer em Rjk. Formemos a soma
Sn =
n−1∑
k=0
(n−1∑
j=0
f(cjk) 4 x 4y
)
=
n−1∑
j,k=0
f(cjk)4x 4y =
n−1∑
j,k=0
f(cjk) dA,
onde 4x = xi+1 − xi = b− a
n
, 4y = yj+1 − yj = d− c
n
e 4A = 4x 4y.
Sn e´ chamada soma de Riemann de f sobre R.
28
Definic¸a˜o 3.1. Se lim
n−→∞
n−1∑
j,k=0
f(cjk) dA existe dizemos que f e´ integra´vel sobre R e
escrevemos∫ ∫
R
f(x, y) dx dy = lim
n−→∞
n−1∑
j,k=0
f(cjk) dA
3.1.3 Integrais Iteradas
Teorema 3.1. (Teorema de Fubini). Se a func¸a˜o z = f(x, y) e´ cont´ınua no retaˆngulo
R = [a, b]× [c, d] enta˜o a integral dupla de f sobre R pode ser obtida atrave´s de integrais
iteradas, ou seja∫ ∫
R
f(x, y) dx dy =
∫ b
a
(∫ d
c
f(x, y) dy
)
dx =
∫ d
c
(∫ b
a
f(x, y) dx
)
dy
Este Teorema indica como calcular uma integral dupla por meio de duas integrac¸o˜es
simples sucessivas (ou iteradas) que podem ser calculadas aplicando-se o teorema funda-
mental do ca´lculo.
Exemplo 3.1. Calcule
∫∫
R
(4x3 + 6xy2) dy dx no retaˆngulo R = [1, 3]× [−2, 1].
Sol. Usando o Teorema de Fubini temos no retaˆngulo R = [1, 3]× [−2, 1] que:
Figura 3.3:
29
∫ ∫
R
(4x3 + 6xy2) dy dx =
∫ 3
1
(∫ 1
−2
(4x3 + 6xy2) dy
)
dx
=
∫ 3
1
[
(4x3y + 2xy3)
]1
−2
dx
=
∫ 3
1
[
(4x3 + 2x)− (−8x3 − 16x)
]
dx
=
∫ 3
1
(12x3 + 18x) dx =
[
3x4 + 9x2
]3
1
= 312
ou ∫ ∫
R
(4x3 + 6xy2) dy dx =
∫ 1
−2
(∫ 3
1
(4x3 + 6xy2) dx
)
dy
=
∫ 1
−2
[
(x4 + 3x2y2)
]3
1
dy
=
∫ 1
−2
[
(81 + 27y2)− (1 + 3y2)
]
dy
=
∫ 1
−2
(80 + 24y2) dy =
[
80y + 8y3
]1
−2
= 312.
Exemplo 3.2. Calcule as seguintes integrais
1.
∫ pi
0
∫ pi/2
0
cosx cos y dy dx
2.
∫ 1
0
∫ pi/2
0
(ey + senx) dx dy.
Sol. Usando o Teorema de Fubini na primeira integral, temos que:∫ pi
0
∫ pi/2
0
cosx cos y dy dx =
∫ pi
0
(∫ pi/2
0
cosx cos y dy
)
dx
=
∫ pi
0
[
cosx sen y
]pi/2
0
dx
=
∫ pi
0
[
cosx− 0
]
dx =
∫ pi
0
cosx dx
=
[
senx
]pi
0
= 0.
30
Figura 3.4: Domı´nio da primeira integral
Usando o Teorema de Fubini na segunda integral, temos que:∫ 1
0
∫ pi/2
0
(ey + senx) dx dy =
∫ 1
0
(∫ pi/2
0
(ey + senx) dx
)
dy
=
∫ 1
0
[
(xey − cosx)
]pi/2
0
dy
=
∫ 1
0
[(
pi
2
ey − 0
)
− (0− 1)
]
dy
=
∫ 1
0
[
pi
2
ey + 1
]
dy =
[
pi
2
ey + y
]1
0
=
pi
2
e+ 1− pi
2
=
pi
2
(e− 1) + 1.
Figura 3.5: Domı´nio da segunda integral
31
3.1.4 Integrac¸a˜o sobre Regio˜es mais Gerais
Definic¸a˜o 3.2. Uma regia˜o D do plano xy e´ chamada regia˜o de tipo I ou regia˜o
verticalmente simples se e´ descrita do seguinte modo
D = {(x, y) ∈ R2 / a ≤ x ≤ b e ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2(x)},
onde ϕ1 e ϕ2 sa˜o func¸o˜es cont´ınuas em [a, b] e ϕ1 ≤ ϕ2.
Figura 3.6: Regia˜o de tipo I
Definic¸a˜o 3.3. Uma regia˜o D do plano xy e´ chamada regia˜o de tipo II ou regia˜o
horizontalmente simples se e´ descrita do seguinte modo
D = {(x, y) ∈ R2 / c ≤ y ≤ d e ψ1(y) ≤ x ≤ ψ2(y)},
onde ψ1 e ψ2 sa˜o func¸o˜es cont´ınuas em [c, d] e ψ1 ≤ ψ2
Figura 3.7: Regia˜o de tipo II
32
Teorema 3.2. Seja f uma func¸a˜o definida e cont´ınua num subconjunto limitado e fechado
D ⊂ R2.
(i) Se D e´ uma regia˜o de tipo I, enta˜o:∫ ∫
D
f(x, y) dx dy =
∫ b
a
(∫ ϕ2(x)
ϕ1(x)
f(x, y) dy
)
dx.
(ii) Se D e´ uma regia˜o de tipo II, enta˜o:∫ ∫
D
f(x, y) dx dy =
∫ d
c
(∫ ψ2(y)
ψ1(y)
f(x, y) dx
)
dy.
Observac¸a˜o 3.1. Se f(x, y) = 1 para todo (x, y) ∈ D, enta˜o a integral
∫ ∫
D
1 dx dy e´ a
a´rea de D.
Exemplo 3.3. Calcule de duas maneiras diferentes a integral
∫∫
D
xy2 dx dy, onde D e´ uma
regia˜o do primeiro quadrante limitada pelas curvas y =
√
x e y = x3.
Sol. Consideremos por separado as regio˜es:
Tipo I: D = {(x, y) ∈ R2 / 0 ≤ x ≤ 1 e x3 ≤ y ≤ √x}. Enta˜o,
Figura 3.8: Regia˜o de tipo I para o exemplo 3.3
∫ ∫
D
xy2 dx dy =
∫ 1
0
∫ √x
x3
xy2 dy dx =
∫ 1
0
[
x
y3
3
]√x
x3
dx
=
∫ 1
0
[
x (
√
x)3
3
− x x
9
3
]
dx =
∫ 1
0
[
x5/2
3
− x
10
3
]
dx
=
1
3
[
2
7
x7/2 − 1
11
x11
]1
0
=
1
3
[
2
7
− 1
11
]
=
5
77
.
33
Figura 3.9: Regia˜o de tipo II para o exemplo 3.3
Tipo II: D = {(x, y) ∈ R2 / 0 ≤ y ≤ 1 e y2 ≤ x ≤ 3√y}. Enta˜o,∫ ∫
D
xy2 dx dy =
∫ 1
0
∫ 3√y
y2
xy2 dx dy =
∫ 1
0
[
x2
2
y2
] 3√y
y2
dy
=
∫ 1
0
[
y2/3
2
y2 − y
2
2
y4
]
dy =
∫ 1
0
[
y8/3
2
− y
6
2
]
dy
=
1
2
[
3
11
y11/3 − y
7
7
]1
0
=
1
2
[
3
11
− 1
7
]
=
5
77
.
Exemplo 3.4. Calcule a integral
∫∫
D
y dy dx, onde D e´ uma regia˜o do primeiro quadrante
limitada pelas curvas y = 0 e y = senx,quando x ∈ [0, pi].
Sol. Consideremos D como uma regia˜o de tipo I
D = {(x, y) ∈ R2 / 0 ≤ x ≤ pi e 0 ≤ y ≤ senx}.
Desde que sen2x =
1− cos 2x
2
temos
∫ ∫
D
y dy dx =
∫ pi
0
∫ senx
0
y dy dx =
∫ pi
0
[
y2
2
]senx
0
dx =
∫ pi
0
sen2x
2
dx
=
1
4
∫ pi
0
(1− cos 2x) dx = 1
4
[
x− sen 2x
2
]pi
0
=
1
4
(pi − 0) = pi
4
.
