Altimetria: Complemento da Planimetria

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO 
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E TECNOLÓGICAS 
DISCIPLINA: TOPOGRAFIA 
AGRONOMIA – ENG. FLORESTAL – ENG. DE PESCA – BCT 
 
 
 
 
 
PLANIALTIMETRIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UFERSA 
CAMPUS MOSSORÓ – RN 
1. Introdução 
 
 
No capítulo anterior, vimos que nos levantamentos topográficos por Planimetria obtemos a representação 
de uma área estudada com todos os seus acidentes projetados em um plano horizontal. No entanto, para a 
maioria dos trabalhos de Engenharia, nos quais se aplica as informações obtidas por um levantamento 
topográfico, o uso de dados provenientes apenas de informações planimétricas acarreta em representação 
incompleta, uma vez que informações sobre o relevo do área estudada não é levada em consideração. Assim, 
para que seja possível a obtenção de dados referentes ao relevo do terreno, são necessários estudos que englobem 
o conhecimento sobre diferenças de altitute entre dois pontos quaisquer. 
A Altimetria, também chamada de Hipsometria, é a parte da Topografia que tem por finalidade determinar 
medidas de distância vertical ou diferença de nível entre pontos topográficos, de forma que a Altimetria 
complementará o levantamento planimétrico, nos fornecendo elementos para obtenção do relevo, bem como o 
modo de representá-lo no plano horizontal. 
Conforme visto anteriormente, a representação topográfica de um determinado terreno não leva em 
consideração à curvatura da terra em consequência da sua esfericidade, assim, a distância vertical entre dois 
pontos determinada topograficamente não corresponde fielmente a distância exata, uma vez que a topografia 
considera a terra como um plano, conforme mostrada na Figura 2. 
 
Figura 2. Representação esquemática da superfície da terra de segundo diferentes formas de interpretação 
 
 
Assim como essas diferenças acarretam erros nos levantamentos topográficos por planimetria, também 
podem acarretar erros em levantamentos por altimetria, caso o trabalho seja realizada em grandes intervalos de 
superfície. Um exemplo disso pode é mostrado na Figura 3. 
Para se determinar a diferença de nível entre os pontos A e B, coloca-se uma mira em posição vertical no 
ponto B; e como instrumento instalado no ponto A, determina-se a horizontal AH, que corresponde a superfície 
de nível aparente, que irá interceptar a mira em um ponto C, e não em B, pois o arco AB não pode ser 
determinado pelos aparelhos utilizados n a Topografia. É evidente que a substituição do nível verdadeiro pelo 
nível aparente provoca um erro na determinação da altura de um ponto de um terreno, o qual é denominado erro 
devido à curvatura da terra. 
 
 
Figura 3. Representação esquemática do erro devido a curvatura da terra 
 
 
O erro cometido, ao se admitir que os pontos A e C estão em nível (nível aparente), é o erro EC = BC, 
denominado erro devido à curvatura da terra. Este erro pode ser calculado, desde que seja medida a extensão do 
alinhamento AC=D, uma vez que o raio da terra é conhecido. 
 
Assim: 
 
DH
2
 = (OB + BC)
2
 - OA
2
 
 
ou: 
 
D
2
 = (R + EC)
2
 - R
2
 
 
Desenvolvendo: 
 
D
2
 = EC (EC + 2.R) 
 
EC = D
2
 / (EC + 2.R) 
 
Como o erro é uma quantidade muito pequena em relação ao raio da Terra, pode-se, sem cometer erro 
sensível, desprezar EC no denominador, e a fórmula para o cálculo do erro devido à curvatura da terra é: 
 
EC = D
2
 / 2.R 
 
Na prática das operações altimétricas, o erro devido à curvatura da Terra, apresenta-se diminuído, em razão 
do efeito da refração atmosférica sobre o raio visual. Quando se faz uma visada de um ponto para outro, o raio 
visual ao atravessar as camadas atmosféricas de densidades diferentes se refrata, seguindo uma trajetória curva, 
situada sobre o plano vertical visual, cuja concavidade é dirigida sobre a superfície do solo. 
Como conseqüência, o ponto C, quando visado de A é visto em C‟, originando o erro de refração: ER = 
CC‟. 
A superfície AC‟ é dita superfície de nível ótico. Este erro é dependente da temperatura e do estado 
higrométrico do ar, além de outras circunstâncias locais. Em condições normais, a equação do erro de refração é 
a seguinte: 
 
ER = 0,1306.EC 
 
Onde 0,1306 representa o raio de curvatura de refração médio diário. 
 
A correção a ser feita na determinação da altura do ponto B, visto de A, será: 
 
ERECC 
 
R2
DH
1306,0
R2
DH
C
22 
)1306,01(
R2
DH
C
2
 
 
R2
DH
87,0C
2 
 
R
DH
43,0C
2 
 
Considerando o raio da terra (R) de aproximadamente 6.370 km, temos: 
 
370.6
DH
43,0C
2 
 
28
DH10x.75,6C (DH em metros, m) 
 
Ou 
 
2
DH068,0C (DH em quilometro, km) 
 
Assim, pode-se determinar o erro devido à curvatura da terra e à refração atmosférica, para qualquer visada 
efetuada. 
Para uma visada de 100 m, o erro será igual a 0,0007 m; para uma visada de 120 m, o erro será igual a 
0,0010 m; já para uma visada de 1000 m, o erro será igual a 0,068 m. Assim, para distâncias menores que 120 m 
o erro devido à curvatura da terra e à refração atmosférica pode ser desprezado, por ser inferior ao milímetro. 
 
 
2. Nivelamento Altimétrico 
 
Nivelamento é a operação que determina as diferenças de nível ou distâncias verticais entre pontos do 
terreno. O nivelamento destes pontos, porém, não termina com a determinação do desnível entre eles mas, inclui 
também, o transporte da cota ou altitude de um ponto conhecido (RN – Referência de Nível) para os pontos 
nivelados. 
 
Altitude: é a distância vertical (ou diferença de nível) de um ponto do terreno ao nível médio dos mares. 
 
_ Cota: é a distância vertical (ou diferença de nível) de um ponto do terreno a um plano horizontal de 
referência arbitrário. 
_ Diferença de nível: é a distância vertical entre o plano de referência e a cota ou altitude de um ponto no 
terreno. 
_ Declividade: é a relação entre a diferença de nível e a distância horizontal. (poderá ser expressa em graus 
ou porcentagem). 
 
Segundo ESPARTEL (1987) a altitude corresponde um nível verdadeiro, que é a superfície de referência 
para a obtenção da DV ou DN e que coincide com a superfície média dos mares, ou seja, o Geóide. 
À cota corresponde um nível aparente, que é a superfície de referência para a obtenção da DV ou DN e que 
é paralela ao nível verdadeiro. Na figura 1 é apresentada uma ilustração sobre a relação entre a altitude e a cota 
de um ponto qualquer. 
 
 
Figura 1. Esquematização da altitude e da cota de um ponto quanquer 
 
 
 
Precisão do Nivelamento 
 
A precisão, tolerância ou erro médio de um nivelamento é função do perímetro percorrido com o nível (em 
km) e, segundo GARCIA e PIEDADE (1984), classifica-se em: 
 
Alta ordem: o erro médio admitido é de ±1,5 mm/km percorrido. 
Primeira ordem: o erro médio admitido é de ±2,5 mm/km percorrido. 
Segunda ordem: o erro médio admitido é de 1,0 cm/km percorrido. 
Terceira ordem: o erro médio admitido é de 3,0 cm/km percorrido. 
Quarta ordem: o erro médio admitido é de 10,0 cm/km percorrido. 
 
