201853 142212 III+ +Matemática+ +Noções+de+limites+2f+ +2018.05.03 (1)

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03/05/2018
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Matemática
Curso: Medicina Veterinária
Prof.: Carlos Magno Sossai Andrade
e-mail: cmagno.sa@gmail.com
Noções de limites
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Noções de Limites
• Quando queremos investigar o comportamento dos valores
de Y da função y = 𝑓 𝑥 , quando X está próximo de um
ponto P
• Dizer que o limite de uma função y = 𝑓 𝑥 , em um ponto P, é
o número L, é afirmar que, à medida que X se aproxima de P,
os valores da função aproximam-se do número L.
lim
௫→௣
𝑓(𝑥) = 𝐿
Noções de Limites
• Exemplo 1
Como se comportam os valores da função 𝑦 = 3𝑥 + 5 quando
X se aproxima do ponto P = 4?
lim
௫→௣
𝑓(𝑥) = 𝐿
lim
௫→ସ
(3𝑥 + 5) =?
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Noções de Limites
• Exemplo 1
lim
௫→ସ
(3𝑥 + 5) = 𝐿
À medida que o X se aproxima de 4 (𝑥 → 4),
• O valor de 3x aproxima-se de 12
• E 3𝑥 + 5 aproxima-se de 17
Portanto L=17
lim
௫→ସ
(3𝑥 + 5) = 17
Noções de Limites
• Exemplo 2
Como se comportam os valores da função 𝑓 𝑥 = 𝑥ଶ − 2𝑥 + 1 
quando x se aproxima do ponto P = 3?
lim
௫→௉
𝑓(𝑥) = 𝐿
lim
௫→ଷ
(𝑥ଶ − 2𝑥 + 1) = ?
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Noções de Limites
• Exemplo 2
lim
௫→ଷ
(𝑥ଶ − 2𝑥 + 1) = 𝐿
À medida que o X se aproxima de 3 (𝑥 → 3),
• x² aproxima-se de 9
• 2𝑥 aproxima-se de 6
• 𝑥ଶ − 2𝑥 + 1 aproxima-se de 4
Portanto L=4
lim
௫→ଷ
(𝑥ଶ − 2𝑥 + 1) = 4
Noções de Limites
• Exercícios Propostos 1
Calcule intuitivamente os limites:
1) lim
௫→ହ
(3𝑥 − 1)
2) lim
௫→ଷ
(10 − 2𝑥)
3) lim
௫→଴
(𝑥ଶ − 10)
4) lim
௫→ିଵ
(𝑥ଶ − 𝑥 + 1)
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Noções de Limites
• Exercícios Propostos - Respostas
Calcule intuitivamente os limites:
1) lim
௫→ହ
(3𝑥 − 1) = 14
2) lim
௫→ଷ
(10 − 2𝑥) = 4
3) lim
௫→଴
(𝑥ଶ − 10) = −10
4) lim
௫→ିଵ
𝑥ଶ − 𝑥 + 1 = 3
Noções de Limites
• Exemplo 3
Como se comportam os valores da função 𝑓 𝑥 = ௫ିଶ
௫ାଵ
 quando
x se aproxima do ponto P = 2?
lim
௫→௉
𝑓(𝑥) = 𝐿
lim
௫→ଶ
(
𝑥 − 2
𝑥 + 1
) = ?
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Noções de Limites
• Exemplo 3
lim
௫→ଶ
(
𝑥 − 2
𝑥 + 1
) = 𝐿
À medida que o X se aproxima de 2 (𝑥 → 2),
• 𝑥 − 2 aproxima-se de 0
• 𝑥 + 1 aproxima-se de 3
Portanto ௫ିଶ
௫ାଵ
 → ଴
ଷ
= 0
lim
௫→ଶ
(
𝑥 − 2
𝑥 + 1
) = 0
Noções de Limites
• Exercícios Propostos 2
Calcule os limites:
5) lim
௫→ସ
௫ାଶ
௫ିଶ
6) lim
௫→ିଷ
௫ାଷ
௫ାହ
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Noções de Limites
• Exercícios Propostos 2 - Respostas
Calcule os limites:
5) lim
௫→ସ
௫ାଶ
௫ିଶ
= 3
6) lim
௫→ିଷ
௫ାଷ
௫ାହ
= 0
Noções de Limites
• Exemplo 4
Como se comportam os valores da função 𝑓 𝑥 = ௫²ିସ
௫ିଶ
 quando
x se aproxima de 2?
lim
௫→௉
𝑓(𝑥) = 𝐿
lim
௫→ଶ
(
𝑥² − 4
𝑥 − 2
) = ?
