Geometria Analítica e Álgebra Linear e Vetorial (UniFatecie)

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Geometria Analítica e
Álgebra Linear e 
Vetorial
Professor Me. Alberto de Paula Freire
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F866g Freire, Alberto de Paula 
 Geometria analítica e álgebra linear e vetorial / Alberto de 
 Paula Freire. Paranavaí: EduFatecie, 2022. 
 91p.: il. Color. 
 
 ISBN 978-65-80055-79-1 
 
1. Geometria analítica. 2. Álgebra linear. 3. Álgebra vetorial. 
I. Centro Universitário UniFatecie. II. Núcleo de Educação a Distância. 
III. Título. 
 
 CDD: 23 ed. 512.5 
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livro foram obtidas a partir 
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https://orcid.org/0000-0001-5409-4194
AUTOR
Professor Me. Alberto de Paula Freire
 
● Licenciatura em Matemática pela Faculdade Estadual de Educação Ciências e 
Letras de Paranavaí (FAFIPA). 
● Mestre em Ensino de Física pela Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
(UTFPR). 
● Professor universitário - UniFatecie 
● Professor de Matemática do Colégio Fatecie Premium. 
Possui graduação em Matemática pela Faculdade Estadual de Educação Ciências 
e Letras de Paranavaí (2008). Mestrado em Física pela UTFPR campus Campo Mourão 
(2018). Tem experiência na área de Matemática e Física, para o Ensino Médio e o Pré-
-Vestibular. Tem experiência em Cálculo Diferencial e Integral, Álgebra Linear, Geometria 
Analítica, Estatística e Matemática Financeira. Atualmente é professor do ensino médio 
no Colégio Fatecie Premium e no Centro Universitário UNIFATECIE nas graduações de 
Engenharia Civil, Engenharia Agronômica, Engenharia de Produção, Ciências Contábeis e 
Administração. Professor desde 1987.
CURRÍCULO LATTES: http://lattes.cnpq.br/6855292408517196
APRESENTAÇÃO DO MATERIAL
Prezado (a) aluno (a), a Geometria Analítica e a Álgebra Linear exercem a função 
matemática de criar um elo entre as representações geométricas e as representações algé-
bricas. Para tornar este material mais representativo, vamos estudar, conceitos, teoremas, 
demonstrações e exemplos. Isso fará com que o conhecimento adquirido seja de grande 
valia para o futuro profissional na área das exatas. A proposta da ementa é trazer de forma 
simples e objetiva, os temas mais importantes desta intrigante e fascinante disciplina. 
Na Unidade I, começaremos os nossos estudos compreendendo o plano cartesiano 
e seus elementos, na sequência o foco passa a ser os vetores. Para finalizar esta unidade, 
vamos aprender a importância matemática das posições relativas entre retas e planos.
Já na Unidade II, vamos aprender a representação geométrica e algébrica das 
cônicas. Aprenderemos também a representação equacional da elipse, hipérbole e parábo-
la. E para finalizar o estudo das cônicas, vamos desenvolver a representação geométrica 
das cônicas no plano cartesiano. 
 Depois, na Unidade III, estudaremos as quádricas, suas equações e representa-
ções geométricas. Este tema é um dos mais intrigantes da geometria analítica. A ideia é dar 
a você aluno (a), a noção de espaço tridimensional e rotação de cônicas. 
Para finalizar a nossa disciplina nesta quarta e última unidade, vamos falar sobre 
matrizes, determinantes e sistemas lineares. Aprenderemos conceitos, definições e teore-
mas. Tudo muito bem orientado e contextualizado em nosso material. 
Dentro da proposta e dos objetivos da nossa disciplina, gostaríamos que você alu-
no (a), aproveitasse o máximo este estudo e que o conhecimento adquirido seja de grande 
valia para sua vida profissional.
SUMÁRIO
UNIDADE I ...................................................................................................... 3
Plano Cartesiano, Vetores,Retas e Planos no Espaço
UNIDADE II ................................................................................................... 28
Cônicas
UNIDADE III .................................................................................................. 44
Quádricas
UNIDADE IV .................................................................................................. 61
Matrizes, Determinentes e Sistemas
3
Plano de Estudo:
● Plano Cartesiano;
● Vetores;
● Retas e Planos no Espaço.
Objetivos da Aprendizagem
● Proporcionar ao estudante uma visão integrada dos conceitos de plano cartesiano, 
cálculo vetorial, relação entre retas e planos no espaço;
● Utilizar os conceitos básicos das equações geométricas;
● Compreender os conceitos e fórmulas da geometria
 analítica para resolver problemas.
UNIDADE I
Plano Cartesiano, Vetores,
Retas e Planos no Espaço
Professor Me. Alberto de Paula Freire
4UNIDADE I Plano Cartesiano, Vetores, Retas e Planos no Espaço
INTRODUÇÃO
Nesta unidade aprenderemos os conceitos e definições do Plano Cartesiano, Ve-
tores e Retas e Planos no Espaço. No primeiro tópico estudaremos a distância entre dois 
pontos, ponto médio, circunferência, equação de retas, ângulo entre duas retas e distância 
entre ponto e reta. 
No segundo tópico o nosso estudo entra em um dos temas mais importantes da 
matemática, os vetores, estudaremos os itens: representação geométrica dos vetores, ope-
rações vetoriais, norma de um vetor, produto interno, dependência linear, base ortonormal 
e produto vetorial. 
Finalizando esta unidade, o nosso estudo concentra-se na equação cartesiana do 
plano, equação paramétrica do plano, posições relativas de planos e posições relativas 
entre retas e planos.
5UNIDADE I Plano Cartesiano, Vetores, Retas e Planos no Espaço
1. PLANO CARTESIANO
O plano cartesiano é um conceito introduzido no século XVII, pelos matemáticosfranceses René Descartes e Pierre de Fermat para representar graficamente pares or-
denados (x, y), em que os elementos x e y pertencem aos números reais. Identifica-se 
geometricamente um plano cartesiano, com duas retas orientadas, uma na vertical e outra 
na horizontal. A reta vertical é responsável por alojar os valores de y, esta reta é chamada 
de ordenada. A reta horizontal tem a sua escala representada pelos valores de x, esta reta 
é chamada de abscissas. O ponto de interseção desses dois eixos é dito como origem do 
sistema cartesiano. O plano cartesiano é dividido em quatro regiões denominadas quadran-
tes (BEZERRA e SILVA, 2010).
FIGURA 1 – REPRESENTAÇÃO DO PLANO CARTESIANO E OS QUATRO QUADRANTES
Fonte: O autor (2021).
6UNIDADE I Plano Cartesiano, Vetores, Retas e Planos no Espaço
FIGURA 2 – TABELA DOS QUADRANTES E RESPECTIVOS 
SINAIS PARA OS EIXOS COORDENADOS
Quadrante Abcissa Ordenada
1º quadrante + +
2º quadrante - +
3º quadrante - -
4º quadrante + -
Fonte: O autor (2021).
A geometria euclidiana interpretada no plano cartesiano é dita geometria analítica 
plana. Também chamamos o plano cartesiano de plano numérico, pois cada ponto do plano 
cartesiano é um par ordenado de números reais (x, y).
Adotamos P=(x,y) para representar que (x,y) é um par ordenado identificado exa-
tamente no ponto P.
1.1 Distância entre Dois Pontos
Dados dois pontos, A ( x1, y1 ) e B ( x2 , y2 ), a distância entre eles é dada por 
 que é o comprimento da hipotenusa do triângulo 
retângulo com catetos de comprimentos iguais a | x2 - x1 | e | y2 - y1 | , respectivamente.
FIGURA 3 – REPRESENTAÇÃO DA DISTÂNCIA ENTRE 
DOIS PONTOS NO PLANO CARTESIANO
Fonte: O autor (2021).
1.2 Ponto Médio de um Segmento
Considerando a figura abaixo, M é o ponto médio do segmento AB. Observe que, 
por semelhança de triângulos, as coordenadas de M são .
7UNIDADE I Plano Cartesiano, Vetores, Retas e Planos no Espaço
FIGURA 4 – REPRESENTAÇÃO DO PONTO MÉDIO ENTRE DOIS PONTOS NO PLANO CARTESIANO
Fonte: O autor (2021).
1.3 Circunferência
De acordo com Bezerra e Silva (2010), podemos definir uma circunferência, de raio r e 
centro em C, como sendo o lugar geométrico dos pontos P tais que d ( P,C ) = r. Se C( x 0 , y0 ) então 
essa circunferência é o conjunto dos pontos P(x,y) tais que ou seja,
( x -x0 )2 + (x - y0 )2 = r2. 
Essa equação é chamada de equação da circunferência de raio r e centro em (x0,y0). 
Por exemplo, a equação (x -3)2 + (x+4)2 = 36 uma equação da circunferência de 
raio 6 e centro em (3,-4). Eu disse uma equação e não a equação porque, depois de 
alguns cálculos, a equação acima se torna x2+y2-6x+8y-11=0 e esta é outra equação que 
descreve a mesma circunferência. A palavra equação quer dizer igualdade.
As igualdades,(x-3)2 + (x+4)2 = 36 e x2 + y2 - 6x + 8y -11 = 0 são obviamente diferen-
tes, mas elas são equivalentes, no sentido que os pares de números, x e y, que tornam a 
primeira equação verdadeira fazem com que a segunda equação também seja verdadeira, 
e reciprocamente. Por exemplo, (3 - 3)2 + (2 + 4)2 = 36 , ou seja, a primeira equação é 
verdadeira quando x = 3 e y = 2 e ; substituindo-se esses valores na segunda equação, ela 
fica 32 + 22 -18 +16 -11 = 0, que também, é verdadeira.
1.4 Equações de Retas
De acordo com Bezerra e Silva (2010) vimos que, um ponto é interpretado no plano 
cartesiano como sendo um par ordenado de números. Veremos agora, que a reta vai ser 
interpretada como um conjunto de pares ordenados que satisfazem uma equação linear 
do tipo ax + by = c, com a ≠ 0 ou b ≠ 0. Observemos que o conjunto dos pares (x, y) que 
8UNIDADE I Plano Cartesiano, Vetores, Retas e Planos no Espaço
satisfazem ax + by = c é igual ao conjunto dos pares que satisfazem Kax + Kby = Kc, K≠0, 
pois essas equações são equivalentes entre si. Interpretando a reta como um conjunto de 
pontos que satisfazem ax + by = c, em que a,b,c são números reais fixos e a2 + b2 ≠ 0 o que 
é equivalente a a≠0 ou b≠0), será que o axioma de geometria euclidiana “por dois pontos 
distintos passa uma única reta” é válido? Devemos verificar se a proposição “dados dois pa-
res ordenados distintos, existe um único conjunto de pares ordenados que satisfazem uma 
equação ax+by=c , a2 + b2 ≠ 0 que contém os dois pares” é verdadeira no plano cartesiano, 
que é o que faremos a seguir.