 
Tolerância nos Nivelamentos 
 
A ABNT(1994) é quem estabelece os critérios para execução de levantamentos topográficos e classifica os 
tipos de nivelamento em função da precisão desejada. O nivelamento trigonométrico está presente em duas 
classes, IIIN e IVN sendo que a segunda é específica para o nivelamento taqueométrico. 
Muitas empresas e profissionais usam o nivelamento trigonométrico com estação total em atividades que, 
para atender rigorosamente a ABNT(1994), deveria ser realizado por nivelamento geométrico.Entretanto em 
muitas situações as empresas que necessitam contratar serviços altimétricos não especificam o nivelamento 
trigonométrico por apresentar tolerância muito elevada. 
Esta situação apresenta-se de maneira antagônica: de um lado os equipamentos possibilitam amplo uso do 
nivelamento trigonométrico e do outro a elevada tolerância definida pela norma limita sua especificação. Essa 
foi a principal razão para o desenvolvimento deste trabalho, além provocar discussão acerca da necessidade do 
desdobramento da classificação deste método de nivelamento. 
 
 
Tabela 1 - Classificação dos nivelamentos. 
Classe Equipamento Linha DH máximo (m) Tolerância 
IN – Geométrico Classe 3 80 12 mm √K 
IIN – Geométrico Classe 2 80 20 mm √K 
IIIN - Trigonométrico Classe 2 Principal 500 150 mm √K 
Classe 2 Secundária 300 200 mm √K 
K – Comprimento total do levantamento, em km. (Fonte (ABNT, 1994)) 
 
Tabela 2. Níveis de precisão do nivelamento 
Níveis de precisão Desvio Padrão 
Baixa ≥ ± 10 mm/km 
Média ≤ ± 10 mm/km 
Alta ≤ ± 3 mm/km 
Muito alta ≤ ± 1 mm/km 
(Fonte (ABNT, 1994)) 
 
 
 
 
Onde o erro médio é avaliado da seguinte forma: 
 
Para poligonais fechadas: é a soma algébrica das diferenças de nível parciais (entre todos os pontos). 
Para poligonais abertas: é a soma algébrica das diferenças de nível parciais (entre todos os pontos) no 
nivelamento (ida) e no contranivelamento (volta). 
Este erro, ao ser processado, poderá resultar em valores diferentes de zero, para mais ou para menos, e 
deverá ser distribuído proporcionalmente entre as estações da poligonal, caso esteja abaixo do erro médio total 
temível. 
Assim, segundo ESPARTEL (1987), o erro médio total temível em um nivelamento para um perímetro P 
percorrido em quilômetros, deverá ser: 
 
Pmm5E m
 
 
E o erro máximo admissível, segundo o mesmo autor, deverá ser: 
 
mmad E5,2E
 
 
 
Utilização das Medidas de um Levantamento Altimétrico 
 
As medidas, cálculos e transportes de um nivelamento podem ser utilizados na: 
 
Construção de Perfis 
 
Estudo do relevo ou do seu modelado, através das curvas de nível; 
Locação de rampas de determinada declividade para projetos de engenharia e arquitetura: edificações, 
escadas, linhas de eletrificação rural, canais e encanamentos, estradas etc.; 
 
Estudo dos serviços de terraplanagem (volumes de corte e aterro). 
 
 
3. Métodos de Nivelamento topográfico 
 
Assim, pode-se observar que existem vários métodos de levantamentos altimétricos, de tal forma que, para 
cada condição do terreno e para cada finalidade desejada no nivelamento, é conveniente um método diferente nas 
medições. Abaixo estão descritas algumas características de tais métodos: 
 
3.1 Método Barométrico (barômetro) 
 
Realizado com a utilização de barômetros de cuba ou metálicos que indicam a pressão atmosférica nos 
pontos a serem levantados. Através da diferença entre os valores de pressão medidos entre pontos distintos, é 
determinada a diferença de nível. Este método apresenta precisão métrica. Pela influência de outros fatores 
exógenos ao parâmetro “Diferença de nível” interferirem na pressão atmosférica (temperatura, umidade, 
densidade), a utilização do nivelamento barométrico deve se limitar a levantamentos expeditos. Para a obtenção 
de resultados mais precisos, exigidos pelas normas topográficas, este método de obtenção de altitudes não deve 
ser utilizado. A determinação da altitude de um determinado local é determinada em função da altitude e da 
pressão. Conforme mostrada no esquema abaixo, quanto maior a temperatura e a pressão local menor a altitude 
do local, e, de forma contrária, quanto menor a temperatura e a pressão do local, maior a altitude. 
 
Temperatura
Pressão
Altitude
Temperatura
Pressão Altitude
 
 
 
3.2 Método Fotogramétrico (fotografias aéreas) 
 
Utilizado para determinação de curvas de nível em grandes áreas. Este método utiliza fotografias aéreas, 
obtidas através de trabalhos de Fotogrametria, e apresenta precisão métrica ou submétrica 
 
 
 
 
3.3 Método Trigonométrico (Estação Total, Teodolitos): 
 
Utilizado no levantamento de curvas de nível, perfis de terrenos (que servirão para o cálculo dos volumes 
de corte e aterro) e determinação de cotas de novos pontos a partir de um ponto de cota conhecida. Este método 
utiliza as Estações Totais, que efetuam leitura de ângulos (horizontais e verticais) e distâncias (inclinadas). Após 
a coleta destes dados, se aplicam relações trigonométricas (senos e cossenos) e conseqüentemente calcula-se a 
distância vertical e horizontal entre 2 pontos. Pode-se utilizar ainda, teodolitos, sendo que neste caso deve-se 
obter a distâncias com medidas a trena. Apresenta precisão de centímetros. 
 
3.4 Método Geométrico (Nível ótico automático, Nível Digital, Nível Laser) 
 
Utilizado para determinação das diferenças de cotas dos pontos de um terreno, nivelamento de poligonais, 
transporte de cotas e altitudes, etc. Utiliza-se as leituras de ré e vante de um Nível Ótico Automático, Nível 
Digital ou Nível a Laser e apresenta precisão milimétrica. Os métodos de levantamentos altimétricos Geométrico 
e Trigonométrico são os mais importantes na execução da maioria dos trabalhos de nossa área, desta forma, 
nosso estudo será elaborado para esses dois métodos. 
 
 
2. Nivelamento Geométrico 
 
O nivelamento geométrico é baseado na diferença de leituras em miras verticais graduadas. A precisão 
obtida é bastante grande, da ordem de milímetros nos trabalhos especiais de 1ª ordem, até apenas alguns 
centímetros nos topográficos comuns. 
De modo geral, os instrumentos empregados nos trabalhos de nivelamento geométrico são denominados 
níveis. Utilizam-se, também, nas operações de nivelamento, associadas aos níveis, as miras. 
O objetivo dos níveis é fornecer um plano horizontal, para as operações topográficas. O fio central do retículo 
(Lm – leitura média) da luneta define um plano horizontal de referência. 
Os níveis podem ser óticos, digitais e laser. O nível ótico constitui o equipamento clássico de nivelamento. 
Consiste basicamente em uma luneta montada sobre um tripé, com possibilidade de ser nivelada com 
precisão, através de parafusos calantes e bolhas. 
 