34
Figura 3.10: Regia˜o D
3.2 Exerc´ıcios
1. Determine as regio˜es de integrac¸a˜o e calcule as integrais iteradas dos seguintes pro-
blemas
a)
∫ 2
−1
∫ 3
1
3x+ 4y dx dy
b)
∫ 3
0
∫ 3
0
xy + 7x+ y dx dy
c)
∫ 2
0
∫ 4
2
x2y2 − 17 dx dy
d)
∫ 3
1
∫ 1
−3 x
3y − xy3 dx dy
e)
∫ pi/2
0
∫ pi/2
0
senx cos y dx dy
f)
∫ pi/2
0
∫ pi/2
0
cosx sen y dy dx
g)
∫ 1
0
∫ pi
0
ex sen y dy dx
h)
∫ pi/2
0
∫ pi/2
0
(y − 1) cosx dx dy
i)
∫ pi/2
0
∫ e
1
sen y
x
dx dy
2. Calcular o valor das integrais duplas das seguintes func¸o˜es nas regio˜es indicadas
a) f(x, y) = x+ y; R = [0, 1]× [1, 2]
b) f(x, y) = ex+y; R = [0, ln 2]× [0, ln 3]
c) f(x, y) = 2xy − 3y2; R = [−1, 1]× [−2, 2]
3. Calcule as integrais, para as regio˜es dadas
a)
∫∫
R
y2 sen(x2); R limitada por y = x1/3; y = −x1/3 e x = 8.
b)
∫∫
R
cos(y3) dx dy; R limitada por y = x1/2; y = 2 e x = 0.
c)
∫∫
R
(x+ 2y) dx dy; R limitada por y = x−2; y = 1 e y = 4.
d)
∫∫
R
y−2ex/
√
y dx dy; R e´ o quadrado [0, 1]× [1, 2]
4. As integrais abaixo na˜o podem ser calculadas exatamente, em termos de func¸o˜es
elementares, com a ordem de integrac¸a˜o dada. Inverta a ordem de integrac¸a˜o e fac¸a
os ca´lculos.
35
a)
∫ 1
0
∫ 1
y
ex
2
dx dy b)
∫ 1
0
∫ 1
x
sen y
y
dy dx
5. Calcule a a´rea da regia˜o limitada pelas curvas
a) y = x2, y = 2x+ 3
b) y = 6x− x2, y = 2x+ 3
c) y = x2 + 1, y = 2x+ 3
d) y = 2x2 − 3, y = 2x+ 3
e) y = x2 + 1, y = 2x+ 3
f) y = x, y = 2x, xy = 2
3.3 Mudanc¸a de Varia´veis na Integral Dupla
Motivac¸a˜o: Na integrac¸a˜o de func¸o˜es de uma varia´vel, usamos o me´todo de substituic¸a˜o
para simplificar a integral
∫ b
a
f(x) dx. Este me´todo e´ baseado na fo´rmula∫ b
a
f(x) dx =
∫ d
c
f(T (u))T ′(u) du, (3.-22)
onde x = T (u) e dx = T ′(u) du.
Exemplo 3.5. Em (3.3) para f(x) =
1√
1− x2 , temos:∫ 1
0
dx√
1− x2 =
∫ pi/2
0
cosu du√
1− sen2 u =
∫ pi/2
0
du =
pi
2
;
sempre que T : [0, pi/2] −→ [0, 1], com
T (u) = senu = x, T ′(u) = cosu du = dx.
Para func¸o˜es de duas varia´veis uma mudanc¸a de varia´veis fica determinada por uma
transformac¸a˜o T do plano uv para o plano xy. Suponha-se que se queira calcular a integral
dupla ∫ ∫
D
f(x, y) dx dy
Definamos uma transformac¸a˜o T de uma regia˜o Q do plano uv em uma regia˜o D = T (Q)
definida por
T : Q −→ D, T (u, v) = (x(u, v), y(u, v)).
36
A condic¸a˜o de T e´ que ela seja uma transformac¸a˜o injetiva (ou um a um), isto e´, dois
pontos diferentes no plano uv nunca tem o mesmo ponto imagem no plano xy.
Teorema 3.3. (Mudanc¸a de Varia´veis) Seja T (u, v) = (x(u, v), y(u, v)) uma trans-
formac¸a˜o, onde x e y sa˜o func¸o˜es de classe C1 num subconjunto Q de R2 tal que
1. T e´ injetora em Q.
2. O determinante do jacobiano da transformac¸a˜o T e´ diferente de zero, i.e:
det JT (u, v) =
∣∣∣∣∣∣
∂x
∂u
∂x
∂v
∂y
∂u
∂y
∂v
∣∣∣∣∣∣ 6= 0 em Q.
Se f e´ integra´vel em T (Q), enta˜o:∫ ∫
T(Q)=D
f(x, y) dx dy =
∫ ∫
Q
f(T (u, v)) |det JT (u, v)| du dv
=
∫ ∫
Q
f(x(u, v), y(u, v)) |det JT (u, v)| du dv.
Exemplo 3.6. Calcule
∫ ∫
D
e
y−x
y+x dx dy onde D e´ a regia˜o triangular limitada pela reta
y + x = 2 e os eixos coordenados.
Sol. Definimos a transformac¸a˜o a partir dos dados: u = y − x,v = y + x, =⇒ x = v − u2 e y = u+ v2 .
37
Deste modo,
T (u, v) = (x(u, v), y(u, v)) =
(
v − u
2
,
u+ v
2
)
T−1(x, y) = (u(x, y), v(x, y)) = (y − x, y + x).
Por outro lado, sabemos por propriedade de determinantes que
det JT (u, v) =
1
det JT−1(x, y)
.
Logo,
det JT−1(x, y) =
∣∣∣∣∣∣
∂u
∂x
∂u
∂y
∂v
∂x
∂v
∂y
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣−1 11 1
∣∣∣∣∣∣ = −2 6= 0
e
det JT (u, v) =
∣∣∣∣∣∣
∂x
∂u
∂x
∂v
∂y
∂u
∂y
∂v
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣−
1
2
1
2
1
2
1
2
∣∣∣∣∣∣ = −12 6= 0.
Consequentemente, para f(x, y) = e
y−x
y+x temos de (3.3) que:∫ ∫
D
e
y−x
y+x dx dy =
1
2
∫ ∫
Q
e
u
v du dv =
1
2
∫ 2
0
∫ v
−v
e
u
v du dv
=
1
2
∫ 2
0
v(e− e−1) dv = e− e−1.
Exemplo 3.7. Calcule
∫ ∫
D
(x2 + y2) dx dy onde D e´ a regia˜o no primeiro quadrante
limitada pelas curvas (hiperboles) xy = 1, xy = 3, x2 − y2 = 1, x2 − y2 = 4.
Sol. Definimos a transformac¸a˜o a apartir dos dados u = xy,v = x2 − y2, =⇒ (x2+y2)2 = 4u2+v2 =⇒ x2+y2 =
√
4u2 + v2.
38
E´ claro que T−1(x, y) = (u(x, y), v(x, y)) = (xy, x2 − y2) e
det JT−1(x, y) =
∣∣∣∣∣∣
∂u
∂x
∂u
∂y
∂v
∂x
∂v
∂y
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣ y x2x −2y
∣∣∣∣∣∣ = −2(x2 + y2) 6= 0
Logo, por propriedade de determinantes
det JT (u, v) =
1
det JT−1(x, y)
= − 1
2(x2 + y2)
= − 1
2(4u2 + v2)
6= 0.
Consequentemente, para f(x, y) = x2 + y2 temos de (3.3) que:∫ ∫
D
(x2 + y2) dx dy =
∫ 3
1
∫ 4
1
√
4u2 + v2
1
2
√
4u2 + v2
dv du =
∫ 3
1
∫ 4
1
1
2
dv du
= 3.
3.4 Mudanc¸a em Coordenadas Polares
Um sistema de coordenadas polares no plano consiste de um ponto O fixo, chamado de
po´lo (ou origem) e de um raio que parte do po´lo chamado eixo polar. Em tal sistema de
coordenadas podemos associar a cada ponto P do plano um par de coordenadas polares
(r, θ), onde r e´ chamado de coordenada radial de P enquanto θ e´ a coordenada
angular (ou aˆngulo polar) de P
A relac¸a˜o entre as coordenadas polares e um sistema retaˆngular e´ dado por x = r cos θy = r sen θ.
39
Estas equac¸o˜es permitem encontrar x e y quando forem dados r e θ.
Entretanto, para encontrar r e θ a partir de x e y e´ prefer´ıvel usar as identidades
sen2θ + cos2 θ = 1 e tan θ =
sen θ
cos θ
.
de modo que (3.4) pode-se reescrever como
r2 = x2 + y2 e tan θ =
y
x
.