Proposição: Se P = ( x1 , y1 ) e Q =( x2 , y2 ) são distintos então existem a, b, e c, com 
a2 + b2≠0, tais que ax1 + by1 = c e ax2 + by2 = c. 
Além disso, se existem outros a´, b´, c´, com (a´)2 + (b´)2 ≠ 0, tais que a´x1 + b´y1 = c´ 
e a´x2 + b´y2 = c´ , então existe um número k tal que a´= k.a, b´= k.b, c´= k.c.
Demonstração:
Observe que (y2 - y1 ) x - (x2 - x1 ) y = ( y2 - y1 ) x1- (x2 - x1 ) y1 é uma equação do tipo 
procurado, pois é da forma ax + by = c e a equação é satisfeita pelos pontos P e Q.
Vamos mostrar, agora, a segunda parte da proposição.
Vamos supor, então, que ax1 + by1 = c e ax2 + by2 = c, e que a´x1 + b´y1 = c´
e a´x2 + b´y2 = c´.
Temos, então, que a(x2 - x1) + b( y2- y1) = 0, e a´(x2 - x1) + b´(y2 - y1) = 0. Se x1 = x2, 
então, y1 ≠ y2 , pois P e Q são distintos. Obtemos, nesse caso, que b = b´= 0. Logo, tanto a 
como a’ são não nulos. Assim, .
Logo, . E, como b = b´= 0, b´= k.b.
Se y1 = y2, por raciocínio análogo, chegamos ao mesmo resultado.
Vamos supor, agora, que x1 ≠ x2 e y1 ≠ y2 . Temos que . 
Logo, . Por conseguinte,
k.c = k ( ax1 + by1 ) = (k.a) x1 + (k.b) y1 = a´x1+ b´y1 = c´
1.5 Coeficiente angular de uma reta não vertical
Definição: o coeficiente angular m (ou a inclinação, ou a declividade) da reta que 
passa por dois pontos P( x1, y1 ) e Q( x2 , y2 ), tais que x1 ≠ x2, é .
9UNIDADE I Plano Cartesiano, Vetores, Retas e Planos no Espaço
FIGURA 5 – REPRESENTAÇÃO DO COEFICIENTE ANGULAR DA RETA
Fonte: O autor (2021).
O coeficiente angular é a razão entre a variação de ordenadas e a variação de ab-
cissas dos dois pontos. É um número real equivalente a tangente do ângulo que a reta, faz 
com o eixo horizontal. Quando se tem retas verticais, cujos pontos têm uma mesma abcissa, 
dizemos que elas têm inclinação infinita. A equação delas tem a forma x = x0, em que x0 é a 
abcissa comum a todos os pontos da reta. Agora, sejam dados dois pontos, P= (x1, y1) e Q = 
(x2 , y2), em que x1 ≠ x2. Seja r uma reta que passa pelos pontos P e Q. Uma observação muito 
importante, é o que chamamos de reta é um conjunto de pontos que satisfaz uma equação 
linear em x e y. Se esse conjunto representa uma reta, logo um ponto (x, y), desse conjunto 
(x,y)≠P, é tal que a inclinação da reta que passa por (x,y) e P é a mesma que a da reta P e Q. 
Sendo assim, podemos equacionar este conceito da seguinte maneira:
Ou seja, .
Logo chamaremos esta equação de equação da reta. A estrutura algébrica desta 
equação tem o formato ax + by = c.
Com o estudo detalhado acima, podemos concluir que: se, a, b e c R, ax + by = c 
é equação de reta se e só se a ≠ 0 ou b ≠ 0. Quando ocorrer ambos os coeficientes a e b 
serem nulos, a equação se torna 0x + 0y = c, que não tem solução (c≠0), ou todos os pares 
ordenados são soluções (c=0), ou seja, o conjunto-solução é o plano todo. Outra maneira 
de achar equação de reta, é substituir dois pontos quaisquer na equação ax + by = c, obtendo 
assim um sistema de duas equações, cujas incógnitas são os coeficientes, a, b e c.
10UNIDADE I Plano Cartesiano, Vetores, Retas e Planos no Espaço
1.6 Ângulo Entre Duas Retas
Duas retas distintas em um plano podem ser concorrentes ou paralelas. Retas 
paralelas são aquelas que têm mesma inclinação. Por exemplo, as retas r:x =2 e s:x =-1 são 
paralelas; assim como as retas q : y = 2x + 2 e t : y = 2x - 5. Em determinados estudos as retas 
coincidentessão consideradas retas paralelas, isto pode configurar um caso particular. 
Duas retas representam uma mesma reta se os coeficientes, a, b e c forem iguais ou 
múltiplos. Podemos concluir ainda que, duas retas são concorrentes se as suas inclinações 
forem distintas.
Destaca-se um caso particular de retas concorrentes, as retas perpendiculares en-
tre si. A análise da posição entre duas retas, fica restrita as suas inclinações. Segue abaixo 
algumas definições quanto as posições e os ângulos de inclinação.
 , com , são perpendiculares se os ângulos θ1 e θ2( 00<θ1<θ2<1800) 
e , que as retas fazem respectivamente com o eixo horizontal, forem tais que θ2- θ1=900.
Os coeficientes angulares das retas são m1 = tan(θ1) e m2 = tan(θ2).
Utilizando relações trigonométricas, concluímos então que
Segue abaixo, o seguinte resultado:
y = m1 x + b1 (m1≠0) e y = m2 x + b2 (m2≠ 0)
São perpendiculares .
Podemos aplicar o mesmo raciocínio para calcular a tgθ entre duas retas concor-
rentes, r e s, não perpendicular entre si. 
Analisemos os casos abaixo:
• r : x = x0 (vertical) e s : y = mx + b, m≠0
FIGURA 6 – REPRESENTAÇÃO ANGULAR ENTRE DUAS RETAS EM RELAÇÃO AO EIXO X
Fonte: O autor (2021).
11UNIDADE I Plano Cartesiano, Vetores, Retas e Planos no Espaço
FIGURA 7 – REPRESENTAÇÃO ANGULAR ENTRE DUAS RETAS EM RELAÇÃO AO EIXO X
θ = (900-θ)1 tgθ1 = m
Fonte: O autor (2021).
● r : y = m1 x + b1 e y = m2 x + b2, m1.m2 ≠ (-1)
Logo, concluímos que
1.7 Distância entre Ponto e Reta
Neste item, estudaremos a distância entre o ponto P = (x0,y0) a uma reta, r:y=mx+b 
. Para este estudo é importante o ponto não pertencer a reta. Quando falamos de distância 
de um ponto à uma reta, devemos considerar a menor distância entre ponto P até a reta. 
Essa distância configura um segmento perpendicular à reta dada.
Seja, o ponto Q = (x1 , y1) é a solução do sistema 
A solução é .
A distância de P a Q é, então, igual a , ou seja, 
12UNIDADE I Plano Cartesiano, Vetores, Retas e Planos no Espaço
2. VETORES
Para iniciar este estudo, é importante entender que, existem grandezas que neces-
sitam do suporte vetorial e outras não. Vamos tomar como exemplo a grandeza velocidade, 
esta necessita de direção, sentido e intensidade. Se a grandeza velocidade necessita des-
tes três elementos, ela é denominada vetorial. Um exemplo de grandeza que não necessita 
de direção e sentido é a massa. Esta grandeza é considerada limpa, ou seja, somente 
a intensidade é relevante. Nos itens abaixo, aprenderemos a origem dos vetores e suas 
aplicações (STEINBRUCH, 2013).
2.1 Espaço Cartesiano
De acordo com Bezerra e Silva (2010) as coordenadas cartesianas no plano eucli-
diano P, foi fixada uma unidade de medida e foram fixados dois eixos ortogonais, e 
(os eixos coordenados), interceptando-se em um ponto O, a origem. Passos inteiramente 
análogos podem ser utilizados para estudar a Geometria Espacial. No espaço euclidiano E, 
fixados três eixos mutuamente ortogonais , intersectando-se na origem O.
FIGURA 8 – REPRESENTAÇÃO DO TERNO ORDENADO NO R 3
Fonte: O autor (2021).
13UNIDADE I Plano Cartesiano, Vetores, Retas e Planos no Espaço
2.2 Vetores e a Geometria Euclidiana
A geometria é a área da matemática que disponibiliza o maior número de aplicações 
e funcionalidades para os vetores. É com a geometria que podemos definir que um vetor 
nada mais é que um segmento orientado. Também podemos utilizar de recursos como, 
teorema de Pitágoras e distância entre dois pontos para obter a intensidade ou magnitude 
dos vetores (FRANCO, 2016).
 
Definição: Um vetor é um par ordenado (A, B) de pontos do espaço.
O uso de par ordenado serve para dar noção de orientação do vetor. Podemos 
representar um par ordenado (A, B) graficamente com uma seta dirigida do ponto A ao 
ponto B (ver figura 9). Podemos então entender o segmento orientado de A a B como sendo 
dado pelo par (A, B) de pontos. 
FIGURA 9 – REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO VETOR
Fonte: O autor (2021).
Podemos concluir que, um vetor depende somente de seu módulo, direção e sen-
tido. Em uma representação geométrica, setas com mesma intensidade, direção e sentido 
representam o mesmo vetor.
FIGURA 10 – REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DE VETORES IGUAIS
Fonte: O autor (2021).
Observando os seguimentos (A, B) e (C, D), (ver Figura 11), concluímos que, não 
são colineares, logo as retas são diferentes. Os segmentos configuram mesmo 
comprimento, mesma direção, mesmo sentido, mas estão em lados opostos. 
14UNIDADE I Plano Cartesiano, Vetores, Retas e Planos no Espaço
FIGURA 11– REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DE DOIS VETORES 
PARALELOS DE MESMO SENTIDO E MESMA INTENSIDADE
Fonte: O autor (2021).
2.3 Operações Vetoriais
A primeira e mais utilizada das operações vetoriais é a soma. Sejam e vetores. Es-
colha um ponto O qualquer. Utilizando o teorema do paralelogramo, existem determinados 
pontos X e Y que podemos orientar até o ponto O, isso resulta em um seguimento orientado 
que posteriormente transforma-se nos vetores . Pela definição, a soma de u 
e v é o vetor . Esse vetor soma é denotado por u+v. Uma observação muito importante, 
é que, pelo teorema do paralelogramo o vetor soma é a diagonal deste quadrilátero. 
A representação geométrica da origem da soma vetorial, está na (figura 12) logo abaixo.
FIGURA 12 – REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DA SOMA DOS VETORES U E V
Fonte: O autor (2021).
Propriedades da soma de vetores:
(A1) (Comutatividade)
u + v = v + u para quaisquer vetores u, v .
(A2) (Associatividade)
(u+v)+ w = u+(v+w) para quaisquer vetores u,v,w .