 
 
 
Quanto ao funcionamento, os equipamentos podem ser classificados em digitais e ópticos; 
Nos níveis digitais a leitura na mira é efetuada automaticamente empregando miras em código de barra; 
Os níveis ópticos podem ser classificados em mecânicos e automáticos. No primeiro caso, o nivelamento 
"fino ou calagem" do equipamento é realizado com o auxílio de níveis de bolha bi-partida; 
Nos modelos automáticos a linha de visada é nivelada automaticamente, dentro de um certo limite, 
utilizando-se um sistema compensador (pendular); 
Os níveis digitais podem ser enquadrados nesta última categoria 
Os níveis a laser consistem em um novo tipo de equipamento, projetado para definir planos horizontais, 
verticais ou com certa inclinação. São compostos por duas unidades, a unidade projetora, que é um aparelho 
emissor de um feixe de raio laser que passa através de um prisma rotatório definindo assim um plano horizontal 
materializado pela radiação; e a unidade detectora, que pode ser afixada numa baliza e movida para cima e para 
baixo, com relação ao plano previamente materializado. O feixe de laser incide verticalmente num prisma 
pentagonal e após duas reflexões nas faces, emerge na direção horizontal. A horizontalidade do equipamento é 
condição crítica para o bom funcionamento e costuma ser conseguida por um dos três métodos: normalmente 
com três parafusos calantes de nível tubular; através de um compensadorótico baseado no efeito da gravidade 
sobre um pêndulo interno ou um compensador eletrônico. Tem um alcance de até 450 m, com precisão de 1 mm 
para distâncias de até 100 m , e de 3 mm para distâncias maiores. 
As miras são réguas de madeira ou metal usadas no nivelamento para determinação de distâncias verticais, 
medidas entre a projeção do traço do retículo horizontal da luneta na mira e o ponto do terreno onde a mira está 
instalada. 
As miras mais utilizadas são as “miras falantes”. Estas, geralmente apresentam o comprimento de 4 metros, 
sendo graduadas em centímetros. Os centímetros são pintados alternadamente em preto e branco, os decímetros 
numerados em preto e os metros assinalados por círculos pintados em preto ou vermelho. 
As miras normalmente são de encaixe. São constituídas de três peças, encaixadas a primeira dentro da 
segunda e esta na terceira. Um dispositivo com mola fixa uma peça na outra quando a mira está completamente 
distendida, de maneira que a graduação de uma seja a continuação de outra. 
Existem miras com graduação direta e graduação indireta, para leitura com instrumentos de luneta de 
imagem direta ou indireta, respectivamente. A leitura na mira é constituída por quatro algarismos e um número 
de três casas decimais: metro, decímetro, centímetro e milímetro. O ponto indica o número de metros; o 
algarismo o número de decímetros; os traços pretos e brancos alternados, o número de centímetros e o número de 
milímetros são estimados. 
A precisão destes equipamentos depende do sistema de nivelamento, da sensibilidade das bolhas e da 
precisão das miras. Alguns níveis óticos possuem um compensador ou nivelador automático, que permite o 
posicionamento horizontal automatizado em frações de segundo, desde que o nivelamento “grosseiro” esteja 
dentro da margem de tolerância. 
O princípio de funcionamento de um nível eletrônico é o processamento unidimensional de imagens, a 
partir de uma mira codificada em código de barras. A leitura da mira codificada é feita através de uma rede de 
sensores óticos, a qual reconhece a codificação da mira através de um processo de correlação de imagens entre a 
imagem da mira e uma imagem padrão gravada na memória do instrumento. Em termos de precisão, os níveis 
eletrônicos possuem precisões que variam de 0,4 mm a 0,9 mm em nivelamento duplo e com miras de invar. 
 
“Levantamento que objetiva, exclusivamente, a determinação das alturas relativas a uma superfície de 
referência, dos pontos de apoio e/ou dos pontos de detalhes, pressupondo-se o conhecimento de suas posições 
planimétricas, visando à representação altimétrica da superfície levantada.” (NBR 13.133). 
O nivelamento pode ser realizado através de vários processos, dependendo da área (m2) envolvida e da 
finalidade/uso que se deseja para estas informações: 
 
Grandes áreas: Em grandes áreas o nivelamento auxilia na elaboração de cartas, com curvas de nível 
(representações dos pontos de mesma altitude através de linhas). Tal processo realiza-se usualmente por 
fotogrametria, pois é mais viável economicamente e tal trabalho requer apenas uma precisão métrica ou 
submétrica. 
Áreas de médio porte: Nestas áreas as curvas de nível e as altitudes dos pontos são obtidas utilizando-se a 
Estação Total. Este método é chamado Nivelamento Trigonométrico, pois as leituras realizadas são de ângulos e 
distâncias. A precisão deste método é de centímetros. 
Locação de vias de transportes: Para a determinação da locação de ruas e estradas, convém utilizar o 
Nivelamento Geométrico (leituras de ré e vante). A precisão deste método é de milímetros, o que é importante 
para evitar desníveis inconvenientes nas vias de circulação. 
Locação de obras: Nas locações de pequenas obras civis (casas, pequenos edifícios), usualmente o nivelamento 
é feito com a mangueira d‟água. Porém, a tecnologia dos níveis a laser veio suprir a necessidade de maior 
precisão nestas locações. Para a locação de pisos industriais, onde o controle altimétrico deve ser extremamente 
rigoroso, é utilizado o nivelamento geométrico com níveis óticos automáticos ou níveis digitais. 
Controle de Obras: O controle de obras (edifícios, rodovias, ferrovias, barragens, etc.) é feito com um Nível 
Ótico Automático ou Nível Digital, onde pode-se ler variações nos milímetros. 
 
 
No nivelamento geométrico, o perfil do terreno a ser estudado é piqueteado de 10 em 10 metros ou de 20 
em 20 metros, conforme a natureza do trabalho. Em seguida, o nível é estacionado em um ponto conveniente, 
sobre a linha a nivelar ou fora dela. Desta única posição do instrumento são determinadas as leituras na mira 
colocada, primeiramente num ponto de cota conhecida e, depois, sucessivamente, nos demais pontos. 
A visada na primeira estaca, geralmente de cota conhecida, é por convenção chamada de “visada de ré”. 
Todas as visadas a partir da visada de ré são chamadas “visadas de vante”. 
Desta forma, para cada estação de nivelamento, tem-se uma visada de ré e uma ou mais visadas de vante. 
Para o cálculo das cotas dos pontos nivelados é necessário ainda, realizar a medição da altura do 
instrumento, ou seja, a altura do eixo ótico acima do plano de referência. Para determinar a altura do 
instrumento, faz-se uma leitura inicial num ponto de cota conhecida. 
Para que as leituras do levantamento tenham significado, é necessário que elas sejam referenciadas a um 
plano, chamado referência de nível. Quando se usa o nível médio do mar, a referência de nível é igual a zero. 
Quando a referência de nível é arbitrária, atribui-se um valor inicial elevado, de modo que no decorrer do 
levantamento não ocorram cotas negativas. 
 
Portanto, duas são as regras para nivelar: 
 
(i) a altura do instrumento (Ai) é igual à soma da visada de ré (RÉ) com a cota do ponto (C) onde a mesma foi 
feita: 
 
Ai = C + RÉ 
 
(ii) a cota de um ponto (C), em função da altura do instrumento (Ai), é a diferença entre tal altura e a visada 
a vante (VANTE) lida no mesmo ponto: 
 
C = Ai – VANTE 
 
O nivelamento geométrico pode ser classificado em simples ou composto, dependendo de fatores como 
dimensão de declividade do terreno. 
 
Simples – o desnível entre os pontos de interesse é determinado com apenas uma única instalação do 
equipamento, ou seja, um único lance. 
Composto – o desnível entre os pontos será determinado a partir de vários lances, sendo o desnível final 
calculado pela somatória dos desníveis de cada lance. 
 
Nivelamento Geométrico Simples 
 
Nivelamento Geométrico Simples é aquele em que de uma única estação do nível é possível visar a mira 
colocada sucessivamente em todos os pontos do terreno a nivelar. Assim, considerando-se a fig. 3.2, desejando-
se determinar a diferença de nível entre os pontos A e B, instala-se o nível, em uma posição qualquer do terreno, 
preferencialmente eqüidistante dos pontos a nivelar. Instala-se o nível uma única vez em ponto estratégico, 
situado ou não sobre a linha a nivelar e eqüidistante aos pontos de nivelamento. Determina-se a leitura da mira 
em A e B. A diferença de nível entre A e B será calculada pela diferença entre as leituras processadas nos pontos 
A e B. Deve-se tomar o cuidado para que o desnível entre os pontos não exceda o comprimento da régua (4m). 
 
