polinomios

Prévia do material em texto

RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO – DIRETO AO PONTO 
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 1
Aula demonstrativa 
Apresentação ................................................................................................................................................ 2
1. Expressões Algébricas................................................................................................................... 5
2. Monômios ou termos algébricos ............................................................................................... 8
3. Monômios ou termos semelhantes .......................................................................................... 9
4. Operações com monômios .......................................................................................................... 9
5. Polinômios........................................................................................................................................ 10
6. Polinômios com uma variável .................................................................................................. 11
7. Operações com polinômios ....................................................................................................... 12
8. Divisão de polinômios por binômios do 1º grau ............................................................... 15
9. Produtos Notáveis......................................................................................................................... 18
Índice das questões por assunto/banca.......................................................................................................... 26
Relação das questões comentadas ................................................................................................................. 26
Gabaritos ......................................................................................................................................................... 27
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO – DIRETO AO PONTO 
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 2
Apresentação 
Olá, pessoal! 
Tudo bem com vocês? 
É com uma grande emoção que começo este curso de Raciocínio Lógico 
Quantitativo. 
Como já mencionei na parte aberta do Ponto, foram meses de muita pesquisa 
e muito trabalho para montar este curso. Assim, poder finalmente dar o passo 
inicial com esta aula demonstrativa me deixa, de fato, emocionado. 
Permitam-me uma breve apresentação: meu nome é Guilherme Neves. Sou 
professor de Raciocínio Lógico, Matemática, Matemática Financeira e 
Estatística. Sou autor do livro Raciocínio Lógico Essencial (Editora Campus). 
Posso afirmar em alto e bom tom que ensinar é a minha predileção. Comecei a 
dar aulas para concursos, aqui em Recife, quando tinha apenas 17 anos 
(mesmo antes de começar o meu curso de Bacharelado em Matemática na 
UFPE). 
Os grandes concursos (notadamente os fiscais) exigem, atualmente, uma 
verdadeira montanha de conhecimentos matemáticos. 
Elas fazem um grande mix de Raciocínio Lógico, Matemática, Matemática 
Financeira e Estatística. O meu intuito é que este curso sirva para uma grande 
gama de concursos como AFRFB, AFT, ICMS’s, ISS’s, BACEN, BNDES, 
Petrobras, TCE’s, dentre outros. 
(Aluno 1): Guilherme, eu só estou interessado em questões da ESAF porque 
estou estudando para o AFRFB! 
(Aluno 2): Guilherme, eu só quero saber de CESGRANRIO, porque o meu foco 
é o BACEN! 
Calma, meus amigos. Existe solução para tudo (por isso existe o Raciocínio 
Lógico!! Rss...). 
No final de cada aula, haverá um índice (indicando o número da questão e a 
página) separando as questões por banca/assunto. Assim, quem quiser só as 
questões da ESAF de determinado assunto, basta consultar o índice. Quem só 
precisar do CESPE, basta olhar o nosso índice e assim por diante. Ok? 
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO – DIRETO AO PONTO 
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 3
No nosso curso, abordaremos simplesmente tudo que apareceu nestes grandes 
concursos. E tome muito cuidado... 
Com a ESAF não se brinca! Se você gosta de muita emoção e adrenalina, aqui 
vai uma dica: depois que você passar no seu tão esperado concurso, você 
poderá ter altas emoções saltando de pára-quedas ou brincando de bungee 
jumping. 
Agora, existe um tipo de emoção que, certamente, ninguém gosta: se deparar 
com uma questão completamente desconhecida. E é justamente disso que a 
ESAF gosta! 
A prova do último AFRFB foi um soco no estômago de muita gente. Você já 
pensou que iria precisar calcular a esperança de uma variável aleatória usando 
integral? E que tal uma permutação circular? 
Você pensava que no concurso do AFT iria cair um teste de qui-quadrado? 
Imagine agora você se deparando com uma questão assim... 
(SMF-RJ 2010/ESAF) Considere a e b números reais. A única opção falsa é: 
a) 
b) 
|ࢇ ൅ ࢈| ൑ |ࢇ| ൅ |࢈|.
c) 
|ࢇ| ൅ |࢈| ൒ |ࢇ െ ࢈|.
d) 
|ࢇ െ ࢈| ൏ |ࢇ| െ |࢈|.
e) 
|࢈ െ ࢇ| ൒ |࢈| െ |ࢇ|.
|࢈ ൅ ࢇ| ൑ |ࢇ| ൅ |࢈|.
Professor, o que é isso? 
Pois é, meu amigo. Este curso servirá para acabar de vez com esta horrível 
sensação de “o que é isso??”!!! 
Sejam, definitivamente, bem vindos ao meu mais completo curso de RLQ de 
todos os tempos. 
Seguiremos o seguinte cronograma: 
Aula 0 Álgebra. Expressões algébricas, produtos notáveis. 
Aula 1 Lógica proposicional. Conectivos, Tautologia, Contradição e Contingência. 
Lógica de Argumentação. 
Aula 2 Equivalências lógicas, negação de proposições compostas e de proposições 
quantificadas. Diagramas Lógicos. Raciocínio Lógico Sequencial 
Aula 3 Verdades e Mentiras. Problemas de Associação. Problemas gerais de 
Raciocínio Lógico 
Aula 4 Introdução à Teoria dos Conjuntos. Operações e relações entre conjuntos. 
Conjuntos Numéricos (Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais, Reais e 
Complexos). Operações: Adição, Subtração, Multiplicação, Divisão, 
Potenciação e Radiciação. Mínimo Múltiplo Comum e Máximo Divisor Comum. 
Sistemas de Medidas. 
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO – DIRETO AO PONTO 
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 4
Aula 5 Razão e proporção, divisão proporcional, regra de três simples e composta. 
Porcentagem. Progressão Aritmética e Progressão Geométrica. 
Aula 6 Problemas do 1º grau. Equação do segundo grau. Funções. Função Afim, 
Função Quadrática, Função Exponencial e Função Logarítmica. Módulo de um 
número real (propriedades e equações modulares). 
Aula 7 Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. 
Aula 8 Análise Combinatória e Probabilidade 
Aula 9 
Trigonometria, Geometria Plana e Geometria Espacial. 
Aula 10 
Regimes de Capitalização. Juros Simples Juro exato e juro comercial. Prazo
Médio, Taxa Média, Capital Médio. Disposição gráfica do montante no regime 
simples. Descontos simples. Taxa de desconto efetiva. Equivalência Simples 
de Capitais. 
Aula 11 Juros Compostos. Aplicações dos logaritmos no Regime Composto. 
Convenção Linear e Convenção Exponencial. Taxas proporcionais, 
equivalentes. Taxas nominal, efetiva, real e aparente. Inflação. Capitalização 
Contínua. Disposição gráfica do montante composto. Descontos Compostos. 
Aula 12 Equivalência de Capitais no regime composto. Rendas Uniformes. Rendas 
Perpétuas. 
Aula 13 
Sistemas de Amortização: SAC, Sistema Price, Sistema Misto e Sistema 
Americano. Avaliação de investimentos – VPL, TIR, Payback. 
Aula 14 
1. Séries estatísticas. 2. Séries de dados não grupados: Tipos, representação 
tabular e gráfica. 3. Séries de dados grupados: Distribuição de frequência: 
frequência absoluta, frequência relativa: por ponto ou por intervalo de classe. 
Representação tabulare gráfica. 4. Medidas de tendência central: Médias 
(aritmética, geométrica e harmônica), média ponderada, mediana, moda 
(moda bruta, moda de Pearson, moda de Czuber, moda de King). 5. Medidas 
de variabilidade ou dispersão: Variância absoluta, desvio-padrão, variância 
relativa e coeficiente de variação de Pearson. 
Aula 15 
6. Variáveis aleatórias discretas e contínuas: Função densidade de 
probabilidade, função de distribuição, parâmetros de variáveis aleatórias 
(esperança, mediana, moda, medidas de variabilidade). 