(A3) (Elemento neutro)
Se é o vetor nulo, v um vetor qualquer,
(A4) (Inverso aditivo) 
Dado qualquer vetor v, existe um vetor -v tal que 
15UNIDADE I Plano Cartesiano, Vetores, Retas e Planos no Espaço
Propriedades da subtração de vetores:
(S1) , para qualquer vetor v;
(S2) , para quaisquer vetores u, v ;
(S3) , para quaisquer vetores u, v, z.
Não menos importante que a soma e subtração de vetores, vem a multiplicação de 
um vetor por um escalar. Para um determinado vetor v e λ R. Podemos definir para λ=0, λ.v 
= (vetor nulo). Se λ < 0, o vetor λ .v diminuirá a sua intensidade e inverterá o sentido de v, 
para 0 < λ < 1 o vetor λ.v diminuirá a sua intensidade e manterá o mesmo sentido de v e para 
λ > 1, o vetor λ .v aumentará a sua intensidade e manterá o sentido de v. (AVRITZER, 2009).
Observe na (Figura 13) a representação geométrica do conceito estudado.
FIGURA 13 – REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA 
DO PRODUTO DE UM VETOR POR UM ESCALAR
Fonte: O autor (2021).
Propriedades da multiplicação por escalar:
(M1) (α.β).v=α.(β.v) , para quaisquer números reais α,β e vetor v.
(M2) (α+β).v=α.v+β.v, para quaisquer números reais α,β e vetor v.
(M3) α.(u+v)=α.u+α.v, para quaisquer α número real e u,v vetores. 
(M4) 1.v, para qualquer vetor v.
2.4 Norma de um Vetor
Neste item, denotamos o comprimento de um vetor pelo símbolo ||v|| e dizemos 
que este é a norma, o comprimento ou magnitude de v. Lembrar que norma é um termo 
matemático que se refere a comprimento.
Definição: Se v = (v1,v2,v3,…..,vn) for um vetor em Rn, então a norma de v (também é 
denominada comprimento ou magnitude de v) é denotada por ||v|| e definida pela fórmula: 
16UNIDADE I Plano Cartesiano, Vetores, Retas e Planos no Espaço
FIGURA 14 – REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DA NORMA DE UM VETOR NO R2 E NO R3
Fonte: O autor (2021).
Teorema: Se for um vetor em Rn e k um escalar qualquer, então
2.5 Produto Escalar em Espaços Vetoriais
O produto escalar (ou interno) entre dois vetores = (u1,u2,u3) e = (v1,v2,v3),
escritos em coordenadas relativamente a uma base, é definido como: 
 . = u1.v1 + u2.v2 + u3.v3.
De maneira semelhante, pode definir-se o produto escalar entre dois vetores de Rn.
Teorema: Se e são vetores não-nulos, então
onde θ é o ângulo formado entre os vetores e .
Fonte: O autor (2021).
Este importante teorema pode ser provado usando a Lei dos Cossenos que, por 
sua vez, é consequência do Teorema de Pitágoras. Em particular, segue deste teorema 
que a definição de produto escalar não depende da base que escolhemos para escrever os 
vetores e através de coordenadas. Também segue deste teorema os seguintes resultados.
17UNIDADE I Plano Cartesiano, Vetores, Retas e Planos no Espaço
Corolário 1. O ângulo θ entre os vetores não-nulos e é dado por 
Corolário 2. Os vetores e são ortogonais se, e somente se, o produto 
escalar entre eles é zero:
Exemplo 1. Calcule o ângulo entre os vetores = (6,-3,2) e = (2,1,-2).
2.6 Combinação Linear
Sejam os vetores v1,v2 ,....,vn, do espaço vetorial V e os escalares a1,a2 ,....,an. Qual-
quer vetor v V da forma:
v = a1.v1 + a2.v2+⋯+an.vn , é uma combinação linear dos vetores v1,v2 ,....,vn.
2.7 Dependência e Independência Linear
Sejam V um espaço vetorial e A={ v1,v2 ,....,vn } V. Consideremos a equação 
a1.v1+a2.v2+⋯+an.vn = 0. Sabemos que essa equação admite pelo menos uma solução:
a_1=0, a_2=0, ...., a_n=0 chamada solução trivial.
O conjunto A diz-se linearmente independente (LI), ou os vetores v1,v2 ,....,vn são LI, 
caso a equação admita apenas a solução trivial.
Se existirem soluções ai ≠ 0, diz-se que o conjunto A é linearmente dependente 
(LD), ou que os vetores v1,v2 ,....,vn são linearmente dependentes (LD).
2.8 Base Ortonormal
Se {v1,v2,v3} é um conjunto ortonormal de vetores do espaço, então {v1,v2,v3} é uma base. 
A demonstração segue do fato que, se ,
para todo k, mas, como o conjunto é ortonormal, essa equação é equivalente à equação 
 ou seja, o vetor zero só se escreve da forma trivial como combinação 
linear de {v1,v2,v3}.
Teorema dos produtos internos de vetores escritos como combinações de vetores 
de uma base ortonormal:
Seja {v1,v2,v3} uma base ortonormal de vetores do espaço. Então, se u = t1 .v1 + t2 .v2+ 
t3 . v3 e v = s1 .v1+ s2 .v2 + s3 .v3, temos que .
18UNIDADE I Plano Cartesiano, Vetores, Retas e Planos no Espaço
Demonstração:
2.9 Orientação do Espaço
Seja {v1,v2,v3} uma base do espaço. Podemos afirmar que a base é positiva se 
ela satisfaz à regra da mão direita. Para entendermos melhor, supor três representantes 
para esses vetores: . Agora vamos girar (no sentido do menor ângulo 
entre ) até coincidir com um vetor colinear com , com a mão direita apoiada 
no plano determinado por AB e AC. Se o dedo polegar da mão direita apontar para o mesmo 
lado do plano que então podemos afirmar que os três vetores satisfazem a regra da mão 
direita. Uma observação muito importante, é a orientação e ordem dos vetores. Finalizando 
este conceito, podemos representar a base {v1,v2,v3} do espaço com orientação (positiva ou 
negativa) pelo triedro {v1,v2,v3} (WINTERLE, 2000).
2.10 Sistema Cartesiano de Coordenadas no Espaço
Para entender melhor este item, tomaremos como referência um ponto O e de-
finiremos o mesmo como origem. É necessário para o nosso estudo, adotar uma base 
ortonormal positiva, { i ⃗, j ⃗, k ⃗}, e seus representantes (OX) ⃗, (OY) ⃗ e (OZ) ⃗. Para cada 
ponto P do espaço associaremos as coordenadas do vetor (OP) ⃗= xi ⃗+yj ⃗+ zk ⃗ em relação 
a base P( x, y, z ). Na diferenciação ponto e vetor, podemos escrever (OP) ⃗=( x , y , z ), para 
conceituar que (OP) ⃗=xi ⃗+yj ⃗+ zk ⃗. Uma observação muito importante, é que, tomando 
os pontos P( a,b,c ) e Q( x,y,z ), o vetor (PQ) ⃗ é dado pela diferença entre o vetor (OQ) ⃗ e 
o vetor (OP) ⃗:(PQ) ⃗=(OQ) ⃗-(OP) ⃗, logo podemos concluir que, (PQ) ⃗=( x - a ,y - b ,z - c ).
Com esse estudo, podemos determinar o ângulo entre dois vetores. Identificar 
quando dois vetores são ortogonais (BEZERRA e SILVA, 2010).
2.11 Produto Vetorial
Se u = ( u1, u2, u3 ) e v = ( v1, v2, v3 ) forem vetores no espaço tridimensional, então o 
produto vetorial u × v é o vetor definido por
u × v = (u2 .v3 - u3 .v2,u3 .v1 - u1 .v3,u1 .v2 - u2 .v1)
Ou, em notação de determinante,
19UNIDADE I Plano Cartesiano, Vetores, Retas e Planos no Espaço
FIGURA 14 – REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO PRODUTO VETORIAL
Fonte: O autor (2021).
Teorema: Para vetores u, v e w quaisquer, e para todo número real λ:
Proposição: Se u e v são vetores não-nulos, ‖u×v‖=‖u‖‖v‖senθ
onde é o ângulo entre u e v.
Exemplo 1: Encontre o produto vetorial de u = (1,0,2) e v = (2,-1,3).
Exemplo 2: Calcule o produto vetorial entre = (1,2,3) e = (-2,4,1).
20UNIDADE I Plano Cartesiano, Vetores, Retas e Planos no Espaço
3. RETAS E PLANOS NO ESPAÇO
Retas são conjuntos de pontos que formam uma figura com formato de linha que 
não faz curva.Planos são conjuntos de retas que formam uma superfície plana e que tam-
bém não possuem distorção alguma. Entre essas duas figuras, quando observadas no 
espaço tridimensional, há posições relativas.
3.1 Equação do Plano
No plano a equação geral de uma reta é ax+by+c=0. No espaço um plano é o 
conjunto dos pontos P = (x,y,z) que satisfazem a equação ax+by+cz+d=0, para a,b e c R, 
que é chamada equação geral do plano. Existe uma analogia entre uma reta no plano e 
um plano no espaço. No plano, a equação de uma reta é determinada se forem dados sua 
inclinação e um de seus pontos. No espaço, a inclinação de um plano é caracterizada por 
um vetor perpendicular a ele, chamado vetor normal ao plano e a equação de um plano é 
determinada se são dados um vetor normal e um de seus pontos.
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/retas.htm
21UNIDADE I Plano Cartesiano, Vetores, Retas e Planos no Espaço
FIGURA 15 – PLANO PERPENDICULAR A N=(a,b,c) E QUE PASSA POR PO=(X0, Y0, Z0)
Fonte: O autor (2021).
Proposição: A equação geral de um plano π que passa por um plano PO= (x0, y0, z0) 
e tem vetor normal N= (a,b,c) é ax + by + cz + d = 0 em que d = - (ax0 + by0 + cz0).
Demonstração: Um ponto P = (x,y,z) pertence ao plano π se, e somente se, o vetor
 for perpendicular ao vetor N, ou seja, . Como,
 =(x - x0, y - y0, z - z0), a equação pode ser reescrita como
a(x - x0)+b(y - y0) + c(z - z0)= 0, ou seja, ax+by+cz-(ax0+by0+cz0)=0.
3.2 Equação Paramétrica do Plano
Para este estudo, tomamos dois vetores não-nulos e não-paralelos u e v, e um ponto 
P0. Considerando as retas ru e rv paralelas e na direção dos vetores u e v, concorrentes em 
P0. Teremos um único plano contendo as retas ru e rv e o ponto P0. Desta análise, podemos 
concluir que o plano P tem uxv como vetor normal e contém P0. Sendo P um ponto qualquer 
do plano, trace por P paralelas ru´ e rv´ a ru e rv respectivamente. A reta ru´ intersectará a reta 
rv no ponto P2 e rv´ intersectará a reta ru no ponto P1, como mostra a Figura 16 (BEZERRA 
e SILVA, 2010).
FIGURA 16 – REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA 
DAS EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS NO PLANO
Fonte: O autor (2021).