 
Nivelamento Geométrico Composto 
 
O nivelamento geométrico composto consiste em uma série de nivelamentos geométricos simples, 
devidamente amarrados uns aos outros. Este processo é empregado quando se trata de nivelamento em terreno de 
desnível acentuado, em que a determinação da diferença de nível total exige mais de uma estação do aparelho. 
Este método, ilustrado pela figura abaixo (GARCIA, 1984), exige que se instale o nível mais de uma vez, 
por ser, o desnível do terrenoentre os pontos a nivelar, superior ao comprimento da régua. Desejando-se 
determinar a diferença de nível de A para B e, tratando-se de terreno acidentado, por melhor que seja 
posicionado o aparelho no terreno, não se consegue visar simultaneamente, os pontos considerados, pois a 
diferença de nível entre os pontos A e B é superior a altura da mira, conforme mostra a fig. 3.3. 
 
 
Assim, com o nível na estação 1, visa-se a mira colocada no ponto A, que representará a leitura de ré. Em 
seguida faz-se a leitura de vante no ponto M; como esta será a última visada de vante com o nível na estação 1, 
será chamada de “vante de mudança”. Muda-se depois o nível para a estação 2, de onde se fará uma visada de ré 
no ponto M e, posteriormente uma visada de vante no ponto B. 
Desta forma, concluiu-se que para atingir o objetivo foi necessário proceder a dois nivelamentos 
geométricos simples, devidamente ligados pela estaca de mudança M, em que se procedeu a visada de vante de 
mudança na estação 1, e a visada de ré da estação 2; tem-se deste modo, o nivelamento geométrico composto. 
Para proceder à compensação de erros em um nivelamento, é necessário iniciar e terminar o levantamento 
no mesmo ponto. Como, normalmente procede-se ao nivelamento de perfis, ou poligonais abertas, após o 
nivelamento de cada um dos pontos piqueteados em um perfil, é realizado outro nivelamento em sentido 
contrário, denominado de “contra-nivelamento”, quando são nivelados apenas alguns dos pontos; e 
“renivelamento”, quando o retorno se dá nivelando todos os pontos. 
Não há necessidade de alinhamento entre as miras e o nível. Aceita-se situações como a mostrada na figura 
ao lado. 
 
Manter a visibilidade entre o nível e as miras. 
 
 
 
 
 
A seguir são descritos alguns conceitos importantes para o levantamento altimétrico 
Visada – Leitura sobre a mira 
Lance – É a medida direta do desnível entre duas miras verticais 
 
 
 
Seção – É a medida do desnível entre duas referências de nível e é obtida pela soma algébrica dos desníveis dos 
lances. 
 
 
Linha de nivelamento – É o conjunto de seções entre duas referências de nível (RN) chamadas de principais 
 
 
 
Circuito de nivelamento – É a poligonal fechada constituída de várias linhas justapostas. 
Rede de nivelamento – É a malha formada por vários circuitos justapostos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo do Nivelamento Geométrico 
 
Para se calcular as cotas ou altitudes dos pontos a nivelar é necessário conhecer-se a cota ou altitude do 
ponto inicial (por exemplo, ponto A). Então a cota de A será conhecida ou arbitrada e o ponto A passa a chamar-
se de RN, ou seja, Referência de Nível. 
A=RN 
Precisa-se agora determinar o APV, altura do plano de visada, que seria a cota ou altitude do plano criado 
pelo instrumento. 
 
APV = CRN + Leitura de Ré RN → APV = CA + Leitura de Ré A 
 
 
Leitura de Ré – é uma leitura feita a um ponto cuja cota ou altitude é conhecida. No caso, já conhecemos a 
cota de A. A leitura de ré serve somente para o cálculo do APV. 
Para calcular a cota dos demais pontos usamos a seguinte fórmula: 
 
Cota B = APVI – Leitura de VanteB → CB = APVI - VB 
 
Leitura de Vante – é uma leitura a um ponto de cota ou altitude desconhecida. A leitura de vante serve 
para o cálculo da cota do ponto. 
 
Cota C = APVI – VC; Cota D = APVI – VD 
 
Da estação I somente foi possível ler-se até o ponto D. É necessário mudar a estação para a posição II. Uma 
vez instalado o aparelho na estação II, então a primeira atitude que se toma é determinar a nova altura do plano 
de visada, APVII, fazendo-se uma visada de ré no ponto D. 
 
APVII = CD + Ré D 
 
Leitura Vante de Mudança - é uma leitura feita a um ponto que de uma estação é leitura de Vante e da 
estação seguinte será feita uma leitura de Ré neste mesmo ponto, exemplo: ponto “D”. 
 
CE = APVII – VE 
CF = APVII – VF 
CG = APVII – VG 
 
As grandezas medidas em um nivelamento geométrico são registradas em uma planilha, para depois 
efetuarem-se os cálculos. O exemplo da figura abaixo representa o perfil de um terreno, no qual a cota do ponto 
A foi definida arbitrariamente como sendo igual a 50,000 m, e o espaçamento entre os piquetes é de 20 m. 
 
 
 
 
 
 
 
Contra-nivelamento 
 
 
Conforme pode-se observar nesta figura que foram utilizadas duas estações de leitura, denominadas de 
estações APV I e APV II, ou simplesmente estações 1 e 2. Assim, da estação I foi possível fazer visadas nas 
estacas (ponto visado) A, B e C, obtendo uma leitura de Ré (A) e duas leituras de Vante (B e C). A partir da 
estaca C não foi possível mais realizar visadas nas outras estacas em virtude da dimensão da mira (4 m), sendo 
então necessário mudar o instrumento de posição, para a estação II. Da estação II foi realizada uma leitura de Ré 
na estaca C, devido a este ponto visado ter sido o último a ser obtida leitura a partir da estação I. Em seguida 
foram realizadas leituras de Vante nas estacas D, E, F e G. Pode-se observar ainda na Figura que a estação II foi 
localizada entre as estacas D e E, sendo decisão esta tomada considerando que, caso o instrumento fosse 
instalado entre as estacas C e D, provavelmente não seria possível fazer as leituras na estaca G, e, assim, seria 
necessário utilizar outra estação de tomada de leituras. 
 
Segue abaixo os procedimentos utilizados para os cálculos dos valores de altura do instrumento para cada 
estação (Ai) e cotas para cada estaca. 
 
Ai(1) = Cota(A) + LmRÉ(A) = 50,000 + 1,820 ∴ Ai(1) = 51,820 
 
Cota(B) = Ai(1) – LmVante(B) = 51,820 - 3,725 ∴ Cota(B) = 48,095 
 
Cota(C) = Ai(1) – LmVante(C) = 51,820 - 3,749 ∴ Cota(C) = 48,071 
 
Ai(2) = Cota(C) + LmRÉ(C) = 48,071 + 0,833 ∴ Ai(2) = 48,904 
 
Cota(D) = Ai(2) – LmVante(D) = 48,904 - 2,034 ∴ Cota(D) = 46,870 
 
Cota(E) = Ai(2) – LmVante(E) = 48,904 – 2,501 ∴ Cota(E) = 46,403 
 
Cota(F) = Ai(2) – LmVante(F) = 48,904 - 3,686 ∴ Cota(F) = 45,218 
 
Cota(G) = Ai(2) – LmVante(G) = 48,904 - 3,990 ∴ Cota(G) = 44,914 
 
Ai(3) = Cota(G) + LmRé(G) = 44,914 + 3,458 = Ai(3)=48,372 
 
Cota(C) = Ai(3) – LmVante(C) = 48,372 – 0,301 = Cota(C)=48,071 
 
Ai(4) = Cota(C) + LmRé(C) = 48,071 + 2,867 = Ai(4)=50,938 
 
Cota(A) = Ai(4) – LmVante(A) = 50,938 – 0,934 = Cota(A)=50,004 
 
 
Segue abaixo a planilha de campo com os dados das visadas obtidas neste nivelamento 
Estação Ponto visado 
Leituras Altura do 
Instrumento 
(Ai) 
Cotas 
(m) 
Cotas 
corrigidas 
(m) 
Ré Vante 
1 A 1,820 51,820 50,000 50,000 
1 B 3,725 51,820 48,095 48,094 
1 C 3,749 51,820 48,071 48,070 
2 C 0,833 48,904 48,071 48,070 
2 D 2,034 48,904 46,870 46,868 
2 E 2,501 48,904 46,403 46,401 
2 F 3,686 48,904 45,218 45,216 
2 G 3,990 48,904 44,914 44,912 
3 G 3,458 48,372 99,914 
3 C 0,301 48,372 48,071 
4 C 2,867 50,938 48,071 
4 A 0,934 50,938 50,004 
 
 
VERIFICAÇÃO DOS CÁLCULOS: 
 
É utilizada para se verificar se não houve erros na efetuação dos cálculos, usa-se a seguinte fórmula: 
 
Σrés - ΣVmud = Cota Final calculada – Cota Inicial dada 
 
Σrés = 1,820 + 0,833 + 3,458 + 2,867 
Σrés = 8,978 
 
ΣVmud = 3,749 + 3,990 + 0,301 + 0,934 
ΣVmud = 8,974 
 
Cota Final = 50,004 
Cota Inicial = 50,000 
 
Σrés - ΣVmud = Cota Final calculada – Cota Inicial dada 
8,978 – 8,974 = 50,004 – 50,000 
0,004 = 0,004 
 
Conclui-se que não houve erro de cálculo. 
 
