Geometria dos Elementos Estruturais - Yopanan Rebello

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. ⁄ . ⁄ . ●  ●  ,  º  ● -  127
Geometria dos elementos estruturais: Uma chave
para a compreensão do comportamento estrutural
 . . *
  **
Resumo ● As possibilidades espaciais e estruturais dependem da geometria do elemento ele ito como
base do projeto. Blocos, barras e lâminas são tipologias básicas dessas geometrias estruturais, uma rela-
ção dada pela proporção de sua forma, e cada uma delas trará especificidades ao comportamento da
estrutura. Desse modo, identificar a geometria dos e lementos que compõem uma estrutura pode per-
mitir-nos uma e ficiente estratégia de análise a par tir desses elementos: uma espéc ie de chave de leitura.
Palavras-chave ● geometria, estrutura, arquitetura.
Title ● Geometry of structural elements: A key to understand structural behavior
Abstract ● Spat ial and structural possibilities depend on the geometry of an e lected element as a basis
for a project. Blocks, bars and sheets are basic typologies of such structural geometries, a relationship
proposed by the proportion of its shape, and each one of them will be specified in t erms of the structural
behavior. Thus, the identification of the geometry o f e lements making up a structure might allow an
efficient analysis strategy from such elements: a kind of a reading key.
Keywords ● geometry, structure, architecture.
Data de recebimento: 15/12/2003.
Data de aceitação: 19/12/2003.
* Engenheiro ci vil, mestre e doutor p ela FAU-USP, p rofessor-
pesquisador da USJT, autor do livro A concepção estrutural e a
arquit etura (Ed. Zigurate), professo r de cursos de extensão,
co-autor da série “Arquiteturas e est rutur as” (revista AU, jun. 1998/
mar. 2000). E-mail: engenharia@y con.com.br
** Arquiteta, p rofessora-pesquisadora da USJT, dou toranda na
FAU-USP, autora do livro Two-way street: the Paulista Avenue, flux
and counter-flux of modernity (Califór nia, SDSU Press, 1995), co-
autora da série “Arquitetur as e estrutur as” (revista AU, jun. 1998/
mar. 2000). E-mail: mar tabogea@uol.com.br
. 
Das primeiras pedras verticalizadas, os menires
e dolmens que marcaram o território nômade,
passando pelas construções de pedra, como
Stonehenge, ou as construções incas e maias, aos
arcos e cúpulas de blocos cerâmicos romanos, a
arquitetura historicamente trabalhou com enge-
nhosidade um elemento aparentemente simples em
formas sofisticadas: os blocos (Figuras 1, 2, 3 e 4).
Define-se bloco como o elemento estrutural
em que suas três dimensões têm a mesma ordem
de grandeza, não sendo necessariamente iguais.
O importante é ver esse elemento em relação ao
todo estrutural, pois as relações entre suas dimen-
sões e o todo da estrutura é que o caracterizarão
como um bloco. E sua associação é que permitirá
a diversidade das formas propostas: das pirâ-
mides às cúpulas.
Quais as possibilidades e o comportamento de
um bloco no sistema estrutural? Como vencer vãos
usando elementos aparentemente tão limitados?
Sabemos que, como fizeram nossos antepassa-
dos, podem-se usar blocos para vencer vãos. Con-
siderando que os blocos trabalham à compressão,
temos uma primeira possibilidade: crie uma fila
de blocos em que o comprimento seja maior que
vão. Neste caso, para que os blocos possam chegar
ao chão devem empurrar os demais, como que
“forçando a passagem”. Se esse conjunto de blocos
for impedido, nos seus extremos, de se deslocar,
Esquema 1
128     ● Geometria dos elementos estruturais
Figura 1. Stonehenge
(S ELEÇÕES, 1979, p. 88).
Figura 2. Templo de Tarxien
(S ELEÇÕES, 1979, p. 71).
Figur a 3. Tesouro de Atreu
(VILL ALBA, 1995, p. 29).
Figura 4. Panteon
(VILL ALBA, 1995, p. 73).
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o conjunto permanecerá estável. Esse sistema nada
mais é do que o arco (Figura 5), tão utilizado no
início da civilização. Extrapolando a idéia do arco,
pode-se chegar às abóbadas (Figura 6) e cúpulas
(Figura 7), que são elementos estruturais resul-
tantes da associação de arcos1.
porque os blocos permanecem comprimidos.
Em princípio não é possível utilizar blocos nos
sistemas estruturais em que ocorre tração, como,
por exemplo, um tirante ou mesmo uma viga,
pois, para serem usados estruturalmente, os blo-
cos devem ser comprimidos.