22UNIDADE I Plano Cartesiano, Vetores, Retas e Planos no Espaço
(x - x0,y - y0,z - z0) = t.(u1,u2,u3) + s.(v1,v2,v3) ,
 Ou
x = x0 + tu1 + sv1
y = y0 + tu2 + sv2
z = z0 + tu3 + sv3,
Que são as equações paramétricas do plano P, por causa dos parâmetros s, t, cujos 
valores determinam os pontos do plano.
Teorema: Um conjunto P R3 é um plano se, e somente se, existirem um ponto 
P0 P e vetores u, v não-nulos e não-paralelos tais que 
 .
3.3 Posições Relativas de Planos
Sejam π e π´ planos dados respectivamente por equações ax+by+cz=d e a´x+b´y+c´z=d´.
Podemos ter um sistema de equações em dois formatos. O primeiro, da forma 
geométrica: o problema algébrico de dar umasolução do sistema de duas equações 
lineares com três incógnitas representa geometricamente obter os pontos de interseção de 
dois planos. Podemos considerar este estudo para sistemas de n (n≥2) equações lineares 
com três incógnitas. Resolver um sistema com a sua representação geométrica e obter 
os pontos comuns a n planos. O segundo, da forma a inverter a ênfase, veremos que o 
problema de encontrar a interseção de n planos (n≥2) reduz-se ao de resolver um sistema 
de n equações lineares com três incógnitas. Sejam n=(a,b,c) e n´=(a´,b´,c´) os respectivos 
vetores normais (STEINBRUCH, 2013).
FIGURA 17 – POSIÇÕES RELATIVAS DE PLANOS: 
(A) COINCIDENTES, (B) PARALELOS E (C) TRANSVERSAIS
Fonte: O autor (2021).
23UNIDADE I Plano Cartesiano, Vetores, Retas e Planos no Espaço
A primeira corresponde ao fato trivial de que, se temos uma equação do plano e a mul-
tiplicamos por um número real não-nulo, ainda obteremos uma equação descrevendo o mesmo 
plano. Na segunda, os planos não podem ter pontos em comum. Isto ocorre porque o sistema 
é incompatível, ou seja, não admite soluções. Se subtraímos membro a membro a segunda 
equação de λ vezes a primeira, obtemos que λd - d´ = 0, em contradição com a hipótese de que 
d´ ≠ λd. Na terceira, os vetores e não são paralelos, seu produto vetorial tem ao menos 
uma componente não-nula, digamos a terceira: 
Na terceira, os vetores n e n´ não são paralelos, seu produto vetorial n x n´ tem ao 
menos uma componente não-nula, digamos a terceira: 
(n x n´)3 = ab´ - a´b ≠ 0. Nesse caso você pode verificar que
Ou seja, os pontos de interseção são da forma
Fazendo z=0, obtemos uma solução particular
Podemos ainda, introduzir um novo parâmetro t R ponto . 
Proposição: Dois planos quaisquer ou são paralelos ou se intersectam em uma reta.
Note que PO funciona como o ponto inicial, e o vetor diretor da reta é ortogonal ao 
vetor normal de cada plano, segue a representação geométrica (Figura 18).
24UNIDADE I Plano Cartesiano, Vetores, Retas e Planos no Espaço
FIGURA 18 – A INTERSECÇÃO DE DOIS PLANOS
Fonte: O autor (2021).
3.4 Posições Relativas entre Retas e Planos
Sejam agora π : ax + by + cz = d um plano, e
Uma reta. Podemos ter π∩l = ∅ ou π∩l ≠ ∅ ou . No primeiro caso, dizemos que π e 
l são paralelos. Para que haja interseção, é necessário e suficiente que
a(x0+αt) + b(y0+βt) + c(z0 + γt) = d,
para algum t R. Ou seja,
ax0 + by0 + cz0 - d = -t (aα + bβ + cγ).
Mas note que, se ax0+by0+cz0≠d e aα+bβ+cγ≡0, não é possível achar t R de 
modo a satisfazer a equação. Pondo n=(a,b,c) e v=(α,β,γ), notamos então que para que π 
e l sejam paralelos é suficiente (e de fato necessário) que P0 (x0,y0,z0) ∉ π e 〈n,v〉 = 0. O vetor 
normal ao plano é ortogonal à direção da reta nesse caso, como seria de se esperar.
Se π e l não são paralelos, temos duas possibilidades:
i) ax0 + by0 + cz0 = d
ou seja, P0 ( x0,y0,z0 )∈ π. Se 〈n,v〉=0, então, nesse subcaso, qualquer t∈R satisfaz. 
Isso significa que todo ponto da reta está no plano, isto é, l ⊂ π. Geometricamente, se o ponto 
inicial da reta está no plano e seu vetor diretor é ortogonal ao vetor normal do plano, então a 
reta toda permanece dentro do plano. Por outro lado, se 〈n,v〉≠0, então só podemos satisfazer 
ponto t=0. Ou seja, nesse subcaso a reta intersectará o plano somente no ponto P0.
25UNIDADE I Plano Cartesiano, Vetores, Retas e Planos no Espaço
ii) ax0 + by0 + cz0 ≠ d,
ou seja, P0 (x0, y0, z0 ) ∉ π . Nesse subcaso, obrigatoriamente 〈n,v〉≠0, e só podemos 
satisfazer o ponto
Provamos assim que:
Proposição: Uma reta não contida em um plano ou é paralela ao plano, ou a inter-
secta em um único ponto.
SAIBA MAIS
De acordo com Roncaglio e Nehring (2019), o conceito de vetor está relacionado com a 
ideia de grandezas. Este fato, faz com que este tema seja muito relevante para os enge-
nheiros. No caso da Engenharia Civil, os cálculos envolvendo vetores são utilizados em 
situações como dimensionamento de vigas e treliças, elevadores, guindastes, carrega-
mentos, reações de apoio, nas quais existem forças envolvidas. 
Fonte: Roncaglio e Nehring (2019).
REFLITA
Somos causas com quatro coordenadas, deslizando sobre a trama do universo. O aca-
so (ou destino) é o motivo existencial da passagem e finalidade das coisas. O tempo é 
o gatilho vetorial de tudo; move do tangível até o improvável; o inconcebível é o enigma 
da lógica, como também é a base do mistério da fé.
Fonte: SANTANA, M. J. O Pensador. Disponível em: https://www.pensador.com/frase/MjU1NjMxNA/. 
Acesso em: 04 fev. 2022.
26UNIDADE I Plano Cartesiano, Vetores, Retas e Planos no Espaço
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Prezado (a) aluno (a), o estudo desta unidade foi concentrado no espaço carte-
siano, espaço vetorial, posições relativas entre retas e planos e nas operações com tais 
elementos. Aprendemos que, um vetor é um elemento com intensidade, sentido e direção. 
Tal unidade também teve a finalidade de passar os conceitos operacionais dos vetores, 
assim como suas peculiaridades no espaço R2 e R3 e a relação entre a dependência 
e independência linear. A proposta deste estudo é formar um olhar mais crítico sobre a 
utilização dos vetores e espaço.
27UNIDADE I Plano Cartesiano, Vetores, Retas e Planos no Espaço
MATERIAL COMPLEMENTAR
LIVRO
Título: Álgebra Linear
Autor: Neide Bertoldi Franco
Editora: Editora Pearson
Sinopse: A proposta de Álgebra linear é ser muito mais do que 
um livro de exercícios, por isso apresenta os conceitos da área 
por meio de ilustrações e linguagens simples, utilizando exemplos 
resolvidos para auxiliar o leitor a compreender os conceitos em vez 
de simplesmente decorar fórmulas, e tudo isso sem perder o rigor 
necessário que a abordagem do tema exige. Apresentando desde 
os conceitos mais básicos até os mais complexos e propondo 
exercícios sobre o conteúdo estudado, este livro é indispensável 
na biblioteca de todo estudante de graduação nas áreas de exatas 
e engenharias que desejem um aprendizado realmente eficaz.
SIMULADOR
Título: PhET
Autor: Carl Wieman (Universidade do Colorado – EUA)
Sinopse: Oferece simulações de matemática e ciências divertidas, 
interativas, grátis, baseadas em pesquisas. Foram testamos e ava-
liamos extensivamente cada simulação para assegurar a eficácia 
educacional. Estes testes incluem entrevistas de estudantes e 
observação do uso de simulação em salas de aula. As simulações 
são escritas em Java, Flash ou HTML5, e podem ser executadas 
online ou copiadas para seu computador. Todas as simulações 
são de código aberto (ver nosso código fonte). Vários patrocinado-
res apoiam o projeto PhET, permitindo que estes recursos sejam 
livres para todos os estudantes e professores.
https://phet.colorado.edu/pt_BR/about/source-code
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28
UNIDADE II
Cônicas
Professor Me. Alberto de Paula Freire
Plano de Estudo:
● Elipse;
● Hipérbole;
● Parábola.
Objetivos da Aprendizagem:
● Reconhecer as características de cada cônica;
● Identificar os elementos das cônicas;
● Comprovar a definição de cada cônica;
● Compreender e aplicar as propriedades das cônicas.
29UNIDADE II Cônicas
INTRODUÇÃO
Nesta unidade, estudaremos os conceitos e definições das cônicas. Inicialmente 
abordaremos o estudo da Elipse. Neste tópico aprenderemos a representação geométri-
ca desta cônica e a construção algébrica da sua equação. O nosso segundo tópico será 
segmentado na Hipérbole. Aprenderemos a representação geométrica no plano cartesiano 
e a usabilidade equacional. Finalizando esta unidade, vamos convergir para o estudo da 
Parábola e sua representação geométrica e equacional. Está cônica tem uma similaridade 
com a representação cartesiana da equação do segundo grau. Logo o seu entendimento 
se torna mais acessível.
30UNIDADE II Cônicas
1. ELIPSE
Definição: Quando se tem um número positivo 2a, dois pontos fixos F1 e F2 (focos), 
em que a distânciaentre eles é 2c e 2c < 2a. A elipse de focos F1 e F2, de excentricidade , 
é o conjunto dos pontos P, tais que a soma das distâncias de P a F1 e de P a F2 é igual a 2a, 
isto é, E = { P∈R2 / d(P,F1)+d(P,F2) = 2a }. 
A excentricidade de uma elipse identifica geometricamente a sua forma. O valor da 
excentricidade está contido na seguinte variação . Outro aspecto muito relevante, 
é quanto mais próximo do número 1 é o valor da excentricidade, mais a elipse se aproxima 
de um seguimento de reta. Se este número for próximo de zero, então a elipse se aproxima 
de uma circunferência. 
A representação da elipse no plano cartesiano é demonstrada através de uma 
equação algébrica e um conjunto de pontos ( x , y ).
Considere os focos F1 = (-c,0) e F2 = (c,0), c > 0, e a excentricidade . Seja ( x,y ) um 
ponto P qualquer da elipse, definida a partir desses dados. 
