Aula 2 - Classificação dos escoamentos

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O fluido como contínuo
Campo de tensões
Campo de velocidades
Tipos de escoamento
Mecânica dos Fluidos
Aula 2
Roteiro para aulas 1 - 3
γ ρ= = =W
V
m g
V
g
.
.
2
 Recapitulação
3
Estados físicos da matéria
Propriedades dos fluidos
Sistemas de unidades
Fator importante na diferenciação entre 
sólido e fluido 
Os sólidos, ao serem 
solicitados por esforços, 
podem resistir, deformar-se 
e ou até mesmo cisalhar.
4
Fator importante na diferenciação 
entre sólido e fluido
O fluido não resiste a 
esforços tangenciais por 
menores que estes sejam, 
o que implica que se 
deformam continuamente.
F
5
Reologia
Sólidos:Sólidos: geralmente estuda-se a deformação elástica 
do material. Ex: vigas, etc...
Líquidos:Líquidos: interessa conhecer os fenômenos físicos 
associados com o escoamento (deformação 
plástica) dos fluidos. Ex: água
Gases:Gases: CO2, CH4, nitrogênio, gases de refrigeração.
6
Princípio de aderência observado 
na experiência das duas placas:
As partículas fluidas em contato com uma superfície 
sólida têm a velocidade da superfície que encontram em 
contato.
F
v
 v = constante
 V=0
7
Gradiente de velocidade
y
v
 v = constante
 V=0
representa o estudo da variação da velocidade no 
meio fluido em relação a direção mais rápida desta
variação.dy
dv
8
Gradiente de velocidade
Os conceitos de tensão de cisalhamento (força aplicada) 
e taxa de deformação (gradiente de velocidade) são 
usados para descrever a deformação e o escoamento do 
fluido. 
O gradiente de velocidade entre as camadas 
laminares gera um fluxo de força mecânica 
(tensão de cisalhamento). 
9
No caso de líquidos, a maior parte das medidas 
de viscosidade são feitas com base na aplicação 
de tensões de cisalhamento. 
A figura, a seguir, mostra o que ocorre quando 
uma tensão de cisalhamento simples (τ ) é 
aplicada a um líquido:
Viscosidade
10
11
h
v = 0
Força de 
cisalhamento
 v velocidade 
constante da placa 
sólida deslizante 
 h distância 
curta Fluxo de tensão no líquido (τ yx )
Área de ação da 
tensão
Lâminas de velocidade diferente 
(Vx).
y
x
 τ yx = f (dVx /dy)
Perfil inicial de 
velocidades no líquido: v 
= 0
Deformação: o perfil de 
velocidades muda até 
atingir um equilíbrio
Placa sólida móvel
Placa sólida 
fixa 
Fluido 
Gradiente de velocidade
11
Viscosidade
As tensões de cisalhamento agirão em todas as camadas 
fluidas e evidentemente naquela junto à placa superior 
dando origem a uma força oposta ao movimento da placa 
superior. 
 
 
Tensão 
normal Tensão de 
cisalhamento
12
Viscosidade
Considera-se um fluido em repouso entre duas placas 
planas. Supondo que a placa superior em um dado 
instante passe a se movimentar sob a ação de uma força 
tangencial conforme figura anterior.
 
A substância (fluido) é colocada entre as duas placas 
paralelas que são bem próximas e grandes o suficiente de 
modo que as perturbações nas bordas possam ser 
desprezadas. 
13
Viscosidade
As partículas fluidas junto as superfícies sólidas adquirem 
as velocidades dos pontos das superfícies com as quais 
estão em contato (principio da aderência). 
 
Assim, junto à placa superior as partículas do fluido têm 
velocidade diferente de zero e Junto à placa inferior as 
partículas têm velocidade nula (principio da aderência). 
 
14
Viscosidade
Entre as partículas de cima e as de baixo existirá atrito, 
que por ser uma força tangencial formará tensões de 
cisalhamento, com sentido contrário ao do movimento, 
como a força de atrito. 
 
 Como existe uma diferença de velocidade entre as 
camadas do fluido, ocorrerá então uma deformação 
contínua do fluído sob a ação da tensão de cisalhamento. 
 