Observac¸a˜o 3.2. O nome de coordenadas polares decorre do fato de que o gra´fico, no
plano, da equac¸a˜o r = c representa um c´ırculo de raio c com centro no po´lo.
Seja a transformac¸a˜o T : (0,∞)× [θ0, θ0 + 2pi] −→ R2, dada por
T (r, θ) = (x(r, θ), y(r, θ))
onde x = r cos θ e y = r sen θ. T assim definida e´ injetora e
40
det JT (u, v) =
∣∣∣∣∣∣
∂x
∂r
∂x
∂θ
∂y
∂r
∂y
∂θ
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣cos θ −r sen θsen θ r cos θ
∣∣∣∣∣∣ = r(cos2 θ + sen2θ) = r.
Enta˜o, de (3.3)∫ ∫
T(Q)=D
f(x, y) dx dy =
∫ ∫
Q
f
(
x(r, θ), y(r, θ)
)
r dr dθ
=
∫ ∫
Q
f
(
r cos θ, r sen θ
)
r dr dθ.
Exemplo 3.8. Calcule
∫ ∫
D
ln(x2 + y2) dxdy onde D e´ a regia˜o no primeiro quadrante
limitada pelas circunfereˆncias x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4.
Sol. Usando a mudanc¸a polar x = r cos θ e y = r sen θ temos que
Q = {(r, θ) ∈ R2/ 1 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ pi
2
} e D = T (Q)
Logo, de (3.4), temos:∫ ∫
D
ln(x2 + y2) dx dy =
∫ ∫
Q
ln(r2) r dr dθ =
∫ 2
1
∫ pi/2
0
ln(r2) r dθ dr
=
pi
2
∫ 2
1
ln(r2) r dr = pi
∫ 2
1
r ln(r) dr
= pi
(
r2
2
ln r
∣∣∣∣2
1
−
∫ 2
1
r
2
dr
)
integrac¸a˜o por partes
= pi
(
2 ln 2− 3
4
)
=
pi
4
(8 ln 2− 3).
41
Exemplo 3.9. Calcule o volume do so´lido W acima do plano xy limitado pelo paraboloide
z = x2 + y2 e pelo cilindro x2 + y2 = 2y.
Sol. Completando quadrados na equac¸a˜o do cilindro x2 + y2 − 2y = 0 obtem-se x2 +
(y − 1)2 = 1. Portanto, se (x, y, z) ∈ W , enta˜o
0 ≤ z ≤ x2 + y2, sempre que (x, y) ∈ D = {(x, y) ∈ R2/ x2 + (y − 1)2 ≤ 1}.
Usando a mudanc¸a polartemos que a fronteira de D cuja equac¸a˜o e´ x2 + (y− 1)2 = 1
e´ a imagem da curva r = 2 sen θ e 0 ≤ θ ≤ pi.
Logo, de (3.4) temos que o volume de W e´
vol (W ) =
∫ ∫
D
(x2 + y2) dx dy =
∫ ∫
Q
r3 dr dθ,
onde Q = {(r, θ) ∈ R2/ 0 ≤ r ≤ 2 sen θ, 0 ≤ θ ≤ pi}. Assim,
vol (W ) =
∫ pi
0
∫ 2 sen θ
0
r3 dr dθ =
∫ pi
0
r4
4
∣∣∣∣2 sen θ
0
dθ =
∫ pi
0
4 sen4θ dθ =
3pi
2
.
42
Observac¸a˜o 3.3. Para integrar
∫
sen4θ dθ usar a identidade:
sen4θ = sen2θ sen2θ =
(1− cos 2θ)
2
(1− cos 2θ)
2
=
1
4
(1− 2 cos 2θ + cos2 2θ)
=
1
4
(
1− 2 cos 2θ + 1 + cos 4θ
2
)
=
1
8
(
2− 4 cos 2θ + 1 + cos 4θ
)
=
1
8
(
3− 4 cos 2θ + cos 4θ
)
3.5 Exerc´ıcios
1. Calcular a a´rea do quadrila´tero curvil´ıneo limitado pelos arcos das para´bolas
x2 = ay, x2 = by, y2 = αx, y2 = βx (0 < a < b, 0 < α < β). (Sugesta˜o:
Fazer a mudanc¸a de varia´veis u = x2/y e v = y2/x).
2. Considere a transformac¸a˜o definida por x = uv e y = v − u
a) Determine a imagem D no plano xy do retaˆngulo Q no plano uv de ve´rtices
(0, 1), (1, 1), (1, 2) e (0, 2).
b) Calcule a a´rea de D.
3. Considere transformac¸a˜o T definida pelas equac¸o˜es x = u+ v e y = v − u2.
a) Utilizando T calcule
∫∫
D
(
x− y + 1
4
)−1/2
dxdy, onde D e´ a imagem no plano xy
da regia˜o Q no plano uv limitada pelas retas u = 0, v = 0 e u+ v = 2.
b) Descreva e esboce a regia˜o D.
43
4. Calcular
∫ ∫
D
cos
(x− y
x+ y
)
dxdy, onde D e´ a regia˜o do plano xy limitada por
x+ y = 1, x = 0 e y = 0.
5. Calcular
∫ ∫
D
y + 2x√
y − 2x− 1 dxdy, onde D e´ a regia˜o do plano xy limitada pelas retas
y − 2x = 2, y + 2x = 2, y − 2x = 1 e y + 2x = 1.
6. Calcule
∫ ∫
D
(2x + 1) dxdy, onde D e´ a regia˜o no primeiro quadrante do plano xy
limitada pelas curvas y = x2, y = x2 + 1, x+ y = 1 e x+ y = 2.
7. Calcule
∫ ∫
D
y dxdy, onde D e´ a regia˜o do plano xy limitada pelas para´bolas
x = y2 − 1, x = 1− y2, e x = 4− y2/4.
8. Expresse em coordenadas polares as equac¸o˜es retangulares dadas.
a) x = 4
b) x = 3y
c) xy = 1
d) y = x2
e) y = 6
f) x2 + y2 = 25
g) x2 − y2 = 1
h) x+ y = 4
9. Expresse em coordenadas retangulares a equac¸a˜o polar dada.
a) r = 3
b) r = −5 cos θ
c) r = 1− cos 2θ
d) r = 3 sec θ
e) θ = 3pi/4
f) r = sen 2θ
g) r = 2 + sen θ
h) r2 = cos 2θ
10. Calcule a integral dada, transformando-a primeiro em coordenadas polares.
a)
∫ 1
0
∫ √1−y2
0
1
1 + x2 + y2
dx dy
b)
∫ 2
0
∫ √4−x2
0
(x2+y2)3/2 dy dx
c)
∫ 1
0
∫ √1−y2
0
sen(x2 + y2) dx dy
d)
∫ 2
1
∫ √2x−x2
0
1√
x2 + y2
dy dx.
11. Calcular a a´rea limitada pela elipse (x−2y+3)2+(3x+4y−1)2 = 100. (Sugesta˜o:
considerar a mudanc¸a de varia´vel u = x− 2y e v = 3x+ 4y).
12. Determine a a´rea da regia˜o D do plano xy definida por
D = {(x, y) ∈ R2/x2 + (y − 2)2 ≤ 4 e x2 + y2 ≥ 4}.
44
3.6 Integrais Triplas
3.6.1 Integrais Triplas sobre um Paralelep´ıpedo Retaˆngular
Seja w = f(x, y, z) uma func¸a˜o definida na caixa retaˆngular
R = [a, b]× [c, d]× [p, q] = {(x, y, z) ∈ R3/a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, p ≤ z ≤ q}
Se P1 = {x0, x1, x2 . . . , xn}, P2 = {y0, y1, y2 . . . , yn}, e P3 = {z0, z1, z2 . . . , zn}
sa˜o partic¸o˜es regulares de [a, b], [c, d] e [p, q] respectivamente, isto e´
a = x0 ≤ x1 ≤ · · · ≤ xn = b com 4x = xi+1 − xi = b− a
n
,
c = y0 ≤ y1 ≤ · · · ≤ yn = d com 4y = yj+1 − yj = d− c
n
e
p = z0 ≤ z1 ≤ · · · ≤ zn = q com 4z = zk+1 − zk = p− q
n
O produto cartesiano P1 × P2 × P3 e´ dita uma partic¸a˜o regular de ordem n da caixa
R = [a, b]× [c, d]× [p, q]. Esta partic¸a˜o subdivide R em n3 caixas denotadas por Rijk.