31UNIDADE II Cônicas
Podemos concluir que:
Adotando b como um número positivo, temos que b2 = a2 - c2, logo 
(equação da elipse).
FIGURA 1 – REPRESENTAÇÃO CARTESIANA DA ELIPSE COM EIXO MAIOR EM X
Fonte: O autor (2021).
A figura é simétrica em relação à origem (0,0), pois, se (x, y) satisfaz a equação, 
(-x, -y) também a satisfaz.
Se F1 = ( 0, -c ), F2 = ( 0, c ), e a excentricidade for a mesma, a elipse definida terá 
o eixo maior em y. A mudança das coordenadas dos focos, faz com que a elipse faça uma 
rotação de 90°. Com isso a equação para a ser 
32UNIDADE II Cônicas
FIGURA 2 – REPRESENTAÇÃO CARTESIANA DA ELIPSE COM EIXO MAIOR EM Y
Fonte: O autor (2021).
Exemplo 1: A equação 6x2 + 10y2 = 15 representa uma elipse, pois equivale a 
ou seja, .
O eixo maior dessa elipse é o segmento 2a, aonde e . O eixo menor é o segmento 
2b, com e . 
Aqui, e logo c2 = a2 - b2 = 1. Portanto os focos da elipse são os pontos 
F´ = (-1,0) e F = (1,0).
33UNIDADE II Cônicas
2. HIPÉRBOLE
Quando se tem um número positivo 2a, dois pontos fixos F1 e F2 (focos), em que a 
distância entre eles é 2c e 2c >2a. A elipse de focos F1 e F2, de excentricidade , é o conjunto 
dos pontos P, tais que a diferença das distâncias de P a F1 e de P a F2 é igual a 2a, isto é, 
E = { P∈R2 / d(P,F1 ) -d( P,F2 ) = 2a}. 
A excentricidade de uma hipérbole identifica geometricamente a sua forma. O valor 
da excentricidade é maior que . Quanto maior ele for, maior é a abertura da hipérbole. 
A representação da hipérbole no plano cartesiano é demonstrada através de uma equação 
algébrica e um conjunto de pontos ( x , y ).
Considere os focos F1 = ( -c, 0 ) e F2 = ( c, 0 ) e a excentricidade . Seja ( x , y ) um 
ponto P arbitrário da hipérbole, definida a partir desses dados. Temos que: 
 
 
34UNIDADE II Cônicas
Adotando b como um número positivo, temos que b2 = c2 - a2, logo 
(equação da hipérbole).
FIGURA 3 – REPRESENTAÇÃO CARTESIANA DA HIPÉRBOLE
Fonte: O autor (2021). 
Observação: Quando a hipérbole tem pontos não nulos no eixo das abcissas, é 
importante considerar . Dentro do mesmo raciocínio, podemos concluir 
ainda que, . Vale a pena lembrar que os pontos da hipérbole quando x tende a 
±∞, aproximam-se das retas (assíntotas da hipérbole).
Se F1 = ( -c,0 ), F2 = ( c,0 ) e a excentricidade for a mesma, a hipérbole definida terá 
o eixo de simetria em y. A mudança das coordenadas dos focos, faz com que a hipérbole 
faça uma rotação de 90°. 
Com isso a equação passa a ser e suas assíntotas, 
35UNIDADE II Cônicas
FIGURA 4 – REPRESENTAÇÃO CARTESIANA 
DA HIPÉRBOLE ROTACIONADA EM 90 GRAUS
Fonte: O autor (2021). 
A hipérbole de excentricidade e focos
Será calculada, a partir da definição de hipérbole, como foi feito com a elipse; 
36UNIDADE II Cônicas
Observe na equação acima que, se b = a = √2 , então c = 2 . Logo,
FIGURA 5 – REPRESENTAÇÃO CARTESIANA DA HIPÉRBOLE NO 1º E 2º QUADRANTE
Fonte: O autor (2021). 
Exemplo 1: A equação 6x2 - 10y2 = 15 equivale a , logo representa uma 
hipérbole cujos eixos AA’ e BB’ são determinados por 
 
 .
Como e , temos c2 = a2 + b2 = 4, logo c = 2. Assim, os focos desta hipérbole 
são os pontos F=(2,0) e F´=(-2,0).
37UNIDADE II Cônicas
3. PARÁBOLA
Definição: A representação geométrica de uma parábola é uma curva plana, tem-se 
ainda que o conjunto de todos os pontos são equidistantes de um ponto denominado foco 
(F) e de uma reta chamada de diretriz (d). Assim, podemos chamar de lugar geométrico da 
parábola. p = {P∈R2/d(P,F) = d(P,d)}
FIGURA 6 – REPRESENTAÇÃO CARTESIANA DA PARÁBOLA
Fonte: O autor (2021).
Devemos considerar sempre que a representação algébrica de uma parábola é 
dada por uma equação, e que a representação geométrica é descrita como um conjunto de 
pontos (x,y) do plano cartesiano que satisfazem uma certa equação. 
38UNIDADE II Cônicas
Exemplo 1: Considere a reta e o ponto . 
Seja (x,y) um ponto P arbitrário da parábola, definida a partir dessa diretriz e desse 
foco. Temos que:
logo, é equivalente à equação
y = x2 - 4x + 3.
Dada agora a função quadrática g: R ⟶ R definida por g(x) = x2-4x+3, a parábola 
acima é o gráfico de g. 
Definição: Uma função f:R⟶R é dita ser quadrática (ou do segundo grau) se, e 
somente se, existirem constantes reais, e abc, com a≠0, tais que,∀ x∈R, f(x)=ax2+bx+c. 
As funções f:R⟶R dadas por f(x)=x2, f(x)=(x+3)2, ou f(x)=-0,5x2+0,9x são, todas, 
exemplos de funções quadráticas. 
Exemplo 2: 
Vamos obter uma equação para a parábola de foco F = (-1,1) e diretriz r:y=x. Se 
P(x,y) é um ponto arbitrário dessa parábola, temos:
Calculando a equação acima, obtemos uma equação equivalente à equação:
x2 + 2xy + y2 + 4x - 4y + 4 = 0
De acordo com Bezerra e Silva (2010), a equação encontrada no exemplo 1 cor-
responde a uma equação na forma de função quadrática. Porém, a equação do exemplo 2 
não corresponde a uma equação de função quadrática, pois dado um valor arbitrário para 
x, existem dois valores possíveis para y. A figura abaixo nos dá uma ideia do esboço desta 
parábola, cujos eixos de simetria não são paralelos aos eixos cartesianos.
FIGURA 7 – REPRESENTAÇÃO CARTESIANA DA PARÁBOLA
Fonte: O autor (2021).
39UNIDADE II Cônicas
Exemplo 3: Vamos obter uma equação para a parábola de foco F=(0,p) e diretriz 
r:y=-p,p>0. Se F=(x,y) é um ponto arbitrário dessa parábola, temos:
Note que se ,então obtemos a parábola y = ax2. Deste modo, o foco e a diretriz 
da parábola y = ax2 são, respectivamente, .
De acordo com Murdoch (1969), devemos considerar sempre que o eixo de uma pará-
bola é uma reta perpendicular à sua diretriz que passa por seu foco. Esse é um eixo de simetria 
perpendicular à diretriz. Outra questão muito relevante é, se o eixo de uma parábola é uma reta 
vertical, a diretriz dessa parábola será uma reta horizontal. Ainda fazendo parte deste conceito, 
o eixo de simetria da parábola sempre intercepta um ponto chamado de vértice. 
Exemplo 4: Considere a função quadrática y = ax2+bx+c , em que a ≠ 0.
Note que essa equação é equivalente à equação
Denotando b2 - 4ac por ∆, essa equação também é equivalente à equação:
Fazendo , podemos reescrever esta equação da seguinte 
da forma y´=a(x´)2 , que corresponde (ver exemplo 3) a uma parábola cujos foco e diretriz, 
no eixo 0x´0y´, são .
FIGURA 8 – REPRESENTAÇÃO CARTESIANA DO EIXO 
DE SIMETRIA E RETA DIRETRIZ DE UMA PARÁBOLA
Fonte: O autor (2021).
40UNIDADE II Cônicas
Deste modo, no sistema 0x0y, y = ax2+bx+c, é a equação da parábola cujo foco é o 
ponto e cuja diretriz é a reta .Exemplo 5: Seja p uma parábola com eixo vertical. Logo, sua diretriz é uma reta 
horizontal: y=c, em que c denota uma constante. Seja F=(r,s) seu foco. Como F não perten-
ce à diretriz, s≠c. Assim, para todo ponto (x,y) da parábola, temos que: 
Como s ≠ c, podemos definir
Assim, a equação acima fica na forma y = ax2+bx+c , que define uma função quadrática.
41UNIDADE II Cônicas
SAIBA MAIS
“As curvas cônicas, por serem encontradas na natureza, foram objetos de estudo para 
diversos matemáticos. A circunferência, por exemplo, foi símbolo da perfeição na Gré-
cia Antiga, podendo ser encontrada nas ondas produzidas por uma pedra na superfície 
de um lago ou até mesmo na roda. Já a elipse corresponde à geometria das órbitas de 
alguns planetas e cometas e a hipérbole corresponde à geometria das trajetórias de 
alguns cometas e de outros corpos celestes. A parábola corresponde à trajetória de um 
projétil lançado num campo gravitacional, o que se pode verificar com a trajetória de um 
jacto d’água. A elipse pode ainda ser encontrada na forma da luz de uma lanterna proje-
tada numa superfície plana. As cônicas na Engenharia e Arquitetura são usadas devido 
às suas propriedades físicas e até mesmo estéticas como no caso das pontes, pórticos, 
cúpulas, torres e arcos. Um exemplo é o cabo de suspensão de uma ponte, quando o 
peso total é uniforme distribuído segundo o eixo horizontal da ponte, toma a forma de 
uma parábola.” 
Fonte: (SOMMERFELD, 2013, p. 01).
REFLITA
Entre os anos de 1609 e 1618, Johannes Kepler (1571-1630), um grande astrônomo e 
matemático alemão, desenvolveu três leis capazes de explicar o movimento dos pla-
netas em torno do Sol. A primeira de suas leis, a lei das órbitas, afirma que a órbita dos 
planetas não é circular, mas elíptica. Kepler foi capaz de determinar com grande precisão 
as trajetórias dos planetas, para tanto, contou com uma grande quantidade de dados cui-
dadosamente coletados pelo astrônomo dinamarquês Tycho Brahe (1546-1601).
Fonte: HELERBROCK, R. Curiosidades Astronômicas. MUNDO EDUCAÇÃO – UOL. s/d. Disponível em: 
https://mundoeducacao.uol.com.br/fisica/primeira-lei-kepler.htm. Acesso em: 08 mar. 2022.
https://mundoeducacao.uol.com.br/fisica/johannes-kepler.htm
42UNIDADE II Cônicas
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Prezado (a) aluno (a), o estudo desta unidade foi concentrado nas cônicas e suas 
definições. Aprendemos que, uma parábola é uma seção cônica cujos pontos são repre-
sentados em um sistema de coordenadas cartesianas através de uma equação do 2° grau. 