 
15
A variação da viscosidade é muito 
mais sensível à temperatura:
Fluido Comportamento Fenômeno
Líquidos
Diminui
a viscosidade
com o aumento 
da temperatura
Tem espaçamento entre 
moléculas pequeno e ocorre a 
redução da atração molecular 
com o aumento da temperatura. 
Gases
Aumenta
a viscosidade
com o aumento 
da temperatura
Tem espaçamento entre 
moléculas grande e ocorre o 
aumento do choque entre 
moléculas com o aumento da 
temperatura. 
16
Classificação dos fluidos:
17
Classificação dos fluidos:
Fluidos newtonianos – são aqueles que 
obedecem a lei de Newton da viscosidade;
Fluidos não newtonianos – são aqueles que 
não obedecem a lei de Newton da viscosidade.
Observação: só estudaremos os fluidos newtonianos
18
 
Classificação dos fluidos 
NEWTONIANOS 
•Água, 
•Cerveja, 
•Leite, 
•Óleo
•Sucos clarificados ou despectinizados, suco de maçã, 
suco de laranja, 
•Vinho, 
 
 (LIRA, 2001;SHARMA et al., 2000)
19
 
Classificação dos fluidos 
NÃO-NEWTONIANOS 
Independentes do tempo
Pseudoplásticos (n<1)
Caldo de fermentação, mosto de cerveja, melaço de 
cana; polpa de jabuticaba (SATO & CUNHA, 2004), 
Polpa de umbu (EVANGELISTA et al., 2003), 
Suco de cupuaçu (QUEIROZ et al., 2004), 
Misturas ternárias de polpa de manga e sucos de 
laranja e cenoura (BRANCO & GASPARETTO, 2003) 
Polpa de umbu-cajá (TORRES et al., 2004)
20
 
Classificação dos fluidos 
NÃO-NEWTONIANOS 
Independentes do tempo
Dilatantes (n>1)
•Suspensões de polímeros (amido e outros), 
•Soluções de açúcares, 
•Suco concentrado de maracujá 
•Wísque
•(GONÇALVES, 1989)
21
 
Classificação dos fluidos 
NÃO-NEWTONIANOS 
Independentes do tempo
Plástico de Bingham 
•Maionese, 
•Purê de batatas, 
•Purê de banana, 
•Chocolate fundido, 
•catchup, 
•Mostarda, 
•Chantily, 
•Gordura hidrogenada
22
 
Classificação dos fluidos 
NÃO-NEWTONIANOS 
Dependentes do tempo
Tixotrópicos 
•Purê de damasco 
(DURAN & COSTELL, 1982)
23
 
Classificação dos fluidos 
NÃO-NEWTONIANOS 
Dependentes do tempo
Tixotrópicos 
•Purê de damasco 
(DURAN & COSTELL, 1982)
24
 
Classificação dos fluidos 
NÃO-NEWTONIANOS 
Dependentes do tempo
Reopéticos 
•Soluções de amido altamente concentradas em 
tempos longos 
 