 
ERRO VERTICAL DO NIVELAMENTO GEOMÉTRICO (ΕV ) 
 
Para o cálculo do erro vertical do NG existem duas situações de campo. 
 
SITUAÇÃO I - a Cota ou a Altitude do ponto inicial é conhecida. 
 
ERRO VERTICAL = ΕV 
 
ΕV = Σ Lm(rés) – ΣLm(vantede mudança) 
 
EXEMPLOS: 
 
Ia. Nivelamento de um Perfil com ida e volta, ou seja, Nivelamento de ida e na volta Contranivelamento ou 
Renivelamento. 
 
Ib. Poligonal Fechada , o nivelamento começa no ponto A e termina no mesmo ponto A. 
 
SITUAÇÃO II - as Altitudes ou as Cotas dos pontos inicial e final são conhecidas. 
 
Ε V = Σ Lm(rés) + Cota Inicial dada – ΣLm(vante de mudança) - Cota final dada 
 
EXEMPLOS : 
 
IIa - Nivelamento de um perfil só de ida. 
 
OBS. RN1 ou ponto inicial e RN2 ou o último ponto têm suas altitudes ou cotas conhecidas previamente. 
 
IIb - Poligonal Aberta. 
 
OBS. A cota ou a altitude do ponto A é conhecida e a cota ou a altitude do último ponto é também conhecida. 
 
ERRO TOLERÁVEL (ET) 
 
ET. = 3 a 10mm/km 
ET. = 10mm 
 
Pmm10ET
 
 
Em que 
P – Perímetro (Km) 
 
No exemplo: 
 
Erro cometido: 0,004m 
 
24,0mm10ET
 
mm8,4ET
 
Conclui-se que o erro foi admissível. 
 
CORREÇÕES: 
Verifica-se o número de estações ou o número de Rés. No exemplo são 4, então: 
 
Para a 1°estação: ¼ erro = ¼ x 0,004 = 0,001 
Para a 2°estação: 2/4 erro = 2/4 x 0,004 = 0,002 
Para a 3°estação: ¾ erro = ¾ x 0,004 = 0,003 
Para a 4°estação: 4/4erro = 4/4 x 0,004 = 0,004 
 
COTA CORRIGIDA ou COTA COMPENSADA 
 
Cota Corrigida : Cota – ( ± correção) 
 
Cotac(A) = 50,000 
 
Cotac(B) = Cota(B) – Correção 
Cotac(B) = 48,095 – 0,001 
Cotac(B) = 48,094 
 
Cotac(C) = Cota(C) – Correção 
Cotac(C) = 48,071 – 0,001 
Cotac(C) = 48,070 
 
 
Cotac(D) = Cota(D) – Correção 
Cotac(D) = 46,870 – 0,002 
Cotac(D) = 46,868 
 
Cotac(E) = Cota(E) – Correção 
Cotac(E) = 46,403 – 0,002 
Cotac(E) = 46,401 
 
Cotac(F) = Cota(F) – Correção 
Cotac(F) = 45,218 – 0,002 
Cotac(F) = 45,216 
 
Cotac(G) = Cota(G) – Correção 
Cotac(G) = 44,914 – 0,002 
Cotac(G) = 44,912 
 
Na Figura abaixo é mostrado o esquema do perfil longitudinal do exemplo acima 
A B C D E F G
Cotas 50 48,09 48,07 46,86 46,40 45,21 44,91
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
Co
ta
s (
m
) 
 
 
 
 
E 
= 
1/
10
0
E = 1/1000
 
Figura xxx. Perfil longitudinal do terreno 
 
 
 
 
Nivelamento Trigonométrico 
 
O nivelamento trigonométrico é baseado na resolução de um triângulo retângulo. Neste nivelamento, a 
diferença de nível é determinada de forma indireta, por meio de resoluções de triângulos situados em planos 
verticais, que passam pelos pontos cuja diferença de nível se calcula. A precisão é menor quando comparado ao 
nivelamento geométrico, da ordem de alguns decímetros, em contrapartida, tem um rendimento maior, ou seja, 
um avanço rápido. Os ângulos de inclinação do terreno são medidos com o emprego do teodolito. 
 
 
 
 
 
 
O nivelamento trigonométrico é empregado quando se trata de determinar a diferença de nível entre dois 
pontos acessíveis, separados por grande distância, ou quando se tem um ponto acessível e outros inacessíveis. 
Nestes casos, aplica-se o processo de interseção conjugado com resoluções trigonométricas. Neste caso, para 
medir as distâncias verticais, conta-se com o auxílio da mira. 
 
Determinação da diferença de nível 
 
O nivelamento trigonométrico baseia-se no valor da tangente do ângulo de inclinação do terreno, pois o 
valor desta função trigonométrica representa sempre a diferença de nível por metro de distância horizontal 
medida no terreno, entre os pontos considerados. 
Assim, determinando a distância horizontal (DH) entre os pontos em estudo e o ângulo de inclinação do 
terreno entre eles (α), a diferença de nível (DN) é calculada aplicando-se a seguinte fórmula: 
 
DN = DH.tg α ± I ± Lm, 
 
onde: 
 
DN é a diferença de nível entre os pontos A e B; 
DH é a distância horizontal entre os pontos A e B. DH = 100(Ls-Li)cos
2(α) 
α - Inclinação da visada, podendo esta ser ascendente ou descendente (α = 90º - α zenital) 
I - Medida do centro geométrico da luneta até o ponto topográfico; 
Lm - é a leitura na linha média da mira; 
 
Com o teodolito estacionado em A, visa-se a mira colocada verticalmente em B, mede-se a altura onde o 
retículo horizontal da luneta intercepta a mira e o ângulo vertical da linha de visada. 
 
 
 
O ângulo vertical pode ser a partir do zênite até a linha de visada, quando o teodolito tiver o seu limbo 
vertical zerado no zênite; ou então do horizonte até a linha de visada, quando o teodolito tiver o seu limbo 
vertical zerado no horizonte. Os teodolitos mais modernos, em sua maioria, são zerados no zênite, e a medida 
dos ângulos verticais é dita “ângulo zenital”. 
 
Nivelamento Trigonométrico de poligonais e outras aplicações 
 
Segue abaixo um exemplo de uma planilha de campo contendo os dados de um levantamento de campo 
utilizando o método trigonométrico. 
 
 
 
Cálculo das cotas 
 
O primeiro passo será calcular a distância horizontal entre as estacas, utilizando-se a seguinte equação 
 
DH = 100 x (Ls – Li) x Cos2(α) 
 
Em seguida foram determinadas as diferenças de nível entre cada estaca, utilizando-se as equações abaixo: 
 
DN = DH tgα ± I ± Lm 
 
Para visadas ascendentes utilizou-se a seguinte equação: 
 
DN = DH tgα + I – Lm 
 
A interpretação do resultado desta relação se faz da seguinte forma: 
se DN for positivo (+) significa que o terreno, no sentido da medição, está em ACLIVE. 
se DN for negativo (-) significa que o terreno, no sentido da medição, está em DECLIVE 
Para visadas descendentes aplicou-se a equação: 
 
DN = DH tgα – I + Lm 
 
A interpretação do resultado desta relação se faz da seguinte forma: 
se DN for positivo (+) significa que o terreno, no sentido da medição, está em DECLIVE. 
se DN for negativo (-) significa que o terreno, no sentido da medição, está em ACLIVE. 
 