Entretanto, pode-se criar uma viga reta a par-
tir de blocos, desde que se aplique externamente
uma força de compressão que anule qualquer
força de tração que possa ocorrer, ou seja, aplicar
uma pré-tensão de compressão, em última análise
aplicar uma protensão ao conjunto de blocos
(VASCONCELOS, 1993).
O que existe de semelhante entre a estrutura
de um pilar ou parede feitos de blocos e um arco?
Nos dois casos a estrutura só se mantém estável
Figura 5. Arco de pedra
(VILL ALBA, 1995, p. 52).
Figura 6. Abóbada de t ijolo cerâmico
(VILL ALBA, 1995, p. 67).
Esse conceito estrutural deu origem a um siste-
ma construtivo, utilizado em pontes de concreto,
denominado “balanço sucessivo”.
Nesse processo, a viga vai sendo executada a
partir de um apoio central em dois lados neces-
sariamente — de modo que se evitem esforços
de flexão no pilar. Comum como sistema em pon-
tes em ferro, a primeira ponte no mundo a ser
executada por meio desse processo e utilizando
concreto armado foi projetada pelo engenheiro
brasileiro Emílio Baumgart, no ano de 1930,
em Santa Catarina: a Ponte Herval (Figura 8),
Esquema 2
Figura 7. Cúpula do Panteon
( VILLALBA , 1995, p. 73).
130     ● Geometria dos elementos estruturais
posteriormente chamada Emílio Baumgart
(destruída por uma enchente em 1983).
. 
As barras podem ser vistas como a mais eclética
e versátil geometria. Aqui duas dimensões próxi-
mas diferem significativamente de uma terceira.
Define-se como barra o elemento estrutural em que
uma das dimensões, o comprimento, é bem maior
que as outras duas, largura e altura, que juntas
constituem a secção da barra. No limite extremo
das barras, por exemplo, existem os cabos.
Presentes desde nas peças de madeira que ele-
vavam as tendas dos nômades (Figura 10), ou
estruturavam as ocas indígenas, até nas treliças
de aço (Figuras 11 e 12), sua associação permite
uma infinidade de possibilidades estruturais
(ENGEL, 1997).
É importante salientar que não existem limites
precisos que possam definir até que ponto um ele-
mento pode ser considerado barra ou bloco. Isso
depende da sua posição e de sua possibilidade de
transmitir cargas dentro do conjunto estrutural.
Figura 8. Ponte Herval em construção
(VASCONCELOS, 1993, p. 563).
Figura 9. Ponte Rio–Niterói, aduela de fechamento em
montagem (VASCONCELOS, 1993, p. 486).
Entretanto, é fácil perceber que uma barra
isoladamente apresenta maiores possibilidades
estruturais que um bloco: a barra pode ser utili-
zada como pilar, como viga e até como tirante.
E assim sua versatilidade implica a variação tam-
bém de sua rigidez, pois, dependendo da relação
entre as dimensões da secção e do comprimento
da barra, ela pode ser considerada rígida ou não.
E, como se sabe, ser rígida estruturalmente
significa ser capaz de reagir a esforços de flexão,
ou seja, apresentar resistência a ser dobrada.
Barras muito longas e de secção reduzida não
apresentam resistência à compressão nem à flexão,
recebendo a denominação de cabo, quando apre-
sentam apenas reação à tração.
Os cabos apresentam um comportamento bas-
tante dist into das barras rígidas. Quando subme-
tidos a cargas variáveis, mudam de forma conforme
o tipo de carregamento (intensidade, quantidade
e posição). A forma adquirida para um determi-nado carregamento denomina-se funicular.
Funicular
As diversas formas que o cabo adquire em fun-
ção do carregamento denominam-se funicula-
res das forças que atuam no cabo, ou, em outras
palavras, o caminho que as forças percorrem ao
longo do cabo até chegar a seus apoios.
A palavra “funicular” vem do vocábulo lat ino
funis, que significa corda, e do grego gonia, que
significa ângulo (B ERGER, 1996).
Pode-se dizer que o cabo é o extremo oposto
do bloco. Enquanto nos blocos a estabilidade de
uma forma é dada pela compressão entre eles,
Esquema 3
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Figur a 11. Pont e metálica Forth Bridge
(DUPRÉ, p. 58).
Figura 12. East Gate de Shigeru Ban
(KING , p. 105).
Figura 10. Tendas nômades
(BE RGER , 1996, p. 19).