Dentro do cronograma deste material, concluímos também que, a elipse é encon-
trada através de um corte não paralelo à base de um cone. Por essa razão, ela pertence 
às cônicas. Para finalizar nosso estudo, vimos também que, a hipérbole pode ser obtida 
a partir de um corte efetuado em um cone, assim como ocorre com a elipse e a parábola, 
todas denominadas cônicas.
43UNIDADE II Cônicas
MATERIAL COMPLEMENTAR
LIVRO
Título: Geometria Analítica (um tratamento vetorial)
Autor: Ivan de Camargo e Paulo Boulos.
Editora: Editora Pearson.
Sinopse: Esta nova edição de Geometria Analítica: um tratamen-
to vetorial confirma sua posição como um clássico das ciências 
exatas. Ampliado e completamente revisto pelos autores, o livro 
traz centenas de novos exemplos e exercícios, além de ilustrações 
totalmente refeitas. O novo layout proporciona uma leitura mais 
agradável e facilita a compreensão e a localização de tópicos e 
exercícios, porém a estrutura didática bem-sucedida das edições 
anteriores foi cuidadosamente mantida. Escrito em linguagem cla-
ra e objetiva, este livro também traz respostas para os exercícios 
e estratégias de solução, o que o torna um guia essencial para o 
estudo da Geometria.
SOFTWARE
Título: Geogebra
Autor: Markus Hohenwarter
Sinopse: GeoGebra é um aplicativo de matemática dinâmica que 
combina conceitos de geometria e álgebra em uma única GUI. Sua 
distribuição é livre, nos termos da GNU General Public License, e 
é escrito em linguagem Java, o que lhe permite estar disponível 
em várias plataformas.
https://www.google.com/search?sa=X&bih=625&biw=1366&hl=pt-BR&sxsrf=ALeKk02861Dlbr5_EHjLk0saA_0ITqUcsg:1629524045111&q=Markus+Hohenwarter&stick=H4sIAAAAAAAAAONgVuLWT9c3NDLKyyjOMV7EKuSbWJRdWqzgkZ-RmleeWFSSWgQAU2G6JiQAAAA&ved=2ahUKEwi__fGOssHyAhWLrJUCHQrfCB8QmxMoATAhegQIMxAD
44
UNIDADE III
Quádricas
Professor Me. Alberto de Paula Freire
Plano de Estudo:
● Quádricas;
● Quádricas Centrais;
● Quádricas Não Centrais.
Objetivos da Aprendizagem:
● Desenvolver o pensamento geométrico, teóricos e práticos 
das quádricas centrais e não centrais;
● Representar algebricamente o desenvolvimento equacional das quádricas;
● Identificar o modelo da quádrica através das interseções 
de planos com superfícies cilíndricas.
45UNIDADE III Quádricas
INTRODUÇÃO
Nesta unidade estudaremos as quádricas e suas definições. Para iniciar o nosso 
estudo, o primeiro tópico traz o conceito de espaço tridimensional associado as equações 
gerais. No segundo tópico será apresentado as quádricas centrais, demonstrando assim, 
o equacionamento e representação geométrica no espaço R3. Ainda neste tópico estuda-
remos a representação do cilindro reto de base elíptica, cilindro de base hiperbólica, cone 
duplo de revolução, elipsoide, hiperboloide de uma folha e hiperboloide de duas folhas. No 
terceiro e último tópico desta unidade será apresentado as quádricas não-centrais. Esse 
estudo concentra-se nas equações e representação geométrica do paraboloide elíptico e 
paraboloide hiperbólico. 
46UNIDADE III Quádricas
1. QUÁDRICAS
De acordo com Venturi (2003), uma quádrica ou superfície quádrica é o conjunto 
dos pontos do espaço tridimensional, em que as coordenadas cartesianas verificam uma 
equação do segundo grau, com no máximo três variáveis:
Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Hy + Iz + J = 0
Intitulada de equação cartesiana da superfície quádrica. Quando o termo indepen-
dente representado pela constante J for nulo, a quádrica passa pela origem. Esse fato 
se deve por que o ponto O = (0,0,0) satisfaz tal equação. As superfícies quádricas mais 
conhecidas são: Esferas, paraboloides, elipsoides, hiperboloides, cilindros do 2º grau e 
cones do 2º grau.
Exemplos de superfícies esféricas:
a) Esfera
x2 + y2 + z2 - 4x - 6y -10z + 13 = 0
b) Elipsóide
47UNIDADE III Quádricas
c) Hiperbolóide
xy + yz + xz - 2x + 2 = 0
d) Parabolóide
x2 + y2 - z = 4
e) Superfície Cilíndrica
x2 + (2y)2- y + z -3xy + xz - yz =0
f) Superfície Cônica
x2 + y2 + z2 - 3xy - 2xy - 2yz = 0
48UNIDADE III Quádricas
2. QUÁDRICAS CENTRAIS
De acordo com Bezerra e Silva (2010), as quádricas correspondentes são centrais, 
isto porque o ponto (x,y,z) pertence à quádrica, logo (-x,-y,-z) também pertence, sendo 
assim, quádricas desse tipo permanecem intactas se fizermos uma reflexão em torno da 
origem. Se tomarmos uma esfera de raio igual a 1, com centro em (1,1,1), concluiremos que 
a mesma não faz parte das quádricas centrais. Isso quer dizer que a sua equação pode ser 
escrita da seguinte forma:
x2 + y2 + z2 - 2x - 2y - 2z + 2 = 0.
Por uma reflexão mais detalhada em torno da origem, essa esfera seria levada em 
uma esfera de raio unitário, de centro (-1,-1,-1). Aparentemente, é fácil se convencer que, 
somente uma esfera com centro na origem pode ser uma quádrica central.
Lembrando que mesmo entre as quádricas centrais, existe uma variedade muito 
grande, isso porque depende dos sinais relativos dos λi´s e de j . Depois do conhecimento 
adquirido acima, vamos relacionar as seguintes possibilidades:
I) Os três λi´s são nulos
Nesse caso, a equação reduzida se torna j=0.
Se, de fato, j=0, todo ponto de R3 é solução; caso j≠0, o conjunto de soluções é 
vazio. Portanto, R3 e o conjunto vazio são tipos particulares de quádricas.
49UNIDADE III Quádricas
II) Só dois dos λi´s são nulos 
Se tomarmos λ1 = λ2 = 0 e λ3 ≠ 0 (os demais casos serão inteiramente análogos,diferindo por uma troca adequada de direções). Nesse caso, a equação reduzida se torna
Se j = 0, essa é uma equação do plano XY, que representa uma quádrica central.
Se , não podemos ter solução, pois nesse caso o segundo membro seria negativo, 
enquanto que z2 ≥ 0, e a quádrica correspondente é novamente o conjunto vazio. Se , 
escrevemos , e a equação reduzida se torna
z2 = a2 ⇔ z = ±a,
que descreve um par de planos paralelos ao plano XY ( z = a e z = -a ).
III) Somente um dos λi´s é nulo
Agora vamos considerar que λ3= 0, λ1 λ2 ≠ 0. 
Nesse caso, λ1 e λ2 podem ter o mes¬mo sinal ou sinais opostos.
Caso j = 0, teremos, em resumo, que:
|λ1| x2 ± |λ2|y2 = 0.
Para o sinal ‘+’, todo ponto da forma (0,0,t) com t ∈ R é solução, e teremos então 
uma parametrização do eixo Z. 
Do contrário, teremos , 
que descreve dois planos paralelos ao eixo Z.
Se j ≠ 0, podemos dividir a equação reduzida por j e ficamos com
Se , a solução é o conjunto vazio. Do contrário, escrevemos
 , para obter as possibilidades.
50UNIDADE III Quádricas
FIGURA 1 – REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO CASO 
(I) ILUSTRA UM CILINDRO RETO DE BASE ELÍPTICA
Fonte: O autor (2021).
FIGURA 2 – REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DOS CASOS (II) E 
(III) PODEM ILUSTRAR O CILINDRO DE BASE HIPERBÓLICA.
Fonte: O autor (2021).
IV) Nenhum dos λi´s é nulo
Tal afirmação é muito relevante. Mais uma vez temos dois subcasos:
IV) a) j = 0. 
Na situação a seguir, a equação reduzida se torna:
 λ1 x2 + λ2 y2 + λ3 z2 = 0.
Se todos os λi´s tiverem o mesmo sinal, podemos escrever essa equação na forma: 
|λ1 | x2 + |λ2 | y2 + |λ3 | z2 = 0 que só admite uma solução, a saber x=y=z=0, e, logo, a quádrica 
será um único ponto localizado na origem. Se fizermos uma análise de forma contrária, temos 
dois dos λi´s negativos (positivos) e o terceiro positivo (negativo). Com este estudo podemos 
expor as seguintes equações abaixo:
51UNIDADE III Quádricas
As três possibilidades a acima, correspondem a um cone duplo de base elíptica. Para 
fazer um prévio estudo, vamos considerar a primeira das equações. Observando esta equa-
ção, temos que a interseção com um plano paralelo ao plano XY é dada, tomando-se z uma 
constante na equação. Se considerarmos z=0, temos que x=y=0, logo, o plano XY intersecta 
essa quádrica em um único ponto. Quando z≠0, a equação descreve elipses, cuja dimensão, 
depende do valor de z2. A interseção dessa quádrica com o plano YZ para (x=0) são as retas 
 , e com o plano XZ para (y=0) são as retas . A representação geométrica para 
esse modelo de cone está na Figura 3.
FIGURA 3 – REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO CONE DUPLO DE REVOLUÇÃO
Fonte: O autor (2021).
É importante observar que na representação geométrica acima, o eixo z coincide 
com o eixo do cone. Neste caso em que a=b, temos um cone duplo de revolução. Ao ana-
lisar a representação como uma rotação, a mesma é gerada pela reta (em torno do 
eixo z). As duas últimas equações representam cones cujo eixo coincide com os eixos x e y.
52UNIDADE III Quádricas
IV) b) j ≠ 0. 
Além de ter o conjunto vazio nesta situação, temos também os grupos abaixo:
Grupo (g1)
Grupo (g2)
Grupo (g3)
FIGURA 4 – REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO ELIPSOIDE
Fonte: O autor (2021).
Suas interseções com os planos XY, XZ e YZ e são respectivamente as elipses 
53UNIDADE III Quádricas
2a, 2b e 2c são os comprimentos dos eixos do elipsóide, cada um deles contido 
em um eixo ordenado (figura 4). Se dois desses três são iguais, temos um elipsóide de 
revolução. 
Exemplo:
Tem-se uma superfície quádrica de equação que representa um 
elipsoide.
FIGURA 5 – ELIPSOIDE DA EQUAÇÃO QUÁDRICA APRESENTADA NESTE EXEMPLO
Fonte: O autor (2021).