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Noções de Limites
• Exemplo 4
lim
௫→ଶ
(
𝑥² − 4
𝑥 − 2
) = 𝐿 
À medida que o X se aproxima de 2 (𝑥 → 2),
• 𝑥² − 4 aproxima-se de 0
• 𝑥 − 2 aproxima-se de 0
De forma que: ௫ିଶ
௫ାଵ
 → ଴
଴
Para resolver, construímos tabelas de valores:
Noções de Limites
• Exemplo 4
lim
௫→ଶ
(
𝑥² − 4
𝑥 − 2
) = 𝐿 
2 ? 2 ?
É fácil perceber que lim
௫→ଶ
(௫²ିସ
௫ିଶ
) = 4 
x x
1 3 3 5
1,9 3,9 2,1 4,1
1,99 3,99 2,01 4,01
1,999 3,999 2,001 4,001
𝑦 =
𝑥ଶ − 4
𝑥 − 2
𝑦 =
𝑥ଶ − 4
𝑥 − 2
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Noções de Limites
• Exemplo 5
Qual o limite de 𝑓 𝑥 = ௫
మିଵ଴௫ା
௫ି଼
 quando x se aproxima de 8?
lim
௫→௉
𝑓(𝑥) = 𝐿
lim
௫→଼
(
𝑥ଶ − 10𝑥 + 16
𝑥 − 8
) = ?
Noções de Limites
• Exemplo 5
lim
௫→଼
(
𝑥ଶ − 10𝑥 + 16
𝑥 − 8
) = 𝐿 
À medida que o X se aproxima de 8 (𝑥 → 8),
• 𝑥² − 10𝑥 + 16 aproxima-se de 0
• 𝑥 −8 aproxima-se de 0
De forma que: ௫
మିଵ଴௫ାଵ଺
௫ି଼
→ ଴
଴
Para resolver, construímos tabelas de valores:
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Noções de Limites
• Exemplo 5
lim
௫→଼
(
𝑥ଶ − 10𝑥 + 16
𝑥 − 8
) = 𝐿 
8 8
É fácil perceber que lim
௫→଼
(௫
మିଵ଴௫ାଵ଺
௫ି଼
) = 6
x x
7 5 9 7
7,9 5,9 8,1 6,1
7,99 5,99 8,01 6,01
7,999 5,999 8,001 6,001
𝑦 =
𝑥ଶ − 10𝑥 + 16
𝑥 − 8
𝑦 =
𝑥ଶ − 10𝑥 + 16
𝑥 − 8
Noções de Limites
• Observação
• Se as tabelas fornecerem valores à esquerda e à direita
distintos, dizemos que esses valores são os limites laterais à
esquerda e à direita do ponto em análise. Porém, o limite no
ponto NÃO EXISTE
• Caso um dos lados não possa ser calculado, o limite para
esse ponto também não existe. Mas o limite lateral ainda
pode ser calculado.
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Noções de Limites
• Exemplo 6
Qual o limite de 𝑓 𝑥 = 𝑥 quando x se aproxima de 0?
lim
௫→௉
𝑓(𝑥) = 𝐿
lim
௫→଴
( 𝑥) = ?
Noções de Limites
• Exemplo 6
lim
௫→଴
( 𝑥) = 𝐿
0 ?? 0
Temos que o limite à direita é L = 0, e o limite à esquerda não
existe. Então :
lim
௫→଴
( 𝑥) = 𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
x x
-1 ? 1 1
-0,1 ? 0,1 0,32
-0,01 ? 0,01 0,10
-0,001 ? 0,001 0,032
0,0001 0,01
𝑦 = 𝑥 𝑦 = 𝑥
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Noções de Limites
• Limites infinitos
• Pode ocorrer que, à medida que X se aproxime de P, os
valores de 𝑦 = 𝑓(𝑥) tornem-se números muito grandes,
afetados dos sinais (+) ou (-)
• Nesse caso, se o número que cresce indefinidamente à
medida que X se aproxima de P é positivo, descrevemos
esse comportamento dizendo que o limite calculado é +∞
(mais infinito)
• Caso contrário, é −∞ (menos infinito)
Noções de Limites
• Limites infinitos – Exemplo 1
Calcule lim
௫→଴
ହା௫
௫మ
À medida que o X se aproxima de 0 (𝑥 → 0),
• 5 + 𝑥 aproxima-se de 5
• 𝑥² aproxima-se de 0
De forma que:ହା௫
௫మ
→ ହ
଴
Essa fração não pode ser intuitivamente determinada,
construímos tabelas então:
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x x
-1 4 1 6
