Aula 5 equação da Continuidade

Prévia do material em texto

Equação da conservação 
da massa
Mecânica dos Fluidos
Aula 8
Dinâmica dos fluidos
Objetivo geral
Desenvolver equações básicas na forma integral, para 
volume de controle
2
Dinâmica dos fluidos
Objetivos específicos
 Desenvolver a equação básica na forma integral 
para aplicação em volume de controle para a lei da 
conservação da massa;
 Desenvolver a equação básica na forma integral 
para aplicação em volume de controle para a lei da 
conservação da movimento;
 Resolver problemas físicos em que ocorre 
movimento de fluidos.
3
Dinâmica dos fluidos
Introdução
 Os modelos matemáticos são aproximações da 
situação real do escoamento;
 O fluido real é composto de moléculas com espaço 
vazio entre elas;
 Os modelos matemáticos admitem o fluido como 
um meio contínuo;
4
Dinâmica dos fluidos
Introdução
Existem 5 variáveis básicas que descrevem o 
escoamento:
 As 3 componentes de velocidade (Vx, Vy, Vz)
 E 2 propriedades termodinâmicas entre as 3 (P, T, 
V)
5
Dinâmica dos fluidos
Introdução
Sendo assim, são 5 as equações básicas para 
descrição de um escoamento:
 A equação da continuidade ou de conservação da 
massa;
 As 3 componentes da equação da quantidade de 
movimento;
 A equação da conservação da energia.
6
Dinâmica dos fluidos
Introdução
Nesta unidade vamos utilizar 3 leis básicas:
 Lei da conservação da massa.
 Segunda Lei de Newton aplicada ao movimento;
 Primeira Lei da Termodinâmica.
7
Dinâmica dos fluidos
Introdução
As leis às quais nos referimos aplicam-se a 
quantidades fixas de matéria (sistema) que mantêm 
sua identidade ao passar por mudança de estado.
Como é difícil seguir porções fixas de matéria na 
análise do movimento do fluido, outro método será 
adotado.
8
Dinâmica dos fluidos
Introdução
Em vez do uso de sistema, utilizaremos o método do 
Volume de Controle (VC) que adota o ponto de 
vista teórico de campo e identifica volume no 
espaço ou uma região definida fixa.
9
Dinâmica dos fluidos
Introdução
 As leis básicas não se aplicam a VC, mas a sistemas 
com quantidades fixas de massa. Nossa tarefa será 
deduzir equações que se apliquem aos Volumes de 
Controle, a partir de expressões conhecidas.
10
Dinâmica dos fluidos
 Equação da conservação da massa
 Vamos observar o campo de escoamento 
representado pelas linhas de corrente da Figura. 1
11 Figura 1: Sistema e volume de controle
Dinâmica dos fluidos
 Equação da conservação da massa
 
12
Instante t0 →Linha tracejada
Instante t0 + Δt→ Linha cheia
VOLUME DE CONTROLE
Região I → Instante t0
Massa entrando no volume de controle
Região II → região intermediária
Região III → Instante t0 + Δt
Massa saindo o volume de controle
Dinâmica dos fluidos
 Equação da conservação da massa
 
13
O princípio de conservação 
da massa estabelece que a
massa de um sistema 
permanece constante. 
Sendo assim, a derivada da massa do sistema é igual a 
zero:
 0=

sistemadt
dM
Dinâmica dos fluidos
 Equação da conservação da massa
 
14
Pela própria definição de
derivada, tem-se:
 
) )
tdt
dM tSS
MttM
tsistema ∆
−
=
 ∆+
→∆
00
0
lim
Dinâmica dos fluidos
 Equação da conservação da massa
 
15
Nosso objetivo é relacionar a
taxa de variação da massa
do Sistema, com quantidades
associadas ao Volume 
de Controle
) ( ) ( )
tt
MMM
tt
MM
tt
M IIIIVCIIIIIS ∆+∆+∆+
+−=+=
000
) ( )
00 tMtM VCS =
Dinâmica dos fluidos
 Equação da conservação da massa
 
16
) ( )
ttMMMttM IIIIVCS ∆+∆+
+−=
00
) ( )
00 tMtM VCS =
) )
tdt
dM tSS
MttM
tsistema ∆
−
=
 ∆+
→∆
00
0
lim
) ) ) )
tttdt
dM tItIIIVCt
VC tM
t
tM
t
tMt
M
ts ∆
−
∆
+
∆
=
 ∆+∆+∆+
→∆→∆
−
→∆
0000
000
limlimlim
Dinâmica dos fluidos
 Equação da conservação da massa
 
17
  
A avaliação de cada um dos termos leva a:
) ) ) )
tttdt
dM tItIIIVCt
VC tM
t
tM
t
tMt
M
ts ∆
−
∆
+
∆
=
 ∆+∆+∆+
→∆→∆
−
→∆
0000
000
limlimlim
Dinâmica dos fluidos
 Equação da conservação da massa
 
18
 A avaliação do termo :
) ) ∫∂∂=∂∂=∆= −→∆ ∆+
VC
VCVCt
VC
dV
tt
M
tdt
dM tMt
M
ts
ρ0
0
0
lim
Lembrar que dM=ρ.dV
Dinâmica dos fluidos
 Equação da conservação da massa
 
19
A avaliação do termo :
Para avaliar o termo , inicialmente vamos 
desenvolver uma expressão para 
examinando uma sub-região típica da região III. 

)
t
tIII tM
t ∆
∆+
→∆
0
0
lim
)
tIII tM ∆+0
Dinâmica dos fluidos
 Equação da conservação da massa
 
20
A avaliação do termo :
 
 Para tanto, vamos considerar um elemento cilíndrico da 
superfície de controle. O sentido dA é o da normal à 
superfície para fora do elemento. 
) ) ttIII ttM dVd ∆+∆+ = 00 .ρ
Dinâmica dos fluidos
 Equação da conservação da massa
 
21
O vetor comprimento do 
cilindro é dado por:
O volume de um cilindro prismático, cuja área dA está 
em um ângulo α com relação ao seu comprimento Δl, 
é dado por:
tvl ∆=∆ ..
AdtvAdldAldV ∆=∆=∆= .cosα
Dinâmica dos fluidos
 Equação da conservação da massa
 
22
 dv
 Deste modo, podemos integrar toda a região III e obter, 
para o termo :
AdtvAdldAldV ∆=∆=∆= ..cos.. α
) ) ttIII ttM dVd ∆+∆+ = 00 .ρ
) Adtvd tIII tM ∆=∆+ ..ρ0

Dinâmica dos fluidos
 Equação da conservação da massa
 
23
A avaliação do termo :
)
)
∫∫∫ =∆
∆
=
∆
=
∆
∆+
∆+
→∆→∆
III
IIIIII
tIII
tIII
SC
SCSC
tdM
t
tM
t
dAv
t
dAtv
tt
..
..
limlim ρ
ρ
0
0
00
Dinâmica dos fluidos
 Equação da conservação da massa
 
24
A avaliação do termo :
) ∫−=∆− ∆+→∆
I
tI
SC
tM
t
dAv
t
..lim 0
0
ρ
Dinâmica dos fluidos
 Equação da conservação da massa
 
25
) ∫−=∆− ∆+→∆
I
tI
SC
tM
t
dAv
t
..lim 0
0
ρ
  
) ) ) )
tttdt
dM tItIIIVCt
VC tM
t
tM
t
tMt
M
ts ∆
−
∆
+
∆
=
 ∆+∆+∆+
→∆→∆
−
→∆
0000
000
limlimlim
) ∫=∆ ∆+→∆
III
tIII
SC
tM
t
dAv
t
..lim ρ0
0
) ) ∫∂∂=∆ −→∆ ∆+
VC
VCtVC
dV
tt
tMt
M
t
ρ0
0
0
lim
Dinâmica dos fluidos
 Equação da conservação da massa
 
26
∫+
ISC
dAv ..ρ=

sdt
dM ∫+
IIISC
dAv ..ρ∫∂∂
VC
dV
t
ρ
As duas últimas integrais podem ser combinadas 
porque SCI e SCIII constituem a superfície de controle 
inteira. E assim:
∫+
SC
dAv ..ρ=

sdt
dM ∫∂∂
VC
dV
t
ρ
Dinâmica dos fluidos
 Equação da conservação da massa
 
27
∫+
SC
dAv ..ρ=

sdt
dM ∫∂∂
VC
dV
t
ρ
Esta é a relação que procurávamos obter. A relação 
fundamental entre a taxa de variação da massa do 
sistema e as variações de massa associadas com o 
volume de controle
Dinâmica dos fluidos
 Equação da conservação da massa
 
28
0=+ ∫
SC
dAv ..ρ=

sdt
dM ∫∂∂
VC
dV
t
ρ
Qual o sentido físico desta equação?
A equação relaciona a taxa de aumento de massa dentro 
do volume de controle com fluxo de entrada de massa.
Dinâmica dos fluidos
 Equação da conservação da massa
 
29
0=+ ∫
SC
dAv ..ρ=

sdt
dM ∫∂∂
VC
dV
t
ρ
 
fluxo de 
massa 
através das 
SC
taxa de 
acúmulo de 
massa dentrodo VC
Dinâmica dos fluidos
 Equação da conservação da massa
 Casos especiais
 Escoamento incompressível ρ cte 
 
30
0=+ ∫
SC
dAv ..ρ=

sdt
dM ∫∂∂
VC
dV
t
ρ
 
0=∫
SC
dAv ..ρ
Dinâmica dos fluidos
 Equação da conservação da massa
 Casos especiais
 Escoamento incompressível
É importante notar que foi a única restrição feita
 
31
0=+ ∫
SC
dAv ..ρ=

sdt
dM ∫∂∂
VC
dV
t
ρ
 
0=∫
SC
dAv .ρ
Dinâmica dos fluidos
 Equação da conservação da massa
 Casos especiais
 Escoamento incompressível
É importante notar que foi a única restrição feita
Desta forma, a equação é válida tanto para 
escoamentos permanentes, como transientes.
 
32
 
0=∫
SC
dAv .
Dinâmica dos fluidos
 Equação da conservação da massa
 Casos especiais
 Escoamento incompressível
Por causa das dimensões do integrando (L3/t, a equação é 
chamada de taxa de vazão volumétrica.
 
33
 QdAv
SC
=∫ .
Dinâmica dos fluidos
 Equação da conservação da massa
 Casos especiais
 Escoamento incompressível
A magnitude da velocidade média é dada por:
 
34
 ∫==
SC
dAv
AA
Qv .1
Dinâmica dos fluidos
 Equação da conservação da massa
 Casos especiais
 Escoamento permanente, compressível
 
35
 
0=+ ∫
SC
dAv ..ρ=

sdt
dM ∫∂∂
VC
dV
t
ρ
0=∫
SC
dAv ..ρ
 
 
 
Enunciado
Considere o escoamento permanente de 
água em uma junção de tubos conforme 
mostrado na Figura 2. As áreas das seções 
são: A1= 0,20 m2, A2= 0,20 m2, A3= 0,15 m2. 
O fluido também vaza para fora da tubulação 
através de um orifício na seção 4, com uma 
vazão volumétrica estimada de 0,1 m3/s. 
As velocidades médias nas seções 1 e 3 são: 
V1= 5m/s e V3= 12 m/s, respectivamente. 
Determine a velocidade do escoamento na 
seção 2.
Exercício exemplo 4.1 FOX 6ªed.
Exercício exemplo 
Exemplo 4.1 FOX 6ª ed.
Dados 
A1= 0,20 m2 
A2= 0,20 m2
A3= 0,15 m2
Q4 = 0,1 m3/s
Pede-se: 
V2= ?
Modelo 
Matemático
Modelo 
Físico
V1= 5 m/s
V3= 12 m/s
0=∫
SC
dAv .
Exercício exemplo 
Dados 
A1= 0,20 m2 
A2= 0,20 m2
A3= 0,15 m2
Q4 = 0,1 m3/s
Pede-se: 
V2= ?
Modelo 
FísicoV1= 5 m/s
V3= 12 m/s
04332211 =+++=∫ QAAAdAv vvv
SC
.
Exemplo 4.1 FOX 6ª ed.
Exercício exemplo 
Exemplo 4.1 FOX 6ª ed.
Dados 
A1= 0,20 m2 
A2= 0,20 m2
A3= 0,15 m2
Q4 = 0,1 m3/s
Pede-se: 
V2= ? 
Modelo 
FísicoV1= 5 m/s
V3= 12 m/s
04332211 =+++− QAAA vvv
11 Av− 22 Av+ 33 Av+
Exercício exemplo 
Exemplo 4.1 FOX 6ª ed.
Dados 
A1= 0,20 m2 
A2= 0,20 m2
A3= 0,15 m2
Q4 = 0,1 m3/s
Pede-se: 
V2= ? 
Modelo 
FísicoV1= 5 m/s
V3= 12 m/s
11 Av− 22 Av+ 33 Av+
04332211 =+++− QAvAvAv
2
43311
2 A
QAvAv
v
−−
=
Exercício exemplo 
Exemplo 4.1 FOX 6ª ed.
Dados 
A1= 0,20 m2 
A2= 0,20 m2
A3= 0,15 m2
Q4 = 0,1 m3/s
Pede-se: 
V2= ? 
Modelo 
FísicoV1= 5 m/s
V3= 12 m/s
2
43311
2 A
QAvAv
v
−−
=
Resolução
sm
m
x
s
mmx
s
mmx
s
mv /,
,
,,, 54
20
110
150
12
20
5
2
322
2 −=







−−=
Exercício exemplo 
Exemplo 4.17 FOX 6ª ed.
Modelo 
Físico
2
43311
2 A
QAvAv
v
−−
=
Resolução
sm
m
x
s
mmx
s
mmx
s
mv /,
,
,,, 54
20
110
150
12
20
5
2
322
2 −=







−−=
smv /,542 =
 
 
 
Enunciado
Considere o escoamento permanente e incompressível através do dispositivo 
mostrado. Determine a magnitude da vazão volumétrica através da abertura 3 e 
verifique se o fluxo é para fora ou para dentro do dispositivo.
Exercício exemplo 4.17 FOX 6ª ed.
Exercício exemplo 4.17 FOX 6ª ed.
Dados 
A1= 1 ft2 
A2= 0,5 ft2
A3= 0,2 ft2
Pede-se: 
Q3= ?
Modelo 
Matemático
Modelo 
Físico
V1= 10 ft/s
V2= 30 ft/s 0=∫
SC
dAv .
 

Hipóteses
1.Esc. Incompressível
2.Esc. Permanente, uniforme 
nas 3 seções
Exercícios 
Exercício 4.17 FOX 6ª ed.
Modelo 
Físico
032211 =++=∫ QAAdAv vv
SC
.
Dados 
A1= 1 ft2 
A2= 0,5 ft2
A3= 0,2 ft2
Pede-se: 
Q3= ?
V1= 10 ft/s
V2= 30 ft/s  

Modelo 
Matemático
Exercícios 
Exercício 4.17 FOX 6ª ed.
Modelo 
FísicoDados A1= 1 ft2 
A2= 0,5 ft2
A3= 0,2 ft2
Pede-se: 
Q3= ?
V1= 10 ft/s
V2= 30 ft/s  

Modelo 
Matemático
032211 =++− QAvAv
Exercícios 
Exercício 4.17 FOX 6ª ed.
Modelo 
FísicoDados A1= 1 ft2 
A2= 0,5 ft2
A3= 0,2 ft2
Pede-se: 
Q3= ?
V1= 10 ft/s
V2= 30 ft/s  

Resolução
032211 =++− QAvAv
22113 AvAvQ −=
s
ftftx
s
ftftx
s
ftQ
3
550
30
1
10
3 −=−= ,
sftQ /353 −=
 
 
 
Enunciado
Um fluido com massa específica de 1050 Kg/m3, flui em regime permanente através 
da caixa retangular mostrada. Dados A1= 0,05 m2, A2= 0,01 m2, A3= 0,06 m2. Determine 
a velocidade v3, se as velocidades são dadas: 
Exercício 4.18 FOX 6ªed.
smiv /ˆ41 = smjv /ˆ82 =
Exercícios 
Exercício 4.18 FOX 6ª ed.
Modelo 
FísicoDados A1= 0,05 m2 
A2= 0,01 m2
A3= 0,06 m2
Pede-se: 
V3= ?
Modelo 
Matemático
smiv /ˆ41 =
smjv /ˆ82 =
0=∫
SC
dAv .
Exercícios 
Exercício 4.18 FOX 6ª ed.
Modelo 
FísicoDados A1= 0,05 m2 
A2= 0,01 m2
A3= 0,06 m2
Pede-se: 
V3= ?
Modelo 
Matemático
smiv /ˆ41 =
smjv /ˆ82 =
0332211 =++=∫ AAAdAv vvv
SC
.
Exercícios 
Exercício 4.18 FOX 6ª ed.
Modelo 
FísicoDados A1= 0,05 m2 
A2= 0,01 m2
A3= 0,06 m2
Pede-se: 
V3= ?
Modelo 
Matemático
smiv /ˆ41 =
smjv /ˆ82 =
0332211 =−+ AvAvAv
3
2211
3 A
AvAv
v
+
=
smmjx
s
mjmix
s
miAv /,ˆ,
ˆˆ,
ˆ
. 322 2800108050433 =+=

Exercícios 
Exercício 4.18 FOX 6ª ed.
Modelo 
FísicoDados A1= 0,05 m2 
A2= 0,01 m2
A3= 0,06 m2
Pede-se: 
V3= ?
Modelo 
Matemático
smiv /ˆ41 =
smjv /ˆ82 =
smmjx
s
mjmix
s
miAv /,ˆ,
ˆˆ,
ˆ
. 322 2800108050433 =+=

3333 AvAv .. −=

sm
s
mx
A
v /,, 674
3
3
3 2801 −==
Exercícios 
Exercício 4.18 FOX 6ª ed.
Modelo 
FísicoDados A1= 0,05 m2 
A2= 0,01 m2
A3= 0,06 m2
Pede-se: 
V3= ?
Modelo 
Matemático
smiv /ˆ41 =
smjv /ˆ82 =
sm
s
mx
A
v /,, 674
3
3
3 2801 −==
jisen
s
mjisenv vv ˆcos,ˆ,ˆcos.ˆ. °+°−=−= 6067460674333 θθ

Exercícios 
Exercício 4.18 FOX 6ª ed.
Modelo 
FísicoDados A1= 0,05 m2 
A2= 0,01 m2
A3= 0,06 m2
Pede-se: 
V3= ?
Modelo 
Matemático
smiv /ˆ41 =
smjv /ˆ82 =
sm
s
mx
A
v /,, 674
3
3
3 2801 −==
ji
s
mv ˆ,ˆ, 3420443 +−=

 
 
 
Enunciado
Água entra em um canal largo e plano, de altura de 2h, com uma velocidade de 5m/s. 
Na saída do canal, a distribuição de velocidade é dada por:
Onde y é medido a partir da linha de centro do canal. Determine a velocidade máxima 
na linha de centro do canal.
 
 
Exercício exemplo 4.21 FOX 6ª ed.







−=
2
1
h
yVV max
Exercício exemplo 4.21 FOX 6ª ed.
Dados 
Pede-se: 
Vmax= ?
Modelos 
MatemáticosV= 5 m/s
Hipóteses
1.Esc. Incompressível
2. Escoamento uniforme na 
seçãode entrada







−=
2
1
h
yVV max
0=+ ∫
SC
dAv ..ρ∫∂∂
VC
dV
t
ρ
Exercício exemplo 4.21 FOX 6ª ed.
Dados 
Pede-se: 
Vmax= ?
Modelos 
MatemáticosV= 5 m/s
Hipóteses
1.Esc. Incompressível e 
permanente
2. Escoamento uniforme na 
seção de entrada







−=
2
1
h
yVV max
02211 =+= ∫∫ AVAV
SC
dAv .
Exercício exemplo 4.21 FOX 6ª ed.
Dados 
Pede-se: 
Vmax= ?
Resolução
V= 5 m/s







−=
2
2 1 h
yVV max
02211 =+= ∫∫ AVAV
SC
dAv .
whA 21 = dywA =2
Exercício exemplo 4.21 FOX 6ª ed.
Dados 
Pede-se: 
Vmax= ?
Resolução
V= 5 m/s







−=
2
2 1 h
yVV max
02211 =+= ∫∫ AVAV
SC
dAv .
whA 21 = dywA =2
( ) 012 21 =












−+= ∫∫ − dyhyVwwhdAv V
SC
max.
Exercício exemplo 4.21 FOX 6ª ed.
Dados 
Pede-se: 
Vmax= ?
Resolução
V= 5 m/s ( ) 012 21 =












−+= ∫∫ − dyhyVwwhdAv V
SC
max.
( ) dy
h
yVwwh
h
h
V ∫ +
−












−=
2
121 max
dy
h
y
wh
Vw
h
h
V ∫ +
−












−=
2
1
21
max
Exercício exemplo 4.21 FOX 6ª ed.
Dados 
Pede-se: 
Vmax= ?
Resolução
V= 5 m/s dyh
y
wh
Vw
h
h
V ∫ +
−












−=
2
1
21
max



−= ∫ ∫+
−
+
−
h
h
h
hV
dyy
h
dy
wh
Vw 2
2
max 1
21




−=
−
−
h
h
h
hV
y
h
y
wh
Vw
3
1
2
3
2
max
1



−=
3
212
2
3
2
max
1
h
h
h
wh
Vw
V
Exercício exemplo 4.21 FOX 6ª ed.
Dados 
Pede-se: 
Vmax= ?
Resolução
V= 5 m/s
sm
s
mxV /5,75
2
3
max ==



−=
3
212
2
3
2
max
1
h
h
h
wh
Vw
V
3
max
max1
VVV −=
1maxmax 2
3
3
2
1
VVVV =∴=
 
 
 
 Enunciado
 Líquido é drenado de um tanque cilíndrico, de diâmetro D = 50 mm, através de uma 
abertura, com d = 5 mm, no fundo do tanque. A velocidade do líquido saindo é 
 Y é a distância vertical do fundo do tanque até a superfície livre. Se o tanque 
estava inicialmente com água até y0 = 0,4 m, determine a profundidade em 
t = 12s após o início da drenagem. 
yg2
 Exercício 4.36 FOX 6ª ed.
Dados 
D1 = 50mm 
D2 = 5mm
v2 = (2gy)1/2 
Y0=0,4m
T=12s
Pede-se: 
y (12s)= ?
Hipóteses
1.Esc. Incompressível
2.Esc. Uniforme nas 2 seções
3.Desprezar par em relação ao da água
Modelo Matemático
0=+ ∫
SC
dAv ..ρ∫∂∂
VC
dV
t
ρ
dt
dyA
dy
dV
=
Modelo Físico
 Exercício 4.36 FOX 6ª ed.
Modelo Matemático
Modelo Físico
022011120 21
0
=+++∫ AAA
y
A vv
dt
dy
dt
dy
HararH ρρρρ
Hipóteses
1.Esc. Incompressível
2.Esc. Uniforme nas 2 seções
3.Desprezar par em relação ao da água
 Exercício 4.36 FOX 6ª ed.
0=+ ∫
SC
dAv ..ρ∫
VC
dt
dyA
Resolução Modelo Físico
0220120 2
0
=+∫ A
y
A v
dt
dy
HH ρρ
Dados 
D1 = 50mm 
D2 = 5mm
v2 = (2gy)1/2 
Y0=0,4m
T=12s
Pede-se: 
y (12s)= ?
Hipóteses
1.Esc. Incompressível
2.Esc. Uniforme nas 2 seções
3.Desprezar par em relação ao da 
água
02
220120
=+∫ gydtdy AA HH ρρ
gy
dt
dy
AA 221 −=∫
 Exercício 4.36 FOX 6ª ed.
Resolução Modelo FísicoDados 
D1 = 50mm 
D2 = 5mm
v2 = (2gy)1/2 
Y0=0,4m
T=12s Separando-se as variáveis:
Pede-se: 
y (12s)= ?
 
Hipóteses
1.Esc. Incompressível
2.Esc. Uniforme nas 2 seções
3.Desprezar par em relação ao da água
∫∫ −= dtgydy AA122
gy
dt
dy
AA 221 −=∫
 Exercício 4.36 FOX 6ª ed.
Exercício 4.36 FOX 6ª ed.
Resolução
 
Modelo FísicoDados 
D1 = 50mm 
D2 = 5mm
v2 = (2gy)1/2 
Y0=0,4m 
 
 Integrando-se: 
T=12s 
Pede-se: 
y (12s)= ?
 
∫∫ −=− tAA
y
y
dtgdyy
00
21
1
22/
∫∫ −= dtgydy AA122
tgy
A
Ay
1
2
0 22
21221 −=− //
Exercício 4.36 FOX 6ª ed.
Resolução
 
Modelo FísicoDados 
D1 = 50mm 
D2 = 5mm
v2 = (2gy)1/2 
Y0=0,4m 
T=12s 
Pede-se: 
y (12s)= ? 
 Dividindo toda a expressão por 2(y0)1/2
 
tg
y
y
tg
y
y
A
A
yA
A
y 1
2
01
2
0 2
1
4
2
1
0
21
0
21
−=⇒−=−
/
/
tgy
A
Ay
1
2
0 22
21221 −=− //
Exercício 4.36 FOX 6ª ed.
Resolução
 
Modelo FísicoDados 
D1 = 50mm 
D2 = 5mm
v2 = (2gy)1/2 
Y0=0,4m 
T=12s 
 Elevando-se os 2 termos ao quadrado: 
Pede-se: 
y (12s)= ?
 
 
t
g
y
y
A
A
y 1
2
02
1
21
0
21
−=
/
/
2
2
1
2
0
0 2
1 







−= t
g
y
D
D
y
y
Exercício 4.36 FOX 6ª ed.
Resolução
 
Modelo FísicoDados 
D1 = 50mm 
D2 = 5mm
v2 = (2gy)1/2 
Y0=0,4m 
T=12s 
Pede-se: 
y (12s)= ?
 
 
2
2
1
2
0
0 2
1 







−= t
g
y
D
D
y
y
msx
mmm
x
s
m
y mmm 134012
5040
1
2
819
1
2
25
240
,
,
,
, =












−=
msy 134012 ,)( =
 
 
 
 Enunciado
Em uma notícia divulgada na TV sobre o abaixamento do nível do lago Shafer perto 
de Monticello, Indiana, pelo aumento na descarga da comporta do lago, as 
seguintes informações foram repassadas a respeito do escoamento :
 Vazão normal 290 ft3/s
 Vazão durante a drenagem do lago: 2.000 ft3/s 
O repórter afirmou também que, durante a drenagem, a diminuição no nível do lago 
deve corresponder à taxa de 1ft a cada 8 horas. 
Calcule:
 A vazão durante a drenagem em Gal/s. 
 Estime a área superficial do lago.
Exercício 4.35 FOX 6ªed.
Exercício 4.35 FOX 6ª ed.
Dados 
Qe = 290 ft3/s 
Qs = 2000 ft3/s
dh/dt = 1ft/8h 
ρé cte
 Pede-se: 
Q (Gal/s)= ?
A = ?
Resolução
 
sGalx
ft
Gal
x
s
ft
Q /,
, 4
3
3
1051
487
2000 ==
Exercício 4.35 FOX 6ª ed.
Dados 
Qe = 290 ft3/s 
Qs = 2000 ft3/s
dh/dt = 1ft/8h 
 é cte
 Pede-se: 
Q (Gal/s)= ?
A = ?
Modelo Matemático
0=+ ∫
SC
dAv ..ρ∫∂∂
VC
dV
t
ρ
dt
dhA
dt
dVhAV =⇒=
∫
VC
dt
dhA QeQs
dt
dhAdAv
SC
−=⇒=+ ∫∫ 0.
Exercício 4.35 FOX 6ª ed.
Dados 
Qe = 290 ft3/s 
Qs = 2000 ft3/s
dh/dt = 1ft/8h 
 é cte
 Pede-se: 
Q (Gal/s)= ?
A = ?
Resolução
 
dtdh
QeQs
dtdh
QA
//
−
=
∆
=
∫
VC
dt
dhA QeQs
dt
dhAdAv
SC
−=⇒=+ ∫∫ 0.
Exercício 4.35 FOX 6ª ed.
Dados 
Qe = 290 ft3/s 
Qs = 2000 ft3/s
dh/dt = 1ft/8h 
 é cte
 Pede-se: 
A = ?
Resolução
 
( ) 273 10924
1
3600
1
82902000 ftx
h
sx
ft
hx
s
ft
dtdh
QeQsA ,
/
=
−
=
−
=
acres
ft
acrexftxA 131
60043
1
10924
2
27 ,
.
, ==
acresA 131,=
Referências
 
  FOX, Robert W. ; Mc DONALD, Alan.T. ;PRITCHARD, Philip J. Introdução à Mecânica dos Fluidos . Livros 
Técnicos e Científicos Editora S.A.- RJ, 6ª edição revista, 2009. 
	Slide 1
	Slide 2
	Slide 3
	Slide 4
	Slide 5
	Slide 6
	Slide 7
	Slide 8
	Slide 9
	Slide 10
	Slide 11
	Slide 12
	Slide 13
	Slide 14
	Slide 15
	Slide 16
	Slide 17
	Slide 18
	Slide 19
	Slide 20
	Slide 21
	Slide 22
	Slide 23
	Slide 24
	Slide 25
	Slide 26
	Slide 27
	Slide 28
	Slide 29
	Slide 30
	Slide 31
	Slide 32
	Slide 33
	Slide 34
	Slide 35
	Slide 36
	Slide 37
	Slide 38
	Slide 39
	Slide 40
	Slide 41
	Slide 42
	Slide 43
	Slide 44
	Slide 45
	Slide 46
	Slide 47
	Slide 48
	Slide 49
	Slide 50
	Slide 51
	Slide 52
	Slide 53
	Slide 54
	Slide 55
	Slide 56
	Slide 57
	Slide 58
	Slide 59
	Slide 60
	Slide 61
	Slide 62
	Slide 63
	Slide 64
	Slide 65
	Slide 66
	Slide 67
	Slide 68
	Slide 69
	Slide 70
	Slide 71
	Slide 72
	Slide 73
	Slide 74
	Slide 75
	Slide 76
	Slide 77