Definic¸a˜o 3.4. Se lim
n−→∞
n−1∑
i,j,k=0
f(x˜i, y˜j, z˜k) 4xi 4yj 4zk = lim
n−→∞
n−1∑
i,j,k=0
f(x˜i, y˜j, z˜k) dV e´
um nu´mero real que na˜o depende da escolha de (x˜i, y˜j, z˜k) em Rijk, chamamos este limite
de integral tripla de f sobre R, e o denotamos por:∫ ∫ ∫
R
f(x, y, z) dx dy dz ou
∫ ∫ ∫
R
f(x, y, z) dV
45
Teorema 3.4. (Teorema de Fubini). Se a func¸a˜o w = f(x, y, z) e´ cont´ınua no retaˆngulo
R = [a, b] × [c, d] × [p, q] enta˜o a integral tripla de f sobre R pode ser obtida atrave´s de
integrais iteradas, ou seja∫ ∫ ∫
R
f(x, y, z) dV =
∫ b
a
∫ d
c
∫ q
p
f(x, y, z) dz dy dx
=
∫ d
c
∫ b
a
∫ q
p
f(x, y, z) dz dx dy
=
...
=
∫ q
p
∫ b
a
∫ d
c
f(x, y, z) dy dx dz.
Este Teorema indica como calcular uma integral tripla por meio de treˆs integrac¸o˜es
simples sucessivas (ou iteradas) que podem ser calculadas aplicando-se o teorema funda-
mental do ca´lculo.
Exemplo 3.10. Calcule
∫ ∫ ∫
R
(x+ y + z) dx dy dz em R = [0, 2]× [0, 3]× [0, 1].
Sol. Usando o Teorema de Fubini temos na caixa retangular R = [0, 2] × [0, 3] × [0, 1]
que:
Figura 3.11:
46
∫ ∫ ∫
R
(x+ y + z) dx dy dz =
∫ 1
0
(∫ 3
0
[
x2
2
+ xy + xz
]2
0
dy
)
dz
=
∫ 1
0
(∫ 3
0
(
2 + 2y + 2z
)
dy
)
dz
=
∫ 1
0
[
2y + y2 + 2zy
]3
0
dz
=
∫ 1
0
(
(6 + 9 + 6z)− 0
)
dz
=
∫ 1
0
(15 + 6z) dz =
[
15z + 3z2
]1
0
= 18
3.6.2 Integrac¸a˜o Triplas sobre Regio˜es mais Gerais
Definic¸a˜o 3.5. Uma regia˜o W do espac¸o xyz e´ chamada regia˜o de tipo I ou z simples
se e´ descrita do seguinte modo
W = {(x, y, z) ∈ R3 / (x, y) ∈ D e f1(x, y) ≤ z ≤ f2(x, y)},
onde D e´ uma regia˜o limitada e fechada, projec¸a˜o de W no plano xy, e f1 e f2 sa˜o func¸o˜es
cont´ınuas em D, com f1 ≤ f2. Neste caso,∫ ∫ ∫
W
f(x, y, z) dx dy dz =
∫ ∫
D
(∫ f2(x,y)
f1(x,y)
f(x, y, z) dz
)
dx dy
Figura 3.12: Regia˜o de tipo I
47
Definic¸a˜o 3.6. Uma regia˜o W do espac¸o xyz e´ chamada regia˜o de tipo II ou y simples
se e´ descrita do seguinte modo
W = {(x, y, z) ∈ R3 / (x, z) ∈ D e g1(x, z) ≤ y ≤ g2(x, z)},
onde D e´ uma regia˜o limitada e fechada, projec¸a˜o de W no plano xz, e g1 e g2 sa˜o func¸o˜es
cont´ınuas em D, com g1 ≤ g2. Neste caso,∫ ∫ ∫
W
f(x, y, z) dx dy dz =
∫ ∫
D
(∫ g2(x,z)
g1(x,z)
f(x, y, z) dy
)
dx dz
Figura 3.13: Regia˜o de tipo II
Definic¸a˜o 3.7. Uma regia˜o W do espac¸o xyz e´ chamada regia˜o de tipo III ou x simples
se e´ descrita do seguinte modo
W = {(x, y, z) ∈ R3 / (y, z) ∈ D e h1(y, z) ≤ x ≤ h2(y, z)},
onde D e´ uma regia˜o limitada e fechada, projec¸a˜o de W no plano yz, e h1 e h2 sa˜o func¸o˜es
cont´ınuas em D, com h1 ≤ h2. Neste caso,∫ ∫ ∫
W
f(x, y, z) dx dy dz =
∫ ∫
D
(∫ h2(y,z)
h1(y,z)
f(x, y, z) dx
)
dy dz
Observac¸a˜o 3.4. Se f(x, y, z) = 1 para todo (x, y, z) ∈ R, enta˜o a integral
∫ ∫ ∫
W
1 dx dy dz
e´ o volume de W .
Exemplo 3.11. Calcular o volume do so´lido limitado pelas superf´ıcies cujas equac¸o˜es sa˜o
x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0 e z = 1 + x+ y.
48
Figura 3.14: Regia˜o de tipo III
Figura 3.15: Regia˜o do exemplo 3.11
Sol. Consideremos a regia˜o:
W = {(x, y, z) ∈ R3 / 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 1 + x+ y}.
Enta˜o,∫ 1
0
∫ 1
0
∫ 1+x+y
0
dz dx dy =
∫ 1
0
∫ 1
0
[
z
]1+x+y
0
dx dy =
∫ 1
0
∫ 1
0
(1 + x+ y) dx dy
=
∫ 1
0
[
x+
x2
2
+ xy
]1
0
dy
=
∫ 1
0
(
3
2
+ y
)
dy =
[
3
2
y +
y2
2
]1
0
= 2.
Exemplo 3.12. Calcule a integral
∫ 1
0
∫ 3
0
∫ 1
0
(x2 + y2 + z2) dx dy dz.
49
Sol. Integrando temos que∫ 1
0
∫ 3
0
∫ 1
0
(x2 + y2 + z2) dx dy dz =
∫ 1
0
∫ 3
0
[
x3
3
+ xy2 + xz2
]1
0
dy dz
=
∫ 1
0
∫ 3
0
(
1
3
+ y2 + z2
)
dy dz
=
∫ 1
0
[
y
3
+
y3
3
+ yz2
]3
0
dz
=
∫ 1
0
(1 + 9 + 3z2) dz =
[
10z + z3
]1
0
= 11.
Exemplo 3.13. Calcule a integral
∫ ∫ ∫
Wz dx dy dz, onde W e´ uma regia˜o do primeiro
octante limitada pelos planos y = 0, z = 0, x+ y = 2, 2y + x = 6 e y2 + z2 = 4.
Sol.
50
∫ ∫ ∫
W
z dx dy dz =
∫ ∫
D
∫ √4−y2
0
z dz dx dy =
∫ ∫
D
[
z2
2
]√4−y2
0
dx dy
=
∫ 2
0
∫ 6−2y
2−y
(
4− y2
2
)
dx dy =
1
2
∫ 2
0
[
4x− y2x
]6−2y
2−y
dy
=
1
2
∫ 2
0
[
(24− 8y − 6y2 + 2y3)− (8− 4y − 2y2 + y3)
]
dy
=
1
2
∫ 2
0
(16− 4y − 4y2 + y3) dy
=
1
2
[
16y − 2y2 − 4 y
3
3
+
y4
4
]2
0
=
1
2
(
32− 8− 32
3
+ 4
)
=
26
3
.
Exemplo 3.14. Calcule o volume do so´lido W limitado pelas superf´ıcies de equac¸o˜es y =
0, y = 4, y + z = 4 e x2 + z = 9.
Sol.
V ol(W ) =
∫ ∫ ∫
W
dz dx dy =
∫ 4
0
∫ √y+5
−√y+5
∫ 9−x2
4−y
dz dx dy
=
∫ 4
0
∫ √y+5
−√y+5
(9− x2 − 4 + y) dx dy
=
∫ 4
0
[
9x− x
3
3
− 4x+ yx
]√y+5
−√y+5
dy
=
∫ 4
0
(
10(y + 5)1/2 − 2
3
(y + 5)3/2 + 2y(y + 5)1/2
)
dy
51
=
[
20
3
(y + 5)3/2 − 4
15
(y + 5)5/2
]4
0
+
∫ 4
0
2y(y + 5)1/2 dy
=
20
3
(93/2 − 53/2)− 4
15
(95/2 − 55/2) +
∫ 9
5
2(w − 5)w1/2 dw
= 180− 100
3
51/2 − 324
5
+
20
3
51/2 + 2
∫ 9
5
(w3/2 − 5w1/2) dw
=
576
5
− 80
3
√
5 + 2
[
2
5
w5/2 − 10
3
w3/2
]9
5
=
576
5
− 80
3
√
5 +
4
5
(95/2 − 55/2)− 20
3
(93/2 − 53/2)
=
576
5
− 80
3
√
5 +
72
5
+
40
3
√
5 =
648
5
− 40
3
√
5 = 8
(
81
5
− 5
3
√
5
)
=
8
15
(243− 25
√
5).