 (SHARMA ET al., 2000)
25
 
Classificação dos fluidos 
VISCOELÁSTICOS 
Queijo petit suisse nacional (queijo magro feito com 
leite desnatado) 
 (OMAR et al. , 1995)
26
Exercícios referentes à Aula 2
Problema 2.41 FOX 6ª ed.
Resolução
Dados
 h = 150mm
 R = 37,5 mm 
T = 0,021N.m
 d = 0,02mm
 Ω = 100rpm
Pede-se
 μ
Modelo 
matemático
Geometria
27
Exercícios 
Problema 2.41 FOX 6ª ed.
Resolução
Dados
 h = 150mm
 R = 37,5 mm 
T = 0,021N.m
 d = 0,02mm
 Ω = 100rpm
Pede-se
 μ
Modelo
 matemático
Geometria
1
2
3
4
5
2,3 e 5 em 1
28
Exercícios 
Problema 2.41 FOX 6ª ed.
Resolução
Dados
 h = 150mm
 R = 37,5 mm 
T = 0,021N.m
 d = 0,02mm
 Ω = 100rpm
Pede-se
 μ
Modelo
 matemático
Geometria
4
6 em 4
29
Exercícios 
Problema 2.41 FOX 6ª ed.
Resolução
Dados
 h = 150mm
 R = 37,5 mm 
T = 0,021N.m
 d = 0,02mm
 Ω = 100rpm
Pede-se
 μ
Modelo
 matemático
Geometria
Resolvendo para μ, tem-se:
30
Exercício
Problema 2.41 FOX 6ª ed.
Resolução
Dados
 h = 150mm
 R = 37,5 mm 
T = 0,021N.m
 d = 0,02mm
 Ω = 100rpm
Modelo
 matemático
Geometria
Substituindo-se os
Valores numéricos,
 tem-se:
31
A mecânica dos fluidos
 A mecânica dos fluidos lida com o comportamento dos 
fluidos em repouso ou em movimento. 
 O escoamento dos fluídos é complexo e nem sempre 
sujeito à análise matemática exata. 
Hipótese do contínuo
33
 Todos nós estamos familiarizados com os fluidos, como 
sendo meioscontínuos. 
Hipótese do contínuo
 Inicialmente, trataremos 
qualquer fluido como 
substância que pode ser 
dividida ao infinito, um 
contínuo, sempre mantendo 
suas propriedades, sem nos 
preocuparmos com o 
comportamento individual de 
suas moléculas. 
34
Hipótese do contínuo
 Ou seja, no estudo dos fluidos desprezam-se 
o espaçamento e atividade moleculares, 
considerando-o como um meio contínuo que 
pode ser dividido infinitas vezes em partículas 
fluidas entre as quais se supõe não haver 
vazios.
35
36
Hipótese do contínuo
37
Hipótese do contínuo
22,4 x 106 mm3 6,02 x 1023 moléculas
10-9 mm3 n° moléculas
38
Hipótese do contínuo
 A hipótese do contínuo é válida no tratamento 
do comportamento dos fluidos sob condições 
normais.
Ela falha, no entanto, quando a trajetória 
média livre das moléculas*, o livre caminho 
médio, torna-se da mesma ordem de grandeza 
da menor dimensão característica significativa 
do problema. Isto ocorre em casos específicos 
como no escoamento de um gás rarefeito. 
Métodos descritivos
 Método de Lagrange: Descreve o movimento 
de cada partícula, acompanhando-a em sua 
trajetória; (Abordagem Molecular, pouco prática)
 Método de Euler: Consiste em adotar um 
intervalo de tempo, escolher uma seção ou um 
volume de controle no espaço e considerar todas 
as partículas que passem por este local.
39
Métodos descritivos
Método de Lagrange
 O método de Lagrange descreve o movimento de 
cada partícula, acompanhando-a em sua trajetória total.
 O observador desloca-se simultaneamente com a 
partícula.
 As partículas individuais são observadas como uma 
função do tempo.
40
Métodos descritivos
 Método de Lagrange
 Sendo assim, tomando-se um sistema com as três 
componentes em x, y e z, a posição, a velocidade e a 
aceleração de cada partícula são apresentadas como:
r (x0,y0, z0,t)
V (x0,y0, z0,t)
a (x0,y0, z0,t)
41
Métodos descritivos
 Método de Lagrange
 O método é simples quanto à descrição do 
movimento, mas apresenta grandes dificuldades nas 
aplicações práticas. 
Neste curso de graduação, será adotada uma 
abordagem macroscópica, onde o que interessa não 
é o movimento de uma partícula em si, mas de um 
conjunto de partículas (bilhões de moléculas) que 
constituem o escoamento;
42
Métodos descritivos
 Método de Euler:
 O método de Euler consiste em adotar um intervalo 
de tempo, escolher uma seção ou um volume de 
controle no espaço e considerar todas as partículas que 
passem por esse local.
 Neste método, o observador é fixo. 
 
 r (x,y, z,t)
v (x,y, z,t)
a (x,y, z,t)
43
 Método de Euler:
 São definidas variáveis de campo, como funções do 
espaço e do tempo, dentro do volume de controle. 
 Tomemos como exemplo o campo de velocidade 
como uma variável de campo vetorial: 
 
v = v(x,y, z, t)
O campo de velocidade pode ser expandido em 
coordenadas cartesianas
44
Métodos descritivos
 Método de Euler:
 O campo de velocidade pode ser expandido em 
coordenadas cartesianas (x, y, z), :
 Uma expansão semelhante pode ser escrita para o 
campo de pressão e para o campo de aceleração 
 45
Métodos descritivos
),,( kji

ktzyxjtzyxitzyxV zyx VVV

),,,(),,,(),,,( ++=
 
 O estudo quantitativo do movimentos dos fluidos 
exige matemática avançada.
 Sendo assim, um exame visual das características do 
campo de escoamento é muito útil para solução de 
alguns problemas da mecânica dos fluidos. 
46
 Visualização do escoamento
 
 Uma linha de corrente é uma curva que é tangente 
em todos os pontos ao vetor velocidade local 
instantâneo. 
 São úteis como indicadores da direção 
instantânea do movimento dos fluidos ao longo do 
campo de escoamento.
47
 Linhas de corrente
 