A partir das diferenças de nível entre as estacas, pode-se determinar as cotas das mesmas, sendo 
considerada a cota da estaca A, arbitrariamente, o valor de 50,000 m. A cota de cada estaca será determinada 
pela diferença entre a cota da estaca anterior e a diferença de nível da estaca em questão, conforme detalhamento 
abaixo. 
 
Cálculo das cotas: 
 
CA = 50,000 m (arbitrariamente) 
CB = CA + DNAB = 50,000 + 1,785 ∴ CB = 51,785 m 
CC = CB + DNBC = 51,785 + 0,389 ∴ CC = 52,174 m 
CD = CC + DNCD = 52,174 + (-0,213) ∴ CD = 51,961 m 
CE = CD + DNDE = 51,961 + 0,754 ∴ CE = 52,716 m 
CF = CE + DNEF = 52,716 + 1,167 ∴ CF = 53,883 m 
 
 
O TERRENO E SUA REPRESENTAÇÃO 
 
 
Planimetria e Altimetria 
 
A Planimetria é a parte da Topografia que estuda os métodos e procedimentos que serão utilizados na 
representação do terreno. Adotando-se uma escala adequada, todos os pontos de interesse são projetados 
ortogonalmente sobre um plano (plano horizontal de referência), sem a preocupação com o relevo. 
A Altimetria é parte da Topografia que estuda os métodos e procedimentos que levam a representação do 
relevo. Para tal, é necessário medir apropriadamente o terreno, calcular as alturas (cotas ou altitudes) dos pontos 
de interesse e representá-los em planta mediante uma convenção altimétrica adequada. 
 
Representação do terreno 
 
Existem vários procedimentos para se representar o terreno em planta; não mencionaremos aqui aqueles 
destinados à representação planimétrica. Neste momento o interesse está centrado na representação altimétrica 
do terreno que, usualmente pode ser levada a efeito usando-se dois procedimentos consagrados: através dos 
pontos cotados e das curvas de nível. 
 
Representação por pontos cotados: 
 
Este é o procedimento mais simples; após o cálculo das alturas de todosos pontos de interesse do terreno, 
os mesmos são lançados em planta através de suas coordenadas topográficas (X;Y) ou UTM (N;E) registrando-
se ao lado do ponto, o número correspondente a sua altura relativa (cota) ou absoluta (altitude) (figura 1). No 
sistema de pontos cotados, os diversos pontos do terreno são projetados ortogonalmente sobre um plano de 
referência (cotas) ou sobre a superfície de referência (altitudes). O conjunto de pontos projetados constitui a 
projeção horizontal que, reduzida a uma escala adequada, se distribuem sobre o papel, substituindo a situação 3D 
(espaço) por uma 2D (projeção). 
 
 
Figura 1: Ponto cotado 
A representação deverá ser reversível, ou seja, que da projeção possamos deduzir novamente a situação real 
do terreno (3D). Para isso, é necessário conhecer a distância AA‟ (Figura 1); esta distância é a cota ou altitude 
do ponto. 
Na representação altimétrica do terreno, a escolha do plano de referência (cotas) deve ser tal que evite a 
ocorrência valores negativos. No caso das altitudes esta preocupação não procede, tendo em vista que o 
referencial adotado é oficial em todo o país. Todos os pontos de igual altura (cota ou altitude) estão sobre um 
mesmo plano, que é paralelo ao de comparação. Este é o princípio fundamental do sistema de pontos cotados. 
No plano cotado, todos os pontos relativos ao perímetro, bem como os que caracterizam os acidentes 
internos da propriedade levantada, deverão ser devidamente cotados; daí o nome do processo. Embora não 
representando a forma do terreno, este processo se constitui no elemento básico para o traçado das curvas de 
nível por interpolação, principalmente quando se trata de levantamento de área relativamente extensa. 
A figura 1-a ilustra um exemplo de desenho por pontos cotados, com os elementos representativos da 
altimetria do terreno. 
 
 
Figura 1-a: Planta de pontos cotados 
 
Em Topografia, as alturas dos pontos são expressas em metros; assim, um número 10 junto à projeção do 
ponto (figura 1) indica que este está a 10 metros sobre o plano de comparação adotado. Um plano cotado 
apresenta o inconveniente de oferecer uma idéia não muito clara do relevo do terreno que representa. A 
representação ficará mais visível usando-se o procedimento das curvas de nível. 
 
Representação do perfil longitudinal de um terreno 
 
Perfil: é a representação gráfica do nivelamento e a sua determinação tem por finalidade: 

O estudo do relevo ou do seu modelado, através das curvas de nível; 
A locação de rampas de determinada declividade para projetos de engenharia e arquitetura; 
O estudo dos serviços de terraplanagem (volumes de corte e aterro). 
 
O perfil de uma linha do terreno pode ser de dois tipos: 
Longitudinal: determinado ao longo do perímetro de uma poligonal (aberta ou fechada), ou, ao longo do seu 
maior afastamento (somente poligonal fechada). 
Transversal: determinado ao longo de uma faixa do terreno e perpendicularmente ao longitudinal. 
 
Determinação da Declividade entre Pontos 
 
A seguir é mostrada a representação do perfil do terreno construído a partir de dados obtido a través do 
levantamento trigononométrico, mostrados na tabela abaixo. 
 
 
O perfil longitudinal abaixo representa no eixo “X‟ os valores da distancia horizontal (DH) entre duas 
estacas, e no eixo “Y‟ a diferença de nível (DN) entre as contas destas estacas. Pode-se observar que durante a 
representação do perfil, costuma-se empregar escalas diferentes para os eixos “X‟ e “Y‟, buscando-se enfatizar 
o desnível entre os pontos, uma vez que a variação entre as cotas (Y – cota ou altitude) é menor entre os pontos, 
em comparação com a variação que ocorre entre as distâncias horizontais (X). No exemplo abaixo, utilizou-se a 
escala de 1:100 para o eixo “X‟ e de 1:10 para o eixo “Y‟, sendo assim, recomenda-se utilizar para o eixo “Y‟ 
escala cerca de 10 vezes maior que do eixo “X‟. 
 
 
Figura. Representação de um perfil longitudinal 
 
Representação por curvas de nível: 
 
Curvas de nível são curvas planas que unem pontos de igual altura; portanto, as curvas de nível são 
resultantes da intersecção da superfície física considerada com planos paralelos ao plano de comparação. A 
figura 2 ilustra conceitualmente a geração das curvas de nível através da intersecção do terreno por planos 
horizontais equidistantes. 
 
Obtenção das curvas de nível – técnicas de nivelamento 
 
Quadriculação 
É o mais preciso dos métodos. 
Também é o mais demorado e dispendioso. 
Recomendado para pequenas áreas. 
Consiste em quadricular o terreno (com piquetes) e nivelá-lo. 
A quadriculação é feita com a ajuda de um teodolito/estação (para marcar as direções perpendiculares) e da 
trena/estação (para marcar as distâncias entre os piquetes). 
O valor do lado do quadrilátero é escolhido em função: da sinuosidade da superfície; das dimensões do terreno; 
da precisão requerida; e do comprimento da trena. 
No escritório, as quadrículas são lançadas em escala apropriada, os pontos de cota inteira são interpolados e as 
curvas de nível são traçadas. 
 
Segue abaixo a planilha de campo utilizada no levantamento planialtimétrico pelo método da 
quadriculação. Os valores contendo o sinal + representa a estaca onde foi instalado o intrumento, sendo assim 
necessário a leitura de Ré. 
 
 
 
 
 
 
O próximo passo será distribuir esses pontos e suas respectivas cotas sobre o plano, conforme mostrado no 
esquema abaixo. 
 