3.7 Exerc´ıcios
1. Calcular o valor da integral tripla das seguintes func¸o˜es
a) f(x, y, z) = x+ y + z, 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3, 0 ≤ z ≤ 1
b) f(x, y, z) = xy sen z, 0 ≤ x ≤ pi, 0 ≤ y ≤ pi, 0 ≤ z ≤ pi
c) f(x, y, z) = xyz, −1 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2, −2 ≤ z ≤ 6
2. Determine o volume do so´lido abaixo da superf´ıcie z = f(x, y) e acima da regia˜o do
plano xy delimitada pelas curvas dadas
a) z = 1 + x+ y, x = 0, x = 1, y = 0, y = 1.
b) z = 2x+ 3y, x = 0, x = 3, y = 0, y = 2.
c) z = x2 + y2, x = 0, x = 1, y = 0, y = 2.
3. Calcular
a)
∫∫∫
W
y cos(x+ z), onde W e´ a regia˜o limitada pelas superf´ıcies x = y2,
z = 0, x+ z = pi/2.
b)
∫∫∫
W
z, onde W e´ a regia˜o no primeiro octante limitada pelos planos y = 0,
z = 0, x+ y = 2, 2y + x = 6 e o cilindro y2 + z2 = 4.
4. Esboce o solido delimitado pelos gra´ficos das equac¸o˜es dadas. Ache enta˜o seu volume
por integrac¸a˜o tripla.
52
a) 2x+ 3y + z = 6, x = 0, y = 0, z = 0
b) z = y, y = x2, y = 4, z = 0
c) A regia˜o limitada pelos planos x+ z = 8, y = 8 e z = 0
d) A regia˜o entre os planos x+ y + 2z = 2, 2x+ 2y + z = 4 no primeiro octante.
3.8 Mudanc¸a de Varia´veis na Integral Tripla
A mudanc¸a de varia´veis na integral dupla pode ser estendida a integrais triplas.
Seja a transformac¸a˜o T : R3 −→ R3 definida por
T (u, v, s) = (x(u, v, s), y(u, v, s), z(u, v, s)).
onde x = x(u, v, s), y = y(u, v, s), z = z(u, v, s) sa˜o func¸o˜es com derivadas parciais
cont´ınuas num subconjunto aberto U ⊂ R3.
Enta˜o, o determinante do jacobiano da transformac¸a˜o T e´
det JT (u, v) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂x
∂u
∂x
∂v
∂x
∂s
∂y
∂u
∂y
∂v
∂y
∂s
∂z
∂u
∂z
∂v
∂z
∂s
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Se T e´ uma transformac¸a˜o injetiva num subconjunto fechado Q ⊂ U e
det JT (u, v, s) 6= 0, em Q,
enta˜o:∫ ∫ ∫
T(Q)=W
f(x, y, z) dx dy dz =
∫ ∫ ∫
Q
f(T (u, v, s)) |det JT (u, v, s)| du dv ds
=
∫ ∫ ∫
Q
f(x(u, v, s), y(u, v, s), z(u, v, s)) |det JT (u, v, s)| du dv ds.
3.9 Mudanc¸a em Coordenadas Cil´ındricas
As coordenadas cil´ındricas de um ponto P no espac¸o R3 e´ uma extensa˜o natural
das coordenadas polares. Podem-se usar as coordenadas polares (r, θ) para descrever a
projec¸a˜o do ponto P no plano xy, e a mesma coordenada z do sistema retaˆngular.
53
Assim, a relac¸a˜o entre as coordenadas retaˆngulares (x, y, z) do ponto P e suas coor-
denadas cil´ındricas (r, θ, z) e´
x = r cos θ
y = r sen θ
z = z
=⇒

r = x2 + y2
tan θ =
y
x
z = z
Por meio destas equac¸o˜es e´ poss´ıvel transformar coordenadas retangulares em coordenadas
cil´ındricas e vice-versa.
Observac¸a˜o 3.5. O nome de coordenadas cil´ındricas decorre do fato de que o gra´fico,
no espac¸o, da equac¸a˜o r = c (c constante) e´ um cil´ındro de raio c sime´trico ao eixo z.
Isto sugere o emprego das coordenadas cil´ındricas para resolver problemas que envolvam
simetr´ıa circular em relac¸a˜o ao eixo z.
A relac¸a˜o entre as coordenadas cartesianas e cil´ındricas definem uma transformac¸a˜o
T : R3 −→ R3 , definida por
T (r, θ, z) = (x(r, θ, z), y(r, θ, z), z(r, θ, z))
= (r cos θ, r sen θ, z)
onde r ≥ 0, θ ∈ [0, 2pi) e z ∈ (−∞,∞). O determinante do Jacobiano de T e´
det JT (r, θ, z) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
cos θ −r sen θ 0
sen θ r cos θ 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = r (cos
2 θ + sen2θ) = r
54
Portanto, de (3.8)∫ ∫ ∫
T(Q)=W
f(x, y, z) dx dy dz =
∫ ∫ ∫
Q
f(r cos θ, r sen θ, z) r dr dθ dz
Exemplo 3.15. Calcule
∫ ∫ ∫
W
z dx dy dz, onde W e´ o so´lido limitado pelas superf´ıcies
z =
√
8− x2 − y2 e x2 + y2 = 2z.
Sol. Se (x, y, z) ∈ W enta˜o
x2 + y2
2
≤ z ≤
√
8− x2 − y2, ∀ (x, y) ∈ D
onde D e´ a projec¸a˜o de W no plano xy.
De fato, a intersec¸a˜o das superf´ıcies e´ a curva cuja equac¸a˜o obtem-se fazendo
z =
√
8− 2z =⇒ z2 = 8− 2z =⇒ (z + 1)2 = 9 =⇒
 z = 2x2 + y2 = 4.
Portanto, fazendo a projec¸a˜o desta curva sobre o plano xy obtemos o conjunto D =
{(x, y) ∈ R2/x2 + y2 = 4}.
Usando mudanc¸a de varia´veis cil´ındricas observamos que W e´ a imagem do conjunto
Q, onde
Q =
{
(r, θ, z) / 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2pi, r
2
2
≤ z ≤
√
8− r2
}
.
55
Logo,∫ ∫ ∫
W
z dx dy dz =
∫ ∫ ∫
Q
rz dr dθ dz =
∫ 2
0
∫ 2pi
0
∫ √8−r2
r2/2
rz dz dθ dr
∫ 2
0
∫ 2pi
0
r
z2
2
∣∣∣∣
√
8−r2
r2/2
dθ dr =
∫ 2
0
∫ 2pi
0
r
2
(
8− r2 − r
4
4
)
dθ dr
= pi
(
4r2 − r
4
4
− r
6
24
)∣∣∣∣2
0
=
28pi
3
3.10 Mudanc¸a em Coordenadas Esfe´ricas
Se P ∈ R3, enta˜o ele admite uma representac¸a˜o em coordenadas esfe´ricas P = (ρ, φ, θ),
onde 
ρ = |OP |, distaˆncia da origem O ate´ o ponto P
φ, Aˆngulo entre o segmento OP e o eixo z positivo, 0 ≤ φ ≤ pi
θ, aˆngulo das coordenadas cil´ındricas, 0 ≤ θ ≤ 2pi
Assim, a relac¸a˜o entre as coordenadas retaˆngulares (x, y, z) do ponto P e suas coor-
denadas esfe´ricas (ρ, φ, θ) e´
x = ρ senφ cos θ
y = ρ senφ sen θ
z = ρ cosφ
=⇒

ρ2 = x2 + y2 + z2
φ = arccos
z√
x2 + y2 + z2
tan θ =
y
x
Por meio destas equac¸o˜es e´ poss´ıvel transformar coordenadas retangulares em coordenadas
esfe´ricas e vice-versa.
56
Observac¸a˜o 3.6. O nome de coordenadas esfe´ricas decorre do fato de que o gra´fico, no
espac¸o, da equac¸a˜o ρ = c (c constante) e´ uma esfera de raio c.