 É uma linha real percorrida por uma partícula de 
fluido individual em determinado período de tempo.
 É um conceito lagrangiano, pois decorre de seguir o 
caminho de uma partícula de fluido individual à medida 
que ela se movimenta ao longo do campo do 
escoamento.
48
 Linhas de trajetória
 
 É o conjunto das posições das partículas de fluido 
que passaram sequencialmente através de um ponto 
prescrito do escoamento.
49
 Linhas de emissão
50
 Linhas de emissão
 
Linha de corrente
Linha de trajetória 
Linha de emissão 
 
 É o conjunto de 
partículas de fluido 
adjacente que foram 
marcadas no mesmo 
instante do tempo.
 São úteis para 
examinar a 
uniformidade ou não de 
um escoamento.
51
 Linhas de tempo
 
Um gráfico de perfil indica 
como o valor de uma 
propriedade escalar varia ao 
longo de alguma direção 
escolhida no campo de 
escoamento.
O módulo da velocidade 
como função da distância em 
alguma direção desejada. 
52
 Gráficos de perfil
53
Considerando um elemento 
infinitesimal de massa 
num campo de escoamento, 
diversas coisas podem 
acontecer. 
Ele pode sofrer translação, 
rotação em torno dele, rotação 
em torno dos eixos e 
deformação
Movimento de um elemento fluido
 Deformações 
54
Taxa de translação - vetor velocidade
 O campo de velocidades descreve o
 movimento de um fluido
 A velocidade num ponto é a velocidade 
instântanea de uma partícula de fluido no 
ponto e instante de interesse:
 As componentes do vetor velocidade vão 
depender do tipo de escoamento.
55
Classificação dos escoamentos
Quanto à dimensão;
Quanto à direção da trajetória;
Quanto à variação no tempo;
Quanto à variação da trajetória;
Quanto ao movimento de rotação;
Quanto à compressibilidade.
56
Classificação dos escoamentos
Quanto à dimensão:
 unidimensional: quando o campo de 
velocidades varia apenas em uma 
dimensão;
 bidimensional: quando o campo de 
velocidades varia em duas dimensões;
 tridimensional: quando o campo de 
velocidades varia em três dimensões.
57
Classificação dos escoamentos
Escoamento Unidimensional
 O escoamento é dito unidimensional quando uma 
única coordenada é suficiente para descrever as 
propriedades do fluido.
 Para que isso aconteça é necessário que as 
propriedades sejam constantes em cada seção
58
Classificação dos escoamentos
Escoamento bidimensional
 Se as grandezas do escoamento variarem em 2 dimensões, 
isto é, se o escoamento puder definir-se, completamente, por 
linhas de corrente contidas em um plano, o escoamento será 
bidimensional.
 É o caso de um vertedor de uma barragem.
59
Classificação dos escoamentos
Escoamento tridimensional
 Praticamente todos os escoamentos que ocorrem na natureza são 
tridimensionais. As grandezas que nele interferem, em cada seção 
transversal de um filamento ou tubo de corrente, variam em três 
dimensões. 
60
Classificação dos escoamentos
Quanto à direção da trajetória:
 laminar: as linhas de corrente formam 
como “lâminas” paralelas que escoam em 
baixa velocidade;
 turbulento: as linhas de corrente formam 
pequenos turbilhões (vórtices) ao longo do
 escoamento, geralmente em altas 
velocidades; 
61
Classificação dos escoamentos
Quanto à variação no tempo:
 permanente: as propriedades do fluido e sua 
velocidade não variam no tempo, num dado 
ponto do escoamento, podendo variar de ponto a 
ponto;
 transiente: as propriedades do fluido e sua 
velocidade variam no tempo, num dado ponto do 
escoamento, podendo variar também de ponto a 
ponto; 
62
Classificação dos escoamentos
Quanto à variação da trajetória:
 uniforme: numa dada trajetória em todos ospontos a 
velocidade é constante no intervalo de tempo 
considerado, podendo variar de uma trajetória para 
outra;
 variado: os diversos pontos da trajetória não 
apresentam velocidade constante no intervalo 
 de tempo considerado;
63
Classificação dos escoamentos
Quanto ao movimento de rotação:
 rotacional (ou com atrito): cada partícula fluida 
é submetida a uma velocidade angular com 
relação ao seu centro de massa, devido aos 
efeitos de viscosidade (tensão de cisalhamento);
 irrotacional (ou sem atrito): as partículas não 
de deformam, fazendo-se uma concepção 
matemática do escoamento, desprezando-se a 
influência da viscosidade; 
64
Classificação dos escoamentos
Quanto à compressibilidade
 Incompressível: Um escoamento incompressível existe 
se a massa específica de cada partícula de fluido 
permanece relativamente constante enquanto a 
partícula se move através do campo de escoamento.
 Ex.: escoamentos de líquidos, escoamentos de gás com 
baixa velocidade, tais como o escoamento atmosférico, a 
aerodinâmica de aterrissagem e decolagem de aviões 
comerciais, os escoamentos de ar em sistemas de ar 
condicionado e de aquecimento, os escoamentos em torno 
de automóveis e através de radiadores e ventiladores, e o 
escoamento de ar em volta de edifícios.65
Classificação dos escoamentos
Quanto à compressibilidade
 Compressível: incluem: a aerodinâmica de aeronaves 
de alta velocidade, o escoamento de ar através de 
turbinas de jatos, o escoamento de vapor através de 
turbina em usinas termoelétricas, o escoamento de ar 
em um compressor, e o escoamento de mistura de ar-
gasolina no motor de combustão interna.
66
Classificação dos escoamentos
67
Tipos de Escoamento
 Para os campos de velocidade listados abaixo, determine a sua 
classificação no que diz respeito à dimensão e variação no tempo:
a)
b)
c)
d)
e) 
[ ] iV tbeAx  .−= 2
kcjiV BxAx

