Apostila Hidráulica

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HIDRÁULICA 
CCE0217 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Engenharia Civil 
2018/2 
Autor: Paulo Cesar Martins Penteado 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 2 
 
HIDRÁULICA – CCE0217 
 
Índice 
 
1. Apresentação da disciplina .............................................................................................................. 4 
1.1 Contextualização ........................................................................................................... 4 
1.2 Ementa ................................................................................................................................ 4 
1.3 Conteúdo ............................................................................................................................ 4 
1.4 Bibliografia ......................................................................................................................... 5 
1.5 Horário das aulas ................................................................................................................ 5 
1.6 Cronograma de aulas e avaliações ....................................................................................... 5 
2. Introdução à Hidráulica ............................................................................................................. 6 
2.1 Definição de Hidráulica ........................................................................................................ 6 
2.2 Dimensões, homogeneidade dimensional e unidades .......................................................... 7 
EXERCÍCIOS – SÉRIE 1 .............................................................................................................. 9 
3. Propriedades dos fluidos, conceitos .............................................................................................. 10 
3.1 Massa específica, densidade e peso específico .................................................................... 11 
3.2 Viscosidade/atrito interno. Líquidos perfeitos, atrito externo ............................................. 14 
3.3 Tensão superficial, capilaridade (adesão e coesão)............................................................... 14 
EXERCÍCIOS – SÉRIE 2 ................................................................................................................ 15 
4. Hidrostática ............................................................................................................................... 17 
4.1 O conceito de pressão ......................................................................................................... 17 
4.2 Pressão em um líquido – Relação de Stevin ....................................................................... 17 
4.3 Medidas das pressões .................................................................................................... 18 
4.4 Forças atuantes em uma superfície plana submersa ............................................................ 20 
EXERCÍCIOS – SÉRIE 3 ................................................................................................................ 22 
4.5 Empuxo – Teorema de Arquimedes ................................................................................. 24 
4.6 Princípio de Pascal ............................................................................................................... 26 
EXERCÍCIOS – SÉRIE 4 ................................................................................................................ 27 
5. Hidrodinâmica ................................................................................................................................. 28 
5.1 Tipos de escoamento ........................................................................................................... 28 
5.2 Experiência de Reynolds ...................................................................................................... 29 
5.3 Vazão ........................................................................................................................... 30 
5.4 Equação da continuidade .................................................................................................... 31 
5.5 Equação de Bernoulli ........................................................................................................... 31 
EXERCÍCIOS – SÉRIE 5 ................................................................................................................ 33 
6. Aplicações da equação de Bernoulli ................................................................................................. 36 
6.1 Tubo de Venturi .................................................................................................................. 36 
6.2 Tubo de Pitot ....................................................................................................................... 37 
EXERCÍCIOS – SÉRIE 6 ................................................................................................................ 38 
7. Equação da energia .......................................................................................................................... 39 
7.1 Equação da energia para regime permanente ...................................................................... 39 
7.2 Equação da energia – Máquinas hidráulicas ......................................................................... 40 
7.3 Equação da energia para fluidos reais – Perda de carga ....................................................... 42 
EXERCÍCIOS – SÉRIE 7 ................................................................................................................ 42 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 3 
 
8. Bombas hidráulicas ..................................................................................................................... 44 
8.1 Introdução .......................................................................................................................... 44 
8.2 Classificação das bombas ............................................................................................... 45 
8.3 Potência dos conjuntos elevatórios ..................................................................................... 47 
8.4 Cavitação em bombas ......................................................................................................... 54 
8.5 NPSH (Net Positive Suction Head) ........................................................................................ 54 
8.6 Curvas características de bombas ........................................................................................ 56 
8.7 Características do sistema e escolha da bomba .................................................................. 56 
8.8 Bombas operando em série e em paralelo ........................................................................ 58 
8.9 Manutenção das bombas ................................................................................................ 58 
EXERCÍCIOS – SÉRIE 8 ................................................................................................................ 58 
9. Condutos livres – Dimensionamento de canais ............................................................................... 60 
9.1 Condutos livres ............................................................................................................. 60 
9.2 Tipos de escoamento .................................................................................................... 61 
9.3 Carga específica ...........................................................................................................,. 61 
9.4 Projeto de pequenos canais com fundo horizontal ..............................................................62 
9.5 Observações sobre projeto de canais ............................................................................... 63 
9.6 Velocidade da água nos canais ......................................................................................... 63 
9.7 Algumas definições ....................................................................................................... 64 
9.8 Equação geral da resistência ............................................................................................. 64 
9.9 Equação de Chezy e equação de Manning ............................................................................ 65 
9.10 Dimensionamento de canais ............................................................................................ 67 
9.11 Informações importantes ............................................................................................. 67 
EXERCÍCIOS – SÉRIE 9 ................................................................................................................ 69 
10. Barragens .............................................................................................................................. 71 
10.1 Breve histórico ............................................................................................................... 71 
10.2 Definição e finalidades ...................................................................................................... 73 
10.3 Tipos de barragem ......................................................................................................... 73 
10.4 Forças que atuam sobre as barragens ................................................................................ 75 
EXERCÍCIOS – SÉRIE 10 .............................................................................................................. 78 
11. Vertedores .............................................................................................................................. 79 
11.1 Definição e aplicações ................................................................................................. 79 
11.2 Classificação dos vertedores .............................................................................................. 80 
11.3 Cálculo da vazão através dos vertedores ........................................................................... 81 
EXERCÍCIOS – SÉRIE 11 .............................................................................................................. 82 
Referências bibliográficas .................................................................................................................... 83 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 4 
 
1. APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA 
 
1.1 CONTEXTUALIZAÇÂO 
Atualmente, a hidráulica é classificada como uma metodologia moderna de transmissão de energia. A palavra 
hidráulica nos transmite a ideia de controle de parâmetros e forças por meio de fluidos e suas propriedades. A 
cada dia, os comandos hidráulicos vêm ganhando importância devido ao aumento das tecnologias de 
automatização, permitindo assim, um avanço tecnológico em vários ramos da indústria. 
Particularmente, na área de Engenharia, a hidráulica pode ser aplicada em projetos que abrangem tanto os casos 
mais simples, como um sistema de frenagem em veículos, quanto os casos mais complexos em construção civil e 
sistemas hídricos. Por isso, a disciplina se torna imprescindível para o engenheiro, que fatalmente será o 
responsável pela supervisão e andamento desses projetos, tendo que garantir sempre a boa qualidade final e a 
funcionalidade do processo. 
Plano de Ensino – Hidráulica CCE0217 
 
1.2 EMENTA 
⦁ Tópicos de Hidrostática e Hidrodinâmica. 
⦁ Caracterização de descargas para elevação e abastecimento hídrico. 
⦁ Estudo de condutos forçados. 
⦁ Estudo de condutos livres. 
⦁ Estudo de máquinas elevadoras de água. 
⦁ Introdução à hidrologia. 
Objetivos Gerais 
1.3 CONTEÚDOS 
Unidade I: Hidrodinâmica 
1.1. Linhas de corrente e Princípio da continuidade. 
1.2. Equação de Bernoulli e suas aplicações. 
1.2.1 Experimentos de linha de energia e 
linha piezométrica. 
 
Unidade II: Análise de condutos livres 
2.1. Análise e caracterização do escoamento em 
condutos livre. 
2.2. Medição e controle de vazão em condutos 
livres, como canais, por exemplo. 
2.3. Dimensionamento de canais. 
 
Unidade III: Análise de condutos forçados 
3.1. Apresentação dos tipos de escoamentos 
existentes e suas classificações segundo o critério de 
Reynolds. 
3.1.1 Experimento de Reynolds: fluxo 
laminar, intermediário e turbulento. 
3.2. Perdas de carga ao longo de um conduto. 
3.2.1 Experimento de perda de carga 
distribuída e localizada. 
3.3. Medição e controle de vazão em condutos 
forçados, como sifões e orifícios. 
3.3.1 Experimento de medição de vazão. 
3.4. Dimensionamento de condutos forçados. 
 
Unidade IV: Máquinas elevadoras de água 
4.1. Estudo de bombas hidráulicas: apresentação de 
dados técnicos e características de bombas 
hidráulicas. 
4.2. Estudo da potência de bombas hidráulicas e 
projeto de alturas manométricas. 
4.2.1. Experimento de potência de conjunto 
elevatório. 
4.2.2. Experimento de altura de elevação e altura 
manométrica. 
4.3. Apresentação de curvas características de 
bombas hidráulicas. 
4.3.1. Experimento de associação de bombas 
em série e em paralelo. 
 
Unidade V: Estruturas Hidráulicas 
5.1. Barragens: funções, classificações e estabilidade. 
5.2. Vertedouros: livres de lâmina aderente, de 
canais laterais e em sifão. 
 
 
 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 5 
 
1.4 BIBLIOGRAFIA 
Bibliografia Básica 
1. Houghtalen, R. J., Hwang N H C, Akan, A.O. Engenharia Hidráulica. 4ªed., São Paulo: Pearson, 2012. 
2. BAPTISTA, Marcio, LARA, Marcia. Fundamentos de Engenharia Hidráulica. 4ª ed., Belo Horizonte: UFMG, 2016. 
3. Azevedo Netto, J. M. et al..Manual de Hidráulica. 9ª ed., São Paulo: Edgard Blucher, 2015. 
 
Bibliografia Complementar 
1. COUTO, L. M. M. Elementos da Hidráulica 1 ed., Brasília: UNB, 2012. 
2. BRUNETTI, Franco. Mecânica dos Fluidos 2 ed., São Paulo: Pearson, 2008. 
3. Çengel, Y. A. et al. Mecânica dos Fluidos: Fundamentos e Aplicações 1 ed., AMGH, 2008. 
4. McDonald, A.T.-Introdução à Mecânica dos Fluidos: Fundamentos e Aplicações 6 ed., Rio de Janeiro: LTC, 
2006. 
5. FALCO Reinaldo de; Bombas Industriais. Rio de Janeiro: Interciência, 1998. 
 
Indicação de material didático (Total de 140 páginas) 
⦁ Bruce R. Munson; David P. Dewitt; Howard N. Shapiro; Michael J. Moran, Introdução à Engenharia de Sistemas 
Térmicos, editora: LTC, edição: 1, ano:2005; capítulo: Escoamento Interno e Externo, nº de páginas: 36 
⦁ Yunus A. Çengel;John M. Cimbala, Mecânica dos Fluidos, editora: AMGH, edição: 1, ano:2008; capítulo: 
Turbomáquinas, nº de páginas: 70; capítulo: Fatores de Conversão e Nomenclaturas, nº de páginas: 5 
⦁ David Halliday;Robert Resnick;Jearl Walker;, Fundamentos de Física Vol. 2 - Gravitação, Ondas e 
Termodinâmica, editora: LTC, edição: 9, ano:2012; capítulo: Fluidos, nº de páginas: 29 
 
1.5 Horário das aulas: Aulas às terças-feiras, das 19 às 20:40. 
 
1.6 Professora da disciplina no semestre 2018/2: Samantha F. Silveira 
 
1.7 Cronograma das aulas e avaliações 
 
Semana Data Atividade 
01 31/JUL Aula 1 Hidráulica CCE0217, ementa, bibliografia, avaliações 
02 07/AGO Aula 2 Fluido, propriedades dos fluidos, conversão de unidades 
03 14/AGO Aula 3 Densidade, pressão, Stevin, Pascal e Arquimedes 
04 21/AGO Aula 4 Prensa hidráulica e macaco hidráulico 
05 28/AGO Aula 5 Hidrodinâmica, linhas de corrente e tipos de escoamento 
06 04/SET Aula 6 Vazão e equação de Euler da continuidade 
07 11/SET Aula 7 Equação de Bernoulli e suas aplicações; perda de carga 
08 18/SETAula 8 Equação de Bernoulli (aplicações especiais) 
09 25/SET Aula 9 Nº de Reynolds, cálculo de pressões em condutos 
10 02/OUT AVALIAÇÃO PRESENCIAL AV1 
11 09/OUT Aula 10 Bombas (1) tipos e dados técnicos 
12 16/OUT Aula 11 Bombas (2) potência e cálculo de altura manométrica 
13 23/OUT Aula 12 Bombas (3) curvas características e sua análise 
14 30/OUT Aula 13 Bombas (4) manutenção de bombas hidráulicas 
15 06/NOV Aula 14 Análise de condutos livres; dimensionamento de canais 
16 13/NOV Aula 15 Barragens 
17 20/NOV AVALIAÇÃO PRESENCIAL AV2 
18 27/NOV Aula 16 Vertedouros 
19 04/DEZ AVALIAÇÃO PRESENCIAL AV3 
20 11/DEZ Aula 17 Revisão geral 
 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 6 
 
2. INTRODUÇÃO À HIDRÁULICA 
Este breve trabalho tem por objetivo expor aos estudantes de engenharia os conceitos básicos da 
Hidráulica, 
É importante destacar que este texto é apenas uma coletânea de tópicos extraídos de diferentes fontes e 
que não substitui a leitura e estudo dos livros indicados na bibliografia, tratando-se, portanto, de um mero roteiro 
e resumo para o estudante. 
 
2.1 Definição de Hidráulica 
A Hidráulica, do grego hydro = água + aulos = tubo, condução, pode ser definida como o ramo da Física que 
se dedica a estudar o comportamento dos fluidos em movimento e em repouso. É responsável pelo 
conhecimento das leis que regem o transporte, a conversão de energia, a regulação e o controle do fluido agindo 
sobre suas variáveis (pressão, vazão, temperatura, viscosidade, etc). 
Entretanto, atualmente, empresta-se ao termo Hidráulica um significado muito mais extenso: é o estudo do 
comportamento da água e de outros líquidos, quer em repouso, quer em movimento. 
A Hidráulica pode ser assim dividida: 
• Hidráulica Geral ou Teórica 
⦁ Hidrostática 
⦁ Hidrocinemática 
⦁ Hidrodinâmica 
• Hidráulica Aplicada ou Hidrotécnica 
A Hidráulica Geral ou Teórica aproxima-se muito da Mecânica dos Fluidos. 
A Hidrostática trata dos fluidos em repouso ou em equilíbrio, a Hidrocinemática estuda velocidades e 
trajetórias, sem considerar forças ou energia, e a Hidrodinâmica refere-se às velocidades, às acelerações e às 
forças que atuam em fluidos em movimento. 
A Hidrodinâmica, face às características dos fluidos reais, que apresentam grande número de variáveis 
físicas, o que tornava seu equacionamento altamente complexo, até mesmo insolúvel, derivou para a adoção de 
certas simplificações tais como a abstração do atrito interno, trabalhando com o denominado "fluido perfeito", 
resultando em uma ciência matemática com aplicações práticas bastante limitadas. 
Os engenheiros, que necessitavam resolver os problemas práticos que lhes eram apresentados, voltaram-
se para a experimentação, desenvolvendo fórmulas empíricas que atendiam suas necessidades. 
Com o progresso da ciência e impulsionada sobretudo por alguns ramos onde se necessitaram abordagens 
mais acadêmicas, e onde houve disponibilidade de recursos para aplicação em pesquisa, e principalmente com o 
advento dos computadores, que permitiram trabalhar com sistemas de equações de grande complexidade, em 
pouco tempo a Hidrodinâmica desenvolveu-se e é hoje instrumento não apenas teórico-matemático, mas de 
valor prático indiscutível. 
A Hidráulica Aplicada ou Hidrotécnica é a aplicação concreta ou prática dos conhecimentos científicos da 
Mecânica dos Fluidos e da observação criteriosa dos fenômenos relacionados à água, quer parada, quer em 
movimento. 
As áreas de atuação da Hidráulica Aplicada ou Hidrotécnica são: 
•Urbana: 
Sistemas de abastecimento de água 
Sistemas de esgotamento sanitário 
Sistemas de drenagem pluvial 
Canais 
• Rural: 
Sistemas de drenagem 
Sistemas de irrigação 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 7 
 
Sistemas de água potável e esgotos 
• Instalações prediais: 
Industriais 
Comerciais 
Residenciais 
Públicas 
• Lazer e paisagismo 
• Estradas (drenagem) 
• Defesa contra inundações 
• Geração de Energia 
• Navegação e Obras Marítimas e Fluviais 
Os instrumentos utilizados para a atividade profissional de Hidrotécnica são: 
• analogias 
• cálculos teóricos e empíricos 
• modelos reduzidos físicos 
• modelos matemáticos de simulação 
• hidrologia 
• arte 
Os acessórios, materiais e estruturas utilizados na prática da Engenharia Hidráulica ou Hidrotécnica são: 
• aterros • comportas •enrocamentos • reservatórios 
• barragens • diques • flutuantes • tubos e canos 
• bombas • dragagens •medidores •turbinas 
• cais de portos • drenos • orifícios •válvulas 
• canais • eclusas • poços • vertedores 
 
2.2 Dimensões, Homogeneidade Dimensional e Unidades 
O estudo da Hidráulica envolve uma variedade de grandezas. Assim, torna-se necessário desenvolver um 
sistema para descrevê-las de modo qualitativo e quantitativo. O aspecto qualitativo serve para identificar a 
natureza, ou tipo, da grandeza (como comprimento, tempo, massa, velocidade) enquanto o aspecto quantitativo 
fornece uma medida numérica para a grandeza. A descrição quantitativa requer tanto um número quanto um 
padrão para que as várias quantidades possam ser comparadas. O conjunto de padrões é denominado sistema de 
unidades. 
A descrição qualitativa é convenientemente realizada quando utilizamos certas quantidades (como o 
comprimento L, a massa M, o tempo T e a temperatura θ) ditas grandezas fundamentais. 
Estas grandezas fundamentais podem ser combinadas e utilizadas para descrever, qualitativamente, outras 
quantidades ditas grandezas derivadas, por exemplo: [área] = L2; [velocidade] = LT‒1; [massa específica] = ML‒3. 
Os coclchetes [ ] são utilizados para indicar a dimensão da grandeza derivada em função das dimensões das 
grandezas fundamentais. 
É importante ressaltar que são necessárias apenas três grandezas fundamentais (M, L e T) para descrevr um 
grande número de grandezas derivadas da mecânica dos fluidos. Nós também podemos utilizar um sistema com 
grandezas fundamentais composto por L, T e F, em que F é a dimensão da força. Isto é possível porque a 2ª lei de 
Newton estabelece que a força é igual ao produto da massa pela aceleração. 
Assim, podemos descrever qualitativamente uma força como: [força] = MLT‒2 = F 
A descrição qualitativa de uma grandeza derivada é denominada equação dimensional da respectiva 
grandeza. 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 8 
 
Neste curso de Hidráulica usaremos, principalmente, o Sistema Internacional de Unidades (SI), adotado 
oficialmente no Brasil. 
O SI, adota 7 grandezas fundamentais e 2 grandezas suplementares de caráter geométrico. O esquema a 
seguir mostra essas grandezas. 
 
 
 
Visando facilitar ainda mais a notação das grandezas, é bastante comum a utilização de prefixos 
representando as potências de dez. A tabela a seguir traz a denominação dos principais prefixos de acordo com 
regulamentação do Instituto Nacional de Metrologia, Qualidade e Tecnologia (Inmetro). 
 
Submúltiplo Múltiplo 
Prefixo Fator Símbolo Prefixo Fator Símbolo 
mili 10−3 m kilo 103 k 
micro 10−6 µ mega 106 M 
nano 10−9 n giga 109 G 
pico 10−12 p tera 1012 T 
 
Neste ponto, é importante destacar que, ao longo de nosso estudo, faremos uso de um grande número de 
grandezas físicas e muitas delas serão simbolizadas por letras minúsculas ou maiúsculas do alfabeto grego. 
 
ALFABETO GREGO 
 
 
 
 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 9 
 
EXERCÍCIOS – SÉRIE 1 
 
1. A Terra é aproximadamente uma esfera de raio 6,37∙106 m. Quais são (a) a sua circunferência em 
quilómetros, (b) a sua superfície em quilômetros quadrados, e (c) seu volume em quilômetros cúbicos? 
Resposta: a) 4,00∙104 km; b) 5,10∙108 km2; c) 1.08∙1012 km3 
 
2. A Antártica é aproximadamentesemicircular, com um 
raio de 2000 quilômetros, como mostra a figura ao lado. A 
espessura média de sua cobertura de gelo é de 3000 m. Quantos 
centímetros cúbicos de gelo contém a Antártida? (Ignore a 
curvatura da Terra.) 
 
Resposta: 1,9∙1022 cm3 
 
3. A planta de crescimento mais rápido registrada é a Hesperoyucca whipplei que cresce 3,7 m em 14 dias. 
Qual é sua taxa de crescimento em micrômetros por segundo? 
Resposta: 3,1 μm/s 
 
4. O ouro, que tem uma densidade de 19,32 g/cm3, é o mais dúctil dos metais e pode ser pressionado em 
uma folha fina ou estirado em um longo fio. (a) Se uma amostra de ouro, com uma massa de 27,63 g, for 
pressionada e transformada em uma folha de 1,000 μm de espessura, qual é a área da folha? b) Se, em vez disso, 
o ouro é estirado em um fio cilíndrico de raio 2,500 μm, qual é o comprimento da fibra? 
Resposta: a) 1,430 m2; b) 72,84 km 
 
5. (a) Supondo que a água tem uma densidade de exatamente 1 g/cm3, determine a massa de um metro 
cúbico de água em quilogramas. (b) Supondo que leve 10,0 h para drenar um recipiente de 5700 m3 de água, qual 
é o fluxo de massa de água, em quilogramas por segundo, do recipiente? 
Resposta: a) 1000 kg; b) 158 kg/s 
 
6. Um centímetro cúbico de uma típica nuvem cumulus contém de 50 a 500 gotas de água, que têm um raio 
típico de 10 μm. Para essa faixa, dê o valor mais baixo e o valor mais alto, respectivamente, para o seguinte. (a) 
Quantos metros cúbicos de água estão contidos em uma nuvem cumulus cilíndrica de altura 3,0 km e raio 1,0 km? 
(b) Quantas garrafas de 1 litro essa água pode encher? (C) A água tem uma densidade de 1000 kg/m3. Qual é a 
massa da água na nuvem? 
Resposta: a) 2∙103 m3 a 2∙104 m3; b) 2∙106 garrafas a 2∙107 garrafas; c) 2∙106 kg a 2∙107 kg 
 
7. Uma unidade de medida de área frequentemente usada em medições agrárias é o hectare, definido 
como 104 m2. Uma mina de carvão a céu aberto consome 75 hectares de terra, até uma profundidade de 26 m, a 
cada ano. Que volume de terra, em quilômetros cúbicos, é removido neste tempo? 
Resposta: Aproximadamente 0,020 km3 
 
8. O côvado é uma antiga unidade de comprimento baseada na distância entre o cotovelo e a ponta do 
dedo médio do medidor. Suponha que essa distância varie de 43 a 53 cm, e suponha que desenhos antigos 
indicam que um pilar cilíndrico deveria ter um comprimento de 9 côvados e um diâmetro de 2 côvados. Para o 
intervalo indicado, quais são o valor inferior e o valor superior, respectivamente, para (a) o comprimento do 
cilindro em metros, (b) o comprimento do cilindro em milímetros, e (c) o volume do cilindro em metros cúbicos? 
Respostas: a) 3,9 m a 4,8 m; b) 3,9∙103 mm a 4,8∙103 mm; c) 2,2 m3 a 4,2 m3 
 
 
 
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3. PROPRIEDAES DOS FLUIDOS, CONCEITOS 
Fluidos são substâncias ou corpos cujas moléculas ou partículas têm a propriedade de se mover, umas em 
relação às outras, sob a ação de forças de mínima grandeza. 
Os fluidos se subdividem em líquidos e aeriformes (gases, vapores). Em virtude do pouco uso da expressão 
aeriforme, serão utilizados nesta apostila os termos gases ou vapores, indistintamente, com o conceito de 
substância aeriforme. 
Os líquidos têm uma superfície livre, e uma determinada massa de um líquido, a uma mesma temperatura, 
ocupa só um determinado volume de qualquer recipiente em que caiba sem sobras. Os líquidos são pouco 
compressíveis e resistem pouco a trações e muito pouco a esforços cortantes (por isso se movem facilmente). 
Os gases quando colocados em um recipiente, ocupam todo o volume, independente de sua massa ou do 
tamanho do recipiente. Os gases são altamente compressíveis e de pequena densidade, relativamente aos 
líquidos. 
O estudo do escoamento de gases (ou vapores) na Hidráulica praticamente só está presente nos problemas 
de enchimento e esvaziamento de tubulações e reservatórios fechados, quando há que se dar passagem ao ar 
através de dispositivos tais como ventosas e respiradores, ou ainda, na análise de problemas de descolamento de 
coluna líquida em tubulações por fenômenos transitórios hidráulicos (golpe de aríete). 
A forma como um líquido responde, na prática, às várias situações de solicitação, depende basicamente de 
suas propriedades físico-químicas, ou seja, de sua estrutura molecular e energia interna. A menor partícula de 
água, objeto da Hidráulica, é uma molécula composta por dois átomos de hidrogênio e um de oxigênio. 
Entretanto, uma molécula de água não forma o que em engenharia hidráulica se designa como tal. São 
necessárias muitas moléculas de água juntas, para que se apresentem as características práticas desse composto. 
A proximidade dessas moléculas entre si é função da atração que umas exercem sobre as outras, o que varia com 
a energia interna e, portanto, com a temperatura e com a pressão. 
Os estados físicos da água (sólido, líquido e gasoso) são resultado da maior ou menor proximidade e do 
arranjo entre essas moléculas e, portanto, da energia presente em forma de pressão e de temperatura. A medida 
de energia é o "joule", a de calor a "caloria" e a de pressão o "pascal". Uma caloria é a energia requerida para 
aquecer um grama de água, de um kelvin (ou um grau Celsius). 
A figura a seguir mostra o diagrama de fases da água. 
Para passar de um estado físico para outro (ou de uma 
fase para outra), a água apresenta uma característica própria, 
que é a quantidade de calor requerida, sem correspondente 
variação de temperatura, denominada calor latente de 
vaporização (líquido ⇔ vapor) e calor latente de fusão (sólido 
⇔ líquido). Ao nível do mar, a 45° de latitude e à temperatura 
de 20 °C, a pressão atmosférica é de 0,1 MPa (1,033 kgf/cm2). 
Nessas condições, se a temperatura de uma massa líquida for 
elevada à temperatura de 100 °C e aí mantida, ela vaporiza 
segundo o fenômeno da ebulição ou fervura. Em altitudes 
acima do nível do mar, a pressão atmosférica é menor e a 
água ferve (ou, entra em ebulição) a temperaturas também 
menores, conforme indica a tabela a seguir. 
 
