Para o cálculo de integrais triplas podemos aplicar o Teorema de Fubini, a partir do qual podemos identificar seis ordens possíveis de integração (...

A representação correta da integral é: ∫∫∫ f(x,y,z) dV = ∫∫∫ cos(2y-x) dV Onde o limite de integração é dado pela superfície 5 = {(x,y,z) | -1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2, -1 ≤ z ≤ 0}. Portanto, a representação correta da integral é: ∫∫∫ cos(2y-x) dV = ∫[-1,0] ∫[0,2] ∫[-1,1] cos(2y-x) dx dy dz

Para calcular a integral tripla da função �(�,�,�)=cos⁡(2�−�)

f(x,y,z)=cos(2y−x) sobre a região �

R dada por 5≥�≥1

5≥x≥1 e 0≤�≤2

0≤y≤2, podemos aplicar o Teorema de Fubini e escolher a ordem correta de integração.

A integral tripla pode ser representada como:

∫15∫02∫??cos⁡(2�−�) �� �� ��

∫1

5

​∫0

2

​∫?

?

​cos(2y−x)dxdydz

A ordem correta das integrações depende da maneira como você prefere realizar as integrações. Vamos considerar as duas alternativas:

Alternativa A: �

x primeiro, depois �

y, depois �

z

Nesse caso, a ordem correta de integração seria:

∫15∫02∫0?cos⁡(2�−�) �� �� ��

∫1

5

​∫0

2

​∫0

?

​cos(2y−x)dzdxdy

Aqui, �

z varia de 0 até algum valor que depende de �

x e �

y. Para encontrar os limites de integração para �

z, devemos considerar a região �

R. A equação 5≥�

5≥x nos diz que �

x varia de 1 a 5. E a condição 0≤�≤2

0≤y≤2 nos diz que �

y varia de 0 a 2. Portanto, a região �

R é definida por 1≤�≤5

1≤x≤5 e 0≤�≤2

0≤y≤2. Para encontrar os limites de integração para �

z, precisamos encontrar as interseções da superfície 5

5 com o plano ��

xy, que ocorre em �=5

x=5. Portanto, a integral correta é:

∫15∫02∫05cos⁡(2�−�) �� �� ��

∫1

5

​∫0

2

​∫0

5

​cos(2y−x)dzdxdy

Alternativa B: �

x primeiro, depois �

z, depois �

y

Nesse caso, a ordem correta de integração seria:

∫15∫??∫02cos⁡(2�−�) �� �� ��

∫1

5

​∫?

?

​∫0

2

​cos(2y−x)dydzdx

Aqui, �

z varia de algum valor que depende de �

x até 2

2, e �

y varia de 0

0 até 2

2. Para encontrar os limites de integração para �

z, novamente consideramos a região �

R, que nos diz que �

x varia de 1

1 a 5

5. Portanto, a integral correta é:

∫15∫15−�∫02cos⁡(2�−�) �� �� ��

∫1

5

​∫1

5−x

​∫0

2

​cos(2y−x)dydzdx

Portanto, a representação correta da integral é a alternativa B:

∫15∫15−�∫02cos⁡(2�−�) �� �� ��

∫1

5

​∫1

5−x

​∫0

2

​cos(2y−x)dydzdx

resposta