Aula 3 Hidrostática

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Revisão Aulas 2
Resolução de exercícios
Hidrostática
Mecânica dos Fluidos
Aula 3
Sistema de placas planas paralelas
 Inicialmente, (t=0) sistema em repouso;
 Posteriormente a placa superior é posta em 
movimento (v constante), direção positiva de x;
 Com o passar do tempo, o fluido ganha 
momento;
 Finalmente, é estabelecido perfil linear e 
permanente de velocidade.
Lei de Newton para a viscosidade
Lei de Newton para a viscosidade
4
h
Vx = 0
Força de 
cisalhamento
 v velocidade constante 
da placa sólida 
deslizante 
 h distância curta 
Fluxo de tensão no líquido (τ yx ).
Área de ação 
da tensão
Lâminas de velocidade diferente 
(Vx).
y
x
 τ yx = f (dVx /dy)
Perfil inicial de 
velocidades no líquido: v 
= 0
Deformação: o perfil de 
velocidades muda até 
atingir um equilíbrio
Placa sólida móvel
Placa sólida fixa 
Fluido 
Lei de Newton para a viscosidade
Sistema de placas planas paralelas
 Quando o estado final de movimento 
permanente for atingido, uma força constante 
F é necessária para manter o movimento da 
placa:
yxdy
dv
A
F
τμ ==
Lei de Newton para a viscosidade
 No exemplo, a tensão de cisalhamento é uma 
força exercida na direção x, em uma área perpendicular à direção y.
yxτ
Lei de Newton para a viscosidade
Exercícios referentes à Aula 2
Exemplo 2.2 FOX 6ª ed.
Enunciado
Uma placa infinita move-se sobre uma segunda placa à velocidade 
constante de 0,3 m/s, havendo entre elas uma camada com 
espessura de 0,3 mm de líquido newtoniano, com viscosidade de 
0,65 centipoise e densidade relativa de 0,88. Supondo-se uma 
distribuição linear de velocidade no líquido, determine:
a) A viscosidade em lbf.s/ft2;
b) A viscosidade cinemática do líquido, em m2/s;
c) A tensão de cisalhamento na placa superior, em lbf/ft2;
d) A tensão de cisalhamento em Pa;
e) O sentido da tensão cisalhante na placa superior.
v
 v = 0,3m/s
 V=0
y
Exercícios referentes à Aula 2
2.2 FOX 6ª ed. Resolução: Passos 1 – 3
 Modelo Físico Dados 
 μ = 065cP
 δ = 0,88 
 v = 0,3m/s
 d =0,3mm
d=0,3mm Modelo
 Matemático
 
 dy
dv
yx μτ =
Exercícios referentes à Aula 2
Exemplo 2.2 FOX 6ª ed.
a) Determinar a viscosidade em lbf.s/ft2
Resolução
Dado: μ=0,65cP
slugxft
lbfxsx
ft
cmx
lbm
slugx
g
lbmx
cmxsxpoise
gx
cP
poisecPx
2530
232454100
650
,
,
,=μ
2510361 ftslbfx /., −=μ
Exercícios referentes à Aula 2
Exemplo 2.2 FOX 6ª ed.
a)Determinar a viscosidade cinemática do líquido, em m2/s
Resolução
Dado: 
μ = 0,65 cP
δ = 0,88 = 
Substituindo-se os dados na equação , tem-se:
02Hρ
ρ
g
kgx
Kg
mxx
m
cmx
cmxsxpoise
gx
cP
poisecPx
1000
1
1000880
1
1
100
100
650
3
,
,=ω
smx /, 2710497 −=ω
Exercícios referentes à Aula 2
Exemplo 2.2 FOX 6ª ed.
c) Determinar a tensão de cisalhamento na placa superior, em lbf/ft2
Como v varia linearmente com y, tem-se que:
)
dydy
dv
yx
=


= μτ sup
110001000
30
130
0
0
−
===
−
−
=
∆
∆
= s
m
mmx
mm
x
s
m
d
V
d
V
y
v
dy
dv
,
,
2
2
2
5 10361100010361
ft
lbfx
s
x
ft
lbfxsx
d
V
yx
−−
=== ,,μτ
Resolução
Exercícios referentes à Aula 2
Exemplo 2.2 FOX 6ª ed.
c) Determinar a tensão de cisalhamento em Pa
Resolução
Pa
N
Paxmx
xm
ftx
lbf
Nx
ft
lbfxyx 6510
3050
45410361
2
22
2
2
2 ,
),(
,, == −τ
Exercícios referentes à Aula 2
Exemplo 2.2 FOX 6ª ed.
e) O sentido da tensão cisalhante nas placas superior
Resolução
v
 v = 0,3m/s
 V=0
y
yxτ
Plano y
Direção x
Exercício 1 - proposto Aula 2
 
Obtenha a equação das linhas de corrente que passam 
pelo ponto P (1,1) para o campo de velocidade 
 . 
 Onde A = 1s-1 e B= 1s-2.
 
Plote as linhas de corrente para os tempos (0, 1 e 2)s.
 
jtiV ByAx

−=
Resolução
Passos 1 e 2: Declaração das informações dadas e solicitadas
Campo de velocidade: 
 A = 1 s-1 B = 1 s-2
a) Obtenção da equação para as linhas de corrente 
(linhas tangentes à direção do escoamento em cada ponto)
x
y
A
tB
xA
ytB
Vx
Vy
corrente
linhadedx
dy
−
=
−
==


15
Exercício 1 - proposto Aula 2
jtiV ByAx

−=
Exemplo 2.1 FOX 6ª ed. 
a) Obtenção de uma equação para as linhas de corrente 
Separando-se as variáveis e integrando-se, temos: 
∫∫ −= xdxAtBydy xAtBy lnln −=
16
Exercício 1 - proposto Aula 2
x
y
A
tB
xA
ytB
Vx
Vy
corrente
linhadedx
dy
−
=
−
==


Exemplo 2.1 FOX 6ª ed. 
a) Obtenção de uma equação para as linhas de corrente 
Cx
A
tBy +−= lnln
17
Exercício 1 - proposto Aula 2
A
tB
xCy
−
=
Exemplo 2.1 FOX 6ª ed. 
:b) Plotagem das linhas de corrente
 Para t = 0 y = C
18
Exercício 2 - proposto Aula 2
A
tB
xCy
−
=
Exemplo 2.1 FOX 6ª ed. 
:b) Plotagem das linhas de corrente
 Para t = 1 y = C/x
19
Exercício 2 - proposto Aula 2
A
tB
xCy
−
=
Exemplo 2.1 FOX 6ª ed. 
:b) Plotagem das linhas de corrente
 Para t = 1 y = C/x2
20
Exercício 2 - proposto Aula 2
A
tB
xCy
−
=
Enunciado
Uma esquiadora no gelo, pesando 100 lbf, desliza num 
esqui à velocidade V= 20 ft/s. O seu peso é suportado 
por uma fina película de água do gelo que se derrete 
sob a pressão da lâmina do esqui. Suponha que a 
lâmina tenha comprimento L=11,5in. E largura 
w=0,125in e que a espessura de h=5,75x10-5in. Estime 
a desaceleração da esquiadora que resulta do 
cisalhamento viscoso na película de água, 
desprezando os efeitos das extremidades. 
21
Exercício 2 - proposto Aula 2
Exercício 2 – Proposto na Aula 2
Dados
 P = 100 lbf
 v = 20 m/s
L= 11,5 in
 w = 0,125 in
 h=5,75x10-5in
Pede-se
 a
Modelo 
matemático
Geometria
22
LxwA =
ax
g
PaxmF ==
Exercício 2 – Proposto na Aula 2
Dados
 P = 100 lbf
 v = 20 m/s
L= 11,5 in
 w = 0,125 in
 h=5,75x10-5in
= 3,66x10-5lbf.s/ft2
Pede-se
 a
Resolução
23
ft
inx
inx
x
s
ftx
ft
sxlbfx
dy
dv
yx
12
1075,5
1201066,3 52
5
−
−
=

= µτ
2153 ftlbf
dy
dv
yx /=

= μτ
Exercício 2 – Proposto na Aula 2
Dados
 P = 100 lbf
 L= 11,5 in
 w = 0,125 in
 h=5,75x10-5in
Pede-se
 a
Resolução
24
2153 ftlbf
dy
dv
yx /=

= μτ
ax
g
PaxmF ==
Lxwxax
g
P
yxτ=
LxwmolhA =
P
gxx
a
Lxwyxτ
=
Exercício 2 – Proposto na Aula 2
Dados Pede-se
 a
 P = 100 lbf
 L= 11,5 in
 w = 0,125 in
 h=5,75x10-5in
Resolução
25
2153 ftlbf
dy
dv
yx /=

= μτ
P
gxx
a
Lxwyxτ
=
lbf
x
s
ftxftxinxinx
ft
lbfa in 100
12,32
144
125,05,11153 22
2
2=
24910 sfta /,=
Problema proposto 2.29 FOX 6ª ed.
Enunciado
A distribuição da velocidade para um escoamento entre placas 
paralelas é dada por:
Onde h = 0,25 mm representa a distância entre as placas. 
Considerando que a velocidade máxima de escoamento é 
0,10m/s, ea viscosidade da água a 15°C é 1,14x10-3 Ns/m2 
,calcule a tensão de cisalhamento na placa superior e diga a sua 
direção. 
221
max



−=
h
y
V
V
Exercício 
Exercícios referentes à Aula 2
2.29 FOX 6ª ed. Resolução: Passos 1 – 3
Dados Modelo Físico 
 μ = 1,14x10-3N
 Vmax = 0,1m/s
 d =0,25 mm
 Modelo
Matemático 
 Pede-se: 
 
 
 
 
 
yxτdy
dv
yx μτ =
Exercícios referentes à Aula 2
Problema 2.29 FOX 6ª ed.
a) Determinar a Tensão de cisalhamento na placa superior
Resolução
Derivando a expressão da velocidade em relação a y, tem-se:
22
1 



−=
h
y
V
V
max
( )
2
822
2
h
yV
hh
y
V maxmax −=







−












−=
22
1
h
yV Vmax




















−=
22
1
h
yV
dy
d
dy
dV
max
Exercícios referentes à Aula 2
Problema 2.29 FOX 6ª ed.
Resolução
Como na placa superior , então:
A tensão varia linearmente em função de y.
2
hy +=
h
h
hdy
dv VV
hy
hyyx
μ
τ
μ
μ maxmax
4
2
8
2
2
2
−=



−=

=
=




=
2
8
h
y
dy
dV Vmax
−=
Exercícios referentes à Aula 2
Problema 2.29 FOX 6ª ed.
Resolução
Como na placa inferior , então:
A tensão varia linearmente em função de y.
2
hy −=
h
h
hdy
dv VV
hy
hyyx
μ
τ
μ
μ maxmax
4
2
8
2
2
2
=



−−=

=
=




=
2
8
h
y
dy
dV Vmax
−=
Exercícios referentes à Aula 2
Problema 2.29 FOX 6ª ed.
Resolução
Substituindo-se os valores dados, nas placas superior e inferior, tem-
se:
)
h
Vhyyx
maxμτ
4
2
−=
=
)
mx
x
s
m
x
m
Ns
xxhyyx 42
3
2 1052
1
10101414
−
−
=
−=
,
,,τ ) 2
2
831 mNhyyx /,−==τ
Dados 
μ = 1,14x10-3N
 Vmax = 0,1m/s
 d = 0,25 mm
)



−
−=
−
−
−=
mx
x
s
mx
m
Nsxxhyyx 42
3
2 1052
1
10101414
,
,,τ ) 2
2
831 mNhyyx /,==τ
OBJETIVOS 
• Estabelecer a equação básica da estática dos fluidos 
na forma diferencial.
•Determinar a variação da pressão em um fluido em 
repouso.
• Enunciar a relação entre as escalas de pressões 
manométrica e absoluta
• Conhecer o princípio em que se baseiam os 
dispositivos para medir pressão
• Determinar a força exercida por um fluido em 
repouso sobre superfícies submersas planas ou 
curvas
Estática dos fluidos 
Em nossa experiência, de forma prática e até intuitiva, 
todos nós já sentimos que a pressão aumenta com a 
profundidade.
Estática dos fluidos 
Figura 1: Gradiente de pressão num fluido em repouso
O que é pressão?
É uma força normal exercida por um fluido por unidade 
de área.
Estática dos fluidos 
Figura 2: Campo de pressões num fluido em repouso
Simon Stevin (1548 - 1620) foi um físico e 
matemático belga que concentrou suas 
pesquisas nos campos da estática e da 
hidrostática, no final do século 16, e 
desenvolveu estudos também no campo 
da geometria vetorial. Entre outras coisas, 
ele demonstrou, experimentalmente, que a 
pressão exercida por um fluido depende 
exclusivamente da sua altura.
Estática dos fluidos 
Figura 3: Stevin
Campo de pressões 
Tomemos como ponto de partida a segunda lei de 
Newton, referente a um sistema de fluido em repouso, 
expressa matematicamente por:
 ∑F = m. a (1) 
Onde:
∑F: Somatório de todas as forças externas que atuam sobre o 
elemento de fluido;
m: massa do elemento de fluido;a: aceleração do centro de 
massa do elemento de fluido. 
O somatório de forças que agem sobre o sistema de 
massa compreendem:
 ∑dF = ∑dFsuperfície + ∑dFcampo 
Onde:
∑dF: Somatório de todas as forças externas que 
atuam sobre o elemento de fluido;
∑dFsuperfície: Somatório das forças de superfície.
∑Fcampo: Somatório das forças de campo . 
(2)
Campo de pressões 
Com relação às forças de superfície, como o fluido 
está em repouso, não há tensões de cisalhamento. 
Sendo assim, as únicas forças de superfície agindo 
sobre o elemento de fluido, são as forças de pressão.
 ∑dFsuperfície = ∑P x dA
Onde:
∑dFsuperfície: Somatório das forças de superfície.
∑P: Somatório das pressões atuantes sobre o 
elemento de área
dA: Elemento de área
(3)
Campo de pressões 
 
 
Figura 4: Forças de pressão em um elemento fluido diferencial
Campo de pressões 
Com relação às forças de superfície, teremos a 
seguinte equação: Faces anterior e posterior
d Fsuperfície:
 +
(i )+ (-i) + (j) +
(-j) + (k) + (-k) (4)
Campo de pressões 
Somando todos os termos e simplificando, teremos:
d Fsuperfície = - dx dy dz
O termo entre parêntesis é denominado gradiente de 
pressão e pode ser escrito como:
grad P= 
 
(5)
(6)
Campo de pressões 
Com relação às forças de campo, como o sistema de 
massa está em repouso, a única força de campo 
atuante sobre ele é a gravidade. E assim tem-se;
 ∑dFcampo = g . dm 
Onde:
∑Fcampo: Somatório das forças de campo; 
g: aceleração da gravidade;
dm: massa do elemento de fluido.
(7)
Campo de pressões 
Equação geral da hidrostática 
Usando a designação de gradiente, podemos 
escrever:
d Fsuperfície = - (dx dy dz)
Combinando as forças de campo e as forças de 
superfície, atuantes sobre o elemento de massa, 
teremos:
 d F = d Fcampo + d Fsuperfície 
 
(8)
(9)
 d F = - (dx dy dz )+ ρ g dV
 Forças de Pressão Forças de campo
Como : dv = dx dy dz,
 temos:
Para um fluido estático, a força resultante é nula. 
 
d F = (- + ρ g ) dx dy dz = 0
(10)
(11)
Equação geral da hidrostática 
 Sendo assim, podemos escrever:
Ou seja, traduzindo num sentido físico:
 - grad P + ρ g = 0 
 
 
- + ρ g = 0
Força de pressão total
por unidade de volume
em um ponto
 
Força de campo por 
unidade de volume
 em um ponto
 
(12)
Equação geral da hidrostática 
Por se tratar de uma equação vetorial, deve ser 
satisfeita individualmente para os 3 componentes 
:
 = ρ gx direção de x
 
 = ρ gy direção de y
 
 = ρ gz direção de z
(13)
Equação geral da hidrostática 
Visando simplificar ainda mais, pode-se escolher um 
sistema de coordenadas no qual o vetor gravidade 
seja alinhado com o eixo z, na vertical. Assim:
 gx = 0 = 0
 
 
 gy = 0 = 0
 gz = - g = - ρg
(14)
Equação geral da hidrostática 
 Para as hipóteses levantadas, de acordo com as 
equações mostradas anteriormente, pode-se dizer 
que:
• A pressão é independente das coordenadas x e y;
• A pressão depende exclusivamente de z, sendo
 função de uma só variável. 
 
Equação geral da hidrostática 
 Como P é função de apenas umavariável, 
podemos usar a derivada total em lugar da derivada 
parcial. Isto permite que as equações anteriores 
sejam simplificadas, reduzindo-se à:
 Equação fundamental da estática dos fluidos 
 = 
 
- ρg (15)
Equação geral da hidrostática 
 Existem ainda outros fatores a serem considerados 
no estudo da equação 15:
 = 
1.A distribuição de pressão (primeiro termo)
2.As variáveis ρ e g (segundo termo) 
 
- ρg (15)
Equação geral da hidrostática 
Estática dos fluidos 
 Com relação às variaveis ρ e g, algumas hipóteses 
serão admitidas:
• Como na maioria das aplicações de engenharia, a 
variação de g é desprezível, vamos admitir que g é 
uma constante.
• Com relação a ρ, é constante para fluidos 
incompressíveis. 
 
Sendo assim pode ser feita uma simplificação:
 
 = (constante)
Para se obter a distribuição de pressão, é 
necessário fazer a separação das variáveis e 
integrar equação, aplicando condições de contorno 
apropriadas .
- ρg
Distribuição da pressão 
Distribuição da pressão 
∫∫ −= z
z
P
P
gdzdP
00
ρ
p = p0 −ρg(z − z0 ) = p0 + ρg(z0 − z)
Distribuição da pressão 
p = p0 −ρg(z − z0 ) = p0 + ρg(z0 − z)
Líquidos: colocar a origem do sistema de coordenadas 
na superfície livre (nível de referência) e medir distâncias 
para baixo da superfície livre como sendo positivas!!!
Portanto, h é medido positivo para baixo.
 P = p0 + ρgh
Distribuição da pressão 
A diferença de pressão entre dois pontos em um 
fluido estático pode ser determinada medindo-se a 
diferença de elevação entre eles. Ou seja: Esta 
equação é uma relação básica entre pressão e 
altura estática num fluido. 
 P = p0 + ρgh
Mas está sujeita às seguintes condições:
 
 
1. Fluido estático
2. A gravidade é a única força de campo atuante
3. O eixo z é vertical
4. A origem do sistema é tomado na superfície 
livre do fluido.
Equação geral da hidrostática
Escalas de medida de pressão 
 
 
 
A equação ilustrada 
anteriormente indica que a 
diferença de pressão 
entre dois pontos num 
fluido estático pode ser 
determinada medindo-se a 
diferença de altura entre 
eles. Os dispositivos 
utilizados para este fim são 
chamados manômetros.
Figura 5 – Manômetro 
Aplicações da Equaçao geral 
 
 
 
O princípio do manômetro de tubo em U, se baseia no 
fato de que como A e B estão na mesma altura a 
pressão em A e em B deve ser a mesma. Por um ramo a 
pressão em B é devida ao gás encerrado no recipiente. 
Pelo outro ramo a pressão em A é devida a pressão 
atmosférica mais a pressão devida a diferença de alturas 
do líquido manométrico.
Figura 6 – Manômetro 
Aplicações da Equaçao geral 
 
 
 
Os Vasos comunicantes
Uma das aplicações do Teorema de Stevin são os 
vasos comunicantes. Num líquido que está em 
recipientes interligados, cada um deles com formas e 
capacidades diversas, observaremos que a altura do 
líquido será igual em todos eles depois de 
estabelecido o equilíbrio. Isso ocorre porque a pressão 
exercida pelo líquido depende apenas da altura da 
coluna. 
Aplicações da Equaçao geral 
 
 
 
Figura 7: Vasos comunicantes
Exercícios FOX 6ª ed. P 3.19
Enunciado
O manômetro de mercúrio da 
Figura 8 é ligado à admissão e 
descarga de uma bomba d’água 
(lado esquerdo em contato com 
a admissão e o direito com a 
descarga). Supondo que a 
admissão e a descarga estejam 
na mesma cota, determinar a 
elevação de pressão na bomba.
61
Figura 8 – Manômetro em U 
 Modelo Físico Dados 
h2= 6in
 
 δHg 
= =13,6
ρH2O=1,94slug/ft
3
g = 32,2 ft/s2 
 
 
 
Pede-se:
ΔP= Ps-Pe
Modelo 
Matemático
OH
Hg
2ρ
ρ ∑=∆
i
ii hgP ρ
62
Exercício exemplo
Resolução de exercício
 Modelo Físico Dados 
h2= 6in
 
 δHg 
= =13,6
ρH2O=1,94slug/ft
3
g = 32,2 ft/s2 
 
 
 
Modelo 
Matemático
Resolução
OH
Hg
2ρ
ρ ∑=∆
i
ii hgP ρ
63
( )OHOHHgHgHgOH hhhhhhgP 222 321123 ρρρρρρ −−−++=∆ ( )OHHgghP 22 ρρ −=∆
Resolução de exercício
 Modelo Físico Dados 
h2= 6in
 
 δHg 
= =13,6
ρH2O=1,94slug/ft
3
g = 32,2 ft/s2 
 
 
 
Resolução
OH
Hg
2ρ
ρ ∑=∆
i
ii hgP ρ
64
( )OHHghgP 22 ρρ −=∆
( )OHHgOHhgP 222 ρρ δ −=∆
( )122 −=∆ HgOHhgP δρ
Resolução de exercício
Dados 
h2= 6in
 
 δHg 
= =13,6
ρH2O=1,94slug/ft
3
g = 32,2 ft/s2 
 
 
 
Resolução
OH
Hg
2ρ
ρ
65
( )122 −=∆ HgOHhgP δρ
( )
ftslug
slbfx
in
ftx
ft
slugx
in
ftinxx
s
ftP
.
.,, ,
2
2144
2
3
941
12
6
2
232 1613 −=∆
2
742
in
lbfP ,=∆
Exercícios exemplo 3.3 FOX 6ª ed. 
Manômetro de múltiplos líquidos
Determinar a diferença de pressão (PA – PB) no manômetro 
de múltiplos líquidos da Figura 9 em lbf/in2 .
66
Dados 
Óleo = =0,88
δHg = =13,6
ρH2O=1,94slug/ft
3
g = 32,2 ft/s2 
Pede-se:
ΔP= PA-PB
OH
Hg
2ρ
ρ
67
OH
Óleo
2ρ
ρ
∑=∆
i
ii hgP ρ
( ) PBddgPA ddd OHHgóleoHgOH −−+−+= − 542 22 310 ρρρρρ
 Resolução
Exercícios exemplo 3.3 FOX 6ª ed. 
( )54322 1 ddd HgóleoHg ddOHgPBPA ++−+−=− δδρ δ
Dados 
δÓleo = =0,88
δHg = =13,6
ρH2O=1,94slug/ft
3
g = 32,2 ft/s2 
 
 
 
OH
Hg
2ρ
ρ
68
OH
Óleo
2ρ
ρ
( )54322 1 ddd HgóleoHg ddOHgPBPA ++−+−=− δδρ δ
 Resolução
( )
ftslug
slbfx
in
ftx
in
ftinxxx
ft
slugx
s
ftP x .
.,,,, ,
2
2144
2
12
85613488010
3
941
2
232 3613 ++−+−=∆
2
733
in
lbfP ,=∆
ftslug
slbfx
in
ftx
in
ftinxx
ft
slugx
s
ftP
.
.,,, 2
2144
2
12
3103
3
941
2
232=∆
Exercícios exemplo 3.3 FOX 6ª ed. 
Enunciado
O manômetro mostrado na 
Figura 10 contém 2 líquidos. 
O líquido A tem densidade 
relativa 0,88 e o líquido B 
2,95. Calcule a deflexão h, 
quando a diferença de 
pressão aplicada é 870 Pa.
69
Figura 10 
Exercícios exemplo 3.19 FOX 6ª ed. 
Dados 
δA = =0,88
δB = =2,95
ρH2O=1000kg/m
3
g = 9,81 m/s2 
ΔP= P1-P2 =870 Pa 
 
 
Pede-se:
 h
Resolução
OH
B
2ρ
ρ
70
OH
A
2ρ
ρ Modelo Físico 
( ) 210 Pghg ABA hgP −++= −−  ρρρ
Exercícios exemplo 3.19 FOX 6ª ed. 
Dados 
δA = =0,88
δB = =2,95
ρH2O=1000kg/m
3
g = 9,81 m/s2 
ΔP= P1-P2 =870 Pa 
 
 
Pede-se:
 h
Resolução
OH
B
2ρ
ρ
71
OH
A
2ρ
ρ
( ) 210 Pggh ABA lhgP −++= −− ρρρ
210 Pgghg ABAA hgP −+= −−+  ρρρρ
( ) hgP OHABP 221 ρδδ −=−
Exercícios exemplo3.19 FOX 6ª ed. 
Dados 
δA = =0,88
δB = =2,95
ρH2O=1000kg/m
3
g = 9,81 m/s2 
ΔP= P1-P2 =870 Pa 
 
 
Pede-se:
 h
Resolução
OH
B
2ρ
ρ
72
OH
A
2ρ
ρ
( ) hgP OHABP 221 ρδδ −=−
( ) gh O
PP
HAB 2
21
ρδδ −
−
=
m
s
x
Kg
m
sN
mKg
x
m
N
h
8191000880952
870 23
22 ,),,( −
=
h= 42,8mm
Exercício proposto 3.24 FOX 6ª ed. 
Enunciado
Água flui para abaixo ao longo 
de um tubo inclinado de 30º 
em relação à horizontal de 
conforme mostrado na 
Figura 11. A diferença PA – 
PB é causada parcialmente 
pela gravidade e 
parcialmente pelo atrito. 
Obtenha uma expressão 
algébrica para a diferença de 
pressão. Calcule a diferença 
de pressão se L=5ft e h=6in.73
Figura 11 
Exercícios propostos 3.24 FOX 6ª ed. 
àgua
Mercúrio
Resolução de exercício
74
OH
Hg
2ρ
ρ
 Modelo Físico Dados h = 6in
ρH2O=1,94slug/ft
3
L= 5ft 
 
g = 32,2 ft/s2
δHg = =13,6
Pede-se:
ΔP= PA-PB
L
àgua
030 2222 =−−−+++ BOHOHOHOHA PP aghHghgagsenLg ......º.. ρρρρ ρ
Mercúrio
Resolução de exercício
Resolução
75
OH
Hg
2ρ
ρ ( )[ ].º.... 3012 senLHghg OHPP BA −−=− δρ
( )[ ]
2
22
32 144
505161350941232
in
ftx
slugft
slbfftft
ft
slug
s
ft
BA PP .
..,..,,.,., −−=−
psiBA PP .,641=−
Dados 
h = 6in
ρH2O=1,94slug/ft
3
L= 5ft 
 
g = 32,2 ft/s2
δHg = =13,6
Pede-se:
ΔP= PA-PB
 Com relação à distribuição de pressão, valores de 
referência devem ser estabelecidos. 
Usualmente o nível de referência é a pressão 
atmosférica.
Pabsoluta = Pman + Patm 
 
Escalas de medida de pressão 
Escalas de medida de pressão 
 
 
 
Escala absoluta 
Adota como zero o vácuo absoluto.
Nesta escala só existem pressões positivas;
Escala Relativa – Efetiva ou Manométrica 
Adota como zero a pressão atmosférica local;
Nesta escala existem pressões:
Negativas (depressões ou vácuos técnicos), 
Nulas;
Positivas.
Escalas de medida de pressão 
 
 
 
A atmosfera terrestre é composta por 
vários gases, que exercem uma 
pressão sobre a superficie da Terra. 
Essa pressão, denominada pressão 
atmosférica, depende da altitude do 
local. À medida que nos afastamos 
da superfície do planeta, o ar se 
torna cada vez mais rarefeito. Assim 
a pressão por ele exercida não pode 
ser medida simplesmente em termos 
da altura da "coluna de ar" existente 
sobre um ponto. O valor dessa 
pressão, é medida ao nível do mar.
Figura 12: Variação da pressão atmosférica
 
 
 
O físico italiano Evangelista 
Torricelli (1608-1647) realizou 
uma experiência para 
determinar a pressão 
atmosférica ao nível do mar. 
Escalas de medida de pressão 
Figura 13: Barômetro de Torricelli
Figura 14: Torricelli
 
 
 
Ele usou um tubo de 
aproximadamente 1,0 m de 
comprimento, cheio de mercúrio (Hg) 
e com a extremidade tampada. 
Depois, colocou o tubo em pé e com 
a boca tampada para baixo, dentro de 
um recipiente que também continha 
mercúrio. Ele observou que, após 
destampar o tubo, o nível do mercúrio 
desceu e estabilizou-se na posição 
correspondente a 76 cm de Hg, 
restando o vácuo na parte vazia do 
tubo. O dispositivo é chamado 
barômetro de Torricelli.
Escalas de medida de pressão 
Escalas de medida de pressão 
 
 
 
O barômetro é o 
aparelho mais comum 
que efetua leituras da 
pressão atmosférica 
local, também chamada 
de pressão barométrica.
Figura 15: Barômetros
Escalas de medida de pressão 
 
 
 
Se o nível de 
referência for o 
vácuo, a pressão é 
denominada de 
absoluta. 
Figura 16: Relação entre as escalas de medida pressão
Escalas de medida de pressão 
 
 
 
Figura 17: Pressão absoluta e efetiva 
Exercício proposto (FOX 6ª ed. 3.20)
 
 
 
O manômetro mostrado 
contém água e querosene. 
Com ambos os tubos abertos 
para a atmosfera, as 
elevações da superfície livre 
diferem de 20mm. 
Determine a diferença de 
elevação H, quando uma 
pressão de 98 Pa for aplicada 
no tubo à direita. 
R. H = 30mm
 
Exercício proposto FOX 6ªed 3.17
 
 
 
Um manômetro é construído com um tubo 
de vidro de diâmetro interno uniforme de 
D = 6,35 mm, conforme Figura 1. O tubo 
em U é preenchido parcialmente com 
água. Em seguida, um volume de 3,25 
cm3 de óleo Marian vermelho é 
adicionado no lado esquerdo do tubo. 
Sabendo que a densidade relativa do óleo 
é 0,827, calcule a altura de equilíbrio, H, 
quando ambas as pernas do tubo em U 
estão abertas para a atmosfera.
R. H = 17,8mm
 
Referências
 
 AMARAL, Henrique Mariano Costa do, Hidrostática. Acesso em 22/04/2010.
 BASTOS, Francisco de Assis A. Problemas de Mecânica dos Fluidos. 
Guanabara Dois: Rio de Janeiro. 1983.
 FOX, Robert W.; McDONALD, Alan T. Introdução à mecânica dos fluidos. Ed. 
LTC: Rio de Janeiro.6ªed.
 HANSEN, Arthur G. Mecánica de fluidos. Ed. Limusa: México.1974. Parte IV. 
Cap. 10
 LOUREIRO, Eduardo - Mecânica dos Fluidos 
 PRAAS, Alberto Ricardo. Pressão Atmosférica e a Experiência de Torricelli. 
http://www.algosobre.com.br/fisica/pressao-atmosferica-e-a-experiencia-de-torricelli.html
 TEODORO, Carlos Guilherme Rodrigo, Hidráulica. Acesso em 22/04/2010.
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