A relac¸a˜o entre as coordenadas cartesianas e esfe´ricas definem uma transformac¸a˜o
T : R3 −→ R3 definida por
T (ρ, φ, θ) = (x(ρ, φ, θ), y(ρ, φ, θ), z(ρ, φ, θ))
= (ρ senφ cos θ, ρ senφ sen θ, ρ cosφ),
onde ρ ≥ 0, θ ∈ [0, 2pi) e φ ∈ [0, pi). O determinante do Jacobiano de T e´
det JT (ρ, φ, θ) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
senφ cos θ ρ cosφ cos θ −ρ senφ sen θ
senφ sen θ ρ cosφ sen θ ρ senφ cos θ
cosφ −ρ senφ 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = ρ
2 senφ.
Portanto, de (3.8)∫ ∫ ∫
T(Q)=W
f(x, y, z) dx dy dz =
∫ ∫ ∫
Q
f(ρ senφ cos θ, ρ senφ sen θ, ρ cosφ) ρ2 senφ dρ dφ dθ.
Exemplo 3.16. Calcule
∫ ∫ ∫
W
e(x
2+y2+z2)3/2 dx dy dz, onde W e´ o so´lido no primeiro
octante limitado pela esfera x2 + y2 + z2 = 16, e os cones z =
√
3(x2 + y2) e z =√
x2 + y2
3
.
Sol.
57
∫ ∫ ∫
W
e(x
2+y2+z2)3/2dx dy dz =
∫ ∫ ∫
Q
eρ
3
ρ2 senφ dρ dφ dθ
=
∫ 4
0
∫ pi/3
pi/6
∫ pi/2
0
eρ
3
ρ2 senφ dθ dφ dρ
=
pi
2
∫ 4
0
eρ
3
ρ2
(
− cosφ
∣∣∣∣pi/3
pi/6
)
dρ
=
pi
2
(√
3
2
− 1
2
) ∫ 4
0
eρ
3
ρ2 dρ
=
pi
2
(√
3
2
− 1
2
)
1
3
eρ
3
∣∣∣∣4
0
=
pi
12
(
√
3− 1)(e64 − 1).
3.11 Exerc´ıcios
1. Transforme as equac¸o˜es dadas para coordenadas cil´ındricas e esfe´ricas.
a) x2 + y2 + z2 = 25
b) x+ y + z = 1
c) x2 + y2 + z2 = x+ y + z
d) z = x2 − y2
e) x2 + y2 = 2x
f) x+ y = 4
2. Resolva os problemas seguintes por integrac¸a˜o tripla em coordenadas cil´ındricas
a) Ache o volume da regia˜o interior a` esfera x2+y2+z2 = 4 e ao cilindro x2+y2 = 1
b) Calcule o volume da regia˜o delimitada pelos parabolo´ides
z = 2x2 + y2 e z = 12− x2 − 2y2
58
3. Use as coordenadas cilindricas para determinar o volume do so´lidoW abaixo (Howard,
Vol2, 459.)
a) W e´ limitado pelas superf´ıcies z = x2 + y2, e o plano z = 9.
b) W e´ limitado pelas superf´ıcies x2 + y2 + z2 = 9 e x2 + y2 = 4.
c) W =
{
(x, y, z) ∈ R3/ x2 + y2 + z2 ≤ 25 e x2 + y2 + z2 ≥ 9
}
.
d) W e´ o so´lido que esta´ dentro da superf´ıcie r2 + z2 = 20 e abaixo da superf´ıcie
z = r2.
4. Use as coordenadas esfe´ricas para determinar o volume do so´lido W abaixo (Howard,
Vol2, 459.)
a) W e´ limitado acima pela esfera ρ = 4, e abaixo pelo cone φ = pi/3.
b) W e´ o so´lido no interior do cone φ = pi/4 e entre as esfe´ras ρ = 1, ρ = 2.
c) W e´ o so´lido envolvido pela esfe´ra x2 + y2 + z2 = 4a2 e os planos z = 0 e
z = a.
d) W e´ o so´lido dentro de x2 + y2 + z2 = 9, e fora de z =
√
x2 + y2, e acima do
plano xy.
5. Use coordenadas cilindricas ou esfe´ricas para calcular a integral (Howard Anton,
Vol2, 459-460.)
a)
∫ a
0
∫ √a2−x2
0
∫ √a2−x2−y2
0
x2 dz dy dx, a > 0
b)
∫ 1
−1
∫ √1−x2
0
∫ √1−x2−y2
0
e−(x
2+y2+z2)3/2 dz dy dx.
c)
∫ 2
0
∫ √4−y2
0
∫ √8−x2−y2
√
x2+y2
x2 dz dx dy.
d)
∫ 3
−3
∫ √9−y2
−
√
9−y2
∫ √9−x2−y2
−
√
9−x2−y2
√
x2 + y2 + z2 dz dx dy.
59
.
60
Cap´ıtulo 4
Integrais de Superf´ıcie
Lembremos que uma superf´ıcie em R3 pode-se representar de treˆs formas
1. Expl´ıcitamente, se z = f(x, y).
2. Impl´ıcitamente, quando a equac¸a˜o e´ da forma F (x, y, z) = 0.
3. Parametricamente, se as coordenadas x, y, z dos pontos da superf´ıcie sa˜o expressas
em termos de dois paraˆmetros.
4.1 Parametrizac¸a˜o de Superf´ıcies
Podemos descrever uma superf´ıcie em R3 por fo´rmulas matema´ticas. Uma delas e´
a representac¸a˜o impl´ıcita na qual descrevemos a superf´ıcie como um conjunto de pontos
(x, y, z) satisfazendo a equac¸aˆo da forma F (x, y, z) = 0. Algumas vezes podemos resolver
esta equac¸a˜o para uma das varia´veis em termos das outras duas, por exemplo, z em termos
de x e y. Quando isto e´ poss´ıvel obtemos uma representac¸a˜o explicita da superf´ıcie dada
por uma ou mais equac¸o˜es da forma z = f(x, y).
Por exemplo, a esfera de raio 1, centrada na origem tem representac¸a˜o impl´ıcita
F (x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 1 = 0. Quando esta equac¸a˜o e´ resolvida para z em termos de
x e y, obtemos duas soluc¸o˜es:
z =
√
1− x2 − y2 e z = −
√
1− x2 − y2
61
Figura 4.1: Esfera
Outro modo de descrever uma superf´ıcie u´til no estudo das integrais de superf´ıcie, e´
a representac¸a˜o para´metrica, onde as coordenadas x, y e z dos pontos da superf´ıcie sa˜o
expressas em termos de dois paraˆmetros.
Definic¸a˜o 4.1. Consideremos uma func¸a˜o ϕ : D ⊆ R2 −→ R3, definida num subconjunto
aberto D ⊆ R2. A imagem de D por ϕ, ϕ(D), e´ dita uma superf´ıcie parametrizada e sua
representac¸a˜o parame´trica e´:
ϕ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈ D.
A func¸a˜o ϕ e´ diferencia´vel se x(u, v), y(u, v) e z(u, v) e´ diferencia´vel.
Exemplo 4.1. Se S e´ uma superf´ıcie com representac¸a˜o expl´ıcita z = f(x, y), (x, y) ∈ D,
pode ser parametrizada de modo natural usando-se x e y como paraˆmetros, ou seja,
ϕ(x, y) = (x, y, f(x, y))
Se z =
√
x2 + y2 e´ o cone superior, podemos parametriza´-la por
ϕ(x, y) = (x, y, f(x, y)), (x, y) ∈ R2
Suponhamos que uma superf´ıcie com representac¸a˜o parame´trica
ϕ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈ D
62
Figura 4.2: Cone Superior
seja diferencia´vel em (u0, v0). Fixando u = u0, obtemos uma func¸a˜o
g : I ⊂ R −→ R3
v −→ ϕ(u0, v), g(v) = ϕ(u0, v)
que define uma curva (chamada curva v) na superf´ıcie. Se o vetor
g′(v) =
∂ϕ
∂v
(u0, v0) =
(
∂x
∂v
(u0, v0),
∂y
∂v
(u0, v0),
∂z
∂v
(u0, v0)
)
,
e´ na˜o nulo, enta˜o ∂ϕ
∂v
(u0, v0) e´ um vetor tangente a esta curva no ponto ϕ(u0, v0).