Aula 16 
8.Distribuições teóricas discretas de probabilidade: Uniforme, Binomial, 
Poisson, hipergeométrica. Aplicações. 9. Distribuição teórica contínua de 
probabilidade: distribuição uniforme, normal, distribuição t. Uso da tabela e 
aplicações. 
Aula 17 10. Teoria da amostragem: Amostras. Distribuições amostrais. Estimação. 
Intervalo de confiança. 
Aula 18 11. Correlação e regressão linear. 12. Números índices 
Aula 19 13. Testes de hipóteses. Distribuição de qui-quadrado 
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO – DIRETO AO PONTO 
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 5
Pois bem, para inaugurar o curso, escolhi um assunto que servirá de 
propedêutico para os nosso estudos e que muitas vezes os livros e professores 
supõem que os alunos “nasceram sabendo”. 
1. Expressões Algébricas 
Uma pessoa ganha R$ 30,00 por dia de trabalho. Para calcular quanto essa 
pessoa ganhará após alguns dias de trabalho, podemos escrever a seguinte 
expressão algébrica: 
30 · ݔ
A letra ݔ representa o número de dias trabalhados. 
Desta maneira: 
Se ࢞ ൌ ૜, então a pessoa ganhará 30 · ૜ ൌ 90 ݎ݁ܽ݅ݏ.
Se ࢞ ൌ ૠ, então a pessoa ganhará 30 · ૠ ൌ 210 ݎ݁ܽ݅ݏ.
Se ࢞ ൌ ૚૞, então a pessoa ganhará 30 · ૚૞ ൌ 450 ݎ݁ܽ݅ݏ.
Observe que a letra ݔ foi substituída por vários números, ou seja, foi 
variando. Por essa razão, dizemos que ݔ é a variável. 
Podemos ter expressões algébricas com mais de uma variável. Vejamos alguns 
exemplos: 
3ݔ ൅ 4ݕ ՜ ܧݔ݌ݎ݁ݏݏã݋ ܿ݋݉ ݀ݑܽݏ ݒܽݎ݅áݒ݁݅ݏ: ݔ ݁ ݕ
2ܽଷ ൅ 5ܾ െ ܿଶ ՜ ܧݔ݌ݎ݁ݏݏã݋ ܿ݋݉ ݐݎêݏ ݒܽݎ݅áݒ݁݅ݏ: ܽ, ܾ ݁ ܿ.
IMPORTANTE 
Temos o costume de não escrever o sinal de multiplicação entre um número e 
uma letra ou entre duas letras. 
 
3 · ܽ ՜ Escreve-se 3ܽ
2 · ܽ · ܾ ՜ Escreve-se 2ܾܽ
Para obter o valor numérico de uma expressão algébrica, devemos seguir 
os seguintes passos: 
1) Substituir as letras pelos números reais dados. 
2) Efetuar as operações indicadas, seguindo esta ordem: 
I- Potenciação e radiciação 
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO – DIRETO AO PONTO 
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 6
II- Multiplicação e divisão 
III- Adição e subtração 
Exemplo 1. Calcular o valor numérico de 3࢞ െ 2࢟ ൅ 5࢞࢟ para ݔ ൌ 2 ݁ ݕ ൌ 4. 
Basta “trocar” ݔ por 2 e ݕ por 4. 
3 · ૛ െ 2 · ૝ ൅ 5 · ૛ · ૝ ൌ 6 െ 8 ൅ 40 ൌ 38
Exemplo 2. Calcular o valor numérico de 2ݔଶ െ 2ݔ ൅ 3 para ݔ ൌ െ3. 
Basta substituir ݔ por െ3. 
2 · ሺെ3ሻଶ െ 2 · ሺെ3ሻ ൅ 3 ൌ 2 · 9 ൅ 6 ൅ 3 ൌ 27
IMPORTANTE 
Utilizamos parênteses quando substituímos letras por números negativos. 
Exemplo 3. Calcular o valor numérico de 3ܽଶ ൅ 2ܽ െ 5 para ܽ ൌ 2/3. 
3 · ൬
2
3
൰
ଶ
൅ 2 · ൬
2
3
൰ െ 5 ൌ 3 ·
4
9
൅
4
3
െ 5 ൌ
4
3
൅
4
3
െ 5 ൌ
4 ൅ 4 െ 15
3
ൌ െ
7
3
IMPORTANTE 
Utilizamos parênteses quando substituímos letras por frações. 
Exemplo 4. Calcular o valor numérico de 
–௕ା√௕మିସ௔௖
ଶ௔
 para ܽ ൌ 2,
ܾ ൌ െ10 ݁ ܿ ൌ 12. 
െሺെ10ሻ ൅ ඥሺെ10ሻଶ െ 4 · 2 · 12
2 · 2
ൌ
10 ൅ √100 െ 96
4
ൌ
10 ൅ √4
4
ൌ
10 ൅ 2
4
ൌ 3
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO – DIRETO AO PONTO 
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 7
IMPORTANTE 
Nem sempre é possível calcular o valor numérico de algumas expressões para 
determinados valores. 
Por exemplo, calcule o valor numérico da expressão 
ହ
௫ିଷ
 para ݔ ൌ 3.
5
3 െ 3
ൌ
5
0
ൌ?
Lembre-se que não existe divisão por zero! Assim, o denominador de uma 
fração NUNCA poderá ser igual a zero.
IMPORTANTE 
É de uso comum em álgebra usar notações do tipo ܲሺݔሻ para expressões 
algébricas. 
ܲሺݔሻ ൌ
ݔ ൅ 1
ݔ െ 1
Quando aparecer algo do tipo “calcule ܲሺ2ሻ", isto significa que devemos 
calcular o valor numérico da expressão para ݔ ൌ 2.
ܲሺ2ሻ ൌ
2 ൅ 1
2 െ 1
ൌ 3
01. (ANEEL 2006/ESAF) Se 
௫మାଶ௫ିଶ଴଴
௬ିଶ଴଴
ൌ 0, então é necessariamente 
verdade que: 
a) 
b) 
ݔଶ ൅ 2ݔ ് 200 ݁ ݕ ൌ 200
c) 
ݔଶ ൅ 2ݔ ൌ 200 ݁ ݕ ൌ 200
d) 
ݔଶ ൅ 2ݔ ൌ 200 ݁ ݕ ് 200
e) 
ݔ ൌ 0 ݁ ݕ ് 0
ݔ ് 0 ݁ ݕ ൌ 200
Resolução 
Em qualquer fração, o denominador obrigatoriamente deve ser diferente de 
zero. Portanto, 
ݕ െ 200 ് 0
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO – DIRETO AO PONTO 
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 8
ݕ ് 200
Para que a expressão acima seja igual a zero, o numerador deve ser igual a 0. 
ݔଶ ൅ 2ݔ െ 200 ൌ 0
ݔଶ ൅ 2ݔ ൌ 200
Letra C 
2. Monômios ou termos algébricos 
Um monômio ou termo algébrico é um número ou um produto de números em 
que alguns deles são representados por letras. 
Exemplos: 
െ5ݔݕଶ
2
5
ݔ
ܾܽଶܿ
Observe que nestas expressões não aparecem adições nem subtrações. 
Em um monômio, destacamos o coeficiente e a parte literal. 
Nos nossos exemplos: 
െ5ݔݕଶ
ଶ
ହ
ݔ
ܾܽଶܿ
Número Letras
Coeficiente: െ5
Coeficiente:
ଶ
ହ
Coeficiente: 1
Parte literal: ݔݕଶ
Parte literal: ݔ
Parte literal: ܾܽଶܿ
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO – DIRETO AO PONTO 
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 9
IMPORTANTE 
Em álgebra, ݔ significa 1 · ݔ e – ݔ significa െ1 · ݔ. 