Determine:
a) as coordenadas dos pontos P1, P2 e P3;
P1 = (2,0,0); P2 = (0,5,0) e P3 = (0,0,3)
b) a equação da curva C1 ;
 (Elipse no plano xz)
c) a equação da curva C2 ;
 (Elipse no plano xy)
d) analise da simetria.
A superfície é simétrica em relação a origem.
As equações das quádricas representadas no Grupo (g2) são hiperbolóides de uma 
folha (figura 6). Se tomarmos como exemplo a terceira das equações mencionadas acima, 
teremos que a interseção da quádrica correspondente com o plano xz é a hipérbole , 
como também no plano yz é a hipérbole . Devemos considerar que, a intersecção 
com um plano z=d paralelo ao plano xy é dada por ,que é a equação da elipse.
54UNIDADE III Quádricas
Se a=b, essas elipses são circunferências, logo teremos um hiperboloide de revolu-
ção de uma folha, que por sua vez é gerado pela rotação da hipérbole situada 
no plano xz em torno do eixo z.
FIGURA 6 – REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO HIPERBOLÓIDE DE UMA FOLHA
Fonte: O autor (2021).
As equações das quádricas representadas no Grupo (g3) são hiperbolóides de 
duas folhas (figura 7).
Se tomamos a terceira das equações acima, e reescrevemo-la na forma , 
podemos concluir que todo ponto dessa quádrica satisfaz a condição |z| ≥ c. Outro aspecto a ser 
considerado, é que essa quádrica não possui pontos entre os planos z=c e z=-c. A interse-
ção desta quádrica com qualquer plano z=d com |d|>c é dada pela equação , 
que descreve uma elipse. A quádrica intersecta o plano xz, segundo a hipérbole , 
e com o plano yz, segundo a hipérbole . Novamente, se a=b, temos o hiperbolóide 
de revolução de duas folhas.
FIGURA 7 – REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO HIPERBOLÓIDE DE DUAS FOLHAS
Fonte: O autor (2021).
55UNIDADE III Quádricas
3. QUÁDRICAS NÃO-CENTRAIS
As quádricas não-centrais correspondem para algum ai´s da equação reduzida não 
nulo. Vamos ficar restritos nos casos que possam ser reduzidos:
Grupo (g1)
Grupo (g2)
56UNIDADE III Quádricas
As equações do Grupo (g1) descrevem o parabolóide elíptico.
FIGURA 8 – REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO PARABOLÓIDE ELÍPTICO
Fonte: O autor (2021). 
Exemplo:
Achar as coordenadas dos pontos de intersecção da superfície quádrica 
4x2+ y2 - z=16 com os eixos coordenados.
FIGURA 9 – PARABOLÓIDE DA EQUAÇÃO QUÁDRICA APRESENTADA NESTE EXEMPLO
Fonte: O autor (2021). 
a) com o eixo x ⇒ 4x2 = 16 ⇒ x = ±2
b) com o eixo y ⇒ y2 = 16 ⇒ y = ±4
c) com o eixo z ⇒ -z = 16 ⇒ z = -16
57UNIDADE III Quádricas
Consideremos a terceira das equações do grupo g1. É importante observar que, a 
quádrica correspondente não possui ponto para os quais z < 0. Sua interseção com o plano 
xz é a parábola , e com o plano yz é a parábola . Sua interseção com o plano xy 
é dada pela equação , que só possui solução x=y=z=0, e com os planos z=d com 
d > 0 pelas equações 
que são elipses. Quando a=b, temos um parabolóide de revolução. Finalmente, as 
equações do Grupo (g2) descrevem parabolóides hiperbólicos (figura 10).
FIGURA 10 – REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO PARABOLÓIDE HIPERBÓLICO
Fonte: O autor (2021). 
Vamos considerar a primeira dessas equações. A interseção da quádrica com os 
planos z=d são as parábolas , e com o eixo xz é a parábola . Tal figura é 
construída ao deslizar a parábola (contida no plano xy) sobre seu vértice ao longo da 
parábola invertida .
58UNIDADE III Quádricas
SAIBA MAIS
“O matemático suíço Leonard Euler (1707-1783) foi responsável por importantes contri-
buições em todas as áreas da Matemática. Teve uma produção gigantesca de teoremas 
e conjecturas atém de ter resolvido importantes problemas que perduraram até sua 
interferência. Destaque também para suas contribuições à Geometria no espaço R3. No 
livro “Introduction in Analysin Infinitorium” livro, Euler apresenta as equações dos cones, 
paraboloides, elipsoides e hiperboloides usando o sistema cartesiano no R3. Sem dúvi-
da, foi um dos matemáticoscom mais trabalhos reconhecidos. Tinha uma capacidade de 
calcular fora do comum e uma memória espetacular. Prova disso é que nos últimos anos 
de vida, ficou cego e mesmo assim, não parou de produzir e dar contribuições para a 
Matemática. Fazia cálculos mentalmente e ditava para que seu filho pudesse registrar.”
Fonte: (AMARAL, 2019, p. 30).
REFLITA
“A Geometria existe por toda a parte. É preciso, porém, olhos para vê-la, inteligência 
para compreendê-la e alma para admirá-la.” (Johannes Kepler)
Fonte: GUIA DOS QUADRINHOS. http://www.guiadosquadrinhos.com/personagem/johannes-ke-
pler/39358. Acesso em: 04 abr. 2022
http://www.guiadosquadrinhos.com/personagem/johannes-kepler/39358.
http://www.guiadosquadrinhos.com/personagem/johannes-kepler/39358.
59UNIDADE III Quádricas
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Prezado (a) aluno (a), nesta unidade, estudamos a definição das quádricas e suas 
representações. Aprendemos a diferença entre quádricas centrais e não-centrais. Vimos 
também a representação equacional e geométrica do cilindro reto de base elíptica, cilindro 
de base hiperbólica, cone duplo de revolução, elipsoide, hiperboloide de uma folha, hiper-
boloide de duas folhas, paraboloide elíptico e paraboloide hiperbólico. O conhecimento 
adquirido nesta unidade, faz com que o aluno tenha uma noção mais detalhada sobre a 
revolução das cônica e a representação no espaço R3.
60UNIDADE III Quádricas
MATERIAL COMPLEMENTAR
LIVRO
Título: Geometria Analítica
Autor: Fabiano José dos Santos e Silvimar Fábio Ferreira
Editora: Editora Artmed
Sinopse: Livro ideal para os alunos em início dos cursos de 
graduação, pois é claro, objetivo e conciso, além de exigir pou-
cos conhecimentos prévios (conteúdo de matemática do ensino 
médio). Quantidade de texto na medida certa para este público, 
sem detalhes em excesso e com grande número de exemplos e 
exercícios.
SOFTWARE
Título: Maple
Autor: Universidade de Waterlo (Canadá).
Sinopse: é um sistema algébrico computacional comercial de uso 
genérico. Constitui um ambiente informático para a computação de 
expressões algébricas, simbólicas, permitindo o desenho de gráfi-
cos a duas ou a três dimensões. O seu desenvolvimento começou 
em 1981 pelo Grupo de Computação Simbólica na Universidade 
de Waterloo em Waterloo, no Canadá, província de Ontário.
Desde 1988, o Maple tem sido desenvolvido e comercializado 
pela Maplesoft, uma companhia canadense também baseada em 
Waterloo, Ontario. É comercializado como «a ferramenta de pro-
dutividade essencial para cada profissional técnico.A versão atual 
é Maple 2017.
https://pt.wikipedia.org/wiki/Universidade_de_Waterloo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Canad%C3%A1
https://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_alg%C3%A9brico_computacional
https://pt.wikipedia.org/wiki/Universidade_de_Waterloo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Universidade_de_Waterloo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Waterloo_(Ont%C3%A1rio)
https://pt.wikipedia.org/wiki/Canad%C3%A1
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ont%C3%A1rio
https://pt.wikipedia.org/wiki/Maplesoft
https://pt.wikipedia.org/wiki/Canad%C3%A1
61
UNIDADE IV
Matrizes, Determinentes
e Sistemas
Professor Me. Alberto de Paula Freire
Plano de Estudo:
● Matrizes;
● Determinantes;
● Sistemas.
Objetivos da Aprendizagem:
● Ter a capacidade de representar os diferentes tipos de matrizes
 e efetuar cálculos envolvendo as operações com matrizes; 
● Resolver problemas utilizando a linguagem matricial;
● Relacionar determinantes com matrizes;
● Resolver determinantes de 2º e 3º ordem;
● Utilizar as propriedades de determinantes;
● Identificar os tipos de sistemas lineares;
● Resolver sistemas lineares e interpretar suas soluções.
62UNIDADE IV Matrizes, Determinentes e Sistemas
INTRODUÇÃO
O objetivo desta unidade é realizar um estudo sobre os tópicos: Matrizes, Determi-
nantes e Sistemas Lineares. O primeiro tópico desta unidade, traz a definição e operacio-
nalidade matemática das matrizes. Neste tópico aprenderemos sobre a representação de 
uma matriz, igualdade de matrizes, adição de matrizes, multiplicação de uma matriz por um 
número real, multiplicação de matrizes e matriz inversa. 
O segundo tópico desta unidade tem como finalidade determinar um valor para 
uma matriz. Para que este processo aconteça, é necessário transformar a matriz em deter-
minante. A partir de agora vamos determinar a ordem de uma determinante, o cálculo dos 
cofatores, a regra de Sarrus e o método de Laplace. 
Para finalizar esta unidade, vamos aprender um dos temas mais importantes da 
Álgebra Linear, os sistemas lineares. Neste último tópico, identificaremos a solução de um 
sistema linear, utilizaremos a regra de cramer para solucionar um sistema linear possível 
determinado e o escalonamento para solucionar um sistema possível indeterminado ou 
sistema linear impossível. Compreenderemos também, que todo sistema linear homogêneo 
tem solução.
63UNIDADE IV Matrizes, Determinentes e Sistemas
1. MATRIZES
De acordo com Sousa, Sabino e Sabino (2017), a história dos sistemas de equa-
ções lineares passaram por diversas contribuições de vários matemáticos até chegar ao 
que se conhece hoje. Afirma-se também que as notações, os conceitos e os teoremas 
foram modificados e aperfeiçoados ao longo do tempo. O estudo de sistemas de equações 
lineares deu origem inicialmente ao estudo dos determinantes e posteriormente ao das 
matrizes. As provas mais antigas desta utilização são as inscrições em tabletas babilônicas 
feitas de argila datadas de cerca de 300 a.C. e as representações dos coeficientes de 
sistemas lineares em barras de bambu que constam no livro Nove Capítulos sobre a Arte 
Matemática, publicado entre 200 a.C. e 100 a.C. na China.
1.1 Representação de uma Matriz
De acordo com Lima (2008), as matrizes normalmente são representadas por letras 
maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas. A representação genérica de uma 
matriz é acompanhada de dois índices, o índice m que representa a linha e o índice n que 
representa a coluna. A combinação destes índices representa a ordem da matriz.