 
 
Em seguida serão definidas as contas inteiras entre as estacas, considerando que as contas inteiras 
eqüidistantes de 1,0 m. O número de cotas inteiras pode ser determinada a partir da análise dos valores das cotas 
mínimas e máximas. Na maioria dos casos, as cotas inteiras não coincidem com as cotas determinadas no 
levantamento, assim, na maioria dos casos é torna-se necessário aplicar a interpolação no intervalo entre as 
estacas para determinação dos locais exatos das cotas inteiras. 
 
 
Interpolação 
 
Segundo BORGES (1992) a interpolação das curvas de nível pode ser gráfica ou numérica. 
 
Interpolação Gráfica 
 
Consiste em determinar, entre dois pontos de cotas fracionárias, o ponto de cota cheia ou inteira e múltiplo 
da eqüidistância vertical. 
 
Sejam, portanto, dois pontos A e B de cotas conhecidas e cuja distância horizontal também se conhece. 
O método consiste em traçar perpendiculares ao alinhamento AB, pelo ponto A e pelo ponto B 
respectivamente. 
Sobre estas perpendiculares lançam-se: o valor que excede a cota inteira (sentido positivo do eixo, pelo ponto 
A ou B, aquele de maior cota); e o valor que falta para completar a cota inteira (sentido negativo do eixo, pelo 
ponto A ou B, aquele de menor cota). Este lançamento pode ser feito em qualquer escala. 
Os valores lançados sobre as perpendiculares por A e B resultam nos pontos C e D, que determinam uma linha. 
A interseção desta linha (CD) com o alinhamento (AB) é o ponto de cota inteira procurado. 
Ex.: seja cota (A) = 12,6m, cota (B) = 13,7m e DHAB = 20,0m. Determine o ponto de cota inteira entre A e B e 
sua localização. 
 
Interpolação Numérica 
O método consiste em determinar os pontos de cota inteira e múltiplos da eqüidistância vertical por 
semelhança de triângulos: 
Pela figura abaixo (BORGES, 1992), pode-se deduzir que: 
 
 
 
AE AB assim como AC (AC + BD), portanto, 
 
AE = (AC.AB)/(AC+BD) 
 
 
Para o exemplo do método anterior, AE calculado pela relação acima corresponde a 7,27m. Isto equivale ao 
resultado obtido graficamente. 
 
Exercícios 
1) Traçar as curvas de nível de cotas 11, 12, 13 e 14. (Método analítico) 
 
 
 
 
X1/( 11 – 10,5) = 10/(11,3 – 10,5)→ X1/0,5 = 10/0,8 → X1 = 6,25; 
X2/ (12 - 11,6) = 10/( 12,7 – 11,6) → X2/ 0,4 = 10/ 1,1 → X2 = 3,64; 
X3/ (13 – 12,4) = 10/ ( 13,3 – 12,4) → X3/0,6 = 10/0,9 → X3 = 6,67; 
Y1/ (11 – 10,5) = 10/ (11,6 – 10,5) → Y1/ 0,5 = 10/1,1 → Y1 = 4,54; 
Y2/ (12 – 11,6) = 10/ (12,4 – 11,6) → Y2/ 0,4 = 10/0,8 → Y2 = 5. 
 
A distância vertical que separa duas seções horizontais consecutivas deve ser constante e denomina-se 
eqüidistância numérica ou simplesmente eqüidistância entre curvas de nível. Ao empregar as curvas de nível na 
representação do relevo, deve-se ter em mente algumas propriedades essenciais: 
 
a) Toda curva de nível fecha-se sobre si mesma, dentro ou fora dos limites do papel; 
b) Duas curvas de nível jamais se cruzarão; 
c) Várias curvas de nível podem chegar a ser tangentes entre si; trata-se do caso do terreno em rocha viva; 
d) Uma curva de nível não pode bifurcar-se; 
e) Terrenos planos apresentam curvas de nível mais espaçadas; em terrenos acidentados as curvas de nível 
encontram-se mais próximas uma das outras. 
 
 
 
Figura 2: Curvas de nível: conceito 
 
 
Alguns acidentes do terreno e sua representação 
 
A representação do terreno mediante o emprego das curvas de nível, deve ser um reflexo fiel do mesmo. 
Para tal é necessário observar-se algumas regras relacionadas aos acidentes elementares do terreno, ou formas 
fundamentais, a saber: divisor de águas e thalweg. 
Para uma melhor compreensão destas regras, é conveniente realizar um ligeiro estudo de como se processa 
a modificação da crosta terrestre ao longo do tempo pela ação contínua de agentes externos através da erosão, do 
transporte de materiais e da sedimentação dos mesmos. São os fatores climáticos e biológicos que intervêem 
diretamente na erosão. Entre os fatores climáticos se destacam as correntes de água (superficiais e subterrâneas), 
o mar, o frio intenso em algumas regiões do planeta, o vento que transporta as partículas arenosas, etc. Entre os 
fatores biológicos, que modificam o aspecto da superfície terrestre, observa-se fundamentalmente a ação do 
homem, assim como as plantas e animais. De todos, os cursos d‟água são o principal agente externo 
modificador. Por isso, o interesse em estudar a forma com que este processo vem ocorrendo. 
Elevação e depressão do terreno: uma elevação do terreno, como mostra a figura 2, de pequena altitude e 
com forma aproximadamente cônica em sua parte superior, denomina-se morrote ou morro. As superfícies 
laterais deste tipo de elevação recebem o nome de ladeira ou vertente. Se estas ladeiras ou vertentes são 
aproximadamente verticais (caso das serras), recebem o nome de escarpas. 
A representação desta forma de terreno teria o aspecto mostrado na figura 3. Observe que a representação é 
formada por uma série de curvas de nível concêntricas, de forma que as curvas de menor altitude envolvem 
completamente as de maior altitude. 
 
 
 
Figura 3: Curvas de nível: elevação do terreno 
 
 
 
Figura 4: Curvas de nível: depressão do terreno 
 
 
O contrário de morro (elevação) é a depressão. Em sua representação, figura 4, de maneira análoga 
observa-se que neste caso as curvas de maior altitude envolvem as de menor altitude. Este tipo de topografia é 
raramente encontrado, uma vez que formações deste tipo geralmente de grande dimensão e contendo água 
permanente, são conhecidas como lagoas. 
Interceptando (cortando) a projeção da figura 4 por um plano perpendicular à figura, independentemente da 
parte que observarmos, obtém-se uma representação conforme mostra a figura 5b. Da mesma maneira que nas 
depressões, aqui as curvas de maior altitude envolvem as de menor altitude. A linha que resulta da união dos 
pontos A, B, C, D,... de maior curvatura (pontos de inflexão da curva) denomina-se linha de thalweg. Esta linha 
representa a linha de intersecção de duas ladeiras opostas e por onde escorrem as águas que descem das mesmas. 
 
 
Figura 5a: Curvas de nível (depressão) 
 
 
 
Figura 5b: A, B, C, D, ... linha de Thalweg 
 
Interceptando (cortando) a projeção da figura 2 por um plano perpendicular à figura, independentemente da 
parte que observarmos, obtém-se uma representação conforme mostra a figura 6a. Aqui, observa-se que as 
curvas de menor altitude envolvem as de menor altitude, a exemplo das elevações. A união dos pontos A, B, C, 
D,... produz uma linha denominada linha divisória ou divisor de águas. É esta linha a responsável pela divisão 
das águas da chuva que caem no terreno. O conhecimento desta linha é muito importante nos estudos de bacias 
hidrográficas; elas representam os limites entre bacias. 
O divisor e os thalwegs são, portanto formas contrárias. Sempre, entre dois thalwegs existe um divisor e 
entre dois divisores haverá um thalweg. Os divisores apresentam, vez por outra, uma depressão, dando lugar a 
uma passagem entre dois vales. De acordo com a forma da depressão, recebe denominação específica: garganta, 
quando extenso e estreito; desfiladeiro, quando é profundo e ladeado por ladeiras íngremes. 
 