3. Monômios ou termos semelhantes 
Monômios semelhantes ou termos semelhantes são aqueles que possuem a 
mesma parte literal. 
Exemplos: 
െ4ݔݕ ݁ √3ݔݕ são termos semelhantes. 
5ݔଶݕ ݁ െ 3ݔଶݕ são termos semelhantes. 
2ܾܽ ݁ െ 3ܾܽ são termos semelhantes. 
3ܽଶܾ ݁ 7ܾܽଶ não são termos semelhantes. 
4. Operações com monômios 
Vamos aprender como calcular a soma, diferença, produto e quociente de 
monômios. 
Vejamos um exemplo: 2ݔଶݕ ൅ 5ݔଶݕ ൌ ሺ2 ൅ 5ሻݔଶݕ ൌ 7ݔଶݕ 
Devemos somar (ou subtrair) os coeficientes e repetir a parte literal. 
Observe que só podemos “simplificar” monômios semelhantes. Desta maneira, 
não podemos simplificar a expressão 2ݔ ൅ 3ݕ porque os termos 2ݔ e 3ݕ não são 
termos semelhantes. 
Exemplo 5. Simplifique a expressão 2ݔ ൅ 3ݔݕ ൅ 4ݕଶ ൅ 3ݔ െ 5ݔݕ. 
Resolução 
Observe que 2ݔ ൅ 3ݔ ൌ 5ݔ e que 3ݔݕ െ 5ݔݕ ൌ െ2ݔݕ. Assim, 
2ݔ ൅ 3ݔݕ ൅ 4ݕଶ ൅ 3ݔ െ 5ݔݕ ൌ 5ݔ ൅ 4ݕଶ െ 2ݔݕ. 
A expressão não pode mais ser simplificada porque 5ݔ, 4ݕଶ ݁ െ 2ݔݕ não são 
termos semelhantes. 
Lembre‐se que a multiplicação é
comutativa. Portanto, não importa a
ordem das letras!
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO – DIRETO AO PONTO 
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 10
Para multiplicar monômios, devemos multiplicar os coeficientes e multiplicar as 
partes literais. Lembre-se que para multiplicar potências de mesma base, 
conservamos a base e somamos os expoentes e para dividir potências de 
mesma base, conservamos a base e subtraímos os expoentes (estudaremos 
isto com muito mais detalhes nas aulas 04 e 06). 
Exemplo 6. Simplifique a expressão ሺെ2ݔݕଶሻ · ሺെ3ݔସݕଷሻ.
ሺെ2ݔݕଶሻ · ሺെ3ݔସݕହሻ ൌ ሺെ2ሻ · ሺെ3ሻ · ݔ · ݔସ · ݕଶ · ݕହ ൌ ൅6ݔହݕ଻
IMPORTANTE 
Lembre-se que quando o expoente não é escrito, fica subentendido que o expoente é 
igual a 1. 
ݔ ൌ ݔଵ
Exemplo 7. Simplifique a expressão ሺെ8ݔହݕଷሻ ൊ ሺ4ݔଶݕሻ. 
ሺെ8ݔହݕଷሻ ൊ ሺ4ݔଶݕሻ ൌ
െ8ݔହݕଷ
4ݔଶݕ
ൌ െ2ݔହିଶݕଷିଵ ൌ െ2ݔଷݕଶ
5. Polinômios 
Polinômio é um monômio ou a soma de monômios não-semelhantes.São exemplos de polinômios: 
3ݔ െ 14
2ݔଶ െ 3ݕ
2ݔଶ െ 3ݔ ൅ 9
2
3
ݔ െ ݕସ
Quando um polinômio apresenta termos semelhantes, devemos simplificá-los. 
Exemplo: 3ݔଶ ൅ 5ݔݕ ൅ 4ݔଶ ൌ 7ݔଶ ൅ 5ݔݕ
Este polinômio foi escrito na sua forma mais simples. 
Se o polinômio não tiver termos semelhantes, ele pode receber alguns nomes 
especiais: 
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO – DIRETO AO PONTO 
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 11
ܯ݋݊ô݉݅݋ ՜ ݏ݁ ݐ݅ݒ݁ݎ ܽ݌݁݊ܽݏ 1 ݐ݁ݎ݉݋
ܤ݅݊ô݉݅݋ ՜ ݏ݁ ݐ݅ݒ݁ݎ ܽ݌݁݊ܽݏ 2 ݐ݁ݎ݉݋ݏ
ܶݎ݅݊ô݉݅݋ ՜ ݏ݁ ݐ݅ݒ݁ݎ ܽ݌݁݊ܽݏ 3 ݐ݁ݎ݉݋ݏ
Exemplo: 
7ݔଶ ൅ 5ݔݕ é um binômio. 
Os polinômios com mais de três termos não têm nome especial. 
6. Polinômios com uma variável 
É o polinômio que apresenta uma única letra como variável. 
Exemplos: 
െ5ݔଷ ൅ 2ݔଶ ൅ 7
ݔ െ 3ݔଶ ൅ 5ݔସ ൅ 8
Geralmente os polinômios são apresentados segundo as potências 
decrescentes da variável. 
െ5ݔଷ ൅ 2ݔଶ ൅ 7 polinômio ordenado 
ݔ െ 3ݔଶ ൅ 5ݔସ ൅ 8 polinômio não-ordenado 
Quando um polinômio estiver ordenado e estiver faltando uma ou mais 
potências da variável, dizemo que os coeficientes desses termos são zero e o 
polinômio é dito incompleto. 
െ5ݔଷ ൅ 2ݔଶ ൅ 7 ൌ െ5ݔଷ ൅ 2ݔଶ ൅ 0ݔ ൅ 7
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO – DIRETO AO PONTO 
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 12
7. Operações com polinômios 
Vamos adicionar dois polinômios: 
ሺ3ݔଶ െ 6ݔ ൅ 8ሻ ൅ ሺ2ݔଶ ൅ 8ݔ െ 5ሻ ൌ 3ݔଶ െ 6ݔ ൅ 8 ൅ 2ݔଶ ൅ 8ݔ െ 5 ൌ 5ݔଶ ൅ 2ݔ ൅ 3
Vamos subtrair dois polinômios: 
ሺ3ݔଶ െ 6ݔ ൅ 8ሻ െ ሺ2ݔଶ ൅ 8ݔ െ 5ሻ ൌ 3ݔଶ െ 6ݔ ൅ 8 െ 2ݔଶ െ 8ݔ ൅ 5 ൌ ݔଶ െ 14ݔ ൅ 13
Para multiplicar um monômio por um polinômio devemos multiplicar todos os 
termos do polinômio pelo monômio utilizando a propriedade distributiva da 
multiplicação. 
3ݔ · ሺ2ݔଶ ൅ 8ݔ െ 5ሻ ൌ 3ݔ · 2ݔଶ ൅ 3ݔ · 8ݔ ൅ 3ݔ · ሺെ5ሻ ൌ 6ݔଷ ൅ 24ݔଶ െ 15ݔ
Para multiplicar um polinômio por outro polinômio devemos multiplicar cada 
termo do primeiro polinômio por todos os termos do segundo e, se possível, 
reduzir os termos semelhantes 
ሺ3ݔݕଶ െ 5ݔሻ · ሺ2ݔ െ 4ሻ ൌ 3ݔݕଶ · 2ݔ ൅ 3ݔݕଶ · ሺെ4ሻ െ 5ݔ · 2ݔ െ 5ݔ · ሺെ4ሻ ൌ 6ݔଶݕଶ െ 12ݔݕଶ ൅ 20ݔ
ሺ2ݔ ൅ 3ሻ · ሺെ3ݔ ൅ 4ሻ ൌ 2ݔ · ሺെ3ݔሻ ൅ 2ݔ · 4 ൅ 3 · ሺെ3ݔሻ ൅ 3 · 4 ൌ െ6ݔଶ ൅ 8ݔ െ 9ݔ ൅ 12 ൌ െ6ݔଶ െ ݔ ൅ 12
Devemos trocar os sinais dos
termos do segundo par de
parênteses.
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO – DIRETO AO PONTO 
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 13
Para dividir um polinômio por um monômio devemos dividir cada termo do 
polinômio pelo monômio. 
ሺ8ݔସ െ 6ݔଶ ൅ 4ݔሻ ൊ ሺെ2ݔሻ ൌ ଼௫
ర
ିଶ௫
൅ ି଺௫
మ
ିଶ௫
൅ ସ௫
ିଶ௫
ൌ െ4ݔଷ ൅ 3ݔ െ 2
Lembre-se que para dividir potências de mesma base, conservamos a base e 
subtraimos o expoente. 
Vamos mostrar, através de um exemplo, a regra prática para efetuar a divisão 
de polinômios. 
O primeiro passo é dividir o primeiro termo do dividendo (de maior grau) 
െ15ݔଷ pelo primeiro termo (de maior grau) do divisor 3ݔ. Obtemos െ5ݔଶ. 
െ15ݔଷ
3ݔ
ൌ െ5ݔଶ
O próximo passo é multiplicar െ5ݔଶ pelos termos do divisor, colocando o 
resultado com o sinal trocado abaixo do dividendo. Adicionamos os termos 
semelhantes e baixamos os termos seguintes. 
െ5ݔଶ · ሺ3ݔ െ 4ሻ ൌ െ15ݔଷ ൅ 20ݔଶ ՜ ݐݎ݋ܿܽ݉݋ݏ ݋ݏ ݏ݅݊ܽ݅ݏ ݀݁ ݐ݋݀݋ݏ ݋ݏ ݐ݁ݎ݉݋ݏ.
Os polinômios devem estar
ordenados segundo as
potências decrescentes da
variável.
െ15ݔଷ ൅ 29ݔଶ െ 33ݔ ൅ 28 3ݔ െ 4
Termo de maior
grau
Termo de maior
grau
െ15ݔଷ ൅ 29ݔଶ െ 33ݔ ൅ 28 3ݔ െ 4
െ5ݔଶ
9ݔଶ െ 33ݔ ൅ 28
െ15ݔଷ ൅ 29ݔଶ െ 33ݔ ൅ 28 3ݔ െ 4
െ5ݔଶ൅15ݔଷ െ 20ݔଶ
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO – DIRETO AO PONTO 
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 14
Repetimos todo o processo com o resto parcial. Dividimos 9ݔଶ por 3ݔ e 
obtemos 3ݔ. Multiplicamos 3ݔ pelo divisor, trocamos o sinal e colocamos o 
resultado abaixo do resto parcial. 
Dividimos o primeiro termo െ21ݔ pelo primeiro termo do divisor 3ݔ. Obtemos 
െ7, em seguida multiplicamos െ7 pelo divisor, trocamos o sinal e colocamos o 
resultado abaixo do resto parcial. 
Quando o resto é zero (como o nosso exemplo), dizemos que a divisão é 
exata. Desta forma, o polinômio െ15ݔଷ ൅ 29ݔଶ െ 33ݔ ൅ 28 é divisível pelo 
polinômio 3ݔ െ 4. 
Observe a seguinte relação importantíssima: 
ܦ݅ݒ݅݀݁݊݀݋ ൌ ܳݑ݋ܿ݅݁݊ݐ݁ · ܦ݅ݒ݅ݏ݋ݎ ൅ ܴ݁ݏݐ݋
No nosso caso, 
െ15ݔଷ ൅ 29ݔଶ െ 33ݔ ൅ 28 ൌ ሺെ5ݔଶ ൅ 3ݔ െ 7ሻ · ሺ3ݔ െ 4ሻ ൅ 0
Exemplo 8. Obtenha o polinômio que, dividido por ሺݔ െ 2ሻ, dá o quociente 
ሺݔ ൅ 1ሻ e resto 4. 
Ora, sabemos que 
ܦ݅ݒ݅݀݁݊݀݋ ൌ ܳݑ݋ܿ݅݁݊ݐ݁ · ܦ݅ݒ݅ݏ݋ݎ ൅ ܴ݁ݏݐ݋
ܦ ൌ ܳ · ݀ ൅ ݎ
ܦ ൌ ሺݔ ൅ 1ሻ · ሺݔ െ 2ሻ ൅ 4
െ5ݔଶ ൅ 3ݔ
9ݔଶ െ 33ݔ ൅ 28
൅15ݔଷ െ 20ݔଶ
െ15ݔଷ ൅ 29ݔଶ െ 33ݔ ൅ 28 3ݔ െ 4
െ9ݔଶ ൅ 12ݔ
െ21ݔ ൅ 28
െ21ݔ ൅ 28
െ5ݔଶ ൅ 3ݔ െ 7
െ9ݔଶ ൅ 12ݔ
9ݔଶ െ 33ݔ ൅ 28
൅15ݔଷ െ 20ݔଶ
െ15ݔଷ ൅ 29ݔଶ െ 33ݔ ൅ 28 3ݔ െ 4
൅21ݔ െ 28
0
Quociente
Resto
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO – DIRETO AO PONTO 
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 15
ܦ ൌ ݔଶ െ 2ݔ ൅ ݔ െ 2 ൅ 4
ܦ ൌ ݔଶ െ ݔ ൅ 2
Portanto, o dividendo é ܦ ൌ ݔଶ െ ݔ ൅ 2.
Observação: O grau do resto é sempre menor que o grau do divisor. 
Desta forma, se o divisor é do 2º grau, então o divisor é, no máximo, 
do 1º grau. Se o divisor é do 6º grau, então o resto é, no máximo, do 
5º grau. 
8. Divisão de polinômios por binômios do 1º grau 
Vou dar algumas dicas em casos onde ocorre a divisão de polinômios por 
binômios do primeiro grau. 
Considere um polinômio qualquer ܲሺݔሻ. Por exemplo ܲሺݔሻ ൌ 4ݔଷ െ 2ݔଶ ൅ 4ݔ െ 3
Queremos obter o resto da divisão deste polinômio pelo binômio 2ݔ ൅ 4. 
Há uma maneira muito fácil de calcular o resto da divisão de qualquer 
polinômio ܲሺݔሻ por um binômio do 1º grau. Devemos seguir os seguintes 
passos: 
i) Igualar o binômio do primeiro grau a 0 e resolver a equação. 
2ݔ ൅ 4 ൌ 0
2ݔ ൌ െ4
ݔ ൌ െ2
ii) Calcular o valor numérico em ܲሺݔሻ do valor obtido. 
ܲሺݔሻ ൌ 4ݔଷ െ 2ݔଶ ൅ 4ݔ െ 3
ܲሺെ2ሻ ൌ 4 · ሺെ2ሻଷ െ 2 · ሺെ2ሻଶ ൅ 4 · ሺെ2ሻ െ 3 ൌ െ32 െ 8 െ 8 െ 3 ൌ െ51
Isto significa que o resto da divisão de 4ݔଷ െ 2ݔଶ ൅ 4ݔ െ 3 por 2ݔ ൅ 4 é െ51.
Muito fácil, não? 
Esta dica que acabamos de aprender tem um nome: Teorema do Resto. 
Exemplo 9. Determine o valor de ݉ de modo que 
ܲሺݔሻ ൌ 2ݔଷ ൅ ሺ݉ ൅ 2ሻݔଶ െ ሺ݉ ൅ 1ሻݔ െ 4 seja divisível por ݔ െ 3. 
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO – DIRETO AO PONTO 
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 16
Resolução 
Para que ܲሺݔሻ ൌ 2ݔଷ ൅ ሺ݉ ൅ 2ሻݔଶ െ ሺ݉ ൅ 1ሻݔ െ 4 seja divisível por ݔ െ 3 o resto da 
divisão deve ser zero, ou seja, a divisão deve ser exata. 
E como se calcula o resto da divisão? 
Primeiro, devemos igualar o divisor ݔ െ 3 a zero. 
ݔ െ 3 ൌ 0
ݔ ൌ 3
Para calcular o resto da divisão, devemos calcular ܲሺ3ሻ, ou seja, devemos 
substituir ݔ por 3. 
ܴ݁ݏݐ݋ ൌ ܲሺ3ሻ ൌ 2 · 3ଷ ൅ ሺ݉ ൅ 2ሻ · 3ଶ െ ሺ݉ ൅ 1ሻ · 3 െ 4 ൌ 54 ൅ 9݉ ൅ 18 െ 3݉ െ 3 െ 4
ܴ݁ݏݐ݋ ൌ 65 ൅ 6݉
Como o resto da divisão deve ser zero: 
6݉ ൅ 65 ൌ 0
6݉ ൌ െ65
݉ ൌ
െ65
6
02. (AFRFB 2009/ESAF) Se um polinômio f for divisível separadamente por 
(x – a) e (x – b) com a ≠ b, então f é divisível pelo produto entre (x – a) e 
(x – b). Sabendo-se que 5 e -2 são os restos da divisão de um polinômio f por 
(x - 1) e (x + 3), respectivamente, então o resto da divisão desse polinômio 
pelo produto dado por (x - 1) e (x + 3) é igual a: 
a) 
13 7
4 4
x + 
b) 
7 13
4 4
x − 
c) 
7 13
4 4
x + 
d) 
13 13
4 4
x− − 
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO – DIRETO AO PONTO 
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 17
e) 
13 7
4 4
x− − 
Resolução5 e -2 são os restos da divisão de um polinômio f por (x - 1) e (x + 3). 
Para calcular o resto da divisão de um polinômio f por ሺݔ െ 1ሻ, devemos fazer o 
seguinte: 
i) Resolver a equação ݔ െ 1 ൌ 0
Portanto, ݔ ൌ 1. 
ii) Calcular o valor numérico de ݂ para ݔ ൌ 1. 
Portanto, o resto é ݂ሺ1ሻ. Como este resto é igual a 5, então ݂ሺ1ሻ ൌ 5.
Para calcular o resto da divisão de um polinômio f por ሺݔ ൅ 3ሻ, devemos fazer o 
seguinte: 
i) Resolver a equação ݔ ൅ 3 ൌ 0
Portanto, ݔ ൌ െ3. 
ii) Calcular o valor numérico de ݂ para ݔ ൌ െ3. 
Portanto, o resto é ݂ሺെ3ሻ. Como este resto é igual aെ2, então ݂ሺെ3ሻ ൌ െ2.
Conclusão: (1) 5f = e ( 3) 2f − = − . 
Queremos calcular o resto da divisão do polinômio ݂ pelo produto ሺݔ െ 1ሻ ·
ሺݔ ൅ 3ሻ. Observe que o polinômio ሺݔ െ 1ሻ · ሺݔ ൅ 3ሻ é do segundo grau, porque 
ሺݔ െ 1ሻ · ሺݔ ൅ 3ሻ ൌ ݔଶ ൅ 2ݔ െ 3. Vimos anteriormente que se o divisor é do segundo 
grau, então o resto é, no máximo, do primeiro grau. Portanto, o resto é do tipo 
ܽݔ ൅ ܾ. 
Sejam q e r a x b= ⋅ + , respectivamente, o quociente e o resto da divisão de 
f por ( 1)( 3)x x− + . Lembre-se que: 
ܦ݅ݒ݅݀݁݊݀݋ ൌ ܳݑ݋ܿ݅݁݊ݐ݁ · ܦ݅ݒ݅ݏ݋ݎ ൅ ܴ݁ݏݐ݋
݂ ൌ ݍ · ሺݔ െ 1ሻ · ሺݔ ൅ 3ሻ ൅ ሺܽݔ ൅ ܾሻ
Tomemos os valores numéricos desses polinômios em 1 e – 3. 
݂ሺ1ሻ ൌ ݍሺ1ሻ · ሺ1 െ 1ሻ · ሺ1 ൅ 3ሻ ൅ ܽ · 1 ൅ ܾ
Observe que 1 െ 1 ൌ 0, ݌݋ݎݐܽ݊ݐ݋ ݍሺ1ሻ · ሺ1 െ 1ሻ · ሺ1 ൅ 3ሻ ൌ 0. 
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO – DIRETO AO PONTO 
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 18
Assim, ݂ሺ1ሻ ൌ ܽ ൅ ܾ. Como ݂ሺ1ሻ ൌ 5, temos que ܽ ൅ ܾ ൌ 5.
݂ሺെ3ሻ ൌ ݍሺെ3ሻ · ሺെ3 െ 1ሻ · ሺെ3 ൅ 3ሻ ൅ ܽ · ሺെ3ሻ ൅ ܾ
Observe que െ3 ൅ 3 ൌ 0, ݌݋ݎݐܽ݊ݐ݋ ݍሺെ3ሻ · ሺെ3 െ 1ሻ · ሺെ3 ൅ 3ሻ ൌ 0. Assim, ݂ሺെ3ሻ ൌ
െ3ܽ ൅ ܾ. Como ݂ሺെ3ሻ ൌ െ2, temos que െ3ܽ ൅ ܾ ൌ െ2.
Temos um sistema linear: 
ቄ ܽ ൅ ܾ ൌ 5
Da primeira equação temos que 
െ3ܽ ൅ ܾ ൌ െ2
ܾ ൌ 5 െ ܽ.
Da segunda equação temos que ܾ ൌ 3ܽ െ 2. 
Portanto, 3ܽ െ 2 ൌ 5 െ ܽ. 
3ܽ ൅ ܽ ൌ 5 ൅ 2
4ܽ ൌ 7
ܽ ൌ
7
4
Como ܾ ൌ 5 െ ܽ
ܾ ൌ 5 െ
7
4
ൌ
20 െ 7
4
ൌ
13
4
7a = e 13
4 4
b = . 
Sabemos que o resto é ݎ ൌ ܽݔ ൅ ܾ, portanto: 
Resposta: 
7
4
13r
4
x= + . 
Letra C 
9. Produtos Notáveis 
Há alguns produtos de polinômios que ocorrem com muita frequência na 
álgebra e que são chamados de produtos notáveis. 
Quadrado da soma de dois termos 
ሺܽ ൅ ܾሻଶ ൌ ሺܽ ൅ ܾሻ · ሺܽ ൅ ܾሻ ൌ ܽଶ ൅ ܾܽ ൅ ܾܽ ൅ ܾଶ ൌ ܽଶ ൅ 2ܾܽ ൅ ܾଶ
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO – DIRETO AO PONTO 
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 19
ሺܽ ൅ ܾሻଶ ൌ ܽଶ ൅ 2ܾܽ ൅ ܾଶ
Concluímos que o quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do 
primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo 
termo, mais o quadrado do segundo termo. 
ሺ݌ݎ݅݉݁݅ݎ݋ ൅ ݏ݁݃ݑ݊݀݋ሻଶ ൌ ሺ݌ݎ݅݉݁݅ݎ݋ሻଶ ൅ 2 · ሺ݌ݎ݅݉݁݅ݎ݋ሻ · ሺݏ݁݃ݑ݊݀݋ሻ ൅ ሺݏ݁݃ݑ݊݀݋ሻଶ
Exemplo 10. Desenvolva ሺ2ݔ ൅ 3ݕሻଶ.
Resolução 
ሺ݌ݎ݅݉݁݅ݎ݋ሻଶ ൌ ሺ2ݔሻଶ ൌ 4ݔଶ
2 · ሺ݌ݎ݅݉݁݅ݎ݋ሻ · ሺݏ݁݃ݑ݊݀݋ሻ ൌ 2 · 2ݔ · 3ݕ ൌ 12ݔݕ
ሺݏ݁݃ݑ݊݀݋ሻଶ ൌ ሺ3ݕሻଶ ൌ 9ݕଶ
Resposta: ሺ2ݔ ൅ 3ݕሻଶ ൌ 4ݔଶ ൅ 12ݔݕ ൅ 9ݕଶ
Exemplo 11. Desenvolva ሺ4ݔଷ ൅ 2ݕሻଶ. 
Resolução 
ሺ݌ݎ݅݉݁݅ݎ݋ሻଶ ൌ ሺ4ݔଷሻଶ ൌ 16ݔ଺ ՜ ݈ܾ݁݉ݎ݁ ݍݑ݁ ሺܽ௠ሻ௡ ൌ ܽ௠·௡
Neste caso, para calcular ሺ4ݔଷሻଶ, conservamos a base e multiplicamos os expoentes! 
2 · ሺ݌ݎ݅݉݁݅ݎ݋ሻ · ሺݏ݁݃ݑ݊݀݋ሻ ൌ 2 · 4ݔ3 · 2ݕ ൌ 16ݔ3ݕ
ሺݏ݁݃ݑ݊݀݋ሻଶ ൌ ሺ2ݕሻଶ ൌ 4ݕଶ
Resposta: ሺ4ݔଷ ൅ 2ݕሻଶ ൌ 16ݔ଺ ൅ 16ݔଷݕ ൅ 4ݕଶ
IMPORTANTE
Note que ሺܽ ൅ ܾሻଶ ് ܽଶ ൅ ܾଶ
ܽଶ ൅ ܾଶ ՜ ݊݁ݏݐܽ ݁ݔ݌ݎ݁ݏݏã݋, ݈݁݁ݒܽ݉݋ݏ ݋ݏ ݊ú݉݁ݎ݋ݏ ܽ݋ ݍݑܽ݀ݎܽ݀݋ ݁ ݁݉ ݏ݁݃ݑ݅݀ܽ ݏ݋݉ܽ݉݋ݏ
݋ݏ ݎ݁ݏݑ݈ݐܽ݀݋ݏ.
ሺܽ ൅ ܾሻଶ ՜ ݊݁ݏݐܽ ݁ݔ݌ݎ݁ݏݏã݋, ݏ݋݉ܽ݉݋ݏ ݋ݏ ݊ú݉݁ݎ݋ݏ ݁ ݁݉ ݏ݁݃ݑ݅݀ܽ ݈݁݁ݒܽ݉݋ݏ ݋ ݎ݁ݏݑ݈ݐܽ݀݋
ܽ݋ ݍݑܽ݀ݎܽ݀݋.
Quadrado da diferença de dois termos 
ሺܽ െ ܾሻଶ ൌ ሺܽ െ ܾሻ · ሺܽ െ ܾሻ ൌ ܽଶ െ ܾܽ െ ܾܽ ൅ ܾଶ ൌ ܽଶ െ 2ܾܽ ൅ ܾଶ
ሺܽ െ ܾሻଶ ൌ ܽଶ െ 2ܾܽ ൅ ܾଶ
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO – DIRETO AO PONTO 
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 20
Concluímos que o quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado 
do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro termo pelo 
segundo termo, mais o quadrado do segundo termo. 
ሺ݌ݎ݅݉݁݅ݎ݋ െ ݏ݁݃ݑ݊݀݋ሻଶ ൌ ሺ݌ݎ݅݉݁݅ݎ݋ሻଶ െ 2 · ሺ݌ݎ݅݉݁݅ݎ݋ሻ · ሺݏ݁݃ݑ݊݀݋ሻ ൅ ሺݏ݁݃ݑ݊݀݋ሻଶ
Exemplo 12. Desenvolva ሺ4݉ െ 3݊ሻଶ. 
Resolução 
ሺ݌ݎ݅݉݁݅ݎ݋ሻଶ ൌ ሺ4݉ሻଶ ൌ 16݉ଶ
2 · ሺ݌ݎ݅݉݁݅ݎ݋ሻ · ሺݏ݁݃ݑ݊݀݋ሻ ൌ 2 · 4݉ · 3݊ ൌ 24݉݊
ሺݏ݁݃ݑ݊݀݋ሻଶ ൌ ሺ3݊ሻଶ ൌ 9݊ଶ
Resposta: ሺ4݉ െ 3݊ሻଶ ൌ 16݉ଶ െ 24݉݊൅ 9݊ଶ
Produto da soma pela diferença de dois termos 
ሺܽ ൅ ܾሻ · ሺܽ െ ܾሻ ൌ ܽଶ െ ܾܽ ൅ ܾܽ െ ܾଶ ൌ ܽଶ െ ܾଶ
ሺܽ ൅ ܾሻ · ሺܽ െ ܾሻ ൌ ܽଶ െ ܾଶ
Concluímos que o produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao 
quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo. 
ሺ݌ݎ݅݉݁݅ݎ݋ ൅ ݏ݁݃ݑ݊݀݋ሻ · ሺ݌ݎ݅݉݁݅ݎ݋ െ ݏ݁݃ݑ݊݀݋ሻ ൌ ሺ݌ݎ݅݉݁݅ݎ݋ሻଶ െ ሺݏ݁݃ݑ݊݀݋ሻଶ
Exemplo 13. Desenvolva ሺ2ܽ ൅ 3ܾሻ · ሺ2ܽ െ 3ܾሻ.
ሺ݌ݎ݅݉݁݅ݎ݋ሻଶ ൌ ሺ2ܽሻଶ ൌ 4ܽଶ
ሺݏ݁݃ݑ݊݀݋ሻଶ ൌ ሺ3ܾሻଶ ൌ 9ܾଶ
Resposta: ሺ2ܽ ൅ 3ܾሻ · ሺ2ܽ െ 3ܾሻ ൌ 4ܽଶ െ 9ܾଶ
Cubo da soma de dois termos 
Para calcular ሺܽ ൅ ܾሻଷ basta multiplicar ሺܽ ൅ ܾሻଶ por ሺܽ ൅ ܾሻ
ሺܽ ൅ ܾሻଷ ൌ ሺܽ ൅ ܾሻଶ · ሺܽ ൅ ܾሻ
ሺܽ ൅ ܾሻଷ ൌ ሺܽଶ ൅ 2ܾܽ ൅ ܾଶሻ · ሺܽ ൅ ܾሻ
ሺܽ ൅ ܾሻଷ ൌ ܽଷ ൅ ܽଶܾ ൅ 2ܽଶܾ ൅ 2ܾܽଶ ൅ ܾܽଶ ൅ ܾଷ
ሺܽ ൅ ܾሻଷ ൌ ܽଷ ൅ 3ܽଶܾ ൅ 3ܾܽଶ ൅ ܾଷ
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO – DIRETO AO PONTO 
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 21
Concluímos que o cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro 
termo, mais três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo, 
mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo, mais o 
cubo do segundo termo. 
ሺ݌ݎ݅݉݁݅ݎ݋ ൅ ݏ݁݃ݑ݊݀݋ሻଷ ൌ ሺ݌ݎ݅݉݁݅ݎ݋ሻଷ ൅ 3 · ሺ݌ݎ݅݉݁݅ݎ݋ሻଶ · ሺݏ݁݃ݑ݊݀݋ሻ ൅ 3 · ሺ݌ݎ݅݉݁݅ݎ݋ሻ · ሺݏ݁݃ݑ݊݀݋ሻଶ ൅ ሺݏ݁݃ݑ݊݀݋ሻଷ
Exemplo 14. Desenvolva ሺ2ݔ ൅ 3ݕሻଷ. 
Resolução 
ሺ݌ݎ݅݉݁݅ݎ݋ሻଷ ൌ ሺ2ݔሻଷ ൌ 8ݔଷ
3 · ሺ݌ݎ݅݉݁݅ݎ݋ሻଶ · ሺݏ݁݃ݑ݊݀݋ሻ ൌ 3 · ሺ2ݔሻଶ · ሺ3ݕሻ ൌ 36ݔଶݕ
3 · ሺ݌ݎ݅݉݁݅ݎ݋ሻ · ሺݏ݁݃ݑ݊݀݋ሻଶ ൌ 3 · 2ݔ · ሺ3ݕሻଶ ൌ 54ݔݕଶ
ሺݏ݁݃ݑ݊݀݋ሻଷ ൌ ሺ3ݕሻଷ ൌ 27ݕଷ
Resposta: ሺ2ݔ ൅ 3ݕሻଷ ൌ 8ݔଷ ൅ 36ݔଶݕ ൅ 54ݔݕଶ ൅ 27ݕଷ
Cubo da diferença de dois termos 
Para calcular ሺܽ െ ܾሻଷ basta multiplicar ሺܽ െ ܾሻଶ por ሺܽ െ ܾሻ
ሺܽ െ ܾሻଷ ൌ ሺܽ െ ܾሻଶ · ሺܽ െ ܾሻ
ሺܽ െ ܾሻଷ ൌ ሺܽଶ െ 2ܾܽ ൅ ܾଶሻ · ሺܽ െ ܾሻ
ሺܽ െ ܾሻଷ ൌ ܽଷ െ ܽଶܾ െ 2ܽଶܾ ൅ 2ܾܽଶ ൅ ܾܽଶ െ ܾଷ
ሺܽ ൅ ܾሻଷ ൌ ܽଷ െ 3ܽଶܾ ൅ 3ܾܽଶ െ ܾଷ
Concluímos que o cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro 
termo, menos três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo 
termo, mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo, 
menos o cubo do segundo termo. O processo é praticamente igual ao caso 
anterior, só que os sinais vão se alternando. 
ሺ݌ݎ݅݉݁݅ݎ݋ ൅ ݏ݁݃ݑ݊݀݋ሻଷ ൌ ሺ݌ݎ݅݉݁݅ݎ݋ሻଷ െ 3 · ሺ݌ݎ݅݉݁݅ݎ݋ሻଶ · ሺݏ݁݃ݑ݊݀݋ሻ ൅ 3 · ሺ݌ݎ݅݉݁݅ݎ݋ሻ · ሺݏ݁݃ݑ݊݀݋ሻଶ െ ሺݏ݁݃ݑ݊݀݋ሻଷ
Exemplo 15. Desenvolva ሺ3ݔ െ 4ሻଷ
Resolução 
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO – DIRETO AO PONTO 
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 22
ሺ݌ݎ݅݉݁݅ݎ݋ሻଷ ൌ ሺ3ݔሻଷ ൌ 27ݔଷ
3 · ሺ݌ݎ݅݉݁݅ݎ݋ሻଶ · ሺݏ݁݃ݑ݊݀݋ሻ ൌ 3 · ሺ3ݔሻଶ · 4 ൌ 108ݔଶ
3 · ሺ݌ݎ݅݉݁݅ݎ݋ሻ · ሺݏ݁݃ݑ݊݀݋ሻଶ ൌ 3 · 3ݔ · ሺ4ሻଶ ൌ 144ݔ
ሺݏ݁݃ݑ݊݀݋ሻଷ ൌ 4ଷ ൌ 64
Resposta: ሺ3ݔ െ 4ሻଷ ൌ 27ݔଷ െ 108ݔଶ ൅ 144ݔ െ 64
03. (Pref. de São Gonçalo/RJ 2007/CEPERJ) Dois números a e b são tais que 
ܽ ൅ ܾ ൌ 6 e ଵ
௔
൅ ଵ
௕
ൌ ସ
ହ
. 
Então, ܽଶ ൅ ܾଶ é igual a: 
a) 12 
b) 15 
c) 18 
d) 21 
e) 24 
Resolução 
1
ܽ
൅
1
ܾ
ൌ
4
5
Dica: sempre que tivermos frações em uma equação, devemos multiplicar 
todos os termos pelo m.m.c (mínimo múltiplo comum) dos denominadores. No 
caso, ݉݉ܿሺܽ, ܾ, 5ሻ ൌ 5ܾܽ
Vamos multiplicar o primeiro termo por 5ܾܽ.
1
ܽ
· 5ܾܽ ൌ 5ܾ
Vamos multiplicar o segundo termo por 5ܾܽ.
1
ܾ
· 5ܾܽ ൌ 5ܽ
Finalmente, multiplicar o último termo por 5ܾܽ.
4
5
· 5ܾܽ ൌ 4ܾܽ
E equação ficará assim: 
5ܾ ൅ 5ܽ ൌ 4ܾܽ
Colocando o número 5 em evidência: 
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO – DIRETO AO PONTO 
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br23
5 · ሺܽ ൅ ܾሻ ൌ 4ܾܽ
Como o enunciado nos informou que ܽ ൅ ܾ ൌ 6: 
4ܾܽ ൌ 5 · 6
4ܾܽ ൌ 30
ܾܽ ൌ 7,5
Agora vamos ao que nos interessa: calcular o valor de ܽଶ ൅ ܾଶ
Vamos utilizar um artifício muito comum em questões deste tipo. Notou a 
semelhança da expressão ܽଶ ൅ ܾଶ com a expressão ሺܽ ൅ ܾሻଶ?
ܽଶ ൅ ܾଶ ՜ ݊݁ݏݐܽ ݁ݔ݌ݎ݁ݏݏã݋, ݈݁݁ݒܽ݉݋ݏ ݋ݏ ݊ú݉݁ݎ݋ݏ ܽ݋ ݍݑܽ݀ݎܽ݀݋ ݁ ݁݉ ݏ݁݃ݑ݅݀ܽ ݏ݋݉ܽ݉݋ݏ
݋ݏ ݎ݁ݏݑ݈ݐܽ݀݋ݏ.
ሺܽ ൅ ܾሻଶ ՜ ݊݁ݏݐܽ ݁ݔ݌ݎ݁ݏݏã݋, ݏ݋݉ܽ݉݋ݏ ݋ݏ ݊ú݉݁ݎ݋ݏ ݁ ݁݉ ݏ݁݃ݑ݅݀ܽ ݈݁݁ݒܽ݉݋ݏ ݋ ݎ݁ݏݑ݈ݐܽ݀݋
ܽ݋ ݍݑܽ݀ݎܽ݀݋.
Pois bem, esta expressão ሺܽ ൅ ܾሻଶ é muito famosa em Matemática. É tão 
famosa e útil que é chamada de produto notável. 
Vamos lembrar o desenvolvimento desta expressão: 
ሺܽ ൅ ܾሻଶ ൌ ܽଶ ൅ 2ܾܽ ൅ ܾଶ
Você está lembrado qual é o valor de ܽ ൅ ܾ? O enunciado nos informou que 
ࢇ ൅ ࢈ ൌ ૟. E o valor de ܾܽ, você está lembrado? Nós já calculamos e 
descobrimos que ࢇ࢈ ൌ ૠ, ૞.
ሺࢇ ൅ ࢈ሻଶ ൌ ܽଶ ൅ 2ࢇ࢈ ൅ ܾଶ
ሺ૟ሻଶ ൌ ܽଶ ൅ 2 · ૠ, ૞ ൅ ܾଶ
36 ൌ ܽଶ ൅ 15 ൅ ܾଶ
36 െ 15 ൌ ܽଶ ൅ ܾଶ
21 ൌ ܽଶ ൅ ܾଶ
Portanto, ܽଶ ൅ ܾଶ ൌ 21.