Ponto de ebulição da água conforme a altitude 
Altitude 
(m) 0 500 800 1000 1500 2000 3000 4000 
Temperatura 
(°C) 100 98 97 96 95 93 91 89 
 
 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 11 
 
Denomina-se "pressão de vapor" (ou "tensão de vapor") de um líquido a "pressão" na superfície, quando o 
líquido evapora. Essa "pressão de vapor" varia com a temperatura. O quadro a seguir mostra a variação da 
pressão de vapor da água. 
 
Tensão de vapor da água conforme a temperatura para g = 9,80 m/s2 (ao nível do mar) 
TEMPERATURA PRESSÃO DE VAPOR DA ÁGUA 
°C N/m2 kgf/m2 mca 
0 − − 0,062 
4 813 83 0,083 
10 1.225 125 0,125 
20 2.330 239 0,239 
30 4.490 458 0,458 
40 7.385 753 0,753 
50 12.300 1259 1,259 
60 19.949 2033 2,033 
80 47.300 4830 4,830 
100 101.300 10330 10,330 
 
Observe-se que a pressão de vapor iguala-se à pressão atmosférica normal a 100 °C e que, havendo uma 
diminuição de pressão (por exemplo em sucção de bombas), a pressão de vapor pode chegar a ser ultrapassada 
(para baixo) e a água passa ao estado de vapor bruscamente, criando o denominado efeito de cavitação. 
A cavitação, como veremos oportunamente, pode provocar sérios danos nos componentes de uma bomba, 
como mostra as fotos seguintes. 
 
 
3.1 Massa específica, densidade e peso específico 
 
A massa de um fluido em uma unidade de volume é denominada densidade absoluta ("density"), também 
conhecida como massa específica, representada por ρ e, no SI, medida em kg/ m3. Assim: 
V
m
=ρ 
O peso específico ("unit weight") de um fluido, representado por γ, é o peso da unidade de volume desse 
fluido. No SI, o peso específico é medido em N/m3. Então, por definição: 
V
P
=γ 
Logo: ⇒
⋅
=⇒=
V
gmV
P
γγ g⋅= ργ 
Essas grandezas dependem do número de moléculas do fluido na unidade de volume. Portanto, dependem 
da temperatura, da pressão e do arranjo entre as moléculas. 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 12 
 
A água alcança sua densidade absoluta máxima a uma temperatura de 4 °C. Já o peso específico da água 
nessa mesma temperatura também será igual à unidade em locais onde a aceleração da gravidade seja de 
9,80 m/s2 e a pressão de 1 atm (760 mmHg, 10,33 mca ou 0,1 MPa). 
Chama-se densidade relativa ("specific gravity") de um material, representada por SG, a relação entre a 
massa específica desse material e a massa específica de um outro material tomado como base. Observe que a 
densidade relativa é uma grandeza adimensional. 
No caso de líquidos, a substância tomada como base normalmente é a água a 4 °C. 
Portanto: 
C4aágua °
=
ρ
ρ
SG 
Assim, a densidade relativa do mercúrio é 13,6 e da água salgada do mar em torno de 1,04. Tratando-se de 
gases, geralmente adota-se como base o ar nas CNTP [Condições Normais de Temperatura (20 °C) e Pressão 
(1 atm)]. 
 
3.2 Viscosidade/Atrito interno. Líquidos perfeitos. Atrito externo 
⦁Viscosidade/Atrito interno 
Quando um fluido escoa, verifica-se um movimento relativo entre as suas partículas, resultando um atrito 
entre as mesmas. Atrito interno ou viscosidade é a propriedade dos fluidos responsável pela sua resistência à 
deformação. 
Pode-se definir ainda a viscosidade como a capacidade do fluido em converter energia cinética em calor, ou 
a capacidade do fluido em resistir ao cisalhamento (esforços cortantes). 
A viscosidade é diretamente relacionada com a coesão entre as partículas do fluido. Alguns líquidos 
apresentam essa propriedade com maior intensidade que outros. Assim, certos óleos pesados escoam mais 
lentamente que a água ou o álcool. 
Para definir quantitativamente a viscosidade, 
vamos considerar um líquido preenchendo o espaço 
entre duas placas planas paralelas de área A cada uma 
e separadas por uma distância h. Supondo a placa 
inferior fixa, então é necessária uma força F para mover 
a placa superior, paralelamente à inferior, com 
velocidade U. Sob certas condições, pode-se obter uma 
distribuição linear de velocidades u dos pontos do 
líquido, como mostrado na figura ao lado. 
Neste caso, a força por unidade de área necessária para mover a placa, isto é, a tensão de cisalhamento τ 
(medida em N/m2 = Pa) é diretamente proporcional a U e inversamente proporcional a h. 
Usando uma constante de proporcionalidade μ, isto pode ser escrito como: 
h
U
A
F
⋅== µτ 
A constante de proporcionalidade μ é denominada viscosidade absoluta (ou viscosidade dinâmica). 
No SI, a unidade de medida da viscosidade é o kg/(m∙s) = Pa∙s. 
Os fluidos que obedecem a essa equação de proporcionalidade, ou seja, quando há uma relação linear 
entre o valor da tensão de cisalhamento aplicada e a velocidade de deformação resultante, quer dizer, o 
coeficiente de viscosidade dinâmica μ for constante, são denominados fluidos newtonianos, incluindo-se a água, 
líquidos finos assemelhados e os gases de maneira geral. 
Os fluidos denominados∙ não-newtonianos não obedecem a essa lei de proporcionalidade e são muito 
encontrados nos problemas reais de engenharia civil, tais como lamas e lodos em geral. Os fluidos não-
newtonianos apresentam uma relação não linear entre o valor da tensão de cisalhamento aplicada e a velocidade 
de deformação angular. 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 13 
 
Também se usa o conceito de viscosidade cinemática, 𝝂𝝂, que é a razão entre a viscosidade absoluta e a 
densidade: 
ρ
µν = . 
No SI, a unidade de viscosidade cinemática é m2/s. 
De maneira geral, para os líquidos, a viscosidade diminui com o aumento da temperatura e para os gases 
ela aumenta com o aumento da temperatura. 
O atrito interno pode ser evidenciado pela seguinte experiência: imprimindo-se a um cilindro contendo um 
líquido um movimento de rotação em torno do seu eixo, dentro de pouco tempo, todo o líquido passa a participar 
do mesmo movimento, assumindo a forma parabólica. A bomba centrifuga também utiliza esse principio. 
 
 
⦁ Líquidos perfeitos 
Um fluido em repouso goza da propriedade da isotropia, isto é, em torno de um ponto os esforços são 
iguais em todas as direções. 
Num fluido em movimento, devido à viscosidade, há anisotropia na distribuição dos esforços. 
Em alguns problemas particulares, pode-se, sem grave erro, considerar o fluido sem viscosidade e 
incompressível. Essas duas condições servem para definir o que se chama líquido perfeito, em que a densidade é 
uma constante e existe o estado isotrópico de tensões em condições de movimento. 
O fluido perfeito não existe na prática, ou seja, na natureza, sendo portanto uma abstração teórica, mas em 
um grande número de casos é prático considerar a água como tal, ao menos para cálculos expeditos. 
 
⦁Atrito externo 
Chama-se atrito externo à resistência ao deslizamento de fluidos, ao longo de superfícies sólidas. 
Quando um líquido escoa ao longo de uma superfície sólida, junto à mesma existe sempre uma camada 
fluida, aderente, que não se movimenta. 
Nessas condições, deve-se entender que o atrito externo é uma consequência da ação de freio exercida por 
essa camada estacionária sobre as demais partículas em movimento. 
Na experiência anterior, o movimento do líquido dentro do recipiente que gira é iniciado graças ao atrito 
externo que se verifica junto à parede do recipiente. 
Um exemplo importante é o que ocorre com o escoamento de um líquido em um tubo. Forma-se junto às 
paredes uma película fluida que não participa do movimento. Junto à parede do tubo, a velocidade é zero, sendo 
máxima na parte central, como indicado a seguir. 
 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 14 
 
Em consequência dos atritos e, principalmente, da viscosidade, o escoamento de um líquido numa 
canalização somente se verifica com certa perda de energia, perda essa designada por perda de carga. 
 
 
3.3 Tensão superficial, Capilaridade (adesão e coesão) 
 
 Tensão superficial 
A tensão superficial é um efeito físico que faz com que a 
camada superficial de um líquido venha a se comportar como uma 
membrana elástica. Este efeito é causado pelas forças de coesão 
entre moléculas semelhantes, cuja resultante vetorial é diferente 
na superfície. Enquanto as moléculas situadas no interior de um 
líquido são atraídas em todas as direções pelas moléculas vizinhas, 
as moléculas da superfície do líquido sofrem apenas atrações 
laterais e internas. Este desbalanço de forças de atração que faz a 
interface se comportar como uma película elástica como um látex. 
Devido à tensão superficial, alguns objetos mais densos que 
o líquido podem flutuar na superfície, caso estes se mantenham 
secos sobre a interface. Este efeito permite, por exemplo, que 
alguns insetos caminhem sobre a superfície da água, como 
mostrado na foto ao lado. 
 
A tensão superficial explica também o motivo pelo qual a água fica acima da borda de um copo, sem 
derramar, quando está na iminência de transbordar, como mostrado na foto abaixo. 
 
A tensão superficial τ é medida, no SI, em N/m, variando com a temperatura. A tabela a seguir mostra os 
valores de tensão superficial para a água doce normal a diferentes temperaturas. 
 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 15 
 
 Capilaridade 
A tensão superficial também é responsável pelo efeito de capilaridade. 
A capilaridade é a propriedade física que permite aos fluidos subirem ou descerem em tubos 
extremamente finos. 
Quando um líquido entra em contacto com uma superfície sólida, o líquido fica sujeito adois tipos de 
forças que atuam em sentidos contrários: a força de adesão e a força de coesão. 
A força de adesão é a atração entre moléculas diferentes, ou seja, a 
afinidade das moléculas do líquido com as moléculas da superfície sólida. Atua 
no sentido de o líquido molhar o sólido. A força de coesão é a atração 
intermolecular entre moléculas semelhantes, ou seja, a afinidade entre as 
moléculas do líquido. Atua no sentido de manter o líquido em sua forma 
original. 
Se a força de adesão for superior à de coesão, o líquido vai interagir 
favoravelmente com o sólido, molhando-o, e formando um menisco. Se a 
superfície sólida for um tubo de raio pequeno, como um capilar de vidro, a 
afinidade com o sólido é tão grande que líquido sobe pelo capilar. No caso do 
mercúrio, acontece o contrário, pois este não tem afinidade com o vidro (a 
força de coesão é maior). 
 
 
A elevação do líquido, num tubo de pequeno diâmetro, é inversamente proporcional ao diâmetro. Como 
tubos de vidro e de plástico são frequentemente empregados para medir pressões (piezômetros), é aconselhável 
o emprego de tubos de diâmetro superior a 1 cm, para que sejam desprezíveis os efeitos de capilaridade. Num 
tubo de 1 mm de diâmetro, a água sobe cerca de 35 cm. 
 
EXERCÍCIOS – SÉRIE 2 
 
1. Considere uma piscina com as seguintes dimensões: 50 m de comprimento, 25 m de largura e 
profundidade de 4,0 m, completamente cheia de água, de densidade 1,0∙103 kg/m3. Qual é a massa de água 
contida nessa piscina? 
Resposta: 5,0∙106 kg 
 
2. (Unicamp-SP) Três frascos de vidro transparentes, fechados, de formas e dimensões iguais, contêm cada 
um a mesma massa de líquidos diferentes. Um contém água, o outro, clorofórmio e o terceiro, etanol. Os três 
líquidos são incolores e não preenchem totalmente os frascos, os quais não têm nenhuma identificação. Sem 
abrir os frascos, como você faria para identificar as substâncias? 
A densidade (ρ) de cada um dos líquidos, à temperatura ambiente, é: 
ρ(água) = 1,0 g/cm3 ρ(clorofórmio) = 1,4 g/cm3 ρ(etanol) = 0,8 g/cm3 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 16 
 
Resposta: Como os frascos são idênticos e contêm a mesma massa dos três líquidos, pode-se identificar 
cada líquido pelo volume ocupado no frasco: o líquido mais denso (clorofórmio) ocupa o menor volume, o líquido 
menos denso (etanol) ocupa o maior volume e a água, com densidade intermediária, corresponderá ao terceiro 
frasco. 
 
3. (Fuvest-SP) Em uma indústria, um operário misturou, inadvertidamente, polietileno (PE), policloreto de 
vinila (PVC) e poliestireno (PS), limpos e moídos. Para recuperar cada um destes polímeros, utilizou o seguinte 
método de separação: jogou a mistura em um tanque contendo água (densidade = 1,00 g/cm3), separando, então, 
a fração que flutuou (fração A) daquela que foi ao fundo (fração B). Depois, recolheu a fração B, secou-a e jogou-a 
em outro tanque contendo solução salina (densidade = 1,10g/cm3), separando o material que flutuou (fração C) 
daquele que afundou (fração D). 
(Dados: densidade na temperatura de trabalho em g/cm3: polietileno = 0,91 a 0,98; poliestireno = 1,04 a 
1,06; policloreto de vinila = 1,5 a 1,42) 
As frações A, C e D eram, respectivamente: 
a) PE, PS e PVC 
b) PS, PE e PVC 
c) PVC, PS e PE 
d) PS, PVC e PE 
e) PE, PVC e PS 
Resposta: a 
 
4. Quando se deixa cair uma peça de metal com massa igual a 112,32 g em um cilindro graduado (proveta) 
que contém 23,45 mL de água, o nível sobe para 29,27 mL. Qual a densidade do metal, em g/cm3? 
Resposta: 19,30 g/cm3 
 
5. Num processo industrial de pintura, as peças recebem uma película de tinta de espessura 0,1 mm. 
Considere a densidade absoluta da tinta igual a 0,8 g/cm3. Determine a área que pode ser pintada com 10 kg 
dessa tinta. 
Resposta: 125 m2 
 
6. A densidade do diamante é igual a 3,5 g/cm3. A unidade internacional para a pesagem de diamantes é o 
quilate, que corresponde a 200 mg. Qual o volume de um diamante de 1,5 quilates? 
Resposta: 8,6∙10−2 cm3 
 
7. Um recipiente completamente cheio de álcool (massa específica 0,80 g/cm3) apresenta massa de 30 g e, 
completamente cheio de água (1,0 g/cm3), tem massa de 35 g. Determine (a) a capacidade do recipiente; (b) a 
massa do recipiente. 
Resposta: a) 25 cm3; b) 10 g 
 
8. Dois líquidos, A e B, quimicamente inertes e imiscíveis entre si, de densidades 2,80 g/cm3 e 1,60 g/cm3, 
respectivamente, são colocados em um mesmo recipiente. Determine a densidade da mistura sabendo que o 
volume do líquido A é o dobro do de B. 
Resposta: 2,4 g/cm3 
 
9. Ao misturar dois líquidos distintos A e B, nota-se que: o líquido A apresenta volume de 20 cm³ e 
densidade absoluta de 0,78 g/cm³; o líquido B tem 200 cm³ de volume e densidade absoluta igual a 0,56 g/cm³. 
Determine em g/cm³ a densidade apresentada por essa mistura. 
Resposta: 0,58 g/cm3 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 17 
 
10. Uma esfera oca de ferro (ρ = 7,86 g/cm3) tem diâmetro igual a 20,0 cm e massa 2,50 kg. (a) Essa esfera 
pode flutuar em água (ρ = 1,00 g/cm3)? (b) Qual é a espessura da parede da esfera oca? 
Resposta: a) Sim, pois sua densidade (0,597 g/cm3) é menor que a densidade da água; b) 2,60 mm. 
 
4. HIDROSTÁTICA 
4.1 O conceito de pressão 
Podemos definir pressão (p) como a razão entre a intensidade de um diferencial de força dF que age 
perpendicularmente sobre uma superfície e um infinitésimo de área dA dessa superfície na qual a força se 
distribui: 
A
F
p
d
d
= 
Sendo dada pela relação entre a intensidade de uma força, cuja unidade no SI é o newton (N), e a área de 
uma superfície, cuja unidade no SI é o metro quadrado (m2), a pressão tem como unidade o newton por metro 
quadrado (N/m2), unidade que recebe o nome de pascal (Pa), em homenagem ao matemático, físico e filósofo 
francês Blaise Pascal (1623-1662). Portanto: Pa1
m
N
1 2 = . 
É importante ressaltar que a pressão sempre atua perpendicularmente às superfícies. 
 
4.2 Pressão em um líquido – Relação de Stevin 
Sabemos intuitivamente que a pressão no interior de um líquido aumenta com a profundidade. Isto pode 
ser imediatamente percebido por aqueles que praticam mergulho. 
A lei fundamental da fluidostática foi elaborada pelo matemático, físico e engenheiro flamengo Simon 
Stevin (1548-1620). Esta lei permite calcular a diferença de pressão entre dois pontos de um fluido em equilíbrio. 
Para demonstrar esta lei, consideremos um líquido, de densidade ρ, em equilíbrio em um recipiente e, no 
interior do líquido, um cilindro desse mesmo líquido com altura h e área da base A, como mostra a figura a seguir. 
Seja um ponto 1 na base superior e um ponto 2 na base inferior. 
Devido à pressão exercida pelo líquido, as paredes do cilindro 
estarão submetidas a forças perpendiculares às superfícies. 
Na base superior do cilindro atua uma força Fsup = p1∙A, 
vertical para baixo, e em sua base inferior a força Finf = p2∙A, vertical 
para cima. 
Observe que na superfície lateral do cilindro as forças de 
pressão se anulam, pois atuam diametralmente em sentidos 
opostos. 
O peso P do cilindro de líquido é dado por: 
ghAρPgVρPgmP ⋅⋅⋅=⇒⋅⋅=⇒⋅= 
Para o equilíbrio do cilindro devemos ter: 0=∑ yF 
Então: ⇒⋅⋅⋅+⋅=⋅⇒+= ghAApApPFF ρ12supinf hhgpp ⋅=⋅⋅=− γρ12 
Esta relação que fornece a diferença de pressão entre dois pontos de um líquido em equilíbrio é conhecida 
como relação de Stevin. 
 
Observações 
 Pontos situados em um mesmo líquido e em um mesmo nível (mesma horizontal) estarão submetidos a 
uma mesma pressão. 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 18 
 
 A diferença de pressão entre dois pontos no interior do líquido depende apenas da natureza do líquido 
(de sua densidade ρ ou de seu peso específico γ =ρ∙g) e do desnível (h) entre os pontos. Essa diferença de 
pressão, devida apenas à coluna de líquido entre os pontos é denominada pressão hidrostática ou pressão 
relativa. 
 Para a pressão hidrostática p = ρ·g·h = γ∙h. A grandeza 
γ
p
h = costuma ser chamada de carga de pressão. 
 Se tivéssemos considerado a base superior do cilindro coincidente com a superfície do líquido, então a 
pressão nesta base seria igual à pressão exercida pelo fluido em contato com ela. Se o fluido for o ar atmosférico, 
então esta pressão seria a pressão atmosférica, patm, e a pressão em um ponto à profundidade h seria: 
hgpp ⋅⋅+= ρatm . 
⦁ A pressão atmosférica varia com a altitude, correspondendo, ao nível do mar, a uma coluna de água de 
10,33 m. A coluna de mercúrio seria 13,6 vezes menor, ou seja, 0,760 m, como obtido por Evangelista Torricelli. 
 A soma da pressão atmosférica e da pressão relativa, ou seja, a pressão total é denominada pressão 
absoluta: relativaatmabs ppp += . 
⦁ Em muitos problemas relativos às pressões nos líquidos, o 
que geralmente interessa conhecer é a diferença de pressões. A 
pressão atmosférica, agindo igualmente em todos os pontos, 
muitas vezes não precisa ser considerada. Seja, por exemplo, o 
caso mostrado na figura ao lado no qual se deseja conhecer a 
pressão exercida pelo líquido na parede de um reservatório. De 
ambos os lados da parede, atua a pressão atmosférica, anulando-
se no ponto A. Nessas condições, não será necessário considerar a 
pressão atmosférica para a solução do problema. 
 
4.3 Medida das pressões 
O dispositivo mais simples para medir pressões é o tubo piezométrico 
ou, simplesmente, piezômetro. Consiste na inserção de um tubo 
transparente na canalização ou recipiente onde se quer medir a pressão. O 
líquido subirá no tubo piezométrico a uma altura correspondente à pressão 
interna conforme mostrado na figura ao lado. Nos piezômetros com mais de 
1 cm de diâmetro, conforme vimos anteriormente, os efeitos da 
capilaridade são desprezíveis. 
 
Outro dispositivo é o tubo em U, aplicado, vantajosamente, para 
medir pressões muito pequenas ou demasiadamente grandes para os 
piezômetros e mostrado ao lado. 
Para medir pequenas pressões, geralmente se empregam a água, 
tetracloreto de carbono, tetrabrometo de acetileno e benzina como líquidos 
indicadores, ao passo que o mercúrio é usado, de preferência, no caso de 
pressões elevadas. 
No exemplo indicado na figura, as pressões absolutas seriam: 
 
⦁ em A, patm; 
⦁ em B, patm + y'∙h; 
⦁ em C, patm + y'∙h; 
⦁ em D, patm + γ'∙h − γ∙z. 
em que γ = peso específico do líquido em D; γ' = peso específico do mercúrio ou do líquido indicador. 
 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 19 
 
Para a determinação da diferença de pressão, empregam-se manômetros diferenciais, mostrado abaixo. 
 
Nesse caso: pC =pA +h1∙γ1 +h3∙γ3 = pD = pE + h2·γ2 
Portanto: pE − pA = h1∙γ1 + h3·γ3 − h2·γ2 
Para a medida de pressões pequenas pode-se 
empregar o manômetro de tubo inclinado, mostrado 
ao lado, no qual se obtém uma escala ampliada de 
leitura. 
Na prática, empregam-se, frequentemente manômetros metálicos (Bourdon) para a verificação e controle 
de pressões. 
O funcionamento deste tipo de manómetros é baseado na alteração da curvatura originada num tubo de 
secção elíptica pela pressão exercida no seu interior. A secção elíptica tende para uma secção circular com o 
aumento da pressão no interior do tubo levando a que o tubo se desenrole. Este tubo tem uma das extremidades 
fechadas e ligada a um mecanismo (com rodas dentadas e mecanismos de alavanca) que permite transformar o 
seu movimento de "desenrolar" (originado pelo aumento de pressão no interior do tubo) no movimento do 
ponteiro do manômetro. A medida da pressão é relativa uma vez que o exterior do tubo está sujeito à pressão 
atmosférica. Em outras palavras, As pressões indicadas, geralmente são as locais e se denominam manométricas. 
 