Analogamente, fixado v = v0 podemos considerar a curva definida pela func¸a˜o
h : I ⊂ R −→ R3
u −→ ϕ(u, v0), h(u) = ϕ(u, v0)
(chamada curva u) na superf´ıcie. Se o vetor
h′(u) =
∂ϕ
∂u
(u0, v0) =
(
∂x
∂u
(u0, v0),
∂y
∂u
(u0, v0),
∂z
∂u
(u0, v0)
)
,
e´ na˜o nulo, enta˜o ∂ϕ
∂u
(u0, v0) e´ um vetor tangente a esta curva no ponto ϕ(u0, v0). Se
N(u0, v0) =
∂ϕ
∂u
(u0, v0)× ∂ϕ
∂v
(u0, v0) 6= 0, e´ o vetor normal ao plano gerado pelos vetores
∂ϕ
∂u
(u0, v0) e
∂ϕ
∂v
(u0, v0).
Definic¸a˜o 4.2. Seja S uma superf´ıcie parametrizada por ϕ : D ⊆ R2 −→ R3. Su-
ponhamos que as derivadas parciais
∂ϕ
∂u
e
∂ϕ
∂v
sejam cont´ınuas em (u0, v0) ∈ D. Se
N(u0, v0) =
∂ϕ
∂u
(u0, v0)× ∂ϕ
∂v
(u0, v0) e´ na˜o nulo, dizemos que S e´ regular em ϕ(u0, v0) ∈ S.
63
Figura 4.3:
Neste caso definimos o plano tangente a S em ϕ(u0, v0) = (x0, y0, z0) como sendo o plano
gerado pelos vetores
∂ϕ
∂u
(u0, v0) e
∂ϕ
∂v
(u0, v0), cuja equac¸a˜o e´ dada por:
(x− x0, y − y0, z − z0) ·N(u0, v0) = 0.
Se z = f(x, y) e´ uma superf´ıcie com representac¸a˜o expl´ıcita, esta pode ser parametri-
zada de modo natural por
ϕ(x, y) = (x, y, f(x, y)), (x, y) ∈ D.
Se f(x, y) e´ de classe C1, enta˜o S e´ regular pois
∂ϕ
∂x
(x, y)× ∂ϕ
∂y
(x, y) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
i j k
1 0 ∂f
∂x
(x, y)
0 1 ∂f
∂y
(x, y)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =
(
− ∂f
∂x
(x, y),−∂f
∂y
(x, y), 1
)
e´ na˜o nulo para todo (x, y) ∈ D.
O plano tangente a S em (x0, y0, z0) e´ dado por
(x− x0, y − y0, z − z0) ·
(
− ∂f
∂x
(x, y),−∂f
∂y
(x, y), 1
)
= 0.
Exemplo 4.2. A superf´ıcie superior S do cone, z = f(x, y) =
√
x2 + y2, pode ser repre-
sentado parametricamente por
ϕ(x, y) = (x, y, f(x, y)) = (x, y,
√
x2 + y2), (x, y) ∈ R2.
S na˜o e´ regular em (0, 0, 0), pois f(x, y) na˜o possui derivadas parciais em (x, y) = (0, 0).
64
4.1.1 Superf´ıcies de Revoluc¸a˜o
Em geral, e´ poss´ıvel obter S girando a curva C situada no plano xz em torno do eixo
z. Se C tem equac¸o˜es parameˆtricas
x = x(t), z = z(t), a ≤ t ≤ b e x(t) ≥ 0
a superf´ıcie de revoluc¸a˜o assim gerada tem uma representac¸a˜o parameˆtrica
Figura 4.4: Superf´ıcie de Revoluc¸a˜o
ϕ(θ, t) = (x(t) cos θ, x(t) sen θ, z(t)), (θ, t) ∈ [0, 2pi]× [a, b].
4.2 Exerc´ıcios
1. Seja S uma superf´ıcie parametrizada por
ϕ(u, v) = (v cosu, v senu, 1− v2); 0 ≤ u ≤ 2pi, v ≥ 0
a) Identifique esta superf´ıcie. Esta superf´ıcie e´ regular?
b) Trace as curvas na superf´ıcie S, definidas por ϕ(u0, v) e ϕ(u, v0), onde
i) u0 = 0, ii) u0 = pi/2, iii) v0 = 0, iv) v0 = 1.
c) Encontre um vetor tangente a` curva, definida por ϕ(0, v), no ponto ϕ(0, 1).
d) Encontre um vetor tangente a` curva, definida por ϕ(u, 1), no ponto ϕ(0, 1).
e) Encontre uma equac¸a˜o da reta normal e a equac¸a˜o do plano tangente a S em
ϕ(0, 1).
65
2. Encontre uma parametrizac¸a˜o para a superf´ıcie obtida girando-se o c´ırculo
(x−a)2 + z2 = r2, 0 < r < a, em torno do eixo z. Esta superf´ıcie e´ chamada toro.
b) Encontre um vetor normala esta superf´ıcie.
c) Esta superf´ıcie e´ regular?
3. Dada a esfera de raio 2, centrada na origem. Encontre a equac¸a˜o do plano tangente
a ela no ponto (1, 1,
√
2), considerando a esfera como:
a) Uma superf´ıcie parametrizada por
ϕ(u, v) = (2 senφ cos θ, 2 senφ sen θ, 2 cosφ), 0 ≤ φ ≤ pi, 0 ≤ θ ≤ 2pi
b) Uma superf´ıcie de n´ıvel de F (x, y, z) = x2 + y2 + z2.
c) O gra´fico de g(x, y) =
√
4− x2 − y2.
4. Encontre uma parametrizac¸a˜o e um vetor normal para as seguintes superf´ıcies:
a) O hiperbolo´ide x2 + y2 − z2 = 1.
b) O cilindro y2 + z2 = 16.
c) As superf´ıcies de revoluc¸a˜o em torno do eixo z gerada pelas curvas 4z = x3 e
x = ez.
5. Dada a superf´ıcie parametrizada
ϕ(r, θ) = (r cos θ, r sen θ, θ) , 0 ≤ r ≤ 1 , 0 ≤ θ ≤ 4pi.
a) Esboce esta superf´ıcie.
b) Encontre uma expressa˜o para um vetor normal a` superf´ıcie.
c) Esta superf´ıcie e´ regular?
4.3 A´rea de Superf´ıcies
Consideremos uma superf´ıcie S que e´ imagem de uma func¸a˜o ϕ : D ⊂ R2 −→ R3 tal
que
1. D e´ um subconjunto limitado e fechado do plano
66
2. ϕ e´ injetora, exceto possivelmente na fronteira de D.
3. A superf´ıcie e´ regular, exceto possivelmente num nu´mero finito de pontos.
Definic¸a˜o 4.3. Seja S uma superf´ıcie parametrizada por ϕ(u, v), onde (u, v) ∈ D. Defi-
nimos a a´rea A(S) de S pela fo´rmula
A(S) =
∫ ∫
D
∥∥∥∥∂ϕ∂u (u, v)× ∂ϕ∂v (u, v)
∥∥∥∥ du dv
Observac¸a˜o 4.1. Seja S e´ uma superf´ıcie com representac¸a˜o expl´ıcita z = f(x, y). Uma
parametrizac¸a˜o de S e´
ϕ(x, y) = (x, y, f(x, y)), com (x, y) ∈ D.
Logo,
‖N‖ =
∥∥∥∥∂ϕ∂x × ∂ϕ∂y
∥∥∥∥ =
√(
∂f
∂x
)2
+
(
∂f
∂y
)2
+ 1
e consequentemente,
A(S) =
∫ ∫
D
√(
∂f
∂x
)2
+
(
∂f
∂y
)2
+ 1 dx dy
Observac¸a˜o 4.2. Se S e´ decomposta como unia˜o finita de superf´ıcies Si, sua a´rea e´ a
soma das a´reas Si.
67
Exemplo 4.3. Considere γ o arco da para´bola z = 3− y2 no plano yz comprendido entre
as semi-retas z = 2y, z =
11
2
y, com y ≥ 0. Seja S a superf´ıcie obtida girando-se γ em
torno do eixo z. Encontre:
1. Uma parametrizac¸a˜o de S.
2. A a´rea de S
Sol. A parametrizac¸a˜o de uma superf´ıcie de revoluc¸a˜o gerada pela curva (0, t, 3 − t2) e´
dada por
ϕ(t, θ) = (t sen θ, t cos θ, 3− t2)
Fazendo a intersec¸a˜o das retas com a curva (0, t, 3 − t2) obtemos os pontos P = (0, 1, 2)
e P ′ =
(
0,
1
2
,
11
4
)
, de onde segue que
t ∈
[
1
2
, 1
]
, θ ∈ [0, 2pi].
Assim, calculando as derivadas parciais temos
∂ϕ
∂t
= (sen θ, cos θ,−2t)
∂ϕ
∂θ
= (t cos θ,−t sen θ, 0).
Logo, o vetor normal e´
N = (−2t2 sen θ,−2t2 cos θ,−t)
68
A(S) =
∫ 2pi
0
∫ 1
1/2
√
t2 (4t2 + 1) dt dθ = 2pi
∫ 1
1/2
t
√
(4t2 + 1) dt
= 2pi
[
2
3
(4t2 + 1)3/2
1
8
]1
1/2
=
pi
6
(5
√
5− 2
√
2).
Exemplo 4.4. Calcular a a´rea da superf´ıcie do paraboloide z = f(x, y) = x2 + y2 limitada
pelo plano z = 4 e z = 1.
Sol. A parametrizac¸a˜o da superf´ıcie e´ dada por
ϕ(x, y) = (x, y, x2 + y2), onde (x, y) ∈ D = {(x, y) ∈ R2/ 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4}.
Assim, o vetor normal e´
N(x, y) =
(
− ∂f
∂x
(x, y),−∂f
∂y
(x, y), 1
)
= (−2x,−2y, 1)
Logo, usando a transformac¸a˜o em coordenadas polares
A(S) =
∫ ∫
D
√
4x2 + 4y2 + 1 dx dy =
∫ 2pi
0
∫ 2
1
r
√
(4r2 + 1) dr dθ
= 2pi
[
2
3
(4r2 + 1)3/2
1
8
]2
1
=
pi
6
(17
√
17− 5
√
5).
4.4 Exerc´ıcios
1. Considerando que a superf´ıcie S e´ obtida girando a curva z = x2, 0 ≤ x ≤ 4,
em torno ao eixo z, pede-se:
69
a) Uma parametrizac¸a˜o para S.
b) A a´rea da porc¸a˜o de S comprendida entre os cilindros x2 + y2 = 1 e
x2 + y2 = 4.
2. Deseja-se construir uma pec¸a de zinco que tem a forma de uma superf´ıcie de uma
equac¸a˜o z = 1 − x2, comprendida entre os planos y = 0, z = 0, e o cilindro
z = 1− y2, y ≥ 0. Se o metro quadrado de zinco custa A reais, calcule o prec¸o total
da pec¸a.
3. Calcule a a´rea das seguintes superf´ıcies.
a) Superf´ıcie do cilindro x2 + y2 = 2x limitado pelo plano z = 0 e o cone
z =
√
x2 + y2.
b) Superf´ıcie do cone z2 = x2+y2 situada entre os planos z = 0 e x+2z = 3.
c) Superf´ıcie do so´lido limitado pelo cone z2 = x2 + y2 e a parte superior da
esfera x2 + y2 + z2 = 1.
d) Superf´ıcie da esfera x2 + y2 + z2 = 12 que na˜o se encontra no interior do
parabolo´ide z = x2 + y2.
e) Parte superior da esfera x2 + y2 + z2 = 1 situada no interior do cilindro
(x2 + y2)2 = x2 − y2.
f) Superf´ıcie do parabolo´ide z = 5 − x
2
2
− y2 que se encontra no interior do
cilindro x2 + 4y2 = 4.
4.5 Integral de Superf´ıcie de uma Func¸a˜o Escalar
Definic¸a˜o 4.4. Seja S uma superf´ıcie parametrizada por ϕ(u, v), (u, v) ∈ D e f(x, y, z)
uma func¸a˜o real cont´ınua definida em S. Definimos a integral de superf´ıcie de S por:∫ ∫
S
f ds =
∫ ∫
S
f(x, y, z) ds =
∫ ∫
D
f(ϕ(u, v))
∥∥∥∥∂ϕ∂u (u, v)× ∂ϕ∂v (u, v)
∥∥∥∥ du dv
Observac¸a˜o 4.3. Se S e´ uma superf´ıcie definida expl´ıcitamente por z = g(x, y), onde
(x, y) ∈ D, uma parametrizac¸a˜o e´
ϕ(x, y) = (x, y, g(x, y)), com (x, y) ∈ D.
70
Portanto,
‖N‖ =
∥∥∥∥∂ϕ∂x × ∂ϕ∂y
∥∥∥∥ =
√(
∂g
∂x
)2
+
(
∂g
∂y
)2
+ 1
e consequentemente∫ ∫
S
f ds =
∫ ∫
D
f(x, y, g(x, y))
√(
∂g
∂x
)2
+
(
∂g
∂y
)2
+ 1 dx dy
Observac¸a˜o 4.4. Se f(x, y, z) = 1 sobre S, enta˜o:
∫ ∫
S
f ds = A(S).
Exemplo 4.5. Calcule a integral de superf´ıcie∫ ∫
S
(x2 + y2) ds
onde S e´ a esfera x2 + y2 + z2 = a2.
Sol. A parametrizac¸a˜o da superf´ıcie e´ dada por
ϕ(φ, θ) = (a senφ cos θ, a senφ sen θ, a cosφ), onde (φ, θ) ∈ [0, pi]× [0, 2pi].
Portanto,∫ ∫
S
(x2 + y2) ds =
∫ ∫
S
a2sen2φ
∥∥∥∥∂ϕ∂θ × ∂ϕ∂φ
∥∥∥∥ dφ dθ = ∫ ∫
S
a4sen3φ dφ dθ,
logo ∫ ∫
S
(x2 + y2) ds = a4
∫ 2pi
0
∫ pi
0
sen3φ dφ dθ = 2pia4
(
4
3
)
=
8pia4
3
71
Exemplo 4.6. Calcule a integral de superf´ıcie∫ ∫
S
xyz ds
onde S e´ o triaˆngulo de veˆrtices (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1).
Sol. A parametrizac¸a˜o da superf´ıcie e´ dada por
ϕ(x, y) = (x, y, 1− x− y), onde (x, y) ∈ D.
Portanto,∫ ∫
S
xyz ds =
∫ ∫
D
xy(1− x− y)
∥∥∥∥∂ϕ∂x × ∂ϕ∂y
∥∥∥∥ dx dy = ∫ ∫
D
xy(1− x− y)
√
3 dx dy
=
√
3
∫ 1
0
∫ 1−x
0
xy(1− x− y) dy dx =
√
3
∫ 1
0
(x− x2) y
2
2
− x y
3
3
∣∣∣∣1−x
0
dx
=
√
3
∫ 1
0
(x− x2) (1− x)
2
2
dx−
√
3
∫ 1
0
x
(1− x)3
3
dx
=
√
3
∫ 1
0
x
(1− x)3
2
dx−
√
3
∫ 1
0
x
(1− x)3
3
dx =
√
3
120
72
4.6 Integral de Superf´ıcie de uma Func¸a˜o Vetorial
Seja S uma superf´ıcie parametrizada por ϕ(u, v), (u, v) ∈ D, os vetores normais
unita´rios a` superf´ıcie S sa˜o:
~n1(ϕ(u, v)) =
∂ϕ
∂u
(u, v)× ∂ϕ
∂v
(u, v)∥∥∥∥∂ϕ∂u (u, v)× ∂ϕ∂v (u, v)
∥∥∥∥ e ~n2(ϕ(u, v)) = −~n1(ϕ(u, v)).
Definic¸a˜o 4.5. Dizemos que S e´ uma superf´ıcie orientada se existe um vetor unita´rio
normal ~n em cada ponto interior (x, y, z) ∈ S, cujas componentes sa˜o func¸o˜es cont´ınuas
de x, y, z (isto e´, ~n varia continuamente sobre S).
Seja F : S ⊆ R3 −→ R3 um campo vetorial cont´ınuo definido numa superf´ıcie orien-
tada S parametrizada por ϕ(u, v), (u, v) ∈ D. Definimos a integral de superf´ıcie de F
sobre S por:∫ ∫
S
F ds =
∫ ∫
S
F.n ds =
∫ ∫
D
Fn ds
onde Fn = F.n e´ a func¸a˜o escalar que a cada ponto de S associa a componente do campo
F na direc¸a˜o do vetor unita´rio ~n.
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Portanto,∫ ∫
S
F.n ds =
∫ ∫
D
F (ϕ(u, v)) · n(ϕ(u, v))
∥∥∥∥∂ϕ∂u (u, v)× ∂ϕ∂v (u, v)
∥∥∥∥ du dv
=
∫ ∫
D
F (ϕ(u, v)) ·
(
∂ϕ
∂u
(u, v)× ∂ϕ
∂v
(u, v)
)
du dv,
onde
ds =
∥∥∥∥∂ϕ∂u (u, v)× ∂ϕ∂v (u, v)
∥∥∥∥ du dv.
Observac¸a˜o 4.5. Se S e´ uma superf´ıcie definida