 
 
 
A figura 6b ilustra a representação de uma garganta; veja que, a falha (depressão) no divisor permite, por 
exemplo, uma passagem interligando dois vales. Esta situação topográfica é muito explorada em implantação de 
rodovias, pois evita a execução de outras obras mais onerosas (túneis) para a transposição do maciço. 
A figura 7 ilustra o caso da representação de um rio através das curvas de nível. Observe que, dependendo 
da velocidade das águas, na parte posterior da curva do rio, estas criam vertentes mais pronunciadas enquanto na 
parte mais interior ocorre o depósito de sedimentos. Nesta, as curvas de nível são mais espaçadas enquanto no 
lado oposto as curvas se apresentam mais próximas uma das outras. 
 
 
Figura 7: Representação de trecho de um rio 
 
Na seqüência, são mostradas algumas figuras mostrando situações de interesse no entendimento das formas 
de relevo e maneiras de representá-los através das curvas de nível. 
 
 
 
 
 
Processo de obtenção e traçado das curvas de nível: 
 
A primeira providência para a obtenção das curvas de nível é calcular as alturas de todos os pontos 
envolvidos nos nivelamentos geométrico e taqueométrico (cálculo das planilhas). Após o cálculo das alturas 
(cotas ou altitudes) confecciona-se os perfis de todos os alinhamentos da poligonal e das irradiações levantadas 
em campo. Denomina-se perfil de um terreno, a linha irregular que delimita a intersecção de um plano vertical 
com a superfície do terreno. A figura 11 ilustra esta situação. 
 
 
 
 
 
A figura 12 ilustra a obtenção do perfil a partir das curvas de nível. Problema de interesse em Engenharia, 
quando se deseja implantar uma obra em terreno de topografia irregular. Como pode ser visto em todas as figuras 
apresentadas, as curvas de nível representam pontos de altura inteira. 
Na prática, o que se obtém a partir dos cálculos, são valores fracionários. Assim, como próximo passo, é 
necessário interpolar, a partir dos perfis, os pontos de altura cheia (valor inteiro) cujo valor deverá ser definido 
em função dos objetivos do trabalho e da escala usada no desenho. Geralmente, o espaçamento entre as curvas 
de nível, denominado eqüidistância, adotado em trabalhos topográficos obedece às recomendações mostradas na 
Tabela 1. Em algumas situações este valor pode ser alterado, sempre dependendo dos objetivos do trabalho e da 
extensão do levantamento. 
 
 
 
 
 
Em cartas batimétricas, que representam o relevo submarino, a equidistância varia de 1 a 2 metros perto da 
costa, até atingir valores maiores (40, 100, 200 m) com o aumento da profundidade. 
 
 
 
Uma vez adotada a escala paraa elaboração dos perfis, intercepta-se os mesmos com linhas paralelas ao 
eixo horizontal numa eqüidistância igual à eqüidistância adotada para as curvas de nível. Anotam-se os valores 
da altura e da distância correspondente daquele ponto para a sua localização em planta. Assim, para cada 
alinhamento da poligonal e para cada irradiação levantada em campo, confecciona-se um perfil e interpolam-se 
os pontos de altura cheia. 
Obtidos todos os pontos de altura cheia e lançados em planta, o próximo passo é unir todos os pontos de 
mesma altura com uma linha contínua. Estas linhas são denominadas curvas de nível e representam o relevo do 
terreno levantado. 
A figura 13 ilustra a representação altimétrica através das curvas de nível do terreno mostrado na figura 
1-a. A rigor, existem dois métodos que podem ser empregados para a obtenção dos pontos de passagem das 
curvas de nível nas plantas: 
 
a) Pela interpolação: por cálculo ou por aproximação; 
b) Partindo dos perfis das seções niveladas no terreno. 
 
 
 
 
 
 
Exercício: 
A título de exercício, será apresentado o método da interpolação, utilizando-se a figura 14. 
O método da interpolação é empregado partindo-se de um desenho cotado. É usado quando se procede a 
um levantamento planialtimétrico de áreas relativamente extensas. Para aplicação do método, parte-se da 
hipótese que as declividades entre os pontos topográficos sejam constantes. Por isso, quanto mais criterioso for o 
porta-mira no que diz respeito ao local que deverá ser colocada a mira, melhores serão os resultados no processo 
de interpolação. 
A partir da figura 14, oriunda de um levantamento planialtimétrico, será mostrado o procedimento a ser 
adotado para a interpolação pelo cálculo. 
 
 
 
Figura 14: Planta topográfica com pontos cotados 
 
Supondo que se deseja traçar curvas de nível neste desenho com eqüidistância de 1,0 metro, verifica-se que 
uma das curvas passará exatamente sobre a estaca 0 (zero), uma vez que interessam apenas as curvas de 
cotas/altitudes denominadas inteiras (cheias). 
Do vértice 0 ao vértice 1 constata-se uma diferença de nível de 8,50 m e uma distância horizontal de 32,50 
m. Como a eqüidistância estabelecida é de 1 metro, para subir da cota/altitude 100 m para a 108,50 m, passa-se 
por uma série de planos intermediários. Estes planos são os de cota/altitude 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107 e 
108. Em função destes planos, deve-se determinar em planta, a distância horizontal entre os pontos de passagem 
no alinhamento 0-1. Para tal, utiliza-se uma regra de três e chega-se ao valor 3,82 m. 
 
Interpretação 
 
Para cada metro (eqüidistância) de deslocamento vertical, ter-se-á um deslocamento horizontal de 3,82 m. 
Como a planta foi desenhada na escala 1:500, o comprimento gráfico correspondente ao deslocamento horizontal 
será: 
 
3,82 x 0,002 = 0,0076 m = 0,76 cm. 
 
Marcando-se no desenho, a partir do vértice 0 (zero), a distância horizontal de 0,76 cm, se obtém o ponto 
de passagem, em planta, da curva de nível 101 m. A partir do ponto de passagem da curva 101 marcando mais 
0,76 cm, obter-se-á o ponto de passagem da curva 102 m, e assim sucessivamente até o final do alinhamento 
(vértice 1). 
De maneira análoga procede-se para determinar os pontos de cotas/altitudes inteiras no intervalo 1-2. 
Neste alinhamento a diferença de nível é de 1,70 m e a distância horizontal 27,0 m. Dentro do intervalo em 
questão, são de interesse as curvas 109 e 110. A separação horizontal entre as curvas será de 15,882 m e na 
escala do desenho 3,17 cm. Voltando ao desenho, nota-se que a cota do vértice 1 é 108,50 m e a próxima cota de 
interesse é de 109 m; existe, portanto, uma diferença de nível de 0,5 m correspondendo a uma separação 
horizontal de 1,58 cm (em planta) a partir do vértice 1. O próximo ponto de passagem (curva 110 m) estará a 
3,17 cm deste último. 
Determinados todos os pontos de passagem das curvas de nível, no perímetro, procede-se à determinação 
dos pontos de passagem no interior da área levantada. Por exemplo, no exemplo apresentado, foram 
considerados os alinhamentos 0-a, a-b, a-c, b-c, 2-b e b-1. 
Quanto maior for o número de alinhamentos utilizados, melhor a representação do relevo, considerando, é 
claro, a hipótese de declividade regular para o terreno estudado. Na situação de um terreno muito irregular, 
recomenda-se levantar o maior número de minúcias (detalhes) durante as operações topográficas de campo. 
 
 
Figura 15: Relevo através das curvas de nível 
 
Marcados todos os pontos de passagem das curvas inteiras, na planta, o próximo passo será ligar aqueles de 
mesma cota/altitude. Ter-se-á o desenho com as suas curvas de nível, mostrando todos os acidentes do terreno 
(elevações e depressões). A figura 15 ilustra o exemplo apresentado, já com as curvas de nível traçadas. 
Outro exemplo de obtenção e traçado das curvas de nível é ilustrado na figura 16. 
 
 
Figura 16: Curvas de nível obtidas a partir da interpolação