Não se deve esquecer essa condição, isto é, que os manômetros indicam valores relativos, referidos à 
pressão atmosférica do lugar onde são utilizados (pressões manométricas). 
Assim, por exemplo, seja o caso da canalização mostrada a seguir, em cujo ponto 1 a pressão medida iguala 
15 mca (valor positivo), em relação à pressão atmosférica ambiente. Se a pressão atmosférica no local 
corresponder a 9 mca, a pressão absoluta naquela seção da canalização será de 24 mca. O ponto 2, situado no 
interior de um cilindro, está sob vácuo parcial. A pressão relativa é inferior à atmosférica local e a indicação 
manométrica seria negativa. Entretanto, nesse ponto, a pressão absoluta é positiva, correspondendo a alguns 
metros de coluna de água. 
 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 20 
 
 
 
A pressão atmosférica normal, ao nível do mar, equivale a 10,33 mca, sendo menor nos locais mais 
elevados. Na cidade de São Paulo, por exemplo, a pressão atmosférica local é aproximadamente igual a 9,5 mca 
(800 m de altitude). 
As unidades usuais de pressão são as seguintes: 1 atm =10,33 mca = 1 kgf/cm2 = 105 N/m2 = 1 bar 
 
4.4 Força atuante em uma superfície plana submersa 
Nós sempre detectamos a presença de forças nas superfícies dos corpos que estão submersos nos fluidos. 
A determinação destas forças é importante no projeto de tanques para armazenamento de fluidos, navios, 
barragens e de outras estruturas hidráulicas. Também sabemos que o fluido, quando está em repouso, exerce 
uma fora perpendicular nas superfícies submersas, pois as tensões de cisalhamento não estão presentes, e que a 
pressão varia linearmente com a profundidade se o fluido se comportar como incompressível. 
Vamos apresentar agora o desenvolvimento de uma interpretação gráfica da força desenvolvida por um 
fluido numa superfície plana. 
Considere a distribuição de pressão ao longo da parede vertical de um tanque com largura b e que contém 
um líquido de peso específico γ. Podemos representar a distribuição de pressão do modo mostrado na figura a 
seguir porque a pressão varia linearmente com a profundidade. 
 
Note que a pressão relativa é nula na superfície livre do líquido, igual a γ∙h na superfície inferior do líquido e 
que a pressão média ocorre num plano com profundidade h/2. Assim, a força resultante que atua na área 
retangular A = b∙h é: 
bhFhbhFApF RRmédR ⋅⋅=⇒⋅⋅⋅=⇒⋅= 22
2
γγ . 
A distribuição de pressão da figura anterior é adequada para 
toda a superfíce vertical e, então, podemos representar 
tridimensionalmente a distribuição de pressão do modo mostrado 
na figura ao lado. A base deste “volume” no espaço pressão-área é 
a superfície plana que estamos analisando e a altura em cada 
ponto é dada pela pressão. Este “volume” é denominado prisma 
das pressões e é claro que o módulo da força resultante que atua 
na superfície vertical é igual ao volume deste prisma: 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 21 
 
bhFbhhFF RRR ⋅⋅=⇒⋅
⋅⋅
=⇒=
2
pressõesdasprismadovolume""
2N
γγ
2
 
Observe que a linha de ação da força resultante precisa passar pelo centroide do prisma de pressões. O 
centroide do prisma mostrado acima está localizado no eixo vertical de simetria da superfície vertical e dista h/3 
da base, pois o centroide de um triângulo está localizado a h/3 de sua base. 
O ponto de aplicação da força resultante é denominado centro de pressão (CP). 
A mesma abordagem gráfica pode ser utilizada nos 
casos em que a superfície plana está totalmente submersa, 
como mostrado na figura ao lado. 
Nestes casos, a seção transversal do prisma das 
pressões é um trapézio. Entretanto, o módulo da força 
resultante que atua sobre a superfície ainda é igual ao 
volume do prisma das pressões e sua linha de ação passa 
pelo centroide dovolume. 
 
 
A figura ao lado mostra que o módulo da força 
resultante pode ser obtido decompondo o prisma das 
pressões em duas partes (ABDE e BCD). 
Deste modo: FR = F1 + F2 
E estas componentes podem ser determinadas 
facilmente. A localização da linha de ação de FR pode ser 
determinada a partir da soma de seus momentos em relação 
a algum eixo conveniente. 
Por exemplo, se considerarmos o eixo que passa pelo 
ponto A: FR· yA = F1 ·y1 + F2 · y2 
 
 
O prisma das pressões também pode ser desenvolvido 
para superfície planas inclinadas e, geralmente, a seção 
transversal do prisma será um trapézio, como mostrado na 
figura ao lado. Apesar de ser conveniente medir as distãncias 
ao longo da superfície inclinada, a pressão que atua na 
superfície é função da distância vertical entre o ponto que 
está sendo analisado e a superfície livre do líquido. 
 
A teoria desenvolvida até este ponto é muito útil quando a superfície plana submersa é retangular, pois o 
volume do prisma das pressões e a posição de seu centroide podem ser facilmente encontrados. Entretanto, 
quando o formato da superfície não é retangular, a determinação do volume e a localização do centroide podem 
ser realizadas por meio de integrações. 
 
 
 
 
 
 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 22 
 
 EXERCÍCIOS – SÉRIE 3 
 
1. Um peixe mantém sua profundidade em água doce ajustando o conteúdo de ar de ossos porosos ou 
sacos aéreos para tornar sua densidade média igual à da água. Suponha que com seus sacos de ar colapsados, um 
peixe tem uma densidade de 1,08 g/cm3. Que fração do volume de seu corpo expandido deve o peixe inflar os 
sacos de ar para reduzir sua densidade à da água? 
Resposta: 7,4% 
 
2. Encontre o aumento de pressão no fluido contido em uma seringa quando uma enfermeira aplica uma 
força de 42 N ao pistão circular da seringa, que tem um raio de 1,1 cm. 
Resposta: 1,1∙105 Pa 
 
3. Um recipiente hermético, parcialmente evacuado, tem uma tampa ajustada de área superficial 77 m2 e 
massa desprezível. Se a força necessária para remover a tampa é 480 N e a pressão atmosférica é 1,0∙105 Pa, qual 
é a pressão de ar interna? 
Resposta: 3,8∙104 Pa 
 
4. Três líquidos que não se misturam são vertidos em um recipiente cilíndrico. Os volumes e densidades dos 
líquidos são 0,50 L, 2,6 g/cm3; 0,25 L, 1,0 g/cm3; e 0,40 L, 0,80 g/cm3. Qual é a força exercida na base inferior do 
recipiente devido a estes líquidos? Ignore a contribuição devido à atmosfera. 
Resposta: 18 N 
 
5. Uma janela de escritório tem dimensões de 3,4 m por 2,1 m. Como resultado da passagem de uma 
tempestade, a pressão do ar externo cai para 0,96 atm, mas dentro a pressão é mantida a 1,0 atm. Qual é a força 
resultante que empurra a janela para fora? Considere: 1 atm = 1,013∙105 Pa 
Resposta: 2,9∙104 N 
 
6. O tubo de plástico da figura ao lado tem uma área de secção 
transversal de 5,00 cm2. O tubo é preenchido com água até que o ramo curto, 
de comprimento d = 0,800 m, esteja cheio. Em seguida, o ramo curto é selado 
com uma rolha e mais água é gradualmente despejada no ramo longo. Se a 
rolha estoura quando a força sobre ela excede 9,80 N, que altura total de água 
deve ser colocada no ramo longo para que a rolha fique na iminência de 
estourar? Considere: g = 9,80 m/s2 e ρ = 1∙103 kg/m3. 
Resposta: 2,8 m 
 
7. O argentinossauro (Argentinosaurus huinculensis) foi uma 
espécie de dinossauro herbívoro e quadrúpede que viveu no fim 
do período Cretáceo na região da Argentina. (a) Se este gigantesco 
dinossauro de pescoço comprido tinha a cabeça à altura de 21 m e 
um coração à altura de 9,0 m, que pressão hidrostática seu sangue 
deveria ter no coração, de modo que a pressão arterial no cérebro fosse de 80 torr (apenas o suficiente para 
perfundir o cérebro com sangue)? Assuma que o sangue tinha uma densidade de 1,06∙103 kg/m3 e adote 
g = 9,8 m/s2. (b) Qual a pressão sanguínea (em torr ou mm Hg) nos pés do argentinossauro? 
Considere: 1 torr = 1 mmHg = 133 Pa 
Resposta: a) 1,0∙103 torr; b) 1,7∙103 torr 
 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 23 
 
8. Na análise de certos fenômenos geológicos, é muitas vezes 
apropriado supor que a pressão em um dado nível de compensação 
horizontal, muito abaixo da superfície, é a mesma em uma vasta 
região e é igual à pressão produzida pelo peso das rochas que se 
encontram acima desse nível. Assim, a pressão no nível de 
compensação é dada pela mesma fórmula usada para calcular a 
pressão de um fluido. Esse modelo exige, entre outras coisas, que as 
montanhas tenham raízes de rochas continentais que penetram no 
manto mais denso (figura ao lado). 
Considere uma montanha de altura H = 6,0 km em um 
continente de espessura T = 32 km. As rochas continentais têm uma 
massa específica 2,9 g/cm3 e o manto que fica abaixo destas rochas 
tem uma massa específica de 3,3 g/cm3. Calcule a profundidade D 
da raiz. (Sugestão: iguale as pressões nos pontos a e b; a 
profundidade y do nível de compensação se cancela.) 
 
Resposta: 44 km 
 
9. Um tubo em U de secção transversal uniforme e 
aberto á atmosfera é parcialmente cheio de mercúrio. Água é 
depois derramada em ambos os ramos do tubo. Se a 
configuração de equilíbrio do tubo é como a mostrada na 
figura ao lado, com h2 = 1,00 cm, determine o valor de h1. 
Considere: ρHg = 13,6 g/cm3, ρÁgua = 1,00 g/cm3, 
Resposta: 12,6 cm 
 
10. Mercúrio é vertido em um tubo em forma de U, 
conforme a figura (a), ao lado. O ramo esquerdo do tubo tem uma 
secção transversal de área A1 = 10,0 cm2 e o ramo direito tem uma 
secção transversal de área A2 = 5,00 cm2. Cem gramas de água são 
então despejados no ramo direito, como mostrado na figura (b). 
(a) Determine o comprimento da coluna de água no ramo direito 
do tubo em U. (b) Dado que a densidade do mercúrio é de 
13,6 g/cm3, a que altura h subirá o nível de mercúrio no ramo 
esquerdo? 
Resposta: a) 20,0 cm; b) 49,0 mm 
 
 
11. Na figura ao lado, um tubo aberto de comprimento L = 1,8 m e área de 
seção reta A = 4,6 cm2 é fixado ao topo de um cilindro cilíndrico de diâmetro 
D = 1,2 m e altura H =1,8 m. O barril e o tubo são cheios com água (até o alto do 
tubo). Calcule a razão entre a força hidrostática que age sobre o fundo do barril e 
a força gravitacional que age sobre a água contida no barril. Por que essa razão 
não é igual a 1,0? (Não é necessário levar em conta a pressão atmosférica.) 
Resposta: Uma vez que a pressão (causada pelo líquido) na parte inferior do 
barril é dobrada devido à presença da água do tubo estreito, assim também 
ocorrerá com a força hidrostática. A proporção é, portanto, igual a 2,0. A diferença 
entre a força hidrostática e o peso é a força adicional para cima exercida pela água 
na parte superior do barril devido à pressão introduzida pela água no tubo. 
 
 
 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 24 
 
12. Um grande aquário de 5,00 m de altura está cheio com água doce até uma altura de 2,00 m. Uma das 
paredes do aquário é feita de plástico e tem 8,00 m de largura. De quanto aumenta a força exercida sobre a 
parede se a altura da água é aumentada para 4,00 m? 
Resposta: 4,69∙105 N 
13. O tanque em forma de L, mostrado na figura ao lado, 
está cheio d’água e é aberto na parte de cima. Se d = 5,0 m, 
qual é a força resultante exercida pela água (a) na face A e (b) 
na face B? Considere g = 9,8 m/s2. 
Resposta: a) 2,5∙106 N; b) 3,1∙106 N; 
 
 
14. Na figura ao lado, a água atinge uma altura D = 35,0 m 
atrás da face vertical de uma represa com W = 314 m de largura. 
Determine (a) a força horizontal a que está submetida a represa 
por causa da pressão manométrica da água e (b) o torque 
produzido por essa força em relação a uma reta que passa por O e 
é paralelaà face plana da represa. (c) Determinar o braço de 
alavanca desse torque. Adote: g = 9,8 m/s2. 
Resposta: a) 1,88∙109 N; b) 2,20∙1010 N∙m; c) 11,7 m 
 
4.5 Empuxo – Teorema de Arquimedes 
Conta a história que, no século III a.C., Heron, rei da antiga cidade grega de Siracusa, mandou uma certa 
quantidade de ouro a um ourives da Corte para que lhe fizesse uma coroa. Ao receber a coroa já pronta, o rei 
Heron desconfiou que o ourives substituíra parte do ouro por prata. Pediu então a Arquimedes (298 a.C. -
212 a.C.), um dos maiores matemáticos de todos os tempos, para verificar se tal fato tinha realmente acontecido. 
Arquimedes resolveu o problema durante um banho quando, submerso na água, sentiu-se mais leve. Teria 
saído nu pelas ruas de Siracusa gritando “Eureka, eureka!” (“Encontrei, encontrei!”). 
Arquimedes havia encontrado a sua lei de flutuação dos corpos: 
“Quando um corpo é mergulhado em água ele perde, em peso, uma quantidade que corresponde ao 
peso do volume de água que foi deslocado pela imersão do corpo.” 
Isso se deve a uma resultante das forças de pressão que o líquido aplica no corpo. Esse mesmo tipo de 
força é a responsável pela flutuação de um grande navio de aço ou pela ascensão de um balão de ar quente. 
O teorema de Arquimedes, como enunciado hoje, estabelece que: 
Um corpo, total ou parcialmente, imerso em um fluido em equilíbrio recebe desse fluido uma força, 
vertical, de baixo para cima e com intensidade igual ao peso do fluido deslocado pela imersão do corpo, 
chamada EMPUXO. 
Vamos agora determinar como podemos calcular a intensidade da força empuxo. 
Para isso, consideremos um recipiente qualquer completamente preenchido 
por um líquido em equilíbrio. No interior desse líquido consideremos, ainda, uma 
porção do mesmo fluido, de formato cilíndrico e com eixo vertical, como mostrado 
na figura ao lado. Logicamente esse último corpo cilíndrico, dentro do líquido, 
também estará em equilíbrio. 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 25 
 
As forças devido à pressão exercida pelo restante do líquido e que agem 
horizontalmente sobre a porção cilíndrica que estamos considerando se 
equilibram, duas a duas, como podemos observar na figura ao lado. Na direção 
vertical, três forças atuam sobre o cilindro: 1F

 na base inferior e 2F

 na base 
superior, devidas à pressão do líquido, além, é claro, do peso fluidoP

 do corpo 
cilíndrico. 
Pfluido
F1
F2
 
Como tal corpo se encontra em equilíbrio, devemos ter: F1 = F2 + Pfluido 
A diferença entre as forças hidrostáticas (F1 – F2) é a força empuxo, que representaremos por E. 
Assim: gmEPEPFF ⋅=⇒=⇒=− fluidofluidofluido21 
Mas, m = ρ ∙ V 
Então, finalmente, obtemos: 
gVE ⋅⋅= deslocado fluidofluidoρ 
É claro que se substituirmos o corpo cilíndrico de fluido por outro corpo sólido de mesmo formato e 
dimensões, o restante do fluido continuará a atuar sobre o corpo sólido com as mesmas forças hidrostáticas 1F

 e 
2F

, cuja resultante é o empuxo E

. 
Nesse novo corpo atuam, então, o empuxo, E

, e o peso próprio do corpo, P

. Observe que o empuxo que 
atua em um corpo depende apenas da densidade do fluido e do volume de fluido que o corpo desloca. O empuxo 
não depende da massa do corpo e nem da profundidade em que o corpo é colocado no interior do fluido. 
Para comparar a intensidade do empuxo com a do peso do corpo, podemos expressar esse peso em função 
da densidade e do volume do corpo: P = ρcorpo ∙ Vcorpo ∙ g. 
Para um corpo totalmente imerso em fluido devemos ter: Vcorpo = Vfluido deslocado. 
Então, se: 
• ⇒>⇒> EPfluidocorpo ρρ a força resultante sobre o corpo é dirigida para baixo e, por esse motivo, o 
corpo afundará. Tal força resultante R é, geralmente, denominada peso aparente e dada por R = P – E. 
• ⇒=⇒= EPfluidocorpo ρρ a força resultante sobre o corpo é nula e o corpo permanecerá em 
equilíbrio em qualquer posição quando abandonado no interior do fluido. 
• ⇒<⇒< EPfluidocorpo ρρ a força resultante R, denominada força ascensional e dada por R = E – P, é 
dirigida para cima e, devido a essa força ascensional o corpo subirá até atingir o equilíbrio, quando passará a 
flutuar, parcialmente imerso, na superfície do fluido. 
 
Peso aparente 
Considere um corpo cujo peso seja medido com um 
dinamômetro e obtém-se o valor P. 
Se este corpo for, agora, imerso em um líquido, a nova 
leitura de seu peso será menor que P, pois o corpo está 
sujeito agora a um empuxo E. 
Define-se peso aparente (Pap), para um corpo to-
talmente mergulhado em um fluido, como a diferença entre 
as intensidades do peso do corpo e do empuxo recebido. 
Então: 
EPPap −= 
Dessa forma, a leitura do dinamômetro, para o corpo totalmente submerso, corresponderá ao peso 
aparente do corpo. 
 
 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 26 
 
4.6 O princípio de Pascal 
O princípio de Pascal é uma lei física elaborada pelo físico, matemático, filósofo moralista e teólogo francês 
Blaise Pascal (1623-1662). 
Em Física, Pascal estudou a mecânica dos fluidos, e esclareceu os conceitos de pressão e vácuo, ampliando 
o trabalho de Evangelista Torricelli, além de aperfeiçoar seu barômetro. Um dos seus tratados sobre hidrostática, 
Traité de l'équilibre des liqueurs, só foi publicado um ano após sua morte (1663). Pascal também esclareceu os 
princípios barométricos da prensa hidráulica e da transmissibilidade de pressões. 
De acordo com o princípio de Pascal 
O acréscimo de pressão produzido num líquido em equilíbrio transmite-se integralmente a todos os 
pontos do líquido e às paredes do recipiente que o contém. 
Este princípio é a base para o funcionamento do freio hidráulico, do macaco hidráulico e da prensa 
hidráulica. 
 
Prensa hidráulica 
O dispositivo denominado prensa hidráulica tem seu funcionamento explicado pelo princípio de Pascal. Ele 
consta de dois recipientes com diâmetros diferentes ligados por sua parte inferior, formando assim um sistema 
de vasos comunicantes. Dentro dele é colocado um líquido e sobre as superfícies de cada lado são colocados 
êmbolos ou pistões. 
Sendo A1 a área do êmbolo menor e A2 a área do 
êmbolo maior, se aplicarmos uma força de intensidade F1 
no primeiro êmbolo, o outro ficará sujeito a uma força de 
intensidade F2, como mostrado na figura ao lado. 
A variação de pressão Δp será a mesma nos dois 
lados, em vista do princípio de Pascal. Então: 
1
1
A
Fp =∆ e 
2
2
A
Fp =∆ 
 
Igualando, vem: 
2
2
1
1
A
F
A
F
= 
Dessa forma, na prensa hidráulica, a intensidade da força é diretamente proporcional à área do êmbolo. 
Por isso diz-se que a prensa hidráulica é um multiplicador de força, pois a intensidade da força transmitida ao 
segundo êmbolo será tantas vezes maior quantas vezes maior for a área deste. Essa propriedade é muito utilizada 
em postos de serviços automotivos, no elevador hidráulico, pois, exercendo-se uma força de pequena intensidade 
no êmbolo menor, consegue-se no outro êmbolo força de intensidade suficiente para levantar um automóvel. 
Observe, entretanto, que, ao deslocar o êmbolo menor para baixo, estaremos transferindo um 
determinado volume líquido para o cilindro maior e, consequentemente, o êmbolo maior terá que subir. 
Os deslocamentos dos dois êmbolos da prensa hidráulica serão iguais? 
Vejamos. Da igualdade dos volumes transferidos, temos: 
⇒⋅=⋅⇒∆=∆ 221121 hAhAVV
1
2
2
1
A
A
h
h
= 
Dessa relação, concluímos que os deslocamentos dos êmbolos são inversamente proporcionais às suas 
áreas, ou seja, o êmbolo de maior área sofre um deslocamento menor. Por exemplo, se o êmbolo maior tiver uma 
área 100 vezes maior que a do êmbolo menor, seu deslocamento será 100 vezes menor. 
Podemos, portanto, concluirque a prensa hidráulica, apesar de ser uma multiplicadora de força, não 
multiplica trabalho. 
 
 
 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 27 
 
EXERCÍCIOS – SÉRIE 4 
 
1. Um objeto de 5,00 kg é liberado do repouso quando está totalmente submerso em um líquido. O líquido 
deslocado pelo objeto submerso tem uma massa de 3,00 kg. Que distância o objeto percorre em 0,200 s e em que 
sentido, supondo que se desloca livremente e que a força de arrasto exercida pelo líquido é desprezível? 
Resposta: O objeto desloca-se 0.0784 m, verticalmente para baixo, com aceleração de 3.92 m/s2. 
 
2. Um bloco de madeira flutua em água doce com dois terços do seu volume V submerso e em óleo com 
0,90∙V submerso. Encontre a densidade a) da madeira e b) do óleo. 
Resposta: a) Aproximadamente 6,7∙102 kg/m3; b) 7,4∙102 kg/m3 
 
3. Na figura ao lado, um cubo de aresta L = 0,600 m e 450 kg de massa é 
suspenso por uma corda num tanque aberto que contém líquido de densidade 
1030 kg/m3. Determine (a) o módulo da força total exercida sobre a face 
superior do cubo pelo líquido e pela atmosfera, supondo que a pressão 
atmosférica é 1,00 atm, (b) o módulo da força total exercida sobre a face 
inferior, e (c) a tensão na corda. (d) Calcule o módulo da força de empuxo sobre 
o cubo usando o princípio de Arquimedes. Que relação existe entre todas essas 
grandezas? Considere: 1 atm = 1,01∙105 Pa 
Resposta: a) Fsup = 3,75∙104 N; b) Finf = 3,96∙104 N; c) T = 2,23∙103 N; d) E = 2,18∙103 N; pode-se estabelecer 
que E = Finf − Fsup e T + E = m·g 
 
4. Uma âncora de ferro de massa específica 7870 kg/m3 parece ser 200 N mais leve na água que no ar. (a) 
Qual é o volume da âncora? (b) Quanto ela pesa no ar? 
Resposta: a) 2,04∙10−2 m3; b) 1,57∙103 N 
 
5. Um barco que flutua em água doce desloca um volume de água que pesa 35,6 kN. (a) Qual é o peso da 
água que o barco desloca quando flutua em água salgada de massa específica 1,10∙103 kg/ m3? (b) Qual é a 
diferença entre o volume de água doce e o volume de água salgada deslocados? 
Resposta: a) 35,6 kN; b) 0,330 m3 
 
6. Três crianças, todas pesando 356 N, fazem uma jangada com toras de madeira de 0,30 m de diâmetro e 
1,80 m de comprimento. Quantas toras são necessárias para mantê-las flutuando em água doce? Suponha que a 
massa específica da madeira é 800 kg/m3. 
Resposta: 5 toras 
 
7. Um balão cheio de hélio é amarrado a um cordão uniforme 
com 2,00 m de comprimento e massa 0,0500 kg. O balão é esférico 
com raio de 0,400 m e seu material tem massa 0,250 kg. Quando 
liberado, o balão levanta um comprimento h de corda, como mostrado 
na figura ao lado, e então permanece em equilíbrio. Considerando que 
ρHe = 1,79∙10−1 kg/m3 e ρar = 1,29 kg/m3. Determine o valor de h. 
Resposta: 1,91 m 
 
 
 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 28 
 
8. Uma cavilha de madeira tem um diâmetro de 
1,20 cm e flutua na água com 0.400 cm de seu diâmetro 
acima do nível de água. Determine a densidade da cavilha. 
Resposta: 709 kg/m3 
 
 
 
9. Um êmbolo com uma seção reta a é usado em uma prensa 
hidráulica para exercer uma pequena força de módulo f sobre um líquido 
que está em contato, através de um tubo de ligação, com um êmbolo 
maior de seção reta A, como mostrado na figura ao lado. (a) Qual é o 
módulo F da força que deve ser aplicada ao êmbolo maior para que o 
sistema fique em equilíbrio? (b) Se os diâmetros dos êmbolos são 3,80 cm 
e 53,0 cm, qual é o módulo da força que deve ser aplicada ao êmbolo 
menor para equilibrar uma força de 20,0 kN aplicada ao êmbolo maior? 
Resposta: a) F = (A/a)f; b) f = 103 N 
 
10. Na figura ao lado, uma mola de constante elástica 3,00∙104 N/m 
liga uma viga rígida ao êmbolo de saída de um macaco hidráulico. Um 
recipiente vazio de massa desprezível está sobre o êmbolo de entrada. O 
êmbolo de entrada tem uma área A, e o êmbolo de saída tem uma área 
18,0∙A. Inicialmente, a mola está relaxada. Quantos quilogramas de areia 
devem ser despejados (lentamente) no recipiente para que a mola sofra 
uma compressão de 5,00 cm? 
Resposta: 8,50 kg 
 
 
5. HIDRODINÂMICA 
5.1 Tipos de escoamento 
A Hidrodinâmica tem por objeto o estudo do movimento dos fluidos. Para começar, vamos fazer uma 
rápida classificação dos diferentes tipos de escoamento de um fluido. O esquema a seguir resume tal 
classificação. 















permanenteNão
Retardado
Acelerado
uniformeNão
Uniforme
Permanente
Movimento 
Movimento permanente é aquele cujas características (força, velocidade, pressão) são função exclusiva de 
ponto e independem do tempo. Com o movimento permanente, a vazão é constante em um ponto da corrente. 
As características do movimento não permanente, além de mudarem de ponto para ponto, variam de 
instante em instante, isto é, são função do tempo. 
O movimento permanente é uniforme quando a velocidade média permanece constante ao longo da 
corrente. Nesse caso, as seções transversais da corrente são iguais. No caso contrário, o movimento permanente 
pode ser acelerado ou retardado. 
Um rio pode servir para ilustração. Há trechos regulares em que o movimento pode ser considerado 
permanente e uniforme. Em outros trechos (estreitos, corredeiras, etc.), o movimento, embora permanente 
(vazão constante), passa a ser acelerado. Durante as enchentes ocorre o movimento não permanente: a vazão 
altera-se. 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 29 
 
 
 
5.2 A experiência de Reynolds 
Outra classificação a respeito do escoamento pode ser feita se observarmos, por exemplo, água, na qual 
estão dispersas partículas coloridas, fluindo através de um tubo de vidro. 
Podemos perceber que, de modo bastante frequente, o 
fluido não se move em linhas paralelas às paredes do tubo, mas de 
uma maneira bastante irregular. Além do movimento ao longo do 
eixo do tubo, podemos observar que ocorrem movimentos na 
direção perpendicular ao eixo do tubo. Nesse caso, o fluxo é 
denominado fluxo turbulento. 
Entretanto, quando a velocidade de escoamento do fluido 
diminui abaixo de certo valor, que depende de uma série de 
fatores, as partículas do fluido passam a se movimentar em 
trajetórias paralelas às paredes do tubo. Nesse caso, o fluxo de 
fluido é suave e passa a ser denominado fluxo laminar. 
 