-0,1 490 0,1 510
-0,01 49900 0,01 50100
-0,001 4999000 0,001 5001000
Noções de Limites
• Limites infinitos – Exemplo 1
lim
௫→଴
5 + 𝑥
𝑥ଶ
0 +∞ 0 +∞
Quando X se aproxima de zero tanto pela esquerda quanto
pela direita, os valores da função tendem a +∞, então:
lim
௫→଴
5 + 𝑥
𝑥ଶ
= + ∞
𝑦 =
5 + 𝑥
𝑥² 𝑦 =
5 + 𝑥
𝑥²
Noções de Limites
• Limites infinitos – Exemplo 2
Calcule lim
௫→ଷ
௫మାଵ
௫ିଷ
À medida que o X se aproxima de 3 (𝑥 → 3),
• 𝑥ଶ + 1 aproxima-se de 10
• 𝑥 − 3 aproxima-se de 0
De forma que:௫
మାଵ
௫ିଷ
→ ଵ଴
଴
Essa fração não pode ser intuitivamente determinada,
construímos tabelas então:
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Noções de Limites
• Limites infinitos – Exemplo 2
lim
௫→ଷ
𝑥ଶ + 1
𝑥 − 3
3 −∞ 3 +∞
O Limite à esquerda é −∞. O limite à direita é +∞. Mas o limite no ponto P
= 3 NÃO EXISTE, pois os limites laterais são diferentes
lim
௫→ଷ
𝑥ଶ + 1
𝑥 − 3
= 𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
x x
2 -5 4 17
2,9 -94,1 3,1 106,1
2,99 -994,01 3,01 1006,01
2,999 -9994,001 3,001 10006,001
𝑦 =
𝑥ଶ + 1
𝑥 − 3
𝑦 =
𝑥ଶ + 1
𝑥 − 3
Noções de Limites
• Exercícios Propostos 3
Calcule os limites com tabela de valores
7) lim
௫→ଷ
௫మିଽ
௫ିଷ
8) lim
௫→ହ
௫మି଻௫ାଵ
௫ିହ
9) lim
௫→ସ
ଵ଴ି௫
௫ିସ
10) lim
௫→ଶ
௫మି଺௫ା଼
௫ିଶ
11) lim
௫→଴
௫మି௫
௫
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Noções de Limites
• Exercícios Propostos 3 - Respostas
Calcule os limites com tabela de valores
7) lim
௫→ଷ
௫మିଽ
௫ିଷ
= 6
8) lim
௫→ହ
௫మି଻௫ାଵ
௫ିହ
= 3
9) lim
௫→ସ
ଵ଴ି௫
௫ିସ
= não existe, limites lateriais diferentes.
10) lim
௫→ଶ
௫మି଺௫ା଼
௫ିଶ
= −2
11) lim
௫→଴
௫మି௫
௫
= −1
Noções de Limites
• Função contínua
• Se uma função tem limite em um ponto P e, além disso, é
possível calcular o valor dessa função no ponto e o valor
coincide com o limite, dizemos que a função é contínua!
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Noções de Limites
• Função contínua – Exemplo 1
Verifique se a função 𝑦 = ଷ௫ାଽ
௫ାଷ
 é contínua em P = 2.
lim
௫→ଶ
3𝑥 + 9
𝑥 + 3
À medidaque o X se aproxima de 2 (𝑥 → 2),
• 3𝑥 + 9 aproxima-se de 15
• 𝑥 + 3 aproxima-se de 5
De forma que:ଷ௫ାଽ
௫ାଷ
→ ଵହ
ହ
= 3
Então: lim
௫→ଶ
ଷ௫ାଽ
௫ାଷ
= 3
Noções de Limites
• Função contínua – Exemplo 1
Substituindo X=2 na função Y:
𝑦 = ଷ௫ାଽ
௫ାଷ
𝑦 = ଷ(ଶ)ାଽ
(ଶ)ାଷ
𝑦 = ଵହ
ହ
 𝑦 = 3
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Noções de Limites
• Função contínua – Exemplo 1
A função é contínua em 𝑥 = 2, pois seus valores caminham
para 5 quando X se aproxima de 2 e atinge o valor de 5 em
𝑥 = 2
• lim
௫→ଶష
ଷ௫ାଽ
௫ାଷ
= 5
• lim
௫→ଶశ
ଷ௫ାଽ
௫ାଷ
= 5
• 𝑦(2) = 5
Noções de Limites
• Exercícios Propostos 4
Indique se a função é contínua no ponto dado.
11) lim
௫→ହ
3𝑥ଶ − 1
12) lim
௫→ଶ
ଵ
௫ିଶ
13) lim
௫→ିଷ
ଵ଴ାହ௫
௫ା௫²
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Noções de Limites
• Exercícios Propostos 4 - Respostas
Indique se a função é contínua no ponto dado.
11) lim
௫→ହ
3𝑥ଶ − 1
12) lim
௫→ଶ
ଵ
௫ିଶ
13) lim
௫→ିଷ
ଵ଴ାହ௫
௫ା௫²