132     ● Geometria dos elementos estruturais
no cabo a estabilidade de forma é dada pela apli-
cação prévia de uma tensão de tração. Quanto mais
tracionado, mais estável é um cabo e mais útil
estruturalmente. O tensionamento de um cabo
pode ser obtido de várias maneiras: por uma pré-
aplicação de tração (protensão), por carregamen-
to externo (aplicação de um carregamento prévio)
e pela associação com materiais rígidos (concreto
ou argamassa), como no caso da cobertura em
cabos do Pavilhão de Portugal (Figura 13), cuja
forma ganha estabilidade pelo lastro de concreto
que configura a cobertura.
As barras rígidas apresentam uma aplicação
ilimitada. Quando associadas, podem vencer
grandes vãos a partir de pequenas peças, como
no caso das treliças, planas e espaciais, vigas
Vierendeel e vagão.
cabo é triangular, com dois é um trapézio, ten-
dendo no limite à forma de uma parábola.
Viga vagão
Figura 13. Pavilhão de Portugal, Álvaro Siza, Lisboa, 1998.
(SAT, 1999, p. 27).
Diferença entre viga vagão, treliça e viga Vierendee l
Um vão vencido pelos cabos. Esse é o princípio
da viga vagão, um sistema composto por barra
horizontal, montantes e cabos. Esse nome deve-
se ao fato de que esse tipo de v iga serviu durante
muito tempo como elemento estrutural de sus-
tentação de vagões de trens. Nesse caso o empuxo
horizontal que todo cabo aplica aos apoios é
absor vido pela própria v iga, resultando em
apenas cargas verticais nos apoios. A v iga vagão
pode ter um ou mais montantes; conforme
aumenta o número de montantes, varia a forma
do cabo. Com um único montante a forma do
No caso de um único montante a viga vagão
confunde-se com uma treliça com barra tracio-
nada composta por cabo. A partir daí, a treliça
distingue-se da vagão pela necessidade de dia-
gonais que desenhem triângulos, sendo essa a
grande vantagem da treliça. Por ter as barras
dispostas em triângulos (figura mais estável),
pode ter todos os seus nós articulados, o que leva
a ocorrer nas barras apenas esforços de tração
e compressão axiais. A configuração das barras
das treliças em triângulos a leva a ser mais rígida
que a viga vagão de mesmos vão e altura.
Treliça
Muitas vezes as diagonais das treliças podem
se tornar indesejáveis por obstruírem a pas-
sagem. A retirada das diagonais faz com que se
perca a forma rígida do triângulo. Neste caso,
para manter a estabilidade do conjunto, é neces-
sário criar alternativas para manter as formas
não mais triangulares indeformáveis; para isso,
é necessário enrijecer os nós da barra, ou se ja,
impedir o giro relativo entre as barras. Essa nova
composição estrutural denomina-se viga
Vierendeel, nome de seu inventor.
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Vierendeel laje — denominada então placa. Quando essa
espessura diminui muito, a lâmina perde rigidez,
exigindo para o vencimento de vãos um pré-
tensionamento — como nas membranas — ou
as dobraduras — como nas cascas.
O uso de placas é recorrente em determina-
das arquiteturas, como, na vanguarda moderna,
no pavilhão alemão projetado por Mies van der
Rohe (Figura 14) para a exposição de 1929 em
Barcelona, ou na Casa Schroeder, de Rietveld,
de 1914 (Figura 15).
O que caracteriza as placas é sua possibilidade
de rigidez no vencimento de vãos no plano, que
se torna possível com a adoção de uma espessura
adequada. A proporção entre as dimensões, com-
primento, largura e espessura definem a diferença
entre uma placa e uma membrana.
Menos recorrentes, as lâminas como membra-
nas, entretanto, participam do universo construído
desde as tendas dos povos nômades até, mais recen-
temente, as estruturas leves tensionadas de Frei
Otto, em que essa geometria estrutural ganha corpo
em obras permanentes
A flexibilidade do material permite seu uso
em estruturas móve is, como na co be rt ura
retrátil do teatro aberto Abbey Ruin (Figura 16),
na Alemanha, inaugurado em 1968. Ou mesmo
nos elementos mais singelos dos telhados de
guarda-chuvas automáticos construídos para a
exposição ocorrida em Colônia, Alemanha, em
1971 (Figuras 17 e 18).
Em última análise, a membrana é um conjun-
to de cabos muito próximos configurando uma
trama. Portanto, apresenta as mesmas questões
estruturais dos cabos. Ou seja, muda de forma com
a mudança de carregamento (ver box funicular).
Uma das formas de enfrentar essa dificuldade
é enrijecê-lo por meio da aplicação de uma tensão
Em princípio a treliça é mais econômica que uma
Vierendeel, por consumir menos material, e
menos econômica que uma vagão, por apresen-
tar uma quantidade maior de barras, as diago-
nais. Cada uma das soluções apresenta vantagens
e desvantagens; conhecê-las permite a escolha
mais correta para cada situação de projeto
(REBELL O, 2000).
As barras são tão ecléticas, que podem ser
usadas para criar superfícies de dupla curvatura,
como os parabolóides hiperbólicos que apresen-
tam a interessante característica de que podem
ser gerados a partir de segmentos retos. Apro-
ximando-se nesse caso do comportamento das
membranas, um tipo de lâmina. As coberturas
de madeira moldáveis no local de Frei Otto são
cascas discretizadas, ou seja, são parabolóides,
cúpulas geodésicas, formados por barras.
. 
Estruturas que constituem superfícies contínuas
podem ser obtidas com o uso de lâminas: e lementos
estruturais em que duas dimensões predominam
em relação a uma terceira. São exemplos de lâmi-
nas a laje, a parede, a lona, e assim por diante.
Dependendo da espessura da lâmina, ela pode
estruturar-se por sua própria rigidez, é o caso da
Esquema 4
134     ● Geometria dos elementos estruturais
Figura 14. Pavilhão alemão (Mies van der Rohe),
Barcelona, 1929 (BENEVOLO, 1979, p. 400 ).
Figura 15. Casa Sc hroeder, de R ietveld, 1914
(BENEVOLO, 1979, p. 475).
Figura 16. Cobertura retrátil, teatro aberto Abbey Ruin
(GL AESER, p. 38).
Figura 17. Cobertura retrátil, teatro aberto Abbey Ruin
 (GL AESER, p. 39).
Figura 18. Guarda-chuvas automáticos, exposição em Colônia
(GL AESER, p. 44).
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de tração prévia. Nos cabos, essa tensão normal-
mente é fornecida pelo uso de outro cabo, deno-
minado estabilizante, que aplica ao primeiro,
denominado portante, uma força de tração. Para a
eficiência do processo, os cabos devem estar dis-
postos ortogonalmente e com curvaturas opostas.
O mesmo raciocínio pode-se estender para o
comportamento das membranas (ANGERER, s./d.;
OTTO & RASCH, 1995), em que a dupla curvatura
oposta é fundamental para sua estabilidade.
Como seria bom se pudéssemos obter um siste-
ma estrutural que tivesse as qualidades da placa
— ou seja, r igidez para vencer vãos — e a esbeltez
das membranas, sem necessidadede um enri-
jecimento prévio. Esse sistema estrutural existe:
a casca. Um elemento esbelto e rígido. Para obter
essa característica, é necessária uma dobra na super-
fície da lâmina que promove a rigidez necessária.
As cascas têm utilização tão prosaica quanto
nas telhas onduladas em fibrocimento ou em
desenhos sofisticados, como o da cobertura do
restaurante em Xochimilco (Figura 19), de Félix
Candela, em 1957, ou na marquise de entrada
do laboratório Lenderle, 1955 (Figura 20).
. : 

No universo construído os elementos vistos acima
nem sempre comparecem isoladamente. Entre-
tanto, ainda que em associações estruturais, a iden-
tificação das geometrias participantes facilita nossa
compreensão do comportamento do conjunto.
Um exemplo clássico de eficiência estrutural
e de rápida compreensão numa impressionante
arquitetura é a estrutura das catedrais góticas
(Figura 21 e Figura 22). Nesse caso podemos reco-
nhecer blocos, lâminas e barras trabalhando
num conjunto harmônico estrutural, sem perder
sua identidade e comportamento predominante.
O cruzamento das lâminas nas cúpulas gera barras
que encaminham as cargas para outras barras nos
Esque ma 5
Figur a 19. R estaurante em Xo chimilco, 1957
(BOGÉA, LOPES & R EBELLO, 1999, p. 50).
Figura 20. Marquise d o laboratório L enderle, 1955
(BOGÉA , LOPES & R EBELLO, 1999, p. 50).
136     ● Geometria dos elementos estruturais
contrafortes e arcobotantes, todo o conjunto cons-
tituído a partir dos blocos de pedra.
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Figura 21. Corte da Catedral São Pedro de Beauvais
(VILL ALBA, 1995, p. 215).
Figura 22. Abóbada da Catedral de Reims
(VILL ALBA, 1995, p. 215).
Notas
1 Sobre arcos, abóbadas e cúpulas, ver ENGEL, 1997.
GLAESER, L. The work of Frei Otto and his teams 1955-1976,
pp. 38, 39, 44.
KING, L. Shigeru Ban, p. 105.
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