Letra D 
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO – DIRETO AO PONTO 
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 24
04. (Pref. de Cantagalo 2010/CEPERJ) Sabendo-se que: ܽ ൅ ܾ ൌ 2 e ܾܽ ൌ 1/2, 
ܽଷ ൅ ܾଷ vale: 
a) 5 
b) 5/2 
c) 2/5 
d) 3 
e) 1/2 
Resolução 
Questão muito parecida com a questão anterior. Mesma banca, 3 anos 
depois... A banca foi gentil e agressiva simultaneamente. Gentil porque 
forneceu diretamente os valores de ܽ ൅ ܾ e de ܾܽ. Agressiva porque trocou o 
expoente da expressão pedida. Para calcular ܽଷ ൅ ܾଷ vamos ter um pouco mais 
de trabalho. 
A conversa é bem parecida com a da questão passada. 
Notou a semelhança da expressão ܽଷ ൅ ܾଷ com a expressão ሺܽ ൅ ܾሻଷ?
ܽଷ ൅ ܾଷ
՜ ݊݁ݏݐܽ ݁ݔ݌ݎ݁ݏݏã݋, ݈݁݁ݒܽ݉݋ݏ ݋ݏ ݊ú݉݁ݎ݋ݏ ܽ݋ ܿݑܾ݋ ݁ ݁݉ ݏ݁݃ݑ݅݀ܽ ݏ݋݉ܽ݉݋ݏ ݋ݏ ݎ݁ݏݑ݈ݐܽ݀݋ݏ.
ሺܽ ൅ ܾሻଷ
՜ ݊݁ݏݐܽ ݁ݔ݌ݎ݁ݏݏã݋, ݏ݋݉ܽ݉݋ݏ ݋ݏ ݊ú݉݁ݎ݋ݏ ݁ ݁݉ ݏ݁݃ݑ݅݀ܽ ݈݁݁ݒܽ݉݋ݏ ݋ ݎ݁ݏݑ݈ݐܽ݀݋ ܽ݋ ܿݑܾ݋.
Pois bem, esta expressão ሺܽ ൅ ܾሻଷ é muito famosa em Matemática. É tão 
famosa e útil que é chamada de produto notável. 
Vamos lembrar o desenvolvimento desta expressão: 
ሺܽ ൅ ܾሻଷ ൌ ܽଷ ൅ 3ܽଶܾ ൅ 3ܾܽଶ ൅ ܾଷ
“Nunca vou lembrar-me deste desenvolvimento na hora da prova!” 
Calma... Há uma saída: utilizar a força braçal! 
Para calcular ሺܽ ൅ ܾሻଷ basta multiplicar ሺܽ ൅ ܾሻଶ por ሺܽ ൅ ܾሻ
ሺܽ ൅ ܾሻଷ ൌ ሺܽ ൅ ܾሻଶ · ሺܽ ൅ ܾሻ
ሺܽ ൅ ܾሻଷ ൌ ሺܽଶ ൅ 2ܾܽ ൅ ܾଶሻ · ሺܽ ൅ ܾሻ
ሺܽ ൅ ܾሻଷ ൌ ܽଷ ൅ ܽଶܾ ൅ 2ܽଶܾ ൅ 2ܾܽଶ ൅ ܾܽଶ ൅ ܾଷ
ሺܽ ൅ ܾሻଷ ൌ ܽଷ ൅ 3ܽଶܾ ൅ 3ܾܽଶ ൅ ܾଷ
Bom, vamos voltar ao problema. Queremos calcular o valor de ܽଷ ൅ ܾଷ. 
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO – DIRETO AO PONTO 
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 25
ሺܽ ൅ ܾሻଷ ൌ ܽଷ ൅ 3ܽଶܾ ൅ 3ܾܽଶ ൅ ܾଷ
Observe as duas parcelas do meio no segundo membro: 
3ܽଶܾ ൅ 3ܾܽଶ
Podemos colocar a expressão 3ܾܽ em evidência. 
3ܽଶܾ ൅ 3ܾܽଶ ൌ 3ܾܽ · ሺܽ ൅ ܾሻ
Voltando ao produto notável: 
ሺܽ ൅ ܾሻଷ ൌ ܽଷ ൅ 3ܽଶܾ ൅ 3ܾܽଶ ൅ ܾଷ
ሺܽ ൅ ܾሻଷ ൌ ܽଷ ൅ 3ܾܽ · ሺܽ ൅ ܾሻ ൅ ܾଷ
Sabendo que ࢇ ൅ ࢈ ൌ ૛ ݁ ࢇ࢈ ൌ ૚/૛: 
ሺࢇ ൅ ࢈ሻଷ ൌ ܽଷ ൅ 3ࢇ࢈ · ሺࢇ ൅ ࢈ሻ ൅ ܾଷ
ሺ૛ሻଷ ൌ ܽଷ ൅ 3 ·
૚
૛
· ሺ૛ሻ ൅ ܾଷ
8 ൌ ܽଷ ൅ 3 ൅ ܾଷ
ܽଷ ൅ ܾଷ ൌ 5.
Letra A 
Pois bem, pessoal. Com estas questões vocês já devem ter percebido que 
nunca poderemos desprezar um assunto em Matemática. Mesmo assuntos 
simples (como produtos notáveis) podem exigir questões bem trabalhosas. 
Vamos assumir dois compromissos aqui: o primeiro é prezar pela humildade e 
encarar todos os assuntos, por mais simples que sejam, como se fosse uma 
novidade. Por outro lado, devemos ser ousados para estudar muito e querer 
fechar a prova. 
Espero que tenham gostado desta aula demonstrativa. Críticas e sugestões 
serão sempre muito bem vindas. 
Um abraço e até a próxima aula. 
Guilherme Neves – guilherme@pontodosconcursos.com.br
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO – DIRETO AO PONTO 
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 26
Índice das questões por assunto/banca
ESAF Expressões algébricas Questão 01 (pág. 07)
Divisão de polinômios Questão 02 (pág. 16)
CEPERJ Produtos notáveis Questões 03 (pág. 22) e 04 (pág. 24)
Relação das questões comentadas
01. (ANEEL 2006/ESAF) Se 
௫మାଶ௫ିଶ଴଴
௬ିଶ଴଴
ൌ 0, então é necessariamente 
verdade que: 
a) 
b) 
ݔଶ ൅ 2ݔ ് 200 ݁ ݕ ൌ 200
c) 
ݔଶ ൅ 2ݔ ൌ 200 ݁ ݕ ൌ 200
d) 
ݔଶ ൅ 2ݔ ൌ 200 ݁ ݕ ് 200
e) 
ݔ ൌ 0 ݁ ݕ ് 0
ݔ ് 0 ݁ ݕ ൌ 200
02. (AFRFB 2009/ESAF) Se um polinômio f for divisível separadamente por 
(x – a) e (x – b) com a ≠ b, então f é divisível pelo produto entre (x – a) e 
(x – b). Sabendo-se que 5 e -2 são os restos da divisão de um polinômio f por 
(x - 1) e (x + 3), respectivamente, então o resto da divisão desse polinômio 
pelo produto dado por (x - 1) e (x + 3) é igual a: 
a) 
13 7
4 4
x + 
b) 
7 13
4 4
x − 
c) 
7 13
4 4
x + 
d) 
13 13
4 4
x− − 
e) 
13 7
4 4
x− −
RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO – DIRETO AO PONTO 
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 27
03. (Pref. de São Gonçalo/RJ 2007/CEPERJ) Dois números a e b são tais que 
ܽ ൅ ܾ ൌ 6 e ଵ
௔
൅ ଵ
௕
ൌ ସ
ହ
. 
Então, ܽଶ ൅ ܾଶ é igual a: 
a) 12 
b) 15 
c) 18 
d) 21 
e) 24 
04. (Pref. de Cantagalo 2010/CEPERJ) Sabendo-se que: ܽ ൅ ܾ ൌ 2 e ܾܽ ൌ 1/2, 
ܽଷ ൅ ܾଷ vale: 
a) 5 
b) 5/2 
c) 2/5 
d) 3 
e) 1/2 
Gabaritos
01. C 
02. C 
03. D 
04. A