Em 1883, o físico irlandês Osborne Reynolds (1842-1912) identificou experimentalmente estes dois tipos de 
escoamento levando em consideração o efeito da viscosidade do fluido. Reynolds utilizou a montagem mostrada 
a seguir. 
 
Para identificar o tipo de escoamento, Reynolds estabeleceu uma grandeza adimensional, atualmente 
conhecida como número de Reynolds, dada por: 
 
ν
dVRe ⋅= ou 
µ
ρ dVRe ⋅⋅= 
Nessa relação, Re é o número de Reynolds (adimensional), V é a velocidade do fluido (m/s), ν é a 
viscosidade cinemática do fluido (m2/s), ρ é a massa específica (kg/m3), μ é a viscosidade dinâmica (Pa∙s) e d é o 
diâmetro do tubo (m). 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 30 
 
Lembre-se que a viscosidade cinemática ν está relacionada à viscosidade dinâmica μ e à massa específica 
ρ: 
ρ
µν = 
O parâmetro com dimensão de comprimento no número de Reynolds depende da geometria do sistema. 
Teremos, então, de acordo com o número de Reynolds: 
Re ≤ 2000 
(Escoamento laminar) 
 
2000 < Re < 2400 
(Escoamento de transição) 
 
Re ≥ 2400 
(Escoamento turbulento) 
 
 
O número de Reynolds pode ser interpretado como uma relação entre as forças de inércia e as forças 
viscosas existentes no escoamento. Num escoamento laminar, que ocorre para números de Reynolds baixos, tem-
se que a turbulência é amortecida pelos efeitos viscosos.5.3 Vazão 
Em um escoamento, denomina-se vazão à grandeza que indica a quantidade de fluido que passa por uma 
seção de um conduto, livre ou forçado, na unidade de tempo. 
Assim, se considerarmos o volume de fluido, teremos a vazão volumétrica, Q, dada por: 
t
VQ
∆
∆
= 
No SI, ΔV é medido em m3, Δt medido em s e Q medido em m3/s. 
Consideremos, então, um fluido escoando, com velocidade constante v, por uma tubulação de seção 
transversal constante, com área A, como esquematizado a seguir. 
 
Observe que o volume de fluido que passa por uma dada seção, em um determinado intervalo de tempo é 
constante. 
Como V = A∙Δx, teremos, então: 
t
xAQ
t
VQ
∆
∆⋅=⇒
∆
∆
= . 
Mas, a relação 
t
x
∆
∆ é a velocidade v do escoamento. Portanto: vAQ ⋅= 
A vazão também pode ser medida em termos de massa de fluido que passa pela seção. Nesse caso, a vazão 
correspondente passa a ser chamada de fluxo de massa, 
•
m , dada por: 
t
mm
∆
∆
=
•
 
No SI, o fluxo de massa é medido em kg/s. 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 31 
 
5.4 Equação da continuidade 
A equação da continuidade é a equação que mostra a conservação da massa de líquido no conduto, ao 
longo de todo o escoamento. 
Pela condição de escoamento em regime permanente, podemos afirmar que entre as seções (1) e (2), não 
ocorre nem acúmulo, nem falta de massa, ou seja: m1 = m2 = m = constante. 
 
Consideremos um fluido em um fluxo laminar estacionário no interior de um tubo de diâmetro variável 
como o mostrado na figura a seguir. 
 
Vamos calcular o fluxo de massa do fluido através da secção transversal de área A1. 
Observe que o volume de fluido que passa através dessa secção transversal, no intervalo de tempo Δt é 
dado por A1·Δx1, em que Δx1 é a distância percorrida pelo fluido no intervalo de tempo Δt. 
Então, sendo ρ1 a densidade do fluido nessa região do tubo temos: 
111
11111 vAρ
Δt
ΔxAρ
Δt
ΔVρ
Δt
Δm
⋅⋅=
⋅⋅
=
⋅
= 
De maneira análoga, na região do tubo onde a secção transversal tem área A2, teremos: 
222
22222 vAρ
Δt
ΔxAρ
Δt
ΔVρ
Δt
Δm
⋅⋅=
⋅⋅
=
⋅
= 
Observe que a massa de fluido que passa por uma dada secção transversal do tubo, em um dado intervalo 
de tempo, é a mesma, qualquer que seja a posição do tubo em que a secção é considerada. 
Portanto, como o fluxo de massa é constante ao longo do tubo devemos ter: 
222111 vAvA ⋅⋅=⋅⋅ ρρ (Equação da continuidade) 
Se o fluido é incompressível, o que é uma excelente aproximação no caso dos líquidos na maioria das 
situações (e algumas vezes até mesmo para os gases), então ρ1 = ρ2 e a equação da continuidade torna-se mais 
simples: 
2211 vAvA ⋅=⋅ (quando ρ1 = ρ2) 
A partir dessa relação simplificada, podemos concluir que se o diâmetro do tubo diminuir, então a 
velocidade de escoamento do fluido no interior do tubo deverá aumentar e vice-versa. 
Isso faz sentido e pode ser observado no escoamento das águas de um rio. Nas regiões em que o rio é 
largo, a correnteza é mansa e a água flui calmamente. Entretanto, quando o rio se estreita e as margens estão 
mais próximas, a correnteza atinge velocidades bem maiores e a água flui de maneira turbulenta. 
Portanto, a equação da continuidade impõe que a vazão em volume através da tubulação seja constante 
em qualquer secção transversal que se considere. 
 
5.5 Equação de Bernoulli 
A equação de Bernoulli, em essência, estabelece que a energia, em um fluxo estacionário, é constante ao 
longo do caminho descrito pelo fluido. Este teorema não é, portanto, um princípio novo, mas uma relação obtida 
a partir das leis básicas da Mecânica Clássica. 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 32 
 
A equação de Bernoulli pode ser deduzida a partir do teorema da energia cinética: "O trabalho da 
resultante das forças agentes em um corpo entre dois instantes é igual à variação da energia cinética 
experimentada pelo corpo naquele intervalo de tempo." 
A figura a seguir mostra um fluido escoando no interior de uma tubulação que se eleva gradualmente 
desde uma altura h1 até uma altura h2, medidas em relação a um plano horizontal de referência. Na região mais 
baixa, o tubo tem área de secção transversal A1, e na mais alta, área A2. A pressão do fluido na região inferior do 
tubo é p1 e na superior, p2. 
 
Consideremos, então, o deslocamento da porção sombreada de fluido desde a região mais baixa do tubo 
até a região mais alta. Nesse deslocamento, a porção de fluido assinalada com hachuras tracejadas permanece 
invariável. 
O trabalho realizado pela força resultante sobre a porção sombreada de fluido é calculado considerando-se 
que: 
• o trabalho realizado sobre a porção de fluido pela força de pressão p1∙S1 é p1∙S1·Δx1; 
• o trabalho realizado sobre a porção de fluido pela força de pressão p2∙S2 é – p2∙S2·Δx2 (negativo, pois a 
força de pressão tem sentido oposto ao do deslocamento da porção fluida); 
• o trabalho realizado pela força peso para elevar o fluido desde a altura h1 até a altura h2 é igual a –
 m∙g∙(h2 – h1) (negativo pois o deslocamento ocorre em sentido contrário ao da força peso). 
O trabalho resultante realizado sobre o sistema é dado pela soma dos três termos considerados. Assim, 
temos: 
)(tan 12222111 hhgmxApxApteresul −⋅⋅−∆⋅⋅−∆⋅⋅=τ 
Mas, observe que A1·Δx1 (= A2·Δx2) corresponde ao volume da porção de fluido considerado e pode ser 
expresso como a relação entre a massa de fluido e a sua densidade 






ρ
m , em que ρ, a densidade do fluido, é 
suposta constante. 
Observe também que estamos considerando que o fluido seja incompressível, pois admitimos que A1·Δx1 = 
A2·Δx2 . 
Assim, o trabalho da força resultante sobre o sistema pode ser escrito como: 
( ) )(resultante 1221 hhgm
mpp −⋅⋅−⋅−=
ρ
τ 
A variação da energia cinética do sistema é dada por: 
22
2
1
2
2 vmvmEc
⋅
−
⋅
=∆ 
 O teorema da energia cinética estabelece que o trabalho resultante realizado sobre o sistema deve ser 
igual à variação de sua energia cinética. Temos, então: 
( )
22
2
1
2
2
1221
vmvmhhgmmpp ⋅−⋅=−⋅⋅−⋅− )(
ρ
 
Multiplicando-se todos os termos da expressão por 
m
ρ e rearranjando-se as parcelas teremos, finalmente: 
22
2
2
22
2
1
11
vhgpvhgp ⋅+⋅⋅+=⋅+⋅⋅+ ρρρρ (Equação de Bernoulli) 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 33 
 
Como os índices 1 e 2 referem-se a duas posições quaisquer do fluido no tubo podemos suprimi-los e 
escrever, para qualquer ponto do fluido, que: 
constante
2
=
⋅
+⋅⋅+
2vhgp ρρ 
Essa relação nos mostra –principalmente– que, em uma canalização horizontal, um estrangulamento 
implica –pela equação da continuidade– em um aumento na velocidade do fluxo e, consequentemente, em uma 
diminuição de pressão. 
Nessa relação, a soma hgp ⋅⋅+ ρ é denominada pressão estática, já estudada anteriormente, enquanto o 
termo 
2
2v⋅ρ é a pressão dinâmica, exercida pelo fluido em movimento. 
É importante ressaltar que a correta utilização da equação de Bernoulli está baseada nas hipóteses usadas 
em sua obtenção: 
 o fluido é incompressível; 
 o escoamento ocorre em regime uniforme e permanente; 
 o escoamento é invíscido, isto é, fluido sem viscosidade; 
 não há trocas de calor, ou seja, o escoamento é adiabático; 
 não existem máquinas –bombas ou turbinas- no trecho considerado. 
 aplicável a pontos em uma mesma linha de corrente. 
 
Observação: 
Se dividirmos a última equação de Bernoulli, obtida acima, pelo peso específico, γ = ρ∙g, do fluido, 
chegamos a: 
Hvhp =
⋅
++
g2
2
γ
 
Nessa relação, a constante H, denominada carga total, é, como veremos adiante, a energia total por 
unidade de peso do fluido, medida em J/N =m. 
 
EXERCÍCIOS – SÉRIE 5 
 
1. A viscosidade da água a 20 °C é, aproximadamente, ν = 1,01∙10‒6 m2/s. Em um experimento, água 
deverá fluir através de uma tubulação de diâmetro 1 polegada (2,54 cm) em regime laminar. Determine a máxima 
velocidade do fluxo de água para que este tipo de regime de escoamento seja estabelecido. 
Resposta: 0,08 m/s = 8 cm/s 
 
2. Um fluido, que apresenta viscosidade dinâmica igual a 0,38 N∙s/m2 e densidade relativa 0,91, escoa num 
tubo de 25 mm de diâmetro interno. Sabendo que a velocidade média do escoamento é de 2,6 m/s, determine o 
valor do número de Reynolds e classifique o escoamento. 
Resposta: Como Re = 155,6 ≤ 2000, o escoamento ocorre em regime laminar. 
 
 
3. O reservatório da figura seguinte é abastecido com água 
por uma tubulação com diâmetro de 25 mm. A velocidade do fluxo 
é de 0,3 m/s.. A viscosidade cinemática da água a 20 °C é 1,0∙10‒6 
m2/s. Determine o tipo de escoamento. 
Resposta: Como Re > 2400, então o escoamento ocorre em 
regime turbulento. 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 34 
 
4. Calcular a velocidade máxima que um fluido pode escoar através de um duto de 30 cm de diâmetro 
quando ainda se encontra em regime laminar. Sabe-se que a viscosidade do fluído é 2∙10‒3 Pa∙s e a massa 
específica é de 800 kg/m3. 
Resposta: 0,017 m/s, ou seja, 17 cm/s. 
 
5. A figura ao lado mostra uma tubulação com várias 
derivações e fornece a vazão (em cm3/s) e o sentido do fluxo 
para todas elas, exceto em uma seção. Qual é a vazão e o 
sentido do fluxo para essa seção? 
Resposta: 13 cm3/s, “saindo” pela seção. 
 
6. A figura ao lado mostra que o jato de água que sai de uma 
torneira fica progressivamente mais fino durante a queda. As áreas 
das seções retas indicadas são A0 = 1,2 cm2 e A = 0,35 cm2. Os dois 
níveis estão separados por uma distância vertical h = 45 mm. Qual é 
a vazão da torneira? 
Resposta: 34 cm3/s 
 
 
7. A figura ao lado mostra duas seções de um antigo sistema de tubos 
que atravessa uma colina, com distâncias dA = dB = 30 m e D = 110 m. De 
cada lado da colina, o raio da tubulação é 2,00 cm. No entanto, o raio da 
tubulação no interior do morro não é conhecido. Para determiná-lo, 
engenheiros hidráulicos primeiro estabelecem que a água flui através das 
seções esquerda e direita a 2,50 m/s. Então eles liberam um corante na 
água no ponto A e determinam que esse corante demora 88,8 s para 
alcançar o ponto B. Qual é o raio médio da tubulação dentro da colina? 
 
Resposta: 3,60 cm 
 
8. Uma mangueira de jardim tem diâmetro interno de 1,9 cm e está ligada a um borrifador (estacionário) 
que consiste apenas de um recipiente com 24 orifícios, cada um com diâmetro de 0,13 cm. Se a velocidade da 
água na mangueira é de 0,91 m/s, qual sua velocidade ao sair dos orifícios? 
Resposta: 8,1 m/s 
 
9. Dois riachos se fundem para formar um rio. Um dos riachos tem uma largura de 8,2 m, profundidade de 
3,4 m e neste riacho a água flui com velocidade de 2,3 m / s. O outro riacho tem 6,8 m de largura, 3,2 m de 
profundidade e correnteza que flui a 2,6 m/s. Se o rio tem largura 10,5 m e correnteza com velocidade 2,9 m/s, 
qual é a sua profundidade? 
Resposta: 4,0 m 
 
10. A água que sai de um cano de 1,9 cm (diâmetro interno) passa por três canos de 1,3 cm. (a) Se as 
vazões nos três canos menores são 26, 19 e 11 L/min, qual é a vazão no tubo de 1,9 cm? (b) Qual é a razão entre a 
velocidade da água no cano de 1,9 cm e a velocidade no cano em que a vazão é 26 L/min? 
Resposta: a) 56 L/min; b) Aproximadamente 1,0 
 
 
 
 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 35 
 
11. (a) Uma mangueira de jardim de 2,00 cm de diâmetro é utilizada para encher de água um balde de 
20,0 L. Se demorar 1,00 min para encher o balde, qual é a velocidade com que a água se move através da 
mangueira? (b) Se a mangueira tem um bocal com 1,00 cm de diâmetro, encontre a velocidade da água em no 
bocal. 
Resposta: a) 1,06 m/s; b) 4,24 m/s 
 
12. A água de um porão inundado é bombeada com uma velocidade de 5,0 m/s através de uma mangueira 
com 1,0 cm de raio. A mangueira passa por uma janela 3,0 m acima do nível da água. Qual é a potência da 
bomba? 
Resposta: 66 W 
 
13. Quanto trabalho é realizado pela pressão ao forçar 1,4 m3 de água através de um tubo com um 
diâmetro interno de 13 mm se a diferença de pressão nas duas extremidades do tubo é de 1,0 atm? 
Resposta: 1,4∙105 J 
 
14. Uma placa de 80 cm2 e 500 g de massa é presa por dobradiças em um dos seus lados. Se houver ar 
soprando apenas sobre a sua superfície superior, que velocidade deverá ter o ar para sustentar a placa na posição 
horizontal. Considere a densidade do ar igual a 1,23 kg/m3 e g = 9,8 m/s2. 
Resposta: 32 m/s 
 
15. A água se move com uma velocidade de 5,0 m/s em um cano com seção reta de 4,0 cm2. A água desce 
gradualmente 10 m enquanto a seção reta aumenta para 8,0 cm2. (a) Qual é a velocidade da água depois da 
descida? (b) Se a pressão no nível superior é 1,5∙105 Pa, qual é a pressão no nível inferior? 
Resposta: a) 2,5 m/s; b) 2,6∙105 Pa 
 
16. Um tanque cilíndrico de grande diâmetro está cheio de água até uma profundidade D = 0,30 m. Um 
furo de seção reta A = 6,5 cm2 no fundo do tanque permite a drenagem da água. (a) Qual é a velocidade de 
escoamento da água, em metros cúbicos por segundo? (b) A que distância abaixo do fuo do tanque a seção reta 
do jorro é igual a metade da área do furo? 
Resposta: a) 1,6∙10−3 m3/s; b) 0,90 m 
 
17. A entrada da tubulação da figura ao lado tem uma 
seção reta de 0,74 m2 e a velocidade da água é 0,40 m/s. Na 
saída, a uma distância D = 180 m abaixo da entrada, a seção reta 
é menor que a da entrada e a velocidade da água é 9,5 m/s. Qual 
é a diferença de pressão entre a entrada e a saída? 
Resposta: 1,7 MPa 
 
18. Modelos de torpedos são algumas vezes testados em um tubo horizontal conduzindo água da mesma 
forma que um túnel de vento é usado para testar modelos de aviões. Considere um tubo circular de diâmetro 
interno 25,0 cm e um modelo de torpedo alinhado com o eixo da tubulação. O modelo tem um diâmetro de 
5,00 cm e deve ser testado com água fluindo por ele a 2,50 m/s. (a) Com que velocidade a água deve fluir na parte 
do tubo que não é obstruída pelo modelo? (b) Qual será a diferença de pressão entre a parte obstruída e a parte 
não obstruída do tubo? 
Resposta: a) 2,40 m/s; b) 245 Pa 
 
 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 36 
 
19. Uma tubulação, com diâmetro interno de 2,5 cm, transporta água do porão de uma casa a uma 
velocidade de 0,90 m/s e uma pressão de 170 kPa. Se a tubulação afunila para um diâmetro de 1,2 cm e sobe para 
o segundo andar, 7,6 m acima do ponto de entrada, quais são (a) a velocidade e (b) a pressão da água no segundo 
andar? 
Resposta: a) 3,9 m/s; b) 88 kPa 
 
20. Na figura ao lado, água doce atravessa um cano horizontal e sai para a atmosfera com uma velocidade 
v1 = 15 m/s. Os diâmetros dos segmentos esquerdo e direito do cano são 5,0 cm e 3,0 cm (a) Que volume de água 
escoa para a atmosfera em um período de 10 min? Quais são (b) a velocidade v2 e (c) a pressão manométrica no 
segmento esquerdo do tubo? 
Resposta: a) 6,4 m3; b) 5,4 m/s; c) 0,94 atm = 9,8∙104 Pa 
 
6. APLICAÇÕES DA EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
6.1 Tubo de Venturi 
O Tubo de Venturi é um medidor de vazão de diferencial 
de pressão, também chamado de medidor de vazão por 
obstrução de área. Sua função é criar uma diferença de pressão 
Δp que seja relacionada à vazão Q através de uma equação. A 
diferença de pressão entre duas seções distintas do medidor é 
proporcional à vazão que escoa por ele. A diferença de pressão é 
produzida por efeitos inerciais − aceleração do escoamento 
devido à redução de área na garganta−e viscosos, isto é, a perda 
de carga. 
 
As principais partes que constituem o Tubo 
de Venturi são o cilindro de entrada, onde se faz a 
medida de alta pressão; o cone (convergente) de 
entrada, destinado a aumentar progressivamente 
a velocidade do fluido; a garganta cilíndrica, onde 
se faz a tomada de baixa pressão; e o cone de 
saída, que diminui progressivamente a velocidade 
até ser igual à de entrada. 
BENEFÍCIOS 
• podem ser usados para medir qualquer fluido 
• boa precisão 
• resistência à abrasão e ao acúmulo de poeira ou sedimentos 
• capacidade de medição de grandes escoamentos de líquidos em grandes tubulações 
• não há nenhum elemento mecânico imerso no escoamento 
Os modelos industriais são normalizados pela ISO 5167 sendo conhecidos como Venturi Clássico, tendo os 
seguintes tipos: 
 Tubo Venturi Clássico com cone convergente fundido (aplicação em tubulações de 100 a 800 mm); 
 Tubo Venturi Clássico com cone convergente usinado (aplicação em tubulações de 50 a 250 mm); 
 Tubo Venturi Clássico com cone convergente em chapa soldada (aplicação em tubulações de 200 a 
1200 mm). 
Existem outros tipos de Tubo Venturi normalizados: o Venturi Excêntrico, o Venturi Truncado e os de 
Perfil Retangular. 
 
 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 37 
 
Consideremos um tubo de Venturi instalado conforme o esquema a seguir. 
Ele foi inserido em uma canalização de secção 
transversal A para se medir a velocidade de escoamento v1 
de um fluido incompressível, de massa específica ρ, 
através dela. Um manômetro tem uma de suas 
extremidades inserida no estrangulamento, com área de 
secção transversal a, e a outra extremidade na canalização 
de área A. Seja ρm a densidade do líquido manométrico 
(mercúrio, por exemplo). 
 
Por simplificação, vamos considerar que a tubulação é horizontal. 
Pelo teorema de Bernoulli, devemos ter: 
22
2
2
2
2
1
1
vpvp ⋅+=⋅+ ρρ ① 
Mas, pela equação da continuidade: 
a
AvvvavA ⋅=⇒⋅=⋅ 1221 ② 
Então, substituindo ② em ① teremos: 
( ) 




 −⋅
=−⇒








−




⋅=−⇒−⋅=− 2
222
1
21
22
1
21
2
1
2
221 1 a
aAvpp
a
Avppvvpp
222
ρρρ ③ 
A relação de Stevin, da hidrostática, permite obter: 
( ) ( ) hgpphghHgpHgp mm ⋅⋅−=−⇒⋅⋅+−⋅⋅+=⋅⋅+ ρρρρρ 2121 ④ 
Finalmente, substituindo ③ em ④, chegamos a: ( )
( )221 aA
hgav m
−⋅
⋅⋅−⋅
⋅=
ρ
ρρ2 . 
 
6.2 Tubo de Pitot 
O tubo de Pitot é um dispositivo utilizado para medir a velocidade de escoamento de um gás –ar, por 
exemplo. Tal dispositivo está ilustrado na figura a seguir. 
As aberturas a são paralelas à direção de 
escoamento do ar e bastante afastadas da parte posterior 
para que a velocidade v do fluxo de ar e a pressão fora 
dela não sejam perturbadas pelo tubo. Seja pa a pressão 
estática do ar no ramo esquerdo do manômetro, que está 
ligado a essas aberturas. 
A abertura do ramo direito do manômetro é 
perpendicular à corrente e, em b, a velocidade reduz-se a 
zero; logo, nessa região a pressão total do ar é pb (maior 
que pa, como nos mostra a figura). 
O teorema de Bernoulli fornece, então: 
ba p
vp =⋅+
2
2ρ ① 
A relação de Stevin, aplicada ao líquido do manômetro, fornece: bma phgp =⋅⋅+ ρ ② 
Comparando ① e ②, obtemos: ⇒⋅⋅=⋅ hgv mρ
ρ
2
2
ρ
ρ hgv m ⋅⋅⋅= 2 . 
O tubo de Pitot pode ser convenientemente calibrado de modo a fornecer o valor da velocidade v 
diretamente. Nesse caso, o tubo de Pitot torna-se um velocímetro e seu uso é bastante comum em aviões. 
Geralmente, o tubo de Pitot é colocado sob as asas do avião. 
 
 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 38 
 
EXERCÍCIOS – SÉRIE 6 
 
1. O medidor Venturi é usado para medir a vazão dos 
fluidos nos canos. O medidor é ligado entre dois pontos do 
cano, conforme a figura ao lado; a seção reta A na entrada e 
na saída do medidor é igual à seção reta do cano. O fluido 
entra no medidor com velocidade V e depois passa com 
velocidade v por uma “garganta” estreita de seção reta a. Um 
manômetro liga a parte mais larga do medidor à parte mais 
estreita. A variação da velocidade do fluido é acompanhada 
por uma variação Δp da pressão do fluido, que produz uma 
diferença h na altura do líquido nos dois lados do manômetro. 
(A diferença Δp corresponde à pressão na garganta menos a 
pressão no cano). 
 
(a) Aplicando a equação de Bernoulli e a equação da continuidade aos pontos 1 e 2, mostre que 
( )22
22
Aa
paV
−⋅
∆⋅⋅
=
ρ
, onde ρ é a massa específica do fluido. (b) Suponha que o fluido é água doce, que a seção reta é 
64 cm2 no cano e 32 cm2 na garganta e que a pressão é 55 kPa no cano e 41 kPa na garganta. Qual é a vazão de 
água em metros cúbicos por segundo? 
Resposta: a) Demonstração; b) 2,0∙10−2 m3/s 
 
2. Considere o medidor Venturi do problema e da figura anterior sem o manômetro. Suponha que A = 5a e 
que a pressão p1 no ponto A é 2,0 atm. Calcule os valores (a) da velocidade V no ponto A e (b) da velocidade v no 
ponto a para que a pressão p2 no ponto a seja zero. (c) Calcule a vazão correspondente se o diâmetro A é 5,0 cm. 
O fenômeno que ocorre quando p2 cai para perto de zero é conhecido como cavitação; a água evapora para 
formar pequenas bolhas. 
Resposta: a) 4,1 m/s; b) 21 m/s; c) 8,0∙10−3 m3/s 
 
3. Água escoa em regime permanente no medidor 
Venturi da figura ao lado. No trecho considerado, supõem-se as 
perdas por atrito desprezíveis e as propriedades da água 
uniformes. A seção (1) tem uma área de 20 cm2 enquanto a 
seção (2) é de 10 cm2. Um manômetro, cujo fluido 
manométrico é mercúrio (γHg = 136.000 N/m3), é ligado entre as 
seções (1) e (2) e indica o desnível mostrado na figura. 
Considerando que γágua = 10.000 N/m3 e g = 10 m/s2, pede-se 
(a) a diferença de pressão entre as duas seções (p1 – p2); (b) a 
velocidade v1, (c) a vazão de água. 
 
Resposta: a) 12,6 kPa; b) 2,9 m/s; c) 5,8 L/s 
 
4. O tubo de Venturi é utilizado para a medição de 
velocidade de um fluido dentro de um conduto a partir da 
diferença de pressão entre dois pontos, conforme indicado ao 
lado. As áreas das seções (1) e (2) são de 30 cm2 e 15 cm2, 
respectivamente. Nos pontos indicados é instalado um tubo em U 
com fluido manométrico mercúrio. Determine (a) as velocidades 
nos pontos (1) e (2) e (b) a vazão de água no sistema. Considere 
ρágua = 1000 kg/m3; ρHg = 13600 kg/m3 e g = 10 m/s2. 
Resposta: a) 3,55 m/s; 7,10 m/s; b) 10,5 L/s 
 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 39 
 
5. O tubo de Venturi é utilizado para a medição de 
velocidade de um fluido dentro de um conduto a partir da 
diferença de pressão entre dois pontos, conforme indicado ao 
lado. As áreas das seções (1) e (2) são de 50 cm2 e 20 cm2, 
respectivamente. Nos pontos indicados é instalado um tubo em U 
com fluido manométrico mercúrio. Determine (a) as velocidades 
nos pontos (1) e (2) e (b) a vazão de água no sistema. Considere 
ρágua = 1000 kg/m3; ρHg = 13600 kg/m3 e g = 10 m/s2. 
Resposta: a) 3,8 m/s; 9,5 m/s; b) 19 L/s 
 
6. Um tubo de Pitot é montado na asa de um avião, para determinar a velocidade da aeronave em relação 
ao ar. O tubo contém mercúrio (ρ = 13,6∙103 kg/m3) e indica uma diferença de nível de 11 cm. Considerando que 
g = 10 m/s2 e que a densidade do ar seja ρ = 1,29 kg/m3, qual é a velocidade do avião em relação ao ar, em km/h? 
Resposta: 152,3 m/s = 548 km/h 
 
7. O tubo de Pitot, mostrado ao lado, utiliza 
álcool (ρ = 810 kg/m3) como líquido manométrico e 
está instalado em um avião. Considerando que a massa 
específica do ar, na altitude em que o avião se 
encontra, é de 1,03 kg/m3 e h = 26,0 cm, determine a 
velocidade do avião. Adote g = 9,80 m/s2. 
Resposta: 63,3 m/s = 228 km/h.7. EQUAÇÃO DA ENERGIA 
7.1 Equação da energia para regime permanente 
Baseando-se no princípio da conservação da energia não é possível desenvolver uma equação que 
permitirá fazer o balanço das energias em um escoamento, da mesma forma como foi feito para as massas, ao 
deduzir a equação da continuidade. 
A equação que permite este balanço é denominada equação da energia a qual permitirá resolver uma 
variedade de problemas práticos como, por exemplo, a determinação da potência de máquinas hidráulicas 
(bombas e turbinas) e a determinação de perdas em escoamento, 
 
Formas de energia de um fluido em um escoamento 
Numa quantidade de massa fluida escoando em uma tubulação existirão diferentes formas de energia que 
dependerá de sua posição, em relação ao um referencial, de seu movimento e da pressão atuante. 
 Energia potencial gravitacional (Ep) 
É a modalidade de energia devida à posição ocupada pela 
massa fluida no campo gravitacional, em relação a um plano 
horizontal de referencia (PHR). 
Essa energia é calculada por: hgmE ⋅⋅=p . 
 Energia potencial de pressão (Epr) 
Considere na figura a seguir um fluido líquido 
escoando sob pressão num conduto. Ao instalar um 
piezômetro na parede superior do conduto uma coluna 
de fluido subirá uma altura (y). A magnitude da altura 
(y) dependerá da pressão interna do tubo. 
 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 40 
 
Neste caso o trabalho será realizado pela referida pressão, ou admitindo que a pressão seja uniforme na 
seção, então a força aplicada pelo fluido na interface de área A será: F = p ∙ A. 
Num determinado intervalo de tempo dt, o fluido irá se deslocar de um dx, sob a ação da força F, 
realizando um trabalho: dW = F ∙ dx = p ∙ A ∙ dx = p ∙ dV = dEpr 
A energia de pressão referente a toda área A será: VpdVpdVpE
VV
⋅=⋅=⋅= ∫∫pr 
Como 
V
m
=ρ , ficamos com: 
ρ
mpE ⋅=pr . 
 
 Energia cinética (Ec) 
É a modalidade de energia associada ao movimento do fluido. Para uma massa fluida m em movimento 
com uma velocidade v, a energia cinética é dada por: 
2
2
c
vmE ⋅= . 
 
Energia total por unidade de massa fluida 
Observe que se considerarmos que o regime é permanente; sem nenhuma máquina hidráulica (bomba ou 
turbina) posicionada entre as seções que estão sendo analisadas; sem perdas por atrito no escoamento do fluido 
ou fluido ideal; propriedades uniformes nas seções; fluido incompressível e sem trocas de calor, então a energia 
total se conserva e teremos: 
E = Ep + Epr + Ec = constante ⇒ constante
2
=
⋅
+⋅+⋅⋅=
2vmmphgmE
ρ
 
Dividindo esta relação pelo peso (m∙g) do fluido, teremos a energia por unidade de peso da massa fluida, 
H, grandeza denominada, como vimos anteriormente, carga total: 
constante
g2
2
=
⋅
+
⋅
+=
v
g
phH
ρ
 (Para fluidos ideais) 
 
Observações: 
 Se multiplicarmos todos os termos desta equação por ρ∙g chegamos à equação de Bernoulli: 
constante
2
constante
g2
22
=
⋅
++⋅⋅⇒=
⋅
⋅⋅
+
⋅
⋅
⋅+⋅⋅
vpghvg
g
gpgh ρρρ
ρ
ρρ 
 Na equação da energia por unidade de peso, h sendo uma cota, então será medida em unidade de 
comprimento (por exemplo, em metros); logo, tanto v2/(2∙g) como p/(ρ∙g) também serão medidos dessa forma. 
Não devemos esquecer que cada uma dessas parcelas tem o significado de energia por unidade de peso, ou seja, 
J/N. 
 
7.2 Equação da energia – Máquinas hidráulicas 
Considera-se máquina hidráulica como sendo qualquer dispositivo mecânico colocado entre duas seções de 
um tubo de corrente que, durante o escoamento do fluido, forneça ou retire energia do fluido, sob a forma de 
trabalho. 
As máquinas hidráulicas são classificadas como: 
 BOMBAS, quando fornecem energia ao fluido; 
 TURBINAS, quando retiram energia do fluido. 
Nas figuras a seguir, consideramos uma máquina hidráulica instalada entre as seções ① e ②. A energia 
total por unidade de peso nas seções ① e ② serão, respectivamente, H1 e H2. Se a energia referente à máquina 
for HB, para a bomba, e HT, para a turbina, então a equação da energia fica: 
 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 41 
 
 
21 HHH B =+ 21 HHH T =− 
Generalizando, podemos estabelecer que: 
21 HHH M =+ (Para fluidos ideais com máquinas no trecho) 
Nessa expressão, HM é a carga manométrica (energia por unidade de peso) da máquina hidráulica: 
HM > 0 (se a máquina for uma bomba) ⇒ HM = HB 
HM < 0 (se a máquina for uma turbina) ⇒ HM = − HT 
 
Potência da máquina hidráulica e rendimento 
A potência (P) de uma máquina hidráulica corresponde ao trabalho, realizado ou recebido pela máquina, 
por unidade de tempo. 
Uma vez que trabalho é uma energia (EM = energia referente à máquina), pode-se generalizar definindo 
potência como sendo a energia por unidade de tempo (t), assim: 
t
EM=P . 
Dividindo e multiplicando esta equação pelo peso (P) da massa fluida deslocada pela máquina fica: 
t
P
P
EM ⋅=P 
Nessa expressão, 
P
EM = HP é a energia da máquina por unidade de peso do fluido e 
t
P é a vazão em peso. 
Mas: Q
t
P
⋅= γ , em que Q é a vazão em volume. Portanto: QHM ⋅⋅= γP 
Unidades de potência 
⦁ Sistema Internacional de Unidades: J/s = W 
⦁ Cavalo vapor: 1 CV = 735 W 
⦁ Horse power: 1 HP = 745,3 W = 1,014 CV 
 
Para uma bomba, esquematizada a seguir, a energia HM = HB é a carga manométrica recebida pelo fluido e 
fornecida pela bomba. 
Então, a potência PRF, recebida pelo fluido ao passar 
pela bomba é: 
BRF HQ ⋅⋅= γP 
O rendimento desta bomba é dado por: 
B
B
B
HQ
P
⋅⋅
=
γ
η 
 
 
Para uma turbina, esquematizada a seguir, a energia HM = HT é a carga retirada do fluido pela turbina. 
Então, a potência PFT, fornecida pelo fluido ao 
passar pela turbina é: 
TFT HQ ⋅⋅= γP 
O rendimento desta turbina é dado por: 
T
T
T HQ ⋅⋅
=
γ
η
P 
 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 42 
 
7.3 Equação da energia para fluido real – Perda de carga 
Ao analisarmos a equação da energia para o escoamento de um fluido real torna-se evidente que parte da 
energia do fluido será dissipada devido aos atritos internos durante seu deslocamento pela tubulação. Esses 
atritos podem ser entendidos como sendo resistências provocadas pela viscosidade do fluido real e pelo contato 
com as paredes internas do conduto. Diversas são as resistências causadas nas tubulações por peças de 
adaptação e/ou conexões. 
Sendo assim, a equação da energia, quando aplicada entre duas seções, ① e ②, mostrará uma dissipação 
de energia por unidade de peso do fluido (Hp1,2) e teremos: H1 > H2. 
A essa energia dissipada entre as seções analisadas damos o nome de perda de carga. 
Assim, perda de carga pode ser definida como sendo a perda de energia que o fluido sofre durante o 
escoamento em uma tubulação. Essa perda de energia é devida ao atrito entre o fluido e a tubulação, quando o 
fluido está em movimento, mas que pode ser maior ou menor devido a outros fatores tais como o tipo de fluido 
(viscosidade do fluido), ao tipo de material do tubo (um tubo com paredes rugosas causa maior turbulência), o 
diâmetro do tubo e a quantidade de conexões, registros, etc. existentes no trecho analisado. 
Observe que, se não houver uma máquina entre as seções ① e ②, a energia sempre será decrescente no 
sentido do escoamento devido à perda de carga. 
Para restabelecer a conservação da energia, é necessário adicionar à carga na seção ② a carga dissipada 
durante o escoamento do fluido real. Então: 
2121 ,pHHH += (Para fluido real sem máquinas no trecho) 
Entretanto, caso exista uma máquina hidráulica entre as seções ① e ②, a equação da energia tomará a 
forma: 
2121 ,pM HHHH +=+ (Para fluido real com máquinas no trecho) 
Podemos,então, resumir nossas conclusões em um esquema: 
 
 
EXERCÍCIOS – SÉRIE 7 
 
1. O diâmetro de uma tubulação cresce, gradativamente, de D1 = 175 mm para D2 = 500 mm. A vazão é de 
200 L/s de álcool etílico (γ = 8∙103 N/m³). O centro da seção (2) está 420 cm acima do centro da seção (1). As 
pressões do álcool nesses pontos são p1 = 1,1∙105 N/m² e p2 = 0,75 ∙105 N/m². Determine (a) a energia em (1) e em 
(2); (b) o sentido do escoamento; (c) a perda de carga neste trecho. 
Resposta: a) 17,21 m e 13, 63 m; b) Assim, o fluxo ocorre da seção (1) para a seção (2); c) 3,58 m 
 
2. Um líquido com peso especifico γ = 8000 N/m³, apresenta as pressões p1 = 4000 N/m² e p2 = 7200 N/m² 
nas seções de diâmetro D1 = 6 cm e D2 = 7,5 cm, respectivamente, de um tubo de eixo horizontal. Para uma vazão 
de 8 L/s, calcular (a) as velocidades médias nas duas seções; (b) a perda de carga no trecho. 
Resposta: a) 2,83 m/s e 1,81 m/s; b) 0,16 m. 
 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 43 
 
3. Na tubulação indicada ao lado, água (ρ = 1∙103 kg/m3) escoa em 
regime permanente, com diferença de pressões entre as seções (1) e (2) de 
700 kPa. Determine a perda de carga proveniente da instalação do redutor de 
diâmetro da tubulação (de 12 cm para 4 cm) mostrado. Adote g = 10 m/s2. 
Resposta: 34,5 m 
 
 
4. Um reservatório de grandes dimensões armazena água que escoa por 
uma tubulação de diâmetro 4,5 cm e vazão de 14 L/s. Determine (a) a carga 
manométrica da máquina indicada na instalação e se a mesma é uma bomba 
ou se é uma turbina; (b) a potência da máquina. Adote: ρ = 1∙103 kg/m3; 
g = 10 m/s2 e considere o rendimento da máquina igual a 80%. 
Resposta: a) HM = −6,13 m (a máquina é uma turbina); b) 686 W. 
 
5. A bomba indicada na figura ao lado tem potência de 3000 W e 
rendimento de 83%. A água é bombeada com uma vazão de 0,008 m3/s. 
Determine (a) a altura manométrica da bomba; (b) a perda de carga entre as 
seções (1) e (2). Adote: ρ = 1∙103 kg/m3 e g = 10 m/s2. 
Resposta: a) 31,12 m; b) 37,70 m. 
 
 
6. Um reservatório de grandes dimensões armazena água 
que escoa por uma tubulação de diâmetro 6,0 cm e vazão de 30 
L/s. Determine (a) a carga manométrica da máquina indicada na 
instalação e se a mesma é uma bomba ou se é uma turbina; (b) a 
potência da máquina. Adote: ρ = 1∙103 kg/m3; g = 10 m/s2 e 
considere o rendimento da máquina igual a 85%. 
Resposta: a) HM = 15,63 m (a máquina é uma bomba); b) 
5516 W. 
 
 
7. Água é bombeada do reservatório de grandes 
dimensões, em regime permanente, de acordo com o esquema 
ao lado. Sabendo que a perda de carga entre as seções (0) e (1) é 
2 m, determine (a) a perda de carga entre as seções (2) e (3); (b) 
a altura manométrica da bomba; (c) a potência do motor da 
bomba. Adote: ρ = 1000 kg/m3; g = 10 m/s2; v2 = 3 m/s; A1 = A2 = 
A3 = 10 cm2 e ηB = 85%. 
Respostas: a) 7 m; b) 21,45 m; c) 757 W 
 
8. Água escoa do reservatório aberto (patm) de grandes 
dimensões por uma tubulação de 60 cm de diâmetro, passando pela 
turbina indicada na figura ao lado e, posteriormente, é 
descarregada em um lago, de grandes dimensões, localizado 60 m 
abaixo do reservatório. Considerando uma perda de carga de 23 m 
(distribuída e por singularidades) e vazão de 0,6 m3/s, determine a 
potência aproveitada pela turbina de rendimento 75%. Adote 
g = 10 m/s2. 
Resposta: 166,5 kW 
 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 44 
 
9. Uma bomba é instalada para transferir água 
entre dois reservatórios abertos e de grandes 
dimensões com vazão de 0,007 m3/s, conforme 
mostrado na figura ao lado. Considerando uma perda 
de carga total de 25 m e o rendimento da bomba de 
80%, calcule a potência da bomba. 
Resposta: 5,25 MW 
 
10. Considere um sistema para armazenamento de 
energia conforme representado no esquema ao lado. Durante a 
noite, é realizado um bombeamento de água (γ = 9800 N/m3) 
de um lago para um reservatório elevado. Já durante o dia, a 
água do reservatório é utilizada para gerar energia em uma 
turbina. Considerando que a vazão da água é constante em 500 
L/s e que os rendimentos da bomba e da turbina são 70% pede-
se (a) a potência disponível no eixo da bomba; (b) a potência 
disponível no eixo da turbina. 
Resposta: a) 350kW; b) 171,5 kW 
 
8. BOMBAS HIDRÁULICAS 
8.1 Introdução 
Ao fazermos o estudo da equação de Bernoulli e da equação da energia para escoamento permanente, 
introduzimos algumas ideias a respeito das máquinas hidráulicas, bombas e turbinas, e fizemos considerações 
gerais sobre tais máquinas. 
Vimos que as bombas, também denominadas máquinas motrizes, adicionam energia ao fluido − realizam 
trabalho sobre o fluido, enquanto as turbinas, também denominadas máquinas geratrizes, extraem energia do 
fluido − o fluido realiza trabalho sobre a turbina. 
Nós utilizaremos o termo "bomba" para as máquinas que adicionam energia ao fluido. Assim, as bombas, 
ventiladores, sopradores e compressores serão considerados como "bombas". 
As máquinas de fluxo podem ser divididas em duas categorias principais: máquinas de deslocamento 
positivo (denominadas estáticas) e turbo máquinas (denominadas dinâmicas). Trataremos aqui apenas das turbo 
máquinas. 
As máquinas de deslocamento positivo forçam o fluido para dentro, ou para fora, de uma câmara a partir 
da mudança do volume da câmara. Essencialmente, a pressão na câmara e o trabalho realizado são provocados 
por forças estáticas e não dinâmicas. A figura a seguir mostra alguns exemplos típicos de máquinas de 
deslocamento positivo. Note que, neste tipo de máquina, um dispositivo realiza trabalho no fluido (uma parede 
se movimenta contra a força de pressão). 
 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 45 
 
As turbo máquinas, por outro lado, envolvem um conjunto de pás, canecas, canais ou passagens arranjadas 
ao redor de um eixo de rotação de modo a formar um rotor. A rotação do rotor produz efeitos dinâmicos que 
podem adicionar energia ao fluido ou remover energia do fluido. Os ventiladores radiais e axiais, os hélices de 
barcos ou de aviões, as bombas d'água centrífugas e os turbocompressores dos automóveis são exemplos deste 
tipo de máquina que transferem energia ao fluido. 
 
8.2 Classificação das bombas 
A bomba é classificada pela sua aplicação ou pela forma com que a energia é cedida ao fluido. 
Normalmente existe uma relação estreita entre a aplicação e a característica da bomba que, por sua vez, esta 
intimamente ligada à forma de ceder energia ao fluido. 
As normas e especificações do Hydraulic Institute estabelecem 
quatro classes de bombas: 
⦁ centrífugas 
⦁ rotativas 
⦁ de êmbolo (ou de pistão) 
⦁ de poço profundo (tipo turbina) 
 
 
As instalações para água e esgoto geralmente são equipadas com bombas centrífugas acionadas por 
motores elétricos. A figura anterior mostra uma bomba centrífuga acoplada a motor elétrico. 
É importante ressaltar que o rendimento η do conjunto bomba-motor é dado por: 
motorbomba ηηη ⋅= (Rendimento do conjunto bomba-motor) 
Para atender ao seu grande campo de aplicação, as bombas centrífugas são fabricadas nos mais variados 
modelos, podendo a sua classificação ser feita segundo vários critérios. 
1. Movimento do líquido 
a) sucção simples (rotor simples); 
b) dupla sucção (rotor de dupla admissão). 
2. Admissão do líquido. 
a) Radial (tipos voluta e turbina); 
b) diagonal (tipo Francis); 
c) helicoidal 
3. Números de rotores (ou de estágios) 
a) um estágio (um só rotor); 
b) estágios múltiplos (dois ou mais rotores). 
4. Tipo de rotor. 
a) rotor fechado; 
b) rotor semifechado; 
c) rotor aberto; 
d) rotor a prova de entupimento ("non clog"). 
5. Posição do eixo. 
a) eixo vertical; 
b) eixo horizontal; 
c) eixo inclinado. 
6. Pressão.a) baixa pressão (Hm ≤ 15 m); 
b) média pressão (Hm de 15 a 50 m); 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 46 
 
c) alta pressão (H ≥ 50 m). 
Nosso estudo dará ênfase às bombas centrífugas radiais pela simplicidade de sua fabricação em série, e 
por sua utilização na maioria das instalações de água limpa para pequenas, médias e grandes alturas de elevação. 
Nas bombas centrífugas o líquido penetra no rotor em sentido paralelo 
ao eixo de acionamento do mesmo sendo dirigido pelas pás do rotor para a 
sua periferia, segundo trajetórias normais ao eixo de acionamento, como 
mostrado na figura ao lado. 
As primeiras bombas centrífugas foram desenvolvidas por volta de 
1600. No entanto, a utilização destas bombas só se tornou comum nos 
últimos 80 anos. Antes disto, era mais comum o uso de bombas volumétricas. 
 
A maior utilização de bombas centrífugas só se tornou possível devido ao desenvolvimento de motores de 
combustão interna e elétricos de alta velocidade. As bombas centrífugas são máquinas hidráulicas que exigem 
velocidades de rotação relativamente altas. 
As bombas centrífugas também foram melhoradas, não sendo incomum encontrarmos, na atualidade, 
bombas centrífugas de grande capacidade com rendimento próximo de 90% e unidades de menores capacidades 
com rendimento maior do que 50%. 
A figura a seguir ilustra os principais componentes de uma bomba centrifuga a partir de um corte 
transversal. 
 
As partes fundamentais para o funcionamento da bomba centrífuga são: 
• Rotor – é composto essencialmente de pás ou hélices que impulsionam o liquido; 
 
• Carcaça – serve para envolver todos os componentes de uma bomba. 
Para o funcionamento da bomba e necessário que a carcaça esteja completamente cheia do liquido a ser 
bombeado e, portanto, e imprescindível que o rotor permaneça submerso no liquido. 
As bombas de simples estágio (um único rotor) são utilizadas na maioria das instalações hidráulicas, porque 
a simplicidade de sua fabricação facilita a produção em série, além de atender à necessidade de se elevar a água a 
pequenas e médias alturas, entre outras aplicações. Essa aplicação apresenta menor consumo de energia, melhor 
relação custo-benefício e manutenção mais simples. 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 47 
 
Normalmente, para aumentar a altura de bombeamento, 
os projetistas de sistemas hidráulicos preferem utilizar duas 
bombas centrífugas radiais puras, funcionando em conjunto e 
em série (ver figura ao lado). 
A opção pelas duas bombas centrífugas deve-se ao fato de que, por sua simplicidade de construção, elas 
têm menor custo de aquisição e uma manutenção mais simples, apesar de, na maioria das vezes, esse método 
apresentar um consumo de energia elétrica maior do que se fosse utilizada uma única bomba de múltiplo estágio. 
Quando se elabora um projeto de instalação hidráulica 
para aumentar a vazão do sistema, é comum optar pela 
utilização de duas bombas centrífugas radiais puras de simples 
estágio funcionando em conjunto e em paralelo (ver figura ao 
lado). Essa opção costuma ser a preferida pelos projetistas de 
sistemas hidráulicos, devido ao menor custo das bombas e à 
facilidade de sua manutenção. Apesar das vantagens que a 
opção pelas duas bombas apresenta, é necessário levar em conta 
que elas consomem mais energia elétrica que uma bomba 
centrífuga radial de sucção dupla. 
 
 
8.3 Potência dos conjuntos elevatórios 
Para que uma bomba apresente a maior eficiência possível, ao escolhê-la para um sistema hidráulico, não 
se deve simplesmente verificar se ela irá manter a vazão determinada e se vai elevar a água até a altura de 
bombeamento que se deseja atingir. 
Para definir corretamente as características que a bomba deve ter para ser eficiente, com um desempenho 
eficaz, e assim propiciar menor consumo de energia elétrica, é necessário calcular de forma precisa a altura 
manométrica total do sistema hidráulico (Hm) para uma determinada vazão (Q). 
Para a determinação da altura manométrica Hm devemos definir antes: 
⦁ Altura de sucção (Hs) 
Altura geométrica de sucção é a diferença de altura entre o 
nível do reservatório de sucção e a linha de centro do rotor da 
bomba, que é obtida por meio de uma medição das distâncias 
efetuada com uma trena. A figura ao lado mostra o desenho 
esquemático que representa a altura geométrica de sucção de uma 
bomba. 
⦁ Altura de recalque (Hr) 
Altura geométrica de recalque é a diferença entre a altura a partir do centro do rotor da bomba, a altura 
que a água deve ser elevada. As figuras a seguir mostram um desenho esquemático, representando, numa a 
altura geométrica de recalque, quando a saída do tubo de descarga esta acima do nível do reservatório e, na 
outra, a altura geométrica de recalque quando a saída do tubo de descarga esta abaixo do nível do reservatório. 
 
Em ambas as situações, a altura geométrica de recalque é obtida por intermédio de medição das distâncias 
efetuadas com uma trena. 
⦁ Altura geométrica total (Hg) 
Por definição, a altura geométrica total Hg é obtida fazendo-se: srg HHH += 
A figura abaixo mostra a altura geométrica total em cada uma das situações anteriores. 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 48 
 
 
⦁ Perdas de carga (Hp) 
O conjunto elevatório (bomba-motor) deverá vencer não só a diferença de nível entre os dois pontos, 
denominada altura geométrica Hg, mas também as perdas de carga em todo o percurso (perda por atrito ao 
longo da canalização e perdas localizadas devidas às peças especiais). 
A tubulação e seus acessórios ou singularidades causam uma perda de carga (Hp) no sistema hidráulico. 
Existem diversas equações que podem ser utilizadas para o cálculo da perda de carga no interior de uma 
tubulação. Aqui, na disciplina Hidráulica, a perda de carga (Hp) provocada pelo atrito do fluido no interior de um 
tubo cilíndrico, será calculada com o auxílio da equação de Darcy-Weisbach, também conhecida como equação 
universal da perda de carga: 
g
v
D
LfHp 2
2
⋅⋅= (Equação de Darcy-Weisbach) ou 
g
vKH Lp 2
2
⋅= 
Na equação de Darcy-Weisbach: 
Hp = perda de carga do longo do comprimento do tubo (m) 
f = fator de atrito de Darcy-Weisback (adimensional) 
KL = coeficiente de perda de carga singular (adimensional) 
L = comprimento do tubo (m) 
v = velocidade do líquido no interior do tubo (m/s) 
D = diâmetro interno do tubo (m) 
g = aceleração da gravidade (m/s2) 
O fator de atrito de Darcy-Weisback é obtido em função da viscosidade e da velocidade do fluido no 
interior da tubulação, do diâmetro e tipo de material de construção do tubo como consta nas tabelas de Valores 
de coeficiente de atrito (f) para tubos conduzindo água, mostradas a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 49 
 
Tabela – Valores de coeficiente de atrito (f) para tubos conduzido água 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 50 
 
Valores de coeficiente de atrito (f) para tubos conduzindo água a 25 °C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 51 
 
Para tubos de PVC rígido temos as perdas de cargas variando conforme o ábaco a seguir. 
 
Este ábaco foi executado tendo como base cálculos feitos no Centro de Computação Eletrônica e no 
Departamento de Hidráulica e Saneamento da Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo. 
O cálculo foi especialmente encomendado por Tigre Tubos e Conexões para seus tubos soldáveis e 
roscáveis. Este ábaco é aplicável para tubos soldáveis, por serem os mais usados, e as diferenças que aparecem 
quandose usa o ábaco para tubos roscáveis são perfeitamente absorvíveis pelo grau de precisão dos cálculos. 
Além da perda de carga contínua ao longo da tubulação, também ocorrem perdas de carga conhecidas 
como localizadas, singulares ou secundárias e que ocorrem sempre que há mudança no módulo e/ou na direção 
da velocidade. Uma mudança no diâmetro (ou na seção do escoamento) implica uma mudança no módulo da 
velocidade. Estas perdas ocorrem sempre na presença das chamadas peças especiais, ou seja, curvas, válvulas, 
registros, bocais, ampliações, reduções etc. 
As perdas de carga localizadas são calculadas a partir do método dos comprimentos equivalentes. Nesse 
método adiciona-se à canalização existente, apenas para efeito de cálculo da perda de carga, comprimentos de 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 52 
 
tubo (de mesmo diâmetro que o da canalização existente) que causaria a mesma perda de carga na peça especial. 
Desse modo, a perda de carga no sistema como um todo poderá ser calculada com a fórmula de Darcy-Weisback. 
A tabela a seguir mostra o comprimento equivalente de alguns acessórios. 
 
Tabela Equivalência das perdas de cargas localizadas, em metros de canalização de PVC rígido ou cobre 
 
 
 
⦁ Altura manométrica total do sistema hidráulico (Hm) 
Um sistema de bombeamento é composto por diversos elementos, tais como: bombas, tubulações, 
válvulas e acessórios, que são necessários para se obter a transferência do fluido de um ponto para outro. 
A figura a seguir mostra um desenho esquemático de uma instalação típica de bombeamento de água e a 
descrição de seus componentes. 
 
Já vimos como calcular a perda de carga total em um dado sistema hidráulico, ou seja, sabemos como 
calcular o valor de Hp. 
A figura a seguir mostra a instalação de um conjunto elevatório. A altura manométrica total Hm deve levar 
em consideração as perdas de carga 
 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 53 
 
 
Nesse sistema, teremos: 
prsm HHHH ++= 
Portanto, conforme vimos ao fazer a aplicação da equação da energia às máquinas hidráulicas, a potência 
PRF que a bomba transfere ao fluido será: 
mHQ ⋅⋅= γRFP 
E, levando-se em conta o rendimento do conjunto bomba-motor: 
B
mHQ
P
⋅⋅
=
γ
η ⇒ 
η
γ m
B
HQ ⋅⋅
=P 
Calculada a potência da bomba, deve-se admitir, na prática, uma folga para a potência dos motores 
elétricos a serem utilizados, a qual evitará que ele venha, por razão qualquer, operar com sobrecarga. Portanto, 
recomenda-se que a potência necessária ao funcionamento da bomba (PB) seja acrescida de uma folga, conforme 
especificação da tabela a seguir. 
 
Potência exigida pela bomba Margem de segurança recomendável para motores elétricos 
Até 2 HP 50% 
2 a 5 HP 30% 
5 a 10 HP 20% 
10 a 20 HP 15% 
Acima de20 HP 10% 
 
Os motores elétricos brasileiros são normalmente fabricados com as seguintes potências, em HP: 
1/4, 1/3, 1/2, 3/4, 1, 1 1/ 2 , 2, 3, 5, 6, 7 1/ 2 , 10, 12, 15, 
20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 60, 80, 100, 125, 150, 200 e 250. 
Para potências maiores os motores são fabricados sob encomenda. 
O rendimento das máquinas até certo ponto pode variar com a potência, por motivos construtivos, sendo 
mais elevado para as grandes máquinas. Os motores elétricos empregados por determinado fabricante de 
bombas, por exemplo, acusaram em média os seguintes rendimentos: 
 
Rendimento dos motores elétricos 
HP 1/2 3/4 1 1 ½ 2 3 5 10 20 30 50 100 
ηm 64% 67% 72% 73% 75% 77% 81% 84% 86% 87% 88% 90% 
 
 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 54 
 
As bombas centrífugas de 1750 rpm, fornecidas pelo mesmo fabricante, apresentaram em média os 
seguintes rendimentos: 
 
Rendimento das bombas centrífugas 
Q (L/s) 5 7,5 10 15 20 25 30 40 50 100 200 
ηm 52% 61% 66% 68% 71% 75% 80% 84% 85% 87% 88% 
 
8.4 Cavitação em bombas 
Conforme vimos anteriormente, como qualquer outro líquido, a água também tem a propriedade de 
vaporizar-se em determinadas condições de temperatura e pressão. E assim sendo temos, por exemplo, entra em 
ebulição sob a pressão atmosférica local a uma determinada temperatura, por exemplo, ao nível do mar (pressão 
atmosférica normal) a ebulição acontece a 100°C. À medida que a pressão diminui a temperatura de ebulição 
também se reduz. Por exemplo, quanto maior a altitude do local menor será a temperatura de ebulição. Em 
consequência desta propriedade pode ocorrer o fenômeno da cavitação nos escoamentos hidráulicos. 
Chama-se de cavitação o fenômeno que decorre, nos casos em estudo, da ebulição da água no interior dos 
condutos, quando as condições de pressão caem a valores inferiores a pressão de vaporização. No interior das 
bombas, no deslocamento das pás, ocorrem inevitavelmente rarefações no líquido, isto é, pressões reduzidas 
devidas à própria natureza do escoamento ou ao movimento de impulsão recebido pelo líquido, tornando 
possível a ocorrência do fenômeno e, isto acontecendo, formar-se-ão bolhas de vapor prejudiciais ao seu 
funcionamento, caso a pressão do líquido na linha de sucção caia abaixo da pressão de vapor (ou tensão de 
vapor) originando bolsas de vapor que são arrastadas pelo fluxo. Estas bolhas de vapor desaparecem 
bruscamente condensando-se, quando alcançam zonas de altas pressões em seu caminho através da bomba. 
Como esta passagem gasoso-líquido é brusca, o líquido alcança a superfície do rotor em alta velocidade, 
produzindo ondas de alta pressão em áreas reduzidas. Estas pressões podem ultrapassar a resistência à tração do 
metal e arrancar progressivamente partículas superficiais do rotor, inutilizando-o com o tempo, como pode ser 
visto nas fotos a seguir. 
 
 
 
8.5 NPSH (Net Positive Suction Head) 
A pressão na seção de alimentação (sucção) das bombas normalmente é baixa e, nestas condições, existe a 
possibilidade de ocorrer cavitação dentro da bomba. Como foi visto anteriormente, a cavitação ocorre quando a 
pressão do líquido em um determinado ponto é reduzida à pressão de vapor do líquido. Quando isto ocorre, nós 
detectamos bolhas de vapor (o líquido começa a "ferver") e isto provoca uma perda na eficiência e danos 
estruturais na bomba. 
Para caracterizar o potencial de cavitação, nós vamos utilizar a diferença entre a carga total na seção de 
sucção da bomba, perto da entrada do propulsor, 
g
vp ss
⋅
+
2
2
γ
, e a carga de pressão relativa a pressão de vapor do 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 55 
 
líquido, 
γ
vp . A posição de referência para a carga de elevação é a linha de centro da seção de entrada do rotor. 
Esta diferença é chamada NPSH. 
O NPSH (Net Positive Suction Head) é uma sigla americana, para a qual não se conseguiu tradução 
satisfatória para o português. Tentou-se traduzi-la para APLS (altura positiva líquida de sucção), ficando sem o 
devido sentido físico. Continua, portanto, sendo conhecida tecnicamente como NPSH, ou seja, a altura que limita 
a altura de sucção da bomba. 
Deste modo: 
γγ
vss p
g
vp
−
⋅
+=
2
NPSH
2
 
Existem dois valores de NPSH que interessam; o primeiro 
é o NPSH Requerido, ou NPSHR, que deve ser mantido ou 
excedido para que a cavitação não ocorra (já que existem 
pressões menores do que aquelas na seção de sucção no 
escoamento nas passagens do rotor). A determinação da curva 
de NPSHR é experimental (a figura ao lado apresenta uma curva 
típica fornecida pelo fabricante). As bombas são testadas para 
a determinação do NPSHR tanto pela detecção de cavitação 
quanto pela observação do comportamento da curva 
característica da bomba. 
 
O segundo NPSH de interesse é o NPSH Disponível, ou 
NPSHD, que representa a carga que realmente ocorre no sistema 
hidráulico que estamosconsiderando. Este valor pode ser obtido 
experimentalmente ou calculado se os parâmetros do sistema 
forem conhecidos. Por exemplo, a figura ao lado apresenta uma 
configuração típica da tubulação de alimentação de uma bomba. A 
equação da energia aplicada entre a superfície livre do líquido, onde 
a pressão é atmosférica (patm), e um ponto na seção de sucção da 
bomba (próximo a seção de alimentação do rotor), fornece: 
∑+⋅+=− p
ssatm h
g
vpzp
2
2
γγ 1
, em que ∑ ph representa a perda de carga total no escoamento entre a 
superfície livre do líquido e a seção de entrada do rotor da bomba. 
Logo, a carga disponível na entrada do rotor é: ∑−−=⋅+ p
atmss hzp
g
vp
1γγ 2
2
. 
Assim: 
γγ
v
p
atm phzp −−−= ∑1DNPSH 
 
Deve-se ressaltar que a pressão atmosférica varia com a altitude do local, em relação ao nível do mar, 
conforme indica a tabela a seguir. 
 
Altitude (m) 0 150 300 450 600 750 1000 1250 1500 2000 
patm (m.c.a.) 10,33 10,16 9,98 9,79 9,58 9,35 9,12 8,83 8,64 8,08 
 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 56 
 
Este resultado mostra que NPSHD diminui com o aumento 
de z1 para o arranjo onde a bomba está localizada acima da 
superfície livre do líquido. Assim, existe um valor crítico para z1 
acima do qual a bomba não pode operar sem cavitação, 
conforme mostra o diagrama ao lado. O valor específico desta 
altura depende das perdas de carga e da pressão de vapor do 
líquido que está sendo bombeado. Observe ainda que o NPSHD 
aumenta com z1 quando o tanque de fornecimento, ou 
reservatório, está posicionado acima da bomba. 
As curvas de desempenho apresentadas pelo fabricante só são válidas quando as condições de NPSH são 
atendidas, isto é quando: NPSHD > NPSHR 
Na prática, o NPSH Disponível deverá ser maior o NPSH Requerido em pelo menos 15% (com valor mínimo 
de 0,6 m): 
RD NPSH1,15NPSH ≥ 
O valor do NPSH Requerido para o bom funcionamento de um dado modelo de bomba, operando com 
dada vazão, é fornecido pelo fabricante, na curva de vazão versus NPSH Requerido. 
 
8.6 Curvas características de bombas 
Antes que um dado modelo de bomba seja destinado ao mercado consumidor, ele é submetido a uma série 
de ensaios para caracterização do seu desempenho. 
Os resultados destes ensaios são apresentados em uma série de curvas que apresentam para diferentes 
diâmetros de rotor operando na mesma rotação ou para diferentes rotações de um mesmo diâmetro de rotor, as 
seguintes características: 
⦁ vazão Q versus (carga) altura manométrica total Hm; 
⦁ vazão Q versus rendimento η; 
⦁ vazão Q versus potência requerida no eixo de acionamento PB. 
Os resultados de ensaio de uma bomba 
centrífuga, funcionando com velocidade constante 
(número de rotações por minuto), podem ser 
representados em um diagrama traçando-se as curvas 
características de carga, rendimento e potência 
absorvida, em relação à vazão. 
O diagrama mostrado na figura a seguir, por exemplo, 
corresponde aos resultados de ensaios de uma bomba 
adquirida para recalcar 340 L/s, com uma altura 
manométrica de 13,50 m e trabalhando a 875 rpm. 
 
 
8.7 Características do sistema e escolha da bomba 
A figura ao lado mostra um sistema hidráulico típico. 
A equação da energia aplicada entre os pontos (1) e (2) 
indica que: HB = z2 – z1 + ΣhL, onde HB é carga real transferida ao 
fluido através da bomba e ΣhL representa todas as perdas do 
escoamento no sistema (perdas de cargas distribuídas e 
singulares). 
A partir do nosso estudo do escoamentos em condutos, 
nós sabemos que hL varia aproximadamente com o quadrado 
da vazão, isto é, hL ∝ Q2. Deste modo, a equação anterior pode 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 57 
 
ser reescrita como: 
2
12 KQzzHB +−= (Equação de sistema) 
Nessa equação, K depende do tamanho e comprimento dos condutos, dos fatores de atrito e dos 
coeficientes de perdas localizadas. 
A equação obtida é denominada equação de sistema e mostra como a 
carga real transferida ao fluido está relacionada com os parâmetros do 
sistema. Neste caso, os parâmetros incluem a variação de altura, z2 − z1, e as 
perdas no escoamento (expressas por KQ2). Cada sistema tem sua equação de 
sistema específica, cujo aspecto, em um diagrama cartesiano, é o mostrado 
na figura ao lado. Observe que a curva é um arco de parábola e que só existe 
uma relação entre a carga transferida ao fluido e a vazão (que é definida pela 
curva característica da bomba). 
 
É importante levantar-se a curva característica do sistema, para 
confrontá-la com uma curva característica de bomba que se aproxime ao 
máximo do seu ponto ótimo de trabalho (meio da curva, melhor rendimento). 
Evita-se sempre optar por um determinado modelo de bomba cujo ponto de 
trabalho encontra-se próximo aos limites extremos da curva característica do 
equipamento, pontos (1) e (2) da figura ao lado. 
 
Nesses pontos extremos, além do baixo rendimento, há a possibilidade de operação fora dos pontos limites 
da mesma que, sendo à esquerda, ponto (1), poderá não alcançar o ponto final de uso pois estará operando no 
limite máximo de sua pressão e mínimo de vazão. Após este ponto a vazão se extingue, restando apenas a 
pressão máxima do equipamento denominada schut-off. 
Ao passo que, operando-se à direita da curva, ponto (2), poderá causar sobrecarga no motor. Neste ponto a 
bomba estará operando com máximo de vazão e mínimo de pressão aumentando a potência absorvida pela 
mesma. 
Esta última posição é a responsável direta pela sobrecarga e queima de inúmeros motores elétricos em 
situações não previstas pelos usuários em função do aumento da vazão, com consequente aumento de corrente 
do motor. 
Se as duas curvas anteriores forem colocadas num mesmo gráfico, do 
modo mostrado na figura ao lado, o ponto de intersecção delas (ponto A) 
representa o ponto de operação do sistema. Isto é, este ponto fornece a 
vazão e a carga que satisfazem tanto a equação de sistema quanto a 
equação da bomba. Observe que se a equação que descreve o sistema for 
alterada, o ponto de operação da bomba também será deslocado. 
 
Considere certa bomba instalada num sistema. Se, por exemplo, o atrito do conduto aumentar devido às 
incrustações, a curva do sistema mudará e isto provocará um deslocamento do ponto de operação no diagrama. 
Note que, nestas condições, nós detectaremos uma redução na vazão e na eficiência da bomba. 
É importante ressaltar que, ao projetar um sistema hidráulico, o ponto de operação do sistema esteja 
localizado o mais próximo possível do ponto de maior eficiência da bomba. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 58 
 
8.8 Bombas operando em série e em paralelo 
⦁Bombas em série 
Quando duas bombas operam em série, a vazão que atravessa cada bomba é igual, mas a altura 
manométrica total é a soma da altura manométrica que foi cedida por cada uma das bombas. Desta forma, a 
curva correspondente à associação em série de duas bombas iguais apresenta o dobro da altura manométrica de 
cada bomba operando individualmente. 
 
⦁ Bombas em paralelo 
Quando duas bombas semelhantes operam em paralelo, a vazão correspondente a uma determinada altura 
manométrica total é igual à soma das vazões de cada bomba na mesma altura manométrica total considerada. 
Desta forma, a curva correspondente à associação em paralelo de duas bombas iguais tem uma vazão igual ao 
dobro da vazão de cada bomba operando individualmente. 
 
8.8 Manutenção de bombas 
Os tópicos referentes à manutenção das bombas centrífugas deverão ser estudados na cartilha Bombas 
Guia Básico, PROCEL disponível em: 
 < http://arquivos.portaldaindustria.com.br/app/conteudo_18/2014/04/22/6281/Bombas.pdf> 
 
EXERCÍCIOS – SÉRIE 8 
 
1.Uma bomba centrífuga está posicionada acima de um 
grande tanque de água aberto (veja a figura ao lado), A vazão na 
bomba é 0,0142 m3/s. Nesta vazão, o NPSHR especificado pelo 
fabricante é igual a 4,57 m. Se a temperatura da água e a pressão 
atmosférica forem iguais a 27 °C e 1,01∙105 Pa, determine a 
altura máxima z1 na qual a bomba pode ser colocada acima da 
superfície da água sem que ocorra cavitação. 
 
Admita que a perda de carga entre o tanque e a entrada da bomba é devida a um filtro na entrada do tubo 
(coeficiente de perda de carga singular, 20=⋅=
D
LfKL ). As outras perdas podem ser desprezadas. A tubulação de 
sucção da bomba apresenta diâmetro igual a 101,6 mm. Considere que a pressão de vapor da água a 27 °C é 
3495 Pa, γ = 9774,8 N/m3 e g = 9,8 m/s2. 
Resposta: 2,28 m 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 59 
 
2. As características do comportamento de uma bomba 
centrífuga foram determinadas num aparato experimental 
similar ao apresentado na figura ao lado. Quando a vazão do 
líquido (densidade = 0,9) na bomba era de 7,57∙10−3 m3/s, o 
medidor de pressão em (1) indicou um vácuo de 95 mm de 
mercúrio e o medidor em (2) indicou uma pressão de 80 kPa. 
O diâmetro do tubo de sucção é igual a 110 mm e o da tubulação de descarga é 55 mm. Se z2 − z1 = 0,5 m, 
qual foi a carga transferida ao líquido pela bomba? 
Resposta: 11,5 m 
 
3. As curvas características de duas bombas, para uma determinada rotação constante, são mostradas na 
tabela a seguir. 
Q (m3/s) 0 0,006 0,012 0,018 0,024 0,030 0,036 
HA (m) 22,6 21,9 20,3 17,7 14,2 9,7 3,9 
ηA (%) 0 14 34 60 80 80 60 
HB (m) 16,2 13,6 11,9 11,6 10,7 9,0 6,4 
ηB (%) 0 14 34 60 80 80 60 
Uma dessas duas bombas deverá ser utilizada para bombear água através de uma tubulação de 0,10 m de 
diâmetro, 21 m de comprimento, fator de atrito f = 0,020 e altura geométrica de 3,2 m. Selecione a bomba mais 
indicada para o caso. Justifique. Para a bomba selecionada, quais serão a vazão e a potência requerida? Despreze 
as perdas localizadas e adote g = 9,8 m/s2. 
Resposta: Deve-se escolher a bomba B, que funcionará com carga de 7,26 m, vazão de 0,035 m3/s e 
rendimento de 63,33%. A potência requerida será de 3,93 kW. 
 
4. Conhecidas a vazão e a altura manométrica total do sistema hidráulico, uma forma simplificada de se 
fazer a escolha da bomba de recalque, é a partir do diagrama de modelos e potências de bombas do fabricante, 
como a mostrada na figura a seguir. 
 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 60 
 
Suponhamos que devemos selecionar uma bomba deste fabricante, para recalcar 100 m3/h de água a uma 
altura manométrica de 35 m. Qual é a bomba que deve ser selecionada? Qual a sua potência e rendimento? 
Resposta: A bomba a ser selecionada, nesse caso, será o modelo 3 CNE 62, com potência de 20 HP e 
rendimento de aproximadamente 65%. 
 
5. Foram adquiridas duas bombas iguais com capacidade de 60 L/s e 45 m de altura manométrica. Verificar 
as condições para funcionamento em conjunto. 
Resposta: Se essas duas bombas funcionarem em série, poderão recalcar os mesmos 60 L/s contra uma 
altura manométrica de 90 m. Se forem instaladas em paralelo, a vazão resultante será de 120 L/s e a altura 
dinâmica de elevação continuará a ser de 45 m (admitindo-se a mesma perda de carga na canalização). As 
bombas de capacidade diferentes funcionarão satisfatoriamente em paralelo se elas tiverem características 
semelhantes. 
 
