Cálculo de momentos de inércia

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Cálculo dos momentos centrais principais de inércia dos objectos planos 
 
Procedimento 
1. determinação do centróide 
2. introdução do referencial central 
3. cálculo dos momentos centrais de inércia 
4. cálculo dos momentos principais de inércia 
 
Não é o objectivo deste texto dar pormenores ao ponto 1. Igualmente não será 
pormenorizado o ponto 4., dado que este corresponde ao cálculo tensorial, nomeadamente 
corresponde ao cálculo dos valores e direcções principais de um tensor de segunda ordem 
simétrico em 2D. 
 
Guia de cálculo do caso geral, quando o objecto plano é possível separar em formas 
básicas, cujos valores da área, da posição do centróide e dos valores dos momentos de 
inércia centrais são tabelados. 
 
Determinação do centróide 
 
1. Introduzir o referencial auxiliar, habitualmente coincidente com os lados dominantes do 
objecto. 
 
2. Separar o objecto plano em formas básicas (rectângulos, triângulos, partes de círculos ou 
elipses, etc.). 
 
3. Introduzir os referenciais centrais locais em cada forma básica, com mesma posição dos 
eixos x, y, nas direcções paralelas e com sentidos coincidentes com o referencial auxiliar, 
ignorando a posição dos eixos x, y e os respectivos sentidos do referencial central 
representado na tabela. Contudo assume-se neste momento que o referencial da tabela e o 
referencial local na forma básica correspondente têm os eixos coordenados paralelos. 
 
4. Usar os valores tabelados das áreas e das posições dos centróides das formas básicas para 
calcular o centróide do objecto plano. 
 
Introdução do referencial central 
 
5. Introduzir o referencial central, chamado global em concordância com o referencial 
auxiliar o todos os referenciais locais. 
x
y
Referencial auxiliar Referenciais locais
1Cy
1Cx1
3
4
x
y
2Cy
2Cx
3Cy 3Cx 4Cy
4Cx
2
Referencial global 
1Cy
1Cx1
3
4
x
y
2Cy
2Cx
3Cy 3C
x 4Cy
4Cx
2
Cy
CxC
 
Cálculo dos momentos centrais de inércia 
 
Neste caso todas as formas básica contribuem ao valor do momento de inércia a cada um 
dos eixos centrais globais e ao produto de inércia com: 
o seu valor próprio (valor tabelado relacionado ao referencial central local) 
o complemento do teorema de Steiner (teorema dos eixos paralelos). 
 
6. Ler da tabela o valor do momento central de inércia de cada forma básica. Na 
determinação dos valores não é importante a designação e o sentido dos eixos ou das 
dimensões de cada forma básica. O que é decisivo é, qual das dimensões é paralela com o 
respectivo eixo (expoente 1 no caso dos rectângulos e triângulos) e qual é perpendicular ao 
eixo em causa (expoente 3 no caso dos rectângulos e triângulos). 
 
7. Ler da tabela o valor do produto de inércia de cada forma básica. Para o produto de 
inércia não é importante distinguir as dimensões paralelas e perpendiculares (ambas têm 
expoente 2 no caso dos triângulos), mas é decisivo determinar o sinal que pode ser positivo 
ou negativo. Este é preciso estabelecer de acordo com a dominância das partes da forma 
básica situadas nos quadrantes positivos ou negativos. 
 
8. Acrescentar o complemento do teorema de Steiner que tem a forma seguinte: 
• Para os momentos de inércia: a área da forma básica multiplicada pela distância entre 
os eixos local e global levantada ao quadrado, ou seja multiplicada pelo quadrado da 
coordenada do centróide no referencial global na direcção perpendicular. Neste caso 
não é preciso prestar atenção ao sinal da coordenada ou à ordem de subtracção das 
respectivas dimensões na determinação da distância entre os eixos. 
• Para o produto de inércia: a área da forma básica multiplicada pela distância entre os 
eixos local e global em ambas as direcções, ou seja, multiplicada por ambas as 
coordenadas do centróide no referencial global. Neste caso o sinal é importante, mas 
é também possível utilizar o valor absoluto e atribuir o sinal posteriormente de acordo 
com a regra: se o centróide da forma básica situa-se num dos quadrantes positivos 
relativamente ao referencial global então o sinal é positivo, caso contrário o sinal é 
negativo. 
 
Notas: 
1. No caso da “subtracção” da forma básica, quer a área, quer o momento de inércia 
próprio, devem ser negativos. Consequentemente usado esta área negativa no cálculo do 
complemento do teorema de Steiner, a distância dos eixos poderá ser determinada da 
maneira geral e o sinal do complemento será correcto. 
2. O valor do momento de inércia não se altera pela translação da área na direcção paralela 
com o respectivo eixo. 
 
 
 
 
 
b b
x~ x~hh 1 2 2,x~1,x~ II =
3. Determinação do sinal do produto de inércia próprio (pontos cinzentos marcam áreas 
dominantes das formas básicas) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simplificações 
 
Simetrias: 
- um eixo de simetria: o centróide do objecto encontra-se nele; 
- dois eixos de simetria: o centróide do objecto encontra-se na intersecção deles; 
- simetria central: o centro de simetria coincide com o centróide. 
 
- um eixo de simetria: o produto de inércia relativamente ao referencial onde um dos 
eixos coincide com o eixo de simetria é nulo. 
 
Generalizações 
 
a) A forma básica tem os valores tabelados, contudo os momentos de inércia 
disponibilizados na tabela não são relacionados aos eixos paralelos com o referencial 
global: é preciso fazer um cálculo auxiliar e usar as formulas que determinam as 
componentes do tensor ao referencial rodado e rodar o referencial central da tabela ao 
referencial cujos eixos são paralelos com o referencial global (o sentido ou a ordem dos 
eixos x, y é indiferente). 
 
b) A forma básica tem os valores tabelados, contudo os momento de inércia 
disponibilizados na tabela não são centrais: é preciso fazer um cálculo auxiliar e usar o 
teorema de Steiner para esta forma básica com o objectivo de obter os momentos de inércia 
centrais. 
 
c) Os valores da forma básica que foi obtida no ponto 2 não são tabelados: é preciso fazer 
um cálculo adicional a calcular os valores necessários, por exemplo pela integração de 
acordo com a definição.