+−= 2
kzcjiV zxBxA

..... +−= 2
jiyV tzyBxA

.... . −=
( ) jitV yBAx

2.. −+=
Exercício resolvido
Exemplo 2.1 FOX 6ª ed.
Enunciado
Um campo de velocidade é dado por:
Considere que x e y são dados em metros , as unidades de 
velocidade são dadas em m/s e A= 0,3 s-1
 
a) Obtenha uma equação para as linhas de corrente;
b) Trace a linha de corrente que passa pelo ponto (2,8);
c) Determine a velocidade de uma partícula no ponto (2,8);
d) Determine a localização de uma partícula no instante t = 6s;
e) Qual a velocidade dessa partícula em t = 6s?
jiV AyAx

−=
68
Exemplo 2.1 FOX 6ª ed. 
Resolução
Passos 1 e 2: Declaração das informações dadas e solicitadas
Campo de velocidade: 
 A = 0,3 s-1
a) Obtenção da equação para as linhas de corrente 
(linhas tangentes à direção do escoamento em cada ponto)
jiV AyAx

−=
x
y
Ax
Ay
Vx
Vy
corrente
linhadedx
dy
−
=
−
==


Exercício resolvido
69
Exemplo 2.1 FOX 6ª ed. 
a) Obtenção de uma equação para as linhas de corrente 
(linhas tangentes à direção do escoamento em cada ponto)
Separando-se as variáveis e integrando-se, temos: 
x
y
corrente
linhadedx
dy
−
=


∫∫ −= xdxydy Cxy +−= lnln
Exercício resolvido
70
Exemplo 2.1 FOX 6ª ed. 
Obtenção de uma equação para as linhas de corrente 
(linhas tangentes à direção do escoamento em cada ponto)
cxy +−= lnln
Cxy =
Exercício resolvido
71
Exemplo 2.1 FOX 6ª ed. 
Resolução
b)Trace a linha de corrente que passa pelo ponto (2,8); 
Para a linha de corrente que passa pelo ponto (2,8), temos:
xy= C
x0y0 = 2mx8m =16 m2
Exercício resolvido
72
Exemplo 2.1 FOX 6ª ed. 
Resolução
a) Determinar a velocidade de uma partícula no ponto (2,8);
No ponto (2,8) a velocidade da partícula é dada por:
Campo de velocidade: e A = 0,3 s-1
SUbstituindo-se o valor de A, e as coordenadas do ponto na 
equação do campo de velocidade, tem-se:
 A x0 A y0
jyixV AA

−=
jiV

)(,, )( 83030 2 −=
jiV

4260 ,, −=
Exercício resolvido
73
Exemplo 2.1 FOX 6ª ed.
Resolução
d) Determinar a localização de uma partícula no instante t = 6s;
 O campo de velocidade é dado por:
 
 Como: e 
 Separando-se as variáveis , integrando-se e resolvendo em x, 
primeiramente, tem-se:
 
 
jiV AyAx

−=
Ax
dt
dxVx ==
∫∫ = txx Adtxdx 00 Atxx =0ln Atx ex 0=
Ay
dt
dyVy −==
Exercício resolvido
74
Exemplo 2.1 FOX 6ª ed.
Resolução
Da mesma forma, separando -se as variáveis , integrando-se e 
resolvendo a equação em y, tem-se: 
 
 ∫∫ = tyy Adtydy 00 Atyy −=0ln Aty ey −= 0
Exercício resolvido
75
Exemplo 2.1 FOX 6ª ed.
Resolução
Substituindo-se as coordenadas do ponto (2,8) dadas em metros , 
as unidades de velocidade dadas em m/s, t= 6s e A= 0,3 s-1, as 
equações de x e y obtidas anteriormente, tem-se:
 y0 A t x0 A t 
Sendo assim, para t= 6s a partícula estará na posição (12,1; 1,32)m
 
 
 
Atx ex 0=
 Aty ey −= 0
mmey 3218 630 ,),( == − mmex 1122 630 ,),( ==
Exercício resolvido
76
Exemplo 2.1 FOX 6ª ed.
Resolução
e) Qual a velocidade da partícula em t = 6s?
Substituindo-se na equação de velocidade os valores encontrados 
anteriormente para x e y (12,1:1,32)m e A= 0,3 s-1 tem-se:
 
mjsisV ),(,),(,

3213011230 −=
smjiV /),,(

396063 −=
jiV AyAx

−=
Exercício resolvido
77
Campo de tensões
78
Forças: de corpo
 de contato
• Campo de tensões: descrição de como as 
forças de contato agindo sobre os limites do 
meio são transmitidas através dele.
Campo de tensões
79
Campo de tensões
80
Aplicação: Reologia
Sólidos:Sólidos: geralmente estuda-se a deformação elástica 
do material. Ex: vigas, etc...
Líquidos:Líquidos: interessa conhecer os fenômenos físicos 
associados com o escoamento (deformação 
plástica) dos fluidos. Ex: água
Gases:Gases: CO2, CH4, nitrogênio, gases de refrigeração.
81
Princípio de aderência observado 
na experiência das duas placas:
As partículas fluidas em contato com uma superfície 
sólida têm a velocidade da superfície que estão em 
contato.
F
v
 v = constante
 V=0
82
Gradiente de velocidade
y
v
 v = constante
 V=0
representa o estudo da variação da velocidade no 
meio fluido em relação a direção mais rápida desta
variação.dy
dv
83
Gradiente de velocidade
Os conceitos de tensão de cisalhamento (força aplicada) 
e taxa de deformação (gradiente de velocidade) são 
usados para descrever a deformação e o escoamento do 
fluido. 
O gradiente de velocidade entre as camadas 
laminares gera um fluxo de força mecânica 
(tensão de cisalhamento). 
84
No caso de líquidos, a maior parte das medidas 
de viscosidade são feitas com base na aplicação 
de tensões de cisalhamento. 
A figura, a seguir, mostra o que ocorre quando 
uma tensão de cisalhamento simples (τ ) é 
aplicada a um líquido:
Viscosidade
85
86
h
v = 0
Força de 
cisalhamento
 v velocidade 
constante da placa 
sólida deslizante 
 h distância 
curta Fluxo de tensão no líquido (τ yx )
Área de ação da 
tensão
Lâminas de velocidade diferente 
(Vx).
y
x
 τ yx = f (dVx /dy)
Perfil inicial de 
velocidades no líquido: v 
= 0
Deformação: o perfil de 
velocidades muda até 
atingir um equilíbrio
Placa sólida móvel
Placa sólida 
fixa 
Fluido 
Gradiente de velocidade86
Viscosidade
As tensões de cisalhamento agirão em todas as camadas 
fluidas e evidentemente naquela junto à placa superior 
dando origem a uma força oposta ao movimento da placa 
superior. 
 
 
Tensão 
normal Tensão de 
cisalhamento
87
Viscosidade
Considera-se um fluido em repouso entre duas placas 
planas. Supondo que a placa superior em um dado 
instante passe a se movimentar sob a ação de uma força 
tangencial conforme figura anterior.
 
A substância (fluido) é colocada entre as duas placas 
paralelas que são bem próximas e grandes o suficiente de 
modo que as perturbações nas bordas possam ser 
desprezadas. 
88
Viscosidade
As partículas fluidas junto as superfícies sólidas adquirem 
as velocidades dos pontos das superfícies com as quais 
estão em contato (principio da aderência). 
 
Assim, junto à placa superior as partículas do fluido têm 
velocidade diferente de zero e Junto à placa inferior as 
partículas têm velocidade nula (principio da aderência). 
 
89
Viscosidade
Entre as partículas de cima e as de baixo existirá atrito, 
que por ser uma força tangencial formará tensões de 
cisalhamento, com sentido contrário ao do movimento, 
como a força de atrito. 
 
 Como existe uma diferença de velocidade entre as 
camadas do fluido, ocorrerá então uma deformação 
contínua do fluído sob a ação da tensão de cisalhamento. 
 
 
90
Enunciado da lei de Newton da 
viscosidade:
dy
dv ατ
“A tensão de cisalhamento é diretamente 
proporcional ao gradiente de velocidade.”
91
Constante de proporcionalidade da 
lei de Newton da viscosidade:
A constante de proporcionalidade da lei de Newton 
da viscosidade é a viscosidade dinâmica, ou 
simplesmente viscosidade - µ
dy
dv
×= µτ
92
A variação da viscosidade é muito 
mais sensível à temperatura:
 Nos líquidos a viscosidade é diretamente 
proporcional à força de atração entre as 
moléculas, portanto a viscosidade diminui com 
o aumento da temperatura.
 Nos gases a viscosidade é diretamente 
proporcional a energia cinética das moléculas, 
portanto a viscosidade aumenta com o 
aumento da temperatura.
93
A variação da viscosidade é muito 
mais sensível à temperatura:
Fluido Comportamento Fenômeno
Líquidos
Diminui
a viscosidade
com o aumento 
da temperatura
Tem espaçamento entre 
moléculas pequeno e ocorre a 
redução da atração molecular 
com o aumento da temperatura. 
Gases
Aumenta
a viscosidade
com o aumento 
da temperatura
Tem espaçamento entre 
moléculas grande e ocorre o 
aumento do choque entre 
moléculas com o aumento da 
temperatura. 
94
Classificação dos fluidos:
Fluidos newtonianos – são aqueles que 
obedecem a lei de Newton da viscosidade;
Fluidos não newtonianos – são aqueles que 
não obedecem a lei de Newton da viscosidade.
95
Classificação dos fluidos:
96
Classificação dos fluidos:
Equação mais geral 
τ = τo + k . Ỳ n
 τ yx = µ (dVx /dy)
97
 
Classificação dos fluidos 
NEWTONIANOS 
•Água, 
•Cerveja, 
•Leite, 
•Óleo
•Sucos clarificados ou despectinizados, suco de maçã, 
suco de laranja, 
•Vinho, 
 
 (LIRA, 2001;SHARMA et al., 2000)
98
 
Classificação dos fluidos 
NÃO-NEWTONIANOS 
Independentes do tempo
Pseudoplásticos (n<1)
Caldo de fermentação, mosto de cerveja, melaço de 
cana; polpa de jabuticaba (SATO & CUNHA, 2004), 
Polpa de umbu (EVANGELISTA et al., 2003), 
Suco de cupuaçu (QUEIROZ et al., 2004), 
Misturas ternárias de polpa de manga e sucos de 
laranja e cenoura (BRANCO & GASPARETTO, 2003) 
Polpa de umbu-cajá (TORRES et al., 2004)
99
 
Classificação dos fluidos 
NÃO-NEWTONIANOS 
Independentes do tempo
Dilatantes (n>1)
•Suspensões de polímeros (amido e outros), 
•Soluções de açúcares, 
•Suco concentrado de maracujá 
•Wísque
•(GONÇALVES, 1989)
100
 
Classificação dos fluidos 
NÃO-NEWTONIANOS 
Independentes do tempo
Plástico de Bingham 
•Maionese, 
•Purê de batatas, 
•Purê de banana, 
•Chocolate fundido, 
•catchup, 
•Mostarda, 
•Chantily, 
•Gordura hidrogenada
101
 
Classificação dos fluidos 
NÃO-NEWTONIANOS 
Dependentes do tempo
Tixotrópicos 
•Purê de damasco 
(DURAN & COSTELL, 1982)
102
 
Classificação dos fluidos 
NÃO-NEWTONIANOS 
Dependentes do tempo
Tixotrópicos 
•Purê de damasco 
(DURAN & COSTELL, 1982)
103
 
Classificação dos fluidos 
NÃO-NEWTONIANOS 
Dependentes do tempo
Reopéticos 
•Soluções de amido altamente concentradas em 
tempos longos 
 
 (SHARMA ET al., 2000)
104
 
Classificação dos fluidos 
VISCOELÁSTICOS 
Queijo petit suisse nacional (queijo magro feito com 
leite desnatado) 
 (OMAR et al., 1995)
105
Exercícios referentes à Aula 2
Problema 2.412 FOX 6ª ed.
Enunciado
Um viscosímetro formado por um par de cilindros concêntricos tem 
cilindro interno com 75mm de diâmetro e 150mm de altura. 
Lubrificante é colocado na folga de 0,02mm entre os dois 
cilindros. Um torque de 0,021 N.m é requerido para o movimento 
de rotação a 100rpm. Determine a viscosidade do lubrificante 
utilizado.
106
Exercícios referentes à Aula 2
Problema 2.41 FOX 6ª ed.
Resolução
Dados
 h = 150mm
 R = 37,5 mm 
T = 0,021N.m
 d = 0,02mm
 Ω = 100rpm
Pede-se
 μ
Modelo 
matemático
Geometria
107
Exercícios referentes à Aula 2
Problema 2.41 FOX 6ª ed.
Resolução
Dados
 h = 150mm
 R = 37,5 mm 
T = 0,021N.m
 d = 0,02mm
 Ω = 100rpm
Pede-se
 μ
Modelo
 matemático
Geometria
1
2
3
4
5
2, 3 e 5 em 1
108
Exercícios referentes à Aula 2
Problema 2.41 FOX 6ª ed.
Resolução
Dados
 h = 150mm
 R = 37,5 mm 
T = 0,021N.m
 d = 0,02mm
 Ω = 100rpm
Pede-se
 μ
Modelo
 matemático
Geometria
4
6 em 4
109
Exercícios referentes à Aula 2
Problema 2.41 FOX 6ª ed.
Resolução
Dados
 h = 150mm
 R = 37,5 mm 
T = 0,021N.m
 d = 0,02mm
 Ω = 100rpm
Pede-se
 μ
Modelo
 matemático
Geometria
Resolvendo para μ, tem-se:
110
 
Exercícios propostos
1. Considere um campo de velocidade, onde A= 1s-1 e B=1s-2. 
Para uma partícula que passa pelo ponto P(1;1), obtenha a equação das linhas de 
corrente. Plote as linhas de corrente para t=0s, t=1s e t=2s.
2 Uma esquiadora no gelo, pesando 100 lbf, desliza num esqui à velocidade V= 20 
ft/s. O seu peso é suportado por uma fina película de água do gelo que se derrete 
sob a pressão da lâmina do esqui. Suponha que a lâmina tenha comprimento 
L=11,5in. E largura w=0,125in e que a espessura de h=5,75x10-5in. Estime a 
desaceleração da esquiadora que resulta do cisalhamento viscoso na película de 
água, desprezando os efeitos das extremidades. 
R. (a=- 0,491ft/s2) 
 
 
111
jiV BytAx

−=
 
Exercícios propostos
 
3. Uma fita de gravação deve ser revestida em ambos os lados com lubrificante, 
sendo puxada através de uma estreita ranhura. A fita tem espessura de 0,015in e 
largura de 1,00in. Ela fica centrada na ranhura com uma folga de 0,012in de cada 
lado. O lubrificante de viscosidade μ= 0,021 slug/ft.s, preenche completamente o 
espaço entre a fita e a ranhura por um comprimento de 0,75in ao longo da fita. Se 
esta suportar uma força máxima de tração de 7,5lbf, determine a velocidade máxima 
com a qual ela pode ser puxada através da ranhura.
R. (v=34,3 ft/s)
112
 
Exercícios propostos
 
4. Um viscosímetro de cilindros concêntricos pode ser formado girando-se o membro 
interno de um par de cilindros encaixados com folga muito pequena, de acordo com a 
figura 1. Para pequenas folgas pode-se supor um perfil de velocidade linear na 
amostra líquida. Um viscosímetro tem um cilindro interno de 4in de diâmetro e 8in de 
altura,com largura da folga para o cilindro externo de 0,001in, cheia com lubrificante 
de viscosidade 3,8x10-1N.s/m2. Determine o torque necessário para girar o cilindro 
interno a 400rpm. 
R. (T=77,34 ft.lbf) 
113
Referências
 
   BIRD, R.B.; STEWART, W.R.; LIGHTFOOT, E.N. Fenômenos de Transporte. LTC, 2004.
 ÇENGEL, Yunus A.; CIMBALA, John M. Mecânica dos Fluidos: Fundamentos e aplicações. McGrawHill do 
Brasil. 1ª ed. 2007.
  Fox, R.W. & Mc Donald, A.T. Introdução à Mecânica dos Fluidos . Livros Técnicos e Científicos Editora 
S.A. - RJ, 4ª edição revista, 2006. 
  Streeter, V.L.; Wylie, E.B.; Bedford, K.W. Fluid Mechanics".McGraw-Hill, nith edition, 1998. 
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