6. As curvas características de uma bomba instalada em um local com altitude de 1200 m (patm = 9,034 mca) 
são representadas pelas equações abaixo: 
H = 40,0 + 3,70∙Q − 5∙Q2 [mca; L/s] 
η =45,00∙Q − 15,00∙Q2 [%; L/s] 
NPSHR = 0,10∙Q2 [mca; L/s] 
A máquina deve elevar água entre dois reservatórios abertos que se encontram separados por uma altura 
estática total de 20 m e as perdas de carga nos trechos de sucção e recalque são dadas, respectivamente, por: 
Hps = 1,00∙Q2 e Hpr = 5,00∙Q2 [mca; L/s] 
a) Determine a vazão e altura manométrica total do sistema. 
b) Calcule o rendimento e a potência (CV) de acionamento no eixo da bomba na condição de equilíbrio. 
c) Verifique a ocorrência de cavitação no ponto de equilíbrio considerando que a temperatura da água é de 
30 °C (pvapor = 0,44 mca) e que a altura geométrica de sucção é 3,5 m. 
d) Para as condições do item anterior, isto é na vazão do ponto de equilíbrio, calcule a máxima altura 
geométrica de sução de forma a obter NPSHR + 0,6 m = NPSHD. 
e) Se fosse necessário operar o sistema com vazão de 1,3 L/s, qual seria a perda de carga localizada 
introduzida pelo fechamento de um registro. 
Respostas: a) 1,527 L/s e 34 m; b) 33,74% e 2,0 CV; c) Não vai ocorrer cavitação, pois NPSHD = 2,762 m > 
NPSHR = 0,233 m; d) 5,43 m; e) 6,22 m 
 
9. CONDUTOS LIVRES – DIMENSIONAMENTO DE CANAIS 
9.1 Condutos livres 
Os condutos livres estão sujeitos à pressão atmosférica, pelo menos em um ponto da sua seção do 
escoamento. Eles também são denominados canais e normalmente apresentam uma superfície livre de água, em 
contato com a atmosfera. 
Na figura a seguir são mostrados dois casos típicos de condutos livres (a e b); em c está indicado o caso 
limite de um conduto livre: embora o conduto funcione completamente cheio, na sua geratriz interna superior 
atua uma pressão igual à pressão atmosférica. Em d está representado um conduto no qual existe uma pressão 
maior do que a atmosférica e, neste caso, temos um conduto forçado. 
 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 61 
 
Os cursos d'água naturais constituem o melhor exemplo de condutos livres. Além dos rios e canais, 
funcionam como condutos livres os coletores de esgotos, as galerias de água pluviais, os túneis-canais, as calhas, 
canaletas, etc. São, portanto, considerados canais todos os condutos que conduzem águas com uma superfície 
livre, com seção aberta ou fechada. 
Condutos livres são de mais difícil resolução do que os condutos forçados porque a superfície livre pode 
variar no espaço e no tempo e, portanto, variam também a profundidade de escoamento, o caudal, sendo a 
inclinação do fundo e a inclinação da superfície grandezas interdependentes. São de difícil obtenção os dados 
experimentais sobre condutos livres. 
 
9.2 Tipos de movimento 
O escoamento em condutos livres pode se realizar de várias maneiras: 
 
Se ao longo do tempo o vetor velocidade não se alterar em módulo, direção e sentido em qualquer ponto 
determinado de um líquido em movimento o escoamento é qualificado como permanente. Nesse caso as 
características hidráulicas em cada seção independem do tempo (essas características podem, no entanto, variar 
de uma seção para outra, ao longo do canal: se elas não variarem de seção para seção ao longo do canal o 
movimento será uniforme). 
Considerando-se agora um trecho de canal, para que o movimento seja permanente no trecho, é 
necessário que a quantidade de líquido que entra e que sai mantenha-se constante. 
Consideremos um canal longo, de forma geométrica única, com uma certa rugosidade homogênea e com 
uma pequena declividade, com uma certa velocidade e profundidade. Com essa velocidade ficam balanceadas a 
força que move o líquido e a resistência oferecida pelos atritos internos e externo (este decorrente da rugosidade 
das paredes). 
Aumentando-se a declividade, a velocidade aumentará, reduzindo-se a profundidade e aumentando os 
atritos (resistência), sempre de maneira a manter o exato balanço das forças que atuam no sistema. 
Não havendo novas entradas e nem saídas de líquido, a vazão será sempre a mesma e o movimento será 
permanente (com permanência de vazão). Se a profundidade e a velocidade forem constantes (para isso a seção 
de escoamento não pode ser alterada), o movimento será uniformee o canal também será chamado uniforme 
desde que a natureza das suas paredes seja sempre a mesma. 
Nesse caso a linha d'água será paralela ao fundo do canal. 
 
9.3 Carga específica 
A carga total (HT) existente em uma seção de um canal é dada por: 
g
vyZHT 2
2
⋅++= α . 
O coeficiente α, cujo valor geralmente está compreendido entre 1,0 e 1,1 leva em conta a variação de 
velocidades que existe na seção. 
Na prática adota-se o unitário, com aproximação razoável, resultando: 
g
vyZHT 2
2
++= . 
Em seções a jusante a carga será menor, pois o valor de Z vai se reduzindo para permitir a manutenção do 
escoamento contra os atritos. 
Passando-se a tomar como referência o próprio fundo do canal, a carga na seção passa a ser: 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 62 
 
g
vyHe ⋅
+=
2
2
 (Carga específica) 
He denomina-se carga específica e resulta da soma da altura de água com a carga cinética ou energia de 
velocidade. 
O esquema a seguir mostra essas cargas. 
 
Podemos ainda usar a equação da vazão, Q = A∙v, e obter: 
2
2
2 Ag
QyHe ⋅⋅
+= . 
Como a área da seção transversal varia com a profundidade, A = f(y), teremos: 
2
2
)](f[2 xg
QyHe ⋅⋅
+= . 
Os canais uniformes e o escoamento uniforme não existem na natureza. Até mesmo no caso de condutos 
artificiais prismáticos, longos e de pequena declividade, as condições apenas se aproximam do movimento 
uniforme. Essas condições de semelhança apenas acontecem a partir de uma certa distância da seção inicial e 
também deixam de existir a uma certa distância da seção final (nas extremidades a profundidade e a velocidade 
são variáveis). 
É por isso que nos canais relativamente curtos não podem prevalecer as condições de uniformidade. 
Em coletores de esgotos, concebidos como canais de escoamento uniforme, ocorrem condições de 
remanso e ressaltos de água onde o movimento se afasta da uniformidade. 
Nos canais com escoamento uniforme o regime poderá se alterar, passando a variado em consequência de 
mudanças de declividade, variação de seção e presença de obstáculos. 
 
9.4 Projeto de pequenos canais com fundo horizontal 
Em certas instalações, como por exemplo, estações de tratamento, são comuns canais e canaletas 
relativamente curtos, com fundo sem declividade, assim construídos por facilidade ou conveniência estrutural. 
Frequentemente são projetados com uma seção determinada para manter a velocidade de escoamento 
com um valor conveniente. Há dois casos a considerar: 
1. Canais afogados, cujo nível d'água a jusante é predeterminado por uma condição de chegada. Nesse 
caso calcula-se a perda de carga e, partindo-se do nível da água conhecido de jusante, pode-se obter o nível de 
montante; 
2. Canais livres, que descarregam livremente a jusante, onde o nível é bem mais baixo. Nesse caso sabe-se 
que na extremidade do canal a profundidade do líquido cairá abaixo da profundidade crítica. Partindo-se da 
profundidade crítica, determina-se a profundidade pouco acima dela (He = 3/2yc). A partir desse ponto calcula-se 
a perda de carga para se encontrar o nível de montante. Se o canal receber contribuições pontuais ao longo da 
sua extensão, ele poderá ser subdividido em trechos para efeito de cálculo. 
 
 
 
 
 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 63 
 
9.5 Observações sobre projeto de canais 
(com escoamento permanente uniforme) 
1. O projeto de canais pode apresentar condições complexas que exigem a sensibilidade do projetista e o 
apoio em dados experimentais. O projeto de obras de grande importância deve contar com a colaboração de um 
especialista. 
2. Sabendo-se que os canais uniformes e o escoamento uniforme não existem na prática, as soluções são 
sempre aproximadas, não se justificando estender os cálculos além de 3 algarismos significativos. 
3. Para os canais de grande declividade, recomenda-se a verificação das condições de escoamento crítico. 
4. Em canais ou canaletas de pequena extensão não se justifica a aplicação de fórmulas práticas para a 
determinação da profundidade ou da vazão. 
 
9.6 Velocidade da água nos canais 
A distribuição das velocidades é função principalmente da resistência do fundo e das paredes, resistência 
superficial da atmosfera e ventos, resistência interna da viscosidade do fluido e da aceleração da gravidade. 
A determinação das várias velocidades em diferentes pontos de uma secção transversal é feita por via 
experimental. 
Exemplos de curvas isotáquitas (lugar geométrico dos pontos que possuem iguais velocidades) são 
mostradas a seguir. 
 
Considerando-se a velocidade média em determinada seção como igual a 1 pode-se traçar o diagrama de 
variação da velocidade com a profundidade, mostrado a seguir. 
 
 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 64 
 
O Serviço Geológico dos Estados Unidos (United States Geological Survey) apresenta as relações dadas a 
seguir, que são de grande utilidade nas determinações e estimativas de vazão. 
a) A velocidade média numa vertical geralmente equivale de 80% a 90% da velocidade superficial. 
b) A velocidade a seis décimos de profundidade é, geralmente, a que mais se aproxima da velocidade 
média: 0,6med vv ≅ . 
e) Com maior aproximação do que na relação anterior, tem-se: 
2
0,80,2
med
vv
v
+
≅ . 
d) A velocidade média também pode ser obtida partindo-se de: 
4
2 0,60,80,2
med
vvv
v
⋅++
≅ 
Essa última expressão é mais precisa e será a adotada aqui. 
 
9.7 Algumas definições 
Como os condutos livres podem apresentar as formas mais variadas, podendo ainda funcionar 
parcialmente cheios, torna-se necessária a introdução de dois novos parâmetros para o seu estudo. 
⦁ ÁREA MOLHADA 
Denomina-se área molhada de um conduto a área útil de escoamento numa seção transversal. Deve-se, 
portanto, distinguir S, seção de um conduto (total) e A, área molhada (seção de escoamento). 
⦁ PERÍMETRO MOLHADO 
O perímetro molhado é a linha que limita a área molhada junto ás paredes e ao fundo do conduto. Não 
abrange, portanto, a superfície livre das águas. 
 
9.8 Equação geral da resistência 
Tome-se um trecho de comprimento unitário (L = 1). O movimento sendo uniforme, a velocidade mantém-
se à custa da declividade do fundo do canal, declividade essa que será a mesma para a superfície livre das águas. 
Sendo γ o peso específico da massa líquida, a força que produz o movimento será a componente tangencial do 
peso do líquido: F = γ·A·L·senα ⇒ F = γ·A·senα ① 
Desde que o movimento seja uniforme, deve haver equilíbrio entre as forças aceleradoras e retardadoras, 
de modo que a força F deve contrabalançar a resistência oposta ao escoamento pela resultante dos atritos. Essa 
resistência ao escoamento pode ser considerada proporcional aos seguintes fatores: 
a) peso específico do líquido (y); 
b) perímetro molhado (P); 
c) comprimento do canal (= 1); 
d) uma certa função φ(v) da velocidade média. 
Assim: Res = y∙P∙φ(v) ② 
Igualando-se as equações ① e ②, teremos: γ·A·senα = y∙P∙φ(v) ⇒ A·senα = P∙φ(v) 
Na prática, em geral, a declividade S0 dos canais é relativamente pequena, α << 10°, permitindo que se 
tome sen α = tg α = S0 (declividade), resultando: )(vS
P
A φ=⋅ 0 . 
A relação A/P é denominada raio hidráulico ou raio médio: 
molhadoPerímetro
molhadaÁrea
=hR 
Chegando-se então, à expressão: )(vSRh φ=⋅ 0 (Equação geral da resistência) 
 
 
 
 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 65 
 
A tabela abaixo apresenta a área molhada, o perímetro molhado e o raio hidráulico de algumas seções 
usuais. 
 
 
 
9.9 As Equação de Chezy e equação de Manning 
As equações utilizadas para determinar a vazão em canais abertos foram derivadashá muitos anos e os 
valores dos coeficientes empíricos destas equações tem sido otimizados desde então. Atualmente, nós temos 
equações semi empíricas que fornecem resultados adequados para os projetos de engenharia. A utilização de 
métodos mais refinados na solução destes escoamentos não garante resultados mais precisos porque a descrição 
dos problemas é complexa e existem muitas incertezas na formulação dos problemas, ou seja, é difícil descrever 
os formatos e as irregularidades do perímetro molhado dos canais − particularmente nos canais naturais. 
A equação apresentada a seguir, uma das mais antigas da mecânica dos fluidos, foi desenvolvida em 1768 
pelo engenheiro francês Antoine de Chezy (1718 − 1798) que projetou um canal de transporte de água para a 
cidade de Paris. 
De acordo com Chezy: ( )1/20SRCv h ⋅⋅= (Equação de Chezy) 
Nessa equação, v é a velocidade média do escoamento, Rh é o raio hidráulico do canal, S0 é a declividade do 
canal e C é um coeficiente denominado coeficiente de Chezy. 
O valor da constante de Chezy precisa se determinado experimentalmente e não é adimensional 
[apresenta dimensão igual a (comprimento)1/2/tempo, ou seja, dimensão igual a da raiz quadrada da aceleração]. 
Os resultados experimentais mostram que a dependência da inclinação da Equação de Chezy (v ∝ S01/2) é 
razoável, mas a dependência com o raio hidráulico não é adequada. Em 1891, o engenheiro irlandês Robert 
Manning (1816−1897) desenvolveu uma equação modificada para descrever melhor a dependência com o raio 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 66 
 
hidráulico. Essa é a equação mais conhecida para dimensionamento de condutos livres usada no Brasil, nos 
Estados Unidos e demais países de língua inglesa. 
A equação de Manning é: 
n
SRv h
1/2
o
2/3 ⋅
= (Equação de Manning) 
E, com a definição de vazão, Q = A∙v, teremos: 
n
SRAQ h
1/2
o
2/3 ⋅⋅
= 
O parâmetro n é o coeficiente de resistência de Manning. O valor deste parâmetro é função das 
características da superfície molhada do canal e deve ser obtido por via experimental. Note que o parâmetro não 
é adimensional, pois apresenta unidade s/m1/3. Ainda assim, a equação de Manning é muito utilizada mesmo que 
o coeficiente n seja dimensional. 
A tabela mostrada a seguir apresenta alguns valores de n com unidades compatíveis com o SI. 
 
 
Em alguns países é usada a equação de Strickler : 
1/2
o
2/3 SRKv h ⋅⋅= (equação de Strickler) 
Observe que o coeficiente K, denominado coeficiente de rugosidade de Strickler, corresponde ao inverso 
do coeficiente de Manning. 
 
 
 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 67 
 
Valores do coeficiente de rugosidade de Strickler 
 
 
IMPORTANTE 
A equação de Manning deve ser aplicada somente para regime turbulento e somente é válida quando: 
( ) 131/206 101,9 −⋅≥⋅⋅ SRn 
 
9.10 Dimensionamento de canais 
Existem basicamente dois casos distintos para resolução de problemas envolvendo condutos livres: 
⦁ Caso 1 
 Dados: n, A, Rh e S0 ⇒ Deseja-se obter: v ou Q 
 Dados: n, A, Rh, Q ⇒ Deseja-se conhecer: S0 
Neste caso, a solução é encontrada diretamente com a aplicação da equação de Manning. 
⦁ Caso 2 
 Dados: n, Q e S0 ⇒ Deseja-se conhecer a seção do canal (A, Rh) 
Neste caso, existem três maneiras de se solucionar o problema: algebricamente, graficamente ou pelo 
método da tentativa (que usaremos aqui na Hidráulica). 
Conhecendo-se n, Q e S0, obtemos da equação de Manning: 
1/2
o
2/3
1/2
o
2/3
S
nQRA
n
SRAQ hh
⋅
=⋅⇒
⋅⋅
= 
Observe que o segundo membro da equação é um valor conhecido e existem diversas combinações de 
geometria que satisfazem os dados fornecidos. A obtenção destes valores pode ser feita por tentativa e erro. 
 
9.11 Informações importantes 
As tabelas a seguir definem parâmetros importantes no dimensionamento de canais. 
⦁ Declividades limites 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 68 
 
⦁ Inclinação dos taludes (valores em m) 
 
Talude é a inclinação da superfície lateral de um aterro, de um muro ou de qualquer obra. 
 
⦁ Limites de velocidade 
A velocidade máxima leva em conta a natureza do material que constitui o canal e é definida como a 
velocidade acima da qual ocorre erosão do material. 
No caso de esgotos deve-se evitar pequenas velocidades que causam a deposição da descarga sólida. 
Grandes dimensões da seção originam pequenas velocidades em virtude da grande largura do fundo. Neste caso 
recorre-se ao uso de pequenas caleiras incorporadas no fundo dos canais. 
 
Velocidades mínimas para evitar depósitos 
 
 
Limites aconselháveis para velocidade média dos canais 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 69 
 
Velocidades práticas 
 
 
⦁ Folga ou borda livre 
A borda livre (“free board”) corresponde a 
uma folga que deve ser deixada além da cota do 
nível máximo operacional no conduto para evitar, 
dentro de certo risco, extravasamentos devido à 
ação de ondas de vento ou de embarcações, 
ressalto hidráulico, perdas localizadas e flutuações 
de vazões. 
A folga mínima é 20 cm, e normalmente 
adota-se uma folga de 20% a 30% da profundidade 
hidráulica. 
 
EXERCÍCIOS – SÉRIE 9 
 
1. Um canal tem declividade S0 = 0,0005 m/m, n = 0,015, área molhada A = 12,2 m2, perímetro molhado 
P = 11,2 m e raio hidráulico Rh =1,09 m. A equação de Manning pode ser usada? Se sim, determine a vazão. 
Resposta: Sim, pois: n6 (Rh∙S0)1/2 = 2,66∙10–13 ≥ 1,9∙10–13. Q = 19,3 m3/s 
 
2. Calcular a vazão transportada por um canal revestido de nata de 
cimento (n = 0,012 ou K = 83) tendo uma declividade de 0,3 ‰. As dimensões 
e forma estão na figura ao lado. Verificar o valor da velocidade média de 
escoamento. 
Resposta: 11,5 m3/s; 1,43 m/s. 
 
3. Calcular a vazão transportada por um canal de 
terra dragada (n = 0,025), tendo declividade de 0,4‰. 
As dimensões e formas estão na figura ao lado. 
Resposta: 4,1 m3/s e 0,70 m/s 
 
4. Qual é a vazão em um canal de terra dragado (n = 0,025) com seção trapezoidal e com taludes inclinados 
de 1:1 (V:H) cuja altura de água seja de 1,3 m, base menor do canal igual a 1,80 m e declividade do fundo do canal 
igual a 0,05 %? Determine também a velocidade média do escoamento. 
Resposta: Q = 2,94 m3/s e v = 0,73 m/s 
 
5. Um canal trapezoidal com as dimensões dadas na figura ao 
lado, deve transportar uma vazão de 25 m3/s com velocidade média de 
1,70 m/s. Utilizando o coeficiente de rugosidade de Strickler K = 40 e 
talude de 1:2 (V:H), qual deverá ser a declividade do fundo do canal? 
Resposta: S0 = 0,0015 m/m = 1,5‰ 
 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 70 
 
6. Água escoa no canal com seção transversal 
trapezoidal mostrada na figura ao lado. A inclinação 
do fundo do canal é 1,4 m a cada 1000 m de canal. 
Determine a vazão em volume neste canal sabendo 
que (a) o canal é revestido com concreto acabado 
(n = 0,012) e (b) o canal está coberto com vegetação 
rasteira (n = 0,030). 
Resposta: a) 25,8 m3/s; b) 10,3 m3/s 
 
7. Calcular a vazão transportada por um tubo de 
seção circular, diâmetro de 500 mm, construído em 
concreto (n = 0,013). O tubo está trabalhando à meia 
seção, em uma declividade de 0,7%. Calcule também a 
velocidade média do escoamento. 
Resposta: 0,158 m3/s; 1,61 m/s 
 
 
8. Um coletor de esgoto (seção circular) com 400 mm de diâmetro tem declividade de 0,9 %. Calcular a 
vazão e a velocidade da água, sendo que o coletor funciona a meia seção. Utilizar o coeficiente de rugosidade de 
Manning n = 0,013. 
Resposta: 0,099 m3/s; 1,57 m/s 
 
9. Calcule o diâmetro de um bueiro circular de concreto (n = 0,014)capaz de transportar 1,25 m3/s, com 
uma declividade de 0,3%. Exige-se que a altura de escoamento atinja no máximo 75% do diâmetro do bueiro. 
Resposta: 1,05 m. 
 
10. Um bueiro circular de concreto (n = 0,015) deverá conduzir uma vazão máxima prevista de 2,36 m3/s 
com declive de 0,02%. Determine o diâmetro do bueiro de forma que a altura da seção de escoamento atinja no 
máximo 90% do diâmetro do bueiro (h = 0,9D) e a velocidade média do escoamento.. 
Resposta: 2,13 m; 0,7 m/s. 
 
11. Determinar a base menor e a velocidade média da 
água em um canal de terra em boas condições (K = 40), com 
taludes inclinados de 1:2 (V:H). O canal conduz uma vazão de 
3000 litros/s com declividade de 0,40 m/km e a altura da 
lâmina de água é de 1,45 m. Observação: Utilizar o método das 
tentativas, com o valor inicial para b = 0,75 m. 
Resposta: Por tentativa, determina-se b de modo que A∙Rh2/3 = 3,750. Obtém-se b = 0,39 m com velocidade 
0,63 m/s. Veja a tabela a seguir. 
h A = 4,205 + 1,45·b P = 6,48 + b Rh = A/P Rh2/3 A·Rh2/3 Valor conhecido 
0,75 5,2925 7,23 0,732 0,8122 4,243 > 3,750 
0,50 4,930 6,98 0,706 0,793 3,910 > 3,750 
0,40 4,785 6,88 0,695 0,785 3,756 > 3,750 
0,30 4,640 6,78 0,684 0,776 3,603 < 3,750 
0,35 4,712 6,83 0,690 0,781 3,679 < 3,750 
0,38 4,756 6,86 0,693 0,783 3,726 < 3,750 
0.39 4,770 6,87 0,694 0,784 3,740 ≅ 3,750 
 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 71 
 
12. Um projeto de irrigação precisa de 1500 L/s de água, 
que deverá ser conduzida por um canal de concreto, com bom 
acabamento (K = 80). A declividade do canal deverá ser de 1 ‰ e 
sua seção trapezoidal com talude de 1:0,5 (V:H), como na figura ao 
lado Qual deve ser a altura útil do canal, se sua base for de 60 cm? 
 
Resposta: Por tentativa, determina-se h de modo que A∙Rh2/3 = 0,593. Obtém-se h = 1,01 m com velocidade 
1,35 m/s e folga de 0,20 m. Veja a tabela a seguir. 
h A = 0,6·h −0,5∙h2 P = 0,6 +2,24·h Rh = A/P Rh2/3 A·Rh2/3 Valor conhecido 
1,00 1,10 2,84 0,387 0,531 0,584 < 0,593 
1,20 1,44 3,28 0,439 0,577 0,832 > 0,593 
1,05 1,15 2,95 0,390 0,534 0,614 > 0,593 
1,02 1,12 2,88 0,389 0,533 0,597 > 0,593 
1,01 1,11 2,86 0,388 0,532 0,591 ≅ 0,593 
 
10. BARRAGENS 
10.1 Breve histórico 
A primeira barragem da qual se tem notícias foi construída no rio Nilo pouco antes de 4000 a.C. Serviu para 
desviar o rio Nilo e deixar livre um local para a antiga cidade de Menfis. Essa barragem não existe mais. A 
barragem mais antiga, ainda em operação, é a de Almanza, localizada na província espanhola de Albacete. Essa 
barragem, do tipo arco, foi construída em alvenaria de pedra bruta. Sua operação iniciou em 1384 e foi reformada 
em 1736 (Linsley & Franzini, 1978). Com o decorrer do tempo materiais e métodos de construção foram se 
aperfeiçoando permitindo construir grandes barragens como Hoover Dam no rio Colorado (USA), Itaipu no rio 
Paraná (Brasil) e Três Gargantas no rio Yang Tsé (rio Azul na China). 
 