64UNIDADE IV Matrizes, Determinentes e Sistemas
Exemplo: Uma matriz A do tipo m x n é representada por:
A=[aij ]m x n, onde i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o ele-
mento ocupa, .
Na matriz anterior, a23 é o elemento da segunda linha com o da terceira coluna.
1.2 Matriz Linha
É toda matriz do tipo 1 x n, isto é, com uma única linha.
Exemplo: A = (1 4 0)1X3 .
1.3 Matriz Coluna
É toda matriz do tipo n x 1, isto é, com uma única coluna.
Exemplo:
1.4 Matriz Quadrada
É toda matriz do tipo n x n, isto é, com o mesmo número de linhas e colunas. 
Dizemos que a matriz é de ordem n.
Exemplo:
Matriz de ordem 2 Matriz de ordem 3
65UNIDADE IV Matrizes, Determinentes e Sistemas
Seja A uma matriz quadrada de ordem n.
Uma das configurações mais importantes da matriz quadrada, é as diagonais.
Diagonal principal de uma matriz quadrada é o conjunto de elementos dessa 
matriz, tais que i = j.
Diagonal secundária de uma matriz quadrada é o conjunto de elementos dessa 
 matriz, tais que i + j = n + 1.
Exemplo:
Descrição da matriz:
O subscrito 3 indica a ordem da matriz;
A diagonal principal é a diagonal formada pelos elementos –1, 6 e 1;
A diagonal secundária é a diagonal formada pelos elementos 2, 6 e 0;
a11 = -1 é elemento da diagonal principal, pois i = j = 1;
a31 = 2 é elemento da diagonal secundária, pois i + j = n + 1 = 3 + 1.
1.5 Matriz Nula
É toda matriz em que todos os elementos são nulos.
Notação: Om x n
Exemplo: 
1.6 Matriz Diagonal
É toda matriz quadrada onde só os elementos da diagonal principal são diferentes de zero.
Exemplo: 
1.7 Matriz Identidade
É toda matriz quadrada onde todos os elementos que não estão na diagonal princi-
pal são nulos e os da diagonal principal são iguais a 1.
Observação: In onde n indica a ordem da matriz identidade.
66UNIDADE IV Matrizes, Determinentes e Sistemas
Exemplo: 
1.8 Matriz TranspostaDefine-se com matriz transposta de uma matriz A uma matriz que é obtida através 
da matriz A, trocando-se ordenadamente suas linhas por colunas ou suas colunas por linhas.
Observação: At.
Exemplo: Se então =
Assim, se a matriz A é do tipo m x n, At será do tipo n x m. 
1.9 Matriz Simétrica
Uma matriz quadrada é considerada simétrica, somente quando A = At. 
Exemplo: Se 
Observação: Se A = - At, dizemos que a matriz A é anti-simétrica.
1.10 Matriz Oposta
Identificamos uma matriz como oposta de outra, quando se mantem os mesmos 
elementos, mais com sinais opostos. 
Observação: Simbolicamente representa-se uma matriz oposta como (- A ).
Exemplo: Se
1.11 Igualdade de Matriz
Duas matrizes, A e B, de mesma ordem, são consideradas iguais quando todos os 
elementos são idênticos.
Observação: A = B.
Exemplo:
67UNIDADE IV Matrizes, Determinentes e Sistemas
1.12 Adição de Matriz 
Dadas as matrizes A=[aij ]m x n e B =[bij ]m x n, chamamos de soma das matrizes A e B 
a matriz C =[cij ]m x n, tal que cij = aij + bij , para todo 1 ≤ i ≤ m e todo 1 ≤ i ≤ n.
Observação: Só é possível a adição de matrizes de mesma ordem, isso ocorre 
quando m=n.
Propriedades: Quando as matrizes A, B e C são do mesmo tipo (m x n), as seguin-
tes propriedades a baixo são válidas.
1) Associativa: ( A + B ) + C = A + ( B + C )
2) Comutativa: A + B = B + A
3) Elemento Neutro: A + O = O + A = A
Observação: Considerar O como matriz nula m x n.
Elemento Oposto: A + ( -A ) = ( -A ) + A = O
Exemplos:
1.13 Multiplicação de um Número Real por uma Matriz 
Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n, o produto de x por A se dá 
na multiplicação de todos os elementos da matriz pelo real denominado como x. 
Observação: B = x.A 
Propriedades: Sendo A e B matrizes de mesma ordem e x e y números reais 
quaisquer, fica valendo as seguintes propriedades:
1) Associativa: x.( y.A) = ( x.y ). A
2) Distributiva primeiro modelo: x.( A + B ) = x.A + x.B
3) Distributiva segundo modelo: ( x + y ).A = x.A + y.A
4) Elemento Neutro: x.A = A, quando x = 1, temos: 1.A = A
Exemplo:
68UNIDADE IV Matrizes, Determinentes e Sistemas
1.14 Multiplicação de Matrizes 
O produto entre duas matrizes, não é uma multiplicação dos seus respectivos ele-
mentos. A multiplicação de matrizes não é análoga à multiplicação de números reais.
Logo, vamos considerar que o produto das matrizes A=[aij ]m x p e B=[bij ]p x n resulta 
em uma matriz C=[cij ]m x n, onde cada elemento cij é obtido através da soma dos produtos dos 
elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna de B.
Observação: Só é possível a multiplicação entre duas matrizes, se o número de 
colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da primeira matriz.
Simbolicamente temos: Am x p e Bp x n ⇒ (A.B)m x n
Exemplos:
Propriedades: Quando verifica-se a condição de existência, fica válida as seguin-
tes propriedades.
Associativa: ( A.B ).C = A.( B.C )
Distributiva em relação à adição:
A.( B+C ) = A.B + A.C
( A+B ).C = A.C + B.C
Elemento Neutro: A. In = In .A = A
Observação: In é a matriz identidade de ordem n.
Exemplos:
1) Sendo , vamos determinar o produto de A.B e B.A, na 
sequência faremos uma comparação entre os resultados. 
69UNIDADE IV Matrizes, Determinentes e Sistemas
Solução: 
Assim:
1.15 Matriz Inversa
Dada uma matriz A, quadrada de ordem n, existe a matriz A-1, de mesma ordem, 
se, A . A-1 = A-1. A = In.
Exemplo: Sendo , vamos determinar a matriz inversa de A, se existir.
Solução:
Existindo, a matriz inversa é de mesma ordem de A.
A partir da igualdade de matrizes, resolvemos o sistema acima pelo método da 
adição e chegamos à:
70UNIDADE IV Matrizes, Determinentes e Sistemas
71UNIDADE IV Matrizes, Determinentes e Sistemas
2. DETERMINANTES
De acordo com Néta (2014), a noção de determinante esteve presente entre os 
chineses como ferramenta para resolver problemas que podiam se expressos por sistemas 
lineares. Mas foi em 1683, que o maior matemático japonês do século XVII, Seki Kowa, 
deixou clara essa noção, quando sistematizou o procedimento utilizado pelos antigos chi-
neses. Foi também em 1863, a primeira aparição de uma determinante na Europa com uma 
carta de Leibniz enviada ao marquês L´Hôpital.
2.1 Determinante de Primeira Ordem
Notação: det M ou |a11 | = a11
Exemplos: 
1) M1=[2] ⇒ detM1= 2” ou “ |2|= 2 
2) M2=[-5] ⇒ detM1=-5” ou “ |”-5” |= -5
2.2 Determinante de Segunda Ordem
Logo:
detM = a11 a22-(a12 a21 )
Exemplo: Sendo , então:
72UNIDADE IV Matrizes, Determinentes e Sistemas
2.3 Matriz dos Cofatores
Dada uma matriz quadrada Amxm, para um determinado valor ai,j dessa matriz, o seu 
cofator será dado por:
Aij = (-1)i+j . Dij
Sendo Dij o determinante da matriz resultante da retirada da linha i e da coluna j.
Exemplo: Dada , os cofatores relativos a todos os elementos da matriz A são:
Assim, podemos também determinar a matriz dos cofatores (que será denotada por 
A ) como sendo:
2.4 Matriz Adjunta
A matriz transposta da matriz dos cofatores de uma matriz A é chamada adjunta de A. 
Logo: 
2.5 Teorema de Laplace
O determinante de uma matriz quadrada pode ser obtido pela soma dos produtos dos 
elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos cofatores.
Observação: A ideia é sempre escolher uma linha ou coluna com elementos nulos, 
isso diminui a quantidade de cálculos.
Exemplo: Calcular com o auxílio do Teorema de Laplace, o seguinte determinante:
Solução:
Aplicando o teorema de Laplace na coluna 1, temos:
73UNIDADE IV Matrizes, Determinentes e Sistemas
2.6 Regra de Sarrus
Dispositivo prático para calcular o determinante de 3a ordem.
Exemplo 1: Calcular o seguinte determinante através da Regra de Sarrus.
Solução:
1º Passo: Repetir a duas primeiras colunas ao lado da 3a:
2º Passo: Encontrar a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os 
dois produtos obtidos com os elementos das paralelas a essa diagonal.
OBS.: A soma deve ser precedida do sinal positivo, ou seja:
= + ( a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 )
3º Passo: Encontrar a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com 
os dois produtos obtidos com os elementos das paralelas a essa diagonal.
OBS.: A soma deve ser precedida do sinal negativo, ou seja:
 - (a13 a22 a31+ a11 a23a32+ a12 a21 a33 )
Assim: 
Observação: Se desenvolvêssemos esse mesmo determinante de 3a ordem com o 
auxílio do teorema de Laplace, veríamos que as expressões são idênticas, pois represen-
tam o mesmo número real.
74UNIDADE IV Matrizes, Determinentes e Sistemas
Exemplo: Calcular o valor do seguinte determinante:
Solução:
2.7 Matriz de Vandermonde
Chamamos de matriz de Vandermonde toda matriz quadrada de ordem n ≥ 2, com 
a seguinte forma:
Observe que cada coluna dessa matriz é formada por potências de mesma base 
com expoentes inteiros, que variam de 0 até n-1. O determinante da matriz de Vandermonde 
é dado por:
Exemplo: Calcular o determinante da matriz 
Solução:
Como podemos escrever a matriz M na forma:
Então dizemos que a matriz M é uma Matriz de Vandermonde com:
a1 = 3, a2= 4 e a3=5.
75UNIDADE IV Matrizes, Determinentes e Sistemas
Logo,
2.8 Propriedades das Determinantes
P1) Quando todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) são nulos, o determi-
nante dessa matriz é nulo.
Exemplo: 
P2) Se duas filas paralelas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo.
Exemplo: 
P3) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então o seu determi-
nante é nulo.
Exemplo: 
P4) Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos 
elementos correspondentes de filas paralelas, então o seu determinante é nulo.
Exemplos:
P5) Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma 
matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado