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Circuitos Elétricos B 
Potência e energia em regime permanente senoidal – SHaffner/LAPereira Versão 12/9/2007 Página 1 de 13 
 
Potência e energia em regime permanente senoidal 
 
Potência e energia 
 
+ 
- 
)(tv
)(ti
SISTEMA
 
 
Potência instantânea fornecida ao sistema: 
( ) ( ) ( )titvtp ⋅∆ 
 [W] 
Energia líquida fornecida para o sistema até o instante t1: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )00 
0 
 
0 
WdivWdptW
tt
+=+= ∫∫ τττττ [J] 
Potência média suprida entre os instantes t1 e t2: 
∫
−
=
2
112
média
 
 
)(1 t
t
dttp
tt
p
 [W] 
 
 
Resistência ( ) ( )tRitv = : A energia fornecida para o sistema até o instante t é uma função da integral 
da corrente ou da tensão ao quadrado ao longo do intervalo considerado: 
( ) ( )
( )} ( ) ( ) ( ) ( )00 
0 
2 
0 R
t
R
t
v
R WdRiWdiRitW +=+= ∫∫ τττττ
τ
 
( ) ( ) ( )0 
0 
2
R
t
R WdiRtW += ∫ ττ [J] 
( ) ( ) ( )
( )}
( ) ( ) ( )010 
0 
2 
0 R
t
R
t
i
R WdvR
Wd
R
v
vtW +=+= ∫∫ τττ
τ
τ
τ
 
( ) ( ) ( )01 
0 
2
R
t
R WdvR
tW += ∫ ττ [J] 
 
1
 Supondo que ( )0W é a energia inicial do sistema em 0=t . 
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Indutância ( ) ( )dt
tdiLtv = : A energia fornecida para o sistema até o instante t é função da corrente 
instantânea2, no instante t: 
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )0
2
0
2
0
2
00
0
22
0
2
 
0 
 
0 L
W
L
t
L
t
L
t
v
L W
iLtiLWiLWdiiLWdi
d
diLtW
L
+





−





=+





=+=+= ∫∫
48476876
τ
ττττ
τ
τ
τ
 
( ) ( )





=
2
2 tiLtWL
 [J] 
Capacitância ( ) ( )dt
tdvCti = : A energia fornecida para o sistema até o instante t é função da tensão 
instantânea3, no instante t: 
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )0
2
0
2
0
2
00
0
22
0
2
 
0 
 
0 C
W
C
t
C
t
C
t
i
C W
vCtvCWvCWdvvCWd
d
dvCvtW
C
+





−





=+





=+=+= ∫∫
4847648476
τ
τττ
τ
τ
τ
τ
 
( ) ( )





=
2
2 tvCtWC [J] 
 
Observação: A energia fornecida para a resistência é transformada em calor (dissipada pelo circuito). 
A energia fornecida para um indutor ou capacitor fica armazenada nos campos magnético e elétrico, 
não sendo dissipada por estes componentes. 
 
2
 Não depende do que ocorre ao longo do intervalo de 0 a t; apenas do valor instantâneo de ( )ti . 
3
 Não depende do que ocorre ao longo do intervalo de 0 a t; apenas do valor instantâneo de ( )tv . 
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Exercício: Sabendo que o gráfico a seguir apresenta a forma de onda de uma tensão aplicada a uma 
resistência de 10 Ω, determinar as expressões e os gráficos da potência e da energia fornecida. 
 
6 
3 
100 
( )[ ]Vtv
[ ]st
( ) 100
3
100
+
−
= ttv
–100 
 
 
 
Potência fornecida [W] Energia fornecida [J] 
 
Exercício: Refazer o Exercício considerando que a corrente está percorrendo uma indutância de 2 H. 
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Exercício: Sabendo que o gráfico a seguir apresenta a forma de onda da corrente que percorre uma 
resistência de 2 Ω, determinar o solicitado: 
 
( )[ ]Ati
[ ]st
 
a) A potência instantânea dissipada nesta resistência; 
b) A potência média fornecida para esta resistência a partir de t=0; 
c) A energia fornecida para esta resistência a partir de t=0. 
 
 
 
p(t) [W] 
 
W(t) [J] 
t
 [s] 
 
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Exercício: Determinar a potência média, a instantânea e a energia fornecida para cada um dos 
elementos do circuito abaixo, sabendo que a resistência é de 25 Ω e o indutor de 120 mH. 
 
 
 
 
 
Na resistência No indutor 
 
p(t) [W] 
 
W(t) [J] 
t
 [s] t [s] 
 
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Valores eficazes 
RMSI ( )RMSVou 4: Constante igual à corrente (ou tensão) contínua que produziria a mesma potência 
média em uma resistência pura. 
 
( )tv
+ 
– 
( )ti
R 
( ) ( )
( ) ( )
R
tv
ti
tRitv
=
=
 
( ) ( ) ( )
( )
( )} ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]





=
=
==
R
tv
R
tv
tv
tiRtitRi
titvtp
tv
R 2
2
 
Correntes e tensões contínuas 
Potência instantânea constante (igual à média) 
( )






==
R
V
RI
ptp
RMS
RMS
R 2
2
média
 
Correntes e tensões periódicas com período T: 
Potência média produzida em uma resistência 
( )[ ] ( )[ ]
( )[ ] ( )[ ]










=




=
=
∫∫
∫∫
TT
TT
dttv
TR
dt
R
tv
T
dtti
T
RdttiR
Tp
 
0 
2 
0 
2
 
0 
2 
0 
2
média 111
11
 
( )[ ] ( )[ ] ⇒=⇒



= ∫∫
T
RMS
T
RMS dttiT
Idtti
T
RRI
 
0 
22 
0 
22 11
 
( )[ ]∫=
T
RMS dttiT
I
 
0 
21
 
 
( )[ ] ( )[ ] ⇒=⇒





= ∫∫
T
RMS
TRMS dttv
T
Vdttv
TRR
V 
0 
22 
0 
2
2 111
 
( )[ ]∫=
T
RMS dttvT
V
 
0 
21
 
 
4
 RMS é a sigla de Root Mean Square (valor quadrático médio). 
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Potência ativa, reativa, aparente e complexa 
+
)cos()( max φω += tVtv
)cos()( max θφω −+= tIti
-
)(tv
)(ti
φ
V
I
 θ
Re
Im
φ
2
maxVV =
θφ −=
2
maxII
SISTEMA
 
 
Potência instantânea fornecida para o sistema: 
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )θφωφω −++== ttIVtitvtp coscosmaxmax 
 
( ) ( )[ ] ( )φωθφωθ 22sensen
2
22cos1cos
2
maxmaxmaxmax ++++= t
IV
t
IV
tp
 
 
 
( ) ( )[ ] ( )φωθφωθ 22sensen22cos1cos ++++= tVItVItp
 
 
 
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0 1 2 3 4 5 6
-5
0
5
10
Corrente em fase com a tensão
wt
v
(
t
)
,
 
i
(
t
)
,
 
p
(
t
)
v(t)
i(t)
p(t)
0 1 2 3 4 5 6
-5
0
5
Corrente atrasada de 90 graus
wt
v
(
t
)
,
 
i
(
t
)
,
 
p
(
t
)
v(t)
i(t)
p(t)
 
 
0 1 2 3 4 5 6
-5
0
5
Corrente adiantada de 90 graus
wt
v
(
t
)
,
 
i
(
t
)
,
 
p
(
t
)
v(t)
i(t)
p(t)
0 1 2 3 4 5 6
-5
0
5
10
Corrente atrasada de 30 graus
wt
v
(
t
)
,
 
i
(
t
)
,
 
p
(
t
)
v(t)
i(t)
p(t)
 
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Potência ativa (eficaz, útil, que produz trabalho): valormédio da potência instantânea: 
 
( )[ ] ( )[ ]∫∫ ++++=∆
TT
dttVItVI
T
dttp
T
P
 
0 
 
0 
22sensen22cos1cos1)(1 φωθφωθ
 
 
θcos VIP =
 [W] 
 
 
Potência reativa: corresponde ao valor máximo da parcela em sen(2ωt+2φ) da potência instantânea: 
 
θθ sensenI VIVQ =∆
 [var] 
Convenção5: INDUTOR: “consome” potência reativa 
CAPACITOR: “gera” potência reativa 
 
 
Potência aparente: obtida pela combinação das potências ativa e reativa P e Q: 
 
22 QPVIS +==
 [VA] 
 S 
P 
jQ 
IV ∠−∠=θ
Característica INDUTIVA 
 
 
S 
P 
jQ 
IV ∠−∠=θ
Característica CAPACITIVA 
 
 
5
 Observar que a parcela representada pela potência reativa apresenta valor médio nulo, ou seja, não existe geração nem 
consumo efetivo, na metade do ciclo o elemento absorve energia que será devolvida na metade seguinte do ciclo. A convenção é 
adequada porque na metade do ciclo em que o indutor está absorvendo energia o capacitor está devolvendo e vice-versa. 
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Fator de potência é obtido pela relação entre as potências ativa e aparente: 
 
θθ coscos ===
VI
VI
S
PFP
 
 
 
Potência complexa: obtida pelo produto do fasor tensão pelo conjugado do fasor corrente 
 
 
jQPjVIVIVIIVIVS +=+==+−=⋅= θθθθφφ sencos*
 
 
O ângulo da potência só depende do ângulo entre a tensão e a corrente (θ) 
 
φ 
V
I
 θ
 
Re
Im
φφ VVV ==
2
max
θφθφ −=−= III
2
max
 
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Exercício: Utilizando o sentido associado para as correntes e tensões, determinar a potência complexa e 
instantânea fornecida para cada um dos elementos do circuito. Verificar que existe conservação de potência. 
 10 Ω 
+ 
( )t1000cos100 20 mH 
100 µF 
 
 
 
Potência fornecida Energia fornecida 
 
Valores para resistência, indutância, capacitância e fonte 
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Máxima transferência de potência 
 
 
– 
+ 
V
I
 
SISTEMA jXRZ +=
 
Para a impedância jXRZ += , deseja-se 
escolher algum parâmetro (R, X, ω , etc.) de 
modo que a potência ativa fornecida para esta 
impedância seja máxima 
Forma geral: obter a expressão da potência em função do parâmetro escolhido (γ) e resolver a 
equação: 
 
0=
∂
∂
γ
P
 
 
Exercício 1: Escolha os valores de 2R e 2X de 
modo que seja fornecida a máxima potência para a 
carga 222 jXRZ += . 
 
 
Exercício 2: Refazer o Exercício 1 supondo que 
apenas 2R pode ser ajustado. 
+
V
I
222 jXRZ +=
111 jXRZ +=
 
 
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Exercício: Sabendo que o resistor variável R foi ajustado para absorver o máximo de potência do 
circuito, determinar o valor de RMTP e a potência nele dissipada. 
 j2 Ω 
A04 o R 6 Ω 
3 Ω 
j1 Ω 
 
 
 
 
Exercício: Para o circuito do exercício anterior, determinar a potência complexa fornecida pela fonte de 
corrente do circuito original e a potência fornecida pela fonte de tensão do circuito equivalente de 
Thévenin, para as seguintes cargas, utilizadas em substituição à R: 
a) MTPRZ = (determinado no exemplo anterior) 
b) 0=Z 
c) *THZZ =