 
⦁ Segurança de barragens 
Uma das maiores agressões a que o meio ambiente e a sociedade podem ser submetidos é o rompimento 
de uma barragem trazendo grandes danos sociais, ambientais e econômicos. As principais causas de colapso 
estão relacionadas às fundações, sobretudo no que diz respeito à avaliação correta das forças ascensionais 
(subpressão) e da percolação (piping). Eventos hidrológicos extremos, terremotos e deslizamentos, erros na 
operação hidráulica do vertedouro, erros de projeto, recalques também caracterizam pontos críticos na 
segurança das barragens. 
Empresas de geração de energia e de abastecimento de água realizam, normalmente, projetos bem 
elaborados, tendo em vista as responsabilidades envolvidas – as barragens são, normalmente, de grande porte. 
Por outro lado, a maneira até certo ponto empírica com que são construídas as barragens de rejeitos de 
indústrias de papel e celulose ou mineradora, além de pequenos açudes, expõe a população a ameaças 
constantes. 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 72 
 
No dia 17 de junho de 2004 a barragem 
de Camará (Fabiani, 2012), no município de 
Alagoa Grande, Estado de Alagoas, rompeu-se 
em função de problemas de fundação, quando 
estava com aproximadamente 65% de seu 
volume, durante o primeiro enchimento. As 
cidades de Alagoa Grande e Mulungu foram 
seriamente atingidas pela onda de ruptura. A 
imagem da Figura 02 mostra cena da 
destruição da barragem que trouxe muitos 
prejuízos na cidade de Alagoa Grande. Neste 
acidente, sete pessoas perderam a vida, vinte 
foram contabilizadas como desaparecidas 
(muito provavelmente mortas) e mais de 3.300 
pessoas ficaram desabrigadas 
 
Barragem de Camará, logo após a ruptura e o esvaziamento do reservatório 
Fonte: Fabiani (2012) 
A título de ilustração de outros casos reais de rupturas, pode-se citar as barragens de Euclides da Cunha 
(1977 – Brasil), Malpasset (1959 – França) e Teton (1976 – EUA). 
Mais recentemente, em 5 de novembro de 2015, ocorreu o rompimento da barragem de rejeitos da 
mineradora Samarco localizada no subdistrito de Bento Rodrigues, a 35 km do centro de Mariana-MG. 
Inicialmente a mineradora Samarco informou que duas barragens haviam se rompido - a de Fundão e a de 
Santarém. Porém, no dia 16 de novembro, a Samarco retificou a informação, afirmando que apenas a barragem 
de Fundão havia se rompido. O rompimento de Fundão provocou o vazamento dos rejeitos que passaram por 
cima de Santarém, que, entretanto, não se rompeu. As barragens foram construídas para acomodar os rejeitos 
provenientes da extração do minério de ferro retirado de extensas minas na região. 
O rompimento da barragem de Fundão é considerado o maior desastre socioambiental da história 
brasileira e o maior do mundo envolvendo barragens de rejeitos. A lama chegou ao rio Doce, cuja bacia 
hidrográfica abrange 230 municípios dos estados de Minas Gerais e Espírito Santo, muitos dos quais abastecem 
sua população com a água do rio. 
 
Vista da região do desastre Fonte: Wikipédia 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 73 
 
10.2 Definição e finalidades 
⦁ Barragem é uma estrutura permanente destinada a obstruir um rio ou vale para criar um desnível. Uma 
barragem está sujeita permanentemente a um desnível de água. 
⦁ Dique é uma estrutura sujeita a desnível apenas temporariamente. A palavra dique é também usada para 
uma barragem de terra de pequena altura (h < 10 m). 
⦁ Ensecadeira é uma estrutura tipo barragem de caráter temporário para desviar um rio durante a 
construção de uma obra hidráulica. 
As barragens podem ser usadas para: criar reservatórios, regularizar vazões, criar meios de recreação 
(pesca, natação), desviar cursos de água, controlar cheias, criar profundidade para o calado dos navios 
(navegação), aproveitar áreas submersas (diques da Holanda); criar desnível (usinas hidrelétricas); para contenção 
de rejeitos industriais. 
 
10.3 Tipos de barragem 
Dependendo do material de construção, as barragens podem ser classificadas em dois grandes grupos: 
⦁ Barragens de concreto (gravidade, arco, contraforte) 
As barragens de concreto são aquelas construídas essencialmente com materiais granulares produzidos 
artificialmente aos quais se adicionam cimento e aditivos químicos. 
⦁ Barragens convencionais de terra e/ou enrocamento 
As barragens de terra e/ou enrocamento são aquelas construídas com materiais naturais tais como argilas, 
siltes (fragmentos de mineral ou rocha menor do que areia fina e maior do que argila) e areias ou com materiais 
produzidos artificialmente tais como britas e enrocamentos. No caso de barragens de contenção de rejeitos, os 
próprios rejeitos podem ser utilizados como materiais de construção e, assim, estas estruturas são denominadas 
barragensde rejeitos. 
O quadro a seguir apresenta os principais tipos de barragens, juntamente com o material de construção, 
seção transversal tipo e vista em planta. 
 
 
 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 74 
 
Barragens tipo Gravidade - A estabilidade depende de seu próprio peso, ou seja, as barragens por 
gravidade se seguram pelo atrito com o terreno; são em geral em linha reta embora possam apresentar pequena 
curvatura. 
 
 
 
Barragens em Arco – Transmitem às encostas, por ação do arco, a maior parte do empuxo horizontal 
exercido sobre elas pela água represada e podem ter seções transversais mais esbeltas do que as barragens por 
gravidade de mesmo porte. Só podem ser construídas em vales profundos e estreitos, com vertentes capazes de 
resistir aos esforços transmitidos pelo arco. 
 
 
 
Barragens de Contrafortes – o tipo mais simples é em lajes planas, que consiste em placas inclinadas 
apoiadas em contrafortes dispostos a intervalos determinados. 
 
 
 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 75 
 
Barragens de Terra – tanto as construídas com terra como as que utilizam blocos de rocha (enrocamento) 
são denominadas genericamente “barragens de terra”. Dispõem de recursos para evitar a percolação, podendo 
estes ser um núcleo impermeável ou tapete (cobertura relativamente impermeável, sob o fundo do reservatório 
e da barragem, ligada ao núcleo central). 
 
 
O esquema a seguir mostra os perfis de dez grandes barragens norte-americanas e suas respectivas alturas, 
em metros (algumas são em arco). 
 
 
10.4 Forças que atuam sobre as barragens 
Uma barragem deve ser relativamente impermeável à água e capaz de resistir às forças que atuam sobre 
ela. As principais forças são: peso próprio, forças de pressão hidrostática (empuxo) a jusante e a montante e força 
de pressão (empuxo) ascensional (subpressão). 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 76 
 
 
Os esforços são transmitidos ao terreno que reage contra a barragem com tensões iguais e contrárias. Os 
efeitos da pressão hidrostática provocada pelos depósitos de sedimentos no reservatório podem exigir, em alguns 
casos, atenções especiais. 
O peso W de uma barragem é o produto de seu volume V pelo peso específico γc dos materiais que 
constituem a barragem (concreto, terra). Assim: VW c ⋅= γ 
A linha de ação da força peso W passa pelo centro de gravidade da área da seção transversal. 
As forças hidrostáticas podem atuar tanto no paramento de montante como de jusante. A componente 
horizontal Fh da força hidrostática, por unidade de largura da barragem, é dada por: 
2
2hFh
⋅
=
γ 
sendo que h é a profundidade da água e γ seu peso específico. A linha de ação dessa força passa por uma altura 
h/3 acima da base da barragem. 
A componente vertical da força hidrostática é equivalente ao peso de uma coluna de água sobre a face da 
barragem e passa pelo centro de gravidade dessa coluna. 
A água, quando sob pressão, sempre acha um meio de percolar (capacidade do líquido de atravessar um 
determinado meio) sob a barragem, entre esta e o terreno sobre o qual está implantada; e por efeito da 
percolação gera pressões ascensionais (subpressões). A subpressão é influenciada pelo tipo de solo e pelos 
métodos de construção. Admite-se que seu valor varia linearmente entre o valor máximo da pressão hidrostática 
a montante (calcanhar da barragem) e o valor máximo dessa pressão a jusante (pé da barragem). Sob esta 
hipótese o valor da pressão ascensional Pa sob a barragem é dado por: 
2
)( 21 bhhPa
⋅+⋅
=
γ 
sendo que b é a largura da barragem na base; h1 e h2 são alturas máximas de água respectivamente sobre o 
calcanhar e o pé da barragem. A linha de ação da pressão ascensional passará pelo centro de gravidade da área 
do diagrama trapezoidal das pressões. Medidas feitas em barragens mostram que o valor real dessa força é 
inferior ao valor obtido pela equação. Várias hipóteses têm sido feitas quanto à distribuição da subpressão. 
As barragens do tipo gravidade podem desmoronar por escorregamento ao longo de um plano horizontal, 
por tombamento (rotação) em torno do pé da barragem, ou por ruptura do material. As rupturas podem ocorrer 
ao nível do terreno ou em qualquer outro plano da barragem. O deslizamento e a ruptura por cisalhamento 
poderão ocorrer se a resultante horizontal dos esforços acima de qualquer cota da barragem superar a resistência 
ao cisalhamento no mesmo nível. Pode-se aumentar a resistência ao deslizamento fazendo-se degraus nas 
fundações. O tombamento bem como as tensões excessivas de compressão podem ser evitadas pelo 
dimensionamento apropriado da seção transversal em tamanho e forma. As tensões de trabalho usuais para o 
concreto, no projeto das barragens, são da ordem de 42 kgf/cm2 para compressão e 0 kgf/cm2 para tração. 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 77 
 
Vamos, então, usar a Resistência dos Materiais e 
estabelecer em que condições a tensão de tração na 
seção transversal se anula. 
Para isso, considere um bloco retangular de peso 
desprezível e sujeito a uma força vertical P, como 
mostrado na figura ao lado. Qual deverá ser a faixa de 
valores para a excentricidade ey da carga ao longo do 
eixo y, de modo a não provocar nenhuma tensão de 
tração no bloco? 
 
Quando P é deslocada para o centroide da seção 
transversal, é necessário adicionar um conjugado 
Mx = P∙ey para manter uma carga estaticamente 
equivalente. A tensão normal combinada em qualquer 
lugar da coordenada y na seção transversal provocada 
por essas duas cargas é dada por: 
( )





 ⋅⋅
+⋅−=⇒
⋅⋅
−−=
x
y
x
y
I
yeA
A
P
I
yeP
A
P 1σσ 
 
Nesta expressão, o sinal negativo indica tensão de compressão. Para ey positiva, a menor tensão de 
compressão ocorrerá ao longo da borda AB, onde y = −h/2. (Por inspeção, P provoca compressão naquele lugar, 
mas Mx causa tração.) Por consequência: 





⋅
⋅⋅
−⋅−=
x
y
I
heA
A
P
2
1mínσ . 
Essa tensão permanecerá negativa, isto é, de compressão, contanto que o termo entre parênteses seja 
positivo, isto é: 
x
y
I
heA
⋅
⋅⋅
>
2
1 . 
Visto que A = b∙h e 3
12
1 hbIX ⋅⋅= , obtemos: 6
6
1 he
h
e
y
y <⇒
⋅
> . 
 
Em outras palavras, se –h/6 ≤ e ≤ h/6, a tensão no bloco ao longo da borda AB ou CD será nula ou 
permanecerá como tensão de compressão. 
Às vezes, esse resultado é denominado "regra do terço médio". 
Portanto: 
 
Os esforços de tração são anulados desde que se mantenha a resultante dentro do terço médio da base. 
 
É muito importante ter sempre essa regra em mente ao se carregarem colunas ou arcos que têm seção 
transversal retangular e são feitos de materiais como pedra ou concreto, que só podem suportar pouca ou 
nenhuma tensão de tração. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 78 
 
EXERCÍCIOS – SÉRIE 10 
 
1. As barragens que se seguram por atrito no terreno 
designam-se por barragens de gravidade. A barragem de 
gravidade esquematicamente representada na figura ao 
lado está cheia até a cota 50 m. 
A seção da barragem tem a forma aproximada de um 
trapézio de 52 m de altura, 100 m na base e 5 m no 
coroamento. A barragem é constituída por um enrocamento 
cuja densidade média é 2500 kg/m3. O coeficiente de atrito 
médio nas fundações é μ = 0,3. Adote: g = 9,8 m/s2. 
 
a) Calcule as componentes horizontal e vertical da força exercida pela água do reservatório sobre a parede 
da barragem, por unidade de largura. Considere que a barragem é impermeável, tal como o solo e as fundações 
da barragem. 
b) Verifique que a barragemé estável nas condições da alínea anterior para coeficientes de atrito nas 
fundações superiores a μ = 0, 16. 
c) As fundações da barragem não são totalmente estanques e 
vão-se saturando de água, conforme o esquema ao lado. Em 
contrapartida, mercê de um erro de projeto ou de construção, a 
barragem é completamente estanque na zona B. Verifique se o atrito 
na base é suficiente para a barragem não escorregar. Considere que a 
base AB do paredão está cheia de água à pressão hidrostática do 
reservatório. 
d) Calcule o ponto da base AB onde passa a força resultante, com e sem infiltração na base. 
Sugestão: Calcule o momento resultante sobre o ponto A. Esta alínea é mais trabalhosa que as anteriores. 
Resposta: Nas condições da primeira alínea, o peso da barragem e a força vertical da água totalizam 
7,807∙107 N/m (6,689∙107 N/m devido ao peso do enrocamento e 1,119∙107 N/m devido à componente vertical da 
força exercida pela água sobre a parede de montante). A força horizontal da água sobre a barragem é 
1,225∙107 N/m. Portanto, o coeficiente de atrito limite para a água não deslocar a barragem é μ = 0, 157. 
Havendo infiltração por baixo, a força horizontal da água sobre a barragem mantém-se, mas a força 
resultante vertical diminui em 4,9∙107 N/m. O peso da barragem e a força da água totalizam agora uma força 
vertical de apenas 2,907∙107 N/m. Só com um coeficiente de atrito μ ≥ 0,421 é que a barragem não começaria a 
deslizar pelo vale abaixo. As barragens costumam ter drenagem na base, para evitar este tipo de acidente. 
Sem infiltrações, a componente horizontal da força da água, 1,225∙107 (N/m), produz um momento 
2,042∙108 (N/m)m em relação a A; a componente vertical da força da água, 1,119∙107 (N/m), produz um momento 
1,704∙108 (N/m)m em relação a A; o peso do paredão, 6,689∙107 (N/m), produz um momento 3,344∙109 (N/m)m 
em relação a A. A resultante é 7,903∙107 (N/m) e produz um momento m = 3,719∙109 (N/m)m. O módulo da 
componente vertical da resultante é fy = 7,807∙107 (N/m). A resultante cruza a base AB do paredão à distância 
m/fy = 47,63 m de A. 
Com infiltrações, é preciso acrescentar uma nova força vertical de 4,9∙107 (N/m), que produz um momento 
em relação a A de sentido oposto aos anteriores e módulo 2,450∙109 (N/m)m. A nova resultante é 
3,155∙107 (N/m) e o seu momento m = 1,269∙109 (N/m)m em relação a A. O módulo da componente vertical da 
resultante é fy = 2,907∙107 (N/m). A resultante cruza a base AB do paredão à distância m/fy = 43,64 m de A. 
 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 79 
 
2. Considere uma pequena barragem vertical de 
alvenaria e de forma retangular, como indicado ao lado, 
sujeita apenas a tombamento. O peso específico da água 
vale γa e a do material de alvenaria γ’. Considere δ = 2b/3 e 
determine: 
a) o peso P do material da barragem; 
b) a força F exercida pela pressão da água; 
c) a relação entre b e h para a barragem não tombar. 
Resposta: a) P = h∙b·c∙γ’; F = c∙h2∙γa/2; c) b = h∙(γa/γ’)1/2 
 
3. Numa fazenda deseja-se construir uma pequena barragem retangular de pedra (γ = 2250 kgf/m3), 
assentada sobre rocha. A altura da barragem e a profundidade da água valem 1,20 m. Determinar a espessura de 
modo a satisfazer as condições de estabilidade. 
Resposta: 0,80 m 
4. Considere uma pequena barragem vertical de 
alvenaria e de forma triangular, como indicado ao lado, 
sujeita apenas a tombamento. O peso específico da 
água vale γa e a do material de alvenaria γ’. Determine 
a relação entre b e h para a barragem não tombar. 
Resposta: b = h∙(γa/γ’)1/2 
 
 
11. VERTEDORES 
11.1 Definição e aplicações 
Os vertedores ou vertedouros podem ser 
definidos como simples paredes, diques ou aberturas 
sobre as quais um líquido escoa. O termo aplica-se, 
também, a obstáculos à passagem da corrente e aos 
extravasores das represas. 
Os vertedores devem ser construídos com forma 
geométrica definida e seu estudo é feito considerando-
os como orifícios sem a parte superior. São 
instrumentos hidráulicos utilizados para medir vazão 
em cursos d’água naturais e em canais construídos, 
assim como no controle do escoamento em galerias e 
canais, razão por que o seu estudo é de grande 
importância. 
 
 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 80 
 
A borda horizontal denomina-se crista ou 
soleira (ver figura a ao lado). As bordas verticais 
constituem as faces do vertedor. A carga do 
vertedor, H, é a altura atingida pelas águas, a contar 
da cota da soleira do vertedor. Devido à depressão 
(abaixamento) da lâmina vertente junto ao 
vertedor, a carga hidráulica H deve ser medida a 
montante a uma distância aproximadamente igual 
ou superior a 5H. 
 
 
 
Portanto, podemos resumir as principais dimensões de um vertedor em: 
• soleira é a parte superior da parede em que há contato com a lâmina vertente; 
• carga sobre a soleira (H) é distância vertical entre o nível da soleira e o nível d’água à montante, medido a 
uma distância d ≥ 5·H; 
• altura do vertedor (p) é a diferença de nível entre a soleira e o fundo do canal de chegada; 
• largura da soleira (L) é dimensão da soleira através da qual há o escoamento; 
• altura da lâmina após a passagem pelo vertedor (p’). 
 
11.2 Classificação dos vertedores 
Muitos fatores podem servir de base para a classificação dos vertedores. 
⇒ Quanto à forma: 
⦁ Simples (retangulares, trapezoidais, 
triangulares); 
⦁ Compostos (seções combinadas – duas ou mais 
formas geométricas). 
Na foto ao lado, à esquerda, vê-se um vertedor 
de forma simples (retangular) utilizado para medir 
grandes vazões. À direita há um vertedor de seção 
composta (retangular na parte superior e triangular em 
baixo). A forma triangular é apropriada para medir 
vazões pequenas com precisão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 81 
 
⇒ Quanto ao tipo da soleira ou crista: 
⦁Soleira delgada (chapa metálica ou madeira chanfrada); 
⦁ Soleira espessa (alvenaria de pedras ou tijolos e concreto) 
 
 
⇒ Quanto à largura relativa da soleira: 
⦁ Vertedores sem contrações laterais; 
⦁ Vertedores com uma contração lateral; 
⦁ vertedores com duas contrações laterais. 
 
 
11.3 Cálculo da vazão através dos vertedores 
Para orifícios de grandes dimensões na lateral de um 
reservatório pode-se demonstrar (ver Azevedo Netto, J. M. et 
al..Manual de Hidráulica. São Paulo: Edgard Blucher, 1999) que: 
12
3/2
1
3/2
22
3
2
hh
hhgLCQ d −
−
⋅⋅⋅⋅⋅= 
em que h1 e h2 são as cargas correspondentes, respectivamente 
ao topo e à base do orifício e Cd é o coeficiente de descarga do 
orifício. 
 
 
⦁ Vertedor retangular 
No caso de um vertedor, fazendo-se h1 = 0 e h2 = H, essa equação fica: 3/22
3
2 HgLCQ d ⋅⋅⋅⋅⋅= . 
Ou de forma mais simplificada: 3/2HLKQ ⋅⋅= , sendo gCK d ⋅⋅⋅= 23
2 . 
O valor médio geralmente adotado em problemas para o coeficiente de descarga é Cd = 0,62. 
Nesse caso, K = 1,838. Ficamos, então, com: 
3/21,838 HLQ ⋅⋅= (Fórmula de Francis para vertedor sem contração lateral) 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 82 
 
Na fórmula de Francis, Q é medida em metros cúbicos por segundo e L e H em metros. 
Quando for necessário construir um vertedor com contrações laterais, deve-se fazer uma correção no valor 
de L da fórmula de Francis, que passa a ser denominado L’. 
A presença das contrações faz com que a largura real L atue como se estivesse reduzida a um comprimento 
menor L’. 
⦁ Para uma contração apenas: L’ = L – 0,1∙H 
⦁ Para duas contrações: L’ = L – 0,2∙H 
Então, para o caso mais comum de duas contrações laterais, a fórmula de Francis fica: 
( ) 3/20,21,838 HHLQ ⋅⋅−⋅= (Fórmula de Francis para vertedor com duas contrações laterais)⦁ Vertedor trapezoidal de Cipolletti 
Engenheiro hidráulico italiano nascido em uma vila romana do Tibre, César Cipolletti (1846 - 1908) tornou-
se conhecido como o artífice e criador de tipo de medidor hidráulico de vazão denominado de vertedor Cipolletti. 
Cipolletti procurou determinar um vertedor trapezoidal 
que compensasse o decréscimo de vazão devido às 
contrações: Q = Q2 + 2∙Q1. 
 
A inclinação das faces foi estabelecida de modo que a descarga através das partes "triangulares" do 
vertedor correspondesse aos decréscimos de descarga, devido às contrações laterais, com a vantagem de evitar a 
correção nos cálculos. Para essas condições, o talude resulta 1:4 (1 horizontal para 4 vertical). 
Para este tipo de vertedor tem-se: 
3/21,86 HLQ ⋅⋅= (Vertedor Cipolletti) 
 
⦁ Vertedor triangular 
Os vertedores triangulares possibilitam maior precisão na 
medida de cargas correspondentes a vazões reduzidas. São 
geralmente trabalhados em chapas metálicas. Na prática, somente 
são empregados os que têm forma isósceles, sendo mais usuais os 
de 90°. Para esses vertedores, adota-se a fórmula de Thompson: 
5/21, HQ ⋅= 4 (Fórmula de Thompson) 
Na fórmula de Thompson, Q é a vazão, dada em m3/s, e H, a carga, dada em m. 
O coeficiente dado (1,4), na realidade, pode assumir valores entre 1,40 e 1,46. 
 
EXERCÍCIOS – SÉRIE 11 
 
1. Está sendo projetado o serviço de abastecimento de água para uma cidade do interior. A população atual 
é 3200 habitantes; a futura, 5600 habitantes. O volume médio de água por habitante é de 200 L/dia, sendo 25% o 
aumento de consumo previsto para os dias de maior consumo. Pensou-se em captar as águas de um córrego que 
passava nas proximidades da cidade e, para isso, procurou-se determinar a sua descarga numa época 
desfavorável do ano, tendo sido empregado um vertedor retangular, executado em madeira chanfrada e com 
0,80 m de largura (largura média do córrego = 1,35 m). A água elevou-se a 0,12 m acima do nível da soleira do 
vertedor. Verificar se esse manancial é suficiente para abastecer a cidade. 
Resposta: O córrego tem uma vazão de 43 L/s, suficiente para abastecer a cidade (16 L/s). 
 
 
Hidráulica Paulo Cesar Martins Penteado 83 
 
2. Um vertedor retangular, sem contração lateral, 
tem 1,25 m de soleira (largura) e esta fica 70 cm distante 
do fundo do curso d’água. Sendo 45 cm a carga do 
vertedor, calcular sua vazão. 
Resposta: Q = 0,694 m3/s = 694 L/s 
 
 
3. Determinar a descarga (vazão) de um vertedor 
retangular, com 2,5 m de soleira, situado no centro de 
um curso d’água com 4 m de largura, para uma carga 
de 0,35 m sobre a soleira. A distância da soleira ao 
fundo do curso d’água é de 0,90 m. 
Resposta: Q = 0,92 m3/s = 920 L/s 
 
 
4. A vazão de 350 L/s ocorre em um vertedor Cipolletti 
(trapezoidal), sob carga de 37,8 cm. Calcular a largura que a 
lâmina de água terá sobre a soleira. 
Resposta: L = 0,81 m = 81 cm 
 
 
5. Deseja-se construir um vertedor trapezoidal (Cipolletti) para medir uma vazão de 500 L/s. Determine a 
largura da soleira deste vertedor, para que a altura d’água sobre a soleira não ultrapasse a 60 cm. 
Resposta: L = 0,58 m = 58 cm 
 
6. Qual a descarga (vazão) de um vertedor triangular, de 90°, sob uma carga de 15 cm? 
Resposta: Q = 12,2 L/s 
 
12. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
● David Halliday;Robert Resnick;Jearl Walker;, Fundamentos de Física Vol. 2 - Gravitação, Ondas e 
Termodinâmica, editora: LTC, edição: 9, ano:2012 
● Azevedo Netto, J. M. et al..Manual de Hidráulica. São Paulo: Edgard Blucher, 1999 
● Bruce R. Munson; Donald F. Young; Theodore H. Okiishi, Fundamentos da Mecânica dos Fluidos, editora: 
Blucher, edição: 1, ano:2004 
● R. E. Featherstone, C. Nalluri, Civil Engineering Hydraulics; Blackwell Science: ano1995 
● Manual técnico Bombas Scheneider 
● Michael J. Moran; Howard N. Shapiro; Bruce R. Munson; David P. DeWitt Introduction to Thermal 
Systems Engineering: Thermodynamics, Fluid Mechanics, and Heat Transfer; John Wiley & Sons, Inc., 2003 
● Bombas: guia básico; Eletrobrás [et al.]. Brasília, IEL/NC, 2009